Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Hindi

(A) समय $t$ पर बचे हुए नाभिकों की संख्या रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$।
नमूने $A$ के लिए,क्षय नियतांक $\lambda_A = 15x$ है। $t = \frac{1}{6x}$ समय के बाद बचे नाभिकों की संख्या:
$N_A = N_0 e^{-(15x)(\frac{1}{6x})} = N_0 e^{-15/6} = N_0 e^{-5/2}$।
नमूने $B$ के लिए,क्षय नियतांक $\lambda_B = 3x$ है। $t = \frac{1}{6x}$ समय के बाद बचे नाभिकों की संख्या:
$N_B = N_0 e^{-(3x)(\frac{1}{6x})} = N_0 e^{-3/6} = N_0 e^{-1/2}$।
$A$ और $B$ में बचे नाभिकों की संख्या का अनुपात है:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{N_0 e^{-5/2}}{N_0 e^{-1/2}} = e^{-5/2 - (-1/2)} = e^{-4/2} = e^{-2}$।

(D) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_{0} e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि अर्ध-आयु $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$।
दिया गया समय $t = \frac{1}{2} T_{1/2}$ है।
इन मानों को क्षय समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$N(t) = N_{0} e^{-(\frac{\ln 2}{T_{1/2}}) (\frac{1}{2} T_{1/2})}$
$N(t) = N_{0} e^{-\frac{1}{2} \ln 2} = N_{0} e^{\ln(2^{-1/2})}$
$N(t) = N_{0} (2^{-1/2}) = \frac{N_{0}}{\sqrt{2}}$।
शेष बचा हुआ अंश $\frac{N(t)}{N_{0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(A) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ को $A = \lambda N = \frac{0.693}{T_{1/2}} N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ नाभिकों की संख्या है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
दी गई जानकारी के अनुसार,$N_{1} = 2 N_{2}$ और $A_{2} = 2 A_{1}$ है।
सक्रियता के अनुपात को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{N_{1} / T_{1}}{N_{2} / T_{2}} = \frac{N_{1}}{N_{2}} \times \frac{T_{2}}{T_{1}}$
अर्ध-आयु के अनुपात $\frac{T_{1}}{T_{2}}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{A_{2}}{A_{1}} \times \frac{N_{1}}{N_{2}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{2 A_{1}}{A_{1}} \times \frac{2 N_{2}}{N_{2}} = 2 \times 2 = 4$
अतः,$S_{1}$ की अर्ध-आयु और $S_{2}$ की अर्ध-आयु का अनुपात $4$ है।

(C) मान लीजिए कि समय $t=0$ पर परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है।
मान लीजिए कि किसी समय $t$ पर परमाणुओं की संख्या $N$ है।
औसत आयु $\tau = 1/\lambda$ है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,समय $t$ पर बचे हुए परमाणुओं की संख्या $N = N_0 e^{-\lambda t}$ होती है।
यहाँ दिया गया है कि समय $t$ औसत आयु के बराबर है,अर्थात $t = \tau = 1/\lambda$।
क्षय समीकरण में $t = 1/\lambda$ रखने पर:
$N = N_0 e^{-\lambda (1/\lambda)} = N_0 e^{-1} = N_0/e$।
हमें परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $(N_0)$ और समय $t$ पर उपस्थित परमाणुओं की संख्या $(N)$ का अनुपात ज्ञात करना है:
अनुपात $= N_0 / N = N_0 / (N_0 / e) = e$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) एक रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N$ समय $t$ पर मौजूद रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या है। चूंकि प्रारंभिक द्रव्यमान समान हैं,इसलिए दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ समान है।
समय $t$ पर सक्रियता $R = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
पहले पदार्थ के लिए: $T_{1/2, 1} = 1 \ yr$,$t = 4 \ yr$.
$R_1 = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{4/1} = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^4$.
दूसरे पदार्थ के लिए: $T_{1/2, 2} = 2 \ yr$,$t = 4 \ yr$.
$R_2 = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{4/2} = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^2$.
उनकी सक्रियता का अनुपात है:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 (1/2)^4}{R_0 (1/2)^2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{4-2} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
अतः,अनुपात $1: 4$ है।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $N = N_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$.
यहाँ,नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $N_{0} = 10000$,अर्ध-आयु $T = 20 \text{ दिन}$,और बीता हुआ समय $t = 10 \text{ दिन}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$N = 10000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10/20}$
$N = 10000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2}$
$N = \frac{10000}{\sqrt{2}}$
$\sqrt{2} \approx 1.414$ का उपयोग करने पर:
$N = \frac{10000}{1.414} \approx 7072.13$
निकटतम पूर्णांक में,हमें $N \approx 7070$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $\left| \frac{dN}{dt} \right| = 2000 / s$ है।
उत्पादों का औसत जीवनकाल $\tau = 50 \text{ मिनट} = 50 \times 60 \text{ सेकंड} = 3000 \text{ सेकंड}$ है।
औसत जीवनकाल $\tau$ और क्षय नियतांक $\lambda$ के बीच का संबंध $\tau = \frac{1}{\lambda}$ है,इसलिए $\lambda = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{3000} \text{ s}^{-1}$ होगा।
सक्रियता को $\left| \frac{dN}{dt} \right| = \lambda N$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर,हमें $2000 = \left( \frac{1}{3000} \right) N$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$N = 2000 \times 3000 = 6,000,000 = 60 \times 10^5$ होगा।
अतः,रेडियोन्यूक्लाइड्स की संख्या $60 \times 10^5$ है।

(A) मान लीजिए कि समय $t$ पर चट्टान में तत्व $X$ की मात्रा $N_X$ है और तत्व $Y$ की मात्रा $N_Y$ है।
दिया गया अनुपात $N_X : N_Y = 1 : 7$ है,इसलिए $N_Y = 7N_X$ है।
प्रारंभ में ($t=0$ पर) तत्व $X$ की कुल मात्रा $N_0 = N_X + N_Y = N_X + 7N_X = 8N_X$ थी।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$N_X = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$,जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
मान रखने पर,$N_X = 8N_X \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$।
अतः,$n = 3$ है।
चूंकि $n = \frac{t}{T_{1/2}}$,इसलिए $t = 3 \times T_{1/2}$ है।
$T_{1/2} = 1.4 \times 10^9$ वर्ष दिया गया है,इसलिए चट्टान की आयु $t = 3 \times 1.4 \times 10^9 = 4.2 \times 10^9$ वर्ष है।

(D) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $N = N_0 (1/2)^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यहाँ $N_0 = 256 \ g$ और $N = 1 \ g$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $1 = 256 \times (1/2)^n$।
$(1/2)^n = 1/256$।
चूँकि $256 = 2^8$,इसलिए $(1/2)^n = (1/2)^8$।
अतः,$n = 8$।
कुल समय $t = n \times T_{1/2}$ द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $T_{1/2} = 12.5 \ h$।
$t = 8 \times 12.5 \ h = 100 \ h$।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
यहाँ $N_1 = 0.88 N_0$ और $N_2 = 0.77 N_0$ है।
समय $t = 12 \text{ मिनट}$ के लिए,$\frac{N_2}{N_1} = e^{-\lambda t}$।
$\frac{0.77}{0.88} = \frac{7}{8} = e^{-12\lambda}$।
अतः,$\lambda = \frac{\ln(8/7)}{12}$।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{12 \ln 2}{\ln(8/7)}$।
गणना करने पर,$T_{1/2} \approx 62.5 \text{ मिनट}$ प्राप्त होता है। यदि प्रश्न में क्षय $100 \%$ से $50 \%$ के लिए $12 \text{ मिनट}$ दिया गया होता,तो उत्तर $12$ होता।

(C) माना प्रारंभिक परमाणुओं की संख्या $N_0$ है।
समय $t$ के बाद शेष परमाणुओं की संख्या $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T_{1/2} = 10 \, \text{मिनट}$ है।
$t_1 = 20 \, \text{मिनट}$ के लिए, शेष परमाणुओं की संख्या $N_1 = N_0 (1/2)^{20/10} = N_0 (1/2)^2 = N_0 / 4$ है।
क्षयित परमाणुओं की संख्या $n_1 = N_0 - N_1 = N_0 - N_0 / 4 = 3N_0 / 4$ है।
$t_2 = 30 \, \text{मिनट}$ के लिए, शेष परमाणुओं की संख्या $N_2 = N_0 (1/2)^{30/10} = N_0 (1/2)^3 = N_0 / 8$ है।
क्षयित परमाणुओं की संख्या $n_2 = N_0 - N_2 = N_0 - N_0 / 8 = 7N_0 / 8$ है।
अतः, अनुपात $n_1 : n_2 = (3N_0 / 4) : (7N_0 / 8) = (3/4) : (7/8) = 6 : 7$ है।

(A) रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ $10 \ years$ है।
कुल बीता हुआ समय $t = 30 \ years$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ $n = t / T_{1/2} = 30 / 10 = 3$ है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बचे पदार्थ का अंश $N/N_0 = (1/2)^n$ द्वारा दिया जाता है।
$n$ का मान रखने पर,हमें $N/N_0 = (1/2)^3 = 1/8 = 0.125$ प्राप्त होता है।
क्षय हुए पदार्थ का अंश $1 - N/N_0 = 1 - 0.125 = 0.875$ है।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं: $0.875 \times 100 = 87.5\%$.
अतः,$30 \ years$ में क्षय हुए पदार्थ का प्रतिशत $87.5\%$ है।

(D) माना कि $t$ समय के बाद मात्रा समान हो जाती है।
रेडियोधर्मी पदार्थ $A_1$ के लिए,शेष मात्रा $N_1 = N_{01} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_1} = 40 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$ है।
रेडियोधर्मी पदार्थ $A_2$ के लिए,शेष मात्रा $N_2 = N_{02} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_2} = 160 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$ है।
$N_1 = N_2$ रखने पर:
$40 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = 160 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$.
दोनों पक्षों को $40$ से विभाजित करने पर:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = 2^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10 - 2}$.
घातांकों की तुलना करने पर:
$\frac{t}{20} = \frac{t}{10} - 2$.
$2 = \frac{t}{10} - \frac{t}{20} = \frac{2t - t}{20} = \frac{t}{20}$.
$t = 40 \ s$.

(A) दिया गया है: मोलों की संख्या $n = 1 \text{ mol}$.
सक्रियता $A = \frac{1}{3.7} \text{ kCi} = \frac{1}{3.7} \times 10^3 \times 3.7 \times 10^{10} \text{ विघटन/सेकंड} = 10^{13} \text{ s}^{-1}$.
नाभिकों की संख्या $N = n \times N_A = 1 \times 6 \times 10^{23} = 6 \times 10^{23}$.
सक्रियता और क्षय नियतांक के बीच संबंध $A = \lambda N$ है।
अतः,$\lambda = \frac{A}{N} = \frac{10^{13}}{6 \times 10^{23}} = \frac{1}{6} \times 10^{-10} \text{ s}^{-1}$.

(A) मान लीजिए कि $N_0$ रेडियोधर्मी तत्व $A$ की प्रारंभिक मात्रा है और $N$ समय $t$ के बाद बची हुई मात्रा है।
यह दिया गया है कि $A$, $B$ में क्षयित होता है, इसलिए समय $t$ पर $B$ की मात्रा $N_B = N_0 - N$ होगी।
$A$ और $B$ का अनुपात $\frac{N}{N_B} = \frac{1}{15}$ दिया गया है।
$N_B = N_0 - N$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{N}{N_0 - N} = \frac{1}{15}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $15N = N_0 - N$ मिलता है, जो सरल होकर $16N = N_0$ या $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ हो जाता है।
रेडियोधर्मी क्षय का नियम बताता है कि $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$, जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$T_{1/2} = 62 \text{ वर्ष}$ दिया गया है, इसलिए $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{62}}$ होगा।
चूंकि $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$, घातांकों की तुलना करने पर: $4 = \frac{t}{62}$।
अतः, $t = 62 \times 4 = 248 \text{ वर्ष}$।

(A) एक रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $T_{1/2}$ को सूत्र $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है।
माध्य आयु $\tau$ को क्षय नियतांक के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\tau = \frac{1}{\lambda}$।
अर्ध-आयु के सूत्र में $\lambda = \frac{1}{\tau}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T_{1/2} = \tau \ln 2$।
अतः,सही संबंध $T_{1/2} = \tau \ln 2$ है।

(C) दिया गया है: अर्ध-आयु $T_{1/2} = 2$ वर्ष,प्रारंभिक द्रव्यमान $N_0 = 1 \,g$,कुल समय $t = 4$ वर्ष।
रेडियोधर्मी क्षय के सूत्र का उपयोग करते हुए: $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{4}{2} = 2$ है।
मान रखने पर: $N = 1 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 1 \times \frac{1}{4} = 0.25 \,g$।
अतः,शेष रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा $0.25 \,g$ है।

(B) क्षय नियतांक $\lambda$ को $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $T_{1/2} = 5730 \text{ वर्ष}$ और $\ln 2 = -\ln 0.5 = 0.7$ दिया गया है।
अतः,$\lambda = \frac{0.7}{5730} \text{ वर्ष}^{-1}$।
रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ है,जहाँ $N(t) = 0.75 N_0$ है।
इस प्रकार,$0.75 = e^{-\lambda t}$,जिसका अर्थ है $\ln(0.75) = -\lambda t$।
दिया गया है कि $\ln(0.75) = -0.3$,इसलिए $-0.3 = -\left(\frac{0.7}{5730}\right) t$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{0.3 \times 5730}{0.7} = \frac{1719}{0.7} \approx 2455.7 \text{ वर्ष}$।
निकटतम पूर्णांक में,नमूने की आयु $2456 \text{ वर्ष}$ है।

(C) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ उस समय अंतराल के रूप में परिभाषित की जाती है जिसके दौरान किसी दिए गए नमूने में रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है।
गणितीय रूप से,यदि $N_0$ नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है,तो एक अर्ध-आयु के बाद,शेष नाभिकों की संख्या $N$,$N_0/2$ हो जाती है।

(C) रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 10^8 \text{ वर्ष}$ है।
इसे सेकंड में बदलने पर: $T_{1/2} = 10^8 \times 365 \times 24 \times 60 \times 60 \approx 3.15 \times 10^{15} \,s$.
सक्रियता $R = 10^4 \,Bq$ दी गई है।
सक्रियता $R$, क्षय नियतांक $\lambda$ और परमाणुओं की संख्या $N$ के बीच संबंध $R = \lambda N$ है।
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$ होता है।
सक्रियता समीकरण में $\lambda$ का मान रखने पर: $R = \frac{0.693}{T_{1/2}} \times N$.
$N$ के लिए हल करने पर: $N = \frac{R \times T_{1/2}}{0.693}$.
मान रखने पर: $N = \frac{10^4 \times 3.15 \times 10^{15}}{0.693} \approx 4.54 \times 10^{19}$.
अतः, उपस्थित परमाणुओं की संख्या लगभग $4.5 \times 10^{19}$ है।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक मात्रा $N_0 = 1 \,kg = 1000 \,g$। अंतिम मात्रा $N_t = 125 \,g$। अर्ध-आयु $T_{1/2} = 12.5 \,y$।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बची मात्रा $N_t = N_0 \times (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $125 = 1000 \times (1/2)^n$।
$(1/2)^n = 125/1000 = 1/8$।
चूंकि $1/8 = (1/2)^3$, इसलिए $n = 3$।
कुल समय $N = n \times T_{1/2}$ द्वारा दिया जाता है।
$N = 3 \times 12.5 \,y = 37.5 \,years$।

(D) मान लीजिए $A$ के परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है। $n$ अर्ध-आयु के बाद,$A$ के शेष परमाणुओं की संख्या $N_A = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ है।
चूंकि तत्व $A$,$B$ में परिवर्तित हो रहा है,इसलिए $B$ के परमाणुओं की संख्या $N_B = N_0 - N_A = N_0 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)$ होगी।
$A$ और $B$ के परमाणुओं का अनुपात $\frac{N_A}{N_B} = \frac{1}{8}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{N_0 (1/2)^n}{N_0 (1 - (1/2)^n)} = \frac{1}{8}$।
यह सरल होकर $\frac{(1/2)^n}{1 - (1/2)^n} = \frac{1}{8}$ हो जाता है।
मान लीजिए $x = (1/2)^n$ है। तब $\frac{x}{1-x} = \frac{1}{8} \implies 8x = 1 - x \implies 9x = 1 \implies x = \frac{1}{9}$।
चूंकि $(1/2)^3 = 1/8$ और $(1/2)^4 = 1/16$,और $1/16 < 1/9 < 1/8$ है,इसलिए अर्ध-आयु की संख्या $n$,$3$ और $4$ के बीच होनी चाहिए।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1.5 \ hrs$ दी गई है,इसलिए समय $t = n \times T_{1/2}$ है।
चूंकि $3 < n < 4$ है,इसलिए समय $t$,$3 \times 1.5 = 4.5 \ hrs$ और $4 \times 1.5 = 6 \ hrs$ के बीच होगा।

(C) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता को रेडियोधर्मी नाभिकों के क्षय की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो सूत्र $A = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ उस क्षण उपस्थित रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और नाभिकों की संख्या $N$ रेडियोधर्मी पदार्थ के आंतरिक गुण हैं और ये तापमान,दबाव या आसपास के माध्यम जैसी बाहरी भौतिक स्थितियों से स्वतंत्र होते हैं।
इसलिए,नमूने को पानी में रखने से क्षय की दर में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः,पानी में सक्रियता $A^{\prime}$ हवा में सक्रियता $A$ के समान ही रहती है,अर्थात $A^{\prime} = A$.

(C) $t$ समय के बाद शेष बचे नमूने का अंश इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^{t/T}$,जहाँ $T$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है $t = \frac{T}{2}$,इसलिए शेष बचा अंश $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^{(\frac{T/2}{T})} = (\frac{1}{2})^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
क्षयित हुआ भाग प्रारंभिक मात्रा में से शेष मात्रा को घटाने पर प्राप्त होता है: $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$.

(C) मान लीजिए $N_0$ रेडियोधर्मी नमूने की प्रारंभिक मात्रा है।
$t = 16 \text{ दिनों}$ के बाद, शेष मात्रा $N$ है:
$N = N_0 - 75\% \text{ of } N_0 = N_0 - 0.75 N_0 = 0.25 N_0 = \frac{N_0}{4}$.
हम जानते हैं कि रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ है, जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
मान रखने पर:
$\frac{N_0}{4} = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
अतः, $n = 2$.
चूंकि $n = \frac{t}{T_{1/2}}$, इसलिए $2 = \frac{16}{T_{1/2}}$.
अतः, $T_{1/2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ दिन}$।

(D) रेडियोधर्मी नमूने की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ $20 \ days$ है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद,पदार्थ की शेष मात्रा $N = N_0(1/2)^n$ द्वारा दी जाती है।
$60 \ days$ में,व्यतीत हुई अर्ध-आयु की संख्या $n = 60 / 20 = 3$ है।
पदार्थ की शेष मात्रा $N = N_0(1/2)^3 = N_0 / 8$ है।
विघटित हुए पदार्थ की मात्रा $N_0 - N = N_0 - N_0/8 = 7N_0/8$ है।
अतः,$60 \ days$ में पदार्थ का $7/8$ भाग विघटित हो जाता है।

(D) समय $t$ के बाद अविघटित परमाणुओं की संख्या $N$ को $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $T_{1/2} = 18 \text{ min}$ है।
$20 \%$ क्षय के लिए,शेष मात्रा $N_1 = N_0 - 0.20 N_0 = 0.8 N_0$ है।
अतः,$0.8 N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{18}} \implies \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{18}} = 0.8 \quad (i)$.
$80 \%$ क्षय के लिए,शेष मात्रा $N_2 = N_0 - 0.80 N_0 = 0.2 N_0$ है।
अतः,$0.2 N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{18}} \implies \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{18}} = 0.2 \quad (ii)$.
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{(1/2)^{t_1/18}}{(1/2)^{t_2/18}} = \frac{0.8}{0.2} = 4$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1-t_2}{18}} = 4 = 2^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $\frac{t_1-t_2}{18} = -2 \implies t_2 - t_1 = 36 \text{ min}$.

(D) रेडियोधर्मी क्षय का नियम समीकरण द्वारा दिया गया है:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$
जहाँ $\frac{dN}{dt}$ विघटन की दर है,जिसे $R$ के रूप में दर्शाया गया है।
अतः,$R = -\lambda N$ (परिमाण लेने पर,$R = \lambda N$)।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{R}{N} = \lambda$
चूंकि $\lambda$ (क्षय स्थिरांक) किसी दिए गए रेडियोधर्मी नमूने के लिए एक स्थिरांक है,इसलिए अनुपात $\frac{R}{N}$ समय $t$ के साथ नहीं बदलता है।
इसलिए,$\frac{R}{N}$ बनाम $t$ का ग्राफ $X$-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज सीधी रेखा है।
यह विकल्प $(D)$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(D) रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 138.6 \text{ दिन}$ है।
मान लीजिए $N_0$ रेडियोधर्मी पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा है। $n$ दिनों के बाद शेष मात्रा $N = 20\% \text{ of } N_0 = \frac{20}{100} N_0 = \frac{N_0}{5}$ है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार, $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{n}{T_{1/2}}}$.
मान रखने पर, $\frac{N_0}{5} = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{n}{138.6}}$, जो सरल होकर $\frac{1}{5} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{n}{138.6}}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\ln)$ लेने पर:
$\ln \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{n}{138.6} \ln \left( \frac{1}{2} \right)$
$-\ln(5) = \frac{n}{138.6} (-\ln(2))$
$\ln(5) = \frac{n}{138.6} \ln(2)$
दिया गया है कि $\ln(5) = 1.61$ और $\ln(2) \approx 0.693$, इसलिए:
$1.61 = \frac{n}{138.6} \times 0.693$
$n = \frac{1.61 \times 138.6}{0.693} = 1.61 \times 200 = 322 \text{ दिन}$.

(A) रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ नाभिकों की संख्या है।
दिया गया है: अर्ध-आयु $T_{1/2} = 13.86 \times 10^{16} \,s$,द्रव्यमान $m = 1 \,g$,और मोलर द्रव्यमान $M = 238 \,g/mol$.
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} \approx \frac{0.693}{T_{1/2}}$.
नाभिकों की संख्या $N = \frac{m}{M} \times N_A$,जहाँ $N_A = 6.022 \times 10^{23} \,mol^{-1}$.
मान रखने पर:
$R = \frac{0.693}{13.86 \times 10^{16}} \times \frac{1}{238} \times 6.022 \times 10^{23}$
$R = \frac{0.693 \times 6.022}{13.86 \times 238} \times 10^7$
$R = \frac{4.173}{3298.68} \times 10^7 \approx 0.001265 \times 10^7 = 1.265 \times 10^4 \,s^{-1}$.
अतः,सक्रियता लगभग $1.26 \times 10^4 \,s^{-1}$ है।

(B) अर्ध-आयु की संख्या $n$ की गणना रेडियोधर्मी क्षय नियम का उपयोग करके की जा सकती है:
$N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
जहाँ $N$ $n$ अर्ध-आयु के बाद बची हुई मात्रा है।
यह दिया गया है कि नमूने का $93.75 \%$ क्षय हो चुका है,इसलिए शेष मात्रा है:
$N = (100 - 93.75) \% \text{ of } N_0 = 6.25 \% \text{ of } N_0 = \frac{6.25}{100} N_0 = \frac{1}{16} N_0$
इसे क्षय समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{16} N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
चूंकि $16 = 2^4$,इसलिए:
$\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
अतः,$n = 4$।

(C) मान लीजिए कि $X$ के प्रारंभिक परमाणुओं की संख्या $N_0$ है।
$t$ समय पर,मान लीजिए कि $X$ के शेष परमाणुओं की संख्या $N_X$ है और बने हुए $Y$ के परमाणुओं की संख्या $N_Y$ है।
चूंकि $X$,$Y$ में परिवर्तित होता है,परमाणुओं की कुल संख्या स्थिर रहती है: $N_0 = N_X + N_Y$.
दिए गए अनुपात $N_X : N_Y = 1 : 4$ से,हम लिख सकते हैं $N_Y = 4N_X$.
इसे संरक्षण समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $N_0 = N_X + 4N_X = 5N_X$.
इस प्रकार,$X$ का शेष अंश $\frac{N_X}{N_0} = \frac{1}{5}$ है।
रेडियोधर्मी क्षय नियम $\frac{N_X}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $T_{1/2} = 2 \text{ घंटे}$:
$\frac{1}{5} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{2}}$.
घातांकों की तुलना करने पर:
चूंकि $\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$ और $\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$,और हम जानते हैं कि $\frac{1}{8} < \frac{1}{5} < \frac{1}{4}$,
इसलिए $\left(\frac{1}{2}\right)^3 < \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{2}} < \left(\frac{1}{2}\right)^2$.
चूंकि आधार $1$ से कम है,इसलिए घातांकों के लिए असमानता उलट जाएगी:
$2 < \frac{t}{2} < 3$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $4 < t < 6$ प्राप्त होता है।

(A) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ समय $t$ पर मौजूद रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या है।
दिया गया है $R_1 = \lambda N_1$ और $R_2 = \lambda N_2$।
समय अंतराल $(t_2 - t_1)$ में विघटित परमाणुओं की संख्या $\Delta N = N_1 - N_2$ है।
चूंकि $N = \frac{R}{\lambda}$,इसलिए $\Delta N = \frac{R_1 - R_2}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ है।
$\Delta N$ के व्यंजक में $\lambda$ का मान रखने पर:
$\Delta N = \frac{(R_1 - R_2)T}{\ln 2}$।
हमें दिया गया है कि $\Delta N = \frac{n(R_1 - R_2)T}{\ln 4}$।
चूंकि $\ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2$,इसलिए:
$\Delta N = \frac{n(R_1 - R_2)T}{2 \ln 2}$।
$\Delta N$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{R_1 - R_2}{\ln 2} = \frac{n(R_1 - R_2)}{2 \ln 2}$।
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $(R_1 - R_2)$ और $\ln 2$ को हटाने पर:
$1 = \frac{n}{2}$,जिसका अर्थ है $n = 2$।

(A) मान लीजिए कि दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
समय $t$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ $Y_1$ के लिए,$N_1(t) = N_0 e^{-(9 \lambda) t}$ है।
पदार्थ $Y_2$ के लिए,$N_2(t) = N_0 e^{-(6 \lambda) t}$ है।
अविघटित नाभिकों का अनुपात $\frac{N_1(t)}{N_2(t)} = \frac{N_0 e^{-9 \lambda t}}{N_0 e^{-6 \lambda t}} = e^{-9 \lambda t + 6 \lambda t} = e^{-3 \lambda t}$ है।
हमें दिया गया है कि यह अनुपात $\frac{1}{e}$ है,जो $e^{-1}$ के बराबर है।
अतः,$e^{-3 \lambda t} = e^{-1}$ है।
घातांकों की तुलना करने पर: $-3 \lambda t = -1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$t = \frac{1}{3 \lambda} \ s$।

(A) ग्राफ से,हम रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ देख सकते हैं। प्रारंभ में,$t = 0 \ h$ पर,पदार्थ की मात्रा $100 \ kg$ है। पदार्थ को अपने प्रारंभिक मान के आधे $(50 \ kg)$ तक कम होने में लगा समय $20 \ h$ है। अतः,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 20 \ h$ है।
क्षय नियतांक $\lambda$ अर्ध-आयु से इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}$।
$T_{1/2} = 20 \ h$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{0.693}{20} \ h^{-1} = 0.03465 \ h^{-1} \approx 0.035 \ h^{-1}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है,$K.E. = 4 \text{ eV} = 4 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 6.4 \times 10^{-19} \text{ J}$.
द्रव्यमान $m = 3.2 \times 10^{-21} \text{ kg}$.
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करते हुए,$v = \sqrt{\frac{2 \times K.E.}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 6.4 \times 10^{-19}}{3.2 \times 10^{-21}}} = \sqrt{4 \times 10^2} = 20 \text{ m/s}$.
$D = 3.6 \text{ km} = 3600 \text{ m}$ की दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{D}{v} = \frac{3600}{20} = 180 \text{ s} = 3 \text{ मिनट}$.
चूंकि अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1 \text{ मिनट}$ है,इसलिए समय $t = 3 \text{ अर्ध-आयु}$ है।
शेष कणों की संख्या $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{N_0}{8}$.
क्षय हुए कणों की संख्या $N_0 - N = N_0 - \frac{N_0}{8} = \frac{7}{8}N_0$.
क्षय हुए कणों का प्रतिशत $\frac{7/8 N_0}{N_0} \times 100 = 87.5\%$ है।

(D) क्षय के बाद शेष बचे रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा $N = N_0 - 0.96875 N_0 = 0.03125 N_0$ है।
हम जानते हैं कि $N = N_0 (1/2)^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$0.03125 N_0 = N_0 (1/2)^n$
$0.03125 = (1/2)^n$
चूंकि $0.03125 = 1/32 = (1/2)^5$,इसलिए $n = 5$ है।
कुल समय $t$,अर्ध-आयु की संख्या $n$ और अर्ध-आयु $T_{1/2}$ से $t = n \times T_{1/2}$ द्वारा संबंधित है।
दिया गया है कि $t = 10 \text{ दिन}$ और $n = 5$,इसलिए $10 = 5 \times T_{1/2}$।
अतः,$T_{1/2} = 10 / 5 = 2 \text{ दिन}$।

(A) $t$ समय के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = t / T_{1/2}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
पदार्थ $A$ के लिए: $T_{1/2, A} = 1.5 \ days$,$t = 9 \ days$। अर्ध-आयु की संख्या $n_A = 9 / 1.5 = 6$। शेष नाभिक $N_A = N_0 (1/2)^6 = N_0 / 64$।
पदार्थ $B$ के लिए: $T_{1/2, B} = 4.5 \ days$,$t = 9 \ days$। अर्ध-आयु की संख्या $n_B = 9 / 4.5 = 2$। शेष नाभिक $N_B = N_0 (1/2)^2 = N_0 / 4$।
अनुपात $N_A / N_B = (N_0 / 64) / (N_0 / 4) = 4 / 64 = 1 / 16$।
अतः,अनुपात $1: 16$ है।

(D) $t$ समय पर रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = A_0 (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = t/T_{1/2}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है कि प्रारंभिक सक्रियता $A_0 = 32 A_{safe}$ है और हमें अंतिम सक्रियता $A = A_{safe}$ चाहिए।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $A_{safe} = 32 A_{safe} \times (1/2)^n$.
दोनों पक्षों को $A_{safe}$ से विभाजित करने पर,हमें $1 = 32 \times (1/2)^n$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(1/2)^n = 1/32$ हो जाता है।
चूंकि $32 = 2^5$,इसलिए $(1/2)^n = (1/2)^5$,जिसका अर्थ है $n = 5$।
चूंकि $n = t/T_{1/2}$,इसलिए $5 = t / 2.5$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = 5 \times 2.5 = 12.5 \text{ घंटे}$।

(D) दिया गया है कि पदार्थ $16 \text{ घंटे}$ में $10 \%$ क्षयित होता है,इसलिए $16 \text{ घंटे}$ बाद शेष मात्रा प्रारंभिक मात्रा का $90 \%$ या $0.9$ गुना है।
कुल समय $2 \text{ दिन} = 2 \times 24 \text{ घंटे} = 48 \text{ घंटे}$ है।
$48 \text{ घंटे}$ में $16 \text{ घंटे}$ के अंतरालों की संख्या $n = \frac{48}{16} = 3$ है।
$n$ अंतरालों के बाद शेष पदार्थ का अंश $N = N_0 \times (0.9)^n$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$N = N_0 \times (0.9)^3$.
$N = N_0 \times 0.729$.
अतः,शेष प्रतिशत $0.729 \times 100 = 72.9 \%$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(D) $t$ समय के बाद बचे हुए परमाणुओं की संख्या $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है कि $6 \ days$ में $87.5 \%$ परमाणु क्षय हो जाते हैं, इसलिए शेष अंश $100 \% - 87.5 \% = 12.5 \% = 1/8$ है।
अतः, $1/8 = (1/2)^{6/T}$।
चूंकि $1/8 = (1/2)^3$, हमें $6/T = 3$ प्राप्त होता है, जिससे $T = 2 \ days$ मिलता है।
अब, हमें $8 \ days$ में क्षय होने वाले परमाणुओं का अंश ज्ञात करना है।
$8 \ days$ के बाद शेष अंश $N(8)/N_0 = (1/2)^{8/T} = (1/2)^{8/2} = (1/2)^4 = 1/16$ है।
क्षय होने वाले परमाणुओं का अंश $1 - (\text{शेष अंश}) = 1 - 1/16 = 15/16$ है।

(D) दी गई अर्ध-आयु $T_{1/2} = 12 \text{ मिनट}$ है।
$28 \%$ क्षय पर, शेष मात्रा $100 - 28 = 72 \%$ है।
$82 \%$ क्षय पर, शेष मात्रा $100 - 82 = 18 \%$ है।
हम जानते हैं कि रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा एक अर्ध-आयु काल में आधी हो जाती है।
$72 \%$ से शुरू होकर, एक अर्ध-आयु $(12 \text{ मिनट})$ के बाद, मात्रा $72 / 2 = 36 \%$ हो जाती है।
अगली अर्ध-आयु $(12 \text{ मिनट})$ के बाद, मात्रा $36 / 2 = 18 \%$ हो जाती है।
अतः, कुल समयांतराल $12 + 12 = 24 \text{ मिनट}$ है।

(A) समय $t$ के बाद बचे हुए रेडियोधर्मी पदार्थ का द्रव्यमान $M = M_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M_0$ प्रारंभिक द्रव्यमान है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
पदार्थ $A$ के लिए: $M_A = M_{0A} (1/2)^{t/T}$.
पदार्थ $B$ के लिए: $M_B = M_{0B} (1/2)^{t/2T}$.
प्रारंभिक द्रव्यमानों का अनुपात $M_{0A} / M_{0B} = 8/1$ और शेष द्रव्यमानों का अनुपात $M_A / M_B = 4/1$ दिया गया है।
अतः,$\frac{M_A}{M_B} = \frac{M_{0A}}{M_{0B}} \cdot \frac{(1/2)^{t/T}}{(1/2)^{t/2T}} = 4/1$.
मान रखने पर: $8 \cdot (1/2)^{t/T - t/2T} = 4$.
$8 \cdot (1/2)^{t/2T} = 4$.
$(1/2)^{t/2T} = 4/8 = 1/2$.
$(1/2)^{t/2T} = (1/2)^1$.
घातांकों की तुलना करने पर,$t/2T = 1$,जिससे $t = 2T$ प्राप्त होता है।

(C) तत्व $X$ के लिए,अर्ध-आयु $(t_{1/2})_X = \frac{0.693}{\lambda_X}$ द्वारा दी जाती है।
तत्व $Y$ के लिए,माध्य आयु $(\tau)_Y = \frac{1}{\lambda_Y}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि $(t_{1/2})_X = (\tau)_Y$,इसलिए $\frac{0.693}{\lambda_X} = \frac{1}{\lambda_Y}$।
इसका तात्पर्य है कि $\lambda_X = 0.693 \lambda_Y$,जिसका अर्थ है कि $\lambda_X < \lambda_Y$।
क्षय दर $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है। चूंकि प्रारंभ में $N_X = N_Y$ है और $\lambda_Y > \lambda_X$ है,इसलिए $Y$ की क्षय दर $X$ से अधिक है $(R_Y > R_X)$।
अतः,$Y$,$X$ की तुलना में तेजी से क्षय होता है।

(D) माना पदार्थ $B$ की अर्ध-आयु $T_B = T$ है। तब पदार्थ $A$ की अर्ध-आयु $T_A = 2T$ होगी।
समय $t$ के बाद,शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है।
बीता हुआ समय $t = 3 T_A = 3(2T) = 6T$ है।
इस समय पर,$A$ के नाभिकों की संख्या $N_A(t) = N_A \left(\frac{1}{2}\right)^3$ है।
इस समय पर,$B$ के नाभिकों की संख्या $N_B(t) = N_B \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_B} = N_B \left(\frac{1}{2}\right)^{6T/T} = N_B \left(\frac{1}{2}\right)^6$ है।
दिया गया है कि $N_A(t) = N_B(t)$,इसलिए $N_A \left(\frac{1}{2}\right)^3 = N_B \left(\frac{1}{2}\right)^6$ है।
अतः,$\frac{N_A}{N_B} = \frac{(1/2)^6}{(1/2)^3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{6-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$।

(A) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता एक अर्ध-आयु $(T_{1/2} = 6 \,h)$ में आधी हो जाती है।
मान लीजिए $s$ स्रोत का अनुमेय सुरक्षित मान है।
प्रारंभिक सक्रियता $32s$ है।
$1$ अर्ध-आयु के बाद, सक्रियता = $32s / 2 = 16s$।
$2$ अर्ध-आयु के बाद, सक्रियता = $16s / 2 = 8s$।
$3$ अर्ध-आयु के बाद, सक्रियता = $8s / 2 = 4s$।
$4$ अर्ध-आयु के बाद, सक्रियता = $4s / 2 = 2s$।
$5$ अर्ध-आयु के बाद, सक्रियता = $2s / 2 = s$।
इस प्रकार, नमूना $5$ अर्ध-आयु के बाद सुरक्षित हो जाता है।
कुल समय $T = 5 \times T_{1/2} = 5 \times 6 \,h = 30 \,h$।

(A) रेडियोधर्मी क्षय संबंध $N(t) = N_0 (1/2)^n$ का पालन करता है, जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है, प्रारंभिक द्रव्यमान $N_0 = 60 \,g$ और अंतिम द्रव्यमान $N(t) = 7.5 \,g$ है।
हमारे पास $7.5 = 60 \times (1/2)^n$ है।
$(1/2)^n = 7.5 / 60 = 1/8 = (1/2)^3$ है।
अतः, अर्ध-आयु की संख्या $n = 3$ है।
कुल आवश्यक समय $\Delta t = n \times T_{1/2} = 3 \times 5 \,s = 15 \,s$ है।
वैकल्पिक रूप से, क्षय प्रक्रिया इस प्रकार है: $60 \,g \xrightarrow{5 \,s} 30 \,g \xrightarrow{5 \,s} 15 \,g \xrightarrow{5 \,s} 7.5 \,g$।
कुल समय = $5 \,s + 5 \,s + 5 \,s = 15 \,s$।

(C) रेडियोधर्मी क्षय की दर $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$ द्वारा दी जाती है।
दो एक साथ होने वाली क्षय प्रक्रियाओं के लिए,कुल क्षय नियतांक $\lambda_{\text{eff}} = \lambda_1 + \lambda_2$ होता है।
चूंकि $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$,इसलिए $\frac{\ln 2}{T_{\text{eff}}} = \frac{\ln 2}{t_1} + \frac{\ln 2}{t_2}$।
यह सरल होकर $\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$ हो जाता है,अतः $T_{\text{eff}} = \frac{t_1 t_2}{t_1+t_2}$।
औसत आयु $\langle t \rangle$ प्रभावी अर्ध-आयु से $\langle t \rangle = \frac{T_{\text{eff}}}{\ln 2}$ द्वारा संबंधित है।
$T_{\text{eff}}$ का मान रखने पर,हमें $\langle t \rangle = \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{t_1 t_2}{t_1+t_2} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\ln 2 \approx 0.693 < 1$,इसलिए $\frac{1}{\ln 2} > 1$ होता है।
अतः,$\langle t \rangle > \frac{t_1 t_2}{t_1+t_2}$ सही है।

(A) प्रारंभिक रेडियोधर्मिता $A_0$ सुरक्षित सीमा $A_s$ से $4$ गुना है। हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जिस पर रेडियोधर्मिता $A_t$ का मान $A_s$ के बराबर हो जाए।
दिया गया है, $A_t = \frac{A_0}{2^{t/T_{1/2}}}$, जहाँ $T_{1/2} = 24 \,h$ है।
चूँकि $A_t = A_s$ और $A_0 = 4A_s$, हमारे पास है:
$A_s = \frac{4A_s}{2^{t/24}}$
$2^{t/24} = 4$
$2^{t/24} = 2^2$
घातांकों की तुलना करने पर:
$\frac{t}{24} = 2$
$t = 48 \,h$।
अतः, आवश्यक न्यूनतम समय $48 \,h$ है।

(B) रेडियोधर्मी समस्थानिक की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 30 \,h$ दी गई है।
मान लीजिए कि रेडियोधर्मी समस्थानिक की प्रारंभिक मात्रा $N_0$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब शेष मात्रा $N$, $N_0$ का $12.5 \%$ हो।
$N = 12.5 \% \text{ of } N_0 = \frac{12.5}{100} N_0 = \frac{1}{8} N_0$.
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है:
$\frac{1}{8} N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
अतः, $n = 3$.
चूंकि $n = \frac{t}{T_{1/2}}$, इसलिए $t = n \times T_{1/2} = 3 \times 30 \,h = 90 \,h$.