Motional EMI (Induced Parameter) Questions in Gujarati

(A) દરેક તારમાં પ્રેરિત ગતિકીય $emf$ $V = B \ell v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $B = 0.5\, T$,$\ell = 4\, cm = 0.04\, m$,અને $v = 5\, cm/s = 0.05\, m/s$.
$V = 0.5 \times 0.04 \times 0.05 = 10^{-3}\, V = 1\, mV$.
કિસ્સો $(a)$: બંને તાર જમણી તરફ ગતિ કરે છે.
બંને તાર $2\,\Omega$ ના આંતરિક અવરોધ સાથે સમાંતરમાં $V$ $emf$ ધરાવતી બેટરી તરીકે કાર્ય કરે છે.
સમતુલ્ય $emf$ $E_{eff} = V = 1\, mV$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eff} = (2\,\Omega || 2\,\Omega) = 1\,\Omega$ છે.
$9\,\Omega$ ના અવરોધમાં પ્રવાહ $i = \frac{E_{eff}}{R + r_{eff}} = \frac{10^{-3}}{9 + 1} = \frac{10^{-3}}{10} = 10^{-4}\, A = 0.1\, mA$.
કિસ્સો $(b)$: $P_1Q_1$ ડાબી તરફ અને $P_2Q_2$ જમણી તરફ ગતિ કરે છે.
બંને તારમાં પ્રેરિત $emf$ સર્કિટ લૂપની સાપેક્ષમાં વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
આમ,સર્કિટમાં ચોખ્ખો $emf$ $V - V = 0$ થશે.
તેથી,$9\,\Omega$ ના અવરોધમાં પ્રવાહ $i = 0$ છે.

(A) શાખામાં વહેતો પ્રવાહ $I = 10t + 5$ છે.
પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $\frac{dI}{dt} = 10 \, A/s$ છે.
ઇન્ડક્ટર પર ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $E_L = -L \frac{dI}{dt} = -1 \times 10 = -10 \, V$ છે.
$t = 0$ સમયે,પ્રવાહ $I = 10(0) + 5 = 5 \, A$ છે.
$A$ થી $B$ સુધી કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$V_A - I R - L(dI/dt) - V_{battery} = V_B$
$V_A - V_B = I R + L(dI/dt) + V_{battery}$
પરિપથ આકૃતિ મુજબ,$V_A - V_B = (5 \times 3) + 10 - 10 = 15 \, V$.

(A) જેટ પ્લેનની ઝડપ,$v = 1800\, km/h = 500\, m/s$.
જેટ પ્લેનની પાંખની લંબાઈ,$l = 25\, m$.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 5.0 \times 10^{-4}\, T$.
નમન કોણ,$\delta = 30^{\circ}$.
જ્યારે પ્લેન આડું ગતિ કરે છે ત્યારે પાંખો પર પ્રેરિત $EMF$ માટે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો શિરોલંબ ઘટક જવાબદાર છે.
$B_v = B \sin \delta = 5 \times 10^{-4} \times \sin 30^{\circ} = 5 \times 10^{-4} \times 0.5 = 2.5 \times 10^{-4}\, T$.
પાંખના છેડાઓ વચ્ચે પ્રેરિત વોલ્ટેજ તફાવત $e = B_v \times l \times v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$e = 2.5 \times 10^{-4} \times 25 \times 500$.
$e = 3.125\, V$.
આમ,પાંખોના છેડાઓ વચ્ચે ઉત્પન્ન થતો વોલ્ટેજ તફાવત $3.125\, V$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $e = B \cdot l \cdot v$
આપેલ મૂલ્યો:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ = $0.30 \times 10^{-4} \; Wb/m^2$
તારની લંબાઈ $(l)$ = $20 \; m$
તારનો વેગ $(v)$ = $5.0 \; m/s$
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = (0.30 \times 10^{-4}) \times 20 \times 5.0$
$e = 0.30 \times 10^{-4} \times 100$
$e = 0.30 \times 10^{-2} \; V$
$e = 3 \times 10^{-3} \; V$
$1 \; V = 1000 \; mV$ હોવાથી:
$e = 3 \; mV$

(B) $l$ લંબાઈનો સળિયો તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ ધરી પર ફરે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ ભ્રમણની ધરીને સમાંતર છે.
કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા નાના ખંડ $dr$ માટે,ઉદ્ભવતું ગતિકીય $emf$ $d\varepsilon = Bv dr = B(\omega r) dr$ છે.
કેન્દ્ર અને એક છેડા વચ્ચે ઉદ્ભવતું $emf$ $\varepsilon = \int_{0}^{l/2} B\omega r dr = B\omega [\frac{r^2}{2}]_{0}^{l/2} = \frac{Bl^2\omega}{8}$ થાય.
સળિયો તેના કેન્દ્રની આસપાસ ફરતો હોવાથી,સળિયાના બંને ભાગો વિરોધી દિશામાં જોડાયેલી બે બેટરી તરીકે કાર્ય કરે છે. પ્રથમ અર્ધભાગમાં (કેન્દ્રથી એક છેડા સુધી) ઉદ્ભવતું $emf$ $\frac{Bl^2\omega}{8}$ છે અને બીજા અર્ધભાગમાં (કેન્દ્રથી બીજા છેડા સુધી) ઉદ્ભવતું $emf$ પણ $\frac{Bl^2\omega}{8}$ છે.
આ બંને પ્રેરિત $emf$ કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,સળિયાના બે છેડાઓ વચ્ચેનો કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\frac{Bl^2\omega}{8} - \frac{Bl^2\omega}{8} = 0$ થાય છે.

(A) સળિયામાં પ્રેરિત ગતિકીય $emf$ $\varepsilon = B \ell v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $B = 0.15\, T$,$\ell = 50\, cm = 0.5\, m$,$v = 2\, ms^{-1}$,અને $R = 3\,\Omega$.
પરિપથમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B \ell v}{R}$ છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = I \ell B = \left(\frac{B \ell v}{R}\right) \ell B = \frac{B^2 \ell^2 v}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{(0.15)^2 \times (0.5)^2 \times 2}{3} = \frac{0.0225 \times 0.25 \times 2}{3} = \frac{0.01125}{3} = 0.00375\, N$.
આમ,$F = 3.75 \times 10^{-3}\, N$.

(B) ગતિ કરતી ધાતુની ફ્રેમમાં પ્રેરિત $emf$ ને લૂપમાં જોડાયેલી બે બેટરી તરીકે દર્શાવી શકાય છે. બાજુ $AD$ તારની નજીક છે,તેથી તે પ્રબળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અનુભવે છે,જેના પરિણામે $5\,V$ નો ઉચ્ચ પ્રેરિત $emf$ મળે છે. બાજુ $BC$ દૂર છે,જેના પરિણામે $2\,V$ નો પ્રેરિત $emf$ મળે છે.
લૂપમાં કુલ $emf$,$\varepsilon_{net} = 5\,V - 2\,V = 3\,V$ છે.
પ્રવાહની દિશા મોટા $emf$ ($AD$ માં $5\,V$) દ્વારા નક્કી થાય છે,જે પ્રવાહને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $(ACW)$ વહેવડાવે છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I = \frac{\varepsilon_{net}}{R} = \frac{3\,V}{6\,\Omega} = 0.5\,A$.
આમ,મૂલ્ય $0.5\,A$ છે અને દિશા ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ $(ACW)$ છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરતા વાહકમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) નું સૂત્ર $e = \frac{1}{2} B \omega r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ પરિભ્રમણની ધરીથી અંતિમ બિંદુનું અસરકારક અંતર છે.
આ કિસ્સામાં,સળિયો $J$-આકારનો છે જેમાં $l$ અને $L$ લંબાઈના ભાગો એકબીજાને લંબ છે. પીવટ પોઈન્ટ $P$ થી બીજા છેડા $Q$ સુધીનું અસરકારક અંતર $r$ એ સીધી રેખાનું અંતર છે,જે $r = \sqrt{l^2 + L^2}$ છે.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$e = \frac{1}{2} B \omega (\sqrt{l^2 + L^2})^2$
$e = \frac{1}{2} B \omega (l^2 + L^2)$

(C) $1$. બાજુ $PS$ ચુંબકીય ક્ષેત્રની બહાર છે. તેથી,બાજુ $PS$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શૂન્ય છે,માટે બાજુ $PS$ માં પ્રેરિત $e.m.f.$ $\varepsilon = B \ell v = 0 \times \ell \times v = 0$ થશે.
$2$. લૂપને બળ $F$ દ્વારા અચળ ઝડપ $v$ થી ખેંચવામાં આવે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી બાજુ $QR$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = B I \ell$ છે. ઝડપ અચળ હોવાથી,$F = F_m = B I \ell$ થાય.
$3$. લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon_{total}}{r} = \frac{B \ell v}{r}$ છે.
$4$. બળના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $F = B \ell \left( \frac{B \ell v}{r} \right) = \frac{B^2 \ell^2 v}{r}$,જે પરથી $v = \frac{Fr}{B^2 \ell^2}$ મળે.
$5$. $P$ અને $S$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ તે ભાગના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ છે. લૂપનો કુલ અવરોધ $r$ છે. બાજુ $PS$ ની લંબાઈ $\ell$ છે. જો લૂપ સમાન તારની બનેલી હોય,તો બાજુ $PS$ નો અવરોધ $r_{PS} = \frac{r}{6}$ થાય (કારણ કે કુલ પરિમિતિ $2(2\ell + \ell) = 6\ell$ છે).
$6$. આમ,$V_{PS} = I \cdot r_{PS} = \left( \frac{B \ell v}{r} \right) \cdot \frac{r}{6} = \frac{B \ell}{6} \cdot \left( \frac{Fr}{B^2 \ell^2} \right) = \frac{Fr}{6 B \ell}$.

(A) સળિયામાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon = B \ell v$ છે.
પરિપથમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B \ell v}{R}$ છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય અવરોધક બળ $f_m = i \ell B = \left(\frac{B \ell v}{R}\right) \ell B = \frac{B^2 \ell^2 v}{R}$ છે.
સળિયાને અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરાવવા માટે,બાહ્ય એજન્ટે ચુંબકીય અવરોધક બળ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ $f$ લગાડવું પડે:
$f = f_m = \left(\frac{B^2 \ell^2}{R}\right) v$.
અહીં $f \propto v$ હોવાથી,બળ વિરુદ્ધ વેગનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા મળે છે.
બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો પાવર $P = f \cdot v = \left(\frac{B^2 \ell^2}{R}\right) v \cdot v = \left(\frac{B^2 \ell^2}{R}\right) v^2$ છે.
અહીં $P \propto v^2$ હોવાથી,પાવર વિરુદ્ધ વેગનો આલેખ પરવલય મળે છે.

(C) દરેક આરાના છેડાઓ વચ્ચે પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$e = \frac{1}{2} B l^2 \omega$
જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે, $l$ એ દરેક આરાની લંબાઈ છે (જે પૈડાની ત્રિજ્યા જેટલી છે), અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $l = 0.4\, m$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.4 \times 10^{-4}\, T$
આવૃત્તિ $f = 180\, \text{rpm} = \frac{180}{60} = 3\, \text{rev/s}$
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 3 = 6 \pi\, \text{rad/s}$
બધા આરા સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી, રીમ અને કેન્દ્ર વચ્ચેનું કુલ પ્રેરિત $emf$ એ એક આરામાં પ્રેરિત $emf$ જેટલું જ હોય છે.
$e = \frac{1}{2} \times (0.4 \times 10^{-4}) \times (0.4)^2 \times (2 \pi \times 3)$
$e = \frac{1}{2} \times 0.4 \times 10^{-4} \times 0.16 \times 6 \pi$
$e = 0.2 \times 10^{-4} \times 0.16 \times 6 \times 3.14$
$e \approx 6.03 \times 10^{-5}\, V$
નજીકના વિકલ્પને ધ્યાનમાં લેતા, જવાબ $6 \times 10^{-5}\, V$ મળે છે.

(B) ભ્રમણ કરતા આરામાં પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર $e = \frac{1}{2} B \omega \ell^2$ છે.
આપેલ છે:
$B = 0.40\,G = 0.40 \times 10^{-4}\,T$
$l = 0.50\,m$
$f = 120\,rev/min = \frac{120}{60}\,rev/s = 2\,Hz$
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \times \pi \times 2 = 4\pi\,rad/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times (0.40 \times 10^{-4}) \times (4\pi) \times (0.50)^2$
$e = \frac{1}{2} \times 0.40 \times 10^{-4} \times 4 \times 3.14 \times 0.25$
$e = 0.20 \times 10^{-4} \times 4 \times 3.14 \times 0.25$
$e = 0.628 \times 10^{-4}\,V$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ બહારની તરફ (ધન $Z-$ અક્ષની દિશામાં) છે. સળિયો $AB$ વેગ $\vec{v}$ સાથે ધન $X-$ અક્ષની દિશામાં ગતિ કરે છે.
લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર મુજબ,$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન $(q = -e)$ માટે,બળ $\vec{F} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
વેગ $\vec{v}$ એ $+X$ દિશામાં છે અને $\vec{B}$ એ $+Z$ દિશામાં છે.
$\vec{v} \times \vec{B}$ ની દિશા $+Y$ દિશામાં (છેડા $B$ તરફ) મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર ઋણ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $-Y$ દિશામાં (છેડા $A$ તરફ) હશે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન છેડા $A$ પર જમા થાય છે,જેના કારણે છેડો $A$ ઋણ વીજભારિત બને છે અને છેડો $B$ ધન વીજભારિત બને છે.

(D) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 800$,ક્ષેત્રફળ $A = 0.05\; m^{2}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 5 \times 10^{-5}\; T$,સમયગાળો $\Delta t = 0.1\; s$.
પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_{1} = N B A \cos(0^{\circ}) = N B A$.
અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_{2} = N B A \cos(90^{\circ}) = 0$.
પ્રેરિત $emf$ $e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{\phi_{2} - \phi_{1}}{\Delta t} = \frac{N B A}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા: $e = \frac{800 \times 5 \times 10^{-5} \times 0.05}{0.1}$.
$e = \frac{800 \times 5 \times 10^{-5} \times 5 \times 10^{-2}}{10^{-1}} = 800 \times 5 \times 5 \times 10^{-7} \times 10^{1} = 20000 \times 10^{-6} = 0.02\; V$.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં કોણીય ઝડપ $\omega$ થી ફરતા $R$ લંબાઈના સળિયા (અથવા પૈડાના આરા) માં પ્રેરિત ગતિકીય $EMF$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{2} B \omega R^2$
આપેલ કિંમતો:
$B = 0.1 \; T$
$\omega = 10 \; rad/s$
$R = 0.5 \; m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 10 \times (0.5)^2$
$E = 0.5 \times 0.25$
$E = 0.125 \; V$
તેથી,કેન્દ્ર અને રીમ વચ્ચે ઉત્પન્ન થતું $EMF$ $0.125 \; V$ છે.

(N/A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.1\; m$,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.1)^2 = \pi \times 10^{-2}\; m^2$,આંટાની સંખ્યા $N = 500$,અવરોધ $R = 2\; \Omega$,સમય $\Delta t = 0.25\; s$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3.0 \times 10^{-5}\; T$.
ગૂંચળામાંથી પસાર થતું પ્રારંભિક ફ્લક્સ,$\Phi_{\text{initial}} = N B A \cos 0^{\circ} = 500 \times 3.0 \times 10^{-5} \times \pi \times 10^{-2} = 1.5 \pi \times 10^{-4}\; Wb$.
$180^{\circ}$ પરિભ્રમણ પછી અંતિમ ફ્લક્સ,$\Phi_{\text{final}} = N B A \cos 180^{\circ} = -1.5 \pi \times 10^{-4}\; Wb$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર,$\Delta \Phi = \Phi_{\text{final}} - \Phi_{\text{initial}} = -3.0 \pi \times 10^{-4}\; Wb$.
પ્રેરિત emf,$\varepsilon = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = -\frac{-3.0 \pi \times 10^{-4}}{0.25} = 12 \pi \times 10^{-4} \approx 3.77 \times 10^{-3}\; V$.
પ્રેરિત પ્રવાહ,$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{3.77 \times 10^{-3}}{2} \approx 1.88 \times 10^{-3}\; A$.

(157 V) રીત $I$
જેમ સળિયો ફરે છે,તેમ સળિયામાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન લોરેન્ઝ બળને કારણે બહારના છેડા તરફ ગતિ કરે છે અને રીંગ પર વિતરિત થાય છે. આમ,પરિણામી વિદ્યુતભારોનું અલગીકરણ સળિયાના છેડાઓ વચ્ચે $emf$ ઉત્પન્ન કરે છે. $emf$ ના ચોક્કસ મૂલ્ય પર,ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવાહ અટકી જાય છે અને સ્થાયી અવસ્થા પ્રાપ્ત થાય છે. જ્યારે સળિયો ચુંબકીય ક્ષેત્રને કાટખૂણે ગતિ કરે છે ત્યારે સળિયાની $dr$ લંબાઈ પર ઉત્પન્ન થતો $emf$ $d\varepsilon = B v dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\varepsilon = \int d\varepsilon = \int_{0}^{R} B v dr = \int_{0}^{R} B \omega r dr = \frac{B \omega R^{2}}{2}$.
$v = \omega r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\varepsilon = \frac{1}{2} \times 1.0 \times (2 \pi \times 50) \times (1^{2}) = 157\; V$.
રીત $II$
$emf$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે એક બંધ લૂપ $OPQ$ ની કલ્પના કરી શકીએ છીએ જેમાં બિંદુ $O$ અને $P$ એક અવરોધક સાથે જોડાયેલા છે અને $OQ$ એ ફરતો સળિયો છે. અવરોધક પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ પ્રેરિત $emf$ જેટલો હોય છે અને તે $B \times$ (લૂપના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફારનો દર) જેટલો થાય છે. જો $\theta$ એ $t$ સમયે સળિયા અને વર્તુળની ત્રિજ્યા વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો સેક્ટર $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $\pi R^{2} \times \frac{\theta}{2 \pi} = \frac{1}{2} R^{2} \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. તેથી,પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = B \times \frac{d}{dt} [\frac{1}{2} R^{2} \theta] = \frac{1}{2} B R^{2} \frac{d\theta}{dt} = \frac{B \omega R^{2}}{2} = 157\; V$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરતા સળિયામાં પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર $\epsilon = \frac{1}{2} B \omega R^2$ છે.
અહીં,$B = H_E = 0.4 \; G = 0.4 \times 10^{-4} \; T$.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi \nu$,જ્યાં $\nu = 120 \; rev/min = \frac{120}{60} \; rev/s = 2 \; rev/s$.
તેથી,$\omega = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \; rad/s$.
આરાની લંબાઈ $R = 0.5 \; m$.
કિંમતો મૂકતા: $\epsilon = \frac{1}{2} \times (0.4 \times 10^{-4}) \times (4 \pi) \times (0.5)^2$.
$\epsilon = 0.2 \times 10^{-4} \times 4 \pi \times 0.25 = 0.2 \times 10^{-4} \times \pi = 0.2 \times 3.14159 \times 10^{-4} \approx 6.28 \times 10^{-5} \; V$.
આરાઓની સંખ્યા મહત્વની નથી કારણ કે દરેક આરામાં ઉદ્ભવતું $emf$ સમાંતર જોડાણમાં હોય છે.

(N/A) ચાલો પહેલા $x=0$ થી $x=2b$ સુધીની આગળની ગતિનો વિચાર કરીએ. પરિપથ $SPQR$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_B$ છે:
$\Phi_B = Blx$,$0 \leq x < b$ માટે
$\Phi_B = Blb$,$b \leq x < 2b$ માટે
પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ છે:
$\varepsilon = -Blv$,$0 \leq x < b$ માટે
$\varepsilon = 0$,$b \leq x < 2b$ માટે
જ્યારે પ્રેરિત emf શૂન્ય ન હોય,ત્યારે પ્રવાહ $I$ નું મૂલ્ય $I = \frac{|\varepsilon|}{r} = \frac{Blv}{r}$ છે.
ભુજ $PQ$ ને અચળ ગતિમાં રાખવા માટે જરૂરી બળ $F = IlB$ છે. તેની દિશા ડાબી તરફ (ગતિની વિરુદ્ધ) છે. મૂલ્યમાં:
$F = \frac{B^2l^2v}{r}$,$0 \leq x < b$ માટે
$F = 0$,$b \leq x < 2b$ માટે
જૂલ ઉષ્મા વ્યય $P_J = I^2r$ છે:
$P_J = \frac{B^2l^2v^2}{r}$,$0 \leq x < b$ માટે
$P_J = 0$,$b \leq x < 2b$ માટે
$x=2b$ થી $x=0$ સુધીની અંદરની ગતિ માટે પણ સમાન સમીકરણો મળે છે. અંતર સાથે આ રાશિઓના ફેરફાર આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.

(C) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 100$,ક્ષેત્રફળ $A = 0.10 \; m^2$,આવૃત્તિ $\nu = 0.5 \; Hz$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.01 \; T$.
ભ્રમણ કરતા ગૂંચળામાં ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ પ્રેરિત ઈ.એમ.એફ. (વોલ્ટેજ) $\varepsilon_0$ નું સૂત્ર $\varepsilon_0 = N B A \omega$ છે,જ્યાં $\omega = 2 \pi \nu$.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon_0 = 100 \times 0.01 \times 0.10 \times (2 \times 3.14 \times 0.5)$
$\varepsilon_0 = 1 \times 0.10 \times 3.14$
$\varepsilon_0 = 0.314 \; V$.
આમ,ગૂંચળામાં ઉત્પન્ન થતો મહત્તમ વોલ્ટેજ $0.314 \; V$ છે.

(N/A) આપેલ છે:
લંબચોરસ તારની લંબાઈ,$l = 8 \;cm = 0.08 \;m$
લંબચોરસ તારની પહોળાઈ,$b = 2 \;cm = 0.02 \;m$
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 0.3 \;T$
લૂપનો વેગ,$v = 1 \;cm \,s^{-1} = 0.01 \;m \,s^{-1}$
$(a)$ જ્યારે વેગ લાંબી બાજુ $(l)$ ને લંબ હોય:
પ્રેરિત emf $e = B l v = 0.3 \times 0.08 \times 0.01 = 2.4 \times 10^{-4} \;V$ છે.
ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{b}{v} = \frac{0.02}{0.01} = 2 \;s$ છે.
આમ,પ્રેરિત વોલ્ટેજ $2.4 \times 10^{-4} \;V$ છે અને તે $2 \;s$ સુધી ટકે છે.
$(b)$ જ્યારે વેગ ટૂંકી બાજુ $(b)$ ને લંબ હોય:
પ્રેરિત emf $e = B b v = 0.3 \times 0.02 \times 0.01 = 0.6 \times 10^{-4} \;V$ છે.
ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{l}{v} = \frac{0.08}{0.01} = 8 \;s$ છે.
આમ,પ્રેરિત વોલ્ટેજ $0.6 \times 10^{-4} \;V$ છે અને તે $8 \;s$ સુધી ટકે છે.

(B) આપેલ છે: સળિયાની લંબાઈ,$l = 1.0 \; m$.
કોણીય આવૃત્તિ,$\omega = 400 \; rad \; s^{-1}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 0.5 \; T$.
જ્યારે $l$ લંબાઈનો સળિયો તેના એક છેડાની આસપાસ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ફરે છે,ત્યારે તેના છેડાઓ વચ્ચે પ્રેરિત emf $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = \int_{0}^{l} B v \; dr = \int_{0}^{l} B (\omega r) \; dr$
$e = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{l} = \frac{1}{2} B \omega l^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 400 \times (1.0)^2$
$e = 0.25 \times 400 = 100 \; V$.
આમ,કેન્દ્ર અને રીંગ વચ્ચે ઉત્પન્ન થતું emf $100 \; V$ છે.

(A) આપેલ છે:
વર્તુળાકાર કોઈલની ત્રિજ્યા,$r = 8.0\; cm = 0.08\; m$
આંટાની સંખ્યા,$N = 20$
કોણીય ઝડપ,$\omega = 50\; rad\; s^{-1}$
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 3.0 \times 10^{-2}\; T$
ગાળાનો અવરોધ,$R = 10\; \Omega$
કોઈલનું ક્ષેત્રફળ,$A = \pi r^2 = \pi \times (0.08)^2 = 0.0201\; m^2$
$1$. મહત્તમ પ્રેરિત $emf$ $(e_{max})$:
$e_{max} = N \omega A B = 20 \times 50 \times 0.0201 \times 3.0 \times 10^{-2} = 0.603\; V$
$2$. સરેરાશ પ્રેરિત $emf$:
ચુંબકીય ફ્લક્સ સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન સાઈનસૉઈડલ રીતે બદલાતું હોવાથી,સરેરાશ પ્રેરિત $emf$ $0\; V$ થાય છે.
$3$. મહત્તમ પ્રવાહ $(I_{max})$:
$I_{max} = \frac{e_{max}}{R} = \frac{0.603}{10} = 0.0603\; A$
$4$. સરેરાશ પાવર વ્યય $(P_{avg})$:
$P_{avg} = \frac{e_{max} I_{max}}{2} = \frac{0.603 \times 0.0603}{2} \approx 0.018\; W$
$5$. પાવરનો સ્ત્રોત:
જૂલ ઉષ્મા તરીકે વ્યય થતો પાવર બાહ્ય એજન્ટ (રોટર) પાસેથી આવે છે જે કોઈલને ચુંબકીય ટોર્કની વિરુદ્ધ ફેરવે છે.

(A) આપેલ છે:
તારની લંબાઈ,$l = 10 \; m$
તારની પડવાની ઝડપ,$v = 5.0 \; m \, s^{-1}$
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 0.30 \times 10^{-4} \; Wb \, m^{-2}$
$(a)$ પ્રેરિત $emf$ નું તાત્કાલિક મૂલ્ય સૂત્ર $\varepsilon = B \cdot l \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = (0.30 \times 10^{-4} \; Wb \, m^{-2}) \times (10 \; m) \times (5.0 \; m \, s^{-1})$
$\varepsilon = 1.5 \times 10^{-3} \; V$
$(b)$ ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ (અને તેથી $emf$) ની દિશા પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ છે.
$(c)$ તારની અંદર પ્રેરિત પ્રવાહ પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ વહેતો હોવાથી,તારનો પૂર્વ છેડો ઉચ્ચ વિદ્યુત સ્થિતિમાન પર છે.

(A) જેટ પ્લેનની ઝડપ,$v = 1800\; km/h = 500\; m/s$.
જેટ પ્લેનની પાંખની લંબાઈ,$l = 25\; m$.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 5.0 \times 10^{-4}\; T$.
નમન કોણ,$\delta = 30^{\circ}$.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક,$B_v = B \sin \delta$.
$B_v = 5 \times 10^{-4} \times \sin 30^{\circ} = 5 \times 10^{-4} \times 0.5 = 2.5 \times 10^{-4}\; T$.
પાંખના છેડાઓ વચ્ચે પ્રેરિત ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (વોલ્ટેજ તફાવત) $e = B_v \times l \times v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$e = 2.5 \times 10^{-4} \times 25 \times 500$.
$e = 3.125\; V$.
આમ,પાંખોના છેડા વચ્ચે ઉત્પન્ન થતો વોલ્ટેજ તફાવત $3.125\; V$ છે.

(A) આપેલ છે: સળિયાની લંબાઈ,$l = 15 \; cm = 0.15 \; m$,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 0.50 \; T$,બંધ લૂપનો અવરોધ,$R = 9.0 \; m\Omega = 9.0 \times 10^{-3} \; \Omega$,સળિયાની ઝડપ,$v = 12 \; cm \; s^{-1} = 0.12 \; m \; s^{-1}$.
$(a)$ પ્રેરિત $emf$ $e = Bvl = 0.50 \times 0.12 \times 0.15 = 9 \times 10^{-3} \; V = 9 \; mV$. ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ધ્રુવીયતા એવી છે કે છેડો $P$ ધન અને છેડો $Q$ ઋણ છે.
$(b)$ જ્યારે $K$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે ચુંબકીય લોરેન્ટ્ઝ બળ દ્વારા વીજભારોના અલગીકરણને કારણે સળિયાના છેડાઓ પર વધારાનો વીજભાર જમા થાય છે. જ્યારે $K$ બંધ હોય,ત્યારે પ્રવાહ સતત વહે છે,તેથી વધારાનો વીજભાર પ્રવાહના પ્રવાહ દ્વારા જળવાઈ રહે છે.
$(c)$ જ્યારે $K$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન પરનું ચુંબકીય બળ સળિયાના છેડાઓ પર જમા થયેલા વીજભારોને કારણે લાગતા વિદ્યુત બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. આમ,ઇલેક્ટ્રોન પરનું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય છે.
$(d)$ અવરોધક બળ $F = IBl$. પ્રવાહ $I = e/R = (9 \times 10^{-3} \; V) / (9 \times 10^{-3} \; \Omega) = 1 \; A$. તેથી,$F = 1 \times 0.50 \times 0.15 = 0.075 \; N = 75 \; mN$.
$(e)$ જ્યારે $K$ બંધ હોય,ત્યારે પાવર $P = Fv = 0.075 \times 0.12 = 9 \times 10^{-3} \; W = 9 \; mW$. જ્યારે $K$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,તેથી ગતિ જાળવી રાખવા માટે કોઈ પાવરની જરૂર પડતી નથી (ઘર્ષણને અવગણતા).
$(f)$ ગરમી તરીકે વ્યય થતી પાવર $P = I^2R = (1)^2 \times 9 \times 10^{-3} = 9 \; mW$. આ પાવરનો સ્ત્રોત સળિયાને ગતિ કરાવનાર બાહ્ય એજન્ટ છે.
$(g)$ જો ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાટાઓને સમાંતર હોય,તો વેગ સદિશ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશને સમાંતર છે. તેથી,$e = Bvl \sin(\theta) = 0$,કારણ કે $\theta = 0^\circ$.

(N/A) લાંબા સીધા તારથી $y$ અંતરે લૂપમાં એક નાનો ઘટક $dy$ ધ્યાનમાં લો.
ઘટક $dy$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $d\phi = B dA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $dA = a dy$ એ ઘટકનું ક્ષેત્રફળ છે.
$y$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi y}$ છે.
તેથી, $d\phi = \left(\frac{\mu_0 I}{2\pi y}\right) a dy = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \frac{dy}{y}$.
$y = x$ થી $y = x + a$ સુધી સંકલન કરતા:
$\phi = \int_{x}^{x+a} \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \frac{dy}{y} = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} [\ln y]_{x}^{x+a} = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \ln\left(\frac{x+a}{x}\right) = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \ln\left(1 + \frac{a}{x}\right)$.
$\phi = MI$ હોવાથી, અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \ln\left(1 + \frac{a}{x}\right)$ છે.
$(b)$ પ્રેરિત $emf$, $e = |\frac{d\phi}{dt}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વૈકલ્પિક રીતે, $e = (B_1 - B_2)av$, જ્યાં $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi x}$ અને $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x+a)}$.
$e = \frac{\mu_0 I a v}{2\pi} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+a}\right) = \frac{\mu_0 I a v}{2\pi} \left(\frac{a}{x(x+a)}\right)$.
કિંમતો મૂકતા: $I = 50\; A$, $x = 0.2\; m$, $a = 0.1\; m$, $v = 10\; m/s$, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\; T\cdot m/A$.
$e = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 50 \times 0.1 \times 10}{2\pi} \times \left(\frac{0.1}{0.2(0.2+0.1)}\right) = (2 \times 10^{-7} \times 50) \times \left(\frac{0.1}{0.2 \times 0.3}\right) = 10^{-5} \times \left(\frac{0.1}{0.06}\right) = 1.67 \times 10^{-5}\; V$.

(N/A) $U$-આકારની વાહક ફ્રેમ પર ડાબી બાજુ $v$ જેટલા અચળ વેગથી ગતિ કરતા $l$ લંબાઈના વાહક સળિયા $PQ$ નો વિચાર કરો.
ધારો કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે અને ફ્રેમના સમતલને લંબ રૂપે અંદરની તરફ છે.
સળિયા અને ફ્રેમ દ્વારા બનતા લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = l \times x$ છે,જ્યાં $x$ એ ફ્રેમના ડાબા છેડાથી સળિયાનું અંતર છે.
લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_B = B \cdot A = B \cdot l \cdot x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ છે.
$\Phi_B$ નું સમીકરણ મૂકતા,$\varepsilon = -\frac{d}{dt}(B \cdot l \cdot x)$ મળે.
અહીં $B$ અને $l$ અચળ હોવાથી,$\varepsilon = -B \cdot l \cdot \frac{dx}{dt}$.
જેમ સળિયો ડાબી બાજુ ગતિ કરે છે,તેમ અંતર $x$ ઘટે છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = -v$.
તેથી,$\varepsilon = -B \cdot l \cdot (-v) = B \cdot l \cdot v$.
આમ,પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = Blv$ છે.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવેલ વાહક $PQ$ માં કોઈ પણ એક યાદચ્છિક વિદ્યુતભાર $q$ નો વિચાર કરો. જ્યારે સળિયો $v$ ઝડપથી ગતિ કરે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર પણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ ઝડપથી ગતિ કરશે.
આ વિદ્યુતભાર પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ મૂલ્યમાં $F = qvB$ છે અને તેની દિશા $Q$ તરફ હોય છે (જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે). સળિયા $PQ$ માં તેમના સ્થાનને ધ્યાનમાં લીધા વિના,બધા જ વિદ્યુતભારો સમાન મૂલ્ય અને દિશાનું બળ અનુભવે છે.
વિદ્યુતભારને $P$ થી $Q$ સુધી લઈ જવા માટે થયેલું કાર્ય $W = F \cdot l = (qvB)l = qvBl$ છે.
$emf$ $(\varepsilon)$ એ એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ થયેલું કાર્ય હોવાથી,
$\varepsilon = \frac{W}{q} = \frac{qvBl}{q} = Blv$.
આ સમીકરણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સળિયા $PQ$ ની ગતિને કારણે તેમાં પ્રેરિત થતું $emf$ આપે છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ માં વેગ $(v)$ સાથે ગતિ કરતા $(l)$ લંબાઈના વાહક સળિયામાં પ્રેરિત $emf$ $(\varepsilon)$ નું સૂત્ર: $\varepsilon = B \cdot l \cdot v \cdot \sin(\theta)$ છે.
ધારો કે સળિયો ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે, તો સૂત્ર $\varepsilon = B \cdot l \cdot v$ થાય છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે પ્રેરિત $emf$ એ સળિયાના વેગના સમપ્રમાણમાં છે $(\varepsilon \propto v)$.
જો વેગ બમણો કરવામાં આવે $(v' = 2v)$, તો નવો પ્રેરિત $emf$ $(\varepsilon')$ $\varepsilon' = B \cdot l \cdot (2v) = 2 \cdot (B \cdot l \cdot v) = 2\varepsilon$ થશે.
તેથી, પ્રેરિત $emf$ $2$ ગણો વધશે.

(N/A) ગતિશીલ $emf$ એ વિદ્યુતચાલક બળ $(emf)$ છે જે ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે કોઈ વાહક ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે.
જ્યારે $l$ લંબાઈનો વાહક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું ચુંબકીય બળ વિદ્યુતભારનું અલગીકરણ કરે છે,જેનાથી વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે.
પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર $\varepsilon = Blv$ છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,$l$ એ વાહકની લંબાઈ છે અને $v$ એ ક્ષેત્રને લંબ રૂપે વાહકનો વેગ છે.

(N/A) ધારો કે આકૃતિમાં દર્શાવેલ લંબચોરસ વાહકના ગતિશીલ હાથ $PQ$ નો અવરોધ $r$ છે. આપણે ધારીએ છીએ કે બાકીના હાથોનો અવરોધ $r$ ની સરખામણીમાં નગણ્ય છે. આમ,લૂપનો કુલ અવરોધ $r$ છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ (emf) $\varepsilon = B v l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપમાં પ્રવાહ $I$ છે:
$I = \frac{\varepsilon}{r} = \frac{B v l}{r}$ ... $(1)$
ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે,હાથ $PQ$ પર ચુંબકીય બળ લાગે છે. આ બળ $\vec{F} = I \vec{l} \times \vec{B}$ સળિયાના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. આ બળનું મૂલ્ય છે:
$F = I l B = \left( \frac{B v l}{r} \right) l B = \frac{B^2 l^2 v}{r}$ ... $(2)$
બાહ્ય બળ દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર: હાથ $PQ$ ને અચળ વેગ $v$ સાથે ગતિ કરાવવા માટે,ગતિની દિશામાં $F$ જેટલું જ બાહ્ય બળ લગાડવું પડે છે. જરૂરી યાંત્રિક પાવર છે:
$P_{mech} = F v = \left( \frac{B^2 l^2 v}{r} \right) v = \frac{B^2 l^2 v^2}{r}$ ... $(3)$
ઉત્પન્ન થતો વિદ્યુત પાવર: અવરોધ $r$ માં વ્યય થતો વિદ્યુત પાવર છે:
$P_{elec} = I^2 r = \left( \frac{B v l}{r} \right)^2 r = \frac{B^2 v^2 l^2}{r^2} \times r = \frac{B^2 l^2 v^2}{r}$ ... $(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $P_{mech} = P_{elec}$. આમ,સળિયાને ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી યાંત્રિક પાવરનું સંપૂર્ણપણે વિદ્યુત પાવરમાં રૂપાંતર થાય છે,જે પછી અવરોધકમાં ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે છે.

(N/A) જ્યારે $l$ લંબાઈનો વાહક સળિયો $B$ જેટલા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $v$ જેટલા અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે સળિયાના બે છેડા વચ્ચે પ્રેરિત $EMF$ ઉદ્ભવે છે,જે $\epsilon = Blv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો સળિયો $R$ અવરોધ ધરાવતા બંધ પરિપથનો ભાગ હોય,તો પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\epsilon}{R} = \frac{Blv}{R}$ થાય છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = IlB$ છે. $I$ ની કિંમત મૂકતા,$F_m = \left(\frac{Blv}{R}\right)lB = \frac{B^2l^2v}{R}$ મળે છે.
અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે,ચુંબકીય બળની વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન મૂલ્યનું બાહ્ય યાંત્રિક બળ $F_{ext}$ લગાડવું પડે,તેથી $F_{ext} = F_m = \frac{B^2l^2v}{R}$.
જરૂરી યાંત્રિક પાવર $P = F_{ext} \cdot v$ દ્વારા મળે છે.
$F_{ext}$ નું સમીકરણ મૂકતા,$P = \left(\frac{B^2l^2v}{R}\right)v = \frac{B^2l^2v^2}{R}$ મળે છે.

(A) જ્યારે કોઈ વાહક ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે વાહકની અંદરના મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પણ તે જ વેગ $v$ સાથે ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં આ ગતિને કારણે,દરેક ઇલેક્ટ્રોન $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવતું ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ અનુભવે છે.
આ બળને કારણે વિદ્યુતભાર વાહકો ડ્રિફ્ટ થાય છે,જેનાથી પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે અને જો પરિપથ બંધ હોય,તો પ્રેરિત પ્રવાહ $I$ વહે છે.
જ્યારે આ પ્રવાહ $l$ લંબાઈના વાહકમાંથી ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વહે છે,ત્યારે તે $F = I(l \times B)$ જેટલું બળ અનુભવે છે.
આમ,સરકતા વાહક પર લાગતું બળ મુખ્યત્વે વિદ્યુતભાર વાહકો પર લાગતા ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળને કારણે હોય છે.

(N/A) પક્ષીઓનું સ્થળાંતર એ જીવવિજ્ઞાન અને સમગ્ર વિજ્ઞાનના ક્ષેત્રમાં એક રહસ્ય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,દર શિયાળામાં સાઇબેરિયાથી પક્ષીઓ ભારતીય ઉપખંડના જળાશયો તરફ ચોકસાઈપૂર્વક ઉડીને આવે છે. એવું સૂચન કરવામાં આવ્યું છે કે વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ (electromagnetic induction) આ સ્થળાંતરની પેટર્ન માટે સંકેત આપી શકે છે.
પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્ક્રાંતિના સમગ્ર ઇતિહાસ દરમિયાન અસ્તિત્વમાં રહ્યું છે.
સ્થળાંતર કરતા પક્ષીઓ માટે દિશા નક્કી કરવા માટે આ ક્ષેત્રનો ઉપયોગ કરવો ખૂબ જ ફાયદાકારક રહેશે.
આપણે જાણીએ છીએ તેમ,પક્ષીઓમાં કોઈ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ હોતો નથી. તેથી,દિશા નક્કી કરવા માટે વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ એ એકમાત્ર તાર્કિક પદ્ધતિ જણાય છે.
ધારો કે આદર્શ કિસ્સામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$,પક્ષીનો વેગ $\vec{v}$ અને તેના શરીરના બે સંબંધિત બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $l$ ત્રણેય પરસ્પર લંબ છે. ગતિકીય $EMF$ ના સૂત્ર મુજબ,$\varepsilon = B l v$.
$B = 4 \times 10^{-5} \ T$,$l = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$ અને $v = 10 \ m/s$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\varepsilon = (4 \times 10^{-5}) \times (2 \times 10^{-2}) \times 10 \ V = 8 \times 10^{-6} \ V = 8 \ \mu V$.
આ અત્યંત નાનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સૂચવે છે કે આપણી પૂર્વધારણા શંકાસ્પદ છે.
અમુક પ્રકારની માછલીઓ નાના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતને પારખી શકે છે. જોકે,આ માછલીઓમાં ખાસ કોષો ઓળખવામાં આવ્યા છે જે નાના વોલ્ટેજ તફાવતને શોધી શકે છે. પક્ષીઓમાં આવા કોઈ કોષો ઓળખાયા નથી. આમ,પક્ષીઓનું સ્થળાંતર હજુ પણ એક રહસ્ય છે.

(D) ગતિશીલ સળિયામાં પ્રેરિત emf $\varepsilon = B v l \sin \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને લંબાઈ સદિશ $\vec{l}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
વૈકલ્પિક રીતે,તેને $\varepsilon = B v_{\perp} l$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $v_{\perp}$ એ સળિયાને લંબ વેગનો ઘટક છે,અથવા $\varepsilon = B v l_{\perp}$ તરીકે,જ્યાં $l_{\perp}$ એ વેગને લંબ સળિયાની અસરકારક લંબાઈ છે.
આ ગોઠવણીમાં,સળિયા $PQ$ ની અસરકારક લંબાઈ જે $v$ વેગ સાથે ગતિ કરતી વખતે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપે છે તે બે સમાંતર વાયરો વચ્ચેનું લંબ અંતર છે,જે $d$ છે.
આમ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = B v d$ છે.
અવરોધ $R$ ધરાવતા સર્કિટમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B v d}{R}$.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે,જેના પરિણામે આ લૂપમાં ઘડિયાળની દિશામાં પ્રવાહ વહે છે.

(N/A) ધારો કે બે સમાંતર તાર $y=0$ અને $y=l$ પર છે. ધારો કે $t=0$ સમયે તાર $XY$ એ $x=0$ પર છે અને $t$ સમયે તે $x$ સ્થાન પર છે.
$(i)$ બંધ લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = B(t) l x$ છે.
પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt}[B(t) l x] = -l [B(t) \frac{dx}{dt} + x \frac{dB(t)}{dt}] = -l B(t) v - lx \frac{dB(t)}{dt}$.
તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = IlB(t) = \frac{\varepsilon}{R} l B(t) = -\frac{l^2 B(t)}{R} [v B(t) + x \frac{dB(t)}{dt}]$.
$F = ma$ હોવાથી,પ્રવેગ $a = -\frac{l^2 B(t)}{mR} [v B(t) + x \frac{dB(t)}{dt}]$.
$(ii)$ જો $B$ અચળ હોય,તો $\frac{dB}{dt} = 0$,તેથી $a = -\frac{l^2 B^2}{mR} v$.
$\frac{dv}{dt} = -\frac{l^2 B^2}{mR} v \implies \int_{u_0}^{v} \frac{dv}{v} = -\int_{0}^{t} \frac{l^2 B^2}{mR} dt$.
$\ln(\frac{v}{u_0}) = -\frac{l^2 B^2}{mR} t \implies v(t) = u_0 e^{-\frac{l^2 B^2}{mR} t}$.
$(iii)$ ગતિઊર્જામાં ઘટાડો $\Delta K = \frac{1}{2} m u_0^2 - \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m u_0^2 (1 - e^{-\frac{2l^2 B^2}{mR} t})$.
વ્યય થતી ઉષ્મા $H = \int_0^t I^2 R dt = \int_0^t (\frac{Blv}{R})^2 R dt = \frac{B^2 l^2}{R} \int_0^t u_0^2 e^{-\frac{2l^2 B^2}{mR} t} dt$.
$H = \frac{B^2 l^2 u_0^2}{R} [\frac{e^{-\frac{2l^2 B^2}{mR} t}}{-\frac{2l^2 B^2}{mR}}]_0^t = \frac{1}{2} m u_0^2 (1 - e^{-\frac{2l^2 B^2}{mR} t})$.
આમ,$\Delta K = H$.

(N/A) ધારો કે વાયર $OP$ સમક્ષિતિજ $OD$ સાથે $\theta = \omega t$ ખૂણે છે. વાયર $OP$ એ ઊભી બાજુ $BD$ ને બિંદુ $Q$ પર છેદે છે. કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ODQ$ માં,લંબાઈ $OQ = x = \frac{l}{\cos \theta}$ છે.
ત્રિકોણ $\triangle ODQ$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times OD \times QD = \frac{1}{2} \times l \times (l \tan \theta) = \frac{1}{2} l^2 \tan \theta$ છે.
$\triangle ODQ$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \frac{1}{2} B l^2 \tan(\omega t)$ છે.
પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = \frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} B l^2 \tan(\omega t) \right) = \frac{1}{2} B l^2 \omega \sec^2(\omega t)$ છે.
લૂપની અંદર વાયર $OP$ ના ભાગનો અવરોધ $R = \lambda x = \frac{\lambda l}{\cos(\omega t)}$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{\frac{1}{2} B l^2 \omega \sec^2(\omega t)}{\frac{\lambda l}{\cos(\omega t)}} = \frac{B l \omega}{2 \lambda \cos^3(\omega t)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(N/A) ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ વેગનો ઘટક $v \cos \theta$ છે.
સળિયામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $\varepsilon = B(v \cos \theta) l$ છે,જ્યાં $l = d$.
તેથી,$\varepsilon = B v d \cos \theta$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B v d \cos \theta}{R}$ છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = B I d$ છે,જે સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે. ઢાળને સમાંતર આ બળનો ઘટક $F_{\parallel} = F \cos \theta = B I d \cos \theta = \frac{B^2 d^2 v \cos^2 \theta}{R}$ છે.
ઢાળની દિશામાં પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = mg \sin \theta - F_{\parallel} = mg \sin \theta - \frac{B^2 d^2 v \cos^2 \theta}{R}$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$m \frac{dv}{dt} = mg \sin \theta - \frac{B^2 d^2 v \cos^2 \theta}{R}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા રેખીય વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dv}{dt} + \left( \frac{B^2 d^2 \cos^2 \theta}{mR} \right) v = g \sin \theta$.
શરૂઆતની શરત $v(0) = 0$ સાથે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$v(t) = \frac{mgR \sin \theta}{B^2 d^2 \cos^2 \theta} \left( 1 - e^{-\frac{B^2 d^2 \cos^2 \theta}{mR} t} \right)$.

(B) અનંત લંબાઈના સીધા તારમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ મળે છે:
$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$
$l$ લંબાઈનો વાહક $v$ વેગથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ ગતિ કરે ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય $EMF$:
$e = Bvl$
$B$ ની કિંમત $e$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = \left( \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} \right) vl = \frac{\mu_{0} Ivl}{2 \pi r}$
ઓહ્મના નિયમ મુજબ લૂપમાં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{e}{R}$:
$i = \frac{1}{R} \left( \frac{\mu_{0} Ivl}{2 \pi r} \right) = \frac{\mu_{0} Ivl}{2 \pi Rr}$

(B) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક આરા $(OP)$ ને ધ્યાનમાં લો.
એક આરા $(OP)$ પર ઉત્પન્ન થતું પ્રેરિત emf:
$e = \frac{B \omega l^2}{2}$
આપેલ છે:
$B = 0.4 \,G = 0.4 \times 10^{-4} \,T$
$l = 1 \,m$
$f = 120 \,rpm = \frac{120}{60} \,rps = 2 \,rps$
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \,rad/s$
કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times (0.4 \times 10^{-4}) \times (4 \pi) \times (1)^2$
$e = 0.2 \times 10^{-4} \times 4 \times 3.14159$
$e = 0.8 \times 3.14159 \times 10^{-4} \approx 2.51 \times 10^{-4} \,V$
બધા આરા ધરી અને રીમની વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,કુલ પ્રેરિત emf એક આરામાં ઉત્પન્ન થતા emf જેટલું જ રહેશે:
$e_{\text{Net}} = e = 2.51 \times 10^{-4} \,V$

(D) ગતિ કરતા વાહક તારમાં ઉદ્ભવતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $E = \vec{l} \cdot (\vec{v} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $x-y$ સમતલને લંબ હોવાથી,તેની લંબાઈનો સદિશ $z$-અક્ષ પર છે,તેથી $\vec{l} = 1\hat{k}\, m$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ શોધો:
$\vec{v} \times \vec{B} = (3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) \times (\hat{i} + 2\hat{j})$
$= 3(\hat{i} \times \hat{i}) + 6(\hat{i} \times \hat{j}) + 3(\hat{j} \times \hat{i}) + 6(\hat{j} \times \hat{j}) + 2(\hat{k} \times \hat{i}) + 4(\hat{k} \times \hat{j})$
$= 0 + 6\hat{k} - 3\hat{k} + 0 + 2\hat{j} - 4\hat{i}$
$= -4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
હવે,$\vec{l} = 1\hat{k}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા:
$E = (1\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$
$E = 1 \times 3 = 3\, V$.

(C) $L$ લંબાઈનો વાહક સળિયો જ્યારે કાગળની અંદરની તરફના ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે સળિયામાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = BvL$ ઉત્પન્ન થાય છે.
ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ગતિ કરતા સળિયામાં પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા નીચેથી ઉપરની તરફ હોય છે.
આ ગતિશીલ સળિયો એક બેટરી તરીકે કાર્ય કરે છે જેનો ધન છેડો ઉપર અને ઋણ છેડો નીચે હોય છે.
$R_{1}$ ધરાવતા ડાબા લૂપ માટે,પ્રવાહ $I_{1}$ સળિયાના ઉપરના ભાગમાંથી નીકળી,$R_{1}$ માંથી પસાર થઈને સળિયાના નીચેના ભાગમાં પાછો ફરે છે,જે સમઘડી દિશા દર્શાવે છે.
$R_{2}$ ધરાવતા જમણા લૂપ માટે,પ્રવાહ $I_{2}$ સળિયાના ઉપરના ભાગમાંથી નીકળી,$R_{2}$ માંથી પસાર થઈને સળિયાના નીચેના ભાગમાં પાછો ફરે છે,જે વિષમઘડી દિશા દર્શાવે છે.
તેથી,$I_{1}$ સમઘડી દિશામાં છે અને $I_{2}$ વિષમઘડી દિશામાં છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $l$ લંબાઈના વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય emf $E = B l v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોરસ લૂપમાં $x$ અને $x+d$ સ્થાન પર $d$ લંબાઈની બે ઉભી બાજુઓ છે.
$x+d$ સ્થાન પરની બાજુમાં પ્રેરિત emf $E _{1} = B(x+d) \cdot d \cdot v _{0} = B _{0} \left( \frac{x+d}{a} \right) d v _{0}$ છે.
$x$ સ્થાન પરની બાજુમાં પ્રેરિત emf $E _{2} = B(x) \cdot d \cdot v _{0} = B _{0} \left( \frac{x}{a} \right) d v _{0}$ છે.
લૂપમાં કુલ પ્રેરિત emf આ બે emf વચ્ચેનો તફાવત છે: $E _{net} = E _{1} - E _{2}$.
$E _{net} = \frac{B _{0} d v _{0}}{a} (x+d - x) = \frac{B _{0} v _{0} d ^{2}}{a}$.

(A) પાંખોમાં પ્રેરિત ગતિકીય $EMF$ $\epsilon = B_v \cdot v \cdot l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_v$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો શિરોલંબ ઘટક છે.
આપેલ છે: $l = 10 \, m$,$v = 180 \, km/h = 50 \, m/s$,$B = 2.5 \times 10^{-4} \, T$,અને ડીપનો ખૂણો $\delta = 60^{\circ}$.
શિરોલંબ ઘટક $B_v = B \sin \delta = 2.5 \times 10^{-4} \times \sin 60^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $\epsilon = (2.5 \times 10^{-4} \times \sin 60^{\circ}) \times 50 \times 10$.
$\epsilon = 2.5 \times 10^{-4} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 500$.
$\epsilon = 2.5 \times 10^{-4} \times 0.866 \times 500 = 0.10825 \, V$.
$mV$ માં ફેરવતા: $\epsilon = 0.10825 \times 1000 = 108.25 \, mV$.

(C) રીંગની ત્રિજ્યા $R = 1 \, m$ છે અને તે $x$-અક્ષ પર $v = 1 \, m/s$ ના અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
$t = 0 \, s$ સમયે,કેન્દ્ર $O$ એ $x = -1 \, m$ પર છે. ત્રિજ્યા $1 \, m$ હોવાથી,રીંગની સૌથી જમણી ધાર $x = 0$ પર છે.
$t = 1 \, s$ સમયે,કેન્દ્ર $O$ એ $d = v \cdot t = 1 \, m/s \cdot 1 \, s = 1 \, m$ જેટલું અંતર કાપે છે. આમ,કેન્દ્રનું નવું સ્થાન $x = -1 + 1 = 0 \, m$ છે.
$t = 1 \, s$ સમયે,રીંગ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તાર $(x > 0)$ માં બરાબર અડધી ડૂબેલી છે.
ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર $emf = B \cdot L \cdot v$ છે,જ્યાં $L$ એ વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ વાહકની અસરકારક લંબાઈ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશતી રીંગ માટે,અસરકારક લંબાઈ $L$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની સીમા પરની જીવા (chord) નો વ્યાસ છે. જ્યારે કેન્દ્ર $x = 0$ પર હોય,ત્યારે જીવા એ રીંગનો ઉભો વ્યાસ છે,તેથી $L = 2R = 2 \cdot 1 \, m = 2 \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $emf = 1 \, T \cdot 2 \, m \cdot 1 \, m/s = 2 \, V$.

(B) ગતિશીલ આર્મમાં ઉત્પન્ન થતું ગતિકીય $EMF$ $\varepsilon = B \ell {v}_{0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $B = 5\, {T}$,$\ell = 20\, {cm} = 0.2\, {m}$,અને લૂપનો આંતરિક અવરોધ $r = 1\, \Omega$.
બાહ્ય સર્કિટમાં દરેક $4\, \Omega$ ના ચાર અવરોધો છે. સર્કિટ જોતા,ડાબી બાજુના બે અવરોધો શ્રેણીમાં $(4+4=8\, \Omega)$ છે અને જમણી બાજુના બે અવરોધો શ્રેણીમાં $(4+4=8\, \Omega)$ છે. આ બે શાખાઓ સમાંતર છે,તેથી સમતુલ્ય બાહ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{8 \times 8}{8+8} = 4\, \Omega$ થશે.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{eq} + r = 4\, \Omega + 1\, \Omega = 5\, \Omega$ છે.
પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R_{total}} = \frac{B \ell {v}_{0}}{5}$ દ્વારા મળે છે.
$i = 2\, {mA} = 2 \times 10^{-3}\, {A}$ આપેલ હોવાથી:
$2 \times 10^{-3} = \frac{5 \times 0.2 \times {v}_{0}}{5}$
$2 \times 10^{-3} = 0.2 \times {v}_{0}$
${v}_{0} = \frac{2 \times 10^{-3}}{0.2} = 10^{-2}\, {m/s} = 1\, {cm/s}$.

(A) $1$. ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$: જેમ સળિયો $x=0$ થી $x=b$ સુધી ગતિ કરે છે,તેમ ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદરનું ક્ષેત્રફળ રેખીય રીતે વધે છે,તેથી ફ્લક્સ વધે છે. $x=b$ થી $x=2b$ સુધી,સળિયો ચુંબકીય ક્ષેત્રની બહાર છે,તેથી ફ્લક્સ અચળ રહે છે. $x=2b$ થી $x=b$ સુધીની પરત મુસાફરીમાં,ફ્લક્સ અચળ રહે છે,અને $x=b$ થી $x=0$ સુધી,તે રેખીય રીતે ઘટે છે. આ વક્ર $A$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. પ્રેરિત $EMF$ $(e)$: પ્રેરિત $EMF$ $e = -\frac{d\phi}{dt} = -Blv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ સળિયો $x=0$ થી $x=b$ સુધી ગતિ કરે છે,$e$ અચળ અને ઋણ હોય છે. $x=b$ થી $x=2b$ સુધી,$e=0$ છે. $x=b$ થી $x=0$ સુધીની પરત મુસાફરીમાં,વેગ ઉલટાય છે,તેથી $e$ ધન અને અચળ બને છે. આ વક્ર $B$ ને અનુરૂપ છે.
$3$. પાવર વ્યય $(P)$: પાવર વ્યય $P = \frac{e^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $P \propto e^2$ હોવાથી,તે ફક્ત ત્યારે જ શૂન્યતર હોય છે જ્યારે સળિયો ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ($0$ થી $b$) હોય. આ વક્ર $C$ ને અનુરૂપ છે.

(A) ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = \vec{B} \cdot \vec{S} = B \cdot \pi R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B = \frac{4}{\pi} \times 10^{-3} (1 - \frac{t}{100})$ અને $R = 1\, m$ મૂકતા,આપણને $\phi = 4 \times 10^{-3} (1 - \frac{t}{100})\, Wb$ મળે છે.
પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt} [4 \times 10^{-3} (1 - \frac{t}{100})] = 4 \times 10^{-5}\, V$ છે.
જ્યારે $1 - \frac{t}{100} = 0$ થાય ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે,જે $t = 100\, s$ આપે છે.
વ્યય થતી ઉર્જા $E = \frac{\varepsilon^2}{R_{coil}} \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{(4 \times 10^{-5})^2}{2 \times 10^{-6}} \times 100 = \frac{16 \times 10^{-10}}{2 \times 10^{-6}} \times 100 = 8 \times 10^{-4} \times 100 = 0.08\, J$.
$1\, J = 1000\, mJ$ હોવાથી,$E = 0.08 \times 1000 = 80\, mJ$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ભ્રમણ કરતા ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = NBA \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રેરિત $EMF$ $E = -\frac{d\phi}{dt} = NBA\omega \sin(\omega t)$ છે.
મહત્તમ $EMF$ $E_{\max} = NBA\omega$ છે.
મહત્તમ પ્રેરિત પ્રવાહ $i_{\max} = \frac{E_{\max}}{R} = \frac{NBA\omega}{R}$ છે.
આપેલ છે: $N = 1000$,$B = 2 \times 10^{-5} \, T$,$r = 10 \, m$,$\omega = 2 \, rad \cdot s^{-1}$,$R = 12.56 \, \Omega$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (10)^2 = 100\pi \, m^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$i_{\max} = \frac{1000 \times (2 \times 10^{-5}) \times (100\pi) \times 2}{12.56}$.
અહીં $100\pi \approx 314$ લેતા,$i_{\max} = \frac{1000 \times 2 \times 10^{-5} \times 314 \times 2}{12.56} = \frac{12.56}{12.56} = 1 \, A$.