Mix Examples-Electric Charges and Fields Questions in Hindi

(B) $1$. चालक गोले के अंदर उसकी सतहों पर मौजूद आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। केंद्र पर स्थित आवेश $q_A$ गोले के अंदर है। गोले के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र शून्य है,इसलिए $q_A$ पर लगने वाला बल शून्य है।
$2$. $c (> b)$ दूरी पर स्थित आवेश $q_B$ के लिए,विद्युत क्षेत्र $c$ त्रिज्या वाली गाऊसी सतह द्वारा घेरे गए कुल आवेश के कारण उत्पन्न होता है। गोले पर कुल आवेश $Q_{shell} = (4\pi a^2)(-\sigma) + (4\pi b^2)(+\sigma) = 4\pi\sigma(b^2 - a^2)$ है।
$3$. गाऊसी सतह द्वारा घेरा गया कुल आवेश $Q_{enclosed} = q_A + Q_{shell} = q_A + 4\pi\sigma(b^2 - a^2)$ है।
$4$. $c$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_{enclosed}}{c^2} = \frac{q_A + 4\pi\sigma(b^2 - a^2)}{4\pi\varepsilon_0 c^2}$ है।
$5$. $q_B$ पर लगने वाला बल $F = q_B E = \frac{q_B(q_A + 4\pi\sigma(b^2 - a^2))}{4\pi\varepsilon_0 c^2}$ है।
$6$. यदि गोला उदासीन है $(Q_{shell} = 0)$,तो $F = \frac{k q_A q_B}{c^2}$ प्राप्त होता है। अतः,$q_A$ पर लगने वाला बल हमेशा शून्य होता है।

(D) चालक गोले के गुणों के अनुसार,चालक के पदार्थ के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
जब एक आवेश $q_A$ को चालक गोले की गुहा के अंदर रखा जाता है,तो चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र को शून्य बनाए रखने के लिए गोले की आंतरिक सतह पर समान और विपरीत आवेश $-q_A$ प्रेरित होता है।
यह प्रेरित आवेश $-q_A$ आंतरिक सतह पर इस प्रकार वितरित होता है कि यह चालक के पदार्थ के अंदर हर जगह $q_A$ द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र को रद्द कर देता है।
जैसे-जैसे आवेश $q_A$ को गुहा के अंदर ले जाया जाता है,चालक के अंदर शून्य विद्युत क्षेत्र की स्थिति बनाए रखने के लिए आंतरिक सतह पर प्रेरित आवेश $-q_A$ का वितरण बदल जाता है।
हालाँकि,आंतरिक सतह पर कुल आवेश $-q_A$ रहता है और बाहरी सतह पर कुल आवेश स्थिर रहता है।
चूंकि गोले के बाहर विद्युत क्षेत्र केवल गोले के कुल आवेश और अंदर के आवेश $q_A$ पर निर्भर करता है,और गोला एक इलेक्ट्रोस्टैटिक शील्ड के रूप में कार्य करता है,इसलिए गोले के बाहर विद्युत क्षेत्र नहीं बदलता है।
इसलिए,गोले के बाहर किसी भी आवेश पर लगने वाला बल अपरिवर्तित रहता है।
अतः,दिए गए विकल्पों $A$,$B$ या $C$ में से कोई भी भौतिक स्थिति का सही वर्णन नहीं करता है।

(D) $1$. जब किसी चालक को अर्थ किया जाता है, तो उसका विभव शून्य हो जाता है। चूंकि गोला एक चालक है, इसलिए पूरे गोले का विभव शून्य हो जाता है।
$2$. बाहरी सतह (त्रिज्या $b$) पर विभव $V_b = k(Q_{in} + Q_{out})/b$ द्वारा दिया जाता है। $V_b = 0$ के लिए, गोले पर कुल आवेश शून्य होना चाहिए।
$3$. प्रारंभ में, आंतरिक सतह पर आवेश $q_{in} = -4\pi a^2 \sigma$ है और बाहरी सतह पर आवेश $q_{out} = 4\pi b^2 \sigma$ है।
$4$. जब गोले को अर्थ किया जाता है, तो गोले का विभव शून्य हो जाता है। आंतरिक सतह पर आवेश $-q$ बना रहता है, लेकिन बाहरी सतह पर आवेश कुल विभव को शून्य करने के लिए पुनर्वितरित हो जाता है।
$5$. चूंकि गोला अर्थ किया गया है, इसलिए बाहरी सतह पर धनात्मक आवेश को उदासीन करने के लिए पृथ्वी से इलेक्ट्रॉन गोले की ओर प्रवाहित होते हैं, जिससे बाहरी सतह पर आवेश शून्य हो जाता है। इस प्रकार, पूरे गोले का विभव शून्य हो जाता है।

(A) वर्ग के केंद्र पर विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है: $V = \sum \frac{kq}{r}$। चूंकि प्रत्येक शीर्ष से केंद्र तक की दूरी $r$ समान है,इसलिए $V = \frac{k}{r} (q_A + q_B + q_C + q_D)$। आवेशों को आपस में बदलने से योग $(q_A + q_B + q_C + q_D)$ नहीं बदलता है,इसलिए $V$ अपरिवर्तित रहता है।
विद्युत क्षेत्र $\vec E$ एक सदिश राशि है। केंद्र पर परिणामी विद्युत क्षेत्र व्यक्तिगत आवेशों के कारण क्षेत्रों का सदिश योग है। प्रारंभ में,$A, B$ पर $q$ और $C, D$ पर $-q$ आवेश हैं। $A$ को $D$ के साथ और $B$ को $C$ के साथ बदलने के बाद,$A$ और $B$ पर आवेश $-q$ हो जाते हैं,और $C$ और $D$ पर आवेश $q$ हो जाते हैं। यह प्रभावी रूप से केंद्र पर परिणामी विद्युत क्षेत्र सदिश की दिशा को उलट देता है। इस प्रकार,$\vec E$ बदल जाता है।

(A) मान लीजिए कि वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है। उस कोने पर विचार करें जहाँ आवेश $Q$ रखा गया है।
इस आवेश $Q$ पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. विकर्ण के विपरीत कोने पर रखे गए दूसरे आवेश $Q$ के कारण प्रतिकर्षण बल: $F = k \frac{Q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{kQ^2}{2a^2}$ (विकर्ण की दिशा में बाहर की ओर)।
$2$. आसन्न कोनों पर रखे गए दो आवेशों $q$ के कारण दो आकर्षण बल: $F' = k \frac{Qq}{a^2}$ (भुजाओं की दिशा में)।
इन दो बलों $F'$ का परिणामी बल $R = \sqrt{F'^2 + F'^2} = \sqrt{2} F' = \sqrt{2} \frac{kQq}{a^2}$ (विकर्ण की दिशा में) है।
$Q$ पर कुल बल शून्य होने के लिए,परिणामी बल $R$ का परिमाण बल $F$ के परिमाण के बराबर होना चाहिए और उन्हें विपरीत दिशाओं में कार्य करना चाहिए।
$\sqrt{2} \frac{kQq}{a^2} = - \frac{kQ^2}{2a^2}$
$\sqrt{2} q = - \frac{Q}{2}$
$\frac{Q}{q} = -2\sqrt{2}$

(A) स्थिर-विद्युत बल एक संरक्षी बल है।
परिभाषा के अनुसार,यदि किसी बल द्वारा दो बिंदुओं के बीच गति करने वाले कण पर किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है,तो वह बल संरक्षी होता है।
यह गुण इस कथन के समतुल्य है कि एक बंद लूप के अनुदिश गति करने वाली वस्तु पर संरक्षी बल द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य होता है।
चूंकि स्थिर-विद्युत क्षेत्र संरक्षी है,इसलिए कथन-$1$ सत्य है क्योंकि यह पथ की स्वतंत्रता का वर्णन करता है।
कथन-$2$ भी सत्य है क्योंकि यह संरक्षी बलों के मूलभूत गुण को परिभाषित करता है।
कथन-$2$ सही ढंग से बताता है कि कथन-$1$ क्यों सत्य है,क्योंकि पथ की स्वतंत्रता इस तथ्य का सीधा परिणाम है कि बंद लूप में किया गया कार्य शून्य होता है।

(A) किसी भी क्षण,एक गोले पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,गुरुत्वाकर्षण $mg$,और स्थिरवैद्युत बल $F_e$ हैं।
बलों का वियोजन करने पर:
$T \cos \theta = mg$ $(i)$
$T \sin \theta = F_e$ (ii)
(ii) को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{kq^2}{x^2 mg}$
छोटे $\theta$ के लिए,$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{x}{2l}$.
अतः,$\frac{x}{2l} = \frac{kq^2}{x^2 mg} \Rightarrow q^2 \propto x^3 \Rightarrow q \propto x^{3/2}$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dq}{dt} \propto \frac{d}{dt}(x^{3/2}) = \frac{3}{2} x^{1/2} \frac{dx}{dt}$.
चूंकि आवेश एक स्थिर दर से रिस रहा है,$\frac{dq}{dt} = \text{स्थिरांक}$.
इसलिए,$1 \propto x^{1/2} v$,जहाँ $v = \frac{dx}{dt}$ निकट आने का वेग है।
$v \propto x^{-1/2}$.

(B) मान लीजिए कि आवेश $q_0$ को $y$-अक्ष के अनुदिश $y$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है।
प्रत्येक आवेश $q$ और आवेश $q_0$ के बीच की दूरी $r = \sqrt{y^2 + a^2}$ है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार प्रत्येक आवेश $q$ द्वारा $q_0$ पर लगाए गए स्थिर वैद्युत बल $F$ का परिमाण है:
$F = \frac{k q q_0}{r^2} = \frac{k q (q/2)}{y^2 + a^2} = \frac{k q^2}{2(y^2 + a^2)}$.
बलों के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि ऊर्ध्वाधर घटक जुड़ जाते हैं।
$q_0$ पर कार्य करने वाला नेट बल $F_{net}$ मूल बिंदु की ओर निर्देशित होता है (प्रत्यानयन बल):
$F_{net} = -2 F \cos \theta$,जहाँ $\cos \theta = \frac{y}{r} = \frac{y}{\sqrt{y^2 + a^2}}$.
मान रखने पर:
$F_{net} = -2 \left[ \frac{k q^2}{2(y^2 + a^2)} \right] \cdot \frac{y}{\sqrt{y^2 + a^2}} = -\frac{k q^2 y}{(y^2 + a^2)^{3/2}}$.
चूंकि विस्थापन $y$ बहुत छोटा $(y << a)$ है,हम $(y^2 + a^2)^{3/2} \approx (a^2)^{3/2} = a^3$ मान सकते हैं।
अतः,$F_{net} \approx -\frac{k q^2}{a^3} y$.
चूंकि $k, q,$ और $a$ स्थिरांक हैं,इसलिए $F_{net} \propto -y$.

(C) बेलनाकार कोश के ऊपरी आधे भाग में धनात्मक आवेश और निचले आधे भाग में ऋणात्मक आवेश का वितरण है। यह विन्यास एक विद्युत द्विध्रुव (electric dipole) के समान विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
उन्हें धनात्मक आवेशित सतह से लंबवत बाहर निकलना चाहिए और ऋणात्मक आवेशित सतह में लंबवत प्रवेश करना चाहिए।
विकल्पों को देखने पर,आकृति $C$ ($115$-c981) में दिखाई गई क्षेत्र रेखाएं द्विध्रुव जैसी क्षेत्र पैटर्न का सही प्रतिनिधित्व करती हैं,जहाँ रेखाएं ऊपरी आधे भाग से निकलती हैं और निचले आधे भाग पर समाप्त होती हैं,जो बेलन के चारों ओर मुड़ती हैं।

(D) जिस बिंदु पर कण संपर्क खो देता है,वहां अभिलंब बल $N = 0$ होता है। कण पर कार्य करने वाले त्रिज्यीय बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \cos \theta$ और विद्युत बल का घटक $qE \sin \theta$ हैं। शुद्ध त्रिज्यीय बल अभिकेंद्री त्वरण प्रदान करता है:
$mg \cos \theta - qE \sin \theta = \frac{mv^2}{R}$ .........$(1)$
गोले के शीर्ष से $\theta$ कोण वाले बिंदु तक कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर:
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य + विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन
$mgR(1 - \cos \theta) + qER \sin \theta = \frac{1}{2}mv^2$
$mv^2 = 2mgR(1 - \cos \theta) + 2qER \sin \theta$ .........$(2)$
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$mg \cos \theta - qE \sin \theta = \frac{2mgR(1 - \cos \theta) + 2qER \sin \theta}{R}$
$mg \cos \theta - qE \sin \theta = 2mg - 2mg \cos \theta + 2qE \sin \theta$
$3mg \cos \theta - 2mg = 3qE \sin \theta$
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$3mg(\frac{1}{\sqrt{2}}) - 2mg = 3qE(\frac{1}{\sqrt{2}})$
$mg(\frac{3 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) = qE(\frac{3}{\sqrt{2}})$
$\frac{qE}{mg} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3}$

(D) विद्युत क्षेत्र में ऊर्जा घनत्व $u$ का सूत्र $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ है।
गोलीय आवेश वितरण के बाहर किसी बिंदु के लिए,$r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$ होता है।
इस मान को ऊर्जा घनत्व के सूत्र में रखने पर: $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \right)^2 = \frac{q^2}{32 \pi^2 \epsilon_0 r^4}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log u = \log \left( \frac{q^2}{32 \pi^2 \epsilon_0} \right) - 4 \log r$ प्राप्त होता है।
इसे सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से तुलना करने पर,जहाँ $y = \log u$ और $x = \log r$ है,ढाल $m = -4$ है।
नोट: यदि प्रश्न में दिए गए विकल्पों के आधार पर देखा जाए,तो $u \propto r^{-2}$ के लिए ढाल $-2$ होगी।

(A) मान लीजिए कि दिया गया अर्धगोलीय कोश $H_1$ है जिसका आवेश $Q$ और त्रिज्या $R$ है। बिंदु $A(0, 0, -z_0)$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ है।
एक और समान अर्धगोलीय कोश $H_2$ को इस प्रकार रखें कि दोनों कोश मिलकर $R$ त्रिज्या और $2Q$ कुल आवेश वाला एक पूर्ण गोलाकार कोश बनाएं।
एक समान रूप से आवेशित गोलाकार कोश के लिए,उसके अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
मान लीजिए कि बिंदु $B(0, 0, z_0)$ पर $H_1$ के कारण क्षेत्र $\vec{E}_1$ है और $H_2$ के कारण क्षेत्र $\vec{E}_2$ है।
चूंकि गोले के अंदर कुल क्षेत्र शून्य है,इसलिए $\vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 0$,जिसका अर्थ है $\vec{E}_1 = -\vec{E}_2$.
समरूपता के अनुसार,$H_1$ के कारण $B$ पर क्षेत्र,$xy$-तल के सापेक्ष $A$ पर क्षेत्र का प्रतिबिंब है,लेकिन $z$-घटक उल्टा हो जाता है।
अतः,सही उत्तर $-\vec{E}$ है।

(B) आवेशित चालक की सतह पर विद्युत दाब $P = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है।
दिया गया है कि कुल आवेश $Q$,$R$ त्रिज्या वाले गोले पर समान रूप से वितरित है,इसलिए पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ है।
दो अर्धगोलों को एक साथ रखने के लिए आवश्यक बल $F$,दूसरे अर्धगोले के कारण एक अर्धगोले पर लगने वाले कुल स्थिर-विद्युत प्रतिकर्षण बल के बराबर होता है। यह बल अर्धगोले के प्रक्षेप्य क्षेत्रफल पर लगने वाले विद्युत दाब के समतुल्य है।
$R$ त्रिज्या वाले अर्धगोले का प्रक्षेप्य क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है।
अतः,बल $F = P \times A = \left(\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}\right) \times (\pi R^2)$।
$\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ रखने पर:
$F = \frac{1}{2\varepsilon_0} \left(\frac{Q}{4\pi R^2}\right)^2 \times \pi R^2$
$F = \frac{1}{2\varepsilon_0} \times \frac{Q^2}{16\pi^2 R^4} \times \pi R^2$
$F = \frac{Q^2}{32\pi \varepsilon_0 R^2}$।

(D) विद्युत विभव $V = y^3 + 2$ है। विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = -\frac{dV}{dy} \hat{j} = -3y^2 \hat{j}$ द्वारा दिया जाता है।
आधार पर $(y=0)$, $V_A = 2 \text{ V}$। शीर्ष फलक पर $(y=2 \text{ m})$, $V_B = 2^3 + 2 = 10 \text{ V}$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए: $q(V_A - V_B) = \frac{1}{2}mv^2$। चूँकि $q = -0.5 \text{ C}$ है, हमारे पास $-0.5(2 - 10) = \frac{1}{2}(2)v^2$ है, जो $4 = v^2$ देता है, इसलिए $v = 2 \text{ m/s}$ (टक्कर से ठीक पहले का वेग)।
टक्कर से ठीक पहले का वेग $\vec{v}_i = 2 \hat{j} \text{ m/s}$ है। टक्कर के ठीक बाद का वेग $\vec{v}_f = -1.5 \hat{j} \text{ m/s}$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i) = 2(-1.5 - 2)\hat{j} = -7 \hat{j} \text{ kg m/s}$ है।
गेंद पर दीवार द्वारा लगाया गया औसत बल $\vec{F}_{wall\_on\_ball} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} = \frac{-7}{0.1} \hat{j} = -70 \hat{j} \text{ N}$ है।
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, दीवार पर गेंद द्वारा लगाया गया बल $\vec{F}_{ball\_on\_wall} = +70 \hat{j} \text{ N}$ है।
इसके अतिरिक्त, शीर्ष फलक पर $(y=2)$ विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = -3(2)^2 \hat{j} = -12 \hat{j} \text{ N/C}$ है।
गेंद पर विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E} = (-0.5)(-12)\hat{j} = 6 \hat{j} \text{ N}$ है।
कंटेनर को स्थिर रखने के लिए, बाहरी बल $\vec{F}_{ext}$ को गेंद द्वारा लगाए गए बल और गेंद पर लगने वाले विद्युत बल को संतुलित करना चाहिए: $\vec{F}_{ext} + \vec{F}_{ball\_on\_wall} + \vec{F}_e = 0$।
$\vec{F}_{ext} + 70\hat{j} + 6\hat{j} = 0 \Rightarrow \vec{F}_{ext} = -76 \hat{j} \text{ N}$।
आवश्यक बाहरी बल का परिमाण $76 \text{ N}$ है।

(D) मान लीजिए कि दो धनात्मक आवेश $+q$, $(0, d)$ और $(0, -d)$ पर स्थित हैं। इन आवेशों के कारण $x$-अक्ष पर बिंदु $(x, 0)$ पर विद्युत क्षेत्र $E$, मूल बिंदु $O$ की ओर निर्देशित होता है (चूंकि परीक्षण आवेश ऋणात्मक है, इसलिए बल आकर्षण का होता है)।
$(x, 0)$ पर विद्युत क्षेत्र $E = 2 \cdot \frac{kq}{x^2 + d^2} \cdot \cos\theta$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + d^2}}$.
अतः, $E = \frac{2kqx}{(x^2 + d^2)^{3/2}}$.
$(x, 0)$ पर ऋणात्मक आवेश $-Q$ पर बल $F = -QE = -\frac{2kqQx}{(x^2 + d^2)^{3/2}}$.
चूंकि $F = ma$, त्वरण $a = \frac{F}{m} = -\frac{2kqQ}{m} \cdot \frac{x}{(x^2 + d^2)^{3/2}}$.
$x = 0$ पर, $a = 0$ है।
$x > 0$ के लिए, $a$ ऋणात्मक है (मूल बिंदु की ओर)।
$x < 0$ के लिए, $a$ धनात्मक है (मूल बिंदु की ओर)।
जैसे $x \to \infty$, $a \to 0$. जैसे $x \to -\infty$, $a \to 0$.
यह एक विषम फलन (odd function) है जो मूल बिंदु से गुजरता है, $x < 0$ के लिए धनात्मक है और $x > 0$ के लिए ऋणात्मक है। आलेख $816-$d840 इस व्यवहार का सही प्रतिनिधित्व करता है।

(D) मान लीजिए कि गोलीय चालकों $B$ और $C$ पर प्रारंभिक आवेश $q$ है।
उनके बीच प्रारंभिक विद्युत बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^2}{r^2}$
जब अनावेशित चालक $A$ को $B$ के संपर्क में लाया जाता है,तो कुल आवेश $q$ उनके बीच समान रूप से साझा हो जाता है क्योंकि उनकी त्रिज्या समान है:
$q_B = q_A = \frac{q + 0}{2} = \frac{q}{2}$
अब,चालक $A$ ($q/2$ आवेश के साथ) को $C$ ($q$ आवेश के साथ) के संपर्क में लाया जाता है:
$q_A = q_C = \frac{(q/2) + q}{2} = \frac{3q/2}{2} = \frac{3q}{4}$
$A$ को हटाने के बाद,$B$ और $C$ पर नया आवेश $q_B = q/2$ और $q_C = 3q/4$ है।
$B$ और $C$ के बीच नया प्रतिकर्षण बल $F'$ है:
$F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_B q_C}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(q/2)(3q/4)}{r^2}$
$F' = \frac{3}{8} \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^2}{r^2} \right) = \frac{3F}{8}$

(D) माना तीसरा आवेश $Q$,$+q$ आवेश से $x$ दूरी पर स्थित है। तीसरे आवेश के संतुलन में रहने के लिए,$+q$ और $+4q$ आवेशों के कारण उस पर लगने वाला बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
$\frac{kqQ}{x^2} = \frac{kQ(4q)}{(R-x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(R-x)^2}$
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{x} = \frac{2}{R-x}$
$R-x = 2x \implies x = \frac{R}{3}$
संपूर्ण निकाय के संतुलन में रहने के लिए,$+q$ आवेश पर लगने वाला कुल बल भी शून्य होना चाहिए:
$\frac{kq(4q)}{R^2} + \frac{kqQ}{x^2} = 0$
$\frac{4kq^2}{R^2} + \frac{kqQ}{(R/3)^2} = 0$
$\frac{4q}{R^2} + \frac{9Q}{R^2} = 0$
$4q + 9Q = 0 \implies Q = -\frac{4}{9}q$

(D) $(0, a)$ और $(0, -a)$ पर स्थित दो $-q$ आवेशों के कारण $(x, 0)$ पर स्थित $Q$ आवेश पर लगने वाला बल मूलबिंदु की ओर होता है।
प्रत्येक $-q$ आवेश की $Q$ से दूरी $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ है।
प्रत्येक आवेश द्वारा लगाए गए बल का परिमाण $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qQ}{x^2 + a^2}$ है।
$X$-अक्ष पर परिणामी बल $F_{net} = -2F \cos\theta = -2 \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qQ}{x^2 + a^2} \right) \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} = -\frac{2qQ}{4\pi\epsilon_0} \frac{x}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$ है।
छोटे $x$ के लिए (मूलबिंदु के निकट),$x^2 \ll a^2$,इसलिए $F_{net} \approx -\left( \frac{2qQ}{4\pi\epsilon_0 a^3} \right) x$।
चूंकि $F_{net} \propto -x$,इसलिए छोटे विस्थापन के लिए गति सरल आवर्त गति है।
हालाँकि,बड़े विस्थापन के लिए,प्रत्यानयन बल $x$ के समानुपाती नहीं है,इसलिए गति दोलनी है लेकिन सरल आवर्त गति नहीं है।

(D) पहले मामले में,बूंद टर्मिनल वेग के साथ गिरती है। गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ ऊपर की ओर लगने वाले ड्रैग बल $F$ द्वारा संतुलित होता है। अतः,$F = mg$.
दूसरे मामले में,बूंद उसी टर्मिनल वेग के साथ ऊपर की ओर गति करती है। ड्रैग बल $F$ अब नीचे की ओर कार्य करता है। विद्युत बल $qE$ ऊपर की ओर कार्य करता है,जहाँ $q = 6e$.
गति का समीकरण $qE = F + mg$ है।
$F = mg$ रखने पर,हमें $6eE = mg + mg = 2mg$ प्राप्त होता है।
अतः,$E = \frac{2mg}{6e} = \frac{mg}{3e}$.
दिया गया है $m = 1.6 \times 10^{-15} \text{ kg}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
$E = \frac{1.6 \times 10^{-15} \times 10}{3 \times 1.6 \times 10^{-19}} = \frac{10^{-14}}{3 \times 10^{-19}} = 0.333 \times 10^5 \text{ N/C} = 33.3 \text{ kN/C}$.
अतः सही विकल्प $D$ है।

(C) माना आवेश $q_1 = 4 \times 10^{-6} \, C$ और $q_2 = -1 \times 10^{-6} \, C$ हैं,जो $d = 3 \, m$ की दूरी पर हैं।
वह बिंदु जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य है,$q_2$ से $x$ दूरी पर है।
विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए: $\frac{k |q_1|}{(d+x)^2} = \frac{k |q_2|}{x^2} \implies \frac{4}{(3+x)^2} = \frac{1}{x^2}$.
वर्गमूल लेने पर: $\frac{2}{3+x} = \frac{1}{x} \implies 2x = 3+x \implies x = 3 \, m$.
यह बिंदु $q_1$ से $6 \, m$ और $q_2$ से $3 \, m$ की दूरी पर है।
विद्युत विभव $V = \frac{k q_1}{r_1} + \frac{k q_2}{r_2} = (9 \times 10^9) \left( \frac{4 \times 10^{-6}}{6} + \frac{-1 \times 10^{-6}}{3} \right)$.
$V = (9 \times 10^9) (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) \times 10^{-6} = 9000 \times \frac{1}{3} = 3000 \, V$.

(A) स्थानांतरित कुल आवेश $q$,करंट-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$q = \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
$q = \frac{1}{2} \times (0.2 \times 10^{-3} \ s) \times (150 \times 10^3 \ A) = \frac{1}{2} \times 0.2 \times 150 = 15 \ C$.
बादल और जमीन के बीच विभवांतर $V$ को $V = E \cdot d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E = 400 \ kVm^{-1} = 4 \times 10^5 \ Vm^{-1}$ और $d = 1.5 \ km = 1500 \ m$ है।
$V = (4 \times 10^5 \ Vm^{-1}) \times (1500 \ m) = 6 \times 10^8 \ V$.
मुक्त होने वाली ऊर्जा $U$ को $U = q \cdot V$ द्वारा दिया जाता है।
$U = 15 \ C \times 6 \times 10^8 \ V = 90 \times 10^8 \ J = 9 \times 10^9 \ J$.
अतः,मुक्त होने वाली ऊर्जा $9 \times 10^9 \ J$ है।

(NONE) मान लीजिए कि प्रत्येक आवेश की मूल बिंदु से दूरी $r$ है। मूल बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \sum \frac{kQ_i}{r^2} \hat{r}_i$ है। बल $\vec{F} = q_0 \vec{E}$ है।
चित्र-$1$: आवेश $A(-r,0)$ पर $2Q$,$B(r,0)$ पर $-3Q$,और $C(0,r)$ पर $5Q$ हैं।
$\vec{E}_1 = \frac{k}{r^2} [(-2Q)\hat{i} - (-3Q)\hat{i} - 5Q\hat{j}] = \frac{k}{r^2} [Q\hat{i} - 5Q\hat{j}]$। परिमाण $E_1 = \frac{kQ}{r^2} \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \frac{kQ}{r^2} \sqrt{26} \approx 5.1 \frac{kQ}{r^2}$।
चित्र-$2$: आवेश $A(-r,0)$ पर $2Q$,$B(r,0)$ पर $3Q$,और $C(0,r)$ पर $5Q$ हैं।
$\vec{E}_2 = \frac{k}{r^2} [(-2Q)\hat{i} - (3Q)\hat{i} - 5Q\hat{j}] = \frac{k}{r^2} [-5Q\hat{i} - 5Q\hat{j}]$। परिमाण $E_2 = \frac{kQ}{r^2} \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \frac{kQ}{r^2} \sqrt{50} \approx 7.07 \frac{kQ}{r^2}$।
चित्र-$3$: आवेश $A(-r,0)$ पर $2Q$,$B(r,0)$ पर $-2Q$,$C(0,r)$ पर $5Q$,और $D(0,-r)$ पर $5Q$ हैं।
$\vec{E}_3 = \frac{k}{r^2} [(-2Q)\hat{i} - (-2Q)\hat{i} - 5Q\hat{j} + 5Q\hat{j}] = 0$।
चित्र-$4$: आवेश $A(-r,0)$ पर $2Q$,$B(r,0)$ पर $2Q$,$C(0,r)$ पर $5Q$,और $D(0,-r)$ पर $5Q$ हैं।
$\vec{E}_4 = \frac{k}{r^2} [(-2Q)\hat{i} - (2Q)\hat{i} - 5Q\hat{j} + 5Q\hat{j}] = \frac{k}{r^2} [-4Q\hat{i}]$। परिमाण $E_4 = 4 \frac{kQ}{r^2}$।
परिमाणों की तुलना करने पर: $E_2 (7.07) > E_1 (5.1) > E_4 (4) > E_3 (0)$।
अतः,$F_2 > F_1 > F_4 > F_3$।

(B) मान लीजिए कि वर्ग की भुजा $a$ है। प्रत्येक कोने से केंद्र (विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु) की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
केंद्र पर विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है: $V = \frac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4) = \frac{k}{r} (2 - 3 - 4 + 5) = \frac{k}{r} (0) = 0$.
विद्युत क्षेत्र $E$ एक सदिश राशि है। केंद्र पर आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र सदिश एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते हैं क्योंकि आवेश समान या विपरीत जोड़ों में नहीं हैं। विशेष रूप से,$2C$ और $-4C$ के क्षेत्र सदिश एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते हैं,और न ही $-3C$ और $5C$ के। अतः,कुल विद्युत क्षेत्र $E \neq 0$ है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र शून्य नहीं है,लेकिन विद्युत विभव शून्य है।

(D) $S$ पर रखा गया $+Q$ आवेश गोलाकार चालक की आंतरिक सतह पर $-Q$ आवेश और बाहरी सतह पर $+Q$ आवेश प्रेरित करता है।
बाहरी बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $S$ पर स्थित बिंदु आवेश $+Q$,आंतरिक सतह पर प्रेरित आवेश $-Q$ और बाहरी सतह पर प्रेरित आवेश $+Q$ के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग है।
$1$. $S$ पर स्थित बिंदु आवेश $+Q$ के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$ है,जो $S$ से दूर की दिशा में है।
$2$. गोलाकार चालक पर प्रेरित आवेशों के कारण बाहरी बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र,गोले के केंद्र $O$ पर रखे बिंदु आवेश $+Q$ के क्षेत्र के बराबर है,जो $E_2 = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 x^2}$ है और यह $O$ से दूर की दिशा में है।
चूंकि ये क्षेत्र अलग-अलग दिशाओं में हैं,इसलिए $P$ पर परिणामी विद्युत क्षेत्र को दिए गए विकल्पों द्वारा सरलता से नहीं दर्शाया जा सकता है।

(B) मान लीजिए कि दो आवेश $Q$,$(-a, 0)$ और $(a, 0)$ पर स्थित हैं। $-q$ आवेश मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
जब $-q$ को $y$-अक्ष के अनुदिश $x$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है,तो प्रत्येक $Q$ से दूरी $r = \sqrt{a^2 + x^2}$ होती है।
प्रत्येक $Q$ द्वारा $-q$ पर लगाया गया बल $F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qq}{r^2} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qq}{a^2 + x^2}$ है।
$y$-अक्ष के अनुदिश बल का घटक $F_y = -2F \sin \theta$ है,जहाँ $\sin \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$ है।
अतः,$F_{net} = -2 \left( \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qq}{a^2 + x^2} \right) \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = -\frac{2Qqx}{4\pi \epsilon_0 (a^2 + x^2)^{3/2}}$ है।
छोटे $x$ के लिए,$a^2 + x^2 \approx a^2$,इसलिए $F_{net} \approx -\frac{2Qqx}{4\pi \epsilon_0 a^3} = -\left( \frac{Qq}{2\pi \epsilon_0 a^3} \right) x$ है।
$F = -m\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{Qq}{2\pi \epsilon_0 m a^3}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{Qq}{2\pi \epsilon_0 m a^3}}$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{2\pi \epsilon_0 m a^3}{Qq}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m a^3 \pi \epsilon_0}{Qq}}$ है।

(D) मान लीजिए कि गोलों $A$ और $B$ पर प्रारंभिक आवेश $q$ है। उनके बीच का बल $F = \frac{k q^2}{r^2}$ है।
जब गोले $C$ (अनावेशित) को $A$ से स्पर्श कराया जाता है,तो आवेश दोनों के बीच समान रूप से पुनर्वितरित हो जाता है। अतः,$A$ पर नया आवेश $q_A = \frac{q + 0}{2} = \frac{q}{2}$ है। $C$ पर आवेश $\frac{q}{2}$ हो जाता है।
इसके बाद,गोले $C$ (अब $\frac{q}{2}$ आवेश के साथ) को $B$ (जिस पर आवेश $q$ है) से स्पर्श कराया जाता है। कुल आवेश $\frac{q}{2} + q = \frac{3q}{2}$ है। यह आवेश समान रूप से साझा होता है,इसलिए $B$ पर नया आवेश $q_B = \frac{3q/2}{2} = \frac{3q}{4}$ है।
$A$ और $B$ के बीच नया बल $F' = \frac{k q_A q_B}{r^2} = \frac{k (q/2) (3q/4)}{r^2} = \frac{3}{8} \frac{k q^2}{r^2} = \frac{3}{8} F$ होगा।

(C) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,आवेश वितरण की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा इसके विस्तार के दौरान गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$Q$ आवेश और $R_0$ त्रिज्या वाले गोलीय कोश की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{k Q^2}{2 R_0}$ है।
किसी भी तात्कालिक त्रिज्या $R(t)$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U_t = \frac{k Q^2}{2 R(t)}$ है और गतिज ऊर्जा $K_t = \frac{1}{2} m v^2$ है।
चूंकि निकाय स्थिर अवस्था से शुरू होता है,$K_i = 0$ है। अतः,$U_i = U_t + K_t$ है।
$\frac{k Q^2}{2 R_0} = \frac{k Q^2}{2 R(t)} + \frac{1}{2} m v^2$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{k Q^2}{2} \left( \frac{1}{R_0} - \frac{1}{R(t)} \right)$
$v = \sqrt{\frac{k Q^2}{m} \left( \frac{1}{R_0} - \frac{1}{R(t)} \right)}$
जैसे-जैसे $R(t) \to R_0$,$v \to 0$ होता है। जैसे-जैसे $R(t) \to \infty$,$v \to \sqrt{\frac{k Q^2}{m R_0}}$,जो एक नियत मान है। फलन $v(R)$ शून्य से शुरू होता है और बढ़ता है,एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी (horizontal asymptote) की ओर अग्रसर होता है। इस व्यवहार को ग्राफ $C$ द्वारा सबसे अच्छी तरह दर्शाया गया है।

(D) दिया गया है: $q_A = 1\,\mu C = 10^{-6}\,C$,$q_B = 1\,\mu C = 10^{-6}\,C$,$m_B = 4\,\mu g = 4 \times 10^{-9}\,kg$,$r_1 = 1\,mm = 10^{-3}\,m$,$r_2 = 9\,mm = 9 \times 10^{-3}\,m$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है:
$\Delta U = \Delta K$
$k q_A q_B \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = \frac{1}{2} m_B v^2$
मान रखने पर:
$9 \times 10^9 \times (10^{-6}) \times (10^{-6}) \left( \frac{1}{10^{-3}} - \frac{1}{9 \times 10^{-3}} \right) = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-9} \times v^2$
$9 \times 10^{-3} \left( 1000 - \frac{1000}{9} \right) = 2 \times 10^{-9} \times v^2$
$9 \times 10^{-3} \times 1000 \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = 2 \times 10^{-9} \times v^2$
$9 \times \frac{8}{9} = 2 \times 10^{-9} \times v^2$
$8 = 2 \times 10^{-9} \times v^2$
$v^2 = 4 \times 10^9$
$v = \sqrt{40 \times 10^8} = 2 \times 10^4 \times \sqrt{10} \approx 6.32 \times 10^4\,m/s$.
चूंकि यह मान विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) आवेशों के एक निकाय के लिए,निकाय पर कार्य करने वाला कुल आंतरिक स्थिर-वैद्युत बल शून्य होता है क्योंकि बल क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म होते हैं।
एक बंद निकाय में आंतरिक बलों के गुण के अनुसार,आवेशों पर कार्य करने वाले सभी बलों का योग शून्य होना चाहिए:
$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0}$
दिया गया है:
$\vec{F}_1 = (2\hat{i} - \hat{j}) \, N$
$\vec{F}_2 = (\hat{i} + 3\hat{j}) \, N$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(2\hat{i} - \hat{j}) + (\hat{i} + 3\hat{j}) + \vec{F}_3 = \vec{0}$
$(3\hat{i} + 2\hat{j}) + \vec{F}_3 = \vec{0}$
अतः,$q_3$ पर लगने वाला बल है:
$\vec{F}_3 = -(3\hat{i} + 2\hat{j}) \, N = (-3\hat{i} - 2\hat{j}) \, N$

(C) प्रथम स्थिति में,कूलॉम के नियम के अनुसार,गोलों के बीच बल:
$F_1 = \frac{k Q_1 Q_2}{d^2}$
जब दो समान गोलों को एक-दूसरे से स्पर्श कराया जाता है,तो कुल आवेश उनके बीच समान रूप से वितरित हो जाता है। प्रत्येक गोले पर नया आवेश:
$q = \frac{Q_1 + Q_2}{2}$
चूंकि $Q_1 >> Q_2$ है,हम $q \approx \frac{Q_1}{2}$ ले सकते हैं।
उन्हें मूल दूरी $d$ पर अलग करने के बाद,नया बल $F_2$ होगा:
$F_2 = \frac{k q^2}{d^2} = \frac{k (Q_1/2)^2}{d^2} = \frac{k Q_1^2}{4d^2}$
अब,अनुपात $F_1/F_2$ की गणना करने पर:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{(k Q_1 Q_2 / d^2)}{(k Q_1^2 / 4d^2)} = \frac{4 Q_1 Q_2}{Q_1^2} = \frac{4 Q_2}{Q_1}$

(C) मान लीजिए कि $q_1$ की स्थिति मूल बिंदु $(0,0)$ पर है। $q_3$ की स्थिति $(4\cos\theta, 4\sin\theta)$ है और $q_2$ की स्थिति $(5,0)$ पर है।
$q_3$ पर कुल बल ऋणात्मक $x-$ दिशा में होने के लिए,$q_1$ और $q_2$ द्वारा $q_3$ पर लगाए गए बलों के $y-$ घटकों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा।
मान लीजिए $\vec{F}_{13}$,$q_1$ के कारण $q_3$ पर लगने वाला बल है और $\vec{F}_{23}$,$q_2$ के कारण $q_3$ पर लगने वाला बल है।
यदि $q_1$ ऋणात्मक है,तो यह $q_3$ को अपनी ओर आकर्षित करता है। बल $\vec{F}_{13}$ $q_3$ और $q_1$ को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश $q_1$ की ओर निर्देशित होता है। इस बल का $y-$ घटक धनात्मक होता है।
इसे निरस्त करने के लिए,$q_2$ के कारण बल $\vec{F}_{23}$ का $y-$ घटक ऋणात्मक होना चाहिए। इसका मतलब है कि $q_2$ को $q_3$ पर ऐसा बल लगाना चाहिए जिसका $y-$ घटक ऋणात्मक हो।
ज्यामिति का विश्लेषण करने पर,शुद्ध बल को ऋणात्मक $x-$ दिशा में प्राप्त करने के लिए $q_1$ का ऋणात्मक और $q_2$ का धनात्मक होना आवश्यक है।

(A) प्रारंभिक बल: $F_1 = \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$
जब दो एकसमान गेंदों को संपर्क में लाया जाता है,तो कुल आवेश उनके बीच समान रूप से साझा हो जाता है। अब प्रत्येक गेंद पर आवेश $Q' = \frac{Q_1 + Q_2}{2}$ है।
नई दूरी $r' = r/2$ है। नया बल $F_2$ है:
$F_2 = \frac{k Q' Q'}{(r')^2} = \frac{k (\frac{Q_1 + Q_2}{2})^2}{(r/2)^2} = \frac{k (Q_1 + Q_2)^2 / 4}{r^2 / 4} = \frac{k (Q_1 + Q_2)^2}{r^2}$
दिया गया है कि $F_2 = 4.5 F_1$:
$\frac{k (Q_1 + Q_2)^2}{r^2} = 4.5 \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$
$(Q_1 + Q_2)^2 = 4.5 Q_1 Q_2$
$Q_1^2 + Q_2^2 + 2 Q_1 Q_2 = 4.5 Q_1 Q_2$
$Q_1^2 + Q_2^2 = 2.5 Q_1 Q_2$
$Q_2^2$ से विभाजित करने पर:
$(\frac{Q_1}{Q_2})^2 - 2.5 (\frac{Q_1}{Q_2}) + 1 = 0$
माना $x = \frac{Q_1}{Q_2}$,तो $x^2 - 2.5x + 1 = 0$
$x^2 - 2x - 0.5x + 1 = 0$
$x(x - 2) - 0.5(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x - 0.5) = 0$
$x = 2$ या $x = 0.5 = 1/2$.
अतः,अनुपात $2$ है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है। चूँकि डोरियों के बीच का कुल कोण $30^o$ है,इसलिए $\theta = 15^o$ होगा।
हवा में एक गोले के फ्री बॉडी डायग्राम से,बल तनाव $T$,भार $mg$ और स्थिर वैद्युत बल $F$ हैं। बलों को संतुलित करने पर:
$T \sin \theta = F$
$T \cos \theta = mg$
इनका भाग देने पर,हमें $\tan \theta = \frac{F}{mg} \quad ......(i)$ प्राप्त होता है।
जब $\rho$ घनत्व वाले द्रव में लटकाया जाता है,तो गोला ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $F_B = V \rho g$ का अनुभव करता है,जहाँ $V$ गोले का आयतन है। प्रभावी भार $mg' = mg - F_B = V d g - V \rho g = V g (d - \rho)$ हो जाता है,जहाँ $d$ गोले का घनत्व है।
द्रव में स्थिर वैद्युत बल $F' = \frac{F}{K}$ हो जाता है,जहाँ $K$ परावैद्युतांक है।
चूँकि कोण $\theta$ समान रहता है:
$\tan \theta = \frac{F'}{mg'} = \frac{F/K}{V g (d - \rho)} = \frac{F}{K V g d (1 - \rho/d)} = \frac{F}{K mg (1 - \rho/d)} \quad ......(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{F}{mg} = \frac{F}{K mg (1 - \rho/d)}$
$1 = \frac{1}{K (1 - \rho/d)}$
$K = \frac{1}{1 - \rho/d} = \frac{1}{1 - (1 / (4/3))} = \frac{1}{1 - 3/4} = \frac{1}{1/4} = 4$.

(B) मान लीजिए कि वर्ग की भुजा $L$ है। केंद्र $O$ से प्रत्येक कोने की दूरी $r = \frac{L}{\sqrt{2}}$ है।
केंद्र $O$ पर विद्युत विभव व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है:
$V = \frac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4) = \frac{k}{r} (2 - 3 - 4 + 5) = \frac{k}{r} (0) = 0$.
केंद्र पर विद्युत क्षेत्र व्यक्तिगत आवेशों के कारण क्षेत्रों का सदिश योग है। केंद्र पर विपरीत आवेशों के जोड़े $q_i$ और $q_j$ के कारण क्षेत्र $\vec{E}_{ij} = \frac{k(q_i - q_j)}{r^2} \hat{r}$ है।
$(2C, -4C)$ जोड़े के लिए,शुद्ध क्षेत्र $-4C$ की ओर निर्देशित है और इसका परिमाण $\frac{k(2 - (-4))}{r^2} = \frac{6k}{r^2}$ है।
$(-3C, 5C)$ जोड़े के लिए,शुद्ध क्षेत्र $5C$ की ओर निर्देशित है और इसका परिमाण $\frac{k(5 - (-3))}{r^2} = \frac{8k}{r^2}$ है।
चूंकि ये दो परिणामी सदिश लंबवत हैं,इसलिए कुल विद्युत क्षेत्र $E = \sqrt{(\frac{6k}{r^2})^2 + (\frac{8k}{r^2})^2} = \frac{k}{r^2} \sqrt{36 + 64} = \frac{10k}{r^2} = \frac{10k}{(L/\sqrt{2})^2} = \frac{20k}{L^2} \neq 0$ है।

(C) मान लीजिए वर्ग का केंद्र $O$ है। मान लीजिए $O$ पर एक धनात्मक आवेश $+Q$ रखा गया है। प्रत्येक कोने से केंद्र की दूरी $r$ है। $A, B, C, D$ पर स्थित आवेशों द्वारा $O$ पर स्थित आवेश पर लगाए गए बल इस प्रकार हैं:
$1$. $A$ पर $-2q$ के कारण बल: $\vec{F}_A$ $A$ की ओर निर्देशित है (आकर्षक)।
$2$. $B$ पर $+q$ के कारण बल: $\vec{F}_B$ $B$ से दूर निर्देशित है (प्रतिकर्षी)।
$3$. $C$ पर $-q$ के कारण बल: $\vec{F}_C$ $C$ की ओर निर्देशित है (आकर्षक)।
$4$. $D$ पर $+2q$ के कारण बल: $\vec{F}_D$ $D$ से दूर निर्देशित है (प्रतिकर्षी)।
मान लीजिए विकर्ण $BD$ $x$-अक्ष के अनुदिश है और $AC$ $y$-अक्ष के अनुदिश है। नेट बल के घटकों की गणना सदिश योग द्वारा की जा सकती है। परिणामी बल $\vec{F}_R$ विकर्ण $BD$ के अनुदिश निर्देशित होता है क्योंकि $D$ पर $+2q$ से प्रतिकर्षण और $A$ पर $-2q$ से आकर्षण अन्य घटकों के साथ मिलकर विकर्ण $BD$ के अनुदिश एक नेट बल प्रदान करते हैं।

(A) मान लीजिए कि दो आवेश $Q$,$A$ और $B$ बिंदुओं पर $2r$ की दूरी पर स्थित हैं। आवेश $q$ को $AB$ के मध्य बिंदु $O$ पर रखा गया है।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,प्रत्येक आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
बिंदु $A$ पर आवेश $Q$ पर लगने वाले बल पर विचार करें:
बिंदु $B$ पर आवेश $Q$ के कारण बल $F_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q^2}{(2r)^2} = \frac{Q^2}{16\pi\epsilon_0 r^2}$ है।
बिंदु $O$ पर आवेश $q$ के कारण बल $F_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qq}{r^2}$ है।
संतुलन के लिए,$F_1 + F_2 = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{Q^2}{16\pi\epsilon_0 r^2} + \frac{Qq}{4\pi\epsilon_0 r^2} = 0$।
$\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{Q}{4} + q = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$q = \frac{-Q}{4}$।

(D) समरूपता के कारण,प्रत्येक कण की गति $v$ समान होगी।
निकाय की प्रारंभिक कुल ऊर्जा $E_i = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r_1}$ है।
$r_2$ दूरी पर निकाय की अंतिम कुल ऊर्जा $E_f = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r_2} + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r_2} + mv^2$ है।
चूंकि स्थिर-वैद्युत बल संरक्षी है,इसलिए हम ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करते हैं: $E_i = E_f$।
$\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r_1} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r_2} + mv^2$।
$mv^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $mv^2 = \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2} \right)$।
अतः,$v = q \sqrt{\frac{r_2 - r_1}{4\pi \varepsilon_0 m r_1 r_2}}$।

(A) मान लीजिए कि दो समान आवेश $Q$,$x = -d$ और $x = +d$ पर रखे गए हैं। मध्य बिंदु $O$,$x = 0$ पर है।
यदि $O$ पर एक धनात्मक परीक्षण आवेश $q$ रखा जाता है,तो बाएं आवेश द्वारा लगाया गया बल $F_1 = \frac{kQq}{d^2}$ (दाहिनी ओर) है और दाएं आवेश द्वारा लगाया गया बल $F_2 = \frac{kQq}{d^2}$ (बाईं ओर) है। कुल बल $F_{net} = F_1 - F_2 = 0$ है। अतः,आवेश संतुलन में है।
यदि परीक्षण आवेश $q$ को दाईं ओर थोड़ी दूरी $x$ तक विस्थापित किया जाता है,तो दाएं आवेश से बल बढ़ जाता है और बाएं आवेश से बल कम हो जाता है। कुल बल बाईं ओर (विस्थापन की विपरीत दिशा में) कार्य करेगा,जो आवेश को उसकी मूल स्थिति में वापस लाने का प्रयास करेगा। यह $x-$ अक्ष के अनुदिश विस्थापन के लिए स्थिर संतुलन की पुष्टि करता है।
चूंकि कथन सही है और कारण सही ढंग से बताता है कि कुल बल शून्य है (जो संतुलन के लिए एक शर्त है),इसलिए कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(N/A) माना आवेश $q_{1} = 1.5 \; \mu C$ और $q_{2} = 2.5 \; \mu C$ क्रमशः बिंदु $A$ और $B$ पर स्थित हैं। उनके बीच की दूरी $d = 30 \; cm = 0.3 \; m$ है।
$(a)$ मध्य-बिंदु $O$ पर:
प्रत्येक आवेश से दूरी $r = d/2 = 0.15 \; m$ है।
विभव $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{q_{1}}{r} + \frac{q_{2}}{r} \right) = (9 \times 10^{9}) \times \frac{10^{-6}}{0.15} (1.5 + 2.5) = 2.4 \times 10^{5} \; V$.
विद्युत क्षेत्र $E = \left| \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{2}}{r^{2}} - \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}}{r^{2}} \right| = \frac{9 \times 10^{9} \times 10^{-6}}{(0.15)^{2}} (2.5 - 1.5) = 4 \times 10^{5} \; V/m$.
$(b)$ बिंदु $Z$ पर (मध्य-बिंदु से $10 \; cm$ दूर):
दूरी $AZ = BZ = \sqrt{(0.15)^{2} + (0.1)^{2}} = \sqrt{0.0325} \approx 0.18 \; m$.
विभव $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{q_{1}}{AZ} + \frac{q_{2}}{BZ} \right) = \frac{9 \times 10^{9} \times 10^{-6}}{0.18} (1.5 + 2.5) = 2.0 \times 10^{5} \; V$.
विद्युत क्षेत्र के घटक: $E_{A} \approx 4.15 \times 10^{5} \; V/m$,$E_{B} \approx 6.92 \times 10^{5} \; V/m$.
परिणामी $E = \sqrt{E_{A}^{2} + E_{B}^{2} + 2 E_{A} E_{B} \cos(2\theta)} \approx 6.6 \times 10^{5} \; V/m$.

(A) नहीं,बल का मान ठीक $Q_{1} Q_{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}$ द्वारा नहीं दिया जाता है क्योंकि जब उन्हें करीब लाया जाता है तो प्रेरण के कारण गोलों पर आवेश का वितरण असमान हो जाता है।
$(b)$ नहीं,गॉस का नियम सत्य नहीं होगा। गॉस का नियम व्युत्क्रम-वर्ग नियम ($1/r^{2}$ निर्भरता) का सीधा परिणाम है।
$(c)$ जरूरी नहीं। परीक्षण आवेश केवल तभी क्षेत्र रेखा के साथ यात्रा करेगा यदि क्षेत्र रेखा एक सीधी रेखा हो। यदि क्षेत्र रेखा वक्र है,तो बल (और त्वरण) वक्र के स्पर्शरेखीय होता है,लेकिन वेग उस दिशा में होना आवश्यक नहीं है।
$(d)$ दोनों स्थितियों में किया गया कार्य शून्य है। स्थिर-विद्युत बल एक संरक्षी बल है,और बंद पथ में किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।
$(e)$ नहीं,आवेशित चालक की सतह पर विद्युत विभव सतत (continuous) होता है। केवल विद्युत क्षेत्र ही असतत होता है।
$(f)$ एक अकेले चालक की धारिता को ऐसी प्रणाली की धारिता के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ दूसरे चालक को अनंत पर माना जाता है।
$(g)$ पानी के अणुओं में स्थायी विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण होता है,जो उन्हें बाहरी विद्युत क्षेत्र के साथ संरेखित होने की अनुमति देता है,जिसके परिणामस्वरूप अभ्रक जैसे अध्रुवीय पदार्थों की तुलना में इसका परावैद्युतांक बहुत अधिक होता है।

(N/A) हमें बिजली का झटका नहीं लगता क्योंकि हमारा शरीर और जमीन एक समविभव (equipotential) सतह बनाते हैं। जब हम बाहर निकलते हैं,तो हमारा शरीर वायुमंडल के स्थानीय विभव के साथ समायोजित हो जाता है,और चूंकि हम जमीन के संपर्क में होते हैं,इसलिए हम जमीन के समान विभव पर रहते हैं,जिसके परिणामस्वरूप हमारे शरीर में विभव का अंतर शून्य होता है।
$(b)$ हाँ,व्यक्ति को बिजली का झटका लगेगा। वायुमंडलीय डिस्चार्जिंग करंट लगातार एल्युमीनियम शीट को चार्ज करता है। समय के साथ,शीट जमीन के सापेक्ष उच्च विभव प्राप्त कर लेती है। इसे छूने पर शरीर के माध्यम से डिस्चार्ज होने का रास्ता मिल जाता है।
$(c)$ वायुमंडल को दुनिया भर में लगातार होने वाली गरज और बिजली के माध्यम से बनाए गए वैश्विक विद्युत सर्किट द्वारा आवेशित रखा जाता है। ये बैटरी के रूप में कार्य करते हैं जो पृथ्वी पर ऋण आवेश पंप करते हैं,जो डिस्चार्जिंग करंट को संतुलित करते हैं।
$(d)$ बिजली कड़कने के दौरान,वायुमंडल की विद्युत ऊर्जा प्रकाश ऊर्जा,ऊष्मा ऊर्जा और ध्वनि ऊर्जा में नष्ट हो जाती है।

(D) पृथ्वी का पृष्ठीय आवेश घनत्व,$\sigma = 10^{-9} \; C\;m^{-2}$.
पूरी पृथ्वी पर धारा,$I = 1800 \; A$.
पृथ्वी की त्रिज्या,$r = 6.37 \times 10^{6} \; m$.
पृथ्वी का पृष्ठीय क्षेत्रफल,$A = 4 \pi r^{2}$.
$A = 4 \times 3.14159 \times (6.37 \times 10^{6})^{2} \approx 5.096 \times 10^{14} \; m^{2}$.
पृथ्वी की सतह पर कुल आवेश,$q = \sigma \times A$.
$q = 10^{-9} \times 5.096 \times 10^{14} = 5.096 \times 10^{5} \; C$.
पृथ्वी की सतह को उदासीन करने में लगा समय,$t = \frac{q}{I}$.
$t = \frac{5.096 \times 10^{5}}{1800} \approx 283.11 \; s$.
दिए गए विकल्पों का उपयोग करते हुए,सबसे निकटतम मान $282.77 \; s$ है।

(N/A) चित्र में निम्नलिखित के लिए क्षेत्र रेखाएं दिखाई गई हैं:
$(a)$ एक छड़ चुंबक,जहाँ चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं उत्तरी ध्रुव से निकलती हैं और बाहरी रूप से दक्षिणी ध्रुव में प्रवेश करती हैं,जिससे निरंतर बंद लूप बनते हैं।
$(b)$ एक धारावाही परिमित परिनालिका,जो एक छड़ चुंबक की तरह व्यवहार करती है और इसकी चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं परिनालिका के अंदर और बाहर से गुजरते हुए बंद लूप बनाती हैं।
$(c)$ एक विद्युत द्विध्रुव,जहाँ विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं,जो किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा को दर्शाती हैं।

(N/A) $(i)$ $Cs^{+}$ आयन घन के कोनों पर स्थित हैं और $Cl^{-}$ आयन केंद्र में है। घन की समरूपता के कारण, प्रत्येक $Cs^{+}$ आयन द्वारा केंद्र पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान होता है और कोने से विपरीत कोने की दिशा में होता है। ये क्षेत्र जोड़ों में एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। इसलिए, केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र $0 \, N/C$ है।
$(ii)$ मान लीजिए कि $\vec{E}_{total}$ केंद्र पर सभी आठ $Cs^{+}$ आयनों के कारण विद्युत क्षेत्र है, जो $0$ है। यदि कोने $A$ पर स्थित एक $Cs^{+}$ आयन को हटा दिया जाए, तो केंद्र पर नया विद्युत क्षेत्र $\vec{E}'$ समीकरण $\vec{E}' + \vec{E}_{A} = 0$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\vec{E}_{A}$ कोने $A$ पर स्थित $Cs^{+}$ आयन के कारण क्षेत्र है। अतः, $\vec{E}' = -\vec{E}_{A}$।
$a = 0.40 \, nm$ भुजा वाले घन के कोने से केंद्र तक की दूरी $r$ मुख्य विकर्ण की आधी होती है: $r = \frac{\sqrt{3}a}{2} = \frac{\sqrt{3} \times 0.40 \times 10^{-9}}{2} = 0.20\sqrt{3} \times 10^{-9} \, m \approx 3.464 \times 10^{-10} \, m$।
एक $Cs^{+}$ आयन के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E_{A} = \frac{k e}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19}}{(0.20\sqrt{3} \times 10^{-9})^2} = \frac{14.4 \times 10^{-10}}{12 \times 10^{-20}} = 1.2 \times 10^{10} \, N/C$ है।
शेष सात $Cs^{+}$ आयनों के कारण $Cl^{-}$ आयन (आवेश $-e$) पर लगने वाला बल $\vec{F} = (-e) \vec{E}' = (-e) (-\vec{E}_{A}) = e \vec{E}_{A}$ है।
बल का परिमाण $F = e E_{A} = (1.6 \times 10^{-19}) \times (1.2 \times 10^{10}) = 1.92 \times 10^{-9} \, N$ है, जो खाली कोने $A$ की दिशा में कार्य करता है।

(A) मान लीजिए ब्रह्मांड की त्रिज्या $R$ है। मान लीजिए कि हाइड्रोजन परमाणु समान रूप से वितरित हैं। ब्रह्मांड का विस्तार तब शुरू होगा यदि $R$ पर स्थित हाइड्रोजन परमाणु पर कूलम्ब प्रतिकर्षण,गुरुत्वाकर्षण आकर्षण से अधिक हो।
हाइड्रोजन परमाणु में एक प्रोटॉन और एक इलेक्ट्रॉन होता है। प्रत्येक हाइड्रोजन परमाणु पर नेट आवेश:
$q = e_p + e = -(1 + y)e + e = -ye$.
गोले की सतह पर $R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ है। गॉस के प्रमेय के अनुसार:
$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$
$E(4\pi R^2) = \frac{1}{\epsilon_0} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 N |ye| \right)$
$E = \frac{N|ye|R}{3\epsilon_0}$.
$R$ दूरी पर हाइड्रोजन परमाणु पर कूलम्ब बल:
$F_C = qE = (ye) \left( \frac{NyeR}{3\epsilon_0} \right) = \frac{y^2 e^2 N R}{3\epsilon_0}$.
$R$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $G_R$:
$G_R = \frac{4}{3} \pi G m_p N R$.
परमाणु पर गुरुत्वाकर्षण बल:
$F_G = m_p G_R = \frac{4}{3} \pi G m_p^2 N R$.
विस्तार तब शुरू होता है जब $F_C > F_G$:
$\frac{y^2 e^2 N R}{3\epsilon_0} > \frac{4}{3} \pi G m_p^2 N R$
$y^2 > \frac{4 \pi G m_p^2 \epsilon_0}{e^2}$.
अतः,क्रांतिक मान $y = \sqrt{\frac{4 \pi G m_p^2 \epsilon_0}{e^2}}$ है।
$(b)$ परमाणु पर नेट बल $F_{net} = F_C - F_G = kR$ है,जहाँ $k = \frac{y^2 e^2 N}{3\epsilon_0} - \frac{4}{3} \pi G m_p^2 N$ है। चूंकि $F = ma$,त्वरण $a = \frac{k}{m_p} R$ है। चूंकि $a = \frac{dv}{dt} = v \frac{dv}{dR}$,$v dv = \frac{k}{m_p} R dR$ का समाकलन करने पर $v^2 \propto R^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $v \propto R$।

(N/A) टक्कर से पहले प्लेट $(\gamma)$ पर कुल विद्युत क्षेत्र प्लेटों $(\alpha)$ और $(\beta)$ के कारण विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग है।
प्लेट $(\alpha)$ के कारण $(\gamma)$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_1 = \frac{Q}{2S\epsilon_0} \hat{i}$ है।
प्लेट $(\beta)$ के कारण $(\gamma)$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_2 = \frac{q}{2S\epsilon_0} \hat{i}$ है।
अतः,$\vec{E}_{net} = \frac{Q+q}{2S\epsilon_0} \hat{i}$।
$(b)$ टक्कर के दौरान,प्लेटें $(\beta)$ और $(\gamma)$ संपर्क में होती हैं,इसलिए वे कुल आवेश $q$ को समान रूप से साझा करती हैं,अतः $q_{\beta} = q_{\gamma} = q/2$।
$(c)$ टक्कर के बाद प्लेट $(\gamma)$ पर लगने वाला बल $F = q_{\gamma} E$ है। कार्य $W = Fd = \frac{1}{2}mv^2$ से वेग $v = \sqrt{\frac{2Fd}{m}}$ प्राप्त होता है।

(C) केंद्र पर विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है: $V = \sum \frac{kq_i}{R} = \frac{k}{R} \sum q_i$. चूंकि पांच $(+q)$ आवेश और पांच $(-q)$ आवेश हैं, इसलिए कुल आवेश $\sum q_i = 5(+q) + 5(-q) = 0$ है। अतः, $V = 0$.
केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $E$ के लिए, प्रत्येक $(+q)$ आवेश अपने से दूर दिशा में $\vec{E}_0$ क्षेत्र उत्पन्न करता है, और प्रत्येक $(-q)$ आवेश अपनी ओर दिशा में $\vec{E}_0$ क्षेत्र उत्पन्न करता है। $36^\circ$ के समान कोणीय अंतराल पर व्यवस्थित दस आवेशों की समरूपता के कारण, प्रत्येक आवेश के व्यास के विपरीत समान परिमाण लेकिन विपरीत चिह्न का आवेश होता है। उदाहरण के लिए, आवेश $1$ $(+q)$ और आवेश $6$ $(-q)$ व्यास के विपरीत हैं। आवेश $1$ के कारण क्षेत्र $\vec{E}_1$ ($1$ से दूर) है और आवेश $6$ के कारण क्षेत्र $\vec{E}_6$ ($6$ की ओर) है। चूंकि $1$ और $6$ विपरीत हैं, $\vec{E}_1$ और $\vec{E}_6$ एक ही दिशा में इंगित करते हैं और जुड़कर $2\vec{E}_0$ हो जाते हैं। इसके परिणामस्वरूप $72^\circ$ के कोण पर $2E_0$ परिमाण के पांच ऐसे सदिश मिलते हैं। समान कोणों पर स्थित इन पांच समान सदिशों का सदिश योग शून्य होता है। इसलिए, $E = 0$.

(A) निकाय की कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है। गोले की सतह पर (केंद्र से $R$ दूरी पर) $q$ आवेश वाले छोटे टुकड़े की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{kQq}{R} + mgy_0$ है (गोले के निचले हिस्से को संदर्भ स्तर मानते हुए)।
जब टुकड़ा $y$ ऊँचाई नीचे गिर जाता है,तो गोले के केंद्र से इसकी दूरी $(R+y)$ हो जाती है।
अंतिम ऊर्जा $U_f + K_f = \frac{kQq}{R+y} + mg(y_0 - y) + \frac{1}{2}mv^2$ है।
प्रारंभिक और अंतिम ऊर्जा को बराबर करने पर:
$\frac{kQq}{R} + mgy_0 = \frac{kQq}{R+y} + mg(y_0 - y) + \frac{1}{2}mv^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{kQq}{R} - \frac{kQq}{R+y} + mgy$
$\frac{1}{2}mv^2 = kQq \left[ \frac{R+y-R}{R(R+y)} \right] + mgy$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{kQqy}{R(R+y)} + mgy$
$v^2 = 2 \left[ \frac{kQqy}{mR(R+y)} + gy \right] = 2y \left[ \frac{kQq}{mR(R+y)} + g \right]$
$k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v^2 = 2y \left[ \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 mR(R+y)} + g \right]$.

(B) कथन $I$ का विश्लेषण: गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है। एक विद्युत द्विध्रुव के लिए,कुल आवेश $q_{in} = +q + (-q) = 0$ होता है। अतः,फ्लक्स $\phi = 0$ है। हालाँकि,द्विध्रुव के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ गोले के अंदर प्रत्येक बिंदु पर शून्य नहीं होता है। इसलिए,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ का विश्लेषण: $Q$ आवेश वाले $R$ त्रिज्या के एक ठोस धात्विक गोले के लिए,आवेश पूरी तरह से बाहरी सतह पर रहता है। $r < R$ त्रिज्या वाली किसी भी गॉसियन सतह के लिए,परिबद्ध आवेश $q_{in} = 0$ होता है। गॉस के नियम के अनुसार,विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0} = 0$ होता है। साथ ही,चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ शून्य होता है। कथन में दावा किया गया है कि फ्लक्स शून्य नहीं है,जो गलत है। इसलिए,कथन $II$ असत्य है।
निष्कर्ष: कथन $I$ सत्य है और कथन $II$ असत्य है।

(A) कणों के सीमांत संतुलन में रहने के लिए,स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल के बराबर होना चाहिए।
स्थिर-वैद्युत बल $F_e = \frac{kq^2}{L^2}$,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ है।
घर्षण बल $F_f = \mu mg$,जहाँ $\mu = 0.25$,$m = 10 \times 10^{-3} \, kg$,और $g = 10 \, m/s^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{kq^2}{L^2} = \mu mg$.
$L^2 = \frac{kq^2}{\mu mg} = \frac{(9 \times 10^9) \times (2.0 \times 10^{-7})^2}{0.25 \times (10 \times 10^{-3}) \times 10}$.
$L^2 = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-14}}{0.25 \times 0.1} = \frac{36 \times 10^{-5}}{0.025} = 1.44 \times 10^{-2} \, m^2$.
$L = \sqrt{1.44 \times 10^{-2}} = 1.2 \times 10^{-1} \, m = 0.12 \, m = 12 \, cm$.