Motion of Charge particle in Electric filed Questions in Gujarati

(A) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE$ છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m}$ છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ (પ્રારંભિક વેગ),$S = 2 \, cm = 2 \times 10^{-2} \, m$ (પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર),અને $a = \frac{eE}{m}$:
$v^2 = 2 \left( \frac{e}{m} \right) E S$
અહીં $\frac{e}{m} = 1.76 \times 10^{11} \, C/kg$,$E = 10^4 \, N/C$,અને $S = 2 \times 10^{-2} \, m$ આપેલ છે:
$v^2 = 2 \times (1.76 \times 10^{11}) \times 10^4 \times (2 \times 10^{-2})$
$v^2 = 7.04 \times 10^{13} = 70.4 \times 10^{12}$
$v = \sqrt{70.4} \times 10^6 \approx 8.39 \times 10^6 \, m/s = 0.839 \times 10^7 \, m/s$.
નજીકના વિકલ્પને ધ્યાનમાં લેતા,વેગ આશરે $0.85 \times 10^7 \, m/s$ મળે છે.

(A) વિદ્યુતભાર $Q$ પર વિદ્યુતબળ $\vec{F}$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec{r}$ દરમિયાન થતું કાર્ય $W$ એ ડોટ પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.
અહીં વિદ્યુતબળ $\vec{F} = Q\vec{E}$ હોવાથી,કાર્ય $W = Q\vec{E} \cdot \vec{r}$ થશે.
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા: $W = Q(E_1\hat{i} + E_2\hat{j}) \cdot (a\hat{i} + b\hat{j})$.
ડોટ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,અને $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $W = Q(E_1a + E_2b)$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર ઋણ વિદ્યુતભાર $(q = -e)$ હોવાથી,તેના પર લાગતું બળ $F = -eE$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે બળ વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
જેમ કે ઇલેક્ટ્રોનને વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે,તેના પર લાગતું બળ તેના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
આ બળ પ્રતિરોધક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ ઘટે છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ ઘટશે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં વિદ્યુતભાર $Q$ ને ખસેડવા માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{F} = Q\vec{E}$ છે.
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન હોવાથી,બળ $\vec{F} = Q(E_1 \hat{i} + E_2 \hat{j})$ અચળ રહે છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\Delta\vec{r} = (c - a)\hat{i} + (d - b)\hat{j}$ છે.
તેથી,થયેલું કાર્ય $W = Q(E_1 \hat{i} + E_2 \hat{j}) \cdot ((c - a)\hat{i} + (d - b)\hat{j})$ થશે.
આમ,$W = Q\{E_1(c - a) + E_2(d - b)\}$ મળે છે.

(C) અચળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ દ્વારા $q_0$ વિદ્યુતભાર પર બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી ગતિ કરવા માટે થતું કાર્ય $W = \vec F \cdot \vec d$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec F = q_0 \vec E$ એ વિદ્યુત બળ છે અને $\vec d = \vec{r}_B - \vec{r}_A$ એ સ્થાનાંતર સદિશ છે.
આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E = E_0 \hat i$ અને બિંદુઓ $A(0, a)$ અને $B(a, 0)$ ના યામો પરથી,સ્થાનાંતર સદિશ:
$\vec d = (a - 0) \hat i + (0 - a) \hat j = a \hat i - a \hat j$ થશે.
થયેલું કાર્ય:
$W = (q_0 E_0 \hat i) \cdot (a \hat i - a \hat j)$
$W = q_0 E_0 a (\hat i \cdot \hat i) - q_0 E_0 a (\hat i \cdot \hat j)$
કારણ કે $\hat i \cdot \hat i = 1$ અને $\hat i \cdot \hat j = 0$,તેથી:
$W = q_0 E_0 a (1) - 0 = q_0 E_0 a$.

(C) ધારો કે $l = 3.0 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$ એ પ્લેટોની લંબાઈ છે અને $d = 1.0 \, cm = 10^{-2} \, m$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્લેટોની લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{l}{v_x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_x = 3 \times 10^7 \, m/s$ છે.
$t = \frac{3 \times 10^{-2} \, m}{3 \times 10^7 \, m/s} = 10^{-9} \, s$.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d} = \frac{550 \, V}{10^{-2} \, m} = 5.5 \times 10^4 \, V/m$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE = ma_y$ છે,તેથી પ્રવેગ $a_y = \frac{eE}{m} = \frac{e}{m} \cdot \frac{V}{d}$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોન મધ્યમાંથી પ્રવેશ કરે છે,તેથી પ્લેટની ધાર પર અથડાવા માટે તેણે $y = \frac{d}{2}$ જેટલું ઊભું વિચલન કરવું પડે છે.
ગતિના સમીકરણ $y = \frac{1}{2} a_y t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{e}{m} \cdot \frac{V}{d} \right) t^2$.
વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{e}{m}$ માટે ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{e}{m} = \frac{d^2}{V t^2} = \frac{(10^{-2})^2}{550 \times (10^{-9})^2} = \frac{10^{-4}}{550 \times 10^{-18}} = \frac{10^{14}}{550} \approx 1.818 \times 10^{11} \, C/kg$.
આમ,વિશિષ્ટ વીજભાર આશરે $1.8 \times 10^{11} \, C/kg$ છે.

(C) ડ્યુટેરોન માટે: વિદ્યુતભાર $q_d = e$,દળ $m_d = 2m_p = 2m$.
$\alpha -$ કણ માટે: વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2e$,દળ $m_{\alpha} = 4m_p = 4m$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$F_1 = eE$ અને $F_2 = 2eE$. કારણ કે $F_1 \neq F_2$,તેથી કારણ ખોટું છે.
હવે,$a = F/m$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગની ગણતરી કરતા:
$a_1 = F_1 / m_d = (eE) / (2m) = eE / 2m$.
$a_2 = F_2 / m_{\alpha} = (2eE) / (4m) = eE / 2m$.
આમ $a_1 = a_2$ હોવાથી,વિધાન સાચું છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનું વિચલન $y$ એ સૂત્ર $y = \frac{E e x^2}{2 m v^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ વિદ્યુતભાર છે,$m$ એ દળ છે,$v$ એ વેગ છે અને $x$ એ કાપેલું આડું અંતર છે.
જો આપણે ધારી લઈએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$,વેગ $v$ અને અંતર $x$ બધા કણો માટે સમાન છે,તો આપણને $y \propto \frac{e}{m}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિચલન $y$ એ વિશિષ્ટ વિદ્યુતભાર ગુણોત્તર $e/m$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે.
આકૃતિ જોતા,કણ $A$ ઉપરની દિશામાં મહત્તમ વિચલન દર્શાવે છે અને કણ $D$ નીચેની દિશામાં મહત્તમ વિચલન દર્શાવે છે. વિચલનનું મૂલ્ય $A$ અને $D$ માટે સૌથી વધુ હોવાથી,તેમનો $e/m$ ગુણોત્તર સૌથી વધુ છે. આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,$D$ એ આવા પ્રશ્નો માટે પ્રમાણભૂત જવાબ છે જ્યાં નીચે તરફના વિચલનને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ થાય.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થતો હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^{2} = u^{2} + 2ax$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$v^{2} = 0 + 2 \left( \frac{qE}{m} \right) x$
$v^{2} = \left( \frac{2qE}{m} \right) x$
$v = \sqrt{\frac{2qE}{m}} \sqrt{x}$
આ દર્શાવે છે કે $v \propto \sqrt{x}$ છે.
સંબંધ $v = k \sqrt{x}$ (જ્યાં $k$ અચળાંક છે) માટે $v$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ એ $x$-અક્ષની દિશામાં ખુલતો પરવલય છે,જે આલેખ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(N/A) આકૃતિ $(a)$ માં,ક્ષેત્ર ઉપરની તરફ છે,તેથી ઋણ વીજભારિત ઇલેક્ટ્રોન $eE$ મૂલ્યનું નીચેની તરફ બળ અનુભવે છે,જ્યાં $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય છે. ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a_{e} = eE / m_{e}$ છે,જ્યાં $m_{e}$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને,ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા $h$ અંતર કાપવા માટે જરૂરી સમય $t_{e} = \sqrt{\frac{2h}{a_{e}}} = \sqrt{\frac{2hm_{e}}{eE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$m_{e} = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$,$E = 2.0 \times 10^{4} \; N C^{-1}$,અને $h = 1.5 \times 10^{-2} \; m$ માટે,આપણને $t_{e} \approx 2.9 \times 10^{-9} \; s$ મળે છે.
આકૃતિ $(b)$ માં,ક્ષેત્ર નીચેની તરફ છે,અને ધન વીજભારિત પ્રોટોન $eE$ મૂલ્યનું નીચેની તરફ બળ અનુભવે છે. પ્રોટોનનો પ્રવેગ $a_{p} = eE / m_{p}$ છે,જ્યાં $m_{p} = 1.67 \times 10^{-27} \; kg$ એ પ્રોટોનનું દળ છે.
પ્રોટોન માટે પતનનો સમય $t_{p} = \sqrt{\frac{2h}{a_{p}}} = \sqrt{\frac{2hm_{p}}{eE}} \approx 1.3 \times 10^{-7} \; s$ છે.
આમ,ભારે કણ (પ્રોટોન) સમાન અંતર કાપવા માટે વધુ સમય લે છે. આ 'ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન' ની પરિસ્થિતિથી મૂળભૂત રીતે વિપરીત છે જ્યાં પતનનો સમય પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર હોય છે. નોંધો કે આ ઉદાહરણમાં આપણે ગુરુત્વાકર્ષણના કારણે પ્રવેગને અવગણ્યો છે. પ્રોટોનનો પ્રવેગ $a_{p} = \frac{eE}{m_{p}} = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \; C) \times (2.0 \times 10^{4} \; N C^{-1})}{1.67 \times 10^{-27} \; kg} \approx 1.9 \times 10^{12} \; m s^{-2}$ છે,જે $g = 9.8 \; m s^{-2}$ ની સરખામણીમાં ખૂબ જ વધારે છે. તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણની અસરને અવગણી શકાય છે.

(N/A) વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારો એકબીજાને આકર્ષે છે અને સમાન વિદ્યુતભારો એકબીજાને અપાકર્ષે છે.
તે જોઈ શકાય છે કે કણ $1$ અને $2$ બંને ધન વિદ્યુતભારીત પ્લેટ તરફ ગતિ કરે છે અને ઋણ વિદ્યુતભારીત પ્લેટથી દૂર અપાકર્ષાય છે.
તેથી,આ બંને કણો ઋણ વિદ્યુતભારીત છે.
તે પણ જોઈ શકાય છે કે કણ $3$ ઋણ વિદ્યુતભારીત પ્લેટ તરફ ગતિ કરે છે અને ધન વિદ્યુતભારીત પ્લેટથી દૂર અપાકર્ષાય છે.
તેથી,કણ $3$ ધન વિદ્યુતભારીત છે.
સમાન વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ માં $x$ જેટલું આડું અંતર કાપ્યા પછી વિદ્યુતભારીત કણનું વિચલન $y = \frac{qEx^2}{2mv^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ વિદ્યુતભાર છે,$m$ એ દળ છે,અને $v$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
આપેલ વેગ અને આડા અંતર માટે,વિચલન $y$ એ વિદ્યુતભાર અને દળના ગુણોત્તર $(q/m)$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
કણ $3$ મહત્તમ વિચલન દર્શાવે છે,તેથી તેનો વિદ્યુતભાર અને દળનો ગુણોત્તર સૌથી વધુ છે.

(N/A) આપેલ છે:
કણનું દળ = $m$
કણનો વીજભાર = $-q$
$x$-અક્ષની દિશામાં પ્રારંભિક વેગ = $v_{x}$
પ્લેટની લંબાઈ = $L$
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર = $E$
$1$. બળ અને પ્રવેગ:
કણ પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F = qE$ છે. કણ ઋણ વીજભારિત હોવાથી,બળ વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ ઉર્ધ્વ દિશામાં ($y$-અક્ષ) કણનો પ્રવેગ $a$:
$a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$
$2$. ગતિનો સમય:
$L$ લંબાઈની પ્લેટોને અચળ સમક્ષિતિજ વેગ $v_{x}$ થી પસાર કરવા માટે કણ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t$:
$t = \frac{L}{v_{x}}$
$3$. ઉર્ધ્વ વિચલન:
ઉર્ધ્વ દિશામાં,પ્રારંભિક વેગ $u_{y} = 0$. ગતિના સમીકરણ $s = u_{y}t + \frac{1}{2}at^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{L}{v_{x}} \right)^{2}$
$s = \frac{qEL^{2}}{2mv_{x}^{2}}$
$4$. પ્રક્ષિપ્ત ગતિ સાથે સરખામણી:
આ ગતિ સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g$ માં સમક્ષિતિજ રીતે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ગતિ જેવી જ છે. પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર $y = \frac{1}{2}gt^{2} = \frac{1}{2}g(x/v_{x})^{2} = \frac{gx^{2}}{2v_{x}^{2}}$ છે. અહીં,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ ની ભૂમિકા વિદ્યુત પ્રવેગ $a = qE/m$ ભજવે છે.

(C) આપેલ છે:
વેગ $v_{x} = 2.0 \times 10^{6} \; m/s$
પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d = 0.5 \; cm = 0.005 \; m$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 9.1 \times 10^{2} \; N/C$
વીજભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \; C$
ઈલેક્ટ્રોનનું દળ $m_{e} = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$
ઈલેક્ટ્રોનનું શિરોલંબ વિચલન $s = \frac{1}{2} a t^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a = \frac{qE}{m}$ અને $t = \frac{L}{v_{x}}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$s = \frac{q E L^{2}}{2 m v_{x}^{2}}$ મળે.
ઈલેક્ટ્રોન ઉપરની પ્લેટને અથડાય તે અંતર $L$ શોધવા માટે,આપણે $s = d = 0.005 \; m$ લઈએ.
$L = \sqrt{\frac{2 d m v_{x}^{2}}{q E}}$
$L = \sqrt{\frac{2 \times 0.005 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (2.0 \times 10^{6})^{2}}{1.6 \times 10^{-19} \times 9.1 \times 10^{2}}}$
$L = \sqrt{\frac{0.01 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 4 \times 10^{12}}{1.6 \times 10^{-19} \times 9.1 \times 10^{2}}}$
$L = \sqrt{\frac{0.04 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-17}}} = \sqrt{0.025 \times 10^{-2}} = \sqrt{0.00025} = 0.016 \; m = 1.6 \; cm$.

(C) સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$ એ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે વર્તે છે,જે હંમેશા ન્યુક્લિયસના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં,ઇલેક્ટ્રોનનું સ્થાનાંતર $d$ હંમેશા પથને સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે (અને તેથી બળ $F$ ને પણ લંબ હોય છે).
કાર્યનું સૂત્ર $W = F d \cos \theta$ છે,અને બળ તથા સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ હોવાથી:
$W = F d \cos 90^{\circ}$
$W = F d (0) = 0$
તેથી,વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન પર સ્થિત-વિદ્યુત બળ વડે થતું કાર્ય $0$ છે.

(N/A) ધારો કે $A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારો $-q$ છે અને $O$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. વિદ્યુતભાર $q$ એ બિંદુ $P$ પર છે જેથી $PO = x$ થાય.
દરેક સ્થિર વિદ્યુતભારથી $P$ સુધીનું અંતર $r = \sqrt{d^2 + x^2}$ છે.
દરેક $-q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા $q$ પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$ છે.
$PO$ ને લંબ બળના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે $PO$ ની દિશામાંના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે:
$F_{net} = 2F \cos \theta = 2 \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \right) \frac{x}{r} = \frac{2q^2 x}{4\pi\epsilon_0 (d^2 + x^2)^{3/2}}$.
$x \ll d$ હોવાથી,આપણે $(d^2 + x^2)^{3/2} \approx (d^2)^{3/2} = d^3$ લઈ શકીએ.
તેથી,$F_{net} = \frac{2q^2 x}{4\pi\epsilon_0 d^3} = \frac{q^2}{2\pi\epsilon_0 d^3} x$.
બળ સંતુલન સ્થિતિ $O$ તરફ લાગે છે અને સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ છે,જ્યાં પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx_{eff}$ અને $k = \frac{q^2}{2\pi\epsilon_0 d^3}$ છે.
આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m \cdot 2\pi\epsilon_0 d^3}{q^2}} = \sqrt{\frac{4\pi^2 \cdot 2\pi\epsilon_0 m d^3}{q^2}} = \left[\frac{8\pi^3 \epsilon_0 m d^3}{q^2}\right]^{1/2}$ છે.

(C) કણ પર બે અચળ બળો લાગે છે: નીચેની તરફ ($y$-અક્ષની દિશામાં) લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને સમક્ષિતિજ દિશામાં ($x$-અક્ષની દિશામાં) લાગતું વિદ્યુત બળ $qE$ ।
પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી, પરિણામી બળ $F_{net} = \sqrt{(mg)^2 + (qE)^2}$ મૂલ્ય અને દિશામાં અચળ રહે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, પ્રવેગ $a = F_{net}/m$ પણ અચળ રહેશે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને અચળ પરિણામી બળની અસર હેઠળ ગતિ કરતો કણ પરિણામી બળની દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરશે.
તેથી, ગતિપથ એક સીધી રેખા છે.

(A) $1$. $0 \le x \le d$ વિસ્તારમાં,કણ ઋણ $y$-દિશામાં અચળ બળ $F_{y} = -qE$ અનુભવે છે. પ્રવેગ $a_{y} = -\frac{qE}{m}$ છે.
$2$. $x = d$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_{0} = \frac{d}{V_{0}}$ છે.
$3$. $x = d$ પર,શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y_{0} = \frac{1}{2} a_{y} t_{0}^{2} = -\frac{1}{2} \frac{qE}{m} \left( \frac{d}{V_{0}} \right)^{2} = -\frac{qEd^{2}}{2mV_{0}^{2}}$ છે.
$4$. $x = d$ પર વેગના ઘટકો $v_{x} = V_{0}$ અને $v_{y} = a_{y} t_{0} = -\frac{qE}{m} \cdot \frac{d}{V_{0}} = -\frac{qEd}{mV_{0}}$ છે.
$5$. $x > d$ માટે,કોઈ વિદ્યુતક્ષેત્ર નથી,તેથી કણ અચળ વેગ સાથે સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_{slope} = \frac{v_{y}}{v_{x}} = \frac{-qEd/mV_{0}}{V_{0}} = -\frac{qEd}{mV_{0}^{2}}$ છે.
$6$. $(d, y_{0})$ માંથી પસાર થતી અને $m_{slope}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_{0} = m_{slope} (x - d)$ છે.
$7$. કિંમતો મૂકતા: $y - \left( -\frac{qEd^{2}}{2mV_{0}^{2}} \right) = -\frac{qEd}{mV_{0}^{2}} (x - d)$.
$8$. $y = -\frac{qEd}{mV_{0}^{2}} x + \frac{qEd^{2}}{mV_{0}^{2}} - \frac{qEd^{2}}{2mV_{0}^{2}} = -\frac{qEd}{mV_{0}^{2}} x + \frac{qEd^{2}}{2mV_{0}^{2}}$.
$9$. $\frac{qEd}{mV_{0}^{2}}$ સામાન્ય લેતા,આપણને $y = \frac{qEd}{mV_{0}^{2}} \left( \frac{d}{2} - x \right)$ મળે છે.

(D) જ્યારે વિદ્યુતભાર $q$ એ $x = 0$ થી $x = x_{0}$ સુધી ગતિ કરે છે ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ બળ $F = qE$ નું સ્થાનાંતર $dx$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન છે.
$W = \int_{0}^{x_{0}} qE \, dx = qE_{0} \int_{0}^{x_{0}} (1 - ax^{2}) \, dx$
સંકલન કરતા:
$W = qE_{0} \left[ x - \frac{ax^{3}}{3} \right]_{0}^{x_{0}} = qE_{0} \left( x_{0} - \frac{ax_{0}^{3}}{3} \right)$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta KE$ એ થયેલા કાર્ય $W$ જેટલો હોય છે. કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને આપણે તે સ્થાન શોધવાનું છે જ્યાં ગતિઊર્જા ફરીથી શૂન્ય થાય,તેથી $\Delta KE = 0$,જેનો અર્થ છે કે $W = 0$.
$W = 0$ લેતા:
$qE_{0} \left( x_{0} - \frac{ax_{0}^{3}}{3} \right) = 0$
અહીં $q \neq 0$ અને $E_{0} \neq 0$ હોવાથી:
$x_{0} - \frac{ax_{0}^{3}}{3} = 0$
$x_{0} (1 - \frac{ax_{0}^{2}}{3}) = 0$
પ્રારંભિક સ્થાન $x_{0} = 0$ ને અવગણતા,$x_{0}$ માટે ઉકેલતા:
$1 - \frac{ax_{0}^{2}}{3} = 0$
$ax_{0}^{2} = 3$
$x_{0} = \sqrt{\frac{3}{a}}$

(B) તેલના ટીપાને સ્થિર રાખવા માટે,વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $qE = Mg$.
અહીં,$q = ne$,જ્યાં $n$ એ વધારાના ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
આપેલ છે: $\rho = 3 \, g \, cm^{-3} = 3000 \, kg \, m^{-3}$,$r = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$,$E = 3.55 \times 10^{5} \, V \, m^{-1}$,$g = 9.81 \, m \, s^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા: $n \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (3.55 \times 10^{5}) = 3000 \times \frac{4}{3} \times \pi \times (2 \times 10^{-3})^3 \times 9.81$.
$n \times 5.68 \times 10^{-14} = 4000 \times 3.14159 \times 8 \times 10^{-9} \times 9.81$.
$n \times 5.68 \times 10^{-14} = 9.833 \times 10^{-4}$.
$n = \frac{9.833 \times 10^{-4}}{5.68 \times 10^{-14}} \approx 1.73 \times 10^{10}$.

(C) ધારો કે બે સ્થિર વિદ્યુતભારો $-q$ છે અને કેન્દ્રનો વિદ્યુતભાર $+q$ છે. સ્થિર વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $2d$ છે. જ્યારે કેન્દ્રના વિદ્યુતભારને સ્થિર વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાને લંબ રૂપે $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક સ્થિર વિદ્યુતભાર અને સ્થાનાંતરિત વિદ્યુતભાર વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{d^2 + x^2}$ થાય છે.
દરેક સ્થિર વિદ્યુતભાર દ્વારા કેન્દ્રના વિદ્યુતભાર પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^2}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^2}{d^2 + x^2}$ છે.
પરિણામી પુનઃસ્થાપક બળ $F_{\text{net}} = -2 F \cos \theta$ છે,જ્યાં $\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{d^2 + x^2}}$.
કિંમતો મૂકતા,$F_{\text{net}} = -2 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^2}{d^2 + x^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{d^2 + x^2}} \right) = -\frac{q^2 x}{2 \pi \varepsilon_{0} (d^2 + x^2)^{3/2}}$.
કારણ કે $x << d$,આપણે $(d^2 + x^2)^{3/2} \approx (d^2)^{3/2} = d^3$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ. તેથી,$F_{\text{net}} \approx -\left( \frac{q^2}{2 \pi \varepsilon_{0} d^3} \right) x$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F = ma$,તેથી $a = -\left( \frac{q^2}{2 \pi \varepsilon_{0} m d^3} \right) x$.
આને $SHM$ ના સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega = \sqrt{\frac{q^2}{2 \pi \varepsilon_{0} m d^3}}$ મળે છે.

(B) જ્યારે ઈલેક્ટ્રોન સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં દાખલ થાય છે,ત્યારે વિદ્યુતબળ માત્ર પ્લેટોને લંબ દિશામાં (શિરોલંબ દિશામાં) લાગે છે.
તેથી,પ્લેટોને સમાંતર દિશામાં (સમક્ષિતિજ દિશામાં) કોઈ બળ લાગતું નથી.
પરિણામે,પ્લેટોને સમાંતર વેગનો ઘટક ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
ધારો કે $v_{1}$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $v_{2}$ એ અંતિમ વેગ છે.
પ્રવેશ સમયે વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_{1} \cos \alpha$ છે.
બહાર નીકળતી વખતે વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_{2} \cos \beta$ છે.
સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ હોવાથી,આપણી પાસે છે: $v_{1} \cos \alpha = v_{2} \cos \beta$.
આનો અર્થ એ થાય કે: $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{\cos \beta}{\cos \alpha}$.
ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{1}{2}mv^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર છે: $\frac{K_{1}}{K_{2}} = \frac{\frac{1}{2}mv_{1}^{2}}{\frac{1}{2}mv_{2}^{2}} = \left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)^{2}$.
વેગનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{K_{1}}{K_{2}} = \left(\frac{\cos \beta}{\cos \alpha}\right)^{2} = \frac{\cos^{2} \beta}{\cos^{2} \alpha}$.

(D) પદાર્થ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ $(mg)$,લંબબળ $(N)$,વિદ્યુતબળ $(F_e = qE)$ અને ઘર્ષણ $(f = \mu N)$ છે.
$F_e = (5 \times 10^{-3} \, C) \times (200 \, N/C) = 1 \, N$.
ઢળતા સમતલને લંબ દિશામાં બળોનું વિભાજન કરતા:
$N = mg \cos 30^{\circ} + F_e \sin 30^{\circ} = (1 \times 9.8 \times 0.866) + (1 \times 0.5) = 8.487 + 0.5 = 8.987 \, N \approx 9 \, N$.
ઢળતા સમતલને સમાંતર દિશામાં બળોનું વિભાજન કરતા:
$F_{net} = mg \sin 30^{\circ} + F_e \cos 30^{\circ} - \mu N = (1 \times 9.8 \times 0.5) + (1 \times 0.866) - (0.2 \times 9) = 4.9 + 0.866 - 1.8 = 3.966 \, N$.
પ્રવેગ $a = F_{net} / m = 3.966 / 1 = 3.966 \, m/s^2$.
ઢળતા સમતલની લંબાઈ $L = h / \sin 30^{\circ} = 1 / 0.5 = 2 \, m$.
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $(u = 0)$:
$2 = 0 + \frac{1}{2} \times 3.966 \times t^2 \implies t^2 = 4 / 3.966 \approx 1.008 \implies t \approx 1 \, s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકનો જવાબ $1.3 \, s$ છે.

(B) વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{q}{m} = 8\,\mu \text{C/g} = 8 \times 10^{-6} \text{ C} / 10^{-3} \text{ kg} = 8 \times 10^{-3} \text{ C/kg}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m} = \left(\frac{q}{m}\right)E$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = (8 \times 10^{-3} \text{ C/kg}) \times (100 \text{ V/m}) = 0.8 \text{ m/s}^2$.
$d = 10\,\text{cm} = 0.1\,\text{m}$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2d}{a}}$ છે.
$t = \sqrt{\frac{2 \times 0.1}{0.8}} = \sqrt{\frac{0.2}{0.8}} = \sqrt{0.25} = 0.5\,\text{s}$.
અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,પદાર્થ તેટલી જ ઝડપે પાછો ફરશે અને બીજા $0.5\,\text{s}$ માં તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછો આવશે.
તેથી,ગતિનો કુલ આવર્તકાળ $T = 2t = 2 \times 0.5 = 1.0\,\text{s}$ થશે.

(B) પાણીનું ટીપું સ્થિર રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુતબળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_{e} = F_{g}$
$qE = mg$
આપેલ છે:
દળ $m = 0.1 \, g = 0.1 \times 10^{-3} \, kg = 10^{-4} \, kg$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 4.9 \times 10^{5} \, N/C$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^{2}$
કિંમતો મૂકતા:
$q(4.9 \times 10^{5}) = (10^{-4})(9.8)$
$q = \frac{9.8 \times 10^{-4}}{4.9 \times 10^{5}}$
$q = 2 \times 10^{-9} \, C$
આમ,ટીપાં પરનો વિદ્યુતભાર $2.0 \times 10^{-9} \, C$ છે.

(D) આપેલ છે:
દળ $m = 100 \,mg = 100 \times 10^{-6} \,kg = 10^{-4} \,kg$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 1 \times 10^{5} \,NC^{-1}$
વિદ્યુતભાર $q = 40 \,\mu C = 40 \times 10^{-6} \,C$
પ્રારંભિક વેગ $u = 200 \,ms^{-1}$
અંતિમ વેગ $v = 0 \,ms^{-1}$
કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે,જે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં લાગે છે. કણને વિરુદ્ધ દિશામાં ફેંકવામાં આવતો હોવાથી,પ્રવેગ $a$ ઋણ થશે:
$a = -\frac{F}{m} = -\frac{qE}{m}$
ગતિના સમીકરણ $v^{2} = u^{2} + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 0$:
$0 = u^{2} - 2 \left( \frac{qE}{m} \right) s$
$s = \frac{u^{2}m}{2qE}$
કિંમતો મૂકતા:
$s = \frac{(200)^{2} \times 10^{-4}}{2 \times 40 \times 10^{-6} \times 10^{5}}$
$s = \frac{40000 \times 10^{-4}}{80 \times 10^{-1}}$
$s = \frac{4}{8} = 0.5 \,m$

(A) ધારો કે વિદ્યુતભાર $q_0$ ને મધ્યબિંદુથી એક $Q$ વિદ્યુતભાર તરફ $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
$q_0$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F = F_1 - F_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq_0}{(a-x)^2} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq_0}{(a+x)^2}$ છે.
$F = \frac{Qq_0}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{(a+x)^2 - (a-x)^2}{(a^2-x^2)^2} \right] = \frac{Qq_0}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{4ax}{(a^2-x^2)^2} \right]$.
નાના $x$ માટે,$x^2 \approx 0$,તેથી $F \approx \frac{Qq_0}{4\pi\varepsilon_0} \frac{4ax}{a^4} = \frac{Qq_0 x}{\pi\varepsilon_0 a^3}$.
$F = -ma$ (પુનઃસ્થાપક બળ) હોવાથી,$a = -\left( \frac{Qq_0}{\pi\varepsilon_0 m a^3} \right) x$.
$a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{Qq_0}{\pi\varepsilon_0 m a^3}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{Qq_0}{\pi\varepsilon_0 m a^3}}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{\pi\varepsilon_0 m a^3}{Qq_0}} = \sqrt{\frac{4\pi^3\varepsilon_0 m a^3}{Qq_0}}$.

(B) ઇલેક્ટ્રોનનો શિરોલંબ દિશામાં પ્રવેગ નીચે મુજબ મળે છે:
$a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{eE}{m} = \frac{e(8m/e)}{m} = 8 \text{ m/s}^2$
$L = 1 \text{ m}$ લંબાઈની પ્લેટોને $u_x = 2 \text{ m/s}$ ના અચળ સમક્ષિતિજ વેગથી પસાર કરવા માટે લાગતો સમય:
$t = \frac{L}{u_x} = \frac{1}{2} \text{ s}$
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ક્ષેત્રમાંથી બહાર આવે ત્યારે વેગનો શિરોલંબ ઘટક:
$v_y = u_y + a_y t = 0 + (8 \text{ m/s}^2)(0.5 \text{ s}) = 4 \text{ m/s}$
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે:
$v_x = 2 \text{ m/s}$
વિચલનનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{4}{2} = 2$
$\theta = \tan^{-1}(2)$

(A) ઇલેક્ટ્રોન કેપેસિટર પ્લેટોના વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ને કારણે વિદ્યુત બળ અનુભવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્લેટો વચ્ચેના $x$ લંબાઈના વિસ્તારને પાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{x}{u}$ છે.
આ સમય દરમિયાન, $y$-દિશામાં ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a_y = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m}$ છે.
કેપેસિટરમાંથી બહાર નીકળતી વખતે ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલ શિરોલંબ વેગનો ઘટક $v_y = a_y t = \left(\frac{eE}{m}\right) \left(\frac{x}{u}\right) = \frac{eEx}{mu}$ છે.
સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક $v_x = u$ અચળ રહે છે.
વિચલનનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{eEx/mu}{u} = \frac{eEx}{mu^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\tan \theta \propto \frac{1}{u^2}$.
તેથી, $\frac{\tan \theta_2}{\tan \theta_1} = \frac{u_1^2}{u_2^2}$.
આપેલ છે કે $\tan \theta_1 = 0.4$ અને $u_2 = 2u_1$, તેથી:
$\tan \theta_2 = \tan \theta_1 \left(\frac{u_1}{u_2}\right)^2 = 0.4 \left(\frac{u_1}{2u_1}\right)^2 = 0.4 \left(\frac{1}{4}\right) = 0.1$.

(D) $h$ ઊંચાઈ પરથી પડવાનો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{a_{\text{net}}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નીચેની તરફના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g$ અને ઉપરની તરફના વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા $M$ દળનો ચોખ્ખો પ્રવેગ $a_{\text{net}} = g - \frac{QE}{M}$ છે.
જેহেতু $M_1$ એ $M_2$ પહેલાં જમીન પર પડે છે,તેથી $M_1$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $(t_1)$ એ $M_2$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $(t_2)$ કરતા ઓછો છે: $t_1 < t_2$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{\frac{2h}{a_1}} < \sqrt{\frac{2h}{a_2}}$,જેનું સાદું રૂપ $a_1 > a_2$ થાય છે.
ચોખ્ખા પ્રવેગ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$g - \frac{Q_1 E}{M_1} > g - \frac{Q_2 E}{M_2}$
બંને બાજુથી $g$ બાદ કરતા:
$-\frac{Q_1 E}{M_1} > -\frac{Q_2 E}{M_2}$
$-1$ વડે ગુણતા અસમતાની નિશાની ઉલટાઈ જાય છે:
$\frac{Q_1 E}{M_1} < \frac{Q_2 E}{M_2}$
$E$ વડે ભાગતા (કારણ કે $E > 0$):
$\frac{Q_1}{M_1} < \frac{Q_2}{M_2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$M_2 Q_1 < M_1 Q_2$,અથવા $M_1 Q_2 > M_2 Q_1$.

(B) ઇલેક્ટ્રોન સ્થિત વિદ્યુત આકર્ષણ બળને કારણે તારની આસપાસ ફરે છે. આપેલ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E \propto r^{-1}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $E = k r^{-1}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = e E = k e r^{-1}$ છે.
આ બળ ઇલેક્ટ્રોનની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{m v^2}{r} = \frac{k e}{r}$
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{k e}{m} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{k e}{m}}$
જેમ કે વેગ $v$ એ ત્રિજ્યા $r$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી બંને કક્ષાઓમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ સમાન છે,એટલે કે $v_1 = v_2$.
કક્ષાનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2 \pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$r_1 = 1 \mathring{A}$ અને $r_2 = 2 \mathring{A}$ ત્રિજ્યા માટે આવર્તકાળનો ગુણોત્તર:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2 \pi r_1 / v_1}{2 \pi r_2 / v_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{1 \mathring{A}}{2 \mathring{A}} = \frac{1}{2}$.

(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
$1$. કણ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,તેના પર ચુંબકીય બળ લાગી શકે નહીં,કારણ કે ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે,જે $\vec{v} = 0$ હોય ત્યારે શૂન્ય થાય છે. તેથી,ગતિ શરૂ કરવા માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર જરૂરી છે.
$2$. વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ બળ કણને વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં પ્રવેગિત કરે છે.
$3$. જો વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય અને દિશા બંને અચળ હોત,તો કણ સીધી રેખામાં ગતિ કરત. પરંતુ,અહીં દર્શાવેલ ગતિપથ વક્ર છે.
$4$. કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી વક્ર પથ પર ગતિ કરે તે માટે,બળની દિશા (અને તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા) સતત બદલાતી રહેવી જોઈએ. તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય અચળ હોવું જોઈએ પરંતુ તેની દિશા બદલાતી હોવી જોઈએ.

(A) વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{m v^2}{r} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{m r}$
$v = \sqrt{\frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0 m r}}$
પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T$ એ પરિઘને વેગ વડે ભાગવાથી મળે છે:
$T = \frac{2 \pi r}{v} = 2 \pi r \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 m r}{q_1 q_2}}$
$T = \sqrt{(2 \pi r)^2 \cdot \frac{4 \pi \varepsilon_0 m r}{q_1 q_2}}$
$T = \sqrt{4 \pi^2 r^2 \cdot \frac{4 \pi \varepsilon_0 m r}{q_1 q_2}}$
$T = \sqrt{\frac{16 \pi^3 \varepsilon_0 m r^3}{q_1 q_2}}$

(C) જ્યારે $m$ દળ ધરાવતો $q$ વિદ્યુતભાર $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગ સાથે સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ક્ષેત્રને લંબરૂપે દાખલ થાય છે,ત્યારે તે ક્ષેત્રની દિશામાં $F = qE$ જેટલું અચળ બળ અનુભવે છે.
ધારો કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષ પર છે અને પ્રારંભિક વેગ $y$-અક્ષ પર છે.
$x$-દિશામાં પ્રવેગ $a_x = \frac{qE}{m}$ છે.
$t$ સમય પછી $x$-દિશામાં સ્થાનાંતર $x = \frac{1}{2} a_x t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) t^2$ થાય છે.
$y$-દિશામાં સ્થાનાંતર $y = ut$ છે,જે પરથી $t = \frac{y}{u}$ મળે છે.
$t$ ની કિંમત $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{y}{u} \right)^2 = \left( \frac{qE}{2mu^2} \right) y^2$ મળે છે.
અહીં $x \propto y^2$ હોવાથી,ગતિપથ પરવલય (parabola) છે.

(A) સિક્કો ઉપરની દિશામાં રહેલા વિદ્યુતક્ષેત્રમાં તરે તે માટે,ઉપર તરફ લાગતું વિદ્યુત બળ નીચે તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_e = F_g$
$qE = mg$
અહીં $q = ne$,જ્યાં $n$ એ દૂર કરેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર છે:
$neE = mg$
$n = \frac{mg}{eE}$
આપેલ છે:
$m = 1.6 \,g = 1.6 \times 10^{-3} \,kg$
$g = 9.8 \,m/s^2$
$E = 10^9 \,N/C$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{(1.6 \times 10^{-3} \,kg) \times (9.8 \,m/s^2)}{(1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (10^9 \,N/C)}$
$n = \frac{1.6 \times 9.8 \times 10^{-3}}{1.6 \times 10^{-10}}$
$n = 9.8 \times 10^7$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોનની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ અનંત રેખીય વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતા સ્થિત વિદ્યુત બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
અનંત રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = eE = e \cdot \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ છે.
આને કેન્દ્રગામી બળ $\frac{mv^2}{r}$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{e \lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v = \sqrt{\frac{e \lambda}{2 \pi \varepsilon_0 m}} = \sqrt{\frac{2 k \lambda e}{m}}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$.
કિંમતો મૂકતા: $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$\lambda = 1 \times 10^{-6} \, C/m$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$:
$v = \sqrt{\frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}}$
$v = \sqrt{3.1648 \times 10^{15}} \approx 5.62 \times 10^7 \, m/s$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
કણનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રને લંબ દિશામાં $v$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરતા કણ માટે,$x$ જેટલું આડું અંતર કાપ્યા પછીનું વિચલન $y = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} (\frac{qE}{m}) (\frac{x}{v})^2 = \frac{qE x^2}{2 m v^2}$ દ્વારા મળે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2$ અચળ હોવાથી,આપણે $m v^2 = 2K$ લખી શકીએ છીએ. આ કિંમતને વિચલનના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y = \frac{qE x^2}{4K}$ મળે છે.
પ્રોટોન માટે,$q_p = e$. $\alpha$-કણ માટે,$q_{\alpha} = 2e$. બંનેની ગતિઊર્જા $K$ સમાન છે અને બંને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં છે,તેથી વિચલન $y$ એ વિદ્યુતભાર $q$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
$q_{\alpha} > q_p$ હોવાથી,$\alpha$-કણનું વિચલન પ્રોટોન કરતા વધારે છે. તેથી,$\alpha$-કણનો ગતિપથ વધુ વળાંકવાળો છે.

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગ $v$ ને લંબ સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે ક્ષેત્રની દિશામાં અચળ બળ $F = qE$ અનુભવે છે. કણનો પ્રવેગ $a = F/m = (q/m)E$ છે.
જો કણ ક્ષેત્રમાં $L$ જેટલું આડું અંતર કાપે,તો લાગતો સમય $t = L/v$ છે. શિરોલંબ વિચલન $y$ એ $y = (1/2)at^2 = (1/2)(qE/m)(L/v)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $E$,$L$ અને $v$ બધા કણો માટે સમાન હોવાથી,વિચલન $y$ એ વિદ્યુતભાર અને દળના ગુણોત્તર $(q/m)$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે.
કણ $C$ મહત્તમ શિરોલંબ વિચલન દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો વિદ્યુતભાર અને દળનો ગુણોત્તર સૌથી વધુ છે.

(C) સ્થિર સ્થિતિમાંથી વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણ દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર: $K = qV$ છે,જ્યાં $q$ એ કણનો વિદ્યુતભાર છે.
$\alpha$-કણ માટે,વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = +2e$ છે.
પ્રોટોન માટે,વિદ્યુતભાર $q_{p} = +e$ છે.
બંને કણો સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V = 1 \text{ MV})$ માંથી પ્રવેગિત થતા હોવાથી,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_{\alpha}}{K_{p}} = \frac{q_{\alpha} V}{q_{p} V} = \frac{q_{\alpha}}{q_{p}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{K_{\alpha}}{K_{p}} = \frac{2e}{e} = 2$
તેથી,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $2$ છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં વિદ્યુતભાર $q$ ની સ્થિતિ ઉર્જા $U = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = -q \int \vec{E} \cdot d\vec{r}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\vec{E} = 10 \hat{i} \text{ V/m}$ અને વેગ $\vec{v} = -2 \hat{j} \text{ m/s}$ આપેલ છે,તેથી સ્થાનાંતર સદિશ $d\vec{r}$ એ $\hat{j}$ દિશામાં છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\hat{i}$ દિશામાં છે અને સ્થાનાંતર $\hat{j}$ દિશામાં હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર $\vec{E} \cdot d\vec{r} = (10 \hat{i}) \cdot (dy \hat{j}) = 0$ થાય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,વિદ્યુતભારની સ્થિતિ ઉર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(A) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવા માટે,ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુત બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા છે. ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F_e = qE = -eE$ છે (કારણ કે ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર ઋણ છે).
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = mg$ છે.
સંતુલન માટે,બળો સમાન હોવા જોઈએ: $F_e + F_g = 0$,જેનો અર્થ છે કે મૂલ્યમાં $eE = mg$,અથવા દિશાને ધ્યાનમાં લેતા $-eE = mg$.
તેથી,$E = -\frac{mg}{e}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$E = -\frac{9.1 \times 10^{-31} \ kg \times 10 \ m/s^2}{1.6 \times 10^{-19} \ C}$
$E = -\frac{9.1 \times 10^{-30}}{1.6 \times 10^{-19}} \ N/C$
$E = -5.6875 \times 10^{-11} \ N/C \approx -5.6 \times 10^{-11} \ N/C$.

(A) $y$-દિશામાં વીજભારિત કણોનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m} = (2 \times 10^{11} \text{ C/kg}) \times (1.8 \times 10^3 \text{ V/m}) = 3.6 \times 10^{14} \text{ m/s}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ લંબાઈના વિસ્તારને પાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_0} = \frac{0.1}{3 \times 10^7} \text{ s}$ છે.
$y$-દિશામાં વિચલન $y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times (3.6 \times 10^{14}) \times \left(\frac{0.1}{3 \times 10^7}\right)^2$ છે.
$y = \frac{1}{2} \times (3.6 \times 10^{14}) \times \left(\frac{0.01}{9 \times 10^{14}}\right) = 0.5 \times 0.4 \times 10^{-2} \text{ m} = 0.002 \text{ m} = 2 \text{ mm}$.

(D) આપેલ છે:
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 10\,N/C$
ગતિઊર્જા $K = 0.5\,eV = 0.5 \times 1.6 \times 10^{-19}\,J$
પ્લેટની લંબાઈ $L = 10\,cm = 0.1\,m$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv_x^2 = 0.5\,eV$
$v_x = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.5 \times e}{m}} = \sqrt{\frac{e}{m}}$
ક્ષેત્ર પાર કરવા માટે લાગતો સમય: $t = \frac{L}{v_x}$
પ્રાપ્ત કરેલ શિરોલંબ વેગ: $v_y = a_y t = \left(\frac{eE}{m}\right) \left(\frac{L}{v_x}\right)$
વિચલનનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{eE L}{m v_x^2}$
કારણ કે $K = \frac{1}{2}mv_x^2$,તેથી $mv_x^2 = 2K = 2(0.5\,eV) = 1\,eV = e\,J$
$\tan \theta = \frac{eEL}{e} = EL$
$\tan \theta = 10\,N/C \times 0.1\,m = 1$
$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$

(C) પ્રોટોન પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે) અને વિદ્યુત બળ $qE$ (જે આડા (ક્ષૈતિજ) લાગે છે) છે.
આપેલ છે કે પ્રોટોન શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરે છે,તેથી આડા અને શિરોલંબ બળોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$qE = mg$
અહીં,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{X}{d}$,જ્યાં $d = 1 \ cm = 0.01 \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$1.6 \times 10^{-19} \times \frac{X}{0.01} = 1.67 \times 10^{-27} \times 10$
$1.6 \times 10^{-17} \times X = 1.67 \times 10^{-26}$
$X = \frac{1.67}{1.6} \times 10^{-9} \ V$
$X \approx 1 \times 10^{-9} \ V$

(A) કણ પર લાગતું બળ $F = qE = qE_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $a = \frac{qE_0}{m} \sin(\omega t)$.
$a = \frac{dv}{dt}$ હોવાથી,આપણે સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીએ:
$v(t) = \int_0^t \frac{qE_0}{m} \sin(\omega t') dt' = \frac{qE_0}{m\omega} [-\cos(\omega t')]_0^t = \frac{qE_0}{m\omega} (1 - \cos(\omega t))$.
જ્યારે $\cos(\omega t) = -1$ હોય ત્યારે ઝડપ મહત્તમ હોય છે,જે $\omega t = \pi, 3\pi, \dots$ સમયે થાય છે.
આ સમયે,$v_{\max} = \frac{qE_0}{m\omega} (1 - (-1)) = \frac{2qE_0}{m\omega}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $q = 1.0 \ C$,$E_0 = 1.0 \ N \ C^{-1}$,$m = 10^{-3} \ kg$,અને $\omega = 10^3 \ rad \ s^{-1}$.
$v_{\max} = \frac{2 \times 1.0 \times 1.0}{10^{-3} \times 10^3} = \frac{2}{1} = 2 \ m \ s^{-1}$.

(D) $y$-દિશામાં કણનો પ્રવેગ $a_y = \frac{qE_y}{m} = (10^{10})(-400 \sqrt{3}) = -400 \sqrt{3} \times 10^{10} \text{ ms}^{-2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્ર ઋણ $y$-દિશામાં હોવાથી,કણ નીચેની તરફ પ્રવેગ અનુભવે છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ એ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{|a_y|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R = 5 \text{ m}$ અને $u = 2 \sqrt{10} \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$ આપેલ હોવાથી,આપણી પાસે $u^2 = 40 \times 10^{12} \text{ m}^2\text{s}^{-2}$ છે.
$5 = \frac{40 \times 10^{12} \sin 2\theta}{400 \sqrt{3} \times 10^{10}} = \frac{4000 \sin 2\theta}{400 \sqrt{3}} = \frac{10 \sin 2\theta}{\sqrt{3}}$.
$\sin 2\theta = \frac{5 \sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$2\theta = 60^{\circ}$ અથવા $120^{\circ}$,જે $\theta = 30^{\circ}$ અથવા $60^{\circ}$ આપે છે. તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
ઉડ્ડયન સમય $t = \frac{2u \sin \theta}{|a_y|}$ છે.
$\theta = 30^{\circ}$ માટે,$t_1 = \frac{2 \times 2 \sqrt{10} \times 10^6 \times (1/2)}{400 \sqrt{3} \times 10^{10}} = \sqrt{\frac{5}{6}} \mu\text{s}$.
$\theta = 60^{\circ}$ માટે,$t_2 = \frac{2 \times 2 \sqrt{10} \times 10^6 \times (\sqrt{3}/2)}{400 \sqrt{3} \times 10^{10}} = \sqrt{\frac{5}{2}} \mu\text{s}$.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ પણ સાચો છે.

(C) ધારો કે સંતુલન સ્થિતિનું દરેક રેખીય વિદ્યુતભારથી અંતર $r$ છે. $d$ અંતરે રેખીય વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 d}$ છે.
વિદ્યુતભાર $+q$ માટે (કિસ્સો $I$): જો તેને જમણી તરફ $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો ચોખ્ખું બળ $F = qE_{left} - qE_{right} = q \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0(r-x)} - q \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0(r+x)} = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r-x} - \frac{1}{r+x} \right) = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0} \left( \frac{2x}{r^2-x^2} \right) \approx \frac{q\lambda x}{\pi\epsilon_0 r^2}$ થાય છે. બળ એ $-x$ (પુનઃસ્થાપક બળ) ના પ્રમાણમાં હોવાથી, વિદ્યુતભાર $+q$ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરે છે.
વિદ્યુતભાર $-q$ માટે (કિસ્સો $II$): જો તેને જમણી તરફ $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો ડાબી બાજુના રેખીય વિદ્યુતભારથી લાગતું બળ આકર્ષી (ડાબી તરફ) હોય છે અને જમણી બાજુના રેખીય વિદ્યુતભારથી લાગતું બળ આકર્ષી (જમણી તરફ) હોય છે. ચોખ્ખું બળ $F = qE_{right} - qE_{left} = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0(r+x)} - \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0(r-x)} = -\frac{q\lambda x}{\pi\epsilon_0 r^2}$ થાય છે. બળ સ્થાનાંતરની દિશામાં હોવાથી, તે સંતુલન સ્થિતિથી દૂર ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.

(C) ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$ લંબાઈની પ્લેટોને $V_x = 10^6 \ m/s$ ના સમક્ષિતિજ વેગ સાથે ઓળંગવા માટે લાગતો સમય:
$t = \frac{L}{V_x} = \frac{0.1}{10^6} = 10^{-7} \ s$
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = 9.1 \ V/cm = 910 \ V/m$.
શિરોલંબ દિશામાં ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ:
$a_y = \frac{eE}{m} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 910}{9.1 \times 10^{-31}} = 1.6 \times 10^{14} \ m/s^2$
બહાર નીકળતી વખતે શિરોલંબ વેગનો ઘટક $V_y = u_y + a_y t$,જ્યાં $u_y = 0$:
$V_y = 0 + (1.6 \times 10^{14}) \times 10^{-7} = 1.6 \times 10^7 \ m/s$.

(C) દોરીના બંધનને કારણે કણ $O$ કેન્દ્રિત $\ell$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
શરૂઆતમાં,કણ $x$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે છે. પ્રારંભિક $x$-યામ $x_i = \ell \cos(60^{\circ}) = \frac{\ell}{2}$ છે.
જ્યારે કણ $x$-અક્ષને ઓળંગે છે,ત્યારે તેનો અંતિમ $x$-યામ $x_f = \ell$ થાય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં કણનું સ્થાનાંતર $\Delta x = x_f - x_i = \ell - \frac{\ell}{2} = \frac{\ell}{2}$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$W_{\text{electric}} = \Delta K$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = qE \Delta x = qE \left(\frac{\ell}{2}\right)$ છે.
સિસ્ટમ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $K_i = 0$ અને $K_f = \frac{1}{2}mv^2$.
આમ,$qE \frac{\ell}{2} = \frac{1}{2}mv^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v^2 = \frac{qE\ell}{m}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{qE\ell}{m}}$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T_0 = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટોને વિદ્યુતભારિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની વચ્ચે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઉત્પન્ન થાય છે. વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે વિદ્યુતભારિત ગોળા પર લાગતું બળ $F_e = qE$ નીચેની દિશામાં લાગે છે (ધારો કે વિદ્યુતભાર $q$ ધન છે અને ક્ષેત્ર નીચેની તરફ છે).
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}} = g + \frac{qE}{m}$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g + \frac{qE}{m}}}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{T}{T_0} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{L}{g + \frac{qE}{m}}}}{2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}} = \sqrt{\frac{g}{g + \frac{qE}{m}}} = \left(\frac{g}{g + \frac{qE}{m}}\right)^{1/2}$ છે.

(A) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે $\vec{F} = q\vec{E}$ જેટલું વિદ્યુતબળ અનુભવે છે.
આ કિસ્સામાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર શિરોલંબ અક્ષ ($y$-અક્ષ) ની દિશામાં છે,તેથી બળ માત્ર શિરોલંબ દિશામાં જ લાગે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{q\vec{E}}{m}$ પણ શિરોલંબ અક્ષની દિશામાં જ હોય છે.
સમક્ષિતિજ અક્ષ ($x$-અક્ષ) પર કોઈ બળ લાગતું ન હોવાથી,સમક્ષિતિજ પ્રવેગ શૂન્ય $(a_x = 0)$ છે.
તેથી,સમક્ષિતિજ વેગ $(V_x)$ અચળ રહે છે.
જોકે,શિરોલંબ અક્ષ પર અચળ પ્રવેગ હોવાને કારણે,શિરોલંબ વેગ $(V_y)$ સમય સાથે બદલાય છે.
આમ,શિરોલંબ વેગ બદલાય છે જ્યારે સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે.