Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Gujarati

(D) $1$. જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર દ્વારા બિંદુ $P$ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ કાગળના સમતલને લંબ અને અંદરની તરફ (કાગળની અંદર) હોય છે.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા $+Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = Q(\vec{V} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. અહીં,વેગ $\vec{V}$ એ ધન $X$-અક્ષની દિશામાં (જમણી તરફ) છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ અંદરની તરફ (કાગળની અંદર,$-\hat{k}$ દિશામાં) છે.
$4$. સદિશ ગુણાકાર $\vec{V} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\vec{V}$ એ $\hat{i}$ ની દિશામાં છે અને $\vec{B}$ એ $-\hat{k}$ ની દિશામાં છે,બળની દિશા $\hat{i} \times (-\hat{k}) = -(\hat{i} \times \hat{k}) = -(-\hat{j}) = \hat{j}$ મળે છે.
$5$. આ ધન $Y$-અક્ષની દિશા દર્શાવે છે,જે $OY$ ની દિશામાં છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $\vec{v}$ દક્ષિણથી ઉત્તર દિશામાં છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ઉર્ધ્વ દિશામાં નીચેની તરફ છે.
$\vec{v} \times \vec{B}$ ના સદિશ ગુણાકાર માટે જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$\vec{v} \times \vec{B}$ ની દિશા પશ્ચિમ તરફ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર ઋણ વિદ્યુતભાર $(q = -e)$ હોવાથી,બળ $\vec{F} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$ એ $\vec{v} \times \vec{B}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે પૂર્વ તરફ લાગશે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન પૂર્વ દિશામાં વિચલિત થશે.
વૈકલ્પિક રીતે,ઋણ વિદ્યુતભાર માટે ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બળ પૂર્વ દિશામાં મળે છે.

(C) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુત અને ચુંબકીય બંને ક્ષેત્રોમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સુરેખ પથ પર ગતિ કરવા માટે ચોખ્ખું લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે વિદ્યુત બળ $F_E = qE$ એ ચુંબકીય બળ $F_B = qvB$ દ્વારા સંતુલિત થાય.
$F_E = F_B$ લેતા,આપણને $qE = qvB$ મળે છે.
વેગ $v$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$v = \frac{E}{B}$ મળે.
અહીં $E = 1500\, V/m$ અને $B = 0.40\, Wb/m^2$ આપેલ છે,તેથી ઝડપ $v = \frac{1500}{0.40} = 3750\, m/s$ થાય.
આને વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં $3.75 \times 10^3\, m/s$ તરીકે લખી શકાય.

(C) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_m = F_c$
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$r = \frac{mv}{qB}$
અહીં $m$,$q$,અને $B$ અચળ હોવાથી:
$r \propto v$
તેથી,ત્રિજ્યા એ ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(B) $1$. જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વાહક દ્વારા ઇલેક્ટ્રોન પ્રવાહના સ્થાન પર (વાહકની નીચે) ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હોય છે.
$2$. ઇલેક્ટ્રોન જમણી તરફ ગતિ કરી રહ્યા છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર ઋણ $(q = -e)$ હોવાથી,બળની દિશા $(v \times B)$ ની દિશાથી વિરુદ્ધ હોય છે.
$4$. ક્રોસ પ્રોડક્ટ $(v \times B)$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v$ જમણી તરફ છે અને $B$ કાગળની અંદરની તરફ છે,$(v \times B)$ ની દિશા ઉપરની તરફ મળે છે.
$5$. તેથી,ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ નીચેની તરફ હોય છે. વૈકલ્પિક રીતે,ઋણ વિદ્યુતભારો માટે ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બળ નીચેની તરફ લાગે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ મળે.
ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2K}{m}} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$.
અહીં $K$ અને $B$ અચળ હોવાથી,$r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$.
દળનો ગુણોત્તર $m_H:m_{He}:m_O = 1:4:16$ અને વિદ્યુતભાર $q_H=1, q_{He}=1, q_O=2$ છે:
$r_H \propto \frac{\sqrt{1}}{1} = 1$
$r_{He} \propto \frac{\sqrt{4}}{1} = 2$
$r_O \propto \frac{\sqrt{16}}{2} = \frac{4}{2} = 2$
આમ,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $r_H:r_{He}:r_O = 1:2:2$ છે.
વિચલન એ ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(d \propto 1/r)$,સૌથી નાની ત્રિજ્યા ધરાવતો આયન $(H^+)$ સૌથી વધુ વિચલિત થશે અને $He^+$ તથા $O^{++}$ ની ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી તેમનું વિચલન પણ સમાન હશે. તેથી,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ $+x$ દિશામાં છે. ધન આયનો $+x$ દિશામાં વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ અનુભવે છે,જ્યારે ઋણ આયનો $-x$ દિશામાં વિદ્યુત બળ અનુભવે છે.
પરિણામે,ધન આયનો $+x$ દિશામાં વેગ $\vec{v}$ પ્રાપ્ત કરે છે અને ઋણ આયનો $-x$ દિશામાં વેગ $\vec{v}$ પ્રાપ્ત કરે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $+z$ દિશામાં છે.
વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધન આયનો માટે: $\vec{F}_m = (+q)(v\hat{i} \times B\hat{k}) = -qvB\hat{j}$,જે $-y$ દિશામાં છે.
ઋણ આયનો માટે: $\vec{F}_m = (-q)(-v\hat{i} \times B\hat{k}) = (-q)(-vB(-\hat{j})) = -qvB\hat{j}$,જે પણ $-y$ દિશામાં છે.
આમ,બંને પ્રકારના આયનો $-y$ દિશામાં વિચલિત થાય છે.

(B) કણ $x = a$ સુધી સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તાર $(a \le x \le b)$ માં પ્રવેશતા,ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે કણ $r = \frac{mv}{qB}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
કણ $x > b$ વાળા વિસ્તાર સુધી પહોંચી શકે તે માટે,વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારની પહોળાઈ $(b - a)$ જેટલી અથવા તેનાથી વધુ હોવી જોઈએ.
તેથી,શરત $r \ge (b - a)$ છે.
$r$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\frac{mv}{qB} \ge (b - a)$ મળે છે.
$v$ માટે ઉકેલતા,$v \ge \frac{q(b - a)B}{m}$ મળે છે.
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ વેગ $v_{\min} = \frac{q(b - a)B}{m}$ છે.

(B) કણ $x-y$ સમતલમાં ગતિ કરે છે. ગતિ $x-y$ સમતલમાં જ રહે તે માટે,પરિણામી બળ $\overrightarrow F_{net} = q(\overrightarrow E + \overrightarrow v \times \overrightarrow B)$ નો $z$-અક્ષ પર કોઈ ઘટક હોવો જોઈએ નહીં.
પ્રારંભિક વેગ $\overrightarrow v = v\hat i$ છે.
વિકલ્પ $(d)$ માં,$\overrightarrow F_{net} = q(a\hat i) + q(v\hat i \times (c\hat k + b\hat j)) = qa\hat i - qvc\hat j + qvb\hat k$. $z$-ઘટક $(qvb\hat k)$ ની હાજરી કણને $x-y$ સમતલની બહાર ધકેલે છે,તેથી $(d)$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $(b)$ માં,$\overrightarrow F_{net} = q(a\hat i) + q(v\hat i \times (c\hat k + a\hat i)) = qa\hat i - qvc\hat j$. અહીં,બળના માત્ર $x$ અને $y$ ઘટકો છે,જે કણને $x-y$ સમતલમાં રાખે છે. પથ અર્ધવર્તુળાકાર નથી કારણ કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર કણની ઝડપ બદલે છે. આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચું સંયોજન છે.

(A) બ્લોક ધાતુનો હોવાથી,વિદ્યુતભાર વાહકો ઇલેક્ટ્રોન છે. ધન $x$-અક્ષની દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ માટે,ઇલેક્ટ્રોન ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરે છે,એટલે કે $\overrightarrow{v} = -v\hat{i}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y$-અક્ષની દિશામાં છે,એટલે કે $\overrightarrow{B} = B\hat{j}$.
લોરેન્ઝ બળ $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\overrightarrow{F} = (-e)(-v\hat{i} \times B\hat{j}) = evB(\hat{i} \times \hat{j}) = evB\hat{k}$.
ઇલેક્ટ્રોન પરનું બળ ધન $z$-દિશામાં હોવાથી,તેઓ $ABCD$ સપાટી પર એકઠા થાય છે (આકૃતિમાં દર્શાવેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ મુજબ). $ABCD$ સપાટી પર ઋણ વિદ્યુતભારોના જમા થવાને કારણે તેનું પોટેન્શિયલ ઘટે છે.

(D) ધારો કે બે તાર $xy$-સમતલમાં,$y$-અક્ષને સમાંતર,$x = -d/2$ અને $x = d/2$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
મધ્યબિંદુ (ઉગમબિંદુ) પર,પ્રથમ તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ સમતલની અંદરની તરફ ($-z$ દિશામાં) છે અને બીજા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ પણ સમતલની અંદરની તરફ ($-z$ દિશામાં) છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2$ એ તારના સમતલને લંબ ($-z$ દિશામાં) છે.
વિદ્યુતભાર $q$ નો વેગ $v$ એ તારના સમતલને લંબ ( $z$ દિશામાં) આપેલો છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ સદિશ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $B$ એકરેખીય (બંને $z$-અક્ષ પર) હોવાથી,તેમનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ $v \times B = 0$ થાય છે.
તેથી,વિદ્યુતભાર પર લાગતા ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય $0$ છે.

(A) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે પ્રવેશે છે,ત્યારે તે $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
માર્ગની ભૂમિતિ પરથી,કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાં $d$ જેટલું આડું અંતર કાપે છે.
ત્રિજ્યા $r$,આડું અંતર $d$ અને વિચલન કોણ $\theta$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે $\sin \theta = \frac{d}{r}$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\sin \theta = \frac{d}{p / (qB)} = \frac{Bqd}{p}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રોટોનના પથની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે $\sin \theta = \frac{d}{r}$ છે,જ્યાં $d = 0.1 \; m$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારની પહોળાઈ છે અને $r$ એ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા છે.
વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V = 500 \times 10^3 \; V$ એ પ્રવેગક વિદ્યુતસ્થિતિમાન છે.
$\sin \theta$ ના સમીકરણમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sin \theta = \frac{d}{r} = Bd \sqrt{\frac{q}{2mV}}$
આપેલ કિંમતો: $B = 0.51 \; T$,$d = 0.1 \; m$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \; kg$,$V = 500 \times 10^3 \; V$.
$\sin \theta = 0.51 \times 0.1 \times \sqrt{\frac{1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 500 \times 10^3}}$
$\sin \theta = 0.051 \times \sqrt{\frac{1.6 \times 10^{-19}}{1.67 \times 10^{-21}}} \approx 0.051 \times \sqrt{95.8} \approx 0.051 \times 9.78 \approx 0.5$
તેથી $\sin \theta = 0.5$ હોવાથી,$\theta = 30^o$ મળે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
ઇલેક્ટ્રોન તેની દિશા ઉલટાવે તે માટે,તેણે ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ સમતલમાં અર્ધ-વર્તુળાકાર માર્ગ કાપવો પડે.
જો ઇલેક્ટ્રોન ધન $X$-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરતો હોય (વેગ $\vec{v} = v\hat{i}$),અને આપણે $Y$-અક્ષની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(\vec{B} = B\hat{j})$ લાગુ કરીએ,તો બળ $\vec{F} = -e(v\hat{i} \times B\hat{j}) = -evB\hat{k}$ થશે.
આ બળ $Z$-દિશામાં લાગે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોન $X-Z$ સમતલમાં અર્ધ-વર્તુળમાં ગતિ કરે છે.
અર્ધ-વર્તુળ પૂર્ણ કર્યા પછી,વેગ સદિશ ઋણ $X$-દિશામાં $(-v\hat{i})$ નિર્દેશિત થશે,જે ઇલેક્ટ્રોનની દિશાને અસરકારક રીતે ઉલટાવે છે.
આમ,$Y$-અક્ષ (અથવા $Z$-અક્ષ) પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર લાગુ કરવાથી ઇચ્છિત પરિણામ પ્રાપ્ત થશે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow F = q(\overrightarrow v \times \overrightarrow B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા કણના વેગને લંબ હોવાથી,તે ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી. તેથી,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v$ તેની પ્રારંભિક ઝડપ $u$ જેટલી જ રહે છે,એટલે કે $v = u$.
ઋણ વિદ્યુતભાર (ઇલેક્ટ્રોન) પર લાગતા ચુંબકીય બળ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: વેગ $\overrightarrow v$ એ $+x$-દિશામાં છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow B$ એ $-z$-દિશામાં $(-B_0 \hat k)$ છે. બળ $\overrightarrow F = -e(\overrightarrow v \times \overrightarrow B) = -e(u \hat i \times -B_0 \hat k) = -e(u B_0 \hat j) = -e u B_0 \hat j$. આમ,પ્રારંભિક બળ ઋણ $y$-દિશામાં લાગે છે.
ઇલેક્ટ્રોન ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરશે અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાંથી એવા બિંદુએ બહાર નીકળશે જ્યાં $y < 0$ હોય.

(C) ઇલેક્ટ્રોન વિચલિત થયા વિના વિસ્તારમાંથી પસાર થાય તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. કુલ બળ $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\overrightarrow{F} = 0$ માટે,આપણી પાસે $\overrightarrow{F_e} = -\overrightarrow{F_m}$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $|\overrightarrow{F_e}| = |\overrightarrow{F_m}|$.
આ શરત ત્યારે સંતોષાય છે જ્યારે વિદ્યુત બળ $\overrightarrow{F_e} = q\overrightarrow{E}$,ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F_m} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$,અને વેગ $\overrightarrow{v}$ એવી રીતે ગોઠવાયેલા હોય કે જેથી $\overrightarrow{v}$,$\overrightarrow{E}$,અને $\overrightarrow{B}$ એકબીજાને પરસ્પર લંબ હોય.
વિકલ્પ $C$ માં,વેગ $\overrightarrow{v}$,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$,અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ એકબીજાને પરસ્પર લંબ (દરેક એકબીજા સાથે $90^\circ$ ના ખૂણે) દર્શાવવામાં આવ્યા છે,જે વિદ્યુત અને ચુંબકીય બળોને એકબીજાને સંતુલિત કરવાની મંજૂરી આપે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા ઇલેક્ટ્રોન પર થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$.
કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
ગતિઊર્જા $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ અચળ હોવાથી અને દળ $m$ અચળ હોવાથી,ઝડપ $v$ અચળ રહે છે.
પરિણામે,વેગમાનનું મૂલ્ય $(p = mv)$ પણ અપરિવર્તિત રહે છે.
તેથી,ઊર્જા અને વેગમાન બંને અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન બીમ પરસ્પર લંબ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોમાંથી વિચલિત થયા વગર પસાર થાય છે,ત્યારે વિદ્યુત બળ એ ચુંબકીય બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$F_e = F_m$
$eE = evB$
તેથી,ઝડપ $v$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v = \frac{E}{B}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{3 \times 10^4}{2 \times 10^{-3}}$
$v = 1.5 \times 10^7 \ m/s$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ એવા વિસ્તારમાંથી અચળ વેગ સાથે પસાર થાય છે જ્યાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ બંને હાજર હોય અને તે એકબીજાને તથા વેગ સદિશને લંબ હોય,ત્યારે કણ પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = 20 \ V m^{-1}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.5 \ T$ છે.
કણ અચળ વેગથી ગતિ કરે તે માટેની શરત વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળના સંતુલન દ્વારા મળે છે:
$qE = qvB$
$v = \frac{E}{B}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{20}{0.5} = 40 \ m s^{-1}$.
આમ,ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $40 \ m s^{-1}$ છે.

(C) થોમસનના પ્રયોગમાં,ક્રોસ્ડ ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $E$ અને મેગ્નેટિક ફિલ્ડ $B$ માંથી પસાર થતા વીજભારિત કણ માટે કોઈ વિચલન ન થાય તેની શરત બળોના સંતુલન દ્વારા મળે છે: $qE = qvB$,જેનો અર્થ છે $v = E/B$.
સ્થિતિમાન તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત કણ દ્વારા મેળવેલી ગતિ ઊર્જા $qV = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જે $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ આપે છે.
વેગ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{E}{B} = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{E^2}{B^2} = \frac{2qV}{m}$,જે દર્શાવે છે કે $\frac{q}{m} = \frac{E^2}{2VB^2}$.
નિશ્ચિત સ્થિતિમાન $V$ અને ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $E$ માટે,$B^2 \propto \frac{1}{m}$ થાય.
જો દળ $m$ ને $208$ ના ગુણાંકમાં વધારવામાં આવે,તો $B^2$ એ $1/208$ ના ગુણાંકમાં બદલાવું જોઈએ.
તેથી,$B$ એ $\sqrt{1/208}$ ના ગુણાંકમાં બદલાવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે શરત જાળવી રાખવા માટે $B$ ને $\sqrt{208} \approx 14.4$ વડે ગુણવું જોઈએ.

(C) વેલોસિટી સિલેક્ટરમાં,વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ અને ચુંબકીય બળ $F_m = qvB$ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
આયનો વિચલિત થયા વગર પસાર થાય તે માટે,બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ: $qE = qvB$,જેનું સાદું રૂપ $v = \frac{E}{B}$ થાય છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V = 1000 \ V$ અને $d = 1 \ cm = 0.01 \ m = 10^{-2} \ m$ આપેલ છે.
તેથી,$E = \frac{1000}{10^{-2}} = 10^5 \ V/m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 1 \ T$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને વેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $v = \frac{10^5}{1} = 10^5 \ m/s$.

(B) થોમસનના પોઝિટિવ રે પ્રયોગમાં,વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોમાં આયનોનું વિચલન લોરેન્ટ્ઝ બળ અને ગતિશાસ્ત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્રની દિશામાં સ્થાનાંતર $y$ એ $(q/m) \cdot (1/v^2)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે,અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં સ્થાનાંતર $z$ એ $(q/m) \cdot (1/v)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
વેગ $v$ ને દૂર કરતા,આપણને ગતિપથનું સમીકરણ મળે છે: $z^2 = k \cdot (q/m) \cdot y$,જ્યાં $k$ એ ક્ષેત્રની તીવ્રતા અને ભૂમિતિ સાથે સંબંધિત અચળાંક છે.
તમામ આયનો માટે $q/m$ અચળ હોવાથી,સમીકરણ $z^2 = C \cdot y$ સ્વરૂપમાં આવે છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.
તેથી,ફોટોગ્રાફિક પ્લેટ પરનો ટ્રેસ પરવલયાકાર હોય છે.

(B) માસ સ્પેક્ટ્રોગ્રાફમાં,જ્યારે આયનોને સમાન વેગ $v$ થી સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ $r = \frac{mv}{qB}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
આયનો ફોટોગ્રાફિક પ્લેટ પર અથડાય છે,તેથી પ્રવેશ બિંદુથી અંતર એ વ્યાસ $D = 2r = \frac{2mv}{qB}$ છે.
આપેલ છે કે $v$ અને $B$ અચળ છે,તેથી વ્યાસ $D$ એ દળ અને વિદ્યુતભારના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે: $D \propto \frac{m}{q}$.
દરેક આયન માટે $\frac{m}{q}$ ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$1$. ${O^{++}}$ માટે: $\frac{m}{q} \propto \frac{16}{2} = 8$
$2$. ${C^+}$ માટે: $\frac{m}{q} \propto \frac{12}{1} = 12$
$3$. ${He^{++}}$ માટે: $\frac{m}{q} \propto \frac{4}{2} = 2$
$4$. ${H^+}$ માટે: $\frac{m}{q} \propto \frac{1}{1} = 1$
આમ,${C^+}$ માટે $\frac{m}{q}$ ગુણોત્તર સૌથી વધુ હોવાથી,તે સૌથી દૂર અથડાશે.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન બીમ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી વિચલિત થયા વગર પસાર થાય,ત્યારે વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
$F_e = F_m$
$qE = qvB$
$v = \frac{E}{B}$
અહીં $E = 1.125 \times 10^{-6} \, N/C$ અને $B = 3 \times 10^{-10} \, T$ આપેલ છે.
$v = \frac{1.125 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-10}} = 0.375 \times 10^4 = 3750 \, m/s$.

(A) પેરાબોલા સ્પેક્ટ્રોગ્રાફમાં,આયનનું વિચલન $x$ તેના વેગના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $x \propto \frac{1}{v^2}$.
આનો અર્થ એ છે કે જે આયનનું વિચલન ઓછું હશે તેનો વેગ વધારે હશે.
આપેલ આલેખ પરથી,$P, Q, R,$ અને $S$ આયનોનું શિરોલંબ અક્ષથી આડું અંતર (વિચલન) અનુક્રમે $x_1, x_2, x_3,$ અને $x_4$ છે.
આલેખનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$.
જેમ કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{x}}$,તેથી $v_1 > v_2 > v_3 > v_4$ થાય છે.

(D) આ વિસ્તારમાં,વિદ્યુતભારિત કણ વિદ્યુતબળ $\vec{F_e} = q\vec{E}$ અનુભવે છે.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,તે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં (જો ધન હોય તો) અથવા તેની વિરુદ્ધ દિશામાં (જો ઋણ હોય તો) પ્રવેગિત થશે.
જેમ જેમ કણ વેગ $\vec{v}$ પ્રાપ્ત કરે છે,તેમ તે ચુંબકીય બળ $\vec{F_m} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ અનુભવે છે.
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીયક્ષેત્ર સમાંતર હોવાથી,અને કણનો વેગ $\vec{v}$ વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા ઉત્પન્ન થતો હોવાથી,વેગ $\vec{v}$ હંમેશા ચુંબકીયક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર રહેશે (એટલે કે $\vec{v} \parallel \vec{B}$).
તેથી,ચુંબકીય બળ $F_m = qvB \sin(0^\circ) = 0$ થાય છે.
કણ પર કોઈ ચુંબકીય બળ લાગતું ન હોવાથી અને વિદ્યુતબળ ક્ષેત્રોની રેખાની દિશામાં લાગતું હોવાથી,કણ સુરેખ માર્ગે ગતિ કરશે.

(B) ઇલેક્ટ્રોનનો વિશિષ્ટ વીજભાર $(e/m)$ નક્કી કરવા માટેના જે. જે. થોમસનના પ્રયોગમાં,ઇલેક્ટ્રોન બીમ પર વિદ્યુત અને ચુંબકીય બંને ક્ષેત્રો લગાડવામાં આવે છે.
$1$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ એકબીજાને લંબ રાખવામાં આવે છે.
$2$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ બંને ઇલેક્ટ્રોન બીમની ગતિની દિશાને લંબ હોય છે.
$3$. ક્ષેત્રોને એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે છે કે જેથી ઇલેક્ટ્રોન બીમ વિચલિત થયા વગર પસાર થાય,જેનાથી ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ નક્કી કરી શકાય છે અને ત્યારબાદ $e/m$ ગુણોત્તરની ગણતરી કરવામાં આવે છે.
આમ,વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને લંબ છે અને બંને ઇલેક્ટ્રોન બીમને પણ લંબ છે.

(C) પ્રોટોનનો આવર્તકાળ $(T_p)$ એ એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે.
આપેલ છે કે પ્રોટોન $5$ પરિભ્રમણ માટે $25 \mu \text{sec}$ લે છે,તેથી $T_p = \frac{25}{5} = 5 \mu \text{sec}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = \frac{2\pi m}{qB}$ છે.
$\alpha$-કણ $(T_{\alpha})$ અને પ્રોટોન $(T_p)$ ના આવર્તકાળની સરખામણી કરતા: $\frac{T_{\alpha}}{T_p} = \frac{m_{\alpha}}{m_p} \times \frac{q_p}{q_{\alpha}}$.
અહીં $m_{\alpha} = 4m_p$ અને $q_{\alpha} = 2q_p$ હોવાથી,$\frac{T_{\alpha}}{T_p} = \frac{4m_p}{m_p} \times \frac{q_p}{2q_p} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$.
તેથી,$T_{\alpha} = 2 \times T_p = 2 \times 5 \mu \text{sec} = 10 \mu \text{sec}$.

(B) જ્યારે કણ $x = a$ આગળ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેના પર ચુંબકીય બળ લાગે છે જે તેને $R = \frac{MV}{qB}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરાવે છે.
કણ $x = b$ વિસ્તારમાંથી બહાર નીકળી શકે તે માટે,તેના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારની પહોળાઈ $(b - a)$ જેટલી અથવા તેનાથી વધુ હોવી જોઈએ.
તેથી,આપણી પાસે શરત છે: $R \ge (b - a)$.
$R$ નું સૂત્ર મૂકતા: $\frac{MV}{qB} \ge (b - a)$.
$V$ માટે ઉકેલતા: $V \ge \frac{q(b - a)B}{M}$.
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ વેગ $V_{\min} = \frac{q(b - a)B}{M}$ છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન વિચલન પામ્યા વગર પસાર થાય તે માટે,વિદ્યુતબળ અને ચુંબકીયબળ સમાન હોવા જોઈએ: $|\overrightarrow{F}_e| = |\overrightarrow{F}_m|$.
$|\overrightarrow{F}_e| = eE$ અને $|\overrightarrow{F}_m| = evB$ હોવાથી,$eE = evB$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{E}{B}$.
કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા,$v = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 B}$ મળે છે.
$l$ લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{l}{v}$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,$t = \frac{l}{(\sigma / \varepsilon_0 B)} = \frac{\varepsilon_0 l B}{\sigma}$ મળે છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2 = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = qvB$ છે.
વેગનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $F = qB\sqrt{\frac{2qV}{m}}$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $F \propto \sqrt{V}$.
જો વિદ્યુતસ્થિતિમાન વધારીને $5V$ કરવામાં આવે,તો નવું બળ $F'$ એ $F' = F \sqrt{\frac{5V}{V}} = \sqrt{5}F$ થશે.

(C) ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાંથી વિચલન વગર પસાર થાય તે માટે,વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન હોવા જોઈએ.
$F_e = F_m$
$qE = qvB$
$v = \frac{E}{B}$
અહીં,વોલ્ટેજ તફાવત $V = 1000 \ V$ અને અંતર $d = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d} = \frac{1000}{10^{-2}} = 10^5 \ V/m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 1 \ T$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{10^5}{1} = 10^5 \ m/s$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં $\vec{v}$ વેગ સાથે ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$
આ બળનું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$F = qvB \sin \theta$
જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બળ શૂન્ય ન હોય $(F \neq 0)$ તે માટે,$\sin \theta \neq 0$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $\theta = 0^{\circ}$ અને $\theta = 180^{\circ}$ પર $\sin \theta = 0$ થાય છે,તેથી આ કિસ્સાઓમાં બળ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,બળ શૂન્ય ન હોય તે માટે,ખૂણો $\theta$ એ $0^{\circ}$ અને $180^{\circ}$ સિવાયનું કોઈપણ મૂલ્ય હોઈ શકે છે.

(A) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ તેના વેગને લંબરૂપે રહેલા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દાખલ થાય છે,ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = Q(\vec{v} \times \vec{B})$ અનુભવે છે.
આ બળ હંમેશા કણના વેગને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા કણ પર થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે $(W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ પરિણામી બળ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે.
કારણ કે કાર્ય શૂન્ય છે,તેથી ગતિ દરમિયાન કણની ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,$3$ $seconds$ પછી પણ ગતિઊર્જા $K$ જ રહેશે.

(D) વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = -2 \times 10^{-6}\, C$
વેગ $\vec{v} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) \times 10^6\, m/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 2\hat{j}\, T$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{F} = (-2 \times 10^{-6}) \times [(2\hat{i} + 3\hat{j}) \times 10^6] \times (2\hat{j})$
$\vec{F} = -2 \times 2 \times [ (2\hat{i} \times \hat{j}) + (3\hat{j} \times \hat{j}) ]$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ અને $\hat{j} \times \hat{j} = 0$:
$\vec{F} = -4 \times (2\hat{k} + 0)$
$\vec{F} = -8\hat{k}\, N$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ $-z$ દિશામાં છે.
આમ,બળ $-z$ દિશામાં $8\, N$ છે.

(C) કણ પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કણ સીધી સમક્ષિતિજ રેખામાં ગતિ કરે તે માટે,કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
વિધાન $(2)$ માટે: જો $\vec{B}$ અને $\vec{E}$ બંને વેગ $\vec{v}$ ની દિશામાં હોય,તો $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ થાય. વિદ્યુત બળ $q\vec{E}$ વેગની દિશામાં લાગે છે,જે પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે પરંતુ વિચલન કરતું નથી. આમ,કણ સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
વિધાન $(3)$ માટે: જો $\vec{v}$,$\vec{E}$,અને $\vec{B}$ પરસ્પર લંબ હોય,તો ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ એ $\vec{v}$ ને લંબ લાગે છે. $\vec{E}$ ને એવી રીતે પસંદ કરીને કે જેથી વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ એ $\vec{F}_m$ ની સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય,તો કુલ બળ શૂન્ય થઈ જાય છે. આ વેલોસિટી સિલેક્ટરનો સિદ્ધાંત છે.
તેથી,$(2)$ અને $(3)$ બંને સીધી રેખામાં ગતિ જાળવી રાખવા માટે શક્ય પરિસ્થિતિઓ છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F}_{E} = -e\vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F}_{B} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વેગ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એક જ દિશામાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ છે. તેથી,$\vec{v} \times \vec{B} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{F}_{B} = 0$.
ઇલેક્ટ્રોન પરનું કુલ બળ $\vec{F} = \vec{F}_{E} + \vec{F}_{B} = -e\vec{E}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ વેગની દિશામાં જ કાર્યરત હોવાથી,બળ $-e\vec{E}$ એ ઇલેક્ટ્રોનના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
બળ ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ ઘટશે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $m$ દળ,$q$ વીજભાર અને $K$ ગતિઊર્જા ધરાવતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$R = \frac{\sqrt{2mK}}{Bq}$
પ્રોટોન માટે: $m_p = m$,$q_p = e$,$K_p = 1\, MeV$.
$R_p = \frac{\sqrt{2m(1)}}{Be}$
$\alpha$-કણ માટે: $m_{\alpha} = 4m$,$q_{\alpha} = 2e$.
$R_{\alpha} = \frac{\sqrt{2(4m)K_{\alpha}}}{B(2e)} = \frac{\sqrt{8mK_{\alpha}}}{2Be} = \frac{\sqrt{2mK_{\alpha}}}{Be}$
બંનેની ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી $(R_p = R_{\alpha})$:
$\frac{\sqrt{2m(1)}}{Be} = \frac{\sqrt{2mK_{\alpha}}}{Be}$
$1 = K_{\alpha}$
તેથી,$\alpha$-કણની ગતિઊર્જા $1\, MeV$ છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર કક્ષાની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $K$ એ ગતિ ઊર્જા છે.
ગતિ ઊર્જા $K$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $K = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$ મળે છે.
પ્રોટોન $(p)$ અને આલ્ફા કણ $(\alpha)$ માટે, કારણ કે $B$ અને $R$ સમાન છે, તેમની ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_{\alpha}}{K_{p}} = \left(\frac{q_{\alpha}}{q_{p}}\right)^2 \left(\frac{m_{p}}{m_{\alpha}}\right)$.
અહીં $q_{\alpha} = 2q_{p}$ અને $m_{\alpha} = 4m_{p}$ આપેલ છે, તેથી:
$\frac{K_{\alpha}}{K_{p}} = (2)^2 \times \left(\frac{1}{4}\right) = 4 \times \frac{1}{4} = 1$.
તેથી, $K_{\alpha} = K_{p} = 1 \, MeV$.

(C) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3.57 \times 10^{-2} \, T$ અને વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{e}{m} = 1.76 \times 10^{11} \, C/kg$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણની પરિભ્રમણ આવૃત્તિ $f$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{1}{T} = \frac{qB}{2 \pi m}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \times 3.14} \times (1.76 \times 10^{11}) \times (3.57 \times 10^{-2})$
$f = \frac{1}{6.28} \times 6.2832 \times 10^9$
$f \approx 1 \times 10^9 \, Hz = 1 \, GHz$.

(C) જ્યારે $m$ દળ,$q$ વિદ્યુતભાર અને $K$ ગતિ ઉર્જા ધરાવતા વિદ્યુતભારિત કણને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
આ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r$ એ $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,આપણને $mv = \sqrt{2mK}$ મળે છે.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ મળે છે.
વર્તુળાકાર માર્ગ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
$r$ નું સૂત્ર મૂકતા,$A = \pi \left( \frac{\sqrt{2mK}}{qB} \right)^2 = \frac{\pi (2mK)}{q^2 B^2}$ મળે છે.
અહીં $m$,$q$ અને $B$ અચળ હોવાથી,$A \propto K$ થાય છે.

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે, ત્યારે તેના પર વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = qvB$ હોય છે।
કણ સીધી રેખામાં અચળ વેગથી ગતિ કરે તે માટે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ।
આ સ્થિતિ ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એવી રીતે લાગુ પાડવામાં આવે કે જેથી વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ એ ચુંબકીય બળ $F_m$ ને સંતુલિત કરે।
તેથી, $qE = qvB$, જેનું સાદું રૂપ $E = vB$ થાય છે।
વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ છે, તેથી વેગ $v = \frac{qBr}{m}$ થાય।
$v$ ની આ કિંમતને $E$ ના સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $E = \left(\frac{qBr}{m}\right)B = \frac{qB^2r}{m}$ મળે છે।
આપેલ કિંમતો: $q = 10.0\,\mu C = 10 \times 10^{-6}\,C$, $m = 1\,\mu g = 1 \times 10^{-9}\,kg$, $r = 10\,cm = 0.1\,m$, અને $B = 0.1\,T$.
આ કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{(10 \times 10^{-6}) \times (0.1)^2 \times 0.1}{1 \times 10^{-9}} = \frac{10^{-5} \times 0.01 \times 0.1}{10^{-9}} = \frac{10^{-8}}{10^{-9}} = 10\,V/m$.

(C) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec F_m = q(\vec v \times \vec B)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 2.0 \times 10^{-6}\,C$
વેગ $\vec v = 3.0 \times 10^6\,\hat i\,m/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B = -0.2\,\hat k\,T$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec F_m = (2.0 \times 10^{-6}) \times (3.0 \times 10^6\,\hat i \times -0.2\,\hat k)$
$\vec F_m = (2.0 \times 3.0 \times -0.2) \times (\hat i \times \hat k)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat i \times \hat k = -\hat j$,તેથી:
$\vec F_m = -1.2 \times (-\hat j) = 1.2\,\hat j\,N$
આમ,બળ $1.2\,N$ જેટલું ધન $y$-દિશામાં લાગે છે.

(A) $1$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન (ઋણ વીજભારિત કણ) માટે,ચુંબકીય બળ $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચુંબકીય બળની દિશા નક્કી કરવા માટે ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.
$2$. પ્રદેશ $B_1$ માં,ઇલેક્ટ્રોન ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વળે છે. ઋણ વીજભાર માટેના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ પાનાની અંદરની તરફ હોવું જોઈએ.
$3$. પ્રદેશ $B_2$ માં,ઇલેક્ટ્રોન ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વળે છે,તેથી $B_2$ પાનાની બહારની તરફ છે.
$4$. વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ છે. અહીં $m, v$ અને $q$ અચળ હોવાથી,$r \propto \frac{1}{B}$ થાય.
$5$. આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે $B_1$ પ્રદેશમાં ત્રિજ્યા $r_1$ એ $B_2$ પ્રદેશની ત્રિજ્યા $r_2$ કરતા નાની છે $(r_1 < r_2)$.
$6$. તેથી,$B_1 > B_2$ થાય. એટલે કે $B_1$ એ $B_2$ કરતા વધુ પ્રબળ છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું પરિણામી બળ લોરેન્ઝ બળના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F}_{net} = \vec{F}_{e} + \vec{F}_{m} = 0$.
કારણ કે $\vec{F}_{e} = q\vec{E}$ અને $\vec{F}_{m} = q(\vec{v} \times \vec{B})$,તેથી $q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $\vec{E} + (\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ થાય છે.
અહીં $\vec{v} = v\hat{i}$ અને $\vec{E} = -E\hat{j}$ આપેલ છે,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $-E\hat{j} + (v\hat{i} \times \vec{B}) = 0$,અથવા $v\hat{i} \times \vec{B} = E\hat{j}$.
$\hat{i}$ અને $\vec{B}$ નો સદિશ ગુણાકાર $\hat{j}$ મળે તે માટે,સદિશ $\vec{B}$ એ ઋણ $z$-અક્ષ $(-\hat{k})$ ની દિશામાં હોવો જોઈએ,કારણ કે $\hat{i} \times (-\hat{k}) = \hat{j}$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઋણ $z$-અક્ષની દિશામાં હોવું જોઈએ.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_0 \hat{i}$ એ બળ $\vec{F}_e = qE_0 \hat{i}$ લગાડે છે,જેના કારણે $x$-અક્ષ પર પ્રવેગ $a_x = \frac{qE_0}{m}$ ઉદ્ભવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0 \hat{i}$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને $x$-અક્ષને સમાંતર છે. શરૂઆતનો વેગ $\vec{v} = v_0 \hat{j}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,કણ $yz$-સમતલમાં હેલિકલ ગતિ કરે છે અને સાથે $x$-અક્ષ પર પ્રવેગિત થાય છે.
$t$ સમયે વેગના ઘટકો $v_x = a_x t = \frac{qE_0}{m} t$ છે અને $yz$-સમતલમાં ઝડપ $v_{\perp} = v_0$ અચળ રહે છે.
$t$ સમયે કુલ ઝડપ $v = \sqrt{v_x^2 + v_{\perp}^2} = \sqrt{(\frac{qE_0}{m} t)^2 + v_0^2}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $t$ સમયે ઝડપ $2v_0$ થાય છે:
$2v_0 = \sqrt{(\frac{qE_0}{m} t)^2 + v_0^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4v_0^2 = (\frac{qE_0}{m} t)^2 + v_0^2$
$3v_0^2 = (\frac{qE_0}{m} t)^2$
વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{3}v_0 = \frac{qE_0}{m} t$
$t$ માટે ઉકેલતા:
$t = \frac{\sqrt{3}mv_0}{qE_0}$

(B) જ્યારે વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબરૂપે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
આ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણને $(d, 0, 0)$ બિંદુથી ઋણ $x$-અક્ષ તરફ ફેંકવામાં આવે છે. $y-z$ સમતલ એ સમતલ છે જ્યાં $x = 0$ છે.
કણ $y-z$ સમતલને ન અથડાય તે માટે,વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $y-z$ સમતલથી અંતર $d$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
આમ,$R \leq d$.
$R$ નું સૂત્ર મૂકતા: $\frac{mv}{qB_0} \leq d$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v \leq \frac{B_0 q d}{m}$.
તેથી,$v$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $v_{\text{max}} = \frac{B_0 q d}{m}$ છે.

(D) વિશિષ્ટ વીજભાર $\alpha = q/m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં હેલિકલ પથ પર ગતિ કરે છે.
હેલિકલ ગતિનો આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi m}{B_o q} = \frac{2 \pi}{B_o \alpha}$ છે.
આપેલ સમય $t = \frac{\pi}{B_o \alpha} = \frac{T}{2}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર વેગનો ઘટક $v_x = V_o$ છે,જે અચળ રહે છે. તેથી,$t = T/2$ સમયે $x$-યામ $x = v_x \cdot t = V_o \cdot \frac{\pi}{B_o \alpha} = \frac{V_o \pi}{B_o \alpha}$ થશે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ વેગનો ઘટક $v_y = V_o$ છે. કણ $yz$-સમતલમાં $r = \frac{m v_y}{B_o q} = \frac{V_o}{B_o \alpha}$ ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
$t = T/2$ સમયે,કણ $yz$-સમતલમાં અર્ધ વર્તુળ પૂર્ણ કરે છે. $yz$-સમતલમાં $(0, 0)$ થી $+y$ દિશામાં પ્રારંભિક વેગ સાથે શરૂ કરીને,અડધા આવર્તકાળ પછી,$y$-દિશામાં સ્થાનાંતર $0$ અને $z$-દિશામાં સ્થાનાંતર $-2r = -\frac{2 V_o}{B_o \alpha}$ થાય છે.
તેથી,યામ $\left( \frac{V_o \pi}{B_o \alpha}, 0, - \frac{2 V_o}{B_o \alpha} \right)$ છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ મળે.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2K}{m}} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$.
અચળ $K$ અને $B$ માટે,ત્રિજ્યા $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$.
વિચલન એ ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(d \propto \frac{1}{r})$,તેથી $d \propto \frac{q}{\sqrt{m}}$.
$H^+$ માટે: $q=1, m=1 \Rightarrow d \propto \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$.
$He^+$ માટે: $q=1, m=4 \Rightarrow d \propto \frac{1}{\sqrt{4}} = 0.5$.
$O^{2+}$ માટે: $q=2, m=16 \Rightarrow d \propto \frac{2}{\sqrt{16}} = \frac{2}{4} = 0.5$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$H^+$ સૌથી વધુ વિચલન અનુભવે છે,જ્યારે $He^+$ અને $O^{2+}$ સમાન અને ઓછું વિચલન અનુભવે છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $T = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mT}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mT}}{qB}$ મળે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે: $R = \frac{\sqrt{2mT}}{qB}$.
નવી સ્થિતિ માટે,ગતિઊર્જા $T' = 2T$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = 3B$ છે.
નવી ત્રિજ્યા $R'$ આ મુજબ મળે: $R' = \frac{\sqrt{2m(2T)}}{q(3B)}$.
$R' = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2mT}}{3qB} = \frac{\sqrt{2}}{3} \left( \frac{\sqrt{2mT}}{qB} \right)$.
કૌંસમાં રહેલા પદ માટે $R$ મૂકતા,$R' = \frac{\sqrt{2}}{3} R = \sqrt{\frac{2}{9}} R$ મળે.