Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Gujarati

(C) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં એવા વેગ સાથે પ્રવેશ કરે છે જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે લઘુકોણ $\theta$ (જ્યાં $\theta \neq 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ$) બનાવે છે,ત્યારે વેગને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$1$. ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર ઘટક $(v_{\parallel} = v \cos \theta)$,જે કણને ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં રેખીય ગતિ કરાવે છે.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ઘટક $(v_{\perp} = v \sin \theta)$,જે કણને વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરાવે છે.
આ બે ગતિઓના સંયોજનથી હેલિકલ (સર્પાકાર) માર્ગ બને છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોવાથી અને ખૂણો $\theta$ અચળ રહેતો હોવાથી,હેલિક્સની પિચ સમાન રહે છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $\vec{v} = v \hat{i}$ છે. તેને $xy$-સમતલમાં ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરાવવા માટે,પ્રારંભિક ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m$ ધન $y$-અક્ષની દિશામાં (વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ) હોવું જોઈએ.
લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $q = -e$ (ઇલેક્ટ્રોન માટે),આપણને મળે છે:
$\vec{F}_m = -e(v \hat{i} \times \vec{B}) = F_0 \hat{j}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\hat{i} \times \vec{B}) = -\frac{F_0}{ev} \hat{j}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \times \hat{k} = \hat{j}$,તેથી $\hat{i} \times (-\hat{k}) = -\hat{j}$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ઋણ $z$-અક્ષની દિશામાં હોવું જોઈએ.

(A) આપેલ છે કે તમામ કણો માટે ગતિઊર્જા $K$ સમાન છે: ${K_p} = {K_d} = {K_\alpha} = K$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દળ અને વિદ્યુતભારના સંબંધો: $m_p = m$,$m_d = 2m$,${m_\alpha} = 4m$ અને $q_p = e$,$q_d = e$,${q_\alpha} = 2e$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ છે.
પ્રોટોન માટે: ${r_p} = \frac{\sqrt{2mK}}{eB}$.
ડ્યુટેરોન માટે: ${r_d} = \frac{\sqrt{2(2m)K}}{eB} = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2mK}}{eB} \right) = \sqrt{2} {r_p}$.
$\alpha$-કણ માટે: ${r_\alpha} = \frac{\sqrt{2(4m)K}}{(2e)B} = \frac{2\sqrt{2mK}}{2eB} = \frac{\sqrt{2mK}}{eB} = {r_p}$.
આમ,સરખામણી કરતા આપણને મળે છે કે ${r_\alpha} = {r_p} < {r_d}$.

(D) જ્યારે $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ $v$ વેગ સાથે એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F = qvB$ અનુભવે છે જે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આમ,$qvB = \frac{mv^2}{r}$,જ્યાં $r$ એ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા છે.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $r = \frac{mv}{qB}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ એક વર્તુળાકાર ભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે,જે $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi (mv/qB)}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આવર્તકાળ $T$ માત્ર દળ $m$,વિદ્યુતભાર $q$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પર આધાર રાખે છે.
તે કણના વેગ $v$ થી સ્વતંત્ર છે.

(B) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં ગતિ ઉપરની તરફ છે અને ક્ષેત્ર સમક્ષિતિજ (દક્ષિણથી ઉત્તર) છે,તેથી $\theta = 90^\circ$ અને $F = qvB$.
આપેલ ગતિ ઉર્જા $K = 200\, MeV = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19}\,J = 3.2 \times 10^{-11}\,J$.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ પરથી,વેગ $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$.
બળના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $F = qB \sqrt{\frac{2K}{m}}$.
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times 5 \times \sqrt{\frac{2 \times 3.2 \times 10^{-11}}{1.67 \times 10^{-27}}}$.
$F = 8 \times 10^{-19} \times \sqrt{3.83 \times 10^{16}} \approx 1.56 \times 10^{-10}\,N$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $1.6 \times 10^{-10}\,N$ છે.

(A) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F_m} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
અહીં,વેગ સદિશ $\overrightarrow{v}$ એ $+X$-દિશામાં છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ એ $-X$-દિશામાં છે.
તેથી,$\overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^\circ$ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B} = vB \sin(180^\circ) = 0$ હોવાથી,ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F_m}$ શૂન્ય થાય છે.
તેથી,વિદ્યુતભાર અચળ વેગ સાથે $X$-દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે અને તેના પર કોઈ અસર થશે નહીં.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગમાન $p = mv$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $r = \frac{p}{qB}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આપેલ છે કે ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંનેનું વેગમાન $p$ સમાન છે અને તેઓ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરે છે,તેથી ત્રિજ્યા માત્ર વિદ્યુતભાર $q$ પર આધાર રાખે છે.
જોકે,ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય સમાન છે $(|q_e| = |q_p| = e)$.
તેથી,બંને કણો માટે માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{p}{eB}$ થાય છે,જે બંને માટે સમાન છે.
આમ,બંનેના માર્ગ સમાન રીતે વળાંકવાળા હશે.

(C) લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ મુજબ.
અહીં,વેગ $\vec{v}$ પૂર્વ દિશામાં છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ શિરોલંબ ઉપરની દિશામાં છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બળ $\vec{F}$ સમક્ષિતિજ સમતલમાં ઉત્તર દિશા તરફ લાગે છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા કણના વેગને લંબ હોવાથી,તે કણ પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$.
પરિણામે,કણની ગતિઊર્જા અને ઝડપ અચળ રહે છે.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરતો કણ અચળ ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
અહીં,$m$ એ કણનું દળ છે,$v$ એ તેનો વેગ છે,$q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ત્રિજ્યા $r$ એ કણના વેગ $v$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(r \propto v)$.
તેથી,જો કણનો વેગ વધે,તો વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા પણ વધે છે.

(A) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા કણ પર થયેલું કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt = 0$ થાય છે.
કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,કણની ગતિ ઉર્જા (અને તેથી કુલ ઉર્જા) અચળ રહે છે.
જોકે,ચુંબકીય બળને કારણે વેગ સદિશની દિશા સતત બદલાતી રહે છે,જેનો અર્થ એ છે કે વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ બદલાય છે કારણ કે વેગમાન એ સદિશ રાશિ છે.
તેથી,વેગમાન બદલાય છે જ્યારે કુલ ઉર્જા સમાન રહે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $q = -e$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં ગતિ કરતો હોવાથી,વેગ સદિશ $\overrightarrow{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ છે.
બળનું મૂલ્ય $F = |q|vB \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
$\theta = 0^\circ$ મૂકતા,આપણને $F = evB \sin(0^\circ) = evB(0) = 0$ મળે છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ શૂન્ય છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર: $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
અહીં આપણને વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{q}{m} = 10^{11} \ C/kg$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{m}{q} = \frac{1}{10^{11}} \ kg/C$.
આપેલ કિંમતો $v = 10^7 \ m/s$ અને $B = 10^{-4} \ T$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$r = \left(\frac{m}{q}\right) \times \frac{v}{B} = \left(\frac{1}{10^{11}}\right) \times \frac{10^7}{10^{-4}}$
$r = \frac{10^7}{10^{11} \times 10^{-4}} = \frac{10^7}{10^7} = 1 \ m$.
તેથી,ત્રિજ્યા $1 \ m$ છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mK}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે $r \propto \sqrt{K}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R$ છે અને ઉર્જા $K$ છે,અને નવી ત્રિજ્યા $R_2$ છે જ્યારે ઉર્જા $2K$ છે.
તેથી,$\frac{R_2}{R} = \sqrt{\frac{2K}{K}} = \sqrt{2}$.
આમ,$R_2 = R\sqrt{2}$ થાય.

(D) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર,$m$ દળ અને $v$ વેગ ધરાવતો વિદ્યુતભારિત કણ તેની ગતિને લંબ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F = qvB$ અનુભવે છે.
આ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $r = \frac{mv}{qB}$ મળે છે.
રેખીય વેગમાન $P = mv$ હોવાથી,સમીકરણ $r = \frac{P}{qB}$ બને છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $r$ એ રેખીય વેગમાન $P$ ના સમપ્રમાણમાં અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,વિધાન $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = qvB \sin \theta$.
આપેલ છે:
પ્રોટોનનો વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
વેગ $v = 2.5 \times 10^7 \, m/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2.5 \, T$
ખૂણો $\theta = 30^o$
કિંમતો મૂકતા:
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (2.5 \times 10^7) \times 2.5 \times \sin(30^o)$
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (6.25 \times 10^7) \times 0.5$
$F = 10 \times 10^{-12} \times 0.5$
$F = 5 \times 10^{-12} \, N$

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(v \times B)$.
મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ,આને $F = qvB \sin \theta$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે બળ વિદ્યુતભાર $(q)$,વેગ $(v)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ અને ખૂણા $(\theta)$ પર આધાર રાખે છે.
તે કણના દળ $(m)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર ઋણ છે $(q = -e)$.
વેગ $\vec{v}$ પૂર્વ દિશામાં છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ઉપરની દિશામાં છે.
$\vec{v} \times \vec{B}$ ના સદિશ ગુણાકાર માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{v} \times \vec{B}$ ની દિશા ઉત્તર તરફ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વિદ્યુતભાર ધરાવતો હોવાથી,બળ $\vec{F} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$ એ $\vec{v} \times \vec{B}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ દક્ષિણ દિશામાં હશે.
વૈકલ્પિક રીતે,ઋણ વિદ્યુતભાર માટે ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: તર્જની આંગળીને ઉપરની તરફ (ચુંબકીય ક્ષેત્ર),મધ્યમા આંગળીને પશ્ચિમ તરફ (ઇલેક્ટ્રોનના વેગની વિરુદ્ધ) રાખતા,અંગૂઠો દક્ષિણ દિશા દર્શાવશે.

(A) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ એ સૂત્ર $F = qvB \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 1\,C$
વેગ $v = 10\,m/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.5\,T$
ખૂણો $\theta = 90^\circ$ (કારણ કે વેગ ક્ષેત્રને લંબ છે).
કિંમતો મૂકતા:
$F = 1 \times 10 \times 0.5 \times \sin(90^\circ)$
$F = 1 \times 10 \times 0.5 \times 1$
$F = 5\,N$.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે: $r_1 = \frac{mv}{qB}$.
અંતિમ સ્થિતિ માટે,ઝડપ બમણી $(v_2 = 2v)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર અડધું $(B_2 = B/2)$ કરવામાં આવે છે.
નવી ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{m(2v)}{q(B/2)}$ થશે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $r_2 = 4 \times \frac{mv}{qB} = 4r_1$.
તેથી,નવા પથની ત્રિજ્યા $4r$ થશે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(\vec{v} \times \vec{B}) = qvB \sin(\theta)$.
અહીં,$\theta$ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં જ પ્રવેશ કરે છે,તેથી ખૂણો $\theta = 0^\circ$ છે.
તેથી,ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin(0^\circ) = 0$.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોવાથી,તેના વેગમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી (મૂલ્ય અને દિશા બંને અચળ રહે છે). આમ,ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ બદલાતો નથી.

(D) જ્યારે $m$ દળ અને $q$ વીજભાર ધરાવતો કણ $v$ વેગ સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં લંબરૂપે દાખલ થાય છે,ત્યારે તે $F = q(v \times B)$ મુજબ ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ અનુભવે છે.
વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,બળનું મૂલ્ય $F = qvB$ થાય છે.
આ ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી $F = mv^2/r$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $qvB = mv^2/r$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $r = mv/qB$ મળે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર ઋણ છે $(q = -e)$.
વેગ $\vec{v}$ પૂર્વ દિશામાં છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ઉત્તર દિશામાં છે.
$\vec{v} \times \vec{B}$ ના સદિશ ગુણાકાર માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{v} \times \vec{B}$ ની દિશા શિરોલંબ ઉપરની તરફ (પૂર્વથી ઉત્તર તરફ) મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વિદ્યુતભાર ધરાવતો હોવાથી,બળ $\vec{F} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$ એ $\vec{v} \times \vec{B}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ શિરોલંબ નીચેની તરફ હશે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનો પરિભ્રમણ સમયગાળો $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = \frac{2\pi m}{qB}$
આપેલ છે:
દળ $m = 9.0 \times 10^{-31} \ kg$
વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 1.0 \times 10^{-4} \ Wb/m^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 3.14 \times 9.0 \times 10^{-31}}{1.6 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^{-4}}$
$T = \frac{56.52 \times 10^{-31}}{1.6 \times 10^{-23}}$
$T = 35.325 \times 10^{-8} \ s \approx 3.5 \times 10^{-7} \ s$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F}$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
તેનું મૂલ્ય $F = qvB \sin(\theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ $\overrightarrow{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ પ્રશ્નમાં,ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં જ પ્રવેશ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે ખૂણો $\theta = 0^\circ$ છે.
કારણ કે $\sin(0^\circ) = 0$ થાય છે,તેથી બળ $F = qvB \sin(0^\circ) = 0$ થશે.
આમ,ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ શૂન્ય છે.

(A) સંયુક્ત વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$.
પ્રોટોનનો વેગ $\vec{v}$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ને સમાંતર છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ પણ $\vec{E}$ ની દિશામાં જ હોવાથી,વેગ $\vec{v}$ એ $\vec{B}$ ને પણ સમાંતર છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ થશે,કારણ કે $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે.
વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ પ્રોટોન પર વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં લાગે છે,જે તેના પ્રારંભિક વેગની દિશામાં જ છે.
ગતિની દિશામાં અચળ બળ લાગતું હોવાથી,પ્રોટોન વધતા વેગ સાથે તે જ દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.

(A) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ (ઇલેક્ટ્રોન) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે $F = qvB \sin(90^\circ) = evB$ જેટલું ચુંબકીય લોરેન્ટ્ઝ બળ અનુભવે છે.
આ ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,જે $F_c = mv^2 / r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $evB = mv^2 / r$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $r = mv / eB$ અથવા $r = mv / Be$ મળે છે.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
આ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
અહીં બંને કણો માટે વિદ્યુતભાર $q$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન હોવાથી,$r \propto mv$ થાય.
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે કણ $A$ ના ગતિપથની ત્રિજ્યા,કણ $B$ ના ગતિપથની ત્રિજ્યા કરતા મોટી છે,એટલે કે $r_A > r_B$.
તેથી,$m_A v_A > m_B v_B$.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{p}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે,$q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
અહીં બંને કણો માટે ત્રિજ્યા $r$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન હોવાથી,વેગમાન $p$ એ વિદ્યુતભાર $q$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(p \propto q)$.
તેથી,પ્રોટોન $(p_p)$ અને આલ્ફા કણ $(p_\alpha)$ ના વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_p}{p_\alpha} = \frac{q_p}{q_\alpha}$ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રોટોનનો વિદ્યુતભાર $q_p = e$ છે અને આલ્ફા કણનો વિદ્યુતભાર $q_\alpha = 2e$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{p_p}{p_\alpha} = \frac{e}{2e} = \frac{1}{2} = 0.5$ મળે છે.

(C) કણ સમાન વેગથી ગતિ કરે તે માટે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે ચુંબકીય બળે કણ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$|F_m| = mg$
ચુંબકીય બળ $F_m = qvB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (ધારી લઈએ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર વેગને લંબ છે),તેથી:
$qvB = mg$
$B = \frac{mg}{qv}$
આપેલ છે:
$m = 0.6\, g = 0.6 \times 10^{-3}\, kg$
$q = 25\, nC = 25 \times 10^{-9}\, C$
$v = 1.2 \times 10^4\, m/s$
$g = 10\, m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times 10}{25 \times 10^{-9} \times 1.2 \times 10^4}$
$B = \frac{6 \times 10^{-3}}{30 \times 10^{-5}}$
$B = \frac{6 \times 10^{-3}}{0.3 \times 10^{-3}} = \frac{6}{0.3} = 20\, T$
આમ,ચુંબકીય પ્રેરણનું મૂલ્ય $20\, T$ છે.

(C) લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને કણો માટે વેગ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન હોવાથી,ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_{\alpha}}{r_p} = \frac{m_{\alpha}}{m_p} \times \frac{q_p}{q_{\alpha}}$ થશે.
$\alpha$-કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m_p$ અને વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2q_p$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{r_{\alpha}}{r_p} = \frac{4m_p}{m_p} \times \frac{q_p}{2q_p} = 4 \times \frac{1}{2} = \frac{2}{1}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(B) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ગતિની દિશામાં (વેગ $\vec{v}$ ને સમાંતર) લાગુ પાડવામાં આવે,ત્યારે $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોય છે.
કારણ કે સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B} = vB \sin(\theta)$ થાય છે,અને $\sin(0^\circ) = \sin(180^\circ) = 0$ હોવાથી,ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ શૂન્ય બને છે.
તેથી,ગતિની દિશાને સમાંતર લાગુ પાડવામાં આવેલા ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ પ્રભાવિત થતી નથી.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળ $\overrightarrow{F}$ હંમેશા વેગ સદિશ $\overrightarrow{v}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય બળ દ્વારા કણ પર થતું કાર્ય $W = \int \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s} = \int \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} dt = 0$ થાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ પરિણામી બળ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે.
કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ $v$ વેગ સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તેના પર ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F = q(v \times B)$ લાગે છે.
આ બળ હંમેશા વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંનેને લંબ હોય છે.
કારણ કે બળ વેગને લંબ છે,તે કણની ઝડપ બદલતું નથી પરંતુ તેની દિશા સતત બદલે છે.
આ અચળ લંબ બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
કેથોડ કિરણો એ ઇલેક્ટ્રોનનો (ઋણ વિદ્યુતભારિત કણો) પ્રવાહ છે,જે લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર હેઠળ વર્તુળાકાર ગતિના સમાન સિદ્ધાંતને અનુસરે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની પરિભ્રમણ આવૃત્તિ $\nu$ નું સૂત્ર: $\nu = \frac{qB}{2\pi m}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અચળ હોવાથી અને વેગ સમાન હોવાથી,આવૃત્તિ $\nu$ એ વિદ્યુતભાર અને દળના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે: $\nu \propto \frac{q}{m}$.
ન્યૂનતમ આવૃત્તિ શોધવા માટે,આપણે સૌથી ઓછો $\frac{q}{m}$ ગુણોત્તર ધરાવતો કણ શોધવો પડશે.
$Li^+$ માટે: $q = +1e$,$m \approx 7u$,તેથી $\frac{q}{m} \approx \frac{1}{7}$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે: $q = -1e$,$m \approx \frac{1}{1836}u$,તેથી $\frac{q}{m} \approx 1836$.
પ્રોટોન માટે: $q = +1e$,$m \approx 1u$,તેથી $\frac{q}{m} = 1$.
$He^+$ માટે: $q = +1e$,$m \approx 4u$,તેથી $\frac{q}{m} = 0.25$.
ગુણોત્તરની સરખામણી કરતા,$Li^+$ પાસે સૌથી નાનું $\frac{q}{m}$ મૂલ્ય છે. તેથી,$Li^+$ ની પરિભ્રમણ આવૃત્તિ ન્યૂનતમ હશે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ મળે.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2K}{m}} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ મળે.
અહીં $K$ અને $B$ બધા આયનો માટે અચળ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ થાય.
$He^+$ આયનો માટે: $m_1 = 4 \ amu$,$q_1 = 1e$.
$O^{2+}$ આયનો માટે: $m_2 = 16 \ amu$,$q_2 = 2e$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{r_{He^+}}{r_{O^{2+}}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} \times \frac{q_2}{q_1} = \sqrt{\frac{4}{16}} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$.
આમ,બંને આયનોના પથની ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી,બધા આયનો સમાન રીતે વિચલિત થશે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mE}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $r = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$.
આપેલ કિંમતો: $m = 9 \times 10^{-31} \, kg$,$E = 7.2 \times 10^{-18} \, J$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,અને $B = 9 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$.
$r = \frac{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 7.2 \times 10^{-18}}}{1.6 \times 10^{-19} \times 9 \times 10^{-5}}$
$r = \frac{\sqrt{129.6 \times 10^{-49}}}{14.4 \times 10^{-24}} = \frac{\sqrt{12.96 \times 10^{-48}}}{14.4 \times 10^{-24}}$
$r = \frac{3.6 \times 10^{-24}}{14.4 \times 10^{-24}} = \frac{3.6}{14.4} = 0.25 \, m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $0.25 \, m = 25 \, cm$.

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ બંને ધરાવતા વિસ્તારમાંથી વિચલિત થયા વિના પસાર થાય છે,ત્યારે તેના પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
લોરેન્ઝ બળનું સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે.
કણ વિચલિત થયા વિના પસાર થાય તે માટે,$\vec{F} = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 0$,અથવા $E = vB$ (ધારી લઈએ કે $\vec{v}$ એ $\vec{B}$ ને લંબ છે).
તેથી,ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = \frac{E}{B}$ થશે.
અહીં $E = 20\,N/C$ અને $B = 5\,T$ આપેલ છે,તેથી $v = \frac{20}{5} = 4\,m\,s^{-1}$ મળે છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ લોરેન્ઝ બળના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થતો હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v} = 0$ છે.
શરૂઆતમાં,ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ થાય છે.
વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ કણ પર લાગે છે,જેના કારણે તે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં પ્રવેગિત થાય છે.
જેમ જેમ કણ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશામાં વેગ $\vec{v}$ પ્રાપ્ત કરે છે,અને $\vec{E}$ તથા $\vec{B}$ સમાંતર હોવાથી,વેગ $\vec{v}$ હંમેશા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર રહે છે.
તેથી,સમગ્ર ગતિ દરમિયાન ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ રહે છે કારણ કે $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે કણ સીધી રેખામાં પ્રવેગિત ગતિ ચાલુ રાખશે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = Q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m$ હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોય છે,તેથી આ બળ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે (કેન્દ્રગામી બળ).
કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે: $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m$ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગ પરના દરેક બિંદુએ સ્થાનાંતર $d\vec{s}$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{F}_m \cdot d\vec{s} = F_m ds \cos(90^\circ) = 0$ થાય છે.
તેથી,એક પૂર્ણ વર્તુળ દરમિયાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા કણ પર થયેલું કુલ કાર્ય $0$ છે.

(B) કણ $x$-અક્ષ પર વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે કણ પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય છે.
લોરેન્ઝ બળનું સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે.
કણ વિચલિત ન થાય તે માટે,વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ: $q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$.
અહીં $\vec{v} = v\hat{i}$,$\vec{B} = B\hat{j}$,અને $\vec{E} = -E\hat{k}$ છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(v\hat{i} \times B\hat{j}) = qvB\hat{k}$ થાય.
વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q(-E\hat{k}) = -qE\hat{k}$ થાય.
બંનેના મૂલ્યોને સરખાવતા: $qvB = qE$.
તેથી,$B = E/v$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{10^4}{10} = 10^3 \, Wb/m^2$.

(D) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mK}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન સમાન ગતિઊર્જા $(K)$ ધરાવે છે અને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ માં પ્રવેશ કરે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ $\frac{\sqrt{m}}{q}$ પર આધાર રાખે છે.
પ્રોટોનનું દળ $(m_p)$ ઇલેક્ટ્રોનના દળ $(m_e)$ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી,તેમની ત્રિજ્યા અલગ-અલગ હશે.
તેથી,બંને વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે,પરંતુ અલગ-અલગ ત્રિજ્યા સાથે. આમ,વિકલ્પો $A$,$B$,અને $C$ ખોટા છે,તેથી વિકલ્પ $D$ સાચું વિધાન છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે ગતિ કરતા વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
અહીં વિશિષ્ટ વીજભાર (વીજભાર અને દળનો ગુણોત્તર) $\frac{q}{m} = 1.7 \times 10^{11} \text{ C/kg}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રને $r = \frac{v}{(q/m)B}$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$v = 6 \times 10^7 \text{ m/s}$
$\frac{q}{m} = 1.7 \times 10^{11} \text{ C/kg}$
$B = 1.5 \times 10^{-2} \text{ T}$
$r = \frac{6 \times 10^7}{(1.7 \times 10^{11}) \times (1.5 \times 10^{-2})}$
$r = \frac{6 \times 10^7}{2.55 \times 10^9}$
$r \approx 2.35 \times 10^{-2} \text{ m}$
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $r = 2.35 \text{ cm}$.

(D) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોન પર ઋણ વિદ્યુતભાર $(q = -e)$ છે.
વેગ $\vec{v}$ એ $+X$ દિશામાં છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ ($-Z$ દિશામાં) છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,દિશા $(+X) \times (-Z) = +Y$ મળે છે.
વિદ્યુતભાર ઋણ હોવાથી,બળ $\vec{F}$ વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે $-Y$ દિશામાં લાગશે.
વૈકલ્પિક રીતે,ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: તર્જની આંગળીને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં (કાગળની અંદર),મધ્યમા આંગળીને ઇલેક્ટ્રોનની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં (પ્રવાહની દિશા,જે $-X$ છે) રાખતા,અંગૂઠો બળની દિશા દર્શાવે છે,જે $-Y$ દિશા છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$K$ એ ગતિ ઉર્જા છે અને $q$ એ કણનો વિદ્યુતભાર છે.
બંને કણો માટે ત્રિજ્યા $r$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન હોવાથી,આપણને $q \propto \sqrt{mK}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $K \propto \frac{q^2}{m}$.
પ્રોટોન માટે,$q_p = e$ અને $m_p = m$. આલ્ફા કણ માટે,$q_{\alpha} = 2e$ અને $m_{\alpha} = 4m$.
ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{K_{\alpha}}{K_p} = \left( \frac{q_{\alpha}}{q_p} \right)^2 \times \frac{m_p}{m_{\alpha}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{K_{\alpha}}{8} = \left( \frac{2e}{e} \right)^2 \times \frac{m}{4m} = 4 \times \frac{1}{4} = 1$.
તેથી,$K_{\alpha} = 8\, eV$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
અહીં ઝડપ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બધા કણો માટે સમાન હોવાથી,$r \propto \frac{m}{q}$ અથવા $r \propto \frac{1}{(q/m)}$ થાય.
આપેલ કણો માટે:
$1$. ઇલેક્ટ્રોન $(e^-)$: વિદ્યુતભાર $q$,દળ $m_e$.
$2$. પ્રોટોન $(p^+)$: વિદ્યુતભાર $q$,દળ $m_p \approx 1836 m_e$.
$3$. ડ્યુટેરોન $(d)$: વિદ્યુતભાર $q$,દળ $m_d \approx 2 m_p$.
$4$. આલ્ફા કણ $(\alpha)$: વિદ્યુતભાર $2q$,દળ $m_\alpha \approx 4 m_p$.
વિદ્યુતભાર અને દળના ગુણોત્તર $(q/m)$ ની સરખામણી કરતા:
$(q/m)_d = q / (2 m_p) = 0.5 (q/m_p)$
$(q/m)_\alpha = 2q / (4 m_p) = 0.5 (q/m_p)$
તેથી,$(q/m)_d = (q/m)_\alpha$ હોવાથી,$R_d = R_\alpha$ મળે છે.

(D) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $q = -e$ (ઋણ) છે.
વેગ સદિશ $\vec{v} = v \hat{i}$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B} = B \hat{j}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\vec{F} = -e(v \hat{i} \times B \hat{j})$ મળે છે.
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,તેથી બળ $\vec{F} = -evB \hat{k}$ થાય છે.
આમ,બળ ઋણ $z$-દિશામાં લાગે છે.

(D) વર્તુળાકાર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ તેની અક્ષ પરના તમામ બિંદુઓ પર અક્ષની દિશામાં હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોનને અક્ષની દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવતો હોવાથી,તેનો વેગ સદિશ $\overrightarrow{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{B}$ ને સમાંતર છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{B}$ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^o$ અથવા $180^o$ છે.
તેથી,$\overrightarrow{F} = qvB \sin(\theta) = qvB \sin(0^o) = 0$.
આમ,ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ બળ લાગતું નથી.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F_m = q(v \times B)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનું મૂલ્ય $F_m = qvB \sin \theta$ છે.
અહીં વિદ્યુતભાર સ્થિર હોવાથી,તેનો વેગ $v = 0$ છે.
સૂત્રમાં $v = 0$ મૂકતા,આપણને $F_m = q(0)B \sin \theta = 0$ મળે છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા ગમે તેટલી હોય,સ્થિર વિદ્યુતભાર કોઈ ચુંબકીય બળ અનુભવતો નથી.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર: $T = \frac{2\pi m}{qB}$ છે.
આપેલ છે:
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.1 \times 10^{-31}\, kg$
વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19}\, C$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3.534 \times 10^{-5}\, T$
કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31}}{1.6 \times 10^{-19} \times 3.534 \times 10^{-5}}$
$T = \frac{57.148 \times 10^{-31}}{5.6544 \times 10^{-24}}$
$T \approx 10.106 \times 10^{-7}\, s \approx 1 \times 10^{-6}\, s = 1\,\mu s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ચુંબકીય બળને કેન્દ્રગામી બળ સાથે સરખાવતા:
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
આના પરથી,આપણે વેગ $v$ અથવા ત્રિજ્યા $r$ શોધી શકીએ છીએ:
$v = \frac{qBr}{m}$
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T$ એ પરિઘ ભાગ્યા ઝડપ છે:
$T = \frac{2\pi r}{v}$
$v$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$T = \frac{2\pi r}{(qBr/m)} = \frac{2\pi m}{qB}$
આમ,એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $\frac{2\pi m}{qB}$ છે.