Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Hindi

(A) रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ संबंध का पालन करती है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यह दिया गया है कि सक्रियता अपने प्रारंभिक मान के $\frac{1}{16}$ तक कम हो जाती है,इसलिए $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
चूँकि $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$,इसलिए हमें $n = 4$ प्राप्त होता है।
कुल समय $T = n \times t_{1/2}$ है,जहाँ $t_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
$T = 80\, days$ दिया गया है,इसलिए $80 = 4 \times t_{1/2}$ होगा।
अतः,$t_{1/2} = \frac{80}{4} = 20\, days$।

(B) सक्रियता $A$ का सूत्र $A = \lambda N$ है।
सबसे पहले, क्षय नियतांक $\lambda$ की गणना करें:
$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{3 \times 24 \times 3600 \, \text{s}} \approx 2.67 \times 10^{-6} \, \text{s}^{-1}$.
इसके बाद, $2 \, \text{mg}$ ${}^{198} {Au}$ में परमाणुओं की संख्या $N$ ज्ञात करें:
$N = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} \times N_A = \frac{2 \times 10^{-3} \, \text{g}}{198 \, \text{g/mol}} \times 6 \times 10^{23} \, \text{atoms/mol} \approx 6.06 \times 10^{18} \, \text{atoms}$.
अब, सक्रियता $A$ की गणना करें:
$A = \lambda N = (2.67 \times 10^{-6} \, \text{s}^{-1}) \times (6.06 \times 10^{18}) \approx 16.18 \times 10^{12} \, \text{disintegrations/second}$.

(C) मान लीजिए कि नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है।
$1$. समय $t_1$ जब एक चौथाई नाभिकों का क्षय हो जाता है:
शेष नाभिक $N_1 = N_0 - \frac{1}{4}N_0 = \frac{3}{4}N_0$.
क्षय नियम $N = N_0 e^{-\lambda t}$ का उपयोग करने पर,$\frac{3}{4}N_0 = N_0 e^{-\lambda t_1}$,जिससे $\ln(3/4) = -\lambda t_1$ प्राप्त होता है,या $t_1 = \frac{\ln(4/3)}{\lambda}$.
$2$. समय $t_2$ जब आधे नाभिकों का क्षय हो जाता है:
शेष नाभिक $N_2 = N_0 - \frac{1}{2}N_0 = \frac{1}{2}N_0$.
क्षय नियम का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2}N_0 = N_0 e^{-\lambda t_2}$,जिससे $\ln(1/2) = -\lambda t_2$ प्राप्त होता है,या $t_2 = \frac{\ln 2}{\lambda}$.
$3$. समय अंतराल $\Delta t = t_2 - t_1$:
$\Delta t = \frac{\ln 2}{\lambda} - \frac{\ln(4/3)}{\lambda} = \frac{1}{\lambda} [\ln 2 - (\ln 4 - \ln 3)] = \frac{1}{\lambda} [\ln 2 - 2\ln 2 + \ln 3] = \frac{\ln(3/2)}{\lambda}$.

(B) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ को $A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $A_0$ प्रारंभिक सक्रियता है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है कि $t = 30\, \text{वर्ष}$ पर $A = \frac{1}{8} A_0$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{8} A_0 = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{30}{T_{1/2}}}$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{30}{T_{1/2}}}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $3 = \frac{30}{T_{1/2}}$.
अतः, $T_{1/2} = \frac{30}{3} = 10\, \text{वर्ष}$।

(C) $t$ समय पर अविघटित नाभिकों की संख्या $N = N_{0}e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
क्षयित नाभिकों की संख्या $N_{d} = N_{0} - N = N_{0} - N_{0}e^{-\lambda t} = N_{0}(1 - e^{-\lambda t})$ है।
चूंकि $f = \frac{N_{d}}{N_{0}}$,इसलिए $f = \frac{N_{0}(1 - e^{-\lambda t})}{N_{0}} = 1 - e^{-\lambda t}$ है।
समय के सापेक्ष $f$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम $f$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे:
$\frac{df}{dt} = \frac{d}{dt}(1 - e^{-\lambda t}) = 0 - (e^{-\lambda t})(-\lambda) = \lambda e^{-\lambda t}$.

(C) समय $t$ पर संधारित्र पर आवेश $q = q_0 e^{-\frac{t}{RC}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $RC$ $RC$-सर्किट का समय नियतांक है।
समय $t$ पर रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A_0$ प्रारंभिक सक्रियता है और $\lambda$ क्षय नियतांक है।
यह दिया गया है कि अनुपात $\frac{q}{A}$ समय के सापेक्ष स्थिर है,इसलिए:
$\frac{q}{A} = \frac{q_0 e^{-\frac{t}{RC}}}{A_0 e^{-\lambda t}} = \text{स्थिरांक}$
इस अनुपात के समय से स्वतंत्र होने के लिए,घातांकीय पदों को एक-दूसरे को रद्द करना होगा,जिसका अर्थ है:
$-\frac{t}{RC} = -\lambda t \implies \lambda = \frac{1}{RC}$
हम जानते हैं कि औसत जीवनकाल $\tau = \frac{1}{\lambda} = 30 \, ms = 30 \times 10^{-3} \, s$ है।
इसलिए,$\lambda = \frac{1}{30 \times 10^{-3}} \, s^{-1}$।
$\lambda = \frac{1}{RC}$ को $R$ के समीकरण में रखने पर:
$R = \frac{1}{\lambda C} = \tau \times \frac{1}{C}$
यहाँ $C = 200 \, \mu F = 200 \times 10^{-6} \, F$ दिया गया है:
$R = \frac{30 \times 10^{-3}}{200 \times 10^{-6}} = \frac{30000}{200} = 150 \, \Omega$।

(B) परमाणु भार $M$ वाले $m$ द्रव्यमान में परमाणुओं की संख्या $N = \frac{m}{M} N_A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N_A$ एवोगैड्रो संख्या है।
प्रारंभिक परमाणुओं की संख्या: $N_{A,0} = \frac{m}{M_A} N_A$ और $N_{B,0} = \frac{m}{M_B} N_A$.
दिया गया है कि $m_A = m_B = 10^{-2} \ kg$ और $\frac{M_A}{M_B} = \frac{1}{2}$,इसलिए $M_B = 2M_A$.
अतः,$\frac{N_{A,0}}{N_{B,0}} = \frac{M_B}{M_A} = 2$.
$t = 16 \ s$ समय के बाद,शेष परमाणुओं की संख्या $N(t) = N_0 (0.5)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ है।
पदार्थ $A$ के लिए: $N_A(16) = N_{A,0} (0.5)^{\frac{16}{4}} = N_{A,0} (0.5)^4 = \frac{N_{A,0}}{16}$.
पदार्थ $B$ के लिए: $N_B(16) = N_{B,0} (0.5)^{\frac{16}{8}} = N_{B,0} (0.5)^2 = \frac{N_{B,0}}{4}$.
अनुपात $\frac{N_A(16)}{N_B(16)} = \frac{N_{A,0}}{16} \times \frac{4}{N_{B,0}} = \frac{1}{4} \times \frac{N_{A,0}}{N_{B,0}} = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2} = \frac{50}{100}$.
इसलिए,$x = 50$.

(D) कुल क्षय नियतांक $\lambda_{\text{eq}}$ दो प्रक्रियाओं के लिए व्यक्तिगत क्षय नियतांकों का योग है: $\lambda_{\text{eq}} = \lambda_1 + \lambda_2$.
चूंकि क्षय नियतांक $\lambda$,अर्ध-आयु $T_{1/2}$ से $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ सूत्र द्वारा संबंधित है,हम लिख सकते हैं:
$\frac{\ln 2}{(T_{1/2})_{\text{eq}}} = \frac{\ln 2}{(T_{1/2})_1} + \frac{\ln 2}{(T_{1/2})_2}$.
दोनों पक्षों को $\ln 2$ से विभाजित करने पर,हमें प्रभावी अर्ध-आयु के लिए सूत्र प्राप्त होता है:
$(T_{1/2})_{\text{eq}} = \frac{(T_{1/2})_1 \times (T_{1/2})_2}{(T_{1/2})_1 + (T_{1/2})_2}$.
दिए गए मान $(T_{1/2})_1 = 3.0 \, hours$ और $(T_{1/2})_2 = 4.5 \, hours$ रखने पर:
$(T_{1/2})_{\text{eq}} = \frac{3.0 \times 4.5}{3.0 + 4.5} = \frac{13.5}{7.5} = 1.8 \, hours$.

(C) कथन $(A)$ गलत है क्योंकि रेडियोधर्मिता भौतिक और रासायनिक स्थितियों से स्वतंत्र होती है।
कथन $(B)$ सही है। रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जो चरघातांकीय क्षय को दर्शाता है।
कथन $(C)$ सही है। क्षय नियम का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(N) = \ln(N_0) - \lambda t$. $\ln(N)$ बनाम $t$ के ग्राफ का ढाल $-\lambda$ है। चूंकि औसत आयु $\tau = 1/\lambda$ है,इसलिए ढाल $-1/\tau$ है।
कथन $(D)$ गलत है क्योंकि $\lambda \times T_{1/2} = \ln(2) \approx 0.693$,जो एक स्थिरांक है।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(A) अर्ध-आयु $T_{1/2} = 5$ वर्ष है।
रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यह दिया गया है कि नमूना अपने प्रारंभिक मान के $6.25 \%$ तक कम हो जाता है,इसलिए $\frac{N}{N_0} = \frac{6.25}{100} = \frac{1}{16}$ है।
चूँकि $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$,इसलिए $n = 4$ प्राप्त होता है।
कुल समय $x = n \times T_{1/2} = 4 \times 5 = 20$ वर्ष है।

(B) किसी भी समय $t$ पर सक्रियता $A$, प्रारंभिक सक्रियता $A_0$ से $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ सूत्र द्वारा संबंधित है, जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है。
दिया गया है: $A_0 = 2.56 \times 10^{-3} \, Ci$, $A = 2 \times 10^{-5} \, Ci$, और $T_{1/2} = 5 \, \text{दिन}$。
मान रखने पर: $\frac{2 \times 10^{-5}}{2.56 \times 10^{-3}} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
$\frac{2}{256} = \left( \frac{1}{2} \right)^n \Rightarrow \frac{1}{128} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
चूंकि $128 = 2^7$, इसलिए $\left( \frac{1}{2} \right)^7 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$, जिसका अर्थ है $n = 7$。
चूंकि $n = \frac{t}{T_{1/2}}$, इसलिए $t = n \times T_{1/2} = 7 \times 5 = 35 \, \text{दिन}$。

(C) विघटन दर $A$ नियम $A = A_0 e^{-\lambda t}$ का पालन करती है।
$t = 0$ पर,$A_0 = 4250 \, \text{dpm}$।
$t = 10 \, \text{min}$ पर,$A = 2250 \, \text{dpm}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2250 = 4250 e^{-\lambda (10)}$
$e^{-10\lambda} = \frac{2250}{4250} = \frac{45}{85} = \frac{9}{17}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$-10\lambda = \ln\left(\frac{9}{17}\right)$
$10\lambda = \ln\left(\frac{17}{9}\right) \approx \ln(1.888)$
$10\lambda \approx 0.6356$
$\lambda \approx 0.06356 \, \min^{-1}$।
अतः,अनुमानित क्षय नियतांक $0.063 \, \min^{-1}$ है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक सक्रियता $A_0 = 6.4 \times 10^{-4} \text{ Ci}$,अंतिम सक्रियता $A = 5 \times 10^{-6} \text{ Ci}$,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 5 \text{ days}$।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम का उपयोग करते हुए: $A = A_0 e^{-\lambda t}$।
मान रखने पर: $5 \times 10^{-6} = 6.4 \times 10^{-4} e^{-\lambda t}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{5 \times 10^{-6}}{6.4 \times 10^{-4}} = e^{-\lambda t} \implies \frac{5}{640} = e^{-\lambda t} \implies \frac{1}{128} = e^{-\lambda t}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(1/128) = -\lambda t \implies -\ln(2^7) = -\lambda t \implies 7 \ln 2 = \lambda t$।
चूंकि $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$,इसलिए $7 \ln 2 = \left(\frac{\ln 2}{5}\right) t$।
$t$ के लिए हल करने पर: $7 = \frac{t}{5} \implies t = 35 \text{ days}$।

(C) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = A_0 (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यह दिया गया है कि सक्रियता अपने प्रारंभिक मान के $1/16$ तक गिर जाती है,इसलिए $A/A_0 = 1/16$ है।
चूंकि $1/16 = (1/2)^4$,हम घातों की तुलना कर सकते हैं: $n = 4$।
अर्ध-आयु की संख्या $n$,कुल समय $t$ और अर्ध-आयु $T_{1/2}$ के साथ $n = t / T_{1/2}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
यहाँ $t = 30$ वर्ष और $n = 4$ दिया गया है,इसलिए $4 = 30 / T_{1/2}$।
अतः,$T_{1/2} = 30 / 4 = 7.5$ वर्ष।

(A) मान लीजिए कि प्रारंभिक मात्रा $N_0$ है।
यह दिया गया है कि नमूना अपनी मूल मात्रा का $\frac{7}{8}$ भाग क्षयित हो जाता है,इसलिए शेष मात्रा $N$ है:
$N = N_0 - \frac{7}{8}N_0 = \frac{1}{8}N_0$.
हम जानते हैं कि रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 (\frac{1}{2})^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$\frac{1}{8}N_0 = N_0 (\frac{1}{2})^n$
$(\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^n$
अतः,$n = 3$.
चूँकि $n = \frac{t}{T_{1/2}}$,जहाँ $t = 15$ मिनट और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है:
$3 = \frac{15}{T_{1/2}}$
$T_{1/2} = \frac{15}{3} = 5$ मिनट।

(C) दिया गया है कि अर्ध-आयु $T_{1/2} = 60 \ days$ है।
यदि मूल द्रव्यमान का $\frac{7}{8}$ भाग विघटित हो जाता है,तो शेष द्रव्यमान $N = N_0 - \frac{7}{8}N_0 = \frac{1}{8}N_0$ होगा।
शेष द्रव्यमान और प्रारंभिक द्रव्यमान के बीच का संबंध $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
मान रखने पर: $\frac{1}{8}N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
इसे सरल करने पर $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ प्राप्त होता है,जिससे $n = 3$ मिलता है।
कुल लगा समय $t = n \times T_{1/2} = 3 \times 60 \ days = 180 \ days$ होगा।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $A = A_0 \times (1/2)^{t/T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ समय $t$ पर गतिविधि है,$A_0$ प्रारंभिक गतिविधि है और $T$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है,$A_0 = 64 \times A_{safe}$ और हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $A = A_{safe}$ हो जाए।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $A_{safe} = 64 \times A_{safe} \times (1/2)^{t/T}$।
यह सरल होकर $1/64 = (1/2)^{t/T}$ हो जाता है।
चूंकि $64 = 2^6$,इसलिए $(1/2)^6 = (1/2)^{t/T}$।
अतः,$t/T = 6$,जिसका अर्थ है $t = 6 \times T$।
अर्ध-आयु $T = 2$ घंटे $30$ मिनट = $2.5$ घंटे दी गई है।
इस प्रकार,$t = 6 \times 2.5 = 15$ घंटे।

(A) $t$ समय पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि प्रारंभ में दोनों के पास नाभिकों की संख्या समान है,$N_{0A} = N_{0B} = N_0$.
$t$ समय पर $A$ के नाभिकों की संख्या $N_A = N_0 e^{-25 \lambda t}$ है।
$t$ समय पर $B$ के नाभिकों की संख्या $N_B = N_0 e^{-16 \lambda t}$ है।
हमें दिया गया है कि $t = \frac{1}{a \lambda}$ समय पर अनुपात $\frac{N_B}{N_A} = e$ है।
$\frac{N_B}{N_A} = \frac{N_0 e^{-16 \lambda t}}{N_0 e^{-25 \lambda t}} = e^{(-16 \lambda + 25 \lambda) t} = e^{9 \lambda t}$.
इसे $e^1$ के बराबर रखने पर,हमें $9 \lambda t = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t = \frac{1}{9 \lambda}$.
इसकी तुलना $t = \frac{1}{a \lambda}$ से करने पर,हमें $a = 9$ प्राप्त होता है।

(B) एक रेडियोधर्मी नमूने की गतिविधि $R$ को $R = R_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,हमें $\log R = \log R_0 - \lambda t \log e$ प्राप्त होता है।
यदि लघुगणक का आधार $e$ है,तो $\log R = \log R_0 - \lambda t$ होता है।
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ ढाल $m = -\lambda$ है।
दिए गए ग्राफ से,हम दो बिंदु $(t_1, \log R_1) = (8, 8)$ और $(t_2, \log R_2) = (16, 6)$ ले सकते हैं।
रेखा की ढाल $m = \frac{\log R_2 - \log R_1}{t_2 - t_1} = \frac{6 - 8}{16 - 8} = \frac{-2}{8} = -0.25$ है।
चूंकि ढाल $m = -\lambda$ है,इसलिए $-\lambda = -0.25$,जो क्षय स्थिरांक $\lambda = 0.25 \text{ min}^{-1}$ देता है।
अर्ध-आयु $T_{1/2}$ को $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{0.25} = 2.772 \text{ मिनट}$ द्वारा दिया जाता है।
विकल्पों में दिए गए निकटतम मान को लेने पर,हमें $T_{1/2} \approx 3.0 \text{ मिनट}$ प्राप्त होता है।

(D) कण की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $K = 0.05 \,eV = 0.05 \times 1.6 \times 10^{-19} \,J$ और $m = 1.6 \times 10^{-26} \,kg$.
$0.05 \times 1.6 \times 10^{-19} = \frac{1}{2} \times 1.6 \times 10^{-26} \times v^2$.
$v^2 = \frac{0.05 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2}{1.6 \times 10^{-26}} = 0.1 \times 10^7 = 10^6 \,m^2/s^2$.
$v = 10^3 \,m/s$.
$1 \,m$ की दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{D}{v} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3} \,s$.
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{10^{-3}}{6.9} \approx 1.45 \times 10^{-4}$.
शेष कणों का अंश $N/N_0 = (1/2)^n = 2^{-n}$ है।
क्षय हुए कणों का अंश $1 - 2^{-n} = 1 - e^{-n \ln 2} \approx 1 - (1 - n \ln 2) = n \ln 2$ है।
चूंकि $n \approx 1.45 \times 10^{-4}$ और $\ln 2 \approx 0.69$,इसलिए क्षय हुआ अंश $\approx 1.45 \times 10^{-4} \times 0.69 \approx 10^{-4} = 0.0001$ है।

(B) पहली प्रजाति का औसत जीवनकाल $\tau_1 = 1 / \lambda$ है।
दूसरी प्रजाति का औसत जीवनकाल $\tau_2 = 1 / (\lambda / 3) = 3 / \lambda$ है।
लंबे समय के बाद,मिश्रण का औसत जीवनकाल $\tau_{avg}$ दोनों प्रजातियों के औसत जीवनकाल के माध्य के बराबर होता है,क्योंकि शुरुआत में दोनों की संख्या समान थी:
$\tau_{avg} = \frac{\tau_1 + \tau_2}{2} = \frac{(1 / \lambda) + (3 / \lambda)}{2} = \frac{4 / \lambda}{2} = 2 / \lambda$.
इस मान की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,$2 / \lambda$ का मान $2.10 / \lambda$ के निकट है। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) क्षय प्रक्रिया इस प्रकार है: $X \xrightarrow{T_{1/2, X} = 40000 \, yr} Y \xrightarrow{T_{1/2, Y} = 20 \, yr} Z$.
चूंकि $Y$ नाभिकों की संख्या समय के साथ स्थिर रहती है,इसका अर्थ है कि $Y$ के उत्पादन की दर $Y$ के क्षय की दर के बराबर है।
इस स्थिति को सेकुलर संतुलन कहा जाता है।
इसलिए,$\lambda_X N_X = \lambda_Y N_Y$.
संबंध $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\frac{\ln 2}{T_X} N_X = \frac{\ln 2}{T_Y} N_Y$.
यह समीकरण $\frac{N_X}{T_X} = \frac{N_Y}{T_Y}$ में सरल हो जाता है।
$N_Y$ के लिए सूत्र बनाने पर,$N_Y = N_X \times \frac{T_Y}{T_X}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $N_Y = (4 \times 10^{20}) \times \frac{20}{40000}$.
$N_Y = (4 \times 10^{20}) \times \frac{1}{2000} = 2 \times 10^{17}$ नाभिक।

(A) कई क्षय मोड वाले रेडियोधर्मी नाभिक के लिए,कुल क्षय स्थिरांक $\lambda_B$ व्यक्तिगत क्षय स्थिरांकों का योग होता है: $\lambda_B = \lambda_1 + \lambda_2$.
चूंकि क्षय स्थिरांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $\tau$ के बीच संबंध $\lambda = \ln(2) / \tau$ है,हम लिख सकते हैं: $1 / \tau_B = 1 / \tau_1 + 1 / \tau_2$.
दिया गया है कि यदि क्षय मोड $2$ अनुपस्थित होता,तो अर्ध-आयु $\tau_1 = \tau_A / 2$ होती।
दिया गया है कि यदि क्षय मोड $1$ अनुपस्थित होता,तो अर्ध-आयु $\tau_2 = 3 \tau_A$ होती।
इन मानों को वास्तविक अर्ध-आयु $\tau_B$ के सूत्र में रखने पर:
$1 / \tau_B = 1 / (\tau_A / 2) + 1 / (3 \tau_A)$
$1 / \tau_B = 2 / \tau_A + 1 / (3 \tau_A)$
$1 / \tau_B = (6 + 1) / (3 \tau_A) = 7 / (3 \tau_A)$
अतः,$\tau_B = (3 / 7) \tau_A$,जिसका अर्थ है कि $\tau_B / \tau_A = 3 / 7$.

(D) नाभिक की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ $30 \; min$ है।
$3 \; PM$ और $5 \; PM$ के बीच का समय अंतराल $2 \; \text{hours}$ है, जो $120 \; min$ के बराबर है।
बीते हुए अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ $n = \frac{\text{Total time}}{T_{1/2}} = \frac{120 \; min}{30 \; min} = 4$ द्वारा दी जाती है।
क्षय दर $(R)$ नियम $R = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ का पालन करती है, जहाँ $R_0 = 120000 \; cps$ है।
मान रखने पर, हमें $R = 120000 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 120000 \times \frac{1}{16} = 7500 \; cps$ प्राप्त होता है।
अतः, $5 \; PM$ पर क्षय दर $7500 \; cps$ है।

(C) रेडियोधर्मी परमाणुओं की संख्या $N$ में परिवर्तन की दर,जोड़ने की दर और क्षय की दर के बीच का अंतर है:
$\frac{dN}{dt} = c - \lambda N$
समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dN}{c - \lambda N} = dt$
$t = 0$ पर $N = N_0$ और $t = T$ पर $N = N$ की प्रारंभिक स्थितियों के साथ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{N_0}^{N} \frac{dN}{c - \lambda N} = \int_{0}^{T} dt$
माना $u = c - \lambda N$,तब $du = -\lambda dN$,या $dN = -\frac{du}{\lambda}$:
$-\frac{1}{\lambda} [\ln(c - \lambda N)]_{N_0}^{N} = T$
$\ln\left(\frac{c - \lambda N}{c - \lambda N_0}\right) = -\lambda T$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$\frac{c - \lambda N}{c - \lambda N_0} = e^{-\lambda T}$
$c - \lambda N = (c - \lambda N_0)e^{-\lambda T}$
$\lambda N = c - (c - \lambda N_0)e^{-\lambda T}$
$N = \frac{c}{\lambda}(1 - e^{-\lambda T}) + N_0 e^{-\lambda T}$

(D) मान लीजिए $N_1$ और $N_2$ क्रमशः ${}^{235}U$ और ${}^{238}U$ की वर्तमान मात्रा हैं,और $N_{01}$ और $N_{02}$ उनकी प्रारंभिक मात्रा हैं।
दिया गया है: $\frac{N_1}{N_2} = \frac{0.72}{99.28}$ और $\frac{N_{01}}{N_{02}} = 2.0$.
क्षय का नियम $N = N_0 e^{-\lambda t}$ है,जहाँ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.
अतः,$\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_{01} e^{-\lambda_1 t}}{N_{02} e^{-\lambda_2 t}} = \frac{N_{01}}{N_{02}} e^{-(\lambda_1 - \lambda_2)t}$.
मान रखने पर: $\frac{0.72}{99.28} = 2.0 \times e^{-(\lambda_1 - \lambda_2)t}$.
$e^{(\lambda_1 - \lambda_2)t} = 2.0 \times \frac{99.28}{0.72} \approx 275.78$.
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $(\lambda_1 - \lambda_2)t = \ln(275.78) \approx 5.62$.
$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ का उपयोग करते हुए: $(\frac{\ln 2}{7.1 \times 10^8} - \frac{\ln 2}{4.5 \times 10^9})t = 5.62$.
$(\ln 2) \times (1.408 \times 10^{-9} - 0.222 \times 10^{-9})t = 5.62$.
$0.693 \times (1.186 \times 10^{-9})t = 5.62$.
$t = \frac{5.62}{8.219 \times 10^{-10}} \approx 6.84 \times 10^9 \approx 7 \times 10^9$ वर्ष।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $R = R_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है,प्रारंभिक काउंट दर $R_0 = 1024$ और अंतिम काउंट दर $R = 128$ है।
मान रखने पर: $\frac{128}{1024} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
चूंकि $\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$,इसलिए हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $3$ मिनट में $3$ अर्ध-आयु बीत चुकी हैं।
अतः,$1$ अर्ध-आयु = $\frac{3 \text{ मिनट}}{3} = 1$ मिनट।

(B) रेडियोधर्मी पदार्थ की शेष मात्रा को $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है कि $25 \%$ पदार्थ शेष रहता है,इसलिए $\frac{N}{N_0} = 25 \% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
चूँकि $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$,इसलिए $n = 2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $16$ दिनों में $2$ अर्ध-आयु पूरी हुई हैं।
अतः,$1$ अर्ध-आयु की अवधि $T_{1/2} = \frac{16 \text{ दिन}}{2} = 8 \text{ दिन}$ होगी।

(C) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की समय $t$ पर सक्रियता $A$,रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $A = A_0 e^{-\lambda t}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\ln A = \ln A_0 - \lambda t$.
यह समीकरण एक ऋणात्मक ढाल $(-\lambda)$ और $\ln A_0$ के $y$-अंतःखंड वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
जब समय $T$ पर और गैस इंजेक्ट की जाती है,तो सक्रियता $A$ अचानक बढ़ जाती है,जिससे $t=T$ पर $\ln A$ के मान में एक ऊर्ध्वाधर उछाल आता है।
इंजेक्शन के बाद,क्षय उसी क्षय स्थिरांक $\lambda$ के साथ जारी रहता है,इसलिए $\ln A$ बनाम $t$ ग्राफ की ढाल समान रहती है (अर्थात,$-\lambda$)।
इसलिए,ग्राफ में ऋणात्मक ढाल वाले दो समानांतर सीधी रेखा के खंड होने चाहिए,जो $t=T$ पर एक ऊर्ध्वाधर उछाल द्वारा अलग होते हैं। यह ग्राफ $C$ के अनुरूप है।

(A) दिया गया है,$P$ की अर्ध-आयु $T_P = 10 \text{ मिनट}$ और $Q$ की अर्ध-आयु $T_Q = 15 \text{ मिनट}$ है।
प्रारंभ में,दोनों नमूनों में परमाणुओं की संख्या समान $N_0$ है।
$t = 30 \text{ मिनट}$ समय के बाद,$P$ के लिए अर्ध-आयु की संख्या $n_P = \frac{t}{T_P} = \frac{30}{10} = 3$ है।
$Q$ के लिए अर्ध-आयु की संख्या $n_Q = \frac{t}{T_Q} = \frac{30}{15} = 2$ है।
$P$ के लिए शेष परमाणुओं की संख्या $N_P = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{n_P} = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{N_0}{8}$ है।
$Q$ के लिए शेष परमाणुओं की संख्या $N_Q = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{n_Q} = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{N_0}{4}$ है।
अनुपात $\frac{N_P}{N_Q} = \frac{N_0/8}{N_0/4} = \frac{4}{8} = 0.5$ होगा।

(B) दिया गया है,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 2 \, h$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक तीव्रता $I_0$ है और सुरक्षित तीव्रता $I$ है।
हमें दिया गया है कि $I_0 = 64I$,इसलिए अनुपात $\frac{I}{I_0} = \frac{1}{64}$ है।
विकिरण की तीव्रता रेडियोधर्मी क्षय के नियम का पालन करती है: $I = I_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
मान रखने पर: $\frac{1}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$।
चूँकि $64 = 2^6$,इसलिए $\left( \frac{1}{2} \right)^6 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$,जिससे $n = 6$ प्राप्त होता है।
कुल समय $t$ का मान $t = n \times T_{1/2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$t = 6 \times 2 \, h = 12 \, h$।

(C) $t$ समय के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यहाँ $N_0 = 10^6$,$t = 10 \, s$,और $T_{1/2} = 20 \, s$ दिया गया है।
अर्ध-आयु की संख्या की गणना करने पर: $n = \frac{10}{20} = 0.5$.
सूत्र में मान रखने पर: $N = 10^6 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{0.5} = 10^6 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूँकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$.
अतः,$N \approx 10^6 \times 0.707 = 0.707 \times 10^6 = 7.07 \times 10^5$.
निकटतम पूर्णांक में,शेष नाभिकों की संख्या लगभग $7 \times 10^5$ है।

(D) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ वह समय है जो नमूने में मौजूद आधे रेडियोधर्मी नाभिकों के क्षय होने के लिए आवश्यक होता है।
यह सूत्र $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है।
क्षय नियतांक $\lambda$ रेडियोधर्मी समस्थानिक का एक विशिष्ट गुण है और यह तापमान,दबाव या पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा जैसी बाहरी भौतिक स्थितियों से स्वतंत्र होता है।
इसलिए,अर्ध-आयु पूरी तरह से रेडियोधर्मी तत्व की प्रकृति पर निर्भर करती है।

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक द्रव्यमान $N_0 = 2 \,mg$
अंतिम द्रव्यमान $N = 0.25 \,mg$
कुल समय $t = 3 \,hr$
रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
मान रखने पर:
$0.25 = 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$
$\frac{0.25}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$
$\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$
$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^n$
अतः,$n = 3$ है।
चूँकि $n = \frac{t}{T_{1/2}}$,जहाँ $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है:
$3 = \frac{3 \,hr}{T_{1/2}}$
$T_{1/2} = 1 \,hr$.

(B) जब एक रेडियोधर्मी पदार्थ दो अलग-अलग प्रक्रियाओं द्वारा एक साथ क्षयित होता है,तो प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda_{eff}$ व्यक्तिगत क्षय नियतांकों का योग होता है: $\lambda_{eff} = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta}$.
दिया गया है $T_{\alpha} = 16$ वर्ष और $T_{\beta} = 48$ वर्ष।
क्षय नियतांक $\lambda_{\alpha} = \frac{\ln 2}{16}$ और $\lambda_{\beta} = \frac{\ln 2}{48}$ हैं।
अतः,$\lambda_{eff} = \frac{\ln 2}{16} + \frac{\ln 2}{48} = \ln 2 \left( \frac{3+1}{48} \right) = \frac{\ln 2}{12}$।
प्रभावी अर्ध-आयु $T_{eff} = \frac{\ln 2}{\lambda_{eff}} = 12$ वर्ष।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब पदार्थ का $3/4$ भाग क्षयित हो जाता है,जिसका अर्थ है कि $1/4$ भाग शेष रहता है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{eff}}$।
$\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/12} \implies \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/12}$।
घातांकों की तुलना करने पर: $2 = \frac{t}{12} \implies t = 24$ वर्ष।

(A) मान लीजिए प्रारंभिक सक्रियता $R_{A,0}$ और $R_{B,0}$ है। दिया गया है कि $R_{B,0} = 2 R_{A,0}$ है।
समय $t$ पर सक्रियता का सूत्र $R(t) = R_0 e^{-\lambda t}$ है,जहाँ $\lambda = \frac{\ln(2)}{T}$ है।
समय $t$ पर सक्रियता को बराबर करने पर: $R_{A,0} e^{-\lambda_1 t} = R_{B,0} e^{-\lambda_2 t}$।
$R_{B,0} = 2 R_{A,0}$ प्रतिस्थापित करने पर: $R_{A,0} e^{-\lambda_1 t} = 2 R_{A,0} e^{-\lambda_2 t}$।
$e^{(\lambda_2 - \lambda_1)t} = 2$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $(\lambda_2 - \lambda_1)t = \ln(2)$।
चूंकि $\lambda = \frac{\ln(2)}{T}$ है,इसलिए $(\frac{\ln(2)}{T_2} - \frac{\ln(2)}{T_1})t = \ln(2)$।
$\ln(2)$ से विभाजित करने पर: $(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1})t = 1$।
$(\frac{T_1 - T_2}{T_1 T_2})t = 1$।
अतः,$t = \frac{T_1 T_2}{T_1 - T_2}$।

(B) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ के क्षय की दर रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $n = \lambda N$,जहाँ $n$ प्रति सेकंड उत्सर्जित कणों की संख्या है,$\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ उपस्थित रेडियोधर्मी परमाणुओं की संख्या है।
इस संबंध से,क्षय नियतांक $\lambda = \frac{n}{N}$ है।
रेडियोधर्मी तत्व का माध्य जीवनकाल $(\tau)$ क्षय नियतांक के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\tau = \frac{1}{\lambda}$।
$\lambda$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tau = \frac{1}{n/N} = \frac{N}{n}$ प्राप्त होता है।
अतः,माध्य जीवनकाल $\frac{N}{n}$ सेकंड है।

(B) माना नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है।
$t = 1$ दिन के बाद,क्षयित नाभिकों की संख्या $N_0$ का $10 \%$ है,इसलिए शेष नाभिकों की संख्या $N(1) = N_0 - 0.10 N_0 = 0.90 N_0$ है।
रेडियोधर्मी क्षय नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ का उपयोग करते हुए,हमें $0.90 N_0 = N_0 e^{-\lambda(1)}$ प्राप्त होता है,जिससे $e^{-\lambda} = 0.9$ मिलता है।
$t = 2$ दिनों के बाद,शेष नाभिकों की संख्या $N(2) = N_0 e^{-\lambda(2)} = N_0 (e^{-\lambda})^2$ होगी।
$e^{-\lambda} = 0.9$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N(2) = N_0 (0.9)^2 = 0.81 N_0$ प्राप्त होता है।
$2$ दिनों के बाद क्षयित नाभिकों की संख्या $N_{decayed} = N_0 - N(2) = N_0 - 0.81 N_0 = 0.19 N_0$ है।
अतः,क्षयित प्रतिशत $19 \%$ है।

(C) $n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बचे रेडियोधर्मी परमाणुओं की संख्या का सूत्र है: $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
यहाँ, अर्ध-आयु की संख्या $n = 5$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^5 = N_0 \left( \frac{1}{32} \right)$.
शेष प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम $\frac{N}{N_0} \times 100 \%$ की गणना करते हैं।
$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{32} = 0.03125$.
अतः, शेष प्रतिशत $0.03125 \times 100 \% = 3.125 \%$ है।

(D) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{64}$.
अतः,$\frac{1}{64} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
चूँकि $64 = 2^6$,इसलिए $\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \left(\frac{1}{2}\right)^n$,जिसका अर्थ है $n = 6$.
कुल समय $t = 30$ सेकंड है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}}$,जहाँ $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
इसलिए,$6 = \frac{30}{T_{1/2}}$.
$T_{1/2} = \frac{30}{6} = 5$ सेकंड।

(B) दिया गया है: अर्ध-आयु $T_P = 1$ महीना,$T_Q = 2$ महीने।
क्षय नियतांक: $\lambda_P = \frac{\ln 2}{T_P} = \ln 2$ और $\lambda_Q = \frac{\ln 2}{T_Q} = \frac{\ln 2}{2}$।
विघटन की दर $R = \lambda N$,जहाँ $N = N_0 e^{-\lambda t}$।
समय $t$ पर,दरें समान हैं: $\lambda_P x e^{-\lambda_P t} = \lambda_Q x e^{-\lambda_Q t}$।
$(\ln 2) e^{-(\ln 2) t} = (\frac{\ln 2}{2}) e^{-(\frac{\ln 2}{2}) t}$।
$1 = \frac{1}{2} e^{(\ln 2 - \frac{\ln 2}{2}) t} = \frac{1}{2} e^{(\frac{\ln 2}{2}) t}$।
$2 = e^{(\frac{\ln 2}{2}) t} \implies \ln 2 = \frac{\ln 2}{2} t \implies t = 2$ महीने।
शेष नाभिकों की संख्या: $N_P = x e^{-\lambda_P t} = x e^{-(\ln 2)(2)} = x(2)^{-2} = \frac{x}{4} = 0.25x$।
$N_Q = x e^{-\lambda_Q t} = x e^{-(\frac{\ln 2}{2})(2)} = x(2)^{-1} = \frac{x}{2} = 0.5x$।
$R$ में विघटित कुल नाभिक: $N_R = (x - 0.25x) + (x - 0.5x) = 0.75x + 0.5x = 1.25x$।

(A) समय $t$ के बाद शेष रेडियोधर्मी पदार्थ का अंश ज्ञात करने का सूत्र $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ है।
यहाँ,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 30 \ min$ और कुल समय $t = 90 \ min$ दिया गया है।
बीते हुए अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{90}{30} = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.
अतः,अविघटित रेडियोधर्मी तत्व का अंश $\frac{1}{8}$ है।

(A) के प्रारंभिक मोल: $(n_0)_A = \frac{320}{16} = 20 \text{ मोल}$.
$B$ के प्रारंभिक मोल: $(n_0)_B = \frac{320}{32} = 10 \text{ मोल}$.
$2$ दिनों के बाद $A$ के शेष मोल ($T_{1/2} = 1$ दिन): $n_A = \frac{20}{2^{2/1}} = \frac{20}{4} = 5 \text{ मोल}$.
$2$ दिनों के बाद $B$ के शेष मोल ($T_{1/2} = 0.5$ दिन): $n_B = \frac{10}{2^{2/0.5}} = \frac{10}{2^4} = \frac{10}{16} = 0.625 \text{ मोल}$.
कुल शेष मोल: $n_{total} = 5 + 0.625 = 5.625 \text{ मोल}$.
परमाणुओं की कुल संख्या: $N = 5.625 \times 6.023 \times 10^{23} \approx 3.388 \times 10^{24}$.
अतः,उत्तर लगभग $3.38$ है।

(C) क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T_{1/2}$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ है।
दो एक साथ होने वाली क्षय प्रक्रियाओं के लिए, प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda_{\text{eff}} = \lambda_1 + \lambda_2$ होता है।
यहाँ $T_1 = 5\, \text{min} = 300\, s$ और $T_2 = 30\, s$ दिया गया है।
अतः, $\lambda_1 = \frac{\ln 2}{300}$ और $\lambda_2 = \frac{\ln 2}{30}$ है।
$\lambda_{\text{eff}} = \frac{\ln 2}{T_{\text{eff}}} = \frac{\ln 2}{300} + \frac{\ln 2}{30}$।
$\ln 2$ से विभाजित करने पर, हमें $\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{300} + \frac{1}{30} = \frac{1 + 10}{300} = \frac{11}{300}$ प्राप्त होता है।
इसलिए, $T_{\text{eff}} = \frac{300}{11}\, s$।
इसकी तुलना $\frac{\alpha}{11}\, s$ से करने पर, हमें $\alpha = 300$ प्राप्त होता है।

(B) कथन $I$ गलत है क्योंकि रेडियोधर्मी क्षय का नियम बताता है कि क्षय की दर $(dN/dt)$ मौजूद नाभिकों की संख्या $(N)$ के सीधे आनुपातिक होती है, अर्थात $dN/dt = -\lambda N$।
कथन $II$ गलत है क्योंकि कथन में दी गई परिभाषा माध्य आयु (mean life) का वर्णन करती है, न कि अर्ध-आयु का। अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ को उस समय के रूप में परिभाषित किया जाता है जो रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या को उनके प्रारंभिक मान के आधे तक कम करने के लिए आवश्यक होता है।
अतः, दोनों कथन गलत हैं।

(D) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है कि पदार्थ $3$ दिनों में अपनी मूल मात्रा का $1/8$ भाग रह जाता है:
$\frac{N_0}{8} = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n \implies \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^n \implies n = 3$.
चूंकि $3$ अर्ध-आयु $3$ दिनों के बराबर है,इसलिए अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1$ दिन है।
$5$ दिनों के बाद,व्यतीत अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{5 \text{ दिन}}{1 \text{ दिन}} = 5$ है।
शेष मात्रा $N = 8 \times 10^{-3} \, kg = 8 \, g$ है।
क्षय सूत्र का उपयोग करते हुए: $8 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^5$.
$8 = N_0 \left(\frac{1}{32}\right)$.
$N_0 = 8 \times 32 = 256 \, g$.

(D) दिया गया है: क्षय नियतांक $\lambda = 1.5 \times 10^{-5} \, s^{-1}$।
पदार्थ का द्रव्यमान $m = 1.0 \, \mu g = 1.0 \times 10^{-6} \, g$।
मोलर द्रव्यमान $M = 60 \, g \, mol^{-1}$।
मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M} = \frac{1.0 \times 10^{-6}}{60} = \frac{1}{6} \times 10^{-7} \, mol$।
परमाणुओं की संख्या $N = n \times N_A = (\frac{1}{6} \times 10^{-7}) \times (6 \times 10^{23}) = 10^{16}$ परमाणु।
सक्रियता $A = N \lambda = 10^{16} \times 1.5 \times 10^{-5} \, Bq$।
$A = 1.5 \times 10^{11} \, Bq = 15 \times 10^{10} \, Bq$।
अतः,मान $15$ है।

(A) पदार्थ की अर्ध-आयु $t_{1/2} = T$ दी गई है।
यदि मूल द्रव्यमान $N_0$ है,तो इसके $\frac{7}{8}$ भाग के विघटित होने के बाद शेष द्रव्यमान $N$ होगा:
$N = N_0 - \frac{7}{8}N_0 = \frac{1}{8}N_0$.
हम जानते हैं कि $n$ अर्ध-आयु के बाद शेष द्रव्यमान $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{8}N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^n$,जिसका अर्थ है $n = 3$.
कुल लगा समय $t = n \times T = 3T$ होगा।

(C) तत्व $A$ की अर्ध-आयु $T_{1/2}(A) = \frac{\ln 2}{\lambda_A}$ द्वारा दी जाती है।
तत्व $B$ की औसत आयु $\tau(B) = \frac{1}{\lambda_B}$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,$A$ की अर्ध-आयु $B$ की औसत आयु के बराबर है:
$T_{1/2}(A) = \tau(B)$
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\ln 2}{\lambda_A} = \frac{1}{\lambda_B}$
$\lambda_A$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\lambda_A = \lambda_B \ln 2$
अतः,सही संबंध $\lambda_A = \lambda_B \ln 2$ है।

(C) अर्ध-आयु $T_{1/2} = 5$ वर्ष है।
कुल समय $t = 15$ वर्ष है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$ है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बचे नाभिकों का अंश $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ है।
क्षयित हुए नमूने का अंश $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ है।