Mix Examples-Electric Charges and Fields Questions in Hindi

(C) कथन-$I$ सत्य है: जब एक धनात्मक बिंदु आवेश को किसी विद्यमान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो किसी भी बिंदु पर कुल विद्युत क्षेत्र बाह्य क्षेत्र और बिंदु आवेश द्वारा उत्पन्न क्षेत्र का सदिश योग होता है। आवेश के सापेक्ष स्थिति के आधार पर,क्षेत्र बढ़ या घट सकता है।
कथन-$II$ असत्य है: हालांकि यह सामान्यतः सत्य है कि असमान क्षेत्र में द्विध्रुव पर एक नेट बल कार्य करता है,लेकिन यह हमेशा सत्य नहीं होता है। यदि द्विध्रुव को ऐसे बिंदु पर रखा जाए जहाँ विद्युत क्षेत्र का मान अधिकतम या न्यूनतम हो,तो द्विध्रुव पर कुल बल शून्य हो सकता है। इसलिए,यह कथन कि बल 'शून्य नहीं होगा' सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं है।

(A) विद्युत विस्थापन सदिश को $\overrightarrow{D} = \epsilon_{0} \overrightarrow{E}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
विद्युत विस्थापन का आयामी विश्लेषण: $[D] = [\epsilon_{0}][E]$।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E$,पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ से $E = \frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$ द्वारा संबंधित है,इसलिए हमें $\epsilon_{0} E = \sigma$ प्राप्त होता है।
अतः,विद्युत विस्थापन $[D]$ के आयाम पृष्ठीय आवेश घनत्व $[\sigma]$ के आयामों के बराबर हैं।
दोनों के आयाम $[Q L^{-2}]$ हैं,जहाँ $Q$ आवेश है और $L$ लंबाई है।

(B) मान लीजिए गोलों $A$ और $B$ पर प्रारंभिक आवेश $q_A = q_B = q$ है। प्रारंभिक बल $F = \frac{Kq^2}{r^2}$ है।
जब गोले $C$ (प्रारंभ में अनावेशित) को $A$ के संपर्क में रखा जाता है,तो आवेश समान रूप से पुनर्वितरित होता है: $q_A' = q_C' = \frac{q}{2}$।
अब,गोले $C$ को $B$ के संपर्क में रखा जाता है। कुल आवेश $q + \frac{q}{2} = \frac{3q}{2}$ है। अलग करने पर,प्रत्येक पर $q_B' = q_C'' = \frac{3q/2}{2} = \frac{3q}{4}$ आवेश आता है।
अब,$A$ पर $\frac{q}{2}$ और $B$ पर $\frac{3q}{4}$ आवेश है। गोले $C$ को मध्य बिंदु पर (दोनों से $r/2$ दूरी पर) रखा जाता है।
$A$ के कारण $C$ पर बल $F_1 = \frac{K(q/2)(3q/4)}{(r/2)^2} = \frac{3Kq^2/8}{r^2/4} = \frac{3Kq^2}{2r^2} = \frac{3F}{2}$ ($A$ की ओर)।
$B$ के कारण $C$ पर बल $F_2 = \frac{K(3q/4)(3q/4)}{(r/2)^2} = \frac{9Kq^2/16}{r^2/4} = \frac{9Kq^2}{4r^2} = \frac{9F}{4}$ ($A$ की ओर)।
$C$ पर परिणामी बल $F_{net} = F_2 - F_1 = \frac{9F}{4} - \frac{3F}{2} = \frac{9F - 6F}{4} = \frac{3F}{4}$।

(C) प्रक्षेप्य गति में अनावेशित कण के लिए,परास $L = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} \quad \dots(i)$ है।
आवेशित कण के लिए,प्रभावी त्वरण $g' = g + \frac{qE}{m}$ हो जाता है।
दिया गया है कि $q$ आवेश वाले कण के लिए परास $L/2$ है,इसलिए:
$\frac{L}{2} = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g + \frac{qE}{m}}$
समीकरण $(i)$ से $u^2 \sin 2\theta = Lg$ रखने पर:
$\frac{L}{2} = \frac{Lg}{g + \frac{qE}{m}}$
$\Rightarrow g + \frac{qE}{m} = 2g \Rightarrow \frac{qE}{m} = g \quad \dots(ii)$
अब,$m$ द्रव्यमान और $2q$ आवेश वाले कण के लिए,प्रभावी त्वरण $g'' = g + \frac{2qE}{m}$ है।
समीकरण $(ii)$ का उपयोग करने पर,$g'' = g + 2g = 3g$ प्राप्त होता है।
अतः नई परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{3g} = \frac{1}{3} \left( \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} \right) = \frac{L}{3}$ होगी।

(C) एक ग्राउंडेड चालक कोने के लिए प्रतिबिंब विधि (method of images) का उपयोग करते हुए,हम सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए तीन प्रतिबिंब आवेश रखते हैं: $(-d, 0)$ पर $-q$,$(0, -d)$ पर $-q$,और $(-d, -d)$ पर $+q$।
प्रतिबिंब आवेशों के कारण $(d, d)$ पर स्थित $+q$ आवेश पर बल है:
$1$. $(-d, 0)$ पर $-q$ के कारण बल: $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(2d)^2 + 0^2} = \frac{q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2}$ ($x$-अक्ष की ओर आकर्षित)।
$2$. $(0, -d)$ पर $-q$ के कारण बल: $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{0^2 + (2d)^2} = \frac{q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2}$ ($y$-अक्ष की ओर आकर्षित)।
$3$. $(-d, -d)$ पर $+q$ के कारण बल: $F_3 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(2d)^2 + (2d)^2} = \frac{q^2}{32 \pi \varepsilon_0 d^2}$ (मूल बिंदु से दूर प्रतिकर्षित)।
दो $-q$ आवेशों के कारण परिणामी आकर्षण बल $F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{2} F_1 = \frac{\sqrt{2} q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2}$,जो मूल बिंदु $O$ की ओर निर्देशित है।
कुल बल $F_{\text{net}} = F_{12} - F_3 = \frac{\sqrt{2} q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2} - \frac{q^2}{32 \pi \varepsilon_0 d^2} = \frac{q^2}{32 \pi \varepsilon_0 d^2} (2\sqrt{2} - 1)$,जो $O$ की ओर निर्देशित है।

(C) मान लीजिए $q_1$ और $q_2$ भुजा $a$ वाले एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्षों पर आवेश हैं। तीसरे शीर्ष पर विद्युत क्षेत्र $E$ का परिमाण $q_1$ और $q_2$ के कारण उत्पन्न क्षेत्रों $E_1$ और $E_2$ के सदिश योग द्वारा दिया जाता है।
$E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_2 \cos 60^{\circ}}$
चूंकि $E_1 = \frac{k q_1}{a^2}$ और $E_2 = \frac{k q_2}{a^2}$,हमारे पास है:
$E = \frac{k}{a^2} \sqrt{q_1^2 + q_2^2 + q_1 q_2}$
दिया गया है $q_1 + q_2 = q$,मान लीजिए $x = q_1 / q$,इसलिए $q_1 = xq$ और $q_2 = (1-x)q$.
इन मानों को $E$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{k}{a^2} \sqrt{(xq)^2 + ((1-x)q)^2 + (xq)((1-x)q)}$
$E = \frac{kq}{a^2} \sqrt{x^2 + 1 - 2x + x^2 + x - x^2} = \frac{kq}{a^2} \sqrt{x^2 - x + 1}$
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$f(x) = x^2 - x + 1$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके उसे शून्य के बराबर रखने पर:
$f'(x) = 2x - 1 = 0 \implies x = 0.5$.
$x = 0$ या $x = 1$ पर,$E = \frac{kq}{a^2}$. $x = 0.5$ पर,$E = \frac{kq}{a^2} \sqrt{0.25 - 0.5 + 1} = \frac{kq}{a^2} \sqrt{0.75} = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{kq}{a^2}$.
यह ग्राफ $C$ में दिखाए गए वक्र के अनुरूप है।

(C) $1$. प्रतिकर्षण केवल समान आवेशों के बीच होता है। अतः,$b$ और $c$ पर समान आवेश है,और $d$ और $e$ पर समान आवेश है।
$2$. आकर्षण विपरीत आवेशों के बीच या एक आवेशित वस्तु और एक अनावेशित वस्तु के बीच (प्रेरण के कारण) होता है।
$3$. दिया गया है कि $(a, b)$ आकर्षित होते हैं,$(c, e)$ आकर्षित होते हैं,और $(a, e)$ आकर्षित होते हैं।
$4$. यदि $a$ आवेशित होता (मान लीजिए धनात्मक),तो $b$ ऋणात्मक होना चाहिए। चूंकि $(b, c)$ प्रतिकर्षित करते हैं,$c$ भी ऋणात्मक होना चाहिए। चूंकि $(c, e)$ आकर्षित करते हैं,$e$ धनात्मक होना चाहिए (या अनावेशित)। यदि $e$ धनात्मक है,तो $(a, e)$ प्रतिकर्षित करेंगे,जो दी गई जानकारी के विपरीत है। यदि $e$ अनावेशित है,तो $(a, e)$ आकर्षित करेंगे,लेकिन $(d, e)$ प्रतिकर्षित नहीं करेंगे (क्योंकि $e$ को प्रतिकर्षित करने के लिए $d$ का आवेशित होना आवश्यक है)।
$5$. यदि $a$ अनावेशित है,तो यह स्थिर-वैद्युत प्रेरण के कारण किसी भी आवेशित वस्तु $b$ या $e$ को आकर्षित करेगा। यह सभी दिए गए अवलोकनों के साथ सुसंगत है।

(D) स्थिर वैद्युत प्रेरण का सिद्धांत एक मूलभूत घटना है जिसका उपयोग विभिन्न औद्योगिक और प्राकृतिक प्रक्रियाओं में किया जाता है।
$1$. परागण: कई पौधों में,परागकण प्रेरण द्वारा उत्पन्न स्थिर वैद्युत बलों के कारण वर्तिकाग्र (stigma) की ओर आकर्षित होते हैं।
$2$. चॉकलेट बनाना: चॉकलेट पर समान रूप से परत चढ़ाने के लिए इलेक्ट्रोस्टैटिक डिपोजिशन का उपयोग किया जाता है।
$3$. ज़ेरोक्स कॉपी: ज़ेरोोग्राफी (फोटोकॉपी) की प्रक्रिया कागज पर टोनर कणों को स्थानांतरित करने के लिए काफी हद तक स्थिर वैद्युत प्रेरण पर निर्भर करती है।
चूंकि ये सभी प्रक्रियाएं स्थिर वैद्युत प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करती हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) भुजा वाले एक नियमित षट्कोण के लिए,प्रत्येक शीर्ष से केंद्र $O$ तक की दूरी $r = a$ है।
$1$. विद्युत विभव $(V)$: केंद्र $O$ पर विभव व्यक्तिगत आवेशों के कारण उत्पन्न विभवों का बीजगणितीय योग है: $V = \sum \frac{k q_i}{r_i} = \frac{k}{a} (q - q + q - q + q - q) = 0$.
$2$. विद्युत क्षेत्र $(E)$: केंद्र $O$ पर विद्युत क्षेत्र व्यक्तिगत आवेशों के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है। विपरीत आवेशों का प्रत्येक जोड़ा (जैसे $q$ और $-q$) केंद्र पर ऋण आवेश की दिशा में एक परिणामी क्षेत्र उत्पन्न करता है। विशेष रूप से,एक शीर्ष पर स्थित $q$ और विपरीत शीर्ष पर स्थित $-q$ आवेश $\frac{2kq}{a^2}$ परिमाण का एक परिणामी क्षेत्र ऋण आवेश की ओर उत्पन्न करते हैं। चूंकि ऐसे तीन जोड़े एक-दूसरे से $120^\circ$ के कोण पर स्थित हैं,इसलिए उनका सदिश योग शून्य होता है। अतः,$E = 0$.

(A) एक अनंत समतल आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E_S = \frac{|\sigma_s|}{2\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $(0, 0, 2)$ पर,शीट से (जो $x-y$ तल,यानी $z=0$ पर है) दूरी $r_S = 2 \text{ m}$ है।
एक अनंत रेखीय आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E_{\ell} = \frac{|\lambda_e|}{2\pi\epsilon_0 r_{\ell}}$ द्वारा दिया जाता है।
रेखीय आवेश $z=4 \text{ m}$ पर है और $y$-अक्ष के समानांतर है। बिंदु $(0, 0, 2)$ है। रेखीय आवेश से बिंदु $(0, 0, 2)$ तक की लंबवत दूरी $r_{\ell} = |4 - 2| = 2 \text{ m}$ है।
दिया गया है कि $|\sigma_s| = 2|\lambda_e|$.
विद्युत क्षेत्रों का अनुपात:
$\frac{E_S}{E_{\ell}} = \frac{|\sigma_s| / 2\epsilon_0}{|\lambda_e| / 2\pi\epsilon_0 r_{\ell}} = \frac{|\sigma_s|}{2\epsilon_0} \times \frac{2\pi\epsilon_0 r_{\ell}}{|\lambda_e|} = \frac{|\sigma_s| \pi r_{\ell}}{|\lambda_e|}$.
$|\sigma_s| = 2|\lambda_e|$ और $r_{\ell} = 2 \text{ m}$ मान रखने पर:
$\frac{E_S}{E_{\ell}} = \frac{2|\lambda_e| \times \pi \times 2}{|\lambda_e|} = 4\pi$.
हमें अनुपात $\pi \sqrt{n} : 1$ दिया गया है,इसलिए $\pi \sqrt{n} = 4\pi$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{n} = 4$.
अतः,$n = 16$.

(C) आवेश $q_A = q/3$,$q_B = q/3$,और $q_C = -2q/3$ हैं।
$\triangle ABC$ में,चूंकि $A, B, C$ केंद्र $O$ वाले वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए $OA = OB = OC = R$ है।
दिया गया है $\angle CAB = 60^{\circ}$,$\triangle OAC$ में,$OA = OC = R$ है,इसलिए $\angle OCA = \angle OAC = 60^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है कि $\triangle OAC$ एक समबाहु त्रिभुज है। अतः,$AC = R$ है।
इसी प्रकार,$\triangle OBC$ के लिए,$BC$ दूरी की गणना करने पर,$BC = \sqrt{R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(120^{\circ})} = R\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$C$ और $B$ के बीच बल $F_{BC} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_C| |q_B|}{(BC)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(2q/3)(q/3)}{(R\sqrt{3})^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q^2/9}{3R^2} = \frac{q^2}{54 \pi \varepsilon_0 R^2}$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) सही विकल्प $A$ है।
एक केंद्रीय बल क्षेत्र में,जैसे कि स्थिर आवेश $+Q$ द्वारा उत्पन्न कूलम्ब क्षेत्र,परिक्रमा करने वाले $-q$ आवेश पर लगने वाला बल हमेशा केंद्र (जहाँ $+Q$ स्थित है) की ओर निर्देशित होता है।
चूंकि बल एक केंद्रीय बल है,इसलिए $+Q$ के सापेक्ष $-q$ पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ शून्य होता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कुल बाहरी टॉर्क शून्य है,तो कोणीय संवेग $\vec{L}$ नियत रहता है।
इसलिए,$-q$ आवेश का कोणीय संवेग उसकी दीर्घवृत्ताकार कक्षा के दौरान नियत रहता है।
दीर्घवृत्ताकार कक्षा में रेखीय संवेग,कोणीय वेग और रेखीय चाल नियत नहीं होते हैं क्योंकि आवेशों के बीच की दूरी बदलती रहती है,जिससे चाल और दिशा में परिवर्तन होता है।

(A) एक आवेशित चालक की सतह पर स्थिर-वैद्युत दबाव $P = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दबाव सतह के प्रत्येक भाग पर त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करता है।
दो अर्धगोलीय कोशों को एक साथ रखने के लिए, बाहरी बल $F$ को अर्धगोले के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल पर स्थिर-वैद्युत दबाव द्वारा लगाए गए कुल बाहरी बल को संतुलित करना होगा।
अर्धगोले का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है।
कुल बाहरी बल $F$, स्थिर-वैद्युत दबाव और बल की दिशा के लंबवत प्रक्षेपित क्षेत्रफल का गुणनफल है:
$F = P \times A = \left( \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0} \right) \times \pi R^2$.
अतः, $F = \frac{\pi \sigma^2 R^2}{2\varepsilon_0}$.
चूंकि $\pi$, $2$, और $\varepsilon_0$ स्थिरांक हैं, इसलिए बल $F$, $\sigma^2 R^2$ के समानुपाती है।

(D) $1$. जब बूंद संतुलित होती है: $qE = mg = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$ (हवा का घनत्व नगण्य है)।
$2$. जब विद्युत क्षेत्र बंद कर दिया जाता है,तो बूंद टर्मिनल वेग $v_T$ के साथ गिरती है: $mg = 6 \pi \eta R v_T$।
$3$. दूसरे समीकरण से,$R = \sqrt{\frac{9 \eta v_T}{2 \rho g}}$।
$4$. मान रखने पर: $R = \sqrt{\frac{9 \times 1.8 \times 10^{-5} \times 2 \times 10^{-3}}{2 \times 900 \times 9.8}} \approx 1.355 \times 10^{-6} \text{ m}$।
$5$. अब,$q = \frac{6 \pi \eta R v_T}{E} = \frac{6 \pi \times 1.8 \times 10^{-5} \times 1.355 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}}{\frac{81 \pi}{7} \times 10^5}$।
$6$. गणना करने पर $q = 8.0 \times 10^{-19} \text{ C}$ प्राप्त होता है।

(A) वर्गाकार फिल्म की एक भुजा,मान लीजिए '$a$' लंबाई की भुजा $BC$ के संतुलन पर विचार करें। इस भुजा पर कार्य करने वाला पृष्ठ तनाव बल $F_2 = \gamma a$ है (चूंकि साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं,बल $2 \gamma a$ होता है)।
$B$ और $C$ पर स्थित आवेशों पर अन्य आवेशों के कारण लगने वाला स्थिर वैद्युत बल पृष्ठ तनाव द्वारा संतुलित होना चाहिए। $A$ और $C$ के आवेशों के कारण $B$ पर लगने वाला कुल स्थिर वैद्युत बल $F_{AC} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2} \sqrt{2}$ है और $D$ के आवेश के कारण $F_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{2a^2}$ है।
भुजा $BC$ के लंबवत दिशा में लगने वाला कुल स्थिर वैद्युत बल $F_{net} = 2 \times F_{charge} \cos(45^{\circ})$ है।
बलों को बराबर करने पर: $2 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \right) = \gamma a$.
सरल करने पर,$a^3 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{\gamma} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right)$.
इसकी तुलना $a = k \left[ \frac{q^2}{\gamma} \right]^{1/N}$ से करने पर,हमें $N = 3$ प्राप्त होता है।

(C) विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं। वे बंद लूप नहीं बनाती हैं।
दूसरी ओर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हमेशा बंद निरंतर लूप बनाती हैं क्योंकि चुंबकीय मोनोपोल मौजूद नहीं होते हैं।
हालाँकि,प्रश्न दोनों के लिए मान्य पैटर्न के बारे में पूछता है।
विकल्प $C$ वृत्ताकार क्षेत्र रेखाएं दिखाता है।
विद्युत क्षेत्र के लिए,समय के साथ बदलते चुंबकीय क्षेत्र वाले क्षेत्रों में (प्रेरित विद्युत क्षेत्र) वृत्ताकार रेखाएं मौजूद हो सकती हैं।
चुंबकीय क्षेत्र के लिए,सीधे धारावाही तार द्वारा वृत्ताकार रेखाएं उत्पन्न होती हैं।
इस प्रकार,वृत्ताकार फील्ड पैटर्न ही एकमात्र ऐसा पैटर्न है जो विद्युत क्षेत्र (विशिष्ट गैर-इलेक्ट्रोस्टैटिक स्थितियों में) और चुंबकीय क्षेत्र दोनों का प्रतिनिधित्व कर सकता है।

(B) सही कथन $(C)$ और $(D)$ हैं।
$(A)$ गॉस का नियम व्युत्क्रम-वर्ग नियम $(E \propto r^{-2})$ से प्राप्त होता है। यदि क्षेत्र $r^{-2.5}$ के रूप में बदलता है,तो बंद सतह से गुजरने वाला फ्लक्स सतह के आकार और माप पर निर्भर करेगा,जिससे मानक गॉस नियम अमान्य हो जाएगा।
$(B)$ गॉस का नियम तब सबसे प्रभावी होता है जब उच्च समरूपता (गोलीय,बेलनाकार या समतल) हो। विद्युत द्विध्रुव में गॉस के नियम का उपयोग करके विद्युत क्षेत्र की गणना करने के लिए आवश्यक समरूपता का अभाव होता है।
$(C)$ दो बिंदु आवेशों के लिए,उनके बीच के बिंदु पर विद्युत क्षेत्र तभी शून्य होता है जब आवेशों का चिह्न समान हो (प्रतिकर्षण बल)। यदि उनके चिह्न विपरीत हैं,तो क्षेत्र उनके बीच के क्षेत्र के बाहर शून्य होता है।
$(D)$ परिभाषा के अनुसार,विभवांतर $(V_B - V_A)$ वह कार्य है जो एक इकाई धनात्मक आवेश को $A$ से $B$ तक बिना त्वरित किए ले जाने के लिए बाहरी एजेंट द्वारा किया जाता है।

(B) $(1)$ मूल बिंदु पर स्थित बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQ}{d^2}$ है,इसलिए $E \propto \frac{1}{d^2}$।
$(2)$ द्विध्रुव की अक्ष पर किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{2kp}{d^3} = \frac{4kQl}{d^3}$ है,इसलिए $E \propto \frac{1}{d^3}$।
$(3)$ अनंत लंबे रेखीय आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{2k\lambda}{d}$ है,इसलिए $E \propto \frac{1}{d}$।
$(4)$ दो अनंत लंबे तारों के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{2k\lambda}{d-l} - \frac{2k\lambda}{d+l} = \frac{4k\lambda l}{d^2-l^2}$ है। यदि $d \gg l$ है,तो $E = \frac{4k\lambda l}{d^2}$,इसलिए $E \propto \frac{1}{d^2}$।
$(5)$ अनंत समतल आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ है,जो $d$ से स्वतंत्र है।
मिलान: $P \rightarrow 5$,$Q \rightarrow 3$,$R \rightarrow 1, 4$,$S \rightarrow 2$। अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) मान लीजिए गोले पर प्रारंभिक आवेश $Q$ है। अतः,$V_0 = \frac{kQ}{R}$।
जब $\alpha(4\pi R^2)$ क्षेत्रफल का एक छोटा छिद्र बनाया जाता है,तो हटाया गया आवेश $q = \alpha Q$ है।
$(1)$ केंद्र पर विभव $(V_c)$ और केंद्र से छिद्र की ओर $R/2$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विभव $(V_p)$:
किसी भी बिंदु पर विभव पूर्ण गोले के कारण विभव और हटाए गए आवेश (जिसे सतह पर एक ऋणात्मक बिंदु आवेश के रूप में माना जाता है) के कारण विभव का योग होता है।
$V_c = \frac{kQ}{R} - \frac{kq}{R} = \frac{kQ}{R}(1-\alpha) = V_0(1-\alpha)$।
$V_p = \frac{kQ}{R} - \frac{kq}{R/2} = \frac{kQ}{R} - \frac{2kq}{R} = \frac{kQ}{R}(1-2\alpha) = V_0(1-2\alpha)$।
अतः,अनुपात $\frac{V_c}{V_p} = \frac{1-\alpha}{1-2\alpha}$। इस प्रकार,विकल्प $(A)$ सही है।
$(2)$ केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $(E_c)$:
प्रारंभ में,$E_c = 0$। आवेश $q$ को हटाने के बाद,$E_c = \frac{kq}{R^2} = \frac{k(\alpha Q)}{R^2} = \alpha \frac{V_0}{R}$। विद्युत क्षेत्र बढ़ता है।
$(3)$ केंद्र से $2R$ दूरी पर स्थित बिंदु $P'$ पर विद्युत क्षेत्र:
प्रारंभ में,$E_{P'} = \frac{kQ}{(2R)^2} = \frac{kQ}{4R^2}$।
सतह से आवेश $q$ हटाने के बाद,छिद्र के कारण $P'$ पर विद्युत क्षेत्र $\frac{kq}{R^2}$ है (क्योंकि $P'$ छिद्र से $R$ दूरी पर है)।
$E_{P', \text{final}} = \frac{kQ}{4R^2} - \frac{kq}{R^2} = \frac{kQ}{4R^2} - \frac{k(\alpha Q)}{R^2} = \frac{kQ}{4R^2} - \frac{4k\alpha Q}{4R^2} = \frac{kQ}{4R^2}(1-4\alpha)$।
क्षेत्र में परिवर्तन $\Delta E = \frac{kq}{R^2} = \frac{k(\alpha Q)}{R^2} = \frac{\alpha V_0}{R}$।

(C) विद्युत क्षेत्र इस प्रकार हैं: $E_1(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$,$E_2(r) = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$,और $E_3(r) = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$.
दिया गया है कि $E_1(r_0) = E_2(r_0) = E_3(r_0) = E_0$,इसलिए:
$\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r_0^2} = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r_0} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} = E_0$.
$E_2(r_0) = E_3(r_0)$ से,हमें $\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r_0} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r_0 = \frac{\lambda}{\pi \sigma}$। अतः,विकल्प $B$ गलत है।
$E_1(r_0) = E_3(r_0)$ से,हमें $\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r_0^2} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $Q = 2 \pi \sigma r_0^2$। अतः,विकल्प $A$ गलत है।
अब,विकल्प $C$ की जाँच करें: $E_1(r_0/2) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 (r_0/2)^2} = 4 E_1(r_0) = 4 E_0$. साथ ही,$E_2(r_0/2) = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 (r_0/2)} = 2 E_2(r_0) = 2 E_0$. इसलिए,$E_1(r_0/2) = 2 E_2(r_0/2)$। विकल्प $C$ सही है।
विकल्प $D$ की जाँच करें: $E_3(r)$,$r$ से स्वतंत्र है,इसलिए $E_3(r_0/2) = E_3(r_0) = E_0$. चूँकि $E_2(r_0/2) = 2 E_0$,इसलिए $E_2(r_0/2) = 2 E_3(r_0/2)$। विकल्प $D$ गलत है।

(A) मान लीजिए कि आवेश $Q_i$ द्वारा $q$ पर लगाया गया बल $\vec{F}_i$ है। $\pm x_0$ पर आवेशों के एक जोड़े से बल का $x$-घटक $(Q_{left} - Q_{right})$ के समानुपाती होता है। $y$-घटक $(Q_{left} + Q_{right})$ के समानुपाती होता है।
$(P)$ सभी धनात्मक: $Q_1=Q_2=Q_3=Q_4 = +Q$। सममिति के कारण $x$-घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। $y$-घटक जुड़ जाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप $+y$ दिशा में नेट बल प्राप्त होता है (विकल्प $3$)।
$(Q)$ $Q_1, Q_2$ धनात्मक, $Q_3, Q_4$ ऋणात्मक: $y$-घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। $x$-घटक $+x$ दिशा में जुड़ जाते हैं क्योंकि धनात्मक आवेश बाईं ओर और ऋणात्मक दाईं ओर हैं, जो $q$ को दाईं ओर धकेलते हैं (विकल्प $1$)।
$(R)$ $Q_1, Q_4$ धनात्मक, $Q_2, Q_3$ ऋणात्मक: $x$-घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। $y$-घटक ऋणात्मक होते हैं क्योंकि मूल बिंदु के करीब के आवेश $(Q_2, Q_3)$ ऋणात्मक हैं और उनका $y$-प्रभाव दूर स्थित धनात्मक आवेशों $(Q_1, Q_4)$ की तुलना में अधिक मजबूत है, जिसके परिणामस्वरूप $-y$ दिशा में नेट बल प्राप्त होता है (विकल्प $4$)।
$(S)$ $Q_1, Q_3$ धनात्मक, $Q_2, Q_4$ ऋणात्मक: $y$-घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। $x$-घटक $-x$ दिशा में नेट बल उत्पन्न करते हैं क्योंकि बाईं ओर के आवेशों का कुल प्रभाव ऋणात्मक है और दाईं ओर के आवेशों का धनात्मक है, जो $q$ को बाईं ओर खींचते हैं (विकल्प $2$)।
अतः, सही मिलान $P-3, Q-1, R-4, S-2$ है।

(A) कण की स्थितिज ऊर्जा $U(z) = qV(z) = \frac{q\sigma}{2\epsilon_0}(\sqrt{R^2+z^2} - z)$ है।
बाह्य बल $\vec{F} = -c\hat{k}$ है,इसलिए इस बल के कारण स्थितिज ऊर्जा $U_{ext}(z) = cz$ है।
कुल स्थितिज ऊर्जा $U_{total}(z) = \frac{q\sigma}{2\epsilon_0}(\sqrt{R^2+z^2} - z) + cz$ है।
$\beta = \frac{2c\epsilon_0}{q\sigma}$ का उपयोग करने पर,$c = \frac{\beta q\sigma}{2\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
अतः,$U_{total}(z) = \frac{q\sigma}{2\epsilon_0}(\sqrt{R^2+z^2} - z + \beta z)$ है।
कण के मूल बिंदु तक पहुँचने के लिए,$z_0$ पर कुल ऊर्जा $z=0$ पर स्थितिज ऊर्जा से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए। कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए $E = U_{total}(z_0)$ है।
$U_{total}(z_0) \ge U_{total}(0) \implies \sqrt{R^2+z_0^2} - z_0 + \beta z_0 \ge R$।
$(A)$ के लिए: $\beta = 1/4, z_0 = 25/7 R$। गणना करने पर $1.04 R > R$ प्राप्त होता है,इसलिए कण मूल बिंदु तक पहुँचता है।
$(B)$ के लिए: $\beta = 1/4, z_0 = 3/7 R$। गणना करने पर $0.759 R < R$ प्राप्त होता है,इसलिए कण मूल बिंदु तक नहीं पहुँचता है।
$(C)$ के लिए: $z_0 = R/\sqrt{3}$ पर,$U_{total}(z_0) > R$ प्राप्त होता है,इसलिए यह मूल बिंदु को पार कर जाएगा।
सही विकल्प $(A)$ है।

(D) कुल विभवांतर $V_P - V_R$ तार और गोलीय कोश के कारण उत्पन्न विभवांतरों का योग है।
$1$. अनंत लंबाई के तार के कारण विभवांतर:
तार से $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{2k\lambda}{x}$ है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ और $\lambda = 5 \times 10^{-9} \text{ C/m}$ है।
विभवांतर $V_P - V_R = \int_{0.5}^{2} E \, dx = \int_{0.5}^{2} \frac{2k\lambda}{x} \, dx = 2k\lambda \ln\left(\frac{2}{0.5}\right) = 2k\lambda \ln(4) = 4k\lambda \ln(2)$.
मान रखने पर: $V_P - V_R = 4 \times (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-9}) \times 0.7 = 180 \times 0.7 = 126 \text{ V}$.
$2$. गोलीय कोश के कारण विभवांतर:
बिंदु $P$ $0.5 \text{ m}$ की दूरी पर है ($1 \text{ m}$ त्रिज्या वाले कोश के अंदर) और बिंदु $R$ $2 \text{ m}$ की दूरी पर है (कोश के बाहर)।
कोश के अंदर विभव स्थिर होता है: $V_P = \frac{kQ}{R_s} = \frac{(9 \times 10^9) \times (10 \times 10^{-9})}{1} = 90 \text{ V}$.
कोश के बाहर $r$ दूरी पर विभव $V_R = \frac{kQ}{r} = \frac{(9 \times 10^9) \times (10 \times 10^{-9})}{2} = 45 \text{ V}$ है।
अतः,$V_P - V_R = 90 - 45 = 45 \text{ V}$.
कुल विभवांतर: $V_P - V_R = 126 + 45 = 171 \text{ V}$.

(D) विभिन्न आवेश वितरणों के लिए विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार है:
$(A)$ आवेशित रिंग के लिए उसकी अक्ष पर,क्षेत्र केंद्र पर शून्य होता है,$r = R/\sqrt{2}$ पर अधिकतम होता है और फिर घटता है। यह ग्राफ $(P)$ के अनुरूप है।
$(B)$ समान रूप से आवेशित ठोस गोले के लिए,$r < R$ के लिए $E \propto r$ और $r > R$ के लिए $E \propto 1/r^2$ होता है। यह ग्राफ $(Q)$ के अनुरूप है।
$(C)$ समान रूप से आवेशित गोलीय कोश के लिए,$r < R$ के लिए क्षेत्र शून्य होता है और $r > R$ के लिए $E \propto 1/r^2$ होता है। यह ग्राफ $(R)$ के अनुरूप है।
$(D)$ द्विध्रुव ($+Q$ और $-Q$ का संयोजन) के लिए,लंब समद्विभाजक पर क्षेत्र केंद्र पर अधिकतम होता है और दूरी बढ़ने पर घटता है। यह ग्राफ $(S)$ के अनुरूप है।
अतः,सही मिलान $(A)-(P), (B)-(Q), (C)-(R), (D)-(S)$ है।

(NONE) विन्यास $I$ के लिए: शीटों के बीच किसी भी क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{2\epsilon_0} \sum \sigma_i$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्र $4$ में,$E_4 = \frac{1}{2\epsilon_0} (\sigma_0 - \sigma_0 + \sigma_0 - \sigma_0 + \sigma_0) = \frac{\sigma_0}{2\epsilon_0} (1 - 1 + 1 - 1 + 1) = \frac{\sigma_0}{2\epsilon_0}$। अतः,विकल्प $C$ गलत है।
पहली और अंतिम शीट के बीच विभवांतर $V_1 - V_6 = E_1 d + E_2 d + E_3 d + E_4 d + E_5 d$ है।
विन्यास $I$ के लिए,$E_1 = \frac{\sigma_0}{2\epsilon_0}$,$E_2 = -\frac{\sigma_0}{2\epsilon_0}$,$E_3 = \frac{\sigma_0}{2\epsilon_0}$,$E_4 = -\frac{\sigma_0}{2\epsilon_0}$,$E_5 = \frac{\sigma_0}{2\epsilon_0}$।
$V_1 - V_6 = d \frac{\sigma_0}{2\epsilon_0} (1 - 1 + 1 - 1 + 1) = \frac{\sigma_0 d}{2\epsilon_0} = \frac{9 \times 10^{-6} \times 10^{-6}}{2 \times 9 \times 10^{-12}} = 0.5 V$। विकल्प $B$ गलत है।
विन्यास $II$ के लिए: क्षेत्र $3$ में विद्युत क्षेत्र $E_3 = \frac{1}{2\epsilon_0} (\frac{\sigma_0}{2} - \sigma_0 + \sigma_0) = \frac{\sigma_0}{4\epsilon_0}$ है। विकल्प $A$ गलत है।
विन्यास $II$ के लिए पहली और अंतिम शीट के बीच विभवांतर: $E_1 = \frac{\sigma_0}{4\epsilon_0}$,$E_2 = -\frac{\sigma_0}{4\epsilon_0}$,$E_3 = \frac{\sigma_0}{4\epsilon_0}$,$E_4 = -\frac{\sigma_0}{4\epsilon_0}$,$E_5 = \frac{\sigma_0}{4\epsilon_0}$।
$V_1 - V_6 = d (E_1 + E_2 + E_3 + E_4 + E_5) = d \frac{\sigma_0}{4\epsilon_0} (1 - 1 + 1 - 1 + 1) = \frac{\sigma_0 d}{4\epsilon_0} \neq 0$। विकल्प $D$ गलत है।

(B) $r$ दूरी पर $Q$ आवेश वाले दो समान गोलों के बीच प्रारंभिक स्थिर-विद्युत बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{kQ^2}{r^2}$।
जब एक समान अनावेशित गोला आवेशित गोलों में से एक को स्पर्श करता है,तो आवेश $Q$ उनके बीच समान रूप से साझा हो जाता है। इस प्रकार,स्पर्श किए गए गोले पर अब $Q/2$ आवेश है और तीसरा गोला भी $Q/2$ आवेश प्राप्त कर लेता है।
तीसरे गोले को मध्य बिंदु पर (प्रत्येक से $r/2$ दूरी पर) रखा जाता है। मान लीजिए आवेश $q_1 = Q/2$ (स्पर्श किया गया गोला),$q_2 = Q$ (अस्पर्शित गोला),और $q_3 = Q/2$ (तीसरा गोला) हैं।
पहले गोले के कारण तीसरे गोले पर बल $F_1 = \frac{k(Q/2)(Q/2)}{(r/2)^2} = \frac{kQ^2/4}{r^2/4} = \frac{kQ^2}{r^2} = F$ (पहले गोले से दूर की दिशा में)।
दूसरे गोले के कारण तीसरे गोले पर बल $F_2 = \frac{k(Q)(Q/2)}{(r/2)^2} = \frac{kQ^2/2}{r^2/4} = \frac{2kQ^2}{r^2} = 2F$ (दूसरे गोले से दूर की दिशा में)।
चूंकि बल विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए कुल बल $F_{\text{net}} = |F_2 - F_1| = |2F - F| = F$ होगा।

(C) वैन डी ग्राफ जनरेटर एक इलेक्ट्रोस्टैटिक जनरेटर है जो एक खोखले धातु के गुंबद पर बहुत अधिक विद्युत आवेश जमा करने के लिए एक चलते हुए बेल्ट का उपयोग करता है।
इसे बहुत उच्च विभवांतर (वोल्टेज) उत्पन्न करने के लिए डिज़ाइन किया गया है,जो आमतौर पर लाखों वोल्ट की सीमा में होता है।
हालाँकि,प्रति इकाई समय में स्थानांतरित आवेश की मात्रा बहुत कम होती है,जिसके परिणामस्वरूप बहुत कम विद्युत धारा प्राप्त होती है।
इसलिए,यह उच्च वोल्टेज और कम धारा उत्पन्न करता है।

(B) वान डी ग्राफ जनरेटर मुख्य रूप से दो सिद्धांतों पर कार्य करता है:
$1$. नुकीले सिरों पर कोरोना डिस्चार्ज की घटना,जो गतिमान बेल्ट पर आवेश के स्थानांतरण की अनुमति देती है।
$2$. यह गुण कि खोखले चालक को दिया गया आवेश उसकी बाहरी सतह पर स्थानांतरित हो जाता है,और जैसे-जैसे अधिक आवेश दिया जाता है,चालक का विभव बढ़ता जाता है।
विकल्प $B$ साइक्लोट्रॉन के सिद्धांत का वर्णन करता है,जहाँ आवेशित कणों को त्वरित करने के लिए विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों का उपयोग किया जाता है। इसलिए,वान डी ग्राफ जनरेटर एक-दूसरे के लंबवत विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के अनुप्रयोग पर आधारित नहीं है।

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार गोलों के बीच प्रारंभिक बल:
$F = \frac{k(4Q)(2Q)}{r^2} = \frac{8kQ^2}{r^2} \quad \dots(1)$
जब गोलों को एक चालक तार से जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश उनके बीच समान रूप से पुनर्वितरित हो जाता है:
$Q_{new} = \frac{4Q + (-2Q)}{2} = \frac{2Q}{2} = Q$
अब,नई दूरी $r' = \frac{r}{2}$ है। नया बल $F'$ इस प्रकार है:
$F' = \frac{k(Q)(Q)}{(r/2)^2} = \frac{kQ^2}{r^2/4} = \frac{4kQ^2}{r^2}$
समीकरण $(1)$ से,हम जानते हैं कि $\frac{kQ^2}{r^2} = \frac{F}{8}$।
इस मान को $F'$ के व्यंजक में रखने पर:
$F' = 4 \times \left(\frac{F}{8}\right) = \frac{F}{2}$

(C) सही विकल्प $C$ है।
जब एक गतिशील इलेक्ट्रॉन दूसरे स्थिर इलेक्ट्रॉन के करीब आता है,तो उनके बीच कार्य करने वाला स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल गतिशील इलेक्ट्रॉन की गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
यह प्रतिकर्षण बल गतिशील इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक कार्य करता है,जिससे उसकी गतिज ऊर्जा कम हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।
चूंकि गतिशील इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा घटती है,इसलिए जैसे-जैसे दोनों इलेक्ट्रॉनों के बीच की दूरी कम होती है,उनकी स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है।

(B) प्रारंभिक आवेश $q_1 = +2 \ nC$ और $q_2 = -8 \ nC$ हैं। प्रारंभिक आकर्षण बल का परिमाण $|F| = \frac{k |q_1 q_2|}{d^2} = \frac{k (2 \times 8) \times 10^{-18}}{d^2} = \frac{16k \times 10^{-18}}{d^2}$ है।
जब गोले एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,तो कुल आवेश समान रूप से साझा होता है: $q_{new} = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3 \ nC$। अब दोनों गोलों पर $-3 \ nC$ आवेश है।
मान लीजिए नई दूरी $d'$ है। नया प्रतिकर्षण बल $|F'| = \frac{k |q_{new} q_{new}|}{(d')^2} = \frac{k (3 \times 3) \times 10^{-18}}{(d')^2} = \frac{9k \times 10^{-18}}{(d')^2}$ है।
दिया गया है कि $|F| = |F'|$,इसलिए $\frac{16k \times 10^{-18}}{d^2} = \frac{9k \times 10^{-18}}{(d')^2}$ है।
$\frac{16}{d^2} = \frac{9}{(d')^2} \Rightarrow (d')^2 = \frac{9}{16} d^2$।
वर्गमूल लेने पर,$d' = \frac{3}{4} d$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $m$ और आयतन $V$ है। गोले का घनत्व $\rho = m/V$ है,इसलिए $m = V\rho$ है।
हवा में,गोले पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,भार $mg$ और स्थिर-वैद्युत बल $F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$ हैं।
संतुलन के लिए,$\tan(\theta/2) = \frac{F_e}{mg} = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 r^2 mg}$ है।
$\sigma$ घनत्व वाले द्रव में,गोले पर उत्प्लावन बल $F_b = V\sigma g$ कार्य करता है। प्रभावी भार $mg' = mg - V\sigma g = Vg(\rho - \sigma)$ होता है।
द्रव में स्थिर-वैद्युत बल $F_e' = \frac{F_e}{K}$ होता है।
चूंकि कोण $\theta$ समान रहता है,$\tan(\theta/2) = \frac{F_e'}{mg'} = \frac{F_e}{K Vg(\rho - \sigma)}$ है।
$\tan(\theta/2)$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{F_e}{V\rho g} = \frac{F_e}{K Vg(\rho - \sigma)}$ है।
$K$ के लिए हल करने पर,हमें $K = \frac{\rho}{\rho - \sigma}$ प्राप्त होता है।

(C) कूलम्ब के नियम के अनुसार गोलों के बीच प्रारंभिक स्थिर वैद्युत बल: $F_{\text{initial}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|12 \times (-8)|}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{96}{r^2}$.
जब गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो कुल आवेश समान रूप से पुनर्वितरित हो जाता है क्योंकि गोले समान हैं: $q_{\text{new}} = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{12 + (-8)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \mu C$.
संपर्क के बाद,नया स्थिर वैद्युत बल: $F_{\text{final}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_{\text{new}} q_{\text{new}}|}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 \times 2}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{4}{r^2}$.
बलों के परिमाण का अनुपात: $\frac{|F_{\text{initial}}|}{|F_{\text{final}}|} = \frac{96/r^2}{4/r^2} = \frac{96}{4} = 24$.
अतः,अनुपात $24: 1$ है।

(C) प्रारंभ में,दो गोलों के बीच बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \frac{|(+8 \mu C)(-4 \mu C)|}{r^2} = k \frac{32 \mu C^2}{r^2}$.
जब दो समान चालक गोलों को एक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश समान रूप से पुनर्वितरित हो जाते हैं क्योंकि उनकी त्रिज्या समान है।
प्रत्येक गोले पर नया आवेश $q' = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{+8 \mu C - 4 \mu C}{2} = +2 \mu C$ होगा।
गोलों के बीच नया बल $F' = k \frac{|q' q'|}{r^2} = k \frac{|(+2 \mu C)(+2 \mu C)|}{r^2} = k \frac{4 \mu C^2}{r^2}$ है।
दोनों बलों की तुलना करने पर: $\frac{F'}{F} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.
अतः,$F' = \frac{F}{8}$.

(A) मान लीजिए धागे की लंबाई $l$ है। संतुलन में,प्रत्येक गोले पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,भार $mg$ और स्थिरवैद्युत बल $F_e$ हैं। ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$,जहाँ $\theta$ धागे द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण है।
हवा में,धागों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$। गोलों के बीच की दूरी $r = 2l \sin 45^{\circ} = l\sqrt{2}$ है।
अतः,$\tan 45^{\circ} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2 mg} \Rightarrow 1 = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 (2l^2) mg} \Rightarrow \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l^2} = 2mg$ (समीकरण $1$)।
द्रव में,धागों के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\theta' = 30^{\circ}$। प्रभावी भार $m'g = V(d - \rho_{liquid})g = V(d - \frac{2}{3}d)g = \frac{mg}{3}$ है। स्थिरवैद्युत बल $F_e' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 \epsilon_r} \frac{q^2}{r'^2}$ है,जहाँ $r' = 2l \sin 30^{\circ} = l$ है।
अतः,$\tan 30^{\circ} = \frac{F_e'}{m'g} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 \epsilon_r l^2 (mg/3)} \Rightarrow \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l^2} = \frac{mg}{3\sqrt{3}} \epsilon_r$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और $2$ की तुलना करने पर: $2mg = \frac{mg}{3\sqrt{3}} \epsilon_r \Rightarrow \epsilon_r = 6\sqrt{3}$।

(D) क्षैतिज सतह पर कणों के संतुलन में रहने के लिए,स्थिर वैद्युत प्रतिकर्षण बल को अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
दिया गया है: $m = 3 \ g = 3 \times 10^{-3} \ kg$,$q = 0.2 \ \mu C = 0.2 \times 10^{-6} \ C$,$r = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$g = 10 \ ms^{-2}$,$k = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$.
स्थिर वैद्युत बल $F_e = \frac{k q^2}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (0.2 \times 10^{-6})^2}{(0.2)^2}$.
$F_e = \frac{9 \times 10^9 \times 0.04 \times 10^{-12}}{0.04} = 9 \times 10^{-3} \ N$.
अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_s = \mu N = \mu mg$.
$F_e = f_s$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu mg = 9 \times 10^{-3}$.
$\mu \times (3 \times 10^{-3}) \times 10 = 9 \times 10^{-3}$.
$\mu \times 3 \times 10^{-2} = 9 \times 10^{-3}$.
$\mu = \frac{9 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-1} = 0.30$.

(B) आनत तल पर ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin 30^{\circ}$ नीचे की ओर,घर्षण बल $f = \mu N$ ऊपर की ओर और विद्युत बल का घटक $qE \cos 30^{\circ}$ ऊपर की ओर हैं।
सबसे पहले,हम ब्लॉक पर अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ ज्ञात करते हैं:
$N = mg \cos 30^{\circ} + qE \sin 30^{\circ}$
$N = (1 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) + (0.01 \times 100 \times \frac{1}{2}) = 5\sqrt{3} + 0.5 \approx 8.66 + 0.5 = 9.16 \ N$
आनत तल के अनुदिश कुल बल $F_{net}$ है:
$F_{net} = mg \sin 30^{\circ} - \mu N - qE \cos 30^{\circ}$
$F_{net} = (1 \times 10 \times 0.5) - 0.2 \times (9.16) - (0.01 \times 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2})$
$F_{net} = 5 - 1.832 - 0.866 = 2.302 \ N$
चूंकि $F_{net} = ma$ और $m = 1 \ kg$,इसलिए त्वरण $a = 2.302 \ ms^{-2} \approx 2.3 \ ms^{-2}$.

(B) मान लीजिए कि गोलों $A$ और $B$ पर प्रारंभिक आवेश $q$ है। उनके बीच की दूरी $r$ है।
प्रारंभिक प्रतिकर्षण बल $F = \frac{k q^2}{r^2} = 3 \times 10^{-5} \,N$ है।
जब अनावेशित गोला $C$ गोले $A$ को स्पर्श करता है, तो आवेश $q$, $A$ और $C$ के बीच समान रूप से विभाजित हो जाता है। अतः, $A$ पर आवेश $q/2$ और $C$ पर आवेश $q/2$ हो जाता है।
इसके बाद गोले $C$ को $A$ और $B$ के बीच मध्य में रखा जाता है। $C$ की $A$ और $B$ दोनों से दूरी $r/2$ है।
$A$ द्वारा $C$ पर लगाया गया बल $F_{AC} = \frac{k (q/2)(q/2)}{(r/2)^2} = \frac{k q^2}{r^2} = F = 3 \times 10^{-5} \,N$ (प्रतिकर्षी, $B$ की दिशा में)।
$B$ द्वारा $C$ पर लगाया गया बल $F_{BC} = \frac{k (q)(q/2)}{(r/2)^2} = 2 \frac{k q^2}{r^2} = 2F = 6 \times 10^{-5} \,N$ (प्रतिकर्षी, $A$ की दिशा में)।
$C$ पर लगने वाला नेट बल $F' = |F_{BC} - F_{AC}| = |2F - F| = F = 3 \times 10^{-5} \,N$ है।

(B) $r$ दूरी पर स्थित आवेश $Q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{k|Q|}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि सभी आवेश केंद्र से समान दूरी $r$ पर हैं,इसलिए $nq$ आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $n$ के समानुपाती होता है।
मान लीजिए कि स्थान $1$ पर $-q$ आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_1$ है,जो आवेश की ओर निर्देशित है (क्योंकि यह ऋणात्मक है)।
नेट विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net}$ सभी क्षेत्रों का सदिश योग है: $\vec{E}_{net} = \sum_{n=1}^{12} \vec{E}_n$।
ध्यान दें कि स्थान $n$ पर आवेश $-nq$ है। विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_n$ केंद्र से स्थान $n$ की ओर निर्देशित है।
हम विपरीत आवेशों के जोड़े बना सकते हैं: $(n)$ और $(n+6)$। इन दोनों के कारण नेट क्षेत्र $\vec{E}_{net, n} = \vec{E}_n + \vec{E}_{n+6} = \frac{k}{r^2} [(-n\hat{r}_n) + (-(n+6)\hat{r}_{n+6})]$ है।
चूंकि $\hat{r}_{n+6} = -\hat{r}_n$,इसलिए $\vec{E}_{net, n} = \frac{k}{r^2} [-n\hat{r}_n + (n+6)\hat{r}_n] = \frac{6k}{r^2} \hat{r}_n$।
इसका अर्थ है कि प्रत्येक जोड़े $(n, n+6)$ का नेट क्षेत्र स्थान $n+6$ की ओर निर्देशित है।
ऐसे $6$ जोड़े हैं: $(1,7), (2,8), (3,9), (4,10), (5,11), (6,12)$।
नेट क्षेत्र $\vec{E}_{net} = \frac{6k}{r^2} [\hat{r}_7 + \hat{r}_8 + \hat{r}_9 + \hat{r}_{10} + \hat{r}_{11} + \hat{r}_{12}]$ है।
ये इकाई सदिश घड़ी पर $7, 8, 9, 10, 11, 12$ की ओर संकेत करते हैं। इन सदिशों का परिणामी सदिश $9$ और $10$ के बीच की दिशा में होता है,जो $9:30$ का समय दर्शाता है।

(D) दिया गया है: $Q_1 = +2 \times 10^{-6} \ C$, $Q_2 = -4 \times 10^{-6} \ C$, दूरी $d = 3 \ m$। मान लीजिए कि $P$, $Q_1$ से $r_1$ दूरी पर और $Q_2$ से $r_2$ दूरी पर है। चूंकि $P$ उनके बीच में है, $r_1 + r_2 = 3 \ m$। मान लीजिए $r_2 = x$, तो $r_1 = 3 - x$।
विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{Q_1}{r_1} + \frac{Q_2}{r_2} \right) = 0$।
$\frac{2 \times 10^{-6}}{3 - x} + \frac{-4 \times 10^{-6}}{x} = 0 \Rightarrow \frac{2}{3 - x} = \frac{4}{x} \Rightarrow x = 6 - 2x \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \ m$।
अतः, $r_2 = 2 \ m$ और $r_1 = 1 \ m$।
$Q_1$ के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{k |Q_1|}{r_1^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6}}{1^2} = 18000 \ N/C$ ($Q_2$ की दिशा में)।
$Q_2$ के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{k |Q_2|}{r_2^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}{2^2} = 9000 \ N/C$ ($Q_2$ की दिशा में)।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में हैं, कुल विद्युत क्षेत्र $E = E_1 + E_2 = 18000 + 9000 = 27000 \ N/C$।

(D) विद्युत विभव एक अदिश राशि है। $9$ आवेशों के कारण केंद्र पर विभव प्रत्येक आवेश के कारण विभव का योग है:
$V = 9 \times \frac{Kq}{R} = \frac{9Kq}{R} \quad \dots(i)$
विद्युत क्षेत्र एक सदिश राशि है। $10$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज में,यदि सभी $10$ कोनों पर आवेश मौजूद होते,तो समरूपता के कारण केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होता (प्रत्येक विपरीत कोनों पर स्थित आवेश एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं)।
मान लीजिए कि अनुपस्थित आवेश $10$ वें कोने पर है। यदि हम $10$ वें कोने पर $+q$ और $-q$ आवेश रखें,तो शुद्ध विद्युत क्षेत्र उस कोने पर $-q$ के कारण उत्पन्न क्षेत्र के बराबर होगा,क्योंकि अन्य $10$ आवेश एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
इस प्रकार,केंद्र पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण है:
$E = \frac{Kq}{R^2} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{V}{E} = \frac{\frac{9Kq}{R}}{\frac{Kq}{R^2}} = 9R$

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ g = 10^{-3} \ kg$,दूरी $r = 1 \ m$,आवेश $q = 1 \ fC = 10^{-15} \ C$.
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल: $F_g = \frac{G m_1 m_2}{r^2} = \frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (10^{-3}) \times (10^{-3})}{1^2} = 6.67 \times 10^{-17} \ N$.
$2$. स्थिर-विद्युत बल: $F_e = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = \frac{(9 \times 10^9) \times (10^{-15}) \times (10^{-15})}{1^2} = 9 \times 10^{-21} \ N$.
दोनों की तुलना करने पर,$F_g > F_e$ $(6.67 \times 10^{-17} \ N > 9 \times 10^{-21} \ N)$.
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल प्रभावी बल है।

(A) $x$-अक्ष पर स्थित दो धनात्मक बिंदु आवेशों $q_{1}$ और $q_{2}$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_{x}$ अध्यारोपण के सिद्धांत द्वारा दिया जाता है: $x < 0$ के लिए $E_{x} = \frac{k q_{1}}{x^{2}} + \frac{k q_{2}}{(x-10)^{2}}$,$0 < x < 10$ के लिए $E_{x} = \frac{k q_{1}}{x^{2}} - \frac{k q_{2}}{(x-10)^{2}}$,और $x > 10$ के लिए $E_{x} = -\frac{k q_{1}}{x^{2}} - \frac{k q_{2}}{(x-10)^{2}}$.
$1$. $x < 0$ के लिए: दोनों आवेश $x$-दिशा में ऋणात्मक विद्युत क्षेत्र में योगदान करते हैं,इसलिए $E_{x} < 0$ है। जैसे $x \to 0^{-}$,$E_{x} \to -\infty$ होता है।
$2$. $0 < x < 10$ के लिए: $q_{1}$ के कारण क्षेत्र धनात्मक है और $q_{2}$ के कारण क्षेत्र ऋणात्मक है। आवेशों के बीच एक बिंदु ऐसा है जहाँ $E_{x} = 0$ होता है। जैसे $x \to 0^{+}$,$E_{x} \to +\infty$ होता है। जैसे $x \to 10^{-}$,$E_{x} \to -\infty$ होता है।
$3$. $x > 10$ के लिए: दोनों आवेश $x$-दिशा में धनात्मक विद्युत क्षेत्र में योगदान करते हैं,इसलिए $E_{x} > 0$ है। जैसे $x \to 10^{+}$,$E_{x} \to +\infty$ होता है। जैसे $x \to \infty$,$E_{x} \to 0$ होता है।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $A$ में दिया गया ग्राफ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,निकाय की प्रारंभिक कुल ऊर्जा और अंतिम कुल ऊर्जा समान होनी चाहिए।
चूंकि कणों को विराम अवस्था से मुक्त किया जाता है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = 0$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $PE_i$ सभी आवेश युग्मों की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा का योग है।
$a$ भुजा वाले वर्ग में,$a$ दूरी पर $4$ युग्म और $\sqrt{2}a$ दूरी पर (विकर्णों पर) $2$ युग्म हैं।
$PE_i = 4 \times \frac{kq^2}{a} + 2 \times \frac{kq^2}{\sqrt{2}a} = \frac{kq^2}{a} (4 + \sqrt{2})$.
जब कण अनंत दूरी पर होते हैं,तो अंतिम स्थितिज ऊर्जा $PE_f = 0$ होती है।
अतः,$KE_f = PE_i = \frac{kq^2}{a} (4 + \sqrt{2})$.

(C) कथनों का विश्लेषण:
$A$. गलत: स्थिर वैद्युत क्षेत्र रेखाएँ धनात्मक आवेश से शुरू होकर ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं; वे बंद लूप नहीं बनाती हैं (चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के विपरीत)।
$B$. सही: धनात्मक आवेश $(q > 0)$ के लिए,विद्युत क्षेत्र रेखाएँ त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर होती हैं।
$C$. सही: गॉस का नियम कूलम्ब के नियम की व्युत्क्रम-वर्ग प्रकृति का सीधा परिणाम है।
$D$. सही: स्थिर वैद्युत बल एक संरक्षी बल है,इसलिए बंद पथ के अनुदिश आवेश को ले जाने में किया गया कार्य शून्य होता है।
$E$. सही: कूलम्ब बल एक केंद्रीय बल है,और केंद्रीय बल के अंतर्गत गति हमेशा एक समतल में ही होती है।
अतः,कथन $B, C, D,$ और $E$ सही हैं।

(B) तेल की बूंद पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल ऊपर की ओर लगने वाले विद्युत बल द्वारा संतुलित होता है। बूंद को ऊपर की प्लेट $A$ की ओर आकर्षित होना चाहिए। गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = mg = (\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3)g$ है।
विद्युत बल $F_e = qE = q(\frac{V_A - V_B}{d})$ है।
$F_g = F_e$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 g = q \frac{\Delta V}{d}$.
दिया गया है $\rho = 1500 \text{ kg/m}^3$,$r = 10^{-3} \text{ m}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,$d = \frac{0.12}{\pi} \text{ m}$,$q = 5 \times 10^{-9} \text{ C}$.
मान रखने पर: $1500 \times \frac{4}{3} \times \pi \times (10^{-3})^3 \times 10 = 5 \times 10^{-9} \times \frac{\Delta V}{(0.12/\pi)}$.
$\Delta V$ के लिए हल करने पर: $\Delta V = 480 \text{ V}$.
चूंकि $V_A - V_B = 480 \text{ V}$,केवल विकल्प $(B)$ $580 \text{ V} - 100 \text{ V} = 480 \text{ V}$ इस शर्त को पूरा करता है।