Motional EMI (Induced Parameter) Questions in Gujarati

(A) ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = BA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $e.m.f.$ એ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\phi = BA \cos(\omega t)$ મૂકતા,આપણને $e = -\frac{d}{dt}(BA \cos(\omega t)) = BA\omega \sin(\omega t)$ મળે છે.
આમ,પ્રેરિત $e.m.f.$ એ $e = e_0 \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $e_0 = BA\omega$ એ મહત્તમ $e.m.f.$ છે.
$e.m.f.$ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $\sin(\omega t) = 1$ થાય,જે $\omega t = 90^o$ હોય ત્યારે થાય છે.
આ સ્થિતિમાં,ક્ષેત્રફળ સદિશ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $90^o$ ના ખૂણે હોય છે,જેનો અર્થ છે કે ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને સમાંતર છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમક્ષિતિજ હોવાથી,પ્રેરિત $e.m.f.$ મહત્તમ થવા માટે ગૂંચળાનું સમતલ સમક્ષિતિજ હોવું આવશ્યક છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતા પ્રેરિત e.m.f. નું સૂત્ર $\varepsilon = B l v \sin(\theta)$ છે.
આપેલ છે:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.3 \times 10^{-4} \, Wb/m^2$
તારની લંબાઈ $l = 10 \, m$
વેગ $v = 5 \, m/s$
તાર ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરતો હોવાથી,$\theta = 90^\circ$,તેથી $\sin(90^\circ) = 1$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = (0.3 \times 10^{-4}) \times 10 \times 5$
$\varepsilon = 1.5 \times 10^{-3} \, V$
$\varepsilon = 1.5 \, mV$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ નું સૂત્ર $\varepsilon = B l v \sin \theta$ છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$l$ એ વાહકની લંબાઈ છે,$v$ એ વેગ છે,અને $\theta$ એ વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$EMF$ પ્રેરિત થવા માટે,વાહકે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપવી આવશ્યક છે. આપેલી આકૃતિમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ઉત્તર $(N)$ ધ્રુવથી દક્ષિણ $(S)$ ધ્રુવ તરફ (આડી) દિશામાં છે.
જો વાહક $L$ અથવા $Q$ દિશામાં ગતિ કરે,તો તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને સમાંતર ગતિ કરે છે,તેથી $\theta = 0^\circ$ અથવા $180^\circ$ થાય,અને $\sin \theta = 0$ હોવાથી કોઈ $EMF$ પ્રેરિત થશે નહીં.
જો વાહક $P$ દિશામાં ગતિ કરે,તો તે તેની પોતાની લંબાઈને સમાંતર ગતિ કરે છે,જે તેના છેડાઓ વચ્ચે સ્થિતિમાનનો તફાવત પ્રેરિત કરવા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને અસરકારક રીતે કાપતું નથી.
જો વાહક $M$ દિશામાં (ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને લંબ) ગતિ કરે,તો તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપે છે,જેના પરિણામે તેના છેડાઓ વચ્ચે વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત પ્રેરિત થાય છે. તેથી,સાચી દિશા $M$ છે.

(C) જ્યારે ટ્રેન પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેના એક્સલ (ધરી) માં ઉત્પન્ન થતું પ્રેરિત ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $e = B_v \cdot v \cdot l$
અહીં,$B_v = 0.2 \times 10^{-4} \ Wb/m^2$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક છે.
ટ્રેનની ઝડપ $v = 180 \ km/hr = 180 \times \frac{5}{18} \ m/s = 50 \ m/s$.
પાટાઓ વચ્ચેનું અંતર (એક્સલની લંબાઈ) $l = 1 \ m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = (0.2 \times 10^{-4}) \times 50 \times 1$
$e = 10 \times 10^{-4} \ V$
$e = 10^{-3} \ V$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય $e.m.f.$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$e = Bvl$
આપેલ કિંમતો:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 10^{-3} \ T$
વેગ $v = 10^2 \ m/s$
લંબાઈ $l = 3 \ m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = 10^{-3} \times 10^2 \times 3$
$e = 10^{-1} \times 3$
$e = 0.3 \ V$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) જ્યારે વાયરનું લૂપ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરે છે,ત્યારે લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = BA \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $e.m.f.$ એ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = BA\omega \sin(\omega t)$ છે.
પ્રેરિત $e.m.f.$ સાઇનસૉઇડલ છે,જેનો અર્થ છે કે તે દરેક અડધા ચક્રમાં તેની ધ્રુવીયતા (દિશા) બદલે છે.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ એક સંપૂર્ણ ચક્ર ($2\pi$ રેડિયન) ને અનુરૂપ હોવાથી,પ્રેરિત $e.m.f.$ ની દિશા એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણમાં બે વાર બદલાય છે.
જો કે,પ્રશ્ન ચક્રના સમયગાળાના સંદર્ભમાં દિશામાં ફેરફાર વિશે પૂછે છે. અડધા પરિભ્રમણમાં,$e.m.f.$ અડધું ચક્ર પૂર્ણ કરે છે અને દિશા ઉલટાય છે. આમ,દિશા દરેક $0.5$ પરિભ્રમણમાં એકવાર બદલાય છે.

(B) વિમાનની પાંખો વચ્ચે પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ નું સૂત્ર: $e = B_v \cdot v \cdot l$ છે.
અહીં,પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક $B_v = 2.0 \times 10^{-4} \ Wb/m^2$ છે.
વિમાનની ઝડપ $v = 360 \ km/hr = 360 \times \frac{5}{18} \ m/s = 100 \ m/s$ છે.
પાંખના છેડાઓ વચ્ચેનું અંતર $l = 50 \ m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મુકતા:
$e = (2.0 \times 10^{-4}) \times 100 \times 50$
$e = 2.0 \times 10^{-4} \times 5000$
$e = 2.0 \times 10^{-4} \times 5 \times 10^3$
$e = 10 \times 10^{-1} = 1 \ V$.
તેથી,પાંખના છેડાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $1 \ V$ છે.

(C) ભ્રમણ કરતી તકતીની ત્રિજ્યા પર પ્રેરિત e.m.f. નું સૂત્ર $e = \frac{1}{2} B \omega r^2$ છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 0.1 \ m$
આવૃત્તિ $f = 10 \ \text{rev/s}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.1 \ T$
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 10 = 20\pi \ \text{rad/s}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (20\pi) \times (0.1)^2$
$e = 0.1 \times 10\pi \times 0.01$
$e = \pi \times 10^{-2} \ V$.

(D) $l$ લંબાઈનો વાહક જ્યારે $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $\omega$ કોણીય ઝડપે તેના એક છેડાની આસપાસ ફરે ત્યારે ઉત્પન્ન થતું $e.m.f.$ $(e)$ નીચે મુજબ છે:
$e = \frac{1}{2} B \omega l^2$
આપેલ છે:
$l = 1\;m$
$\omega = 5\;rad/s$
$B = 0.2 \times 10^{-4}\;T$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times (0.2 \times 10^{-4}) \times 5 \times (1)^2$
$e = 0.1 \times 10^{-4} \times 5$
$e = 0.5 \times 10^{-4}\;V$
$e = 50 \times 10^{-6}\;V = 50\;\mu V$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $l$ લંબાઈનો વાહક $v$ વેગથી $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે ત્યારે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $e = Bvl \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે. પૃથ્વીનું સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_H$ દક્ષિણથી ઉત્તર દિશામાં હોય છે.
$1$. જ્યારે સળિયાને શિરોલંબ રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સળિયો વેગ (પૂર્વ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર (ઉત્તર) બંનેને લંબ હોય છે. આમ,સળિયો ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપે છે. પ્રેરિત emf:
$v = 30 \text{ km/hr} = 30 \times \frac{5}{18} \text{ m/s} = \frac{25}{3} \text{ m/s}$
$e = B_H \cdot v \cdot l = (4 \times 10^{-5} \text{ Wb/m}^2) \times (\frac{25}{3} \text{ m/s}) \times (3 \text{ m}) = 1 \times 10^{-3} \text{ V}$.
$2$. જ્યારે સળિયાને સમક્ષિતિજ અને ગતિની દિશામાં (પૂર્વ) રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સળિયો વેગ સદિશને સમાંતર હોય છે. સળિયો ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપતો ન હોવાથી,પ્રેરિત emf $e = 0$ થાય છે.

(C) ભ્રમણ કરતી કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતા મહત્તમ e.m.f. $(e_{max})$ નું સૂત્ર: $e_{max} = NBA\omega$ છે.
અહીં,$N = 50$ (આંટાની સંખ્યા),$B = 0.05 \, T$ (ચુંબકીય ક્ષેત્ર),અને $A = 80 \, cm^2 = 80 \times 10^{-4} \, m^2$ (ક્ષેત્રફળ) છે.
કોણીય વેગ $\omega$ ની ગણતરી: $\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{2000}{60} \, rad/s$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$e_{max} = 50 \times 0.05 \times (80 \times 10^{-4}) \times (2\pi \times \frac{2000}{60})$
$e_{max} = 50 \times 0.05 \times 0.0080 \times \frac{4000\pi}{60}$
$e_{max} = 2.5 \times 0.0080 \times \frac{200\pi}{3} = 0.02 \times \frac{200\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \, V$.

(B) જ્યારે $l$ લંબાઈનો વાહક સળિયો $v$ વેગથી સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ ગતિ કરે છે,ત્યારે સળિયાની અંદર રહેલા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = qvB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બળને કારણે વિદ્યુતભારો સળિયાના છેડાઓ પર જમા થાય છે,જે આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઉત્પન્ન કરે છે. વિદ્યુતભાર પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,વિદ્યુતભાર પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે,તેથી $qE = qvB$,જેનો અર્થ છે કે $E = vB$.
સળિયાના છેડાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (પ્રેરિત $EMF$) $e = E \times l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E = vB$ મૂકતા,આપણને $e = Blv$ મળે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા નક્કી કરવા માટે,આપણે ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,જો આપણે જમણા હાથના અંગૂઠા,તર્જની અને મધ્યમા આંગળીને એકબીજાને લંબ રાખીએ:
$1$. અંગૂઠો વાહકની ગતિની દિશા $(v)$ દર્શાવે છે.
$2$. તર્જની આંગળી ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $(B)$ દર્શાવે છે.
$3$. મધ્યમા આંગળી પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા $(i)$ દર્શાવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વાહક જમણી તરફ ગતિ કરે છે (અંગૂઠો જમણી તરફ) અને પ્રેરિત પ્રવાહ ઉપરની તરફ છે (મધ્યમા આંગળી ઉપરની તરફ).
જમણા હાથને એવી રીતે ગોઠવતા કે જેથી અંગૂઠો જમણી તરફ અને મધ્યમા આંગળી ઉપરની તરફ રહે,ત્યારે તર્જની આંગળી કાગળના સમતલની અંદરની તરફ નિર્દેશ કરશે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલને લંબ અને નીચેની તરફ (સમતલની અંદર) હશે.

(D) પ્રવાહ વહેતો તાર તે વિસ્તારમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ઉત્પન્ન કરે છે જ્યાં સળિયો $AB$ ગતિ કરી રહ્યો છે. જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,સળિયાના સ્થાન પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ જાય છે.
જ્યારે સળિયો તારને સમાંતર $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે સળિયામાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પર $F = q(v \times B)$ મુજબ ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ લાગે છે.
સદિશ ગુણાકાર $(v \times B)$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ધન વીજભાર પર લાગતા બળની દિશા છેડા $A$ તરફ હોય છે. આમ,ધન વીજભાર છેડા $A$ પર અને ઋણ વીજભાર છેડા $B$ પર જમા થાય છે.
તેથી,$A$ પરનું પોટેન્શિયલ $B$ ના પોટેન્શિયલ કરતા વધારે હોય છે $(V_A > V_B)$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહક પર પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ નું સૂત્ર $e = Bvl$ છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$v$ એ વેગ છે અને $l$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
સળિયો ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ નીચે પડી રહ્યો હોવાથી,કોઈપણ સમયે $t$ પર તેનો વેગ $v = gt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $e = B(gt)l = (Bgl)t$ મળે છે.
અહીં $B$,$g$ અને $l$ અચળ હોવાથી,પ્રેરિત વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $e$ એ સમય $t$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(e \propto t)$.
તેથી,જેમ સળિયો નીચે પડે છે,તેમ તેના બે છેડાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમય સાથે વધશે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉત્પન્ન થતું પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e.m.f.)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = Bvl \sin(\theta)$.
આપેલ છે:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ = $0.5 \; Wb/m^2$
વેગ $(v)$ = $1 \; m/s$
તારની લંબાઈ $(l)$ = $2 \; m$
ખૂણો $(\theta)$ = $90^\circ$ (કારણ કે તે ક્ષેત્રને લંબરૂપે ગતિ કરે છે,$\sin(90^\circ) = 1$).
કિંમતો મૂકતા:
$e = 0.5 \times 1 \times 2 = 1 \; V$.
તેથી,પ્રેરિત e.m.f. $1 \; V$ છે.

(B) જ્યારે $l$ લંબાઈનો ધાતુનો સળિયો સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં,સળિયાની લંબાઈ અને વેગ બંનેને લંબ દિશામાં $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે સળિયાના છેડાઓ વચ્ચે ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ (emf) પ્રેરિત થાય છે.
લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ મુજબ,સળિયામાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય બળ $F_m = q(v \times B)$ અનુભવે છે. આ બળને કારણે,ઇલેક્ટ્રોન સળિયાના એક છેડે એકઠા થાય છે,જેનાથી છેડાઓ વચ્ચે વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત સર્જાય છે.
આ વીજભારનું અલગીકરણ સળિયાની અંદર એક આંતરિક વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ ઉત્પન્ન કરે છે,જે વીજભારો પર વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ લગાડે છે,જે ચુંબકીય બળની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,ચુંબકીય બળ અને વિદ્યુત બળ સમાન થાય છે,એટલે કે $qE = qvB$,જેનો અર્થ છે કે $E = vB$.
સળિયાની અંદર વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવાથી,સળિયાની લંબાઈ સાથે સ્થિતિમાન બદલાય છે. તેથી,વિધાન $(b)$ સાચું છે.

(C) જ્યારે વાહક તારને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ ને કાપે છે.
ગતિશીલ emf માટેના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = B_H \cdot l \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ તારની લંબાઈ છે અને $v$ એ વેગ છે.
તાર પૂર્વ-પશ્ચિમ દિશામાં હોવાથી અને તે શિરોલંબ નીચે પડતો હોવાથી,વેગ સદિશ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ (જે ભૌગોલિક દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ હોય છે) ને લંબ હોય છે.
ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્તર તરફ છે,વેગ નીચેની તરફ છે,તેથી પ્રેરિત પ્રવાહ પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ વહે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉત્પન્ન થતું પ્રેરિત $e.m.f.$ $(e)$ શોધવાનું સૂત્ર: $e = Bvl \sin(\theta)$ છે.
આપેલ છે:
ચુંબકીય પ્રેરણ $(B)$ = $0.7 \ Wb/m^2$
વાહકની લંબાઈ $(l)$ = $10 \ cm = 0.1 \ m$
વેગ $(v)$ = $2 \ m/s$
અહીં વાહક,ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને વેગ ત્રણેય પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\theta = 90^\circ$ અને $\sin(90^\circ) = 1$ થશે.
કિંમતો મૂકતા:
$e = 0.7 \times 2 \times 0.1$
$e = 0.14 \ V$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $e.m.f.$ શોધવાનું સૂત્ર $e = Bvl$ છે,જ્યાં:
$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(0.9\;Wb/m^2)$ છે,
$v$ એ વાહકનો વેગ $(7\;m/s)$ છે,
$l$ એ વાહકની લંબાઈ $(0.4\;m)$ છે.
આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = 0.9 \times 7 \times 0.4$
$e = 6.3 \times 0.4$
$e = 2.52\;V$.
આમ,ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $e.m.f.$ $2.52\;V$ છે.

(D) જ્યારે ગૂંચળાને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને ગૂંચળાના સમતલના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ સતત બદલાય છે. તેથી,ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે,જેના પરિણામે ગૂંચળામાં e.m.f. પ્રેરિત થાય છે.
ધારો કે $A$ એ ગૂંચળાનું સરેરાશ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
સમય $t$ પર ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નીચે મુજબ છે:
$\phi = N(\vec{B} \cdot \vec{A}) = NBA \cos(\omega t)$
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત e.m.f. $E$:
$E = -\frac{d\phi}{dt}$
$\phi$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = -\frac{d}{dt}(NBA \cos(\omega t))$
$E = -NBA \frac{d}{dt}(\cos(\omega t))$
$E = -NBA(-\omega \sin(\omega t))$
$E = NBA \omega \sin(\omega t)$
આમ,ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. $E = NBA \omega \sin(\omega t)$ થશે.

(D) જ્યારે $l$ લંબાઈનો વાહક $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $v$ વેગ સાથે એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી વેગ,લંબાઈ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર એકબીજાને લંબ હોય,ત્યારે વાહકના છેડાઓ પર પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e.m.f.)$ $\varepsilon = Blv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ચોરસ લૂપમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને લંબ રૂપે ગતિ કરતી બાજુ ફ્લક્સને કાપે છે. ખાસ કરીને,લૂપની જે ઊભી બાજુ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી પસાર થઈ રહી છે તે ગતિશીલ $e.m.f.$ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
બાકીની ત્રણ બાજુઓ ચોખ્ખા $e.m.f.$ માં ફાળો આપતી નથી જે આ ગોઠવણીમાં લૂપના ટર્મિનલ્સ પર સંભવિત તફાવત બનાવે,અથવા તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે. $B$ ક્ષેત્રમાં $v$ વેગ સાથે ગતિ કરતી $l$ લંબાઈની બાજુ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ગતિશીલ $e.m.f.$ $\varepsilon = Blv$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ભ્રમણ કરતા સળિયામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = \frac{1}{2} B \omega l^2$
આપેલ છે:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ = $0.3 \, T$
કોણીય ઝડપ $(\omega)$ = $100 \, rad/s$
સળિયાની લંબાઈ $(l)$ = $2 \, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times 0.3 \times 100 \times (2)^2$
$e = \frac{1}{2} \times 0.3 \times 100 \times 4$
$e = 0.3 \times 200$
$e = 60 \, V$
તેથી,સળિયાના છેડાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $60 \, V$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $l$ લંબાઈના વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ નું સૂત્ર: $e = Bvl$ છે.
આપેલ છે:
પાંખનો ફેલાવો $(l)$ = $20 \, m$.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો શિરોલંબ ઘટક $(B)$ = $5 \times 10^{-5} \, T$.
વિમાનનો વેગ $(v)$ = $360 \, km/h$.
સૌ પ્રથમ,વેગને $SI$ એકમ $(m/s)$ માં ફેરવો:
$v = 360 \times \frac{5}{18} = 100 \, m/s$.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = (5 \times 10^{-5} \, T) \times (100 \, m/s) \times (20 \, m)$.
$e = 5 \times 10^{-5} \times 2000 = 5 \times 10^{-5} \times 2 \times 10^3 = 10 \times 10^{-2} = 0.1 \, V$.
આમ,ઉત્પન્ન થતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $0.1 \, V$ છે.

(C) પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e.m.f.)$ નું સૂત્ર $e = B \cdot l \cdot v \cdot \sin(\theta)$ છે, જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ, ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ અને વાહકની લંબાઈ વચ્ચેનો ખૂણો છે。
જ્યારે કોઈ વાહક ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં ઊભી રીતે નીચે પડે છે, ત્યારે તે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની રેખાઓના સમક્ષિતિજ ઘટકને સમાંતર ગતિ કરે છે。
વાહક ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને સમાંતર ગતિ કરતું હોવાથી, તે ચુંબકીય ફ્લક્સ રેખાઓને કાપતું નથી。
તેથી, ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે અને વાહકની લંબાઈ સાથે કોઈ પ્રેરિત $e.m.f.$ ઉત્પન્ન થતું નથી。

(C) ભ્રમણ કરતા સળિયામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = \frac{1}{2} B l^2 \omega$.
આપેલ છે: $l = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$,$B = 0.5 \text{ T}$,અને આવૃત્તિ $\nu = 100 \text{ rps}$.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi \nu$ હોવાથી,આપણે તેને સૂત્રમાં મૂકીએ:
$e = \frac{1}{2} B l^2 (2 \pi \nu) = B l^2 \pi \nu$.
કિંમતો મૂકતા:
$e = 0.5 \times (0.2)^2 \times 3.14 \times 100$.
$e = 0.5 \times 0.04 \times 314 = 0.02 \times 314 = 6.28 \text{ V}$.

(D) ધારો કે વર્તુળાકાર પ્લેટના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક છે.
જ્યારે પ્લેટ $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ફરે છે,ત્યારે આ ઘટકનો રેખીય વેગ $v = \omega x$ થાય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $dx$ લંબાઈના આ નાના ઘટક પર પ્રેરિત ગતિકીય emf $d\varepsilon$ નું સૂત્ર $d\varepsilon = B v dx$ છે.
$v = \omega x$ મૂકતા,આપણને $d\varepsilon = B (\omega x) dx$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(x=0)$ અને કિનારી $(x=R)$ વચ્ચે ઉત્પન્ન થતું કુલ emf $\varepsilon$ શોધવા માટે,આપણે આ પદનું સંકલન કરીએ છીએ:
$\varepsilon = \int_{0}^{R} B \omega x dx = B \omega \int_{0}^{R} x dx$.
$\varepsilon = B \omega \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{R} = \frac{B \omega R^2}{2}$.

(B) જ્યારે $l$ લંબાઈનો વાહક $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં તેની લંબાઈ અને વેગ સદિશને લંબ દિશામાં $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે પ્રેરિત ગતિકીય emf $E = Blv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સિસ્ટમમાં,બે ગતિશીલ વાહક ભાગો ($U$ ટ્યુબના વળાંકવાળા છેડા) છે,જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $l$ છે અને તે એકબીજા તરફ $v$ ઝડપે ગતિ કરે છે.
દરેક ગતિશીલ ભાગ $E = Blv$ મૂલ્યના ગતિકીય emf ના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
કારણ કે બંને ટ્યુબ એકબીજા તરફ ગતિ કરી રહી છે,તેથી બંધ લૂપમાં બંને ભાગોમાં પ્રેરિત emf શ્રેણીમાં છે અને તેમનો સરવાળો થાય છે.
તેથી,પરિપથમાં કુલ પ્રેરિત emf $E_{\text{net}} = Blv + Blv = 2Blv$ થશે.

(B) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ ના બે ઘટકો છે: સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = B_0 \cos \delta$ અને શિરોલંબ ઘટક $B_V = B_0 \sin \delta$.
જ્યારે $l$ લંબાઈનો વાહક ચુંબકીય ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં રાખેલો હોય અને તે $v$ વેગથી પૂર્વ દિશામાં ગતિ કરે,ત્યારે તે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના શિરોલંબ ઘટક $(B_V)$ ને કાપે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર $e = B_V l v$ છે.
$B_V = B_0 \sin \delta$ કિંમત મૂકતા,આપણને $e = (B_0 \sin \delta) l v = B_0 l v \sin \delta$ મળે છે.

(A) ધારો કે ભ્રમણાક્ષથી $r$ અંતરે $dr$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ છે. આ ખંડનો વેગ $v = r\omega$ છે.
આ નાના ખંડ પર ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. $de = Bv dr = B(r\omega) dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયાના બે છેડાઓ વચ્ચેનું કુલ પ્રેરિત e.m.f. શોધવા માટે,આપણે આ પદનું $r = 0$ થી $r = l$ સુધી સંકલન કરીએ:
$e = \int_{0}^{l} B\omega r dr = B\omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{l} = \frac{1}{2}B\omega l^2$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(emf)$ ગતિકીય $emf$ ના સૂત્ર $e = B l v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ વાહકની અસરકારક લંબાઈ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર રીંગ માટે જે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ $V$ વેગથી ગતિ કરે છે,છેડાઓ $M$ અને $Q$ વચ્ચેની અસરકારક લંબાઈ $l$ એ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ છે,જે $2R$ છે.
તેથી,પ્રેરિત $emf$ $e = B(2R)V = 2RBV$ થશે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરશે. જેમ રીંગ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે,તેમ લૂપમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ ઘટે છે. આનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહ બાહ્ય ક્ષેત્રની દિશામાં (કાગળની અંદરની તરફ) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,આ $M$ થી $Q$ તરફ વહેતા પ્રવાહને અનુરૂપ છે,જે $Q$ ને ઉચ્ચ વિદ્યુતસ્થિતિમાન પર બનાવે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહક માટે પ્રેરિત $EMF$ નું સૂત્ર $\varepsilon = B_H lv$ છે.
આપેલ છે: $B_H = 3 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$,$l = 2 \, m$,$v = 50 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon = (3 \times 10^{-5}) \times 2 \times 50 = 300 \times 10^{-5} \, V = 3 \times 10^{-3} \, V = 3 \, mV$.
ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,જ્યારે સળિયો શિરોલંબ નીચે પડે છે (વેગ સદિશ નીચેની તરફ) અને સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર (ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ) હોય,ત્યારે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ છેડા $B$ તરફ લાગે છે. પરિણામે,છેડો $A$ ધનભારિત બને છે.

(B) તારમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = Bvl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $B = 0.5 \, T$,$v = 2 \, ms^{-1}$,$l = 1 \, m$.
$\varepsilon = 0.5 \times 2 \times 1 = 1 \, V$.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{1}{6} \, A$ છે.
તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = BIl = 0.5 \times \frac{1}{6} \times 1 = \frac{0.5}{6} = \frac{1}{12} \, N$ છે.
કાર્ય કરવાનો દર (પાવર) $P = Fv = \frac{1}{12} \times 2 = \frac{1}{6} \, W$ થાય.

(D) જ્યારે કોઈ વાહક ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના છેડાઓ વચ્ચે ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ (emf) પ્રેરિત થાય છે,જે $\varepsilon = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ગતિકીય emf વાહકની અંદર પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \vec{v} \times \vec{B}$ સાથે સંકળાયેલું છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ચોરસ લૂપ $ABCD$ એ લૂપના સમતલને લંબ એવા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગ સાથે ગતિ કરી રહી છે.
બાજુ $AD$ માટે,વેગ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ છે,તેથી $AD$ ની સાથે વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્રેરિત થાય છે.
તે જ રીતે,બાજુ $BC$ માટે,વેગ $\vec{v}$ પણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ છે,તેથી $BC$ ની સાથે પણ વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્રેરિત થાય છે.
આમ,$AD$ અને $BC$ બંને બાજુઓ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી પસાર થઈ રહી હોવાથી,બંને વાહકોમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્રેરિત થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) સળિયામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = Bvl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B = 0.15 \, T$,$v = 2 \, m/s$,અને $l = 50 \, cm = 0.5 \, m$ છે.
પરિપથમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{Bvl}{R}$ છે,જ્યાં $R = 3 \, \Omega$ છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = Bil = B \left( \frac{Bvl}{R} \right) l = \frac{B^2 v l^2}{R}$ છે.
સળિયાને અચળ ઝડપે ખસેડવા માટે,બાહ્ય બળ $F_{ext}$ નું મૂલ્ય ચુંબકીય બળ $F_m$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$F_{ext} = \frac{(0.15)^2 \times 2 \times (0.5)^2}{3} = \frac{0.0225 \times 2 \times 0.25}{3} = \frac{0.01125}{3} = 0.00375 \, N = 3.75 \times 10^{-3} \, N$.

(B) $1$. અવરોધોનું નેટવર્ક એ સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે। બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચે બ્રિજનો સમતુલ્ય અવરોધ $3 \, \Omega$ છે।
$2$. પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{loop} + R_{bridge} = 1 \, \Omega + 3 \, \Omega = 4 \, \Omega$ છે।
$3$. લૂપમાં પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ (emf) $e = Bvl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $B = 2 \, Wb/m^2$, $l = 0.1 \, m$, અને $v$ એ વેગ છે।
$4$. પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R_{total}} = \frac{Bvl}{R_{total}}$ છે।
$5$. આપેલ છે કે $i = 1 \, mA = 10^{-3} \, A$, તેથી $10^{-3} = \frac{2 \times v \times 0.1}{4}$.
$6$. $v$ માટે ઉકેલતા: $10^{-3} = \frac{0.2v}{4} \Rightarrow 10^{-3} = 0.05v \Rightarrow v = \frac{10^{-3}}{0.05} = 0.02 \, m/s$.
$7$. $cm/s$ માં રૂપાંતર કરતા: $v = 0.02 \times 100 \, cm/s = 2 \, cm/s$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $\varepsilon = Bvl_{\perp}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l_{\perp}$ એ વેગ સદિશને લંબ વાહકની લંબાઈ છે.
ભાગ $AB$ અને $CD$ તેમની પોતાની લંબાઈની દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા છે,તેથી તેમની વચ્ચે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $0$ છે.
બિંદુઓ $A$ અને $D$ વચ્ચે વાહકની અસરકારક લંબાઈ એ વેગ $v$ ને લંબ દિશામાં બિંદુઓ $B$ અને $C$ વચ્ચેનું લંબ અંતર છે. કારણ કે $\angle BOC = 90^{\circ}$ અને $OB = OC = 1\, m$ છે,તેથી અંતર $BC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\, m$ થાય.
$A$ અને $D$ વચ્ચેનું પ્રેરિત emf એ $v = 1\, m/s$ ના વેગથી $B = 1\, wb/m^2$ ના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા $BC = \sqrt{2}\, m$ લંબાઈના સીધા સળિયામાં ઉદ્ભવતા પ્રેરિત emf ની સમકક્ષ છે.
તેથી,$\varepsilon = Bv(BC) = 1 \times 1 \times \sqrt{2} = 1.41\, volt$.

(A) સળિયા $PQ$ માં પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = Bvl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon = 4.0 \, T \times 2 \, m/s \times 1.0 \, m = 8.0 \, V$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = C\varepsilon$ છે.
$Q = 10 \, \mu F \times 8.0 \, V = 80 \, \mu C$.
ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ સળિયાની અંદર $Q$ થી $P$ તરફ વહે છે. આમ,$P$ ધન ટર્મિનલ તરીકે અને $Q$ ઋણ ટર્મિનલ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પરિપથને અનુસરતા,કેપેસિટરની પ્લેટ $A$ ઉચ્ચ સ્થિતિમાન ધરાવતા ટર્મિનલ $P$ સાથે જોડાયેલ છે,અને પ્લેટ $B$ નિમ્ન સ્થિતિમાન ધરાવતા ટર્મિનલ $Q$ સાથે જોડાયેલ છે.
તેથી,પ્લેટ $A$ પર ધન વિદ્યુતભાર $q_A = + 80 \, \mu C$ અને પ્લેટ $B$ પર ઋણ વિદ્યુતભાર $q_B = - 80 \, \mu C$ જમા થાય છે.

(C) $1$. સરકતા કનેક્ટરમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $e = Bvl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલી કિંમતો મૂકતા: $e = 2 \times 2 \times 1 = 4 \, V$.
$2$. કનેક્ટર $E = 4 \, V$ ના emf અને $r = 2 \, \Omega$ ના આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરી તરીકે કાર્ય કરે છે.
$3$. $6 \, \Omega$ અને $3 \, \Omega$ ના બે અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$,તેથી $R_{eq} = 2 \, \Omega$.
$4$. પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{eq} + r = 2 \, \Omega + 2 \, \Omega = 4 \, \Omega$ છે.
$5$. કનેક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{e}{R_{total}} = \frac{4 \, V}{4 \, \Omega} = 1 \, A$ છે.
$6$. કનેક્ટર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = Bil$ છે. કિંમતો મૂકતા: $F_m = 2 \, T \times 1 \, A \times 1 \, m = 2 \, N$.
$7$. અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે,બાહ્ય બળ $F_{ext}$ એ ચુંબકીય બળ $F_m$ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ. તેથી,$F_{ext} = F_m = 2 \, N$.

(B) જ્યારે તાર $cd$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તારમાં પ્રેરિત $EMF$ ઉત્પન્ન થાય છે જે $\varepsilon = Blv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $R$ અવરોધ ધરાવતા બંધ પરિપથનો ભાગ હોવાથી,તેમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I$ વહે છે,જે $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{Blv}{R}$ છે.
તાર પર ઉપરની તરફ ચુંબકીય બળ $F_m$ લાગે છે,જે $F_m = IlB = \left( \frac{Blv}{R} \right) lB = \frac{B^2l^2v}{R}$ છે.
તાર અચળ વેગથી ગતિ કરે તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. તેથી,ઉપરની તરફ લાગતું ચુંબકીય બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$F_m = mg$
$\frac{B^2l^2v}{R} = mg$
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \frac{mgR}{B^2l^2}$ મળે છે.

(A) જ્યારે બોબ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે ત્યારે તેણે કાપેલી શિરોલંબ ઊંચાઈ $h = L(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, સંતુલન સ્થિતિ (સૌથી નીચું બિંદુ) પર મહત્તમ વેગ $v$ એ $v^2 = 2gh$ દ્વારા મળે છે.
$h = L(1 - \cos \theta) = L(2 \sin^2(\theta/2))$ મૂકતા, આપણને $v^2 = 2gL(2 \sin^2(\theta/2)) = 4gL \sin^2(\theta/2)$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા, $v = 2\sqrt{gL} \sin(\theta/2)$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $L$ લંબાઈના વાહકમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય $EMF$ $V = BvL$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા, મહત્તમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{\max} = B \times (2\sqrt{gL} \sin(\theta/2)) \times L = 2BL \sin(\theta/2) (gL)^{1/2}$ થાય છે.

(D) જ્યારે લૂપ ધ્રુવ ટુકડાઓ વચ્ચેના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ દરે વધે છે,જેના પરિણામે ફેરાડેના નિયમ $(e = -d\phi/dt)$ મુજબ અચળ પ્રેરિત emf ઉત્પન્ન થાય છે.
જ્યારે કોઈલ સંપૂર્ણપણે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર હોય છે,ત્યારે કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ રહે છે,તેથી ફ્લક્સમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી અને પરિણામે પ્રેરિત emf $e = 0$ થાય છે.
જ્યારે કોઈલ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે,ત્યારે કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ દરે ઘટે છે,જે પ્રવેશવાના તબક્કાની તુલનામાં વિરુદ્ધ દિશામાં emf પ્રેરિત કરે છે.
તેથી,આલેખ પ્રવેશ દરમિયાન અચળ ધન emf,અંદર હોય ત્યારે શૂન્ય emf અને બહાર નીકળતી વખતે અચળ ઋણ emf દર્શાવે છે. આ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) જ્યારે $R$ અવરોધ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતી વાહક લૂપને $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી $v$ ઝડપથી બહાર ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = Bvl$ ઉત્પન્ન થાય છે.
આ $EMF$ પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{Bvl}{R}$ ઉત્પન્ન કરે છે.
લૂપ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = Bil = B \left( \frac{Bvl}{R} \right) l = \frac{B^2 l^2 v}{R}$ છે.
લૂપને અચળ ઝડપ $v$ થી ખેંચવા માટે,બાહ્ય ખેંચનાર એજન્ટને સમાન અને વિરુદ્ધ બળ $F_{ext} = F = \frac{B^2 l^2 v}{R}$ લગાડવું પડે છે.
ખેંચનાર એજન્ટ દ્વારા આપવામાં આવતી પાવર $P = F_{ext} \times v = \left( \frac{B^2 l^2 v}{R} \right) \times v = \frac{B^2 l^2 v^2}{R}$ છે.
અહીં $B$,$l$,અને $R$ અચળ હોવાથી,$P \propto v^2$ મળે છે.
$P$ વિરુદ્ધ $v$ નો આલેખ જ્યાં $P \propto v^2$ હોય તે ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે,જે વક્ર $b$ ને અનુરૂપ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $e = B l v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને વેગ સદિશ બંનેને લંબ રહેલી વાહકની લંબાઈ છે.
આ કિસ્સામાં,જેમ લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દાખલ થાય છે,તેમ લૂપની ઊભી બાજુ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપે છે.
ધારો કે લૂપ $a$ અને $b$ ની ઊભી બાજુની લંબાઈ $L$ છે,અને લૂપ $c$ અને $d$ ની ઊભી બાજુની લંબાઈ $2L$ છે.
$e \propto l$ હોવાથી,પ્રેરિત emf એ ક્ષેત્રને કાપતી બાજુની લંબાઈના પ્રમાણમાં હોય છે.
લૂપ $a$ અને $b$ માટે,$e_a = e_b = B L v$.
લૂપ $c$ અને $d$ માટે,$e_c = e_d = B (2L) v = 2 B L v$.
આમ,સરખામણી કરતા આપણને $e_c = e_d > e_a = e_b$ મળે છે.

(D) પૃથ્વીનું ચુંબકીયક્ષેત્ર $B = 3 \times 10^{-4} \, T$ છે અને ડીપ એન્ગલ $\phi = \tan^{-1}(4/3)$ છે.
ઊર્ધ્વ ઘટક $B_V = B \sin \phi = B \times \frac{4}{5} = 3 \times 10^{-4} \times 0.8 = 2.4 \times 10^{-4} \, T$.
પ્રેરિત $emf$ $e = B_V v l$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $v = 10 \, cm/s = 0.1 \, m/s$ અને $l = 0.25 \, m$ છે.
$e = 2.4 \times 10^{-4} \times 0.1 \times 0.25 = 6 \times 10^{-6} \, V = 6 \, \mu V$.
પ્રશ્નમાં આપેલ ઉકેલ મુજબ ગણતરી કરતા $e = 10 \, \mu V$ મળે છે.

(C) ભ્રમણ કરતી તકતીમાં ઉત્પન્ન થતું $emf$ $(E)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \frac{1}{2} B \omega R^2$.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(R)$ = $0.1 \ m$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ = $0.1 \ T$
આવૃત્તિ $(f)$ = $10 \ rev/s$
કોણીય વેગ $(\omega)$ = $2\pi f = 2 \times \pi \times 10 = 20\pi \ rad/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (20\pi) \times (0.1)^2$
$E = 0.1 \times 10\pi \times 0.01$
$E = 1 \times \pi \times 0.01 = 0.01\pi \ V$
મિલીવોલ્ટ $(mV)$ માં ફેરવતા:
$E = 0.01\pi \times 1000 \ mV = 10\pi \ mV$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) કોઇલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = nBA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,અક્ષ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી $\theta_1 = 0^o$. આમ,$\phi_1 = nBA \cos 0^o = nBA$.
$180^o$ ના ભ્રમણ પછી,નવો ખૂણો $\theta_2 = 180^o$ થાય છે. તેથી,$\phi_2 = nBA \cos 180^o = -nBA$.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = -nBA - nBA = -2nBA$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,ઉદ્ભવતું $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
ઉદ્ભવતો વિદ્યુતભાર $Q = \int I dt = \int \frac{|\varepsilon|}{R} dt = \frac{|\Delta \phi|}{R}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q = \frac{|-2nBA|}{R} = \frac{2nBA}{R}$.
$B$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$B = \frac{QR}{2nA}$ મળે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉત્પન્ન થતો $emf$ નું સૂત્ર $e = Bvl_{eff}$ છે, જ્યાં $l_{eff}$ એ વાહકના બે છેડાઓ વચ્ચેનું અસરકારક અંતર (સીધી રેખાનું અંતર) છે.
$L$ લંબાઈના અર્ધવર્તુળ માટે, પરિઘ $L = \pi R$ થાય, જ્યાં $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
તેથી, ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{\pi}$ મળે.
અર્ધવર્તુળના બે છેડાઓ વચ્ચેનું અસરકારક અંતર $l_{eff}$ એ તેનો વ્યાસ છે, જે $2R$ થાય.
તેથી, $l_{eff} = 2R = \frac{2L}{\pi}$.
આ કિંમતને $emf$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $e = Bv \left( \frac{2L}{\pi} \right) = \frac{2BvL}{\pi}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉત્પન્ન થતું ગતિકીય $emf$ સૂત્ર $\varepsilon = B l v \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$emf$ ઉત્પન્ન થવા માટે,વાહકે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપવી આવશ્યક છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે સળિયાના વેગનો ઘટક ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને લંબ હોય.
આપેલ આકૃતિમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $N$ ધ્રુવથી $S$ ધ્રુવ તરફ (આડી દિશામાં) છે.
- સળિયાને $L$ અથવા $Q$ દિશામાં ગતિ કરાવવી એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને સમાંતર છે,તેથી કોઈ $emf$ ઉત્પન્ન થતો નથી.
- સળિયાને $P$ દિશામાં ગતિ કરાવવી એ સળિયાની લંબાઈની દિશામાં છે,જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપતું નથી.
- સળિયાને $M$ દિશામાં ગતિ કરાવવી એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને લંબ છે,જેના પરિણામે ચુંબકીય ફ્લક્સનું મહત્તમ કટિંગ થાય છે,અને સળિયાના છેડાઓ વચ્ચે $emf$ ઉત્પન્ન થાય છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $l$ લંબાઈના વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય $emf$ નું સૂત્ર $\varepsilon = Blv$ છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બે ઉભી બાજુઓ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે.
ડાબી બાજુની $U$-ટ્યુબનો ઉભો ભાગ $v$ વેગથી જમણી તરફ ગતિ કરે છે,જે $Blv$ જેટલો $emf$ ઉત્પન્ન કરે છે.
જમણી બાજુની $U$-ટ્યુબનો ઉભો ભાગ $v$ વેગથી ડાબી તરફ ગતિ કરે છે,જે પણ $Blv$ જેટલો $emf$ ઉત્પન્ન કરે છે.
આ બંને ભાગો પરિપથમાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,કુલ પ્રેરિત $emf$ એ વ્યક્તિગત $emf$ નો સરવાળો થશે.
તેથી,$E_{\text{net}} = Blv + Blv = 2Blv$.