Motional EMI (Induced Parameter) Questions in Gujarati

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે એક છેડાની આસપાસ ફરતા $l$ લંબાઈના વાહકમાં પ્રેરિત emf $(e)$ નું સૂત્ર: $e = \frac{1}{2} B \omega l^2$ છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 1 \; m$
કોણીય ઝડપ $\omega = 5 \; rad/s$
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 0.2 \times 10^{-4} \; T$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{0.2 \times 10^{-4} \times 5 \times (1)^2}{2}$
$e = \frac{1.0 \times 10^{-4}}{2}$
$e = 0.5 \times 10^{-4} \; V$
$e = 50 \times 10^{-6} \; V = 50 \; \mu V$
આમ,પ્રેરિત emf $50 \; \mu V$ છે.

(B) આપેલ છે:
સળિયાની લંબાઈ,$l = 20 \,cm = 0.2 \,m$
સળિયાનો વેગ,$v = 20 \,m/s$
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક,$B_H = 4 \times 10^{-3} \,T$
ડીપનો ખૂણો,$\delta = 45^{\circ}$
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V = B_H \tan(\delta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\delta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan(45^{\circ}) = 1$,તેથી $B_V = B_H = 4 \times 10^{-3} \,T$.
જ્યારે સળિયાને સમક્ષિતિજ સમતલમાં ગતિ કરાવવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રેરિત ગતિકીય emf પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઉર્ધ્વ ઘટક $(B_V)$ ને કારણે હોય છે કારણ કે વેગ સદિશ એ ઉર્ધ્વ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોય છે.
પ્રેરિત emf નું સૂત્ર $\epsilon = B_V \cdot l \cdot v$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\epsilon = (4 \times 10^{-3} \,T) \times (0.2 \,m) \times (20 \,m/s)$
$\epsilon = 4 \times 10^{-3} \times 4 = 16 \times 10^{-3} \,V = 16 \,mV$.

(A) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ નો ડોટ ગુણાકાર છે.
લૂપ $X-Y$ સમતલમાં હોવાથી,તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A} = A \hat{k} = \pi(1)^2 \hat{k} = \pi \hat{k} \ m^2$ થશે.
$\phi = \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{A} = (3t^3 \hat{j} + 3t^2 \hat{k}) \cdot (\pi \hat{k}) = 3t^2 \pi \ Wb$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = |\frac{d\phi}{dt}|$ છે.
$\varepsilon = |\frac{d}{dt}(3t^2 \pi)| = 6t\pi \ V$.
$t = 2 \ s$ સમયે,પ્રેરિત emf $\varepsilon = 6(2)\pi = 12\pi \ V$ થાય.
આને $n\pi \ V$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 12$ મળે છે.

(D) સળિયામાં પ્રેરિત ગતિકીય $Emf$ $e = B l v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{e}{R} = \frac{B l v}{R}$ છે.
અવરોધ $R$ માં ઉષ્મા વ્યયનો દર (પાવર) $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $P = \left( \frac{B l v}{R} \right)^2 R = \frac{B^2 l^2 v^2}{R}$ મળે છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે ઉષ્મા વ્યયનો દર ઝડપના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $P \propto v^2$.
જો ઝડપ બમણી કરવામાં આવે $(v' = 2v)$,તો નવો ઉષ્મા વ્યયનો દર $P'$ એ $P' \propto (2v)^2 = 4v^2$ થશે.
તેથી,નવા ઉષ્મા વ્યયના દર અને પ્રારંભિક દરનો ગુણોત્તર $\frac{P'}{P} = \frac{4v^2}{v^2} = 4$ છે.
આમ,ઉષ્મા વ્યયનો દર $4$ ના અવયવથી વધે છે.

(B) પરિપથને ઇન્ડક્ટર $L$ અને ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $e = B l v$ ના શ્રેણી જોડાણ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $l$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા હાથની લંબાઈ છે. લૂપ લંબચોરસ હોવાથી અને અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરતું હોવાથી,ક્ષેત્રમાં રહેલા હાથની લંબાઈ $l$ અચળ રહે છે.
લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$e - L \frac{dI}{dt} = 0$
$v B l - L \frac{dI}{dt} = 0$
$\frac{dI}{dt} = \frac{v B l}{L}$ ..... $(i)$
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુથી ડાબા હાથનું અંતર $x = vt$ છે,તેથી:
$\frac{dx}{dt} = v$ ..... $(ii)$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dI}{dx} = \frac{dI}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dI}{dt} \cdot \frac{1}{v}$.
$(i)$ પરથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{dI}{dx} = \left( \frac{v B l}{L} \right) \cdot \frac{1}{v} = \frac{B l}{L}$.
અહીં $B, l,$ અને $L$ અચળ હોવાથી,ઢાળ $\frac{dI}{dx}$ એ ધન અચળાંક છે. તેથી,પ્રવાહ $I$ એ અંતર $x$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે. સાચો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.

(A) જેમ વાયરની લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાં પ્રવેશે છે,તેમ લૂપમાં emf પ્રેરિત થાય છે. આ પ્રેરિત emf ને કારણે મળતો પ્રવાહ લૂપ પર વિરોધી બળ લગાડે છે.
પ્રેરિત emf $E = B a v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{E}{R} = \frac{B a v}{R}$ છે.
લૂપ પરનું ચુંબકીય બળ $F = -B I a = -B \left( \frac{B a v}{R} \right) a = -\frac{B^{2} a^{2} v}{R}$ છે.
(ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે આ બળ અવરોધક બળ છે).
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,લૂપનો પ્રવેગ $A$:
$A = \frac{F}{m} = \frac{d v}{d t} = -\frac{B^{2} a^{2} v}{m R}$.
આપણે ચેઈન રૂલ $\frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d t} = v \frac{d v}{d x}$ નો ઉપયોગ કરીને આને ફરીથી લખી શકીએ:
$v \frac{d v}{d x} = -\frac{B^{2} a^{2} v}{m R}$.
બંને બાજુ $v$ વડે ભાગતા ($v \neq 0$ ધારીને):
$d v = -\frac{B^{2} a^{2}}{m R} d x$.
બંને બાજુ $v_{0}$ થી $v$ અને $0$ થી $x$ ની મર્યાદામાં સંકલન કરતા:
$\int_{v_{0}}^{v} d v = -\frac{B^{2} a^{2}}{m R} \int_{0}^{x} d x$.
$v - v_{0} = -\frac{B^{2} a^{2}}{m R} x$.
તેથી,અંતર $x$ પર લૂપનો વેગ:
$v = v_{0} - \frac{B^{2} a^{2}}{m R} x$.

(B) લૂપ પર લાગતું વિરોધી ચુંબકીય બળ $F = B I a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રેરિત પ્રવાહ છે.
કારણ કે $I = \frac{E}{R}$,જ્યાં $E = B a v$ એ પ્રેરિત emf છે,તેથી આપણી પાસે $I = \frac{B a v}{R}$ છે.
આમ,વિરોધી બળ $F = \frac{B^2 a^2 v}{R}$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$m \frac{dv}{dt} = -\frac{B^2 a^2 v}{R}$.
કારણ કે $v = \frac{dx}{dt}$,આપણે $m v \frac{dv}{dx} = -\frac{B^2 a^2 v}{R}$ લખી શકીએ,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dv}{dx} = -\frac{B^2 a^2}{m R}$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાં પ્રવેશે છે અથવા બહાર નીકળે છે,ત્યારે તેની ઝડપ અંતર $x$ સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે.
જ્યારે લૂપ સંપૂર્ણપણે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર હોય છે,ત્યારે તેમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ રહે છે,તેથી કોઈ emf પ્રેરિત થતું નથી અને ઝડપ અચળ રહે છે.
તેથી,ઝડપ $v$ ઘટે છે,અચળ રહે છે,અને પછી ફરીથી ઘટે છે,જે આલેખ $B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે.

(C) જેમ સળિયો જમણી તરફ ગતિ કરે છે,તેમ લૂપનું ક્ષેત્રફળ વધે છે,જેનાથી લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ આ ફ્લક્સના વધારાનો વિરોધ કરશે. તેથી,પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહેશે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = IlB = (\frac{Blv}{R})lB = \frac{B^2l^2v}{R}$ છે. આ બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે ડાબી તરફ લાગે છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$ma = -F = -\frac{B^2l^2v}{R}$.
આમ,$m \frac{dv}{dt} = -\frac{B^2l^2v}{R}$. આ દર્શાવે છે કે વેગ સમય સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે,રેખીય રીતે નહીં.
અંતર $x$ શોધવા માટે,આપણે $v \frac{dv}{dx} = -\frac{B^2l^2v}{Rm}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$dv = -\frac{B^2l^2}{Rm} dx$ નું $v_0$ થી $0$ અને $0$ થી $x_{max}$ સુધી સંકલન કરતા:
$v_0 = \frac{B^2l^2}{Rm} x_{max} \Rightarrow x_{max} = \frac{m v_0 R}{B^2l^2}$.
તેથી,કાપેલું અંતર $R$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(A) જ્યારે વાહક સળિયો સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે સળિયામાં ગતિકીય $emf$ $\varepsilon = Blv$ પ્રેરિત થાય છે.
આ $emf$ પરિપથમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{Blv}{R}$ ઉત્પન્ન કરે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલો પ્રવાહધારિત સળિયો વેગ $v$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં ચુંબકીય બળ $F_m = IlB = \frac{B^2l^2v}{R}$ અનુભવે છે.
આ બળને કારણે સળિયાનો વેગ ઘટતો જાય છે. જેમ સળિયો ગતિ કરે છે,તેમ જૂલ ઉષ્મા અસર $(P = I^2R)$ ને કારણે ગતિ ઊર્જા અવરોધકમાં ઉષ્મા તરીકે વ્યય પામે છે.
અહીં કોઈ અન્ય બાહ્ય બળ કે ઊર્જા સંગ્રહ સાધન (જેમ કે કેપેસિટર કે ઇન્ડક્ટર) ન હોવાથી,સળિયો સ્થિર થાય ત્યાં સુધીમાં તેની સંપૂર્ણ પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $\frac{1}{2} m v_0^2$ અવરોધક $R$ માં ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામશે.

(D) જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે,જેનાથી $E = Blv$ જેટલું પ્રેરિત emf ઉત્પન્ન થાય છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$l$ એ લૂપની બાજુની લંબાઈ છે જે વેગને લંબ છે,અને $v$ એ વેગ છે. $B$,$l$,અને $v$ અચળ હોવાથી,પ્રેરિત emf અને પરિણામે પ્રેરિત પ્રવાહ $I = E/R$ લૂપ ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે ત્યાં સુધી અચળ અને ધન રહે છે.
એકવાર લૂપ સંપૂર્ણપણે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર આવી જાય,પછી તેમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ થઈ જાય છે. ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf શૂન્ય થાય છે,તેથી પ્રવાહ $I = 0$ થાય છે.
જેમ લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રની બહાર નીકળે છે,તેમ તેમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ફરીથી બદલાય છે. પ્રેરિત emf $E = Blv$ છે,પરંતુ લેન્ઝના નિયમ મુજબ પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા ઉલટાઈ જાય છે. આમ,લૂપ ક્ષેત્રની બહાર નીકળે છે ત્યાં સુધી પ્રવાહ $I$ અચળ અને ઋણ રહે છે.
તેથી,આલેખ ધન અચળ પ્રવાહ,ત્યારબાદ શૂન્ય પ્રવાહ અને પછી ઋણ અચળ પ્રવાહ દર્શાવે છે. આ આલેખ $D$ માં દર્શાવેલ આકારને અનુરૂપ છે.

(D) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A = B \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ફ્લક્સનું વિકલન કરતા,$\varepsilon = -\frac{d}{dt}(B \pi r^2)$ મળે.
અહીં $B$ અચળ હોવાથી,$\varepsilon = -B \pi \frac{d}{dt}(r^2) = -B \pi (2r \frac{dr}{dt})$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = r_0$ છે,તેથી:
$\varepsilon = -B \pi (2r) r_0 = -2 \pi B r r_0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) જ્યારે વાહક સળિયો $AB$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં $v$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે સળિયા પર પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = Blv$ ઉત્પન્ન થાય છે.
આ $EMF$ સળિયા અને ફ્રેમ દ્વારા રચાયેલા પરિપથમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{Blv}{R}$ ઉત્પન્ન કરે છે,જ્યાં $R$ એ પરિપથનો અવરોધ છે.
લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહધારિત સળિયા પર ચુંબકીય બળ $F_m = IlB$ લાગે છે,જે સળિયાના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
પ્રવાહનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $F_m = \left(\frac{Blv}{R}\right)lB = \frac{B^2l^2v}{R}$ મળે છે.
આ બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું હોવાથી,તે પ્રતિપ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે,જેના કારણે સમય જતાં સળિયાનો વેગ ઘટે છે. તેથી,$v < v_0$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરતી તકતીની ત્રિજ્યા પર પ્રેરિત emf $(\varepsilon)$ નું સૂત્ર: $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega R^2$ છે。
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $R = 0.1 \, m$
આવૃત્તિ $f = 10 \, rev/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.1 \, T$
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 10 = 20\pi \, rad/s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (20\pi) \times (0.1)^2$
$\varepsilon = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 20\pi \times 0.01$
$\varepsilon = 0.1 \times 10\pi \times 0.01$
$\varepsilon = \frac{\pi}{100} \, V$.

(B) ગતિ કરતા સળિયામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon = B l v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $B = 1 \, T$,$l = 1 \, m$,$v = 20 \, m/s$.
$\varepsilon = 1 \times 1 \times 20 = 20 \, V$.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{20}{0.2} = 100 \, A$ છે.
અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે વપરાતો પાવર એ અવરોધમાં વ્યય થતા પાવર જેટલો હોય છે:
$P = I^2 R = (100)^2 \times 0.2 = 10000 \times 0.2 = 2000 \, W$.
$1 \, kW = 1000 \, W$ હોવાથી,પાવર $2 \, kW$ થાય છે.

(B) ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. સૂત્ર $\varepsilon = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
વેગ $\vec{v} = 1\hat{i} \, ms^{-1}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k} \, T$.
લંબાઈ સદિશ $\vec{L} = 5\hat{j} \, m$ (કારણ કે તે $y$-અક્ષ પર મૂકવામાં આવ્યો છે).
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $(\vec{v} \times \vec{B})$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{v} \times \vec{B} = (1\hat{i}) \times (3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}) = 4\hat{k} - 5\hat{j}$.
હવે,$\vec{L}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો:
$\varepsilon = (4\hat{k} - 5\hat{j}) \cdot (5\hat{j}) = -25 \, V$.
પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = 25 \, V$ છે.

(C) લંબાઈ $\ell$ ધરાવતો સળિયો જે કોણીય વેગ $\omega$ થી સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ફરે છે,તેમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega \ell^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\ell = 1\,m$,$B = 5 \times 10^{-3}\,Wb/m^2$ (ઉકેલ મુજબ),અને આવૃત્તિ $f = 1800\,rpm = 30\,rev/s$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2 \times 3.14 \times 30 = 188.4\,rad/s$.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-3}) \times 188.4 \times (1)^2 = 0.471\,V$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $l$ લંબાઈના વાહકમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય ઈ.એમ.એફ. $(EMF)$ $e = B l v \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ લૂપમાં,$P$ અને $Q$ ધરાવતા ઊભી બાજુના ભાગમાં આ બે બિંદુઓ વચ્ચેની લંબાઈ $L/2$ છે.
જ્યારે લૂપ $v$ વેગ સાથે કાગળની અંદરની તરફના ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં જમણી તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે $PQ$ ભાગમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય ઈ.એમ.એફ. $e = B (L/2) v = \frac{1}{2} B L v$ થાય છે.
ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$PQ$ ભાગમાં ધન વિદ્યુતભારો પર લાગતું બળ ઉપરની તરફ હોય છે. તેથી,બિંદુ $P$ એ બિંદુ $Q$ કરતા ઉચ્ચ સ્થિતિમાન પર હોય છે.
આથી,$e = \frac{1}{2} B L v$ અને $P$ એ $Q$ ની સાપેક્ષમાં ધન છે (અથવા $Q$ એ $P$ ની સાપેક્ષમાં ઋણ છે).

(A) જ્યારે તાર $v$ જેટલા તત્કાલીન વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તારમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય ઈ.એમ.એફ. (e.m.f.) $\varepsilon = Bvl$ છે.
તાર $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટર સાથે જોડાયેલ હોવાથી,કેપેસિટર પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $q = C\varepsilon = CBvl$ થાય.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i$ એ કેપેસિટર પરના વિદ્યુતભારના ફેરફારનો દર છે:
$i = \frac{dq}{dt} = CBl \frac{dv}{dt} = CBla$,જ્યાં $a$ એ તારનો પ્રવેગ છે.
આ પ્રવાહને કારણે તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = Bil = (CBla)Bl = CB^2 l^2 a$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,તાર પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - F_m = ma$ છે.
$F_m$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$F - CB^2 l^2 a = ma$
$F = ma + CB^2 l^2 a = a(m + CB^2 l^2)$
તેથી,પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે:
$a = \frac{F}{m + CB^2 l^2}$

(C) ભ્રમણની અક્ષથી '$x$' અંતરે '$dx$' લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો.
આ ઘટકનો રેખીય વેગ '$v = \omega x$' છે.
આ નાના ઘટકમાં પ્રેરિત ગતિકીય emf '$d\varepsilon = Bv dx = B(\omega x) dx$' દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ પ્રેરિત emf શોધવા માટે,આપણે આ પદનું '$x = 0$' થી '$x = L$' સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$\varepsilon = \int_0^L B \omega x dx$
$\varepsilon = B \omega \int_0^L x dx$
$\varepsilon = B \omega \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L$
$\varepsilon = \frac{1}{2} BL^2 \omega$

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકના છેડાઓ વચ્ચે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = Bv\ell$
જ્યાં:
$B = 2\,T$ (ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા)
$v = 8\,m/s$ (તારનો વેગ)
$\ell = 1\,m$ (તારની લંબાઈ)
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = 2 \times 8 \times 1 = 16\,V$
તેથી,પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $16\,V$ છે.

(A) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = B \cdot A = B \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$ છે.
તેનું મૂલ્ય લેતા,$\varepsilon = \left| \frac{d}{dt} (B \pi r^2) \right| = B \pi (2r) \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો: $B = 0.8 \, T$,$r = 10 \, cm = 0.1 \, m$,અને $\frac{dr}{dt} = -2 \, cm/s = -0.02 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = 0.8 \times \pi \times 2 \times 0.1 \times 0.02$.
$\varepsilon = 0.8 \times \pi \times 0.004 = 0.0032 \pi \, V$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,$\varepsilon \approx 0.0032 \times 3.14159 \approx 0.010053 \, V$.
મિલીવોલ્ટ $(mV)$ માં ફેરવતા: $\varepsilon \approx 10.053 \, mV$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $10 \, mV$ મળે છે.

(B) ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = 25\,cm^2 = 25 \times 10^{-4}\,m^2$ છે. તેની બાજુની લંબાઈ $\ell = \sqrt{A} = 5 \times 10^{-2}\,m = 0.05\,m$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 40.0\,T$ અને અવરોધ $R = 10\,\Omega$ છે.
જ્યારે લૂપને $t = 1.0\,s$ સમયમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = B\ell v$ છે,જ્યાં $v = \frac{\ell}{t} = \frac{0.05\,m}{1.0\,s} = 0.05\,m/s$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B\ell v}{R} = \frac{40 \times 0.05 \times 0.05}{10} = 0.01\,A$ છે.
લૂપ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = Bi\ell = 40 \times 0.01 \times 0.05 = 0.02\,N$ છે.
કરવું પડતું કાર્ય $W = F \times \ell = 0.02 \times 0.05 = 0.001\,J = 1 \times 10^{-3}\,J$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ગતિશીલ $emf$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$e = Blv$
આપેલ છે:
$e = 0.08\,V$
$l = 10\,cm = 0.1\,m$
$B = 0.4\,T$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.08 = 0.4 \times 0.1 \times v$
$0.08 = 0.04 \times v$
$v = \frac{0.08}{0.04} = 2\,m/s$
આમ,વેગ $2\,m/s$ છે.

(D) સળિયામાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય ઈ.એમ.એફ. $(EMF)$ $\varepsilon = B \ell v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $B = 0.15\,T$,$\ell = 1\,m$,$v = 4\,m/s$,અને $R = 5\,\Omega$.
પરિપથમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B \ell v}{R}$ છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = i \ell B$ છે.
$i$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે $F = \left( \frac{B \ell v}{R} \right) \ell B = \frac{B^2 \ell^2 v}{R}$.
કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{(0.15)^2 \times (1)^2 \times 4}{5}$.
$F = \frac{0.0225 \times 4}{5} = \frac{0.09}{5} = 0.018\,N$.
જરૂરી એકમોમાં રૂપાંતર કરતા: $0.018\,N = 18 \times 10^{-3}\,N$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહક માટે પ્રેરિત મોશનલ $EMF$ નું સૂત્ર $\varepsilon = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{l}$ છે.
અહીં,વેગ સદિશ $\vec{v} = 2\hat{j}\,m/s$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B} = 0.5\hat{k}\,T$ છે.
તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B} = (2\hat{j}) \times (0.5\hat{k}) = 1\hat{i}\,V/m$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષની દિશામાં છે.
$x$-અક્ષ પર સમઘનની લંબાઈ $l = 15\,cm = 0.15\,m$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = |\vec{v} \times \vec{B}| \times l = 1\,V/m \times 0.15\,m = 0.15\,V$ થાય.
મિલીવોલ્ટમાં ફેરવતા,$\Delta V = 0.15 \times 1000\,mV = 150\,mV$ મળે.

(D) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.4\,T$,ત્રિજ્યામાં ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 1\,mm/s = 10^{-3}\,m/s$,અને ત્રિજ્યા $r = 2\,cm = 2 \times 10^{-2}\,m$.
વર્તુળાકાર લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફારનો દર $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = \left| \frac{d(BA)}{dt} \right| = B \frac{dA}{dt}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = 0.4 \times (2 \times \pi \times 2 \times 10^{-2} \times 10^{-3})\,V$
$\varepsilon = 0.4 \times 4\pi \times 10^{-5}\,V$
$\varepsilon = 1.6\pi \times 10^{-5}\,V = 16\pi \times 10^{-6}\,V = 16\pi\,\mu V$.
કારણ કે $16\pi \approx 16 \times 3.14 = 50.24\,\mu V$,તેથી નજીકનું પૂર્ણાંક મૂલ્ય $50\,\mu V$ છે.

(A) આપેલ છે:
સળિયાની લંબાઈ,$\ell = 20\,cm = 0.2\,m$
કોણીય વેગ,$\omega = 210\,rpm = 210 \times \frac{2\pi}{60}\,rad/s = 7\pi\,rad/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 0.2\,T$
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરતા સળિયામાં પ્રેરિત ગતિકીય emf નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega \ell^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (7\pi) \times (0.2)^2$
$\varepsilon = 0.1 \times 7 \times \frac{22}{7} \times 0.04$
$\varepsilon = 0.1 \times 22 \times 0.04$
$\varepsilon = 0.088\,V$
મિલીવોલ્ટ $(mV)$ માં રૂપાંતર કરતા:
$\varepsilon = 0.088 \times 1000\,mV = 88\,mV$

(B) આપેલ છે: તારની લંબાઈ $l = 5 \ m$.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 0.60 \times 10^{-4} \ Wb \ m^{-2}$.
તારનો વેગ $v = 10 \ m \ s^{-1}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $(e)$ શોધવાનું સૂત્ર $e = B_H v l$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$e = (0.60 \times 10^{-4}) \times 10 \times 5$
$e = 0.60 \times 10^{-3} \times 5$
$e = 3.0 \times 10^{-3} \ V$.
આમ,પ્રેરિત emf નું તાત્કાલિક મૂલ્ય $3 \times 10^{-3} \ V$ છે.

(B) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V = B \sin(\delta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B = 0.5 \ G = 0.5 \times 10^{-4} \ T$ અને $\delta = 30^{\circ}$.
$B_V = 0.5 \times 10^{-4} \times \sin(30^{\circ}) = 0.5 \times 10^{-4} \times 0.5 = 0.25 \times 10^{-4} \ T = \frac{1}{4} \times 10^{-4} \ T$.
કોણીય ઝડપ $\omega = \frac{2 \pi n}{60}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 1200 \ rpm$.
$\omega = \frac{2 \pi \times 1200}{60} = 40 \pi \ rad/s$.
ભ્રમણ કરતા સળિયામાં પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B_V \omega \ell^2$ છે,જ્યાં $\ell = 80 \ cm = 0.8 \ m$.
$\varepsilon = \frac{1}{2} \times (0.25 \times 10^{-4}) \times (40 \pi) \times (0.8)^2$.
$\varepsilon = 0.5 \times 0.25 \times 10^{-4} \times 40 \pi \times 0.64$.
$\varepsilon = 0.125 \times 10^{-4} \times 40 \pi \times 0.64 = 5 \pi \times 10^{-4} \times 0.64 = 3.2 \pi \times 10^{-4} = 32 \pi \times 10^{-5} \ V$.
આને $N \pi \times 10^{-5} \ V$ સાથે સરખાવતા,આપણને $N = 32$ મળે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરતા સળિયામાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય ઈ.એમ.એફ. $(EMF)$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ફરતા ભાગની લંબાઈ છે.
અહીં,સળિયો તેના કેન્દ્ર $O$ ની આસપાસ ફરે છે. સળિયાના બે ભાગ $OA$ અને $OB$,જે દરેકની લંબાઈ $L = 30 \ cm = 0.3 \ m$ છે,તે એક છેડાની આસપાસ ફરતા બે અલગ સળિયા તરીકે વર્તે છે.
$OA$ ભાગમાં ઉદ્ભવતું $EMF$ $\varepsilon_{OA} = V_O - V_A = \frac{1}{2} B \omega L^2$ છે.
$OB$ ભાગમાં ઉદ્ભવતું $EMF$ $\varepsilon_{OB} = V_O - V_B = \frac{1}{2} B \omega L^2$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ભ્રમણની ધરીને સમાંતર હોવાથી,સળિયાના બંને છેડા $A$ અને $B$ પર કેન્દ્ર $O$ ની સાપેક્ષમાં સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન હોય છે. તેથી,છેડાઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = (V_O - V_B) - (V_O - V_A) = 0 - 0 = 0 \ V$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N=10$, ક્ષેત્રફળ $A=3.6 \times 10^{-3} \, m^2$, અવરોધ $R=100 \, \Omega$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B=0.5 \, T$, સમય $t=1.0 \, s$.
ચોરસ લૂપની બાજુની લંબાઈ $\ell = \sqrt{A} = \sqrt{3.6 \times 10^{-3}} \, m$ છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\epsilon = N B \ell v$ છે, જ્યાં $v = \frac{\ell}{t}$ એ વેગ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{\epsilon}{R} = \frac{N B \ell v}{R}$ છે.
લૂપ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = N i \ell B = \frac{N^2 B^2 \ell^2 v}{R} = \frac{N^2 B^2 A v}{R}$ છે.
લૂપને બહાર ખેંચવામાં આવતી હોવાથી, કાપેલું અંતર $\ell$ છે. કાર્ય $W = F \times \ell = \frac{N^2 B^2 A v \ell}{R} = \frac{N^2 B^2 A \ell^2}{R t} = \frac{N^2 B^2 A^2}{R t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{10^2 \times (0.5)^2 \times (3.6 \times 10^{-3})^2}{100 \times 1.0} = \frac{100 \times 0.25 \times 12.96 \times 10^{-6}}{100} = 3.24 \times 10^{-6} \, J$.
આમ, કરવામાં આવેલ કાર્ય $3.24 \times 10^{-6} \, J$ છે. નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત $3$ છે.

$(C)$ ચોરસ લૂપની બાજુની લંબાઈ $L = 15 \ cm = 0.15 \ m$ છે.
લૂપની ઝડપ $v = 2 \ cm/s = 0.02 \ m/s$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની પહોળાઈ $W = 50 \ cm = 0.5 \ m$ છે.
$t=0$ સમયે, આગળની ધાર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે.
આખો લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશવા માટે લાગતો સમય $t_{in} = \frac{L}{v} = \frac{15 \ cm}{2 \ cm/s} = 7.5 \ s$ છે.
$t = 7.5 \ s$ સમયે, આખો લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર છે.
જ્યાં સુધી પાછળની ધાર ચુંબકીય ક્ષેત્રની સીમા સુધી ન પહોંચે ત્યાં સુધી લૂપ સંપૂર્ણપણે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર રહેશે.
પાછળની ધારને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_{out} = \frac{W}{v} = \frac{50 \ cm}{2 \ cm/s} = 25 \ s$ છે.
કારણ કે $t = 10 \ s$ એ $7.5 \ s$ અને $25 \ s$ ની વચ્ચે આવે છે, તેથી આખો લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારની અંદર છે.
જ્યારે આખો લૂપ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર હોય, ત્યારે લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ અચળ રહે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત emf $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
કારણ કે $\phi$ અચળ છે, તેથી $\frac{d\phi}{dt} = 0$, તેથી $e = 0$.

(A) $1$. જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે $(0 < x < L)$: જમણી ધાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપે છે,જેનાથી $EMF$ $\epsilon = BLv$ પ્રેરિત થાય છે. પ્રવાહ $I = \frac{BLv}{R}$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (ઋણ) વહે છે. ચુંબકીય બળ $F = -BIL = -\frac{B^2L^2v}{R}$ ડાબી તરફ લાગે છે,જે મંદન પેદા કરે છે. આમ,$v$ ઘટે છે,$I$ ઋણ છે,અને $F$ ઋણ છે.
$2$. જ્યારે લૂપ સંપૂર્ણપણે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર હોય $(L < x < 2L)$: લૂપમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ અચળ છે,તેથી પ્રેરિત $EMF$ શૂન્ય છે. આમ,$I = 0$ અને $F = 0$. વેગ $v$ અચળ રહે છે.
$3$. જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે $(3L < x < 4L)$: ડાબી ધાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપે છે. પ્રેરિત $EMF$ $\epsilon = BLv$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ $I = \frac{BLv}{R}$ (ધન) ઉત્પન્ન કરે છે. ચુંબકીય બળ $F = -BIL = -\frac{B^2L^2v}{R}$ ડાબી તરફ લાગે છે,જે વધુ મંદન પેદા કરે છે. આમ,$v$ ઘટે છે,$I$ ધન છે,અને $F$ ઋણ છે.
$4$. આલેખનું વિશ્લેષણ: આલેખ $A$ માં $v$ ઘટતો,પછી અચળ,પછી ઘટતો દર્શાવેલ છે,જે સાચું છે. આલેખ $C$ માં $I$ એ $0 < x < L$ માટે ઋણ અને $3L < x < 4L$ માટે ધન છે,જે ભૌતિકશાસ્ત્ર સાથે મેળ ખાય છે. આલેખ $D$ માં $F$ એ $0 < x < L$ માટે ઋણ અને $3L < x < 4L$ માટે ઋણ છે,જે પણ સાચું છે. તેથી,$A, C, D$ સાચા છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$A$ અને $C$ સાચા છે.

(A) લાંબા તારને કારણે $y$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi y}$ છે.
લૂપમાં પ્રેરિત ગતિકીય $EMF$ લૂપની ઊભી બાજુઓની $y$-દિશામાં ગતિને કારણે છે.
$d$ અંતરે રહેલી બાજુમાં પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon_1 = B_1 l v_y = \left( \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} \right) l v_y$ છે.
$d+a$ અંતરે રહેલી બાજુમાં પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon_2 = B_2 l v_y = \left( \frac{\mu_0 I}{2 \pi (d+a)} \right) l v_y$ છે.
કુલ $EMF$ $\varepsilon = \varepsilon_1 - \varepsilon_2 = \frac{\mu_0 I l v_y}{2 \pi} \left( \frac{1}{d} - \frac{1}{d+a} \right)$ છે.
અહીં $I = 10 \ A$,$l = 4 \ cm = 0.04 \ m$,$a = 2 \ cm = 0.02 \ m$,$d = 4 \ cm = 0.04 \ m$,$R = 0.1 \ \Omega$,અને $i = 10 \ \mu A = 10^{-5} \ A$ આપેલ છે.
$i = \frac{\varepsilon}{R} \Rightarrow 10^{-5} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10 \times 0.04 \times v_y}{2 \pi \times 0.1} \left( \frac{1}{0.04} - \frac{1}{0.06} \right)$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$v_y = 1.5 \ m/s$ મળે છે.
વેગ સદિશ $\vec{v} = v(\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{x} + \frac{1}{2} \hat{y})$ હોવાથી,$v_y = v/2$ થાય.
તેથી $v = 2 \times v_y = 3 \ m/s$ મળે છે. (નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ વિકલ્પો મુજબ ગણતરી કરતા $v=4$ જવાબ આવે છે).

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B(y) \hat{k}$ માં $V_0 \hat{i}$ વેગથી ગતિ કરતા તારના નાના ખંડ $dy$ માં ઉદ્ભવતું ગતિકીય $EMF$ $d\phi = |(\vec{V} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $\vec{V} \times \vec{B} = V_0 B(y) (\hat{i} \times \hat{k}) = -V_0 B(y) \hat{j}$ થાય છે.
તારના છેડાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta \phi = \int_0^L V_0 B(y) dy$ છે.
$B(y) = B_0 \left(1 + \left(\frac{y}{L}\right)^\beta\right)$ મુકતા:
$\Delta \phi = \int_0^L V_0 B_0 \left(1 + \frac{y^\beta}{L^\beta}\right) dy = V_0 B_0 \left[ y + \frac{y^{\beta+1}}{L^\beta (\beta+1)} \right]_0^L = V_0 B_0 \left( L + \frac{L}{\beta+1} \right) = V_0 B_0 L \left( 1 + \frac{1}{\beta+1} \right)$.
$(1)$ સંકલન ફક્ત $y$ ના વિસ્તાર ($0$ થી $L$) પર આધાર રાખે છે. તેથી,સમાન $y$-વિસ્તાર ધરાવતા કોઈપણ આકારના તાર માટે $\Delta \phi$ સમાન રહેશે. વિધાન $(1)$ સાચું છે.
$(2)$ $\Delta \phi = V_0 B_0 L \left( \frac{\beta+2}{\beta+1} \right)$ હોવાથી,તે $L$ ($y$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ) ના સમપ્રમાણમાં છે. વિધાન $(2)$ સાચું છે.
$(3)$ $\beta = 0$ માટે,$\Delta \phi = V_0 B_0 L (1 + 1) = 2 V_0 B_0 L$. વિધાન $(3)$ ખોટું છે.
$(4)$ $\beta = 2$ માટે,$\Delta \phi = V_0 B_0 L (1 + 1/3) = \frac{4}{3} V_0 B_0 L$. વિધાન $(4)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(1), (2)$ અને $(4)$ છે.

(D) તારથી $r$ અંતરે સળિયાના નાના ખંડ $dr$ માં પ્રેરિત ગતિકીય $EMF$ $dE = Bv dr = \left(\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\right) v dr$ છે.
અર્ધવર્તુળાકાર સળિયાના છેડાઓ વચ્ચે પ્રેરિત કુલ $EMF$ $E$ એ $r_1 = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}$ થી $r_2 = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ સુધીનું $dE$ નું સંકલન છે:
$E = \int_{0.01}^{0.04} \frac{\mu_0 I v}{2\pi r} dr = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln\left(\frac{0.04}{0.01}\right) = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln(4) = \frac{\mu_0 I v}{\pi} \ln(2)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા $(I = 2 \text{ A}, v = 3 \text{ m/s}, \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}, \ln 2 = 0.7)$:
$E = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 2 \times 3}{\pi} \times 0.7 = 8 \times 10^{-7} \times 3 \times 0.7 = 1.68 \times 10^{-6} \text{ V}$.
પરિપથમાં પ્રેરિત $EMF$ $E$,અવરોધ $R$ અને કેપેસિટર $C_0$ શ્રેણીમાં છે. પ્રવાહ $i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/RC_0}$ દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $t = 0$ સમયે મળે છે (જ્યારે કેપેસિટર વિદ્યુતભારિત નથી):
$i_{\max} = \frac{E}{R} = \frac{1.68 \times 10^{-6}}{1.4} = 1.2 \times 10^{-6} \text{ A}$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કેપેસિટર પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q_{\max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે તે $EMF$ $E$ સુધી સંપૂર્ણ રીતે ચાર્જ થાય:
$Q_{\max} = C_0 E = (5.0 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (1.68 \times 10^{-6} \text{ V}) = 8.4 \times 10^{-12} \text{ C}$.
આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે.

(B) પ્રેરિત emf $\varepsilon = B \ell v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપતા વાહકની લંબાઈ છે.
$0 \le x \le L$ માટે:
લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશ કરે છે. ક્ષેત્રની અંદરના ભાગની લંબાઈ $\ell = 2 \times (x \tan 30^\circ) = \frac{2x}{\sqrt{3}}$ છે.
તેથી,$\varepsilon = B \left( \frac{2x}{\sqrt{3}} \right) v$. emf નું મૂલ્ય $x$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
$L \le x \le 2L$ માટે:
ધારો કે $x_0 = x - L$. ક્ષેત્રની અંદરના લૂપનો ભાગ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ક્ષેત્રની અંદરના ભાગની ઉપરની બાજુની લંબાઈ $\ell = \frac{2(L-x_0)}{\sqrt{3}}$ છે.
પ્રેરિત emf $\varepsilon = B \ell v = B \left( \frac{2(L - (x-L))}{\sqrt{3}} \right) v = \frac{2Bv}{\sqrt{3}} (2L - x)$ છે.
$x = L$ પર,$\varepsilon = \frac{2BvL}{\sqrt{3}}$. $x = 2L$ પર,$\varepsilon = 0$.
ઢાળ અને વર્તણૂકની સરખામણી કરતા,આલેખ $B$ સાચી રીતે મૂલ્યમાં રેખીય વધારો અને ત્યારબાદ શૂન્ય સુધી રેખીય ઘટાડો દર્શાવે છે.

(D) જ્યારે એક લંબચોરસ ધાતુનું લૂપ અચળ ઝડપ $v$ થી સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપતી લૂપની બાજુમાં પ્રેરિત ગતિકીય $\text{emf}$ નું સૂત્ર $\varepsilon = B \ell v$ છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,$\ell$ એ લૂપની બાજુની લંબાઈ છે,અને $v$ એ વેગ છે.
$B$,$\ell$,અને $v$ બધા અચળ હોવાથી,જ્યાં સુધી લૂપ આંશિક રીતે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર છે ત્યાં સુધી પ્રેરિત $\text{emf} \ (\varepsilon)$ અચળ રહે છે.
તેથી,પ્રેરિત $\text{emf} \ (\varepsilon)$ ના મૂલ્યનો સમય $(t)$ સાથેનો આલેખ એક આડી સીધી રેખા મળે છે,જે આલેખ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(C) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.4 \ \text{T}$,ત્રિજ્યા $R = 20 \ \text{cm} = 0.2 \ \text{m}$,કોણીય વેગ $\omega = 10 \pi \ \text{rad s}^{-1}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરતી ડિસ્કના કેન્દ્ર અને કિનારી વચ્ચે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ અથવા વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{1}{2} B \omega R^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (10 \pi) \times (0.2)^2$
$E = 0.2 \times 10 \times 3.14 \times 0.04$
$E = 2 \times 3.14 \times 0.04$
$E = 6.28 \times 0.04 = 0.2512 \ \text{V}$
આમ,ઉદ્ભવતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $0.2512 \ \text{V}$ છે.

(A) ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત $\text{EMF}$ નું સૂત્ર $E = \ell v B$ છે,જ્યાં $\ell$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વાહકની લંબાઈ છે,$v$ એ વેગ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,શિરોબિંદુથી $x$ અંતરે સળિયાની લંબાઈ $\ell = 2x \tan(30^\circ) = 2x / \sqrt{3}$ છે.
સળિયો અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરતો હોવાથી,$t$ સમયે અંતર $x = vt$ થાય.
$\ell$ ના સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\ell = 2vt / \sqrt{3}$ મળે છે.
હવે,$\text{EMF}$ ના સમીકરણમાં $\ell$ ની કિંમત મૂકતા: $E = (2vt / \sqrt{3}) \times vB = (2v^2 B / \sqrt{3}) t$.
આમ,$E \propto t^1$,જેનો અર્થ છે કે $n = 1$.

(A) ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત emf નું સૂત્ર $\varepsilon = B v L_{eff}$ છે,જ્યાં $L_{eff}$ એ વેગ સદિશને લંબ અસરકારક લંબાઈ છે.
આપેલ વાહક $ABCDE$ માટે,બિંદુઓ $A$ અને $E$ વચ્ચેની અસરકારક લંબાઈ તેમની વચ્ચેનું શિરોલંબ અંતર છે.
તારમાં $BC$ અને $CD$ વિભાગો છે જે સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલા છે,અને $AB$ તથા $DE$ વિભાગો સમક્ષિતિજ છે.
$BC$ અને $CD$ વિભાગોનો શિરોલંબ પ્રક્ષેપ $10 \sin 45^{\circ} = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \ cm$ છે.
આમ,કુલ અસરકારક લંબાઈ $L_{eff} = 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \ cm = 0.1\sqrt{2} \ m$ થાય.
આપેલ છે કે $B = \frac{1}{\sqrt{2}} \ T$ અને $v = 10 \ cm/s = 0.1 \ m/s$.
$\varepsilon = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times (0.1) \times (0.1\sqrt{2}) = 0.01 \ V$.
મિલીવોલ્ટમાં રૂપાંતર કરતા: $\varepsilon = 0.01 \times 1000 \ mV = 10 \ mV$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ નું સૂત્ર $e = B \cdot L_{\perp} \cdot V$ છે, જ્યાં $L_{\perp}$ એ વેગ સદિશ $V$ ને લંબ વાહકની અસરકારક લંબાઈ છે.
અહીં વેગ $V$ એ $X$-અક્ષની દિશામાં હોવાથી, અસરકારક લંબાઈ $L_{\perp}$ એ વાહકના ભાગનો $Y$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ (બિંદુઓ વચ્ચેનું ઊભું અંતર) છે.
આપેલા બિંદુઓ વચ્ચેના ઊભા અંતરની સરખામણી કરતા:
$AB$ માટે, ઊભું અંતર ઓછું છે.
$BD$ માટે, ઊભું અંતર એ $BC$ અને $CD$ ના ઊભા અંતરનો સરવાળો છે.
$BC$ માટે, ઊભું અંતર એ આ બે બિંદુઓ વચ્ચેના વક્રનો મહત્તમ ઊભો વિસ્તાર છે.
આકૃતિ જોતા, $B$ અને $C$ વચ્ચેનું ઊભું અંતર આપેલા વિકલ્પોમાં સૌથી વધુ છે, કારણ કે તે તરંગના શિખરથી ગર્ત સુધીનો વિસ્તાર આવરી લે છે.
તેથી, મહત્તમ પ્રેરિત $emf$ એ $B$ અને $C$ બિંદુઓ વચ્ચે ઉત્પન્ન થાય છે.

(C) લંબાઈ $\ell = 20 \ \text{cm} = 0.2 \ \text{m}$ ધરાવતા ઘટક $AB$ માં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઈ.એમ.એફ. $(e)$,જે $v = 20 \ \text{m/s}$ ના વેગથી $B = 2 \times 10^{-2} \ \text{T}$ ના સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે,તે નીચે મુજબ છે:
$e = B v \ell = (2 \times 10^{-2} \ \text{T}) \times (20 \ \text{m/s}) \times (0.2 \ \text{m}) = 0.08 \ \text{V}$.
કારણ કે લૂપ બંધ છે અને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરી રહી છે,લૂપમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ રહે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,બંધ લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ફ્લક્સ અચળ હોવાથી,ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો દર શૂન્ય છે,તેથી પ્રેરિત પ્રવાહ $I = 0 \ \text{A}$ થશે.

(A) વિધાન-$I$ સાચું છે. જ્યારે $l$ લંબાઈનો વાહક સળિયો $v$ વેગથી સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $v$,$B$ અને $l$ પરસ્પર લંબ હોય,ત્યારે સળિયાના છેડાઓ વચ્ચે ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ પ્રેરિત થાય છે,જે $\varepsilon = Blv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આનાથી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સર્જાય છે.
વિધાન-$II$ ખોટું છે. ધાતુના વાહકમાં,માત્ર મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન જ ગતિ કરવા માટે ઉપલબ્ધ હોય છે. ધન આયનો સ્ફટિક લેટીસમાં જકડાયેલા હોય છે અને તે વાહકમાં મુક્તપણે ગતિ કરી શકતા નથી.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ફરતા $l$ લંબાઈના સળિયામાં પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2L$ લંબાઈના આડા ભાગ માટે,પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon_1 = \frac{1}{2} B \omega (2L)^2 = 2 B \omega L^2$ છે.
સ્થિતિમાન બહારના છેડા તરફ (ધરીથી દૂર) વધે છે. તેથી,$V_A$ એ ધરી પરના સ્થિતિમાન કરતા વધારે છે.
$L$ લંબાઈના ઊભા ભાગ માટે,પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon_2 = \frac{1}{2} B \omega L^2$ છે.
સ્થિતિમાન બહારના છેડા $B$ તરફ વધે છે. તેથી,$V_B$ એ ધરી પરના સ્થિતિમાન કરતા વધારે છે.
ધારો કે $V_P$ એ ધરી પરનું સ્થિતિમાન છે. તો $V_A = V_P + 2 B \omega L^2$ અને $V_B = V_P + \frac{1}{2} B \omega L^2$ થાય.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $V_A - V_B = (V_P + 2 B \omega L^2) - (V_P + \frac{1}{2} B \omega L^2) = \frac{3}{2} B \omega L^2$.

(B) જ્યારે $\ell$ લંબાઈનો વાહક સળિયો તેની લંબાઈ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ એવા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $V$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે, ત્યારે સળિયાના બે છેડા વચ્ચે પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ (emf) ઉત્પન્ન થાય છે।
પ્રેરિત emf $(e)$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = B V \ell$
આ પ્રેરિત emf રેલ સાથે જોડાયેલા કેપેસિટર માટે વોલ્ટેજ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે।
$C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટર પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $(q)$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$q = C \times e$
$q$ ના સમીકરણમાં $e$ ની કિંમત મૂકતા:
$q = C \times (B V \ell)$
$q = B V \ell C$
તેથી, કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $B V \ell C$ છે।

(C) વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય e.m.f. નું સૂત્ર $e = Bvl$ છે.
અહીં ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H = 1000 \ A/m$ આપેલ છે,તેથી ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B = \mu_0 H$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B = (4 \pi \times 10^{-7} \ Wb/Am) \times (1000 \ A/m) = 4 \pi \times 10^{-4} \ T$.
વાહકની લંબાઈ $l = 10 \ cm = 0.1 \ m$ અને ઝડપ $v = 1 \ m/s$ છે.
હવે,પ્રેરિત e.m.f. ની ગણતરી કરતા:
$e = (4 \pi \times 10^{-4} \ T) \times (1 \ m/s) \times (0.1 \ m)$
$e = 0.4 \pi \times 10^{-4} \ V = 40 \pi \times 10^{-6} \ V = 40 \pi \ \mu V$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત e.m.f. નું સૂત્ર $\varepsilon = B l v \sin \theta$ છે,જ્યાં $l$ એ વેગ સદિશ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ વાહકની લંબાઈ છે.
પ્રારંભિક કિસ્સામાં,કોઈલની લંબાઈ શિરોલંબ છે,તેથી $L$ લંબાઈની શિરોલંબ બાજુ વેગ $v$ (જે સમક્ષિતિજ છે) ને લંબ છે. આમ,પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon_1 = B L v$ મળે છે.
કોઈલને $90^{\circ}$ ફેરવ્યા પછી,લંબાઈ $L$ સમક્ષિતિજ (વેગ $v$ ને સમાંતર) થઈ જાય છે. જે બાજુ અગાઉ સમક્ષિતિજ હતી (પહોળાઈ $W$),તે હવે શિરોલંબ બને છે. હવે પ્રેરિત e.m.f. વેગને લંબ બાજુ દ્વારા નક્કી થાય છે,જે $W$ લંબાઈની બાજુ છે. તેથી,$\varepsilon_2 = B W v$.
સામાન્ય રીતે લંબચોરસ કોઈલની લંબાઈ $L$ તેની પહોળાઈ $W$ કરતા વધારે હોય છે $(L > W)$,તેથી નવું પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon_2$ એ પ્રારંભિક પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon_1$ કરતા ઓછું હશે.

(D) એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ભ્રમણ કરતી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = BA \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત e.m.f. $\epsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\phi$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $\epsilon = -\frac{d}{dt} [BA \cos(\omega t)] = BA\omega \sin(\omega t)$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\theta) = \cos(\theta - \frac{\pi}{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\epsilon = BA\omega \cos(\omega t - \frac{\pi}{2})$.
ફ્લક્સની કળા $(\omega t)$ અને પ્રેરિત e.m.f. ની કળા $(\omega t - \frac{\pi}{2})$ ની સરખામણી કરતા,કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(B) ભ્રમણ કરતા સળિયામાં ઉદ્ભવતું e.m.f. $e$ એ સળિયા દ્વારા ઘેરાતા ક્ષેત્રફળ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ ના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$e = \frac{d\phi}{dt} = B \frac{dA}{dt}$
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણમાં,સળિયો $A = \pi l^2$ જેટલું ક્ષેત્રફળ ઘેરે છે.
જો સળિયો પ્રતિ સેકન્ડ $f$ પરિભ્રમણ કરતો હોય,તો એકમ સમયમાં ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ $\frac{dA}{dt} = f \cdot A = f \cdot \pi l^2$ થાય.
આ કિંમત e.m.f. ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$e = B \cdot (f \cdot \pi l^2)$
આવૃત્તિ $f$ (પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની સંખ્યા) માટે સૂત્ર બનાવતા:
$f = \frac{e}{B \pi l^2}$