Motion of Charge particle in Electric filed Questions in Gujarati

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = qE$ છે અને ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$ છે.
આ બંનેને સરખાવતા,આપણને $ma = qE$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ થાય.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 - u^2 = 2aS$,જ્યાં $u = 0$ (સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત) અને $S = L$ છે:
$v^2 - 0^2 = 2 \left( \frac{qE}{m} \right) L$
$v^2 = \frac{2qEL}{m}$
$v = \sqrt{\frac{2qEL}{m}}$

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં વીજભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કણનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ છે.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતો હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે. $t$ સમય પછી,કણનો વેગ $v = u + at = 0 + (\frac{qE}{m})t = \frac{qEt}{m}$ થાય છે.
કણની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $K = \frac{1}{2}m(\frac{qEt}{m})^2 = \frac{1}{2}m(\frac{q^2E^2t^2}{m^2}) = \frac{q^2E^2t^2}{2m}$.

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $e$ છે,તેથી બળ $F_e = eE$ છે. તેનો પ્રવેગ $a_e = \frac{F_e}{m_e} = \frac{eE}{m_e}$ થાય.
પ્રોટોન માટે,વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય પણ $e$ છે,તેથી બળ $F_p = eE$ છે. તેનો પ્રવેગ $a_p = \frac{F_p}{m_p} = \frac{eE}{m_p}$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોનના પ્રવેગ અને પ્રોટોનના પ્રવેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{a_e}{a_p} = \frac{eE / m_e}{eE / m_p} = \frac{m_p}{m_e}$.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન બળની દિશામાં ગતિ કરતું હોવાથી,$L$ અંતર કાપવા માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F \times L = qEL$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતું હોવાથી,તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0$ છે.
તેથી,$\frac{1}{2} mv^2 = qEL$.
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v^2 = \frac{2qEL}{m}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2qEL}{m}}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = ma$ અને $F = qE$ છે.
આ બંનેને સરખાવતા,$qE = ma$,જેનો અર્થ થાય છે $a = \frac{qE}{m} \quad ...(i)$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,$s = l$,અને $v$ એ અંતિમ વેગ છે:
$v^2 - 0^2 = 2al$
$v^2 = 2al$
$a = \frac{v^2}{2l} \quad ...(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{qE}{m} = \frac{v^2}{2l}$.
$\frac{q}{m}$ ના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા:
$\frac{q}{m} = \frac{v^2}{2El}$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ વિદ્યુતભાર $q = 2e$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ હોવાથી,બળ $F = 2eE$ થશે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ પ્રવેગ $a = \frac{F}{m_{total}}$ થાય.
અહીં આપેલ દળ $m_{total} = 4m$ હોવાથી,પ્રવેગ $a = \frac{2eE}{4m}$ થશે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $a = \frac{eE}{2m}$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,જ્યાં $m_e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $a$ એ તેનો પ્રવેગ છે.
બળ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $ma = eE$.
તેથી,પ્રવેગ $a = \frac{eE}{m_e}$ થાય.
આપેલ છે:
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 2.0 \times 10^4 \ NC^{-1}$
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$
કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (2.0 \times 10^4 \ NC^{-1})}{9.1 \times 10^{-31} \ kg}$
$a = \frac{3.2 \times 10^{-15}}{9.1 \times 10^{-31}} \ ms^{-2}$
$a \approx 0.3516 \times 10^{16} \ ms^{-2}$
$a \approx 3.52 \times 10^{15} \ ms^{-2}$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે અને બળની દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $x$ અંતર કાપવા માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F \cdot x = (qE) \cdot x = qEx$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કણ પર થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0$ હોવાથી,અંતિમ ગતિઊર્જા થયેલા કાર્ય જેટલી એટલે કે $qEx$ થશે.

(A) વિદ્યુતભાર $q_2$ ને વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરવા માટે,$q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{m v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ કક્ષીય વેગ છે.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ કુલંબના નિયમ મુજબ $F_e = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{m v^2}{r} = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$.
કારણ કે $v = r \omega$,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે,તેથી $\frac{m (r \omega)^2}{r} = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$.
સાદું રૂપ આપતા,$m r \omega^2 = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$,જે આપે છે $\omega^2 = \frac{k q_1 q_2}{m r^3}$.
કારણ કે $\omega = \frac{2 \pi}{T}$,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે,તેથી $\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^2 = \frac{k q_1 q_2}{m r^3}$.
$\frac{4 \pi^2}{T^2} = \frac{k q_1 q_2}{m r^3}$.
તેથી,$T^2 = \frac{4 \pi^2 m r^3}{k q_1 q_2}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$T = \left[\frac{4 \pi^2 m r^3}{k q_1 q_2}\right]^{\frac{1}{2}}$.

(C) $\text{V પોટેન્શિયલ તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલ ગતિ ઊર્જા } K.E. = eV \text{ દ્વારા આપવામાં આવે છે.}
\text{ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી, તેની ગતિ ઊર્જા } \frac{1}{2}mv^2 \text{ છે.}
\text{બંનેને સરખાવતા, આપણને } \frac{1}{2}mv^2 = eV \text{ મળે છે.}
\text{વેગ } v \text{ માટે ઉકેલતા, } v = \sqrt{\frac{2eV}{m}} \text{ મળે છે.}
\text{કિંમતો મૂકતા: } e = 1.6 \times 10^{-19} \,C, m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg, \text{અને } V = 1200 \,V.
v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1200}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{3.84 \times 10^{-16}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{0.42198 \times 10^{15}} = \sqrt{42.198 \times 10^{13}} \approx 2.05 \times 10^{7} \,ms^{-1}.
\text{આ કિંમતને રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને } v \approx 2.1 \times 10^{7} \,ms^{-1} \text{ મળે છે.}$

(A) આપેલ છે: ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $= m$,વીજભાર $= e$,અંતર $= h$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $= E$.
વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m}$ થાય.
ગતિનું સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ વાપરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને $S = h$ છે:
$h = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m} \right) t^2$.
$t^2$ ને કર્તા બનાવતા:
$t^2 = \frac{2hm}{eE}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$t = \sqrt{\frac{2hm}{eE}}$.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વીજભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કણનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ થાય.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થતો હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે. $t$ સમય પછી વેગ $v$ એ સમીકરણ $v = u + at = 0 + \frac{qE}{m}t = \frac{qEt}{m}$ દ્વારા મળે છે.
કણની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $K = \frac{1}{2}m\left(\frac{qEt}{m}\right)^2 = \frac{1}{2}m \cdot \frac{q^2 E^2 t^2}{m^2} = \frac{E^2 q^2 t^2}{2m}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 2 \ g = 2 \times 10^{-3} \ kg$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 300 \ NC^{-1}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(KE)_1 = 0$ ($x = 0$ આગળ).
અંતિમ ગતિઊર્જા $(KE)_2 = 0.12 \ J$ ($x = 0.5 \ m$ આગળ).
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,વિદ્યુત બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
થયેલું કાર્ય $W = F \cdot d = (QE) \cdot d$.
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta KE = KE_2 - KE_1 = 0.12 \ J - 0 \ J = 0.12 \ J$.
બંનેને સરખાવતા: $Q \times 300 \times 0.5 = 0.12$.
$Q \times 150 = 0.12$.
$Q = \frac{0.12}{150} = 0.0008 \ C$.
$Q = 800 \times 10^{-6} \ C = 800 \ \mu C$.
પદાર્થ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં ગતિ કરીને ગતિઊર્જા મેળવે છે,તેથી વિદ્યુતભાર $Q$ ધન હોવો જોઈએ.

(C) વીજભારોના મૂલ્યો સમાન હોવાથી અને તેમને એક સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં મૂકવામાં આવ્યા હોવાથી,દરેક વીજભાર પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $F = qE$ થાય છે.
બંને વીજભારો માટે બળ $F$ નું મૂલ્ય સમાન હોવાથી,$F_{1} = F_{2}$ મળે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $m_{1}a_{1} = m_{2}a_{2}$ લખી શકીએ.
આને ગોઠવતા પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{m_{1}}{m_{2}} = 0.5$,તેથી $\frac{m_{2}}{m_{1}} = \frac{1}{0.5} = 2$.
આમ,તેમના પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_{1}}{a_{2}} = 2$ થાય છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
થયેલું કાર્ય $W = qEx = \frac{1}{2}mv^2$.
વેગ $v$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$v = \sqrt{\frac{2qEx}{m}} = \sqrt{2 \left(\frac{e}{m}\right) Ex}$.
આપેલ કિંમતો: $\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11} \text{ C kg}^{-1}$,$E = 1 \times 10^{4} \text{ N C}^{-1}$,અને $x = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{2 \times (1.8 \times 10^{11}) \times (1 \times 10^{4}) \times (2 \times 10^{-2})}$
$v = \sqrt{7.2 \times 10^{13}} = \sqrt{72 \times 10^{12}}$
$v \approx 8.485 \times 10^{6} \text{ m s}^{-1} \approx 8.5 \times 10^{6} \text{ m s}^{-1}$.

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F = ma$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ અને $a$ એ પ્રવેગ છે.
બળ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $ma = qE$.
તેથી,પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ થાય.

(D) આપેલ છે: $\alpha$-કણનું દળ $m = 6.4 \times 10^{-27} \ kg$,વિદ્યુતભાર $q = 3.2 \times 10^{-19} \ C$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 1.6 \times 10^{5} \ Vm^{-1}$,અને અંતર $s = 2 \times 10^{-2} \ m$.
$\alpha$-કણ પર લાગતું બળ $F = qE = (3.2 \times 10^{-19}) \times (1.6 \times 10^{5}) = 5.12 \times 10^{-14} \ N$ છે.
કણનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{5.12 \times 10^{-14}}{6.4 \times 10^{-27}} = 0.8 \times 10^{13} \ ms^{-2} = 8 \times 10^{12} \ ms^{-2}$ થાય.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે:
$v^2 = 0 + 2 \times (8 \times 10^{12}) \times (2 \times 10^{-2}) = 32 \times 10^{10}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$v = \sqrt{32 \times 10^{10}} = \sqrt{16 \times 2} \times 10^{5} = 4 \sqrt{2} \times 10^{5} \ ms^{-1}$ મળે.

(B) આપેલ છે કે તેલનું ટીપું સ્થિર છે,તેથી નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપરની તરફ લાગતા વિદ્યુત બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે।
$qE = mg$
બે પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે:
$q \left(\frac{V}{d}\right) = mg$
વિદ્યુતભાર $q$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$q = \frac{mgd}{V}$
આપેલ કિંમતો:
$m = 10^{-6} \,kg$
$g = 10 \,ms^{-2}$
$d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$
$V = 500 \,V$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$q = \frac{10^{-6} \times 10 \times 10^{-3}}{500}$
$q = \frac{10^{-8}}{500} = \frac{10^{-8}}{5 \times 10^2} = 0.2 \times 10^{-10} \,C = 2 \times 10^{-11} \,C$

(B) આપેલ છે: દળ $m = 0.2 \ g = 0.2 \times 10^{-3} \ kg$,વીજભાર $q = 2 \ C$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 20 \ N \ C^{-1}$,અંતર $d = 20 \ cm = 0.2 \ m$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
કણ પર લાગતું બળ $F = qE = 2 \times 20 = 40 \ N$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,વિદ્યુત બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
થયેલું કાર્ય $W = F \times d = 40 \ N \times 0.2 \ m = 8 \ J$.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતો હોવાથી,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0$ છે.
તેથી,અંતિમ ગતિઊર્જા $K.E. = W = 8 \ J$ થશે.

(A) આપેલ છે: ડ્યુટેરોનનું દળ $m = 3.2 \times 10^{-27} \ kg$,ડ્યુટેરોનનો વિદ્યુતભાર $q = e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$.
ડ્યુટેરોન હવામાં મુક્ત રીતે લટકે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુતબળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
બળોને સરખાવતા: $qE = mg$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે સૂત્ર: $E = \frac{mg}{q}$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{3.2 \times 10^{-27} \times 9.8}{1.6 \times 10^{-19}}$.
$E = 2 \times 9.8 \times 10^{-27+19} \ NC^{-1}$.
$E = 19.6 \times 10^{-8} \ NC^{-1}$.

(D) આપેલ છે:
દળ $m = 0.5 \ g = 0.5 \times 10^{-3} \ kg$
વીજભાર $q = 10 \ \mu C = 10 \times 10^{-6} \ C$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 8 \ NC^{-1}$
પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ ms^{-1}$
સમય $t = 5 \ s$
કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{10 \times 10^{-6} \times 8}{0.5 \times 10^{-3}} = \frac{80 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 160 \times 10^{-3} = 0.16 \ ms^{-2}$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v = 0 + (0.16 \times 5) = 0.8 \ ms^{-1}$.

(A, B) કોર્ક બોલનું દળ,$m=1 \text{ g}=10^{-3} \text{ kg}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર,$E=(3 \hat{i}+5 \hat{j}) \times 10^5 \text{ NC}^{-1}$.
ખૂણો,$\theta=37^{\circ}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ને કારણે કોર્ક બોલ પર લાગતું બળ $F=qE$ છે.
આપેલ આકૃતિ મુજબ,તમામ બળોને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ દિશામાં વિભાજિત કરતા:
$T \sin \theta = q E_x \quad \dots (i)$
$T \cos \theta + q E_y = mg \implies T \cos \theta = mg - q E_y \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{q E_x}{mg - q E_y}$
કિંમતો મૂકતા $(\tan 37^{\circ} = 3/4)$:
$\frac{3}{4} = \frac{q \times 3 \times 10^5}{10^{-3} \times 10 - q \times 5 \times 10^5}$
$\frac{3}{4} = \frac{3q \times 10^5}{10^{-2} - 5q \times 10^5}$
$3(10^{-2} - 5q \times 10^5) = 12q \times 10^5$
$0.03 - 15q \times 10^5 = 12q \times 10^5$
$0.03 = 27q \times 10^5 \implies q = \frac{0.03}{27 \times 10^5} = \frac{1}{9} \times 10^{-7} \approx 1.11 \times 10^{-8} \text{ C}$.
આમ,$q \approx 11 \times 10^{-9} \text{ C}$ અથવા $1.1 \times 10^{-8} \text{ C}$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી:
$T \sin 37^{\circ} = q E_x$
$T \times 0.6 = (1.11 \times 10^{-8}) \times (3 \times 10^5)$
$T \times 0.6 = 3.33 \times 10^{-3}$
$T = \frac{3.33 \times 10^{-3}}{0.6} = 5.55 \times 10^{-3} \text{ N}$.
તેથી,વિકલ્પો $A$ અને $B$ સાચા છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોનને $A$ થી $B$ તરફના સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વીજભારિત હોવાથી,તે વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં,એટલે કે પ્લેટ $A$ તરફ $F = q_e E$ બળ અનુભવે છે. ઇલેક્ટ્રોન પ્લેટ $B$ ને અથડાય નહીં તે માટે,તેની મહત્તમ ઊભી સ્થાનાંતર $h_{\max}$ એ પ્લેટો વચ્ચેના અંતર $d = 4 \ cm = 0.04 \ m$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
પ્રારંભિક વેગનો ઊભો ઘટક $u_y = v \sin 30^{\circ} = \frac{v}{2}$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{q_e E}{m_e} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 45.5}{9.1 \times 10^{-31}} = 8 \times 10^{12} \ m \ s^{-2}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v_y^2 = u_y^2 - 2ah$ નો ઉપયોગ કરતા,મહત્તમ ઊંચાઈએ $v_y = 0$:
$0 = (\frac{v}{2})^2 - 2ah_{\max} \implies h_{\max} = \frac{v^2}{8a}$.
$h_{\max} = 0.04 \ m$ લેતા:
$0.04 = \frac{v^2}{8 \times 8 \times 10^{12}}$
$v^2 = 0.04 \times 64 \times 10^{12} = 2.56 \times 10^{12}$
$v = \sqrt{2.56 \times 10^{12}} = 1.6 \times 10^6 \ m \ s^{-1} = 1600 \ km \ s^{-1}$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg}$, વિદ્યુતભાર $q = 20 \mu\text{C} = 20 \times 10^{-6} \text{ C}$, લંબાઈ $r = 0.9 \text{ m}$, વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 100 \text{ NC}^{-1}$, અને $g = 10 \text{ ms}^{-2}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_e = qE = 20 \times 10^{-6} \times 100 = 2 \times 10^{-3} \text{ N}$ (ઉપરની તરફ).
દડા પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = mg = 10^{-3} \times 10 = 10 \times 10^{-3} \text{ N}$ (નીચેની તરફ).
નીચેની તરફ લાગતું ચોખ્ખું અસરકારક બળ $F_{\text{eff}} = F_g - F_e = 10 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3} = 8 \times 10^{-3} \text{ N}$.
અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{\text{eff}} = \frac{F_{\text{eff}}}{m} = \frac{8 \times 10^{-3}}{10^{-3}} = 8 \text{ ms}^{-2}$.
પદાર્થ ઉર્ધ્વ વર્તુળ પૂર્ણ કરે તે માટે સૌથી નીચેના બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $v = \sqrt{5g_{\text{eff}}r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{5 \times 8 \times 0.9} = \sqrt{40 \times 0.9} = \sqrt{36} = 6 \text{ ms}^{-1}$.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v$ છે. વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta \vec{p} = q \vec{E} \Delta t$ છે. પ્રથમ દડા માટે,અંતિમ વેગ $\vec{v}_1$ નું મૂલ્ય $v/2$ છે અને તે $\vec{v}$ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે છે. વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta \vec{p}_1 = m_1(\vec{v}_1 - \vec{v})$ એ $\vec{v}_1$ ને લંબ હોવો જોઈએ. કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $(v/2)^2 = v^2 + (\Delta p_1/m_1)^2 - 2v(\Delta p_1/m_1)\cos(120^{\circ})$. આ ઉકેલતા,$\Delta p_1 = m_1 v \sin(60^{\circ}) = m_1 v \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે. બીજા દડા માટે,વેગ $90^{\circ}$ બદલાય છે,તેથી $\vec{v}_2 \perp \vec{v}$. આથી,$v_2 = v \tan(30^{\circ}) = v/\sqrt{3}$ મળે છે. ગુણોત્તર $\frac{q_2/m_2}{q_1/m_1} = \frac{4}{3}$ હોવાથી,$k_2 = \frac{4}{3} k_1$ થાય છે.

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણનો પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: $q_p = e$, $m_p = m$. તેથી, $a_p = \frac{eE}{m}$.
$\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે: $q_{\alpha} = 2e$, $m_{\alpha} = 4m$. તેથી, $a_{\alpha} = \frac{2eE}{4m} = \frac{eE}{2m}$.
તેઓ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરતા હોવાથી, $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $s = \frac{1}{2}at^2$ છે. બંને માટે $s$ સમાન હોવાથી, $\frac{1}{2}a_p t_p^2 = \frac{1}{2}a_{\alpha} t_{\alpha}^2$.
$\frac{t_p^2}{t_{\alpha}^2} = \frac{a_{\alpha}}{a_p} = \frac{eE/2m}{eE/m} = \frac{1}{2}$.
તેથી, પ્રોટોન અને $\alpha$-કણ દ્વારા લેવાયેલ સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_p}{t_{\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(D) ધારો કે દળ $m_1 = m$ અને $m_2 = 3m$ છે. દળનો ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = 1 : 3$ છે.
વિદ્યુતભાર તેમના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી $q_1 : q_2 = 3 : 1$. ધારો કે $q_1 = 3q$ અને $q_2 = q$ છે.
જ્યારે સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
દરેક કણનો પ્રવેગ $a = F/m = qE/m$ છે.
ધારો કે તેઓ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તો સમય $t$ પછી,વેગ $v = at = (qE/m)t$ થશે.
ગતિઊર્જા $K = (1/2)mv^2 = (1/2)m(qEt/m)^2 = (q^2 E^2 t^2) / (2m)$ છે.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $K_1 / K_2 = [(q_1^2) / (2m_1)] / [(q_2^2) / (2m_2)] = (q_1/q_2)^2 * (m_2/m_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K_1 / K_2 = (3/1)^2 * (3/1) = 9 * 3 = 27 / 1$.
આમ,ગુણોત્તર $27: 1$ છે.

(B) શરૂઆતમાં,મણકો સ્થિર છે,જેનો અર્થ છે કે ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ એ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ને સંતુલિત કરે છે. આમ,$qE = mg$.
જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે મણકા પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ $(mg)$ છે. મણકો $g$ જેટલા અચળ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરશે.
જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર ફરીથી ચાલુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ ફરીથી ઉપરની તરફ લાગે છે. ક્ષેત્ર બંધ હતું તે સમય દરમિયાન મણકાએ નીચેની તરફ વેગ મેળવ્યો હોવાથી,તે નીચેની તરફ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે અને તેનો વેગ શૂન્ય ન થાય ત્યાં સુધી તે પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરશે.
વેગ શૂન્ય થયા પછી,વિદ્યુત બળ $F_e$ (જે $mg$ જેટલું છે) મણકાને ઉપરની તરફ પ્રવેગિત કરશે જ્યાં સુધી તે તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછો ન આવે.
તેથી,મણકો નીચેની તરફ ગતિ કરે છે અને પછી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઉપરની તરફ કાર્ય કરે છે. વીજભાર $q$ ઋણ હોવાથી,બળ $F = qE$ નીચેની તરફ લાગે છે. કણનો પ્રવેગ $a = \frac{|q|E}{m} = \frac{1 \times 10^{-6} \times 10^3}{2 \times 10^{-3}} = 0.5 \ ms^{-2}$ નીચેની તરફ છે.
કણ ઉપરની પ્લેટને ન અથડાય તે માટે,તેનું મહત્તમ શિરોલંબ સ્થાનાંતર $h_{\max}$ એ પ્લેટ વચ્ચેના અંતર $d = 2 \ cm = 0.02 \ m$ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin 45^{\circ} = \frac{u}{\sqrt{2}}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,શિરોલંબ વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે. $v_y^2 = u_y^2 - 2ah_{\max}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $0 = (\frac{u}{\sqrt{2}})^2 - 2ah_{\max}$ મળે છે,તેથી $h_{\max} = \frac{u^2}{4a}$.
$h_{\max} = 0.02 \ m$ અને $a = 0.5 \ ms^{-2}$ લેતા:
$0.02 = \frac{u^2}{4 \times 0.5} = \frac{u^2}{2}$
$u^2 = 0.04 \implies u = 0.2 \ ms^{-1}$.

(B) $E$ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m_e} = \frac{eE}{m_e}$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોનને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવતો હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $S$ શોધવા માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
$S = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m_e} \right) t^2$
$S = \frac{eEt^2}{2m_e}$.

(D) સ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ગતિઊર્જા $K.E. = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2$ જેટલી હોય છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = eV$.
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા: $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$.
આપેલ છે: $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$V = 180 \ V$,$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 180}{9 \times 10^{-31}}}$.
$v = \sqrt{\frac{576 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-31}}} = \sqrt{64 \times 10^{12}} = 8 \times 10^6 \ m/s$.
$km/s$ માં રૂપાંતર કરતા: $v = 8000 \ km/s$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 2 \ g = 2 \times 10^{-3} \ kg$,વિદ્યુતભાર $q = 6 \ \mu C = 6 \times 10^{-6} \ C$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 60 \ V$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કણ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલી ગતિઊર્જા એ વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલી હોય છે:
$K.E. = qV$
$\frac{1}{2}mv^2 = qV$
$v^2 = \frac{2qV}{m}$
$v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{2 \times (6 \times 10^{-6} \ C) \times (60 \ V)}{2 \times 10^{-3} \ kg}}$
$v = \sqrt{\frac{720 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-3}}}$
$v = \sqrt{360 \times 10^{-3}} = \sqrt{0.36} = 0.6 \ ms^{-1}$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન છે અને ધન $x$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $\vec{E} = E \hat{i}$.
વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું વિદ્યુત બળ $\vec{F} = q \vec{E} = q E \hat{i}$ છે.
વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ હોવાથી,થયેલું કાર્ય માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે,કાપેલા માર્ગ પર નહીં.
પ્રારંભિક સ્થાન $P(a, b, 0)$ છે અને અંતિમ સ્થાન $S(0, 0, 0)$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{S} - \vec{P} = (0 - a) \hat{i} + (0 - b) \hat{j} + (0 - 0) \hat{k} = -a \hat{i} - b \hat{j}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ છે.
$W = (q E \hat{i}) \cdot (-a \hat{i} - b \hat{j}) = -q E a (\hat{i} \cdot \hat{i}) - q E b (\hat{i} \cdot \hat{j})$.
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,તેથી $W = -q E a$ મળે છે.

(D) ધારો કે દોરીની લંબાઈ $L$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,વિદ્યુત બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K
\Rightarrow qEL = \frac{1}{2}mv^2 - 0
\Rightarrow v^2 = \frac{2qEL}{m}$.
જ્યારે દોરી વિદ્યુતક્ષેત્રને સમાંતર થાય છે,ત્યારે બ્લોક પર લાગતા બળો તણાવબળ $T$ (કેન્દ્ર તરફ) અને વિદ્યુત બળ $qE$ (કેન્દ્રથી દૂર) છે.
કેન્દ્રગામી બળનું સમીકરણ:
$T - qE = \frac{mv^2}{L}$.
$v^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = qE + \frac{m}{L} \left( \frac{2qEL}{m} \right)
\Rightarrow T = qE + 2qE
\Rightarrow T = 3qE$.

(D) શરૂઆતમાં,તેલનું ટીપું સંતુલનમાં છે,તેથી વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે: $qE = mg$.
અહીં,$m = 4.8 \times 10^{-13} \,kg$,$q = 2.4 \times 10^{-18} \,C$,અને $g = 10 \,m/s^2$ છે.
જ્યારે પ્લેટોની ધ્રુવીયતા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુત બળ $qE$ ની દિશા ઉલટાઈ જાય છે અને તે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ની સાથે નીચેની તરફ લાગે છે.
ટીપાં પર લાગતું નવું કુલ બળ $F_{net} = qE + mg$ છે.
કારણ કે $qE = mg$,તેથી $F_{net} = mg + mg = 2mg$.
તાત્કાલિક પ્રવેગ $a$ એ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{2mg}{m} = 2g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g = 10 \,m/s^2$ મૂકતા,આપણને $a = 2 \times 10 = 20 \,m/s^2$ મળે છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ક્ષેત્રની દિશામાં કણનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ થાય.
કણને ક્ષેત્રને લંબરૂપે ફેંકવામાં આવતો હોવાથી,ક્ષેત્રની દિશામાં તેનો પ્રારંભિક વેગ $0$ છે.
$x$-દિશામાં (ક્ષેત્રને લંબ) કોઈ પ્રવેગ નથી,તેથી વેગ $v$ અચળ રહે છે. આમ,$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $x = vt$ થાય,જેથી $t = \frac{x}{v}$ મળે.
$y$-દિશામાં (ક્ષેત્રને સમાંતર),ગતિના બીજા સમીકરણ $y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u_y = 0$ અને $a_y = a = \frac{qE}{m}$,આપણને મળે:
$y = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{x}{v} \right)^2$.
$y = \frac{qE}{2mv^2} x^2$.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $y = \alpha x^2$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{qE}{2mv^2}$ મળે છે.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં $u$ વેગથી ગતિ કરતા અને $L$ અંતર કાપતા વિદ્યુતભારિત કણનું વિચલન $y = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} (\frac{qE}{m}) (\frac{L}{u})^2 = \frac{qEL^2}{2mu^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
વેગમાન $p = mu$ હોવાથી, $u = p/m$ થાય। આ કિંમત મૂકતા, $y = \frac{qEL^2}{2m(p/m)^2} = \frac{qEL^2m}{2p^2}$ મળે।
અહીં $E, L$ અને $p$ બધા કણો માટે અચળ હોવાથી, વિચલન $y \propto qm$ થાય।
પ્રોટોન $(p)$, ડ્યુટેરોન $(d)$ અને $\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે:
વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર: $q_p : q_d : q_\alpha = 1 : 1 : 2$.
દળનો ગુણોત્તર: $m_p : m_d : m_\alpha = 1 : 2 : 4$.
તેથી, વિચલનનો ગુણોત્તર $y_p : y_d : y_\alpha = (q_p m_p) : (q_d m_d) : (q_\alpha m_\alpha) = (1 \times 1) : (1 \times 2) : (2 \times 4) = 1 : 2 : 8$ થાય।

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં વીજભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = -e$,તેથી બળ $F_e = -eE$ છે. પ્રવેગ $a_e = \frac{-eE}{m}$ છે.
પોઝિટ્રોન માટે,$q = +e$,તેથી બળ $F_p = +eE$ છે. પ્રવેગ $a_p = \frac{eE}{m}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,અને ક્ષેત્રની દિશામાં પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી $(u = 0)$:
ક્ષેત્રની દિશામાં ઇલેક્ટ્રોનનું સ્થાનાંતર: $y_e = \frac{1}{2} a_e t^2 = -\frac{eE t^2}{2m}$.
ક્ષેત્રની દિશામાં પોઝિટ્રોનનું સ્થાનાંતર: $y_p = \frac{1}{2} a_p t^2 = \frac{eE t^2}{2m}$.
ક્ષેત્રની દિશામાં તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = |y_p - y_e| = |\frac{eE t^2}{2m} - (-\frac{eE t^2}{2m})| = \frac{eE t^2}{m}$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 10 \ mg = 10 \times 10^{-6} \ kg = 10^{-5} \ kg$,વિદ્યુતભાર $q = 2 \ \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 160 \ V$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય એ કણની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K$
$qV = \frac{1}{2}mv^2 - 0$
$v^2 = \frac{2qV}{m}$
$v^2 = \frac{2 \times (2 \times 10^{-6} \ C) \times 160 \ V}{10^{-5} \ kg}$
$v^2 = \frac{640 \times 10^{-6}}{10^{-5}} = 640 \times 10^{-1} = 64$
$v = \sqrt{64} = 8 \ ms^{-1}$.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતા કણનો પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,કણો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા હોવાથી $(u = 0)$,આપણને $s = \frac{1}{2}at^2$ મળે છે.
આમ,$t = \sqrt{\frac{2s}{a}} = \sqrt{\frac{2sm}{qE}}$.
સમાન સ્થાનાંતર $s$ માટે,સમય $t$ એ $\sqrt{\frac{m}{q}}$ ના પ્રમાણમાં છે.
ધારો કે $m_p$ અને $q_p$ એ પ્રોટોનનું દળ અને વિદ્યુતભાર છે,અને $m_\alpha$ અને $q_\alpha$ એ આલ્ફા કણનું દળ અને વિદ્યુતભાર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_\alpha = 4m_p$ અને $q_\alpha = 2q_p$.
સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_p}{t_\alpha} = \sqrt{\frac{m_p}{q_p} \cdot \frac{q_\alpha}{m_\alpha}} = \sqrt{\frac{m_p}{q_p} \cdot \frac{2q_p}{4m_p}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય છે.

(C) ઘર્ષણરહિત ઢળતા સમતલ પર બ્લોક સ્થિર રહે તે માટે, ઢળતા સમતલની નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું ઘટક, સમતલની ઉપરની તરફ લાગતા વિદ્યુત બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
$mg \sin \theta = qE$
$E = \frac{mg \sin \theta}{q}$
આપેલ છે: $m = 5 \, g = 5 \times 10^{-3} \, kg$, $q = 5 \, \mu C = 5 \times 10^{-6} \, C$, $\theta = 60^{\circ}$, $g = 10 \, m/s^2$.
$E = \frac{5 \times 10^{-3} \times 10 \times \sin(60^{\circ})}{5 \times 10^{-6}}$
$E = \frac{5 \times 10^{-2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{5 \times 10^{-6}}$
$E = 10^4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \, N/C$
આમ, વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 10^4 \, N/C$ છે.

(B) પ્રોટોન એ ધન વીજભારિત કણ છે. જ્યારે તેને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = qE$ અનુભવે છે.
પ્રોટોનને આ કુલંબ બળની વિરુદ્ધ દિશામાં ખસેડવા માટે,પ્રોટોન પર કાર્ય કરવા માટે બાહ્ય બળ લગાડવું જરૂરી છે.
કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર કુદરતી રીતે પ્રોટોનને તેની પોતાની દિશામાં ધકેલે છે,તેથી તેને વિરુદ્ધ દિશામાં ખસેડવા માટે સિસ્ટમને ઉર્જા પૂરી પાડવા માટે બાહ્ય એજન્સીની જરૂર પડે છે.
તેથી,આ કાર્ય કરવા માટે કોઈ બાહ્ય સ્ત્રોતમાંથી ઉર્જાનો ઉપયોગ થાય છે.

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 10^3 \ Vm^{-1}$ ($Y$-અક્ષની દિશામાં),દળ $m = 1 \ g = 10^{-3} \ kg$,વીજભાર $q = 10^{-6} \ C$,પ્રારંભિક વેગ $u_x = 10 \ ms^{-1}$ ($X$-અક્ષની દિશામાં).
વીજભાર પર લાગતું બળ $F = qE = 10^{-6} \times 10^3 = 10^{-3} \ N$ ($Y$-અક્ષની દિશામાં).
$Y$-અક્ષની દિશામાં પ્રવેગ $a_y = F/m = 10^{-3} / 10^{-3} = 1 \ ms^{-2}$.
$X$-અક્ષની દિશામાં કોઈ બળ લાગતું ન હોવાથી તેનો વેગ અચળ રહે છે: $v_x = u_x = 10 \ ms^{-1}$.
$10 \ s$ પછી $Y$-અક્ષની દિશામાં વેગ $v_y = u_y + a_y t = 0 + 1 \times 10 = 10 \ ms^{-1}$.
અંતિમ ઝડપ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \ ms^{-1}$.

(C) કણ $x$-અક્ષ પર અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરે છે,તેથી $x = vt$,જેનો અર્થ છે કે $t = x/v$.
$y$-અક્ષ પર,કણ અચળ બળ $F = qE$ અનુભવે છે,જેના કારણે પ્રવેગ $a = qE/m$ મળે છે.
ગતિના સમીકરણ $y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u_y = 0$ છે:
$y = \frac{1}{2} (\frac{qE}{m}) (\frac{x}{v})^2 = (\frac{qE}{2mv^2}) x^2$.
આ સમીકરણ $y = kx^2$ સ્વરૂપનું છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.
તેથી,કણનો ગતિપથ પરવલયાકાર હશે.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં વિદ્યુતભારિત કણનો પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણો સ્થિર સ્થિતિ $(u = 0)$ થી શરૂ થતા હોવાથી,$t$ સમય પછીનો વેગ $v = at = \left(\frac{qE}{m}\right)t$ થાય.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta K$ જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2$.
$v$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$W = \frac{1}{2}m\left(\frac{qEt}{m}\right)^2 = \frac{q^2 E^2 t^2}{2m}$.
અહીં $E$ અને $t$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,$W \propto \frac{q^2}{m}$ થાય.
પ્રોટોન માટે,$q_p = e$ અને $m_p = m$. $\alpha$-કણ માટે,$q_\alpha = 2e$ અને $m_\alpha = 4m$.
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{W_p}{W_\alpha} = \left(\frac{q_p}{q_\alpha}\right)^2 \left(\frac{m_\alpha}{m_p}\right) = \left(\frac{e}{2e}\right)^2 \left(\frac{4m}{m}\right) = \left(\frac{1}{4}\right) \times 4 = 1: 1$.

(B) કણ પર લાગતું બળ $F = qE = qE_0 \sin(\omega t)$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$ma = qE_0 \sin(\omega t)$,તેથી $a = \frac{qE_0}{m} \sin(\omega t)$.
વેગ $v(t)$ એ પ્રવેગનું સંકલન છે: $v(t) = \int a \, dt = \int \frac{qE_0}{m} \sin(\omega t) \, dt = -\frac{qE_0}{m\omega} \cos(\omega t) + C$.
કણ $t = 0$ સમયે સ્થિર હોવાથી,$v(0) = 0$,જે આપણને $C = \frac{qE_0}{m\omega}$ આપે છે.
આમ,$v(t) = \frac{qE_0}{m\omega} (1 - \cos(\omega t))$.
મહત્તમ ઝડપ ત્યારે મળે જ્યારે $\cos(\omega t) = -1$ હોય,તેથી $v_{\max} = \frac{2qE_0}{m\omega}$.
કિંમતો મૂકતા: $q = 1 \text{ C}$,$E_0 = 2 \text{ N/C}$,$m = 1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg}$,અને $\omega = 1000 \text{ rad/s}$.
$v_{\max} = \frac{2 \times 1 \times 2}{10^{-3} \times 1000} = \frac{4}{1} = 4 \text{ m/s}$.

(B) પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ છે.
$e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE = \frac{eV}{d}$ છે.
ટ્રાન્સવર્સ દિશામાં ($y$-અક્ષ) ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a_y = \frac{F}{m} = \frac{eV}{md}$ છે.
અચળ સમક્ષિતિજ વેગ $v_0$ સાથે $L$ જેટલું અક્ષીય અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{v_0}$ છે.
સમય $t$ પછી પ્રાપ્ત થયેલ ટ્રાન્સવર્સ વેગ $v_y = a_y t = \left(\frac{eV}{md}\right) \left(\frac{L}{v_0}\right) = \frac{eVL}{mdv_0}$ છે.
સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = v_0$ અચળ રહે છે.
પ્લેટો સાથે બીમ દ્વારા બનતો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \frac{eVL / mdv_0}{v_0} = \frac{eVL}{mdv_0^2}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{eVL}{mdv_0^2}\right)$.