Combination of Lenses Questions in Hindi

(A) अवर्णक युग्म (achromatic doublet) के लिए शर्त $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ है।
चूंकि किसी भी पदार्थ के लिए $\omega_1$ और $\omega_2$ (विक्षेपण क्षमता) हमेशा धनात्मक होते हैं,इसलिए योग को शून्य होने के लिए,फोकल लंबाई ($f_1$ या $f_2$) में से एक का ऋणात्मक होना आवश्यक है।
ऋणात्मक फोकल लंबाई एक अवतल लेंस को दर्शाती है।
इसलिए,एक अवर्णक संयोजन बनाने के लिए,एक लेंस उत्तल और दूसरा अवतल होना चाहिए।
दो उत्तल लेंस इस शर्त को पूरा नहीं कर सकते क्योंकि $f_1$ और $f_2$ दोनों धनात्मक होंगे,जिससे योग $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2}$ हमेशा धनात्मक (शून्य से अधिक) रहेगा।
अतः,कथन सही है और कारण भी सही है,जो सही व्याख्या प्रदान करता है।

(B) संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों के लिए,समतुल्य फोकस दूरी $F_{1}$ का मान $\frac{1}{F_{1}} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$ होता है,जिसका अर्थ है $F_{1} = \frac{f}{2}$।
जब लेंसों के बीच के स्थान को कांच के समान अपवर्तनांक वाले द्रव से भर दिया जाता है,तो यह संयोजन कांच के एक ठोस टुकड़े की तरह कार्य करता है। चूंकि बाहरी सतहें उत्तल हैं और आंतरिक स्थान भर गया है,इसलिए यह प्रणाली मूल लेंसों के समान वक्रता त्रिज्या वाले एक एकल उत्तल लेंस की तरह व्यवहार करती है। द्रव का अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ है,जो कांच के बराबर है। अतः,पूरी प्रणाली $F_{2} = f$ फोकस दूरी वाले एक एकल लेंस की तरह व्यवहार करती है।
इसलिए,अनुपात $\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{f/2}{f} = \frac{1}{2}$ होगा।

(N/A) चरण $1$: पहले लेंस $(f_1 = +10 \, cm)$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब:
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u_1 = -30 \, cm$ है:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$
अतः,$v_1 = 15 \, cm$ (पहले लेंस के दाईं ओर)।
चरण $2$: दूसरे लेंस $(f_2 = -10 \, cm)$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब:
पहले लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब दूसरे लेंस के लिए वस्तु का कार्य करता है। पहले और दूसरे लेंस के बीच की दूरी $5 \, cm$ है। अतः,दूसरे लेंस के लिए वस्तु की दूरी $u_2 = +(15 - 5) \, cm = +10 \, cm$ (आभासी वस्तु) होगी।
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{10} = \frac{1}{-10} \implies \frac{1}{v_2} = 0 \implies v_2 = \infty$.
चरण $3$: तीसरे लेंस $(f_3 = +30 \, cm)$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब:
दूसरे लेंस से निकलने वाली किरणें समानांतर हैं,इसलिए वे तीसरे लेंस के लिए अनंत पर स्थित वस्तु के रूप में कार्य करती हैं $(u_3 = \infty)$।
$\frac{1}{v_3} - \frac{1}{u_3} = \frac{1}{f_3}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{v_3} - \frac{1}{\infty} = \frac{1}{30} \implies v_3 = 30 \, cm$.
अतः,अंतिम प्रतिबिंब तीसरे लेंस के दाईं ओर $30 \, cm$ की दूरी पर बनता है।

(N/A) उत्तल लेंस की फोकस दूरी,$f_{1} = 30 \, cm$ है।
अवतल लेंस की फोकस दूरी,$f_{2} = -20 \, cm$ है।
माना लेंस निकाय की फोकस दूरी $f$ है।
संपर्क में रखे दो पतले लेंसों के निकाय की तुल्य फोकस दूरी का सूत्र है:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{30} + \frac{1}{-20} = \frac{2 - 3}{60} = -\frac{1}{60} \, cm^{-1}$।
अतः,$f = -60 \, cm$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि लेंसों का निकाय एक अपसारी (diverging) लेंस की तरह कार्य करता है।

(N/A) उत्तल लेंस की फोकस दूरी,$f_{1} = 30 \; cm$.
अवतल लेंस की फोकस दूरी,$f_{2} = -20 \; cm$.
दोनों लेंसों के बीच की दूरी,$d = 8.0 \; cm$.
$(a)$ जब समांतर प्रकाश किरणें पहले उत्तल लेंस पर आपतित होती हैं:
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_{1}} - \frac{1}{u_{1}} = \frac{1}{f_{1}}$ में $u_{1} = -\infty$ रखने पर,$v_{1} = f_{1} = 30 \; cm$ प्राप्त होता है।
यह प्रतिबिंब अवतल लेंस के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। दूरी $u_{2} = v_{1} - d = 30 - 8 = 22 \; cm$.
अवतल लेंस के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{22} = \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v_{2}} = \frac{1}{22} - \frac{1}{20} = -\frac{1}{220}$.
अतः,$v_{2} = -220 \; cm$. समांतर किरणें संयोजन के केंद्र से $220 - 4 = 216 \; cm$ दूर एक बिंदु से अपसरित होती प्रतीत होती हैं।
जब समांतर किरणें पहले अवतल लेंस पर आपतित होती हैं:
$\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{u_{2}} = \frac{1}{f_{2}}$ में $u_{2} = -\infty$ रखने पर,$v_{2} = f_{2} = -20 \; cm$ प्राप्त होता है।
यह प्रतिबिंब उत्तल लेंस के लिए वास्तविक वस्तु के रूप में कार्य करता है। दूरी $u_{1} = -(20 + 8) = -28 \; cm$.
उत्तल लेंस के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v_{1}} - \frac{1}{-28} = \frac{1}{30} \implies \frac{1}{v_{1}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{28} = -\frac{1}{420}$.
अतः,$v_{1} = -420 \; cm$. समांतर किरणें केंद्र से $420 - 4 = 416 \; cm$ दूर एक बिंदु से अपसरित होती प्रतीत होती हैं।
चूंकि परिणाम भिन्न हैं,इसलिए इस प्रणाली के लिए प्रभावी फोकस दूरी की अवधारणा उपयोगी नहीं है।
$(b)$ उत्तल लेंस के लिए,$u_{1} = -40 \; cm, f_{1} = 30 \; cm$. $\frac{1}{v_{1}} = \frac{1}{30} + \frac{1}{-40} = \frac{1}{120} \implies v_{1} = 120 \; cm$.
आवर्धन $m_{1} = \frac{v_{1}}{u_{1}} = \frac{120}{-40} = -3$.
अवतल लेंस के लिए,$u_{2} = 120 - 8 = 112 \; cm, f_{2} = -20 \; cm$. $\frac{1}{v_{2}} = \frac{1}{-20} + \frac{1}{112} = -\frac{92}{2240} \implies v_{2} \approx -24.35 \; cm$.
आवर्धन $m_{2} = \frac{v_{2}}{u_{2}} = \frac{-2240/92}{112} = -\frac{20}{92} \approx -0.217$.
कुल आवर्धन $m = m_{1} \times m_{2} = (-3) \times (-0.217) = 0.652$.
प्रतिबिंब का आकार $h_{2} = m \times h_{1} = 0.652 \times 1.5 = 0.978 \; cm \approx 0.98 \; cm$.

(N/A) मान लीजिए कि $f_{1}$ और $f_{2}$ फोकस दूरी वाले दो लेंस $A$ और $B$ एक-दूसरे के संपर्क में रखे गए हैं। मान लीजिए कि वस्तु को पहले लेंस $A$ के फोकस के बाहर बिंदु $O$ पर रखा गया है।
पहला लेंस $I_{1}$ पर एक प्रतिबिंब बनाता है। चूंकि प्रतिबिंब $I_{1}$ वास्तविक है,यह दूसरे लेंस $B$ के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है,जो अंतिम प्रतिबिंब $I$ पर बनाता है।
पहले लेंस द्वारा प्रतिबिंब का निर्माण केवल अंतिम प्रतिबिंब की स्थिति निर्धारित करने की सुविधा के लिए माना गया है। वास्तव में,पहले लेंस से निकलने वाली किरणों की दिशा उस कोण के अनुसार बदल जाती है जिस पर वे दूसरे लेंस से टकराती हैं।
चूंकि लेंस पतले हैं,हम मानते हैं कि लेंस के ऑप्टिकल केंद्र संपाती हैं। इस केंद्रीय बिंदु को $P$ द्वारा दर्शाया गया है।
पहले लेंस $A$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब के लिए:
$\frac{1}{v_{1}} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{1}} \quad \dots (1)$
दूसरे लेंस $B$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब के लिए:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{v_{1}} = \frac{1}{f_{2}} \quad \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}} \quad \dots (3)$
यदि दो-लेंस प्रणाली को $f$ फोकस दूरी वाले एक एकल लेंस के बराबर माना जाए,तो हमारे पास है:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}}$
यह व्युत्पत्ति संपर्क में रखे गए किसी भी संख्या में पतले लेंसों के लिए मान्य है। यदि $f_{1}, f_{2}, f_{3}, \dots, f_{n}$ फोकस दूरी वाले कई पतले लेंस संपर्क में हैं,तो उनके संयोजन की प्रभावी फोकस दूरी इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}} + \frac{1}{f_{3}} + \dots + \frac{1}{f_{n}}$

(N/A) चूंकि लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f}$ होती है,इसलिए लेंसों के संयोजन की तुल्य शक्ति $P = P_{1} + P_{2} + P_{3} + \ldots$ होती है।
ध्यान दें कि यह व्यक्तिगत शक्तियों का बीजगणितीय योग है।
इसलिए,दाईं ओर के पदों का योग उत्तल लेंस के लिए धनात्मक और अवतल लेंस के लिए ऋणात्मक हो सकता है।
लेंसों का संयोजन वांछित आवर्धन के अपसारी या अभिसारी लेंस प्राप्त करने में मदद करता है। यह प्रतिबिंब की स्पष्टता को भी बढ़ाता है।
लेंसों के संयोजन का उपयोग कैमरे,सूक्ष्मदर्शी,दूरबीन और अन्य प्रकाशीय उपकरणों में किया जाता है।
मान लीजिए कि चित्र में दिखाए गए दो लेंसों के संयोजन का आवर्धन $m_{1}$ और $m_{2}$ है।
चित्र में दिखाए गए उत्तल लेंस $L_{1}$ के लिए,वस्तु दूरी $= OP = u$,प्रतिबिंब दूरी $= PI' = v'$ है।
इसी प्रकार,उत्तल लेंस $L_{2}$ के लिए वस्तु दूरी $= PI' = v'$,प्रतिबिंब दूरी $= PI = v$ है।
चित्र से:
लेंस $L_{1}$ के लिए आवर्धन $m_{1} = \frac{v'}{u} \quad \ldots (1)$
लेंस $L_{2}$ के लिए आवर्धन $m_{2} = \frac{v}{v'} \quad \ldots (2)$
अब,लेंस संयोजन के लिए आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ है।
चूंकि $\frac{v}{u} = \frac{v}{v'} \times \frac{v'}{u}$,इसलिए $m = m_{2} \times m_{1}$ प्राप्त होता है।
यदि संयोजन में दो से अधिक लेंस हों,तो $m = m_{1} \times m_{2} \times m_{3} \times \ldots \times m_{n}$ होता है।

(C) आवर्धन को बढ़ाने और वर्ण विपथन (chromatic aberration) तथा गोलीय विपथन (spherical aberration) जैसी त्रुटियों को कम करने के लिए प्रकाशीय उपकरणों में लेंसों के संयोजन का उपयोग किया जाता है।
संयुक्त सूक्ष्मदर्शी और दूरबीन इसके प्रमुख उदाहरण हैं,जहाँ उच्च आवर्धन और स्पष्ट प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए कई लेंसों (अभिदृश्यक और नेत्रिका) को संयोजित किया जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) $1$. पहले लेंस के लिए $(f_1 = +10 \, cm)$: वस्तु की दूरी $u_1 = -30 \, cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$। अतः,$v_1 = +15 \, cm$।
$2$. पहले लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब दूसरे लेंस $(f_2 = -10 \, cm)$ के लिए वस्तु का कार्य करता है। पहले और दूसरे लेंस के बीच की दूरी $5 \, cm$ है। इसलिए,दूसरे लेंस के लिए वस्तु की दूरी $u_2 = +(15 - 5) = +10 \, cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{10} = \frac{1}{-10} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = 0$,जिसका अर्थ है $v_2 = \infty$।
$3$. दूसरे लेंस से आने वाली समानांतर किरणें तीसरे लेंस $(f_3 = +30 \, cm)$ पर गिरती हैं। चूंकि किरणें समानांतर हैं,इसलिए प्रतिबिंब तीसरे लेंस के फोकस पर बनता है। दूसरे और तीसरे लेंस के बीच की दूरी $10 \, cm$ है। प्रतिबिंब तीसरे लेंस से $30 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
$4$. वस्तु $O$ से कुल दूरी $30 \, cm$ (पहले लेंस तक) $+ 5 \, cm$ (पहले और दूसरे के बीच) $+ 10 \, cm$ (दूसरे और तीसरे के बीच) $+ 30 \, cm$ (तीसरे लेंस से) $= 75 \, cm$ है।

(B) $\mu_{1}$ अपवर्तनांक वाले समतल-उत्तल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र के अनुसार फोकस दूरी $f_{1}$ है: $\frac{1}{f_{1}} = (\mu_{1}-1)(\frac{1}{R})$.
$\mu_{2}$ अपवर्तनांक वाले समतल-अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_{2}$ है: $\frac{1}{f_{2}} = (\mu_{2}-1)(-\frac{1}{R})$.
जब इन लेंसों को जोड़ा जाता है,तो समतुल्य फोकस दूरी $f_{eq}$ इस प्रकार होती है: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f_{eq}} = (\mu_{1}-1)(\frac{1}{R}) + (\mu_{2}-1)(-\frac{1}{R}) = \frac{(\mu_{1}-1) - (\mu_{2}-1)}{R} = \frac{\mu_{1}-\mu_{2}}{R}$.
अतः,वक्रता त्रिज्या $R$ और समतुल्य फोकस दूरी $f_{eq}$ का अनुपात है: $\frac{R}{f_{eq}} = \mu_{1}-\mu_{2}$.

(B) दो लेंसों के संयोजन से गुजरने के बाद प्रकाश की समानांतर किरण पुंज के समानांतर रहने के लिए,पहले लेंस का दूसरा मुख्य फोकस और दूसरे लेंस का पहला मुख्य फोकस एक ही बिंदु पर स्थित होना चाहिए।
मान लीजिए $f_1 = 20 \, cm$ (उत्तल लेंस) और $f_2 = -5 \, cm$ (अवतल लेंस)।
लेंसों के बीच की दूरी $d$ का सूत्र $d = f_1 + f_2$ है।
मान रखने पर,$d = 20 \, cm + (-5 \, cm) = 15 \, cm$ प्राप्त होता है।
अतः,दूरी $d$ का मान $15 \, cm$ है।

(A) उत्तल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ होता है।
दिया गया है $f = 15 \, cm$ और $\mu = 1.5$,और एक सममित उत्तल लेंस के लिए $R_1 = R$ और $R_2 = -R$ लेने पर:
$\frac{1}{15} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = 0.5 \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$.
अतः,$R = 15 \, cm$.
संयोजन में दो उत्तल लेंस और उनके बीच एक द्रव लेंस है। द्रव लेंस का अपवर्तनांक $\mu_l = 1.25$ है और इसकी सतहों की वक्रता त्रिज्या $-R$ और $R$ है (अवतल आकार)।
द्रव लेंस की फोकस दूरी $f_l$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{f_l} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right) = (1.25 - 1) \left( -\frac{2}{R} \right) = 0.25 \left( -\frac{2}{15} \right) = -\frac{0.5}{15} = -\frac{1}{30}$.
संयोजन की तुल्य फोकस दूरी $f_{eq}$ है:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_l} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{15} - \frac{1}{30} + \frac{1}{15} = \frac{2 - 1 + 2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.
इसलिए,$f_{eq} = 10 \, cm$.

(A) ऑप्टिकल उपकरण में $f = 10 \,cm$ फोकस दूरी वाले तीन समान उत्तल लेंस हैं,जो एक-दूसरे से $30 \,cm$ की दूरी पर रखे गए हैं।
स्थिति $1$: स्रोत $O$ पहले लेंस से $10 \,cm$ की दूरी पर है। चूंकि $u = -10 \,cm$ और $f = 10 \,cm$ है,इसलिए पहले लेंस से गुजरने के बाद किरणें समानांतर हो जाती हैं। ये समानांतर किरणें दूसरे लेंस पर पड़ती हैं,जो उन्हें अपने फोकस बिंदु पर,उसके पीछे $10 \,cm$ की दूरी पर केंद्रित करता है। चूंकि दूसरे और तीसरे लेंस के बीच की दूरी $30 \,cm$ है,इसलिए दूसरे लेंस के फोकस बिंदु से आने वाली किरणें तीसरे लेंस के लिए $20 \,cm$ $(30 - 10 = 20 \,cm)$ की दूरी पर एक अपसारी स्रोत के रूप में कार्य करती हैं। तीसरे लेंस के लिए लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,जहां $u = -20 \,cm$ और $f = 10 \,cm$ है,हमें $\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20}$ प्राप्त होता है,इसलिए $v = 20 \,cm$। अंतिम प्रतिबिंब तीसरे लेंस के पीछे $20 \,cm$ की दूरी पर बनता है।
स्थिति $2$: जब उपकरण को $10 \,cm$ दूर ले जाया जाता है,तो स्रोत अब पहले लेंस से $20 \,cm$ की दूरी पर होता है। पहले लेंस के लिए,$u = -20 \,cm$ और $f = 10 \,cm$,इसलिए $v = 20 \,cm$। इसके बाद किरणें दूसरे लेंस पर $10 \,cm$ $(30 - 20 = 10 \,cm)$ की दूरी पर पड़ती हैं। चूंकि $u = -10 \,cm$ और $f = 10 \,cm$ है,इसलिए दूसरे लेंस के बाद किरणें समानांतर हो जाती हैं। ये समानांतर किरणें तीसरे लेंस पर पड़ती हैं और उसके पीछे $10 \,cm$ की दूरी पर उसके फोकस बिंदु पर केंद्रित हो जाती हैं।
स्रोत के सापेक्ष अंतिम प्रतिबिंब की स्थिति की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि दोनों स्थितियों में स्रोत और प्रतिबिंब के बीच की कुल दूरी स्थिर रहती है। इसलिए,प्रतिबिंब की स्थिति में विस्थापन $0 \,cm$ है।

(D) पहले लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब दूसरे लेंस के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है।
पहले लेंस $(L_1)$ के लिए:
दिया गया है $u_1 = -0.40 \,m$ और $f_1 = +0.20 \,m$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{u_1} = \frac{1}{0.20} + \frac{1}{-0.40} = 5 - 2.5 = 2.5 \,m^{-1}$.
अतः,$v_1 = \frac{1}{2.5} = 0.40 \,m$.
यह प्रतिबिंब $L_1$ के दाईं ओर $0.40 \,m$ की दूरी पर बनता है।
दूसरे लेंस $(L_2)$ के लिए:
लेंसों के बीच की दूरी $0.30 \,m$ है। $L_1$ से प्राप्त प्रतिबिंब $L_1$ के दाईं ओर $0.40 \,m$ पर है,जिसका अर्थ है कि यह $L_2$ के दाईं ओर $0.40 - 0.30 = 0.10 \,m$ की दूरी पर है।
चूंकि प्रकाश किरणें $L_2$ के पीछे एक बिंदु की ओर अभिसरित हो रही हैं,यह $L_2$ के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
इस प्रकार,$u_2 = +0.10 \,m$ और $f_2 = -0.10 \,m$ (अवतल लेंस)।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{f_2} + \frac{1}{u_2} = \frac{1}{-0.10} + \frac{1}{0.10} = -10 + 10 = 0$.
इसलिए,$v_2 = \infty$.
अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है।

(C) $1$. जब प्रकाश की एक समानांतर किरण पुंज $f_1 = 100 \, cm$ फोकस दूरी वाले उत्तल लेंस पर आपतित होती है,तो यह उसके फोकस की ओर अभिसरित होती है,जो उत्तल लेंस से $100 \, cm$ की दूरी पर है।
$2$. अवतल लेंस को उत्तल लेंस से $90 \, cm$ की दूरी पर रखा गया है। इसलिए,प्रकाश की किरणें अवतल लेंस के पीछे $10 \, cm$ की दूरी पर स्थित एक बिंदु की ओर निर्देशित होती हैं।
$3$. अवतल लेंस के लिए,यह बिंदु एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। अवतल लेंस से इस आभासी वस्तु की दूरी $u = +10 \, cm$ है।
$4$. अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -10 \, cm$ है।
$5$. लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{v} - \frac{1}{10} = \frac{1}{-10}$ प्राप्त होता है।
$6$. इसे सरल करने पर $\frac{1}{v} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $v = \infty$.
$7$. चूंकि प्रतिबिंब अनंत पर बनता है,इसलिए अवतल लेंस से निकलने वाली प्रकाश किरणें एक समानांतर किरण पुंज के रूप में बाहर आती हैं।

(C) पहले लेंस $(I)$ पर आपतित समांतर किरणों के लिए,किरणें उसके फोकस पर अभिसरित होती हैं,जो उसके प्रकाशिक केंद्र $O_1$ से $f_1$ दूरी पर है।
अंतिम निर्गत किरणों के मुख्य अक्ष के समांतर होने के लिए,अभिसरण बिंदु (जो दूसरे लेंस $II$ के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है) को दूसरे लेंस के फोकस पर होना चाहिए। इसका अर्थ है कि इस बिंदु की प्रकाशिक केंद्र $O_2$ से दूरी $f_2$ होनी चाहिए।
चूंकि अभिसरण बिंदु $O_1$ से $f_1$ दूरी पर और $O_2$ से $f_2$ दूरी पर है,इसलिए दोनों लेंसों के बीच की कुल दूरी $d$ इन दो फोकस दूरियों का योग है।
अतः,$d = f_1 + f_2$.

(A) लेंस की क्षमता $P = 1/f$ द्वारा दी जाती है। एक अभिसारी लेंस के लिए,क्षमता धनात्मक होती है।
जब दो अभिसारी लेंसों को संपर्क में रखा जाता है,तो संयोजन की कुल क्षमता $P_{eq} = P_1 + P_2$ होती है।
चूंकि दोनों लेंस अभिसारी हैं,$P_1 > 0$ और $P_2 > 0$,इसलिए $P_{eq} > P_1$ होगा।
चूंकि $P_{eq} = 1/f_{eq}$ और $P_1 = 1/f_1$,असमिका $P_{eq} > P_1$ का अर्थ है $1/f_{eq} > 1/f_1$,जिसका अर्थ है $f_{eq} < f_1$।
दिया गया है $f_1 = 30 \,cm$,इसलिए संयोजन की फोकस दूरी $30 \,cm$ से कम होनी चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $15 \,cm$ ही $30 \,cm$ से कम और धनात्मक है (क्योंकि दो अभिसारी लेंसों का संयोजन भी एक अभिसारी लेंस ही होता है)।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) समतल-अवतल लेंस $(L_1)$ के लिए:
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर, $\frac{1}{f_1} = (\mu - 1) \left( -\frac{1}{R} \right) = (1.75 - 1) \left( -\frac{1}{30} \right) = 0.75 \times \left( -\frac{1}{30} \right) = -\frac{0.75}{30} = -\frac{1}{40}$.
अतः, $f_1 = -40\,cm$.
चूंकि वस्तु अनंत पर है, $L_1$ पर आपतित किरणें समानांतर हैं। $L_1$ से गुजरने के बाद, वे $L_1$ के बाईं ओर $40\,cm$ की दूरी से अपसरित होती हुई प्रतीत होती हैं।
समतल-उत्तल लेंस $(L_2)$ के लिए:
लेंसों के बीच की दूरी $d = 40\,cm$ है।
$L_1$ द्वारा निर्मित आभासी प्रतिबिंब $L_2$ के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
$L_2$ से इस आभासी वस्तु की दूरी $u_2 = -(40 + 40) = -80\,cm$ है।
$L_2$ के लिए लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर, $\frac{1}{f_2} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} \right) = (1.75 - 1) \left( \frac{1}{30} \right) = \frac{0.75}{30} = \frac{1}{40}$.
अतः, $f_2 = 40\,cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-80} = \frac{1}{40} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{40} - \frac{1}{80} = \frac{2-1}{80} = \frac{1}{80}$.
अतः, $v_2 = 80\,cm$ ($L_2$ के दाईं ओर)।
अवतल लेंस $(L_1)$ से अंतिम प्रतिबिंब की दूरी $x = d + v_2 = 40 + 80 = 120\,cm$ है।

(C) प्रथम लेंस $L_1$ के लिए,वस्तु दूरी $u_1 = -6\,cm$ और फोकस दूरी $f_1 = +24\,cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-6} = \frac{1}{24}$
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{24} - \frac{1}{6} = \frac{1-4}{24} = -\frac{3}{24} = -\frac{1}{8}$
अतः,$v_1 = -8\,cm$। इसका अर्थ है कि एक आभासी प्रतिबिंब $I_1$,$L_1$ के बाईं ओर $8\,cm$ की दूरी पर बनता है।
दूसरे लेंस $L_2$ के लिए,वस्तु दूरी $u_2$,$L_2$ से $I_1$ की दूरी है। चूँकि $I_1$,$L_1$ के बाईं ओर $8\,cm$ पर है और $L_1$,$L_2$ के बाईं ओर $10\,cm$ पर है,इसलिए $u_2 = -(8 + 10) = -18\,cm$। फोकस दूरी $f_2 = +9\,cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-18} = \frac{1}{9}$
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{9} - \frac{1}{18} = \frac{2-1}{18} = \frac{1}{18}$
अतः,$v_2 = +18\,cm$। इसका अर्थ है कि अंतिम प्रतिबिंब $L_2$ के दाईं ओर $18\,cm$ की दूरी पर बनता है।
वस्तु $L_1$ के बाईं ओर $6\,cm$ पर है। अंतिम प्रतिबिंब $L_2$ के दाईं ओर $18\,cm$ पर है। लेंसों के बीच की दूरी $10\,cm$ है।
वस्तु और अंतिम प्रतिबिंब के बीच की कुल दूरी $6\,cm + 10\,cm + 18\,cm = 34\,cm$ है।

(D) पहले लेंस $L_1$ के लिए,वस्तु अनंत पर है $(u = -\infty)$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-\infty} = \frac{1}{20} \implies v_1 = 20\,cm$।
यह प्रतिबिंब $I_1$ दूसरे लेंस $L_2$ के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
लेंसों के बीच की दूरी $d = 60\,cm$ है।
$L_2$ से $I_1$ की दूरी $u_2 = -(60 - 20) = -40\,cm$ है (क्योंकि यह लेंस के सामने है)।
दूसरे लेंस $L_2$ के लिए,लेंस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40} \implies v_2 = 40\,cm$।
पहले लेंस $L_1$ से अंतिम प्रतिबिंब की कुल दूरी $60 + 40 = 100\,cm$ है।

(D) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right]$ का उपयोग करते हुए।
पहले लेंस के लिए $(f_1)$: $\frac{1}{f_1} = (1.6 - 1) \left[\frac{1}{\infty} - \frac{1}{20}\right] = 0.6 \times (-\frac{1}{20}) = -\frac{3}{100}$.
दूसरे लेंस के लिए $(f_2)$: $\frac{1}{f_2} = (1.5 - 1) \left[\frac{1}{20} - \frac{1}{-20}\right] = 0.5 \times \frac{2}{20} = \frac{1}{20}$.
तीसरे लेंस के लिए $(f_3)$: $\frac{1}{f_3} = (1.6 - 1) \left[\frac{1}{20} - \frac{1}{\infty}\right] = 0.6 \times \frac{1}{20} = \frac{3}{100}$.
तुल्य फोकस दूरी के लिए: $\frac{1}{f_{\text{eq}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3} = -\frac{3}{100} + \frac{1}{20} - \frac{3}{100} = -\frac{1}{100}$.
अतः,$f_{\text{eq}} = -100 \ cm$.

(A) संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों की तुल्य फोकस दूरी $(f_{eq})$ का सूत्र है: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$।
उत्तल लेंस के लिए फोकस दूरी धनात्मक $(+f)$ होती है और अवतल लेंस के लिए फोकस दूरी ऋणात्मक $(-f)$ होती है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f} + \left(-\frac{1}{f}\right) = 0$।
अतः,$\frac{1}{f_{eq}} = 0$,जिसका अर्थ है कि $f_{eq} = \infty$ (अनंत)।

(A) संपर्क में रखे गए लेंसों के संयोजन की प्रभावी शक्ति उनकी व्यक्तिगत शक्तियों के योग के बराबर होती है: $P_{eq} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5$.
चूंकि सभी $5$ लेंस समान हैं,इसलिए $P_{eq} = 5P$ होगा।
दिया गया है कि $P_{eq} = 25 \ D$,इसलिए $5P = 25 \ D$,जिसका अर्थ है कि $P = 5 \ D$.
शक्ति $P$ और फोकस दूरी $f$ (मीटर में) के बीच का संबंध $P = \frac{1}{f}$ है।
इसलिए,$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{5} \ m = 0.2 \ m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर,$f = 0.2 \times 100 \ cm = 20 \ cm$.
अतः,प्रत्येक लेंस की फोकस दूरी $20 \ cm$ है।

(A) पहले लेंस के लिए $(f_1 = 10 \ cm)$: वस्तु की दूरी $u_1 = -30 \ cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3-1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ प्राप्त होता है। अतः,$v_1 = 15 \ cm$। प्रतिबिंब पहले लेंस के दाईं ओर $15 \ cm$ पर बनता है।
दूसरे लेंस के लिए $(f_2 = -10 \ cm)$: पहले और दूसरे लेंस के बीच की दूरी $5 \ cm$ है। पहले लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब दूसरे लेंस के लिए वस्तु का कार्य करता है। वस्तु की दूरी $u_2 = +(15 - 5) = +10 \ cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{-10} + \frac{1}{10} = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$v_2 = \infty$।
तीसरे लेंस के लिए $(f_3 = 30 \ cm)$: किरणें मुख्य अक्ष के समानांतर हैं क्योंकि वे अनंत से आ रही हैं। इसलिए,अंतिम प्रतिबिंब तीसरे लेंस के फोकस बिंदु पर बनता है,जो तीसरे लेंस के दाईं ओर $30 \ cm$ की दूरी पर है।

(C) दो उत्तल लेंसों से गुजरने के बाद किरणों के मुख्य अक्ष के समानांतर निकलने के लिए,पहले लेंस द्वारा बनाई गई मध्यवर्ती छवि को दूसरे लेंस के फोकस बिंदु पर स्थित होना चाहिए।
चूंकि आपतित किरणें मुख्य अक्ष के समानांतर हैं,वे पहले लेंस $L_1$ के फोकस बिंदु पर उससे $f_1 = 10 \,cm$ की दूरी पर अभिसरित होती हैं।
इन किरणों के दूसरे लेंस $L_2$ से समानांतर निकलने के लिए,यह फोकस बिंदु दूसरे लेंस $L_2$ का भी फोकस बिंदु होना चाहिए। इसलिए,दोनों लेंसों के बीच की दूरी $d = f_1 + f_2$ होनी चाहिए।
यहाँ $f_1 = 10 \,cm$ और $f_2 = 15 \,cm$ दिया गया है,इसलिए दूरी $d = 10 \,cm + 15 \,cm = 25 \,cm$ होगी।

(B) लेंस की फोकस दूरी $f$,लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (n-1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
पहले समतल-उत्तल लेंस के लिए $(n_1 = 1.5)$: $\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{14} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{0.5}{14} = \frac{1}{28} \ cm^{-1}$.
दूसरे समतल-उत्तल लेंस के लिए $(n_2 = 1.2)$: $\frac{1}{f_2} = (1.2 - 1) \left[ \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-14} \right] = \frac{0.2}{14} = \frac{1}{70} \ cm^{-1}$.
संपर्क में रखे पतले लेंसों के संयोजन के लिए,प्रभावी फोकस दूरी $F$ को $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{F} = \frac{1}{28} + \frac{1}{70} = \frac{5 + 2}{140} = \frac{7}{140} = \frac{1}{20} \ cm^{-1}$.
अतः,प्रभावी फोकस दूरी $F = 20 \ cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = -40 \ cm$:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2 - 1}{40} = \frac{1}{40}$.
इसलिए,प्रतिबिंब की दूरी $v = 40 \ cm$ है।

(B) पतले लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$. दिया गया है $\mu = 1.5$,इसलिए $(\mu - 1) = 0.5 = \frac{1}{2}$.
$(P)$ दो उत्तल (biconvex) लेंस: प्रत्येक लेंस के लिए $f = r$। समतुल्य फोकस दूरी $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{2}{r} \implies f_{eq} = \frac{r}{2}$। अतः,$P-2$।
$(Q)$ दो मेनिस्कस लेंस जो उत्तल आकार बनाते हैं: $f_{eq} = r$। अतः,$Q-4$।
$(R)$ दो अवतल (biconcave) लेंस: $f_{eq} = -r$। अतः,$R-3$।
$(S)$ एक उत्तल और एक मेनिस्कस लेंस का संयोजन: $f_{eq} = 2r$। अतः,$S-1$।
मिलान: $P-2, Q-4, R-3, S-1$।

(A) सभी मामलों के लिए,पहले लेंस के लिए वस्तु की दूरी $u_1 = -20 \ cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है,या $v = \frac{uf}{u+f}$। लेंसों के बीच की दूरी $d = 5 \ cm$ है। दूसरे लेंस के लिए वस्तु की दूरी $u_2 = v_1 - d$ है।
$(I)$ $f_1 = +10, f_2 = +15$: $v_1 = \frac{(-20)(10)}{-20+10} = +20 \ cm$. $u_2 = 20 - 5 = +15 \ cm$. $v_2 = \frac{(15)(15)}{15+15} = +7.5 \ cm$ (दाईं ओर)। $(P)$ से मेल खाता है।
$(II)$ $f_1 = +10, f_2 = -10$: $v_1 = +20 \ cm$. $u_2 = 20 - 5 = +15 \ cm$. $v_2 = \frac{(15)(-10)}{15-10} = -30 \ cm$ (बाईं ओर)। $(R)$ से मेल खाता है।
$(III)$ $f_1 = +10, f_2 = -20$: $v_1 = +20 \ cm$. $u_2 = 20 - 5 = +15 \ cm$. $v_2 = \frac{(15)(-20)}{15-20} = +60 \ cm$ (दाईं ओर)। $(Q)$ से मेल खाता है।
$(IV)$ $f_1 = -20, f_2 = +10$: $v_1 = \frac{(-20)(-20)}{-20-20} = -10 \ cm$. $u_2 = -10 - 5 = -15 \ cm$. $v_2 = \frac{(-15)(10)}{-15+10} = +30 \ cm$ (दाईं ओर)। $(T)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow Q, IV \rightarrow T$ है।

(D) दी गई फोकस दूरियाँ $f_1 = 30 \ cm = 0.3 \ m$ और $f_2 = 10 \ cm = 0.1 \ m$ हैं।
लेंसों के बीच की दूरी $d = 1 \ cm = 0.01 \ m$ है।
$d$ दूरी पर स्थित दो लेंसों के लिए समतुल्य फोकस दूरी $f_{eq}$ का सूत्र है:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
मीटर में मान रखने पर:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{0.3} + \frac{1}{0.1} - \frac{0.01}{0.3 \times 0.1}$
$\frac{1}{f_{eq}} = 3.33 + 10 - \frac{0.01}{0.03}$
$\frac{1}{f_{eq}} = 3.33 + 10 - 0.33 = 13 \ D$
पुनः गणना करने पर: $P = \frac{1}{0.3} + \frac{1}{0.1} - \frac{0.01}{0.03} = 3.33 + 10 - 3.33 = 10 \ D$.
अतः,संयोजन की शक्ति $10 \ D$ है।

(D) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = +30 \ cm$ है और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -20 \ cm$ है।
संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों के संयोजन के लिए,तुल्य फोकस दूरी $f$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{30} + \frac{1}{-20} = \frac{2 - 3}{60} = -\frac{1}{60}$
अतः,$f = -60 \ cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ वस्तु की दूरी $u = -20 \ cm$ है:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{-60}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{20} = -\frac{1}{60}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{60} - \frac{1}{20} = \frac{-1 - 3}{60} = -\frac{4}{60} = -\frac{1}{15}$
इसलिए,$v = -15 \ cm$ है।
लेंस से प्रतिबिंब की दूरी $15 \ cm$ है।

(C) जब लेंसों के संयोजन का उपयोग किया जाता है,तो कुल पावर व्यक्तिगत पावर का बीजगणितीय योग होता है।
$p$ पावर वाले चार समान लेंसों के लिए,कुल पावर $P_{\text{net}} = p + p + p + p = 4p$ होती है।
जब लेंस संपर्क में रखे जाते हैं,तो संयोजन का कुल आवर्धन व्यक्तिगत आवर्धन का गुणनफल होता है।
$m$ आवर्धन वाले चार समान लेंसों के लिए,कुल आवर्धन $m_{\text{net}} = m \times m \times m \times m = m^4$ होता है।
अतः,पावर $4p$ और आवर्धन $m^4$ है।

(D) संयोजन की तुल्य शक्ति $P = P_1 + P_2 = 10D - 5D = 5D$ है।
चूंकि $P = 5D$,इसलिए फोकस दूरी $f = \frac{1}{P} = \frac{1}{5} m = 20 \ cm$ होगी।
लेंस के लिए,आवर्धन $m = \frac{f}{f + u}$ होता है।
दिया गया है $m = 2$ (आभासी प्रतिबिंब के लिए $m$ धनात्मक होता है) और $f = 20 \ cm$,इसलिए $2 = \frac{20}{20 + u}$।
$40 + 2u = 20$.
$2u = -20$.
$u = -10 \ cm$.
अतः,वस्तु को लेंस संयोजन से $10 \ cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(B) दूरी पर स्थित $P_1$ और $P_2$ शक्ति वाले दो पतले लेंसों की समतुल्य शक्ति $P_{eq}$ का सूत्र है: $P_{eq} = P_1 + P_2 - d P_1 P_2$.
दिया गया है कि $P_1 + P_2 = 9 \text{ D}$ और $d = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$9 - (0.2) P_1 P_2 = \frac{27}{5} = 5.4$.
$P_1 P_2$ के लिए हल करने पर:
$0.2 P_1 P_2 = 9 - 5.4 = 3.6$.
$P_1 P_2 = \frac{3.6}{0.2} = 18$.
अब हमारे पास दो समीकरण हैं: $P_1 + P_2 = 9$ और $P_1 P_2 = 18$.
ये द्विघात समीकरण $x^2 - 9x + 18 = 0$ के मूल हैं।
गुणनखंड करने पर: $(x - 3)(x - 6) = 0$.
अतः,दोनों लेंसों की शक्ति $3 \text{ D}$ और $6 \text{ D}$ है।

(B) दिया गया है कि उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = f$ है और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -f$ है।
जब दो पतले लेंस संपर्क में रखे जाते हैं,तो संयोजन की तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \left( -\frac{1}{f} \right)$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f} = 0$
चूंकि $\frac{1}{F} = 0$ है,इसका अर्थ है कि $F = \infty$ है।
अतः,संयोजन की तुल्य फोकस दूरी अनंत है।

(A) एक्रोमैटिक डबलट के लिए शर्त $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ है, जिसे शक्ति के संदर्भ में $\omega_1 P_1 + \omega_2 P_2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है: कुल शक्ति $P = P_1 + P_2 = +2 \text{ D}$।
उत्तल लेंस की शक्ति $P_1 = +5 \text{ D}$।
इसलिए, $P_2 = P - P_1 = 2 - 5 = -3 \text{ D}$।
एक्रोमैटिक शर्त में मान रखने पर: $\omega_1(5) + \omega_2(-3) = 0$।
इसका अर्थ है $5\omega_1 = 3\omega_2$।
विक्षेपण शक्तियों का अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{3}{5}$ है।

(D) $n_1$ अपवर्तनांक वाले समतल-उत्तल लेंस के लिए,लेंस निर्माता के सूत्र के अनुसार फोकस दूरी $f_1$ है: $\frac{1}{f_1} = (n_1 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{n_1 - 1}{R}$.
$n_2$ अपवर्तनांक वाले समतल-अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_2$ है: $\frac{1}{f_2} = (n_2 - 1) \left( -\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = -\frac{n_2 - 1}{R}$.
जब इन दो लेंसों को जोड़ा जाता है,तो प्रभावी फोकस दूरी $F$ को $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{F} = \frac{n_1 - 1}{R} - \frac{n_2 - 1}{R} = \frac{n_1 - 1 - n_2 + 1}{R} = \frac{n_1 - n_2}{R}$.
अतः,संयोजन की फोकस दूरी $F = \frac{R}{n_1 - n_2}$ है।

(D) संपर्क में रखे लेंसों के संयोजन की कुल क्षमता व्यक्तिगत लेंसों की क्षमताओं का बीजगणितीय योग होती है।
$P = P_1 + P_2$
यहाँ $P_1 = +2.50 \ D$ और $P_2 = -3.75 \ D$ दिया गया है।
$P = 2.50 + (-3.75) = -1.25 \ D$।
फोकस दूरी $f$,मीटर में क्षमता $P$ का व्युत्क्रम होती है:
$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-1.25} \ m$।
$f = -0.8 \ m$।
चूंकि $1 \ m = 100 \ cm$ होता है,इसलिए:
$f = -0.8 \times 100 \ cm = -80 \ cm$।

(B) शक्ति $(P) = \frac{1}{f} \dots (i)$
दिया गया है,शक्ति के परिमाण का अनुपात $\frac{|P_{\text{concave}}|}{|P_{\text{convex}}|} = \frac{2}{3} \dots (ii)$
मान लीजिए उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_{\text{convex}} = f$ (धनात्मक) है और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_{\text{concave}} = -f'$ (ऋणात्मक) है।
चूंकि $P = \frac{1}{f}$,शक्तियों का अनुपात $\frac{1/f'}{1/f} = \frac{f}{f'} = \frac{2}{3}$ है,जिसका अर्थ है $f' = \frac{3}{2}f$.
अतः,$f_{\text{convex}} = f$ और $f_{\text{concave}} = -\frac{3}{2}f$.
संपर्क में रखे दो लेंसों के लिए तुल्य फोकस दूरी का सूत्र उपयोग करने पर: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_{\text{convex}}} + \frac{1}{f_{\text{concave}}}$
$\frac{1}{30} = \frac{1}{f} - \frac{1}{\frac{3}{2}f} = \frac{1}{f} - \frac{2}{3f} = \frac{3-2}{3f} = \frac{1}{3f}$
$\frac{1}{30} = \frac{1}{3f} \Rightarrow 3f = 30 \Rightarrow f = 10 \ cm$.
इसलिए,$f_{\text{convex}} = 10 \ cm$ और $f_{\text{concave}} = -\frac{3}{2}(10) = -15 \ cm$.

(A) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f}$ द्वारा दी जाती है (जहाँ $f$ मीटर में है)।
उत्तल लेंस के लिए,$f_1 = +40 \ cm = +0.4 \ m$।
अवतल लेंस के लिए,$f_2 = -25 \ cm = -0.25 \ m$।
संपर्क में रखे पतले लेंसों के संयोजन की शक्ति $P = P_1 + P_2 = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ होती है।
मान रखने पर: $P = \frac{1}{0.4} + \frac{1}{-0.25}$।
$P = 2.5 - 4.0 = -1.5 \ D$।

(B) लेंस की शक्ति $P$ को $P = \frac{1}{f(m)}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ मीटर में फोकस दूरी है।
उत्तल लेंस के लिए,$f_1 = +40 \ cm = +0.4 \ m$. अतः,$P_1 = \frac{1}{0.4} = +2.5 \ D$.
अवतल लेंस के लिए,$f_2 = -25 \ cm = -0.25 \ m$. अतः,$P_2 = \frac{1}{-0.25} = -4.0 \ D$.
संपर्क में रखे गए लेंसों के संयोजन की शक्ति $P = P_1 + P_2$ होती है।
$P = 2.5 \ D + (-4.0 \ D) = -1.5 \ D$.

(B) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $f$ मीटर में फोकस दूरी है।
संपर्क में रखे गए पतले लेंसों के संयोजन के लिए, तुल्य शक्ति $P$ व्यक्तिगत शक्तियों का बीजगणितीय योग होती है:
$P = P_1 + P_2$
दिया गया है:
$P_1 = -15 D$
$P_2 = +5 D$
मान रखने पर:
$P = -15 D + 5 D = -10 D$
अब, फोकस दूरी $f$ की गणना करें:
$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-10} \,m$
$f = -0.1 \,m$
सेंटीमीटर में बदलने पर $(1 \,m = 100 \,cm)$:
$f = -0.1 \times 100 \,cm = -10 \,cm$
अतः, संयोजन की फोकस दूरी $-10 \,cm$ है।

(D) मान लीजिए कि दो लेंसों की शक्तियाँ $P_1$ और $P_2$ हैं। जब लेंस संपर्क में होते हैं,तो समतुल्य शक्ति $P = P_1 + P_2 = 10 D$ द्वारा दी जाती है।
जब लेंस $d = 0.25 m$ की दूरी पर होते हैं,तो समतुल्य शक्ति $P = P_1 + P_2 - d P_1 P_2 = 6 D$ द्वारा दी जाती है।
दूसरे समीकरण में $P_1 + P_2 = 10$ रखने पर: $10 - 0.25 P_1 P_2 = 6$।
इसे सरल करने पर $0.25 P_1 P_2 = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $P_1 P_2 = 16$।
हम जानते हैं कि $(P_1 - P_2)^2 = (P_1 + P_2)^2 - 4 P_1 P_2$।
$(P_1 - P_2)^2 = (10)^2 - 4(16) = 100 - 64 = 36$।
अतः,$P_1 - P_2 = 6 D$।
समीकरण $P_1 + P_2 = 10$ और $P_1 - P_2 = 6$ को हल करने पर,हमें $2 P_1 = 16 \Rightarrow P_1 = 8 D$ और $P_2 = 2 D$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि दो पतले लेंसों की शक्तियाँ $P_1$ और $P_2$ हैं।
दिया गया है कि संपर्क में रखे लेंसों की संयुक्त शक्ति $P = P_1 + P_2 = 9 D$ ---$(1)$
जब लेंसों को $d = 20 \,cm = 0.2 \,m$ की दूरी पर रखा जाता है, तो समतुल्य शक्ति $P_{eq}$ का सूत्र है:
$P_{eq} = P_1 + P_2 - d P_1 P_2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{27}{5} = 9 - 0.2 P_1 P_2$
$5.4 = 9 - 0.2 P_1 P_2$
$0.2 P_1 P_2 = 9 - 5.4 = 3.6$
$P_1 P_2 = \frac{3.6}{0.2} = 18$ ---$(2)$
हमारे पास योग $P_1 + P_2 = 9$ और गुणनफल $P_1 P_2 = 18$ है।
ये द्विघात समीकरण $x^2 - (P_1 + P_2)x + P_1 P_2 = 0$ के मूल हैं, जो $x^2 - 9x + 18 = 0$ है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$(x - 3)(x - 6) = 0$
अतः, $x = 3$ या $x = 6$ है।
इस प्रकार, व्यक्तिगत शक्तियाँ $3 D$ और $6 D$ हैं।
सही विकल्प $(D)$ है।

(B) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = 20 \,cm$ है और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -56 \,cm$ है।
$d$ दूरी पर स्थित दो पतले लेंसों के संयोजन के लिए, समतुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
चूंकि आपतित पुंज समानांतर है और निर्गत पुंज भी समानांतर है, इसलिए यह संयोजन एक ऐसी प्रणाली के रूप में कार्य करता है जिसकी फोकस दूरी अनंत है, अर्थात $F = \infty$, जिसका अर्थ है $\frac{1}{F} = 0$.
सूत्र में मान रखने पर:
$0 = \frac{1}{20} + \frac{1}{-56} - \frac{d}{20 \times (-56)}$
$\frac{d}{20 \times 56} = \frac{1}{20} - \frac{1}{56}$
$\frac{d}{1120} = \frac{56 - 20}{1120}$
$d = 56 - 20 = 36 \,cm$.
अतः, दूरी $d$ का परिमाण $36 \,cm$ है।

(A) समतल-उत्तल लेंस के लिए,लेंस निर्माता के सूत्र द्वारा फोकस दूरी $f_1$ है: $\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty}) = \frac{\mu_1 - 1}{R}$.
समतल-अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_2$ है: $\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1)(\frac{1}{-\infty} - \frac{1}{-R}) = \frac{\mu_2 - 1}{-R} = -\frac{\mu_2 - 1}{R}$.
संयोजन की फोकस दूरी $f$ के लिए सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{\mu_1 - 1}{R} - \frac{\mu_2 - 1}{R} = \frac{\mu_1 - 1 - \mu_2 + 1}{R} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{R}$.
अतः,$f = \frac{R}{\mu_1 - \mu_2}$.

(A) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = +30 \ cm$ है।
अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_2 = -10 \ cm$ है।
जब दो पतले लेंसों को संपर्क में रखा जाता है,तो तुल्य फोकस दूरी $f$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{30} + \frac{1}{-10}$
$\frac{1}{f} = \frac{1 - 3}{30}$
$\frac{1}{f} = \frac{-2}{30}$
$\frac{1}{f} = \frac{-1}{15}$
अतः,$f = -15 \ cm$ प्राप्त होता है।

(D) संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों की समतुल्य फोकस दूरी $f$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
चूंकि दोनों लेंस उत्तल हैं और उनकी फोकस दूरियां $f_1 = 30 \ cm$ और $f_2 = 30 \ cm$ हैं:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{30} + \frac{1}{30}$
$\frac{1}{f} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$
अतः,$f = 15 \ cm$.
सही विकल्प $D$ है।

(D) जब $f_{1}$ और $f_{2}$ फोकस दूरी वाले दो पतले लेंस संपर्क में रखे जाते हैं,तो संयोजन की समतुल्य फोकस दूरी $f$ का सूत्र है: $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}}$.
चूंकि लेंस की शक्ति को $P = \frac{1}{f}$ (जहाँ $f$ मीटर में है) के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए संयोजन की शक्ति $P$ व्यक्तिगत शक्तियों का योग है: $P = P_{1} + P_{2}$.
शक्ति के लिए व्यंजक रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $P = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}}$.
सामान्य हर लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $P = \frac{f_{1} + f_{2}}{f_{1} f_{2}}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) कार्तीय चिह्न परिपाटी के अनुसार:
पहले उत्तल लेंस की फोकस दूरी $= f_{1}$
दूसरे उत्तल लेंस की फोकस दूरी $= f_{2}$
तीसरे अवतल लेंस की फोकस दूरी $= -f_{3}$
संपर्क में रखे पतले लेंसों के संयोजन के लिए,कुल शक्ति $P = P_{A} + P_{B} = \frac{1}{f_{A}} + \frac{1}{f_{B}}$ होती है।
पहले और दूसरे लेंस के लिए: $P_{1} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}} = \frac{f_{1} + f_{2}}{f_{1} f_{2}}$।
पहले और तीसरे लेंस के लिए: $P_{2} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{-f_{3}} = \frac{1}{f_{1}} - \frac{1}{f_{3}} = \frac{f_{3} - f_{1}}{f_{1} f_{3}}$।
दूसरे और तीसरे लेंस के लिए: $P_{3} = \frac{1}{f_{2}} + \frac{1}{-f_{3}} = \frac{1}{f_{2}} - \frac{1}{f_{3}} = \frac{f_{3} - f_{2}}{f_{2} f_{3}}$।