Motional EMI (Induced Parameter) Questions in Gujarati

(B) વેગ $u$ થી વહેતા નદીના પાણીમાં શિરોલંબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_v$ ને કારણે $d$ અંતર પર પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = B_v ud$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે પ્લેટો વચ્ચેના નદીના પાણીનો અવરોધ $R_w = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય,જ્યાં $L = d$ (પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર) અને $A = a \times b$ (પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ) છે. તેથી,$R_w = \frac{\rho d}{ab}$.
પરિપથમાં કુલ અવરોધ એ લોડ અવરોધ $R$ અને પાણીનો આંતરિક અવરોધ $R_w$ નો સરવાળો છે,તેથી $R_{eq} = R + \frac{\rho d}{ab}$.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,લોડ અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{B_v ud}{R + \frac{\rho d}{ab}}$ થાય છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગ સાથે ગતિ કરતા $l$ લંબાઈના વાહકમાં પ્રેરિત emf $\varepsilon = Bvl \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $l$ એ વેગ સદિશને લંબ વાહકની લંબાઈ છે.
$PQ$ વિભાગ માટે, ઊભી લંબાઈ $L/3$ છે। તેથી, પ્રેરિત emf $\varepsilon_{PQ} = Bv(L/3)$ છે। તેથી, વિકલ્પ $B$ સાચો છે અને વિકલ્પ $A$ ખોટો છે।
ગતિશીલ વાહકમાં, ગતિશીલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = v \times B$ છે। ઊભી વિભાગ $RS$ માટે, લંબાઈ $L$ છે, તેથી તેની આરપાર સ્થિતિમાનનો તફાવત છે, જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય નથી। તેથી, વિકલ્પ $C$ સાચો છે।
$QP$ વિભાગ માટે, જોકે તે આડો વાયર છે, તે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરી રહ્યો છે। મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પર લોરેન્ટ્ઝ બળને કારણે વાયરના દ્રવ્યમાં ગતિશીલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = v \times B$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે। તેથી, $QP$ ભાગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર પણ શૂન્ય નથી। તેથી, વિકલ્પ $D$ સાચો છે।
પ્રશ્નમાં $\text{ખોટું}$ વિધાન પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી, જવાબ $A$ છે।

(B) તારથી $r = a + x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (a + x)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયાના પીવટ પોઈન્ટથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈના નાના ઘટકનો વિચાર કરો.
આ ઘટકનો વેગ $v = x\omega$ છે.
આ નાના ઘટક પર પ્રેરિત $emf$ $d\varepsilon = B v dx = \left( \frac{\mu_0 i}{2 \pi (a + x)} \right) (x\omega) dx$ છે.
$x = 0$ થી $x = l$ સુધી સંકલન કરતા:
$\varepsilon = \int_0^l \frac{\mu_0 i \omega}{2 \pi} \frac{x}{a + x} dx = \frac{\mu_0 i \omega}{2 \pi} \int_0^l \left( 1 - \frac{a}{a + x} \right) dx$.
$\varepsilon = \frac{\mu_0 i \omega}{2 \pi} \left[ x - a \ln(a + x) \right]_0^l$.
$\varepsilon = \frac{\mu_0 i \omega}{2 \pi} \left[ (l - a \ln(a + l)) - (0 - a \ln(a)) \right]$.
$\varepsilon = \frac{\mu_0 i \omega}{2 \pi} \left[ l - a \ln \left( \frac{a + l}{a} \right) \right]$.

(B) જેટલા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $V$ વેગથી ગતિ કરતા $l$ લંબાઈના વાહકમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય $EMF$ $e = B l V \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે. અહીં,$PQ$ ગેપ ધરાવતા લૂપના ઊભી બાજુના ભાગની અસરકારક લંબાઈ $l = \frac{L}{4}$ છે.
જ્યારે લૂપ $V$ વેગથી જમણી તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે $\frac{L}{4}$ લંબાઈના ભાગમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય $EMF$ $e = B \left( \frac{L}{4} \right) V = \frac{1}{4}BLV$ થાય છે.
ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમ અથવા લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ $(F = q(v \times B))$ મુજબ,ગતિ કરતા વાહકમાં ધન વિદ્યુતભારો ઉપરના છેડા $P$ તરફ ધકેલાય છે. તેથી,$P$ એ $Q$ ની સાપેક્ષે ઉચ્ચ વિદ્યુતસ્થિતિમાન પર છે.

(C) ગતિ કરતા સળિયામાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય emf $\varepsilon_{\text{ind}} = Bvd$ છે.
પરિપથમાં કુલ emf $\varepsilon_{\text{net}} = \varepsilon - Bvd$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon - Bvd}{R}$ છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = IdB = \left(\frac{\varepsilon - Bvd}{R}\right)Bd$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$m \frac{dv}{dt} = \frac{(\varepsilon - Bvd)Bd}{R}$.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dv}{\varepsilon - Bvd} = \frac{B^2d^2}{mR} dt$.
બંને બાજુ $0$ થી $v$ અને $0$ થી $t$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^v \frac{dv}{\varepsilon - Bvd} = \int_0^t \frac{B^2d^2}{mR} dt$.
$-\frac{1}{Bd} \ln\left(\frac{\varepsilon - Bvd}{\varepsilon}\right) = \frac{B^2d^2t}{mR}$.
$\ln\left(1 - \frac{Bvd}{\varepsilon}\right) = -\frac{B^2d^2t}{mR}$.
$1 - \frac{Bvd}{\varepsilon} = e^{-\frac{B^2d^2t}{mR}}$.
$v = \frac{\varepsilon}{Bd}\left(1 - e^{-\frac{B^2d^2t}{mR}}\right)$.

(B) ગતિ કરતા તારમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઈ.એમ.એફ. $(e.m.f.)$ $\varepsilon = B \ell v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B = 0.5 \ T$,$\ell = 0.25 \ m$,અને $v$ એ ઝડપ છે.
તેથી,$\varepsilon = 0.5 \times 0.25 \times v = 0.125v \ V$.
પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I = \frac{E - \varepsilon}{R} = \frac{10 - 0.125v}{2} \ A$ છે.
તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = B I \ell = 0.5 \times I \times 0.25 = 0.125I \ N$ છે.
તાર અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોવાથી,બાહ્ય બળ ચુંબકીય બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $F_{ext} = F_m = 0.5 \ N$.
બળના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $0.5 = 0.125 \times \left( \frac{10 - 0.125v}{2} \right)$.
$0.5 \times 2 = 0.125 \times (10 - 0.125v) \implies 1 = 1.25 - 0.015625v$.
$0.015625v = 0.25 \implies v = \frac{0.25}{0.015625} = 16 \ m/s$.

(A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ તાર માટે ગતિનું સમીકરણ:
$mg - iBl = ma$ .........$(i)$
$v$ વેગથી ગતિ કરતા તારમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય $EMF$ $\varepsilon = Blv$ છે. આ $EMF$ કેપેસિટર $C$ ને ચાર્જ કરે છે,તેથી કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \varepsilon = Blv$ થાય.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = CV = CBlv$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i$ એ વિદ્યુતભારના ફેરફારનો દર છે:
$i = \frac{dq}{dt} = CBl \frac{dv}{dt} = CBl a$ .........$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$mg - (CBla)Bl = ma$
$mg - CB^2l^2a = ma$
$mg = a(m + CB^2l^2)$
$a = \frac{mg}{m + CB^2l^2}$

(C) સરકતા સળિયા $PQ$ માં પ્રેરિત ગતિકીય ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon = Bv\ell$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon = 3\ T \times 5\ m/s \times 2\ m = 30\ V$.
સળિયો $PQ$ એ $10\Omega$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતી $30\ V$ ની બેટરી તરીકે કાર્ય કરે છે. આ બેટરી બે સમાંતર શાખાઓ સાથે જોડાયેલ છે,જેમાં દરેક શાખામાં $10\Omega$ નો અવરોધ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 10\Omega + (10\Omega \parallel 10\Omega) = 10\Omega + 5\Omega = 15\Omega$ છે.
સળિયા $PQ$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{30\ V}{15\Omega} = 2\ A$ છે.
બે સમાંતર શાખાઓ સમાન અવરોધ ($10\Omega$ દરેક) ધરાવતી હોવાથી,પ્રવાહ $I$ એ $I_1$ અને $I_2$ માં સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,$I_1 = I_2 = \frac{I}{2} = \frac{2\ A}{2} = 1\ A$.
આમ,$I_1 = 1\ A, I_2 = 1\ A, I = 2\ A$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા કોઈપણ વાહક પર પ્રેરિત $emf$ એ $\varepsilon = BvL_{eff}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L_{eff}$ એ વેગ સદિશ $\vec v$ ને લંબ વાહકની અસરકારક લંબાઈ છે.
ચાપ $PQ$ માટે,અસરકારક લંબાઈ એ વેગ $\vec v$ ને લંબ જીવા $PQ$ નો પ્રક્ષેપ છે.
$P$ ના યામ $(0, R)$ છે અને $Q$ ના યામ $(R \sin 45^\circ, R \cos 45^\circ) = (R/\sqrt{2}, R/\sqrt{2})$ છે.
વેગ (જે $x$-અક્ષની દિશામાં છે) ને લંબ જીવા $PQ$ નો પ્રક્ષેપ એ $P$ અને $Q$ ના $y$-યામોનો તફાવત છે.
$L_{eff} = y_P - y_Q = R - \frac{R}{\sqrt{2}} = R\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
તેથી,ચાપ $PQ$ પર પ્રેરિત $emf$ એ $\varepsilon = BvR\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{BvR}{\sqrt{2}}(\sqrt{2} - 1)$ થશે.

(A) ભ્રમણની ધરીથી $x_1$ અને $x_2$ અંતરે આવેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{1}{2} B \omega (x_2^2 - x_1^2)$
ધારો કે ક્રમિક બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. તો બિંદુઓ ઉગમબિંદુથી $0, d, 2d, 3d, \dots, 8d$ અંતરે છે.
ક્રમિક બિંદુઓ $n$ અને $(n-1)$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_n = \frac{1}{2} B \omega [ (nd)^2 - ((n-1)d)^2 ]$
$V_n = \frac{1}{2} B \omega d^2 [ n^2 - (n^2 - 2n + 1) ]$
$V_n = \frac{1}{2} B \omega d^2 (2n - 1)$
$n = 1, 2, 3, \dots, 8$ માટે,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(2(1)-1), (2(2)-1), (2(3)-1), \dots$ ના પ્રમાણમાં છે,જે $1, 3, 5, 7, \dots$ છે.
આ શ્રેણી $1, 3, 5, 7, \dots$ એ $2$ ના સામાન્ય તફાવત સાથેની સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) છે.

(A) ગતિ કરતા વાહક સળિયામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $Emf$ $(\varepsilon)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\varepsilon = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{l}_{eff}$.
આપેલ છે:
વેગ $\vec{v} = 2 \hat{i} \ m/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = (3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \ T$
લંબાઈ $l = 5 \ m$,જે $x$-અક્ષ સાથે $53^\circ$ ના ખૂણે છે.
અસરકારક લંબાઈ સદિશ $\vec{l}_{eff}$ એ સળિયાના એક છેડાથી બીજા છેડા સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે:
$\vec{l}_{eff} = l \cos(53^\circ) \hat{i} + l \sin(53^\circ) \hat{j}$
$\vec{l}_{eff} = 5 \times (3/5) \hat{i} + 5 \times (4/5) \hat{j} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \ m$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $(\vec{v} \times \vec{B})$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{v} \times \vec{B} = (2 \hat{i}) \times (3 \hat{j} + 4 \hat{k})$
$= 6 (\hat{i} \times \hat{j}) + 8 (\hat{i} \times \hat{k})$
$= 6 \hat{k} - 8 \hat{j} \ V/m$.
છેલ્લે,$\vec{l}_{eff}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરો:
$\varepsilon = (6 \hat{k} - 8 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j})$
$= (6 \times 0) + (-8 \times 4) + (0 \times 3)$
$= -32 \ V$.
તેથી,પ્રેરિત $Emf$ નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = 32 \ V$ છે.

(A) સળિયામાં પ્રેરિત ગતિકીય $EMF$ $\varepsilon = B l v$ છે.
$x$ અંતરે પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + 2 \lambda x$ છે.
પ્રવાહ $i$ અચળ હોવાથી,$i = \frac{B l v}{R + 2 \lambda x}$,જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{i(R + 2 \lambda x)}{B l}$.
$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dv}{dx} = \frac{i}{B l} \cdot \frac{d}{dx}(R + 2 \lambda x) = \frac{2 \lambda i}{B l}$.
સળિયાનો પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx} = \left[ \frac{i(R + 2 \lambda x)}{B l} \right] \left( \frac{2 \lambda i}{B l} \right) = \frac{2 \lambda i^2 (R + 2 \lambda x)}{B^2 l^2}$.
સળિયા માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા,ચોખ્ખું બળ $F - F_{mag} = ma$ છે,જ્યાં $F_{mag} = i l B$.
તેથી,$F = i l B + ma = i l B + \frac{2m \lambda i^2}{B^2 l^2}(R + 2 \lambda x)$.

(D) લાંબા તારથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i_0}{2 \pi x}$ છે.
લૂપ નાનું હોવાથી $(x >> a)$,લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \frac{\mu_0 i_0}{2 \pi x} (\pi a^2) = \frac{\mu_0 i_0 a^2}{2x}$ થાય.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt} \left( \frac{\mu_0 i_0 a^2}{2x} \right) = \frac{\mu_0 i_0 a^2}{2x^2} \frac{dx}{dt} = \frac{\mu_0 i_0 a^2 v}{2x^2}$ મળે.
લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{r} = \frac{\mu_0 i_0 a^2 v}{2r x^2}$ છે.
લૂપમાં વ્યય થતો પાવર $P = i^2 r = \left( \frac{\mu_0 i_0 a^2 v}{2r x^2} \right)^2 r = \frac{(\mu_0 i_0 a^2 v)^2}{4r x^4}$ થાય.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{4 P r x^4}{(\mu_0 i_0 a^2)^2} \implies v = \frac{2 x^2}{\mu_0 i_0 a^2} \sqrt{Pr}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ સાચો નથી,તેથી જવાબ $(D)$ આવશે.

(D) જ્યારે $l$ લંબાઈનો એક વાહક સળિયો સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં કોણીય વેગ $\omega$ સાથે તેના એક છેડાની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે,ત્યારે તેના છેડાઓ વચ્ચે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\epsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$
આપેલ વાહક પૈડામાં,દરેક સળિયો કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણ કરતા વ્યક્તિગત વાહક તરીકે કાર્ય કરે છે. કારણ કે બધા સળિયા કેન્દ્ર અને પરિઘ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા છે,તેથી દરેક સળિયા પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે.
તેથી,કેન્દ્ર અને પરિઘ વચ્ચે ઉદ્ભવતો પ્રેરિત વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ એક સળિયામાં ઉદ્ભવતા emf જેટલો જ હોય છે:
$\epsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$

$(C)$ ગતિશીલ સળિયો $PQ$ એ $\varepsilon = Blv$ જેટલા મોશનલ $EMF$ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે। સળિયાનો અવરોધ $R$ છે।
પરિપથમાં સળિયો $PQ$ અને બે સમાંતર શાખાઓ છે, જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $R$ છે।
બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ છે।
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + R_p = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ છે।
સળિયા $PQ$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{Blv}{3R/2} = \frac{2Blv}{3R}$ છે।
બે સમાંતર શાખાઓનો અવરોધ સમાન $R$ હોવાથી, પ્રવાહ $I$ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે।
તેથી, $I_1 = I_2 = \frac{I}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{2Blv}{3R} = \frac{Blv}{3R}$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય $e.m.f.$ નું સૂત્ર $e = B l v$ છે.
અહીં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 8 \times 10^{-5} \, T$ (ઉર્ધ્વ ઘટક),
વાહકની લંબાઈ (પાટા વચ્ચેનું અંતર) $l = 2 \, m$,
અને ટ્રેનનો વેગ $v = 30 \, m \, s^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = (8 \times 10^{-5} \, T) \times (2 \, m) \times (30 \, m \, s^{-1})$
$e = 480 \times 10^{-5} \, V$
$e = 0.0048 \, V$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $e = Bv\ell_{eff}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell_{eff}$ એ વેગ સદિશને લંબ વાહકની અસરકારક લંબાઈ છે.
આ કિસ્સામાં,$L$ થી $N$ સુધીની સંપૂર્ણ લંબાઈ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં વેગ $v$ સાથે ગતિ કરી રહી છે.
વાહક $LN$ ની કુલ લંબાઈ એ $LP$ વિભાગ,ચોરસ ફ્રેમની બાજુ અને $QN$ વિભાગનો સરવાળો છે.
આપેલ છે કે લંબાઈ $LP = \ell$,ચોરસની બાજુ $\ell$ છે,અને $QN = \ell$,તેથી કુલ અસરકારક લંબાઈ $\ell_{eff} = \ell + \ell + \ell = 3\ell$ થાય છે.
તેથી,$L$ અને $N$ વચ્ચે પ્રેરિત $EMF$ $e = B \cdot v \cdot (3\ell) = 3\,Bv\ell$ છે.

(B) લોરેન્ઝ બળના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાહક સળિયામાં રહેલા ધન વિદ્યુતભાર માટે,વેગ $v$ જમણી તરફ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે.
સદિશ ગુણાકાર $(v \times B)$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળની દિશા છેડા $P$ તરફ મળે છે.
તેથી,ધન વિદ્યુતભારો છેડા $P$ પર એકઠા થાય છે,જેનાથી તે ઉચ્ચ સ્થિતિમાને બને છે,અને ઋણ વિદ્યુતભારો છેડા $Q$ પર એકઠા થાય છે,જેનાથી તે નીચા સ્થિતિમાને બને છે.
આમ,છેડો $Q$ નીચા સ્થિતિમાને છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $l$ લંબાઈના વાહકમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય $emf$ સૂત્ર $\varepsilon = \vec{v} \cdot (\vec{B} \times \vec{l})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,પ્રેરિત $emf$ નું મૂલ્ય $\varepsilon = B_{\perp} l v$ છે,જ્યાં $B_{\perp}$ એ સળિયાની ગતિના સમતલને લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઘટક છે.
આ કિસ્સામાં,સળિયો સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતા ઢળતા સમતલ પર નીચે ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ઉર્ધ્વ છે.
ઢળતા સમતલને લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઘટક $B \cos \theta$ છે.
સળિયાની લંબાઈ $l$ એ વેગ $v$ ને લંબ છે અને તે $B \cos \theta$ ઘટકને પણ લંબ છે.
તેથી,પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = (B \cos \theta) l v = B l v \cos \theta$ થશે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ફરતા $r$ લંબાઈના સળિયામાં પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $e = \frac{1}{2} B \omega r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l$ લંબાઈના વિભાગ $AO$ માટે:
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_O - V_A = \frac{1}{2} B \omega l^2$ છે.
તેથી,$V_A - V_O = -\frac{1}{2} B \omega l^2$.
$3l$ લંબાઈના વિભાગ $OC$ માટે:
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_O - V_C = \frac{1}{2} B \omega (3l)^2 = \frac{9}{2} B \omega l^2$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે: ${V_O} - {V_C} = \frac{9}{2}B\omega {l^2}$.

(A) જ્યારે $l$ લંબાઈનો વાહક સળિયો $V$ વેગથી તેની લંબાઈને લંબ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરે છે,ત્યારે સળિયામાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = VBl$ ઉત્પન્ન થાય છે.
ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે સળિયાનો ઉપરનો છેડો ઉચ્ચ સ્થિતિમાન પર અને નીચેનો છેડો નિમ્ન સ્થિતિમાન પર આવે છે.
તેથી,પ્રવાહ ઉપરના છેડાથી નીચેના છેડા તરફ $R$ અવરોધ ધરાવતા બાહ્ય પરિપથમાંથી વહે છે. આપેલી આકૃતિમાં,ઉપરનો છેડો $A$ સાથે અને નીચેનો છેડો $B$ સાથે જોડાયેલ છે.
આમ,પ્રવાહ અવરોધ $R$ માંથી $A$ થી $B$ તરફ વહે છે.
અવરોધ $R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પ્રેરિત $EMF$ જેટલો હોય છે,જે $V = IR = VBl$ છે.

(B) વાહક સળિયામાં પ્રેરિત ગતિકીય $emf$ માટેનું સૂત્ર $\varepsilon = \vec{l} \cdot (\vec{v} \times \vec{B})$ છે.
અહીં,સળિયાનો લંબાઈ સદિશ $\vec{l} = 5\hat{j} \, m$ છે.
સળિયાનો વેગ સદિશ $\vec{v} = 1\hat{i} \, m/s$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k} \, T$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $(\vec{v} \times \vec{B})$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{v} \times \vec{B} = \hat{i} \times (3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}) = 3(\hat{i} \times \hat{i}) + 4(\hat{i} \times \hat{j}) + 2(\hat{i} \times \hat{k}) = 0 + 4\hat{k} - 2\hat{j}$.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\vec{l} \cdot (\vec{v} \times \vec{B})$ ની ગણતરી કરો:
$\varepsilon = 5\hat{j} \cdot (4\hat{k} - 2\hat{j}) = 5(4)(\hat{j} \cdot \hat{k}) - 5(2)(\hat{j} \cdot \hat{j}) = 0 - 10 = -10$.
પ્રેરિત $emf$ નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = 10 \, V$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $V = B \ell v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને વેગ $v$ બંનેને લંબ રહેલી વાહકની લંબાઈ છે.
કિસ્સા $(i)$ માં,$\ell = 8\, cm$ લંબાઈની બાજુ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરી રહી છે. તેથી,$ab$ ની વચ્ચે ઉત્પન્ન થતો વોલ્ટેજ $V_1 = B \ell v = B(8\, cm)v$ છે.
કિસ્સા $(ii)$ માં,$b = 2\, cm$ લંબાઈની બાજુ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરી રહી છે. તેથી,$ab$ ની વચ્ચે ઉત્પન્ન થતો વોલ્ટેજ $V_2 = B b v = B(2\, cm)v$ છે.
કિસ્સા $(i)$ અને કિસ્સા $(ii)$ માં વોલ્ટેજનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{B(8\, cm)v}{B(2\, cm)v} = \frac{8}{2} = 4$.

(C) જેટલા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા વાહક સળિયામાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $E = B \ell v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
$R$ અવરોધ ધરાવતા પરિપથમાં ઉષ્મા વ્યયનો દર (પાવર) $P = \frac{E^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે $P = \frac{(B \ell v)^2}{R} = \frac{B^2 \ell^2 v^2}{R}$.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે પાવર $P$ એ ઝડપના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $P \propto v^2$.
જો સળિયાની ઝડપ બમણી કરવામાં આવે $(v' = 2v)$,તો ઉષ્મા વ્યયનો નવો દર $P'$ નીચે મુજબ થશે:
$P' = \frac{B^2 \ell^2 (2v)^2}{R} = 4 \times \frac{B^2 \ell^2 v^2}{R} = 4P$.
તેથી,ઉષ્મા વ્યયનો દર પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા ચાર ગણો થઈ જશે.

(C) લૂપના ક્ષેત્રફળને લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નો ઘટક $B \cos \theta$ છે.
તારમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય $emf$ $\varepsilon = B l v \cos \theta$ છે.
પરિપથમાં ઉદ્ભવતો પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B l v \cos \theta}{R}$ છે.
તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = I l B$ છે. આ બળ સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે.
ઢળતી સપાટીની દિશામાં આ ચુંબકીય બળનો ઘટક $F_{m, \text{parallel}} = F_m \cos \theta = (I l B) \cos \theta = \frac{B^2 l^2 v \cos^2 \theta}{R}$ છે.
તાર અચળ ઝડપે સરકે તે માટે,ઢાળની દિશામાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. ઢાળની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ છે.
બળોને સરખાવતા: $mg \sin \theta = \frac{B^2 l^2 v \cos^2 \theta}{R}$.
$B$ માટે ઉકેલતા: $B^2 = \frac{mgR \sin \theta}{v l^2 \cos^2 \theta} \implies B = \sqrt{\frac{mgR \sin \theta}{v l^2 \cos^2 \theta}}$.

(D) ધારો કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (જે ગૂંચળાના સમતલને લંબ છે) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૂંચળું અચળ કોણીય વેગ $\omega$ થી ફરતું હોવાથી,$\theta = \omega t$ થાય.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $(\varepsilon)$ એ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\varepsilon = -\frac{d}{dt}(BA \cos(\omega t)) = BA\omega \sin(\omega t)$.
જ્યારે $\sin(\omega t) = 1$ હોય ત્યારે પ્રેરિત $emf$ મહત્તમ હોય છે,જે $\omega t = 90^{\circ}$ પર થાય છે.
જ્યારે $\omega t = 90^{\circ}$ હોય,ત્યારે ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ભ્રમણ કરતા સળિયાના નાના ખંડ $dx$ માં પ્રેરિત ગતિકીય $e.m.f.$ $de = Bv\,dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = \omega x$ એ ભ્રમણની અક્ષથી $x$ અંતરે રહેલા ખંડનો રેખીય વેગ છે.
આમ,$de = B(\omega x)dx$.
સળિયાના એક અડધા ભાગમાં ( $x = 0$ થી $x = l$ સુધી) પ્રેરિત $e.m.f.$ $e = \int_{0}^{l} B\omega x\,dx = B\omega \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{l} = \frac{1}{2}B\omega l^2$ છે.
સળિયો તેના લંબ દ્વિભાજકને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરતો હોવાથી,તે વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે સળિયા જેવું વર્તે છે.
બંને છેડાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = e - e = 0$ છે.
તેથી,સળિયાના બે છેડાઓ વચ્ચે પ્રેરિત $e.m.f.$ શૂન્ય છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ફરતા $r$ લંબાઈના સળિયામાં પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l$ લંબાઈના વિભાગ $AO$ માટે:
$|V_A - V_O| = \frac{1}{2} B \omega l^2$.
$3l$ લંબાઈના વિભાગ $OC$ માટે:
$|V_O - V_C| = \frac{1}{2} B \omega (3l)^2 = \frac{1}{2} B \omega (9l^2) = \frac{9}{2} B \omega l^2$.
સળિયો ફરી રહ્યો હોવાથી,વિભાગ $AO$ અને $OC$ માં પ્રેરિત $EMF$ બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. તેથી,$A$ અને $C$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$|V_A - V_C| = |(V_A - V_O) + (V_O - V_C)| = |\frac{1}{2} B \omega l^2 - \frac{9}{2} B \omega l^2| = |-4 B \omega l^2| = 4 B \omega l^2$.
આ પરિણામોની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા:
વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
વિકલ્પ $B$ ખોટો છે કારણ કે $|V_O - V_C| = \frac{9}{2} B \omega l^2$ થાય,$\frac{7}{2} B \omega l^2$ નહીં.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) સળિયો ઉર્ધ્વ છે અને પૂર્વ દિશામાં સમક્ષિતિજ ગતિ કરે છે. પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ અને ઉર્ધ્વ ઘટક $B$ છે.
ડીપ કોણ $\theta$ ને $\tan \theta = \frac{B}{B_H}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ ઉર્ધ્વ ઘટક છે અને $B_H$ એ સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
આના પરથી,આપણને $B_H = \frac{B}{\tan \theta} = B \cot \theta$ મળે છે.
જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ ને લંબ રૂપે $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે પ્રેરિત $emf$ $e = B_H v l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B_H$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $e = (B \cot \theta) v l = Blv \cot \theta$ મળે છે.

(A) જ્યારે પૈડું સમક્ષિતિજ સમતલમાં ફરે છે, ત્યારે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઉર્ધ્વ ઘટક $(B_v)$ ને કારણે $emf$ પ્રેરિત થાય છે.
ઉર્ધ્વ ઘટક $B_v = B \sin \delta$ છે, જ્યાં $B = 10^{-4} \, T$ અને $\delta = 30^{\circ}$.
$B_v = 10^{-4} \times \sin(30^{\circ}) = 0.5 \times 10^{-4} \, T$.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi N}{60} = \frac{2\pi \times 120}{60} = 4\pi \, rad/s$.
કેન્દ્ર અને રીમ વચ્ચે પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર $e = \frac{1}{2} B_v \omega \ell^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = \frac{1}{2} \times (0.5 \times 10^{-4}) \times (4\pi) \times (0.5)^2$.
આ ગણતરી મુજબ જવાબ $\frac{\pi}{8} \times 10^{-4} \, V$ મળે છે. જો પ્રશ્નમાં આપેલ વિકલ્પો મુજબ ગણતરી કરીએ તો જવાબ $\frac{\pi}{4} \, V$ મળે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહક સળિયામાં પ્રેરિત ગતિકીય ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$e = B l v_{\perp} = B l v \sin \theta$
આપેલ છે:
$l = 1\,m$
$v = 4\,m/s$
$B = 2\,T$
$\theta = 30^o$
કિંમતો મૂકતા:
$e = 2 \times 1 \times 4 \times \sin(30^o)$
$e = 8 \times 0.5 = 4\,V$
સળિયામાં રહેલા ધન વિદ્યુતભારો પર લાગતા લોરેન્ટ્ઝ બળ $(F = q(v \times B))$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વેગ સદિશ $v$ એ સળિયા $AB$ સાથે $30^o$ ના ખૂણે છે. સળિયાને લંબ વેગનો ઘટક $v \sin(30^o)$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની અંદરની તરફ છે. જમણા હાથનો નિયમ લાગુ પાડતા,ધન વિદ્યુતભારો પરનું બળ $B$ થી $A$ તરફ લાગે છે. તેથી,$A$ પાસેનું સ્થિતિમાન $B$ કરતા વધારે છે,એટલે કે $V_A - V_B = 4\,V$.

(A) આપેલ છે: બાજુની લંબાઈ $l = 5 \ cm = 0.05 \ m$,ઝડપ $v = 1 \ cm/s = 0.01 \ m/s$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.6 \ T$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિસ્તારની પહોળાઈ $w = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે અથવા બહાર નીકળે ત્યારે ઉદ્ભવતું $emf$,$e = Bvl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને જ્યારે લૂપ સંપૂર્ણપણે ક્ષેત્રની અંદર હોય ત્યારે $e = 0$ હોય છે (કારણ કે ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ રહે છે).
$emf$ ની ગણતરી:
$e = 0.6 \times 0.01 \times 0.05 = 0.0003 \ V = 3 \times 10^{-4} \ V$.
$(a)$ $t = 2 \ s$ સમયે,લૂપ આંશિક રીતે ક્ષેત્રની અંદર છે (કાપેલું અંતર = $2 \ cm < 5 \ cm$),તેથી $e = 3 \times 10^{-4} \ V$.
$(b)$ $t = 10 \ s$ સમયે,લૂપ $10 \ cm$ જેટલું ખસ્યું છે. આગળની ધાર $t = 0$ સમયે પ્રવેશી હોવાથી,$t = 10 \ s$ સમયે આખું લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર છે (કારણ કે $5 \ cm < 10 \ cm < 20 \ cm$). તેથી,ફ્લક્સ અચળ છે અને $e = 0$.
$(c)$ $t = 22 \ s$ સમયે,આગળની ધાર $22 \ cm$ કાપી ચૂકી છે. ચુંબકીય ક્ષેત્રની પહોળાઈ $20 \ cm$ હોવાથી,આગળની ધાર ક્ષેત્રની બહાર નીકળી ગઈ છે. પાછળની ધાર ક્ષેત્રની અંદર $22 - 5 = 17 \ cm$ પર છે. લૂપ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળી રહ્યું છે,તેથી $e = 3 \times 10^{-4} \ V$.

(A) તાર $PQ$ એ $B = 1.0 \, T$ ના સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $v = 5 \, cm/s = 0.05 \, m/s$ ના અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
જ્યારે સ્વિચ $S$ ને મધ્યના પાટા સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે પરિપથ ઉપરના પાટા અને મધ્યના પાટા દ્વારા પૂર્ણ થાય છે.
ઉપરના પાટા અને મધ્યના પાટા વચ્ચેના તાર $PQ$ ની લંબાઈ $\ell = 2 \, cm = 0.02 \, m$ છે.
આ વિભાગમાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ (emf) $\varepsilon = B v \ell$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon = 1.0 \times 0.05 \times 0.02 = 0.001 \, V = 1 \, mV$.
$10 \, \Omega$ ના અવરોધમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{1 \times 10^{-3} \, V}{10 \, \Omega} = 10^{-4} \, A = 0.1 \, mA$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: ઝડપ $v = 1 \, cm/s = 0.01 \, m/s$, બાજુની લંબાઈ $l = 5 \, cm = 0.05 \, m$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.6 \, T$.
$(a) \, t = 2 \, s$ સમયે: લૂપ $x = v \times t = 1 \, cm/s \times 2 \, s = 2 \, cm$ જેટલું ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે. પ્રેરિત $emf$ $E = Bvl = 0.6 \, T \times 0.01 \, m/s \times 0.05 \, m = 3 \times 10^{-4} \, V$ થાય.
$(b) \, t = 10 \, s$ સમયે: લૂપ $10 \, cm$ જેટલું ક્ષેત્રની અંદર ગયું છે. આખું લૂપ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં હોવાથી, લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ રહે છે। તેથી, પ્રેરિત $emf$ $E = -d\phi/dt = 0$ થાય.
$(c) \, t = 22 \, s$ સમયે: આગળની ધાર $22 \, cm$ જેટલી આગળ વધી છે. ક્ષેત્ર $20 \, cm$ પહોળું હોવાથી, આગળની ધાર ક્ષેત્રની બહાર $2 \, cm$ છે. પાછળની ધાર હજુ પણ ક્ષેત્રની અંદર છે. પ્રેરિત $emf$ $E = Bvl = 0.6 \, T \times 0.01 \, m/s \times 0.05 \, m = 3 \times 10^{-4} \, V$ થાય.

(A) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 10 \, cm = 0.1 \, m$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 1.0 \, T$,વેગ $v = 20 \, cm/s = 0.2 \, m/s$,ખૂણો $\theta = 60^\circ$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય $emf$ નું સૂત્ર $E = B v l \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ અને તારની લંબાઈ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E = 1.0 \times 0.2 \times 0.1 \times \sin 60^\circ$
$E = 0.02 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$E = 0.01 \times 1.732$
$E = 0.01732 \, V$
$E = 17.32 \times 10^{-3} \, V$.
આમ,પ્રેરિત $emf$ આશરે $17 \times 10^{-3} \, V$ છે.

(C) સળિયામાં પ્રેરિત ગતિકીય $EMF$ $\varepsilon = B v L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $B = 0.5 \, T$,$v = 0.2 \, m/s$,$L = 0.1 \, m$.
$\varepsilon = (0.5 \, T) \times (0.2 \, m/s) \times (0.1 \, m) = 0.01 \, V$.
ગતિકીય $EMF$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સળિયાનો ઉપરનો છેડો ધન અને નીચેનો છેડો ઋણ બને છે. પરિણામે,કેપેસિટરની પ્લેટ $A$ ધન અને પ્લેટ $B$ ઋણ વીજભારિત થાય છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = C \varepsilon$ છે.
$q = (20 \times 10^{-6} \, F) \times (0.01 \, V) = 0.2 \times 10^{-6} \, C = 0.2 \, \mu C$.
આમ,$q_A = +0.2 \, \mu C$ અને $q_B = -0.2 \, \mu C$ થાય.

(B) જ્યારે સળિયો $v$ વેગ સાથે રેલ પર નીચે તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ બદલાય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $e = B l v$ છે.
પરિપથમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R} = \frac{B l v}{R}$ છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = i l B = \left( \frac{B l v}{R} \right) l B = \frac{B^2 l^2 v}{R}$ છે,જે રેલની દિશામાં ઉપર તરફ લાગે છે.
રેલ પર નીચે તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $F_g = mg \sin \theta$ છે.
ટર્મિનલ ઝડપે,સળિયા પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે,તેથી $F_g = F_m$.
$mg \sin \theta = \frac{B^2 l^2 v}{R}$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને ટર્મિનલ ઝડપ $v = \frac{mgR \sin \theta}{B^2 l^2}$ મળે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ભ્રમણ કરતી $n$ આંટાવાળી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = nBA \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $e.m.f.$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\phi$ નું સમીકરણ મૂકતા,$e = -\frac{d}{dt}(nBA \cos(\omega t)) = nBA\omega \sin(\omega t)$ મળે છે.
પ્રેરિત $e.m.f.$ $(e_0)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે છે જ્યારે $\sin(\omega t) = 1$ હોય.
તેથી,$e_0 = nBA\omega$.

(B) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = B_0 \pi r^2 e^{-t/\tau}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} (B_0 \pi r^2 e^{-t/\tau}) = \frac{B_0 \pi r^2}{\tau} e^{-t/\tau}$.
ઉષ્મા તરીકે વ્યય થતો તાત્કાલિક પાવર $P = \frac{\varepsilon^2}{R} = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4}{\tau^2 R} e^{-2t/\tau}$ છે.
ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉષ્મા $H$ એ $t = 0$ થી $t = \infty$ સુધીના પાવરનું સંકલન છે:
$H = \int_{0}^{\infty} \frac{\varepsilon^2}{R} dt = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4}{\tau^2 R} \int_{0}^{\infty} e^{-2t/\tau} dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{0}^{\infty} e^{-2t/\tau} dt = \left[ -\frac{\tau}{2} e^{-2t/\tau} \right]_{0}^{\infty} = 0 - (-\frac{\tau}{2}) = \frac{\tau}{2}$.
તેથી,$H = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4}{\tau^2 R} \cdot \frac{\tau}{2} = \frac{\pi^2 r^4 B_0^2}{2\tau R}$.

(A) પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 5 \times 10^{-5}\,T$ છે. તેનો શિરોલંબ ઘટક $B_V = B \sin \theta = 5 \times 10^{-5} \times (2/3) \approx 3.33 \times 10^{-5}\,T$ છે。
સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = B \cos \theta = B \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = 5 \times 10^{-5} \times \sqrt{1 - 4/9} = 5 \times 10^{-5} \times \sqrt{5}/3 \approx 3.73 \times 10^{-5}\,T$ છે。
પ્લેનની નીચેની અને ઉપરની બાજુ (ઊંચાઈ $h = 5\,m$) વચ્ચેના વોલ્ટેજ $V_B$ માટે, પ્લેન સમક્ષિતિજ ગતિ કરે છે, તેથી શિરોલંબ ઘટક $B_V$ ઊંચાઈને કાપે છે: $V_B = B_V \cdot v \cdot h = (3.33 \times 10^{-5}) \times 240 \times 5 = 0.04\,V = 40\,mV$.
પાંખોના ટેરવા (ફેલાવો $w = 15\,m$) વચ્ચેના વોલ્ટેજ $V_W$ માટે, પ્લેન પૂર્વ તરફ ગતિ કરે છે, તેથી સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ (જે ઉત્તર-દક્ષિણ છે) પાંખોને કાપે છે: $V_W = B_H \cdot v \cdot w = (3.73 \times 10^{-5}) \times 240 \times 15 \approx 0.134\,V = 134\,mV \approx 135\,mV$.
મોશનલ $EMF$ $(\vec{v} \times \vec{B})$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, વેગ પૂર્વ તરફ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્તર તરફ હોવાથી, ધન વીજભાર પર લાગતું બળ પાયલોટની ડાબી બાજુ તરફ હોય છે.

(B) જ્યારે ધાતુની શીટ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે ધાતુમાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F_m = q(v \times B)$ અનુભવે છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,કાગળના સમતલની અંદરની તરફના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ઉપરની તરફ ગતિ કરતા ધન વિદ્યુતભાર માટે,બળ જમણી તરફ લાગે છે. આમ,ઇલેક્ટ્રોન ડાબી સપાટી પર ધકેલાય છે,જેનાથી તે ઋણ વીજભારિત બને છે,અને જમણી સપાટી પર ધન વીજભાર એકઠો થાય છે.
આ વિદ્યુતભારનું અલગીકરણ જમણીથી ડાબી તરફ એક આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઉત્પન્ન કરે છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,ચુંબકીય બળ વિદ્યુત બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $qE = qvB$,જે $E = vB$ આપે છે.
બે વિરુદ્ધ વીજભારિત પ્લેટો (શીટની સપાટીઓ) વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સપાટી પરની વિદ્યુતભાર ઘનતાનું મૂલ્ય છે.
$E$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\sigma}{\epsilon_0} = vB$,તેથી $\sigma = \epsilon_0 vB$.
ડાબી સપાટી ઋણ વીજભારિત હોવાથી અને જમણી સપાટી ધન વીજભારિત હોવાથી,આપણને $\sigma_1 = -\epsilon_0 vB$ અને $\sigma_2 = \epsilon_0 vB$ મળે છે.

(B) લાંબા સીધા તારમાંથી વહેતા $I$ વિદ્યુતપ્રવાહને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ $e = \int B v \, dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાબા હાથ માટે $x_1 = 10\, cm = 0.1\, m$ અંતરે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi x_1} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 1}{0.1} = 2 \times 10^{-6}\, T$ છે.
ડાબા હાથમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ $e_1 = B_1 l v = (2 \times 10^{-6}) \times (0.1) \times (10) = 2 \times 10^{-6}\, V = 2\,\mu V$ છે.
જમણા હાથ માટે $x_2 = x_1 + l = 0.1 + 0.1 = 0.2\, m$ અંતરે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi x_2} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 1}{0.2} = 1 \times 10^{-6}\, T$ છે.
જમણા હાથમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ $e_2 = B_2 l v = (1 \times 10^{-6}) \times (0.1) \times (10) = 1 \times 10^{-6}\, V = 1\,\mu V$ છે.
કુલ પ્રેરિત $e.m.f.$ $e = e_1 - e_2 = 2\,\mu V - 1\,\mu V = 1\,\mu V$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય $EMF$ (ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ) સૂત્ર $\varepsilon = Bvl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$v$ એ વેગ છે,અને $l$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને વેગ સદિશ બંનેને લંબ વાહકની લંબાઈ છે.
અહીં,વેગ સદિશ $\vec{v} = 6\hat{j} \, m/s$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 0.1\hat{k} \, T$ છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ $\vec{E} = \vec{v} \times \vec{B} = (6\hat{j}) \times (0.1\hat{k}) = 0.6\hat{i} \, V/m$ દ્વારા મળે છે.
$x-$ અક્ષને લંબ સપાટીઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ (જે $d = 2\, cm = 0.02\, m$ અંતરે છે) $V = E \times d$ છે.
$V = 0.6 \, V/m \times 0.02 \, m = 0.012 \, V$.
મિલીવોલ્ટ $(mV)$ માં રૂપાંતર કરતા,આપણને $V = 0.012 \times 1000 \, mV = 12 \, mV$ મળે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું $emf$ $e = B \ell v \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તાર ઉત્તર-પૂર્વથી દક્ષિણ-પશ્ચિમ દિશામાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકને લંબ રૂપે તારની અસરકારક લંબાઈ $\ell \sin 45^{\circ}$ થશે.
આપેલ છે: $B = 0.3 \times 10^{-4}\,Wb/m^2$,$\ell = 10\,m$,$v = 5.0\,m/s$,અને $\theta = 45^{\circ}$.
$emf = B \ell v \sin 45^{\circ}$
$emf = (0.3 \times 10^{-4}) \times 10 \times 5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$emf = \frac{15 \times 10^{-4}}{1.414} \approx 10.6 \times 10^{-4} = 1.06 \times 10^{-3}\,V \approx 1.1 \times 10^{-3}\,V$.

(D) ચુંબકીય બળ (લોરેન્ટ્ઝ બળ) ને કારણે પટ્ટીની ગતિ એ અવમંદિત આવર્ત ગતિ છે, જે અવમંદન બળ તરીકે કાર્ય કરે છે।
અવમંદન બળ $F_d = -B \ell I = -B \ell \left( \frac{B \ell v}{R} \right) = -\frac{B^2 \ell^2}{R} v$ છે।
આને અવમંદન બળના સમીકરણ $F_d = -bv$ સાથે સરખાવતા, આપણને અવમંદન અચળાંક $b = \frac{B^2 \ell^2}{R}$ મળે છે।
આપેલ છે: $B = 0.1\, T$, $\ell = 0.1\, m$, $R = 10\, \Omega$, $m = 0.05\, kg$, $k = 0.5\, N/m$.
$b = \frac{(0.1)^2 \times (0.1)^2}{10} = \frac{10^{-2} \times 10^{-2}}{10} = 10^{-5}\, kg/s$.
કંપવિસ્તારના ક્ષય માટેનો સમય અચળાંક $\tau = \frac{2m}{b} = \frac{2 \times 0.05}{10^{-5}} = \frac{0.1}{10^{-5}} = 10^4\, s$ છે।
સમય $t = \tau$ પછી, કંપવિસ્તાર $A = A_0 e^{-1}$ થાય છે।
દોલનોની સંખ્યા $N = \frac{t}{T_0}$, જ્યાં $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.05}{0.5}} = 2\pi \sqrt{0.1} = \frac{2\pi}{\sqrt{10}}$.
$N = \frac{10^4}{2\pi / \sqrt{10}} = \frac{10^4 \times \sqrt{10}}{2\pi} \approx \frac{10000 \times 3.162}{6.28} \approx 5035$.
આમ, $N$ એ $5000$ ની નજીક છે।

(D) $1$. અવરોધ નેટવર્કનું વિશ્લેષણ કરો: આ નેટવર્ક $1\, \Omega, 2\, \Omega, 1\, \Omega, 2\, \Omega$ ની બાજુઓ અને મધ્યમાં $3\, \Omega$ ના અવરોધ સાથેનો વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. $\frac{1}{1} = \frac{2}{2}$ હોવાથી,આ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. મધ્યના $3\, \Omega$ અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. બ્રિજનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{(1+2)(1+2)}{(1+2)+(1+2)} = \frac{3 \times 3}{3+3} = 1.5\, \Omega$ છે.
$2$. પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ની ગણતરી કરો: ગતિશીલ $EMF$ $\varepsilon = B \ell v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં,$B = 1\, T$,$\ell = 5\, cm = 0.05\, m$,અને $v = 1\, cm/s = 0.01\, m/s$ છે. તેથી,$\varepsilon = 1 \times 0.05 \times 0.01 = 5 \times 10^{-4}\, V$.
$3$. કુલ અવરોધની ગણતરી કરો: કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{loop} + R_{eq} = 1.7\, \Omega + 1.5\, \Omega = 3.2\, \Omega$.
$4$. પ્રવાહની ગણતરી કરો: પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R_{total}} = \frac{5 \times 10^{-4}}{3.2} \approx 1.5625 \times 10^{-4}\, A = 156.25\, \mu A$. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$150\, \mu A$ સૌથી નજીકની કિંમત છે.

(B) જ્યારે લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય ત્યારે લૂપમાં $emf$ પ્રેરિત થાય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાં પ્રવેશ કરે છે અને જ્યારે તે ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાંથી બહાર નીકળે છે.
$1$. જ્યારે લૂપની આગળની ધાર $a$ પહોળાઈના ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે $emf$ પ્રેરિત થાય છે જ્યાં સુધી ક્ષેત્રની સંપૂર્ણ $a$ પહોળાઈ લૂપ દ્વારા આવરી લેવામાં ન આવે. આ તબક્કા દરમિયાન લૂપ દ્વારા કાપેલું અંતર $a$ છે. લાગતો સમય $t_1 = \frac{a}{v}$ છે.
$2$. જ્યારે લૂપ સંપૂર્ણપણે ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારની અંદર હોય છે (કારણ કે $b > a$),ત્યારે લૂપ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ અચળ રહે છે,તેથી કોઈ $emf$ પ્રેરિત થતું નથી.
$3$. જ્યારે લૂપની પાછળની ધાર ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાંથી બહાર નીકળવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે ફ્લક્સ ફરીથી બદલાવાનું શરૂ થાય છે,અને લૂપ સંપૂર્ણપણે વિસ્તારમાંથી બહાર ન નીકળે ત્યાં સુધી $emf$ પ્રેરિત થાય છે. આ તબક્કા દરમિયાન લૂપ દ્વારા કાપેલું અંતર $a$ છે. લાગતો સમય $t_2 = \frac{a}{v}$ છે.
તેથી,જે સમય માટે $emf$ પ્રેરિત થાય છે તે કુલ સમય $t = t_1 + t_2 = \frac{a}{v} + \frac{a}{v} = \frac{2a}{v}$ છે.

(B) ગતિ કરતા વાહક સળિયા પરના સ્થિતિમાનનો તફાવત નક્કી કરવા માટે,આપણે ગતિકીય ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જે $\vec{\varepsilon} = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{v} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમ મુજબ:
$1$. વેગ સદિશ $\vec{v}$ જમણી તરફ નિર્દેશિત છે.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ પાનાની અંદરની તરફ છે (જે $\otimes$ દ્વારા દર્શાવેલ છે).
$3$. ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{v} \times \vec{B}$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ બંનેને લંબ દિશામાં,એટલે કે સળિયા પર $P$ બિંદુ તરફ ઉપરની દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે.
મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન (જે ઋણ વીજભારિત હોય છે) પર લાગતું બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે,અને $q$ ઋણ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન $\vec{v} \times \vec{B}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં બળ અનુભવશે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન $Q$ છેડા પર એકઠા થશે,જેના કારણે તે ઋણ વીજભારિત (નીચું સ્થિતિમાન) બનશે,જ્યારે $P$ છેડો ધન વીજભારિત (ઊંચું સ્થિતિમાન) બનશે.
આમ,$Q$ છેડો નીચા સ્થિતિમાને છે.

(A) સળિયામાં પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = B v L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon = 4.0 \times 2 \times 1.0 = 8.0\, V$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = C \varepsilon$ છે.
$Q = 10 \times 10^{-6}\, F \times 8.0\, V = 80 \times 10^{-6}\, C = 80\,\mu C$.
ગતિકીય $EMF$ માટેના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,સળિયા $PQ$ માં ધન વિદ્યુતભારો પર લાગતું બળ $Q$ થી $P$ તરફ હોય છે. આમ,$P$ ધન ટર્મિનલ તરીકે અને $Q$ ઋણ ટર્મિનલ તરીકે વર્તે છે.
આથી કેપેસિટરની પ્લેટ $A$ ધન વિદ્યુતભારિત અને પ્લેટ $B$ ઋણ વિદ્યુતભારિત બને છે.
તેથી,$q_A = + 80\,\mu C$ અને $q_B = - 80\,\mu C$.

(C) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = B \cdot \pi R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R = R_0 + t$,તેથી ફ્લક્સ $\phi = B \pi (R_0 + t)^2$ થશે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $e.m.f.$ નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$ છે.
$|\varepsilon| = \left| \frac{d}{dt} [B \pi (R_0 + t)^2] \right| = B \pi \cdot 2(R_0 + t) \cdot \frac{d}{dt}(R_0 + t) = 2\pi B (R_0 + t)$.
જેમ જેમ સમય સાથે ત્રિજ્યા $R$ વધે છે,તેમ લૂપનું ક્ષેત્રફળ વધે છે. આનાથી પાનાની અંદરની તરફ જતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે,જેનો અર્થ છે કે પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની બહારની તરફ હોવું જોઈએ. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,આ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રેરિત પ્રવાહ સૂચવે છે.