Refraction by Lenses Questions in Hindi

(D) जब किसी लेंस का उपयोग प्रतिबिंब बनाने के लिए किया जाता है,तो लेंस का प्रत्येक बिंदु पूरे प्रतिबिंब के निर्माण में योगदान देता है।
यदि लेंस के ऊपरी आधे भाग को काला कर दिया जाता है,तो उस भाग से गुजरने वाली प्रकाश किरणें अवरुद्ध हो जाती हैं।
हालाँकि,लेंस का शेष निचला आधा भाग अभी भी वस्तु के सभी हिस्सों से प्रकाश किरणों को गुजरने देता है और उन्हें उसी फोकल बिंदु पर अभिसरित करता है।
परिणामस्वरूप,पूरा प्रतिबिंब अभी भी पर्दे पर उसी स्थान पर बनता है।
चूंकि पर्दे तक पहुँचने वाले प्रकाश की मात्रा कम हो जाती है (क्योंकि आधा एपर्चर अवरुद्ध है),इसलिए प्रतिबिंब की तीव्रता या चमक कम हो जाती है।

(D) मान लीजिए कि दोनों स्थितियों में लेंस से मोमबत्ती की दूरी $u_1$ और $u_2$ है। लेंस से दीवार की दूरी $v_1 = 10 \,cm$ और $v_2 = 30 \,cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए:
स्थिति $1$: $\frac{1}{10} - \frac{1}{-u_1} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{10} + \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f}$
स्थिति $2$: $\frac{1}{30} - \frac{1}{-u_2} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{30} + \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f}$
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{10} + \frac{1}{u_1} = \frac{1}{30} + \frac{1}{u_2} \implies \frac{1}{u_1} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{30} - \frac{1}{10} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15}$.
साथ ही,मोमबत्ती और दीवार के बीच की दूरी $D = u_1 + 10 = u_2 + 30$ है,इसलिए $u_2 = u_1 - 20$.
$u_2$ का मान रखने पर: $\frac{1}{u_1} - \frac{1}{u_1 - 20} = -\frac{1}{15} \implies \frac{u_1 - 20 - u_1}{u_1(u_1 - 20)} = -\frac{1}{15} \implies \frac{-20}{u_1^2 - 20u_1} = -\frac{1}{15} \implies u_1^2 - 20u_1 - 300 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(u_1 - 30)(u_1 + 10) = 0$. चूंकि $u_1 > 0$,इसलिए $u_1 = 30 \,cm$.
अतः $f = \frac{1}{\frac{1}{10} + \frac{1}{30}} = \frac{30}{4} = 7.5 \,cm$.
इकाई आवर्धन $(m = -1)$ के लिए,वस्तु की दूरी $2f$ और प्रतिबिंब की दूरी $2f$ होनी चाहिए। इस प्रकार,$u = 15 \,cm$ और $v = 15 \,cm$। मोमबत्ती और दीवार के बीच की कुल दूरी $D = u + v = 30 \,cm$ है।
प्रारंभ में,मोमबत्ती लेंस से $u_1 = 30 \,cm$ पर थी,और लेंस दीवार से $10 \,cm$ दूर था,इसलिए मोमबत्ती दीवार से $40 \,cm$ दूर थी।
दूरी को $30 \,cm$ करने के लिए,मोमबत्ती को $10 \,cm$ दीवार की ओर ले जाना होगा।

(B) लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
कोशी के सूत्र के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ तरंग दैर्ध्य $\lambda$ से $\mu = a + \frac{b}{\lambda^2}$ के रूप में संबंधित है।
सफेद प्रकाश के लिए,तरंग दैर्ध्य का क्रम $\lambda_V < \lambda_R$ होता है,जहाँ $V$ का अर्थ बैंगनी और $R$ का अर्थ लाल है।
चूंकि $\mu$,$\lambda^2$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए हमें $\mu_V > \mu_R$ प्राप्त होता है।
इसे लेंस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,चूंकि $\frac{1}{f} \propto (\mu - 1)$,हमें $f_V < f_R$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि बैंगनी प्रकाश की फोकस दूरी लाल प्रकाश की फोकस दूरी से कम है।
इसलिए,बैंगनी प्रकाश लाल प्रकाश की तुलना में लेंस के करीब केंद्रित होता है,जो दी गई छवियों के विकल्प $(B)$ में दिखाए गए व्यवहार के अनुरूप है।

(C) एक समतल-उत्तल लेंस के लिए,समतल सतह की वक्रता त्रिज्या $R_1 = \infty$ और उत्तल सतह की वक्रता त्रिज्या $R_2 = -10 \,cm$ है (चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए)।
दी गई फोकस दूरी $f = 30 \,cm$ है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{30} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-10} \right)$.
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{30} = (\mu - 1) \left( 0 + \frac{1}{10} \right)$.
$\frac{1}{30} = \frac{\mu - 1}{10}$.
$\mu - 1 = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.
$\mu = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$.

(C) माध्यम में लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f_m} = (_{\text{medium}}\mu_{\text{lens}} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
अवतल लेंस के लिए,पद $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ ऋणात्मक होता है।
हवा में,लेंस अपसारी $(f < 0)$ के रूप में व्यवहार करता है,जो $_{\text{air}}\mu_{\text{glass}} > 1$ के अनुरूप है।
लेंस के द्रव में अभिसारी लेंस के रूप में व्यवहार करने के लिए,फोकस दूरी $f_m$ धनात्मक होनी चाहिए।
चूंकि $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ ऋणात्मक है,इसलिए $f_m$ को धनात्मक होने के लिए $(_{\text{liquid}}\mu_{\text{glass}} - 1)$ को भी ऋणात्मक होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $_{\text{liquid}}\mu_{\text{glass}} < 1$.
चूंकि $_{\text{liquid}}\mu_{\text{glass}} = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_l}$,इसलिए $\frac{_a\mu_g}{_a\mu_l} < 1$,जिसका अर्थ है कि $_a\mu_g < _a\mu_l$।

(C) $1$. लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक $(\mu)$ ज्ञात कीजिए:
$\mu = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8 \, m/s}{2 \times 10^8 \, m/s} = 1.5$.
$2$. वक्र सतह की वक्रता त्रिज्या $(R)$ ज्ञात कीजिए:
माना द्वारक की त्रिज्या $a$ है,अतः $a = 3 \, cm = 30 \, mm$. अधिकतम मोटाई $t = 3 \, mm$ है।
लेंस के ज्यामितीय गुण का उपयोग करते हुए: $a^2 = t(2R - t)$.
$(30)^2 = 3(2R - 3)$
$900 = 6R - 9$
$909 = 6R$
$R = 151.5 \, mm = 15.15 \, cm$.
$3$. लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करके फोकस दूरी $(f)$ ज्ञात कीजिए:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
समतल-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R = 15.15 \, cm$ और $R_2 = \infty$.
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{15.15} - 0 \right) = 0.5 \times \frac{1}{15.15} = \frac{1}{30.3}$.
अतः,$f \approx 30 \, cm$.

(C) लेंस के लिए आवर्धन $m = \frac{f}{f + u}$ द्वारा दिया जाता है।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,आवर्धन ऋणात्मक होता है,इसलिए $m_1 = -m = \frac{f}{f - u_1}$।
आभासी प्रतिबिंब के लिए,आवर्धन धनात्मक होता है,इसलिए $m_2 = +m = \frac{f}{f - u_2}$।
चूंकि आवर्धन का परिमाण समान है,इसलिए $\frac{f}{f - u_1} = -\frac{f}{f - u_2}$।
दोनों पक्षों से $f$ को हटाने पर,$\frac{1}{f - u_1} = -\frac{1}{f - u_2}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $f - u_2 = -(f - u_1) = -f + u_1$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2f = u_1 + u_2$,जिससे $f = \frac{u_1 + u_2}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) अवतल लेंस के लिए,आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f}{f+u}$ है,जहाँ $f$ फोकस दूरी है (अवतल लेंस के लिए ऋणात्मक ली जाती है) और $u$ वस्तु की दूरी है (जो भी ऋणात्मक ली जाती है)।
दिया गया है कि प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार का $(1/x)$ गुना है,इसलिए आवर्धन $m = +\frac{1}{x}$ है (क्योंकि अवतल लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब आभासी और सीधा होता है)।
लेंस सूत्र $m = \frac{f}{f+u}$ में $f = -f$ और $m = \frac{1}{x}$ रखने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{-f}{-f+u}$
$-f + u = -xf$
$u = f - xf$
$u = -f(x-1)$
दूरी का परिमाण लेने पर,लेंस से वस्तु की दूरी $(x-1)f$ है।

(C) दिया गया है: कांच का अपवर्तनांक $\mu_g = 1.5$, शक्ति $P = 5 \,D$.
सबसे पहले, लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करके हवा में उभयोत्तल लेंस की वक्रता त्रिज्या $R$ ज्ञात करें:
$P = \frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = 0.5 \times \frac{2}{R} = \frac{1}{R}$.
चूंकि $P = 5 \,D$, इसलिए $\frac{1}{R} = 5 \implies R = 0.2 \,m = 20 \,cm$.
जब इसे $\mu_l$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है, तो लेंस $f_l = -100 \,cm = -1 \,m$ फोकस दूरी वाले अपसारी लेंस की तरह कार्य करता है:
$\frac{1}{f_l} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{2}{R} \right)$.
मान रखने पर:
$-\frac{1}{1} = \left( \frac{1.5}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{2}{0.2} \right) = \left( \frac{1.5}{\mu_l} - 1 \right) (10)$.
$-0.1 = \frac{1.5}{\mu_l} - 1$.
$0.9 = \frac{1.5}{\mu_l} \implies \mu_l = \frac{1.5}{0.9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$.

(A) विस्थापन विधि में,एक स्थिर वस्तु और पर्दे के बीच लेंस को स्थानांतरित किया जाता है ताकि दो अलग-अलग स्थितियों पर स्पष्ट प्रतिबिंब प्राप्त किया जा सके।
मान लीजिए कि वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी $D$ है और लेंस की फोकस दूरी $f$ है।
लेंस की पहली स्थिति के लिए,आवर्धन $m_1 = \frac{v_1}{u_1}$ है।
लेंस की दूसरी स्थिति के लिए,वस्तु दूरी और प्रतिबिंब दूरी आपस में बदल जाते हैं,इसलिए $u_2 = v_1$ और $v_2 = u_1$ होता है।
दूसरी स्थिति के लिए आवर्धन $m_2 = \frac{v_2}{u_2} = \frac{u_1}{v_1}$ है।
दोनों आवर्धन का गुणा करने पर,हमें $m_1 \times m_2 = \left(\frac{v_1}{u_1}\right) \times \left(\frac{u_1}{v_1}\right) = 1$ प्राप्त होता है।

(C) जब लेंस के दोनों ओर अलग-अलग माध्यम हों,तो फोकस दूरी का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\mu_3}{f} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R_1} + \frac{\mu_3 - \mu_2}{R_2}$
दिया गया है:
$\mu_1 = 1$ (वायु),
$\mu_2 = 1.5$ (लेंस का पदार्थ),
$\mu_3 = 4/3$ (जल),
$R_1 = +20 \, cm$,
$R_2 = -20 \, cm$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{4/3}{f} = \frac{1.5 - 1}{20} + \frac{4/3 - 1.5}{-20}$
$\frac{4}{3f} = \frac{0.5}{20} + \frac{(4/3 - 9/6)}{-20} = \frac{0.5}{20} + \frac{-1/6}{-20} = \frac{0.5}{20} + \frac{1}{120}$
$\frac{4}{3f} = \frac{3}{120} + \frac{1}{120} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$
$\frac{4}{3f} = \frac{1}{30} \implies 3f = 120 \implies f = 40 \, cm$.

(D) विस्थापन विधि में,वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी निश्चित होने पर लेंस की दो ऐसी स्थितियाँ होती हैं जहाँ वास्तविक प्रतिबिंब बनता है।
माना वस्तु की ऊँचाई $h$ है,पहले प्रतिबिंब की ऊँचाई $h_1$ है और दूसरे प्रतिबिंब की ऊँचाई $h_2$ है।
दोनों स्थितियों के लिए आवर्धन $m_1 = \frac{h_1}{h}$ और $m_2 = \frac{h_2}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
विस्थापन विधि के गुणों के अनुसार,आवर्धन का गुणनफल $m_1 \times m_2 = 1$ होता है।
आवर्धन के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{h_1}{h}\right) \times \left(\frac{h_2}{h}\right) = 1$.
यह $h^2 = h_1 \times h_2$ या $h = \sqrt{h_1 h_2}$ में सरल हो जाता है।
चूँकि $h_1 = 24 \,cm$ और $h_2 = 6 \,cm$ दिया गया है,हम गणना करते हैं $h = \sqrt{24 \times 6} = \sqrt{144} = 12 \,cm$.
अतः,वस्तु की ऊँचाई $12 \,cm$ है।

(C) लेंस के लिए आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f}{f+u}$ है।
चूंकि आवर्धन का संख्यात्मक मान समान रहता है,इसलिए हम लिख सकते हैं $|m_1| = |m_2|$.
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए $m$ ऋणात्मक होता है और आभासी प्रतिबिंब के लिए $m$ धनात्मक होता है। यदि आवर्धन संख्यात्मक रूप से समान रहता है,तो हम $\frac{f}{f+u_1} = -\frac{f}{f+u_2}$ लिख सकते हैं।
यहाँ $u_1 = -40 \,cm$ और $u_2 = -30 \,cm$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{f}{f-40} = -\frac{f}{f-30}$.
चूंकि $f \neq 0$,$f$ से भाग देने पर: $\frac{1}{f-40} = -\frac{1}{f-30}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $f - 30 = -(f - 40)$.
$f - 30 = -f + 40$.
$2f = 70$.
$f = 35 \,cm$.

(C) विस्थापन विधि में,पर्दे पर वास्तविक प्रतिबिंब बनने के लिए,वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी $D$,लेंस की फोकस दूरी $f$ के कम से कम चार गुना होनी चाहिए।
यह शर्त $D \geq 4f$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $D = 60 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $60 \geq 4f$।
$4$ से विभाजित करने पर,हमें $f \leq 15 \, cm$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $12 \, cm$ ही $f \leq 15 \, cm$ की शर्त को पूरा करता है।

(C) एक द्वि-उत्तल लेंस के लिए,वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = +15 \, cm$ और $R_2 = -15 \, cm$ हैं।
लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{-15} \right)$.
$\frac{1}{f} = 0.5 \left( \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \right) = 0.5 \left( \frac{2}{15} \right)$.
$\frac{1}{f} = \frac{1}{15}$.
अतः,$f = +15 \, cm$।

(A) एक अभिसारी लेंस द्वारा वास्तविक वस्तु का वास्तविक प्रतिबिंब बनाने के लिए,वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की न्यूनतम दूरी $D = 4f$ होती है,जहाँ $f$ लेंस की फोकस दूरी है।
गणितीय रूप से,इसे $D \geq 4f$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यहाँ दी गई दूरी $D = 56 \,cm$ है,इसलिए:
$56 \geq 4f$
दोनों पक्षों को $4$ से विभाजित करने पर:
$f \leq \frac{56}{4}$
$f \leq 14 \,cm$.
अतः,लेंस की फोकस दूरी $14 \,cm$ या उससे कम होनी चाहिए।

(D) विस्थापन विधि प्रकाश के उत्क्रमणीयता के सिद्धांत पर आधारित है। वस्तु और पर्दे के बीच की कुल दूरी $D$ स्थिर है।
यहाँ,पहली स्थिति $u_1 = -40 \, cm$ और दूसरी स्थिति $u_2 = -80 \, cm$ दी गई है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करते हुए:
पहली स्थिति के लिए,$u = -40 \, cm$ और $v = 80 \, cm$ लेने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{80} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{80} + \frac{1}{40} = \frac{1+2}{80} = \frac{3}{80}$.
अतः,$f = \frac{80}{3} \, cm$.

(C) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
हवा में,$\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = 0.5 \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$.
दिया गया है $f_a = 18 \, cm$,इसलिए $\frac{1}{18} = \frac{1}{R}$,जिसका अर्थ है $R = 18 \, cm$.
जब पानी में डुबोया जाता है,तो $\frac{1}{f_w} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \left( \frac{2}{R} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f_w} = \left( \frac{1.5}{4/3} - 1 \right) \left( \frac{2}{18} \right) = \left( \frac{4.5}{4} - 1 \right) \left( \frac{1}{9} \right) = (1.125 - 1) \left( \frac{1}{9} \right) = 0.125 \times \frac{1}{9} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{72}$.
अतः,$f_w = 72 \, cm$.
फोकस दूरी में परिवर्तन $\Delta f = f_w - f_a = 72 - 18 = 54 \, cm$ है।

(B) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए,हवा में लेंस की शक्ति $P = (n_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = 20 \ cm$ और $R_2 = -20 \ cm$ है। अतः,$P = (1.8 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right) = 0.8 \times \frac{2}{20} = 0.8 \times 0.1 = 0.08 \ cm^{-1}$।
जब $n_l = 1.5$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो शक्ति $P' = \left( \frac{n_g}{n_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ होती है।
$P' = \left( \frac{1.8}{1.5} - 1 \right) \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \right) = (1.2 - 1) \times 0.1 = 0.2 \times 0.1 = 0.02 \ cm^{-1}$।
हवा में शक्ति और द्रव में शक्ति का अनुपात $\frac{P}{P'} = \frac{0.08}{0.02} = 4$ है।
अतः,$x = 4$।

(B) दिया गया है: लेंस का अपवर्तनांक $\mu_l = 1.5$, द्रव का अपवर्तनांक $\mu_m = 1.6$, हवा में फोकस दूरी $f_a = 20 \,cm$ है।
लेंस मेकर सूत्र के अनुसार, हवा में फोकस दूरी $\frac{1}{f_a} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ होती है।
द्रव के लिए, फोकस दूरी $f_m$ का मान $\frac{1}{f_m} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{f_m}{f_a} = \frac{(\mu_l - 1)}{\left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right)} = \frac{(\mu_l - 1) \mu_m}{(\mu_l - \mu_m)}$.
मान रखने पर: $\frac{f_m}{20} = \frac{(1.5 - 1) \times 1.6}{(1.5 - 1.6)} = \frac{0.5 \times 1.6}{-0.1} = \frac{0.8}{-0.1} = -8$.
अतः, $f_m = 20 \times (-8) = -160 \,cm$.

(A) वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,आवर्धन $m = -2$ है。
चूंकि $m = \frac{v}{u}$,हमारे पास $\frac{v}{u} = -2$ है,जिसका अर्थ है $v = -2u$。
वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $45 \,cm$ दी गई है,और उत्तल लेंस द्वारा निर्मित वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,वस्तु और प्रतिबिंब विपरीत दिशाओं में होते हैं,इसलिए दूरी $|v| + |u| = 45$ है。
$v = -2u$ (जहाँ $u$ ऋणात्मक है) प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|-2u| + |u| = 45$ प्राप्त होता है,इसलिए $3|u| = 45$,जिससे $|u| = 15 \,cm$ मिलता है。
अतः,$u = -15 \,cm$ और $v = +30 \,cm$。
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{30} - \frac{1}{-15} = \frac{1}{30} + \frac{2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$。
इसलिए,$f = 10 \,cm$。

(D) न्यूटन के लेंस समीकरण के अनुसार,जब दूरियों $x$ और $y$ को फोकस बिंदुओं से मापा जाता है,तो संबंध $xy = f^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए ग्राफ से,हम वक्र पर एक बिंदु देख सकते हैं जहाँ $x = 20 \ cm$ और $y = 20 \ cm$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$20 \times 20 = f^2$
$f^2 = 400$
$f = 20 \ cm$।
वैकल्पिक रूप से,ग्राफ दिखाता है कि जब $x = 10 \ cm$ है,तो $y = 40 \ cm$ (y-अक्ष पर अंतःखंड से),और जब $x = 40 \ cm$ है,तो $y = 10 \ cm$ (x-अक्ष पर अंतःखंड से)।
$xy = f^2$ का उपयोग करने पर,हमें $10 \times 40 = f^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f^2 = 400$,इसलिए $f = 20 \ cm$।

(C) उत्तल लेंस द्वारा निर्मित आभासी प्रतिबिंब के लिए, आवर्धन $m = +3$ है।
चूंकि $m = \frac{v}{u}$, इसलिए $v = 3u$ है।
वस्तु और आभासी प्रतिबिंब दोनों लेंस के एक ही तरफ हैं। मान लीजिए वस्तु की दूरी $u$ है (जहाँ $u$ ऋणात्मक है, इसलिए $u = -x$) और प्रतिबिंब की दूरी $v$ है (जहाँ $v = -3x$)।
वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $|v - u| = 20 \,cm$ है।
$|-3x - (-x)| = 20 \,cm$
$|-2x| = 20 \,cm \implies 2x = 20 \,cm \implies x = 10 \,cm$.
अतः, $u = -10 \,cm$ और $v = -30 \,cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-30} - \frac{1}{-10} = \frac{-1 + 3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
इसलिए, $f = 15 \,cm$.

(B) लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ है,जिसे $f^{-1} = v^{-1} - u^{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$-f^{-2} df = -v^{-2} dv - u^{-2} du$.
$-1$ से गुणा करने पर:
$\frac{df}{f^2} = \frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2}$.
त्रुटियों $du$ और $dv$ के लिए अल्पतमांक $\Delta u$ और $\Delta v$ रखने पर,फोकस दूरी में त्रुटि $\Delta f$ होगी:
$\Delta f = f^2 \left[ \frac{\Delta u}{u^2} + \frac{\Delta v}{v^2} \right]$.

(C) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
दिया गया है: $f = +20 \,cm$, $R_1 = +15 \,cm$, $R_2 = -30 \,cm$ (उत्तल लेंस के लिए)।
मान रखने पर:
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{-30} \right)$
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{15} + \frac{1}{30} \right)$
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{2+1}{30} \right)$
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{3}{30} \right)$
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} \right)$
$\mu - 1 = \frac{10}{20} = 0.5$
$\mu = 1 + 0.5 = 1.5$

(A) कथन $(I)$ गलत है क्योंकि अवतल लेंस एक अपसारी लेंस है। यह दूसरी ओर वक्रता केंद्र पर वास्तविक प्रतिबिंब नहीं बना सकता है। अवतल लेंस द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब हमेशा आभासी,सीधा और छोटा होता है,और यह वस्तु की ओर ही प्रकाशिक केंद्र और मुख्य फोकस के बीच बनता है।
कथन $(II)$ सही है क्योंकि अवतल लेंस हमेशा प्रकाश किरणों को फैलाता (अपसारित करता) है,जिसके परिणामस्वरूप लेंस के सामने वस्तु की किसी भी स्थिति के लिए एक आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनता है।
अतः,कथन $(I)$ गलत है और कथन $(II)$ सही है।

(C) एक पतले लेंस के लिए, आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f}{f+u}$ है, जहाँ $f$ फोकस दूरी है और $u$ वस्तु की दूरी है (चिह्न परिपाटी के अनुसार, $u$ ऋणात्मक लिया जाता है)।
यहाँ $f = +20 \,cm$ दिया गया है। $u_1 = -25 \,cm$ के लिए, $m_{25} = \frac{20}{20 - 25} = \frac{20}{-5} = -4$.
$u_2 = -50 \,cm$ के लिए, $m_{50} = \frac{20}{20 - 50} = \frac{20}{-30} = -\frac{2}{3}$.
अनुपात $\frac{m_{25}}{m_{50}} = \frac{-4}{-2/3} = 4 \times \frac{3}{2} = 6$.

(A) लेंस से गुजरने वाली किरण का व्यवहार लेंस सामग्री $(\mu_2)$ और आसपास के माध्यमों ($\mu_1$ और $\mu_3$) के सापेक्ष अपवर्तनांक पर निर्भर करता है।
$(A)$ $\mu_1 < \mu_2$: लेंस दाईं ओर के माध्यम से सघन है। उत्तल लेंस $(p)$ के लिए,किरण पहली सतह पर अभिलंब की ओर मुड़ती है और दूसरी सतह पर अभिलंब से दूर मुड़ती है,जिसके परिणामस्वरूप अभिसरण होता है। अवतल लेंस $(r)$ के लिए,यह अपसरण का कारण बनता है।
$(B)$ $\mu_1 > \mu_2$: लेंस दाईं ओर के माध्यम से विरल है। उत्तल लेंस एक अपसारी लेंस $(q)$ के रूप में कार्य करता है,और अवतल लेंस एक अभिसारी लेंस (s,t) के रूप में कार्य करता है।
$(C)$ $\mu_2 = \mu_3$: लेंस सामग्री और बाईं ओर के माध्यम का अपवर्तनांक समान है। किरण दूसरी सतह से बिना मुड़े गुजर जाती है।
$(D)$ $\mu_2 > \mu_3$: लेंस बाईं ओर के माध्यम से सघन है। किरण दूसरी सतह पर अभिलंब की ओर मुड़ती है।
शर्तों का मिलान करने पर:
$(A)$ $\mu_1 < \mu_2$ का मिलान (p,r) से होता है।
$(B)$ $\mu_1 > \mu_2$ का मिलान (q,s,t) से होता है।
$(C)$ $\mu_2 = \mu_3$ का मिलान (p,r,t) से होता है।
$(D)$ $\mu_2 > \mu_3$ का मिलान (q,s) से होता है।

(B) दिया गया है: आपतित प्रकाश की तीव्रता $I_0 = 1.3 \text{ kW m}^{-2}$,फोकस दूरी $f = 20 \text{ cm}$।
मान लीजिए कि लेंस के द्वारक की त्रिज्या $R$ है और लेंस से $d = 22 \text{ cm}$ की दूरी पर प्रकाश पुंज की त्रिज्या $r$ है।
इस तल की मुख्य फोकस $F$ से दूरी $x = d - f = 22 \text{ cm} - 20 \text{ cm} = 2 \text{ cm}$ है।
समरूप त्रिभुजों $\Delta ABF$ और $\Delta PQF$ से (जहाँ $AB$ लेंस का व्यास है और $PQ$ दिए गए तल पर पुंज का व्यास है):
$\frac{r}{R} = \frac{x}{f} = \frac{2 \text{ cm}}{20 \text{ cm}} = \frac{1}{10}$।
लेंस का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है और दिए गए तल पर पुंज का क्षेत्रफल $a = \pi r^2$ है।
अतः,$\frac{a}{A} = \left(\frac{r}{R}\right)^2 = \left(\frac{1}{10}\right)^2 = \frac{1}{100}$।
चूंकि लेंस पर आपतित कुल शक्ति $P$ संरक्षित रहती है और यह $a$ क्षेत्रफल से होकर गुजरती है,इसलिए इस तल पर तीव्रता $I$ का मान $I \times a = I_0 \times A$ द्वारा प्राप्त होता है।
इसलिए,$I = I_0 \times \left(\frac{A}{a}\right) = 1.3 \times 100 = 130 \text{ kW m}^{-2}$।

(D) जब $n_1 = n_2 = n$ होता है,तो लेंस लेंस मेकर सूत्र के अनुसार $f$ फोकस दूरी वाले एक एकल उत्तल लेंस के रूप में कार्य करता है:
$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (n - 1) \frac{2}{R} \implies f = \frac{R}{2(n - 1)}$.
दूसरे मामले में,लेंस संपर्क में रखे दो समतल-उत्तल लेंसों से बना है। उनकी फोकस दूरियाँ हैं:
$\frac{1}{f_1} = \frac{n - 1}{R}$ और $\frac{1}{f_2} = \frac{(n + \Delta n) - 1}{R}$।
तुल्य फोकस दूरी $f' = f + \Delta f$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{f + \Delta f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{n - 1 + n + \Delta n - 1}{R} = \frac{2n + \Delta n - 2}{R} = \frac{2(n - 1) + \Delta n}{R}$।
चूंकि $f = \frac{R}{2(n - 1)}$,हमारे पास $\frac{1}{f} = \frac{2(n - 1)}{R}$ है।
$\frac{1}{f + \Delta f} = \frac{1}{f} + \frac{\Delta n}{R} = \frac{1}{f} \left( 1 + \frac{\Delta n}{R} \cdot f \right) = \frac{1}{f} \left( 1 + \frac{\Delta n}{R} \cdot \frac{R}{2(n - 1)} \right) = \frac{1}{f} \left( 1 + \frac{\Delta n}{2(n - 1)} \right)$।
छोटे $x$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^{-1} \approx 1 - x$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f + \Delta f} \approx \frac{1}{f} \left( 1 - \frac{\Delta n}{2(n - 1)} \right) \implies f + \Delta f \approx f \left( 1 - \frac{\Delta n}{2(n - 1)} \right) = f - f \frac{\Delta n}{2(n - 1)}$।
इस प्रकार,$\frac{\Delta f}{f} = -\frac{\Delta n}{2(n - 1)}$।
$(1)$ संबंध $\frac{\Delta f}{f} = -\frac{\Delta n}{2(n - 1)}$ $R$ से स्वतंत्र है,इसलिए यह अवतल सतहों के लिए भी सही है। सही।
$(2)$ चूंकि $1 < n < 2$,तो $n - 1 < 1$,इसलिए $2(n - 1) < 2$। इस प्रकार,$\left| \frac{\Delta f}{f} \right| = \frac{1}{2(n - 1)} \left| \frac{\Delta n}{n} \right| \cdot n = \frac{n}{2(n - 1)} \left| \frac{\Delta n}{n} \right|$। $n < 2$ के लिए $\frac{n}{2(n - 1)} > 1$ होने के कारण,$\left| \frac{\Delta f}{f} \right| > \left| \frac{\Delta n}{n} \right|$। गलत।
$(3)$ $|\Delta f| = f \cdot \frac{\Delta n}{2(n - 1)} = 20 \cdot \frac{10^{-3}}{2(1.5 - 1)} = 20 \cdot \frac{10^{-3}}{1} = 0.02 \text{ cm}$। कथन में $0.04 \text{ cm}$ दिया गया है। गलत।
$(4)$ यदि $\frac{\Delta n}{n} < 0$ है,तो $\Delta n < 0$ है। $\frac{\Delta f}{f} = -\frac{\Delta n}{2(n - 1)}$ से,यदि $\Delta n < 0$ है,तो $\frac{\Delta f}{f} > 0$ होगा। सही।

(B) $1$. उत्तल लेंस की फोकस दूरी $(f_1)$:
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f_1} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
$\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{20} - \left( \frac{1}{-20} \right) \right] = 0.5 \times \left( \frac{2}{20} \right) = \frac{1}{20}$
$\Rightarrow f_1 = +20 \ cm$
$2$. अवतल लेंस की फोकस दूरी $(f_2)$:
$\frac{1}{f_2} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
$\frac{1}{f_2} = (1.5 - 1) \left[ -\frac{1}{20} - \frac{1}{20} \right] = 0.5 \times \left( -\frac{2}{20} \right) = -\frac{1}{20}$
$\Rightarrow f_2 = -20 \ cm$
$3$. लेंस $L_1$ के लिए:
वस्तु दूरी $u_1 = -10 \ cm$,फोकस दूरी $f_1 = +20 \ cm$.
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1} \Rightarrow \frac{1}{v_1} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10} = -\frac{1}{20} \Rightarrow v_1 = -20 \ cm$
आवर्धन $m_1 = \frac{v_1}{u_1} = \frac{-20}{-10} = 2$
$4$. लेंस $L_2$ के लिए:
$L_1$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $L_2$ के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंसों के बीच की दूरी $10 \ cm$ है।
वस्तु दूरी $u_2 = -(20 + 10) = -30 \ cm$,फोकस दूरी $f_2 = -20 \ cm$.
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2} \Rightarrow \frac{1}{v_2} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v_2} = -\frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{-3 - 2}{60} = -\frac{5}{60} = -\frac{1}{12} \Rightarrow v_2 = -12 \ cm$
आवर्धन $m_2 = \frac{v_2}{u_2} = \frac{-12}{-30} = \frac{2}{5} = 0.4$
$5$. कुल आवर्धन:
$m = m_1 \times m_2 = 2 \times 0.4 = 0.8$

(C) दिया गया है,प्रतिबिंब दूरी $v = 8 \ m$ (लेंस के पीछे बनने वाला वास्तविक प्रतिबिंब)।
आवर्धन $m = -\frac{1}{3}$ है।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर,$-\frac{1}{3} = \frac{8}{u}$,जिसका अर्थ है $u = -24 \ m$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{f} = \frac{1}{8} - \frac{1}{-24} = \frac{3+1}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$। अतः,$f = 6 \ m$।
अपवर्तनांक $\mu$ निर्वात में तरंगदैर्ध्य और माध्यम में तरंगदैर्ध्य के अनुपात द्वारा दिया जाता है: $\mu = \frac{\lambda_0}{\lambda} = \frac{1}{2/3} = 1.5 = \frac{3}{2}$।
समतल-उत्तल लेंस के लिए लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$।
यहाँ,$R_1 = R$ और $R_2 = -\infty$ (या इसके विपरीत),इसलिए $\frac{1}{6} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} \right) = 0.5 \times \frac{1}{R} = \frac{1}{2R}$।
अतः,$2R = 6$,जिससे $R = 3 \ m$ प्राप्त होता है।

(B) छड़ मुख्य अक्ष के साथ $\frac{2 \pi}{3} \text{ rad}$ $(120^{\circ})$ का कोण बनाती है। ऋणात्मक x-अक्ष के साथ कोण $60^{\circ}$ है। छड़ का क्षैतिज घटक $L_x = 2 \cos(60^{\circ}) = 1 \text{ cm}$ और ऊर्ध्वाधर घटक $L_y = 2 \sin(60^{\circ}) = \sqrt{3} \text{ cm}$ है।
लेंस से वस्तु की दूरी $u = -\frac{40}{3} \text{ cm}$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{3}{40} = \frac{4-3}{40} = \frac{1}{40}$,इसलिए $v = 40 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
पार्श्व आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{40}{-40/3} = -3$ है।
प्रतिबिंब की ऊँचाई $h_i = |m| \cdot L_y = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \text{ cm}$ है।
अनुदैर्ध्य आवर्धन $m_L = -\frac{v^2}{u^2} = -(\frac{40}{-40/3})^2 = -9$ है।
मुख्य अक्ष पर प्रतिबिंब की लंबाई $L'_x = |m_L| \cdot L_x = 9 \cdot 1 = 9 \text{ cm}$ है।
प्रतिबिंब द्वारा मुख्य अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\alpha$,$\tan \alpha = \frac{h_i}{L'_x} = \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\alpha = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$.
इसलिए,$n = 6$.

(D) पतले लेंस की शक्ति लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
एक सममित उत्तल लेंस के लिए, $R_1 = R$ और $R_2 = -R$, इसलिए $P = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = 4 \text{D}$.
जब लेंस को $AB$ तल (मुख्य अक्ष के लंबवत) द्वारा काटा जाता है, तो प्रत्येक आधे भाग की फोकस दूरी दोगुनी हो जाती है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक आधे भाग की शक्ति $P' = P/2 = 2 \text{D}$ हो जाती है।
जब इस आधे भाग को $CD$ तल (मुख्य अक्ष के समानांतर) द्वारा और काटा जाता है, तो वक्रता त्रिज्या समान रहती है, लेकिन प्रभावी एपर्चर (चौड़ाई) आधी हो जाती है। हालाँकि, लेंस की शक्ति वक्रता त्रिज्या और अपवर्तनांक पर निर्भर करती है, एपर्चर पर नहीं। इसलिए, चारों भागों में से प्रत्येक की शक्ति आधे लेंस की शक्ति के समान रहती है, जो $P'' = 2 \text{D}$ है।

(A) प्रारंभिक ऑप्टिकल पावर $P = 2.5 \ D$ है। प्रारंभिक फोकल लंबाई $F = \frac{1}{P} = \frac{1}{2.5} = 0.4 \ m$ है।
जब पावर में $0.1 \ D$ की वृद्धि होती है,तो नई पावर $P' = 2.5 + 0.1 = 2.6 \ D$ हो जाती है।
नई फोकल लंबाई $F' = \frac{1}{P'} = \frac{1}{2.6} \ m$ है।
फोकल लंबाई में सापेक्ष कमी $\frac{F - F'}{F} = 1 - \frac{F'}{F}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $1 - \frac{1/2.6}{1/2.5} = 1 - \frac{2.5}{2.6} = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$ प्राप्त होता है।
इस मान की गणना करने पर,$\frac{1}{26} \approx 0.03846$,जो लगभग $0.04$ है।

(B) समतल-उत्तल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है। समतल-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = \infty$ होता है।
हवा में पहले लेंस के लिए $(\mu_a = 1)$:
$\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = 0.5 \times 0.5 = 0.25$
$f_1 = 4 \ cm$.
द्रव में दूसरे लेंस के लिए $(\mu_l = 1.2)$:
$\frac{1}{f_2} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - 0 \right) = \left( \frac{1.5}{1.2} - 1 \right) \left( \frac{1}{3} \right)$
$\frac{1}{f_2} = (1.25 - 1) \times \frac{1}{3} = 0.25 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$
$f_2 = 12 \ cm$.
अतः,$f_1 : f_2 = 4 : 12 = 1 : 3$.

(A) दिया गया है:
ड्रोन की ऊँचाई,$H = 18 \ \text{km} = 18 \times 10^3 \ \text{m}$.
लैंडस्केप का क्षेत्रफल,$A_{\text{landscape}} = 400 \ \text{km}^2 = (20 \ \text{km}) \times (20 \ \text{km})$.
अतः,लैंडस्केप की भुजा की लंबाई $x = 20 \ \text{km} = 20 \times 10^3 \ \text{m}$ है।
कैमरा फिल्म का आकार $2 \ \text{cm} \times 2 \ \text{cm}$ है,इसलिए प्रतिबिंब की भुजा की लंबाई $y = 2 \ \text{cm} = 2 \times 10^{-2} \ \text{m}$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुण का उपयोग करते हुए,वस्तु की भुजा की लंबाई और प्रतिबिंब की भुजा की लंबाई का अनुपात वस्तु की दूरी और फोकल लंबाई के अनुपात के बराबर होता है (क्योंकि दूर की वस्तु के लिए प्रतिबिंब फोकल तल पर बनता है):
$\frac{x}{y} = \frac{H}{f}$
$\frac{20 \ \text{km}}{2 \ \text{cm}} = \frac{18 \ \text{km}}{f}$
$\frac{20 \times 10^3 \ \text{m}}{2 \times 10^{-2} \ \text{m}} = \frac{18 \ \text{km}}{f}$
$10^6 = \frac{18 \ \text{km}}{f}$
$f = \frac{18 \ \text{km}}{10^6} = 18 \times 10^{-6} \ \text{km} = 18 \times 10^{-6} \times 10^5 \ \text{cm} = 1.8 \ \text{cm}$.
अतः,लेंस की फोकल लंबाई $1.8 \ \text{cm}$ है।

(B) लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
वस्तु दूरी $u$ (जहाँ $u$ ऋणात्मक है) और प्रतिबिंब दूरी $v$ (जहाँ $v$ धनात्मक है) के लिए चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए,हम $u = -|u|$ और $v = |v|$ प्रतिस्थापित करते हैं।
सूत्र $\frac{1}{|v|} - \frac{1}{-|u|} = \frac{1}{f}$ हो जाता है,जो सरल होकर $\frac{1}{|v|} + \frac{1}{|u|} = \frac{1}{f}$ बन जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{1}{|v|} = \frac{1}{f} - \frac{1}{|u|} = \frac{|u|-f}{f|u|}$ प्राप्त होता है,इसलिए $|v| = \frac{f|u|}{|u|-f}$।
इसे $|v| - f = \frac{f|u|}{|u|-f} - f = \frac{f|u| - f(|u|-f)}{|u|-f} = \frac{f^2}{|u|-f}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस प्रकार,$(|v|-f)(|u|-f) = f^2$। यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) का समीकरण है जिसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) $|u|=f$ और $|v|=f$ पर हैं। समाधान छवि में दिखाया गया ग्राफ इस संबंध का प्रतिनिधित्व करता है।

(D) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
उत्तल लेंस के लिए,मान लें $R_1 = R$ और $R_2 = -R$ है। अतः,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \frac{2}{R}$।
हवा में: $\frac{1}{24} = (1.5 - 1) \frac{2}{R} = 0.5 \times \frac{2}{R} = \frac{1}{R}$। अतः,$R = 24 \ cm$।
पानी में: $\frac{1}{f'} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \frac{2}{R} = \left( \frac{1.5}{1.33} - 1 \right) \frac{2}{24}$।
$\mu_w = 1.33 \approx \frac{4}{3}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{f'} = \left( \frac{1.5}{4/3} - 1 \right) \frac{1}{12} = \left( \frac{4.5}{4} - 1 \right) \frac{1}{12} = (1.125 - 1) \frac{1}{12} = 0.125 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{96}$।
अतः,$f' = 96 \ cm$।

(B) बिंदु $A$ के लिए,वस्तु की दूरी $u = -30 \ cm$ और फोकस दूरी $f = +20 \ cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$.
अतः,$v = 60 \ cm$ है। आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{60}{-30} = -2$ है।
एक छोटी वस्तु के लिए,अनुदैर्ध्य आवर्धन $m_L = \frac{dv}{du} = m^2 = (-2)^2 = 4$ है। प्रतिबिंब की स्थिति में परिवर्तन $dv = m^2 du = 4 \times 1 \ cm = 4 \ cm$ है।
अनुप्रस्थ आवर्धन $m = \frac{h_i}{h_o} = -2$ है,इसलिए प्रतिबिंब की ऊँचाई $h_i = m \times h_o = -2 \times 2 \ cm = -4 \ cm$ है।
प्रतिबिंब उल्टा और वास्तविक है। प्रतिबिंब द्वारा मुख्य अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{|h_i|}{|dv|} = \frac{4}{4} = 1$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि प्रतिबिंब उल्टा है,इसलिए कोण $-45^{\circ}$ है।

(B) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
द्वि-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होता है,इसलिए $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \frac{2}{R}$।
यहाँ $R = 1/6 \ cm$ दिया गया है,इसलिए शक्ति $\frac{2}{R} = 2 \times 6 = 12 \ cm^{-1}$ के समानुपाती है।
नए लेंस के लिए,हमें $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = 12$ की आवश्यकता है।
विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $R_1 = 1/5 \ cm$ और $R_2 = 1/7 \ cm$,जिससे $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = 5 + 7 = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = +10 \ cm$ और $R_2 = -15 \ cm$ है।
फोकस दूरी $f = +12 \ cm$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-15} \right)$.
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} \right)$.
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{3 + 2}{30} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{5}{30} \right)$.
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{6} \right)$.
$\mu - 1 = \frac{6}{12} = 0.5$.
$\mu = 1.5$.

(B) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_L}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
हवा के लिए,$\mu_m = 1$ और $f = 12 \ cm$:
$\frac{1}{12} = (1.6 - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
$\frac{1}{12} = 0.6(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
$(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = \frac{1}{12 \times 0.6} = \frac{1}{7.2} \ cm^{-1}$.
पानी के लिए,$\mu_m = 1.28$:
$\frac{1}{f_w} = (\frac{1.6}{1.28} - 1)(\frac{1}{7.2})$
$\frac{1}{f_w} = (1.25 - 1)(\frac{1}{7.2}) = 0.25 \times \frac{1}{7.2} = \frac{1}{4 \times 7.2} = \frac{1}{28.8} \ cm^{-1}$.
अतः,$f_w = 28.8 \ cm = 288 \ mm$.

(D) यह प्रणाली एक द्रव लेंस (समतल-अवतल) और एक कांच के लेंस (अवतल-उत्तल) से बनी है।
द्रव लेंस के लिए: $\mu_l = 1.3$,$R_1 = \infty$,$R_2 = -30 \ cm$.
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f_l} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.3 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-30} \right) = 0.3 \times \frac{1}{30} = \frac{0.3}{30} = \frac{1}{100} \ cm^{-1}$.
कांच के लेंस के लिए: $\mu_g = 1.5$,$R_1 = -30 \ cm$,$R_2 = -20 \ cm$.
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f_g} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{-30} - \frac{1}{-20} \right) = 0.5 \left( \frac{-2 + 3}{60} \right) = 0.5 \times \frac{1}{60} = \frac{1}{120} \ cm^{-1}$.
कुल फोकस दूरी $f$ के लिए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_l} + \frac{1}{f_g} = \frac{1}{100} + \frac{1}{120} = \frac{6 + 5}{600} = \frac{11}{600} \ cm^{-1}$.
अतः,$f = \frac{600}{11} \ cm$.

(B) सूर्य का कोणीय व्यास $\theta = 0.5^{\circ}$ दिया गया है।
सूत्र में उपयोग करने के लिए, हम कोण को रेडियन में बदलते हैं:
$\theta = 0.5^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} \ \text{रेडियन}$.
जब सूर्य जैसी दूर की वस्तु का प्रतिबिंब उत्तल लेंस के फोकस तल पर बनता है, तो प्रतिबिंब का व्यास $d$, फोकस दूरी $f$ और कोणीय व्यास $\theta$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\theta = \frac{d}{f}$
यहाँ $f = 50 \ \text{cm} = 0.5 \ \text{m}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$d = f \times \theta = 0.5 \ \text{m} \times 0.5^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}$
$d = 0.5 \times 0.5 \times \frac{3.14159}{180} \ \text{m}$
$d \approx 0.004363 \ \text{m}$
$d \approx 4.36 \ \text{mm}$.

(D) लेंस की शक्ति $P = 2 \ D$ दी गई है।
मीटर में फोकस दूरी $f = \frac{1}{P} = \frac{1}{2} = 0.5 \ m = 50 \ cm$ है।
उभयोत्तल लेंस के लिए लेंस निर्माता का सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
चूंकि यह उभयोत्तल है,इसलिए $R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$ प्राप्त होता है।
$R$ के लिए हल करने पर,$R = 2f(\mu - 1)$ मिलता है।
दिए गए मान $f = 50 \ cm$ और $\mu = 1.25$ रखने पर:
$R = 2 \times 50 \times (1.25 - 1) = 100 \times 0.25 = 25 \ cm$।

(D) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
समतल-उत्तल लेंस के लिए,उत्तल सतह की वक्रता त्रिज्या $R_1 = +15 \ cm$ है और समतल सतह के लिए $R_2 = \infty$ है।
दिया गया है $\mu = 1.6$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{\infty} \right)$.
$\frac{1}{f} = 0.6 \times \frac{1}{15} = \frac{0.6}{15} = \frac{6}{150} = \frac{1}{25} \ cm^{-1}$.
लेंस की शक्ति $P$ डायोप्टर $(D)$ में $P = \frac{100}{f(cm)}$ द्वारा दी जाती है।
$P = \frac{100}{25} = +4 \ D$.

(D) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
हवा के लिए: $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) K = 0.5 K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
दिया गया है $f_a = 8 \ cm$,इसलिए $\frac{1}{8} = 0.5 K \Rightarrow K = \frac{1}{4}$.
पानी के लिए: $\frac{1}{f_w} = (\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1) K$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f_w} = (\frac{1.5}{4/3} - 1) \times \frac{1}{4} = (\frac{4.5}{4} - 1) \times \frac{1}{4} = (1.125 - 1) \times \frac{1}{4} = 0.125 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{32}$.
अतः,$f_w = 32 \ cm$.

(C) लेंस के लिए आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f}{f+u}$ है,जहाँ $f$ फोकस दूरी है और $u$ वस्तु की दूरी है (चिह्न परिपाटी के अनुसार,$u$ ऋणात्मक लिया जाता है)।
उभयोत्तल लेंस के लिए,$f = +20 \ cm$.
जब $u_1 = -25 \ cm$ हो,तो $m_{25} = \frac{20}{20 + (-25)} = \frac{20}{-5} = -4$.
जब $u_2 = -50 \ cm$ हो,तो $m_{50} = \frac{20}{20 + (-50)} = \frac{20}{-30} = -\frac{2}{3}$.
अनुपात $\frac{m_{25}}{m_{50}} = \frac{-4}{-2/3} = 4 \times \frac{3}{2} = 6$.

(A) उभयोत्तल लेंस के लिए,लेंस निर्माता का सूत्र है: $\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$।
यहाँ $n = 1.5$,$R_{1} = 20 \ cm$,और $R_{2} = -20 \ cm$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \right) = 0.5 \left( \frac{2}{20} \right) = 0.5 \times 0.1 = 0.05$।
अतः,$f = \frac{1}{0.05} = 20 \ cm$।
अवतल दर्पण की फोकस दूरी लेंस की फोकस दूरी के बराबर है,इसलिए $f_{mirror} = 20 \ cm$।
अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी ऋणात्मक होती है,इसलिए $f = -20 \ cm$।
वक्रता त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = 2f$ है,इसलिए $R = 2(-20 \ cm) = -40 \ cm$।