Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Hindi

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N_0$ परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या है,$N$ शेष परमाणुओं की संख्या है,$t$ बीता हुआ समय है और $T$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है: $N_0 = 8 \times 10^4$,$N = 1 \times 10^4$,और $T = 3 \ years$।
सूत्र में मान रखने पर:
$1 \times 10^4 = 8 \times 10^4 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/3}$
$\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/3}$
चूँकि $\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^3$,इसलिए:
$\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/3}$
घातों की तुलना करने पर:
$3 = \frac{t}{3}$
$t = 9 \ years$.

(D) रेडियोधर्मी नमूने के शेष भाग के लिए सूत्र $\frac{N}{N_0} = (1/2)^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यहाँ,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1600$ वर्ष और कुल समय $t = 6400$ वर्ष दिया गया है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{6400}{1600} = 4$ है।
अतः,शेष भाग $\frac{N}{N_0} = (1/2)^4 = \frac{1}{16}$ होगा।

(C) अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ और औसत आयु $(\tau)$ के बीच का संबंध $\tau = \frac{T_{1/2}}{\ln(2)}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $T_{1/2} = 1600$ वर्ष दिया गया है।
$\ln(2) \approx 0.693$ का उपयोग करने पर, $\tau = \frac{1600}{0.693}$ प्राप्त होता है।
इस मान की गणना करने पर, $\tau \approx 2308.8$ वर्ष प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $2319$ वर्ष है।

(D) $n$ अर्ध-आयु के बाद शेष रेडियोधर्मी परमाणुओं का अंश $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ दिया गया है कि अर्ध-आयु की संख्या $n = 5$ है,इसलिए शेष अंश $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$ है।
प्रतिशत ज्ञात करने के लिए,हम अंश को $100$ से गुणा करते हैं:
प्रतिशत $= \frac{1}{32} \times 100 = 3.125\%$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) $t$ समय के बाद बचे हुए रेडियोधर्मी परमाणुओं की संख्या का सूत्र $N_t = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ है,जहाँ $N_0$ परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या है,$t$ बीता हुआ समय है और $T$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है:
परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0 = 50,000$
बीता हुआ समय $t = 10 \text{ दिन}$
अर्ध-आयु $T = 5 \text{ दिन}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$N_t = 50,000 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{10/5}$
$N_t = 50,000 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2$
$N_t = 50,000 \times \frac{1}{4}$
$N_t = 12,500$
अतः,$10$ दिनों के बाद बचे हुए परमाणुओं की संख्या $12,500$ है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ अर्ध-आयु है।
यह दिया गया है कि रेडियोधर्मिता $t = 30 \, s$ में अपने प्रारंभिक मान के $1/64$ तक गिर जाती है,इसलिए $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{64}$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^{30/T}$.
चूंकि $64 = 2^6$,हम लिख सकते हैं $\left( \frac{1}{2} \right)^6 = \left( \frac{1}{2} \right)^{30/T}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $6 = \frac{30}{T}$.
अतः,$T = \frac{30}{6} = 5 \, s$.

(C) क्षय नियतांक $\lambda$ एक रेडियोधर्मी समस्थानिक का एक विशिष्ट गुण है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,क्षय की दर उस क्षण मौजूद रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या के समानुपाती होती है,जिसे $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\lambda$ एक एकल नाभिक के लिए प्रति इकाई समय में क्षय होने की प्रायिकता को दर्शाता है।
यह प्रायिकता एक विशिष्ट रेडियोधर्मी पदार्थ के लिए एक स्थिर मान है और यह समय या नमूने की आयु के साथ नहीं बदलती है।
इसलिए,$\lambda$ परमाणुओं की आयु से स्वतंत्र है।

(A) एक रेडियोधर्मी पदार्थ की औसत आयु $T$ (जिसे $\tau$ के रूप में भी दर्शाया जाता है) को क्षय नियतांक $\lambda$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$T = \frac{1}{\lambda}$ होता है।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $T\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $T\lambda = 1$ है।

(C) $t$ समय के बाद रेडियोधर्मी पदार्थ का शेष अंश निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$,जहाँ $n = \frac{t}{T}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यहाँ $t = \frac{T}{2}$ दिया गया है,इसलिए अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{T/2}{T} = \frac{1}{2}$ होगी।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(B) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ वह समय है जो आधे रेडियोधर्मी नाभिकों के क्षय होने के लिए आवश्यक होता है।
इसका सूत्र है: $T_{1/2} = \frac{ln 2}{\lambda} = \frac{log_e 2}{\lambda}$.
माध्य आयु या औसत आयु $(\tau)$ को क्षय नियतांक के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसका सूत्र है: $\tau = \frac{1}{\lambda}$.
अतः,अर्ध-आयु और माध्य आयु क्रमशः $\frac{log_e 2}{\lambda}$ और $\frac{1}{\lambda}$ हैं।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N(t)$ शेष द्रव्यमान है,$N_0$ प्रारंभिक द्रव्यमान है,$t$ बीता हुआ समय है और $T$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है कि $\frac{N(t)}{N_0} = \frac{1}{32}$ और $t = 60\, days$ है।
हम लिख सकते हैं कि $\frac{1}{32} = \left( \frac{1}{2} \right)^5$।
अतः,$\left( \frac{1}{2} \right)^5 = \left( \frac{1}{2} \right)^{60/T}$।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $5 = \frac{60}{T}$ प्राप्त होता है।
$T$ के लिए हल करने पर,हमें $T = \frac{60}{5} = 12\, days$ प्राप्त होता है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ शेष मात्रा है,$N_0$ प्रारंभिक मात्रा है,$t$ व्यतीत समय है और $T$ अर्ध-आयु है।
यह दिया गया है कि नमूने का $(7/8)$ भाग क्षय हो जाता है,इसलिए शेष मात्रा $N = N_0 - \frac{7}{8}N_0 = \frac{1}{8}N_0$ होगी।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{1}{8}N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/5}$।
इसे सरल करने पर $\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/5}$ प्राप्त होता है।
घातांकों की तुलना करने पर,$3 = t/5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $t = 15 \ days$।

(D) एक रेडियोधर्मी तत्व की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ को उस समय के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक नमूने में आधे रेडियोधर्मी नाभिकों के क्षय होने के लिए आवश्यक होता है।
क्षय नियतांक $(\lambda)$ एक रेडियोधर्मी समस्थानिक का एक विशिष्ट गुण है और यह तापमान, दबाव या पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा जैसी बाहरी भौतिक स्थितियों से स्वतंत्र होता है।
चूंकि $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$, अर्ध-आयु पूरी तरह से क्षय नियतांक पर निर्भर करती है, जो रेडियोधर्मी तत्व की प्रकृति द्वारा निर्धारित होती है।
अतः, सही विकल्प $(D)$ है।

(D) अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ और क्षय नियतांक $(\lambda)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0.6931}{\lambda}$.
दिया गया क्षय नियतांक $\lambda = 4.28 \times 10^{-4} \text{ year}^{-1}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$T_{1/2} = \frac{0.6931}{4.28 \times 10^{-4}} \text{ years}$.
$T_{1/2} = \frac{0.6931}{4.28} \times 10^{4} \text{ years}$.
$T_{1/2} \approx 0.161939 \times 10^{4} \text{ years}$.
$T_{1/2} \approx 1619.39 \text{ years}$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $1620 \text{ years}$ प्राप्त होता है।

(A) रेडियोधर्मी पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा $N_0 = 16\, g$ है।
पदार्थ की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 2\, \text{दिन}$ है।
कुल बीता हुआ समय $t = 32\, \text{दिन}$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{32}{2} = 16$ होगी।
शेष रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा $N$ ज्ञात करने का सूत्र $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ है।
मान रखने पर, $N = 16 \times (\frac{1}{2})^{16} = 2^4 \times (\frac{1}{2})^{16} = (\frac{1}{2})^{12}$ प्राप्त होता है।
अतः, $(\frac{1}{2})^{12} = \frac{1}{4096}\, g \approx 0.244\, mg$ होता है।
इसलिए, शेष मात्रा $1\, mg$ से कम है।

(C) रेडियो-आइसोटोप की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 5$ वर्ष है।
कुल बीता हुआ समय $t = 15$ वर्ष है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = t / T_{1/2} = 15 / 5 = 3$ है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बचे परमाणुओं का अंश $N/N_0 = (1/2)^n$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$N/N_0 = (1/2)^3 = 1/8$ प्राप्त होता है।
क्षयित हुए परमाणुओं का अंश $1 - N/N_0$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,क्षयित अंश $= 1 - 1/8 = 7/8$ है।

(D) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N(t)$ समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या है,$N_0$ प्रारंभिक संख्या है और $\lambda$ क्षय स्थिरांक है।
सभी नाभिकों के विघटित होने के लिए,हमें $N(t) = 0$ की आवश्यकता होती है।
$N_0 e^{-\lambda t} = 0$ रखने पर,हम पाते हैं कि यह स्थिति केवल $t \to \infty$ पर ही संतुष्ट होती है।
चूंकि क्षय प्रक्रिया घातीय (exponential) है,नाभिकों की संख्या शून्य के करीब पहुंचती है लेकिन एक निश्चित समय में कभी भी शून्य नहीं होती है।
इसलिए,सभी नाभिकों के विघटित होने में लगा समय सैद्धांतिक रूप से अनंत है,जिससे उत्तर अनिश्चित हो जाता है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$,जहाँ $N$ शेष मात्रा है,$N_0$ प्रारंभिक मात्रा है,$t$ बीता हुआ समय है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है: $N_0 = 16 \, g$,$N = 1 \, g$,और $T_{1/2} = 140 \, days$.
मान रखने पर: $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/140}$.
चूंकि $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4$,इसलिए $\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/140}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $4 = \frac{t}{140}$.
अतः,$t = 4 \times 140 = 560 \, days$.

(B) क्षय की दर $R$,रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N$ के समानुपाती होती है,अर्थात $R = \frac{dN}{dt} \propto N$।
दिया गया है कि प्रारंभिक दर $R_1 = 200$ कण/सेकंड और $t = 3$ घंटे बाद अंतिम दर $R_2 = 25$ कण/सेकंड है।
दरों का अनुपात $\frac{R_2}{R_1} = \frac{N_2}{N_1} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
मान रखने पर: $\frac{25}{200} = \frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^3$।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।
चूँकि $n = \frac{t}{T_{1/2}}$,इसलिए $3 = \frac{3 \text{ घंटे}}{T_{1/2}}$।
अतः,$T_{1/2} = 1$ घंटा।
चूँकि $1$ घंटा = $60$ मिनट,इसलिए अर्ध-आयु काल $60$ मिनट है।

(D) अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ और क्षय नियतांक $(\lambda)$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$.
यहाँ दिया गया क्षय नियतांक $\lambda = 0.01 \ s^{-1}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$T_{1/2} = \frac{0.693}{0.01} = 69.3 \ s$.
अतः,अर्ध-आयु $69.3 \ s$ है।

(D) रेडियोधर्मी क्षय एक स्वतःस्फूर्त और यादृच्छिक (random) प्रक्रिया है।
दो क्रमिक नाभिकों के क्षय के बीच कोई निश्चित समय अंतराल नहीं होता है।
जबकि अर्ध-आयु नमूने के आधे हिस्से के क्षय के लिए सांख्यिकीय औसत समय का प्रतिनिधित्व करती है,एक व्यक्तिगत नाभिक का क्षय संभावना द्वारा नियंत्रित होता है।
इसलिए,अगला नाभिक वर्तमान नाभिक के क्षय के बाद किसी भी समय क्षयित हो सकता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) क्षय हुए आइसोटोप का अंश $\frac{7}{8}$ है।
अतः,बिना क्षय हुए बचे आइसोटोप का अंश $N/N_0 = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$ है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^{t/T}$,जहाँ $T = 15 \, hrs$ अर्ध-आयु है।
मान रखने पर: $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{t/15}$.
चूंकि $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$,इसलिए $(\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^{t/15}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $3 = \frac{t}{15}$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = 3 \times 15 = 45 \, hrs$.

(A) औसत आयु $(\tau)$ और अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = \frac{T_{1/2}}{\ln(2)}$.
दिया गया है कि $T_{1/2} = 10\, hours$ और $\ln(2) \approx 0.6931$.
मान रखने पर: $\tau = \frac{10}{0.6931} \approx 14.427\, hours$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\tau = 14.4\, hours$ प्राप्त होता है।

(B) अर्ध-आयु $T_{1/2}$ वह समय है जो किसी पदार्थ को अपने प्रारंभिक द्रव्यमान का आधा होने में लगता है।
दिया गया है कि $20 \, g$ पदार्थ $4 \, \text{मिनट}$ में $10 \, g$ हो जाता है, इसलिए अर्ध-आयु $T_{1/2} = 4 \, \text{मिनट}$ है।
हम रेडियोधर्मी क्षय के सूत्र का उपयोग करते हैं: $M = M_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}}$, जहाँ $M$ अंतिम द्रव्यमान है, $M_0$ प्रारंभिक द्रव्यमान है, और $t$ बीता हुआ समय है।
मान $M = 10 \, g$, $M_0 = 80 \, g$, और $T_{1/2} = 4 \, \text{मिनट}$ रखने पर:
$10 = 80 \left( \frac{1}{2} \right)^{t / 4}$
$\frac{10}{80} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t / 4}$
$\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t / 4}$
चूँकि $\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^3$, इसलिए:
$\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t / 4}$
घातांकों की तुलना करने पर: $3 = \frac{t}{4}$
$t = 12 \, \text{मिनट}$.

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ शेष मात्रा है,$N_0$ प्रारंभिक मात्रा है,$t$ बीता हुआ समय है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है: $N_0 = 16\, g$,$N = 1\, g$,और $t = 2\, \text{घंटे}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$1 = 16 \left( \frac{1}{2} \right)^{2/T_{1/2}}$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2/T_{1/2}}$
$\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{2/T_{1/2}}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$4 = \frac{2}{T_{1/2}}$
$T_{1/2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\, \text{घंटा}$।

(D) रेडियोधर्मिता को एक रेडियोधर्मी पदार्थ के विघटन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
एक रदरफोर्ड $(Rd)$ को रेडियोधर्मी पदार्थ की उस मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है जो प्रति सेकंड $10^6$ विघटन करती है।
अतः,$1 \ Rd = 1.0 \times 10^6 \text{ disintegrations/sec}$ होता है।
यह इकाई अर्नेस्ट रदरफोर्ड के नाम पर रखी गई है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही मान $1.0 \times 10^6 \text{ disintegrations/sec}$ है।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का नियम सूत्र द्वारा दिया जाता है: $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$
दिया गया है:
समय $t = 2\, hours = 120\, minutes$
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 30\, minutes$
अंतिम गणना दर $A = 5\, s^{-1}$
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{120}{30} = 4$
सूत्र में मान रखने पर:
$5 = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^4$
$5 = A_0 \left( \frac{1}{16} \right)$
$A_0 = 5 \times 16 = 80\, s^{-1}$
अतः,प्रारंभिक गणना दर $80\, s^{-1}$ थी।

(B) $t$ समय के बाद शेष परमाणुओं की संख्या $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 60\, minutes = 1\, hour$ है।
कुल समय $t = 3\, hours$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{3}{1} = 3$ है।
शेष परमाणुओं का अंश $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$ है।
क्षय हुए परमाणुओं का अंश $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ है।
प्रतिशत में,यह $\frac{7}{8} \times 100 = 87.5\%$ है।

(A) रेडियोधर्मी कार्बन डेटिंग एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग नमूने में मौजूद रेडियोधर्मी समस्थानिक $C-14$ की मात्रा को मापकर कार्बनिक पदार्थों की आयु निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
$C-14$ का अर्ध-आयु काल लगभग $5730$ वर्ष है।
इस विशिष्ट अर्ध-आयु के कारण,यह हजारों वर्ष पुरानी पुरातात्विक वस्तुओं की आयु निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला मानक समस्थानिक है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का नियम इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$, जहाँ $N$ शेष मात्रा है, $N_0$ प्रारंभिक मात्रा है, $t$ बीता हुआ समय है और $T$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है कि $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ और $t = 2 \, \text{घंटे}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2/T}$
चूंकि $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4$, इसलिए:
$\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{2/T}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$4 = \frac{2}{T}$
$T = \frac{2}{4} = 0.5 \, \text{घंटे}$.
मिनटों में बदलने पर: $0.5 \times 60 = 30 \, \text{मिनट}$.

(C) रेडियोधर्मी पदार्थ के क्षय की दर रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$।
यहाँ,अल्फा कणों के उत्सर्जन की दर का परिमाण $n = |\frac{dN}{dt}|$ के रूप में दिया गया है।
अतः,$n = \lambda N$।
इससे,क्षय नियतांक $\lambda$ की गणना $\lambda = \frac{n}{N}$ के रूप में की जाती है।
एक रेडियोधर्मी तत्व की अर्ध-आयु $T_{1/2}$ का क्षय नियतांक के साथ संबंध $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$ सूत्र द्वारा होता है।
अर्ध-आयु के सूत्र में $\lambda$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T_{1/2} = \frac{0.693}{n/N} = \frac{0.693 N}{n} \, s$ प्राप्त होता है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ समय $t$ पर सक्रियता है,$A_0$ प्रारंभिक सक्रियता है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है कि $t = 0$ पर $A_0 = 1600$ काउंट्स/सेकंड और $t = 8$ सेकंड पर $A = 100$ काउंट्स/सेकंड है।
इन मानों को रखने पर: $100 = 1600 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{8}{T_{1/2}}}$.
$\frac{100}{1600} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{8}{T_{1/2}}} \implies \frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{8}{T_{1/2}}}$.
चूंकि $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$,इसलिए $\frac{8}{T_{1/2}} = 4$,जिससे $T_{1/2} = 2$ सेकंड प्राप्त होता है।
अब,$t = 6$ सेकंड पर काउंटिंग दर ज्ञात करने के लिए:
$A = 1600 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{6}{2}} = 1600 \left( \frac{1}{2} \right)^3$.
$A = 1600 \times \frac{1}{8} = 200$ काउंट्स/सेकंड।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,अर्ध-आयु $T_{1/2}$ पर,शेष रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या प्रारंभिक मात्रा की आधी होती है,अर्थात $N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$।
इसे क्षय नियम में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$।
$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/2) = -\lambda T_{1/2}$।
$-\ln 2 = -\lambda T_{1/2}$।
अतः,$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,अर्ध-आयु $t = T$ पर,शेष नाभिकों की संख्या $N = \frac{N_0}{2}$ होती है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T}$
$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T}$
$2 = e^{\lambda T}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\ln)$ लेने पर:
$\ln(2) = \lambda T$
चूंकि $\ln(2) \approx 0.693$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\lambda T = 0.693$.

(A) कुल समय $t$ में अर्ध-आयु की संख्या $n$,$n = \frac{t}{T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $t = 20\, min$ और $T_{1/2} = 5\, min$ दिया गया है,इसलिए $n = \frac{20}{5} = 4$ प्राप्त होता है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष पदार्थ का अंश $N/N_0 = (1/2)^n$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 4$ रखने पर,$N/N_0 = (1/2)^4 = 1/16$ प्राप्त होता है।
क्षयित पदार्थ का अंश $1 - N/N_0 = 1 - 1/16 = 15/16$ है।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने के लिए,हम $(15/16) \times 100\% = 93.75\%$ की गणना करते हैं।

(D) अर्ध-आयु की संख्या $n$ को $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $t = 12\, days$ और $T_{1/2} = 4\, days$ है।
अतः,$n = \frac{12}{4} = 3$.
शेष परमाणुओं की संख्या $N$ को सूत्र $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N_0 = 6.4 \times 10^{10}$ है।
मान रखने पर,हमें $N = 6.4 \times 10^{10} \times (\frac{1}{2})^3$ प्राप्त होता है।
$N = 6.4 \times 10^{10} \times \frac{1}{8} = 0.8 \times 10^{10}$ परमाणु।

(A) क्षय नियतांक $(\lambda)$ रेडियोधर्मी नाभिक का एक विशिष्ट गुण है।
यह केवल नाभिक की प्रकृति पर निर्भर करता है और परमाणु की रासायनिक अवस्था या भौतिक वातावरण से स्वतंत्र होता है।
चूंकि रेडियम ब्रोमाइड एक रासायनिक यौगिक है जिसमें रेडियम परमाणु होते हैं,इसलिए यौगिक के भीतर रेडियम नाभिक अपरिवर्तित रहते हैं।
अतः,रेडियम ब्रोमाइड का क्षय नियतांक शुद्ध रेडियम के समान ही,यानी $\lambda$ होगा।

(C) अर्ध-आयु की संख्या $n$ को $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
पदार्थ $A$ के लिए,$n_A = \frac{80}{20} = 4$ है।
पदार्थ $B$ के लिए,$n_B = \frac{80}{40} = 2$ है।
शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रारंभिक संख्या $N_0$ समान है,इसलिए अनुपात $\frac{N_A}{N_B} = \frac{N_0 (1/2)^{n_A}}{N_0 (1/2)^{n_B}} = \frac{(1/2)^4}{(1/2)^2} = \frac{2^2}{2^4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ होगा।
अतः,अनुपात $1 : 4$ है।

(C) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ का अर्ध-आयु काल $T_{1/2}$,क्षय नियतांक $\lambda$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित होता है: $T_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$।
यहाँ क्षय नियतांक $\lambda = 1.07 \times 10^{-4} \text{ year}^{-1}$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$T_{1/2} = \frac{0.693}{1.07 \times 10^{-4}}$
$T_{1/2} = \frac{0.693}{1.07} \times 10^4$
$T_{1/2} \approx 0.6476 \times 10^4 = 6476 \text{ years}$।
अतः,अर्ध-आयु काल $6476 \text{ years}$ है।

(D) रेडियोधर्मी क्षय एक यादृच्छिक (stochastic) प्रक्रिया है।
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है।
यह समीकरण दर्शाता है कि किसी नाभिक के क्षय होने की प्रायिकता $t = 0$ से $t = \infty$ तक के समय में फैली हुई है।
इसलिए,यह भविष्यवाणी करना असंभव है कि कोई विशिष्ट नाभिक वास्तव में कब क्षयित होगा। एक दिए गए नाभिक के $t > 0$ पर किसी भी क्षण क्षयित होने की संभावना होती है।
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(A) रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$t$ समय के बाद शेष पदार्थ की मात्रा $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ दिया गया है कि कार्बन-$14$ और कार्बन-$12$ का अनुपात मूल मात्रा का $\frac{1}{4}$ है,इसलिए $\frac{N(t)}{N_0} = \frac{1}{4}$।
चूंकि $\frac{1}{4} = (1/2)^2$,इसका अर्थ है कि व्यतीत हुआ समय $t$ दो अर्ध-आयु काल के बराबर है।
$t = 2 \times T_{1/2} = 2 \times 5,800$ वर्ष।
चूंकि $1$ शताब्दी $= 100$ वर्ष,इसलिए $t = 2 \times 58$ शताब्दी।
अतः,$x = 2 \times 58$।

(A) पेड़ जैसे कार्बनिक पदार्थों की आयु कार्बन के रेडियो-आइसोटोप,विशेष रूप से कार्बन-$14$ $(^{14}C)$ का उपयोग करके निर्धारित की जाती है।
इस प्रक्रिया को कार्बन डेटिंग या रेडियोकार्बन डेटिंग के रूप में जाना जाता है।
जीवित जीव अपने जीवनकाल के दौरान वातावरण से कार्बन-$14$ को अवशोषित करते हैं।
एक बार जब जीव मर जाता है,तो वह कार्बन-$14$ लेना बंद कर देता है और मौजूद मात्रा एक ज्ञात दर (लगभग $5730$ वर्षों के अर्ध-आयु काल के साथ) पर क्षय होने लगती है।
शेष कार्बन-$14$ और स्थिर कार्बन-$12$ के अनुपात को मापकर,वैज्ञानिक जीव की मृत्यु के बाद बीते समय की गणना कर सकते हैं।

(C) कथन $(I)$ सत्य है: रेडियोधर्मी क्षय $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ के नियम का पालन करता है,जो एक घातांकीय क्षय है।
कथन $(II)$ सत्य है: परिभाषा के अनुसार,अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ वह समय है जो रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या को उनके प्रारंभिक मान के आधे तक कम होने में लगता है।
कथन $(III)$ सत्य है: रेडियोधर्मी डेटिंग (जैसे,यूरेनियम-लेड डेटिंग) चट्टानों और पृथ्वी की आयु निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक मानक विधि है।
कथन $(IV)$ असत्य है: अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ और औसत आयु $(\tau)$ के बीच का संबंध $T_{1/2} = \tau \ln(2) \approx 0.693 \tau$ है। अतः,अर्ध-आयु औसत आयु का लगभग $69.3\%$ है,न कि $50\%$।
इसलिए,कथन $(I), (II)$ और $(III)$ सही हैं। सही विकल्प $C$ है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ है,जहाँ $T_{1/2} = 10 \, days$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जिसके लिए $N(t) = N_0 / 10$ हो।
मान रखने पर: $N_0 / 10 = N_0 (1/2)^{t/10}$.
$1/10 = (1/2)^{t/10}$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log_{10}(1/10) = (t/10) \log_{10}(1/2)$.
$-1 = (t/10) \times (-0.3010)$.
$t = 10 / 0.3010 \approx 33.22 \, days$.
अतः,वह समय लगभग $33 \, days$ है।

(D) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ का सूत्र $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ है,जहाँ $A_0$ प्रारंभिक सक्रियता है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है: $T_{1/2} = 3 \ hours$ और $t = 9 \ hours$।
बीते हुए अर्ध-आयु कालों की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{9}{3} = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{A}{A_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$।
अतः,सक्रियता अपने प्रारंभिक मान की $1/8$ हो जाती है।

(B) किसी भी समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = A_0 (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है, अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1$ महीना।
हमें $2$ महीने पहले की सक्रियता ज्ञात करनी है, इसलिए $n = 2$ अर्ध-आयु।
मान लीजिए $A_{initial}$ $2$ महीने पहले की सक्रियता है और $A_{final} = 2 \, \mu Ci$ $1-8-1991$ को सक्रियता है।
चूँकि $A_{final} = A_{initial} \times (1/2)^n$, हमारे पास $2 = A_{initial} \times (1/2)^2$ है।
$2 = A_{initial} \times (1/4)$।
$A_{initial} = 2 \times 4 = 8 \, \mu Ci$।
अतः, दो महीने पहले सक्रियता $8 \, \mu Ci$ थी।

(A) दो दिनों ($48$ घंटे) में पदार्थ $1$ और $2$ के लिए अर्ध-आयु की संख्या $n_1 = \frac{48}{12} = 4$ और $n_2 = \frac{48}{16} = 3$ है।
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ का उपयोग करते हुए,शेष मात्रा का अनुपात है:
$\frac{N_1}{N_2} = \frac{(N_0)_1}{(N_0)_2} \times \frac{(1/2)^{n_1}}{(1/2)^{n_2}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{N_1}{N_2} = \frac{2}{1} \times \frac{(1/2)^4}{(1/2)^3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.
अतः,अनुपात $1 : 1$ है।

(C) क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T_{1/2}$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$.
दिया गया है कि $T_{1/2} = 2.3 \, days$.
सूत्र में मान रखने पर: $\lambda = \frac{0.693}{2.3} = 0.3 \, day^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) $t$ समय में अर्ध-आयु की संख्या $n$ को $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $t = 150\, \text{years}$ और $T_{1/2} = 75\, \text{years}$ दिया गया है, इसलिए $n = \frac{150}{75} = 2$ प्राप्त होता है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष परमाणुओं का अंश $N/N_0 = (1/2)^n$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 2$ रखने पर, $N/N_0 = (1/2)^2 = 1/4 = 0.25$ प्राप्त होता है।
क्षय हुए परमाणुओं का अंश $1 - N/N_0 = 1 - 0.25 = 0.75$ है।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने के लिए, हम $100$ से गुणा करते हैं, जिससे $0.75 \times 100 = 75\%$ प्राप्त होता है।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $A = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ समय $t$ पर सक्रियता है,$A_0$ प्रारंभिक सक्रियता है और $\lambda$ क्षय नियतांक है।
दिया गया है: $A_0 = 9750$ काउंट/मिनट,$A = 975$ काउंट/मिनट,और $t = 5$ मिनट।
मान रखने पर: $975 = 9750 e^{-\lambda \times 5}$।
दोनों पक्षों को $9750$ से विभाजित करने पर: $0.1 = e^{-5\lambda}$,जिसका अर्थ है $e^{5\lambda} = 10$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $5\lambda = \ln(10)$।
चूंकि $\ln(10) \approx 2.3026$,इसलिए $5\lambda = 2.3026$।
अतः,$\lambda = \frac{2.3026}{5} = 0.46052 \approx 0.461$ प्रति मिनट।