Motion of Charge particle in Electric filed Questions in Gujarati

(D) કણ $X$-અક્ષ પર અચળ વેગ $u$ થી ગતિ કરે છે, તેથી $x = ut$, જેનો અર્થ છે કે $t = x/u$.
$Y$-અક્ષ પર, કણ પર લાગતું બળ $F = eE$ છે, તેથી પ્રવેગ $a_y = \frac{eE}{m}$ છે.
$Y$-અક્ષ પરનું સ્થાનાંતર $y = \frac{1}{2} a_y t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m} \right) \left( \frac{x}{u} \right)^2 = \left( \frac{eE}{2mu^2} \right) x^2$ છે.
આ $x^2 = 4ay$ સ્વરૂપના પરવલયનું સમીકરણ છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $x^2 = \left( \frac{2mu^2}{eE} \right) y$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 = 4ay$ સાથે સરખાવતા, આપણને $4a = \frac{2mu^2}{eE}$ મળે છે.
તેથી, કેન્દ્રલંબાઈ $a = \frac{2mu^2}{4eE} = \frac{mu^2}{2eE}$ થાય.

(A) આપેલ છે: કણનું દળ $= M$,વિદ્યુતભાર $= q$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $= E$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
પ્રવેગ $a = F/M = qE/M$.
કાપેલું અંતર $S = ut + (1/2)at^2 = (1/2)(qE/M)t^2$.
અંતિમ વેગ $v = u + at = (qE/M)t$.
ગતિઊર્જા $T = (1/2)Mv^2 = (1/2)M(qEt/M)^2 = (1/2)(q^2E^2t^2/M)$.
હવે,ગુણોત્તર $T/S = [(1/2)(q^2E^2t^2/M)] / [(1/2)(qE/M)t^2] = qE$.
અહીં $q$ અને $E$ અચળ હોવાથી,ગુણોત્તર $T/S = qE$ એ સમય $t$ થી સ્વતંત્ર છે અને અચળ રહે છે.

(B) કણને $E$ સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા $D$ અંતર સુધી પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય એ કણ દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $(KE)$ જેટલું હોય છે.
$KE = W = q E D$
નજીકતમ અંતર $(r_0)$ ના બિંદુએ,કણની સંપૂર્ણ ગતિઊર્જા સ્થિર વિદ્યુતભાર $Q$ સાથેની આંતરક્રિયાને કારણે સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
$PE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q Q}{r_0}$
નજીકતમ અંતરના બિંદુએ $KE$ અને $PE$ ને સરખાવતા:
$q E D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q Q}{r_0}$
$r_0$ માટે ઉકેલતા:
$r_0 = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 E D}$

(C) જ્યારે લોલક ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg$ નીચેની તરફ) અને વિદ્યુત બળ ($qE$ સમક્ષિતિજ દિશામાં) ની અસર હેઠળ સંતુલનમાં હોય,ત્યારે ગોળા પર લાગતું પરિણામી બળ આ બે બળોનો સદિશ સરવાળો છે.
આ બળો એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી બળ $F_{net}$ નું મૂલ્ય $F_{net} = \sqrt{(mg)^{2} + (qE)^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ આ પરિણામી બળને સંતુલિત કરે છે જેથી ગોળો સ્થિર રહે.
તેથી,તણાવ $T = \sqrt{(mg)^{2} + (qE)^{2}}$ થાય છે.

(C) વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{qE}{2m}$ મળે છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતા $(u = 0)$,$n$ સેકન્ડ પછીની ઝડપ $v$ એ ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ દ્વારા મેળવી શકાય છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = 0 + (\frac{qE}{2m}) \times n = \frac{qEn}{2m}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $a = \frac{qE}{m}$.
પ્રોટોન માટે,વિદ્યુતભાર $q_p = e$ અને દળ $m_p$ છે. તેથી,$a_p = \frac{eE}{m_p}$.
$\alpha$-કણ માટે,વિદ્યુતભાર $q_\alpha = 2e$ અને દળ $m_\alpha = 4m_p$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$a_\alpha = \frac{2eE}{4m_p} = \frac{1}{2} \frac{eE}{m_p} = \frac{a_p}{2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{a_p}{a_\alpha} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $a_p : a_\alpha = 2 : 1$.

$\text{ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર } (\Delta K) \text{ એ કણ પર લાગતા તમામ બળો દ્વારા થયેલા કુલ કાર્ય જેટલો હોય છે।}$
$\text{ચુંબકીય બળ } \vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) \text{ હંમેશા વેગ } \vec{v} \text{ ને લંબ હોવાથી, તે કણ પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી।}$
$\text{તેથી, કાર્ય ફક્ત વિદ્યુત બળ } \vec{F}_e = q\vec{E} = qE_0 e^{-\lambda x}\hat{i} \text{ દ્વારા થાય છે।}$
$\text{જ્યારે કણ } x = 0 \text{ થી } x = L \text{ સુધી ગતિ કરે ત્યારે થયેલું કાર્ય } W \text{ નીચે મુજબ છે:}$
$W = \int_{0}^{L} F_x \, dx = \int_{0}^{L} q E_0 e^{-\lambda x} \, dx$
$W = q E_0 \left[ \frac{e^{-\lambda x}}{-\lambda} \right]_{0}^{L}$
$W = \frac{q E_0}{-\lambda} (e^{-\lambda L} - e^0) = \frac{q E_0}{\lambda} (1 - e^{-\lambda L})$
$\text{આમ, ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર } \frac{q E_0}{\lambda} (1 - e^{-\lambda L}) \text{ છે।}$

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં $q$ વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે થયેલું કાર્ય $W = q \vec{E} \cdot \vec{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{d}$ એ સ્થાનાંતર સદિશ છે.
અહીં $q = 3 \text{ C}$ આપેલ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$.
$\vec{d} = (5 - 0)\hat{i} + (1 - (-2))\hat{j} + (2 - (-5))\hat{k} = 5\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$.
$\vec{E} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k} \text{ N/C}$ આપેલ છે.
$W = 3 \times (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (5\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k})$.
$W = 3 \times [(2 \times 5) + (3 \times 3) + (4 \times 7)]$.
$W = 3 \times [10 + 9 + 28] = 3 \times 47 = 141 \text{ J}$.