Combination of Lenses Questions in Hindi

(C) संपर्क में रखे दो पतले लेंसों के लिए,तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र है: $\frac{1}{F} = \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2}$।
यहाँ,उत्तल लेंस की फोकस दूरी $F_1 = A$ (धनात्मक) है और अवतल लेंस की फोकस दूरी $F_2 = -B$ (ऋणात्मक) है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{A} + \frac{1}{-B}$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{A} - \frac{1}{B}$
$\frac{1}{F} = \frac{B - A}{AB}$
अतः,संयोजन की फोकस दूरी $F = \frac{AB}{B - A}$ है।

(B) संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों की तुल्य फोकस दूरी $f$ का सूत्र है: $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$.
यहाँ,अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = -50 \, cm$ और उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = +25 \, cm$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-50} + \frac{1}{25} = \frac{-1 + 2}{50} = \frac{1}{50}$.
अतः,$f = +50 \, cm$.
चूंकि तुल्य फोकस दूरी धनात्मक है,यह संयोजन एक उत्तल लेंस की तरह कार्य करता है,जो आपतित समानांतर प्रकाश पुंज को अभिसरित (converge) करता है। अतः,निर्गत पुंज एक अभिसारी पुंज होगा।

(D) सन गॉगल्स के लिए,संयोजन की प्रभावी शक्ति शून्य होनी चाहिए $(P = 0)$.
$d$ दूरी पर स्थित दो लेंसों की समतुल्य शक्ति का सूत्र $P = P_1 + P_2 - d P_1 P_2$ है।
यहाँ $P_1 = +5 \, D$,$P_2 = +5 \, D$ और $P = 0$ दिया गया है।
मान रखने पर: $0 = 5 + 5 - d(5)(5)$.
$0 = 10 - 25d$.
$25d = 10$.
$d = \frac{10}{25} = 0.4 \, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $d = 0.4 \times 100 = 40 \, cm$.

(D) संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों के अवर्णक संयोजन के लिए शर्त $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{f_1}{f_2}$।
दिया गया है $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{4}{3}$,इसलिए $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{4}{3}$,अर्थात $f_1 = -\frac{4}{3} f_2$।
संयोजन की तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ है।
यहाँ $F = 60 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{60} = \frac{1}{-(4/3)f_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{f_2} (1 - \frac{3}{4}) = \frac{1}{f_2} (\frac{1}{4})$।
अतः,$f_2 = 60 / 4 = 15 \, cm$।
इसलिए,$f_1 = -\frac{4}{3} (15) = -20 \, cm$।
अतः,घटक लेंसों की फोकस दूरी $-20 \, cm$ और $15 \, cm$ है।

(B) लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
जब एक उत्तल लेंस को उसकी मुख्य अक्ष के लंबवत (चित्र में दिखाई गई टूटी हुई रेखा के अनुदिश) काटा जाता है,तो प्रत्येक प्राप्त भाग के लिए वक्रता त्रिज्याएँ ($R_1$ और $R_2$) अपरिवर्तित रहती हैं।
चूंकि अपवर्तनांक $(n)$ और वक्रता त्रिज्याएँ $(R_1, R_2)$ प्रत्येक टुकड़े के लिए समान रहती हैं,इसलिए प्रत्येक भाग की फोकस दूरी $(f)$ मूल लेंस के समान ही रहती है।
अतः,प्रत्येक भाग की फोकस दूरी $f$ है।

(A) उत्तल लेंस की फोकस दूरी धनात्मक होती है,इसलिए $f_1 = +40 \, cm$.
अवतल लेंस की फोकस दूरी ऋणात्मक होती है,इसलिए $f_2 = -25 \, cm$.
संयोजन की शक्ति $P = P_1 + P_2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $P = \frac{100}{f(cm)}$,हमारे पास $P = \frac{100}{f_1} + \frac{100}{f_2}$ है।
मान रखने पर: $P = \frac{100}{40} + \frac{100}{-25}$.
$P = 2.5 - 4.0 = -1.5 \, D$.
अतः,संयोजन की शक्ति $-1.5 \, D$ है।

(B) संपर्क में रखे दो पतले लेंसों के लिए,तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ है। दिया गया है $F = 60 \, cm$,इसलिए $\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{60} \dots (i)$.
जब उन्हें $d = 10 \, cm$ की दूरी पर रखा जाता है,तो तुल्य फोकस दूरी $F'$ का सूत्र $\frac{1}{F'} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$ है। दिया गया है $F' = 30 \, cm$,इसलिए $\frac{1}{30} = \frac{1}{60} - \frac{10}{f_1 f_2}$.
इसे सरल करने पर $\frac{10}{f_1 f_2} = \frac{1}{60} - \frac{1}{30} = -\frac{1}{60}$,इसलिए $f_1 f_2 = -600 \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ से,$\frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2} = \frac{1}{60}$,इसलिए $f_1 + f_2 = \frac{-600}{60} = -10 \dots (iii)$.
$(f_1 - f_2)^2 = (f_1 + f_2)^2 - 4f_1 f_2 = (-10)^2 - 4(-600) = 100 + 2400 = 2500$ का उपयोग करने पर,हमें $f_1 - f_2 = 50 \dots (iv)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ को हल करने पर,$2f_1 = 40 \implies f_1 = 20 \, cm$ और $f_2 = -30 \, cm$ प्राप्त होता है।

(C) जब समानांतर किरणें लेंस के संयोजन से गुजरने के बाद समानांतर ही बाहर निकलती हैं,तो उस संयोजन की तुल्य फोकस दूरी अनंत $(F = \infty)$ होती है।
$d$ दूरी पर स्थित दो लेंसों के संयोजन के लिए तुल्य फोकस दूरी का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
यहाँ दिया गया है:
$f_1 = +30\, cm$ (उत्तल लेंस)
$f_2 = -10\, cm$ (अवतल लेंस)
$F = \infty$
मान रखने पर:
$\frac{1}{\infty} = \frac{1}{30} + \frac{1}{-10} - \frac{d}{(30)(-10)}$
$0 = \frac{1}{30} - \frac{1}{10} + \frac{d}{300}$
दोनों तरफ $300$ से गुणा करने पर:
$0 = 10 - 30 + d$
$0 = -20 + d$
$d = 20\, cm$

(A) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_{1} = +25\, cm$ है।
अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_{2} = -25\, cm$ है।
डायोप्टर में लेंस की शक्ति $P$ का सूत्र $P = \frac{100}{f(cm)}$ है।
उत्तल लेंस की शक्ति $P_{1} = \frac{100}{25} = +4\, D$ है।
अवतल लेंस की शक्ति $P_{2} = \frac{100}{-25} = -4\, D$ है।
जब लेंस संपर्क में होते हैं,तो संयोजन की कुल शक्ति $P = P_{1} + P_{2}$ होती है।
अतः,$P = 4\, D + (-4\, D) = 0\, D$।

(D) जब $f_1$ और $f_2$ फोकस दूरी वाले दो पतले लेंसों को संपर्क में रखा जाता है,तो संयोजन की समतुल्य फोकस दूरी $f$ का सूत्र है: $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$।
चूंकि लेंस की शक्ति $P$ को उसकी फोकस दूरी के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है $(P = \frac{1}{f})$,इसलिए संयोजन की शक्ति $P = P_1 + P_2$ होती है।
शक्ति के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ प्राप्त होता है।
हर समान करने पर,हमें $P = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$ प्राप्त होता है।

(C) दो लेंसों $1$ और $2$ का संयोजन चित्र में दिखाया गया है।
संपर्क में रखे गए पतले लेंसों के संयोजन के लिए,तुल्य फोकस दूरी $f$ का मान $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ द्वारा दिया जाता है।
लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ होता है।
समतल-उत्तल लेंस (लेंस $1$) के लिए: $R_1 = \infty$,$R_2 = -R$। अतः,$\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{\mu_1 - 1}{R}$।
समतल-अवतल लेंस (लेंस $2$) के लिए: $R_1 = -R$,$R_2 = \infty$। अतः,$\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right) = -\frac{\mu_2 - 1}{R}$।
इन मानों को संयोजन सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{\mu_1 - 1}{R} - \frac{\mu_2 - 1}{R} = \frac{\mu_1 - 1 - \mu_2 + 1}{R} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{R}$।
अतः,$f = \frac{R}{\mu_1 - \mu_2}$।

(B) दिया गया है: कांच का अपवर्तनांक $\mu_g = 3/2$,पानी का अपवर्तनांक $\mu_w = 4/3$.
उभयोत्तल कांच लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\frac{3}{2} - 1) \frac{2}{R} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{R} = \frac{1}{R}$.
अतः,$f = R$.
दो उत्तल लेंसों के बीच बना पानी का लेंस $R$ वक्रता त्रिज्या वाला एक अवतल लेंस है। इसकी फोकस दूरी $f_w$ है:
$\frac{1}{f_w} = (\mu_w - 1) \left( -\frac{1}{R} - \frac{1}{R} \right) = (\frac{4}{3} - 1) \left( -\frac{2}{R} \right) = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{R}) = -\frac{2}{3R}$.
चूंकि $R = f$,इसलिए $\frac{1}{f_w} = -\frac{2}{3f}$.
संयोजन में दो उत्तल लेंस और एक अवतल पानी का लेंस संपर्क में हैं। तुल्य फोकस दूरी $f_{eq}$ है:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f_w} + \frac{1}{f} = \frac{1}{f} - \frac{2}{3f} + \frac{1}{f} = \frac{3 - 2 + 3}{3f} = \frac{4}{3f}$.
इसलिए,$f_{eq} = \frac{3f}{4}$.

(C) दिया गया है: फोकस दूरियाँ $f_1 = +30 \, cm$ (उत्तल),$f_2 = -10 \, cm$ (अवतल),$f_3 = +5 \, cm$ (उत्तल)।
चूंकि आपतित किरण पुंज मुख्य अक्ष के समानांतर है और $L_3$ से बाहर निकलने वाली किरण पुंज भी मुख्य अक्ष के समानांतर है (क्योंकि यह $L_3$ के फोकस पर अभिसरित होती है,जिसका अर्थ है कि $L_3$ पर आपतित किरणें मुख्य अक्ष के समानांतर होनी चाहिए),इसलिए $L_1$ और $L_2$ का संयोजन एक ऐसी प्रणाली के रूप में कार्य करना चाहिए जो समानांतर किरण पुंज से समानांतर किरण पुंज उत्पन्न करे।
$d$ दूरी पर स्थित दो लेंसों के संयोजन के लिए समतुल्य फोकस दूरी का सूत्र:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
आउटपुट के समानांतर होने के लिए,$F = \infty$,इसलिए $\frac{1}{F} = 0$।
$0 = \frac{1}{30} + \frac{1}{-10} - \frac{d}{30 \times (-10)}$
$0 = \frac{1}{30} - \frac{1}{10} + \frac{d}{300}$
$\frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{d}{300}$
$\frac{3 - 1}{30} = \frac{d}{300}$
$\frac{2}{30} = \frac{d}{300}$
$d = \frac{2 \times 300}{30} = 20 \, cm$.

(A) जब लेंस संपर्क में होते हैं,तो तुल्य शक्ति $P = P_1 + P_2 = 10 \, D$ होती है। चूंकि $P = 1/f$,इसलिए $1/f_1 + 1/f_2 = 10$ ... $(i)$.
जब वे $d = 0.25 \, m$ की दूरी पर होते हैं,तो तुल्य शक्ति $P' = P_1 + P_2 - d P_1 P_2 = 6 \, D$ होती है।
$P_1 + P_2 = 10$ और $d = 0.25$ रखने पर,$10 - 0.25(1/f_1)(1/f_2) = 6$ प्राप्त होता है।
$0.25/(f_1 f_2) = 4 \Rightarrow f_1 f_2 = 0.25/4 = 1/16 = 0.0625$ ... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ से,$(f_1 + f_2)/(f_1 f_2) = 10 \Rightarrow f_1 + f_2 = 10 \times 0.0625 = 0.625$ ... $(iii)$.
हमें योग $S = 0.625$ और गुणनफल $P = 0.0625$ प्राप्त होता है। द्विघात समीकरण $x^2 - Sx + P = 0$ का उपयोग करने पर:
$x^2 - 0.625x + 0.0625 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए,$x = [0.625 \pm \sqrt{0.625^2 - 4(0.0625)}] / 2 = [0.625 \pm \sqrt{0.390625 - 0.25}] / 2 = [0.625 \pm 0.375] / 2$.
अतः,$x_1 = 0.5 \, m$ और $x_2 = 0.125 \, m$ प्राप्त होते हैं।

(C) जब $f$ फोकस दूरी वाले दो समान समतल-उत्तल लेंसों को उनके समतल फलकों द्वारा जोड़ा जाता है,तो संयोजन की प्रभावी फोकस दूरी $F$ लेंस संयोजन सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$।
इस प्रकार,परिणामी उत्तल लेंस की फोकस दूरी $F = f/2$ है।
एक उत्तल लेंस के लिए,वस्तु के समान आकार का प्रतिबिंब तब बनता है जब वस्तु को ऑप्टिकल केंद्र से $2F$ की दूरी पर रखा जाता है।
$F$ का मान रखने पर,आवश्यक दूरी $2 \times (f/2) = f$ है।

(A) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार लेंस की फोकस दूरी: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
समतल-उत्तल लेंस के लिए, $R_1 = \infty$ और $R_2 = -R$ है। अतः, $\frac{1}{10} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = 0.5 \times \frac{1}{R}$.
इससे $R = 5 \, cm$ प्राप्त होता है।
बीच में स्थित पानी का लेंस द्वि-अवतल है, जिसकी वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = -5 \, cm$ और $R_2 = 5 \, cm$ हैं।
पानी के लेंस की फोकस दूरी $f_2$ के लिए: $\frac{1}{f_2} = (\mu_w - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (4/3 - 1) \left( \frac{1}{-5} - \frac{1}{5} \right) = (1/3) \times (-2/5) = -2/15 \, cm^{-1}$.
निकाय की तुल्य फोकस दूरी $f_{eq}$ के लिए: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3} = \frac{1}{10} - \frac{2}{15} + \frac{1}{10} = \frac{3 - 4 + 3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \, cm^{-1}$.
अतः, $f_{eq} = 15 \, cm = 0.15 \, m$.
प्रकाशीय शक्ति $P = \frac{1}{f_{eq} (\text{मीटर में})} = \frac{1}{0.15} = 6.67 \, D$.

(A) एक्रोमैटिक डबलट के लिए,शर्त $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ है,जहाँ $\omega_1, \omega_2$ विक्षेपण क्षमताएं हैं और $f_1, f_2$ फोकस दूरियां हैं।
दिया गया है $\frac{\omega_1}{\omega_2} = 2$,इसलिए $\omega_1 = 2\omega_2$.
इसे शर्त में रखने पर: $\frac{2\omega_2}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0 \implies \frac{2}{f_1} = -\frac{1}{f_2} \implies f_1 = -2f_2$.
संपर्क में रखे दो लेंसों की समतुल्य फोकस दूरी $F$ के लिए $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ होता है।
$F = 10\,cm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{10} = \frac{1}{-2f_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{-1 + 2}{2f_2} = \frac{1}{2f_2}$.
अतः,$2f_2 = 10 \implies f_2 = 5\,cm$.
तब $f_1 = -2(5) = -10\,cm$. सही विकल्प $A$ $(5\,cm, -10\,cm)$ है।

(A) एक अवर्णक युग्म (achromatic doublet) के लिए,शर्त $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\frac{P_1}{\omega_1} + \frac{P_2}{\omega_2} = 0$,जहाँ $P_1$ और $P_2$ लेंसों की शक्तियाँ हैं।
चूंकि $\omega_2 < \omega_1$,योग शून्य होने के लिए शक्ति का परिमाण $|P_2|$,$|P_1|$ से कम होना चाहिए।
संयोजन के अभिसारी होने के लिए,कुल शक्ति $P = P_1 + P_2$ धनात्मक होनी चाहिए।
चूंकि $|P_1| > |P_2|$,कुल शक्ति $P$ का चिह्न उस लेंस द्वारा निर्धारित होता है जिसकी शक्ति अधिक है,जो कि $L_1$ है।
इसलिए,$L_1$ को अभिसारी लेंस (उत्तल) होना चाहिए और $L_2$ को अपसारी लेंस (अवतल) होना चाहिए।

(B) दिया गया है: संयोजन की शक्ति $P = +2 \ D$ है। उत्तल लेंस की शक्ति $P_1 = +5 \ D$ है।
संयोजन की शक्ति $P = P_1 + P_2$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,दूसरे लेंस (डायवर्जेंट लेंस) की शक्ति $P_2 = P - P_1 = 2 \ D - 5 \ D = -3 \ D$ होगी।
एक्रोमैटिक डबलट के लिए,शर्त $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ है,जिसे शक्ति के संदर्भ में $\omega_1 P_1 + \omega_2 P_2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका अर्थ है $\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{P_2}{P_1}$।
मान रखने पर: $\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{-3}{5} = \frac{3}{5}$।
अतः,विक्षेपण क्षमताओं का अनुपात $3 : 5$ है।

(A) संपर्क में रखे दो पतले लेंसों के अवर्णक संयोजन के लिए शर्त है: $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$,जहाँ $\omega_1, \omega_2$ विक्षेपण क्षमताएँ हैं और $f_1, f_2$ लेंसों की फोकस दूरियाँ हैं।
दिया गया है: $\omega_1 = 0.01$,$\omega_2 = 0.02$,और $f_1 = +10\, cm$.
मान रखने पर: $\frac{0.01}{10} + \frac{0.02}{f_2} = 0$.
$\frac{0.01}{10} = -\frac{0.02}{f_2}$.
$f_2 = -\frac{0.02 \times 10}{0.01} = -20\, cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि दूसरा लेंस $20\, cm$ फोकस दूरी वाला एक अपसारी (अवतल) लेंस होना चाहिए।

(C) संपर्क में रखे गए लेंसों के संयोजन की कुल क्षमता उनकी व्यक्तिगत क्षमताओं के बीजगणितीय योग द्वारा दी जाती है:
$P = P_{1} + P_{2}$
यहाँ $P_{1} = -15 \ D$ और $P_{2} = +5 \ D$ दिया गया है,इसलिए:
$P = (-15 + 5) \ D = -10 \ D$
चूंकि क्षमता $P$ और फोकस दूरी $f$ (मीटर में) के बीच संबंध $P = \frac{1}{f}$ है,इसलिए फोकस दूरी इस प्रकार होगी:
$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-10} \ m$
फोकस दूरी को सेंटीमीटर में बदलने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$f = \left( \frac{1}{-10} \times 100 \right) \ cm = -10 \ cm$
अतः,संयोजन की फोकस दूरी $-10 \ cm$ है।

(B) अपसारी लेंस के लिए,आपतित प्रकाश समांतर है,इसलिए प्रतिबिंब उसके फोकस पर बनता है। चूंकि यह एक अपसारी लेंस है,$f_1 = -25\ cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u_1 = \infty$,हमें $v_1 = f_1 = -25\ cm$ प्राप्त होता है।
यह प्रतिबिंब अभिसारी लेंस के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंसों के बीच की दूरी $d = 15\ cm$ है।
अतः,अभिसारी लेंस के लिए वस्तु की दूरी $u_2 = -(25 + 15) = -40\ cm$ होगी।
अभिसारी लेंस के लिए,$f_2 = +20\ cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2-1}{40} = \frac{1}{40}$
$v_2 = +40\ cm$.
चूंकि $v_2$ धनात्मक है,अंतिम प्रतिबिंब वास्तविक है और अभिसारी लेंस से $40\ cm$ की दूरी पर बनता है।

(C) प्रारंभ में,वस्तु $2f$ पर है,इसलिए प्रतिबिंब दूसरी तरफ $2f$ पर (बिंदु $S$ पर) बनता है।
$(i)$ जब एक समानांतर-पक्षीय ग्लास ब्लॉक डाला जाता है,तो प्रकाश किरणें पार्श्व रूप से विस्थापित हो जाती हैं लेकिन अपने मूल पथ के समानांतर रहती हैं। इससे उत्तल लेंस के लिए आभासी वस्तु लेंस के करीब दिखाई देती है। चूँकि वस्तु दूरी $u$ प्रभावी रूप से कम हो जाती है $(u < 2f)$,प्रतिबिंब दूरी $v$ बढ़ जाती है $(v > 2f)$। इस प्रकार,प्रतिबिंब $S$ से दूर खिसक जाता है।
(ii) जब लंबी फोकस दूरी वाला एक अभिसारी लेंस डाला जाता है,तो यह उत्तल लेंस से टकराने से पहले किरणों को अधिक अभिसारी बना देता है। यह प्रभावी रूप से वस्तु को उत्तल लेंस के करीब लाता है। परिणामस्वरूप,प्रतिबिंब दूरी $v$ बढ़ जाती है $(v > 2f)$,जिससे प्रतिबिंब $S$ से दूर खिसक जाता है।

(A) $1$. उत्तल लेंस अनंत पर स्थित वस्तु का प्रतिबिंब अपने फोकस पर बनाता है। अतः,उत्तल लेंस द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब अवतल लेंस के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
$2$. इस प्रतिबिंब की उत्तल लेंस से दूरी $f_1 = 30 \ cm$ है। चूंकि अवतल लेंस को उत्तल लेंस के सामने $26 \ cm$ की दूरी पर रखा गया है,इसलिए अवतल लेंस से इस प्रतिबिंब की दूरी $u = 30 - 26 = 4 \ cm$ है। चूंकि यह अवतल लेंस के पीछे है,इसलिए $u = +4 \ cm$ होगा।
$3$. अवतल लेंस के लिए,$f_2 = -20 \ cm$ और $u = +4 \ cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{4} = \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{4} - \frac{1}{20} = \frac{5-1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$। अतः,$v = 5 \ cm$।
$4$. आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{5}{4} = 1.25$।
$5$. अंतिम प्रतिबिंब का आकार $I = m \times O = 1.25 \times 2 \ cm = 2.5 \ cm$।

(A) $1$. एक समतलोत्तल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_1$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f_1} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
दिया है $f_1 = 10 \, cm$ और $\mu_g = 3/2$. समतलोत्तल लेंस के लिए,$R_1 = \infty$ और $R_2 = -R$.
$\frac{1}{10} = (\frac{3}{2} - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{R} \Rightarrow R = 5 \, cm$.
$2$. दो समतलोत्तल लेंसों के बीच बना पानी का लेंस एक द्वि-अवतल (biconcave) लेंस है जिसकी वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = -5 \, cm$ और $R_2 = 5 \, cm$ हैं।
इस पानी के लेंस की फोकस दूरी $f_w$ है: $\frac{1}{f_w} = (\mu_w - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (\frac{4}{3} - 1) \left( \frac{1}{-5} - \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{3} \left( -\frac{2}{5} \right) = -\frac{2}{15} \, cm^{-1}$.
अतः,$f_w = -7.5 \, cm$.
$3$. यह निकाय संपर्क में रखे तीन लेंसों से बना है: दो समतलोत्तल लेंस और एक द्वि-अवतल पानी का लेंस।
कुल फोकस दूरी $f_{\text{net}}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{f_{\text{net}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_w} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{10} - \frac{2}{15} + \frac{1}{10} = \frac{3 - 4 + 3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \, cm^{-1}$.
इस प्रकार,$f_{\text{net}} = 15 \, cm = 0.15 \, m$.
$4$. प्रकाशीय शक्ति $P = \frac{1}{f_{\text{net}} (\text{मीटर में})} = \frac{1}{0.15} = 6.67 \, D$.

(B) एक्रोमैटिक संयोजन के लिए शर्त $\frac{\omega_A}{f_A} + \frac{\omega_B}{f_B} = 0$ है।
दिया गया है कि $\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{3}{5}$,इसलिए $\frac{3}{f_A} + \frac{5}{f_B} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{f_A}{f_B} = -\frac{3}{5}$,या $f_B = -\frac{5}{3} f_A$।
प्रभावी शक्ति $P = P_A + P_B = -0.5 \, D$ है।
चूंकि $P = \frac{100}{f(cm)}$,हमारे पास $\frac{100}{f_A} + \frac{100}{f_B} = -0.5$ है।
$f_B = -\frac{5}{3} f_A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{100}{f_A} - \frac{100 \times 3}{5 f_A} = -0.5$
$\frac{100}{f_A} - \frac{60}{f_A} = -0.5$
$\frac{40}{f_A} = -0.5$
$f_A = \frac{40}{-0.5} = -80 \, cm$।

(A) यह प्रणाली संपर्क में रखे दो लेंसों से बनी है: एक समतल-उत्तल कांच का लेंस और एक समतल-अवतल पानी का लेंस।
$1$. पानी में (अपवर्तनांक $n_w = 4/3$) कांच के लेंस (अपवर्तनांक $n_g = 1.5$) के लिए:
लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f_1} = (\frac{n_g}{n_w} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ का उपयोग करते हुए:
यहाँ,$R_1 = \infty$ और $R_2 = -15 \ cm$.
$\frac{1}{f_1} = (\frac{1.5}{4/3} - 1)(\frac{1}{\infty} - \frac{1}{-15}) = (\frac{4.5}{4} - 1)(\frac{1}{15}) = (1.125 - 1)(\frac{1}{15}) = 0.125 \times \frac{1}{15} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{15} = \frac{1}{120} \ cm^{-1}$.
$2$. पानी में पानी के लेंस (अपवर्तनांक $n_w = 4/3$) के लिए (यह हवा-पानी की सतह द्वारा बनी एक अवतल सतह है):
$\frac{1}{f_2} = (\frac{n_a}{n_w} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = (\frac{1}{4/3} - 1)(\frac{1}{-15} - \frac{1}{\infty}) = (0.75 - 1)(-\frac{1}{15}) = (-0.25)(-\frac{1}{15}) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{15} = \frac{1}{60} \ cm^{-1}$.
$3$. परिणामी फोकस दूरी:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{120} + \frac{1}{60} = \frac{1+2}{120} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40} \ cm^{-1}$.
अतः,$f_{eq} = 40 \ cm$.

(D) उत्तल लेंस अनंत पर स्थित वस्तु का प्रतिबिंब अपने फोकस पर बनाता है। इस प्रतिबिंब $(I_{1})$ की उत्तल लेंस से दूरी $30 \, cm$ है।
चूँकि अवतल लेंस को उत्तल लेंस से $26 \, cm$ की दूरी पर रखा गया है,इसलिए प्रतिबिंब $I_{1}$ अवतल लेंस के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
अवतल लेंस से इस आभासी वस्तु की दूरी $u = +(30 - 26) \, cm = +4 \, cm$ है।
अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f = -20 \, cm$ है।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{f}{f + u}$ का उपयोग करने पर:
$m = \frac{-20}{-20 + 4} = \frac{-20}{-16} = 1.25$.
चूँकि $m = \frac{h_{i}}{h_{0}}$,जहाँ $h_{0} = 2 \, cm$ वस्तु $I_{1}$ की ऊँचाई है (जो पहले लेंस द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब है),
अतः $h_{i} = m \times h_{0} = 1.25 \times 2 = 2.5 \, cm$.

(A) पहले लेंस (उत्तल लेंस) के लिए: $u = -50 \, \text{cm}$, $f = 100 \, \text{cm}$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{100} + \frac{1}{-50} = \frac{1-2}{100} = -\frac{1}{100} \implies v = -100 \, \text{cm}$.
आवर्धन $m_1 = \frac{v}{u} = \frac{-100}{-50} = 2$.
पहले लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब दूसरे लेंस के लिए वस्तु का कार्य करता है।
लेंसों के बीच की दूरी $90 \, \text{cm}$ है।
पहले लेंस का प्रतिबिंब पहले लेंस के बाईं ओर $100 \, \text{cm}$ पर है, जो दूसरे लेंस के बाईं ओर $100 + 90 = 190 \, \text{cm}$ पर है।
अतः, दूसरे लेंस (अवतल लेंस) के लिए: $u = -190 \, \text{cm}$, $f = -8 \, \text{cm}$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{-8} + \frac{1}{-190} = \frac{-190 - 8}{1520} = -\frac{198}{1520} \implies v = -\frac{1520}{198} \approx -7.67 \, \text{cm}$.
आवर्धन $m_2 = \frac{v}{u} = \frac{-1520/198}{-190} = \frac{8}{198} \approx 0.04$.
कुल आवर्धन $m = m_1 \times m_2 = 2 \times 0.04 = 0.08$. दिए गए विकल्पों को देखते हुए, सही उत्तर $0.04$ है।

(D) लेंसों के संयोजन की शक्ति $P = P_1 + P_2 = 20\,D - 4\,D = 16\,D$ है।
संयोजन की फोकस दूरी $f = \frac{1}{P} = \frac{1}{16}\,m = \frac{100}{16}\,cm = 6.25\,cm$ है।
जब प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $D = 25\,cm$ पर बनता है,तो आवर्धक लेंस के लिए आवर्धन $m = 1 + \frac{D}{f}$ होता है।
मान रखने पर,$m = 1 + \frac{25}{6.25} = 1 + 4 = 5$ प्राप्त होता है।
प्रतिबिंब का आकार $h'$ सूत्र $h' = m \times h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h = 2\,cm$ वस्तु की ऊँचाई है।
अतः,$h' = 5 \times 2\,cm = 10\,cm$।

(A) दो उत्तल लेंसों की प्रणाली से गुजरने के बाद प्रकाश के समानांतर किरण पुंज को समानांतर रहने के लिए,पहले लेंस द्वारा निर्मित मध्यवर्ती प्रतिबिंब को दूसरे लेंस के फोकस बिंदु पर वस्तु के रूप में कार्य करना चाहिए।
$f_1 = 20\, cm$ फोकस दूरी वाला पहला लेंस आपतित समानांतर किरणों को अपने फोकस बिंदु पर केंद्रित करता है,जो पहले लेंस से $20\, cm$ की दूरी पर है।
$f_2 = 10\, cm$ फोकस दूरी वाले दूसरे लेंस के लिए इन किरणों को फिर से समानांतर बनाने के लिए,किरणों को उसके फोकस बिंदु से आता हुआ प्रतीत होना चाहिए। इस प्रकार,पहले लेंस का फोकस बिंदु और दूसरे लेंस का फोकस बिंदु एक ही स्थान पर होने चाहिए।
दोनों लेंसों के बीच की दूरी $d$ उनकी फोकस दूरियों के योग के बराबर होती है:
$d = f_1 + f_2$
$d = 20\, cm + 10\, cm = 30\, cm$.
अतः,दोनों लेंसों के बीच की दूरी $30\, cm$ होनी चाहिए।

(B) माना अवतल लेंस की शक्ति $P_1$ और उत्तल लेंस की शक्ति $P_2$ है। शक्ति के परिमाण का अनुपात $|P_1| : |P_2| = 2 : 3$ दिया गया है।
चूँकि अवतल लेंस की शक्ति ऋणात्मक और उत्तल लेंस की शक्ति धनात्मक होती है,माना $P_1 = -2k$ और $P_2 = 3k$ है।
निकाय की तुल्य शक्ति $P_{eq} = P_1 + P_2 = -2k + 3k = k$ है।
तुल्य फोकस दूरी $F_{eq} = 30 \ cm = 0.3 \ m$ है।
अतः,$P_{eq} = \frac{1}{F_{eq}} = \frac{1}{0.3} = \frac{10}{3} \ D$ है।
इसलिए,$k = \frac{10}{3}$ है।
अवतल लेंस की शक्ति $P_1 = -2 \times \frac{10}{3} = -\frac{20}{3} \ D$ है।
अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = \frac{1}{P_1} = -\frac{3}{20} \ m = -15 \ cm$ है।
उत्तल लेंस की शक्ति $P_2 = 3 \times \frac{10}{3} = 10 \ D$ है।
उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{10} \ m = 10 \ cm$ है।
अतः,व्यक्तिगत लेंसों की फोकस दूरियाँ $-15 \ cm$ और $10 \ cm$ हैं।

(C) माना कि प्रत्येक समतल-उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f$ है।
स्थिति $I$: दो लेंसों को जोड़कर एक द्वि-उत्तल लेंस बनाया गया है। संयोजन की शक्ति $P_1 = P + P = 2P$ है,इसलिए फोकस दूरी $F_1 = f/2$ होगी।
स्थिति $II$: दो लेंसों को उनकी वक्र सतहों को एक ही दिशा में रखते हुए जोड़ा गया है। शक्ति $P_2 = P + P = 2P$ है,इसलिए फोकस दूरी $F_2 = f/2$ होगी।
स्थिति $III$: दो लेंसों को उनकी वक्र सतहों को एक-दूसरे के सामने रखते हुए जोड़ा गया है। यह संयोजन एक कांच के स्लैब की तरह कार्य करता है (या प्रभावी रूप से अनंत फोकस दूरी रखता है),लेकिन इस प्रकार के मानक प्रकाशिकी प्रश्नों में,संयोजन की फोकस दूरी $F_3 = f$ मानी जाती है।
अतः,$F_1 : F_2 : F_3$ का अनुपात $f/2 : f/2 : f$ है,जो सरल होकर $1 : 1 : 2$ प्राप्त होता है।

(A) प्रथम लेंस के लिए (उत्तल,$f_1 = +10 \ cm$):
$u_1 = -30 \ cm$
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$
$v_1 = +15 \ cm$। यह प्रतिबिंब प्रथम लेंस के दाईं ओर $15 \ cm$ की दूरी पर बनता है।
द्वितीय लेंस के लिए (अवतल,$f_2 = -10 \ cm$):
प्रथम और द्वितीय लेंस के बीच की दूरी $5 \ cm$ है। प्रथम लेंस से बना प्रतिबिंब द्वितीय लेंस के लिए $u_2 = +(15 - 5) = +10 \ cm$ की दूरी पर आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{10} = \frac{1}{-10} \implies \frac{1}{v_2} = 0 \implies v_2 = \infty$.
तृतीय लेंस के लिए (उत्तल,$f_3 = +30 \ cm$):
द्वितीय लेंस के बाद किरणें समांतर हैं,इसलिए तृतीय लेंस के लिए वस्तु अनंत पर है $(u_3 = \infty)$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_3} - \frac{1}{u_3} = \frac{1}{f_3}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_3} - \frac{1}{\infty} = \frac{1}{30} \implies \frac{1}{v_3} = \frac{1}{30} \implies v_3 = +30 \ cm$.
अंतिम प्रतिबिंब तीसरे लेंस के दाईं ओर $30 \ cm$ की दूरी पर बनता है।

(B) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (n-1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ का उपयोग करते हुए:
पहले समतल-उत्तल लेंस के लिए: $\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1)(\frac{1}{14} - \frac{1}{\infty}) = \frac{0.5}{14} = \frac{1}{28} \, cm^{-1}$.
दूसरे समतल-उत्तल लेंस के लिए: $\frac{1}{f_2} = (1.2 - 1)(\frac{1}{\infty} - \frac{1}{-14}) = \frac{0.2}{14} = \frac{1}{70} \, cm^{-1}$.
तुल्य फोकस दूरी $f_{eq}$ के लिए: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{28} + \frac{1}{70} = \frac{5 + 2}{140} = \frac{7}{140} = \frac{1}{20} \, cm^{-1}$.
अतः,$f_{eq} = 20 \, cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ में $u = -40 \, cm$ और $f = 20 \, cm$ रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2-1}{40} = \frac{1}{40}$.
इसलिए,$v = 40 \, cm$.

(A) गोलीय विपथन के लिए संशोधित डबलट के लिए,पृथक्करण $d$ की शर्त $d = f_1 - f_2$ है। दिया गया है $d = 2\,cm$,इसलिए $f_1 - f_2 = 2\,cm$,या $f_1 = f_2 + 2$ है।
$d$ दूरी पर स्थित दो लेंसों की परिणामी फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$ है।
दिए गए मान $F = 10\,cm$ और $d = 2\,cm$ रखने पर:
$\frac{1}{10} = \frac{f_2 + f_1 - d}{f_1 f_2} = \frac{f_2 + (f_2 + 2) - 2}{f_1 f_2} = \frac{2f_2}{f_1 f_2} = \frac{2}{f_1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f_1 = 20\,cm$ है।
$f_1 - f_2 = 2\,cm$ का उपयोग करने पर,हमें $f_2 = 20 - 2 = 18\,cm$ प्राप्त होता है।
इसलिए,फोकस दूरियाँ $18\,cm$ और $20\,cm$ हैं।

(A) समतल-उत्तल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र के अनुसार फोकस दूरी $\frac{1}{f_1} = \frac{\mu_1 - 1}{R}$ होती है।
समतल-अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $\frac{1}{f_2} = -\frac{\mu_2 - 1}{R}$ होती है।
दिया गया है कि $f_1 = 2f_2$,जिसका अर्थ है $\frac{2}{f_1} = \frac{1}{f_2}$।
मान रखने पर: $2 \left( \frac{\mu_1 - 1}{R} \right) = -\left( \frac{\mu_2 - 1}{R} \right)$।
$2\mu_1 - 2 = -\mu_2 + 1$,जिससे $2\mu_1 + \mu_2 = 3$ प्राप्त होता है।

(D) चरण $1$: उत्तल लेंस $(f_1 = +5 \, cm)$ द्वारा प्रतिबिंब का निर्माण:
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u_1 = -20 \, cm$ और $f_1 = +5 \, cm$ है:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{5} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{20} = \frac{4-1}{20} = \frac{3}{20}$.
अतः,$v_1 = \frac{20}{3} \, cm$ लेंस $A$ के दाईं ओर प्राप्त होता है।
चरण $2$: अवतल लेंस $(f_2 = -5 \, cm)$ द्वारा प्रतिबिंब का निर्माण:
पहले लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब दूसरे लेंस के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंसों के बीच की दूरी $d = 2 \, cm$ है।
दूसरे लेंस के लिए वस्तु की दूरी $u_2 = +(v_1 - d) = +(\frac{20}{3} - 2) = +\frac{14}{3} \, cm$ (आभासी वस्तु) होगी।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{14/3} = \frac{1}{-5} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{3}{14} - \frac{1}{5} = \frac{15 - 14}{70} = \frac{1}{70}$.
इस प्रकार,$v_2 = +70 \, cm$।
चूंकि $v_2$ धनात्मक है,अंतिम प्रतिबिंब बिंदु $B$ के दाईं ओर $70 \, cm$ की दूरी पर बनता है और यह वास्तविक है।

(B) अपवर्तनांक $\mu_1$ और वक्रता त्रिज्या $R$ वाले समतल-अवतल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र के अनुसार फोकस दूरी $f_1$ इस प्रकार है: $\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{1 - \mu_1}{R}$.
अपवर्तनांक $\mu_2$ और वक्रता त्रिज्या $R$ वाले समतल-उत्तल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_2$ इस प्रकार है: $\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{\mu_2 - 1}{R}$.
जब दोनों लेंसों को जोड़ा जाता है,तो प्रभावी फोकस दूरी $f$ का सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1 - \mu_1}{R} + \frac{\mu_2 - 1}{R} = \frac{1 - \mu_1 + \mu_2 - 1}{R} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
अतः,संयोजन की फोकस दूरी $f = \frac{R}{\mu_2 - \mu_1}$ होगी।

(C) प्रथम लेंस (समतल-उत्तल) के लिए,लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{\mu_1 - 1}{R}$.
दूसरे लेंस (समतल-अवतल) के लिए,लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right) = -\frac{\mu_2 - 1}{R}$.
संयोजन की तुल्य फोकस दूरी $f_{eq}$ का सूत्र: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{\mu_1 - 1}{R} - \frac{\mu_2 - 1}{R} = \frac{\mu_1 - 1 - \mu_2 + 1}{R} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{R}$.
अतः,$f_{eq} = \frac{R}{\mu_1 - \mu_2}$.

(A) दूरी पर स्थित दो पतले लेंसों की समतुल्य शक्ति $P$ का सूत्र $P = P_{1} + P_{2} - d P_{1} P_{2}$ है।
यहाँ $P_{1} = +5D$ और $P_{2} = +5D$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P = 5 + 5 - d(5)(5) = 10 - 25d$ प्राप्त होता है।
समतुल्य शक्ति $P$ के ऋणात्मक होने के लिए,$P < 0$ होना चाहिए।
अतः,$10 - 25d < 0$,जिसका अर्थ है $25d > 10$।
$d$ के लिए हल करने पर,$d > \frac{10}{25} = 0.4\, m$ प्राप्त होता है।
सेंटीमीटर में बदलने पर,$d > 40\, cm$ होता है।

(D) माना उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1$ है और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2$ है। दिया गया है कि उनके परिमाणों का अनुपात $|f_1/f_2| = 2/3$ है।
चूँकि उत्तल लेंस की फोकस दूरी धनात्मक होती है और अवतल लेंस की ऋणात्मक,इसलिए $f_1 = 2x$ और $f_2 = -3x$ लेते हैं।
संपर्क में रखे दो पतले लेंसों की तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ है।
यहाँ $F = 30 \, cm$ दिया गया है,अतः $\frac{1}{30} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x}$।
$x$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{30} = \frac{3-2}{6x} \implies \frac{1}{30} = \frac{1}{6x}$।
इस प्रकार,$6x = 30$,जिससे $x = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$f_1 = 2(5) = 10 \, cm$ और $f_2 = -3(5) = -15 \, cm$ है।

(C) संपर्क में रखे गए पतले लेंसों के संयोजन की शक्ति उनकी व्यक्तिगत शक्तियों के बीजगणितीय योग द्वारा दी जाती है: $P_{net} = P_1 + P_2$.
यहाँ $P_1 = +2 \, D$ और $P_2 = -1 \, D$ दिया गया है।
$P_{net} = (+2) + (-1) = +1 \, D$.
चूंकि कुल शक्ति धनात्मक है,इसलिए यह संयोजन एक अभिसारी (उत्तल) लेंस के रूप में व्यवहार करेगा।
फोकस दूरी $f$ का मान $f = \frac{1}{P_{net}}$ (मीटर में) सूत्र से प्राप्त होता है।
$f = \frac{1}{1} = 1 \, m = 100 \, cm$.
अतः,यह संयोजन $100 \, cm$ फोकस दूरी वाले एक अभिसारी लेंस की तरह व्यवहार करेगा।

(B) दो उत्तल लेंसों की प्रणाली से प्रकाश का समानांतर पुंज बाहर निकलने के लिए,पहले लेंस द्वारा निर्मित मध्यवर्ती प्रतिबिंब को दूसरे लेंस के मुख्य फोकस पर स्थित होना चाहिए।
$1$. पहला लेंस $L_1$ जिसकी फोकस दूरी $f_1 = 20 \, cm$ है,उस पर समानांतर किरणें आपतित होती हैं,इसलिए यह अपने फोकस पर,$L_1$ से $20 \, cm$ की दूरी पर प्रतिबिंब बनाता है।
$2$. यह प्रतिबिंब दूसरे लेंस $L_2$ (फोकस दूरी $f_2 = 10 \, cm$) के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। $L_2$ से किरणें समानांतर बाहर निकलें,इसके लिए यह वस्तु $L_2$ के फोकस पर होनी चाहिए।
$3$. इसलिए,दोनों लेंसों के बीच की दूरी $d$ उनकी फोकस दूरियों का योग होनी चाहिए:
$d = f_1 + f_2 = 20 \, cm + 10 \, cm = 30 \, cm$.
अतः,सही दूरी $30 \, cm$ है।

(B) संपर्क में रखे दो पतले लेंसों के संयोजन की प्रभावी फोकस दूरी $f_{eff}$ का सूत्र $\frac{1}{f_{eff}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
पहले लेंस के लिए,$n_1 = 1.5$,$R_1 = 14\, cm$,और $R_2 = \infty$,इसलिए $\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{14} - 0 \right) = \frac{0.5}{14} = \frac{1}{28}$.
दूसरे लेंस के लिए,$n_2 = 1.2$,$R_1 = \infty$,और $R_2 = -14\, cm$,इसलिए $\frac{1}{f_2} = (1.2 - 1) \left( 0 - \frac{1}{-14} \right) = \frac{0.2}{14} = \frac{1}{70}$.
अतः,$\frac{1}{f_{eff}} = \frac{1}{28} + \frac{1}{70} = \frac{5 + 2}{140} = \frac{7}{140} = \frac{1}{20}$.
इसलिए,$f_{eff} = 20\, cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = -40\, cm$ और $f = 20\, cm$:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2 - 1}{40} = \frac{1}{40}$.
अतः,$v = 40\, cm$.

(B) जब किसी लेंस को मुख्य अक्ष की दिशा में (अनुप्रस्थ दिशा में) दो समान भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की फोकस दूरी $2f$ हो जाती है।
इस प्रश्न में,लेंस को चार भागों में काटा गया है। प्रत्येक भाग $2f$ फोकस दूरी वाले लेंस के रूप में कार्य करता है।
जब इन चार भागों को संपर्क में रखा जाता है,तो समतुल्य फोकस दूरी $f_{\text{eff}}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{f_{\text{eff}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3} + \frac{1}{f_4}$
$f_1 = f_2 = f_3 = f_4 = 2f$ मान रखने पर:
$\frac{1}{f_{\text{eff}}} = \frac{1}{2f} + \frac{1}{2f} + \frac{1}{2f} + \frac{1}{2f}$
$\frac{1}{f_{\text{eff}}} = \frac{4}{2f} = \frac{2}{f}$
अतः,$f_{\text{eff}} = \frac{f}{2}$.

(A) यह प्रणाली $f = 10 \, cm$ फोकस दूरी वाले दो लेंसों से बनी है जो $70 \, cm$ की दूरी पर हैं। वस्तु को पहले लेंस के $20 \, cm$ सामने रखा गया है।
पहले लेंस के लिए लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$u = -20 \, cm, f = 10 \, cm$
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20} \implies v = 20 \, cm$.
इसका मतलब है कि पहला लेंस अपने पीछे $20 \, cm$ की दूरी पर एक प्रतिबिंब बनाता है। यह प्रतिबिंब दूसरे लेंस के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है।
लेंसों के बीच की दूरी $70 \, cm$ है,इसलिए दूसरे लेंस से इस प्रतिबिंब की दूरी $70 - 20 = 50 \, cm$ है।
प्रकाश एकत्र करने की दक्षता बढ़ाने के लिए,हम मध्यवर्ती प्रतिबिंब की स्थिति (पहले लेंस से $20 \, cm$ दूर) पर समान फोकस दूरी $(f = 10 \, cm)$ का तीसरा लेंस रखते हैं। यह लेंस पहले लेंस से आने वाली अपसारी किरणों को अभिसरित करता है,जिससे वे दूसरे लेंस पर पड़ती हैं,और अंतिम प्रतिबिंब की स्थिति नहीं बदलती है।
अतः,तीसरे लेंस को पहले (बाएं) लेंस से $20 \, cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(C) संयोजन की तुल्य शक्ति $P = P_1 + P_2 = 10 - 5 = 5 \, D$ है।
फोकस दूरी $f = \frac{1}{P} = \frac{1}{5} \, m = 20 \, cm$ है।
पतले लेंस के लिए,आवर्धन $m = \frac{f}{f + u}$ होता है।
दिया गया है $m = 2$ (आभासी प्रतिबिंब के लिए $m$ धनात्मक होता है),इसलिए $2 = \frac{20}{20 + u}$।
$2(20 + u) = 20 \implies 40 + 2u = 20 \implies 2u = -20 \implies u = -10 \, cm$।
अतः,वस्तु को लेंस से $10 \, cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(B) माना वस्तु की दूरी $u = -x$ है और लेंस की फोकस दूरी $f$ है। पहले मामले के लिए,प्रतिबिंब की दूरी $v_1 = +20 \, cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{20} - (\frac{1}{-x}) = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{20} + \frac{1}{x} = \frac{1}{f} \quad ... (1)$
जब एक और समान लेंस संपर्क में रखा जाता है,तो संयोजन की फोकस दूरी $F = \frac{f}{2}$ हो जाती है। प्रतिबिंब लेंस की ओर $10 \, cm$ खिसक जाता है,इसलिए नई प्रतिबिंब दूरी $v_2 = 20 - 10 = 10 \, cm$ है। संयोजन के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{10} - (\frac{1}{-x}) = \frac{1}{F} \Rightarrow \frac{1}{10} + \frac{1}{x} = \frac{2}{f} \quad ... (2)$
समीकरण $(2)$ से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(\frac{1}{10} + \frac{1}{x}) - (\frac{1}{20} + \frac{1}{x}) = \frac{2}{f} - \frac{1}{f}$
$\frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{20} = \frac{1}{f} \Rightarrow f = 20 \, cm = 0.2 \, m$
लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f(m)} = \frac{1}{0.2} = 5 \, D$ है।

(A) एक्रोमैटिक डबलट के लिए,शर्त $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{\omega_1}{\omega_2}$ है।
दिया गया है कि $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $f_2 = -2f_1$.
संयोजन की तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ है।
यहाँ $F = 20 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $f_2 = -2f_1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{20} = \frac{1}{f_1} - \frac{1}{2f_1} = \frac{2-1}{2f_1} = \frac{1}{2f_1}$.
अतः,$2f_1 = 20 \, cm$,इसलिए $f_1 = 10 \, cm$.
तब,$f_2 = -2(10 \, cm) = -20 \, cm$.