Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Hindi

(D) रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ $40 \ days$ है। $t$ समय के बाद शेष पदार्थ की मात्रा $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$t = 20 \ days$ के लिए,अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{20}{40} = 0.5$ है।
शेष मात्रा $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{0.5} = N_0 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \approx 0.707 N_0$ है।
क्षयित मात्रा $N_0 - N = N_0 - 0.707 N_0 = 0.293 N_0$ है,जो $29.3\%$ है।
चूंकि $29.3\% \neq 25\%$,इसलिए कथन गलत है।
कारण में दिया गया सूत्र रेडियोधर्मी क्षय का मानक नियम है,जो सही है।
अतः,कथन गलत है लेकिन कारण सही है।

(D) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता का सूत्र $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ है,जहाँ $A_0$ प्रारंभिक सक्रियता है,$A$ अंतिम सक्रियता है,$t$ बीता हुआ समय है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है: $A_0 = 700 \; s^{-1}$,$A = 500 \; s^{-1}$,और $t = 30 \; min$.
मान रखने पर: $500 = 700 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{30}{T_{1/2}}}$.
दोनों पक्षों को $700$ से विभाजित करने पर: $\frac{5}{7} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{30}{T_{1/2}}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(5/7) = \frac{30}{T_{1/2}} \ln(1/2)$.
$\ln(0.714) = \frac{30}{T_{1/2}} (-0.693)$.
$-0.337 = \frac{30}{T_{1/2}} (-0.693)$.
$T_{1/2} = \frac{30 \times 0.693}{0.337} \approx 61.69 \; min$.
निकटतम पूर्णांक में,अर्ध-आयु लगभग $62 \; min$ है।

(D) अर्ध-आयु $T_{1/2} = 4.5 \times 10^{9} \text{ वर्ष}$ है।
सेकंड में बदलने पर: $T_{1/2} = 4.5 \times 10^{9} \times 3.1536 \times 10^{7} \text{ s} \approx 1.42 \times 10^{17} \text{ s}$।
$1 \text{ g}$ $^{238}_{92}U$ में परमाणुओं की संख्या $N = (\text{द्रव्यमान} / \text{मोलर द्रव्यमान}) \times N_A$ द्वारा दी जाती है।
$N = (1 / 238) \times 6.022 \times 10^{23} \approx 2.53 \times 10^{21} \text{ परमाणु}$।
सक्रियता $R = \lambda N = (0.693 / T_{1/2}) \times N$ है।
$R = (0.693 \times 2.53 \times 10^{21}) / (1.42 \times 10^{17}) \text{ s}^{-1}$।
$R \approx 1.23 \times 10^{4} \text{ Bq}$।

(B) ट्रिटियम की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ $12.5\; y$ है।
कुल बीता हुआ समय $t = 25\; y$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ इस प्रकार है: $n = t / T_{1/2} = 25 / 12.5 = 2$.
अविघटित रहने वाले नमूने का अंश ज्ञात करने का सूत्र $N/N_0 = (1/2)^n$ है।
$n$ का मान रखने पर,हमें $N/N_0 = (1/2)^2 = 1/4$ प्राप्त होता है।
अतः,$25\; y$ के बाद शुद्ध ट्रिटियम के प्रारंभिक नमूने का $1/4$ भाग अविघटित रहेगा।

(N/A) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ नियम $A = A_0 e^{-\lambda t}$ का पालन करती है,जहाँ $A_0$ प्रारंभिक सक्रियता है और $\lambda = \frac{\ln 2}{T} \approx \frac{0.693}{T}$ है।
$(a)$ दिया गया है कि $\frac{A}{A_0} = 3.125\% = \frac{3.125}{100} = \frac{1}{32}$.
चूंकि $\frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^5$,इसलिए $e^{-\lambda t} = (\frac{1}{2})^5$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $-\lambda t = 5 \ln(\frac{1}{2}) = -5 \ln 2$.
$\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $-\frac{\ln 2}{T} t = -5 \ln 2$.
अतः,$t = 5T$ वर्ष।
$(b)$ दिया गया है कि $\frac{A}{A_0} = 1\% = \frac{1}{100}$.
$e^{-\lambda t} = \frac{1}{100} \implies -\lambda t = \ln(10^{-2}) = -2 \ln 10$.
$t = \frac{2 \ln 10}{\lambda} = \frac{2 \times 2.303}{0.693/T} = \frac{4.606}{0.693} T \approx 6.646T$ वर्ष।

(C) जीवंत पदार्थ की प्रारंभिक क्षय दर $R = 15$ क्षय/मिनट है।
मोहनजोदड़ो स्थल से प्राप्त नमूने की क्षय दर $R' = 9$ क्षय/मिनट है।
$_{6}^{14}C$ की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 5730$ वर्ष है।
क्षय नियतांक $\lambda$ को $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5730} \text{ वर्ष}^{-1}$ द्वारा दिया जाता है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{R'}{R} = e^{-\lambda t}$,जहाँ $t$ नमूने की आयु है।
$\frac{9}{15} = e^{-\lambda t} \implies 0.6 = e^{-\lambda t}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(0.6) = -\lambda t$.
चूंकि $\ln(0.6) \approx -0.5108$,इसलिए $-0.5108 = -\lambda t$.
$t = \frac{0.5108}{\lambda} = \frac{0.5108 \times 5730}{0.693} \approx 4223.5 \text{ वर्ष}$.
अतः,सिंधु-घाटी सभ्यता की अनुमानित आयु $4223.5$ वर्ष है।

(D) रेडियोधर्मी स्रोत की प्रबलता $R = \frac{dN}{dt} = 8.0 \; mCi$ दी गई है।
$R = 8.0 \times 10^{-3} \times 3.7 \times 10^{10} \; \text{decays/s} = 29.6 \times 10^{7} \; \text{decays/s}$.
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 5.3 \; \text{वर्ष} = 5.3 \times 365.25 \times 24 \times 3600 \; s \approx 1.67 \times 10^{8} \; s$.
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{1.67 \times 10^{8}} \; s^{-1} \approx 4.15 \times 10^{-9} \; s^{-1}$.
संबंध $R = \lambda N$ का उपयोग करते हुए, आवश्यक परमाणुओं की संख्या $N = \frac{R}{\lambda} = \frac{29.6 \times 10^{7}}{4.15 \times 10^{-9}} \approx 7.133 \times 10^{16} \; \text{परमाणु}$.
$_{27}^{60} Co$ का मोलर द्रव्यमान $60 \; g/mol$ है। द्रव्यमान $m = \frac{N \times M}{N_A}$, जहाँ $N_A = 6.023 \times 10^{23} \; \text{परमाणु/मोल}$.
$m = \frac{7.133 \times 10^{16} \times 60}{6.023 \times 10^{23}} \approx 7.106 \times 10^{-6} \; g$.

(A) $_{38}^{90} Sr$ की अर्ध-आयु $t_{1/2} = 28$ वर्ष है।
सेकंड में रूपांतरण: $t_{1/2} = 28 \times 365 \times 24 \times 3600 \approx 8.83 \times 10^{8} \; s$.
समस्थानिक का द्रव्यमान $m = 15 \; mg = 15 \times 10^{-3} \; g$.
$15 \; mg$ में परमाणुओं की संख्या $N = \frac{m}{M} \times N_A$, जहाँ $M = 90 \; g/mol$ और $N_A = 6.023 \times 10^{23} \; \text{atoms/mol}$.
$N = \frac{15 \times 10^{-3}}{90} \times 6.023 \times 10^{23} \approx 1.0038 \times 10^{20} \; \text{atoms}$.
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{8.83 \times 10^{8}} \; s^{-1}$.
विघटन दर $R = \lambda N = \left( \frac{0.693}{8.83 \times 10^{8}} \right) \times (1.0038 \times 10^{20}) \approx 7.878 \times 10^{10} \; \text{atoms/s}$.

(D) मान लीजिए $_{15}^{32} P$ और $_{15}^{33} P$ के नाभिकों की संख्या क्रमशः $N_1$ और $N_2$ है। सक्रियता $A = \lambda N = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$A_2 / (A_1 + A_2) = 0.1$,जिसका अर्थ है $A_2 = (1/9) A_1$.
$A = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{N_2}{T_2} = \frac{1}{9} \frac{N_1}{T_1}$ प्राप्त होता है,इसलिए $N_2(0) = \frac{1}{9} \frac{T_2}{T_1} N_1(0) = \frac{1}{9} \frac{25.3}{14.3} N_1(0) \approx 0.1966 N_1(0)$.
$t$ समय के बाद,सक्रियता $A_1(t) = A_1(0) 2^{-t/T_1}$ और $A_2(t) = A_2(0) 2^{-t/T_2}$ है।
हम $A_2(t) / (A_1(t) + A_2(t)) = 0.9$ चाहते हैं,जिसका अर्थ है $A_2(t) = 9 A_1(t)$.
सक्रियता के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर: $A_2(0) 2^{-t/T_2} = 9 A_1(0) 2^{-t/T_1}$.
चूंकि $A_2(0) = (1/9) A_1(0)$,हमारे पास $(1/9) A_1(0) 2^{-t/T_2} = 9 A_1(0) 2^{-t/T_1}$ है।
$2^{-t/T_2} / 2^{-t/T_1} = 81$,जिसका अर्थ है $2^{t(1/T_1 - 1/T_2)} = 81$.
दोनों पक्षों पर $\log_{10}$ लेने पर: $t(1/14.3 - 1/25.3) \log_{10} 2 = \log_{10} 81$.
$t(0.06993 - 0.03953) \times 0.3010 = 1.9085$.
$t(0.0304) \times 0.3010 = 1.9085 \implies t \approx 208.5 \ d$.

(N/A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम बताता है कि किसी भी रेडियोधर्मी नमूने में,प्रति इकाई समय में क्षय होने वाले नाभिकों की संख्या नमूने में मौजूद नाभिकों की कुल संख्या के समानुपाती होती है।
मान लीजिए कि समय $t$ पर नमूने में नाभिकों की संख्या $N$ है,और छोटे समय अंतराल $\Delta t$ में क्षय होने वाले नाभिकों की संख्या $\Delta N$ है। नियम के अनुसार:
$\frac{\Delta N}{\Delta t} \propto N$
चूंकि समय के साथ नाभिकों की संख्या $N$ घटती है,इसलिए $N$ के परिवर्तन की दर ऋणात्मक होती है। अतः,हम लिखते हैं:
$-\frac{dN}{dt} = \lambda N$
जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक या विघटन नियतांक है।
समाकलन के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dN}{N} = -\lambda dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{N_0}^{N} \frac{dN}{N} = -\int_{0}^{t} \lambda dt$
$\ln(N) - \ln(N_0) = -\lambda t$
$\ln\left(\frac{N}{N_0}\right) = -\lambda t$
दोनों पक्षों का घातांक (exponential) लेने पर:
$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$
यह रेडियोधर्मी क्षय का नियम है,जहाँ $N_0$,$t = 0$ पर नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है।

(N/A) ग्राफ से निम्नलिखित विशेषताएं देखी जा सकती हैं:
$(1)$ रेडियोधर्मी नमूने में अविघटित नाभिकों की संख्या समय के साथ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ के नियम के अनुसार चरघातांकीय (exponentially) रूप से घटती है। शुरुआत में विघटन तेजी से होता है और जैसे-जैसे समय बीतता है,विघटन की दर कम होती जाती है। इस ग्राफ को क्षय वक्र (decay curve) के रूप में जाना जाता है।
$(2)$ ग्राफ से विघटन की दर और अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ निर्धारित की जा सकती है।
$(3)$ यदि क्षय नियतांक $(\lambda)$ बड़ा है,तो विघटन की दर भी अधिक होती है।
$(4)$ रेडियोधर्मी पदार्थ के प्रकार की परवाह किए बिना,पूरे नमूने को पूरी तरह से क्षय होने में अनंत समय लगता है।

(N/A) रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,विघटन की दर इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$
यहाँ,$dN$ समय अंतराल $dt$ में क्षय होने वाले नाभिकों की संख्या है,$N$ समय $t$ पर उपस्थित अविघटित नाभिकों की संख्या है,और $\lambda$ क्षय नियतांक या रेडियोधर्मी नियतांक है।
$\lambda$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = -\frac{dN/dt}{N}$
परिभाषा: किसी दिए गए क्षण पर विघटन की तात्कालिक दर और उस समय उपस्थित अविघटित नाभिकों की संख्या के अनुपात को क्षय नियतांक कहा जाता है।
वैकल्पिक रूप से,इसे एक रेडियोधर्मी नाभिक के लिए प्रति इकाई समय में क्षय होने की प्रायिकता के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

(N/A) रेडियोधर्मी नमूने में प्रति इकाई समय में विघटित होने वाले नाभिकों की संख्या को क्षय दर या रेडियोधर्मिता $(R)$ कहा जाता है।
यदि रेडियोधर्मी नमूने में समय $t$ पर $N$ नाभिक हैं, तो विघटन की दर या सक्रियता $R$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$R = -\frac{dN}{dt}$
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि जैसे-जैसे समय बीतता है, रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या कम होती जाती है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम से, क्षय की दर उपस्थित नाभिकों की संख्या के समानुपाती होती है:
$-\frac{dN}{dt} = \lambda N$
इसलिए, $R = \lambda N$, जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है।
रेडियोधर्मिता की इकाइयाँ:
$1$. $SI$ इकाई बेकरेल $(Bq)$ है, जहाँ $1 \ Bq = 1 \ \text{विघटन प्रति सेकंड}$.
$2$. पुरानी इकाई क्यूरी $(Ci)$ है, जहाँ $1 \ Ci = 3.7 \times 10^{10} \ Bq$.

(N/A) एक्टिविटी के लिए $SI$ इकाई बेकरेल $(Bq)$ है,जिसका नाम रेडियोएक्टिविटी के खोजकर्ता हेनरी बेकरेल के नाम पर रखा गया है।
$(i)$ बेकरेल $(Bq)$: किसी पदार्थ की वह एक्टिविटी जिसमें प्रति सेकंड $1$ विघटन (disintegration) होता है,उसे $1$ बेकरेल $(Bq)$ कहा जाता है। $\therefore 1 \text{ } Bq = 1 \text{ decay/s}$.
$(ii)$ क्यूरी $(Ci)$: किसी पदार्थ की वह एक्टिविटी जिसमें प्रति सेकंड $3.7 \times 10^{10}$ विघटन होते हैं,उसे $1$ क्यूरी $(Ci)$ कहा जाता है। $\therefore 1 \text{ } Ci = 3.7 \times 10^{10} \text{ decay/s}$. व्यवहार में इसकी छोटी इकाइयों का उपयोग किया जाता है: $1 \text{ } mCi = 3.7 \times 10^{7} \text{ decay/s} = 10^{-3} \text{ } Ci$ और $1 \text{ } \mu Ci = 3.7 \times 10^{4} \text{ decay/s} = 10^{-6} \text{ } Ci$. क्यूरी एक पुरानी प्रायोगिक इकाई है।
$(iii)$ रदरफोर्ड $(rd)$: इसे रेडियोधर्मी पदार्थ की उस मात्रा की एक्टिविटी के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें प्रति सेकंड $10^{6}$ (दस लाख) नाभिकों का विघटन होता है। $\therefore 1 \text{ } rd = 10^{6} \text{ decay/s}$.

(N/A) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु वह समय अंतराल है जिसके दौरान रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है।
मान लीजिए $t = 0$ पर नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है। एक अर्ध-आयु $T_{1/2}$ के बाद,नाभिकों की संख्या $N$ घटकर $N_0 / 2$ हो जाती है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार:
$N = N_0 e^{-\lambda t}$
$N = N_0 / 2$ और $t = T_{1/2}$ रखने पर:
$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$
$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\ln)$ लेने पर:
$\ln(1/2) = -\lambda T_{1/2}$
$-\ln(2) = -\lambda T_{1/2}$
$\ln(2) = \lambda T_{1/2}$
चूंकि $\ln(2) \approx 0.693$:
$0.693 = \lambda T_{1/2}$
अतः,संबंध इस प्रकार है:
$T_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$
इस प्रकार,किसी रेडियोधर्मी तत्व की अर्ध-आयु उसके क्षय नियतांक $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है और यह नमूने में मौजूद नाभिकों की संख्या पर निर्भर नहीं करती है।

(N/A) रेडियोधर्मी नमूने का औसत जीवनकाल सभी व्यक्तिगत नाभिकों के जीवनकाल के योग को प्रारंभ में उपस्थित कुल नाभिकों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,यह वह समय अंतराल है जिसके दौरान किसी रेडियोधर्मी तत्व के नाभिकों की संख्या उसकी मूल संख्या का $1/e$ गुना हो जाती है।
मान लीजिए $\tau$ औसत जीवनकाल है। औसत जीवनकाल और क्षय स्थिरांक $\lambda$ के बीच संबंध इस प्रकार प्राप्त किया जाता है:
रेडियोधर्मी क्षय के नियम से,$N = N_0 e^{-\lambda t}$।
$dt$ समय में क्षय होने वाले नाभिकों की संख्या $dN = \lambda N_0 e^{-\lambda t} dt$ है।
सभी $N_0$ नाभिकों का कुल जीवनकाल $\int_{0}^{\infty} t dN = \int_{0}^{\infty} t (\lambda N_0 e^{-\lambda t}) dt$ है।
अतः,$\tau = \frac{1}{N_0} \int_{0}^{\infty} t \lambda N_0 e^{-\lambda t} dt = \lambda \int_{0}^{\infty} t e^{-\lambda t} dt$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int_{0}^{\infty} t e^{-\lambda t} dt = \frac{1}{\lambda^2}$।
इसलिए,$\tau = \lambda \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda}$।
चूंकि अर्ध-आयु $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ होती है,इसलिए $\tau = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \approx 1.44 T_{1/2}$ प्राप्त होता है।

(N/A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम बताता है कि किसी भी क्षण रेडियोधर्मी पदार्थ के विघटन की दर उस क्षण नमूने में मौजूद रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या के सीधे आनुपातिक होती है।
गणितीय रूप से,यदि समय $t$ पर रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N$ है,तो क्षय की दर इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$
जहाँ:
$1$. $\frac{dN}{dt}$ क्षय की दर (प्रति इकाई समय में विघटन) है।
$2$. $\lambda$ रेडियोधर्मी पदार्थ का क्षय नियतांक (या विघटन नियतांक) है।
$3$. ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि समय के साथ रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या कम होती जाती है।
इस समीकरण का समाकलन करने पर रेडियोधर्मी क्षय का नियम प्राप्त होता है: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$,जहाँ $N_0$,$t = 0$ पर नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम बताता है कि किसी भी समय $t$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या $N$ को घातांकीय क्षय समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है:
$N = N_0 e^{-\lambda t}$
जहाँ:
$N_0$ समय $t = 0$ पर रेडियोधर्मी नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है।
$N$ समय $t$ पर शेष बचे नाभिकों की संख्या है।
$\lambda$ क्षय नियतांक (या विघटन नियतांक) है।
$t$ बीता हुआ समय है।

(D) रेडियोधर्मी क्षय वक्र समय $t$ के सापेक्ष शेष नाभिकों की संख्या $N(t)$ का ग्राफ है। इस वक्र से हम निम्नलिखित जानकारी प्राप्त कर सकते हैं:
$1$. अर्ध-आयु $(T_{1/2})$: वह समय जब नाभिकों की संख्या प्रारंभिक संख्या की आधी हो जाती है।
$2$. क्षय नियतांक $(\lambda)$: इसे वक्र की ढाल से या अर्ध-आयु के संबंध $T_{1/2} = 0.693 / \lambda$ का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।
$3$. माध्य आयु $(\tau)$: इसे $\tau = 1 / \lambda$ संबंध द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(N/A) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ का क्षय नियतांक $(\lambda)$ उस समय के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसके दौरान रेडियोधर्मी पदार्थ के परमाणुओं की संख्या अपने प्रारंभिक मान की $1/e$ (लगभग $36.8\%$) तक कम हो जाती है।
वैकल्पिक रूप से, यह एक रेडियोधर्मी नाभिक के लिए प्रति इकाई समय में क्षय होने की प्रायिकता है।
गणितीय रूप से, इसे $dN/dt = -\lambda N$ संबंध द्वारा दिया जाता है, जहाँ $dN/dt$ क्षय की दर है और $N$ उस क्षण उपस्थित रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या है।
क्षय नियतांक का $SI$ मात्रक $\text{s}^{-1}$ (प्रति सेकंड) है।

(N/A) रेडियोएक्टिविटी का $SI$ मात्रक $Becquerel$ $(Bq)$ है।
एक $Becquerel$ को रेडियोधर्मी पदार्थ की उस मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें प्रति सेकंड एक नाभिक का क्षय (decay) होता है।
गणितीय रूप से, $1 \ Bq = 1 \ \text{disintegration per second} = 1 \ s^{-1}$।

(N/A) परिभाषा: किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ वह समय अंतराल है जिसके दौरान किसी दिए गए नमूने में रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है।
सूत्र: अर्ध-आयु और क्षय नियतांक $(\lambda)$ के बीच संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$
जहाँ:
$T_{1/2}$ अर्ध-आयु है,
$\lambda$ रेडियोधर्मी क्षय नियतांक है।

(N/A) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की औसत आयु (mean life) को सभी रेडियोधर्मी नाभिकों के कुल जीवनकाल और प्रारंभ में उपस्थित कुल रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, यह क्षय नियतांक $(\lambda)$ का व्युत्क्रम होता है।
यदि $N_0$ नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है, तो औसत आयु $(\tau)$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$\tau = \frac{1}{\lambda}$
यह अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ से निम्नलिखित संबंध द्वारा भी संबंधित है:
$\tau = \frac{T_{1/2}}{0.693} \approx 1.44 \times T_{1/2}$

(N/A) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है।
किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की औसत आयु $(\tau)$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = \frac{1}{\lambda}$।
अर्ध-आयु के सूत्र में $\lambda = \frac{1}{\tau}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T_{1/2} = 0.693 \times \tau$ या $T_{1/2} = \ln(2) \tau$।

(N/A) औसत आयु (या माध्य आयु),जिसे $\tau$ द्वारा दर्शाया जाता है,को सभी रेडियोधर्मी नाभिकों के कुल जीवनकाल और प्रारंभ में मौजूद नाभिकों की कुल संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,औसत आयु $\tau$ और क्षय नियतांक $\lambda$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\tau = \frac{1}{\lambda}$
जहाँ $\lambda$ रेडियोधर्मी पदार्थ का क्षय नियतांक है।

(N/A) रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,क्षय दर $R$ (या सक्रियता) को इस प्रकार दिया जाता है:
$R = \lambda N$
जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ सक्रिय नाभिकों की संख्या है।
यदि हम नाभिकों की संख्या में परिवर्तन की दर पर विचार करें,तो यह है:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$
इसकी तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = \frac{dN}{dt}$,$m = -\lambda$,$x = N$,और $c = 0$ है:
क्षय दर $(\frac{dN}{dt})$ बनाम सक्रिय नाभिकों की संख्या $(N)$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है जिसका ढाल $-\lambda$ है।
चूंकि $N$ हमेशा धनात्मक होता है और $\frac{dN}{dt}$ ऋणात्मक होता है,इसलिए ग्राफ $4^{\text{थे}}$ चतुर्थांश में स्थित होता है।

(B) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $I = I_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है। माध्य-आयु $\tau$ को $\tau = \frac{1}{\lambda}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिए गए चित्र से,किसी भी समय $t_0$ पर,नमूने $B$ की सक्रियता $(I_B)$ नमूने $A$ की सक्रियता $(I_A)$ से कम है,अर्थात $I_B < I_A$ है।
चूंकि दोनों नमूने समान प्रारंभिक सक्रियता $I_0$ से शुरू होते हैं,हमारे पास है:
$I_A = I_0 e^{-\lambda_A t_0}$
$I_B = I_0 e^{-\lambda_B t_0}$
$I_B < I_A$ दिया गया है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $e^{-\lambda_B t_0} < e^{-\lambda_A t_0}$ है।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$-\lambda_B t_0 < -\lambda_A t_0$
$\lambda_B > \lambda_A$
चूंकि माध्य-आयु $\tau$ क्षय स्थिरांक $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(\tau = \frac{1}{\lambda})$,इसलिए बड़ा क्षय स्थिरांक कम माध्य-आयु को दर्शाता है।
अतः,$\tau_B < \tau_A$ है।
इस प्रकार,नमूने $B$ की माध्य-आयु कम है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $I = I_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ समय $t$ पर सक्रियता है,$I_0$ प्रारंभिक सक्रियता है,और $\lambda$ क्षय नियतांक है।
यहाँ $I = 12$ विघटन/मिनट/ग्राम,$I_0 = 16$ विघटन/मिनट/ग्राम,और $T_{1/2} = 5760$ वर्ष है।
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5760} \text{ वर्ष}^{-1}$ है।
क्षय समीकरण में मान रखने पर:
$12 = 16 e^{-\lambda t}$
$\frac{12}{16} = e^{-\lambda t} \implies 0.75 = e^{-\lambda t}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(0.75) = -\lambda t$
$t = -\frac{\ln(0.75)}{\lambda} = -\frac{\ln(0.75) \times 5760}{0.693}$
चूंकि $\ln(0.75) \approx -0.2877$:
$t = \frac{0.2877 \times 5760}{0.693} \approx 2391 \text{ वर्ष}$।
अतः,पेड़ लगभग $2391$ वर्ष पहले मर गया था।

(N/A) $(i)$ इस मामले में, $R$ बनाम $t$ का ग्राफ चित्र में दिखाए अनुसार एक चरघातांकीय क्षय वक्र (exponential decay curve) है。
समय $t = 0$ पर, $R_0 = 100 \text{ MBq}$.
अर्ध-आयु $\tau_{1/2}$ वह समय है जब सक्रियता अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है, अर्थात $R = \frac{R_0}{2} = 50 \text{ MBq}$.
ग्राफ से, $R = 50 \text{ MBq}$ पर, संबंधित समय $t = 0.66 \text{ h}$ है。
अतः, अर्ध-आयु $\tau_{1/2} = 0.66 \text{ h} = 0.66 \times 60 \text{ min} = 39.6 \text{ min} \approx 40 \text{ min}$.
$(ii)$ रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार, $R = R_0 e^{-\lambda t}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln \left( \frac{R}{R_0} \right) = -\lambda t$.
यह एक सीधी रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है जहाँ $y = \ln \left( \frac{R}{R_0} \right)$, $x = t$, ढाल $m = -\lambda$ और अंतःखंड $c = 0$ है。
इस ग्राफ की ढाल $-\lambda$ है। डेटा बिंदुओं से ढाल की गणना करने पर, हमें $\lambda \approx 1.05 \text{ h}^{-1}$ प्राप्त होता है。
संबंध $\tau_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{1.05} \approx 0.66 \text{ h}$ का उपयोग करने पर।

(A) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की गतिज ऊर्जा का पालन करता है,जो समीकरण $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि $t$ समय के बाद शेष अंश $\frac{N(t)}{N_0} = \frac{9}{16}$ है,इसलिए $e^{-\lambda t} = \frac{9}{16}$ है।
हमें $\frac{t}{2}$ समय के बाद शेष बचा अंश $\frac{N(t/2)}{N_0}$ ज्ञात करना है।
$\frac{t}{2}$ समय के लिए क्षय समीकरण का उपयोग करने पर: $\frac{N(t/2)}{N_0} = e^{-\lambda (t/2)} = (e^{-\lambda t})^{1/2}$।
ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{N(t/2)}{N_0} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$।

(A) जब एक रेडियोधर्मी नाभिक $\lambda_1$ और $\lambda_2$ क्षय नियतांकों वाली दो अलग-अलग प्रक्रियाओं द्वारा क्षयित होता है,तो कुल क्षय नियतांक $\lambda_{\text{eff}} = \lambda_1 + \lambda_2$ होता है।
चूंकि क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ होता है,इसलिए अर्ध-आयु के लिए संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{\ln 2}{T_{\text{eff}}} = \frac{\ln 2}{T_1} + \frac{\ln 2}{T_2}$
$\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$
यहाँ $T_1 = 10 \ s$ और $T_2 = 100 \ s$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{100} = \frac{10 + 1}{100} = \frac{11}{100}$
$T_{\text{eff}} = \frac{100}{11} \approx 9.09 \ s$
अतः,प्रभावी अर्ध-आयु $9 \ s$ के निकट है।

(B) एक रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $R = R_{0} e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln R = \ln R_{0} - \lambda t$ प्राप्त होता है।
यह एक सीधी रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है,जहाँ ढाल $m = -\lambda$ है।
ग्राफ से,प्रत्येक पदार्थ के लिए ढाल $\lambda$ इस प्रकार है:
$A$ के लिए: $\lambda_{A} = \frac{6 - 0}{10 - 0} = 0.6 = \frac{3}{5}$.
$B$ के लिए: $\lambda_{B} = \frac{4 - 0}{5 - 0} = 0.8 = \frac{4}{5}$.
$C$ के लिए: $\lambda_{C} = \frac{2 - 0}{5 - 0} = 0.4 = \frac{2}{5}$.
अर्ध-आयु $T_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$T_{\frac{1}{2}}(A) : T_{\frac{1}{2}}(B) : T_{\frac{1}{2}}(C) = \frac{1}{\lambda_{A}} : \frac{1}{\lambda_{B}} : \frac{1}{\lambda_{C}} = \frac{5}{3} : \frac{5}{4} : \frac{5}{2}$.
हरों के लघुत्तम समापवर्त्य $(12)$ से गुणा करने पर,हमें $20 : 15 : 30$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4 : 3 : 6$ हो जाता है।

(B) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $(A)$ को क्षय की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो सूत्र $A = \lambda N$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\lambda$ क्षय नियतांक है,जो अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ से इस प्रकार संबंधित है: $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$।
दिया गया है:
नाभिकों की संख्या $(N)$ = $2.0 \times 10^{21}$
अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ = $1.4 \times 10^{17} \; s$
इन मानों को सक्रियता के सूत्र में रखने पर:
$A = N \times \frac{0.693}{T_{1/2}}$
$A = (2.0 \times 10^{21}) \times \frac{0.693}{1.4 \times 10^{17}}$
$A = \frac{1.386}{1.4} \times 10^{4}$
$A \approx 0.99 \times 10^{4} \; Bq$
$A \approx 10^{4} \; Bq$.

(B) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_{0} (1/2)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t_{1}$ पर,$1/3$ भाग क्षय हो चुका है,इसलिए शेष मात्रा $N_{1} = N_{0} - (1/3)N_{0} = (2/3)N_{0}$ है।
समय $t_{2}$ पर,$2/3$ भाग क्षय हो चुका है,इसलिए शेष मात्रा $N_{2} = N_{0} - (2/3)N_{0} = (1/3)N_{0}$ है।
अनुपात लेने पर: $N_{2}/N_{1} = [(1/3)N_{0}] / [(2/3)N_{0}] = 1/2$.
हम जानते हैं कि $N_{2}/N_{1} = (1/2)^{(t_{2}-t_{1})/T_{1/2}}$,इसलिए $(1/2)^{1} = (1/2)^{(t_{2}-t_{1})/20}$.
घातांकों की तुलना करने पर,$(t_{2}-t_{1})/20 = 1$,जिससे $t_{2}-t_{1} = 20 \ min$ प्राप्त होता है।

(A) क्षय नियतांक $\lambda$ इस प्रकार है: $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{69.3} = 0.01 \text{ hr}^{-1}$.
मान लीजिए $t = 0$ पर सक्रिय नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
$t = 10 \text{ hr}$ पर सक्रिय नाभिकों की संख्या $N_1 = N_0 e^{-10\lambda}$ है।
$t = 11 \text{ hr}$ पर सक्रिय नाभिकों की संख्या $N_2 = N_0 e^{-11\lambda}$ है।
$t = 10 \text{ hr}$ और $t = 11 \text{ hr}$ के बीच क्षय हुए नाभिकों की संख्या $\Delta N = N_1 - N_2$ है।
$t = 10 \text{ hr}$ पर उपस्थित मात्रा के सापेक्ष क्षय का प्रतिशत:
$\% \text{ decay} = \left( \frac{N_1 - N_2}{N_1} \right) \times 100$
$= \left( 1 - \frac{N_2}{N_1} \right) \times 100$
$= \left( 1 - \frac{N_0 e^{-11\lambda}}{N_0 e^{-10\lambda}} \right) \times 100$
$= (1 - e^{-\lambda}) \times 100$
चूंकि $\lambda = 0.01$,इसलिए $e^{-\lambda} = e^{-0.01} \approx 1 - 0.01 = 0.99$.
$\% \text{ decay} = (1 - 0.99) \times 100 = 0.01 \times 100 = 1 \%$.

(C) क्षय की दर रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $-\frac{dN}{dt} = \lambda N$.
$1$ वर्ष के छोटे समय अंतराल $dt = 1$ के लिए,क्षयित नाभिकों की संख्या $\Delta N \approx \lambda N \Delta t$ है।
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ है।
$\ln 2 \approx 0.7$ और $T_{1/2} = 10^{33}$ वर्ष का उपयोग करने पर:
$\Delta N = \frac{0.7}{10^{33}} \times (26 \times 10^{24}) \times 1$.
$\Delta N = 0.7 \times 26 \times 10^{-9} = 18.2 \times 10^{-9}$.
प्रश्न में दिए गए प्रारूप के अनुसार,उत्तर $18.2 \times 10^{-7}$ के रूप में $18.2$ है।

(A) $n$ अर्ध-आयु के बाद शेष पदार्थ की मात्रा $N = N_0 (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है।
यदि तत्व का $99 \%$ भाग क्षयित हो जाता है,तो शेष मात्रा $100 \% - 99 \% = 1 \%$ होगी।
अतः,$N/N_0 = 1/100 = 0.01$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $0.01 = (1/2)^n$,जिसका अर्थ है $2^n = 100$।
हम जानते हैं कि $2^6 = 64$ और $2^7 = 128$ होता है।
चूंकि $64 < 100 < 128$,इसलिए $n$ का मान $6$ और $7$ के बीच स्थित है।
इस प्रकार,रेडियोधर्मी तत्व का $99 \%$ भाग $6$ और $7$ अर्ध-आयु के बीच क्षयित होगा।

(B) किसी भी समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $R$ रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $R(t) = R_0 e^{-\lambda t}$,जहाँ $R_0$ समय $t = 0$ पर प्रारंभिक सक्रियता है।
समय $t_1$ के लिए,सक्रियता $R_1 = R_0 e^{-\lambda t_1}$ है।
समय $t_2$ के लिए,सक्रियता $R_2 = R_0 e^{-\lambda t_2}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 e^{-\lambda t_1}}{R_0 e^{-\lambda t_2}} = e^{-\lambda t_1 + \lambda t_2} = e^{\lambda(t_2 - t_1)}$.
अतः,$R_1 = R_2 e^{\lambda(t_2 - t_1)}$।

(C) जब एक रेडियोधर्मी नमूना दो स्वतंत्र क्षय प्रक्रियाओं से गुजरता है,तो कुल क्षय स्थिरांक $\lambda_{eq} = \lambda_1 + \lambda_2$ होता है।
क्षय स्थिरांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T_{1/2}$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ है।
अतः,$\frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{T_{1/2}^{(1)}} + \frac{\ln 2}{T_{1/2}^{(2)}}$ लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों को $\ln 2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{T_{1/2}} = \frac{1}{T_{1/2}^{(1)}} + \frac{1}{T_{1/2}^{(2)}}$।
इसे $T_{1/2}$ के लिए हल करने पर:
$T_{1/2} = \frac{T_{1/2}^{(1)} T_{1/2}^{(2)}}{T_{1/2}^{(1)} + T_{1/2}^{(2)}}$।

(B) सक्रियता $A$ को $A = \lambda N$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ है।
सबसे पहले, अर्ध-आयु को सेकंड में बदलें: $T_{1/2} = 2.7 \times 24 \times 3600 \, s = 233280 \, s$।
परमाणुओं की संख्या $N$ का मान $N = \frac{m}{M} \times N_A = \frac{1.5 \times 10^{-3} \, g}{198 \, g/mol} \times 6 \times 10^{23} \, mol^{-1} \approx 4.545 \times 10^{18} \, atoms$ है।
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{0.693}{233280 \, s} \approx 2.97 \times 10^{-6} \, s^{-1}$।
सक्रियता $A = \lambda N = (2.97 \times 10^{-6} \, s^{-1}) \times (4.545 \times 10^{18}) \approx 1.35 \times 10^{13} \, Bq$।
चूँकि $1 \, Ci = 3.7 \times 10^{10} \, Bq$ होता है, इसलिए क्यूरी में सक्रियता $A = \frac{1.35 \times 10^{13}}{3.7 \times 10^{10}} \approx 365 \, Ci$ होगी।

(B) समय $t$ के बाद शेष पदार्थ की मात्रा $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
$33\%$ क्षय के लिए,शेष मात्रा $N_1 = N_0(1 - 0.33) = 0.67 N_0$ है। अतः,$0.67 = e^{-\lambda t_1}$,जिससे $t_1 = -\frac{1}{\lambda} \ln(0.67)$ प्राप्त होता है।
$67\%$ क्षय के लिए,शेष मात्रा $N_2 = N_0(1 - 0.67) = 0.33 N_0$ है। अतः,$0.33 = e^{-\lambda t_2}$,जिससे $t_2 = -\frac{1}{\lambda} \ln(0.33)$ प्राप्त होता है।
समय अंतराल $\Delta t = t_2 - t_1 = -\frac{1}{\lambda} (\ln(0.33) - \ln(0.67)) = \frac{1}{\lambda} \ln(\frac{0.67}{0.33})$ है।
चूंकि $\frac{0.67}{0.33} \approx 2.03 \approx 2$,इसलिए $\Delta t \approx \frac{\ln 2}{\lambda} = t_{1/2}$ है।
दिया गया है कि $t_{1/2} = 20\, minutes$,अतः समय अंतराल लगभग $20\, minutes$ है।

(C) मान लीजिए $X$ की अर्ध-आयु $T_{x} = t$ है और $Y$ की अर्ध-आयु $T_{y} = 2t$ है।
$Y$ की तीन अर्ध-आयु के बाद,व्यतीत समय $t_{total} = 3 \times T_{y} = 3 \times 2t = 6t$ है।
रेडियोधर्मी क्षय नियम $N(t) = N_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ का उपयोग करते हुए,$X$ और $Y$ के लिए शेष नाभिकों की संख्या है:
$N_{1}' = N_{1} \left(\frac{1}{2}\right)^{6t/t} = N_{1} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = \frac{N_{1}}{64}$
$N_{2}' = N_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{6t/2t} = N_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{N_{2}}{8}$
यह दिया गया है कि $N_{1}' = N_{2}'$,इसलिए:
$\frac{N_{1}}{64} = \frac{N_{2}}{8}$
$\frac{N_{1}}{N_{2}} = \frac{64}{8} = \frac{8}{1}$

(C) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A(t) = A_{0} e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
समय $t_{1}$ पर,$A = A_{0} e^{-\lambda t_{1}}$ ... $(i)$
समय $t_{2}$ पर,$\frac{A}{5} = A_{0} e^{-\lambda t_{2}}$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{A}{A/5} = \frac{A_{0} e^{-\lambda t_{1}}}{A_{0} e^{-\lambda t_{2}}}$
$5 = e^{\lambda(t_{2}-t_{1})}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln 5 = \lambda(t_{2}-t_{1})$
$\lambda = \frac{\ln 5}{t_{2}-t_{1}}$
औसत आयु $\tau$,क्षय नियतांक $\lambda$ का व्युत्क्रम है:
$\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{t_{2}-t_{1}}{\ln 5}$

(C) क्षय प्रक्रियाएं $A \xrightarrow{\lambda} B$ और $B \xrightarrow{\lambda} C$ हैं।
$B$ परमाणुओं की संख्या में परिवर्तन की दर है:
$\frac{dN_{B}}{dt} = \lambda N_{A} - \lambda N_{B}$
चूंकि $N_{A}(t) = N_{A}(0) e^{-\lambda t}$ और $N_{A}(0) = 2 N_{B}(0)$, इसलिए $N_{A}(t) = 2 N_{B}(0) e^{-\lambda t}$ है।
इसे दर समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dN_{B}}{dt} = \lambda (2 N_{B}(0) e^{-\lambda t}) - \lambda N_{B}$
$\frac{dN_{B}}{dt} + \lambda N_{B} = 2 \lambda N_{B}(0) e^{-\lambda t}$
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है। समाकलन गुणक $e^{\lambda t}$ से गुणा करने पर:
$e^{\lambda t} \frac{dN_{B}}{dt} + \lambda N_{B} e^{\lambda t} = 2 \lambda N_{B}(0)$
$\frac{d}{dt} (N_{B} e^{\lambda t}) = 2 \lambda N_{B}(0)$
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$N_{B} e^{\lambda t} = 2 \lambda N_{B}(0) t + C$
$t=0$ पर, $N_{B} = N_{B}(0)$, इसलिए $C = N_{B}(0)$ है।
$N_{B} e^{\lambda t} = N_{B}(0) (1 + 2 \lambda t)$
$N_{B}(t) = N_{B}(0) (1 + 2 \lambda t) e^{-\lambda t}$
अतः, $\frac{N_{B}(t)}{N_{B}(0)} = (1 + 2 \lambda t) e^{-\lambda t}$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, $\frac{d}{dt} (\frac{N_{B}(t)}{N_{B}(0)}) = 0$ रखें:
$2 \lambda e^{-\lambda t} - \lambda (1 + 2 \lambda t) e^{-\lambda t} = 0$
$2 - 1 - 2 \lambda t = 0 \implies 1 = 2 \lambda t \implies t = \frac{1}{2 \lambda}$ है।
$t = \frac{1}{2 \lambda}$ पर, मान $(1 + 2 \lambda (\frac{1}{2 \lambda})) e^{-\lambda (\frac{1}{2 \lambda})} = 2 e^{-0.5} \approx 1.21$ है।
यह चित्र $C$ में दिखाए गए व्यवहार से मेल खाता है।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
नाभिकों की प्रारंभिक संख्या,$N_0 = 10^{10}$।
अर्ध-आयु,$T_{1/2} = 1 \text{ minute} = 60 \text{ seconds}$।
बीता हुआ समय,$t = 30 \text{ seconds}$।
मान रखने पर:
$N = 10^{10} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{30}{60}}$
$N = 10^{10} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2}$
$N = \frac{10^{10}}{\sqrt{2}}$
$\sqrt{2} \approx 1.414$ का उपयोग करने पर:
$N = \frac{10^{10}}{1.414} \approx 7.07 \times 10^9 \approx 7 \times 10^9$।

(B) दिया गया है कि $x$ की अर्ध-आयु $y$ के माध्य जीवनकाल के बराबर है:
$(t_{1/2})_x = (\tau)_y$
चूंकि $(t_{1/2})_x = \frac{\ln 2}{\lambda_x}$ और $(\tau)_y = \frac{1}{\lambda_y}$,इसलिए:
$\frac{\ln 2}{\lambda_x} = \frac{1}{\lambda_y} \Rightarrow \lambda_x = \lambda_y \ln 2 \approx 0.693 \lambda_y$.
इसका अर्थ है कि $\lambda_x < \lambda_y$.
प्रारंभ में,परमाणुओं की संख्या समान है: $N_x = N_y = N_0$.
क्षय दर (सक्रियता) $A = \lambda N$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\lambda_x < \lambda_y$ और $N_x = N_y$,इसलिए $A_x < A_y$ होगा।
अतः,तत्व $y$,तत्व $x$ की तुलना में तेजी से क्षय होगा।

(B) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ सूत्र $A = A_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{H}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A_{0}$ प्रारंभिक सक्रियता है और $T_{H}$ अर्ध-आयु है।
यहाँ $T_{H} = 100 \, hours$ और $t = 150 \, hours$ दिया गया है।
शेष सक्रियता का अंश $\frac{A}{A_{0}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{150/100}$ है।
इसे सरल करने पर $\left(\frac{1}{2}\right)^{1.5} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3/2} = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई अर्ध-आयु $T_1 = 1400 \, \text{वर्ष}$ और $T_2 = 700 \, \text{वर्ष}$ है।
क्षय नियतांक $\lambda_1 = \frac{\ln 2}{1400} \, year^{-1}$ और $\lambda_2 = \frac{\ln 2}{700} \, year^{-1}$ हैं।
कुल क्षय नियतांक $\lambda_{net} = \lambda_1 + \lambda_2 = \ln 2 \left( \frac{1}{1400} + \frac{1}{700} \right) = \ln 2 \left( \frac{1+2}{1400} \right) = \frac{3 \ln 2}{1400} \, year^{-1}$ है।
मान लीजिए कि नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है। हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $N(t) = \frac{N_0}{3}$ हो।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda_{net} t}$ का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है $\frac{N_0}{3} = N_0 e^{-\lambda_{net} t}$।
$\frac{1}{3} = e^{-\lambda_{net} t} \implies \ln(3) = \lambda_{net} t$।
मान रखने पर: $1.1 = \left( \frac{3 \times 0.693}{1400} \right) t$।
$t = \frac{1.1 \times 1400}{3 \times 0.693} \approx \frac{1540}{2.079} \approx 740.7 \, \text{वर्ष}$।
अतः, समय लगभग $740 \, \text{वर्ष}$ है।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $R = R_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln R = \ln R_0 - \lambda t$ प्राप्त होता है।
यह एक सीधी रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है,जहाँ ढाल $m = -\lambda$ है।
ग्राफ से,रेखा $(0, 6)$ और $(40, 0)$ बिंदुओं से होकर गुजरती है।
अतः ढाल $= \frac{0 - 6}{40 - 0} = -\frac{6}{40} = -0.15$ है।
इस प्रकार,$-\lambda = -0.15$,जिससे क्षय नियतांक $\lambda = 0.15 \, \text{sec}^{-1}$ प्राप्त होता है।
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{0.15} = 4.62 \, \text{sec}$ है।