Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Gujarati

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_0$ એ શરૂઆતની પરમાણુઓની સંખ્યા છે,$N$ એ બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા છે,$t$ એ વીતેલો સમય છે અને $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય સમય છે.
આપેલ છે: $N_0 = 8 \times 10^4$,$N = 1 \times 10^4$,અને $T = 3 \ years$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1 \times 10^4 = 8 \times 10^4 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/3}$
$\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/3}$
કારણ કે $\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^3$,તેથી:
$\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/3}$
ઘાતની સરખામણી કરતા:
$3 = \frac{t}{3}$
$t = 9 \ years$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાના બાકી રહેલા ભાગ માટેનું સૂત્ર $\frac{N}{N_0} = (1/2)^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
અહીં,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1600$ વર્ષ અને કુલ સમય $t = 6400$ વર્ષ આપેલ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{6400}{1600} = 4$ થાય.
તેથી,બાકી રહેલો ભાગ $\frac{N}{N_0} = (1/2)^4 = \frac{1}{16}$ મળે.

(C) અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ અને સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tau = \frac{T_{1/2}}{\ln(2)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T_{1/2} = 1600$ વર્ષ આપેલ છે.
$\ln(2) \approx 0.693$ લેતા, $\tau = \frac{1600}{0.693}$ મળે છે.
આ કિંમતની ગણતરી કરતા, $\tau \approx 2308.8$ વર્ષ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $2319$ વર્ષ છે.

(D) $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા કિરણોત્સર્ગી પરમાણુઓનો અંશ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 5$ છે,તેથી બાકી રહેલો અંશ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$ છે.
ટકાવારી શોધવા માટે,આપણે અંશને $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
ટકાવારી $= \frac{1}{32} \times 100 = 3.125\%$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $t$ સમય પછી બાકી રહેલા કિરણોત્સર્ગી પરમાણુઓની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $N_t = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ છે,જ્યાં $N_0$ એ પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા છે,$t$ એ વીતેલો સમય છે અને $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે:
પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_0 = 50,000$
વીતેલો સમય $t = 10 \text{ દિવસ}$
અર્ધ-આયુષ્ય $T = 5 \text{ દિવસ}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$N_t = 50,000 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{10/5}$
$N_t = 50,000 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2$
$N_t = 50,000 \times \frac{1}{4}$
$N_t = 12,500$
તેથી,$10$ દિવસ પછી બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $12,500$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય સમય છે.
આપેલ છે કે રેડિયોએક્ટિવિટી $t = 30 \, s$ માં તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $1/64$ ભાગ સુધી ઘટી જાય છે,તેથી $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{64}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^{30/T}$.
કારણ કે $64 = 2^6$,આપણે લખી શકીએ કે $\left( \frac{1}{2} \right)^6 = \left( \frac{1}{2} \right)^{30/T}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $6 = \frac{30}{T}$.
તેથી,$T = \frac{30}{6} = 5 \, s$.

(C) ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,ક્ષયનો દર તે ક્ષણે હાજર રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\lambda$ એ એક ન્યુક્લિયસ માટે એકમ સમય દીઠ ક્ષય થવાની સંભાવના દર્શાવે છે.
આ સંભાવના ચોક્કસ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ માટે અચળ મૂલ્ય છે અને તે સમય અથવા નમૂનાની ઉંમર સાથે બદલાતી નથી.
તેથી,$\lambda$ એ પરમાણુઓની ઉંમરથી સ્વતંત્ર છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું સરેરાશ આયુષ્ય $T$ (જેને $\tau$ તરીકે પણ દર્શાવવામાં આવે છે) એ ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$T = \frac{1}{\lambda}$.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $T\lambda = 1$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $T\lambda = 1$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો $t$ સમય પછી બાકી રહેતો અંશ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$,જ્યાં $n = \frac{t}{T}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
અહીં $t = \frac{T}{2}$ આપેલ છે,તેથી અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{T/2}{T} = \frac{1}{2}$ થશે.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ એ સમય છે જે દરમિયાન અડધા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસનું ક્ષય થાય છે.
તેનું સૂત્ર છે: $T_{1/2} = \frac{ln 2}{\lambda} = \frac{log_e 2}{\lambda}$.
સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau)$ એ ક્ષય અચળાંકના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેનું સૂત્ર છે: $\tau = \frac{1}{\lambda}$.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્ય અને સરેરાશ આયુષ્ય અનુક્રમે $\frac{log_e 2}{\lambda}$ અને $\frac{1}{\lambda}$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N(t)$ એ બાકી રહેલું દળ છે,$N_0$ એ પ્રારંભિક દળ છે,$t$ એ વીતેલો સમય છે અને $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે $\frac{N(t)}{N_0} = \frac{1}{32}$ અને $t = 60\, days$.
આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{32} = \left( \frac{1}{2} \right)^5$.
તેથી,$\left( \frac{1}{2} \right)^5 = \left( \frac{1}{2} \right)^{60/T}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,આપણને $5 = \frac{60}{T}$ મળે છે.
$T$ માટે ઉકેલતા,આપણને $T = \frac{60}{5} = 12\, days$ મળે છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ બાકી રહેલો જથ્થો છે,$N_0$ એ પ્રારંભિક જથ્થો છે,$t$ એ વીતેલો સમય છે અને $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે નમૂનાનો $(7/8)$ ભાગ ક્ષય પામે છે,તેથી બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0 - \frac{7}{8}N_0 = \frac{1}{8}N_0$ થશે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{8}N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/5}$.
આને સાદું રૂપ આપતા $\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/5}$ મળે છે.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,$3 = t/5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = 15 \ days$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ તત્વનું અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ એટલે કે નમૂનામાં રહેલા અડધા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસનું ક્ષય થવા માટે લાગતો સમય.
ક્ષય અચળાંક $(\lambda)$ એ રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે અને તે તાપમાન, દબાણ અથવા પદાર્થના પ્રારંભિક જથ્થા જેવી બાહ્ય ભૌતિક પરિસ્થિતિઓથી સ્વતંત્ર છે.
આમ, $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ હોવાથી, અર્ધ-આયુષ્ય માત્ર ક્ષય અચળાંક પર આધાર રાખે છે, જે રેડિયોએક્ટિવ તત્વની પ્રકૃતિ દ્વારા નક્કી થાય છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(T_{1/2})$ અને ક્ષય અચળાંક $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0.6931}{\lambda}$.
આપેલ ક્ષય અચળાંક $\lambda = 4.28 \times 10^{-4} \text{ year}^{-1}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$T_{1/2} = \frac{0.6931}{4.28 \times 10^{-4}} \text{ years}$.
$T_{1/2} = \frac{0.6931}{4.28} \times 10^{4} \text{ years}$.
$T_{1/2} \approx 0.161939 \times 10^{4} \text{ years}$.
$T_{1/2} \approx 1619.39 \text{ years}$.
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં લેતા,આપણને $1620 \text{ years}$ મળે છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો પ્રારંભિક જથ્થો $N_0 = 16\, g$ છે.
પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 2\, \text{દિવસ}$ છે.
કુલ વીતેલો સમય $t = 32\, \text{દિવસ}$ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{32}{2} = 16$ થશે.
બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો જથ્થો $N$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $N = 16 \times (\frac{1}{2})^{16} = 2^4 \times (\frac{1}{2})^{16} = (\frac{1}{2})^{12}$ મળે.
આમ, $(\frac{1}{2})^{12} = \frac{1}{4096}\, g \approx 0.244\, mg$ થાય.
તેથી, બાકી રહેલો જથ્થો $1\, mg$ કરતા ઓછો છે.

(C) રેડિયો-આઈસોટોપનું અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 5$ વર્ષ છે.
કુલ સમયગાળો $t = 15$ વર્ષ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = t / T_{1/2} = 15 / 5 = 3$ થાય.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા પરમાણુઓનો અંશ $N/N_0 = (1/2)^n$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$N/N_0 = (1/2)^3 = 1/8$ મળે.
ક્ષય પામેલા પરમાણુઓનો અંશ $1 - N/N_0$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,ક્ષય પામેલો અંશ $= 1 - 1/8 = 7/8$ થાય.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N(t)$ એ $t$ સમયે બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે,$N_0$ એ શરૂઆતની સંખ્યા છે અને $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
બધા જ ન્યુક્લિયસનું વિઘટન થાય તે માટે,આપણે $N(t) = 0$ ની જરૂર પડે.
$N_0 e^{-\lambda t} = 0$ લેતા,આપણે જાણીએ છીએ કે આ સ્થિતિ માત્ર $t \to \infty$ હોય ત્યારે જ સંતોષાય છે.
ક્ષય પ્રક્રિયા ઘાતાંકીય હોવાથી,ન્યુક્લિયસની સંખ્યા શૂન્યની નજીક પહોંચે છે પરંતુ કોઈ નિશ્ચિત સમયમાં તે ક્યારેય શૂન્ય થતી નથી.
તેથી,બધા જ ન્યુક્લિયસના વિઘટન માટે લાગતો સમય સૈદ્ધાંતિક રીતે અનંત છે,જેનો અર્થ છે કે તે અનિશ્ચિત છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ નીચે મુજબ છે: $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$,જ્યાં $N$ એ બાકી રહેલો જથ્થો છે,$N_0$ એ પ્રારંભિક જથ્થો છે,$t$ એ વીતેલો સમય છે અને $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે: $N_0 = 16 \, g$,$N = 1 \, g$,અને $T_{1/2} = 140 \, days$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/140}$.
કારણ કે $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4$,તેથી $\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/140}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $4 = \frac{t}{140}$.
તેથી,$t = 4 \times 140 = 560 \, days$.

(B) ક્ષયનો દર $R$ એ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $R = \frac{dN}{dt} \propto N$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક દર $R_1 = 200$ કણો/સેકન્ડ અને $t = 3$ કલાક પછીનો અંતિમ દર $R_2 = 25$ કણો/સેકન્ડ છે.
દરનો ગુણોત્તર $\frac{R_2}{R_1} = \frac{N_2}{N_1} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{25}{200} = \frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^3$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 3$ મળે છે.
કારણ કે $n = \frac{t}{T_{1/2}}$,તેથી $3 = \frac{3 \text{ કલાક}}{T_{1/2}}$.
તેથી,$T_{1/2} = 1$ કલાક.
$1$ કલાક = $60$ મિનિટ હોવાથી,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $60$ મિનિટ છે.

(D) અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(T_{1/2})$ અને ક્ષય અચળાંક $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$.
અહીં આપેલ ક્ષય અચળાંક $\lambda = 0.01 \ s^{-1}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$T_{1/2} = \frac{0.693}{0.01} = 69.3 \ s$.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $69.3 \ s$ છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય એ એક સ્વયંભૂ અને યાદચ્છિક (random) પ્રક્રિયા છે.
બે ક્રમિક ન્યુક્લિયસના ક્ષય વચ્ચે કોઈ નિશ્ચિત સમયગાળો હોતો નથી.
અર્ધ-આયુષ્ય એ નમૂનાના અડધા ભાગના ક્ષય માટેનો આંકડાકીય સરેરાશ સમય દર્શાવે છે,પરંતુ વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયસનો ક્ષય સંભાવના પર આધારિત છે.
તેથી,પછીનું ન્યુક્લિયસ વર્તમાન ન્યુક્લિયસના ક્ષય પછી કોઈપણ સમયે ક્ષય પામી શકે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ક્ષય પામેલા આઈસોટોપનો અંશ $\frac{7}{8}$ છે.
તેથી,ક્ષય પામ્યા વગર બાકી રહેલા આઈસોટોપનો અંશ $N/N_0 = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^{t/T}$,જ્યાં $T = 15 \, hrs$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{t/15}$.
કારણ કે $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$,તેથી $(\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^{t/15}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $3 = \frac{t}{15}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = 3 \times 15 = 45 \, hrs$.

(A) સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau)$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = \frac{T_{1/2}}{\ln(2)}$.
અહીં આપેલ છે કે $T_{1/2} = 10\, hours$ અને $\ln(2) \approx 0.6931$.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = \frac{10}{0.6931} \approx 14.427\, hours$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\tau = 14.4\, hours$ મળે છે.

(B) અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ એ સમય છે જે પદાર્થને તેના પ્રારંભિક દળના અડધા થવા માટે લાગે છે.
આપેલ છે કે $20 \, g$ પદાર્થ $4 \, \text{મિનિટમાં}$ $10 \, g$ થાય છે, તેથી અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 4 \, \text{મિનિટ}$.
આપણે રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ: $M = M_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}}$, જ્યાં $M$ અંતિમ દળ છે, $M_0$ પ્રારંભિક દળ છે, અને $t$ વીતેલો સમય છે.
કિંમતો $M = 10 \, g$, $M_0 = 80 \, g$, અને $T_{1/2} = 4 \, \text{મિનિટ}$ મૂકતા:
$10 = 80 \left( \frac{1}{2} \right)^{t / 4}$
$\frac{10}{80} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t / 4}$
$\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t / 4}$
કારણ કે $\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^3$, તેથી:
$\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t / 4}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $3 = \frac{t}{4}$
$t = 12 \, \text{મિનિટ}$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ બાકી રહેલો જથ્થો છે,$N_0$ એ પ્રારંભિક જથ્થો છે,$t$ એ વીતેલો સમય છે અને $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે: $N_0 = 16\, g$,$N = 1\, g$,અને $t = 2\, \text{કલાક}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$1 = 16 \left( \frac{1}{2} \right)^{2/T_{1/2}}$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2/T_{1/2}}$
$\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{2/T_{1/2}}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$4 = \frac{2}{T_{1/2}}$
$T_{1/2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\, \text{કલાક}$.

(D) રેડિયોએક્ટિવિટીને રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના વિઘટન દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
એક રધરફોર્ડ $(Rd)$ એટલે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો એવો જથ્થો જે પ્રતિ સેકન્ડ $10^6$ વિઘટન અનુભવે છે.
તેથી,$1 \ Rd = 1.0 \times 10^6 \text{ disintegrations/sec}$.
આ એકમનું નામ અર્નેસ્ટ રધરફોર્ડના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું મૂલ્ય $1.0 \times 10^6 \text{ disintegrations/sec}$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ નીચે મુજબ છે: $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$
આપેલ છે:
સમય $t = 2\, hours = 120\, minutes$
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 30\, minutes$
અંતિમ કાઉન્ટ રેટ $A = 5\, s^{-1}$
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{120}{30} = 4$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^4$
$5 = A_0 \left( \frac{1}{16} \right)$
$A_0 = 5 \times 16 = 80\, s^{-1}$
તેથી,પ્રારંભિક કાઉન્ટ રેટ $80\, s^{-1}$ હતો.

(B) $t$ સમય પછી બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 60\, minutes = 1\, hour$ છે.
કુલ સમય $t = 3\, hours$ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{3}{1} = 3$ છે.
બાકી રહેલા પરમાણુઓનો અંશ $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$ છે.
ક્ષય પામેલા પરમાણુઓનો અંશ $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ છે.
ટકાવારીમાં,આ $\frac{7}{8} \times 100 = 87.5\%$ થાય છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ કાર્બન ડેટિંગ એ એક પદ્ધતિ છે જેનો ઉપયોગ નમૂનામાં હાજર રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપ $C-14$ ની માત્રા માપીને કાર્બનિક પદાર્થોની ઉંમર નક્કી કરવા માટે થાય છે.
$C-14$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય આશરે $5730$ વર્ષ છે.
આ ચોક્કસ અર્ધ-આયુષ્યને કારણે,તે હજારો વર્ષ જૂની પુરાતત્વીય વસ્તુઓની ઉંમર નક્કી કરવા માટે વપરાતું પ્રમાણભૂત આઇસોટોપ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$, જ્યાં $N$ એ બાકી રહેલો જથ્થો છે, $N_0$ એ પ્રારંભિક જથ્થો છે, $t$ એ વીતેલો સમય છે અને $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ અને $t = 2 \, \text{કલાક}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2/T}$
કારણ કે $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4$, તેથી:
$\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{2/T}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$4 = \frac{2}{T}$
$T = \frac{2}{4} = 0.5 \, \text{કલાક}$.
મિનિટમાં રૂપાંતર કરતા: $0.5 \times 60 = 30 \, \text{મિનિટ}$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના ક્ષયનો દર રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$.
અહીં,આલ્ફા કણોના ઉત્સર્જનના દરનું મૂલ્ય $n = |\frac{dN}{dt}|$ તરીકે આપેલું છે.
તેથી,$n = \lambda N$.
આના પરથી,ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ની ગણતરી $\lambda = \frac{n}{N}$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2}$ એ ક્ષય અચળાંક સાથે $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$\lambda$ ની કિંમત અર્ધ-આયુષ્યના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $T_{1/2} = \frac{0.693}{n/N} = \frac{0.693 N}{n} \, s$ મળે છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સમય $t$ પરની એક્ટિવિટી છે,$A_0$ એ પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે અને $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે $t = 0$ પર $A_0 = 1600$ કાઉન્ટ્સ/સેકન્ડ અને $t = 8$ સેકન્ડ પર $A = 100$ કાઉન્ટ્સ/સેકન્ડ.
આ કિંમતો મૂકતા: $100 = 1600 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{8}{T_{1/2}}}$.
$\frac{100}{1600} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{8}{T_{1/2}}} \implies \frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{8}{T_{1/2}}}$.
કારણ કે $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$,તેથી $\frac{8}{T_{1/2}} = 4$,જે આપે છે $T_{1/2} = 2$ સેકન્ડ.
હવે,$t = 6$ સેકન્ડ પર કાઉન્ટિંગ રેટ શોધવા માટે:
$A = 1600 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{6}{2}} = 1600 \left( \frac{1}{2} \right)^3$.
$A = 1600 \times \frac{1}{8} = 200$ કાઉન્ટ્સ/સેકન્ડ.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ સમયે,બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા પ્રારંભિક સંખ્યા કરતા અડધી હોય છે,એટલે કે $N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$.
આ કિંમત ક્ષયના નિયમમાં મૂકતા: $\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$.
$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(1/2) = -\lambda T_{1/2}$.
$-\ln 2 = -\lambda T_{1/2}$.
તેથી,$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,અર્ધ-આયુષ્ય સમયે $t = T$,બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = \frac{N_0}{2}$ થાય છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T}$
$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T}$
$2 = e^{\lambda T}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\ln)$ લેતા:
$\ln(2) = \lambda T$
કારણ કે $\ln(2) \approx 0.693$,તેથી આપણને મળે છે:
$\lambda T = 0.693$.

(A) કુલ સમય $t$ માં અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $t = 20\, min$ અને $T_{1/2} = 5\, min$ આપેલ છે,તેથી $n = \frac{20}{5} = 4$ મળે.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $N/N_0 = (1/2)^n$ દ્વારા મળે છે.
$n = 4$ મૂકતા,$N/N_0 = (1/2)^4 = 1/16$ મળે.
ક્ષય પામેલા પદાર્થનો અંશ $1 - N/N_0 = 1 - 1/16 = 15/16$ થાય.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $(15/16) \times 100\% = 93.75\%$ ગણીએ છીએ.

(D) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $t = 12\, days$ અને $T_{1/2} = 4\, days$ છે.
તેથી,$n = \frac{12}{4} = 3$.
બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ એ $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_0 = 6.4 \times 10^{10}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $N = 6.4 \times 10^{10} \times (\frac{1}{2})^3$ મળે છે.
$N = 6.4 \times 10^{10} \times \frac{1}{8} = 0.8 \times 10^{10}$ પરમાણુઓ.

(A) ક્ષય અચળાંક $(\lambda)$ એ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર ન્યુક્લિયસના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે અને પરમાણુની રાસાયણિક સ્થિતિ કે ભૌતિક વાતાવરણથી સ્વતંત્ર છે.
રેડિયમ બ્રોમાઈડ એ રેડિયમના પરમાણુઓ ધરાવતું રાસાયણિક સંયોજન હોવાથી,સંયોજનમાં રહેલા રેડિયમ ન્યુક્લિયસ બદલાતા નથી.
તેથી,રેડિયમ બ્રોમાઈડનો ક્ષય અચળાંક શુદ્ધ રેડિયમ જેટલો જ એટલે કે $\lambda$ રહેશે.

(C) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $A$ માટે,$n_A = \frac{80}{20} = 4$.
પદાર્થ $B$ માટે,$n_B = \frac{80}{40} = 2$.
બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ દ્વારા મળે છે.
શરૂઆતની સંખ્યા $N_0$ સમાન હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{N_A}{N_B} = \frac{N_0 (1/2)^{n_A}}{N_0 (1/2)^{n_B}} = \frac{(1/2)^4}{(1/2)^2} = \frac{2^2}{2^4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ થશે.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 4$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2}$ એ ક્ષય અચળાંક $\lambda$ સાથે નીચેના સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે: $T_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$.
અહીં ક્ષય અચળાંક $\lambda = 1.07 \times 10^{-4} \text{ year}^{-1}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$T_{1/2} = \frac{0.693}{1.07 \times 10^{-4}}$
$T_{1/2} = \frac{0.693}{1.07} \times 10^4$
$T_{1/2} \approx 0.6476 \times 10^4 = 6476 \text{ years}$.
આમ,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $6476 \text{ years}$ છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય એ એક સંભાવનાત્મક (stochastic) પ્રક્રિયા છે.
$t$ સમયે બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
આ સમીકરણ સૂચવે છે કે ન્યુક્લિયસના ક્ષય થવાની સંભાવના $t = 0$ થી $t = \infty$ સુધીના સમયગાળામાં વિસ્તરેલી છે.
તેથી,કોઈ ચોક્કસ ન્યુક્લિયસ ક્યારે ક્ષય પામશે તે ચોક્કસપણે કહેવું અશક્ય છે. કોઈપણ ન્યુક્લિયસ $t > 0$ ના કોઈપણ ક્ષણે ક્ષય પામવાની સંભાવના ધરાવે છે.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$t$ સમય પછી બાકી રહેલા પદાર્થનું પ્રમાણ $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે કાર્બન-$14$ અને કાર્બન-$12$ નો ગુણોત્તર મૂળ પ્રમાણના $\frac{1}{4}$ છે,તેથી $\frac{N(t)}{N_0} = \frac{1}{4}$.
કારણ કે $\frac{1}{4} = (1/2)^2$,આ સૂચવે છે કે વીતેલો સમય $t$ એ બે અર્ધ-આયુષ્ય સમય જેટલો છે.
$t = 2 \times T_{1/2} = 2 \times 5,800$ વર્ષ.
$1$ સદી $= 100$ વર્ષ હોવાથી,$t = 2 \times 58$ સદી.
તેથી,$x = 2 \times 58$.

(A) વૃક્ષો જેવા કાર્બનિક પદાર્થોની ઉંમર કાર્બનના રેડિયો-આઈસોટોપ,ખાસ કરીને કાર્બન-$14$ $(^{14}C)$ નો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.
આ પ્રક્રિયાને કાર્બન ડેટિંગ અથવા રેડિયોકાર્બન ડેટિંગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
જીવંત સજીવો તેમના જીવનકાળ દરમિયાન વાતાવરણમાંથી કાર્બન-$14$ શોષે છે.
એકવાર સજીવ મૃત્યુ પામે પછી,તે કાર્બન-$14$ લેવાનું બંધ કરી દે છે અને અસ્તિત્વમાં રહેલો જથ્થો જાણીતા દરે (આશરે $5730$ વર્ષના અર્ધ-આયુષ્ય સાથે) ક્ષય પામવાનું શરૂ કરે છે.
બાકી રહેલા કાર્બન-$14$ અને સ્થિર કાર્બન-$12$ ના ગુણોત્તરને માપીને,વૈજ્ઞાનિકો સજીવના મૃત્યુ પછી વીતેલા સમયની ગણતરી કરી શકે છે.

(C) વિધાન $(I)$ સાચું છે: રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ ના નિયમનું પાલન કરે છે,જે ઘાતાંકીય ક્ષય છે.
વિધાન $(II)$ સાચું છે: વ્યાખ્યા મુજબ,અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ એ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા સુધી ઘટવા માટે લાગતો સમય છે.
વિધાન $(III)$ સાચું છે: રેડિયોએક્ટિવ ડેટિંગ (દા.ત.,યુરેનિયમ-લેડ ડેટિંગ) એ ખડકો અને પૃથ્વીની ઉંમર નક્કી કરવા માટે વપરાતી પ્રમાણભૂત પદ્ધતિ છે.
વિધાન $(IV)$ ખોટું છે: અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ અને સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau)$ વચ્ચેનો સંબંધ $T_{1/2} = \tau \ln(2) \approx 0.693 \tau$ છે. આમ,અર્ધ-આયુષ્ય એ સરેરાશ આયુષ્યના આશરે $69.3\%$ છે,$50\%$ નથી.
તેથી,વિધાનો $(I), (II)$ અને $(III)$ સાચા છે. સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ છે,જ્યાં $T_{1/2} = 10 \, days$ છે.
આપણે એવો સમય $t$ શોધવો છે કે જેથી $N(t) = N_0 / 10$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $N_0 / 10 = N_0 (1/2)^{t/10}$.
$1/10 = (1/2)^{t/10}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log_{10}(1/10) = (t/10) \log_{10}(1/2)$.
$-1 = (t/10) \times (-0.3010)$.
$t = 10 / 0.3010 \approx 33.22 \, days$.
તેથી,તે સમય આશરે $33 \, days$ છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની $t$ સમયે એક્ટિવિટી $A$ માટેનું સૂત્ર $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ છે,જ્યાં $A_0$ એ પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે અને $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે: $T_{1/2} = 3 \ hours$ અને $t = 9 \ hours$.
વિતેલા અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{9}{3} = 3$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{A}{A_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$.
આમ,એક્ટિવિટી તેની પ્રારંભિક કિંમતના $1/8$ જેટલી થાય છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની કોઈપણ સમયે એક્ટિવિટી $A = A_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે, અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1$ મહિનો.
આપણે $2$ મહિના પહેલાની એક્ટિવિટી શોધવાની છે, તેથી $n = 2$ અર્ધ-આયુષ્ય.
ધારો કે $A_{initial}$ એ $2$ મહિના પહેલાની એક્ટિવિટી છે અને $A_{final} = 2 \, \mu Ci$ એ $1-8-1991$ ના રોજની એક્ટિવિટી છે.
$A_{final} = A_{initial} \times (1/2)^n$ હોવાથી, આપણી પાસે $2 = A_{initial} \times (1/2)^2$ છે.
$2 = A_{initial} \times (1/4)$.
$A_{initial} = 2 \times 4 = 8 \, \mu Ci$.
તેથી, બે મહિના પહેલા એક્ટિવિટી $8 \, \mu Ci$ હતી.

(A) બે દિવસ ($48$ કલાક) માં પદાર્થ $1$ અને $2$ માટે અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n_1 = \frac{48}{12} = 4$ અને $n_2 = \frac{48}{16} = 3$ છે.
કિરણોત્સર્ગી ક્ષયના સૂત્ર $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ નો ઉપયોગ કરતા,બાકી રહેલા જથ્થાનો ગુણોત્તર:
$\frac{N_1}{N_2} = \frac{(N_0)_1}{(N_0)_2} \times \frac{(1/2)^{n_1}}{(1/2)^{n_2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{N_1}{N_2} = \frac{2}{1} \times \frac{(1/2)^4}{(1/2)^3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 1$ છે.

(C) ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$.
અહીં આપેલ છે કે $T_{1/2} = 2.3 \, days$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\lambda = \frac{0.693}{2.3} = 0.3 \, day^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) $t$ સમયમાં અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $t = 150\, \text{years}$ અને $T_{1/2} = 75\, \text{years}$ આપેલ છે, તેથી $n = \frac{150}{75} = 2$ મળે.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા અણુઓનો અંશ $N/N_0 = (1/2)^n$ દ્વારા મળે છે.
$n = 2$ મૂકતા, $N/N_0 = (1/2)^2 = 1/4 = 0.25$ મળે.
ક્ષય પામેલા અણુઓનો અંશ $1 - N/N_0 = 1 - 0.25 = 0.75$ છે.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે, આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ, જે $0.75 \times 100 = 75\%$ આપે છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $A = A_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ $t$ સમયે એક્ટિવિટી છે,$A_0$ એ પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે અને $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
આપેલ છે: $A_0 = 9750$ કાઉન્ટ્સ/મિનિટ,$A = 975$ કાઉન્ટ્સ/મિનિટ,અને $t = 5$ મિનિટ.
કિંમતો મૂકતા: $975 = 9750 e^{-\lambda \times 5}$.
બંને બાજુ $9750$ વડે ભાગતા: $0.1 = e^{-5\lambda}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{5\lambda} = 10$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $5\lambda = \ln(10)$.
કારણ કે $\ln(10) \approx 2.3026$,તેથી $5\lambda = 2.3026$.
આથી,$\lambda = \frac{2.3026}{5} = 0.46052 \approx 0.461$ પ્રતિ મિનિટ.