Mix Examples-Electric Charges and Fields Questions in Hindi

(A) दो बिंदु आवेशों के बीच स्थिरवैद्युत बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$.
चूंकि दूरी $r$ समान रहती है,इसलिए बल आवेशों के गुणनफल के समानुपाती होता है: $F \propto |q_1 q_2|$.
पहली स्थिति में,आवेशों का गुणनफल $|q_1 q_2| = |40 \times (-20)| = 800 \ \mu C^2$ है।
जब दोनों आवेशों को संपर्क में लाया जाता है,तो कुल आवेश उनके बीच समान रूप से विभाजित हो जाता है (समान चालकों को मानते हुए): $q' = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{40 - 20}{2} = 10 \ \mu C$.
दूसरी स्थिति में,आवेशों का गुणनफल $|q'_1 q'_2| = |10 \times 10| = 100 \ \mu C^2$ है।
अतः,बलों का अनुपात $\frac{F_1}{F_2} = \frac{|q_1 q_2|}{|q'_1 q'_2|} = \frac{800}{100} = \frac{8}{1}$ होगा।

(C) मान लीजिए कि दो आवेश $Q$,$B$ और $C$ बिंदुओं पर हैं,जो $d$ दूरी पर स्थित हैं। तीसरा आवेश $q$,लंब समद्विभाजक पर $x$ दूरी पर है।
आवेश $q$ पर कुल बल $F_{net}$,लंब समद्विभाजक की दिशा में स्थिर-विद्युत बलों के घटकों का योग है:
$F_{net} = 2F \cos \theta$
यहाँ,$F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Qq}{x^2 + (d/2)^2}$ और $\cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + (d/2)^2}}$.
इन मानों को $F_{net}$ के व्यंजक में रखने पर:
$F_{net} = 2 \cdot \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Qq}{x^2 + d^2/4} \cdot \frac{x}{(x^2 + d^2/4)^{1/2}} = \frac{2Qqx}{4\pi \varepsilon_0 (x^2 + d^2/4)^{3/2}}$
अधिकतम बल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन को शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dF_{net}}{dx} = 0$
अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} [x(x^2 + d^2/4)^{-3/2}] = 0$
$(x^2 + d^2/4)^{-3/2} + x \cdot (-3/2)(x^2 + d^2/4)^{-5/2} \cdot (2x) = 0$
$(x^2 + d^2/4)^{-3/2} - 3x^2(x^2 + d^2/4)^{-5/2} = 0$
$(x^2 + d^2/4)^{5/2}$ से गुणा करने पर:
$(x^2 + d^2/4) - 3x^2 = 0$
$d^2/4 = 2x^2$
$x^2 = d^2/8$
$x = \frac{d}{2\sqrt{2}}$

(C) मान लीजिए कि आवेश $A$ और $C$ बिंदुओं पर $r$ दूरी पर स्थित हैं। उनके बीच का बल $F = k\frac{Q^2}{r^2}$ है।
जब $+Q$ आवेश को $B$ बिंदु (मध्य बिंदु) पर रखा जाता है, तो $A$ से $B$ की दूरी $r/2$ और $B$ से $C$ की दूरी $r/2$ होती है।
$A$ पर स्थित आवेश द्वारा $B$ पर लगाया गया बल $F_A = k\frac{Q \cdot Q}{(r/2)^2} = 4k\frac{Q^2}{r^2} = 4F$ (प्रतिकर्षण, $C$ की दिशा में)।
$C$ पर स्थित आवेश द्वारा $B$ पर लगाया गया बल $F_C = k\frac{|Q \cdot (-Q)|}{(r/2)^2} = 4k\frac{Q^2}{r^2} = 4F$ (आकर्षण, $C$ की दिशा में)।
चूंकि दोनों बल एक ही दिशा में ($-Q$ आवेश की ओर) हैं, इसलिए कुल बल $F_{net} = F_A + F_C = 4F + 4F = 8F$ होगा, जो $-Q$ आवेश की दिशा में कार्य करेगा।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक कोने से केंद्र $O$ तक की दूरी $r$ है। $r$ दूरी पर स्थित आवेश $Q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQ}{r^2}$ होता है।
केंद्र $O$ पर:
$A$ पर स्थित $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_A = \frac{kq}{r^2}$ है जो $AO$ की दिशा में है।
$C$ पर स्थित $3q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_C = \frac{k(3q)}{r^2}$ है जो $OC$ की दिशा में है।
विकर्ण $AC$ के अनुदिश नेट क्षेत्र $E_C - E_A = \frac{3kq}{r^2} - \frac{kq}{r^2} = \frac{2kq}{r^2}$ है जो $C$ से $A$ की ओर है।
$B$ पर स्थित $2q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_B = \frac{k(2q)}{r^2}$ है जो $BO$ की दिशा में है।
$D$ पर स्थित $4q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_D = \frac{k(4q)}{r^2}$ है जो $OD$ की दिशा में है।
विकर्ण $BD$ के अनुदिश नेट क्षेत्र $E_D - E_B = \frac{4kq}{r^2} - \frac{2kq}{r^2} = \frac{2kq}{r^2}$ है जो $D$ से $B$ की ओर है।
चूंकि दोनों नेट क्षेत्र परिमाण में समान हैं और क्रमशः $CA$ और $DB$ विकर्णों के अनुदिश हैं,इसलिए परिणामी विद्युत क्षेत्र इन दो सदिशों के बीच के कोण के समद्विभाजक की दिशा में होगा। समरूपता के अनुसार,परिणामी दिशा $CB$ है।

(A) $x = 0$ पर विद्युत क्षेत्र $E$,प्रत्येक आवेश $Q$ के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का योग है:
$E = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{kQ}{x_n^2} = kQ \left[ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{8^2} + \dots \right]$
$E = kQ \left[ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \dots \right]$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 1/4$ है। योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{4}{3}$ होगा।
$E = (9 \times 10^9) \times Q \times \frac{4}{3} = 12 \times 10^9 Q \text{ N/C}$.
$x = 0$ पर विद्युत विभव $V$,प्रत्येक आवेश के कारण उत्पन्न विभवों का योग है:
$V = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{kQ}{x_n} = kQ \left[ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right]$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a = 1$ और $r = 1/2$ है। योग $S = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$ होगा।
यदि $Q = 1 \mu C = 10^{-6} C$ लिया जाए:
$V = (9 \times 10^9) \times (10^{-6}) \times 2 = 18 \times 10^3 = 1.8 \times 10^4 \text{ V}$.

(A) विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेशों से उत्पन्न होती हैं और अनंत पर समाप्त होती हैं। चूंकि तीनों आवेश धनात्मक $(+q)$ हैं,इसलिए विद्युत क्षेत्र रेखाएं एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करेंगी। वे एक-दूसरे से दूर हटेंगी और आवेशों के बीच के क्षेत्र में प्रवेश नहीं करेंगी,जिससे त्रिभुज के केंद्रक पर एक उदासीन बिंदु बनेगा। क्षेत्र रेखाएं प्रत्येक शीर्ष से बाहर की ओर निकलती हुई और अन्य दो आवेशों से दूर मुड़ती हुई दिखाई देंगी। सही निरूपण चित्र $A$ में दिखाया गया है।

(D) स्थिर-वैद्युत बल एक संरक्षी बल है।
किसी भी संरक्षी बल के लिए,एक बंद पथ पर आवेश को घुमाने में किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।
चूंकि $+q$ आवेश केंद्र में स्थित $+Q$ आवेश के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ में घूमता है,इसलिए प्रारंभिक और अंतिम स्थितियां समान हैं।
अतः,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन शून्य है और कुल किया गया कार्य $W = 0$ है।

(D) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में $q$ आवेश को ले जाने के लिए किया गया कार्य $W = q \vec{E} \cdot \vec{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{d}$ विस्थापन सदिश है।
दिया गया है:
आवेश $q = 0.2 \ C$
विस्थापन $d = 2 \ m$
कोण $\theta = 60^\circ$
कार्य $W = 4 \ J$
सूत्र $W = qEd \cos \theta$ है।
मान रखने पर:
$4 = 0.2 \times E \times 2 \times \cos(60^\circ)$
$4 = 0.2 \times E \times 2 \times 0.5$
$4 = 0.2 \times E$
$E = 4 / 0.2$
$E = 20 \ N/C$.

(B) मान लीजिए कि दो आवेश $Q$,$A$ और $B$ बिंदुओं पर $r$ दूरी पर स्थित हैं। मध्य-बिंदु $M$,$A$ और $B$ दोनों से $r/2$ दूरी पर है।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,किसी भी आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
बिंदु $A$ पर स्थित आवेश $Q$ पर बल पर विचार करें:
$F_A = \frac{kQ^2}{r^2} + \frac{kQq}{(r/2)^2} = 0$
$\frac{kQ^2}{r^2} + \frac{4kQq}{r^2} = 0$
$Q^2 + 4Qq = 0$
$4Qq = -Q^2$
$q = -\frac{Q}{4}$
अतः,निकाय के संतुलन में रहने के लिए आवेश $q$ का मान $-Q/4$ होना चाहिए।

(C) दो प्रोटॉन के निकाय की प्रारंभिक स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ इस प्रकार दी जाती है:
$U = \frac{k q_1 q_2}{r}$
यहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,$q_1 = q_2 = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $r = 10^{-10} \ m$ है।
$U = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{10^{-10}}$
$U = \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{10^{-10}}$
$U = 23.04 \times 10^{-19} \ J = 2.304 \times 10^{-18} \ J$
जब प्रोटॉन को मुक्त किया जाता है,तो यह स्थितिज ऊर्जा अनंत दूरी पर निकाय की कुल गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
कुल गतिज ऊर्जा $K = U = 2.304 \times 10^{-18} \ J$.

(B) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = k \frac{Q q}{r_1}$,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$,$Q = 10^{-3} \, C$,$q = 10^{-6} \, C$,और $r_1 = 1 \, m$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = k \frac{Q q}{r_2}$,जहाँ $r_2 = 10 \, m$ है।
गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m v^2$,जहाँ $m = 2 \times 10^{-3} \, kg$ है।
$U_i = U_f + K_f$
$k Q q \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = \frac{1}{2} m v^2$
$9 \times 10^9 \times 10^{-3} \times 10^{-6} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{2} \times 2 \times 10^{-3} \times v^2$
$9 \times (0.9) = 10^{-3} \times v^2$
$8.1 = 10^{-3} \times v^2$
$v^2 = 8100$
$v = 90 \, m/s$

(B) व्यंजक $\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ विद्युत क्षेत्र के ऊर्जा घनत्व को दर्शाता है।
ऊर्जा घनत्व को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M^1L^2T^{-2}]$ है।
आयतन का विमीय सूत्र $[L^3]$ है।
इसलिए,ऊर्जा घनत्व का विमीय सूत्र $\frac{[M^1L^2T^{-2}]}{[L^3]} = [M^1L^{-1}T^{-2}]$ है।
अतः,$\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ की विमा $[M^1L^{-1}T^{-2}]$ है।

(B) गोलों की संतुलन स्थिति से,कार्य करने वाले बल तनाव $T$,भार $mg$,और स्थिरवैद्युत प्रतिकर्षण $F_e = \frac{kq^2}{x^2}$ हैं।
बलों का वियोजन करने पर: $T \cos \theta = mg$ और $T \sin \theta = \frac{kq^2}{x^2}$.
समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{kq^2}{x^2 mg}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\theta$ छोटा है,$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{x/2}{l} = \frac{x}{2l}$.
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{x}{2l} = \frac{kq^2}{x^2 mg} \implies q^2 = \frac{mg}{2lk} x^3 \implies q \propto x^{3/2}$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dq}{dt} \propto \frac{3}{2} x^{1/2} \frac{dx}{dt}$.
यह दिया गया है कि $\frac{dq}{dt}$ स्थिर है,इसलिए $1 \propto x^{1/2} v$,जिसका अर्थ है कि $v \propto x^{-1/2}$.

(B) एक हाइड्रोजन परमाणु एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन से बना होता है।
$\therefore$ एक हाइड्रोजन परमाणु पर कुल आवेश $= q_e + q_p = -e + (e + \Delta e) = \Delta e$.
चूंकि प्रत्येक हाइड्रोजन परमाणु पर $\Delta e$ का कुल आवेश है, इसलिए $d$ दूरी पर स्थित दो हाइड्रोजन परमाणुओं के बीच स्थिर-वैद्युत बल है:
$F_e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(\Delta e)^2}{d^2} \dots (i)$
दो हाइड्रोजन परमाणुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल है:
$F_g = \frac{G m_h^2}{d^2} \dots (ii)$
चूंकि कुल बल शून्य है, इसलिए स्थिर-वैद्युत बल गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है, अतः $F_e = F_g$.
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(\Delta e)^2}{d^2} = \frac{G m_h^2}{d^2}$
$(\Delta e)^2 = 4 \pi \varepsilon_0 G m_h^2 = \frac{G m_h^2}{k}$ (जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$)
$(\Delta e)^2 = \frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (1.67 \times 10^{-27})^2}{9 \times 10^9} \approx 20 \times 10^{-66}$
$\Delta e \approx 10^{-37} \, C$.

(B) त्वरण $a = \frac{v - u}{t} = \frac{6 - 0}{1} = 6\, m s^{-2}$ है।
समय अंतराल $t = 0$ से $t = 1\, s$ के लिए:
विस्थापन $S_1 = u t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 6 \times (1)^2 = 3\, m$.
$t = 1\, s$ पर,क्षेत्र की दिशा उलट दी जाती है,इसलिए नया त्वरण $a' = -6\, m s^{-2}$ है।
समय अंतराल $t = 1\, s$ से $t = 2\, s$ के लिए:
विस्थापन $S_2 = v_1 t + \frac{1}{2} a' t^2 = 6 \times 1 + \frac{1}{2} \times (-6) \times (1)^2 = 6 - 3 = 3\, m$.
समय अंतराल $t = 2\, s$ से $t = 3\, s$ के लिए:
$t = 2\, s$ पर वेग $v_2 = v_1 + a' t = 6 + (-6) \times 1 = 0\, m s^{-1}$ है।
विस्थापन $S_3 = v_2 t + \frac{1}{2} a' t^2 = 0 \times 1 + \frac{1}{2} \times (-6) \times (1)^2 = -3\, m$.
कुल विस्थापन $S = S_1 + S_2 + S_3 = 3 + 3 - 3 = 3\, m$.
औसत वेग = $\frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{3}{3} = 1\, m s^{-1}$.
कुल दूरी = $|S_1| + |S_2| + |S_3| = 3 + 3 + 3 = 9\, m$.
औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{9}{3} = 3\, m s^{-1}$.

(A) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
यह सूत्र केवल ब्लॉक के द्रव्यमान $m$ और स्प्रिंग नियतांक $k$ पर निर्भर करता है।
जब विद्युत क्षेत्र $E$ की उपस्थिति में ब्लॉक को $q$ आवेश दिया जाता है,तो ब्लॉक पर एक अतिरिक्त स्थिर बल $F_e = qE$ कार्य करता है।
यह स्थिर बल केवल ब्लॉक की संतुलन स्थिति को स्थानांतरित करता है,लेकिन यह प्रत्यानयन बल नियतांक $k$ या द्रव्यमान $m$ को नहीं बदलता है।
चूंकि नई संतुलन स्थिति से छोटे विस्थापन $x$ के लिए प्रत्यानयन बल $F = -kx$ रहता है,इसलिए गति का समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$ बना रहता है।
इस प्रकार,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ और आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ अपरिवर्तित रहते हैं।
इसलिए,नया आवर्तकाल मूल आवर्तकाल $T$ के बराबर होगा।

(A) मान लीजिए कि आवेश $|q|$ के कारण मूल बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $E$ है। आवेशों $|2q|, |3q|, |4q|$ और $|5q|$ के कारण विद्युत क्षेत्र क्रमशः $2E, 3E, 4E$ और $5E$ होंगे।
स्थिति $(i)$ के लिए:
आवेश $2q$ ($-x$ पर),$-3q$ ($+x$ पर) और $5q$ ($+y$ पर) हैं।
मूल बिंदु पर विद्युत क्षेत्र: $E_x = 2E - 3E = -E$ ($-x$ की दिशा में),$E_y = 5E$ ($+y$ की दिशा में)।
नेट क्षेत्र $E_{(i)} = \sqrt{(-E)^2 + (5E)^2} = \sqrt{26}E \approx 5.1E$.
स्थिति $(ii)$ के लिए:
आवेश $2q$ ($-x$ पर),$-q$ ($+x$ पर) और $-3q$ ($+y$ पर) हैं।
मूल बिंदु पर विद्युत क्षेत्र: $E_x = 2E - E = E$ ($+x$ की दिशा में),$E_y = 3E$ ($-y$ की दिशा में)।
नेट क्षेत्र $E_{(ii)} = \sqrt{E^2 + (-3E)^2} = \sqrt{10}E \approx 3.16E$.
स्थिति $(iii)$ के लिए:
आवेश $4q$ ($-x$ पर) और $-2q$ ($+x$ पर) हैं।
मूल बिंदु पर विद्युत क्षेत्र: $E_x = 4E - 2E = 2E$ ($+x$ की दिशा में)।
नेट क्षेत्र $E_{(iii)} = 2E$.
स्थिति $(iv)$ के लिए:
आवेश $3q$ ($-x$ पर) और $-q$ ($+x$ पर) हैं।
मूल बिंदु पर विद्युत क्षेत्र: $E_x = 3E - E = 2E$ ($+x$ की दिशा में)।
नेट क्षेत्र $E_{(iv)} = 2E$.
अतः,सही क्रम $(i) > (ii) > (iii) = (iv)$ है।

(A) मान लीजिए कि दो एकसमान गोलों पर प्रारंभिक आवेश $Q_1$ और $Q_2$ हैं जो $r$ दूरी पर स्थित हैं। कूलॉम के नियम के अनुसार प्रारंभिक प्रतिकर्षण बल:
$F = \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$
जब गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो वे एकसमान होने के कारण कुल आवेश उनके बीच समान रूप से विभाजित हो जाता है। अब प्रत्येक गोले पर आवेश $\frac{Q_1 + Q_2}{2}$ होगा।
फिर उन्हें नई दूरी $r' = \frac{r}{2}$ पर रखा जाता है। नया प्रतिकर्षण बल $F'$ है:
$F' = \frac{k (\frac{Q_1 + Q_2}{2})^2}{(\frac{r}{2})^2} = \frac{k (Q_1 + Q_2)^2}{r^2}$
दिया गया है कि $F' = 4.5 F$,इसलिए:
$\frac{k (Q_1 + Q_2)^2}{r^2} = 4.5 \times \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$
$(Q_1 + Q_2)^2 = 4.5 Q_1 Q_2$
$Q_1^2 + 2 Q_1 Q_2 + Q_2^2 = 4.5 Q_1 Q_2$
$Q_1^2 - 2.5 Q_1 Q_2 + Q_2^2 = 0$
$Q_2^2$ से विभाजित करने पर और $x = \frac{Q_1}{Q_2}$ लेने पर:
$x^2 - 2.5 x + 1 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2.5 \pm \sqrt{6.25 - 4}}{2} = \frac{2.5 \pm 1.5}{2}$
$x = \frac{4}{2} = 2$ या $x = \frac{1}{2} = 0.5$
अतः,प्रारंभिक आवेशों का अनुपात $2$ है।

(B) धातु की प्लेट एक सुचालक होती है, और स्थिर वैद्युत संतुलन में, इसकी सतह एक समविभव सतह के रूप में कार्य करती है।
विद्युत क्षेत्र रेखाएं हमेशा सुचालक की सतह के प्रत्येक बिंदु पर लंबवत होनी चाहिए।
जब एक धनात्मक आवेश $Q$ को एक अनंत धातु की प्लेट के पास रखा जाता है, तो यह प्लेट की सतह पर ऋणात्मक आवेश प्रेरित करता है।
विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश $Q$ से निकलती हैं और धातु की प्लेट की सतह पर लंबवत समाप्त होती हैं।
दिए गए विकल्पों में से, जो आरेख इन क्षेत्र रेखाओं को $Q$ से उत्पन्न होते हुए और प्लेट की सतह से $90^{\circ}$ के कोण पर मिलते हुए सही ढंग से दर्शाता है, वह विकल्प $B$ है।

(D) मान लीजिए कि $x=0$ और $x=l$ पर रखे गए दो समान बिंदु आवेशों का परिमाण $q$ है।
पहले आवेश ($x=0$ पर) से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र दोनों आवेशों के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है।
पहले आवेश के कारण क्षेत्र $E_1 = \frac{kq}{x^2}$ है (आवेश से दूर की दिशा में)।
दूसरे आवेश ($x=l$ पर) के कारण क्षेत्र $E_2 = \frac{kq}{(l-x)^2}$ है (पहले आवेश की दिशा में)।
पहले आवेश से दूर की दिशा को धनात्मक लेने पर,बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $E$ है:
$E = E_1 - E_2 = kq \left[ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{(l-x)^2} \right]$
जब $x \to 0$,तो $E \to +\infty$।
जब $x \to l$,तो $E \to -\infty$।
मध्य बिंदु $x = l/2$ पर,$E = kq \left[ \frac{1}{(l/2)^2} - \frac{1}{(l/2)^2} \right] = 0$।
जो वक्र $E$ को धनात्मक अनंत से शुरू होते हुए,$x = l/2$ पर शून्य से गुजरते हुए और $x$ के $l$ के करीब पहुंचने पर ऋणात्मक अनंत की ओर जाते हुए दिखाता है,वह विकल्प $(D)$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) मान लीजिए कि कोनों $A, B, C, D, E, F$ पर आवेश $q_A = -q, q_B = 3q, q_C = -2q, q_D = 2q, q_E = q, q_F = -2q$ हैं।
केंद्र $O$ पर,$r$ दूरी पर स्थित आवेश $q_i$ के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_i = \frac{k q_i}{r^2} \hat{r}_i$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन पर आवेश $-e$ है,इसलिए उस पर लगने वाला बल $\vec{F} = -e \vec{E}_{net}$ है।
हम विपरीत आवेशों की जोड़ियाँ बना सकते हैं:
$1$. जोड़ी $(A, D)$: $q_A = -q, q_D = 2q$. $O$ पर शुद्ध प्रभाव $D$ पर $q$ आवेश के बराबर है।
$2$. जोड़ी $(B, E)$: $q_B = 3q, q_E = q$. $O$ पर शुद्ध प्रभाव $B$ पर $2q$ आवेश के बराबर है।
$3$. जोड़ी $(C, F)$: $q_C = -2q, q_F = -2q$. $O$ पर शुद्ध प्रभाव $0$ है।
इस प्रकार,$O$ पर परिणामी विद्युत क्षेत्र ऐसी दिशा में होगा कि इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल शून्य न हो और न ही यह $OF$ या $OC$ के अनुदिश हो। अतः,सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(D) मान लीजिए कि चार आवेश $q$,$(\pm L/2, \pm L/2, 0)$ पर स्थित हैं। $Z$-अक्ष पर किसी बिंदु $(0, 0, z)$ से किसी भी आवेश की दूरी $r = \sqrt{(L/2)^2 + (L/2)^2 + z^2} = \sqrt{L^2/2 + z^2}$ है।
$r$ दूरी पर एक आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ है।
$Z$-अक्ष की दिशा में इस क्षेत्र का घटक $E_z = E_1 \cos\theta$ है,जहाँ $\cos\theta = z/r$ है।
चूंकि चार आवेश हैं,कुल विद्युत क्षेत्र $E = 4 \times E_z = 4 \times \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} \times \frac{z}{r} = \frac{q z}{\pi\epsilon_0 (L^2/2 + z^2)^{3/2}}$ होगा।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$dE/dz = 0$ रखें:
$\frac{d}{dz} [z (L^2/2 + z^2)^{-3/2}] = (L^2/2 + z^2)^{-3/2} + z(-3/2)(L^2/2 + z^2)^{-5/2}(2z) = 0$.
$(L^2/2 + z^2) - 3z^2 = 0 \implies L^2/2 = 2z^2 \implies z^2 = L^2/4 \implies z = L/2$.

(D) $R$ त्रिज्या और $\lambda$ रैखिक आवेश घनत्व वाले आवेशित चतुर्थांश के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sqrt{2}\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}$ होता है।
$2\lambda$ (प्रथम),$-2\lambda$ (द्वितीय),$\lambda$ (तृतीय),और $-\lambda$ (चतुर्थ) घनत्व वाले चार चतुर्थांशों के लिए,केंद्र पर विद्युत क्षेत्र सदिश इस प्रकार हैं:
$E_1 = \frac{\sqrt{2}(2\lambda)}{2\pi\varepsilon_0 R}$ (प्रथम चतुर्थांश से दूर,तृतीय चतुर्थांश की ओर)।
$E_2 = \frac{\sqrt{2}(2\lambda)}{2\pi\varepsilon_0 R}$ (द्वितीय चतुर्थांश की ओर,चतुर्थ चतुर्थांश से दूर)।
$E_3 = \frac{\sqrt{2}\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}$ (तृतीय चतुर्थांश की ओर,प्रथम चतुर्थांश से दूर)।
$E_4 = \frac{\sqrt{2}\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}$ (चतुर्थ चतुर्थांश से दूर,द्वितीय चतुर्थांश की ओर)।
इन सदिशों का योग करने पर,परिणामी क्षेत्र $E_{net} = \frac{\sqrt{2}}{2\pi\varepsilon_0 R} [ (2\lambda - \lambda) \frac{-\hat{i}-\hat{j}}{\sqrt{2}} + (2\lambda - \lambda) \frac{-\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}} ] = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R} [ -\hat{i}-\hat{j} - \hat{i} + \hat{j} ] = -\frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0 R} \hat{i}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि धनात्मक आवेश $Q$ की स्थिति $(x, 0)$ है। प्रत्येक ऋण आवेश $-q$ और धनात्मक आवेश $Q$ के बीच की दूरी $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ है।
प्रत्येक ऋण आवेश द्वारा $Q$ पर लगाए गए स्थिरवैद्युत बल $F$ का परिमाण $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{x^2 + a^2}$ है।
इन बलों के $x$-अक्ष के लंबवत घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि $x$-अक्ष की दिशा वाले घटक जुड़ जाते हैं।
परिणामी प्रत्यानयन बल $F_{\text{net}}$ इस प्रकार है:
$F_{\text{net}} = -2F \cos \theta = -2 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{x^2 + a^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \right)$
$F_{\text{net}} = -\frac{2qQ}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{x}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$
चूंकि $F_{\text{net}} \propto -x$ सभी $x$ के लिए सत्य नहीं है (यह केवल $x \ll a$ के लिए सत्य है),इसलिए प्रत्यानयन बल रैखिक नहीं है। अतः,गति दोलनी होगी लेकिन सरल आवर्त गति नहीं होगी।

(B) $1$. जब कण $Y$ स्थिर होता है,तो उसे स्थिर रखने के लिए एक बाहरी बल (बाध्यकारी बल) लगाया जाना चाहिए। इस बाहरी बल के कारण,निकाय का कुल संवेग $p$ संरक्षित नहीं रहता है।
$2$. $X$ और $Y$ के बीच स्थिर-वैद्युत बल एक संरक्षी बल है। इसलिए,निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ संरक्षित रहती है।
$3$. यदि दोनों कण गति करने के लिए स्वतंत्र हैं,तो निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है। इस स्थिति में,कुल संवेग $p$ और कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ दोनों संरक्षित रहते हैं।
$4$. इन तथ्यों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,यदि $Y$ स्थिर है,तो $E$ संरक्षित रहता है लेकिन $p$ नहीं। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(D) मान लीजिए द्रव्यमान $m$ है और आवेश $q_1$ और $q_2$ हैं। प्रारंभ में, $X$ का वेग $u$ है और $Y$ विराम अवस्था में है। निकाय का कुल संवेग $P_i = mu + m(0) = mu$ है।
चूंकि कण शुरू में बहुत दूर हैं, इसलिए स्थितिज ऊर्जा शून्य है। जैसे ही $X$, $Y$ के करीब आता है, दोनों कणों पर प्रतिकर्षण स्थिर-वैद्युत बल कार्य करता है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, कुल संवेग स्थिर रहता है: $m v_X + m v_Y = mu$, जिसका अर्थ है $v_X + v_Y = u$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mu^2$ अंतिम गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_X^2 + \frac{1}{2}mv_Y^2 + U_f$, जहाँ $U_f > 0$ है।
चूंकि $U_f > 0$ है, इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा का योग प्रारंभिक गतिज ऊर्जा से कम होना चाहिए: $\frac{1}{2}m(v_X^2 + v_Y^2) < \frac{1}{2}mu^2$, इसलिए $v_X^2 + v_Y^2 < u^2$.
दिया गया है $v_X + v_Y = u$, यदि $v_X = 0$ है, तो $v_Y = u$ होगा, जिसका अर्थ $v_X^2 + v_Y^2 = u^2$ होगा, जो ऊर्जा संरक्षण का खंडन करता है। अतः, $v_X$ शून्य नहीं हो सकता। दोनों कण इस प्रकार गति करना जारी रखेंगे कि उनका योग $u$ रहे और उनके व्यक्तिगत वेग $u/2$ से कम हों।

(B) प्रतिकर्षी स्थिर-वैद्युत बल के कारण, कण परस्पर क्रिया करेंगे। निकटतम दूरी के बिंदु पर, दोनों कणों को गति की दिशा में समान वेग $u$ के साथ चलना चाहिए।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$mv + m(0) = (m + m)u$
$mv = 2mu \implies u = \frac{v}{2}$
अब, ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा (निकटतम दूरी $R$ पर)
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{R}$
$\frac{1}{2}mv^2 = mu^2 + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{R}$
$u = \frac{v}{2}$ रखने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = m(\frac{v}{2})^2 + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{R}$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{R}$
$\frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{R}$
$R$ के लिए हल करने पर:
$R = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{4Q^2}{mv^2}$

(A) एक समान रूप से आवेशित अचालक गोले के केंद्र से $r$ दूरी पर विभव $V(r) = \frac{\rho}{6\varepsilon_0} (3R^2 - r^2)$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र से $d = R/2$ दूरी पर स्थित सुरंग के लिए,सतह पर $(r=R)$ विभव $V_s = \frac{\rho}{6\varepsilon_0} (3R^2 - R^2) = \frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0}$ है।
सुरंग के केंद्र में $(r=R/2)$ विभव $V_c = \frac{\rho}{6\varepsilon_0} (3R^2 - (R/2)^2) = \frac{\rho}{6\varepsilon_0} (3R^2 - R^2/4) = \frac{\rho}{6\varepsilon_0} (11R^2/4) = \frac{11\rho R^2}{24\varepsilon_0}$ है।
दूसरे छोर तक पहुँचने के लिए,कण को कम से कम सुरंग के केंद्र तक पहुँचना चाहिए जहाँ विभव अधिकतम है। ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2}mv^2 + qV_s = 0 + qV_c$.
चूँकि $q=1$ दिया गया है,$\frac{1}{2}mv^2 = V_c - V_s = \frac{11\rho R^2}{24\varepsilon_0} - \frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0} = \frac{\rho R^2}{24\varepsilon_0} (11 - 8) = \frac{3\rho R^2}{24\varepsilon_0} = \frac{\rho R^2}{8\varepsilon_0}$.
अतः,$v^2 = \frac{\rho R^2}{4m\varepsilon_0}$,जिससे $v = [\rho R^2 / 4m\varepsilon_0]^{1/2}$ प्राप्त होता है।

(B) अनंत लंबाई के रैखिक आवेश से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V(r) = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(r) + C$ द्वारा दिया जाता है।
बाह्य बल द्वारा आवेश $q$ को बिंदु $A$ से $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W_{ext} = q(V_B - V_A)$ है। यहाँ $q = 1$ है।
तीन तारों के कारण किसी भी बिंदु $(x, y, z)$ पर विभव:
$V(x, y, z) = V_x + V_y + V_z$
$V(x, y, z) = -\frac{2\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(\sqrt{y^2+z^2}) - \frac{3\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(\sqrt{x^2+z^2}) - \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(\sqrt{x^2+y^2})$
बिंदु $A(1, 1, 1)$ पर:
$V_A = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} [2 \ln(\sqrt{2}) + 3 \ln(\sqrt{2}) + 1 \ln(\sqrt{2})] = -\frac{6\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(\sqrt{2}) = -\frac{3\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(2)$
बिंदु $B(0, 1, 1)$ पर:
$V_B = -\frac{2\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(\sqrt{1^2+1^2}) - \frac{3\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(\sqrt{0^2+1^2}) - \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(\sqrt{0^2+1^2})$
$V_B = -\frac{2\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(\sqrt{2}) - 0 - 0 = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(2)$
कार्य $W_{ext} = V_B - V_A = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(2) - (-\frac{3\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(2)) = \frac{2\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(2) = \frac{\lambda \ln 2}{\pi \epsilon_0}$.

(B) $Q$ आवेश को स्थिर रखने के लिए,एक बाह्य एजेंट को $q$ द्वारा $Q$ पर लगाए गए स्थिरवैद्युत बल के बराबर और विपरीत बल लगाना होगा। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,इस बल का परिमाण $Q$ द्वारा $q$ पर लगाए गए बल के बराबर होता है। बाह्य एजेंट पर आवेग $I$,कण $q$ के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी कण $q$ की गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है:
$U_i - U_f = K_f - K_i$
चूंकि $K_i = 0$:
$K_f = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qq}{r} - \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qq}{2r} = \frac{Qq}{8\pi \epsilon_0 r}$
$K_f = \frac{1}{2}mv_q^2$ का उपयोग करके,हम वेग $v_q$ ज्ञात करते हैं:
$v_q = \sqrt{\frac{2K_f}{m}} = \sqrt{\frac{2}{m} \cdot \frac{Qq}{8\pi \epsilon_0 r}} = \sqrt{\frac{Qq}{4\pi \epsilon_0 mr}}$
आवेग $I$,कण $q$ के संवेग में परिवर्तन है:
$I = m \cdot v_q = m \sqrt{\frac{Qq}{4\pi \epsilon_0 mr}} = \sqrt{\frac{Qqm}{4\pi \epsilon_0 r}}$

(B) विद्युत विभव एक अदिश राशि है। केंद्र पर विभव $(n - 1)$ आवेशों के कारण विभव का योग है,जहाँ प्रत्येक आवेश का मान $q$ है।
$V = (n - 1) \times \frac{kq}{r} = \frac{k(n - 1)q}{r}$
विद्युत क्षेत्र एक सदिश राशि है। $n$ कोनों वाले एक नियमित बहुभुज में,यदि सभी $n$ कोनों पर आवेश रखे जाते,तो समरूपता के कारण केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होता।
मान लीजिए कि अनुपस्थित आवेश $n^{th}$ कोने पर है। $(n - 1)$ आवेशों के कारण क्षेत्र,$n^{th}$ कोने पर स्थित एक अकेले आवेश $q$ द्वारा उत्पन्न क्षेत्र के बराबर और विपरीत होता है।
इस प्रकार,केंद्र पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \frac{kq}{r^2}$ है।
अनुपात $V/E$ की गणना करने पर:
$\frac{V}{E} = \frac{k(n - 1)q}{r} \times \frac{r^2}{kq} = r(n - 1)$.

(B) अनंत रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ वाली रेखा से $R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}$ द्वारा दिया जाता है।
अर्धवृत्ताकार छड़ पर लंब समद्विभाजक से $\theta$ कोण पर $d\theta$ कोणीय चौड़ाई का एक छोटा अवयव लें। इस अवयव पर आवेश $dq = \left(\frac{q}{\pi R}\right) R d\theta = \frac{q}{\pi} d\theta$ है।
इस अवयव पर लगने वाला बल $dF = (dq)E = \left(\frac{q}{\pi} d\theta\right) \left(\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}\right) = \frac{\lambda q}{2\pi^2\varepsilon_0 R} d\theta$ है।
समरूपता के कारण,समरूपता की धुरी के लंबवत बल के घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। कुल बल समरूपता की धुरी के अनुदिश घटकों का योग है: $F_{\text{net}} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} dF \cos\theta$.
$F_{\text{net}} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda q}{2\pi^2\varepsilon_0 R} \cos\theta d\theta = \frac{\lambda q}{2\pi^2\varepsilon_0 R} [\sin\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}$.
$F_{\text{net}} = \frac{\lambda q}{2\pi^2\varepsilon_0 R} [1 - (-1)] = \frac{\lambda q}{2\pi^2\varepsilon_0 R} (2) = \frac{\lambda q}{\pi^2\varepsilon_0 R}$.

(D) दो धनात्मक आवेशों $+2q$ से $r$ दूरी पर स्थित एक ऋणात्मक आवेश $-q$ की स्थितिज ऊर्जा $U = -2 \cdot \frac{k(2q)q}{\sqrt{a^2 + r^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$x-$अक्ष के अनुदिश, बिंदु $A$ $(r=0)$ पर स्थितिज ऊर्जा अधिकतम है, इसलिए संतुलन अस्थायी है $(\frac{d^2U}{dx^2} < 0)$।
$y-$अक्ष के अनुदिश, बिंदु $A$ $(r=0)$ पर स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम है, इसलिए संतुलन स्थायी है $(\frac{d^2U}{dy^2} > 0)$।
अतः, आवेश $x-$अक्ष के अनुदिश अस्थायी संतुलन में और $y-$अक्ष के अनुदिश स्थायी संतुलन में है।

(C) मान लीजिए गेंदों पर आवेश $q_1, q_2, q_3, q_4, q_5$ हैं।
$1$. जोड़े $(2,3)$ और $(4,5)$ प्रतिकर्षण दिखाते हैं,जिसका अर्थ है कि गेंदों $2$ और $3$ की ध्रुवीयता समान है,और गेंदों $4$ और $5$ की ध्रुवीयता समान है।
$2$. जोड़ा $(2,4)$ आकर्षण दिखाता है,जिसका अर्थ है कि गेंदों $2$ और $4$ पर विपरीत आवेश हैं। मान लीजिए $q_2$ धनात्मक $(+)$ है और $q_4$ ऋणात्मक $(-)$ है। तो $q_3$ धनात्मक $(+)$ होगा और $q_5$ ऋणात्मक $(-)$ होगा।
$3$. जोड़ा $(1,2)$ आकर्षण दिखाता है। चूँकि $q_2$ धनात्मक $(+)$ है,$q_1$ ऋणात्मक $(-)$ या उदासीन हो सकता है।
$4$. जोड़ा $(4,1)$ आकर्षण दिखाता है। चूँकि $q_4$ ऋणात्मक $(-)$ है,$q_1$ धनात्मक $(+)$ या उदासीन हो सकता है।
$5$. चूँकि गेंद $1$ धनावेशित गेंद $(2)$ और ऋणावेशित गेंद $(4)$ दोनों के साथ आकर्षण दिखाती है,इसलिए इस पर कोई नेट आवेश नहीं हो सकता। अतः,गेंद $1$ उदासीन होनी चाहिए।

(A) बिंदु आवेशों $q_i$ के कारण किसी बिंदु $(x, y, z)$ पर विद्युत विभव $V = \sum \frac{k q_i}{r_i}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i = \sqrt{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + z^2}$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ पर,$1\ m$ भुजा वाले वर्ग के प्रत्येक कोने से केंद्र तक की दूरी $r = \frac{1}{\sqrt{2}}\ m$ है।
मूल बिंदु पर विभव $V = \frac{k}{r} (1 + 2 + 3 - 6) \mu C = \frac{k}{r} (0) = 0$ है।
अतः,मूल बिंदु पर विद्युत विभव शून्य है।
$z$-अक्ष पर किसी भी बिंदु के लिए,विभव $V(z) = \sum \frac{k q_i}{\sqrt{r_i^2 + z^2}}$ है। चूंकि आवेशों का योग शून्य है,इसलिए बहुत अधिक दूरी पर विभव शून्य के करीब पहुंचता है,लेकिन यह $z$-अक्ष पर हर जगह शून्य नहीं होता है। इसलिए,केवल विकल्प $A$ सही है।

(D) मान लीजिए बिंदु $P$,$B$ की ओर $B$ से $x$ दूरी पर है। $+4\,Q$ और $-Q$ के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण समान और दिशा विपरीत होनी चाहिए।
$E_A = E_B \implies \frac{k(4Q)}{(3+x)^2} = \frac{kQ}{x^2}$
$4x^2 = (3+x)^2 \implies 2x = 3+x \implies x = 3\,m$.
अतः,बिंदु $P$,$B$ से $3\,m$ की दूरी पर $AB$ के बाहर है। इसलिए,विकल्प $A$ सही है।
अब $P$ के निकट विभव $V$ पर विचार करें। विभव $V = \frac{k(4Q)}{r_A} - \frac{kQ}{r_B}$ द्वारा दिया जाता है।
$P$ पर स्थित ऋण आवेश $q_n$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U_n = q_n V$ है। चूँकि $q_n$ ऋण है,स्थितिज ऊर्जा $U_n$ का $P$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होता है,जो स्थायी संतुलन को दर्शाता है। अतः,ऋण आवेश को $AB$ रेखा के अनुदिश थोड़ा विस्थापित करने पर वह दोलन करेगा। इसलिए,विकल्प $B$ सही है।
$P$ पर स्थित धन आवेश $q_p$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U_p = q_p V$ का $P$ पर स्थानीय अधिकतम मान होता है,जो अस्थायी संतुलन को दर्शाता है। यह दोलन नहीं करेगा। इसलिए,विकल्प $C$ गलत है।
अतः,$A$ और $B$ दोनों सही हैं।

(D) स्थिति $1$: यदि $q$ धनात्मक है और विस्थापन $\Delta$ आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश है,तो कण केंद्र की ओर एक प्रत्यानयन बल का अनुभव करता है। अतः,यह $S.H.M.$ करता है।
स्थिति $2$: यदि $q$ ऋणात्मक है और विस्थापन $\Delta$ आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है,तो परिणामी स्थिर-वैद्युत बल केंद्र की ओर कार्य करता है (प्रत्यानयन बल)। अतः,यह $S.H.M.$ करता है।
इसलिए,$A$ और $C$ दोनों स्थितियाँ $S.H.M.$ की ओर ले जाती हैं।

(D) माना आवेश $q_1 = Q$,$x=0$ पर और $q_2 = -Q/4$,$x=x$ पर स्थित हैं।
$1$. विभव शून्य है:
$V = \frac{kQ}{r_1} + \frac{k(-Q/4)}{r_2} = 0 \Rightarrow \frac{Q}{r_1} = \frac{Q}{4r_2} \Rightarrow r_1 = 4r_2$.
स्थिति $I$: आवेशों के बीच का बिंदु। $r_1 + r_2 = x$. $4r_2 + r_2 = x \Rightarrow r_2 = x/5$. यह $-Q/4$ के बाईं ओर $x/5$ दूरी पर है।
स्थिति $II$: आवेशों के बाहर का बिंदु (कम परिमाण वाले आवेश के निकट)। $r_1 - r_2 = x$. $4r_2 - r_2 = x \Rightarrow 3r_2 = x \Rightarrow r_2 = x/3$. यह $-Q/4$ के दाईं ओर $x/3$ दूरी पर है।
अतः विकल्प $A$ और $B$ दोनों सही हैं।
$2$. विद्युत क्षेत्र शून्य है:
$E = \frac{kQ}{r_1^2} - \frac{k(Q/4)}{r_2^2} = 0 \Rightarrow \frac{1}{r_1^2} = \frac{1}{4r_2^2} \Rightarrow r_1 = 2r_2$.
विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,बिंदु को आवेशों के बाहर और छोटे आवेश के निकट होना चाहिए। माना $-Q/4$ से दूरी $d$ है। तो $r_1 = x+d$ और $r_2 = d$.
$x+d = 2d \Rightarrow d = x$. यह $-Q/4$ के दाईं ओर $x$ दूरी पर है।
अतः विकल्प $C$ भी सही है।
चूंकि $A, B$ और $C$ सही हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(D) मान लीजिए कि आवेश $4Q$ और $16Q$ सिरों पर हैं,जो $d = 9 \text{ cm}$ की दूरी पर हैं। मान लीजिए कि आवेश $Q, 4Q$ से $x$ दूरी पर रखा गया है। निकाय की स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$U = \frac{k(4Q)(16Q)}{d} + \frac{k(4Q)(Q)}{x} + \frac{k(16Q)(Q)}{d-x}$
$U$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $\frac{dU}{dx} = 0$ रखते हैं:
$\frac{dU}{dx} = -\frac{k(4Q^2)}{x^2} + \frac{k(16Q^2)}{(d-x)^2} = 0$
$\frac{16}{(d-x)^2} = \frac{4}{x^2} \Rightarrow \frac{4}{d-x} = \frac{2}{x}$
$4x = 2d - 2x \Rightarrow 6x = 2d \Rightarrow x = \frac{d}{3}$
चूंकि $d = 9 \text{ cm}$ दिया गया है,$x = \frac{9}{3} = 3 \text{ cm}$ ($4Q$ से)।
इस प्रकार,$Q, 4Q$ से $3 \text{ cm}$ और $16Q$ से $6 \text{ cm}$ की दूरी पर है। यह विकल्प $B$ से मेल खाता है।
अब,$Q$ पर विद्युत क्षेत्र की जाँच करें:
$E = \frac{k(4Q)}{x^2} - \frac{k(16Q)}{(d-x)^2} = \frac{k(4Q)}{3^2} - \frac{k(16Q)}{6^2} = \frac{4kQ}{9} - \frac{16kQ}{36} = \frac{4kQ}{9} - \frac{4kQ}{9} = 0$.
चूंकि $B$ और $C$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B, C) $R$ त्रिज्या और कुल आवेश $Q$ वाली एक वृत्ताकार वलय के लिए,उसकी अक्ष पर केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qr}{(R^2 + r^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $r = 0$ होता है,तो $E = 0$ होता है। जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$E$ बढ़ता है,$r = R/\sqrt{2}$ पर अधिकतम हो जाता है,और फिर $r \to \infty$ होने पर घटता जाता है। यह ग्राफ चित्र $B$ के अनुरूप है।
इसी प्रकार,अक्ष पर केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{\sqrt{R^2 + r^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $r = 0$ होता है,तो $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ (अधिकतम मान) होता है। जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$V$ लगातार घटता जाता है और $r \to \infty$ होने पर शून्य की ओर जाता है। यह ग्राफ चित्र $C$ के अनुरूप है।

(A) वलय की अक्ष पर केंद्र $O$ से $x$ दूरी पर स्थित एक बिंदु $P$ पर विचार करें।
वलय पर प्रत्येक छोटा आवेश अवयव $dq$,बिंदु $P$ से समान दूरी $r = \sqrt{R^2 + x^2}$ पर है,जहाँ $R$ वलय की त्रिज्या है।
बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V$ को $V = \int \frac{k dq}{r} = \frac{k}{r} \int dq$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वलय पर कुल आवेश शून्य है,$\int dq = 0$,इसलिए अक्ष पर किसी भी बिंदु पर विभव $V$ शून्य है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E_x \hat{i} + E_y \hat{j} = 10^5 \hat{i} + 10^5 \hat{j} \ NC^{-1}$ है।
मान लीजिए कॉर्क पर आवेश $q$ है। संतुलन की स्थिति में कॉर्क पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. डोरी में तनाव $T$,जो ऊर्ध्वाधर के साथ $\alpha$ कोण पर है।
$2$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$3$. विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E} = qE_x \hat{i} + qE_y \hat{j}$.
बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में वियोजित करने पर:
क्षैतिज: $T \sin \alpha = qE_x$
ऊर्ध्वाधर: $T \cos \alpha + qE_y = mg \implies qE_y = mg - T \cos \alpha$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{qE_x}{qE_y} = \frac{T \sin \alpha}{mg - T \cos \alpha}$
चूंकि $E_x = E_y$,हमारे पास $1 = \frac{T \sin \alpha}{mg - T \cos \alpha}$ है,जिससे $mg - T \cos \alpha = T \sin \alpha$,या $mg = T(\sin \alpha + \cos \alpha)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $T = \frac{2mg}{1 + \sqrt{3}}$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$mg = \frac{2mg}{1 + \sqrt{3}} (\sin \alpha + \cos \alpha)$
$1 + \sqrt{3} = 2(\sin \alpha + \cos \alpha)$
$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin 30^o + \cos 30^o$ या $\sin 60^o + \cos 60^o$.
अतः,$\alpha = 30^o$ या $60^o$ है।

(D) $1$. विद्युत क्षेत्र रेखाओं का घनत्व विद्युत क्षेत्र की प्रबलता को दर्शाता है। चूंकि बिंदु $A$ पर क्षेत्र रेखाएं बिंदु $B$ की तुलना में अधिक पास-पास हैं,इसलिए बिंदु $A$ पर विद्युत क्षेत्र की प्रबलता अधिक है,अर्थात $|E_A| > |E_B|$।
$2$. विद्युत क्षेत्र रेखाओं की दिशा में विद्युत विभव घटता है। चूंकि क्षेत्र रेखाएं बाईं ओर निर्देशित हैं,इसलिए दाईं ओर जाने पर विभव बढ़ता है। अतः,बिंदु $B$ पर विभव बिंदु $A$ की तुलना में अधिक है,अर्थात $V_B > V_A$।
$3$. इस प्रकार,$E_A > E_B$ और $V_B > V_A$ दोनों कथन सही हैं।

(D) $1$. कवच $S$ एक चालक है। जब केंद्र $C$ पर $Q$ आवेश रखा जाता है,तो चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य सुनिश्चित करने के लिए कवच की आंतरिक सतह पर $-Q$ प्रेरित आवेश उत्पन्न होता है। चूंकि कवच पर कुल $Q$ आवेश है,इसलिए बाहरी सतह पर आवेश $Q - (-Q) = 2Q$ होगा।
$2$. बाहरी सतह पर आवेश घनत्व $\sigma = \frac{2Q}{4\pi R^2} = \frac{Q}{2\pi R^2}$ है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$3$. कवच के अंदर $(r < R)$,विद्युत क्षेत्र केवल केंद्र पर स्थित $Q$ आवेश के कारण होता है,जो $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ के अनुसार दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$4$. चूंकि विकल्प $A$ और $B$ सही हैं,इसलिए विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(D) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A, B$ और $O$ हैं। आवेश $q_A = -2q$,$q_B = +q$ और $q_O = +q$ हैं। भुजा की लंबाई $L$ है।
प्रत्येक शीर्ष से केंद्रक $C$ की दूरी $r = \frac{L}{\sqrt{3}}$ है।
केंद्रक $C$ पर विद्युत विभव $V$ इस प्रकार है:
$V = k \frac{q_A}{r} + k \frac{q_B}{r} + k \frac{q_O}{r} = k \frac{-2q + q + q}{r} = 0$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।
द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ के लिए,हम आवेशों को निर्देशांकों पर रखते हैं: $O(0, 0)$,$B(L, 0)$,और $A(L/2, \sqrt{3}L/2)$।
$\vec{p} = \sum q_i \vec{r}_i = q(0, 0) + q(L, 0) + (-2q)(L/2, \sqrt{3}L/2) = (qL - qL, 0 - \sqrt{3}qL) = (0, -\sqrt{3}qL)$।
द्विध्रुव आघूर्ण का परिमाण $|\vec{p}| = \sqrt{3}qL$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।
चूंकि $A$ और $B$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) कण पर लगने वाला कुल बल $\vec{F} = q\vec{E} + m\vec{g}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\vec{E}$ और $\vec{g}$ दोनों एकसमान हैं,इसलिए कुल त्वरण $\vec{a} = \frac{q\vec{E}}{m} + \vec{g}$ स्थिर रहता है।
यदि प्रारंभिक वेग $\vec{v}$ स्थिर त्वरण $\vec{a}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर है,तो कण रैखिक गति (सीधी रेखा) करेगा।
यदि प्रारंभिक वेग $\vec{v}$ त्वरण $\vec{a}$ के समानांतर नहीं है,तो कण गुरुत्वाकर्षण के तहत प्रक्षेप्य गति की तरह परवलयाकार पथ का अनुसरण करेगा।
इसलिए,पथ एक सीधी रेखा या परवलय हो सकता है।

(D) एक चालक खोल के गुण के अनुसार,यदि त्रिज्या $a$ की गुहा (cavity) के केंद्र में एक बिंदु आवेश $q_A$ रखा जाता है,तो खोल की आंतरिक सतह पर एक समान और विपरीत आवेश $-q_A$ प्रेरित होता है।
यह दिया गया है कि आंतरिक सतह पर एकसमान आवेश घनत्व $-\sigma$ है,इसलिए आंतरिक सतह पर कुल आवेश $Q_{inner} = -\sigma \times (4\pi a^2)$ है।
चूंकि प्रेरित आवेश $-q_A$ के बराबर होना चाहिए,हमारे पास $-q_A = -\sigma(4\pi a^2)$ है,जिसका अर्थ है $q_A = 4\pi \sigma a^2$।
चूंकि $\sigma$,$a$,और $\pi$ धनात्मक हैं,इसलिए $q_A$ धनात्मक होना चाहिए।
इस प्रकार,यह कथन कि आवेश धनात्मक है और यह कथन कि इसका परिमाण $4\pi \sigma a^2$ है,दोनों सही हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।