Motion of Charge particle in Electric filed Questions in Gujarati

(B) કણ સંતુલનમાં રહે તે માટે,વિદ્યુત બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$QE = Mg$
અહીં $Q = Ne$ (જ્યાં $N$ એ પૂર્ણાંક છે) અને $E = V/d$ હોવાથી:
$(Ne) \left( \frac{V}{d} \right) = Mg$
$N = \frac{Mgd}{eV}$
આપેલ છે કે $M = 1.96 \times 10^{-15} \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,$d = 0.02 \, m$,$V = 800 \, V$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$:
$N = \frac{(1.96 \times 10^{-15}) \times 10 \times 0.02}{(1.6 \times 10^{-19}) \times 800}$
$N = \frac{3.92 \times 10^{-16}}{1.28 \times 10^{-16}} = 3$
તેથી,કણ પરનો વિદ્યુતભાર $Q = 3e$ છે.

(D) ધારો કે કણનું દળ $m$ છે અને વિદ્યુતભાર $q$ છે.
પ્રારંભિક સંતુલન સ્થિતિમાં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ વિદ્યુત બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $mg = qE$.
જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળની દિશામાં (નીચેની તરફ) લાગે છે.
કણ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = mg + qE$ થાય છે.
ચૂકી $qE = mg$ છે,તેથી $F_{net} = mg + mg = 2mg$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F_{net} = ma$,આપણને $ma = 2mg$ મળે છે.
તેથી,કણનો પ્રવેગ $a = 2g$ થાય છે.

(D) વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ હેઠળ પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણનું વેગમાન $p = \sqrt{2mK}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $K$ એ ગતિ ઉર્જા છે.
$K = qV$ હોવાથી, $p = \sqrt{2mqV}$ મળે.
આપેલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ માટે, વેગમાન $p \propto \sqrt{mq}$ થાય.
તેથી, ઇલેક્ટ્રોન $(e)$ અને $\alpha$-કણ $(\alpha)$ ના વેગમાનનો ગુણોત્તર:
$\frac{p_e}{p_\alpha} = \sqrt{\frac{m_e q_e}{m_\alpha q_\alpha}}$.
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $q_e = e$ અને $\alpha$-કણનો વિદ્યુતભાર $q_\alpha = 2e$ હોવાથી, કિંમતો મૂકતા:
$\frac{p_e}{p_\alpha} = \sqrt{\frac{m_e \cdot e}{m_\alpha \cdot 2e}} = \sqrt{\frac{m_e}{2m_\alpha}}$.

(B) પાણીનું ટીપું સંતુલનમાં રહે તે માટે,વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$|qE| = mg$
આપેલ છે: $m = 10^{-6} \ kg$,$q = -10^{-6} \ C$,$g = 10 \ m/s^2$.
$|q|E = mg$
$E = \frac{mg}{|q|} = \frac{10^{-6} \times 10}{10^{-6}} = 10 \ V/m$.
વિદ્યુતભાર ઋણ હોવાથી,વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
અધોદિશામાં લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ને સંતુલિત કરવા માટે,વિદ્યુત બળ $F_e$ ઉર્ધ્વદિશામાં લાગવું જોઈએ.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અધોદિશામાં હોવું જોઈએ જેથી $F_e = qE$ ઉર્ધ્વદિશામાં લાગે.

(C) ઈલેક્ટ્રોનને $K = \frac{1}{2}mu^2$ ગતિ ઊર્જા સાથે $\theta = 45^\circ$ ના ખૂણે ઉપરની તરફ દિશા ધરાવતા સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. ઈલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = qE$ નીચેની તરફ છે, તેથી પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ નીચેની તરફ મળે.
ઈલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ માટેનું સૂત્ર પ્રક્ષિપ્ત ગતિ મુજબ: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2a}$ છે.
અહીં $H = d$, $\theta = 45^\circ$, અને $a = \frac{qE}{m}$ મૂકતા:
$d = \frac{u^2 \sin^2 45^\circ}{2(qE/m)}$
$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી, $\sin^2 45^\circ = \frac{1}{2}$ થાય.
$d = \frac{u^2 (1/2)}{2qE/m} = \frac{mu^2}{4qE}$
$K = \frac{1}{2}mu^2$ હોવાથી, $mu^2 = 2K$ લખી શકાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$d = \frac{2K}{4qE} = \frac{K}{2qE}$
તેથી, $E = \frac{K}{2qd}$.
ઈલેક્ટ્રોન ઉપરની પ્લેટને અથડાય તે માટે, વિદ્યુતક્ષેત્ર એવું હોવું જોઈએ કે જેથી મહત્તમ ઊંચાઈ ઓછામાં ઓછી $d$ મળે. આમ, $E$ નું મૂલ્ય $\frac{K}{2qd}$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,વિદ્યુત બળ દ્વારા કણ પર થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
થયેલું કાર્ય $W = F \times d$,જ્યાં $d$ એ સ્થાનાંતર છે.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતો હોવાથી,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0$ છે.
તેથી,અંતિમ ગતિઊર્જા $K = W = F \times y = qEy$ થાય.

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 10^3 \, V/m$ ($y$-અક્ષ પર),દળ $m = 1 \, g = 10^{-3} \, kg$,વિદ્યુતભાર $q = 10^{-6} \, C$,પ્રારંભિક વેગ $u_x = 10 \, m/s$,$u_y = 0$,સમય $t = 10 \, s$.
$y$-દિશામાં પ્રવેગ $a_y = \frac{qE}{m} = \frac{10^{-6} \times 10^3}{10^{-3}} = 1 \, m/s^2$ મળે છે.
$10 \, s$ પછી $y$-દિશામાં વેગ $v_y = u_y + a_y t = 0 + (1)(10) = 10 \, m/s$ થાય છે.
$x$-દિશામાં કોઈ બળ ન હોવાથી તેનો વેગ અચળ રહે છે: $v_x = u_x = 10 \, m/s$.
પરિણામી ઝડપ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \, m/s$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2 \times 10^{-5} \ kg$,વિદ્યુતભાર $q = 4 \times 10^{-3} \ C$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 5 \ V/m$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,સમય $t = 10 \ s$.
કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
કણનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{4 \times 10^{-3} \times 5}{2 \times 10^{-5}} = \frac{20 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-5}} = 10 \times 10^2 = 10^3 \ m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$:
$v = 0 + (10^3 \ m/s^2)(10 \ s) = 10^4 \ m/s$.
$10 \ s$ પછીની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા મળે છે.
$K = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-5} \ kg) \times (10^4 \ m/s)^2$.
$K = 10^{-5} \times 10^8 = 10^3 \ J$.

(A) ઈલેક્ટ્રોન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
કાર્ય $W = q \Delta V = e(V_2 - V_1)$.
આપેલ છે કે $V_2 - V_1 = 20\ V$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19}\ C$.
તેથી,$W = 1.6 \times 10^{-19} \times 20 = 3.2 \times 10^{-18}\ J$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$W = \Delta K = \frac{1}{2} m_0 v^2 - 0$.
$3.2 \times 10^{-18} = \frac{1}{2} \times 9.11 \times 10^{-31} \times v^2$.
$v^2 = \frac{2 \times 3.2 \times 10^{-18}}{9.11 \times 10^{-31}} = \frac{6.4}{9.11} \times 10^{13} \approx 0.7025 \times 10^{13} = 7.025 \times 10^{12}$.
$v = \sqrt{7.025 \times 10^{12}} \approx 2.65 \times 10^{6}\ m/s$.

(C) સ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ગતિ ઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = qV$ છે.
અહીં,પ્રોટોનનો વિદ્યુતભાર $(q)$ એ પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર $(e)$ જેટલો છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ $1 \ kV$ આપેલ છે.
તેથી,ગતિ ઊર્જા $K = e \times 1 \ kV = 1 \ keV$ થાય.
કણનું દળ આપેલ સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ગતિ ઊર્જાને અસર કરતું નથી; તે ફક્ત કણના અંતિમ વેગને અસર કરે છે.
આમ,ગતિ ઊર્જા $1 \ keV$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $q$ વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે થતું કાર્ય $W = -q \vec{E} \cdot \vec{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{d}$ એ સ્થાનાંતર સદિશ છે.
$A$ ના યામ $(a, b, 0)$ છે અને $D$ ના યામ $(0, 0, 0)$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{D} - \vec{A} = (0 - a)\hat{i} + (0 - b)\hat{j} + (0 - 0)\hat{k} = -a\hat{i} - b\hat{j}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E\hat{i}$ છે.
થતું કાર્ય $W = -q \vec{E} \cdot \vec{d} = -q (E\hat{i}) \cdot (-a\hat{i} - b\hat{j}) = -qE(-a) = qEa$.
પરંતુ,વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતું કાર્ય $W_{field} = -qEa$ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $-qEa$ છે.

(A) સિક્કો સમતોલનમાં રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુતબળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_e = F_g$
$QE = mg$
$E = \frac{mg}{Q}$
આપેલ છે: $m = 10^{-6} \ kg$,$Q = 10^{-6} \ C$,$g = 10 \ m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{10^{-6} \times 10}{10^{-6}}$
$E = 10 \ V/m$
આમ,જરૂરી વિદ્યુતક્ષેત્ર $10 \ V/m$ છે.

(B) આપેલ છે:
દળ $m = 8 \ \mu g = 8 \times 10^{-9} \ kg$
વિદ્યુતભાર $q = 39.2 \times 10^{-10} \ C$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 20 \times 10^3 \ V/m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$
સંતુલન સ્થિતિમાં,ગોળા પર લાગતા બળો સંતુલિત થાય છે:
સમક્ષિતિજ બળ: $T \sin \theta = qE$
શિરોલંબ બળ: $T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \theta = \frac{qE}{mg}$
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{(39.2 \times 10^{-10}) \times (20 \times 10^3)}{(8 \times 10^{-9}) \times 9.8}$
$\tan \theta = \frac{784 \times 10^{-7}}{78.4 \times 10^{-9}} = \frac{784 \times 10^{-7}}{7.84 \times 10^{-7}} = 1$
$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$

(B) આપેલ છે: દળ $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 1 \times 10^6 \ V/m$,અંતિમ વેગ $v = \frac{c}{10} = \frac{3 \times 10^8}{10} = 3 \times 10^7 \ m/s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અને વિદ્યુત બળની વ્યાખ્યા મુજબ: $F = qE = ma$.
પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m} = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times (1 \times 10^6)}{9.1 \times 10^{-31}} = \frac{1.6}{9.1} \times 10^{18} \ m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$:
$v = at \implies t = \frac{v}{a} = \frac{3 \times 10^7}{\frac{1.6}{9.1} \times 10^{18}} = \frac{3 \times 9.1}{1.6} \times 10^{-11} \ s$.
$t = 17.0625 \times 10^{-11} \ s \approx 1.7 \times 10^{-10} \ s$.

(C) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતા ઈલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $K.E. = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને ગતિઊર્જાના સૂત્ર સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2} m v^2 = eV$.
વેગ $v$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$v = \sqrt{2 \left( \frac{e}{m} \right) V}$ મળે છે.
આપેલ છે: $\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11} \ C \ kg^{-1}$ અને $V = 9 \ V$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{2 \times (1.8 \times 10^{11}) \times 9}$.
$v = \sqrt{32.4 \times 10^{11}} = \sqrt{3.24 \times 10^{12}}$.
$v = 1.8 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$.

(A) અચળ વિદ્યુત બળ હેઠળ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા કણ માટે ગતિનું સમીકરણ $h = \frac{1}{2} a t^2$ છે,જ્યાં $a = \frac{qE}{m}$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $h = \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m} \right) t^2$ મળે છે.
તેથી,પડવા માટેનો સમય $t = \sqrt{\frac{2hm}{eE}}$ થાય છે.
અહીં $h$,$e$,અને $E$ બંને કણો માટે અચળ હોવાથી,$t \propto \sqrt{m}$ થાય છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m_e \approx 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg})$ પ્રોટોનના દળ $(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg})$ કરતા ઘણું ઓછું હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોનને લાગતો સમય પ્રોટોનને લાગતા સમય કરતા ઓછો હશે.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને વિદ્યુતભારિત કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $d$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $d = \frac{1}{2} a t^2$.
બળ $F = qE$ અને $F = ma$ હોવાથી,પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ થાય છે.
આ કિંમત અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા: $d = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) t^2$.
સમય $t$ માટે ઉકેલતા: $t = \sqrt{\frac{2dm}{qE}}$.
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને માટે વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $q$ સમાન $(e)$ છે,અને અંતર $d$ તથા ક્ષેત્ર $E$ અચળ હોવાથી,$t \propto \sqrt{m}$ મળે છે.
પ્રોટોનનું દળ $(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \ kg)$ એ ઇલેક્ટ્રોનના દળ $(m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg)$ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી,પ્રોટોન દ્વારા લેવામાં આવતો સમય ઇલેક્ટ્રોન કરતા વધારે હશે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની દિશા હંમેશા ઉચ્ચ સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ હોય છે. અહીં,ડાબી પ્લેટનું સ્થિતિમાન $-200\, V$ છે અને જમણી પ્લેટનું સ્થિતિમાન $-400\, V$ છે. કારણ કે $-200\, V > -400\, V$,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાબી પ્લેટથી જમણી પ્લેટ તરફ (જમણી દિશામાં) હશે.
ઇલેક્ટ્રોન એ ઋણ વીજભારિત કણ હોવાથી,તે વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = qE$ અનુભવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર જમણી દિશામાં હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ ડાબી દિશામાં હશે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન બળની દિશામાં પ્રવેગિત થશે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન ડાબી તરફ પ્રવેગિત થશે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W_e + W_g = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0$
સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગતા સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય:
$W_e = F_e \cdot d_x = (qE)(l \sin \theta) = q(\frac{mg}{q})l \sin \theta = mgl \sin \theta$
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય:
$W_g = mg \cdot d_y = mg(l - l \cos \theta)$
આ કિંમતોને કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયમાં મૂકતા:
$mgl \sin \theta + mgl(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2$
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$mgl(\frac{1}{\sqrt{2}}) + mgl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2}mv^2$
$mgl(\frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2}mv^2$
$mgl = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gl$
$v = \omega l$ હોવાથી:
$(\omega l)^2 = 2gl$
$\omega^2 l^2 = 2gl$
$\omega = \sqrt{\frac{2g}{l}}$

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખા કોઈપણ બિંદુએ ધન વીજભાર પર લાગતા વિદ્યુત બળની દિશા દર્શાવે છે.
જો વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખા સીધી રેખા હોય,તો કણ પર લાગતું બળ હંમેશા ગતિની દિશામાં હોય છે,જેના કારણે કણ ક્ષેત્ર રેખા પર ગતિ કરે છે.
જો વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખા વક્ર હોય,તો બળ દરેક બિંદુએ વક્રને સ્પર્શક હોય છે. જો કે,કણનો વેગ સદિશ હંમેશા વક્ર ક્ષેત્ર રેખાના સ્પર્શક સાથે સંરેખિત હોવો જરૂરી નથી,સિવાય કે પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોય અથવા ખાસ રીતે નિર્દેશિત હોય.
તેથી,વીજભારિત કણ બળ રેખાની દિશામાં ગતિ કરી શકે છે,પરંતુ તે દરેક કિસ્સામાં આવું કરવું જરૂરી નથી.

(A) આપેલ છે: વિદ્યુતભાર $q = 1 \times 10^{-6} \ C$,દળ $m = 10^{-3} \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 4 \ m/s$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 300 \ V/m$,સમય $t = 10 \ s$.
પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m} = \frac{(1 \times 10^{-6})(300)}{10^{-3}} = 0.3 \ m/s^2$.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta v = at = 0.3 \times 10 = 3 \ m/s$.
પ્રારંભિક વેગની સાપેક્ષમાં વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશાના આધારે અંતિમ વેગ $v$ એ $u - \Delta v$ થી $u + \Delta v$ ની વચ્ચે હોઈ શકે.
આમ,$v$ ની રેન્જ $4 - 3 = 1 \ m/s$ થી $4 + 3 = 7 \ m/s$ સુધીની છે.
અંતિમ ઝડપ $1 \ m/s$ અને $7 \ m/s$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ,તેથી $0.5 \ m/s$ આ રેન્જની બહાર છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K$
$e V = \frac{1}{2} m_e v^2 - 0$
અહીં,$V = 20\ V$,$e = 1.6 \times 10^{-19}\ C$,અને $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\ kg$ છે.
$v = \sqrt{\frac{2 e V}{m_e}}$
$v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 20}{9.11 \times 10^{-31}}}$
$v = \sqrt{\frac{64 \times 10^{-19}}{9.11 \times 10^{-31}}}$
$v = \sqrt{7.025 \times 10^{12}}$
$v \approx 2.65 \times 10^6 \ m/s$

(A) તેલનું ટીપું સંતુલનમાં લટકતું હોવાથી,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપરની તરફ લાગતા વિદ્યુત બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$F_{e} = F_{g}$
$qE = mg$
$q = \frac{mg}{E}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$q = \frac{9.9 \times 10^{-15} \times 10}{3 \times 10^{4}}$
$q = \frac{9.9 \times 10^{-14}}{3 \times 10^{4}}$
$q = 3.3 \times 10^{-18} \; C$
આમ,ટીપાં પરનો ચાર્જ $3.3 \times 10^{-18} \; C$ છે.

(A) પ્રોટોનનો વીજભાર $+e$ અને દળ $m_p$ છે. ધન $y$ દિશામાં તેનો પ્રવેગ $a_p = eE/m_p$ છે. $t$ સમયે તેનું સ્થાન $y_p(t) = \frac{1}{2} a_p t^2 = \frac{eE}{2m_p} t^2$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $-e$ અને દળ $m_e$ છે. તે $y = h$ થી શરૂ થાય છે. ઋણ વીજભાર હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ તેને ઋણ $y$ દિશામાં બળ લગાડે છે. તેનો પ્રવેગ $a_e = eE/m_e$ નીચેની તરફ છે. $t$ સમયે તેનું સ્થાન $y_e(t) = h - \frac{1}{2} a_e t^2 = h - \frac{eE}{2m_e} t^2$ છે.
$y_p(t) = y_e(t)$ લેતા:
$\frac{eE}{2m_p} t^2 = h - \frac{eE}{2m_e} t^2$
$\frac{eE}{2} t^2 (\frac{1}{m_p} + \frac{1}{m_e}) = h$
આપણે તે $y$ યામ $y_p$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યાં તેઓ મળે છે:
$y_p = \frac{eE}{2m_p} t^2$
ઉપરના સમીકરણ પરથી,$\frac{eE}{2} t^2 = \frac{h}{(\frac{1}{m_p} + \frac{1}{m_e})} = \frac{h m_p m_e}{m_p + m_e}$.
આ કિંમત $y_p$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y_p = \frac{1}{m_p} \cdot \frac{h m_p m_e}{m_p + m_e} = h \frac{m_e}{m_p + m_e}$.
આપેલ છે કે $m_p \approx 1836 m_e$,તેથી:
$y_p = h \frac{m_e}{1836 m_e + m_e} = h \frac{1}{1837} \approx h/1837$.
$1837$ એ $2000$ ની નજીક હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પ્રોટોન નીચેની તરફ દિશામાન સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ગતિ કરી રહ્યો છે. પ્રોટોન પર લાગતું બળ $F = qE$ નીચેની તરફ છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ એ વિદ્યુત બળ $qE$ ની સરખામણીમાં નગણ્ય હોવાથી,અસરકારક પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ નીચેની તરફ છે.
પ્રારંભિક વેગના ઘટકો $u_x = u \cos \theta$ અને $u_y = u \sin \theta$ છે.
આ ગતિ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ જેવી જ છે જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ ને બદલે $a = \frac{qE}{m}$ લેવામાં આવે છે.
ઉડ્ડયન સમય $T$ નીચે મુજબ મળે છે:
$T = \frac{2 u_y}{a} = \frac{2 u \sin \theta}{\left(\frac{q E}{m}\right)}$
આપેલ છે:
$u = 150 \, m/s$,$\theta = 60^\circ$,$E = 2 \times 10^{-4} \, N/C$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$.
$T = \frac{2 \times 150 \times \sin(60^\circ) \times 1.67 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-4}}$
$T = \frac{300 \times 0.866 \times 1.67 \times 10^{-27}}{3.2 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{433.938 \times 10^{-27}}{3.2 \times 10^{-23}} \approx 135.6 \times 10^{-4} \, s = 1.356 \times 10^{-2} \, s$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $1.35 \times 10^{-2} \, s$ છે.

(C) કણનો પ્રારંભિક વેગ $yz$-સમતલમાં $y$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે $v_0$ છે. વેગના ઘટકો $v_y = v_0 \cos \theta$ અને $v_z = v_0 \sin \theta$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $y$-અક્ષની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે લાગતું બળ $F_E = qE$ છે,જે $y$-અક્ષની દિશામાં વેગના ઘટકને ઘટાડે છે.
કણની ઝડપ $v = \sqrt{v_y(t)^2 + v_z(t)^2}$ છે. જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં વેગનો ઘટક શૂન્ય થાય ત્યારે ઝડપ ન્યૂનતમ હોય છે.
ગતિના સમીકરણ $v_y(t) = v_y(0) - \frac{qE}{m}t$ નો ઉપયોગ કરીને,સમય $t$ શોધવા માટે $v_y(t) = 0$ લેતા:
$0 = v_0 \cos \theta - \frac{qE}{m}t$
$t = \frac{mv_0 \cos \theta}{qE}$.

(D) ટીપું સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુત બળ નીચેની તરફ લાગતા ચોખ્ખા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન - ઉત્પ્લાવક બળ) ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$qE = V(\rho_{Hg} - \rho_{air})g$
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ હોવાથી:
$qE = \frac{4}{3}\pi r^3(\rho_{Hg} - \rho_{air})g$
$r^3 = \frac{3qE}{4\pi(\rho_{Hg} - \rho_{air})g}$
કિંમતો મૂકતા: $q = 8 \times 10^{-18} \ C$,$E = 6 \times 10^4 \ Vm^{-1}$,$\rho_{Hg} = 13.6 \times 10^3 \ kg/m^3$,$\rho_{air} \approx 1.29 \ kg/m^3$,$g = 9.8 \ m/s^2$.
$r^3 = \frac{3 \times 8 \times 10^{-18} \times 6 \times 10^4}{4 \times 3.14 \times (13600 - 1.29) \times 9.8}$
$r^3 \approx 0.86 \times 10^{-18} \ m^3$
$r \approx 0.95 \times 10^{-6} \ m$.

(C) ગોળા પર બે બળો લાગે છે: શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $w = mg$ અને સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગતું વિદ્યુત બળ $F_e = qE = q(V/d)$.
જ્યારે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિણામી પ્રવેગ $BC$ ની દિશામાં હોય છે,જે શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બળોની ભૂમિતિ પરથી,આપણને મળે છે:
$\tan 45^{\circ} = \frac{F_e}{w}$
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી:
$1 = \frac{q(V/d)}{w}$
$q$ (જે પ્રશ્નમાં $Q$ છે) ને કર્તા બનાવતા:
$Q = \frac{wd}{V}$

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ કુલ વીજભાર ધરાવતા સમાન રીતે વીજભારિત ગોળાની અંદર,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{Qr}{4\pi \epsilon_0 R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વીજભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE = \frac{qQr}{4\pi \epsilon_0 R^3}$ છે.
$q$ અને $Q$ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી,બળ કેન્દ્ર તરફ આકર્ષી પ્રકારનું છે,$F = -\frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 R^3} r$.
આ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ નું સમીકરણ છે જ્યાં $F = -m\omega^2 r$.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $m\omega^2 = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 R^3}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 m R^3}}$.
કણ કેન્દ્રથી શરૂઆત કરે છે અને સીમા સુધી પહોંચે છે,જે $SHM$ ના આવર્તકાળ $T$ ના ચોથા ભાગ જેટલો સમય છે.
$t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4} \left( \frac{2\pi}{\omega} \right) = \frac{\pi}{2\omega}$.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $t = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{4\pi \epsilon_0 m R^3}{qQ}}$ મળે છે.

(C) $1$. સ્થિર વિદ્યુતભાર $Q$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$m v_0 r_0 = m v (r_0 / 2)$
$v = 2 v_0$
$2$. અનંત અંતરથી નજીકતમ અંતર સુધી ઉર્જાનું સંરક્ષણ:
$\frac{1}{2} m v_0^2 + 0 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q q}{r_0 / 2}$
$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m (2 v_0)^2 + \frac{2 Q q}{4\pi \epsilon_0 r_0}$
$\frac{1}{2} m v_0^2 = 2 m v_0^2 + \frac{2 Q q}{4\pi \epsilon_0 r_0}$
$-\frac{3}{2} m v_0^2 = \frac{2 Q q}{4\pi \epsilon_0 r_0}$
$3$. આપેલ કિંમત $m v_0^2 = \frac{Q^2}{4\pi \epsilon_0 r_0}$ મૂકતા:
$-\frac{3}{2} \left( \frac{Q^2}{4\pi \epsilon_0 r_0} \right) = \frac{2 Q q}{4\pi \epsilon_0 r_0}$
$-\frac{3}{2} Q^2 = 2 Q q$
$q = -\frac{3Q}{4}$

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળાની અંદર,કેન્દ્રથી $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qx}{R^3} \hat{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ પર લાગતું બળ $\vec{F} = q\vec{E} = \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 R^3} x \hat{x}$ છે.
$q$ અને $Q$ વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતા હોવાથી,બળ કેન્દ્ર તરફ લાગે છે,$\vec{F} = -(\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 R^3}) x \hat{x}$.
આ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટેની શરત છે,જ્યાં $F = -k_{eff}x$ અને $k_{eff} = \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 R^3}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}} = \sqrt{\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 m R^3}}$ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{4\pi\epsilon_0 m R^3}{qQ}}$ છે.
કણ કેન્દ્ર (મધ્યમાન સ્થાન) થી શરૂ થાય છે અને સીમા (અંતિમ સ્થાન) સુધી પહોંચે છે. આ માટે લાગતો સમય $t = \frac{T}{4} = \frac{2\pi}{4} \sqrt{\frac{4\pi\epsilon_0 m R^3}{qQ}} = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{4\pi\epsilon_0 m R^3}{qQ}}$ છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોન પ્લેટોને લંબ રૂપે વિદ્યુતક્ષેત્રમાં પ્રવેશ કરે છે. તેને $90^{\circ}$ પર વાળવા માટે,વિદ્યુતક્ષેત્રે એવું બળ લગાડવું જોઈએ કે જે પરવલયાકાર ગતિપથ બનાવે જેથી ક્ષેત્રની દિશામાં સ્થાનાંતર $d$ હોય અને પ્રારંભિક વેગની દિશામાં $R = 1.0 \ cm = 0.01 \ m$ હોય.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. $R$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = R/u$ છે.
આ સમયમાં,વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં સ્થાનાંતર $d = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} (\frac{qE}{m}) (\frac{R}{u})^2$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન $90^{\circ}$ પર બહાર નીકળે તે માટે,પથ એવો હોવો જોઈએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર તેને $d$ જેટલું વિચલિત કરે જ્યારે તે $R$ અંતર કાપે. ભૂમિતિ મુજબ,જરૂરી અસરકારક વિચલન $d = R = 0.01 \ m$ છે.
આમ,$R = \frac{1}{2} (\frac{qE}{m}) (\frac{R^2}{u^2}) \implies E = \frac{2 m u^2}{q R^2} = \frac{4 (KE)}{q R^2}$.
અહીં $KE = 8.0 \times 10^{-17} \ J$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $R = 0.01 \ m$ આપેલ છે:
$E = \frac{2(KE)}{qR} = \frac{2 \times 8.0 \times 10^{-17}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.01} = \frac{16 \times 10^{-17}}{1.6 \times 10^{-21}} = 10 \times 10^5 \ N/C$.
આમ,$y = 10$.

(B) પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\phi}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE = \frac{e\phi}{d}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{e\phi}{md}$ છે.
$l$ લંબાઈની પ્લેટોને પાર કરવા માટે ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા લેવાયેલ સમય $t = \frac{l}{v_0}$ છે.
ઊભું વિચલન $\Delta y$ એ $\Delta y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{e\phi}{md} \right) \left( \frac{l}{v_0} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો: $\phi = 400\ V$,$d = 2\ cm = 0.02\ m$,$l^2 = 100\ cm^2 \implies l = 10\ cm = 0.1\ m$,$v_0 = 10^8\ m/s$,$e = 1.6 \times 10^{-19}\ C$,$m = 9.1 \times 10^{-31}\ kg$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta y = \frac{1}{2} \times \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 400}{9.1 \times 10^{-31} \times 0.02} \times \left( \frac{0.1}{10^8} \right)^2$
$\Delta y = \frac{1}{2} \times \frac{6.4 \times 10^{-17}}{1.82 \times 10^{-32}} \times 10^{-18} = \frac{6.4 \times 10^{-35}}{3.64 \times 10^{-32}} \approx 1.76 \times 10^{-3}\ m = 1.76\ mm$.

(C) ગોળા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ $F_g = mg = 0.5 \times 10 = 5 \, N$ (નીચેની તરફ) અને વિદ્યુત બળ $F_e = qE = 110 \times 10^{-6} \times 10^5 = 11 \, N$ (ઉપરની તરફ) છે.
ગોળા પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_e - F_g = 11 - 5 = 6 \, N$ (ઉપરની તરફ) છે.
ગોળા માટે શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે,સૌથી ઉપરના બિંદુએ તણાવ $T$ ઓછામાં ઓછું $0$ હોવું જોઈએ. સૌથી ઉપરના બિંદુએ ગતિનું સમીકરણ $F_{net} - T = \frac{mv^2}{r}$ છે.
$T = 0$ લેતા,આપણને $F_{net} = \frac{mv^2}{r}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $6 = \frac{0.5 \times v^2}{0.6}$.
$6 = \frac{v^2}{1.2} \implies v^2 = 7.2$ (અહીં ગણતરી મુજબ $v = 6 \, m/s$ મળે છે).

(B) શાહીનું ટીપું પ્લેટો વચ્ચેના વિસ્તારમાં $v$ જેટલા સમક્ષિતિજ વેગ સાથે પ્રવેશે છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચેની દિશામાં છે. ટીપાં પર $q$ જેટલો ઋણ વીજભાર હોવાથી,તે ઉપરની દિશામાં $F = qE$ જેટલું વિદ્યુત બળ અનુભવે છે.
ટીપાંનો શિરોલંબ દિશામાં પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ છે.
પ્લેટોની $L$ લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{v}$ છે.
ટીપું ઉપરની પ્લેટ સાથે અથડાય નહીં તે માટે,શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y$ એ પ્લેટો વચ્ચેના અંતરના અડધા ભાગ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ,એટલે કે $y \le \frac{d}{2}$.
ગતિના સમીકરણ $y = \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{L}{v} \right)^2$
$q$ માટે ઉકેલતા:
$d = \frac{qE L^2}{m v^2}$
$q = \frac{m v^2 d}{E L^2}$
આમ,મહત્તમ વીજભાર $\frac{m v^2 d}{E L^2}$ છે.

(D) જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ચાલુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોક પર વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ લાગે છે (કારણ કે વીજભાર ઋણ છે).
જેમ જેમ બ્લોક ગતિ કરે છે,તેમ સ્પ્રિંગ સંકોચાય છે. મહત્તમ સંકોચન $x$ પર,બ્લોકનો વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,વિદ્યુત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા જેટલું હોય છે:
$W_{electric} = U_{spring}$
$F_e \cdot x = \frac{1}{2} k x^2$
$(qE) x = \frac{1}{2} k x^2$
$x$ માટે ઉકેલતા (જ્યાં $x \neq 0$):
$qE = \frac{1}{2} k x$
$x = \frac{2qE}{k}$

(C) ગોળાનું દળ $m$ અને વિદ્યુતભાર $+q$ છે. નીચેની પ્લેટ ધનભારિત હોવાથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઉપરની દિશામાં છે.
ગોળા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ) અને વિદ્યુત બળ $qE$ (ઉપરની તરફ) છે.
પરિણામી નીચેની તરફનું બળ $F_{net} = mg - qE$ છે.
અસરકારક પ્રવેગ $g'$ એ $g' = \frac{F_{net}}{m} = \frac{mg - qE}{m} = g - \frac{qE}{m}$ દ્વારા મળે છે.
સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ છે.
$g'$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g - (qE/m)}}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 0.5 \, g = 0.5 \times 10^{-3} \, kg$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 500 \, N/C$,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$.
સંતુલન સ્થિતિમાં,દડા પર લાગતા બળો:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ જે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં લાગે છે (દડો ડાબી બાજુ નમેલો હોવાથી,બળ ડાબી બાજુ લાગવું જોઈએ,જે વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશા છે,તેથી વિદ્યુતભાર ઋણ હશે).
$3$. દોરીમાં તણાવ બળ $T$.
બળોના ઘટકો લેતા:
$T \sin \theta = qE$ (સમક્ષિતિજ ઘટક)
$T \cos \theta = mg$ (શિરોલંબ ઘટક)
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta = \frac{qE}{mg}$
$q = \frac{mg \tan \theta}{E} = \frac{0.5 \times 10^{-3} \times 9.8 \times \tan 30^{\circ}}{500}$
$q = \frac{0.5 \times 10^{-3} \times 9.8 \times 0.577}{500} \approx 5.66 \times 10^{-6} \, C = 5.66 \, \mu C$.
દડો વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં નમેલો હોવાથી,વિદ્યુતભાર ઋણ છે. તેથી,$q = - 5.7 \, \mu C$.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = e V$.
ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતું હોવાથી,તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,અંતિમ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2$ થાય.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2} m v^2 = e V$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{2 e V}{m}$.
તેથી,અંતિમ વેગ $v = \sqrt{\frac{2 e V}{m}}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: $m = 1 \, g = 10^{-3} \, kg$, $q = -0.1 \, \mu C = -10^{-7} \, C$, $E = 1 \, kV/cm = 10^5 \, V/m$, $u = 10\sqrt{2} \, m/s$, $\theta = 45^o$, $g = 10 \, m/s^2$.
પ્રારંભિક વેગના ઘટકો: $u_x = u \cos 45^o = 10 \, m/s$, $u_y = u \sin 45^o = 10 \, m/s$.
પ્રવેગના ઘટકો: $a_y = -g = -10 \, m/s^2$. વિદ્યુતભાર ઋણ હોવાથી, વિદ્યુત બળ $F_x = qE$ એ ઋણ $x$-દિશામાં લાગે છે। $a_x = \frac{qE}{m} = \frac{(-10^{-7}) \times 10^5}{10^{-3}} = -10 \, m/s^2$.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u_y}{g} = \frac{2 \times 10}{10} = 2 \, s$. (વિધાન $A$ સાચું છે)।
અવધિ $R = u_x T + \frac{1}{2} a_x T^2 = (10)(2) + \frac{1}{2}(-10)(2^2) = 20 - 20 = 0 \, m$. (વિધાન $B$ ખોટું છે)।
કુલ સ્થાનાંતર $S = \sqrt{x^2 + y^2}$. $x = R = 0$ અને $y = u_y T - \frac{1}{2} g T^2 = 10(2) - 5(4) = 0$ હોવાથી, કુલ સ્થાનાંતર $0 \, m$ છે। (વિધાન $C$ સાચું છે)।
$a_x = a_y = -10 \, m/s^2$ હોવાથી, ગુણોત્તર $\frac{a_y}{a_x} = 1 = \frac{u_y}{u_x}$ થાય છે, તેથી કણ સુરેખ પથ પર ગતિ કરશે। (વિધાન $D$ સાચું છે)।

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકો $E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -3 \, V/m$ અને $E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -4 \, V/m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગના ઘટકો $a_x = \frac{q E_x}{m} = \frac{1 \times 10^{-6} \times (-3)}{0.1} = -3 \times 10^{-5} \, m/s^2$ અને $a_y = \frac{q E_y}{m} = \frac{1 \times 10^{-6} \times (-4)}{0.1} = -4 \times 10^{-5} \, m/s^2$ છે.
જ્યારે કણનો $y$-યામ $0$ થાય ત્યારે તે $x$-અક્ષને ઓળંગે છે. પ્રારંભિક $y$-યામ $y_0 = 3.2 \, m$ છે અને પ્રારંભિક વેગ $u_y = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $y = y_0 + u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = 0$ લેતા:
$0 = 3.2 + 0 - \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-5}) \times t^2$.
$3.2 = 2 \times 10^{-5} \times t^2$.
$t^2 = \frac{3.2}{2 \times 10^{-5}} = 1.6 \times 10^5 = 16 \times 10^4$.
$t = \sqrt{16 \times 10^4} = 400 \, s$.

(D) ધારો કે ધન વિદ્યુતભાર $Q$ એ $x-$ અક્ષ પરના કોઈ સામાન્ય બિંદુ $P(x, 0)$ પર છે. દરેક $-q$ વિદ્યુતભાર અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{a^2 + x^2}$ છે.
દરેક $-q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા $Q$ પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2 + x^2}$ છે.
આ બળોના $x-$ અક્ષને લંબ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે $x-$ અક્ષની દિશાના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
$Q$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = 2F \cos \theta$ છે,જ્યાં $\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $F_{net} = 2 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2 + x^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} \right) = \frac{2 Qqx}{4 \pi \varepsilon_0 (a^2 + x^2)^{3/2}}$ મળે છે.
અહીં બળ $F_{net}$ ઉગમબિંદુ તરફ લાગે છે (પુનઃસ્થાપક બળ) અને તે સ્થાનાંતર $x$ ના સીધા પ્રમાણમાં નથી (છેદમાં $(a^2 + x^2)^{3/2}$ પદ હોવાને કારણે),તેથી ગતિ દોલિત છે પણ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ નથી.

(A) કણ $p$ ઋણ વીજભારિત છે. વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ ડાબી તરફ છે. ઋણ વીજભારિત કણ પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં,એટલે કે જમણી તરફ લાગે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = mg$ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર બંને સમાન અને અચળ હોવાથી,બળો $F_e$ અને $F_g$ મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં અચળ રહે છે.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે. પરિણામી બળ $F_{net} = F_e + F_g$ અચળ છે અને એક નિશ્ચિત દિશામાં (જમણી તરફના આડા બળ અને નીચે તરફના ઊભા બળનો સદિશ સરવાળો) લાગે છે.
પરિણામી બળ અચળ હોવાથી અને પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી,કણ પરિણામી બળ સદિશની દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરશે. આ દિશા નીચે-જમણી તરફ છે.

(D) તેલના ટીપાને સ્થિર રાખવા માટે,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપરની તરફ લાગતા વિદ્યુત બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
ધારો કે $W$ એ ટીપાનું વજન છે અને $E$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d$ અંતરે રહેલી અને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ધરાવતી બે પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ છે.
સંતુલન માટે બળોને સરખાવતા: $W = F_e = qE$.
$E$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $W = q\frac{V}{d}$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભારીત કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે. ન્યૂટનના બીજા નિયમ $F = ma$ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ થાય.
પ્રથમ કણ માટે: $a_1 = \frac{(2q)E}{m} = \frac{2qE}{m}$.
બીજા કણ માટે: $a_2 = \frac{qE}{2m}$.
ધારો કે તેઓ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તો $t$ સમય પછી તેમનો વેગ $v = at$ થશે.
$v_1 = a_1 t = \frac{2qE}{m} t$ અને $v_2 = a_2 t = \frac{qE}{2m} t$.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{\frac{1}{2} m v_1^2}{\frac{1}{2} (2m) v_2^2} = \frac{v_1^2}{2 v_2^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{(\frac{2qEt}{m})^2}{2(\frac{qEt}{2m})^2} = \frac{4(\frac{qEt}{m})^2}{2(\frac{1}{4})(\frac{qEt}{m})^2} = \frac{4}{0.5} = 8$.
આમ,ગુણોત્તર $8 : 1$ છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ અને $E = 2.0 \times 10^4 \, N/C$ છે.
$F = 1.6 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^4 = 3.2 \times 10^{-15} \, N$.
ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m_e} = \frac{3.2 \times 10^{-15}}{9.1 \times 10^{-31}} \, m/s^2$ છે.
અંતર માટે ગતિના સમીકરણ $S = \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $S = 1.5 \, cm = 1.5 \times 10^{-2} \, m$ છે:
$t = \sqrt{\frac{2S}{a}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.5 \times 10^{-2} \times 9.1 \times 10^{-31}}{3.2 \times 10^{-15}}}$.
$t = \sqrt{\frac{3.0 \times 9.1 \times 10^{-43}}{3.2 \times 10^{-15}}} = \sqrt{8.53 \times 10^{-28}} \approx 2.9 \times 10^{-9} \, s$.

(C) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $x$-અક્ષ પર પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે લંબ રૂપે પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે $y$-અક્ષ પર અચળ બળ $F = qE$ અનુભવે છે.
કણનો પ્રવેગ $a_y = \frac{qE}{m}$ છે.
$t$ સમય પર $x$-અક્ષ પરનું સ્થાનાંતર $x = ut$ છે,તેથી $t = \frac{x}{u}$ થાય.
$y$-અક્ષ પરનું સ્થાનાંતર $y = \frac{1}{2} a_y t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{x}{u} \right)^2$ છે.
અહીં $y \propto x^2$ હોવાથી,આ પરવલયનું સમીકરણ છે.

(B) પ્રવાહીના ટીપાને સ્થિર રાખવા માટે,વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $qE = mg$.
અહીં,$q = ne = 6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, C = 9.6 \times 10^{-19} \, C$.
$E = 25.5 \times 10^3 \, Vm^{-1}$.
દળ $m = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
આ કિંમતોને સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા: $qE = \rho \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) g$.
$r^3$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $r^3 = \frac{3qE}{4 \pi \rho g}$.
કિંમતો મૂકતા: $r^3 = \frac{3 \times (9.6 \times 10^{-19}) \times (25.5 \times 10^3)}{4 \times 3.14 \times (1.26 \times 10^3) \times 9.8}$.
$r^3 = \frac{734.4 \times 10^{-16}}{155.13} \approx 4.73 \times 10^{-19} \, m^3$.
$r = \sqrt[3]{473 \times 10^{-21}} \approx 7.8 \times 10^{-7} \, m$.

(D) સંતુલન સ્થિતિમાં,ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે: નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$,આડું લાગતું વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ અને દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T$.
સંતુલન માટે,આડા અને શિરોલંબ બંને દિશામાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$T \sin \theta = qE$
$T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \theta = \frac{qE}{mg}$
આપેલ છે: $m = 2\,g = 2 \times 10^{-3}\,kg$,$q = 5.0\,\mu C = 5 \times 10^{-6}\,C$,$E = 2000\,V/m$,$g = 10\,m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{5 \times 10^{-6} \times 2000}{2 \times 10^{-3} \times 10}$
$\tan \theta = \frac{10 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-3}} = \frac{10}{20} = 0.5$
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(0.5)$.

(D) લોલકના ગોળા પર બે લંબ બળો લાગે છે: નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને આડું લાગતું વિદ્યુત બળ $qE$ છે.
ગોળા દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ અને વિદ્યુત પ્રવેગ $a_e = \frac{qE}{m}$ નો સદિશ સરવાળો છે.
આ બંને પ્રવેગ એકબીજાને લંબ હોવાથી,અસરકારક પ્રવેગનું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$g_{eff} = \sqrt{g^2 + a_e^2} = \sqrt{g^2 + \left(\frac{qE}{m}\right)^2}$
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ છે.
$g_{eff}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2 + \left(\frac{qE}{m}\right)^2}}}$