$m$ દળ અને $R$ અવરોધ ધરાવતો એક સળિયો બે સમાંતર સુવાહક તાર પર સરકે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે નમેલા છે. પરિપથ ઉપરના ભાગે એક આદર્શ સુવાહક દ્વારા બંધ કરવામાં આવ્યો છે. શિરોલંબ દિશામાં અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ છે. જો સળિયો શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,તો સમયના વિધેય તરીકે સળિયાનો વેગ શોધો.
(N/A) ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ વેગનો ઘટક $v \cos \theta$ છે.
સળિયામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $\varepsilon = B(v \cos \theta) l$ છે,જ્યાં $l = d$.
તેથી,$\varepsilon = B v d \cos \theta$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B v d \cos \theta}{R}$ છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = B I d$ છે,જે સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે. ઢાળને સમાંતર આ બળનો ઘટક $F_{\parallel} = F \cos \theta = B I d \cos \theta = \frac{B^2 d^2 v \cos^2 \theta}{R}$ છે.
ઢાળની દિશામાં પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = mg \sin \theta - F_{\parallel} = mg \sin \theta - \frac{B^2 d^2 v \cos^2 \theta}{R}$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$m \frac{dv}{dt} = mg \sin \theta - \frac{B^2 d^2 v \cos^2 \theta}{R}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા રેખીય વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dv}{dt} + \left( \frac{B^2 d^2 \cos^2 \theta}{mR} \right) v = g \sin \theta$.
શરૂઆતની શરત $v(0) = 0$ સાથે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$v(t) = \frac{mgR \sin \theta}{B^2 d^2 \cos^2 \theta} \left( 1 - e^{-\frac{B^2 d^2 \cos^2 \theta}{mR} t} \right)$.
સળિયામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $\varepsilon = B(v \cos \theta) l$ છે,જ્યાં $l = d$.
તેથી,$\varepsilon = B v d \cos \theta$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B v d \cos \theta}{R}$ છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = B I d$ છે,જે સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે. ઢાળને સમાંતર આ બળનો ઘટક $F_{\parallel} = F \cos \theta = B I d \cos \theta = \frac{B^2 d^2 v \cos^2 \theta}{R}$ છે.
ઢાળની દિશામાં પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = mg \sin \theta - F_{\parallel} = mg \sin \theta - \frac{B^2 d^2 v \cos^2 \theta}{R}$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$m \frac{dv}{dt} = mg \sin \theta - \frac{B^2 d^2 v \cos^2 \theta}{R}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા રેખીય વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dv}{dt} + \left( \frac{B^2 d^2 \cos^2 \theta}{mR} \right) v = g \sin \theta$.
શરૂઆતની શરત $v(0) = 0$ સાથે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$v(t) = \frac{mgR \sin \theta}{B^2 d^2 \cos^2 \theta} \left( 1 - e^{-\frac{B^2 d^2 \cos^2 \theta}{mR} t} \right)$.
Explore More
Similar Questions
$2 \, m$ લંબાઈનો એક સળિયો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ લંબચોરસ વાહક ફ્રેમ પર $5 \, ms^{-1}$ ની ઝડપે સરકે છે। આકૃતિના સમતલને લંબ $0.04 \, T$ નું સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે। જો સળિયાનો અવરોધ $3 \, \Omega$ હોય, તો સળિયામાંથી વહેતો પ્રવાહ શોધો।
DifficultKCET 2020
View Solutionએક લાંબો સીધો તાર $I = 2 \text{ A}$ જેટલો પ્રવાહ ધરાવે છે. તેની બાજુમાં અવગણ્ય અવરોધ ધરાવતા બે સમાંતર વાહક પાટા પર એક અર્ધવર્તુળાકાર વાહક સળિયો મૂકવામાં આવ્યો છે. બંને પાટા તારને સમાંતર છે. તાર,સળિયો અને પાટા એક જ સમક્ષિતિજ સમતલમાં છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. અર્ધવર્તુળાકાર સળિયાના બે છેડા તારથી $1 \text{ cm}$ અને $4 \text{ cm}$ અંતરે છે. $t = 0$ સમયે,સળિયો $v = 3.0 \text{ m/s}$ ની ઝડપથી પાટા પર ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે. પાટા વચ્ચે શ્રેણીમાં $R = 1.4 \text{ } \Omega$ નો અવરોધ અને $C_0 = 5.0 \text{ } \mu\text{F}$ નું કેપેસિટર જોડાયેલ છે. $t = 0$ સમયે,$C_0$ વિદ્યુતભારિત નથી. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે? $\left[\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ SI એકમો}, \ln 2 = 0.7\right]$
$(A)$ $R$ માંથી વહેતો મહત્તમ પ્રવાહ $1.2 \times 10^{-6} \text{ A}$ છે
$(B)$ $R$ માંથી વહેતો મહત્તમ પ્રવાહ $3.8 \times 10^{-6} \text{ A}$ છે
$(C)$ કેપેસિટર $C_0$ પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $8.4 \times 10^{-12} \text{ C}$ છે
$(D)$ કેપેસિટર $C_0$ પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $2.4 \times 10^{-12} \text{ C}$ છે
$(A)$ $R$ માંથી વહેતો મહત્તમ પ્રવાહ $1.2 \times 10^{-6} \text{ A}$ છે
$(B)$ $R$ માંથી વહેતો મહત્તમ પ્રવાહ $3.8 \times 10^{-6} \text{ A}$ છે
$(C)$ કેપેસિટર $C_0$ પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $8.4 \times 10^{-12} \text{ C}$ છે
$(D)$ કેપેસિટર $C_0$ પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $2.4 \times 10^{-12} \text{ C}$ છે
એક કોઈલ $1000$ આંટા ધરાવે છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $500 \text{ cm}^2$ છે. કોઈલનું સમતલ $2 \times 10^{-5} \text{ Wb/m}^2$ ના ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવ્યું છે. કોઈલને $0.2 \text{ s}$ માં $180^{\circ}$ જેટલી ફેરવવામાં આવે છે. કોઈલમાં ઉદ્ભવતું સરેરાશ emf,$\text{mV}$ માં કેટલું હશે?
એક વિસ્તારમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B = B_0(1 + \frac{x}{a})\hat k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $d$ લંબાઈની બાજુ ધરાવતો એક ચોરસ લૂપ $x$ અને $y$ અક્ષ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. લૂપને અચળ વેગ $\vec V = V_0\hat i$ થી ગતિ કરાવવામાં આવે છે. લૂપમાં પ્રેરિત $emf$ કેટલું હશે?
એક લંબચોરસ લૂપમાં $2\ m$ લંબાઈ અને $10\Omega$ અવરોધ ધરાવતો એક સરકતો કનેક્ટર $PQ$ છે. તે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $5\ m/s$ ની ઝડપે ગતિ કરે છે. આ સેટ-અપને કાગળના સમતલની અંદરની તરફ જતા $3\ T$ ના સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવ્યું છે. ત્રણ પ્રવાહો $I_1$,$I_2$ અને $I$ શોધો.
Medium
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo