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Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Hindi
Class 12 Physics · Nuclei · Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life
573+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 49 of 573 questions in Hindi
451
MediumMCQ
एक रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $20 \text{ मिनट}$ है। $........ \text{ मिनट}$ समय में,पदार्थ की सक्रियता (activity) अपने प्रारंभिक मान के $\left(\frac{1}{16}\right)^{th}$ भाग तक गिर जाती है।
A
$80$
B
$20$
C
$40$
D
$60$
Solution
(A) दिया गया है: अर्ध-आयु $T = 20 \text{ min}$.
समय $t$ पर रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है: $\frac{R}{R_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$,जहाँ $n = \frac{t}{T}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
हमें दिया गया है कि सक्रियता अपने प्रारंभिक मान की $\frac{1}{16}$ हो जाती है,इसलिए $\frac{R}{R_0} = \frac{1}{16}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$
चूंकि $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$,इसलिए:
$\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$4 = \frac{t}{20}$
$t$ के लिए हल करने पर:
$t = 4 \times 20 = 80 \text{ मिनट}$.
समय $t$ पर रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है: $\frac{R}{R_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$,जहाँ $n = \frac{t}{T}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
हमें दिया गया है कि सक्रियता अपने प्रारंभिक मान की $\frac{1}{16}$ हो जाती है,इसलिए $\frac{R}{R_0} = \frac{1}{16}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$
चूंकि $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$,इसलिए:
$\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$4 = \frac{t}{20}$
$t$ के लिए हल करने पर:
$t = 4 \times 20 = 80 \text{ मिनट}$.
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DifficultMCQ
$5 \mu Ci$ की सक्रियता वाले एक रेडियोधर्मी नमूने $S_1$ में $10 \mu Ci$ की सक्रियता वाले दूसरे नमूने $S_2$ की तुलना में दोगुने नाभिक हैं। $S_1$ और $S_2$ की अर्ध-आयु (half-lives) क्या हो सकती हैं?
A
क्रमशः $20$ वर्ष और $5$ वर्ष
B
क्रमशः $20$ वर्ष और $10$ वर्ष
C
प्रत्येक $10$ वर्ष
D
प्रत्येक $5$ वर्ष
Solution
(A) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ को $A = \lambda N = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ नाभिकों की संख्या है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
नमूने $S_1$ के लिए: $A_1 = 5 \mu Ci$ और $N_1 = 2N_0$.
अतः,$5 = \frac{\ln 2}{T_1} (2N_0) \implies \frac{\ln 2}{T_1} = \frac{2.5}{N_0}$.
नमूने $S_2$ के लिए: $A_2 = 10 \mu Ci$ और $N_2 = N_0$.
अतः,$10 = \frac{\ln 2}{T_2} (N_0) \implies \frac{\ln 2}{T_2} = \frac{10}{N_0}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2.5}{10} = \frac{1}{4}$.
इसलिए,$T_1 = 4T_2$.
विकल्पों की जाँच करने पर,यदि $T_2 = 5$ वर्ष है,तो $T_1 = 20$ वर्ष होगा। यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।
नमूने $S_1$ के लिए: $A_1 = 5 \mu Ci$ और $N_1 = 2N_0$.
अतः,$5 = \frac{\ln 2}{T_1} (2N_0) \implies \frac{\ln 2}{T_1} = \frac{2.5}{N_0}$.
नमूने $S_2$ के लिए: $A_2 = 10 \mu Ci$ और $N_2 = N_0$.
अतः,$10 = \frac{\ln 2}{T_2} (N_0) \implies \frac{\ln 2}{T_2} = \frac{10}{N_0}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2.5}{10} = \frac{1}{4}$.
इसलिए,$T_1 = 4T_2$.
विकल्पों की जाँच करने पर,यदि $T_2 = 5$ वर्ष है,तो $T_1 = 20$ वर्ष होगा। यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।
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MediumMCQ
एक परमाणु प्रयोगशाला में दुर्घटना के परिणामस्वरूप प्रयोगशाला के अंदर $18$ दिनों की अर्ध-आयु वाले रेडियोधर्मी पदार्थ की एक निश्चित मात्रा जमा हो गई। परीक्षणों से पता चला कि विकिरण का स्तर प्रयोगशाला के सुरक्षित संचालन के लिए आवश्यक स्वीकार्य स्तर से $64$ गुना अधिक था। प्रयोगशाला को उपयोग के लिए सुरक्षित माने जाने के लिए न्यूनतम कितने दिनों की आवश्यकता है?
A
$64$
B
$90$
C
$108$
D
$120$
Solution
(C) समय $t$ पर रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता (activity) सूत्र $R = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यह दिया गया है कि प्रारंभिक सक्रियता स्वीकार्य स्तर से $64$ गुना है $(R = 64 R_0)$,इसलिए सुरक्षित सीमा तक पहुँचने के लिए अंतिम सक्रियता $R_0$ होनी चाहिए।
अतः,$64 R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n} = R_0$।
इसे सरल करने पर $\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \frac{1}{64}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $64 = 2^6$,इसलिए $\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \left( \frac{1}{2} \right)^{6}$।
अतः,$n = 6$।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 18$ दिन दी गई है,इसलिए कुल समय $t = n \times T_{1/2} = 6 \times 18 = 108$ दिन होगा।
इस प्रकार,$108$ दिनों के बाद प्रयोगशाला सुरक्षित मानी जाएगी।
यह दिया गया है कि प्रारंभिक सक्रियता स्वीकार्य स्तर से $64$ गुना है $(R = 64 R_0)$,इसलिए सुरक्षित सीमा तक पहुँचने के लिए अंतिम सक्रियता $R_0$ होनी चाहिए।
अतः,$64 R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n} = R_0$।
इसे सरल करने पर $\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \frac{1}{64}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $64 = 2^6$,इसलिए $\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \left( \frac{1}{2} \right)^{6}$।
अतः,$n = 6$।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 18$ दिन दी गई है,इसलिए कुल समय $t = n \times T_{1/2} = 6 \times 18 = 108$ दिन होगा।
इस प्रकार,$108$ दिनों के बाद प्रयोगशाला सुरक्षित मानी जाएगी।
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MediumMCQ
एक रेडियोधर्मी क्षय प्रक्रिया में,गतिविधि (activity) को $A = -\frac{dN}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $N(t)$ समय $t$ पर रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या है। दो रेडियोधर्मी स्रोत,$S_1$ और $S_2$,समय $t = 0$ पर समान गतिविधि रखते हैं। बाद के समय में,$S_1$ और $S_2$ की गतिविधियाँ क्रमशः $A_1$ और $A_2$ हैं। जब $S_1$ और $S_2$ अपनी क्रमशः $3^{\text{rd}}$ और $7^{\text{th}}$ अर्ध-आयु (half-lives) पूरी कर लेते हैं,तो अनुपात $A_1/A_2$ क्या होगा?
A
$10$
B
$12$
C
$15$
D
$16$
Solution
(D) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी स्रोत की गतिविधि $A(t) = A_0 (0.5)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
यह दिया गया है कि दोनों स्रोत $S_1$ और $S_2$ समय $t = 0$ पर समान प्रारंभिक गतिविधि $A_0$ रखते हैं।
स्रोत $S_1$ के लिए,$n_1 = 3$ अर्ध-आयु के बाद,गतिविधि $A_1 = A_0 (0.5)^3$ है।
स्रोत $S_2$ के लिए,$n_2 = 7$ अर्ध-आयु के बाद,गतिविधि $A_2 = A_0 (0.5)^7$ है।
गतिविधियों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{A_0 (0.5)^3}{A_0 (0.5)^7} = \frac{(0.5)^3}{(0.5)^7} = (0.5)^{3-7} = (0.5)^{-4} = 2^4 = 16$ है।
यह दिया गया है कि दोनों स्रोत $S_1$ और $S_2$ समय $t = 0$ पर समान प्रारंभिक गतिविधि $A_0$ रखते हैं।
स्रोत $S_1$ के लिए,$n_1 = 3$ अर्ध-आयु के बाद,गतिविधि $A_1 = A_0 (0.5)^3$ है।
स्रोत $S_2$ के लिए,$n_2 = 7$ अर्ध-आयु के बाद,गतिविधि $A_2 = A_0 (0.5)^7$ है।
गतिविधियों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{A_0 (0.5)^3}{A_0 (0.5)^7} = \frac{(0.5)^3}{(0.5)^7} = (0.5)^{3-7} = (0.5)^{-4} = 2^4 = 16$ है।
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AdvancedMCQ
${ }^{131} I$ आयोडीन का एक समस्थानिक (isotope) है जो $8$ दिनों की अर्ध-आयु (half-life) के साथ ज़ेनॉन के एक समस्थानिक में $\beta$ क्षयित होता है। ${ }^{131} I$ से लेबल किए गए सीरम की थोड़ी मात्रा एक व्यक्ति के रक्त में इंजेक्ट की जाती है। इंजेक्ट किए गए ${ }^{131} I$ की सक्रियता (activity) $2.4 \times 10^5 \text{ Bq}$ थी। यह ज्ञात है कि इंजेक्ट किया गया सीरम आधे घंटे से कम समय में रक्त प्रवाह में समान रूप से वितरित हो जाएगा। $11.5$ घंटे के बाद,व्यक्ति के शरीर से $2.5 \text{ ml}$ रक्त निकाला जाता है,जिसकी सक्रियता $115 \text{ Bq}$ है। व्यक्ति के शरीर में रक्त का कुल आयतन,लीटर में लगभग कितना है? (आप $|x| \ll 1$ के लिए $e^{x} \approx 1+x$ और $\ln 2 \approx 0.7$ का उपयोग कर सकते हैं):
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(D) प्रारंभिक सक्रियता $A_0 = 2.4 \times 10^5 \text{ Bq}$ है।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 8 \text{ दिन} = 8 \times 24 = 192 \text{ घंटे}$ है।
क्षय स्थिरांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.7}{192} \text{ h}^{-1}$ है।
$t = 11.5 \text{ घंटे}$ के बाद,कुल रक्त आयतन $V$ की सक्रियता $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ है।
छोटे $x$ के लिए $e^{-x} \approx 1 - x$ सन्निकटन का उपयोग करने पर:
$A(t) \approx A_0 (1 - \lambda t) = 2.4 \times 10^5 \times (1 - \frac{0.7 \times 11.5}{192}) \approx 2.4 \times 10^5 \times (1 - 0.0419) \approx 2.4 \times 10^5 \times 0.9581 = 2.299 \times 10^5 \text{ Bq}$ प्राप्त होता है।
$2.5 \text{ ml}$ रक्त की सक्रियता $115 \text{ Bq}$ है।
अतः,कुल सक्रियता $A(t)$ नमूना सक्रियता $A_s$ से $A(t) = A_s \times \frac{V}{V_s}$ द्वारा संबंधित है,जहाँ $V_s = 2.5 \text{ ml}$ है।
$V = \frac{A(t) \times V_s}{A_s} = \frac{2.299 \times 10^5 \times 2.5 \text{ ml}}{115} \approx 4997.8 \text{ ml} \approx 5 \text{ लीटर}$।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 8 \text{ दिन} = 8 \times 24 = 192 \text{ घंटे}$ है।
क्षय स्थिरांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.7}{192} \text{ h}^{-1}$ है।
$t = 11.5 \text{ घंटे}$ के बाद,कुल रक्त आयतन $V$ की सक्रियता $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ है।
छोटे $x$ के लिए $e^{-x} \approx 1 - x$ सन्निकटन का उपयोग करने पर:
$A(t) \approx A_0 (1 - \lambda t) = 2.4 \times 10^5 \times (1 - \frac{0.7 \times 11.5}{192}) \approx 2.4 \times 10^5 \times (1 - 0.0419) \approx 2.4 \times 10^5 \times 0.9581 = 2.299 \times 10^5 \text{ Bq}$ प्राप्त होता है।
$2.5 \text{ ml}$ रक्त की सक्रियता $115 \text{ Bq}$ है।
अतः,कुल सक्रियता $A(t)$ नमूना सक्रियता $A_s$ से $A(t) = A_s \times \frac{V}{V_s}$ द्वारा संबंधित है,जहाँ $V_s = 2.5 \text{ ml}$ है।
$V = \frac{A(t) \times V_s}{A_s} = \frac{2.299 \times 10^5 \times 2.5 \text{ ml}}{115} \approx 4997.8 \text{ ml} \approx 5 \text{ लीटर}$।
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DifficultMCQ
एक ताज़ा तैयार किए गए रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $10^{10}$ विघटन प्रति सेकंड है,जिसका माध्य जीवनकाल $10^9 \ s$ है। इस रेडियोआइसोटोप के एक परमाणु का द्रव्यमान $10^{-25} \ kg$ है। रेडियोधर्मी नमूने का द्रव्यमान ($mg$ में) है
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(A) दिया गया है: सक्रियता $A = |\frac{dN}{dt}| = 10^{10} \ s^{-1}$.
माध्य जीवनकाल $\tau = 10^9 \ s$.
हम जानते हैं कि $\tau = \frac{1}{\lambda}$,इसलिए क्षय नियतांक $\lambda = \frac{1}{\tau} = 10^{-9} \ s^{-1}$.
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$A = \lambda N$,जहाँ $N$ परमाणुओं की संख्या है।
$10^{10} = 10^{-9} \times N \implies N = 10^{19}$ परमाणु।
एक परमाणु का द्रव्यमान $m_a = 10^{-25} \ kg$ है।
कुल द्रव्यमान $M = N \times m_a = 10^{19} \times 10^{-25} \ kg = 10^{-6} \ kg$.
मिलीग्राम $(mg)$ में बदलने पर: $10^{-6} \ kg = 10^{-3} \ g = 1 \ mg$.
माध्य जीवनकाल $\tau = 10^9 \ s$.
हम जानते हैं कि $\tau = \frac{1}{\lambda}$,इसलिए क्षय नियतांक $\lambda = \frac{1}{\tau} = 10^{-9} \ s^{-1}$.
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$A = \lambda N$,जहाँ $N$ परमाणुओं की संख्या है।
$10^{10} = 10^{-9} \times N \implies N = 10^{19}$ परमाणु।
एक परमाणु का द्रव्यमान $m_a = 10^{-25} \ kg$ है।
कुल द्रव्यमान $M = N \times m_a = 10^{19} \times 10^{-25} \ kg = 10^{-6} \ kg$.
मिलीग्राम $(mg)$ में बदलने पर: $10^{-6} \ kg = 10^{-3} \ g = 1 \ mg$.
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AdvancedMCQ
यदि सभी स्वतंत्र राशियों में मापन त्रुटियां ज्ञात हैं,तो किसी भी आश्रित राशि में त्रुटि निर्धारित करना संभव है। यह श्रेणी विस्तार का उपयोग करके और त्रुटि की पहली घात पर विस्तार को काटकर किया जाता है। उदाहरण के लिए,संबंध $z = x / y$ पर विचार करें। यदि $x, y$ और $z$ में त्रुटियां क्रमशः $\Delta x, \Delta y$ और $\Delta z$ हैं,तो $z \pm \Delta z = \frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y} = \frac{x}{y}(1 \pm \frac{\Delta x}{x})(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$। $(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$ के लिए श्रेणी विस्तार,$\Delta y / y$ में पहली घात तक,$1 \mp(\Delta y / y)$ है। स्वतंत्र चरों में सापेक्ष त्रुटियां हमेशा जोड़ी जाती हैं। इसलिए $z$ में त्रुटि $\Delta z = z(\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y})$ होगी। उपरोक्त व्युत्पत्ति यह मानती है कि $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$। इसलिए,इन राशियों की उच्च घातों की उपेक्षा की जाती है।
$(1)$ अनुपात $r = \frac{(1-a)}{(1+a)}$ पर विचार करें जिसे एक विमाहीन राशि $a$ को मापकर निर्धारित किया जाना है। यदि $a$ के मापन में त्रुटि $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ है,तो त्रुटि $\Delta r$ क्या है?
$(2)$ एक प्रयोग में,रेडियोधर्मी नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $3000$ है। यह पाया गया है कि पहले $1.0 \ s$ में $1000 \pm 40$ नाभिक क्षयित हो गए। $|x| \ll 1$ के लिए,$\ln(1+x) \approx x$ है,$x$ की पहली घात तक। क्षय नियतांक $\lambda$ के निर्धारण में त्रुटि $\Delta \lambda$ ($s^{-1}$ में) क्या है?
$(1)$ अनुपात $r = \frac{(1-a)}{(1+a)}$ पर विचार करें जिसे एक विमाहीन राशि $a$ को मापकर निर्धारित किया जाना है। यदि $a$ के मापन में त्रुटि $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ है,तो त्रुटि $\Delta r$ क्या है?
$(2)$ एक प्रयोग में,रेडियोधर्मी नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $3000$ है। यह पाया गया है कि पहले $1.0 \ s$ में $1000 \pm 40$ नाभिक क्षयित हो गए। $|x| \ll 1$ के लिए,$\ln(1+x) \approx x$ है,$x$ की पहली घात तक। क्षय नियतांक $\lambda$ के निर्धारण में त्रुटि $\Delta \lambda$ ($s^{-1}$ में) क्या है?
A
$B, C$
B
$B, D$
C
$B, A$
D
$B, C, D$
Solution
(C) $(1)$ दिया गया है $r = \frac{1-a}{1+a}$। दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln r = \ln(1-a) - \ln(1+a)$। दोनों तरफ अवकलन करने पर: $\frac{dr}{r} = \frac{-da}{1-a} - \frac{da}{1+a}$। चूंकि त्रुटियां हमेशा जोड़ी जाती हैं,$\frac{\Delta r}{r} = \frac{\Delta a}{1-a} + \frac{\Delta a}{1+a} = \Delta a \frac{(1+a) + (1-a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{2 \Delta a}{1-a^2}$। अतः,$\Delta r = r \cdot \frac{2 \Delta a}{1-a^2} = \frac{1-a}{1+a} \cdot \frac{2 \Delta a}{(1-a)(1+a)} = \frac{2 \Delta a}{(1+a)^2}$। सही विकल्प $B$ है।
$(2)$ शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 - N_{decayed} = 3000 - 1000 = 2000$ है। क्षय का नियम $N = N_0 e^{-\lambda t}$ है,इसलिए $\ln N = \ln N_0 - \lambda t$। अवकलन करने पर,$\frac{dN}{N} = -t \cdot d\lambda$। त्रुटियों के लिए परिमाण पर विचार करने पर,$\Delta \lambda = \frac{\Delta N}{N \cdot t}$। यहाँ $\Delta N = 40$,$N = 2000$,और $t = 1.0 \ s$ है। इसलिए,$\Delta \lambda = \frac{40}{2000 \times 1} = 0.02 \ s^{-1}$। सही विकल्प $C$ है।
$(2)$ शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 - N_{decayed} = 3000 - 1000 = 2000$ है। क्षय का नियम $N = N_0 e^{-\lambda t}$ है,इसलिए $\ln N = \ln N_0 - \lambda t$। अवकलन करने पर,$\frac{dN}{N} = -t \cdot d\lambda$। त्रुटियों के लिए परिमाण पर विचार करने पर,$\Delta \lambda = \frac{\Delta N}{N \cdot t}$। यहाँ $\Delta N = 40$,$N = 2000$,और $t = 1.0 \ s$ है। इसलिए,$\Delta \lambda = \frac{40}{2000 \times 1} = 0.02 \ s^{-1}$। सही विकल्प $C$ है।
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यदि सभी स्वतंत्र राशियों में मापन त्रुटियां ज्ञात हैं,तो किसी भी आश्रित राशि में त्रुटि निर्धारित करना संभव है। यह श्रेणी विस्तार का उपयोग करके और त्रुटि की पहली घात पर विस्तार को काटकर किया जाता है। उदाहरण के लिए,संबंध $z = x / y$ पर विचार करें। यदि $x, y$ और $z$ में त्रुटियां क्रमशः $\Delta x, \Delta y$ और $\Delta z$ हैं,तो $z \pm \Delta z = \frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y} = \frac{x}{y} (1 \pm \frac{\Delta x}{x}) (1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$। $(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$ के लिए श्रेणी विस्तार,$\Delta y / y$ में पहली घात तक,$1 \mp (\Delta y / y)$ है। स्वतंत्र चरों में सापेक्ष त्रुटियां हमेशा जुड़ती हैं। इसलिए $z$ में त्रुटि $\Delta z = z (\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y})$ होगी। उपरोक्त व्युत्पत्ति यह मानती है कि $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$। इसलिए,इन राशियों की उच्च घातों को उपेक्षित किया जाता है।
$(1)$ अनुपात $r = \frac{(1 - a)}{(1 + a)}$ पर विचार करें जिसे एक विमाहीन राशि $a$ को मापकर निर्धारित किया जाना है। यदि $a$ के मापन में त्रुटि $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ है,तो त्रुटि $\Delta r$ क्या है?
$(2)$ एक प्रयोग में,रेडियोधर्मी नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $3000$ है। यह पाया गया है कि पहले $1.0 \ s$ में $1000 \pm 40$ नाभिक क्षयित हो गए। $|x| < 1$ के लिए,$\ln(1 + x) = x$ है,$x$ में पहली घात तक। क्षय स्थिरांक $\lambda$ के निर्धारण में त्रुटि $\Delta \lambda$,$s^{-1}$ में,क्या है?
$(1)$ अनुपात $r = \frac{(1 - a)}{(1 + a)}$ पर विचार करें जिसे एक विमाहीन राशि $a$ को मापकर निर्धारित किया जाना है। यदि $a$ के मापन में त्रुटि $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ है,तो त्रुटि $\Delta r$ क्या है?
$(2)$ एक प्रयोग में,रेडियोधर्मी नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $3000$ है। यह पाया गया है कि पहले $1.0 \ s$ में $1000 \pm 40$ नाभिक क्षयित हो गए। $|x| < 1$ के लिए,$\ln(1 + x) = x$ है,$x$ में पहली घात तक। क्षय स्थिरांक $\lambda$ के निर्धारण में त्रुटि $\Delta \lambda$,$s^{-1}$ में,क्या है?
A
$A, B$
B
$A, C$
C
$B, C$
D
$B, D$
Solution
(B, C) $(1)$ दिया गया है $r = \frac{1 - a}{1 + a}$।
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln r = \ln(1 - a) - \ln(1 + a)$।
अवकलन करने पर: $\frac{dr}{r} = \frac{-da}{1 - a} - \frac{da}{1 + a}$।
अधिकतम त्रुटि के लिए परिमाण लेने पर: $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\Delta a}{1 - a} + \frac{\Delta a}{1 + a} = \Delta a \left( \frac{1 + a + 1 - a}{1 - a^2} \right) = \frac{2 \Delta a}{1 - a^2}$।
$r = \frac{1 - a}{1 + a}$ प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta r = r \left( \frac{2 \Delta a}{1 - a^2} \right) = \left( \frac{1 - a}{1 + a} \right) \left( \frac{2 \Delta a}{(1 - a)(1 + a)} \right) = \frac{2 \Delta a}{(1 + a)^2}$।
$(2)$ दिया गया है $N = N_0 e^{-\lambda t}$,जहाँ $N_0 = 3000$।
क्षयित नाभिकों की संख्या $1000 \pm 40$ है,इसलिए शेष नाभिक $N = 3000 - 1000 = 2000$। $N$ में त्रुटि $\Delta N = 40$ है।
$\ln$ लेने पर: $\ln N = \ln N_0 - \lambda t$।
अवकलन करने पर: $\frac{dN}{N} = -d(\lambda t) \implies \Delta \lambda = \frac{\Delta N}{N \cdot t}$।
मान रखने पर: $\Delta \lambda = \frac{40}{2000 \times 1.0} = 0.02 \ s^{-1}$।
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln r = \ln(1 - a) - \ln(1 + a)$।
अवकलन करने पर: $\frac{dr}{r} = \frac{-da}{1 - a} - \frac{da}{1 + a}$।
अधिकतम त्रुटि के लिए परिमाण लेने पर: $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\Delta a}{1 - a} + \frac{\Delta a}{1 + a} = \Delta a \left( \frac{1 + a + 1 - a}{1 - a^2} \right) = \frac{2 \Delta a}{1 - a^2}$।
$r = \frac{1 - a}{1 + a}$ प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta r = r \left( \frac{2 \Delta a}{1 - a^2} \right) = \left( \frac{1 - a}{1 + a} \right) \left( \frac{2 \Delta a}{(1 - a)(1 + a)} \right) = \frac{2 \Delta a}{(1 + a)^2}$।
$(2)$ दिया गया है $N = N_0 e^{-\lambda t}$,जहाँ $N_0 = 3000$।
क्षयित नाभिकों की संख्या $1000 \pm 40$ है,इसलिए शेष नाभिक $N = 3000 - 1000 = 2000$। $N$ में त्रुटि $\Delta N = 40$ है।
$\ln$ लेने पर: $\ln N = \ln N_0 - \lambda t$।
अवकलन करने पर: $\frac{dN}{N} = -d(\lambda t) \implies \Delta \lambda = \frac{\Delta N}{N \cdot t}$।
मान रखने पर: $\Delta \lambda = \frac{40}{2000 \times 1.0} = 0.02 \ s^{-1}$।
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DifficultMCQ
${ }_{92}^{238} U$ अल्फा और बीटा कणों का उत्सर्जन करके ${ }_{82}^{206} Pb$ बनाने के लिए रेडियोधर्मी क्षय से गुजरता है। एक चट्टान में शुरू में $68 \times 10^{-6} \text{ g}$ ${ }_{92}^{238} U$ था। यदि तीन अर्ध-आयु में ${ }_{92}^{238} U$ से ${ }_{82}^{206} Pb$ के रेडियोधर्मी क्षय के दौरान उत्सर्जित अल्फा कणों की संख्या $Z \times 10^{18}$ है,तो $Z$ का मान क्या है?
A
$1.10$
B
$1.15$
C
$1.19$
D
$1.20$
Solution
(D) क्षय प्रक्रिया है: ${ }_{92}^{238} U \rightarrow { }_{82}^{206} Pb + n_{\alpha} { }_{2}^{4} He + n_{\beta} { }_{-1}^{0} e$.
द्रव्यमान संख्या की तुलना करने पर: $238 = 206 + 4n_{\alpha} \Rightarrow 4n_{\alpha} = 32 \Rightarrow n_{\alpha} = 8$.
${ }_{92}^{238} U$ के प्रारंभिक मोल $= \frac{68 \times 10^{-6} \text{ g}}{238 \text{ g/mol}} \approx 2.857 \times 10^{-7} \text{ mol}$.
तीन अर्ध-आयु में,क्षयित नाभिकों का अंश $1 - (1/2)^3 = 1 - 1/8 = 7/8$ है।
क्षयित ${ }_{92}^{238} U$ के मोल $= \frac{7}{8} \times \frac{68 \times 10^{-6}}{238} \text{ mol}$.
उत्सर्जित अल्फा कणों की कुल संख्या $= (\text{क्षयित मोल}) \times n_{\alpha} \times N_{A}$.
$= \frac{7}{8} \times \frac{68 \times 10^{-6}}{238} \times 8 \times 6.022 \times 10^{23}$.
$= 7 \times \frac{68 \times 10^{-6}}{238} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 1.2044 \times 10^{18}$.
$Z \times 10^{18}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $Z \approx 1.20$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान संख्या की तुलना करने पर: $238 = 206 + 4n_{\alpha} \Rightarrow 4n_{\alpha} = 32 \Rightarrow n_{\alpha} = 8$.
${ }_{92}^{238} U$ के प्रारंभिक मोल $= \frac{68 \times 10^{-6} \text{ g}}{238 \text{ g/mol}} \approx 2.857 \times 10^{-7} \text{ mol}$.
तीन अर्ध-आयु में,क्षयित नाभिकों का अंश $1 - (1/2)^3 = 1 - 1/8 = 7/8$ है।
क्षयित ${ }_{92}^{238} U$ के मोल $= \frac{7}{8} \times \frac{68 \times 10^{-6}}{238} \text{ mol}$.
उत्सर्जित अल्फा कणों की कुल संख्या $= (\text{क्षयित मोल}) \times n_{\alpha} \times N_{A}$.
$= \frac{7}{8} \times \frac{68 \times 10^{-6}}{238} \times 8 \times 6.022 \times 10^{23}$.
$= 7 \times \frac{68 \times 10^{-6}}{238} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 1.2044 \times 10^{18}$.
$Z \times 10^{18}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $Z \approx 1.20$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
$20 \text{ minutes}$ की अर्ध-आयु वाला एक भारी नाभिक $Q$,$60 \%$ प्रायिकता के साथ अल्फा-क्षय और $40 \%$ प्रायिकता के साथ बीटा-क्षय से गुजरता है। प्रारंभ में,$Q$ नाभिकों की संख्या $1000$ है। पहले एक घंटे में $Q$ के अल्फा-क्षय की संख्या क्या है?
A
$50$
B
$75$
C
$350$
D
$525$
Solution
(D) कुल नाभिकों की संख्या $N_0 = 1000$ है। चूँकि $60 \%$ नाभिक अल्फा-क्षय से गुजरते हैं,इसलिए अल्फा-क्षय के लिए उपलब्ध नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $N_{0,\alpha} = 1000 \times 0.60 = 600$ है।
क्षय स्थिरांक $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{20 \text{ min}}$ द्वारा दिया जाता है।
बीता हुआ समय $t = 1 \text{ घंटा} = 60 \text{ मिनट}$ है।
समय $t$ के बाद बचे हुए नाभिकों की संख्या $N(t) = N_{0,\alpha} e^{-\lambda t}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $N(60) = 600 \times e^{-\left(\frac{\ln 2}{20}\right) \times 60} = 600 \times e^{-3 \ln 2} = 600 \times e^{\ln(2^{-3})} = 600 \times 2^{-3} = 600 \times \frac{1}{8} = 75$.
अल्फा-क्षय से गुजरने वाले नाभिकों की संख्या प्रारंभिक संख्या और शेष संख्या के बीच का अंतर है: $\Delta N = N_{0,\alpha} - N(60) = 600 - 75 = 525$.
क्षय स्थिरांक $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{20 \text{ min}}$ द्वारा दिया जाता है।
बीता हुआ समय $t = 1 \text{ घंटा} = 60 \text{ मिनट}$ है।
समय $t$ के बाद बचे हुए नाभिकों की संख्या $N(t) = N_{0,\alpha} e^{-\lambda t}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $N(60) = 600 \times e^{-\left(\frac{\ln 2}{20}\right) \times 60} = 600 \times e^{-3 \ln 2} = 600 \times e^{\ln(2^{-3})} = 600 \times 2^{-3} = 600 \times \frac{1}{8} = 75$.
अल्फा-क्षय से गुजरने वाले नाभिकों की संख्या प्रारंभिक संख्या और शेष संख्या के बीच का अंतर है: $\Delta N = N_{0,\alpha} - N(60) = 600 - 75 = 525$.
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MediumMCQ
$1386 \ s$ की अर्ध-आयु वाले एक रेडियोआइसोटोप के ताज़ा तैयार नमूने की सक्रियता $10^3$ विघटन प्रति सेकंड है। यदि $\ln 2 = 0.693$ है,तो नमूने की तैयारी के बाद पहले $80 \ s$ में क्षय होने वाले नाभिकों की संख्या का अंश (निकटतम पूर्णांक प्रतिशत में) क्या होगा?
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(A) क्षय नियतांक $\lambda$ का मान है: $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{1386} = 5 \times 10^{-4} \ s^{-1}$.
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
क्षय होने वाले नाभिकों का अंश $\frac{N_0 - N(t)}{N_0} = 1 - e^{-\lambda t}$ है।
$\lambda t$ के छोटे मानों के लिए,हम सन्निकटन $1 - e^{-\lambda t} \approx \lambda t$ का उपयोग कर सकते हैं।
यहाँ,$\lambda t = (5 \times 10^{-4}) \times 80 = 400 \times 10^{-4} = 0.04$.
अतः,क्षय होने वाला अंश लगभग $0.04$ है।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने पर: $0.04 \times 100 = 4\%$.
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
क्षय होने वाले नाभिकों का अंश $\frac{N_0 - N(t)}{N_0} = 1 - e^{-\lambda t}$ है।
$\lambda t$ के छोटे मानों के लिए,हम सन्निकटन $1 - e^{-\lambda t} \approx \lambda t$ का उपयोग कर सकते हैं।
यहाँ,$\lambda t = (5 \times 10^{-4}) \times 80 = 400 \times 10^{-4} = 0.04$.
अतः,क्षय होने वाला अंश लगभग $0.04$ है।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने पर: $0.04 \times 100 = 4\%$.
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MediumMCQ
एक परमाणु ऊर्जा संयंत्र जो एक गाँव को विद्युत शक्ति प्रदान करता है,ईंधन के रूप में $T$ वर्ष की अर्ध-आयु वाले रेडियोधर्मी पदार्थ का उपयोग करता है। शुरुआत में ईंधन की मात्रा ऐसी है कि गाँव की कुल बिजली की आवश्यकता उस समय संयंत्र से उपलब्ध विद्युत शक्ति का $12.5 \%$ है। यदि संयंत्र $n T$ वर्ष की अधिकतम अवधि के लिए गाँव की कुल बिजली की जरूरतों को पूरा करने में सक्षम है,तो $n$ का मान क्या है?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(C) परमाणु संयंत्र द्वारा उत्पन्न शक्ति रेडियोधर्मी ईंधन की सक्रियता $A$ के सीधे आनुपातिक होती है। मान लीजिए कि प्रारंभिक शक्ति $P_0$ है और $t$ समय पर शक्ति $P(t)$ है।
$t$ समय पर सक्रियता $A(t) = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ अर्ध-आयु है।
यह दिया गया है कि गाँव की बिजली की आवश्यकता $P_{req}$ प्रारंभिक शक्ति $P_0$ का $12.5 \%$ है,इसलिए $P_{req} = 0.125 P_0 = \frac{1}{8} P_0$ है।
संयंत्र तब तक जरूरतों को पूरा कर सकता है जब तक $P(t) \ge P_{req}$ है। अधिकतम समय $t = nT$ तब होता है जब $P(nT) = P_{req}$ हो।
अतः,$P_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{nT}{T}} = \frac{1}{8} P_0$।
$\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।
$t$ समय पर सक्रियता $A(t) = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ अर्ध-आयु है।
यह दिया गया है कि गाँव की बिजली की आवश्यकता $P_{req}$ प्रारंभिक शक्ति $P_0$ का $12.5 \%$ है,इसलिए $P_{req} = 0.125 P_0 = \frac{1}{8} P_0$ है।
संयंत्र तब तक जरूरतों को पूरा कर सकता है जब तक $P(t) \ge P_{req}$ है। अधिकतम समय $t = nT$ तब होता है जब $P(nT) = P_{req}$ हो।
अतः,$P_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{nT}{T}} = \frac{1}{8} P_0$।
$\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।
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AdvancedMCQ
एक रेडियोधर्मी पदार्थ के लिए,इसकी सक्रियता $A$ और इसकी सक्रियता के परिवर्तन की दर $R$ को $A = -\frac{dN}{dt}$ और $R = -\frac{dA}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $N(t)$ समय $t$ पर नाभिकों की संख्या है। दो रेडियोधर्मी स्रोत $P$ (माध्य आयु $\tau$) और $Q$ (माध्य आयु $2\tau$) की $t = 0$ पर सक्रियता समान है। $t = 2\tau$ पर उनकी सक्रियता के परिवर्तन की दरें क्रमशः $R_P$ और $R_Q$ हैं। यदि $\frac{R_P}{R_Q} = \frac{n}{e}$ है,तो $n$ का मान क्या है?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) एक रेडियोधर्मी स्रोत की सक्रियता $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda = \frac{1}{\tau}$ क्षय नियतांक है।
स्रोत $P$ के लिए,$\lambda_P = \frac{1}{\tau}$। स्रोत $Q$ के लिए,$\lambda_Q = \frac{1}{2\tau}$।
सक्रियता के परिवर्तन की दर $R = -\frac{dA}{dt} = -\frac{d}{dt}(A_0 e^{-\lambda t}) = A_0 \lambda e^{-\lambda t}$ है।
यह दिया गया है कि $t = 0$ पर दोनों के लिए $A_0$ समान है,इसलिए $R_P(t) = A_0 \lambda_P e^{-\lambda_P t}$ और $R_Q(t) = A_0 \lambda_Q e^{-\lambda_Q t}$ प्राप्त होता है।
$t = 2\tau$ पर:
$R_P = A_0 (\frac{1}{\tau}) e^{-(\frac{1}{\tau})(2\tau)} = \frac{A_0}{\tau} e^{-2}$।
$R_Q = A_0 (\frac{1}{2\tau}) e^{-(\frac{1}{2\tau})(2\tau)} = \frac{A_0}{2\tau} e^{-1}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{R_P}{R_Q} = \frac{\frac{A_0}{\tau} e^{-2}}{\frac{A_0}{2\tau} e^{-1}} = 2 \cdot \frac{e^{-2}}{e^{-1}} = 2 e^{-1} = \frac{2}{e}$।
इसे $\frac{n}{e}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।
स्रोत $P$ के लिए,$\lambda_P = \frac{1}{\tau}$। स्रोत $Q$ के लिए,$\lambda_Q = \frac{1}{2\tau}$।
सक्रियता के परिवर्तन की दर $R = -\frac{dA}{dt} = -\frac{d}{dt}(A_0 e^{-\lambda t}) = A_0 \lambda e^{-\lambda t}$ है।
यह दिया गया है कि $t = 0$ पर दोनों के लिए $A_0$ समान है,इसलिए $R_P(t) = A_0 \lambda_P e^{-\lambda_P t}$ और $R_Q(t) = A_0 \lambda_Q e^{-\lambda_Q t}$ प्राप्त होता है।
$t = 2\tau$ पर:
$R_P = A_0 (\frac{1}{\tau}) e^{-(\frac{1}{\tau})(2\tau)} = \frac{A_0}{\tau} e^{-2}$।
$R_Q = A_0 (\frac{1}{2\tau}) e^{-(\frac{1}{2\tau})(2\tau)} = \frac{A_0}{2\tau} e^{-1}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{R_P}{R_Q} = \frac{\frac{A_0}{\tau} e^{-2}}{\frac{A_0}{2\tau} e^{-1}} = 2 \cdot \frac{e^{-2}}{e^{-1}} = 2 e^{-1} = \frac{2}{e}$।
इसे $\frac{n}{e}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।
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AdvancedMCQ
एक नमूने में शुरू में केवल यूरेनियम का $U-238$ समस्थानिक है। समय के साथ,$U-238$ का कुछ हिस्सा रेडियोधर्मी रूप से $Pb-206$ में क्षयित हो जाता है जबकि शेष भाग अविघटित रहता है। जब नमूने की आयु $P \times 10^8$ वर्ष होती है,तो नमूने में $Pb-206$ के द्रव्यमान का $U-238$ के द्रव्यमान से अनुपात $7$ पाया जाता है। $P$ का मान ज्ञात कीजिए। [दिया गया है: $U-238$ की अर्ध-आयु $4.5 \times 10^9$ वर्ष है; $\log_e 2 = 0.693$]
A
$143$
B
$145$
C
$150$
D
$155$
Solution
(A) मान लीजिए $U-238$ की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है। $t$ समय पर,शेष $U-238$ परमाणुओं की संख्या $N_t$ है और निर्मित $Pb-206$ परमाणुओं की संख्या $N_{Pb}$ है।
चूंकि $1$ परमाणु $U-238$ से $1$ परमाणु $Pb-206$ बनता है,इसलिए $N_0 = N_t + N_{Pb}$।
द्रव्यमान अनुपात $\frac{m_{Pb}}{m_U} = 7$ दिया गया है। चूंकि $m = \frac{N \times M}{N_A}$,इसलिए $\frac{N_{Pb} \times 206}{N_t \times 238} = 7$।
अतः,$N_{Pb} = 7 \times N_t \times \frac{238}{206} = N_t \times \frac{1666}{206} \approx 8.087 N_t$।
इसलिए $N_0 = N_t + 8.087 N_t = 9.087 N_t$।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार: $N_t = N_0 e^{-\lambda t}$,इसलिए $\frac{N_0}{N_t} = e^{\lambda t}$।
$\lambda t = \ln(9.087) \approx 2.2068$।
$T_{1/2} = 4.5 \times 10^9$ वर्ष दिया गया है,इसलिए $\lambda = \frac{\ln 2}{4.5 \times 10^9} \approx \frac{0.693}{4.5 \times 10^9}$।
$t = \frac{2.2068 \times 4.5 \times 10^9}{0.693} \approx 14.33 \times 10^9 = 143.3 \times 10^8$ वर्ष।
अतः,$P \approx 143$।
चूंकि $1$ परमाणु $U-238$ से $1$ परमाणु $Pb-206$ बनता है,इसलिए $N_0 = N_t + N_{Pb}$।
द्रव्यमान अनुपात $\frac{m_{Pb}}{m_U} = 7$ दिया गया है। चूंकि $m = \frac{N \times M}{N_A}$,इसलिए $\frac{N_{Pb} \times 206}{N_t \times 238} = 7$।
अतः,$N_{Pb} = 7 \times N_t \times \frac{238}{206} = N_t \times \frac{1666}{206} \approx 8.087 N_t$।
इसलिए $N_0 = N_t + 8.087 N_t = 9.087 N_t$।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार: $N_t = N_0 e^{-\lambda t}$,इसलिए $\frac{N_0}{N_t} = e^{\lambda t}$।
$\lambda t = \ln(9.087) \approx 2.2068$।
$T_{1/2} = 4.5 \times 10^9$ वर्ष दिया गया है,इसलिए $\lambda = \frac{\ln 2}{4.5 \times 10^9} \approx \frac{0.693}{4.5 \times 10^9}$।
$t = \frac{2.2068 \times 4.5 \times 10^9}{0.693} \approx 14.33 \times 10^9 = 143.3 \times 10^8$ वर्ष।
अतः,$P \approx 143$।
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DifficultMCQ
एक रेडियोधर्मी नाभिक $n_2$ का क्षय नियतांक दूसरे रेडियोधर्मी नाभिक $n_1$ के क्षय नियतांक की तुलना में $3$ गुना है। यदि दोनों नाभिकों की प्रारंभिक संख्या समान है,तो $n_1$ के एक अर्ध-आयु काल के बाद $n_2$ के नाभिकों की संख्या और $n_1$ के नाभिकों की संख्या का अनुपात क्या होगा?
A
$1/4$
B
$1/8$
C
$4$
D
$8$
Solution
(A) मान लीजिए $n_1$ का क्षय नियतांक $\lambda_1 = \lambda$ है। तब $n_2$ का क्षय नियतांक $\lambda_2 = 3\lambda$ होगा।
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
$n_1$ के लिए: $N_1(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
$n_2$ के लिए: $N_2(t) = N_0 e^{-3\lambda t}$.
समय $t$,$n_1$ का एक अर्ध-आयु काल है,इसलिए $t = T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.
इस मान को समीकरणों में रखने पर:
$N_1(t) = N_0 e^{-\lambda (\frac{\ln 2}{\lambda})} = N_0 e^{-\ln 2} = N_0 / 2$.
$N_2(t) = N_0 e^{-3\lambda (\frac{\ln 2}{\lambda})} = N_0 e^{-3 \ln 2} = N_0 (e^{\ln 2})^{-3} = N_0 (2)^{-3} = N_0 / 8$.
अनुपात $\frac{N_2(t)}{N_1(t)} = \frac{N_0 / 8}{N_0 / 2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
$n_1$ के लिए: $N_1(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
$n_2$ के लिए: $N_2(t) = N_0 e^{-3\lambda t}$.
समय $t$,$n_1$ का एक अर्ध-आयु काल है,इसलिए $t = T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.
इस मान को समीकरणों में रखने पर:
$N_1(t) = N_0 e^{-\lambda (\frac{\ln 2}{\lambda})} = N_0 e^{-\ln 2} = N_0 / 2$.
$N_2(t) = N_0 e^{-3\lambda (\frac{\ln 2}{\lambda})} = N_0 e^{-3 \ln 2} = N_0 (e^{\ln 2})^{-3} = N_0 (2)^{-3} = N_0 / 8$.
अनुपात $\frac{N_2(t)}{N_1(t)} = \frac{N_0 / 8}{N_0 / 2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
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MediumMCQ
एक रेडियोधर्मी पदार्थ में,समय $t_{1}$ पर सक्रियता (activity) $R_{1}$ है और बाद के समय $t_{2}$ पर,यह $R_{2}$ है। यदि पदार्थ का क्षय नियतांक (decay constant) $\lambda$ है,तो:
A
$R_{1}=R_{2} e^{-\lambda\left(t_{1}-t_{2}\right)}$
B
$R_{1}=R_{2} e^{\lambda\left(t_{1}-t_{2}\right)}$
C
$R_{1}=R_{2}\left(t_{2} / t_{1}\right)$
D
$R_{1}=R_{2}$
Solution
(A) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R$,रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $R = R_{0} e^{-\lambda t}$,जहाँ $R_{0}$ समय $t=0$ पर प्रारंभिक सक्रियता है।
समय $t_{1}$ पर,सक्रियता $R_{1} = R_{0} e^{-\lambda t_{1}}$ है।
समय $t_{2}$ पर,सक्रियता $R_{2} = R_{0} e^{-\lambda t_{2}}$ है।
$R_{1}$ के व्यंजक को $R_{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{R_{0} e^{-\lambda t_{1}}}{R_{0} e^{-\lambda t_{2}}} = e^{-\lambda t_{1} - (-\lambda t_{2})} = e^{-\lambda(t_{1}-t_{2})}$.
अतः,$R_{1} = R_{2} e^{-\lambda(t_{1}-t_{2})}$।
समय $t_{1}$ पर,सक्रियता $R_{1} = R_{0} e^{-\lambda t_{1}}$ है।
समय $t_{2}$ पर,सक्रियता $R_{2} = R_{0} e^{-\lambda t_{2}}$ है।
$R_{1}$ के व्यंजक को $R_{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{R_{0} e^{-\lambda t_{1}}}{R_{0} e^{-\lambda t_{2}}} = e^{-\lambda t_{1} - (-\lambda t_{2})} = e^{-\lambda(t_{1}-t_{2})}$.
अतः,$R_{1} = R_{2} e^{-\lambda(t_{1}-t_{2})}$।
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MediumMCQ
दो रेडियोधर्मी पदार्थ $A$ और $B$ जिनके क्षय नियतांक क्रमशः $7 \lambda$ और $\lambda$ हैं,प्रारंभ में दोनों में नाभिकों की संख्या समान है। पदार्थ $B$ और $A$ के नाभिकों की संख्या का अनुपात $e$ होने में लगा समय है:
A
$\frac{1}{\lambda}$
B
$\frac{1}{6 \lambda}$
C
$\frac{1}{7 \lambda}$
D
$\frac{1}{8 \lambda}$
Solution
(B) मान लीजिए कि $A$ और $B$ दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ $A$ के लिए: $N_A(t) = N_0 e^{-(7 \lambda) t}$.
पदार्थ $B$ के लिए: $N_B(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
हमें दिया गया है कि अनुपात $\frac{N_B(t)}{N_A(t)} = e$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{N_0 e^{-\lambda t}}{N_0 e^{-7 \lambda t}} = e$.
अनुपात को सरल करने पर: $e^{-\lambda t + 7 \lambda t} = e^1$.
$e^{6 \lambda t} = e^1$.
घातांकों की तुलना करने पर: $6 \lambda t = 1$.
अतः,$t = \frac{1}{6 \lambda}$.
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ $A$ के लिए: $N_A(t) = N_0 e^{-(7 \lambda) t}$.
पदार्थ $B$ के लिए: $N_B(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
हमें दिया गया है कि अनुपात $\frac{N_B(t)}{N_A(t)} = e$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{N_0 e^{-\lambda t}}{N_0 e^{-7 \lambda t}} = e$.
अनुपात को सरल करने पर: $e^{-\lambda t + 7 \lambda t} = e^1$.
$e^{6 \lambda t} = e^1$.
घातांकों की तुलना करने पर: $6 \lambda t = 1$.
अतः,$t = \frac{1}{6 \lambda}$.
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MediumMCQ
एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता समय $t=0$ पर $N_0$ काउंट्स प्रति मिनट और समय $t=3$ मिनट पर $\frac{N_0}{e}$ काउंट्स प्रति मिनट मापी जाती है। सक्रियता को अपने आधे मान तक कम होने में लगा समय (मिनट में) है:
A
$3 \log_e 2$
B
$\frac{3}{\log_e 2}$
C
$3 \ln 2$
D
$\frac{1}{3} \ln 2$
Solution
(C) रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ के नियम का पालन करती है।
दिया गया है $A(0) = N_0$ और $A(3) = \frac{N_0}{e}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{N_0}{e} = N_0 e^{-\lambda (3)}$।
इसका अर्थ है $e^{-1} = e^{-3\lambda}$,इसलिए $3\lambda = 1$,जिससे क्षय नियतांक $\lambda = \frac{1}{3} \text{ min}^{-1}$ प्राप्त होता है।
अर्ध-आयु $T_{1/2}$ का सूत्र $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ है।
$\lambda = \frac{1}{3}$ रखने पर,हमें $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{1/3} = 3 \ln 2$ मिनट प्राप्त होता है।
दिया गया है $A(0) = N_0$ और $A(3) = \frac{N_0}{e}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{N_0}{e} = N_0 e^{-\lambda (3)}$।
इसका अर्थ है $e^{-1} = e^{-3\lambda}$,इसलिए $3\lambda = 1$,जिससे क्षय नियतांक $\lambda = \frac{1}{3} \text{ min}^{-1}$ प्राप्त होता है।
अर्ध-आयु $T_{1/2}$ का सूत्र $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ है।
$\lambda = \frac{1}{3}$ रखने पर,हमें $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{1/3} = 3 \ln 2$ मिनट प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
एक रेडियोधर्मी तत्व की विघटन दर किसी विशेष क्षण पर $9000$ विघटन प्रति मिनट है। $2$ मिनट बाद यह $3000$ विघटन प्रति मिनट हो जाती है। प्रति मिनट क्षय नियतांक है:
A
$0.5 \log _e 3$
B
$0.2 \log _e 3$
C
$0.5 \log _e 2$
D
$0.2 \log _e 2$
Solution
(A) किसी भी समय $t$ पर विघटन की दर $R$ रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $R = R_0 e^{-\lambda t}$.
दिया गया है:
प्रारंभिक दर $R_0 = 9000 \text{ विघटन/मिनट}$.
$t = 2 \text{ मिनट}$ के बाद दर $R = 3000 \text{ विघटन/मिनट}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$3000 = 9000 e^{-\lambda \times 2}$
दोनों पक्षों को $9000$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3000}{9000} = e^{-2\lambda}$
$\frac{1}{3} = e^{-2\lambda}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\log_e)$ लेने पर:
$\log_e(\frac{1}{3}) = -2\lambda$
$-\log_e 3 = -2\lambda$
$\lambda = \frac{\log_e 3}{2} = 0.5 \log_e 3$.
अतः, क्षय नियतांक $0.5 \log_e 3 \text{ min}^{-1}$ है।
दिया गया है:
प्रारंभिक दर $R_0 = 9000 \text{ विघटन/मिनट}$.
$t = 2 \text{ मिनट}$ के बाद दर $R = 3000 \text{ विघटन/मिनट}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$3000 = 9000 e^{-\lambda \times 2}$
दोनों पक्षों को $9000$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3000}{9000} = e^{-2\lambda}$
$\frac{1}{3} = e^{-2\lambda}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\log_e)$ लेने पर:
$\log_e(\frac{1}{3}) = -2\lambda$
$-\log_e 3 = -2\lambda$
$\lambda = \frac{\log_e 3}{2} = 0.5 \log_e 3$.
अतः, क्षय नियतांक $0.5 \log_e 3 \text{ min}^{-1}$ है।
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MediumMCQ
एक रेडियोधर्मी तत्व की विघटन दर एक विशेष क्षण पर $8000$ विघटन प्रति मिनट है। $4$ मिनट बाद यह $2000$ विघटन प्रति मिनट हो जाती है। प्रति मिनट क्षय नियतांक क्या है ($log _e 2$ में)?
A
$0.8$
B
$0.6$
C
$0.5$
D
$0.2$
Solution
(C) किसी भी समय $t$ पर विघटन दर $R$ रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $R = R_0 e^{-\lambda t}$.
दिया गया है कि $t = 0$ पर $R_0 = 8000$ विघटन प्रति मिनट है।
$4$ मिनट बाद,$R = 2000$ विघटन प्रति मिनट है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $2000 = 8000 e^{-\lambda (4)}$.
दोनों पक्षों को $8000$ से विभाजित करने पर: $\frac{2000}{8000} = e^{-4\lambda}$.
$\frac{1}{4} = e^{-4\lambda}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/4) = -4\lambda$.
$-\ln(4) = -4\lambda$.
$\ln(2^2) = 4\lambda$.
$2 \ln(2) = 4\lambda$.
$\lambda = \frac{2 \ln(2)}{4} = 0.5 \ln(2)$ प्रति मिनट।
अतः,क्षय नियतांक $0.5 \log _e 2$ प्रति मिनट है।
दिया गया है कि $t = 0$ पर $R_0 = 8000$ विघटन प्रति मिनट है।
$4$ मिनट बाद,$R = 2000$ विघटन प्रति मिनट है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $2000 = 8000 e^{-\lambda (4)}$.
दोनों पक्षों को $8000$ से विभाजित करने पर: $\frac{2000}{8000} = e^{-4\lambda}$.
$\frac{1}{4} = e^{-4\lambda}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/4) = -4\lambda$.
$-\ln(4) = -4\lambda$.
$\ln(2^2) = 4\lambda$.
$2 \ln(2) = 4\lambda$.
$\lambda = \frac{2 \ln(2)}{4} = 0.5 \ln(2)$ प्रति मिनट।
अतः,क्षय नियतांक $0.5 \log _e 2$ प्रति मिनट है।
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MediumMCQ
दो रेडियोधर्मी पदार्थों $M_1$ और $M_2$ के क्षय नियतांक क्रमशः $9 \lambda$ और $\lambda$ हैं। प्रारंभ में उनके पास नाभिकों की संख्या समान है। कितने समय के अंतराल के बाद $M_1$ के नाभिकों की संख्या और $M_2$ के नाभिकों की संख्या का अनुपात $\frac{1}{e}$ होगा?
A
$\frac{9}{10 \lambda}$
B
$\frac{1}{10 \lambda}$
C
$\frac{1}{9 \lambda}$
D
$\frac{1}{8 \lambda}$
Solution
(D) मान लीजिए कि $M_1$ और $M_2$ दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
$M_1$ के लिए,समय $t$ पर नाभिकों की संख्या $N_1(t) = N_0 e^{-(9 \lambda) t}$ है।
$M_2$ के लिए,समय $t$ पर नाभिकों की संख्या $N_2(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
$M_1$ और $M_2$ के नाभिकों की संख्या का अनुपात $\frac{N_1(t)}{N_2(t)} = \frac{1}{e}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{N_0 e^{-9 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = \frac{1}{e}$.
यह सरल होकर $e^{-9 \lambda t + \lambda t} = e^{-1}$ हो जाता है।
$e^{-8 \lambda t} = e^{-1}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $-8 \lambda t = -1$.
अतः,$t = \frac{1}{8 \lambda}$.
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
$M_1$ के लिए,समय $t$ पर नाभिकों की संख्या $N_1(t) = N_0 e^{-(9 \lambda) t}$ है।
$M_2$ के लिए,समय $t$ पर नाभिकों की संख्या $N_2(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
$M_1$ और $M_2$ के नाभिकों की संख्या का अनुपात $\frac{N_1(t)}{N_2(t)} = \frac{1}{e}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{N_0 e^{-9 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = \frac{1}{e}$.
यह सरल होकर $e^{-9 \lambda t + \lambda t} = e^{-1}$ हो जाता है।
$e^{-8 \lambda t} = e^{-1}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $-8 \lambda t = -1$.
अतः,$t = \frac{1}{8 \lambda}$.
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EasyMCQ
$30 \ min$ की अर्ध-आयु वाला एक रेडियोधर्मी तत्व बीटा क्षय से गुजर रहा है। $90 \ min$ के बाद रेडियोधर्मी तत्व का कितना अंश अविघटित रहेगा?
A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{1}{4}$
C
$\frac{1}{8}$
D
$\frac{1}{16}$
Solution
(C) समय $t$ के बाद शेष रेडियोधर्मी पदार्थ का अंश ज्ञात करने का सूत्र है: $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यहाँ,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 30 \ min$ और कुल समय $t = 90 \ min$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{90}{30} = 3$.
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
अतः,रेडियोधर्मी तत्व का अविघटित अंश $\frac{1}{8}$ है।
यहाँ,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 30 \ min$ और कुल समय $t = 90 \ min$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{90}{30} = 3$.
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
अतः,रेडियोधर्मी तत्व का अविघटित अंश $\frac{1}{8}$ है।
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MediumMCQ
दो रेडियोधर्मी तत्वों $A$ और $B$ की अर्ध-आयु क्रमशः $30 \text{ minute}$ और $60 \text{ minute}$ है। प्रारंभ में नमूनों में नाभिकों की संख्या समान है। $120 \text{ minute}$ के बाद,$B$ के क्षयित नाभिकों की संख्या और $A$ के क्षयित नाभिकों की संख्या का अनुपात क्या होगा?
A
$1: 15$
B
$1: 4$
C
$4: 5$
D
$5: 4$
Solution
(C) $t$ समय के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = t / T_{1/2}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
तत्व $A$ के लिए: $T_{1/2, A} = 30 \text{ min}$,$t = 120 \text{ min}$.
अर्ध-आयु की संख्या $n_A = 120 / 30 = 4$.
शेष नाभिक $N_A = N_0 (1/2)^4 = N_0 / 16$.
क्षयित नाभिक $N'_A = N_0 - N_A = N_0 - N_0 / 16 = (15/16) N_0$.
तत्व $B$ के लिए: $T_{1/2, B} = 60 \text{ min}$,$t = 120 \text{ min}$.
अर्ध-आयु की संख्या $n_B = 120 / 60 = 2$.
शेष नाभिक $N_B = N_0 (1/2)^2 = N_0 / 4$.
क्षयित नाभिक $N'_B = N_0 - N_B = N_0 - N_0 / 4 = (3/4) N_0 = (12/16) N_0$.
$B$ और $A$ के क्षयित नाभिकों का अनुपात $N'_B / N'_A = (12/16) N_0 / (15/16) N_0 = 12 / 15 = 4 / 5$ है।
तत्व $A$ के लिए: $T_{1/2, A} = 30 \text{ min}$,$t = 120 \text{ min}$.
अर्ध-आयु की संख्या $n_A = 120 / 30 = 4$.
शेष नाभिक $N_A = N_0 (1/2)^4 = N_0 / 16$.
क्षयित नाभिक $N'_A = N_0 - N_A = N_0 - N_0 / 16 = (15/16) N_0$.
तत्व $B$ के लिए: $T_{1/2, B} = 60 \text{ min}$,$t = 120 \text{ min}$.
अर्ध-आयु की संख्या $n_B = 120 / 60 = 2$.
शेष नाभिक $N_B = N_0 (1/2)^2 = N_0 / 4$.
क्षयित नाभिक $N'_B = N_0 - N_B = N_0 - N_0 / 4 = (3/4) N_0 = (12/16) N_0$.
$B$ और $A$ के क्षयित नाभिकों का अनुपात $N'_B / N'_A = (12/16) N_0 / (15/16) N_0 = 12 / 15 = 4 / 5$ है।
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View Solution474
MediumMCQ
यदि '$T$' किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु है,तो उसकी सक्रियता (activity) के परिवर्तन की तात्कालिक दर किसके समानुपाती होती है?
A
$T$
B
$T^{-2}$
C
$T^{+2}$
D
$T^{-1}$
Solution
(B) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ उपस्थित नाभिकों की संख्या है।
सक्रियता के परिवर्तन की तात्कालिक दर $\frac{dR}{dt} = \frac{d}{dt}(\lambda N) = \lambda \frac{dN}{dt}$ है।
चूँकि $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$,इसलिए $\frac{dR}{dt} = \lambda(-\lambda N) = -\lambda^2 N$ होगा।
सक्रियता के परिवर्तन की दर का परिमाण $|\frac{dR}{dt}| = \lambda^2 N$ है।
हम जानते हैं कि क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$,जहाँ $T$ अर्ध-आयु है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$|\frac{dR}{dt}| = (\frac{\ln 2}{T})^2 N = \frac{(\ln 2)^2 N}{T^2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $(\ln 2)^2$ और $N$ नियतांक हैं,इसलिए $\frac{dR}{dt} \propto \frac{1}{T^2}$ या $T^{-2}$ होगा।
सक्रियता के परिवर्तन की तात्कालिक दर $\frac{dR}{dt} = \frac{d}{dt}(\lambda N) = \lambda \frac{dN}{dt}$ है।
चूँकि $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$,इसलिए $\frac{dR}{dt} = \lambda(-\lambda N) = -\lambda^2 N$ होगा।
सक्रियता के परिवर्तन की दर का परिमाण $|\frac{dR}{dt}| = \lambda^2 N$ है।
हम जानते हैं कि क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$,जहाँ $T$ अर्ध-आयु है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$|\frac{dR}{dt}| = (\frac{\ln 2}{T})^2 N = \frac{(\ln 2)^2 N}{T^2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $(\ln 2)^2$ और $N$ नियतांक हैं,इसलिए $\frac{dR}{dt} \propto \frac{1}{T^2}$ या $T^{-2}$ होगा।
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EasyMCQ
एक रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $60 \text{ मिनट}$ है। $3 \text{ घंटे}$ के दौरान,पदार्थ की कितनी मात्रा क्षयित हो जाएगी ($\%$ में)?
A
$8.5$
B
$12.5$
C
$25$
D
$87.5$
Solution
(D) समय $t$ में अर्ध-आयु की संख्या $n$ को $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $t = 3 \text{ घंटे} = 180 \text{ मिनट}$ और $T_{1/2} = 60 \text{ मिनट}$ दिया गया है।
अतः,$n = \frac{180}{60} = 3$.
शेष बचे पदार्थ का अंश $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ है।
क्षयित पदार्थ का अंश $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ है।
प्रतिशत में बदलने पर: $\frac{7}{8} \times 100 \% = 87.5 \%$.
यहाँ $t = 3 \text{ घंटे} = 180 \text{ मिनट}$ और $T_{1/2} = 60 \text{ मिनट}$ दिया गया है।
अतः,$n = \frac{180}{60} = 3$.
शेष बचे पदार्थ का अंश $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ है।
क्षयित पदार्थ का अंश $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ है।
प्रतिशत में बदलने पर: $\frac{7}{8} \times 100 \% = 87.5 \%$.
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MediumMCQ
दो रेडियोधर्मी पदार्थों $A$ और $B$ के क्षय नियतांक क्रमशः $5 \lambda$ और $\lambda$ हैं। $t=0$ पर,उनके पास नाभिकों की संख्या समान है। कितने समयांतराल के बाद $A$ के नाभिकों की संख्या और $B$ के नाभिकों की संख्या का अनुपात $(1/e)^2$ होगा?
A
$1/(4 \lambda)$
B
$4 \lambda$
C
$2 \lambda$
D
$1/(2 \lambda)$
Solution
(D) $t$ समय के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ $A$ के लिए,$N_A = N_0 e^{-5 \lambda t} \dots (i)$.
पदार्थ $B$ के लिए,$N_B = N_0 e^{-\lambda t} \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{N_0 e^{-5 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-5 \lambda t + \lambda t} = e^{-4 \lambda t}$.
दिया गया है कि अनुपात $\frac{N_A}{N_B} = (1/e)^2 = e^{-2}$ है।
घातांकों की तुलना करने पर: $-4 \lambda t = -2$.
अतः,$t = \frac{2}{4 \lambda} = \frac{1}{2 \lambda}$.
पदार्थ $A$ के लिए,$N_A = N_0 e^{-5 \lambda t} \dots (i)$.
पदार्थ $B$ के लिए,$N_B = N_0 e^{-\lambda t} \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{N_0 e^{-5 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-5 \lambda t + \lambda t} = e^{-4 \lambda t}$.
दिया गया है कि अनुपात $\frac{N_A}{N_B} = (1/e)^2 = e^{-2}$ है।
घातांकों की तुलना करने पर: $-4 \lambda t = -2$.
अतः,$t = \frac{2}{4 \lambda} = \frac{1}{2 \lambda}$.
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View Solution477
EasyMCQ
एक रेडियोधर्मी विघटन में,परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या और $t = \frac{1}{2 \lambda}$ समय पर उपस्थित परमाणुओं की संख्या का अनुपात क्या है? $[\lambda = \text{क्षय नियतांक}]$
A
$\frac{1}{e}$
B
$\sqrt{e}$
C
$e$
D
$2e$
Solution
(B) रेडियोधर्मी विघटन के नियम के अनुसार,$t$ समय पर परमाणुओं की संख्या $N$ इस प्रकार दी जाती है: $N = N_0 e^{-\lambda t}$.
यहाँ,$N_0$ परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या है।
हमें $t = \frac{1}{2 \lambda}$ समय पर $\frac{N_0}{N}$ का अनुपात ज्ञात करना है।
समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda \times \frac{1}{2 \lambda}}$
$\frac{N}{N_0} = e^{-\frac{1}{2}}$
$\frac{N_0}{N}$ ज्ञात करने के लिए व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{N_0}{N} = e^{\frac{1}{2}}$
$\frac{N_0}{N} = \sqrt{e}$
यहाँ,$N_0$ परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या है।
हमें $t = \frac{1}{2 \lambda}$ समय पर $\frac{N_0}{N}$ का अनुपात ज्ञात करना है।
समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda \times \frac{1}{2 \lambda}}$
$\frac{N}{N_0} = e^{-\frac{1}{2}}$
$\frac{N_0}{N}$ ज्ञात करने के लिए व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{N_0}{N} = e^{\frac{1}{2}}$
$\frac{N_0}{N} = \sqrt{e}$
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MediumMCQ
$T_1$ और $T_2$ अर्ध-आयु वाले दो अलग-अलग रेडियोधर्मी तत्वों में किसी दिए गए क्षण पर क्रमशः $N_1$ और $N_2$ अविघटित परमाणु मौजूद हैं। उस क्षण पर उनकी सक्रियता (activity) का अनुपात क्या है?
A
$\frac{N_1 T_1}{N_2 T_2}$
B
$\frac{N_2 T_2}{N_1 T_1}$
C
$\frac{N_1 T_2}{N_2 T_1}$
D
$\frac{N_1 N_2}{T_1 T_2}$
Solution
(C) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ को सूत्र $A = \lambda N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ अविघटित परमाणुओं की संख्या है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ है।
दो रेडियोधर्मी तत्वों के लिए,उनकी सक्रियता इस प्रकार है:
$A_1 = \lambda_1 N_1 = \frac{\ln 2}{T_1} N_1$
$A_2 = \lambda_2 N_2 = \frac{\ln 2}{T_2} N_2$
उनकी सक्रियता का अनुपात है:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{(\frac{\ln 2}{T_1}) N_1}{(\frac{\ln 2}{T_2}) N_2}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{N_1}{T_1} \times \frac{T_2}{N_2} = \frac{N_1 T_2}{N_2 T_1}$
क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ है।
दो रेडियोधर्मी तत्वों के लिए,उनकी सक्रियता इस प्रकार है:
$A_1 = \lambda_1 N_1 = \frac{\ln 2}{T_1} N_1$
$A_2 = \lambda_2 N_2 = \frac{\ln 2}{T_2} N_2$
उनकी सक्रियता का अनुपात है:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{(\frac{\ln 2}{T_1}) N_1}{(\frac{\ln 2}{T_2}) N_2}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{N_1}{T_1} \times \frac{T_2}{N_2} = \frac{N_1 T_2}{N_2 T_1}$
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MediumMCQ
एक रेडियोधर्मी नमूने की अर्ध-आयु $5$ वर्ष है। $10$ वर्षों में क्षयित अंश का प्रतिशत क्या होगा ($\%$ में)?
A
$25$
B
$50$
C
$75$
D
$100$
Solution
(C) दिया गया है:
कुल समय,$T = 10$ वर्ष
अर्ध-आयु,$T_{1/2} = 5$ वर्ष
अर्ध-आयु की संख्या,$n = \frac{T}{T_{1/2}} = \frac{10}{5} = 2$
रेडियोधर्मी क्षय के नियम का उपयोग करते हुए,शेष अंश $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ द्वारा दिया जाता है।
$n$ का मान रखने पर,$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$
इसका अर्थ है कि $10$ वर्षों के बाद मूल पदार्थ का $\frac{1}{4}$ भाग शेष रहता है।
क्षयित अंश $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं: $\frac{3}{4} \times 100 = 75 \%$
अतः,$10$ वर्षों में नमूने का $75 \%$ भाग क्षयित हो जाएगा।
कुल समय,$T = 10$ वर्ष
अर्ध-आयु,$T_{1/2} = 5$ वर्ष
अर्ध-आयु की संख्या,$n = \frac{T}{T_{1/2}} = \frac{10}{5} = 2$
रेडियोधर्मी क्षय के नियम का उपयोग करते हुए,शेष अंश $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ द्वारा दिया जाता है।
$n$ का मान रखने पर,$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$
इसका अर्थ है कि $10$ वर्षों के बाद मूल पदार्थ का $\frac{1}{4}$ भाग शेष रहता है।
क्षयित अंश $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं: $\frac{3}{4} \times 100 = 75 \%$
अतः,$10$ वर्षों में नमूने का $75 \%$ भाग क्षयित हो जाएगा।
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MediumMCQ
एक रेडियोधर्मी तत्व की अर्ध-आयु $1600$ वर्ष है। $6400$ वर्षों के बाद नमूने का कितना भाग अविघटित रहेगा?
A
$\frac{1}{16}$
B
$\frac{1}{4}$
C
$\frac{1}{8}$
D
$\frac{1}{24}$
Solution
(A) रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,अविघटित रहने वाले नमूने का अंश इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$
यहाँ,कुल बीता हुआ समय $t = 6400$ वर्ष है और अर्ध-आयु $T = 1600$ वर्ष है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{6400}{1600}}$
$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$
$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$
अतः,$6400$ वर्षों के बाद नमूने का $\frac{1}{16}$ भाग अविघटित रहेगा।
यहाँ,कुल बीता हुआ समय $t = 6400$ वर्ष है और अर्ध-आयु $T = 1600$ वर्ष है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{6400}{1600}}$
$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$
$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$
अतः,$6400$ वर्षों के बाद नमूने का $\frac{1}{16}$ भाग अविघटित रहेगा।
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MediumMCQ
एक पदार्थ के लिए,उसकी प्रारंभिक मात्रा $(N_0)$ का वह अंश जो उसके औसत जीवनकाल में विघटित हो जाएगा,लगभग है $(e = 2.71)$।
A
$(1/3) N_0$
B
$(1/2) N_0$
C
$(2/3) N_0$
D
$(0.9) N_0$
Solution
(C) एक रेडियोधर्मी पदार्थ के लिए,समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
औसत जीवनकाल $\tau = 1/\lambda$ दिया गया है,इसलिए $t = \tau$ पर,$t = 1/\lambda$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $N = N_0 e^{-\lambda \times (1/\lambda)} = N_0 e^{-1} = N_0 / e$।
चूंकि $e = 2.71$ दिया गया है,शेष मात्रा $N = N_0 / 2.71 \approx 0.37 N_0$ है।
विघटित हुई मात्रा प्रारंभिक मात्रा में से शेष मात्रा को घटाने पर प्राप्त होती है।
विघटित मात्रा $= N_0 - 0.37 N_0 = 0.63 N_0$।
अतः,विघटित अंश लगभग $0.63 N_0$ है,जो $(2/3) N_0$ के सबसे निकट है।
औसत जीवनकाल $\tau = 1/\lambda$ दिया गया है,इसलिए $t = \tau$ पर,$t = 1/\lambda$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $N = N_0 e^{-\lambda \times (1/\lambda)} = N_0 e^{-1} = N_0 / e$।
चूंकि $e = 2.71$ दिया गया है,शेष मात्रा $N = N_0 / 2.71 \approx 0.37 N_0$ है।
विघटित हुई मात्रा प्रारंभिक मात्रा में से शेष मात्रा को घटाने पर प्राप्त होती है।
विघटित मात्रा $= N_0 - 0.37 N_0 = 0.63 N_0$।
अतः,विघटित अंश लगभग $0.63 N_0$ है,जो $(2/3) N_0$ के सबसे निकट है।
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EasyMCQ
एक रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $25 \ min$ है। पदार्थ के $50 \%$ क्षय और $87.5 \%$ क्षय के बीच का समय अंतराल होगा: ($min$ में)
A
$75$
B
$25$
C
$37.5$
D
$50$
Solution
(D) रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ $25 \ min$ दी गई है।
$50 \%$ क्षय के लिए,पदार्थ ने एक अर्ध-आयु पूरी कर ली है,इसलिए $t_1 = 1 \times T_{1/2} = 25 \ min$.
$87.5 \%$ क्षय के लिए,शेष मात्रा $100 \% - 87.5 \% = 12.5 \%$ है।
चूंकि $12.5 \% = (1/2)^3$ प्रारंभिक मात्रा के बराबर है,यह $3$ अर्ध-आयु के बराबर है,इसलिए $t_2 = 3 \times T_{1/2} = 3 \times 25 \ min = 75 \ min$.
$50 \%$ क्षय और $87.5 \%$ क्षय के बीच का समय अंतराल $\Delta t = t_2 - t_1 = 75 \ min - 25 \ min = 50 \ min$ होगा।
$50 \%$ क्षय के लिए,पदार्थ ने एक अर्ध-आयु पूरी कर ली है,इसलिए $t_1 = 1 \times T_{1/2} = 25 \ min$.
$87.5 \%$ क्षय के लिए,शेष मात्रा $100 \% - 87.5 \% = 12.5 \%$ है।
चूंकि $12.5 \% = (1/2)^3$ प्रारंभिक मात्रा के बराबर है,यह $3$ अर्ध-आयु के बराबर है,इसलिए $t_2 = 3 \times T_{1/2} = 3 \times 25 \ min = 75 \ min$.
$50 \%$ क्षय और $87.5 \%$ क्षय के बीच का समय अंतराल $\Delta t = t_2 - t_1 = 75 \ min - 25 \ min = 50 \ min$ होगा।
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EasyMCQ
एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $3 \ days$ में अपने मूल मान की $\left(\frac{1}{3}\right)$ हो जाती है। तो $9 \ days$ में इसकी सक्रियता घटकर कितनी हो जाएगी?
A
मूल मान की $\left(\frac{1}{18}\right)$
B
मूल मान की $\left(\frac{1}{9}\right)$
C
मूल मान की $\left(\frac{1}{27}\right)$
D
मूल मान की $\left(\frac{1}{3}\right)$
Solution
(C) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = A_0 e^{-\lambda t}$ या $A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है कि $t_1 = 3 \ days$ में,सक्रियता $A_1 = \frac{A_0}{3}$ हो जाती है।
संबंध $A = A_0 \left(\frac{1}{k}\right)^{t/\tau}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\tau$ मूल मान का $\frac{1}{k}$ होने में लगा समय है:
$\frac{A_0}{3} = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^{3/3} \implies \frac{1}{3} = \left(\frac{1}{3}\right)^1$.
यह पुष्टि करता है कि सक्रियता हर $3 \ days$ में $\frac{1}{3}$ के गुणक से कम हो जाती है।
$t_2 = 9 \ days$ के लिए,ऐसे अंतरालों की संख्या $n = \frac{9}{3} = 3$ है।
अतः,$9 \ days$ के बाद सक्रियता $A_2 = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^n = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{A_0}{27}$ होगी।
दिया गया है कि $t_1 = 3 \ days$ में,सक्रियता $A_1 = \frac{A_0}{3}$ हो जाती है।
संबंध $A = A_0 \left(\frac{1}{k}\right)^{t/\tau}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\tau$ मूल मान का $\frac{1}{k}$ होने में लगा समय है:
$\frac{A_0}{3} = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^{3/3} \implies \frac{1}{3} = \left(\frac{1}{3}\right)^1$.
यह पुष्टि करता है कि सक्रियता हर $3 \ days$ में $\frac{1}{3}$ के गुणक से कम हो जाती है।
$t_2 = 9 \ days$ के लिए,ऐसे अंतरालों की संख्या $n = \frac{9}{3} = 3$ है।
अतः,$9 \ days$ के बाद सक्रियता $A_2 = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^n = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{A_0}{27}$ होगी।
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MediumMCQ
एक रेडियोधर्मी तत्व के नमूने में $8 \times 10^{16}$ सक्रिय नाभिक हैं। तत्व की अर्ध-आयु $15 \text{ दिन}$ है। $60 \text{ दिनों}$ के बाद क्षयित हुए नाभिकों की संख्या है:
A
$7.5 \times 10^{16}$
B
$2.0 \times 10^{16}$
C
$0.5 \times 10^{16}$
D
$4.0 \times 10^{16}$
Solution
(A) दिया गया है: नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $N_0 = 8 \times 10^{16}$,अर्ध-आयु $T = 15 \text{ दिन}$,और कुल समय $t = 60 \text{ दिन}$।
सबसे पहले,अर्ध-आयु की संख्या $n$ की गणना करें:
$n = \frac{t}{T} = \frac{60}{15} = 4$.
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बचे नाभिकों की संख्या $N$ इस प्रकार है:
$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n = 8 \times 10^{16} \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 8 \times 10^{16} \times \frac{1}{16} = 0.5 \times 10^{16}$.
क्षयित हुए नाभिकों की संख्या प्रारंभिक और शेष नाभिकों के बीच का अंतर है:
$\text{क्षयित नाभिक} = N_0 - N = 8 \times 10^{16} - 0.5 \times 10^{16} = 7.5 \times 10^{16}$.
सबसे पहले,अर्ध-आयु की संख्या $n$ की गणना करें:
$n = \frac{t}{T} = \frac{60}{15} = 4$.
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बचे नाभिकों की संख्या $N$ इस प्रकार है:
$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n = 8 \times 10^{16} \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 8 \times 10^{16} \times \frac{1}{16} = 0.5 \times 10^{16}$.
क्षयित हुए नाभिकों की संख्या प्रारंभिक और शेष नाभिकों के बीच का अंतर है:
$\text{क्षयित नाभिक} = N_0 - N = 8 \times 10^{16} - 0.5 \times 10^{16} = 7.5 \times 10^{16}$.
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MediumMCQ
दो रेडियोधर्मी पदार्थों $X_1$ और $X_2$ के क्षय नियतांक क्रमशः $5 \lambda$ और $\lambda$ हैं। प्रारंभ में,उनके पास नाभिकों की संख्या समान है। $t$ समय के बाद,$X_1$ के नाभिकों की संख्या और $X_2$ के नाभिकों की संख्या का अनुपात $\frac{1}{e}$ है। तो $t$ का मान क्या होगा?
A
$\frac{\lambda}{2}$
B
$\frac{e}{\lambda}$
C
$\lambda$
D
$\frac{1}{4 \lambda}$
Solution
(D) मान लीजिए कि दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
$t$ समय के बाद,$X_1$ के लिए शेष नाभिकों की संख्या $N_1 = N_0 e^{-5 \lambda t}$ है।
$t$ समय के बाद,$X_2$ के लिए शेष नाभिकों की संख्या $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
नाभिकों की संख्या का अनुपात $\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_0 e^{-5 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-5 \lambda t + \lambda t} = e^{-4 \lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ है।
घातांकों की तुलना करने पर: $-4 \lambda t = -1$।
अतः,$t = \frac{1}{4 \lambda}$।
$t$ समय के बाद,$X_1$ के लिए शेष नाभिकों की संख्या $N_1 = N_0 e^{-5 \lambda t}$ है।
$t$ समय के बाद,$X_2$ के लिए शेष नाभिकों की संख्या $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
नाभिकों की संख्या का अनुपात $\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_0 e^{-5 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-5 \lambda t + \lambda t} = e^{-4 \lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ है।
घातांकों की तुलना करने पर: $-4 \lambda t = -1$।
अतः,$t = \frac{1}{4 \lambda}$।
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EasyMCQ
एक रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $30 \text{ मिनट}$ है। उसी रेडियोधर्मी पदार्थ के $40 \%$ क्षय और $85 \%$ क्षय के बीच लगा समय है ($\text{ मिनट}$ में)
A
$15$
B
$90$
C
$60$
D
$30$
Solution
(C) मान लीजिए कि रेडियोधर्मी पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा $N_i = 100 \%$ है।
$40 \%$ क्षय पर, शेष मात्रा $N_1 = 100 \% - 40 \% = 60 \%$ है।
$85 \%$ क्षय पर, शेष मात्रा $N_2 = 100 \% - 85 \% = 15 \%$ है।
हम जानते हैं कि $t$ समय के बाद शेष मात्रा $N(t) = N_i \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T_{1/2} = 30 \text{ मिनट}$ है।
$N_1$ और $N_2$ के बीच के अंतराल के लिए, शेष नाभिकों का अनुपात $\frac{N_2}{N_1} = \frac{15 \%}{60 \%} = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि $\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2$, इसलिए लगा समय दो अर्ध-आयु के बराबर है।
अतः, लगा समय $t = 2 \times T_{1/2} = 2 \times 30 \text{ मिनट} = 60 \text{ मिनट}$ है।
$40 \%$ क्षय पर, शेष मात्रा $N_1 = 100 \% - 40 \% = 60 \%$ है।
$85 \%$ क्षय पर, शेष मात्रा $N_2 = 100 \% - 85 \% = 15 \%$ है।
हम जानते हैं कि $t$ समय के बाद शेष मात्रा $N(t) = N_i \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T_{1/2} = 30 \text{ मिनट}$ है।
$N_1$ और $N_2$ के बीच के अंतराल के लिए, शेष नाभिकों का अनुपात $\frac{N_2}{N_1} = \frac{15 \%}{60 \%} = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि $\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2$, इसलिए लगा समय दो अर्ध-आयु के बराबर है।
अतः, लगा समय $t = 2 \times T_{1/2} = 2 \times 30 \text{ मिनट} = 60 \text{ मिनट}$ है।
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EasyMCQ
सक्रिय नाभिकों की संख्या के साथ क्षय दर में परिवर्तन को किस ग्राफ में सही ढंग से दिखाया गया है?
A
$A$
B
$B$
C
$C$
D
$D$
Solution
(C) रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,क्षय की दर को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$-\frac{dN}{dt} = \lambda N$
जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है और $N$ समय $t$ पर मौजूद सक्रिय नाभिकों की संख्या है।
इसे इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$
यह समीकरण क्षय दर $(R = -\frac{dN}{dt})$ और सक्रिय नाभिकों की संख्या $(N)$ के बीच एक रैखिक संबंध को दर्शाता है,जहाँ ढाल ऋणात्मक $(-\lambda)$ है।
इसे मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \frac{dN}{dt}$ और $x = N$,ढाल $m = -\lambda$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{dN}{dt}$ बनाम $N$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है जिसकी ढाल ऋणात्मक है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,ग्राफ $A$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को ऋणात्मक ढाल के साथ दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
$-\frac{dN}{dt} = \lambda N$
जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है और $N$ समय $t$ पर मौजूद सक्रिय नाभिकों की संख्या है।
इसे इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$
यह समीकरण क्षय दर $(R = -\frac{dN}{dt})$ और सक्रिय नाभिकों की संख्या $(N)$ के बीच एक रैखिक संबंध को दर्शाता है,जहाँ ढाल ऋणात्मक $(-\lambda)$ है।
इसे मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \frac{dN}{dt}$ और $x = N$,ढाल $m = -\lambda$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{dN}{dt}$ बनाम $N$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है जिसकी ढाल ऋणात्मक है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,ग्राफ $A$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को ऋणात्मक ढाल के साथ दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
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EasyMCQ
यदि $T$ किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु है,तो उसकी सक्रियता (activity) के परिवर्तन की तात्कालिक दर किसके समानुपाती होती है?
A
$\sqrt{T}$
B
$T$
C
$T^{2}$
D
$T^{-2}$
Solution
(D) किसी भी समय $t$ पर रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $A = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ है।
सक्रियता के परिवर्तन की दर $\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(A_0 e^{-\lambda t}) = -\lambda A_0 e^{-\lambda t} = -\lambda A$ है।
सक्रियता के परिवर्तन की दर का परिमाण $|\frac{dA}{dt}| = \lambda A$ है।
चूंकि $A = \lambda N$,इसलिए $\frac{dA}{dt} = -\lambda (\lambda N) = -\lambda^2 N$ होता है।
यहाँ $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ रखने पर,$\frac{dA}{dt} \propto \lambda^2 \propto (\frac{1}{T})^2 = T^{-2}$ प्राप्त होता है।
अतः,सक्रियता के परिवर्तन की दर $T^{-2}$ के समानुपाती होती है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ है।
सक्रियता के परिवर्तन की दर $\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(A_0 e^{-\lambda t}) = -\lambda A_0 e^{-\lambda t} = -\lambda A$ है।
सक्रियता के परिवर्तन की दर का परिमाण $|\frac{dA}{dt}| = \lambda A$ है।
चूंकि $A = \lambda N$,इसलिए $\frac{dA}{dt} = -\lambda (\lambda N) = -\lambda^2 N$ होता है।
यहाँ $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ रखने पर,$\frac{dA}{dt} \propto \lambda^2 \propto (\frac{1}{T})^2 = T^{-2}$ प्राप्त होता है।
अतः,सक्रियता के परिवर्तन की दर $T^{-2}$ के समानुपाती होती है।
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MediumMCQ
एक रेडियोधर्मी तत्व की विघटन दर किसी विशेष क्षण पर $10,000$ विघटन प्रति मिनट है। चार मिनट बाद यह $2500$ विघटन प्रति मिनट हो जाती है। प्रति मिनट क्षय नियतांक है ($log _e 2$ में)
A
$0.2$
B
$0.5$
C
$0.6$
D
$0.8$
Solution
(B) विघटन की दर $R$ को $R = R_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ $R_0 = 10,000$ विघटन प्रति मिनट,$R = 2500$ विघटन प्रति मिनट और $t = 4$ मिनट दिया गया है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{2500}{10000} = e^{-\lambda \times 4}$
$\frac{1}{4} = e^{-4 \lambda}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln(\frac{1}{4}) = -4 \lambda$
$-\ln(4) = -4 \lambda$
$\ln(2^2) = 4 \lambda$
$2 \ln(2) = 4 \lambda$
$\lambda = \frac{2}{4} \ln(2)$
$\lambda = 0.5 \log _e 2$ प्रति मिनट।
यहाँ $R_0 = 10,000$ विघटन प्रति मिनट,$R = 2500$ विघटन प्रति मिनट और $t = 4$ मिनट दिया गया है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{2500}{10000} = e^{-\lambda \times 4}$
$\frac{1}{4} = e^{-4 \lambda}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln(\frac{1}{4}) = -4 \lambda$
$-\ln(4) = -4 \lambda$
$\ln(2^2) = 4 \lambda$
$2 \ln(2) = 4 \lambda$
$\lambda = \frac{2}{4} \ln(2)$
$\lambda = 0.5 \log _e 2$ प्रति मिनट।
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EasyMCQ
अर्ध-आयु $(T)$ और क्षय नियतांक $(\lambda)$ के बीच का संबंध है
A
$\lambda T=1$
B
$\lambda T=\frac{1}{2}$
C
$\lambda T=\log _{e} 2$
D
$\lambda=\log 2 T$
Solution
(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
अर्ध-आयु $t = T$ पर,अविघटित नाभिकों की संख्या $N(T) = \frac{N_0}{2}$ होती है।
इन मानों को क्षय नियम में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T}$
$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(1/2) = -\lambda T$
$-\ln(2) = -\lambda T$
$\lambda T = \ln(2) = \log_{e} 2$.
अर्ध-आयु $t = T$ पर,अविघटित नाभिकों की संख्या $N(T) = \frac{N_0}{2}$ होती है।
इन मानों को क्षय नियम में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T}$
$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(1/2) = -\lambda T$
$-\ln(2) = -\lambda T$
$\lambda T = \ln(2) = \log_{e} 2$.
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DifficultMCQ
एक रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $ 20 \text{ मिनट} $ है। पदार्थ के $ 50\% $ क्षय और $ 87.5\% $ क्षय के बीच लगा समय होगा ($ \text{ मिनट} $ में)
A
$ 30 $
B
$ 40 $
C
$ 25 $
D
$ 10 $
Solution
(B) दिया गया है, रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $ T_{1/2} = 20 \text{ मिनट} $ है।
$ 50\% $ क्षय पर, शेष मात्रा $ N_1 = 50\% $ of $ N_0 = 0.5 N_0 $ है। यह $ 1 $ अर्ध-आयु के अनुरूप है, इसलिए $ t_1 = 20 \text{ मिनट} $ है।
$ 87.5\% $ क्षय पर, शेष मात्रा $ N_2 = (100 - 87.5)\% $ of $ N_0 = 12.5\% $ of $ N_0 = 0.125 N_0 = (1/8) N_0 = (1/2)^3 N_0 $ है।
यह $ 3 $ अर्ध-आयु के अनुरूप है, इसलिए $ t_2 = 3 \times T_{1/2} = 3 \times 20 = 60 \text{ मिनट} $ है।
$ 50\% $ क्षय और $ 87.5\% $ क्षय के बीच लगा समय $ \Delta t = t_2 - t_1 = 60 - 20 = 40 \text{ मिनट} $ है।
$ 50\% $ क्षय पर, शेष मात्रा $ N_1 = 50\% $ of $ N_0 = 0.5 N_0 $ है। यह $ 1 $ अर्ध-आयु के अनुरूप है, इसलिए $ t_1 = 20 \text{ मिनट} $ है।
$ 87.5\% $ क्षय पर, शेष मात्रा $ N_2 = (100 - 87.5)\% $ of $ N_0 = 12.5\% $ of $ N_0 = 0.125 N_0 = (1/8) N_0 = (1/2)^3 N_0 $ है।
यह $ 3 $ अर्ध-आयु के अनुरूप है, इसलिए $ t_2 = 3 \times T_{1/2} = 3 \times 20 = 60 \text{ मिनट} $ है।
$ 50\% $ क्षय और $ 87.5\% $ क्षय के बीच लगा समय $ \Delta t = t_2 - t_1 = 60 - 20 = 40 \text{ मिनट} $ है।
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EasyMCQ
एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R$ का प्राकृतिक लघुगणक समय $t$ के साथ चित्र में दिखाए अनुसार बदलता है। $t=0$ पर,$N_0$ अविखंडित नाभिक हैं। तो,$N_0$ का मान क्या होगा? [$e^2=7.5$ लें].
A
$7500$
B
$3500$
C
$75000$
D
$150000$
Solution
(C) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R = R_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln R = \ln R_0 - \lambda t$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ग्राफ का ढाल $m = -\lambda$ है।
दिए गए ग्राफ से,$t = 0$ पर,$\ln R_0 = 2$,जिसका अर्थ है $R_0 = e^2 = 7.5$।
ग्राफ का ढाल $\lambda = -\frac{\Delta(\ln R)}{\Delta t} = -\frac{1 - 2}{10 \times 10^3 - 0} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4} \text{ s}^{-1}$ है।
हम जानते हैं कि सक्रियता $R_0 = \lambda N_0$ होती है,जहाँ $N_0$ समय $t = 0$ पर अविखंडित नाभिकों की संख्या है।
इसलिए,$N_0 = \frac{R_0}{\lambda} = \frac{7.5}{10^{-4}} = 7.5 \times 10^4 = 75000$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln R = \ln R_0 - \lambda t$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ग्राफ का ढाल $m = -\lambda$ है।
दिए गए ग्राफ से,$t = 0$ पर,$\ln R_0 = 2$,जिसका अर्थ है $R_0 = e^2 = 7.5$।
ग्राफ का ढाल $\lambda = -\frac{\Delta(\ln R)}{\Delta t} = -\frac{1 - 2}{10 \times 10^3 - 0} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4} \text{ s}^{-1}$ है।
हम जानते हैं कि सक्रियता $R_0 = \lambda N_0$ होती है,जहाँ $N_0$ समय $t = 0$ पर अविखंडित नाभिकों की संख्या है।
इसलिए,$N_0 = \frac{R_0}{\lambda} = \frac{7.5}{10^{-4}} = 7.5 \times 10^4 = 75000$।
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EasyMCQ
एक रेडियोधर्मी नमूने की अर्ध-आयु $3$ वर्ष है। नमूने की सक्रियता को उसके प्रारंभिक मान के $\frac{1}{5}$ तक कम होने में लगने वाला समय लगभग कितना है ($\text{वर्ष}$ में)?
A
$10$
B
$7$
C
$15$
D
$5$
Solution
(B) दिया गया है, अर्ध-आयु $T_{1/2} = 3$ वर्ष।
हम जानते हैं कि समय $t$ पर सक्रियता $R$ का मान $R = R_0 e^{-\lambda t}$ होता है, जहाँ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $R = \frac{R_0}{5}$ हो।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{R_0}{5} = R_0 e^{-\lambda t} \Rightarrow \frac{1}{5} = e^{-\lambda t}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/5) = -\lambda t \Rightarrow \ln(5) = \lambda t$।
अतः, $t = \frac{\ln 5}{\lambda} = \frac{\ln 5}{\ln 2 / T_{1/2}} = \frac{\ln 5}{\ln 2} \times T_{1/2}$।
$\ln 5 \approx 1.609$ और $\ln 2 \approx 0.693$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{1.609}{0.693} \times 3 \approx 2.3218 \times 3 \approx 6.965$ वर्ष।
निकटतम पूर्णांक में, $t \approx 7$ वर्ष।
हम जानते हैं कि समय $t$ पर सक्रियता $R$ का मान $R = R_0 e^{-\lambda t}$ होता है, जहाँ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $R = \frac{R_0}{5}$ हो।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{R_0}{5} = R_0 e^{-\lambda t} \Rightarrow \frac{1}{5} = e^{-\lambda t}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/5) = -\lambda t \Rightarrow \ln(5) = \lambda t$।
अतः, $t = \frac{\ln 5}{\lambda} = \frac{\ln 5}{\ln 2 / T_{1/2}} = \frac{\ln 5}{\ln 2} \times T_{1/2}$।
$\ln 5 \approx 1.609$ और $\ln 2 \approx 0.693$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{1.609}{0.693} \times 3 \approx 2.3218 \times 3 \approx 6.965$ वर्ष।
निकटतम पूर्णांक में, $t \approx 7$ वर्ष।
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MediumMCQ
एक रेडियोधर्मी तत्व की अर्ध-आयु $15$ वर्ष है। $30$ वर्षों में इसका कितना अंश क्षयित हो जाएगा?
A
$0.25$
B
$0.5$
C
$0.75$
D
$0.85$
Solution
(C) दिया गया है,अर्ध-आयु,$T_{1/2} = 15$ वर्ष।
समय,$t = 30$ वर्ष।
अर्ध-आयु की संख्या,$n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{30}{15} = 2$.
$n$ अर्ध-आयु के बाद बिना क्षय हुए बचे नाभिकों का अंश $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 2$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.
क्षयित हुए तत्व का अंश $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - 0.25 = 0.75$ है।
समय,$t = 30$ वर्ष।
अर्ध-आयु की संख्या,$n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{30}{15} = 2$.
$n$ अर्ध-आयु के बाद बिना क्षय हुए बचे नाभिकों का अंश $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 2$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.
क्षयित हुए तत्व का अंश $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - 0.25 = 0.75$ है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित में से किस नाभिक का माध्य आयु (mean life) कम है?
A
$C$
B
$A$
C
सभी के लिए समान
D
$B$
Solution
(B) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R = |dN/dt|$ द्वारा दी जाती है।
ग्राफ से,$A$ के लिए क्षय वक्र सबसे तेजी से गिरता है,जिसका अर्थ है कि इसका क्षय नियतांक $\lambda$ सबसे अधिक है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और माध्य आयु $\tau$ का संबंध $\tau = 1/\lambda$ है।
इसलिए,उच्च क्षय नियतांक $\lambda$ कम माध्य आयु $\tau$ के अनुरूप होता है।
चूंकि वक्र $A$ का ढलान सबसे अधिक (उच्चतम सक्रियता) है,इसलिए इसका $\lambda$ सबसे बड़ा है और इस प्रकार इसकी माध्य आयु सबसे कम है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।
ग्राफ से,$A$ के लिए क्षय वक्र सबसे तेजी से गिरता है,जिसका अर्थ है कि इसका क्षय नियतांक $\lambda$ सबसे अधिक है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और माध्य आयु $\tau$ का संबंध $\tau = 1/\lambda$ है।
इसलिए,उच्च क्षय नियतांक $\lambda$ कम माध्य आयु $\tau$ के अनुरूप होता है।
चूंकि वक्र $A$ का ढलान सबसे अधिक (उच्चतम सक्रियता) है,इसलिए इसका $\lambda$ सबसे बड़ा है और इस प्रकार इसकी माध्य आयु सबसे कम है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।
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DifficultMCQ
ट्रिटियम की अर्ध-आयु $ 12.5 $ वर्ष है। $ 64 \ mg $ के प्रारंभिक द्रव्यमान वाले ट्रिटियम का कितना द्रव्यमान $ 50 $ वर्ष बाद अविघटित रहेगा ($mg$ में)?
A
$32$
B
$8$
C
$16$
D
$4$
Solution
(D) दिया गया है: अर्ध-आयु $( T_{1/2} )$ $= 12.5 \text{ वर्ष}$,प्रारंभिक द्रव्यमान $( N_0 )$ $= 64 \ mg$,कुल समय $( t )$ $= 50 \text{ वर्ष}$।
अर्ध-आयु की संख्या ज्ञात करने का सूत्र: $ n = \frac{t}{T_{1/2}} $।
$ n = \frac{50}{12.5} = 4 $।
शेष द्रव्यमान $( N )$ ज्ञात करने का सूत्र: $ N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n $।
$ N = 64 \times (\frac{1}{2})^4 $।
$ N = 64 \times \frac{1}{16} $।
$ N = 4 \ mg $।
अतः,$ 50 $ वर्ष बाद $ 4 \ mg $ ट्रिटियम अविघटित रहेगा।
अर्ध-आयु की संख्या ज्ञात करने का सूत्र: $ n = \frac{t}{T_{1/2}} $।
$ n = \frac{50}{12.5} = 4 $।
शेष द्रव्यमान $( N )$ ज्ञात करने का सूत्र: $ N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n $।
$ N = 64 \times (\frac{1}{2})^4 $।
$ N = 64 \times \frac{1}{16} $।
$ N = 4 \ mg $।
अतः,$ 50 $ वर्ष बाद $ 4 \ mg $ ट्रिटियम अविघटित रहेगा।
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MediumMCQ
$ 10 $ दिनों की अर्ध-आयु वाले एक रेडियोधर्मी नमूने में $ 1000x $ नाभिक हैं। $ 5 $ दिनों के बाद उपस्थित मूल नाभिकों की संख्या क्या है ($x$ में)?
A
$707$
B
$750$
C
$500$
D
$250$
Solution
(A) दिया गया है: अर्ध-आयु $ T_{1/2} = 10 $ दिन,नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $ N_0 = 1000x $,समय $ t = 5 $ दिन।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम का उपयोग करते हुए: $ N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}} $.
मान रखने पर: $ N = 1000x \left( \frac{1}{2} \right)^{5 / 10} $.
$ N = 1000x \left( \frac{1}{2} \right)^{1/2} $.
$ N = \frac{1000x}{\sqrt{2}} $.
चूंकि $ \sqrt{2} \approx 1.414 $,
$ N = \frac{1000x}{1.414} \approx 707.21x $.
अतः,$ 5 $ दिनों के बाद उपस्थित मूल नाभिकों की संख्या लगभग $ 707x $ है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम का उपयोग करते हुए: $ N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}} $.
मान रखने पर: $ N = 1000x \left( \frac{1}{2} \right)^{5 / 10} $.
$ N = 1000x \left( \frac{1}{2} \right)^{1/2} $.
$ N = \frac{1000x}{\sqrt{2}} $.
चूंकि $ \sqrt{2} \approx 1.414 $,
$ N = \frac{1000x}{1.414} \approx 707.21x $.
अतः,$ 5 $ दिनों के बाद उपस्थित मूल नाभिकों की संख्या लगभग $ 707x $ है।
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MediumMCQ
एक रेडियोधर्मी पदार्थ पहले $2 \,s$ में $100$ बीटा कण और अगले $2 \,s$ में $50$ बीटा कण उत्सर्जित करता है। नमूने का माध्य जीवनकाल (mean life) है
A
$4 \,s$
B
$2 \,s$
C
$\frac{2}{0.693} \,s$
D
$2 \times 0.693 \,s$
Solution
(C) किसी दिए गए समयांतराल में क्षय होने वाले रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या उपस्थित नाभिकों की संख्या के समानुपाती होती है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
पहले $2 \,s$ में $100$ कण उत्सर्जित होते हैं, इसलिए शेष नाभिक $N_0 - 100$ हैं।
अगले $2 \,s$ में $50$ कण उत्सर्जित होते हैं।
चूंकि समान समयांतराल में क्षय होने वाले कणों की संख्या आधी हो रही है, इसलिए अर्ध-आयु $T_{1/2} = 2 \,s$ है।
माध्य जीवनकाल $T_m$ और अर्ध-आयु के बीच संबंध $T_m = \frac{T_{1/2}}{0.693}$ है।
$T_{1/2} = 2 \,s$ रखने पर, हमें $T_m = \frac{2}{0.693} \,s$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
पहले $2 \,s$ में $100$ कण उत्सर्जित होते हैं, इसलिए शेष नाभिक $N_0 - 100$ हैं।
अगले $2 \,s$ में $50$ कण उत्सर्जित होते हैं।
चूंकि समान समयांतराल में क्षय होने वाले कणों की संख्या आधी हो रही है, इसलिए अर्ध-आयु $T_{1/2} = 2 \,s$ है।
माध्य जीवनकाल $T_m$ और अर्ध-आयु के बीच संबंध $T_m = \frac{T_{1/2}}{0.693}$ है।
$T_{1/2} = 2 \,s$ रखने पर, हमें $T_m = \frac{2}{0.693} \,s$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
$A$ और $B$ दो रेडियोधर्मी तत्व हैं। इन तत्वों के मिश्रण की कुल सक्रियता $1200 \text{ disintegrations/minute}$ है। $A$ की अर्ध-आयु $1 \text{ day}$ है और $B$ की $2 \text{ days}$ है। $4 \text{ days}$ के बाद कुल सक्रियता क्या होगी? दिया गया है कि $A$ और $B$ में परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या समान है।
A
$200 \text{ dis/min}$
B
$250 \text{ dis/min}$
C
$500 \text{ dis/min}$
D
$150 \text{ dis/min}$
Solution
(D) सक्रियता $A$ को $A = \lambda N = \frac{0.693}{T_{1/2}} N$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि $A$ और $B$ के लिए परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0$ समान है,इसलिए प्रारंभिक सक्रियता $A_0$ अर्ध-आयु $T_{1/2}$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अतः,$\frac{A_0(A)}{A_0(B)} = \frac{T_{1/2}(B)}{T_{1/2}(A)} = \frac{2 \text{ days}}{1 \text{ day}} = 2$.
दिया गया है कि $A_0(A) + A_0(B) = 1200 \text{ dis/min}$.
$A_0(A) = 2 A_0(B)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 A_0(B) + A_0(B) = 1200$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3 A_0(B) = 1200$,इसलिए $A_0(B) = 400 \text{ dis/min}$ और $A_0(A) = 800 \text{ dis/min}$.
$t = 4 \text{ days}$ के बाद,$A$ की सक्रियता $A(A) = \frac{A_0(A)}{2^{t/T_{1/2}(A)}} = \frac{800}{2^{4/1}} = \frac{800}{16} = 50 \text{ dis/min}$ होगी।
$B$ की सक्रियता $A(B) = \frac{A_0(B)}{2^{t/T_{1/2}(B)}} = \frac{400}{2^{4/2}} = \frac{400}{4} = 100 \text{ dis/min}$ होगी।
$4 \text{ days}$ के बाद कुल सक्रियता $50 + 100 = 150 \text{ dis/min}$ होगी।
चूंकि $A$ और $B$ के लिए परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0$ समान है,इसलिए प्रारंभिक सक्रियता $A_0$ अर्ध-आयु $T_{1/2}$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अतः,$\frac{A_0(A)}{A_0(B)} = \frac{T_{1/2}(B)}{T_{1/2}(A)} = \frac{2 \text{ days}}{1 \text{ day}} = 2$.
दिया गया है कि $A_0(A) + A_0(B) = 1200 \text{ dis/min}$.
$A_0(A) = 2 A_0(B)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 A_0(B) + A_0(B) = 1200$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3 A_0(B) = 1200$,इसलिए $A_0(B) = 400 \text{ dis/min}$ और $A_0(A) = 800 \text{ dis/min}$.
$t = 4 \text{ days}$ के बाद,$A$ की सक्रियता $A(A) = \frac{A_0(A)}{2^{t/T_{1/2}(A)}} = \frac{800}{2^{4/1}} = \frac{800}{16} = 50 \text{ dis/min}$ होगी।
$B$ की सक्रियता $A(B) = \frac{A_0(B)}{2^{t/T_{1/2}(B)}} = \frac{400}{2^{4/2}} = \frac{400}{4} = 100 \text{ dis/min}$ होगी।
$4 \text{ days}$ के बाद कुल सक्रियता $50 + 100 = 150 \text{ dis/min}$ होगी।
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View SolutionNuclei — Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life · Frequently Asked Questions
1Are these Nuclei questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
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