Combination of Lenses Questions in Hindi

(A) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = +40 \; cm$ है और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -25 \; cm$ है।
लेंस की शक्ति $P = \frac{100}{f(cm)} \; D$ द्वारा दी जाती है।
उत्तल लेंस की शक्ति $P_1 = \frac{100}{40} = +2.5 \; D$ है।
अवतल लेंस की शक्ति $P_2 = \frac{100}{-25} = -4.0 \; D$ है।
संपर्क में रखे पतले लेंसों के संयोजन की शक्ति उनकी व्यक्तिगत शक्तियों का बीजगणितीय योग होती है:
$P = P_1 + P_2$
$P = 2.5 \; D + (-4.0 \; D) = -1.5 \; D$.

(D) संपर्क में रखे दो पतले लेंसों की फोकस दूरी का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ है।
दिया गया है: $F = 80 \ cm$ और $f_1 = 20 \ cm$.
मान रखने पर: $\frac{1}{80} = \frac{1}{20} + \frac{1}{f_2}$.
$f_2$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{f_2} = \frac{1}{80} - \frac{1}{20} = \frac{1 - 4}{80} = -\frac{3}{80}$.
अतः,$f_2 = -\frac{80}{3} \ cm$.
लेंस की शक्ति $P$ डायोप्टर $(D)$ में $P = \frac{100}{f(cm)}$ द्वारा दी जाती है।
$P_2 = \frac{100}{-80/3} = -\frac{300}{80} = -3.75 \ D$.

(A) संपर्क में रखे गए पतले लेंसों के संयोजन की क्षमता उनकी व्यक्तिगत क्षमताओं के बीजगणितीय योग के बराबर होती है: $P = P_1 + P_2$।
यहाँ $P_1 = +12 \ D$ और $P_2 = -2 \ D$ दिया गया है।
अतः,कुल क्षमता $P = 12 \ D + (-2 \ D) = 10 \ D$ है।
सेंटीमीटर में संयोजन की फोकस दूरी $F$ ज्ञात करने का सूत्र $F = \frac{100}{P}$ है।
$P$ का मान रखने पर,हमें $F = \frac{100}{10} = 10 \ cm$ प्राप्त होता है।

(C) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = +20 \ cm$ है और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -20 \ cm$ है।
जब उन्हें संपर्क में रखा जाता है,तो तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र है: $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{F} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-20} = 0$।
इसका अर्थ है कि $F = \infty$।
अनंत फोकस दूरी वाला लेंस संयोजन एक समतल कांच की स्लैब की तरह कार्य करता है।
समतल कांच की स्लैब के लिए,आवर्धन $m = +1$ होता है।
इसलिए,प्राप्त प्रतिबिंब वस्तु के आकार का ही और सीधा होता है।

(B) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = +10 \ cm$ है।
उसी पदार्थ और उसी फोकस दूरी वाले अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -10 \ cm$ है।
जब दो पतले लेंसों को संपर्क में रखा जाता है,तो तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-10} = \frac{1}{10} - \frac{1}{10} = 0$
अतः,$\frac{1}{F} = 0$,जिसका अर्थ है $F = \infty$.
इस प्रकार,संयोजन की फोकस दूरी $Infinity$ होगी।

(C) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = +84 \ cm$ है और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -12 \ cm$ है।
संपर्क में रखे पतले लेंसों के संयोजन के लिए,तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{84} + \frac{1}{-12} = \frac{1 - 7}{84} = \frac{-6}{84} = -\frac{1}{14} \ cm^{-1}$
अतः,$F = -14 \ cm$.
डायोप्टर $(D)$ में संयोजन की शक्ति $P$ का सूत्र $P = \frac{100}{F(cm)}$ है:
$P = \frac{100}{-14} = -\frac{50}{7} \ D$.

(D) जब $f_1$ और $f_2$ फोकस दूरी वाले दो पतले लेंसों को संपर्क में रखा जाता है,तो संयोजन की तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
दिया गया है:
$f_1 = + 60 \ cm$
$f_2 = - 20 \ cm$
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{60} + \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{60} - \frac{1}{20}$
$\frac{1}{F} = \frac{1 - 3}{60}$
$\frac{1}{F} = \frac{-2}{60}$
$\frac{1}{F} = -\frac{1}{30}$
अतः,$F = -30 \ cm$.

(B) दोनों लेंसों की फोकस दूरी $f_1 = 20 \; cm = 0.2 \; m$ और $f_2 = 25 \; cm = 0.25 \; m$ है।
व्यक्तिगत लेंसों की शक्ति $P_1 = \frac{1}{f_1} = \frac{1}{0.2} = 5 \; D$ और $P_2 = \frac{1}{f_2} = \frac{1}{0.25} = 4 \; D$ है।
जब दो पतले लेंस संपर्क में रखे जाते हैं,तो संयोजन की प्रभावी शक्ति $P = P_1 + P_2$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$P = 5 \; D + 4 \; D = 9 \; D$।

(A) लेंसों के संयोजन की शक्ति व्यक्तिगत शक्तियों के योग द्वारा दी जाती है: $P = P_1 + P_2$.
यहाँ $P_1 = 6 \ D$ और $P_2 = -2 \ D$ दिया गया है।
इसलिए,संयुक्त शक्ति $P = 6 \ D + (-2 \ D) = 4 \ D$ है।
संयोजन की फोकस दूरी $f$ कुल शक्ति का व्युत्क्रम होती है: $f = \frac{1}{P}$.
$P$ का मान रखने पर,हमें $f = \frac{1}{4} \ m = 0.25 \ m$ प्राप्त होता है।

(B) जब लेंस संपर्क में होते हैं,तो प्रभावी फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ होता है। वस्तु अनंत पर है,इसलिए प्रतिबिंब $F = 60 \ cm$ पर बनता है। अतः,$\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{60}$ ... $(i)$.
जब लेंस $d = 10 \ cm$ की दूरी पर होते हैं,तो समतुल्य फोकस दूरी $F'$ का सूत्र $\frac{1}{F'} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$ होता है। प्रतिबिंब संयोजन की ओर $30 \ cm$ खिसक जाता है,इसलिए नई प्रतिबिंब दूरी $60 \ cm - 30 \ cm = 30 \ cm$ है। अतः,$\frac{1}{30} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{10}{f_1 f_2}$ ... $(ii)$.
$(i)$ का मान $(ii)$ में रखने पर: $\frac{1}{30} = \frac{1}{60} - \frac{10}{f_1 f_2} \implies \frac{10}{f_1 f_2} = \frac{1}{60} - \frac{1}{30} = -\frac{1}{60} \implies f_1 f_2 = -600$.
$(i)$ से,$\frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2} = \frac{1}{60} \implies f_1 + f_2 = \frac{-600}{60} = -10$.
समीकरण $x^2 - (f_1+f_2)x + f_1 f_2 = 0 \implies x^2 + 10x - 600 = 0 \implies (x+30)(x-20) = 0$ को हल करने पर,फोकस दूरियाँ $20 \ cm$ और $-30 \ cm$ प्राप्त होती हैं।

(C) अवर्णक संयोजन के लिए,शर्त $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\omega_1$ और $\omega_2$ दो लेंसों की विक्षेपण क्षमता (dispersive power) हैं,और $f_1$ और $f_2$ उनकी संबंधित फोकस दूरियाँ हैं।
चूंकि विक्षेपण क्षमता $\omega_1$ और $\omega_2$ हमेशा धनात्मक होती हैं,इसलिए योग शून्य होने के लिए फोकस दूरियों $f_1$ और $f_2$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि एक लेंस उत्तल (धनात्मक फोकस दूरी) और दूसरा अवतल (ऋणात्मक फोकस दूरी) होना चाहिए।
इसलिए,एक अवर्णक संयोजन $1$ उत्तल लेंस और $1$ अवतल लेंस को जोड़कर बनाया जाता है।

(D) जब $f_1$ और $f_2$ फोकस दूरी वाले दो पतले लेंस संपर्क में रखे जाते हैं,तो संयोजन की समतुल्य फोकस दूरी $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
समान हर (denominator) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{F} = \frac{f_2 + f_1}{f_1 f_2}$
लेंस की शक्ति $P$ को मीटर में उसकी फोकस दूरी के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $P = \frac{1}{F}$।
इसलिए,संयोजन की शक्ति $P = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$ है।

(B) संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों के एक्रोमैटिक संयोजन के लिए,शर्त यह है कि संयोजन की कुल विक्षेपण क्षमता शून्य होनी चाहिए।
एक्रोमैटिज्म के लिए शर्त समीकरण द्वारा दी जाती है: $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$.
पूरे समीकरण को $f_1 f_2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\omega_1 f_2 + \omega_2 f_1 = 0$.
अतः,सही शर्त $\omega_1 f_2 + \omega_2 f_1 = 0$ है।

(A) लेंस की शक्ति $P$ को $P = \frac{1}{f}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ मीटर में फोकस दूरी है।
उत्तल लेंस के लिए,फोकस दूरी धनात्मक होती है,इसलिए $f_1 = 0.5 \ m$। इसकी शक्ति $P_1 = \frac{1}{0.5} = 2 \ D$ है।
अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी ऋणात्मक होती है,इसलिए $f_2 = -1 \ m$। इसकी शक्ति $P_2 = \frac{1}{-1} = -1 \ D$ है।
जब लेंसों को संयोजित किया जाता है,तो कुल शक्ति व्यक्तिगत शक्तियों का योग होती है: $P = P_1 + P_2$।
$P = 2 \ D + (-1 \ D) = 1 \ D$।

(D) संपर्क में रखे गए पतले लेंसों के संयोजन की कुल क्षमता उनकी व्यक्तिगत क्षमताओं के बीजगणितीय योग के बराबर होती है: $P = P_1 + P_2$।
यहाँ $P_1 = +2.50 \ D$ और $P_2 = -3.75 \ D$ दिया गया है।
अतः,कुल क्षमता $P = 2.50 \ D + (-3.75 \ D) = -1.25 \ D$।
सेंटीमीटर में फोकस दूरी $f$ ज्ञात करने का सूत्र $f = \frac{100}{P}$ है।
$P$ का मान रखने पर: $f = \frac{100}{-1.25} = -80 \ cm$।
इस प्रकार,संयोजन की फोकस दूरी $-80 \ cm$ होगी।

(D) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f}$ द्वारा दी जाती है (जहाँ $f$ मीटर में है)।
उत्तल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_1 = + 80 \; cm = + 0.8 \; m$ है।
अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_2 = - 50 \; cm = - 0.5 \; m$ है।
संयोजन की शक्ति $P = P_1 + P_2 = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ है।
मान रखने पर: $P = \frac{1}{0.8} + \frac{1}{-0.5} = 1.25 - 2.0 = - 0.75 \; D$।

(A) जब $P_1$ और $P_2$ क्षमता वाले दो पतले लेंसों को संपर्क में रखा जाता है,तो संयोजन की तुल्य क्षमता $P$ उनकी व्यक्तिगत क्षमताओं के बीजगणितीय योग के बराबर होती है।
$P = P_1 + P_2$
यहाँ $P_1 = +2 \ D$ और $P_2 = -4 \ D$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = (+2 \ D) + (-4 \ D) = -2 \ D$.
अतः,संयोजन की क्षमता $-2 \ D$ है।

(B) जब दो पतले लेंसों को संपर्क में रखा जाता है,तो संयोजन की तुल्य शक्ति $P$ व्यक्तिगत शक्तियों के बीजगणितीय योग द्वारा दी जाती है: $P = P_1 + P_2$.
यहाँ $P_1 = +6 D$ और $P_2 = -4 D$ दिया गया है।
इसलिए,$P = +6 D + (-4 D) = +2 D$.
चूंकि तुल्य शक्ति $P$ धनात्मक है,इसलिए संयोजन एक उत्तल लेंस के रूप में कार्य करता है।
फोकस दूरी $f$ को $f = \frac{1}{P}$ (मीटर में) या $f = \frac{100}{P}$ (सेमी में) द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$f = \frac{100}{2} = +50 cm$.
अतः,यह संयोजन $50 cm$ फोकस दूरी वाला एक उत्तल लेंस है।

(D) संपर्क में रखे दो पतले लेंसों की फोकस दूरी का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ है।
यहाँ,उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = 9 \ cm$ और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -18 \ cm$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{9} + \frac{1}{-18}$
$\frac{1}{F} = \frac{2}{18} - \frac{1}{18}$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{18}$
अतः,संयोजन की फोकस दूरी $F = 18 \ cm$ होगी।

(C) जब दो पतले लेंसों को संपर्क में रखा जाता है, तो संयोजन की तुल्य शक्ति $P$ व्यक्तिगत शक्तियों का बीजगणितीय योग होती है:
$P = P_1 + P_2$
यहाँ $P_1 = +2 \text{ D}$ और $P_2 = -1 \text{ D}$ दिया गया है, इसलिए तुल्य शक्ति:
$P = (+2 \text{ D}) + (-1 \text{ D}) = +1 \text{ D}$
चूंकि शक्ति धनात्मक है, इसलिए यह संयोजन एक अभिसारी (उत्तल) लेंस की तरह व्यवहार करेगा।
फोकस दूरी $f$ इस प्रकार है:
$f = \frac{100}{P} \text{ cm} = \frac{100}{+1} \text{ cm} = +100 \text{ cm}$
अतः, यह संयोजन $100 \text{ cm}$ फोकस दूरी वाले एक अभिसारी लेंस के रूप में कार्य करता है।

(A) संपर्क में रखे दो पतले लेंसों के संयोजन के लिए,तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र है: $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$।
यहाँ,$f_1$ उत्तल लेंस की फोकस दूरी है (धनात्मक,इसलिए $f_1 > 0$) और $f_2$ अवतल लेंस की फोकस दूरी है (ऋणात्मक,इसलिए मान लें $f_2 = -|f_2|$)।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} - \frac{1}{|f_2|} = \frac{|f_2| - f_1}{f_1 |f_2|}$।
अतः,$F = \frac{f_1 |f_2|}{|f_2| - f_1}$।
संयोजन के अवतल लेंस की तरह व्यवहार करने के लिए,तुल्य फोकस दूरी $F$ ऋणात्मक होनी चाहिए।
यह तब होता है जब हर $|f_2| - f_1 < 0$ हो,जिसका अर्थ है $f_1 > |f_2|$।
इसलिए,यदि $f_1 > f_2$ हो (जहाँ $f_2$ फोकस दूरी का परिमाण दर्शाता है),तो संयोजन एक अवतल लेंस की तरह व्यवहार करेगा।

(A) उत्तल लेंस की फोकस दूरी धनात्मक ली जाती है,इसलिए $f_1 = +18 \ cm$ है।
अवतल लेंस की फोकस दूरी ऋणात्मक ली जाती है,इसलिए $f_2 = -9 \ cm$ है।
संयोजन की तुल्य फोकस दूरी $F$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{18} + \frac{1}{-9}$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{18} - \frac{2}{18} = -\frac{1}{18}$
अतः,$F = -18 \ cm$ प्राप्त होता है।
चूंकि तुल्य फोकस दूरी ऋणात्मक है,इसलिए यह संयोजन $18 \ cm$ फोकस दूरी वाले एक अवतल लेंस की तरह कार्य करता है।

(A) लेंस की शक्ति $P$ सूत्र $P = \frac{100}{f}$ द्वारा दी जाती है (जहाँ $f$ का मान $cm$ में है)।
उत्तल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_1 = +25 \ cm$ है। इसलिए,इसकी शक्ति $P_1 = \frac{100}{25} = +4 \ D$ है।
अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_2 = -10 \ cm$ है। इसलिए,इसकी शक्ति $P_2 = \frac{100}{-10} = -10 \ D$ है।
संपर्क में रखे गए लेंसों के संयोजन की शक्ति $P_{eq} = P_1 + P_2$ द्वारा दी जाती है।
$P_{eq} = (+4 \ D) + (-10 \ D) = -6 \ D$.
अतः,संयोजन की शक्ति $-6 \ D$ है।

(C) लेंस $1$ के लिए: लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f = +8 \ cm$ और $u = -12 \ cm$ है।
$\frac{1}{8} = \frac{1}{v_1} - \frac{1}{-12} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{3-2}{24} = \frac{1}{24}$.
अतः,$v_1 = 24 \ cm$। प्रतिबिंब $A'B'$ पहले लेंस के दाईं ओर $24 \ cm$ की दूरी पर बनता है।
दूसरे लेंस से इस प्रतिबिंब की दूरी $d = 30 \ cm - 24 \ cm = 6 \ cm$ है।
चूँकि दूसरे लेंस की फोकस दूरी $f_2 = 6 \ cm$ है,इसलिए प्रतिबिंब $A'B'$ दूसरे लेंस के फोकस पर रखी वस्तु की तरह कार्य करता है।
अतः,दूसरे लेंस से निकलने वाली किरणें समानांतर होंगी और अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनेगा। प्रकाशिकी के संदर्भ में,अनंत पर बनने वाले प्रतिबिंब को वास्तविक और अत्यधिक बड़ा माना जाता है।

(B) जब $f_1$ और $f_2$ फोकस दूरी वाले दो पतले लेंसों को समाक्षीय रूप से संपर्क में रखा जाता है,तो संयोजन की तुल्य फोकस दूरी $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
$F$ ज्ञात करने के लिए,हम लघुत्तम समापवर्त्य (common denominator) लेते हैं:
$\frac{1}{F} = \frac{f_2 + f_1}{f_1 f_2}$
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$F = \frac{f_1 f_2}{f_1 + f_2}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) समतल-उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = f$ है। पतले अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -f$ है (क्योंकि यह समान फोकस दूरी का अवतल लेंस है)।
जब दो पतले लेंस संपर्क में रखे जाते हैं,तो तुल्य फोकस दूरी $F$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \frac{1}{-f} = 0$
इसलिए,$F = \infty$.
चूंकि तुल्य फोकस दूरी अनंत है,इसलिए समांतर किरणें लेंस संयोजन से गुजरने के बाद भी समांतर रहेंगी,जिसका अर्थ है कि फोकस अनंत पर चला जाता है।

(B) दो पतले लेंसों के संयोजन के लिए न्यूनतम गोलीय और वर्ण विपथन प्राप्त करने हेतु,लेंसों के बीच की दूरी $d$ को $d = f_1 - f_2$ की शर्त को पूरा करना चाहिए,जहाँ $f_1$ और $f_2$ दो लेंसों की फोकस दूरियाँ हैं।
दिया गया है,$f_1 = 0.3 \, m$ और $f_2 = 0.1 \, m$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = 0.3 \, m - 0.1 \, m = 0.2 \, m$।
अतः,आवश्यक दूरी $0.2 \, m$ है।

(B) दिया गया है: संयोजन की कुल शक्ति $P = P_1 + P_2 = + 2D$ है।
उत्तल लेंस की शक्ति $P_1 = + 5D$ है।
इसलिए,अवतल लेंस की शक्ति $P_2 = P - P_1 = 2D - 5D = - 3D$ होगी।
अवर्णक संयोजन के लिए शर्त $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ है,जिसे शक्ति के संदर्भ में $\omega_1 P_1 + \omega_2 P_2 = 0$ लिखा जा सकता है।
इसका अर्थ है $\frac{\omega_1}{\omega_2} = - \frac{P_2}{P_1}$।
मान रखने पर: $\frac{\omega_1}{\omega_2} = - \left( \frac{- 3D}{5D} \right) = \frac{3}{5}$।
अतः,उत्तल और अवतल लेंस की विक्षेपण क्षमता का अनुपात $3:5$ है।

(D) संपर्क में रखे गए लेंसों के संयोजन की क्षमता उनकी व्यक्तिगत क्षमताओं के योग के बराबर होती है: $P = P_1 + P_2$.
यहाँ $P_1 = +12 \ D$ और $P_2 = -2 \ D$ दिया गया है।
अतः,कुल क्षमता $P = 12 \ D - 2 \ D = 10 \ D$ है।
मीटर में फोकस दूरी $F$ का सूत्र $F = \frac{1}{P}$ है।
$F = \frac{1}{10} \ m = 0.1 \ m$.
फोकस दूरी को सेंटीमीटर में बदलने के लिए $100$ से गुणा करने पर: $F = 0.1 \times 100 \ cm = 10 \ cm$।

(D) माना उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1$ है और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2$ है। चूंकि लेंस अवतल है,इसलिए $f_2$ ऋणात्मक है।
परिमाणों का अनुपात दिया गया है: $|f_1| / |f_2| = 2/3$,अतः $f_1 / (-f_2) = 2/3$,जिसका अर्थ है $f_2 = -1.5 f_1$।
संपर्क में रखे दो पतले लेंसों की तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र $1/F = 1/f_1 + 1/f_2$ है।
यहाँ $F = 30 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $1/30 = 1/f_1 - 1/|f_2|$।
$|f_2| = 1.5 f_1$ रखने पर: $1/30 = 1/f_1 - 1/(1.5 f_1) = (1.5 - 1) / (1.5 f_1) = 0.5 / (1.5 f_1) = 1 / (3 f_1)$।
अतः,$3 f_1 = 30$,जिससे $f_1 = 10 \ cm$ प्राप्त होता है।
तब,$|f_2| = 1.5 \times 10 = 15 \ cm$। चूंकि यह एक अवतल लेंस है,इसलिए $f_2 = -15 \ cm$।
अतः,उनकी फोकस दूरियाँ $10 \ cm$ और $-15 \ cm$ हैं।

(B) जब दो पतले लेंसों को संपर्क में रखा जाता है,तो तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ होता है।
यहाँ $f_1 = f_2 = 40 \ cm$ दिया गया है,इसलिए तुल्य फोकस दूरी $\frac{1}{F} = \frac{1}{40} + \frac{1}{40} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20}$,अर्थात $F = 20 \ cm$ प्राप्त होती है।
समान आकार का वास्तविक और उल्टा प्रतिबिंब (आवर्धन $m = -1$) प्राप्त करने के लिए,वस्तु को लेंस से $2F$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।
अतः,वस्तु की दूरी $u = 2 \times 20 \ cm = 40 \ cm$ होगी।

(A) दूरी पर स्थित दो लेंसों की समतुल्य शक्ति $P$ का सूत्र है: $P = P_1 + P_2 - d \cdot P_1 \cdot P_2$.
यहाँ $P_1 = +5 \ D$ और $P_2 = +5 \ D$ दिया गया है।
समतुल्य शक्ति को ऋणात्मक होने के लिए,हमें $P < 0$ की आवश्यकता है।
मान रखने पर: $5 + 5 - d(5)(5) < 0$.
$10 - 25d < 0$.
$10 < 25d$.
$d > \frac{10}{25} \ m$.
$d > 0.4 \ m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $d > 0.4 \times 100 \ cm = 40 \ cm$.
अतः,यदि दूरी $40 \ cm$ से अधिक है तो समतुल्य शक्ति ऋणात्मक होगी।

(C) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = +20 \ cm$ है और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -20 \ cm$ है।
जब उन्हें संपर्क में रखा जाता है,तो तुल्य फोकस दूरी $F$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{F} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-20} = 0$,जिसका अर्थ है $F = \infty$.
अनंत फोकस दूरी वाला संयोजन एक साधारण कांच की प्लेट की तरह कार्य करता है।
एक साधारण कांच की प्लेट वस्तु के समान आकार का और सीधा आभासी प्रतिबिंब प्लेट के पीछे उतनी ही दूरी पर बनाती है।

(B) एक्रोमैटिक संयोजन के लिए शर्त $\frac{f_1}{\omega_1} + \frac{f_2}{\omega_2} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{\omega_1}{\omega_2}$।
यहाँ $\omega_1 = 0.024$ और $\omega_2 = 0.036$ दिया गया है,इसलिए $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{0.024}{0.036} = -\frac{2}{3}$,यानी $f_2 = -1.5 f_1$।
तुल्य फोकस दूरी $F$ के लिए सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{90}$ है।
$f_2 = -1.5 f_1$ को समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{f_1} - \frac{1}{1.5 f_1} = \frac{1}{90}$।
$\frac{1.5 - 1}{1.5 f_1} = \frac{1}{90} \implies \frac{0.5}{1.5 f_1} = \frac{1}{90} \implies \frac{1}{3 f_1} = \frac{1}{90}$।
इस प्रकार,$f_1 = 30 \ cm$ और $f_2 = -1.5(30) = -45 \ cm$ प्राप्त होता है।

(B) समान पदार्थ से बने दो पतले लेंसों के संयोजन के लिए,वर्ण विपथन (chromatic aberration) को कम करने की शर्त यह है कि लेंसों के बीच की दूरी $d$ उनकी फोकस दूरियों के औसत के बराबर होनी चाहिए।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$d = \frac{f_1 + f_2}{2}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दो पतले लेंसों के संयोजन के लिए कोई शुद्ध विक्षेपण न होने (एक्रोमैटिक डबलट) की शर्त $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ है।
इसका अर्थ है $\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{f_1}{f_2}$।
फोकल लंबाई का दिया गया अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{2}{3}$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि विक्षेपण शक्ति एक धनात्मक राशि है,हम अनुपात के परिमाण पर विचार करते हैं,जो $2:3$ है।

(B) लेंस की शक्ति $P$ को $P = \frac{100}{f(cm)}\, D$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
उत्तल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_1 = +40\, cm$ है।
अतः,शक्ति $P_1 = \frac{100}{40} = +2.5\, D$ है।
अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_2 = -25\, cm$ है।
अतः,शक्ति $P_2 = \frac{100}{-25} = -4.0\, D$ है।
संपर्क में रखे लेंसों के संयोजन की शक्ति $P = P_1 + P_2$ द्वारा दी जाती है।
$P = 2.5\, D + (-4.0\, D) = -1.5\, D$।

(B) $1$. उत्तल लेंस अपने फोकस बिंदु पर प्रतिबिंब $I_1$ बनाता है। चूँकि वस्तु अनंत पर है, प्रतिबिंब $I_1$ उत्तल लेंस से $f = 30\,cm$ की दूरी पर बनता है।
$2$. इस प्रतिबिंब $I_1$ का आकार $2\,cm$ है।
$3$. $20\,cm$ फोकस दूरी $(f_2 = -20\,cm)$ वाले एक अवतल लेंस को उत्तल लेंस से $26\,cm$ की दूरी पर रखा जाता है। प्रतिबिंब $I_1$ अवतल लेंस के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
$4$. अवतल लेंस से आभासी वस्तु की दूरी $u = 30\,cm - 26\,cm = 4\,cm$ है। चूँकि यह दाईं ओर है, हम $u = +4\,cm$ लेते हैं।
$5$. लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{4} = \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{4} - \frac{1}{20} = \frac{5-1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$
$v = 5\,cm$.
$6$. अवतल लेंस के लिए आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{5}{4} = 1.25$ है।
$7$. प्रतिबिंब $I_2$ का नया आकार $m \times (I_1 \text{ का आकार}) = 1.25 \times 2\,cm = 2.5\,cm$ होगा।

(C) माना उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = +30 \ cm$ और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -10 \ cm$ है।
माना दोनों लेंसों के बीच की दूरी $d$ है।
यदि प्रकाश की समानांतर किरणें संयोजन से गुजरने के बाद भी समानांतर रहती हैं,तो निकाय की प्रभावी फोकस दूरी $F$ अनंत $(F = \infty)$ होनी चाहिए।
$d$ दूरी पर स्थित दो लेंसों के संयोजन के लिए प्रभावी फोकस दूरी का सूत्र है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
$F = \infty$,$f_1 = 30$ और $f_2 = -10$ रखने पर:
$0 = \frac{1}{30} + \frac{1}{-10} - \frac{d}{(30)(-10)}$
$0 = \frac{1}{30} - \frac{1}{10} + \frac{d}{300}$
$300$ से गुणा करने पर:
$0 = 10 - 30 + d$
$d = 20 \ cm$.
अतः,दोनों लेंसों के बीच की दूरी $20 \ cm$ है।

(A) संपर्क में रखे गए दो लेंसों की तुल्य शक्ति $P = P_1 + P_2$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $P = 3.5 \, D + (-2.5 \, D) = 1.0 \, D$.
चूंकि शक्ति धनात्मक है,इसलिए यह संयोजन एक अभिसारी लेंस के रूप में कार्य करता है।
फोकस दूरी $f$ का सूत्र $f = \frac{100}{P} \, cm$ है।
$f = \frac{100}{1} = 100 \, cm$.
अतः,यह संयोजन $100 \, cm$ फोकस दूरी वाले एक अभिसारी लेंस के रूप में कार्य करता है।

(B) संपर्क में रखे गए लेंसों के संयोजन की शक्ति उनकी व्यक्तिगत शक्तियों के योग के बराबर होती है: $P = P_1 + P_2$.
यहाँ $P_1 = -15 \, D$ और $P_2 = 5 \, D$ दिया गया है।
अतः,$P = -15 \, D + 5 \, D = -10 \, D$.
संयोजन की फोकस दूरी $f$ का मान $f = \frac{1}{P}$ (मीटर में) सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$f = \frac{1}{-10} \, m = -0.1 \, m$.
फोकस दूरी को सेंटीमीटर में बदलने के लिए $100$ से गुणा करने पर: $f = -0.1 \times 100 \, cm = -10 \, cm$.

(D) जब $f$ फोकस दूरी वाले एक उत्तल लेंस को उसके मुख्य अक्ष के लंबवत दो समान भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग $2f$ फोकस दूरी वाला एक समतल-उत्तल लेंस बन जाता है।
यहाँ $f = 20 \, cm$ दिया गया है,इसलिए प्रत्येक समतल-उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f' = 2f = 40 \, cm$ होगी।
जब इन दोनों लेंसों को चित्र में दिखाए अनुसार संपर्क में रखा जाता है (उनकी वक्र सतहें एक-दूसरे के सामने हों),तो लेंस संयोजन सूत्र के अनुसार तुल्य फोकस दूरी $F$ इस प्रकार होगी:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{40} + \frac{1}{40} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20}$.
अतः,$F = 20 \, cm$।

(B) जब दो पतले लेंसों को संपर्क में रखा जाता है,तो संयोजन की कुल शक्ति $P$ व्यक्तिगत लेंसों की शक्तियों का बीजगणितीय योग होती है।
दिया गया है: $P_1 = 6 \, D$ और $P_2 = -2 \, D$.
कुल शक्ति $P = P_1 + P_2 = 6 \, D + (-2 \, D) = 4 \, D$.
संयोजन की फोकस दूरी $f$ ज्ञात करने का सूत्र $f = \frac{1}{P}$ है।
$P$ का मान रखने पर,हमें $f = \frac{1}{4} \, m$ प्राप्त होता है।

(B) संपर्क में रखे दो पतले लेंसों के अवर्णक (achromatic) संयोजन के लिए,शून्य वर्ण विपथन की शर्त इस प्रकार है:
$\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$
विक्षेपण क्षमताओं के अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2}$ को ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{f_1}{f_2}$
दी गई फोकस दूरियाँ $f_1 = +10 \ cm$ और $f_2 = -15 \ cm$ हैं:
$\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{10}{-15}$
$\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$
अतः,उनकी विक्षेपण क्षमताओं का अनुपात $2/3$ है।

(C) लेंसों के संयोजन की शक्ति $P = P_1 + P_2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $P_1 = +3\,D$ और $P_2 = -5\,D$ दिया गया है,इसलिए कुल शक्ति $P = 3 + (-5) = -2\,D$ है।
संयोजन की फोकस दूरी $f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-2}\,m = -0.5\,m = -50\,cm$ है।
वस्तु की दूरी $u = -50\,cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\frac{1}{v} = \frac{1}{-50} + \frac{1}{-50} = -\frac{2}{50} = -\frac{1}{25}$ प्राप्त होता है।
अतः,$v = -25\,cm$ है।

(D) माना उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = 10 \, cm$ है और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -f$ है।
लेंस संयोजन के सूत्र के अनुसार,प्रभावी फोकस दूरी $F$ के लिए: $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$.
प्रश्न के अनुसार,संयोजन की फोकस दूरी का परिमाण अवतल लेंस की फोकस दूरी के बराबर है,अर्थात $|F| = |f_2| = f$.
संयोजन की फोकस दूरी $F = \frac{f_1 f_2}{f_1 + f_2} = \frac{10(-f)}{10-f} = \frac{10f}{f-10}$.
शर्त के अनुसार,$F = f$ रखने पर: $f = \frac{10f}{f-10}$.
$f-10 = 10 \Rightarrow f = 20$.
अतः,अवतल लेंस की फोकस दूरी $-20 \, cm$ है।

(B) संयोजन की कुल शक्ति $P = P_1 + P_2 = +2 \text{ D}$ है।
उत्तल लेंस की शक्ति $P_1 = +5 \text{ D}$ दी गई है, इसलिए दूसरे लेंस की शक्ति $P_2 = P - P_1 = 2 - 5 = -3 \text{ D}$ होगी।
अवर्णक युग्म के लिए शर्त $\omega_1 P_1 + \omega_2 P_2 = 0$ है, जहाँ $\omega_1$ और $\omega_2$ विक्षेपण क्षमताएँ हैं।
इसका अर्थ है $\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{P_2}{P_1}$।
मान रखने पर, $\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\left( \frac{-3}{5} \right) = \frac{3}{5}$।
अतः, विक्षेपण क्षमताओं का अनुपात $3 : 5$ है।

(A) $f$ फोकस दूरी वाले उत्तल लेंस को उसकी मुख्य अक्ष के लंबवत दो समान भागों में काटने पर,प्रत्येक भाग एक समतल-उत्तल लेंस बन जाता है।
लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
मूल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ है,इसलिए $\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
जब इसे लंबवत काटा जाता है,तो प्रत्येक नए लेंस की एक सतह की वक्रता त्रिज्या $R$ होती है और दूसरी सतह समतल $(R = \infty)$ होती है।
अतः,नए लेंस के लिए,$\frac{1}{f'} = (n-1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{n-1}{R}$.
दोनों की तुलना करने पर,हमें $f' = 2f$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों भाग समान हैं,उनकी फोकस दूरियां बराबर हैं,इसलिए अनुपात $2f : 2f = 1 : 1$ है।

(C) जब एक उभयोत्तल लेंस को उसकी मुख्य अक्ष के अनुदिश (क्षैतिज रूप से) काटा जाता है,तो प्रत्येक आधे भाग की फोकस दूरी मूल लेंस के समान $f$ ही रहती है।
इसका कारण यह है कि प्रत्येक भाग के लिए सतहों की वक्रता त्रिज्या अपरिवर्तित रहती है।
अतः,प्रत्येक भाग की शक्ति $P = 1/f$ ही रहती है।
जब इन दोनों भागों को चित्र $(b)$ में दिखाए अनुसार जोड़ा जाता है,तो वे दो लेंसों के संयोजन के रूप में कार्य करते हैं।
संयोजन की कुल शक्ति व्यक्तिगत लेंसों की शक्तियों का योग होती है: $P_{net} = P_1 + P_2$.
चूंकि $P_1 = P$ और $P_2 = P$ है,इसलिए कुल शक्ति $P_{net} = P + P = 2P$ होगी।