Motion of Charge particle in Electric filed Questions in Gujarati

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને પર સમાન મૂલ્યનો વિદ્યુતભાર $e$ હોવાથી,પ્રવેગ એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(a \propto \frac{1}{m})$.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $(a_e)$ અને પ્રોટોનનો પ્રવેગ $(a_p)$ નો ગુણોત્તર $\frac{a_e}{a_p} = \frac{m_p}{m_e}$ થાય.
આમ,તેમના પ્રવેગનો ગુણોત્તર એ પ્રોટોનના દળ અને ઇલેક્ટ્રોનના દળના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.

(B) કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ તે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
જો કોઈ વિદ્યુતભારિત કણને $v = 0$ ના પ્રારંભિક વેગ સાથે વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે,તો તેના પર $F = qE$ બળ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં લાગે છે.
કારણ કે બળ ક્ષેત્ર રેખાને સ્પર્શક છે,કણ ક્ષેત્ર રેખાની દિશામાં પ્રવેગિત થશે.
જો કણ પાસે ક્ષેત્ર રેખા સાથે કોઈ ખૂણે પ્રારંભિક વેગ હોય,તો તેનો ગતિપથ સામાન્ય રીતે વક્ર હશે અને તે ક્ષેત્ર રેખાને અનુસરશે નહીં.
તેથી,કણ ફક્ત ત્યારે જ બળરેખાની દિશામાં ગતિ કરશે જો તેનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોય.

(A) પ્રોટોનને સંતુલિત કરવા માટે,ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુત બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
$qE = mg$
$E = \frac{mg}{q}$
આપેલ છે:
$m = 1.7 \times 10^{-27} \ kg$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$g = 9.8 \ m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1.7 \times 10^{-27} \times 9.8}{1.6 \times 10^{-19}}$
$E \approx \frac{1.666 \times 10^{-26}}{1.6 \times 10^{-19}}$
$E \approx 1.04 \times 10^{-7} \ V/m$
આમ,તીવ્રતા આશરે $1 \times 10^{-7} \ V/m$ છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 20\,g = 20 \times 10^{-3}\,kg$,વિદ્યુતભાર $q = 3.0\,mC = 3.0 \times 10^{-3}\,C$,પ્રારંભિક વેગ $u = 20\,m/s$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 80\,N/C$,સમય $t = 3\,s$.
વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $a = \frac{qE}{m}$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{3.0 \times 10^{-3} \times 80}{20 \times 10^{-3}} = \frac{240 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-3}} = 12\,m/s^2$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v = u + at$.
$v = 20 + (12 \times 3) = 20 + 36 = 56\,m/s$.

(B) કણ સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુતબળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$QE = Mg$
અહીં $E = \frac{V}{d}$ હોવાથી,$Q \left( \frac{V}{d} \right) = Mg$ મળે.
ધારો કે $Q = Ne$,જ્યાં $N$ એ પ્રાથમિક વિદ્યુતભારની સંખ્યા છે:
$Ne \left( \frac{V}{d} \right) = Mg$
$N = \frac{Mgd}{eV}$
આપેલ કિંમતો ($M = 1.96 \times 10^{-15} \; kg$,$g = 9.8 \; m/s^2$,$d = 0.02 \; m$,$V = 800 \; V$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$) મૂકતા:
$N = \frac{1.96 \times 10^{-15} \times 9.8 \times 0.02}{1.6 \times 10^{-19} \times 800}$
$N = \frac{3.8416 \times 10^{-16}}{1.28 \times 10^{-16}} = 3$
તેથી,કણ પરનો વિદ્યુતભાર $Q = 3e$ થશે.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં $q$ વીજભાર પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને બળની દિશામાં $y$ જેટલું અંતર કાપે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા કણ પર થયેલું કાર્ય $W = F \times y = (qE) \times y = qEy$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય કણની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
શરૂઆતની ગતિઊર્જા $0$ હોવાથી,કણ દ્વારા પ્રાપ્ત અંતિમ ગતિઊર્જા $K = qEy$ થશે.

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = qE/m$ થાય.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + (1/2)at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,અને કણો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા હોવાથી $(u = 0)$,$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $s = (1/2)(qE/m)t^2$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોન માટે: $s = (1/2)(eE/m_e)t_1^2$.
પ્રોટોન માટે: $s = (1/2)(eE/m_p)t_2^2$.
બંને માટે અંતર $s$ સમાન હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$(1/2)(eE/m_e)t_1^2 = (1/2)(eE/m_p)t_2^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $t_1^2/m_e = t_2^2/m_p$ મળે છે.
તેથી,$t_2^2/t_1^2 = m_p/m_e$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને ગુણોત્તર $t_2/t_1 = (m_p/m_e)^{1/2}$ મળે છે.

(C) પાણીના ટીપાને સંતુલનમાં રાખવા માટે,વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$QE = mg$
અહીં,$Q = e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$,$r = 0.1\,\mu m = 10^{-7}\,m$,$\rho = 10^3\,kg/m^3$ (પાણીની ઘનતા),અને $g = 10\,m/s^2$ છે.
દળ $m$ એ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{mg}{Q} = \frac{\frac{4}{3} \times 3.14 \times (10^{-7})^3 \times 10^3 \times 10}{1.6 \times 10^{-19}}$
$E = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-21} \times 10^4}{3 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$E = \frac{12.56 \times 10^{-17}}{4.8 \times 10^{-19}} = 2.616 \times 10^2 \approx 262\,N/C$.

(B) તેલના ટીપાને સ્થિર રાખવા માટે,વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_e = F_g$
$qE = mg$
કારણ કે $E = \frac{V}{d}$ અને $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$,તેથી:
$q \left( \frac{V}{d} \right) = \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \rho \right) g$
આપેલ છે: $q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$V = 12000 \, V$,$d = 2.0 \times 10^{-2} \, m$,$\rho = 900 \, kg/m^3$,$g = 10 \, m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times \frac{12000}{2 \times 10^{-2}} = \frac{4}{3} \times 3.14 \times r^3 \times 900 \times 10$
$1.92 \times 10^{-13} = 37680 \times r^3$
$r^3 = \frac{1.92 \times 10^{-13}}{37680} \approx 0.509 \times 10^{-17} = 5.09 \times 10^{-18} \, m^3$
$r = \sqrt[3]{5.09 \times 10^{-18}} \approx 1.72 \times 10^{-6} \, m$.

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણને $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે ત્યારે મળતી ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $\Delta KE = qV$ છે.
પ્રોટોન માટે,તેનો વિદ્યુતભાર $q = e$ છે.
અહીં આપેલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 1\,V$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,$\Delta KE = e \times 1\,V = 1\,eV$ મળે છે.
તેથી,પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $1\,eV$ થશે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ છે,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે: $q = 1.6 \times 10^{-19}\,C$,$V = 1000\,V$,અને $d = 2\,mm = 2 \times 10^{-3}\,m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = q \left( \frac{V}{d} \right) = (1.6 \times 10^{-19}) \left( \frac{1000}{2 \times 10^{-3}} \right)$
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (0.5 \times 10^{6})$
$F = 0.8 \times 10^{-13}\,N = 8 \times 10^{-14}\,N$.

(B) કણને સ્થિર રાખવા માટે,ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુતબળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_e = F_g$
$|q|E = mg$
$|q| = \frac{mg}{E}$
આપેલ છે: $m = 5 \times 10^{-5} \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$E = 10^7 \ N/C$.
$|q| = \frac{5 \times 10^{-5} \times 10}{10^7} = 5 \times 10^{-11} \ C$.
$1 \ C = 10^6 \ \mu C$ હોવાથી,$|q| = 5 \times 10^{-11} \times 10^6 \ \mu C = 5 \times 10^{-5} \ \mu C$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર નીચેની તરફ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પણ નીચેની તરફ લાગે છે,તેથી તેને સંતુલિત કરવા માટે વિદ્યુતબળ ઉપરની તરફ લાગવું જોઈએ. નીચેની તરફના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,ઋણ વિદ્યુતભાર ઉપરની તરફ બળ અનુભવે છે. તેથી,વિદ્યુતભાર $-5 \times 10^{-5} \ \mu C$ હશે.

(C) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન જેવો વિદ્યુતભારિત કણ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશાને લંબરૂપે દાખલ થાય છે,ત્યારે તે ક્ષેત્રની દિશામાં (અથવા તેની વિરુદ્ધ દિશામાં) અચળ બળ અનુભવે છે.
$x$-અક્ષ પરનો વેગ અચળ રહે છે અને $y$-અક્ષ પરનો પ્રવેગ અચળ હોવાથી,ગતિનું સમીકરણ $y = kx^2$ સ્વરૂપનું બને છે.
આ પરવલયનું સમીકરણ છે. તેથી,ઇલેક્ટ્રોનનો માર્ગ પરવલયાકાર હોય છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ વિદ્યુતભારિત કણ પર $F = qE$ જેટલું બળ લગાડે છે. ઇલેક્ટ્રોન માટે,વિદ્યુતભાર $q = -e$ છે,તેથી બળ $F = -eE$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત બળ રેખાઓની દિશામાં વેગ સાથે પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું બળ તેના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
આ બળ અવરોધક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ ઘટે છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ ઘટશે.

(C) જ્યારે $e$ વીજભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનને $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન પર થયેલું કાર્ય $W = eV$ છે.
આ કાર્ય ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$K = \frac{1}{2}mv^2 = eV$.
અંતિમ ઝડપ $v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v^2 = \frac{2eV}{m}$ મળે છે.
તેથી,અંતિમ ઝડપ $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ થશે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $ma = eE$.
તેથી,પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર $a = (e/m) \times E$ થશે.
આપેલ છે:
$e/m = 1.76 \times 10^{11}\, C/kg$
$E = 50\, V/cm = 50 \times 10^2\, V/m = 5000\, V/m$.
કિંમતો મૂકતા:
$a = (1.76 \times 10^{11}) \times (5000) = 1.76 \times 10^{11} \times 5 \times 10^3 = 8.8 \times 10^{14}\, m/s^2$.

(A) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ $y$-અક્ષની દિશામાં રહેલા સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે $y$-અક્ષની દિશામાં વિદ્યુતબળ $\vec{F} = q\vec{E}$ અનુભવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,આ બળને કારણે $y$-દિશામાં પ્રવેગ $a_y = \frac{qE}{m}$ ઉત્પન્ન થાય છે,જે વેગના શિરોલંબ ઘટકને બદલે છે.
$x$-અક્ષની દિશામાં કોઈ વિદ્યુતક્ષેત્રનો ઘટક ન હોવાથી,$x$-દિશામાં કોઈ બળ લાગતું નથી $(F_x = 0)$.
તેથી,ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે.
આમ,શિરોલંબ વેગ બદલાય છે જ્યારે સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે.

(A) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ માં પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર: $KE = qV$ છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 100 \, V$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$KE = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (100 \, V)$
$KE = 1.6 \times 10^{-19} \times 10^2 \, J$
$KE = 1.6 \times 10^{-17} \, J$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પાણીના ટીપાના વજનને સંતુલિત કરવા માટે,વિદ્યુત બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ એટલે કે ઉપરની દિશામાં લાગવું જોઈએ.
આપેલ છે:
દળ $m = 10^{-6} \ kg$
વિદ્યુતભાર $q = 10^{-6} \ C$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$
સંતુલન માટેની શરત:
$F_e = W$
$qE = mg$
$E = \frac{mg}{q}$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{10^{-6} \times 10}{10^{-6}} = 10 \ V/m$
વિદ્યુતભાર ધન હોવાથી,વિદ્યુત બળ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં જ હોય છે. તેથી,નીચેની તરફ લાગતા વજનને સંતુલિત કરવા માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉપરની દિશામાં લાગુ પાડવું જોઈએ.

(B) કણને સ્થિર રાખવા માટે,ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુત બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_e = F_g$
$QE = mg$
આપેલ છે:
દળ $m = 0.003 \, g = 0.003 \times 10^{-3} \, kg = 3 \times 10^{-6} \, kg$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 6 \times 10^4 \, N/C$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$
$Q = \frac{mg}{E} = \frac{3 \times 10^{-6} \times 10}{6 \times 10^4}$
$Q = \frac{3 \times 10^{-5}}{6 \times 10^4} = 0.5 \times 10^{-9} \, C = 5 \times 10^{-10} \, C$

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વિદ્યુતભાર $q = e$ છે,તેથી બળ $F = eE$ થશે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F = ma$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $a$ એ પ્રવેગ છે.
બળ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $ma = eE$.
તેથી,પ્રવેગ $a = \frac{eE}{m}$ મળે છે.

(C) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણ દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = qV$ છે.
$\alpha$-કણ માટે,વિદ્યુતભાર $q = +2e$ છે,જ્યાં $e$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર છે.
આપેલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 200\,V$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$KE = (2e) \times 200\,V = 400\,eV$.
તેથી,તેની ગતિઊર્જામાં થતો વધારો $400\,eV$ છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F = qE = ma$ છે.
તેથી,પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 1 \times 10^3}{9 \times 10^{-31}} = \frac{1.6}{9} \times 10^{15} \, m/s^2$.
શરૂઆતનો વેગ $u = 5 \times 10^6 \, m/s$ અને અંતિમ વેગ $v = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,અંતર $s = \frac{u^2}{2a}$ મળે.
$s = \frac{(5 \times 10^6)^2}{2 \times (\frac{1.6}{9} \times 10^{15})} = \frac{25 \times 10^{12} \times 9}{3.2 \times 10^{15}} = \frac{225}{3.2} \times 10^{-3} \approx 70.3 \times 10^{-3} \, m = 7.03 \times 10^{-2} \, m \approx 7 \, cm$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભારિત કણ સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુતબળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_e = F_g$
$qE = mg$
$q = \frac{mg}{E} = \frac{9.6 \times 10^{-16} \times 10}{20,000} = \frac{9.6 \times 10^{-15}}{2 \times 10^4} = 4.8 \times 10^{-19}\, C$.
$q = ne$ હોવાથી,વધારાના ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n$ નીચે મુજબ મળે:
$n = \frac{q}{e} = \frac{4.8 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 3$.
આમ,વિદ્યુતભાર $4.8 \times 10^{-19}\, C$ અને ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $3$ છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા અનુભવાતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
અહીં આપેલ છે કે આ બળ ઇલેક્ટ્રોનના વજન જેટલું છે,તેથી $F = mg$,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m \approx 9.1 \times 10^{-31} \ kg)$ અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g \approx 9.8 \ m/s^2)$ છે.
બંનેને સરખાવતા,$eE = mg$,જેનો અર્થ થાય છે $E = \frac{mg}{e}$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{9.1 \times 10^{-31} \ kg \times 9.8 \ m/s^2}{1.6 \times 10^{-19} \ C}$.
$E \approx \frac{89.18 \times 10^{-31}}{1.6 \times 10^{-19}} \ N/C \approx 5.57 \times 10^{-11} \ N/C$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $5.5 \times 10^{-11} \ N/C$ છે.

(C) લોલકનો પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
જ્યારે પ્લેટોને વિદ્યુતભારિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઉત્પન્ન થાય છે. વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F_e = qE$ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
ગોળા પર લાગતું કુલ અધોગામી બળ $F_{net} = mg + qE$ છે.
અસરકારક પ્રવેગ $g'$ એ $g' = \frac{F_{net}}{m} = g + \frac{qE}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g + \frac{qE}{m}}}$ છે.
$T/T_0$ નો ગુણોત્તર લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{T}{T_0} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{L}{g + \frac{qE}{m}}}}{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}} = \sqrt{\frac{g}{g + \frac{qE}{m}}} = \left( \frac{g}{g + \frac{qE}{m}} \right)^{1/2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કણ $q$ ની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા લઘુત્તમ અંતરના બિંદુએ સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જ્યાં કણ ક્ષણિક રીતે સ્થિર થાય છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા = $\frac{1}{2}mv^2$
$r$ અંતરે સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા = $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{r}$
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{r}$
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $r = \frac{qQ}{2\pi\varepsilon_0 mv^2}$,જે સૂચવે છે કે $r \propto \frac{1}{v^2}$.
જો ઝડપ બમણી કરવામાં આવે $(v' = 2v)$,તો નવું લઘુત્તમ અંતર $r'$ નીચે મુજબ હશે:
$r' = r \cdot \left(\frac{v}{v'}\right)^2 = r \cdot \left(\frac{v}{2v}\right)^2 = r \cdot \frac{1}{4} = \frac{r}{4}$.
આમ,લઘુત્તમ અંતર $r/4$ થશે.

(A) ગતિશીલ વિદ્યુતભાર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતું કાર્ય $W = qEd$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે ગતિઊર્જામાં ફેરફાર લાવે છે.
તેનાથી વિપરીત,ગતિશીલ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા વિદ્યુતભારના વેગને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા અપાતો પાવર $P = \vec{F}_m \cdot \vec{v} = 0$ થાય છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર ગતિશીલ વિદ્યુતભારની ગતિઊર્જા બદલી શકતું નથી.
આમ,માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર જ ગતિશીલ વિદ્યુતભારને ઉર્જા મેળવવામાં મદદ કરી શકે છે.

(C) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2 = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,અને $V = 1000 \ V$ છે.
વેગ $v$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1000}{9.1 \times 10^{-31}}}$.
$v = \sqrt{\frac{3.2 \times 10^{-16}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{0.3516 \times 10^{15}} = \sqrt{3.516 \times 10^{14}}$.
$v \approx 1.875 \times 10^7 \ m/s \approx 1.9 \times 10^7 \ m/s$.

(C) ટીપું સ્થિર રહે તે માટે,વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$QE = mg$
$E = V/d$ હોવાથી,આપણી પાસે $Q(V/d) = mg$ છે,જ્યાં $Q = ne$.
$n e (V/d) = mg$
$n = \frac{mgd}{Ve}$
આપેલ છે:
$m = 1.8 \times 10^{-14} \ kg$
$g = 10 \ m/s^2$
$d = 0.90 \ cm = 0.90 \times 10^{-2} \ m$
$V = 2.0 \ kV = 2.0 \times 10^3 \ V$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{1.8 \times 10^{-14} \times 10 \times 0.90 \times 10^{-2}}{2.0 \times 10^3 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$n = \frac{1.62 \times 10^{-14}}{3.2 \times 10^{-16}} = \frac{162}{32} = 5.0625 \approx 5$
આમ,ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $5$ છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોન $x$-અક્ષ પર અચળ વેગ $v_x$ થી ગતિ કરે છે.
જ્યારે $y$-અક્ષ પર સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન પર ઋણ $y$-દિશામાં અચળ બળ $F_y = -eE$ લાગે છે.
આના પરિણામે $y$-દિશામાં અચળ પ્રવેગ $a_y = -eE/m$ ઉત્પન્ન થાય છે,જ્યારે $x$-દિશામાં વેગ અચળ રહે છે.
$x$-દિશામાં ગતિ સમાન હોવાથી $(x = v_x t)$ અને $y$-દિશામાં ગતિ અચળ પ્રવેગી હોવાથી $(y = 1/2 a_y t^2)$,માર્ગનું સમીકરણ $y = 1/2 (-eE/m) (x/v_x)^2$ મળે છે.
આ સમીકરણ $y = kx^2$ સ્વરૂપનું છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.

(A) સ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = e \cdot V$ છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.602 \times 10^{-19} \, C$ અને સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 100 \, V$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = (1.602 \times 10^{-19} \, C) \times (100 \, V)$
$K = 1.602 \times 10^{-17} \, J$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જાનું સમીકરણ: $\frac{1}{2}mv^2 = eV$ છે.
વેગ $v$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}} = \sqrt{2 \left(\frac{e}{m}\right) V}$.
આપેલ કિંમતો $V = 200 \ V$ અને $\frac{e}{m} = 1.6 \times 10^{11} \ C/kg$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{2 \times (1.6 \times 10^{11}) \times 200}$
$v = \sqrt{6.4 \times 10^{13} \times 10^1} = \sqrt{64 \times 10^{12}}$
$v = 8 \times 10^6 \ m/s$.

(A) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $K.E. = eV = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ મળે છે.
આપેલ છે: $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$V = 45.5 \ V$,અને $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 45.5}{9.1 \times 10^{-31}}}$.
$v = \sqrt{\frac{145.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{16 \times 10^{12}}$.
$v = 4 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ માં રહેલા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $a$ એ પ્રવેગ છે.
બળ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $ma = qE$.
તેથી,પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ થાય.
અહીં આપેલ વિદ્યુતભાર $q = 3e$ અને દળ $m' = 2m$ છે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{(3e)E}{2m} = \frac{3Ee}{2m}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્રાપ્ત ગતિઊર્જા એ વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલા કાર્યની બરાબર હોય છે: $\frac{1}{2}mv^2 = eV$
વિશિષ્ટ વીજભાર $e/m$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $\frac{e}{m} = \frac{v^2}{2V}$
આપેલ કિંમતો $v = 8.4 \times 10^6 \ m/s$ અને $V = 200 \ V$ મૂકતા:
$\frac{e}{m} = \frac{(8.4 \times 10^6)^2}{2 \times 200} = \frac{70.56 \times 10^{12}}{400} = 0.1764 \times 10^{12} = 1.764 \times 10^{11} \ C/kg$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ બળ કણ પર કાર્ય કરી શકે છે,જેનાથી તેની ગતિ ઉર્જામાં ફેરફાર થાય છે.
તેનાથી વિપરીત,ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા ગતિશીલ વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળ $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ બળ હંમેશા કણના વેગ સદિશ $v$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા કણ પર થતું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે $(W = F \cdot d = 0)$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિદ્યુતભારિત કણની ગતિ ઉર્જા બદલી શકતું નથી. માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર જ ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા બદલી શકે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને $V$ પોટેન્શિયલ તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુત ક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિ ઉર્જા જેટલું હોય છે.
કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મેળવેલી ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $eV = \frac{1}{2}mv^2$ મળે છે.
વેગ $v$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $v^2 = \frac{2eV}{m}$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ વેગ $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ થશે.

(C) તેલના ટીપાંને સંતુલિત કરવા માટે,તેના પર લાગતું વિદ્યુત બળ તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
$qE = mg$
આપેલ છે:
દળ $m = 16 \times 10^{-6} \ kg$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 10^6 \ V/m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$
વિદ્યુતભાર $q$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$q = \frac{mg}{E}$
કિંમતો મૂકતા:
$q = \frac{16 \times 10^{-6} \times 10}{10^6}$
$q = \frac{16 \times 10^{-5}}{10^6}$
$q = 16 \times 10^{-11} \ C$

(A) સ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ દ્વારા પ્રવેગિત થતાં વિદ્યુતભારિત કણની ગતિ ઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = qV$ છે.
અહીં,ઈલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $q = e = 1.602 \times 10^{-19} \ C$ છે અને સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 100 \ V$ છે.
તેથી,$K = 100 \ eV$.
આને જૂલમાં ફેરવતા: $K = 100 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J = 1.602 \times 10^{-17} \ J$.

(D) શરૂઆતમાં,$q$ કણ $Q$ થી અનંત અંતરે છે,તેથી પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $P.E._i = 0$ છે.
કિસ્સો $1$: પ્રારંભિક વેગ $v$ છે અને લઘુત્તમ અંતર $r$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા: $P.E._i + K.E._i = P.E._f + K.E._f$
$0 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{kQq}{r} + 0$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{kQq}{r} \quad \dots (1)$
કિસ્સો $2$: પ્રારંભિક વેગ $2v$ છે અને ધારો કે નવું લઘુત્તમ અંતર $r'$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા: $P.E._i + K.E._i = P.E._f + K.E._f$
$0 + \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{kQq}{r'} + 0$
$\frac{1}{2}m(4v^2) = \frac{kQq}{r'} \quad \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{1}{2}m(4v^2)} = \frac{\frac{kQq}{r}}{\frac{kQq}{r'}}$
$\frac{1}{4} = \frac{r'}{r}$
$r' = \frac{r}{4}$

(C) ઈલેક્ટ્રોન ઋણ વિદ્યુતભાર $(q = -e)$ ધરાવે છે.
જ્યારે તે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓને સમાંતર વેગ $\vec{v}$ સાથે દાખલ થાય છે,ત્યારે તેના પર લાગતું વિદ્યુત બળ $\vec{F} = q\vec{E} = -e\vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળ વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓની વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તે ઈલેક્ટ્રોનના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
આ બળ ઈલેક્ટ્રોનની ગતિમાં પ્રતિપ્રવેગ (મંદન) ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,જેમ ઈલેક્ટ્રોન ક્ષેત્રમાં આગળ વધશે તેમ તેનો વેગ ઘટશે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા ઈલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,જ્યાં $m$ એ ઈલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
બંનેને સરખાવતા,$ma = eE$,જેનો અર્થ થાય છે $a = \frac{eE}{m}$.
આપેલ છે: $E = 9.1 \times 10^6 \ N/C$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times (9.1 \times 10^6)}{9.1 \times 10^{-31}}$.
$a = 1.6 \times 10^{-19+6+31} = 1.6 \times 10^{18} \ m/s^2$.

(B) પાણીના ટીપાને હવામાં અધ્ધર રાખવા માટે,વિદ્યુતબળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સમાન હોવા જોઈએ.
$F_e = mg$
$eE = mg$
$E = \frac{mg}{e}$
અહીં,$m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$.
આપેલ છે: $r = 10^{-5} \, cm = 10^{-7} \, m$,$\rho = 1000 \, kg/m^3$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$g = 10 \, m/s^2$.
$m = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (10^{-7})^3 \times 1000 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 10^{-18} \, kg$.
$E = \frac{\frac{4}{3} \times 3.14 \times 10^{-18} \times 10}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 261.6 \, N/C$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $260 \, N/C$ છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ઈલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F_e = eE$ છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$m_e a_e = eE$,તેથી $a_e = \frac{eE}{m_e}$.
તે જ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં પ્રોટોન પર લાગતું બળ $F_p = eE$ છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$m_p a_p = eE$,તેથી $a_p = \frac{eE}{m_p}$.
ઈલેક્ટ્રોનના પ્રવેગ અને પ્રોટોનના પ્રવેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{a_e}{a_p} = \frac{eE/m_e}{eE/m_p} = \frac{m_p}{m_e}$.

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં તેની ગતિની દિશાને લંબરૂપે દાખલ થાય છે,ત્યારે તે $F = qE$ જેટલું બળ અનુભવે છે,જેના પરિણામે $a = \frac{qE}{m}$ જેટલો પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે.
ધારો કે કણ $v$ વેગ સાથે દાખલ થાય છે અને $x$ જેટલું આડું અંતર કાપે છે,તો લાગતો સમય $t = \frac{x}{v}$ છે.
શિરોલંબ વિચલન $y$ એ $y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{x}{v} \right)^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $y \propto \frac{q}{m}$ હોવાથી,જે કણનું શિરોલંબ વિચલન સૌથી વધુ હોય તેનો વિદ્યુતભાર અને દળનો ગુણોત્તર સૌથી વધુ હોય.
આકૃતિમાં,કણ $(3)$ સૌથી વધુ વિચલન દર્શાવે છે,તેથી કણ $(3)$ પાસે વિદ્યુતભાર અને દળનો ગુણોત્તર સૌથી વધુ છે.

(A) ઈલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્રને લંબ રૂપે દાખલ થાય છે. સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ બળ ન હોવાથી સમક્ષિતિજ વેગ $u$ અચળ રહે છે.
$x$ જેટલું સમક્ષિતિજ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{x}{u}$ છે.
ઈલેક્ટ્રોન પર લાગતું વિદ્યુતબળ $F = qE$ છે,તેથી ઉર્ધ્વ પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ થાય.
ઉર્ધ્વ વિચલન $y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{x}{u} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે: $E = 3200 \ V/m$,$x = 0.10 \ m$,$u = 4 \times 10^7 \ m/s$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$.
કિંમતો મૂકતા:
$y = \frac{1}{2} \times \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 3200}{9.1 \times 10^{-31}} \times \frac{(0.1)^2}{(4 \times 10^7)^2}$
$y \approx 1.76 \ mm$.