અ Gujarati
Electric potential Questions in Gujarati
Class 12 Physics · Electric Potential and Capacitance · Electric potential
432+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 432 questions in Gujarati
351
EasyMCQ
$R \text{ m}$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બે સમાન પાતળી રીંગોને એક જ અક્ષ પર $R \text{ m}$ અંતરે રાખવામાં આવી છે. જો તેમના પરનો વિદ્યુતભાર અનુક્રમે $10 \text{ C}$ અને $5 \text{ C}$ હોય,તો એક રીંગના કેન્દ્રથી બીજી રીંગના કેન્દ્ર સુધી '$q$' કુલંબ વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય શોધો.
A
$\frac{5 q}{4 \pi \varepsilon_0 R}\left[\frac{\sqrt{2}-1}{2}\right] \text{ J}$
B
$\frac{5 q}{4 \pi \varepsilon_0 R}\left[1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right] \text{ J}$
C
$\frac{15 q}{4 \pi \varepsilon_0 R}\left[\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right] \text{ J}$
D
$\frac{10 q}{4 \pi \varepsilon_0 R}\left[\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right] \text{ J}$
Solution
(B) ધારો કે રીંગો પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = 10 \text{ C}$ અને $Q_2 = 5 \text{ C}$ છે. કેન્દ્રો $O$ અને $O'$ વચ્ચેનું અંતર $R$ છે.
પ્રથમ રીંગના કેન્દ્ર $O$ પરનું સ્થિતિમાન તેના પોતાના વિદ્યુતભાર $Q_1$ અને બીજી રીંગ પરના વિદ્યુતભાર $Q_2$ ને કારણે છે:
$V_O = \frac{k Q_1}{R} + \frac{k Q_2}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{k Q_1}{R} + \frac{k Q_2}{\sqrt{2}R} = \frac{k}{R} \left( Q_1 + \frac{Q_2}{\sqrt{2}} \right)$
બીજી રીંગના કેન્દ્ર $O'$ પરનું સ્થિતિમાન તેના પોતાના વિદ્યુતભાર $Q_2$ અને પ્રથમ રીંગ પરના વિદ્યુતભાર $Q_1$ ને કારણે છે:
$V_{O'} = \frac{k Q_2}{R} + \frac{k Q_1}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{k Q_2}{R} + \frac{k Q_1}{\sqrt{2}R} = \frac{k}{R} \left( Q_2 + \frac{Q_1}{\sqrt{2}} \right)$
સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_O - V_{O'}$ છે:
$\Delta V = \frac{k}{R} \left( Q_1 + \frac{Q_2}{\sqrt{2}} - Q_2 - \frac{Q_1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{k}{R} \left( Q_1(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) - Q_2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) \right)$
$\Delta V = \frac{k}{R} (Q_1 - Q_2) \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$Q_1 = 10 \text{ C}$,$Q_2 = 5 \text{ C}$,અને $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ મૂકતા:
$W = q \Delta V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R} (10 - 5) \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{5 q}{4 \pi \varepsilon_0 R} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \text{ J}$.
પ્રથમ રીંગના કેન્દ્ર $O$ પરનું સ્થિતિમાન તેના પોતાના વિદ્યુતભાર $Q_1$ અને બીજી રીંગ પરના વિદ્યુતભાર $Q_2$ ને કારણે છે:
$V_O = \frac{k Q_1}{R} + \frac{k Q_2}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{k Q_1}{R} + \frac{k Q_2}{\sqrt{2}R} = \frac{k}{R} \left( Q_1 + \frac{Q_2}{\sqrt{2}} \right)$
બીજી રીંગના કેન્દ્ર $O'$ પરનું સ્થિતિમાન તેના પોતાના વિદ્યુતભાર $Q_2$ અને પ્રથમ રીંગ પરના વિદ્યુતભાર $Q_1$ ને કારણે છે:
$V_{O'} = \frac{k Q_2}{R} + \frac{k Q_1}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{k Q_2}{R} + \frac{k Q_1}{\sqrt{2}R} = \frac{k}{R} \left( Q_2 + \frac{Q_1}{\sqrt{2}} \right)$
સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_O - V_{O'}$ છે:
$\Delta V = \frac{k}{R} \left( Q_1 + \frac{Q_2}{\sqrt{2}} - Q_2 - \frac{Q_1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{k}{R} \left( Q_1(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) - Q_2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) \right)$
$\Delta V = \frac{k}{R} (Q_1 - Q_2) \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$Q_1 = 10 \text{ C}$,$Q_2 = 5 \text{ C}$,અને $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ મૂકતા:
$W = q \Delta V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R} (10 - 5) \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{5 q}{4 \pi \varepsilon_0 R} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \text{ J}$.
0 likes
View Solution352
EasyMCQ
વિદ્યુતક્ષેત્રના રેખા સંકલન (line integral) દ્વારા મળતી ભૌતિક રાશિનો એકમ . . . . . . છે.
A
$N C^{-1}$
B
$V m^{-1}$
C
$J C^{-1}$
D
$C^2 N^{-1} m^{-1}$
Solution
(C) કોઈ માર્ગ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ નું રેખા સંકલન એ બે બિંદુઓ વચ્ચેના વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત $V$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,$V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{l}$.
વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નો $SI$ એકમ વોલ્ટ $(V)$ છે,જે એકમ ધન વિદ્યુતભાર દીઠ કરેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$1 \ V = 1 \ J C^{-1}$.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્રના રેખા સંકલન દ્વારા મળતી ભૌતિક રાશિનો એકમ $J C^{-1}$ (અથવા વોલ્ટ) છે.
ગાણિતિક રીતે,$V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{l}$.
વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નો $SI$ એકમ વોલ્ટ $(V)$ છે,જે એકમ ધન વિદ્યુતભાર દીઠ કરેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$1 \ V = 1 \ J C^{-1}$.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્રના રેખા સંકલન દ્વારા મળતી ભૌતિક રાશિનો એકમ $J C^{-1}$ (અથવા વોલ્ટ) છે.
0 likes
View Solution353
EasyMCQ
$10 \ cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક પોલો ધાતુનો ગોળો એવી રીતે વિદ્યુતભારિત કરવામાં આવે છે કે તેની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $80 \ V$ થાય છે. ગોળાના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન . . . . . . છે. ($V$ માં)
A
$80$
B
$800$
C
$8$
D
$0$
Solution
(A) વિદ્યુતભારિત પોલા ધાતુના ગોળા માટે,ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે $(E = 0)$.
કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્થિતિમાનનો ઋણ પ્રચલન છે $(E = -dV/dr)$,જો $E = 0$ હોય,તો ગોળાની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહેવું જોઈએ.
તેથી,ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ,કેન્દ્ર સહિત,સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આપેલ છે કે સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $80 \ V$ છે,તેથી ગોળાના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $80 \ V$ થશે.
કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્થિતિમાનનો ઋણ પ્રચલન છે $(E = -dV/dr)$,જો $E = 0$ હોય,તો ગોળાની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહેવું જોઈએ.
તેથી,ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ,કેન્દ્ર સહિત,સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આપેલ છે કે સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $80 \ V$ છે,તેથી ગોળાના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $80 \ V$ થશે.
0 likes
View Solution354
EasyMCQ
સમાન કદના બે તાંબાના ગોળાઓમાંથી,$x$ પોલો છે જ્યારે $y$ નક્કર છે. જો તેઓને સમાન સ્થિતિમાન પર ચાર્જ કરવામાં આવે,તો તેમના પરના વિદ્યુતભાર વિશે શું કહી શકાય?
A
ગોળા $y$ પર વધુ વિદ્યુતભાર હશે.
B
ગોળા $x$ પર વધુ વિદ્યુતભાર હશે.
C
બંને ગોળાઓ પરનો વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે.
D
બંને ગોળાઓ પરનો વિદ્યુતભાર સમાન છે.
Solution
(D) વાહક ગોળા માટે,સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ કુલંબનો અચળાંક છે,$Q$ એ ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર છે અને $R$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
બંને ગોળાઓ તાંબાના (વાહક) બનેલા હોવાથી અને સમાન કદના હોવાથી,તેમની ત્રિજ્યા $R$ સમાન છે.
આપેલ છે કે બંને ગોળાઓને સમાન સ્થિતિમાન $V$ પર ચાર્જ કરવામાં આવ્યા છે,તેથી $V_x = V_y = V$.
$V = \frac{kQ}{R}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $V = \frac{kQ_x}{R}$ અને $V = \frac{kQ_y}{R}$ મળે છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $\frac{kQ_x}{R} = \frac{kQ_y}{R}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $Q_x = Q_y$.
તેથી,બંને ગોળાઓ પરનો વિદ્યુતભાર સમાન છે,ભલે ગોળો પોલો હોય કે નક્કર,કારણ કે વાહક પરનો વિદ્યુતભાર સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહે છે.
બંને ગોળાઓ તાંબાના (વાહક) બનેલા હોવાથી અને સમાન કદના હોવાથી,તેમની ત્રિજ્યા $R$ સમાન છે.
આપેલ છે કે બંને ગોળાઓને સમાન સ્થિતિમાન $V$ પર ચાર્જ કરવામાં આવ્યા છે,તેથી $V_x = V_y = V$.
$V = \frac{kQ}{R}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $V = \frac{kQ_x}{R}$ અને $V = \frac{kQ_y}{R}$ મળે છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $\frac{kQ_x}{R} = \frac{kQ_y}{R}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $Q_x = Q_y$.
તેથી,બંને ગોળાઓ પરનો વિદ્યુતભાર સમાન છે,ભલે ગોળો પોલો હોય કે નક્કર,કારણ કે વાહક પરનો વિદ્યુતભાર સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહે છે.
0 likes
View Solution355
EasyMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $a$,$b$ અને $c$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ત્રણ સમકેન્દ્રીય ધાતુના કવચ $A$,$B$ અને $C$ ધ્યાનમાં લો $(a < b < c)$. તેમની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા અનુક્રમે $\sigma$,$-\sigma$ અને $\sigma$ છે. કવચ $A$ ની સપાટી પર વિદ્યુત સ્થિતિમાનની ગણતરી કરો.
A
$\frac{\sigma}{\varepsilon_0}(a-b-c)$
B
$\frac{\sigma}{\varepsilon_0}(a+b-c)$
C
$\frac{\sigma}{\varepsilon_0}(a-b+c)$
D
$\frac{\sigma}{\varepsilon_0}(a^2+b^2+c^2)$
Solution
(C) કવચ $A$ ની સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન એ ત્રણેય કવચ $A$,$B$ અને $C$ ને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$V_A = V_a + V_b + V_c$
કવચ $A$ ની સપાટી પરનું બિંદુ એ કવચ $B$ અને $C$ ની અંદર હોવાથી,આ બિંદુએ કવચ $B$ અને $C$ ને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન તેમની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
$V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q_a}{a} + \frac{q_b}{b} + \frac{q_c}{c} \right]$
આપેલ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા: $\sigma_a = \sigma$,$\sigma_b = -\sigma$,$\sigma_c = \sigma$.
તેથી વિદ્યુતભારો $q_a = 4 \pi a^2 \sigma$,$q_b = 4 \pi b^2(-\sigma)$,અને $q_c = 4 \pi c^2 \sigma$ થશે.
આ કિંમતોને સ્થિતિમાનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{4 \pi a^2 \sigma}{a} + \frac{4 \pi b^2(-\sigma)}{b} + \frac{4 \pi c^2 \sigma}{c} \right]$
$V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [4 \pi a \sigma - 4 \pi b \sigma + 4 \pi c \sigma]$
$V_A = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (a - b + c)$
$V_A = V_a + V_b + V_c$
કવચ $A$ ની સપાટી પરનું બિંદુ એ કવચ $B$ અને $C$ ની અંદર હોવાથી,આ બિંદુએ કવચ $B$ અને $C$ ને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન તેમની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
$V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q_a}{a} + \frac{q_b}{b} + \frac{q_c}{c} \right]$
આપેલ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા: $\sigma_a = \sigma$,$\sigma_b = -\sigma$,$\sigma_c = \sigma$.
તેથી વિદ્યુતભારો $q_a = 4 \pi a^2 \sigma$,$q_b = 4 \pi b^2(-\sigma)$,અને $q_c = 4 \pi c^2 \sigma$ થશે.
આ કિંમતોને સ્થિતિમાનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{4 \pi a^2 \sigma}{a} + \frac{4 \pi b^2(-\sigma)}{b} + \frac{4 \pi c^2 \sigma}{c} \right]$
$V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [4 \pi a \sigma - 4 \pi b \sigma + 4 \pi c \sigma]$
$V_A = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (a - b + c)$
0 likes
View Solution356
EasyMCQ
જો $4 \ C$ ના વિદ્યુતભારને $10 \ V$ સ્થિતિમાન ધરાવતા બિંદુથી $V \ V$ સ્થિતિમાન ધરાવતા બીજા બિંદુ સુધી લઈ જવા માટે $20 \ J$ કાર્ય કરવું પડતું હોય,તો $V$ નું મૂલ્ય શોધો. ($V$ માં)
A
$5$
B
$15$
C
$2$
D
$70$
Solution
(B) બે બિંદુઓ વચ્ચે $q$ વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$,સ્થિતિમાનના તફાવત $\Delta V$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $W = q \Delta V$.
અહીં,$W = 20 \ J$,$q = 4 \ C$,પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_i = 10 \ V$ અને અંતિમ સ્થિતિમાન $V_f = V$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_f - V_i = V - 10$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$20 = 4(V - 10)$
બંને બાજુ $4$ વડે ભાગતા:
$5 = V - 10$
બંને બાજુ $10$ ઉમેરતા:
$V = 15 \ V$.
અહીં,$W = 20 \ J$,$q = 4 \ C$,પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_i = 10 \ V$ અને અંતિમ સ્થિતિમાન $V_f = V$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_f - V_i = V - 10$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$20 = 4(V - 10)$
બંને બાજુ $4$ વડે ભાગતા:
$5 = V - 10$
બંને બાજુ $10$ ઉમેરતા:
$V = 15 \ V$.
0 likes
View Solution357
EasyMCQ
શૂન્યાવકાશમાં મૂકેલા એક સમઘનના શિરોબિંદુઓ પર $q$ મૂલ્યના આઠ વિદ્યુતભારો મૂકવામાં આવ્યા છે. આ વિદ્યુતભારોની સિસ્ટમને કારણે સમઘનના કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન . . . . . . છે. ($\varepsilon_0 = $ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી,$a = $ સમઘનની દરેક બાજુની લંબાઈ.)
A
શૂન્ય
B
$\frac{\sqrt{3} q}{\pi \varepsilon_0 a}$
C
$\frac{2 q}{\pi \varepsilon_0 a}$
D
$\frac{4 q}{\sqrt{3} \pi \varepsilon_0 a}$
Solution
(D) બાજુવાળા સમઘનના મુખ્ય વિકર્ણની લંબાઈ $\sqrt{3} a$ છે. સમઘનના કેન્દ્ર $O$ થી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર $r$ એ મુખ્ય વિકર્ણનું અડધું છે: $r = \frac{\sqrt{3} a}{2}$.
સમઘનના શિરોબિંદુઓ પર $8$ સમાન વિદ્યુતભારો $q$ હોવાથી,કેન્દ્ર $O$ પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{r}$
$r$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{\frac{\sqrt{3} a}{2}}$
$V = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{2q}{\sqrt{3} a}$
$V = \frac{4 q}{\sqrt{3} \pi \varepsilon_0 a}$
સમઘનના શિરોબિંદુઓ પર $8$ સમાન વિદ્યુતભારો $q$ હોવાથી,કેન્દ્ર $O$ પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{r}$
$r$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{\frac{\sqrt{3} a}{2}}$
$V = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{2q}{\sqrt{3} a}$
$V = \frac{4 q}{\sqrt{3} \pi \varepsilon_0 a}$
0 likes
View Solution358
EasyMCQ
$9 \times 10^{-15} \ m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પરમાણુ ન્યુક્લિયસ $(Z=50)$ ની સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન . . . . . . છે.
A
$9 \ V$
B
$9 \times 10^5 \ V$
C
$80 \ V$
D
$8 \times 10^6 \ V$
Solution
(D) ન્યુક્લિયસની સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \frac{k Q}{r}$.
અહીં,$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$,$Q = Ze = 50 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $r = 9 \times 10^{-15} \ m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{(9 \times 10^9) \times (50 \times 1.6 \times 10^{-19})}{9 \times 10^{-15}}$
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-15}}$
$V = 80 \times 10^{-10} \times 10^{15} \ V$
$V = 80 \times 10^5 \ V = 8 \times 10^6 \ V$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
અહીં,$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$,$Q = Ze = 50 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $r = 9 \times 10^{-15} \ m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{(9 \times 10^9) \times (50 \times 1.6 \times 10^{-19})}{9 \times 10^{-15}}$
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-15}}$
$V = 80 \times 10^{-10} \times 10^{15} \ V$
$V = 80 \times 10^5 \ V = 8 \times 10^6 \ V$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
0 likes
View Solution359
EasyMCQ
$9 \ cm$ બાજુ ધરાવતા નિયમિત ષટ્કોણના દરેક શિરોબિંદુ પર $5 \mu C$ નો વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવ્યો છે. તો તેના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $..........V$ થશે. $(k = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2})$
A
$3 \times 10^7$
B
$3 \times 10^5$
C
$3 \times 10^6$
D
$3 \times 10^8$
Solution
(C) નિયમિત ષટ્કોણમાં,કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર તેની બાજુની લંબાઈ જેટલું હોય છે. આપેલ બાજુની લંબાઈ $r = 9 \ cm = 0.09 \ m$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર $q = 5 \mu C = 5 \times 10^{-6} \ C$ નો વિદ્યુતભાર છે.
$r$ અંતરે રહેલા એક વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_i = \frac{kq}{r}$ છે.
ષટ્કોણના શિરોબિંદુઓ પર $6$ સમાન વિદ્યુતભારો હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = 6 \times \frac{kq}{r}$
કિંમતો મૂકતા:
$V = 6 \times \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-6}}{0.09}$
$V = 6 \times \frac{45 \times 10^3}{9 \times 10^{-2}}$
$V = 6 \times 5 \times 10^5$
$V = 30 \times 10^5 = 3 \times 10^6 \ V$.
દરેક શિરોબિંદુ પર $q = 5 \mu C = 5 \times 10^{-6} \ C$ નો વિદ્યુતભાર છે.
$r$ અંતરે રહેલા એક વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_i = \frac{kq}{r}$ છે.
ષટ્કોણના શિરોબિંદુઓ પર $6$ સમાન વિદ્યુતભારો હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = 6 \times \frac{kq}{r}$
કિંમતો મૂકતા:
$V = 6 \times \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-6}}{0.09}$
$V = 6 \times \frac{45 \times 10^3}{9 \times 10^{-2}}$
$V = 6 \times 5 \times 10^5$
$V = 30 \times 10^5 = 3 \times 10^6 \ V$.
0 likes
View Solution360
EasyMCQ
એક સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં એક બિંદુએ $2 \mu C$ વિદ્યુતભારની વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $3 \times 10^{-5} \text{ J}$ છે. તે બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન . . . . . . $V$ છે.
A
$5$
B
$15$
C
$6$
D
શૂન્ય
Solution
(B) કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ એકમ ધન વિદ્યુતભાર દીઠ વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સૂત્ર: $V = \frac{U}{q}$
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 2 \mu C = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$
સ્થિતિઊર્જા $U = 3 \times 10^{-5} \text{ J}$
ગણતરી:
$V = \frac{3 \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-6}}$
$V = 1.5 \times 10^1$
$V = 15 \text{ V}$
તેથી,તે બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $15 \text{ V}$ છે.
સૂત્ર: $V = \frac{U}{q}$
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 2 \mu C = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$
સ્થિતિઊર્જા $U = 3 \times 10^{-5} \text{ J}$
ગણતરી:
$V = \frac{3 \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-6}}$
$V = 1.5 \times 10^1$
$V = 15 \text{ V}$
તેથી,તે બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $15 \text{ V}$ છે.
0 likes
View Solution361
EasyMCQ
આકૃતિ અનુક્રમે ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારની વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવે છે. સ્થિતિમાનના તફાવત $V_Q - V_P$ અને $V_B - V_A$ ની સંજ્ઞા નક્કી કરો.
A
$-Ve, +Ve$
B
$+Ve, -Ve$
C
$+Ve, +Ve$
D
$-Ve, -Ve$
Solution
(C) ધન વિદ્યુતભાર $+q$ માટે,$r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $V \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી,વિદ્યુતભારની નજીક સ્થિતિમાન વધારે હોય છે.
ધન વિદ્યુતભાર માટે,બિંદુ $Q$ એ બિંદુ $P$ કરતા વિદ્યુતભારની વધુ નજીક છે,તેથી $r_Q < r_P$. આનો અર્થ એ છે કે $V_Q > V_P$,તેથી $V_Q - V_P > 0$ (ધન).
ઋણ વિદ્યુતભાર $-q$ માટે,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{k(-q)}{r} = -\frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં,વિદ્યુતભારની નજીક સ્થિતિમાન વધુ ઋણ (ઓછું) હોય છે.
ઋણ વિદ્યુતભાર માટે,બિંદુ $A$ એ બિંદુ $B$ કરતા વિદ્યુતભારની વધુ નજીક છે,તેથી $r_A < r_B$. આનો અર્થ એ છે કે $V_A < V_B$ (કારણ કે $V_A$ એ $V_B$ કરતા વધુ ઋણ છે). તેથી,$V_B - V_A > 0$ (ધન).
આમ,બંને સ્થિતિમાનના તફાવત ધન છે.
ધન વિદ્યુતભાર માટે,બિંદુ $Q$ એ બિંદુ $P$ કરતા વિદ્યુતભારની વધુ નજીક છે,તેથી $r_Q < r_P$. આનો અર્થ એ છે કે $V_Q > V_P$,તેથી $V_Q - V_P > 0$ (ધન).
ઋણ વિદ્યુતભાર $-q$ માટે,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{k(-q)}{r} = -\frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં,વિદ્યુતભારની નજીક સ્થિતિમાન વધુ ઋણ (ઓછું) હોય છે.
ઋણ વિદ્યુતભાર માટે,બિંદુ $A$ એ બિંદુ $B$ કરતા વિદ્યુતભારની વધુ નજીક છે,તેથી $r_A < r_B$. આનો અર્થ એ છે કે $V_A < V_B$ (કારણ કે $V_A$ એ $V_B$ કરતા વધુ ઋણ છે). તેથી,$V_B - V_A > 0$ (ધન).
આમ,બંને સ્થિતિમાનના તફાવત ધન છે.
0 likes
View Solution362
EasyMCQ
$3 \text{ nC}$ ના વિદ્યુતભારથી $9 \text{ cm}$ ના અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન કેટલું હશે ($\text{ V}$ માં)?
A
$270$
B
$3$
C
$300$
D
$30$
Solution
(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q}{r}$
આપેલ કિંમતો:
વિદ્યુતભાર $q = 3 \text{ nC} = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$
અંતર $r = 9 \text{ cm} = 9 \times 10^{-2} \text{ m}$
કુલંબનો અચળાંક $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \text{ N m}^2/\text{C}^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = (9 \times 10^{9}) \times \frac{3 \times 10^{-9}}{9 \times 10^{-2}}$
$V = \frac{9 \times 3 \times 10^{0}}{9 \times 10^{-2}}$
$V = 3 \times 10^{2} \text{ V} = 300 \text{ V}$
આમ, વિદ્યુતસ્થિતિમાન $300 \text{ V}$ છે.
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q}{r}$
આપેલ કિંમતો:
વિદ્યુતભાર $q = 3 \text{ nC} = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$
અંતર $r = 9 \text{ cm} = 9 \times 10^{-2} \text{ m}$
કુલંબનો અચળાંક $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \text{ N m}^2/\text{C}^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = (9 \times 10^{9}) \times \frac{3 \times 10^{-9}}{9 \times 10^{-2}}$
$V = \frac{9 \times 3 \times 10^{0}}{9 \times 10^{-2}}$
$V = 3 \times 10^{2} \text{ V} = 300 \text{ V}$
આમ, વિદ્યુતસ્થિતિમાન $300 \text{ V}$ છે.
0 likes
View Solution363
MediumMCQ
$10 \,cm$ ની ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલીય કવચ પર $q$ જેટલો વિદ્યુતભાર છે. જો ગોલીય કવચના કેન્દ્રથી $5 \,cm$, $10 \,cm$ અને $15 \,cm$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન અનુક્રમે $V_{1}$, $V_{2}$ અને $V_{3}$ હોય, તો:
A
$V_{1} > V_{2} > V_{3}$
B
$V_{1} < V_{2} < V_{3}$
C
$V_{1} = V_{2} > V_{3}$
D
$V_{1} = V_{2} < V_{3}$
Solution
(C) $R = 10 \,cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $q$ વિદ્યુતભારિત ગોલીય કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r < R)$, વિદ્યુતસ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે: $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R}$.
$2$. કવચની બહાર $(r > R)$, સ્થિતિમાન અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r}$.
આપેલ અંતરો $r_{1} = 5 \,cm$, $r_{2} = 10 \,cm$ અને $r_{3} = 15 \,cm$ છે.
અહીં $r_{1} < R$ અને $r_{2} = R$ હોવાથી, $V_{1} = V_{2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{10}$ થાય.
$r_{3} = 15 \,cm$ માટે, $V_{3} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{15}$ થાય.
કિંમતોની સરખામણી કરતા, $15 > 10$ હોવાથી $\frac{q}{15} < \frac{q}{10}$ મળે, તેથી $V_{3} < V_{1} = V_{2}$.
આમ, સાચો સંબંધ $V_{1} = V_{2} > V_{3}$ છે.
$1$. કવચની અંદર $(r < R)$, વિદ્યુતસ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે: $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R}$.
$2$. કવચની બહાર $(r > R)$, સ્થિતિમાન અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r}$.
આપેલ અંતરો $r_{1} = 5 \,cm$, $r_{2} = 10 \,cm$ અને $r_{3} = 15 \,cm$ છે.
અહીં $r_{1} < R$ અને $r_{2} = R$ હોવાથી, $V_{1} = V_{2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{10}$ થાય.
$r_{3} = 15 \,cm$ માટે, $V_{3} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{15}$ થાય.
કિંમતોની સરખામણી કરતા, $15 > 10$ હોવાથી $\frac{q}{15} < \frac{q}{10}$ મળે, તેથી $V_{3} < V_{1} = V_{2}$.
આમ, સાચો સંબંધ $V_{1} = V_{2} > V_{3}$ છે.
0 likes
View Solution364
EasyMCQ
બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $-3 \ V$ છે અને બીજા બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $5 \ V$ છે. $5 \ mC$ ના વિદ્યુતભારને $B$ થી $A$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય કેટલું છે?
A
-$0.04$ $J$
B
-$0.4$ $J$
C
-$4$ $J$
D
-$40$ $J$
Solution
(A) બિંદુ $B$ થી બિંદુ $A$ સુધી વિદ્યુતભાર $q$ ને લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = q(V_A - V_B)$.
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 5 \ mC = 5 \times 10^{-3} \ C$.
$A$ પરનું સ્થિતિમાન,$V_A = -3 \ V$.
$B$ પરનું સ્થિતિમાન,$V_B = 5 \ V$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 5 \times 10^{-3} \times (-3 - 5)$
$W = 5 \times 10^{-3} \times (-8)$
$W = -40 \times 10^{-3} \ J$
$W = -0.04 \ J$.
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 5 \ mC = 5 \times 10^{-3} \ C$.
$A$ પરનું સ્થિતિમાન,$V_A = -3 \ V$.
$B$ પરનું સ્થિતિમાન,$V_B = 5 \ V$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 5 \times 10^{-3} \times (-3 - 5)$
$W = 5 \times 10^{-3} \times (-8)$
$W = -40 \times 10^{-3} \ J$
$W = -0.04 \ J$.
0 likes
View Solution365
MediumMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સમક્ષિતિજ દિશામાં એક સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $E$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_A$ છે. એક નાનો બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ વક્ર પથ પર $A$ થી $B$ સુધી ધીમેથી લઈ જવામાં આવે છે. જ્યારે વિદ્યુતભાર બિંદુ $B$ પર હોય ત્યારે તેની સ્થિતિઊર્જા કેટલી હશે?
A
$q(V_A - Ex)$
B
$q(V_A + Ex)$
C
$q(Ex - V_A)$
D
$qEx$
Solution
(A) બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_A$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સમાન છે અને જમણી તરફ દિશામાન છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં સ્થિતિમાન ઘટે છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ અંતર $x$ છે. તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_B - V_A = -E \cdot x$ થાય.
આમ,$B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = V_A - Ex$ થશે.
કોઈ બિંદુ પર $V$ સ્થિતિમાન ધરાવતા વિદ્યુતભાર $q$ ની સ્થિતિઊર્જા $U = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બિંદુ $B$ પર વિદ્યુતભારની સ્થિતિઊર્જા $U_B = q V_B = q(V_A - Ex)$ થશે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સમાન છે અને જમણી તરફ દિશામાન છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં સ્થિતિમાન ઘટે છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ અંતર $x$ છે. તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_B - V_A = -E \cdot x$ થાય.
આમ,$B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = V_A - Ex$ થશે.
કોઈ બિંદુ પર $V$ સ્થિતિમાન ધરાવતા વિદ્યુતભાર $q$ ની સ્થિતિઊર્જા $U = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બિંદુ $B$ પર વિદ્યુતભારની સ્થિતિઊર્જા $U_B = q V_B = q(V_A - Ex)$ થશે.
0 likes
View Solution366
MediumMCQ
$1.8 \mu C$ અને $2.8 \mu C$ ના વિદ્યુતભાર ધરાવતા બે નાના ગોળાઓ એકબીજાથી $40 \ cm$ ના અંતરે આવેલા છે. બંને વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન કેટલું હશે?
A
$2.1 \times 10^5 \ V$
B
$1.3 \times 10^4 \ V$
C
$3.6 \times 10^5 \ V$
D
$3.8 \times 10^4 \ V$
Solution
(A) પ્રથમ ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર,$q_1 = 1.8 \mu C = 1.8 \times 10^{-6} \ C$.
બીજા ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર,$q_2 = 2.8 \mu C = 2.8 \times 10^{-6} \ C$.
બંને ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર,$r = 40 \ cm = 0.4 \ m$.
મધ્યબિંદુથી દરેક ગોળાનું અંતર,$r_1 = r_2 = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
મધ્યબિંદુ પર કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} \right)$
કિંમતો મૂકતા,જ્યાં $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ છે:
$V = 9 \times 10^9 \times \left( \frac{1.8 \times 10^{-6}}{0.2} + \frac{2.8 \times 10^{-6}}{0.2} \right)$
$V = 9 \times 10^9 \times \frac{10^{-6}}{0.2} \times (1.8 + 2.8)$
$V = 9 \times 10^3 \times \frac{4.6}{0.2}$
$V = 9 \times 10^3 \times 23 = 207 \times 10^3 \ V = 2.07 \times 10^5 \ V$.
આમ,$V \approx 2.1 \times 10^5 \ V$.
બીજા ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર,$q_2 = 2.8 \mu C = 2.8 \times 10^{-6} \ C$.
બંને ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર,$r = 40 \ cm = 0.4 \ m$.
મધ્યબિંદુથી દરેક ગોળાનું અંતર,$r_1 = r_2 = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
મધ્યબિંદુ પર કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} \right)$
કિંમતો મૂકતા,જ્યાં $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ છે:
$V = 9 \times 10^9 \times \left( \frac{1.8 \times 10^{-6}}{0.2} + \frac{2.8 \times 10^{-6}}{0.2} \right)$
$V = 9 \times 10^9 \times \frac{10^{-6}}{0.2} \times (1.8 + 2.8)$
$V = 9 \times 10^3 \times \frac{4.6}{0.2}$
$V = 9 \times 10^3 \times 23 = 207 \times 10^3 \ V = 2.07 \times 10^5 \ V$.
આમ,$V \approx 2.1 \times 10^5 \ V$.
0 likes
View Solution367
DifficultMCQ
$R$ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમકેન્દ્રીય ગોળાઓ પર સમાન પૃષ્ઠ ઘનતા ધરાવતા ધન વીજભારો $q_{1}$ અને $q_{2}$ છે. તેમના સામાન્ય કેન્દ્ર પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન કેટલું હશે?
A
$\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}(R+r)$
B
$\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}(R-r)$
C
$\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{r}\right)$
D
$\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{R}\right)$
Solution
(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $q$ વીજભાર ધરાવતા ગોળાકાર કવચના કેન્દ્ર પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}$ છે.
બે સમકેન્દ્રીય ગોળાઓ માટે,સામાન્ય કેન્દ્ર પર કુલ સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = V_{1} + V_{2} = \frac{q_{1}}{4 \pi \varepsilon_{0} R} + \frac{q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$.
આપેલ છે કે પૃષ્ઠ વીજભાર ઘનતા સમાન છે,$\sigma = \frac{q_{1}}{4 \pi R^{2}} = \frac{q_{2}}{4 \pi r^{2}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $q_{1} = 4 \pi R^{2} \sigma$ અને $q_{2} = 4 \pi r^{2} \sigma$.
આ કિંમતોને સ્થિતિમાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$V = \frac{4 \pi R^{2} \sigma}{4 \pi \varepsilon_{0} R} + \frac{4 \pi r^{2} \sigma}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$.
$V = \frac{R \sigma}{\varepsilon_{0}} + \frac{r \sigma}{\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}(R + r)$.
બે સમકેન્દ્રીય ગોળાઓ માટે,સામાન્ય કેન્દ્ર પર કુલ સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = V_{1} + V_{2} = \frac{q_{1}}{4 \pi \varepsilon_{0} R} + \frac{q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$.
આપેલ છે કે પૃષ્ઠ વીજભાર ઘનતા સમાન છે,$\sigma = \frac{q_{1}}{4 \pi R^{2}} = \frac{q_{2}}{4 \pi r^{2}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $q_{1} = 4 \pi R^{2} \sigma$ અને $q_{2} = 4 \pi r^{2} \sigma$.
આ કિંમતોને સ્થિતિમાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$V = \frac{4 \pi R^{2} \sigma}{4 \pi \varepsilon_{0} R} + \frac{4 \pi r^{2} \sigma}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$.
$V = \frac{R \sigma}{\varepsilon_{0}} + \frac{r \sigma}{\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}(R + r)$.
0 likes
View Solution368
DifficultMCQ
$r$ ત્રિજ્યાનો એક નાનો વાહક ગોળો $R$ ત્રિજ્યાના મોટા પોલા વાહક ગોળાની અંદર કેન્દ્રિત રીતે રહેલો છે. મોટા અને નાના ગોળાઓ પર અનુક્રમે $Q$ અને $q$ વિદ્યુતભાર છે $(Q > q)$ અને તેઓ એકબીજાથી અવાહક છે. ગોળાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત કેટલો હશે?
A
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{q}{r}-\frac{q}{R}\right)$
B
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{q}{R}-\frac{Q}{r}\right)$
C
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{q}{r}-\frac{Q}{R}\right)$
D
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{Q}{R}+\frac{q}{r}\right)$
Solution
(A) નાના ગોળાનું (ત્રિજ્યા $r$,વિદ્યુતભાર $q$) વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{1}$ તેના પોતાના વિદ્યુતભારને કારણે અને બહારના ગોળા (ત્રિજ્યા $R$,વિદ્યુતભાર $Q$) ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$V_{1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R}$
મોટા ગોળાનું (ત્રિજ્યા $R$,વિદ્યુતભાર $Q$) વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{2}$ તેના પોતાના વિદ્યુતભારને કારણે અને અંદરના ગોળાને કારણે (જે તેની બહારના બિંદુઓ માટે કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે) ઉદ્ભવતા વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$V_{2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R}$
ગોળાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_{1} - V_{2}$ છે.
$V = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} \right) - \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R}$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q}{r} - \frac{q}{R} \right)$
$V_{1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R}$
મોટા ગોળાનું (ત્રિજ્યા $R$,વિદ્યુતભાર $Q$) વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{2}$ તેના પોતાના વિદ્યુતભારને કારણે અને અંદરના ગોળાને કારણે (જે તેની બહારના બિંદુઓ માટે કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે) ઉદ્ભવતા વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$V_{2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R}$
ગોળાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_{1} - V_{2}$ છે.
$V = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} \right) - \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R}$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q}{r} - \frac{q}{R} \right)$
0 likes
View Solution369
MediumMCQ
જ્યારે આઠ સમાન નાના પ્રવાહીના ટીપાં જોડાઈને એક મોટું પ્રવાહીનું ટીપું બને છે, ત્યારે તેનું સ્થિતિમાન $20 \,V$ છે. તો દરેક નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન કેટલું હશે ($\,V$ માં)?
A
$10$
B
$7.5$
C
$5$
D
$2.5$
Solution
(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $V' = \frac{kq}{r}$ છે.
જ્યારે $8$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતું મોટું ટીપું બનાવે છે, ત્યારે કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$, જે આપણને $R = 2r$ આપે છે.
મોટા ટીપાનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 8q$ છે.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(8q)}{2r} = 4 \left( \frac{kq}{r} \right) = 4V'$ થાય.
આપેલ છે કે $V = 20 \,V$, તેથી $20 = 4V'$.
આમ, $V' = \frac{20}{4} = 5 \,V$ મળે.
જ્યારે $8$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતું મોટું ટીપું બનાવે છે, ત્યારે કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$, જે આપણને $R = 2r$ આપે છે.
મોટા ટીપાનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 8q$ છે.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(8q)}{2r} = 4 \left( \frac{kq}{r} \right) = 4V'$ થાય.
આપેલ છે કે $V = 20 \,V$, તેથી $20 = 4V'$.
આમ, $V' = \frac{20}{4} = 5 \,V$ મળે.
0 likes
View Solution370
MediumMCQ
જો $27$ વિદ્યુતભારિત પાણીના ટીપાં, જે દરેકની ત્રિજ્યા $10^{-3} \,m$ અને વિદ્યુતભાર $10^{-12} \,C$ છે, તે જોડાઈને એક મોટું ગોળાકાર ટીપું બનાવે, તો મોટા ટીપાંનું સ્થિતિમાન કેટલું હશે ($\,V$ માં)?
A
$9$
B
$27$
C
$39$
D
$81$
Solution
(D) ધારો કે $n = 27$ એ નાના ટીપાંની સંખ્યા છે.
દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r = 10^{-3} \,m$ છે.
દરેક નાના ટીપાં પરનો વિદ્યુતભાર $q = 10^{-12} \,C$ છે.
મોટા ટીપાંનું કદ એ $27$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
તેથી, $R^3 = 27 r^3$, જેનો અર્થ છે કે $R = 3r = 3 \times 10^{-3} \,m$.
મોટા ટીપાં પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = n \times q = 27 \times 10^{-12} \,C$ છે.
મોટા ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{9 \times 10^9 \times 27 \times 10^{-12}}{3 \times 10^{-3}}$.
$V = \frac{9 \times 27 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}} = 3 \times 27 = 81 \,V$.
દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r = 10^{-3} \,m$ છે.
દરેક નાના ટીપાં પરનો વિદ્યુતભાર $q = 10^{-12} \,C$ છે.
મોટા ટીપાંનું કદ એ $27$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
તેથી, $R^3 = 27 r^3$, જેનો અર્થ છે કે $R = 3r = 3 \times 10^{-3} \,m$.
મોટા ટીપાં પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = n \times q = 27 \times 10^{-12} \,C$ છે.
મોટા ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{9 \times 10^9 \times 27 \times 10^{-12}}{3 \times 10^{-3}}$.
$V = \frac{9 \times 27 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}} = 3 \times 27 = 81 \,V$.
0 likes
View Solution371
MediumMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,વિદ્યુતભાર '$Q$' ને બિંદુ $C$ થી બિંદુ $D$ સુધી અર્ધવર્તુળ $CRD$ પર લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય કેટલું છે?
A
$\frac{qQ}{4 \pi \varepsilon_0 d}$
B
$\frac{qQ}{2 \pi \varepsilon_0 d}$
C
$\frac{-qQ}{6 \pi \varepsilon_0 d}$
D
$\frac{-qQ}{4 \pi \varepsilon_0 d}$
Solution
(C) સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભાર $Q$ ને બિંદુ $C$ થી બિંદુ $D$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = Q(V_D - V_C)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_C$ અને $V_D$ એ અનુક્રમે બિંદુ $C$ અને $D$ પરના વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે.
કોઈપણ બિંદુ પરનું સ્થિતિમાન $A$ $(+q)$ અને $B$ $(-q)$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે હોય છે.
અંતર $AB = 2d$,$BC = d$,$BD = d$. તેથી,$AC = AB - BC = 2d - d = d$.
$C$ પર સ્થિતિમાન $(V_C)$:
$V_C = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AC} + \frac{-q}{BC} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{d} - \frac{q}{d} \right) = 0$.
$D$ પર સ્થિતિમાન $(V_D)$:
$V_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AD} + \frac{-q}{BD} \right)$.
અહીં $AD = AB + BD = 2d + d = 3d$ અને $BD = d$ હોવાથી,
$V_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{3d} - \frac{q}{d} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q - 3q}{3d} \right) = \frac{-2q}{12 \pi \varepsilon_0 d} = \frac{-q}{6 \pi \varepsilon_0 d}$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = Q(V_D - V_C) = Q \left( \frac{-q}{6 \pi \varepsilon_0 d} - 0 \right) = \frac{-qQ}{6 \pi \varepsilon_0 d}$.
કોઈપણ બિંદુ પરનું સ્થિતિમાન $A$ $(+q)$ અને $B$ $(-q)$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે હોય છે.
અંતર $AB = 2d$,$BC = d$,$BD = d$. તેથી,$AC = AB - BC = 2d - d = d$.
$C$ પર સ્થિતિમાન $(V_C)$:
$V_C = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AC} + \frac{-q}{BC} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{d} - \frac{q}{d} \right) = 0$.
$D$ પર સ્થિતિમાન $(V_D)$:
$V_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AD} + \frac{-q}{BD} \right)$.
અહીં $AD = AB + BD = 2d + d = 3d$ અને $BD = d$ હોવાથી,
$V_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{3d} - \frac{q}{d} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q - 3q}{3d} \right) = \frac{-2q}{12 \pi \varepsilon_0 d} = \frac{-q}{6 \pi \varepsilon_0 d}$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = Q(V_D - V_C) = Q \left( \frac{-q}{6 \pi \varepsilon_0 d} - 0 \right) = \frac{-qQ}{6 \pi \varepsilon_0 d}$.
0 likes
View Solution372
MediumMCQ
$10^{-3} \mu C$ નો વિદ્યુતભાર $x-y$ સમતલના ઉગમબિંદુ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. $(\sqrt{2} m, \sqrt{2} m)$ અને $(2 m, 0 m)$ પર આવેલા બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત કેટલો હશે ($V$ માં)?
A
$4.5$
B
$9$
C
$0$
D
$2$
Solution
(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$ છે.
આપેલ વિદ્યુતભાર $q = 10^{-3} \mu C = 10^{-9} \ C$ છે.
બિંદુ $A$ $(\sqrt{2} m, \sqrt{2} m)$ માટે,અંતર $r_A = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = 2 \ m$ છે.
$A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = \frac{kq}{r_A} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-9}}{2} = 4.5 \ V$ છે.
બિંદુ $B$ $(2 m, 0 m)$ માટે,અંતર $r_B = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2 \ m$ છે.
$B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{kq}{r_B} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-9}}{2} = 4.5 \ V$ છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = 4.5 \ V - 4.5 \ V = 0 \ V$ થાય.
આપેલ વિદ્યુતભાર $q = 10^{-3} \mu C = 10^{-9} \ C$ છે.
બિંદુ $A$ $(\sqrt{2} m, \sqrt{2} m)$ માટે,અંતર $r_A = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = 2 \ m$ છે.
$A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = \frac{kq}{r_A} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-9}}{2} = 4.5 \ V$ છે.
બિંદુ $B$ $(2 m, 0 m)$ માટે,અંતર $r_B = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2 \ m$ છે.
$B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{kq}{r_B} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-9}}{2} = 4.5 \ V$ છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = 4.5 \ V - 4.5 \ V = 0 \ V$ થાય.
0 likes
View Solution373
MediumMCQ
જો ચાર વિદ્યુતભારો $+12 \text{ nC}, -20 \text{ nC}, +32 \text{ nC}$ અને $-15 \text{ nC}$ ને $\sqrt{2} \text{ m}$ બાજુવાળા ચોરસના ચાર શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવે,તો આ ચાર વિદ્યુતભારોને કારણે ચોરસના કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન કેટલું હશે ($\text{ V}$ માં)?
A
$72$
B
$81$
C
$64$
D
$36$
Solution
(B) ચોરસની બાજુ $a = \sqrt{2} \text{ m}$ છે। ચોરસનો વિકર્ણ $d = a\sqrt{2} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \text{ m}$ છે।
ચોરસના કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર $r = d/2 = 2/2 = 1 \text{ m}$ છે।
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ છે।
કેન્દ્ર પરનું કુલ સ્થિતિમાન એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે મળતા સ્થિતિમાનોનો બેઝિક સરવાળો છે: $V_{net} = \frac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V_{net} = \frac{9 \times 10^9}{1} \times (12 - 20 + 32 - 15) \times 10^{-9} \text{ V}$.
$V_{net} = 9 \times (9) \text{ V} = 81 \text{ V}$.
ચોરસના કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર $r = d/2 = 2/2 = 1 \text{ m}$ છે।
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ છે।
કેન્દ્ર પરનું કુલ સ્થિતિમાન એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે મળતા સ્થિતિમાનોનો બેઝિક સરવાળો છે: $V_{net} = \frac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V_{net} = \frac{9 \times 10^9}{1} \times (12 - 20 + 32 - 15) \times 10^{-9} \text{ V}$.
$V_{net} = 9 \times (9) \text{ V} = 81 \text{ V}$.
0 likes
View Solution374
MediumMCQ
ત્રણ સમાન વિદ્યુતભારો,દરેકનું મૂલ્ય $q$ છે,તેમને $L$ લંબાઈની બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવે છે. આ તંત્રની સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા કેટલી થશે?
A
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{3 q^2}{L}$
B
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q^2}{3 L}$
C
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{2 q^2}{3 L}$
D
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q^2}{L}$
Solution
(A) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ અનન્ય જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ત્રણ વિદ્યુતભારો $q_1, q_2, q_3$ માટે જે અંતર $r_{12}, r_{23}, r_{31}$ પર રહેલા છે,સ્થિતિઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} \right)$ છે.
અહીં,$q_1 = q_2 = q_3 = q$ અને $r_{12} = r_{23} = r_{31} = L$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q^2}{L} + \frac{q^2}{L} + \frac{q^2}{L} \right)$
$U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{3 q^2}{L}$
ત્રણ વિદ્યુતભારો $q_1, q_2, q_3$ માટે જે અંતર $r_{12}, r_{23}, r_{31}$ પર રહેલા છે,સ્થિતિઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} \right)$ છે.
અહીં,$q_1 = q_2 = q_3 = q$ અને $r_{12} = r_{23} = r_{31} = L$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q^2}{L} + \frac{q^2}{L} + \frac{q^2}{L} \right)$
$U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{3 q^2}{L}$
0 likes
View Solution375
EasyMCQ
જો ચાર વિદ્યુતભારો $q_1 = +1 \times 10^{-8} \text{ C}$, $q_2 = -2 \times 10^{-8} \text{ C}$, $q_3 = +3 \times 10^{-8} \text{ C}$ અને $q_4 = +2 \times 10^{-8} \text{ C}$ ને $1 \text{ m}$ બાજુવાળા ચોરસના ચાર ખૂણાઓ પર રાખવામાં આવે, તો ચોરસના કેન્દ્ર પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન કેટલું હશે ($\text{ V}$ માં)?
A
$300$
B
$200$
C
$510$
D
$410$
Solution
(C) $1 \text{ m}$ બાજુવાળા ચોરસના ખૂણાઓ પર આપેલા વિદ્યુતભારો:
$q_1 = +1 \times 10^{-8} \text{ C}$
$q_2 = -2 \times 10^{-8} \text{ C}$
$q_3 = +3 \times 10^{-8} \text{ C}$
$q_4 = +2 \times 10^{-8} \text{ C}$
દરેક ખૂણાથી ચોરસના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r$ એ વિકર્ણની લંબાઈનું અડધું છે:
$r = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ m}$
કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V = \frac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4)$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{9 \times 10^9}{1/\sqrt{2}} (1 - 2 + 3 + 2) \times 10^{-8}$
$V = 9 \sqrt{2} \times 10 \times (4) = 36 \sqrt{2} \times 10 \approx 509.04 \text{ V}$
આમ, નજીકનો વિકલ્પ $510 \text{ V}$ છે.
$q_1 = +1 \times 10^{-8} \text{ C}$
$q_2 = -2 \times 10^{-8} \text{ C}$
$q_3 = +3 \times 10^{-8} \text{ C}$
$q_4 = +2 \times 10^{-8} \text{ C}$
દરેક ખૂણાથી ચોરસના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r$ એ વિકર્ણની લંબાઈનું અડધું છે:
$r = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ m}$
કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V = \frac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4)$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{9 \times 10^9}{1/\sqrt{2}} (1 - 2 + 3 + 2) \times 10^{-8}$
$V = 9 \sqrt{2} \times 10 \times (4) = 36 \sqrt{2} \times 10 \approx 509.04 \text{ V}$
આમ, નજીકનો વિકલ્પ $510 \text{ V}$ છે.
0 likes
View Solution376
MediumMCQ
$125$ સમાન વિદ્યુતભારીત નાના ગોળાઓ જોડાઈને એક મોટો વિદ્યુતભારીત ગોળો બનાવે છે. જો દરેક નાના ગોળા પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $60 \text{ mV}$ હોય, તો બનતા મોટા ગોળા પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન કેટલું હશે ($\text{ V}$ માં)?
A
$30$
B
$15$
C
$1.5$
D
$3$
Solution
(C) ધારો કે દરેક નાના ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. દરેક નાના ગોળા પરનું સ્થિતિમાન $V_s = \frac{kq}{r} = 60 \text{ mV} = 0.06 \text{ V}$ છે.
જ્યારે $125$ નાના ગોળાઓ જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનો મોટો ગોળો બનાવે છે, ત્યારે કદ સંરક્ષિત રહે છે:
$125 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3 \Rightarrow R^3 = 125 r^3 \Rightarrow R = 5r$.
મોટા ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 125q$ છે.
મોટા ગોળા પરનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{kQ}{R} = \frac{k(125q)}{5r} = 25 \times (\frac{kq}{r})$ છે.
$V_s$ ની કિંમત મૂકતા: $V_B = 25 \times 0.06 \text{ V} = 1.5 \text{ V}$.
જ્યારે $125$ નાના ગોળાઓ જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનો મોટો ગોળો બનાવે છે, ત્યારે કદ સંરક્ષિત રહે છે:
$125 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3 \Rightarrow R^3 = 125 r^3 \Rightarrow R = 5r$.
મોટા ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 125q$ છે.
મોટા ગોળા પરનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{kQ}{R} = \frac{k(125q)}{5r} = 25 \times (\frac{kq}{r})$ છે.
$V_s$ ની કિંમત મૂકતા: $V_B = 25 \times 0.06 \text{ V} = 1.5 \text{ V}$.
0 likes
View Solution377
EasyMCQ
બે વિદ્યુતભારો $+q$ અને $-q$,દરેક $1 \mu C$,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગોઠવેલા છે. જો $x=2 \text{ cm}$ અને $y=3 \text{ cm}$ હોય,તો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_A - V_B)$ કેટલો થાય?
A
$5.4 \times 10^2 \text{ V}$
B
$5.4 \times 10^5 \text{ V}$
C
$5.2 \times 10^2 \text{ V}$
D
$2.7 \times 10^5 \text{ V}$
Solution
(B) $+q$ ને કારણે બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{A(+q)} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{x}$ અને $-q$ ને કારણે $V_{A(-q)} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{-q}{x+y}$ છે.
તેથી,$V_A = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+y} \right) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{y}{x(x+y)} \right)$.
તે જ રીતે,બિંદુ $B$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{x+y} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{-q}{x} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{x+y} - \frac{1}{x} \right) = -V_A$.
તેથી,$V_A - V_B = V_A - (-V_A) = 2V_A = 2 \times \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{y}{x(x+y)} \right)$.
અહીં $q = 10^{-6} \text{ C}$,$x = 0.02 \text{ m}$,$y = 0.03 \text{ m}$,અને $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2$ આપેલ છે.
$V_A - V_B = 2 \times 9 \times 10^9 \times 10^{-6} \times \frac{0.03}{0.02(0.02+0.03)} = 18 \times 10^3 \times \frac{0.03}{0.02 \times 0.05} = 18 \times 10^3 \times \frac{0.03}{0.001} = 18 \times 10^3 \times 30 = 5.4 \times 10^5 \text{ V}$.
તેથી,$V_A = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+y} \right) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{y}{x(x+y)} \right)$.
તે જ રીતે,બિંદુ $B$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{x+y} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{-q}{x} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{x+y} - \frac{1}{x} \right) = -V_A$.
તેથી,$V_A - V_B = V_A - (-V_A) = 2V_A = 2 \times \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{y}{x(x+y)} \right)$.
અહીં $q = 10^{-6} \text{ C}$,$x = 0.02 \text{ m}$,$y = 0.03 \text{ m}$,અને $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2$ આપેલ છે.
$V_A - V_B = 2 \times 9 \times 10^9 \times 10^{-6} \times \frac{0.03}{0.02(0.02+0.03)} = 18 \times 10^3 \times \frac{0.03}{0.02 \times 0.05} = 18 \times 10^3 \times \frac{0.03}{0.001} = 18 \times 10^3 \times 30 = 5.4 \times 10^5 \text{ V}$.
0 likes
View Solution378
MediumMCQ
ધારો કે $1 \ m$ બાજુવાળા ચોરસના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V_1$ છે,જ્યારે $4$ ખૂણાઓ પર $2 \ C$ ના વીજભારો મૂકેલા છે. જો આ જ વીજભારોને $2 \ m$ બાજુવાળા ચોરસના ખૂણાઓ પર મૂકવામાં આવે,તો આ ચોરસના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V_2$ છે. $\frac{V_2}{V_1}$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
C
$\frac{1}{2 \sqrt{2}}$
D
$\frac{1}{4 \sqrt{2}}$
Solution
(A) બાજુવાળા ચોરસના કેન્દ્ર પર $4$ ખૂણાઓ પર $q$ વીજભાર હોય ત્યારે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = 4 \times \frac{Kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ કેન્દ્રથી કોઈપણ ખૂણા સુધીનું અંતર છે.
$a$ બાજુવાળા ચોરસ માટે,વિકર્ણ $a\sqrt{2}$ છે,તેથી કેન્દ્રથી ખૂણા સુધીનું અંતર $r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ થાય.
પ્રથમ ચોરસ માટે,$a_1 = 1 \ m$,તેથી $r_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \ m$. સ્થિતિમાન $V_1 = 4 \times \frac{K \times 2}{1/\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}K$ છે.
બીજા ચોરસ માટે,$a_2 = 2 \ m$,તેથી $r_2 = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ m$. સ્થિતિમાન $V_2 = 4 \times \frac{K \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{8K}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}K$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = \frac{4\sqrt{2}K}{8\sqrt{2}K} = \frac{1}{2}$ થાય.
$a$ બાજુવાળા ચોરસ માટે,વિકર્ણ $a\sqrt{2}$ છે,તેથી કેન્દ્રથી ખૂણા સુધીનું અંતર $r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ થાય.
પ્રથમ ચોરસ માટે,$a_1 = 1 \ m$,તેથી $r_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \ m$. સ્થિતિમાન $V_1 = 4 \times \frac{K \times 2}{1/\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}K$ છે.
બીજા ચોરસ માટે,$a_2 = 2 \ m$,તેથી $r_2 = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ m$. સ્થિતિમાન $V_2 = 4 \times \frac{K \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{8K}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}K$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = \frac{4\sqrt{2}K}{8\sqrt{2}K} = \frac{1}{2}$ થાય.
0 likes
View Solution379
MediumMCQ
હવામાં $0.2 \ m$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણના ખૂણાઓ $A$ અને $B$ પર દરેક $8 \ \mu C$ ના બે વિદ્યુતભારો મૂકવામાં આવ્યા છે. ત્રીજા ખૂણા $C$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન કેટલું હશે?
A
$7.2 \times 10^5 \ V$
B
$1.8 \times 10^5 \ V$
C
$3.6 \times 10^5 \ V$
D
$3.6 \times 10^4 \ V$
Solution
(A) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી અને તેની બાજુ $a = 0.2 \ m$ હોવાથી,ખૂણા $A$ અને $B$ થી ખૂણા $C$ સુધીનું અંતર $r = 0.2 \ m$ છે.
ખૂણા $C$ પરનું કુલ સ્થિતિમાન એ $A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે: $V_C = V_A + V_B$.
$V_C = \frac{k q_A}{r} + \frac{k q_B}{r} = \frac{k}{r} (q_A + q_B)$.
કિંમતો મૂકતા: $V_C = \frac{9 \times 10^9}{0.2} (8 \times 10^{-6} + 8 \times 10^{-6}) \ V$.
$V_C = \frac{9 \times 10^9}{0.2} (16 \times 10^{-6}) \ V$.
$V_C = 9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-6} \ V$.
$V_C = 720 \times 10^3 \ V = 7.2 \times 10^5 \ V$.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી અને તેની બાજુ $a = 0.2 \ m$ હોવાથી,ખૂણા $A$ અને $B$ થી ખૂણા $C$ સુધીનું અંતર $r = 0.2 \ m$ છે.
ખૂણા $C$ પરનું કુલ સ્થિતિમાન એ $A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે: $V_C = V_A + V_B$.
$V_C = \frac{k q_A}{r} + \frac{k q_B}{r} = \frac{k}{r} (q_A + q_B)$.
કિંમતો મૂકતા: $V_C = \frac{9 \times 10^9}{0.2} (8 \times 10^{-6} + 8 \times 10^{-6}) \ V$.
$V_C = \frac{9 \times 10^9}{0.2} (16 \times 10^{-6}) \ V$.
$V_C = 9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-6} \ V$.
$V_C = 720 \times 10^3 \ V = 7.2 \times 10^5 \ V$.
0 likes
View Solution380
MediumMCQ
$Q=30 \mu C$ ના વીજભારથી $0.75 \ m$ દૂર આવેલા બિંદુએ $q=6 \mu C$ ના વીજભારને અનંત અંતરેથી લાવવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ કાર્ય કેટલું છે ($J$ માં)?
A
$4.16$
B
$5.16$
C
$2.16$
D
$1.16$
Solution
(C) વીજભાર $q$ ને અનંત અંતરેથી વીજભાર $Q$ થી $r$ અંતરે લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i$.
શરૂઆતનું અંતર $r_i = \infty$ હોવાથી,શરૂઆતની સ્થિતિઊર્જા $U_i = 0$ થાય.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = \frac{kQq}{r_f}$ છે.
આપેલ છે:
$q = 6 \times 10^{-6} \ C$
$Q = 30 \times 10^{-6} \ C$
$r_f = 0.75 \ m$
$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(9 \times 10^9) \times (30 \times 10^{-6}) \times (6 \times 10^{-6})}{0.75}$
$W = \frac{9 \times 30 \times 6 \times 10^{-3}}{0.75}$
$W = \frac{1620 \times 10^{-3}}{0.75} = \frac{1.62}{0.75} = 2.16 \ J$.
શરૂઆતનું અંતર $r_i = \infty$ હોવાથી,શરૂઆતની સ્થિતિઊર્જા $U_i = 0$ થાય.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = \frac{kQq}{r_f}$ છે.
આપેલ છે:
$q = 6 \times 10^{-6} \ C$
$Q = 30 \times 10^{-6} \ C$
$r_f = 0.75 \ m$
$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(9 \times 10^9) \times (30 \times 10^{-6}) \times (6 \times 10^{-6})}{0.75}$
$W = \frac{9 \times 30 \times 6 \times 10^{-3}}{0.75}$
$W = \frac{1620 \times 10^{-3}}{0.75} = \frac{1.62}{0.75} = 2.16 \ J$.
0 likes
View Solution381
MediumMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $2.8 \,m$ બાજુવાળા ચોરસના શિરોબિંદુઓ પર ચાર બિંદુવત વિદ્યુતભારો મૂકવામાં આવ્યા છે. ચોરસના કેન્દ્ર પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન શોધો. ($\,V$ માં)
A
$190.89$
B
$495$
C
$405$
D
$378$
Solution
(A) આપેલ છે કે,બિંદુવત વિદ્યુતભારો $a = 2.8 \,m$ બાજુવાળા ચોરસના શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. ધારો કે $r$ એ કેન્દ્ર $O$ થી દરેક ખૂણાનું અંતર છે.
ચોરસનો વિકર્ણ $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ છે.
કેન્દ્રથી દરેક ખૂણાનું અંતર $r$ એ વિકર્ણનું અડધું છે:
$r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{2.8}{\sqrt{2}} \,m$.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે કોઈ બિંદુ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{Kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$.
ચારેય વિદ્યુતભારો $q_1, q_2, q_3$ અને $q_4$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_0$ છે:
$V_0 = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = \frac{K}{r}(q_1 + q_2 + q_3 + q_4)$.
આપેલ વિદ્યુતભારો: $q_1 = +20 \,nC$,$q_2 = +40 \,nC$,$q_3 = -34 \,nC$,$q_4 = +16 \,nC$.
વિદ્યુતભારોનો સરવાળો: $\sum q = (20 + 40 - 34 + 16) \,nC = 42 \,nC = 42 \times 10^{-9} \,C$.
કિંમતો મૂકતા:
$V_0 = \frac{9 \times 10^9 \times 42 \times 10^{-9}}{2.8 / \sqrt{2}} = \frac{9 \times 42 \times \sqrt{2}}{2.8} = \frac{378 \times 1.414}{2.8} = 135 \times 1.414 = 190.89 \,V$.
ચોરસનો વિકર્ણ $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ છે.
કેન્દ્રથી દરેક ખૂણાનું અંતર $r$ એ વિકર્ણનું અડધું છે:
$r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{2.8}{\sqrt{2}} \,m$.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે કોઈ બિંદુ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{Kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$.
ચારેય વિદ્યુતભારો $q_1, q_2, q_3$ અને $q_4$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_0$ છે:
$V_0 = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = \frac{K}{r}(q_1 + q_2 + q_3 + q_4)$.
આપેલ વિદ્યુતભારો: $q_1 = +20 \,nC$,$q_2 = +40 \,nC$,$q_3 = -34 \,nC$,$q_4 = +16 \,nC$.
વિદ્યુતભારોનો સરવાળો: $\sum q = (20 + 40 - 34 + 16) \,nC = 42 \,nC = 42 \times 10^{-9} \,C$.
કિંમતો મૂકતા:
$V_0 = \frac{9 \times 10^9 \times 42 \times 10^{-9}}{2.8 / \sqrt{2}} = \frac{9 \times 42 \times \sqrt{2}}{2.8} = \frac{378 \times 1.414}{2.8} = 135 \times 1.414 = 190.89 \,V$.
0 likes
View Solution382
MediumMCQ
$20 \mu C$ અને $10 \mu C$ ના બે વિદ્યુતભારો જે $50 \ m$ ના અંતરે રહેલા છે,તેમની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ પર અનંત અંતરેથી એકમ ધન વિદ્યુતભાર લાવવા માટે કેટલું કાર્ય કરવું પડશે?
A
$10.8 \times 10^4 \ J$
B
$10.8 \times 10^3 \ J$
C
$1.08 \times 10^6 \ J$
D
$0.54 \times 10^5 \ J$
Solution
(B) આપેલ છે કે,બે વિદ્યુતભારો $q_1 = 20 \mu C$ અને $q_2 = 10 \mu C$ એ $d = 50 \ m$ ના અંતરે અલગ છે.
અનંત અંતરેથી એકમ ધન વિદ્યુતભાર $q = 1 \ C$ ને મધ્યબિંદુ $M$ પર લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = qV$ છે,જ્યાં $V$ એ બિંદુ $M$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે.
વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ને કારણે $M$ પરનું સ્થિતિમાન $V = \frac{K q_1}{(d/2)} + \frac{K q_2}{(d/2)} = \frac{2K}{d} (q_1 + q_2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 1 \times \frac{2 \times (9 \times 10^9)}{50} \times (20 + 10) \times 10^{-6} \ J$
$W = \frac{18 \times 10^9}{50} \times 30 \times 10^{-6} \ J$
$W = \frac{540 \times 10^3}{50} \ J = 10.8 \times 10^3 \ J$.
અનંત અંતરેથી એકમ ધન વિદ્યુતભાર $q = 1 \ C$ ને મધ્યબિંદુ $M$ પર લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = qV$ છે,જ્યાં $V$ એ બિંદુ $M$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે.
વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ને કારણે $M$ પરનું સ્થિતિમાન $V = \frac{K q_1}{(d/2)} + \frac{K q_2}{(d/2)} = \frac{2K}{d} (q_1 + q_2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 1 \times \frac{2 \times (9 \times 10^9)}{50} \times (20 + 10) \times 10^{-6} \ J$
$W = \frac{18 \times 10^9}{50} \times 30 \times 10^{-6} \ J$
$W = \frac{540 \times 10^3}{50} \ J = 10.8 \times 10^3 \ J$.
0 likes
View Solution383
DifficultMCQ
$5 \,cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વિદ્યુતભારીત ગોલીય વાહકની સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $200 \,V$ છે. $+5 \,C$ ના વિદ્યુતભારને ગોળાના કેન્દ્રથી અનુક્રમે $15 \,cm$ અને $10 \,cm$ અંતરે આવેલા બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય શોધો. ($\,J$ માં)
A
$16.7$
B
$22.3$
C
$88.8$
D
$166.7$
Solution
(D) ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = k \frac{Q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$ છે.
આપેલ છે કે $V = 200 \,V$ અને $R = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
$200 = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{0.05} \implies Q = \frac{200 \times 0.05}{9 \times 10^9} = \frac{10}{9} \times 10^{-9} \,C$.
ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે સ્થિતિમાન $V(r) = k \frac{Q}{r}$ છે.
બિંદુ $A$ પર સ્થિતિમાન $(r_A = 15 \,cm = 0.15 \,m)$: $V_A = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{0.15} = \frac{9 \times 10^9}{0.15} \times \frac{10}{9} \times 10^{-9} = \frac{10}{0.15} = 66.67 \,V$.
બિંદુ $B$ પર સ્થિતિમાન $(r_B = 10 \,cm = 0.10 \,m)$: $V_B = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{0.10} = \frac{9 \times 10^9}{0.10} \times \frac{10}{9} \times 10^{-9} = \frac{10}{0.10} = 100 \,V$.
$q = 5 \,C$ વિદ્યુતભારને $A$ થી $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ છે.
$W = 5 \times (100 - 66.67) = 5 \times 33.33 = 166.65 \,J \approx 166.7 \,J$.
આપેલ છે કે $V = 200 \,V$ અને $R = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
$200 = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{0.05} \implies Q = \frac{200 \times 0.05}{9 \times 10^9} = \frac{10}{9} \times 10^{-9} \,C$.
ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે સ્થિતિમાન $V(r) = k \frac{Q}{r}$ છે.
બિંદુ $A$ પર સ્થિતિમાન $(r_A = 15 \,cm = 0.15 \,m)$: $V_A = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{0.15} = \frac{9 \times 10^9}{0.15} \times \frac{10}{9} \times 10^{-9} = \frac{10}{0.15} = 66.67 \,V$.
બિંદુ $B$ પર સ્થિતિમાન $(r_B = 10 \,cm = 0.10 \,m)$: $V_B = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{0.10} = \frac{9 \times 10^9}{0.10} \times \frac{10}{9} \times 10^{-9} = \frac{10}{0.10} = 100 \,V$.
$q = 5 \,C$ વિદ્યુતભારને $A$ થી $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ છે.
$W = 5 \times (100 - 66.67) = 5 \times 33.33 = 166.65 \,J \approx 166.7 \,J$.
0 likes
View Solution384
EasyMCQ
$0.2 \,m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $+1 \,nC$ વીજભારિત ગોલીય વાહકથી $0.5 \,m$ દૂર આવેલા બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન કેટલું હશે?
A
$+9 \,V$
B
$-9 \,V$
C
$+18 \,V$
D
$-18 \,V$
Solution
(C) ગોલીય વાહક પરનો વીજભાર $q = +1 \,nC = 10^{-9} \,C$ છે।
ગોલીય વાહકના કેન્દ્રથી બિંદુનું અંતર $r = 0.5 \,m$ છે।
બિંદુવત વીજભાર (અથવા ગોલીય વાહકની બહાર) થી $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}$ છે।
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$V = (9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2) \times \frac{10^{-9} \,C}{0.5 \,m}$.
$V = 9 \times \frac{1}{0.5} \,V$.
$V = 9 \times 2 \,V = 18 \,V$.
તેથી,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $+18 \,V$ છે।
ગોલીય વાહકના કેન્દ્રથી બિંદુનું અંતર $r = 0.5 \,m$ છે।
બિંદુવત વીજભાર (અથવા ગોલીય વાહકની બહાર) થી $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}$ છે।
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$V = (9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2) \times \frac{10^{-9} \,C}{0.5 \,m}$.
$V = 9 \times \frac{1}{0.5} \,V$.
$V = 9 \times 2 \,V = 18 \,V$.
તેથી,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $+18 \,V$ છે।
0 likes
View Solution385
DifficultMCQ
જ્યારે $20 C$ ના વિદ્યુતભારને $0.2 m$ ના અંતરે આવેલા એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે $2 J$ કાર્ય કરવું પડે છે. બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત કેટલો છે?
A
$2 \times 10^{-2} V$
B
$4 \times 10^{-4} V$
C
$8 V$
D
$0.1 V$
Solution
(D) બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ કરેલા કાર્ય $W$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $V = \frac{W}{q}$
આપેલ કિંમતો:
વિદ્યુતભાર,$q = 20 C$
કરેલું કાર્ય,$W = 2 J$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{2 J}{20 C} = 0.1 V$
તેથી,બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $0.1 V$ છે.
સૂત્ર: $V = \frac{W}{q}$
આપેલ કિંમતો:
વિદ્યુતભાર,$q = 20 C$
કરેલું કાર્ય,$W = 2 J$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{2 J}{20 C} = 0.1 V$
તેથી,બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $0.1 V$ છે.
0 likes
View Solution386
DifficultMCQ
$2 \ m$ ની બાજુની લંબાઈ ધરાવતો એક કાલ્પનિક સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $10 \ N \ C^{-1}$ ના સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં મૂકવામાં આવ્યો છે. તો,$V_A - V_B =$
A
$-5 \ V$
B
$+5 \ V$
C
$-10 \ V$
D
$+10 \ V$
Solution
(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = -\vec{E} \cdot \vec{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{d}$ એ પ્રારંભિક બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
$V_A - V_B$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત માટે,સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{BA}$ છે.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $d = |\vec{BA}| = 2 \ m$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{BA}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^\circ$ છે (કારણ કે તે સમબાજુ ત્રિકોણ છે).
તેથી,$V_A - V_B = -E d \cos(\theta)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V_A - V_B = -(10 \ N \ C^{-1}) \times (2 \ m) \times \cos(60^\circ)$.
$V_A - V_B = -20 \times 0.5 = -10 \ V$.
$V_A - V_B$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત માટે,સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{BA}$ છે.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $d = |\vec{BA}| = 2 \ m$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{BA}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^\circ$ છે (કારણ કે તે સમબાજુ ત્રિકોણ છે).
તેથી,$V_A - V_B = -E d \cos(\theta)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V_A - V_B = -(10 \ N \ C^{-1}) \times (2 \ m) \times \cos(60^\circ)$.
$V_A - V_B = -20 \times 0.5 = -10 \ V$.
0 likes
View Solution387
MediumMCQ
$10 \,cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક વિદ્યુતભારિત ગોળાકાર વાહકનું તેના કેન્દ્રથી $5 \,cm$ અંતરે રહેલા બિંદુએ સ્થિતિમાન $V$ છે, તો તેના કેન્દ્રથી $15 \,cm$ અંતરે રહેલા બિંદુએ સ્થિતિમાન કેટલું હશે?
A
$V/3$
B
$2V/3$
C
$3V/2$
D
$3V$
Solution
(B) $10 \,cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વિદ્યુતભારિત ગોળાકાર વાહક માટે, વાહકની અંદર (કોઈપણ અંતર $r < R$ માટે) સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આપેલ છે કે $r = 5 \,cm$ અંતરે સ્થિતિમાન $V$ છે, તેથી સપાટી પર $(r = 10 \,cm)$ પણ સ્થિતિમાન $V$ જ હશે.
કેન્દ્રથી $r > R$ અંતરે સ્થિતિમાનનું સૂત્ર $V(r) = \frac{kQ}{r}$ છે, જ્યાં $kQ$ એ સપાટી પરનું સ્થિતિમાન ગુણ્યા ત્રિજ્યા $(V \times R)$ છે.
તેથી, $V(r) = \frac{V \times R}{r}$.
કિંમતો $R = 10 \,cm$ અને $r = 15 \,cm$ મૂકતા:
$V(15) = \frac{V \times 10}{15} = \frac{2}{3} V$.
આપેલ છે કે $r = 5 \,cm$ અંતરે સ્થિતિમાન $V$ છે, તેથી સપાટી પર $(r = 10 \,cm)$ પણ સ્થિતિમાન $V$ જ હશે.
કેન્દ્રથી $r > R$ અંતરે સ્થિતિમાનનું સૂત્ર $V(r) = \frac{kQ}{r}$ છે, જ્યાં $kQ$ એ સપાટી પરનું સ્થિતિમાન ગુણ્યા ત્રિજ્યા $(V \times R)$ છે.
તેથી, $V(r) = \frac{V \times R}{r}$.
કિંમતો $R = 10 \,cm$ અને $r = 15 \,cm$ મૂકતા:
$V(15) = \frac{V \times 10}{15} = \frac{2}{3} V$.
0 likes
View Solution388
EasyMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવેલ ગોઠવણીમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_A-V_B)$ કેટલો હશે? $(q=1 \mu C, x=2 \text{ cm}, y=3 \text{ cm})$
A
$5.4 \times 10^5 \text{ V}$
B
$2.7 \times 10^5 \text{ V}$
C
$5.4 \times 10^2 \text{ V}$
D
$2.7 \times 10^2 \text{ V}$
Solution
(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ છે।
બિંદુ $A$ માટે, $+q$ થી અંતર $x = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ છે અને $-q$ થી અંતર $(x+y) = 2+3 = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ છે।
$V_A = \frac{kq}{x} + \frac{k(-q)}{x+y} = kq \left( \frac{1}{0.02} - \frac{1}{0.05} \right) = (9 \times 10^9)(10^{-6}) (50 - 20) = 9 \times 10^3 \times 30 = 2.7 \times 10^5 \text{ V}$.
બિંદુ $B$ માટે, $+q$ થી અંતર $(x+y) = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ છે અને $-q$ થી અંતર $x = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ છે।
$V_B = \frac{kq}{x+y} + \frac{k(-q)}{x} = kq \left( \frac{1}{0.05} - \frac{1}{0.02} \right) = (9 \times 10^9)(10^{-6}) (20 - 50) = 9 \times 10^3 \times (-30) = -2.7 \times 10^5 \text{ V}$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = 2.7 \times 10^5 - (-2.7 \times 10^5) = 5.4 \times 10^5 \text{ V}$ થાય.
બિંદુ $A$ માટે, $+q$ થી અંતર $x = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ છે અને $-q$ થી અંતર $(x+y) = 2+3 = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ છે।
$V_A = \frac{kq}{x} + \frac{k(-q)}{x+y} = kq \left( \frac{1}{0.02} - \frac{1}{0.05} \right) = (9 \times 10^9)(10^{-6}) (50 - 20) = 9 \times 10^3 \times 30 = 2.7 \times 10^5 \text{ V}$.
બિંદુ $B$ માટે, $+q$ થી અંતર $(x+y) = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ છે અને $-q$ થી અંતર $x = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ છે।
$V_B = \frac{kq}{x+y} + \frac{k(-q)}{x} = kq \left( \frac{1}{0.05} - \frac{1}{0.02} \right) = (9 \times 10^9)(10^{-6}) (20 - 50) = 9 \times 10^3 \times (-30) = -2.7 \times 10^5 \text{ V}$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = 2.7 \times 10^5 - (-2.7 \times 10^5) = 5.4 \times 10^5 \text{ V}$ થાય.
0 likes
View Solution389
EasyMCQ
$5 \, cm$ બાજુવાળા એક નિયમિત ષટ્કોણના દરેક શિરોબિંદુ પર $10 \, \mu C$ નો વિદ્યુતભાર છે. ષટ્કોણના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન કેટલું હશે?
A
$0 \, V$
B
$18 \times 10^5 \, V$
C
$1.08 \times 10^7 \, V$
D
$1.08 \times 10^5 \, V$
Solution
(C) આપેલ છે કે, નિયમિત ષટ્કોણની બાજુની લંબાઈ $r = 5 \, cm = 5 \times 10^{-2} \, m$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં, દરેક શિરોબિંદુથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર તેની બાજુની લંબાઈ જેટલું જ હોય છે. તેથી, $r = 5 \times 10^{-2} \, m$.
દરેક શિરોબિંદુ પરનો વિદ્યુતભાર $q = 10 \, \mu C = 10 \times 10^{-6} \, C = 10^{-5} \, C$ છે.
$r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ છે.
એક વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન:
$V_1 = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-5}}{5 \times 10^{-2}} = \frac{9}{5} \times 10^6 = 1.8 \times 10^6 \, V$.
ષટ્કોણમાં $6$ સમાન વિદ્યુતભારો કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોવાથી, કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{\text{total}}$:
$V_{\text{total}} = 6 \times V_1 = 6 \times 1.8 \times 10^6 \, V = 10.8 \times 10^6 \, V = 1.08 \times 10^7 \, V$.
નિયમિત ષટ્કોણમાં, દરેક શિરોબિંદુથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર તેની બાજુની લંબાઈ જેટલું જ હોય છે. તેથી, $r = 5 \times 10^{-2} \, m$.
દરેક શિરોબિંદુ પરનો વિદ્યુતભાર $q = 10 \, \mu C = 10 \times 10^{-6} \, C = 10^{-5} \, C$ છે.
$r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ છે.
એક વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન:
$V_1 = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-5}}{5 \times 10^{-2}} = \frac{9}{5} \times 10^6 = 1.8 \times 10^6 \, V$.
ષટ્કોણમાં $6$ સમાન વિદ્યુતભારો કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોવાથી, કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{\text{total}}$:
$V_{\text{total}} = 6 \times V_1 = 6 \times 1.8 \times 10^6 \, V = 10.8 \times 10^6 \, V = 1.08 \times 10^7 \, V$.
0 likes
View Solution390
EasyMCQ
એક વાન ડી ગ્રાફ જનરેટરમાં ધાતુના ગોળાકાર કવચનો ઇલેક્ટ્રોડ તરીકે ઉપયોગ થાય છે જેનું સ્થિતિમાન $15 \times 10^6 \,V$ છે. જો આસપાસના માધ્યમની ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ $5 \times 10^7 \,V/m$ હોય, તો કવચનો વ્યાસ કેટલો હશે ($\,cm$ માં)?
A
$30$
B
$15$
C
$60$
D
$120$
Solution
(C) ગોળાકાર કવચનું સ્થિતિમાન $V = 15 \times 10^6 \,V$ આપેલ છે.
આસપાસના માધ્યમની ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ, જે મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ દર્શાવે છે જે માધ્યમ બ્રેકડાઉન પહેલા સહન કરી શકે છે, તે $E = 5 \times 10^7 \,V/m$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર કવચ માટે, સ્થિતિમાન અને તેની સપાટી પરના વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ $V = E \times r$ છે.
તેથી, જરૂરી લઘુત્તમ ત્રિજ્યા $r = \frac{V}{E}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{15 \times 10^6 \,V}{5 \times 10^7 \,V/m} = 0.3 \,m$.
કવચનો વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 0.3 \,m = 0.6 \,m$ થાય.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા, $d = 0.6 \times 100 \,cm = 60 \,cm$ મળે.
આસપાસના માધ્યમની ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ, જે મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ દર્શાવે છે જે માધ્યમ બ્રેકડાઉન પહેલા સહન કરી શકે છે, તે $E = 5 \times 10^7 \,V/m$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર કવચ માટે, સ્થિતિમાન અને તેની સપાટી પરના વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ $V = E \times r$ છે.
તેથી, જરૂરી લઘુત્તમ ત્રિજ્યા $r = \frac{V}{E}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{15 \times 10^6 \,V}{5 \times 10^7 \,V/m} = 0.3 \,m$.
કવચનો વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 0.3 \,m = 0.6 \,m$ થાય.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા, $d = 0.6 \times 100 \,cm = 60 \,cm$ મળે.
0 likes
View Solution391
DifficultMCQ
$a=7 \ cm$,$b=17 \ cm$ અને $c$ $(a < b < c)$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ત્રણ સમકેન્દ્રીય ગોલીય ધાતુના કવચ $A$,$B$ અને $C$ પર અનુક્રમે પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma, -\sigma$ અને $\sigma$ છે. જો $A$ અને $C$ સમાન સ્થિતિમાને હોય,તો $c$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય ($cm$ માં)?
A
$20$
B
$10$
C
$34$
D
$24$
Solution
(D) કવચ પરના વિદ્યુતભારો $q_A = \sigma(4\pi a^2)$,$q_B = -\sigma(4\pi b^2)$ અને $q_C = \sigma(4\pi c^2)$ છે.
કવચ $A$ ની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{a} + \frac{q_B}{b} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [a - b + c]$ છે.
કવચ $C$ ની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_C = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{c} + \frac{q_B}{c} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0 c} [a^2 - b^2 + c^2]$ છે.
$V_A = V_C$ આપેલ હોવાથી,આપણે પદોને સરખાવીએ: $a - b + c = \frac{a^2 - b^2 + c^2}{c}$.
$c(a - b + c) = a^2 - b^2 + c^2 \implies ac - bc + c^2 = a^2 - b^2 + c^2$.
$ac - bc = a^2 - b^2 \implies c(a - b) = (a - b)(a + b)$.
$a \neq b$ હોવાથી,$(a - b)$ વડે ભાગતા $c = a + b$ મળે છે.
$a = 7 \ cm$ અને $b = 17 \ cm$ આપેલ હોવાથી,$c = 7 + 17 = 24 \ cm$ થાય.
કવચ $A$ ની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{a} + \frac{q_B}{b} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [a - b + c]$ છે.
કવચ $C$ ની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_C = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{c} + \frac{q_B}{c} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0 c} [a^2 - b^2 + c^2]$ છે.
$V_A = V_C$ આપેલ હોવાથી,આપણે પદોને સરખાવીએ: $a - b + c = \frac{a^2 - b^2 + c^2}{c}$.
$c(a - b + c) = a^2 - b^2 + c^2 \implies ac - bc + c^2 = a^2 - b^2 + c^2$.
$ac - bc = a^2 - b^2 \implies c(a - b) = (a - b)(a + b)$.
$a \neq b$ હોવાથી,$(a - b)$ વડે ભાગતા $c = a + b$ મળે છે.
$a = 7 \ cm$ અને $b = 17 \ cm$ આપેલ હોવાથી,$c = 7 + 17 = 24 \ cm$ થાય.
0 likes
View Solution392
MediumMCQ
$\text{9 cm}$ અને $\text{1 cm}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વાહક ગોળાઓ મુક્ત અવકાશમાં $\text{20 cm}$ ના અંતરે રાખેલા છે। જો બંને ગોળાઓને સમાન $\text{10 V}$ ના સ્થિતિમાન સુધી ચાર્જ કરવામાં આવે, તો તેમની વચ્ચે લાગતું અપાકર્ષણ બળ કેટલું હશે?
A
$\frac{4}{9} \times 10^{-9} \,N$
B
$\frac{10^{-9}}{4} \,N$
C
$\frac{10^{-9}}{3} \,N$
D
$4 \times 10^{-9} \,N$
Solution
(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વાહક ગોળાનું સ્થિતિમાન $V$, જેના પર $q$ વિદ્યુતભાર છે, તે $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V = 10 \,V$, $R_1 = 0.09 \,m$ અને $R_2 = 0.01 \,m$ આપેલ છે.
ગોળાઓ પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = 4\pi\epsilon_0 R_1 V$ અને $q_2 = 4\pi\epsilon_0 R_2 V$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $q_1 = \frac{0.09 \times 10}{9 \times 10^9} = 10^{-10} \,C$ અને $q_2 = \frac{0.01 \times 10}{9 \times 10^9} = \frac{1}{9} \times 10^{-10} \,C$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 0.2 \,m$ છે.
અપાકર્ષણ બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2} = (9 \times 10^9) \times \frac{10^{-10} \times (1/9) \times 10^{-10}}{(0.2)^2}$.
$F = \frac{10^{-11}}{0.04} = \frac{10^{-11}}{4 \times 10^{-2}} = 0.25 \times 10^{-9} \,N = \frac{10^{-9}}{4} \,N$.
અહીં $V = 10 \,V$, $R_1 = 0.09 \,m$ અને $R_2 = 0.01 \,m$ આપેલ છે.
ગોળાઓ પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = 4\pi\epsilon_0 R_1 V$ અને $q_2 = 4\pi\epsilon_0 R_2 V$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $q_1 = \frac{0.09 \times 10}{9 \times 10^9} = 10^{-10} \,C$ અને $q_2 = \frac{0.01 \times 10}{9 \times 10^9} = \frac{1}{9} \times 10^{-10} \,C$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 0.2 \,m$ છે.
અપાકર્ષણ બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2} = (9 \times 10^9) \times \frac{10^{-10} \times (1/9) \times 10^{-10}}{(0.2)^2}$.
$F = \frac{10^{-11}}{0.04} = \frac{10^{-11}}{4 \times 10^{-2}} = 0.25 \times 10^{-9} \,N = \frac{10^{-9}}{4} \,N$.
0 likes
View Solution393
EasyMCQ
એક ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક પેઇન્ટ સ્પ્રેયરમાં $18 \, cm$ વ્યાસનો ધાતુનો ગોળો છે અને તે $25 \, kV$ ના સ્થિતિમાન પર છે. ધાતુના ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર કેટલો હશે ($ \, \mu C$ માં)?
A
$0.25$
B
$2.5$
C
$0.5$
D
$25$
Solution
(A) ભારિત ધાતુના ગોળાનું સ્થિતિમાન $V$ એ સૂત્ર $V = \frac{k q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ એ કુલંબનો અચળાંક છે, $q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: વ્યાસ $d = 18 \, cm$, તેથી ત્રિજ્યા $r = 9 \, cm = 9 \times 10^{-2} \, m$.
સ્થિતિમાન $V = 25 \, kV = 25 \times 10^3 \, V$.
વિદ્યુતભાર $q$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $q = \frac{V \cdot r}{k}$.
કિંમતો મૂકતા: $q = \frac{25 \times 10^3 \times 9 \times 10^{-2}}{9 \times 10^9}$.
$q = \frac{25 \times 10^1}{10^9} = 25 \times 10^{-8} \, C$.
માઇક્રોકુલંબમાં રૂપાંતર કરતા: $q = 0.25 \times 10^{-6} \, C = 0.25 \, \mu C$.
આપેલ છે: વ્યાસ $d = 18 \, cm$, તેથી ત્રિજ્યા $r = 9 \, cm = 9 \times 10^{-2} \, m$.
સ્થિતિમાન $V = 25 \, kV = 25 \times 10^3 \, V$.
વિદ્યુતભાર $q$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $q = \frac{V \cdot r}{k}$.
કિંમતો મૂકતા: $q = \frac{25 \times 10^3 \times 9 \times 10^{-2}}{9 \times 10^9}$.
$q = \frac{25 \times 10^1}{10^9} = 25 \times 10^{-8} \, C$.
માઇક્રોકુલંબમાં રૂપાંતર કરતા: $q = 0.25 \times 10^{-6} \, C = 0.25 \, \mu C$.
0 likes
View Solution394
EasyMCQ
નીચેની આકૃતિમાં,એક બિંદુવત વિદ્યુતભારને બિંદુ $P$ થી બિંદુ $A, B$ અને $C$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય અનુક્રમે $W_A, W_B$ અને $W_C$ છે. તો ($A, B, C$ એ અર્ધવર્તુળ પરના બિંદુઓ છે અને બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ એ અર્ધવર્તુળના કેન્દ્ર પર છે):
A
$W_A = W_B = W_C \neq 0$
B
$W_A = W_B = W_C = 0$
C
$W_A > W_B > W_C$
D
$W_A < W_B < W_C$
Solution
(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ એ અર્ધવર્તુળ પર આવેલા છે અને વિદ્યુતભાર $q$ તેના કેન્દ્ર પર છે,તેથી આ તમામ બિંદુઓ વિદ્યુતભાર $q$ થી સમાન અંતરે ($r$ એટલે કે અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા) આવેલા છે.
તેથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન સમાન છે,એટલે કે $V_A = V_B = V_C = V$.
કોઈ વિદ્યુતભાર $q_0$ ને બિંદુ $P$ થી બિંદુ $X$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q_0(V_X - V_P)$ છે.
આમ,વિદ્યુતભારને $A, B$ અને $C$ બિંદુઓ સુધી લઈ જવા માટેનું કાર્ય:
$W_A = q_0(V_A - V_P) = q_0(V - V_P)$
$W_B = q_0(V_B - V_P) = q_0(V - V_P)$
$W_C = q_0(V_C - V_P) = q_0(V - V_P)$
$V_A = V_B = V_C$ હોવાથી,$W_A = W_B = W_C$ મળે છે.
બિંદુ $P$ એ વિદ્યુતભાર $q$ થી અર્ધવર્તુળ પરના બિંદુઓ કરતા અલગ અંતરે હોવાથી,$V_P \neq V$,તેથી $W_A = W_B = W_C \neq 0$ થાય છે.
અહીં બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ એ અર્ધવર્તુળ પર આવેલા છે અને વિદ્યુતભાર $q$ તેના કેન્દ્ર પર છે,તેથી આ તમામ બિંદુઓ વિદ્યુતભાર $q$ થી સમાન અંતરે ($r$ એટલે કે અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા) આવેલા છે.
તેથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન સમાન છે,એટલે કે $V_A = V_B = V_C = V$.
કોઈ વિદ્યુતભાર $q_0$ ને બિંદુ $P$ થી બિંદુ $X$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q_0(V_X - V_P)$ છે.
આમ,વિદ્યુતભારને $A, B$ અને $C$ બિંદુઓ સુધી લઈ જવા માટેનું કાર્ય:
$W_A = q_0(V_A - V_P) = q_0(V - V_P)$
$W_B = q_0(V_B - V_P) = q_0(V - V_P)$
$W_C = q_0(V_C - V_P) = q_0(V - V_P)$
$V_A = V_B = V_C$ હોવાથી,$W_A = W_B = W_C$ મળે છે.
બિંદુ $P$ એ વિદ્યુતભાર $q$ થી અર્ધવર્તુળ પરના બિંદુઓ કરતા અલગ અંતરે હોવાથી,$V_P \neq V$,તેથી $W_A = W_B = W_C \neq 0$ થાય છે.
0 likes
View Solution395
EasyMCQ
વિધાન $(A)$: જ્યારે કોઈ બિંદુવત વિદ્યુતભાર બીજા વિદ્યુતભારની આસપાસ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે ત્યારે સ્થિત-વિદ્યુત બળ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
કારણ $(R)$: બળ અને સ્થાનાંતર સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) કાર્ય આપે છે.
કારણ $(R)$: બળ અને સ્થાનાંતર સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) કાર્ય આપે છે.
A
વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.
B
વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.
C
વિધાન સાચું છે પરંતુ કારણ ખોટું છે.
D
વિધાન ખોટું છે પરંતુ કારણ સાચું છે.
Solution
(A) બળ $\vec{F}$ દ્વારા સ્થાનાંતર $d\vec{r}$ પર થતું કાર્ય $W$ એ અદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$.
જ્યારે કોઈ બિંદુવત વિદ્યુતભાર બીજા વિદ્યુતભારની આસપાસ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે સ્થિત-વિદ્યુત બળ હંમેશા ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં (કેન્દ્ર તરફ અથવા કેન્દ્રથી દૂર) હોય છે,જ્યારે સ્થાનાંતર સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર પથને સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
ત્રિજ્યાવર્તી બળ અને સ્પર્શકીય સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,અદિશ ગુણાકાર $\vec{F} \cdot d\vec{r} = F dr \cos 90^{\circ} = 0$ થાય છે.
આમ,થતું કાર્ય શૂન્ય છે. વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.
જ્યારે કોઈ બિંદુવત વિદ્યુતભાર બીજા વિદ્યુતભારની આસપાસ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે સ્થિત-વિદ્યુત બળ હંમેશા ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં (કેન્દ્ર તરફ અથવા કેન્દ્રથી દૂર) હોય છે,જ્યારે સ્થાનાંતર સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર પથને સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
ત્રિજ્યાવર્તી બળ અને સ્પર્શકીય સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,અદિશ ગુણાકાર $\vec{F} \cdot d\vec{r} = F dr \cos 90^{\circ} = 0$ થાય છે.
આમ,થતું કાર્ય શૂન્ય છે. વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.
0 likes
View Solution396
MediumMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ત્રણ વિદ્યુતભારોને ગોઠવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય કેટલું છે?
A
$\frac{-3 q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a}$
B
$\frac{-2 q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a}$
C
$\frac{-q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a}$
D
$0$
Solution
(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રને ગોઠવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા જેટલું હોય છે.
ત્રણ વિદ્યુતભારો $q_1, q_2,$ અને $q_3$ માટે,જે એકબીજાથી $r_{12}, r_{23},$ અને $r_{13}$ અંતરે આવેલા હોય,ત્યારે સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચે મુજબ મળે છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} \right)$
અહીં આપેલ વિદ્યુતભારો $q_1 = -q$,$q_2 = +q$,અને $q_3 = -2q$ છે અને દરેક જોડી વચ્ચેનું અંતર $a$ છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{(-q)(q)}{a} + \frac{(q)(-2q)}{a} + \frac{(-q)(-2q)}{a} \right)$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 a} (-q^2 - 2q^2 + 2q^2)$
$U = \frac{-q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a}$
ત્રણ વિદ્યુતભારો $q_1, q_2,$ અને $q_3$ માટે,જે એકબીજાથી $r_{12}, r_{23},$ અને $r_{13}$ અંતરે આવેલા હોય,ત્યારે સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચે મુજબ મળે છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} \right)$
અહીં આપેલ વિદ્યુતભારો $q_1 = -q$,$q_2 = +q$,અને $q_3 = -2q$ છે અને દરેક જોડી વચ્ચેનું અંતર $a$ છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{(-q)(q)}{a} + \frac{(q)(-2q)}{a} + \frac{(-q)(-2q)}{a} \right)$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 a} (-q^2 - 2q^2 + 2q^2)$
$U = \frac{-q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a}$
0 likes
View Solution397
MediumMCQ
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના કેન્દ્ર $O$ પર $q$ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવ્યો છે. વર્તુળના વ્યાસ $AB$ ના બંને છેડાઓ પર અન્ય બે $q$ અને $q$ વિદ્યુતભારો મૂકવામાં આવ્યા છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બિંદુ $B$ પરના વિદ્યુતભારને વર્તુળના પરિઘ પર બિંદુ $C$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય કેટલું હશે?
A
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q^2}{R}(\sqrt{2})$
B
શૂન્ય
C
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q^2}{R}\left(\frac{\sqrt{2}-1}{2}\right)$
D
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q^2}{R}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
Solution
(C) બિંદુ $B$ થી બિંદુ $C$ સુધી $q$ વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_C - V_B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_C$ અને $V_B$ એ અનુક્રમે બિંદુ $C$ અને $B$ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન છે.
કોઈપણ બિંદુ પરનું સ્થિતિમાન એ ત્રણ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે: એક $O$ પર $(q)$,એક $A$ પર $(q)$,અને એક $B$ પર $(q)$.
બિંદુ $B$ પર સ્થિતિમાન $(V_B)$: $O$ થી $B$ નું અંતર $R$ છે,$A$ થી $B$ નું અંતર $2R$ છે,અને $B$ પરનો વિદ્યુતભાર એ છે જેને ખસેડવામાં આવે છે,તેથી આપણે અન્ય બે વિદ્યુતભારોને કારણે સ્થિતિમાન ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $V_B = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q}{R} + \frac{q}{2R} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{3q}{2R}$.
બિંદુ $C$ પર સ્થિતિમાન $(V_C)$: $O$ થી $C$ નું અંતર $R$ છે,$A$ થી $C$ નું અંતર $\sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ છે,અને $B$ થી $C$ નું અંતર $R\sqrt{2}$ છે. $C$ પરનો વિદ્યુતભાર એ છે જેને ખસેડવામાં આવે છે,તેથી આપણે અન્ય બે વિદ્યુતભારોને કારણે સ્થિતિમાન ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $V_C = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q}{R} + \frac{q}{R\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_C - V_B) = q \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{q}{R} (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{3q}{2R} \right] = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \left[ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} - 1.5 \right] = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} - 0.5 \right] = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \left( \frac{\sqrt{2}-1}{2} \right)$.
કોઈપણ બિંદુ પરનું સ્થિતિમાન એ ત્રણ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે: એક $O$ પર $(q)$,એક $A$ પર $(q)$,અને એક $B$ પર $(q)$.
બિંદુ $B$ પર સ્થિતિમાન $(V_B)$: $O$ થી $B$ નું અંતર $R$ છે,$A$ થી $B$ નું અંતર $2R$ છે,અને $B$ પરનો વિદ્યુતભાર એ છે જેને ખસેડવામાં આવે છે,તેથી આપણે અન્ય બે વિદ્યુતભારોને કારણે સ્થિતિમાન ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $V_B = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q}{R} + \frac{q}{2R} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{3q}{2R}$.
બિંદુ $C$ પર સ્થિતિમાન $(V_C)$: $O$ થી $C$ નું અંતર $R$ છે,$A$ થી $C$ નું અંતર $\sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ છે,અને $B$ થી $C$ નું અંતર $R\sqrt{2}$ છે. $C$ પરનો વિદ્યુતભાર એ છે જેને ખસેડવામાં આવે છે,તેથી આપણે અન્ય બે વિદ્યુતભારોને કારણે સ્થિતિમાન ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $V_C = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q}{R} + \frac{q}{R\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_C - V_B) = q \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{q}{R} (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{3q}{2R} \right] = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \left[ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} - 1.5 \right] = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} - 0.5 \right] = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \left( \frac{\sqrt{2}-1}{2} \right)$.
0 likes
View Solution398
MediumMCQ
$729$ નાના સમાન ગોળાઓ,જે દરેક $3 \ V$ ના વિદ્યુત સ્થિતિમાને ચાર્જ થયેલા છે,તે જોડાઈને એક મોટો ગોળો બનાવે છે. મોટા ગોળાનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન કેટલું હશે ($V$ માં)?
A
$9$
B
$729$
C
$81$
D
$243$
Solution
(D) ધારો કે $n = 729$ એ નાના ગોળાઓની સંખ્યા છે,જેની ત્રિજ્યા $r$ અને સ્થિતિમાન $V_s = 3 \ V$ છે.
નાના ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_s = \frac{k q}{r} = 3 \ V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $n$ નાના ગોળાઓ જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનો મોટો ગોળો બનાવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = nq$ થાય છે અને કદ અચળ રહે છે.
મોટા ગોળાનું કદ = $n \times$ નાના ગોળાનું કદ $\implies \frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
આમ,$R^3 = n r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R = n^{1/3} r$.
$n = 729$ માટે,$R = (729)^{1/3} r = 9r$.
મોટા ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{k Q}{R} = \frac{k (nq)}{n^{1/3} r} = n^{2/3} \times \frac{k q}{r} = n^{2/3} V_s$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $V_B = (729)^{2/3} \times 3 \ V = (9^3)^{2/3} \times 3 \ V = 9^2 \times 3 \ V = 81 \times 3 \ V = 243 \ V$.
નાના ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_s = \frac{k q}{r} = 3 \ V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $n$ નાના ગોળાઓ જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનો મોટો ગોળો બનાવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = nq$ થાય છે અને કદ અચળ રહે છે.
મોટા ગોળાનું કદ = $n \times$ નાના ગોળાનું કદ $\implies \frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
આમ,$R^3 = n r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R = n^{1/3} r$.
$n = 729$ માટે,$R = (729)^{1/3} r = 9r$.
મોટા ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{k Q}{R} = \frac{k (nq)}{n^{1/3} r} = n^{2/3} \times \frac{k q}{r} = n^{2/3} V_s$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $V_B = (729)^{2/3} \times 3 \ V = (9^3)^{2/3} \times 3 \ V = 9^2 \times 3 \ V = 81 \times 3 \ V = 243 \ V$.
0 likes
View Solution399
EasyMCQ
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પોલા વાહક ગોળાની સપાટી પરના કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ હોય,તો ગોળાના કેન્દ્રથી $\frac{R}{3}$ અંતરે આવેલા બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન કેટલું હશે?
A
$V$
B
$\frac{V}{3}$
C
$\frac{V}{9}$
D
$3V$
Solution
(A) પોલા વાહક ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહેલો હોય છે.
ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય $(E = 0)$ હોય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન $(E = -\frac{dV}{dr})$ જેટલું હોવાથી,જો $E = 0$ હોય,તો ગોળાની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે.
તેથી,ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આપેલ છે કે સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે,તેથી કેન્દ્રથી $\frac{R}{3}$ અંતરે (જે ગોળાની અંદર છે) સ્થિતિમાન પણ $V$ જ રહેશે.
ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય $(E = 0)$ હોય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન $(E = -\frac{dV}{dr})$ જેટલું હોવાથી,જો $E = 0$ હોય,તો ગોળાની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે.
તેથી,ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આપેલ છે કે સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે,તેથી કેન્દ્રથી $\frac{R}{3}$ અંતરે (જે ગોળાની અંદર છે) સ્થિતિમાન પણ $V$ જ રહેશે.
0 likes
View Solution400
DifficultMCQ
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બે પાતળી વાયરની રીંગો છે,જેના અક્ષો એકબીજા પર સંપાત થાય છે. રીંગો પરના વિદ્યુતભારો $q$ અને $-q$ છે. $\sqrt{3} R$ અંતરે રહેલી રીંગોના કેન્દ્રો વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$0$
B
$\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$
C
$\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R} \frac{1}{\sqrt{3} R}$
D
$\frac{q}{2 \pi \varepsilon_0 R}$
Solution
(B) ધારો કે રીંગોના કેન્દ્રો $A$ અને $B$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{3} R$ છે.
રીંગ $1$ (વિદ્યુતભાર $q$) ને કારણે કેન્દ્ર $A$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{A1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{R}$ છે.
રીંગ $2$ (વિદ્યુતભાર $-q$) ને કારણે કેન્દ્ર $A$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{A2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{-q}{\sqrt{R^2 + d^2}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{-q}{\sqrt{R^2 + 3R^2}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{-q}{2R}$ છે.
$A$ પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A = V_{A1} + V_{A2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} (\frac{q}{R} - \frac{q}{2R}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R}$ છે.
તે જ રીતે,રીંગ $2$ (વિદ્યુતભાર $-q$) ને કારણે કેન્દ્ર $B$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{B2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{-q}{R}$ છે.
રીંગ $1$ (વિદ્યુતભાર $q$) ને કારણે કેન્દ્ર $B$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{B1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + d^2}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R}$ છે.
$B$ પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_B = V_{B1} + V_{B2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} (\frac{q}{2R} - \frac{q}{R}) = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનું મૂલ્ય $|V_A - V_B| = |\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R} - (-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R})| = |\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q}{2R}| = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ થાય.
રીંગ $1$ (વિદ્યુતભાર $q$) ને કારણે કેન્દ્ર $A$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{A1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{R}$ છે.
રીંગ $2$ (વિદ્યુતભાર $-q$) ને કારણે કેન્દ્ર $A$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{A2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{-q}{\sqrt{R^2 + d^2}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{-q}{\sqrt{R^2 + 3R^2}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{-q}{2R}$ છે.
$A$ પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A = V_{A1} + V_{A2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} (\frac{q}{R} - \frac{q}{2R}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R}$ છે.
તે જ રીતે,રીંગ $2$ (વિદ્યુતભાર $-q$) ને કારણે કેન્દ્ર $B$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{B2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{-q}{R}$ છે.
રીંગ $1$ (વિદ્યુતભાર $q$) ને કારણે કેન્દ્ર $B$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{B1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + d^2}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R}$ છે.
$B$ પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_B = V_{B1} + V_{B2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} (\frac{q}{2R} - \frac{q}{R}) = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનું મૂલ્ય $|V_A - V_B| = |\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R} - (-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R})| = |\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q}{2R}| = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ થાય.
0 likes
View SolutionElectric Potential and Capacitance — Electric potential · Frequently Asked Questions
1Are these Electric Potential and Capacitance questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Electric Potential and Capacitance Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.