Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Hindi

(A) मान लीजिए कि दोनों रेडियोधर्मी तत्वों $A$ और $B$ का प्रारंभिक द्रव्यमान $M_0$ है। चूंकि उनके परमाणु भार समान हैं,इसलिए परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $(N_0)_A = (N_0)_B = N_0$ होगी।
तत्व $A$ के लिए,$t$ समय के बाद शेष मात्रा $N_A = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10} = \frac{1}{e}$ है।
तत्व $B$ के लिए,$t$ समय के बाद शेष मात्रा $N_B = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = 1$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{1/e}{1} = \frac{N_0 (1/2)^{t/10}}{N_0 (1/2)^{t/20}}$
$\frac{1}{e} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10 - t/20} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$.
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(e^{-1}) = \frac{t}{20} \ln(1/2)$
$-1 = \frac{t}{20} (-\ln 2)$
$1 = \frac{t}{20} (0.7)$
$t = \frac{20}{0.7} = \frac{200}{7} \ yrs$.

(B) किसी प्रक्रिया के लिए क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दो समानांतर क्षय प्रक्रियाओं के लिए,प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda_{\text{eff}} = \lambda_1 + \lambda_2$ होता है।
यहाँ $T_1 = 0.7 \ hr$ और $T_2 = 0.3 \ hr$ दिया गया है,और $\ln 2 = 0.7$ है।
अतः $\lambda_1 = \frac{0.7}{0.7} = 1 \ hr^{-1}$ और $\lambda_2 = \frac{0.7}{0.3} = \frac{7}{3} \ hr^{-1}$।
प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda_{\text{eff}} = 1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3} \ hr^{-1}$।
प्रभावी औसत आयु $\tau_{\text{eff}}$ प्रभावी क्षय नियतांक का व्युत्क्रम है:
$\tau_{\text{eff}} = \frac{1}{\lambda_{\text{eff}}} = \frac{1}{10/3} = 0.3 \ hr$।
मिनटों में बदलने पर: $\tau_{\text{eff}} = 0.3 \times 60 \ min = 18 \ min$।

(A) दिया गया है,अर्ध-आयु $t_{1/2} = 693 \ s$। गतिज ऊर्जा $K = 0.084 \ eV = 0.084 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$।
$K = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करते हुए,वेग $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.084 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.68 \times 10^{-27}}} = \sqrt{0.16 \times 10^8} = 0.4 \times 10^4 \ m/s$।
$d = 1000 \ m$ की दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{d}{v} = \frac{1000}{0.4 \times 10^4} = 0.25 \ s$।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम $N = N_0 e^{-\lambda t}$ के अनुसार,क्षयित अंश $\frac{N_0 - N}{N_0} = 1 - e^{-\lambda t}$ है।
चूंकि $\lambda t = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \times t$ बहुत छोटा है,इसलिए $1 - e^{-\lambda t} \approx \lambda t = \frac{\ln 2 \times t}{t_{1/2}}$।
क्षयित अंश $= \frac{0.693 \times 0.25}{693} = 0.25 \times 10^{-3} \times 10^{-2} = 0.25 \times 10^{-5}$।

(B) दिए गए क्षय नियतांक $\lambda_1 = 6\lambda$ और $\lambda_2 = \lambda$ हैं।
$R_2$ की अर्ध-आयु $(t_{1/2})_2 = 1.4 \times 10^{17} \,s$ है।
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
$R_1$ के लिए: $N_1 = N_0 e^{-\lambda_1 t} = N_0 e^{-6\lambda t}$.
$R_2$ के लिए: $N_2 = N_0 e^{-\lambda_2 t} = N_0 e^{-\lambda t}$.
दिया गया अनुपात $\frac{N_2}{N_1} = e$ है।
$\frac{N_0 e^{-\lambda t}}{N_0 e^{-6\lambda t}} = e$.
$e^{-\lambda t + 6\lambda t} = e^1$.
$e^{5\lambda t} = e^1$.
घातांकों की तुलना करने पर: $5\lambda t = 1$, इसलिए $t = \frac{1}{5\lambda}$.
हम जानते हैं कि $\lambda = \frac{\ln 2}{(t_{1/2})_2} = \frac{0.7}{1.4 \times 10^{17}} = 0.5 \times 10^{-17} \,s^{-1}$.
$t$ के व्यंजक में $\lambda$ का मान रखने पर:
$t = \frac{1}{5 \times 0.5 \times 10^{-17}} = \frac{1}{2.5 \times 10^{-17}} = 0.4 \times 10^{17} \,s = 4 \times 10^{16} \,s$.

(B) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
वैकल्पिक रूप से,सामान्य क्षय नियम $A = A_0 \left(\frac{1}{n}\right)^{t/t_0}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ सक्रियता $t_0$ समय में अपने प्रारंभिक मान का $\frac{1}{n}$ हो जाती है।
यह दिया गया है कि सक्रियता $t_0 = 20 \text{ घंटे}$ में अपने प्रारंभिक मान का $\frac{1}{3}$ हो जाती है,इसलिए हमारे पास $\frac{A}{A_0} = \left(\frac{1}{3}\right)^{t/t_0}$ है।
$t = 80 \text{ घंटे}$ के लिए,शेष अंश $\frac{A}{A_0} = \left(\frac{1}{3}\right)^{80/20}$ है।
$\frac{A}{A_0} = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}$.

(D) नमूने की प्रारंभिक मात्रा $N_0 = 100 \text{ g}$ है।
नमूने की अंतिम मात्रा $N = 3.125 \text{ g}$ है।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 103 \text{ वर्ष}$ है।
रेडियोधर्मी क्षय के सूत्र का उपयोग करते हुए: $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$3.125 = 100 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{3.125}{100} = \frac{1}{32}$
चूंकि $\frac{1}{32} = \left( \frac{1}{2} \right)^5$,इसलिए $n = 5$ है।
कुल लगा समय $t = n \times T_{1/2} = 5 \times 103 \text{ वर्ष} = 515 \text{ वर्ष}$ है।

(B) दिया गया क्षय दर सूत्र: $A(t) = A_0 2^{-(t/t_0)}$,जहाँ $t_0$ अर्ध-आयु है।
हमें $t_1 = 120 \ h$ पर $A_1$ और $t_2 = 200 \ h$ पर $A_2$ दिया गया है।
अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = 16$ के रूप में दिया गया है।
$A_1$ और $A_2$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{A_0 2^{-(120/t_0)}}{A_0 2^{-(200/t_0)}} = 16$
$2^{-(120/t_0) + (200/t_0)} = 2^4$
$2^{(80/t_0)} = 2^4$
घातांकों की तुलना करने पर:
$\frac{80}{t_0} = 4$
$t_0 = \frac{80}{4} = 20 \ h$.
अतः,अर्ध-आयु $20 \ h$ है।

(A) दिया गया क्षय नियतांक,$\lambda = 7.9 \times 10^{-10} / s$।
नमूने की सक्रियता,$A = 55.3 \times 10^{11} \text{ विघटन/सेकंड}$।
हम जानते हैं कि सक्रियता $A$ और नाभिकों की संख्या $N$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A = \lambda N$
नाभिकों की संख्या $N$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$N = \frac{A}{\lambda}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$N = \frac{55.3 \times 10^{11}}{7.9 \times 10^{-10}}$
$N = 7.0 \times 10^{21}$
अतः,उस क्षण पर नाभिकों की संख्या $7.0 \times 10^{21}$ है।

(B) पहली प्रक्रिया के लिए क्षय नियतांक $\lambda_1 = \frac{\ln 2}{T_1}$ और दूसरी प्रक्रिया के लिए $\lambda_2 = \frac{\ln 2}{T_2}$ है।
चूंकि नाभिक दो प्रक्रियाओं द्वारा क्षयित होता है,इसलिए प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$ होता है।
क्षय नियतांक के व्यंजक रखने पर,$\frac{\ln 2}{T} = \frac{\ln 2}{T_1} + \frac{\ln 2}{T_2}$,जो सरल होकर $\frac{1}{T} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$ हो जाता है।
अतः,प्रभावी अर्ध-आयु $T = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $T_1 = 5 \times 10^3 \text{ वर्ष}$ और $T_2 = 10^5 \text{ वर्ष} = 100 \times 10^3 \text{ वर्ष}$ दिया गया है।
$T = \frac{(5 \times 10^3) \times (100 \times 10^3)}{5 \times 10^3 + 100 \times 10^3} = \frac{500 \times 10^6}{105 \times 10^3} = \frac{500000}{105} \approx 4761.9 \text{ वर्ष}$।
निकटतम पूर्णांक में,उत्तर $4762 \text{ वर्ष}$ है।

(B) अर्ध-आयु की संख्या $n$ को $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
यहाँ $t = 40 \ h$ और $T_{1/2} = 10 \ h$ दिया गया है,इसलिए $n = \frac{40}{10} = 4$ है।
प्रारंभिक रेडियोधर्मिता का शेष अंश $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 4$ रखने पर,हमें $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।

(C) क्षय की दर $\frac{dN}{dt} = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$ है।
सबसे पहले,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1620$ वर्ष को सेकंड में बदलें:
$T_{1/2} = 1620 \times 365 \times 24 \times 3600 \approx 5.11 \times 10^{10} \ s$.
इसके बाद,$1 \ g$ $Ra^{226}$ में परमाणुओं की संख्या $N$ की गणना करें:
$N = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} \times N_A = \frac{1}{226} \times 6.023 \times 10^{23} \approx 2.665 \times 10^{21}$ परमाणु।
अब,सक्रियता $\frac{dN}{dt} = \frac{0.693}{T_{1/2}} \times N$ की गणना करें:
$\frac{dN}{dt} = \frac{0.693}{5.11 \times 10^{10}} \times 2.665 \times 10^{21} \approx 3.61 \times 10^{10}$ क्षय प्रति सेकंड।

(D) समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
क्षय नियतांक $10 \lambda$ वाले पदार्थ $X_1$ के लिए: $N_1 = N_0 e^{-10 \lambda t}$.
क्षय नियतांक $\lambda$ वाले पदार्थ $X_2$ के लिए: $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$.
दिया गया है कि समय $t$ पर अनुपात $N_1 / N_2 = 1 / e$ है:
$\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_0 e^{-10 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-10 \lambda t + \lambda t} = e^{-9 \lambda t}$.
हमें $\frac{N_1}{N_2} = e^{-1}$ दिया गया है।
घातांकों की तुलना करने पर: $-9 \lambda t = -1$.
अतः,$t = \frac{1}{9 \lambda}$.

(A) $t$ समय पर शेष रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
औसत आयु $\tau$ को $\tau = 1/\lambda$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
समय $t = \tau$ पर,शेष नाभिकों की संख्या $N(\tau) = N_0 e^{-\lambda(1/\lambda)} = N_0 e^{-1} \approx N_0 / 2.718 \approx 0.368 N_0$ है।
क्षयित हुए नाभिकों की संख्या $N_{decayed} = N_0 - N(\tau) = N_0 - 0.368 N_0 = 0.632 N_0$ है।
चूंकि $0.632 N_0 > 0.5 N_0$,इसलिए एक औसत जीवनकाल में आधे से अधिक सक्रिय नाभिक क्षयित हो जाते हैं।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
सक्रियता $A$ को नाभिकों के क्षय की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $A = -\frac{dN}{dt}$ है।
$t$ के सापेक्ष $N$ का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} = -\lambda N$.
इसलिए,सक्रियता का परिमाण $A = |-\frac{dN}{dt}| = \lambda N$ है।
यह समीकरण $A = \lambda N$ $N$ और $A$ के बीच एक रैखिक संबंध को दर्शाता है,जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है।
चूंकि $A$,$N$ के सीधे आनुपातिक है $(A \propto N)$,इसलिए $N$ बनाम $A$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी। अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) क्षय प्रक्रिया $X \xrightarrow{\alpha} Y \xrightarrow{\beta} Z$ है।
मान लीजिए कि $N_X$ और $N_Y$ किसी भी समय $t$ पर मौजूद $X$ और $Y$ नाभिकों की संख्या है।
पुत्री नाभिक $Y$ की संख्या में परिवर्तन की दर: $\frac{dN_Y}{dt} = \lambda_X N_X - \lambda_Y N_Y$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\beta$-कणों के उत्सर्जन की दर $(\lambda_Y N_Y)$ कई महीनों तक स्थिर रहती है,इसलिए $\frac{dN_Y}{dt} \approx 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\lambda_X N_X = \lambda_Y N_Y$ है।
$\alpha$-कणों के उत्सर्जन की दर $\lambda_X N_X$ है,और $\beta$-कणों के उत्सर्जन की दर $\lambda_Y N_Y$ है।
यह दिया गया है कि $\beta$-उत्सर्जन की दर $10^{7} / \text{h}$ है,इसलिए $\alpha$-उत्सर्जन की दर भी $10^{7} / \text{h}$ होनी चाहिए।
अतः,एक घंटे में उत्सर्जित $\alpha$-कणों की संख्या $10^{7}$ है।

(D) दिया है,अर्ध-आयु $t_{1/2} = 3$ दिन।
समय $t$ के बाद शेष सक्रिय नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 (1/2)^{t/t_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है।
तीसरे दिन की शुरुआत में ($t = 2$ दिन),शेष नाभिकों की संख्या $N_1 = N_0 (1/2)^{2/3} = N_0 / (2^{2/3}) = N_0 / (4^{1/3})$ है।
दिया है $\sqrt[3]{0.25} \approx 0.63$,इसलिए $N_1 = N_0 \times 0.63$।
तीसरे दिन के अंत में ($t = 3$ दिन),शेष नाभिकों की संख्या $N_2 = N_0 (1/2)^{3/3} = 0.5 N_0$ है।
तीसरे दिन के दौरान क्षयित होने वाले नाभिकों की संख्या दिन की शुरुआत और अंत में मौजूद नाभिकों के बीच का अंतर है:
$\Delta N = N_1 - N_2 = 0.63 N_0 - 0.5 N_0 = 0.13 N_0$।
अतः,तीसरे दिन क्षयित होने वाले प्रारंभिक नाभिकों का अंश $0.13$ है।

(A) रेडॉन-$222$ की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 3.8 \text{ दिन}$ है।
कुल बीता हुआ समय $t = 19 \text{ दिन}$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n$ इस प्रकार है: $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{19}{3.8} = 5$.
शेष मात्रा $N$ सूत्र $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N_0$ प्रारंभिक मात्रा है।
यहाँ $N_0 = 0.064 \ kg$ और $n = 5$ दिया गया है,इसलिए:
$N = 0.064 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5$
$N = 0.064 \times \frac{1}{32}$
$N = 0.002 \ kg$.
अतः,$19$ दिनों के बाद शेष रेडॉन-$222$ की मात्रा $0.002 \ kg$ होगी।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_{0} e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ है।
मान लीजिए $t_{1}$ वह समय है जब परमाणुओं की संख्या $N_{0}/2$ है और $t_{2}$ वह समय है जब परमाणुओं की संख्या $N_{0}/10$ है।
$N(t_{1}) = N_{0}/2$ के लिए,हमारे पास है $\frac{N_{0}}{2} = N_{0} e^{-\lambda t_{1}} \Rightarrow e^{\lambda t_{1}} = 2 \Rightarrow \lambda t_{1} = \ln 2$।
$N(t_{2}) = N_{0}/10$ के लिए,हमारे पास है $\frac{N_{0}}{10} = N_{0} e^{-\lambda t_{2}} \Rightarrow e^{\lambda t_{2}} = 10 \Rightarrow \lambda t_{2} = \ln 10$।
आवश्यक समय अंतराल $\Delta t = t_{2} - t_{1} = \frac{\ln 10 - \ln 2}{\lambda} = \frac{\ln(10/2)}{\lambda} = \frac{\ln 5}{\lambda}$ है।
चूँकि $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$,हम $\lambda$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं तो $\Delta t = \frac{\ln 5}{(\ln 2 / T)} = T \frac{\ln 5}{\ln 2} = T \log_{2} 5$ प्राप्त होता है।

(B) समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ $A$ के लिए,$N_A = N_0 e^{-5 \lambda t}$.
पदार्थ $B$ के लिए,$N_B = N_0 e^{-\lambda t}$.
दिया गया अनुपात $\frac{N_A}{N_B} = (1/e)^2 = e^{-2}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{N_0 e^{-5 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-2}$
$e^{-5 \lambda t + \lambda t} = e^{-2}$
$e^{-4 \lambda t} = e^{-2}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$-4 \lambda t = -2$
$t = \frac{2}{4 \lambda} = \frac{1}{2 \lambda}$.

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $N(t)$ समय $t$ पर शेष मात्रा है।
$20 \%$ क्षय के लिए, शेष मात्रा $N_1 = 80 \% \text{ of } N_0 = 0.8 N_0$ है। अतः, $0.8 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_1} \Rightarrow e^{-\lambda t_1} = 0.8$.
$80 \%$ क्षय के लिए, शेष मात्रा $N_2 = 20 \% \text{ of } N_0 = 0.2 N_0$ है। अतः, $0.2 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_2} \Rightarrow e^{-\lambda t_2} = 0.2$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{e^{-\lambda t_1}}{e^{-\lambda t_2}} = \frac{0.8}{0.2} = 4$.
यह $e^{\lambda(t_2 - t_1)} = 4$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\lambda(t_2 - t_1) = \ln(4) = 2 \ln(2)$.
चूँकि $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$, इसलिए $\frac{\ln 2}{T_{1/2}}(t_2 - t_1) = 2 \ln 2$.
अतः, $t_2 - t_1 = 2 \times T_{1/2} = 2 \times 20 \text{ min} = 40 \text{ min}$.