Mix Examples-Nuclei Questions in Hindi

(C) समय $t$ पर शेष रेडियोधर्मी परमाणुओं की संख्या $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
समय $t$ पर क्षयित परमाणुओं की संख्या $N'$,प्रारंभिक परमाणुओं की संख्या $N_0$ और शेष परमाणुओं $N$ के बीच का अंतर है:
$N' = N_0 - N = N_0 - N_0 e^{-\lambda t} = N_0(1 - e^{-\lambda t})$.
जब $t = 0$ होता है,तो $N' = N_0(1 - e^0) = 0$.
जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,$N' \to N_0$.
यह एक ऐसा वक्र दर्शाता है जो मूल बिंदु $(0,0)$ से शुरू होता है और घातीय रूप से बढ़ता है,जो क्षैतिज एसिम्पटोट $N' = N_0$ के करीब पहुंचता है। यह ग्राफ विकल्प $C$ में दिखाया गया है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक संवेग शून्य है क्योंकि जनक नाभिक स्थिर है।
मान लीजिए जनक नाभिक का द्रव्यमान $M$ है,$\alpha$-कण का द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4$ है,और संतति नाभिक का द्रव्यमान $m_d = A - 4$ है।
चूंकि प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए:
$P_{initial} = P_{final}$
$0 = m_d \upsilon' + m_{\alpha} \upsilon$
यहाँ,$\upsilon'$ संतति नाभिक का वेग है और $\upsilon$ $\alpha$-कण का वेग है।
$(A - 4) \upsilon' + 4 \upsilon = 0$
$(A - 4) \upsilon' = -4 \upsilon$
$\upsilon' = -\frac{4 \upsilon}{A - 4}$
संतति नाभिक के वेग का परिमाण $\frac{4 \upsilon}{A - 4}$ होगा।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कुल प्रारंभिक संवेग शून्य है क्योंकि नाभिक शुरू में स्थिर है।
मान लीजिए जनक नाभिक का द्रव्यमान $M$,$\alpha$-कण का द्रव्यमान $m_{\alpha}$ और संतति नाभिक का द्रव्यमान $m_d$ है।
चूंकि द्रव्यमान द्रव्यमान संख्या के समानुपाती होता है,इसलिए $M \propto A$,$m_{\alpha} \propto 4$ और $m_d \propto (A - 4)$ है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = 0$ है।
अंतिम संवेग $P_f = m_d v' - m_{\alpha} v = 0$,जहाँ $v'$ संतति नाभिक का वेग है।
द्रव्यमान संख्या प्रतिस्थापित करने पर: $(A - 4)v' - 4v = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$(A - 4)v' = 4v$ है।
$v'$ के लिए हल करने पर,हमें $v' = \frac{4v}{A - 4}$ प्राप्त होता है।

(A) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
इससे,हमें प्राप्त होता है $\lambda = \frac{hc}{E}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\lambda_N}{\lambda_A} = \frac{E_A}{E_N}$।
यहाँ,$E_N$ नाभिकीय वि-उत्तेजना (de-excitation) के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा है,जो आमतौर पर $MeV$ $(10^6 \ eV)$ की कोटि की होती है।
$E_A$ परमाणु वि-उत्तेजना के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा है,जो आमतौर पर कुछ $eV$ (जैसे $1-10 \ eV$) की कोटि की होती है।
अतः,अनुपात $\frac{\lambda_N}{\lambda_A} = \frac{E_A}{E_N} \approx \frac{1 \ eV}{10^6 \ eV} = 10^{-6}$ है।

$(A)$ सत्य: प्रत्येक तत्व के परमाणु इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के कारण अभिलक्षणिक स्पेक्ट्रम उत्सर्जित करते हैं।
$(B)$ सत्य: बोहर की अभिधारणा के अनुसार, इलेक्ट्रॉन विशिष्ट कक्षाओं में घूमते हैं जहाँ कोणीय संवेग क्वांटीकृत $(mvr = \frac{nh}{2\pi})$ होता है, जिन्हें स्थिर कक्षाएं कहा जाता है।
$(C)$ असत्य: नाभिकीय पदार्थ का घनत्व द्रव्यमान संख्या $(A)$ से स्वतंत्र होता है और सभी नाभिकों के लिए लगभग स्थिर $(\approx 2.3 \times 10^{17} \, kg/m^3)$ रहता है।
$(D)$ असत्य: एक मुक्त न्यूट्रॉन अस्थिर होता है और प्रोटॉन, इलेक्ट्रॉन और एंटीन्यूट्रिनो में क्षयित हो जाता है $(n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e)$, जबकि मुक्त प्रोटॉन स्थिर होता है।
$(E)$ सत्य: रेडियोधर्मिता परमाणु नाभिक की अस्थिरता के कारण होने वाली एक स्वतःस्फूर्त प्रक्रिया है।
अतः, कथन $A, B$ और $E$ सही हैं।

(C) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$1$. ${ }^{56} Fe$ के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा लगभग $8.75 \,MeV$ है, जो सबसे स्थिर नाभिक है। अतः, $a \rightarrow (iii)$.
$2$. गीगर-मार्सडेन प्रयोग में उपयोग किए जाने वाले $\alpha$-कणों की ऊर्जा आमतौर पर $5.5 \,MeV$ के आसपास होती है। अतः, $b \rightarrow (i)$.
$3$. दृश्य प्रकाश के फोटॉन की ऊर्जा लगभग $1.6 \,eV$ से $3.2 \,eV$ के बीच होती है, इसलिए $2 \,eV$ एक प्रतिनिधि मान है। अतः, $c \rightarrow (iv)$.
$4$. यूरेनियम नाभिक के विखंडन में मुक्त ऊर्जा लगभग $200 \,MeV$ होती है। अतः, $d \rightarrow (ii)$.
अतः, सही क्रम $a(iii), b(i), c(iv), d(ii)$ है।

(C) कथन $(A)$ बोहर के अभिधारणा के अनुसार सही है: $L = n\hbar$।
कथन $(B)$ सही है क्योंकि नाभिकीय बल लघु-परास के होते हैं और गुरुत्वाकर्षण या स्थिर-वैद्युत बलों की तरह व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन नहीं करते हैं।
कथन $(C)$ सही है क्योंकि नाभिकीय बल न्यूक्लियॉन के सापेक्ष स्पिन अभिविन्यास पर निर्भर करते हैं।
कथन $(D)$ गलत है क्योंकि नाभिकीय बल गैर-केंद्रीय बल होते हैं।
कथन $(E)$ सही है क्योंकि कम पैकिंग फ्रैक्शन प्रति न्यूक्लियॉन उच्च बंधन ऊर्जा को दर्शाता है,जिससे नाभिकीय स्थिरता अधिक होती है।
अतः,कथन $(A), (B), (C),$ और $(E)$ सही हैं।

$(A)$ प्रणाली की ऊर्जा $(p)$ (संधारित्र को चार्ज करना), $(q)$ (रुद्धोष्म संपीड़न आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाता है), और $(t)$ (प्रेरित धारा गर्मी पैदा करती है) में बढ़ती है。
$(B)$ $(q)$ में, पिस्टन पर किया गया यांत्रिक कार्य गैस के अणुओं की यादृच्छिक गतिज ऊर्जा को बढ़ाता है。
$(C)$ $(s)$ में, द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता $E = mc^2$ का अर्थ है कि द्रव्यमान में कमी टुकड़ों की गतिज ऊर्जा (यांत्रिक ऊर्जा) में परिवर्तित हो जाती है。
$(D)$ $(s)$ में, परमाणु विखंडन के परिणामस्वरूप द्रव्यमान दोष होता है, जिसका अर्थ है कि प्रणाली का द्रव्यमान कम हो जाता है。
अतः, सही मिलान है: $A-(p, q, t), B-q, C-s, D-s$.

(C) अल्फा $(\alpha)$ क्षय में,द्रव्यमान संख्या $4$ से घटती है और परमाणु संख्या $2$ से घटती है। यह प्रक्रिया $2$ $({ }_{92}^{238} U \rightarrow{ }_{90}^{234} Th + { }_{2}^{4} He)$ से मेल खाती है। अतः,$P-2$.
$\beta^{+}$ क्षय में,द्रव्यमान संख्या अपरिवर्तित रहती है जबकि परमाणु संख्या $1$ से घटती है। यह प्रक्रिया $1$ $({ }_{8}^{15} O \rightarrow{ }_{7}^{15} N + { }_{+1}^{0} e)$ से मेल खाती है। अतः,$Q-1$.
नाभिकीय विखंडन में,एक भारी जनक नाभिक दो छोटे,लगभग समान टुकड़ों में विभाजित हो जाता है। यह प्रक्रिया $4$ $({ }_{94}^{239} Pu \rightarrow{ }_{57}^{140} La + \dots)$ से मेल खाती है। अतः,$R-4$.
प्रोटॉन उत्सर्जन में,एक प्रोटॉन उत्सर्जित होता है,इसलिए द्रव्यमान संख्या और परमाणु संख्या दोनों $1$ से घट जाते हैं। यह प्रक्रिया $3$ $({ }_{83}^{185} Bi \rightarrow{ }_{82}^{184} Pb + { }_{1}^{1} H)$ से मेल खाती है। अतः,$S-3$.
इसलिए,सही मिलान $P-2, Q-1, R-4, S-3$ है।

(A) माना जनक नाभिक की द्रव्यमान संख्या $A = 208$ है। अल्फा कण का द्रव्यमान $m_{\alpha} \approx 4$ परमाणु द्रव्यमान इकाई है।
दो अल्फा कण उत्सर्जित होते हैं,प्रत्येक की गतिज ऊर्जा $E$ है। अल्फा कणों की कुल गतिज ऊर्जा $K_{\alpha} = 2E$ है।
प्रत्येक अल्फा कण का संवेग $p_{\alpha} = \sqrt{2 m_{\alpha} E}$ है।
चूंकि जनक नाभिक स्थिर है,कुल संवेग शून्य होना चाहिए: $\vec{p}_{d} + \vec{p}_{\alpha 1} + \vec{p}_{\alpha 2} = 0$,जहाँ $\vec{p}_{d}$ संतति नाभिक का संवेग है।
संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = 2E(1 + \frac{m_{\alpha}}{M_{d}})$ होती है।
यहाँ $M_{d} = 200$ है,इसलिए $K_{total} = 2E(1 + \frac{4}{200}) = 2E(1 + \frac{1}{50}) = 2E(\frac{51}{50}) = \frac{51E}{25}$।