Motional EMI (Induced Parameter) Questions in Gujarati

(C) મહત્તમ પ્રેરિત $EMF$ (ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ) નું સૂત્ર $e_0 = N B A \omega$ છે.
આપેલ છે: $N = 1$,$B = 10^{-2} \ T$,$r = 0.3 \ m$,$R = \pi^2 \ \Omega$,અને આવૃત્તિ $\nu = \frac{200}{60} = \frac{10}{3} \ Hz$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi \nu = 2\pi \times \frac{10}{3} = \frac{20\pi}{3} \ rad/s$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.3)^2 = 0.09\pi \ m^2$.
તેથી,$e_0 = 1 \times 10^{-2} \times 0.09\pi \times \frac{20\pi}{3} = 10^{-2} \times 0.03\pi \times 20\pi = 0.6 \times 10^{-2} \times \pi^2 \ V$.
મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = \frac{e_0}{R} = \frac{0.6 \times 10^{-2} \times \pi^2}{\pi^2} = 0.6 \times 10^{-2} \ A = 6 \times 10^{-3} \ A = 6 \ mA$.

(D) ધારો કે ચોરસ ફ્રેમના કેન્દ્રનું તારથી અંતર $x$ છે. ફ્રેમની ડાબી બાજુ તારથી $(x - a/2)$ અંતરે છે અને જમણી બાજુ $(x + a/2)$ અંતરે છે.
લાંબા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
ડાબી બાજુ (લંબાઈ $a$) માં પ્રેરિત ગતિકીય $emf$ $\varepsilon_1 = B_1 a V = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x - a/2)} a V$ છે.
જમણી બાજુ (લંબાઈ $a$) માં પ્રેરિત ગતિકીય $emf$ $\varepsilon_2 = B_2 a V = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x + a/2)} a V$ છે.
ફ્રેમમાં પ્રેરિત કુલ $emf$ $\varepsilon = \varepsilon_1 - \varepsilon_2$ છે.
$\varepsilon = \frac{\mu_0 I a V}{2\pi} \left[ \frac{1}{x - a/2} - \frac{1}{x + a/2} \right]$
$\varepsilon = \frac{\mu_0 I a V}{2\pi} \left[ \frac{2}{2x - a} - \frac{2}{2x + a} \right]$
$\varepsilon = \frac{\mu_0 I a V}{\pi} \left[ \frac{(2x + a) - (2x - a)}{(2x - a)(2x + a)} \right]$
$\varepsilon = \frac{\mu_0 I a V}{\pi} \left[ \frac{2a}{(2x - a)(2x + a)} \right]$
આમ,$\varepsilon \propto \frac{1}{(2x - a)(2x + a)}$.

(D) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = B \cdot \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $r$ એ લૂપની ત્રિજ્યા છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
અહીં $B$ અચળ હોવાથી,$\varepsilon = -\frac{d}{dt}(B \pi r^2) = -B \pi (2r) \frac{dr}{dt}$.
આપેલ છે: $B = 0.04\, T$,$r = 2\, cm = 0.02\, m$,અને $\frac{dr}{dt} = -2\, mm/s = -2 \times 10^{-3}\, m/s$ (ઋણ નિશાની કારણ કે ત્રિજ્યા ઘટી રહી છે).
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = -(0.04) \cdot \pi \cdot 2 \cdot (0.02) \cdot (-2 \times 10^{-3})$
$\varepsilon = 0.04 \cdot \pi \cdot 0.04 \cdot 2 \times 10^{-3}$
$\varepsilon = 0.0032 \times 10^{-3} \cdot \pi\, V$
$\varepsilon = 3.2 \times 10^{-6} \cdot \pi\, V = 3.2\pi\, \mu V$.

(A) પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $\varepsilon = B l v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ વેગ સદિશને લંબ રૂપે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપતા વાહકની લંબાઈ છે.
લંબચોરસ અથવા ચોરસ લૂપ માટે,જેમ તે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે,તેમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપતી બાજુની લંબાઈ $l$ અચળ રહે છે જ્યાં સુધી આખો લૂપ ક્ષેત્રની બહાર ન નીકળે. આમ,પ્રેરિત emf અચળ રહે છે.
વર્તુળાકાર અથવા લંબગોળ લૂપ માટે,વેગ સદિશને લંબ લૂપની પહોળાઈ સતત બદલાતી રહે છે જેમ લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે. કારણ કે લંબાઈ $l$ અચળ નથી,તેથી પ્રેરિત emf $\varepsilon = B l v$ અચળ રહેશે નહીં.
તેથી,વર્તુળાકાર અને લંબગોળ લૂપ માટે પ્રેરિત emf અચળ રહેશે નહીં.

(B) આપેલ છે:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 0.025 \, T$
લૂપની ત્રિજ્યા,$r = 2 \, cm = 2 \times 10^{-2} \, m$
ત્રિજ્યામાં ફેરફારનો દર,$\frac{dr}{dt} = 1 \, mm \, s^{-1} = 1 \times 10^{-3} \, m \, s^{-1}$
લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A \cos \theta = B(\pi r^2) \cos 0^{\circ} = B \pi r^2$ છે.
પ્રેરિત $emf$ નું મૂલ્ય ફેરાડેના નિયમ મુજબ: $|\varepsilon| = \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$.
$|\varepsilon| = \frac{d}{dt}(B \pi r^2) = B \pi (2r) \frac{dr}{dt}$.
કિંમતો મૂકતા:
$|\varepsilon| = 0.025 \times \pi \times 2 \times (2 \times 10^{-2}) \times (1 \times 10^{-3})$
$|\varepsilon| = 0.025 \times \pi \times 4 \times 10^{-2} \times 10^{-3}$
$|\varepsilon| = 0.1 \times 10^{-2} \times 10^{-3} \times \pi = 10^{-1} \times 10^{-5} \times \pi = 10^{-6} \pi \, V$
$|\varepsilon| = \pi \, \mu V$.

(A) ભ્રમણ કરતી લૂપમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ નું સૂત્ર $\varepsilon = N B A \omega \sin(\omega t)$ છે.
જ્યારે લૂપ એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ $(360^{\circ})$ પૂર્ણ કરે છે,ત્યારે $\sin(\omega t)$ નું મૂલ્ય $180^{\circ}$ પર ધનમાંથી ઋણ અને $360^{\circ}$ પર ઋણમાંથી ધન થાય છે.
તેથી,પ્રેરિત $e.m.f.$ ની દિશા દરેક પરિભ્રમણ દીઠ બે વાર બદલાય છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વક્ર વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય $emf$ એ વક્રના બે છેડાઓને જોડતા સીધા વાહકમાં પ્રેરિત $emf$ જેટલું હોય છે.
અર્ધવર્તુળાકાર રીંગ $PQR$ ની અસરકારક લંબાઈ તેના છેડાઓ $P$ અને $R$ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે,જે વ્યાસ $l = 2r$ છે.
પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર $\varepsilon = Bvl = Bv(2r) = 2rBv$ છે.
ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,નીચેની તરફના વેગ $v$ અને અંદરની તરફના ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટે,ધન વિદ્યુતભારો પર લાગતું બળ $R$ તરફ હોય છે. તેથી,$R$ એ $P$ કરતા ઉચ્ચ સ્થિતિમાન પર છે.

(D) $I$ પ્રવાહ વહન કરતા લાંબા સીધા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $V$ વેગથી ગતિ કરતા $a$ લંબાઈના ઊભી તારના ભાગ માટે,પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = B l V$ છે.
ફ્રેમની બે ઊભી બાજુઓ તારથી $r_1 = x - a/2$ અને $r_2 = x + a/2$ અંતરે છે.
ડાબી બાજુ $(1)$ માં પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon_1 = B_1 a V = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x - a/2)} a V = \frac{\mu_0 I a V}{\pi (2x - a)}$ છે.
જમણી બાજુ $(2)$ માં પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon_2 = B_2 a V = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x + a/2)} a V = \frac{\mu_0 I a V}{\pi (2x + a)}$ છે.
ફ્રેમમાં કુલ પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon_{net} = |\varepsilon_1 - \varepsilon_2| = \frac{\mu_0 I a V}{\pi} \left( \frac{1}{2x - a} - \frac{1}{2x + a} \right)$ છે.
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા: $\varepsilon_{net} = \frac{\mu_0 I a V}{\pi} \left( \frac{(2x + a) - (2x - a)}{(2x - a)(2x + a)} \right) = \frac{\mu_0 I a V}{\pi} \left( \frac{2a}{(2x - a)(2x + a)} \right)$.
આમ,$\varepsilon_{net} \propto \frac{1}{(2x - a)(2x + a)}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ (e.m.f.) નું સૂત્ર $\varepsilon = B l v$ છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,$l$ એ વેગ સદિશને લંબ વાહકની લંબાઈ છે અને $v$ એ વેગ છે.
આ કિસ્સામાં,લૂપ્સ આડા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે. લૂપ્સની ઊભી બાજુઓ ગતિશીલ વાહક તરીકે કાર્ય કરે છે જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપે છે.
ધારો કે $l$ એ લૂપની ઊભી લંબાઈ છે. પ્રેરિત e.m.f. આ ઊભી લંબાઈ $l$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
આકૃતિ પરથી,લૂપ $c$ અને $d$ ની ઊભી બાજુની લંબાઈ $2L$ છે,જ્યારે લૂપ $a$ અને $b$ ની ઊભી બાજુની લંબાઈ $L$ છે.
ચારેય લૂપ્સ માટે વેગ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન હોવાથી,મોટી ઊભી બાજુ ધરાવતા લૂપ્સ માટે પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon$ વધારે હશે.
તેથી,$\varepsilon_c = \varepsilon_d = B(2L)v$ અને $\varepsilon_a = \varepsilon_b = B(L)v$.
આમ,$(\varepsilon_c = \varepsilon_d) > (\varepsilon_a = \varepsilon_b)$ મળે છે.

(D) સળિયો ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં મૂકેલો છે અને તે પૂર્વ દિશામાં ગતિ કરે છે. વેગ સદિશ $\vec{v}$ પૂર્વ દિશામાં છે.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V = B_H \tan \phi$ છે,જ્યાં $B_H = 3 \times 10^{-4} \, T$ અને $\phi = 53^\circ$ છે.
તેથી,$B_V = (3 \times 10^{-4}) \times (4/3) = 4 \times 10^{-4} \, T$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા સળિયામાં પ્રેરિત emf $e = B_V v l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = 10 \, cm/s = 0.1 \, m/s$ અને $l = 0.25 \, m$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = (4 \times 10^{-4} \, T) \times (0.1 \, m/s) \times (0.25 \, m) = 10^{-5} \, V$.
$1 \, V = 10^6 \, \mu V$ હોવાથી,$e = 10^{-5} \times 10^6 \, \mu V = 10 \, \mu V$ મળે છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરતી તકતીના કેન્દ્ર અને કિનારી વચ્ચે પ્રેરિત $emf$ $(E)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{2} B \omega R^2$
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $R = 0.1 \ m$
આવૃત્તિ $f = 10 \ rev/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.1 \ T$
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 10 = 20\pi \ rad/s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (20\pi) \times (0.1)^2$
$E = 0.1 \times 10\pi \times 0.01$
$E = 0.01\pi \ V$
મિલીવોલ્ટ $(mV)$ માં રૂપાંતર કરતા:
$E = 0.01\pi \times 1000 \ mV = 10\pi \ mV$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = nBA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,કોઈલની અક્ષ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી $\theta_1 = 0^o$ અને $\phi_1 = nBA \cos 0^o = nBA$.
કોઈલને તેના વ્યાસની આસપાસ $180^o$ ફેરવ્યા પછી,નવો ખૂણો $\theta_2 = 180^o$ છે,તેથી $\phi_2 = nBA \cos 180^o = -nBA$.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = -nBA - nBA = -2nBA$ છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $Q = \frac{|\Delta \phi|}{R} = \frac{2nBA}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $B = \frac{QR}{2nA}$ મળે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $e = Bv l_{eff}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l_{eff}$ એ વાહકની અસરકારક લંબાઈ છે,જે તેના બે છેડાઓ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે.
$L$ લંબાઈના તારને અર્ધવર્તુળાકારમાં વાળતા,ચાપની લંબાઈ $L = \pi R$ થાય,જ્યાં $R$ એ અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{\pi}$ થાય.
અર્ધવર્તુળના બે છેડાઓ વચ્ચેની અસરકારક લંબાઈ $l_{eff}$ એ અર્ધવર્તુળના વ્યાસ જેટલી હોય છે,જે $2R$ છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $l_{eff} = 2 \times (\frac{L}{\pi}) = \frac{2L}{\pi}$ મળે છે.
આમ,પ્રેરિત emf $e = Bv \times (\frac{2L}{\pi}) = \frac{2BvL}{\pi}$ થાય.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(emf)$ $\varepsilon = B l v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $B = 2.0\, T$,$l = 0.1\, m$,અને $v = 0.5\, m/s$ છે.
જ્યારે $5\,\Omega$ નો અવરોધ ડાબી તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = 2.0 \times 0.1 \times 0.5 = 0.1\, V$ થાય છે.
$10\,\Omega$ નો અવરોધ સ્થિર હોવાથી,તેમાં પ્રેરિત $emf$ $0\, V$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R = 5\,\Omega + 10\,\Omega = 15\,\Omega$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{0.1}{15} = \frac{1}{150}\, A$ છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરશે.

(C) આપેલ છે:
પાંખની લંબાઈ $(l)$ = $40\, m$
ઝડપ $(v)$ = $1080\, km\, h^{-1} = 1080 \times \frac{5}{18} = 300\, m\, s^{-1}$
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક $(B)$ = $1.75 \times 10^{-5} \, T$
વિમાનની પાંખો વચ્ચે પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$e = B \cdot l \cdot v$
કિંમતો મૂકતા:
$e = (1.75 \times 10^{-5} \, T) \times (40\, m) \times (300\, m\, s^{-1})$
$e = 1.75 \times 10^{-5} \times 12000$
$e = 1.75 \times 0.12$
$e = 0.21\, V$
તેથી,પાંખોના છેડાઓ વચ્ચે ઉત્પન્ન થતું emf $0.21\, V$ છે.

(C) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi R^2$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે $R = R_0 + t$,તેથી ક્ષેત્રફળ $A = \pi (R_0 + t)^2$ થશે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત e.m.f. $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
અહીં $B$ અચળ હોવાથી,$e = -B \frac{dA}{dt}$ મળે.
વિકલન કરતા: $\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt} [\pi (R_0 + t)^2] = 2\pi (R_0 + t)$.
આમ,પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $|e| = B \cdot 2\pi (R_0 + t) = 2\pi (R_0 + t)B$ થાય.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,જેમ ક્ષેત્રફળ વધે છે,તેમ પેજની અંદરની તરફનું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. આ ફેરફારનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહ પેજની બહારની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે,જે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.

(B) ગતિશીલ કનેક્ટરમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $e = B l v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $B = 0.1\, T$,$l = 10\, cm = 0.1\, m$,અને $v = 1\, m/s$.
$e = 0.1 \times 0.1 \times 1 = 0.01\, V$.
કનેક્ટર $r = 1\, \Omega$ ના આંતરિક અવરોધ સાથેની બેટરી તરીકે કાર્ય કરે છે. $R_1 = 2\, \Omega$ અને $R_2 = 3\, \Omega$ અવરોધ ધરાવતી લૂપની બે બાજુઓ આ બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે.
બાહ્ય સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} = 1.2\, \Omega$ છે.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{total} = r + R_{eq} = 1 + 1.2 = 2.2\, \Omega$ છે.
કનેક્ટરમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{e}{R_{total}} = \frac{0.01}{2.2} = \frac{1}{220}\, A$ છે.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,$B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $v_0$ વેગથી ગતિ કરતા $l$ લંબાઈના વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઈ.એમ.એફ. (emf) $\varepsilon$ નીચે મુજબ છે:
$\varepsilon = B l v_0$
આ emf કેપેસિટર $C$ ના બે છેડા વચ્ચે વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત તરીકે કાર્ય કરે છે. સર્કિટ કેપેસિટર દ્વારા બંધ હોવાથી,કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પ્રેરિત emf જેટલો થશે,એટલે કે $V_C = \varepsilon = B l v_0$.
વેગ $v_0$ અચળ હોવાથી,પ્રેરિત emf $\varepsilon = B l v_0$ પણ અચળ રહે છે. એકવાર કેપેસિટર આ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત સુધી ચાર્જ થઈ જાય,પછી સર્કિટમાંથી કોઈ વધારાનો વિદ્યુતભાર વહેતો નથી કારણ કે કેપેસિટર સ્થાયી ડીસી $(DC)$ પ્રવાહ માટે ઓપન સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,પ્રારંભિક ટ્રાન્ઝિયન્ટ ચાર્જિંગ તબક્કા પછી વાહકમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ શૂન્ય હોય છે.

(A) જ્યારે સળિયો $P$ ડાબી તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે રેલ અને બે સળિયા દ્વારા બનતા લૂપનું ક્ષેત્રફળ વધે છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,સર્કિટમાં પ્રેરિત $EMF$ ઉત્પન્ન થાય છે,જે પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,આ પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેના ઉત્પાદનના કારણનો વિરોધ કરે છે,જે લૂપમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં વધારો છે.
ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,સળિયા $Q$ પરનું ચુંબકીય બળ એવી દિશામાં કાર્ય કરવું જોઈએ જે લૂપના ક્ષેત્રફળને ઘટાડવાનો પ્રયત્ન કરે.
તેથી,સળિયો $Q$ ડાબી તરફ બળ અનુભવશે,એટલે કે તે સળિયા $P$ તરફ આકર્ષાશે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે અને તે $x$-અક્ષ પર ગતિ કરે છે. $t$ સમયે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર રહેલા વાયરના ભાગની લંબાઈ $l = 2(vt) \tan(\pi / 4) = 2vt$ છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ (emf) $\varepsilon = B l v = B(2vt)v = 2Bv^2t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે ફ્રેમનો અવરોધ $R$ તેની લંબાઈના પ્રમાણમાં છે,તેથી ક્ષેત્રની અંદરના ભાગનો અવરોધ પણ $t$ ના પ્રમાણમાં છે. ધારો કે $R = k t$ કોઈ અચળાંક $k$ માટે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \varepsilon / R = (2Bv^2t) / (kt) = (2Bv^2) / k$,જે એક અચળ મૂલ્ય છે.
જેમ જેમ ફ્રેમ પ્રવેશવાનું ચાલુ રાખે છે,તેમ ક્ષેત્રની અંદરના વાયરની લંબાઈ વધે છે,પરંતુ અવરોધ પણ તે જ પ્રમાણમાં વધે છે,જેનાથી પ્રવાહ અચળ રહે છે જ્યાં સુધી આખી ફ્રેમ ક્ષેત્રની અંદર ન આવી જાય.
તેથી,જ્યાં સુધી ફ્રેમ સંપૂર્ણપણે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર ન આવે ત્યાં સુધી પ્રવાહ $i$ સમય સાથે અચળ રહે છે,ત્યારબાદ તે શૂન્ય થઈ જાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,અચળ પ્રવાહ દર્શાવતો આલેખ વિકલ્પ $(b)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(A) પ્રેરિત emf $\varepsilon = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $xy$-સમતલને લંબ હોવાથી,તેની લંબાઈનો સદિશ $\vec{L} = 2\hat{k} \ m$ છે.
વેગ $\vec{v} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) \ m/s$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = (\hat{i} + 2\hat{j}) \ Wb/m^2$ છે.
પ્રથમ,$\vec{v} \times \vec{B}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર કરીએ:
$\vec{v} \times \vec{B} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{i} + 2\hat{j})$
$= 2(\hat{i} \times \hat{i}) + 4(\hat{i} \times \hat{j}) + 3(\hat{j} \times \hat{i}) + 6(\hat{j} \times \hat{j}) + 1(\hat{k} \times \hat{i}) + 2(\hat{k} \times \hat{j})$
$= 0 + 4\hat{k} - 3\hat{k} + 0 + \hat{j} - 2\hat{i} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
હવે,$\vec{L}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા:
$\varepsilon = (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (2\hat{k})$
$= (-2 \times 0) + (1 \times 0) + (1 \times 2) = 2 \ V$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ નું સૂત્ર $e = B \cdot l \cdot v$ છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$l$ એ વાહકની લંબાઈ અને $v$ એ વેગ છે.
આપેલ કિંમતો $B = 4.0\,T$,$l = 30\,cm = 0.3\,m$,અને $v = 10\,ms^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = 4.0 \times 0.3 \times 10 = 12\,V$.
ગતિકીય $EMF$ માટેના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,સળિયામાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ દક્ષિણ છેડા તરફ હોય છે $(F = q(\vec{v} \times \vec{B}))$. ઇલેક્ટ્રોન દક્ષિણ છેડા પર જમા થતા હોવાથી,ઉત્તર છેડો દક્ષિણ છેડાની સાપેક્ષમાં ધન વીજભારિત બને છે.
દક્ષિણ છેડાનું સ્થિતિમાન $0\,V$ આપેલ હોવાથી,ઉત્તર છેડાનું સ્થિતિમાન $V_N - V_S = 12\,V$ થાય,તેથી $V_N = 12\,V$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતી $R$ ત્રિજ્યાની વાહક રીંગમાં પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ (emf) $E = B \cdot (2R) \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $2R$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરતી રીંગની અસરકારક લંબાઈ (વ્યાસ) છે.
$r$ ત્રિજ્યા અને $2v$ વેગ ધરાવતી રીંગ $P$ માટે:
$E_1 = B \cdot (2r) \cdot (2v) = 4Bvr$
$2r$ ત્રિજ્યા અને $v$ વેગ ધરાવતી રીંગ $Q$ માટે:
$E_2 = B \cdot (2 \cdot 2r) \cdot v = 4Bvr$
રીંગો વાહક સપાટી $S$ પર વિરુદ્ધ દિશામાં ફરી રહી હોવાથી,પ્રેરિત emf શ્રેણીમાં કાર્ય કરે છે. બે રીંગના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ પ્રેરિત emf નો સરવાળો છે:
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $= E_1 + E_2 = 4Bvr + 4Bvr = 8Bvr$.

(B) લાંબા,સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એમ્પીયરના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ મળે છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
$l$ લંબાઈનો સળિયો ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે $\upsilon$ વેગથી ગતિ કરે છે. સળિયાના છેડાઓ વચ્ચે પ્રેરિત $emf$ $(e)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$e = B l \upsilon$
સમીકરણમાં $B$ ની કિંમત મૂકતા:
$e = \left( \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \right) l \upsilon$
તેથી,પ્રેરિત $emf$:
$e = \frac{\mu_0 \upsilon I l}{2 \pi r}$

(A) લાંબા પ્રવાહધારિત તારથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{{\mu _0}I}{2\pi x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયા પર $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ વિચારો.
આ નાના ખંડમાં પ્રેરિત ગતિકીય emf $d\varepsilon = Bv dx = \left( \frac{{\mu _0}I}{2\pi x} \right) \upsilon dx$ છે.
કુલ પ્રેરિત emf $\varepsilon$ શોધવા માટે,આપણે આ પદનું $x = r$ થી $x = r + l$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$\varepsilon = \int_{r}^{r+l} \frac{{\mu _0}I\upsilon}{2\pi x} dx$
$\varepsilon = \frac{{\mu _0}I\upsilon}{2\pi} \int_{r}^{r+l} \frac{1}{x} dx$
$\varepsilon = \frac{{\mu _0}I\upsilon}{2\pi} [\ln x]_{r}^{r+l}$
$\varepsilon = \frac{{\mu _0}I\upsilon}{2\pi} \ln \left( \frac{r+l}{r} \right)$.

(D) જ્યારે કોઈ વાહક લૂપ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં એવી રીતે ગતિ કરે છે કે તે સંપૂર્ણપણે ક્ષેત્રની અંદર રહે,ત્યારે લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = B \cdot A$ અચળ રહે છે કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A$ બંને અચળ છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\Phi$ અચળ હોવાથી,$\frac{d\Phi}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = 0$ છે.
પરિણામે,લૂપમાં કોઈ પ્રવાહ પ્રેરિત થતો નથી અને લૂપની ગતિનો વિરોધ કરતું કોઈ ચુંબકીય બળ લાગતું નથી.
તેથી,લૂપને અચળ વેગથી ખસેડવા માટે કરવામાં આવેલું બાહ્ય કાર્ય શૂન્ય છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) સર્કિટમાં ઉષ્મા ઉત્પન્ન થવાનો દર $Q$ એ વ્યય થતા પાવર જેટલો હોય છે,જે $P = I^2 R = \frac{E^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,બાહ્ય બળ $F$ દ્વારા આપવામાં આવતો યાંત્રિક પાવર $P = Fv$ છે.
સળિયો અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોવાથી,બાહ્ય બળ $F$ એ સળિયા પર લાગતા ચુંબકીય બળ $F_m = IlB$ જેટલું હોવું જોઈએ.
પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $E = Blv$ છે.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{R} = \frac{Blv}{R}$ છે.
ચુંબકીય બળ $F_m = IlB = (\frac{Blv}{R})lB = \frac{B^2 l^2 v}{R}$ છે.
આપવામાં આવતો પાવર $P = Fv = (\frac{B^2 l^2 v}{R})v = \frac{B^2 l^2 v^2}{R}$ છે.
કારણ કે $Q = P$,તેથી $Q = Fv$ મળે છે.
તેથી,$F = \frac{Q}{v}$.

(A) ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર ચોરસની બાજુની લંબાઈ $x$ છે. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = x^2$ છે.
લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = B x^2$ છે.
પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt}(B x^2) = -2Bx \frac{dx}{dt}$.
દરેક બાજુ વેગ $v$ સાથે બહારની તરફ ગતિ કરતી હોવાથી,બાજુની લંબાઈમાં ફેરફારનો દર $\frac{dx}{dt} = 2v$ છે (કારણ કે બાજુના બંને છેડા કેન્દ્રથી દૂર જાય છે).
આમ,પ્રેરિત $EMF$ નું મૂલ્ય $e = 2Bx(2v) = 4Bxv$ છે.
ચોરસ બનાવતા વાયરની કુલ લંબાઈ $L = 4x$ છે.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R = L \cdot r = 4xr$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{e}{R} = \frac{4Bxv}{4xr} = \frac{Bv}{r}$ છે.

(C) ધારો કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B \hat{k}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય $EMF$ $\int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિભાગ $AB$ માટે,લંબાઈ સદિશ $\vec{l}_{AB} = l_1 \hat{i}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = \int_A^B (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l} = (v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \times (B \hat{k}) \cdot (l_1 \hat{i}) = (-v_x B \hat{j} + v_y B \hat{i}) \cdot (l_1 \hat{i}) = v_y B l_1$.
તેથી,$V_A - V_B = B v_y l_1$.
વિભાગ $BC$ માટે,લંબાઈ સદિશ $\vec{l}_{BC} = l_2 \hat{j}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_C = \int_B^C (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l} = (v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \times (B \hat{k}) \cdot (l_2 \hat{j}) = (-v_x B \hat{j} + v_y B \hat{i}) \cdot (l_2 \hat{j}) = -v_x B l_2$.
તેથી,$V_B - V_C = -B v_x l_2$.
બંને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોનો સરવાળો કરતા:
$(V_A - V_B) + (V_B - V_C) = B v_y l_1 - B v_x l_2$.
$V_A - V_C = B(v_y l_1 - v_x l_2)$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનું મૂલ્ય $|V_A - V_C| = B |v_x l_2 - v_y l_1|$.
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $v_x l_2 - v_y l_1$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) સળિયાનો લંબાઈ સદિશ $\vec{l} = 5 \cos 53^{\circ} \hat{i} + 5 \sin 53^{\circ} \hat{j} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ છે.
ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત $Emf$ $(e)$ નું સૂત્ર $e = |(\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{l}|$ છે.
અહીં $\vec{v} = 2\hat{i}$,$\vec{B} = 3\hat{j} + 4\hat{k}$,અને $\vec{l} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B} = (2\hat{i}) \times (3\hat{j} + 4\hat{k}) = 6(\hat{i} \times \hat{j}) + 8(\hat{i} \times \hat{k}) = 6\hat{k} - 8\hat{j}$ શોધો.
હવે,$\vec{l}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર કરતા:
$e = |(6\hat{k} - 8\hat{j}) \cdot (3\hat{i} + 4\hat{j})| = |(6\hat{k} \cdot 3\hat{i}) + (6\hat{k} \cdot 4\hat{j}) + (-8\hat{j} \cdot 3\hat{i}) + (-8\hat{j} \cdot 4\hat{j})|$.
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,$\hat{j} \cdot \hat{k} = 0$,$\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$,અને $\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$:
$e = |0 + 0 + 0 - 32(1)| = |-32| = 32\,V$.

(B) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $L$ છે. જેમ લૂપ $v$ વેગ સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે, તેમ ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર રહેલા લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઘટે છે.
સમય $t$ પર, ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર રહેલી ત્રિકોણની ઊંચાઈ $(h - vt)$ છે, જ્યાં $h = \frac{\sqrt{3}}{2}L$ એ ત્રિકોણની કુલ ઊંચાઈ છે.
શિરોબિંદુથી $x$ અંતરે ત્રિકોણની પહોળાઈ $w = 2x \tan(30^{\circ}) = \frac{2x}{\sqrt{3}}$ છે.
સમય $t$ પર ક્ષેત્રની અંદરનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ અંદર રહેલા નાના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે: $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{2(h-vt)}{\sqrt{3}}\right) \times (h-vt) = \frac{(h-vt)^2}{\sqrt{3}}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \frac{B}{\sqrt{3}}(h-vt)^2$ છે.
પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $e = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{B}{\sqrt{3}} \cdot 2(h-vt) \cdot (-v) = \frac{2Bv}{\sqrt{3}}(h-vt)$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R} = \frac{2Bv}{\sqrt{3}R}(h-vt)$ છે.
જેમ કે $i$ એ સમય $t$ નું ઋણ ઢાળ ધરાવતું રેખીય વિધેય છે, તેથી પ્રેરિત પ્રવાહ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા હશે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B = B_0(1 + \frac{x}{a})\hat k$ છે. લૂપ $xy$-સમતલમાં $\vec V = V_0\hat i$ વેગથી ગતિ કરે છે.
બાજુ $(1)$ માટે $x = 0$ આગળ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = B_0(1 + 0) = B_0$ છે. પ્રેરિત $emf$ $e_1 = B_1 V_0 d = B_0 V_0 d$ થાય.
બાજુ $(2)$ માટે $x = d$ આગળ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = B_0(1 + \frac{d}{a})$ છે. પ્રેરિત $emf$ $e_2 = B_2 V_0 d = B_0(1 + \frac{d}{a}) V_0 d = B_0 V_0 d + \frac{B_0 V_0 d^2}{a}$ થાય.
બાજુ $(3)$ અને $(4)$ વેગ સદિશને સમાંતર હોવાથી,તેમાં પ્રેરિત $emf$ શૂન્ય થશે.
લૂપમાં કુલ પ્રેરિત $emf$ $e = |e_2 - e_1| = |(B_0 V_0 d + \frac{B_0 V_0 d^2}{a}) - B_0 V_0 d| = \frac{B_0 V_0 d^2}{a}$ મળે.

(B) જ્યારે ધાતુની તકતી તેના સમતલને લંબ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરે છે,ત્યારે તકતીના કેન્દ્ર અને કિનારી વચ્ચે ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(emf)$ પ્રેરિત થાય છે.
લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ મુજબ,ફરતી તકતીમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તકતી કોણીય વેગ $\omega$ સાથે પાનાની અંદરની તરફના ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં ફરે છે,ત્યારે કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા વિદ્યુતભાર વાહકનો વેગ $\vec{v}$ સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે. પરિણામી બળ ઇલેક્ટ્રોનને કેન્દ્ર $(P)$ તરફ અને ધન વિદ્યુતભારોને કિનારી $(Q)$ તરફ ધકેલે છે.
આ કેન્દ્ર અને કિનારી વચ્ચે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પેદા કરે છે,જે બેટરીની જેમ કાર્ય કરે છે. પરિણામે,બાહ્ય અવરોધ $R$ માંથી કિનારી $(Q)$ થી કેન્દ્ર $(P)$ તરફ પ્રવાહ વહે છે.

(D) કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = BA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર છે. આમ,$\theta = 0^{\circ}$ અને $\phi_i = BA \cos 0^{\circ} = BA$.
$90^{\circ}$ જેટલું ફર્યા પછી,કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ છે. આમ,$\theta = 90^{\circ}$ અને $\phi_f = BA \cos 90^{\circ} = 0$.
ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = |\phi_f - \phi_i| = BA$ છે.
$90^{\circ}$ જેટલું ફરવા માટે લાગતો સમય $\Delta t = \frac{\pi/2}{\omega} = \frac{\pi}{2\omega}$ છે.
સરેરાશ પ્રેરિત $e.m.f.$ $\varepsilon_{avg} = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{BA}{\pi / (2\omega)} = \frac{2BA\omega}{\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) ધરી $A$ થી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ ધ્યાનમાં લો.
આ નાના ખંડ પર પ્રેરિત ગતિકીય e.m.f. $de = Bv dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = \omega x$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $de = B(\omega x) dx$ મળે છે.
મધ્યબિંદુ $C$ ($A$ થી $L/2$ અંતરે) અને છેડા $B$ ($A$ થી $L$ અંતરે) વચ્ચેનું કુલ e.m.f. $e$ શોધવા માટે,આપણે પદનું સંકલન કરીએ:
$e = \int_{L/2}^{L} B\omega x dx = B\omega \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{L/2}^{L}$
$e = \frac{B\omega}{2} \left( L^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2 \right) = \frac{B\omega}{2} \left( L^2 - \frac{L^2}{4} \right)$
$e = \frac{B\omega}{2} \left( \frac{3L^2}{4} \right) = \frac{3B\omega L^2}{8}$

(A) સળિયામાં પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = BvL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon = 4.0 \times 20 \times 1.0 = 80\, V$.
ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,કાગળની અંદરની તરફના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં જમણી તરફ ગતિ કરતા સળિયા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહ સળિયાની અંદર $Q$ થી $P$ તરફ વહે છે.
આમ,બિંદુ $P$ ધન ટર્મિનલ તરીકે અને બિંદુ $Q$ ઋણ ટર્મિનલ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્લેટ $A$ એ $P$ સાથે અને પ્લેટ $B$ એ $Q$ સાથે જોડાયેલ હોવાથી,પ્લેટ $A$ ધન વીજભારિત અને પ્લેટ $B$ ઋણ વીજભારિત બને છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = C\varepsilon$ છે.
$q = 10 \times 10^{-6} \times 80 = 800 \times 10^{-6}\, C = 800\, \mu C$.
તેથી,$q_A = + 800\, \mu C$ અને $q_B = - 800\, \mu C$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ફરતા $l$ લંબાઈના સળિયામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગ પરના કોઈપણ બિંદુ $X$ માટે,પીવટ બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં પોટેન્શિયલ તફાવત $V_X - V_O = \frac{1}{2} B \omega r_{OX}^2$ છે,જ્યાં $r_{OX}$ એ $O$ થી $X$ સુધીનું સીધું અંતર છે.
બિંદુઓ $P$ અને $R$ માટે,$O$ થી અંતર $r_{OP} = r_{OR} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$ છે.
તેથી,$V_P - V_O = V_R - V_O = \frac{1}{2} B \omega (\sqrt{2}a)^2 = B \omega a^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B, \omega, a^2 > 0$ હોવાથી,$V_P = V_R > V_O$ મળે છે.
બિંદુ $Q$ માટે,$O$ થી અંતર $r_{OQ} = 2a$ છે.
તેથી,$V_Q - V_O = \frac{1}{2} B \omega (2a)^2 = 2 B \omega a^2$.
હવે,$V_Q - V_P = (V_Q - V_O) - (V_P - V_O) = 2 B \omega a^2 - B \omega a^2 = B \omega a^2$.
$V_P - V_O = B \omega a^2$ હોવાથી,$V_Q - V_P = V_P - V_O$ સાબિત થાય છે.
તેથી,વિધાન $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(C) એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં કોણીય વેગ $\omega$ સાથે એક છેડાની આસપાસ ફરતા $l$ લંબાઈના સળિયામાં પ્રેરિત ગતિકીય ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,રીંગ બિંદુ $O$ ની આસપાસ ફરે છે. $O$ માંથી પસાર થતી $l$ લંબાઈની કોઈપણ જીવા ફરતા સળિયા તરીકે કાર્ય કરે છે.
અંતર $OP = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$. તેથી,$V_P - V_O = \frac{1}{2} B \omega (\sqrt{2}a)^2 = B \omega a^2$.
અંતર $OQ = 2a$. તેથી,$V_Q - V_O = \frac{1}{2} B \omega (2a)^2 = 2 B \omega a^2$.
આ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) ગતિશીલ સળિયો $PQ$ એ $\varepsilon = Blv$ જેટલા પ્રેરિત $emf$ ના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે,જેનો આંતરિક અવરોધ $R$ છે.
પરિપથમાં આ $emf$ સ્ત્રોત શ્રેણીમાં એક અવરોધ $R$ સાથે જોડાયેલ છે,જે પછી સમાંતરમાં અન્ય બે શાખાઓ સાથે જોડાયેલ છે,જેમાં દરેકનો અવરોધ $R$ છે.
ધારો કે $Q$ પાસેનું પોટેન્શિયલ $V_Q$ અને $P$ પાસેનું પોટેન્શિયલ $V_P$ છે. પરિપથનો કુલ અવરોધ એ આંતરિક અવરોધ $R$ અને બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $R/2$ નો સરવાળો છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + \frac{R \times R}{R + R} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$.
સળિયામાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{Blv}{3R/2} = \frac{2Blv}{3R}$.
બે સમાંતર શાખાઓ સમાન અવરોધ $R$ ધરાવતી હોવાથી,પ્રવાહ $I$ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે: $I_1 = I_2 = \frac{I}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{2Blv}{3R} = \frac{Blv}{3R}$.
આમ,$I_1 = I_2 = \frac{Blv}{3R}$ અને $I = \frac{2Blv}{3R}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $emf$ $(e)$ નું સૂત્ર $e = Bvl \sin(\theta)$ છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$v$ એ વેગ,$l$ એ વાહકની લંબાઈ અને $\theta$ એ વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં,વેગ પૂર્વ દિશામાં છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્તર દિશામાં છે,તેથી તેઓ પરસ્પર લંબ છે $(\theta = 90^\circ)$.
આપેલ છે: $B = 5.0 \times 10^{-5} \text{ T}$,$v = 1.5 \text{ m/s}$,$l = 2 \text{ m}$.
$e = (5.0 \times 10^{-5}) \times 1.5 \times 2 = 15 \times 10^{-5} \text{ V}$.
$mV$ માં રૂપાંતર કરવા માટે,$10^3$ વડે ગુણો: $e = 15 \times 10^{-5} \times 10^3 \text{ mV} = 15 \times 10^{-2} \text{ mV} = 0.15 \text{ mV}$.

(D) સ્થિર છેડાથી $x$ અંતરે આવેલા સળિયાના નાના ખંડ $dx$ માં ઉદ્ભવતું $e.m.f.$ $de = Bv dx = B(\omega x) dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયાના બે છેડાઓ વચ્ચે કુલ ઉદ્ભવતું $e.m.f.$ શોધવા માટે,આપણે આ પદનું સંકલન કેન્દ્રથી સળિયાના અંદરના છેડા (અંતર $2l$) થી બહારના છેડા (અંતર $2l + l = 3l$) સુધી કરીએ છીએ.
$e = \int_{2l}^{3l} B\omega x dx$
$e = B\omega \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2l}^{3l}$
$e = \frac{B\omega}{2} [(3l)^2 - (2l)^2]$
$e = \frac{B\omega}{2} [9l^2 - 4l^2]$
$e = \frac{5B\omega l^2}{2}$

(A) તાર ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે તે માટે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ટર્મિનલ વેગ પર,ઉપરની તરફ લાગતું ચુંબકીય બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_m = mg$
$I l B = mg$
પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = B l v_0$ હોવાથી,જ્યાં $v_0$ એ ટર્મિનલ વેગ છે,પ્રેરિત પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B l v_0}{R}$
આ કિંમતને બળ સંતુલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left( \frac{B l v_0}{R} \right) l B = mg$
$\frac{B^2 l^2 v_0}{R} = mg$
$v_0$ માટે ઉકેલતા:
$v_0 = \frac{mgR}{B^2 l^2}$

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા સળિયામાં પ્રેરિત $e.m.f.$ નું સૂત્ર $\varepsilon = B_{\perp} \ell v$ છે,જ્યાં $B_{\perp}$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક $(B_v)$ છે.
ઉર્ધ્વ ઘટક અને સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ તથા ડીપ એંગલ $(\delta)$ વચ્ચેનો સંબંધ $B_v = B_H \tan \delta$ છે.
આપેલ છે: $B_H = 3 \times 10^{-4} \ T$,$\delta = \tan^{-1}(4/3)$,$\ell = 0.25 \ m$,અને $v = 10 \ cm/s = 0.1 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$B_v = (3 \times 10^{-4}) \times (4/3) = 4 \times 10^{-4} \ T$.
હવે,$e.m.f.$ ની ગણતરી કરતા:
$\varepsilon = B_v \ell v = (4 \times 10^{-4}) \times 0.25 \times 0.1$.
$\varepsilon = 1 \times 10^{-4} \times 0.1 = 10^{-5} \ V$.
$\mu V$ માં રૂપાંતર કરતા:
$\varepsilon = 10 \times 10^{-6} \ V = 10 \ \mu V$.

(C) પાટાઓના સંપર્કમાં રહેલા સળિયાની લંબાઈ $\ell = \frac{d}{\sin \theta}$ છે.
સળિયામાં પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = B \ell v = B \left( \frac{d}{\sin \theta} \right) v$ છે.
સળિયાનો અવરોધ $R_{rod} = r \ell = r \left( \frac{d}{\sin \theta} \right)$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + R_{rod} = R + \frac{rd}{\sin \theta}$ છે.
પરિપથમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R_{total}} = \frac{Bdv}{\sin \theta (R + \frac{rd}{\sin \theta})}$ છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = I \ell B = I \left( \frac{d}{\sin \theta} \right) B$ છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $F_m = \left( \frac{Bdv}{\sin \theta (R + \frac{rd}{\sin \theta})} \right) \left( \frac{d}{\sin \theta} \right) B = \frac{B^2 d^2 v}{\sin^2 \theta (R + \frac{rd}{\sin \theta})}$ મળે છે.
સળિયાને અચળ ઝડપે ગતિશીલ રાખવા માટે,બાહ્ય બળ $F$ એ ચુંબકીય બળ $F_m$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ,તેથી $F = F_m = \frac{B^2 d^2 v / \sin^2 \theta}{R + rd / \sin \theta}$.

(A) ગબડતી રીંગને જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુની આસપાસ $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ફરતા $2R$ લંબાઈના સળિયા તરીકે ગણી શકાય. રીંગના વ્યાસ પર પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega (2R)^2 = 2B \omega R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને રીંગ સમાન છે અને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં સમાન કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ગબડી રહી હોવાથી,દરેક રીંગ $\varepsilon = 2B \omega R^2$ ના $EMF$ ધરાવતી બેટરી તરીકે કાર્ય કરે છે.
પરિપથની ગોઠવણી જોતા,બંને $EMF$ સ્ત્રોતો વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલા છે. તેથી,બિંદુ $A$ અને બિંદુ $C$ વચ્ચેનો કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\varepsilon - \varepsilon = 0$ થશે.

(D) જ્યારે વાહક $v$ વેગ સાથે નીચે પડે છે,ત્યારે તેના છેડાઓ પર પ્રેરિત $emf$ $E = Blv$ ઉત્પન્ન થાય છે.
વાહક $R$ અવરોધ સાથે જોડાયેલ હોવાથી,સર્કિટમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I = E/R = Blv/R$ વહે છે.
આ પ્રવાહને કારણે,વાહક પર ઉપરની દિશામાં ચુંબકીય બળ $F_m = IlB$ લાગે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $F_m = (Blv/R) \cdot lB = \frac{B^2l^2v}{R}$ મળે છે.
વાહક પર બે બળો લાગે છે: નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને ઉપરની તરફ ચુંબકીય બળ $F_m$.
જ્યારે વાહક પરનું કુલ બળ શૂન્ય થાય ત્યારે ટર્મિનલ ઝડપ પ્રાપ્ત થાય છે,એટલે કે જ્યારે ઉપરનું ચુંબકીય બળ નીચેના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું થાય:
$mg = F_m$
$mg = \frac{B^2l^2v}{R}$
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને ટર્મિનલ ઝડપ મળે છે:
$v = \frac{mgR}{B^2l^2}$

(A) ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ (ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = (\overrightarrow v \times \overrightarrow B) \cdot \overrightarrow \ell$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $(\overrightarrow v \times \overrightarrow B)$ ની ગણતરી કરો:
$(\overrightarrow v \times \overrightarrow B) = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat i(0 - 2) - \hat j(0 - 1) + \hat k(4 - 3) = -2\hat i + \hat j + \hat k$.
તાર $x-y$ સમતલને લંબ હોવાથી,તેનો લંબાઈ સદિશ $z$-અક્ષની દિશામાં છે: $\overrightarrow \ell = 2\hat k\,m$.
હવે,$\overrightarrow \ell$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરો:
$e = (-2\hat i + \hat j + \hat k) \cdot (2\hat k) = 0 + 0 + (1 \times 2) = 2\,V$.

(A) વાહક સળિયા $PQ$ માં પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $e = BvL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $e = 4.0\, T \times 20\, m/s \times 1.0\, m = 80\, V$.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$P$ પરનું સ્થિતિમાન $Q$ કરતા વધારે હશે કારણ કે સળિયામાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $Q$ તરફ હોય છે (કારણ કે $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$).
આમ,કેપેસિટરની પ્લેટ $A$ એ ઉચ્ચ સ્થિતિમાન $P$ સાથે જોડાયેલ છે,અને પ્લેટ $B$ એ નીચા સ્થિતિમાન $Q$ સાથે જોડાયેલ છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = CV$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $q = 10\, \mu F \times 80\, V = 800\, \mu C$.
પ્લેટ $A$ ઉચ્ચ સ્થિતિમાન પર હોવાથી,$q_A = +800\, \mu C$ અને $q_B = -800\, \mu C$ થશે.

(B) સળિયો ભૌતિક લોલક તરીકે દોલન કરે છે. મહત્તમ કોણીય વેગ $\omega$ મધ્યમાન સ્થાને મળે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mgh = \frac{1}{2} I \omega^2$,જ્યાં નાના $\alpha$ માટે $h = \frac{l}{2}(1 - \cos \alpha) \approx \frac{l \alpha^2}{4}$ થાય.
છેડાને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{3}$ છે.
તેથી,$mg \frac{l \alpha^2}{4} = \frac{1}{2} (\frac{ml^2}{3}) \omega^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{g \alpha^2}{4} = \frac{l}{6} \omega^2$,જેમાંથી $\omega^2 = \frac{6g \alpha^2}{4l} = \frac{3g \alpha^2}{2l}$,એટલે કે $\omega = \alpha \sqrt{\frac{3g}{2l}}$.
ભ્રમણ કરતા સળિયામાં પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $\varepsilon = \frac{1}{2} B l^2 (\alpha \sqrt{\frac{3g}{2l}}) = \frac{1}{2} B \alpha \sqrt{\frac{3g l^4}{2l}} = B \alpha \sqrt{\frac{3}{8} g l^3}$.

(C) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = NBA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર કોઈલના સમતલને લંબ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1 = 0^o$ છે. આમ,$\phi_1 = NBA \cos 0^o = NBA$.
તેના વ્યાસની આસપાસ $90^o$ ફેરવ્યા પછી,કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર બને છે,તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^o$ છે. આમ,$\phi_2 = NBA \cos 90^o = 0$.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = NBA$ છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $q = \frac{\Delta \phi}{R} = \frac{NBA}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $N = 500$,$B = 0.25 \,Wb/m^2$,$A = 0.04 \,m^2$,અને $R = 25 \,\Omega$.
$q = \frac{500 \times 0.25 \times 0.04}{25} = \frac{5}{25} = 0.2 \,C$.