Mix Examples-Electric Charges and Fields Questions in Hindi

(D) दो इलेक्ट्रॉनों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = \frac{G m_e^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दो इलेक्ट्रॉनों के बीच स्थिर-वैद्युत बल $F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = k \frac{e^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
बलों का अनुपात $\frac{F_g}{F_e} = \frac{G m_e^2}{k e^2}$ है।
मान रखने पर: $G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2/kg^2$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
$\frac{F_g}{F_e} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times (9.1 \times 10^{-31})^2}{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2} \approx 2.39 \times 10^{-43}$.
अतः,परिमाण की कोटि $10^{-43}$ है।

(B) जब कांच की छड़ को रेशम से रगड़ा जाता है,तो वह धनात्मक आवेश प्राप्त कर लेती है। जब इस छड़ का उपयोग स्वर्ण पत्र विद्युतदर्शी को आवेशित करने के लिए किया जाता है,तो पत्तियां धनात्मक आवेश प्राप्त कर लेती हैं और स्थिर वैद्युत प्रतिकर्षण के कारण फैल जाती हैं।
जब आवेशित विद्युतदर्शी को $X$-किरणों के संपर्क में लाया जाता है,तो $X$-किरणें धातु की पत्तियों से इलेक्ट्रॉनों का फोटो-उत्सर्जन करती हैं।
चूंकि इलेक्ट्रॉन (ऋणात्मक आवेश) पत्तियों से उत्सर्जित होते हैं,इसलिए पत्तियों पर शुद्ध धनात्मक आवेश बढ़ जाता है।
जैसे-जैसे पत्तियों पर धनात्मक आवेश का परिमाण बढ़ता है,उनके बीच स्थिर वैद्युत प्रतिकर्षण बल बढ़ जाता है।
इसलिए,पत्तियां और अधिक फैल जाएंगी।

(D) दो बिंदु आवेशों के बीच का स्थिर-वैद्युत बल एक संरक्षी बल है।
वृत्ताकार पथ में,विस्थापन सदिश हमेशा वृत्त के स्पर्शरेखा होता है,जबकि स्थिर-वैद्युत बल (जो त्रिज्यीय है) हमेशा त्रिज्या की दिशा में कार्य करता है।
चूंकि बल वृत्ताकार पथ के प्रत्येक बिंदु पर विस्थापन के लंबवत होता है,इसलिए किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s} = \int F ds \cos(90^{\circ}) = 0$ होता है।
वैकल्पिक रूप से,चूंकि स्थिर-वैद्युत बल संरक्षी होता है,इसलिए एक बंद पथ (या समविभव पृष्ठ) पर आवेश को घुमाने में किया गया कार्य शून्य होता है।

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ को प्रति इकाई आवेश पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका $SI$ मात्रक $N/C$ है।
चूंकि कार्य = बल $\times$ विस्थापन,हमारे पास $J = N \cdot m$ है,जिसका अर्थ है $N = J/m$।
इसे विद्युत क्षेत्र के मात्रक में प्रतिस्थापित करने पर: $N/C = (J/m)/C = J/(C \cdot m)$।
साथ ही,विद्युत क्षेत्र और विभव $V$ के बीच संबंध $E = -dV/dr$ है,इसलिए इसका मात्रक $V/m$ है।
इनकी तुलना करने पर,$N/C$,$V/m$,और $J/(C \cdot m)$ सभी विद्युत क्षेत्र के समतुल्य मात्रक हैं।
मात्रक $J/C$ विद्युत विभव (वोल्टेज) को दर्शाता है,विद्युत क्षेत्र को नहीं।
अतः,सही उत्तर $B$ है।

(D) घन में $8$ शीर्ष होते हैं और प्रत्येक शीर्ष पर $q$ आवेश रखा गया है।
समरूपता के कारण,प्रत्येक शीर्ष पर स्थित आवेश $q$ के लिए,उसके विकर्णतः विपरीत शीर्ष पर एक समान आवेश $q$ स्थित होता है।
इन दो आवेशों द्वारा घन के केंद्र पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत होता है।
इसलिए,इन जोड़ों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र के सदिश एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
चूंकि सभी $8$ शीर्ष ऐसे $4$ जोड़े बनाते हैं,इसलिए घन के केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र $0$ होता है।

(D) दूरी से अलग दो विपरीत आवेशों $+q$ और $-q$ के लिए:
$1$. विद्युत क्षेत्र: दोनों आवेशों के कारण उनके बीच किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र एक ही दिशा में होता है। इसलिए,आवेशों के बीच नेट विद्युत क्षेत्र शून्य नहीं हो सकता।
$2$. विद्युत विभव: आवेशों को जोड़ने वाली रेखा पर $x$ बिंदु पर विभव $V = k(q_1/r_1 + q_2/r_2)$ द्वारा दिया जाता है। विपरीत आवेशों के लिए,उनके बीच एक ऐसा बिंदु मौजूद होता है जहाँ एक आवेश का धनात्मक विभव दूसरे के ऋणात्मक विभव को पूरी तरह से रद्द कर देता है,जिससे नेट विभव शून्य हो जाता है।
$3$. चूंकि आवेशों के बीच कोई ऐसा बिंदु नहीं है जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य हो,और विभव शून्य होने वाला केवल एक ही बिंदु है,इसलिए कथन $(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(C) व्यंजक $\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ विद्युत क्षेत्र के ऊर्जा घनत्व को दर्शाता है।
ऊर्जा घनत्व को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है।
आयतन का विमीय सूत्र $[L^3]$ है।
अतः,ऊर्जा घनत्व का विमीय सूत्र $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(A) उदासीन बिंदु वह बिंदु है जहाँ कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के लिए,किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र प्रत्येक आवेश द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग होता है।
समान परिमाण लेकिन विपरीत चिह्न ($+q$ और $-q$) वाले दो आवेशों के लिए,विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से निकलती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
आवेशों को जोड़ने वाली रेखा पर किसी भी बिंदु पर,दोनों आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र एक ही दिशा में (धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर) होते हैं,इसलिए कुल क्षेत्र शून्य नहीं हो सकता है।
आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के बाहर किसी भी बिंदु पर,विद्युत क्षेत्र के सदिश एक-दूसरे को शून्य करने के लिए निरस्त नहीं करते हैं।
इसलिए,अंतरिक्ष में ऐसा कोई बिंदु नहीं है जहाँ इन दो आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र शून्य हो। अतः,उदासीन बिंदु का अस्तित्व नहीं है।

(C) गेंद सुचालक पेंट से ढकी हुई है,इसलिए यह एक सुचालक के रूप में कार्य करती है।
प्रारंभ में,स्थिर-वैद्युत प्रेरण (electrostatic induction) के कारण गेंद उच्च-वोल्टेज प्लेट की ओर आकर्षित होती है।
जब गेंद उच्च-वोल्टेज प्लेट को छूती है,तो वह चालन द्वारा कुछ आवेश प्राप्त कर लेती है और फिर उच्च-वोल्टेज प्लेट द्वारा प्रतिकर्षित (repelled) हो जाती है।
गेंद अर्थ की गई प्लेट की ओर बढ़ती है। अर्थ की गई प्लेट को छूने पर,गेंद अपना आवेश पृथ्वी में स्थानांतरित कर देती है और उदासीन (neutral) हो जाती है।
एक बार उदासीन होने के बाद,यह फिर से उच्च-वोल्टेज प्लेट की ओर आकर्षित होती है और यह प्रक्रिया दोहराई जाती है।
इस प्रकार,गेंद आगे-पीछे झूलती है और बारी-बारी से प्रत्येक प्लेट से टकराती है।

(A) बिंदु आवेशों के एक निकाय के संतुलन में होने के लिए, प्रत्येक व्यक्तिगत आवेश पर लगने वाला कुल स्थिर-वैद्युत बल शून्य होना चाहिए.
एक समबाहु त्रिभुज में, किन्हीं दो आवेशों द्वारा तीसरे आवेश पर लगाए गए बल त्रिभुज की भुजाओं के अनुदिश कार्य करते हैं.
चूंकि ये बल $60^{\circ}$ के कोण पर कार्य करने वाले सदिश हैं, इसलिए उनका परिणामी बल केवल तभी शून्य हो सकता है जब आवेश इस प्रकार हों कि बलों का सदिश योग शून्य हो.
हालाँकि, एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित तीन बिंदु आवेशों के लिए, तीनों आवेशों पर लगने वाला कुल बल एक साथ शून्य होना गणितीय रूप से असंभव है, चाहे आवेशों के परिमाण या चिह्न कुछ भी हों.
इसलिए, केवल स्थिर-वैद्युत बलों के प्रभाव में यह निकाय कभी भी संतुलन में नहीं हो सकता है.

(A) मान लीजिए वर्ग की भुजा $a$ है। केंद्र $O$ से प्रत्येक कोने की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
विद्युत विभव $(V)$:
केंद्र पर कुल विभव व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है:
$V = \frac{k(+Q)}{r} + \frac{k(-Q)}{r} + \frac{k(+Q)}{r} + \frac{k(-Q)}{r} = \frac{k}{r} (Q - Q + Q - Q) = 0$.
विद्युत क्षेत्र $(E)$:
विपरीत कोनों पर स्थित दो $+Q$ आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र केंद्र पर एक-दूसरे को निरस्त कर देता है क्योंकि वे परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं।
इसी प्रकार,विपरीत कोनों पर स्थित दो $-Q$ आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र भी केंद्र पर एक-दूसरे को निरस्त कर देता है।
अतः,केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र $E = 0$ है।

(C) लोलक के गोलक पर कार्य करने वाले बल ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,क्षैतिज दिशा में विद्युत बल $F_e = QE$ और डोरी में तनाव $T$ हैं।
चूंकि गोलक स्थिर है,इसलिए तनाव $T$ गुरुत्वाकर्षण बल और विद्युत बल के परिणामी बल को संतुलित करता है।
$T = \sqrt{(mg)^2 + (QE)^2}$
दिया गया है: $m = 30.7 \times 10^{-6} \, kg$,$g = 9.8 \, m/s^2$,$Q = 2 \times 10^{-8} \, C$,और $E = 20000 \, V/m$.
$mg = 30.7 \times 10^{-6} \times 9.8 \approx 3.0086 \times 10^{-4} \, N$.
$QE = 2 \times 10^{-8} \times 20000 = 4 \times 10^{-4} \, N$.
$T = \sqrt{(3.0086 \times 10^{-4})^2 + (4 \times 10^{-4})^2} \approx \sqrt{9.05 \times 10^{-8} + 16 \times 10^{-8}} \approx \sqrt{25.05 \times 10^{-8}} \approx 5 \times 10^{-4} \, N$.

(D) समस्या की सममिति के कारण,$A$ और $B$ पर स्थित आवेशों के कारण $Q$ पर लगने वाले बल के $Y$-अक्ष के अनुदिश घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देंगे,जबकि $X$-अक्ष के अनुदिश घटक जुड़ जाएंगे और मूलबिंदु $O$ की ओर निर्देशित होंगे। इस बल के प्रभाव में,आवेश $Q$ मूलबिंदु $O$ की ओर गति करेगा।
यदि किसी समय आवेश $Q$,$O$ से $x$ दूरी पर है,तो आवेश $Q$ पर कुल बल:
$F_{net} = 2F \cos \theta = 2 \left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{a^2 + x^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} \right)$
$F_{net} = - \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{2qQx}{(a^2 + x^2)^{3/2}}$
चूंकि प्रत्यानयन बल $F_{net}$ विस्थापन $x$ के समानुपाती नहीं है (यह रैखिक नहीं है),इसलिए गति दोलनी होगी (जिसका आयाम $2a$ है) लेकिन सरल आवर्त गति नहीं होगी।

(D) स्थिरवैद्युत स्थितियों के तहत,एक चालक का संपूर्ण आयतन एक समविभव क्षेत्र होता है। चूंकि बिंदु $A$ और $B$ चालक की सतह पर स्थित हैं,इसलिए वे समान विभव पर होने चाहिए। अतः,$A$ पर विभव = $B$ पर विभव।
गॉस के नियम के अनुसार,आवेश $q$ को घेरने वाली किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = q/\varepsilon_0$ होता है। चूंकि गुहा की सतह आवेश $q$ को घेरती है,इसलिए इससे गुजरने वाला कुल फ्लक्स $q/\varepsilon_0$ है।
दीर्घवृत्ताकार गुहा के लिए,सतह के निकट विद्युत क्षेत्र स्थानीय वक्रता पर निर्भर करता है,इसलिए $A$ पर विद्युत क्षेत्र का $B$ पर विद्युत क्षेत्र के बराबर होना आवश्यक नहीं है। इसलिए,विकल्प $(b)$ और $(c)$ सही हैं।

(D) केंद्र से $z_0$ दूरी पर आवेशित वलय की अक्ष पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q z_0}{(R^2 + z_0^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण $P$ पर ऋणावेश $-q$ है,इसलिए उस पर कार्य करने वाला बल $F = -qE = -\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q q z_0}{(R^2 + z_0^2)^{3/2}}$ है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बल हमेशा मूल बिंदु $O$ की ओर निर्देशित होता है। जैसे ही कण मूल बिंदु को पार करता है,बल की दिशा बदल जाती है,जो इसे हमेशा केंद्र की ओर खींचती है। अतः,$z_0 > 0$ के सभी मानों के लिए गति आवर्ती है।
यदि $z_0 \ll R$ हो,तो हम $(R^2 + z_0^2)^{3/2} \approx R^3$ मान सकते हैं।
तब बल $F \approx -\left( \frac{Q q}{4\pi \varepsilon_0 R^3} \right) z_0$ हो जाता है।
चूंकि $F \propto -z_0$,इसलिए छोटे $z_0$ के लिए गति लगभग सरल आवर्त गति है।

(A) एक बड़ी आवेशित प्लेट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\sigma = 2 \times 10^{-6} \, C/m^2$ और $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, C^2/(N \cdot m^2)$ दिया गया है।
$E = \frac{2 \times 10^{-6}}{2 \times 8.854 \times 10^{-12}} \approx 1.13 \times 10^5 \, N/C$.
इलेक्ट्रॉन प्लेट से नहीं टकराएगा यदि उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K$ प्लेट तक पहुँचने से पहले पूरी तरह से स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाए। अतः,$K = e \cdot E \cdot r$,जहाँ $r$ दूरी है।
$r = \frac{K}{eE} = \frac{200 \, eV}{e \cdot E} = \frac{200}{E} = \frac{200}{1.13 \times 10^5} \approx 1.77 \times 10^{-3} \, m = 1.77 \, mm$.

(A) संतुलन में,एक गेंद पर कार्य करने वाले बल स्थिर-वैद्युत बल $F_e$,धागे में तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं।
तनाव $T$ को घटकों में वियोजित करने पर:
$T \sin \theta = F_e = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{x^2}$ ....... $(i)$
$T \cos \theta = mg$ ....... $(ii)$
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 x^2 mg}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\theta$ बहुत छोटा है,इसलिए $\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{x/2}{L} = \frac{x}{2L}$।
$\tan \theta$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{x}{2L} = \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 x^2 mg}$
$x^3 = \frac{2q^2 L}{4\pi \varepsilon_0 mg} = \frac{q^2 L}{2\pi \varepsilon_0 mg}$
अतः,$x = {\left( {\frac{{{q^2}L}}{{2\pi {\varepsilon _0}mg}}} \right)^{\frac{1}{3}}}$।

(B) विद्युत क्षेत्र रेखाएं गुहा के अंदर स्थित धनात्मक बिंदु आवेश '$q$' से निकलती हैं और धात्विक कोश की आंतरिक सतह पर इस प्रकार समाप्त होती हैं कि वे आंतरिक सतह के लंबवत हों।
चूंकि कोश धात्विक है,इसलिए कोश के पदार्थ के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
हालाँकि,आवेश '$q$' कोश की आंतरिक सतह पर समान और विपरीत आवेश '$-q$' और बाहरी सतह पर समान आवेश '$+q$' प्रेरित करता है।
कोश के बाहर की विद्युत क्षेत्र रेखाएं बाहरी सतह से निकलकर अनंत तक जाती हैं,जो बाहरी सतह के भी लंबवत होती हैं।
आरेख $(b)$ सही ढंग से दर्शाता है कि रेखाएं बिंदु आवेश से निकलकर आंतरिक सतह पर लंबवत समाप्त हो रही हैं,और फिर बाहरी सतह से निकल रही हैं।

(A) विद्युत द्विध्रुव $(-d, 0)$ पर $+q$ और $(d, 0)$ पर $-q$ आवेशों द्वारा बनता है।
$1$. द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{p}$ की दिशा $-q$ से $+q$ की ओर होती है,जो कि ऋणात्मक $X$-अक्ष ($-\hat{i}$ दिशा) के अनुदिश है।
$2$. $Y$-अक्ष (निरक्षीय तल) पर किसी भी बिंदु के लिए,विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$,द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{p}$ के विपरीत दिशा में होता है। चूंकि $\overrightarrow{p}$,$-\hat{i}$ की दिशा में है,इसलिए $Y$-अक्ष पर सभी बिंदुओं पर $\overrightarrow{E}$,$+\hat{i}$ की दिशा में होगा। अतः,विकल्प $(a)$ सही है।
$3$. $X$-अक्ष पर,विद्युत क्षेत्र की दिशा इस आधार पर बदलती है कि बिंदु आवेशों के बीच है या बाहर। अतः,विकल्प $(b)$ गलत है।
$4$. द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{p} = q(2d)$ है जो $-q$ से $+q$ की ओर यानी $-\hat{i}$ की दिशा में है। अतः,विकल्प $(c)$ गलत है।
$5$. मूल बिंदु $(0, 0)$ पर विद्युत विभव $V = k(+q)/d + k(-q)/d = 0$ है। एक परीक्षण आवेश $q_0$ को अनंत से मूल बिंदु तक लाने में किया गया कार्य $W = q_0 \Delta V = q_0(V_{origin} - V_{\infty}) = q_0(0 - 0) = 0$ है। अतः,विकल्प $(d)$ गलत है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक आवेश का परिमाण $q$ है और केंद्र $O$ से किसी भी शीर्ष की दूरी $a$ है। एक शीर्ष पर स्थित आवेश $q$ के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{a^2}$ है।
यदि $R$ पर केवल एक धनात्मक आवेश $q$ है,तो $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E_0 = E$ ($R$ से दूर की दिशा में) होता है।
हम $O$ पर परिणामी विद्युत क्षेत्र $2E$ प्राप्त करना चाहते हैं।
विकल्प $(d)$ के अनुसार व्यवस्था के लिए,आवेश हैं: $P(-), Q(+), R(+), S(-), T(+), U(-)$।
$P$ और $S$ (दोनों ऋणात्मक) के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं क्योंकि वे विपरीत दिशा में हैं। इसी प्रकार,$Q$ और $T$ (दोनों धनात्मक) के कारण विद्युत क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
इस प्रकार,केवल $R$ और $U$ पर आवेश शेष रहते हैं। $R$ पर धनात्मक आवेश $+q$ है,जो $R$ से दूर की दिशा में $E$ क्षेत्र उत्पन्न करता है। $U$ पर ऋणात्मक आवेश $-q$ है,जो $U$ की दिशा में $E$ क्षेत्र उत्पन्न करता है। चूंकि $R$ और $U$ व्यास के विपरीत सिरों पर हैं,इसलिए $U$ के कारण क्षेत्र ($U$ की ओर) $R$ के कारण क्षेत्र ($R$ से दूर) की ही दिशा में होता है।
अतः,कुल विद्युत क्षेत्र $E + E = 2E$ होता है।

(B) $(0, a)$ और $(0, -a)$ पर स्थित दो ऋण आवेशों के कारण $(x, 0)$ स्थिति पर स्थित धनात्मक आवेश $q$ पर लगने वाला बल मूल बिंदु की दिशा में होता है।
बल का परिमाण $F = 2 \cdot \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{q^2}{(x^2 + a^2)} \cdot \cos\theta$ है, जहाँ $\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ है।
अतः, $F = \frac{2kq^2x}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$.
$S.H.M.$ के लिए, बल विस्थापन के समानुपाती होना चाहिए $(F \propto -x)$।
चूंकि बल $x$ के सभी मानों के लिए रैखिक नहीं है, इसलिए गति दोलनी है लेकिन सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ नहीं है।

(D) मान लीजिए $d$ किसी भी शीर्ष से वर्ग के केंद्र तक की दूरी है।
$1$. विद्युत विभव $(V)$: केंद्र पर विभव व्यक्तिगत आवेशों के कारण उत्पन्न विभवों का बीजगणितीय योग है: $V = \sum \frac{kq_i}{d} = \frac{k}{d} (q_A + q_B + q_C + q_D)$.
प्रारंभ में,$V = \frac{k}{d} (q + q - q - q) = 0$.
$A$ को $D$ के साथ और $B$ को $C$ के साथ बदलने के बाद,शीर्षों पर नए आवेश $q_A' = -q$,$q_B' = -q$,$q_C' = q$,और $q_D' = q$ हैं। नया विभव $V' = \frac{k}{d} (-q - q + q + q) = 0$.
अतः,$V$ अपरिवर्तित रहता है।
$2$. विद्युत क्षेत्र $(\vec{E})$: केंद्र पर विद्युत क्षेत्र व्यक्तिगत आवेशों के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है। प्रारंभ में,$A$ और $C$ के कारण उत्पन्न क्षेत्र एक ही दिशा में ($A$ से दूर $C$ की ओर) होते हैं,और $B$ और $D$ के कारण उत्पन्न क्षेत्र एक ही दिशा में ($B$ से दूर $D$ की ओर) होते हैं।
आवेशों को बदलने के बाद,व्यक्तिगत क्षेत्र सदिशों के परिमाण समान रहते हैं,लेकिन उनकी दिशाएँ बदल जाती हैं क्योंकि आवेशों के स्थान बदल गए हैं। विशेष रूप से,परिणामी क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ अपनी दिशा बदल लेता है,इसलिए $\vec{E}$ बदल जाता है।

(C) विद्युत क्षेत्र $E$ एक सदिश राशि है। समबाहु त्रिभुज की सममिति के कारण,केंद्र $O$ पर तीनों समान आवेशों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र सदिश परिमाण में समान होते हैं और आवेशों से दूर की दिशा में होते हैं। ये सदिश एक-दूसरे के साथ $120^{\circ}$ के कोण पर स्थित होते हैं,और उनका सदिश योग शून्य होता है। अतः,$E = 0$ है।
विद्युत विभव $V$ एक अदिश राशि है। $r$ दूरी पर स्थित प्रत्येक आवेश $q$ के कारण केंद्र $O$ पर विभव $V_i = \frac{kq}{r}$ है। चूंकि ऐसे तीन आवेश हैं,इसलिए केंद्र पर कुल विभव $V = V_1 + V_2 + V_3 = \frac{3kq}{r}$ है। चूंकि $q \neq 0$ और $r \neq 0$,इसलिए कुल विभव $V \neq 0$ है।

(C) मान लीजिए कि गेंद $1$ पर आवेश $q_1$ है।
चूंकि $(1, 2)$ आकर्षण दर्शाता है,गेंद $2$ पर आवेश $1$ के विपरीत होना चाहिए या वह उदासीन होनी चाहिए।
चूंकि $(2, 3)$ प्रतिकर्षण दर्शाता है,गेंद $2$ और $3$ पर समान प्रकार का आवेश है।
चूंकि $(2, 4)$ आकर्षण दर्शाता है,गेंद $4$ पर आवेश $2$ के विपरीत होना चाहिए या वह उदासीन होनी चाहिए।
चूंकि $(4, 5)$ प्रतिकर्षण दर्शाता है,गेंद $4$ और $5$ पर समान प्रकार का आवेश है।
चूंकि $(4, 1)$ आकर्षण दर्शाता है,गेंद $4$ पर आवेश $1$ के विपरीत होना चाहिए या वह उदासीन होनी चाहिए।
यदि गेंद $1$ आवेशित होती,तो $4$ और $1$ पर समान प्रकार का आवेश होता और उनके बीच प्रतिकर्षण होना चाहिए था,लेकिन यहाँ आकर्षण देखा गया है।
अतः,गेंद $1$ उदासीन होनी चाहिए,क्योंकि एक उदासीन वस्तु किसी भी आवेशित वस्तु की ओर आकर्षित होती है।

(D) दो इलेक्ट्रॉनों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = G \frac{m_e^2}{r^2}$ है।
दो इलेक्ट्रॉनों के बीच स्थिर वैद्युत बल $F_e = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ है।
बलों का अनुपात $\frac{F_g}{F_e} = \frac{G m_e^2}{r^2} \times \frac{4 \pi \epsilon_0 r^2}{e^2} = \frac{G m_e^2}{e^2} \times (4 \pi \epsilon_0)$ है।
मान रखने पर: $G = 6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,और $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$.
$\frac{F_g}{F_e} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times (9.1 \times 10^{-31})^2}{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}$.
$\frac{F_g}{F_e} \approx \frac{6.67 \times 82.81 \times 10^{-73}}{9 \times 2.56 \times 10^{-29}} \approx \frac{552.34 \times 10^{-73}}{23.04 \times 10^{-29}} \approx 23.97 \times 10^{-44} \approx 2.4 \times 10^{-43}$.
अतः,परिमाण की कोटि $10^{-43}$ है।

(B) $R$ त्रिज्या और कुल आवेश $Q$ वाले एक समान रूप से आवेशित अचालक गोले के लिए:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$: विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQr}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $E \propto r$। यह मूल बिंदु से गुजरने वाला एक रैखिक संबंध है।
$2$. गोले के बाहर $(r \geq R)$: विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQ}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $E \propto \frac{1}{r^2}$। यह एक व्युत्क्रम वर्ग संबंध है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ केंद्र से सतह $(r = R)$ तक रैखिक वृद्धि और उसके बाद व्युत्क्रम वर्ग नियम के अनुसार कमी को दर्शाता है,वह ग्राफ $B$ द्वारा प्रदर्शित होता है।

(C) मान लीजिए कि केंद्र $O$ से किसी भी शीर्ष की दूरी $a$ है। किसी भी शीर्ष पर आवेश $q$ के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{a^2}$ है,जो आवेश से दूर की दिशा में होता है।
एक नियमित षट्भुज के लिए,विपरीत शीर्षों $P$ और $S$,$Q$ और $T$,$R$ और $U$ पर आवेशों के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र की गणना की जा सकती है।
मान लीजिए $P, Q, R, S, T, U$ पर आवेश क्रमशः $q_1, q_2, q_3, q_4, q_5, q_6$ हैं।
$O$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net} = \sum_{i=1}^6 \vec{E}_i$ है।
दिया गया है कि कुल क्षेत्र $R$ पर $+q$ आवेश के कारण क्षेत्र का दोगुना है,यानी $E_{net} = 2 \left( \frac{kq}{a^2} \right)$।
यदि हम $U$ पर $-q$ और $R$ पर $+q$ रखें,तो इन दोनों के कारण $O$ पर क्षेत्र $\vec{E}_R + \vec{E}_U = \frac{kq}{a^2} \hat{r} + \frac{kq}{a^2} \hat{r} = 2 \frac{kq}{a^2} \hat{r}$ होगा।
कुल क्षेत्र को $2 \frac{kq}{a^2}$ बनाए रखने के लिए,$P, Q, S, T$ पर शेष चार आवेशों को एक-दूसरे के प्रभाव को रद्द करना होगा।
यह तब होता है यदि हम विपरीत शीर्षों पर समान और विपरीत आवेश रखें,उदा. $q_P = -q_S$ और $q_Q = -q_T$।
विकल्पों की जाँच करने पर,विकल्प $C$ $(-, +, +, -, +, -)$ का अर्थ है $P=-q, Q=+q, R=+q, S=-q, T=+q, U=-q$।
यहाँ,$P$ और $S$ विपरीत हैं और $-q$ और $-q$ आवेश रखते हैं (क्षेत्र शून्य हो जाता है)।
$Q$ और $T$ विपरीत हैं: $+q$ और $+q$ (क्षेत्र शून्य)।
$R$ और $U$ विपरीत हैं: $+q$ और $-q$ (क्षेत्र $U$ की ओर $2E$)।
इस प्रकार,कुल क्षेत्र $U$ की ओर $2E$ है। यह शर्त को पूरा करता है।

(B) बिंदु $A$ पर विद्युत क्षेत्र दो आवेशों के कारण है: बिंदु $B$ पर धनात्मक आवेश $+Q$ और बिंदु $C$ पर ऋणात्मक आवेश $-Q$।
$1$. बिंदु $B$ पर धनात्मक आवेश $+Q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_B$,$B$ से दूर $BA$ रेखा के अनुदिश,यानी $AX$ की दिशा में होता है।
$2$. बिंदु $C$ पर ऋणात्मक आवेश $-Q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_C$,$C$ की ओर $AC$ रेखा के अनुदिश,यानी $AZ$ की दिशा में होता है।
$3$. परिणामी विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net} = \vec{E}_B + \vec{E}_C$ इन दो क्षेत्रों का सदिश योग है। चूंकि आवेशों के परिमाण समान हैं और दूरियां $AB$ तथा $AC$ समान हैं (समबाहु त्रिभुज मानकर),इसलिए विद्युत क्षेत्रों के परिमाण समान हैं,यानी $|\vec{E}_B| = |\vec{E}_C|$।
$4$. सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,दो समान सदिशों का परिणामी सदिश उनके बीच के कोण को समद्विभाजित करता है। अतः,परिणामी सदिश $AY$ की दिशा में होता है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार: $\oint E \cdot dS = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$.
कोश के अंदर किसी बिंदु के लिए $(r < R)$: चूंकि आवेश $Q$ केवल सतह पर वितरित है,इसलिए कोश के अंदर खींचा गया कोई भी गॉसियन पृष्ठ शून्य कुल आवेश $(q_{\text{enclosed}} = 0)$ को घेरता है। अतः,$r < R$ के लिए विद्युत क्षेत्र $E(r) = 0$ है।
कोश के बाहर किसी बिंदु के लिए $(r \geq R)$: गॉसियन पृष्ठ कुल आवेश $Q$ को घेरता है। गॉस का नियम लागू करने पर: $E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}$.
इससे $r \geq R$ के लिए विद्युत क्षेत्र $E(r) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$ प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य है और कोश के बाहर यह $r = R$ पर अधिकतम मान से शुरू होकर $\frac{1}{r^2}$ के अनुपात में घटता है। यह व्यवहार विकल्प $A$ में दिए गए ग्राफ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(A) $R$ त्रिज्या के कुचालक गोले के लिए,जिस पर कुल आवेश $Q$ समान रूप से वितरित है,केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार है:
$1$. $r < R$ के लिए: $E = \frac{kQr}{R^3}$,जिसका अर्थ है $E \propto r$। ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
$2$. $R < r < b$ के लिए: विद्युत क्षेत्र कुचालक गोले के आवेश $Q$ के कारण है। अतः,$E = \frac{kQ}{r^2}$,जिसका अर्थ है $E \propto \frac{1}{r^2}$। ग्राफ $r$ के बढ़ने के साथ घटता हुआ वक्र है।
$3$. $r > b$ के लिए: $r$ त्रिज्या वाली गाऊसी सतह द्वारा घिरा कुल आवेश $Q_{net} = Q + (-Q) = 0$ है। अतः,$E = 0$ है।
इन शर्तों की तुलना दिए गए ग्राफों से करने पर,ग्राफ $A$ वह है जो $r < R$ के लिए रैखिक वृद्धि और $R < r < b$ के लिए $1/r^2$ के अनुसार कमी को दर्शाता है।

(C) मान लीजिए कि वर्ग की भुजा $a$ है। प्रत्येक कोने से केंद्र की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
विद्युत विभव $(V)$ एक अदिश राशि है। केंद्र पर कुल विभव प्रत्येक आवेश के कारण विभव का बीजगणितीय योग है: $V = \frac{kQ}{r} + \frac{k(-Q)}{r} + \frac{kQ}{r} + \frac{k(-Q)}{r} = 0$.
विद्युत क्षेत्र $(E)$ एक सदिश राशि है। विपरीत कोनों पर स्थित $+Q$ आवेशों के जोड़े के कारण विद्युत क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,और इसी तरह $-Q$ आवेशों के जोड़े के कारण भी विद्युत क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। हालाँकि,आसन्न कोनों पर स्थित $+Q$ और $-Q$ आवेशों के कारण क्षेत्र शून्य नहीं होता है। समरूपता के कारण,केंद्र पर परिणामी विद्युत क्षेत्र शून्य नहीं होता है $(E \neq 0)$.

(B) $L$ दूरी पर स्थित आवेश $q$ के कारण केंद्र $O$ पर विभव $V = \frac{kq}{L}$ होता है।
दिए गए षट्कोण के लिए,$A, B, F$ पर $+q$ और $C, D, E$ पर $-q$ आवेश हैं।
$O$ पर कुल विभव $V_O = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q}{L} + \frac{q}{L} + \frac{q}{L} - \frac{q}{L} - \frac{q}{L} - \frac{q}{L} \right) = 0$ है।
अतः,$O$ बिंदु पर विद्युत विभव शून्य है।

(C) विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेशों से निकलती हैं और ऋणात्मक आवेशों पर समाप्त होती हैं।
चूंकि तीनों आवेश ऋणात्मक हैं,इसलिए विद्युत क्षेत्र रेखाएं अनंत से शुरू होंगी और तीनों ऋणात्मक आवेशों पर समाप्त होंगी।
चूंकि आवेश समान चिह्न के हैं,वे एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं,जिससे आवेशों के बीच के स्थान में क्षेत्र रेखाएं एक-दूसरे से दूर मुड़ जाती हैं।
विकल्प $C$ इस विन्यास को सही ढंग से दर्शाता है,जिसमें एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर रखे गए तीन ऋणात्मक आवेशों पर क्षेत्र रेखाएं समाप्त होती हुई दिखाई दे रही हैं।

(C) स्थिर वैद्युत क्षेत्र के लिए विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेशों से शुरू होती हैं और ऋणात्मक आवेशों पर समाप्त होती हैं। वे बंद लूप नहीं बना सकती हैं क्योंकि स्थिर वैद्युत क्षेत्र एक संरक्षी क्षेत्र है। एक बंद लूप के चारों ओर स्थिर वैद्युत क्षेत्र का रेखा समाकल हमेशा शून्य होता है,जो बंद क्षेत्र रेखाओं के अस्तित्व का खंडन करता है। इसलिए,विकल्प $C$ संभव नहीं है।

(A) मान लीजिए कि दो आवेश $q$, $x = -a$ और $x = +a$ पर स्थित हैं। तीसरा आवेश $q$ मूल बिंदु $(x = 0)$ पर है।
जब आवेश को $x$-अक्ष पर $x$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है, तो उस पर लगने वाला कुल बल $F = F_1 - F_2 = \frac{kq^2}{(a-x)^2} - \frac{kq^2}{(a+x)^2}$ होगा।
$F = kq^2 \left[ \frac{(a+x)^2 - (a-x)^2}{(a^2-x^2)^2} \right] = kq^2 \left[ \frac{4ax}{(a^2-x^2)^2} \right]$.
चूंकि $x < < a$, हम $(a^2-x^2)^2 \approx a^4$ मान सकते हैं।
अतः, $F \approx \frac{4kq^2x}{a^3}$।
चूंकि बल $F$ विस्थापन $x$ के समानुपाती है और संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित है (प्रत्यानयन बल), इसलिए कण सरल आवर्त गति $(S.H.M)$ करेगा।

(D) एक नियमित षट्भुज के केंद्र पर विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,विपरीत शीर्षों पर आवेश परिमाण में समान और विपरीत दिशा में होने चाहिए,या केंद्र पर सभी आवेशों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग शून्य होना चाहिए।
आकृतियों का अवलोकन करने पर,स्थिति $(II)$ में आवेश $q, -q, q, q, -q, q$ हैं। यदि विपरीत आवेशों के जोड़े समान और विपरीत हों,तो ही विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। दिए गए विकल्पों में से,स्थिति $(II)$ सबसे संभावित है क्योंकि इसमें ऋण आवेश शामिल हैं जो संतुलन के लिए आवश्यक हैं।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक आवेश का परिमाण $q$ है और केंद्र $O$ से किसी भी कोने की दूरी $a$ है। एक कोने पर आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{a^2}$ है।
यदि हम $P, Q, R, S, T, U$ पर $(-, +, +, -, +, -)$ के अनुसार आवेश रखते हैं,तो $O$ पर क्षेत्र इस प्रकार होंगे:
- $P$ $(-q)$ और $S$ $(-q)$ के कारण विद्युत क्षेत्र: $P$ के कारण क्षेत्र $\vec{E}_P$,$P$ से दूर ($S$ की ओर) है और $S$ के कारण क्षेत्र $\vec{E}_S$,$S$ से दूर ($P$ की ओर) है। चूंकि वे समान और विपरीत हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
- इसी प्रकार,$Q$ $(+q)$ और $T$ $(-q)$ के क्षेत्र जुड़ जाते हैं। $Q$,$Q$ से दूर ($T$ की ओर) $\vec{E}_Q$ क्षेत्र उत्पन्न करता है और $T$,$T$ की ओर ($T$ से दूर) $\vec{E}_T$ क्षेत्र उत्पन्न करता है। इन दोनों का योग $Q$ से $T$ की दिशा में $2E$ होता है।
- $R$ $(+q)$ और $U$ $(-q)$,$R$ से दूर ($U$ की ओर) $\vec{E}_R$ और $U$ की ओर ($U$ से दूर) $\vec{E}_U$ क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। इन दोनों का योग $R$ से $U$ की दिशा में $2E$ होता है।
- परिणामी क्षेत्र इन घटकों का सदिश योग है। $(-, +, +, -, +, -)$ विन्यास के लिए,$O$ पर कुल क्षेत्र $2E$ प्राप्त होता है,जो दी गई शर्त को पूरा करता है।

(D) $R$ त्रिज्या और $Q$ कुल आवेश वाले एक पतले गोलीय कोश के लिए:
$1$. कोश के अंदर $(r < R)$: विद्युत क्षेत्र $|\vec{E}(r)| = 0$ होता है और विद्युत विभव $V(r) = \frac{kQ}{R}$ (स्थिर) होता है।
$2$. कोश के बाहर $(r \geq R)$: विद्युत क्षेत्र $|\vec{E}(r)| = \frac{kQ}{r^2}$ ($r^2$ के व्युत्क्रमानुपाती) होता है और विद्युत विभव $V(r) = \frac{kQ}{r}$ ($r$ के व्युत्क्रमानुपाती) होता है।
इन गुणों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, वह ग्राफ जो अंदर $(r < R)$ शून्य विद्युत क्षेत्र, $r = R$ पर अचानक परिवर्तन और बाहर $1/r^2$ के अनुसार ह्रास, साथ ही अंदर स्थिर विभव और बाहर $1/r$ के अनुसार ह्रास को दर्शाता है, वह विकल्प $D$ द्वारा प्रदर्शित होता है।

(A) एक बिंदु आवेश के लिए,$r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
उसी दूरी $r$ पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{kq}{r^2}$ द्वारा दी जाती है।
विभव के समीकरण को विद्युत क्षेत्र के समीकरण से विभाजित करने पर:
$\frac{V}{E} = \frac{kq/r}{kq/r^2} = r$.
यहाँ $V = 3000 \ V$ और $E = 500 \ V/m$ दिया गया है,इसलिए:
$r = \frac{3000}{500} = 6 \ m$.

(A) पहली स्थिति में,आवेश बिंदु आवेश हैं,इसलिए उनके बीच की दूरी $d = 1 \, m$ है। बल $F = k \frac{q_1 q_2}{d^2}$ है।
दूसरी स्थिति में,आवेश $R = 25 \, cm = 0.25 \, m$ त्रिज्या वाले गोलों पर वितरित हैं। आपसी प्रतिकर्षण के कारण,गोलों पर आवेश एक-दूसरे से दूर खिसक जाते हैं।
जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,आवेश के केंद्रों के बीच की प्रभावी दूरी $d' > d$ हो जाती है।
चूंकि बल $F$ दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(F \propto \frac{1}{r^2})$,जैसे-जैसे प्रभावी दूरी $d'$ बढ़ती है,प्रतिकर्षण बल $F \propto \frac{1}{d^2}$ के संबंध के अनुसार घटेगा।

(C) प्रारंभ में,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों के बीच का बल कूलॉम के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F_1 = \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$
जब दो समान गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो कुल आवेश उनके बीच समान रूप से विभाजित हो जाता है। प्रत्येक गोले पर नया आवेश है:
$Q' = \frac{Q_1 + Q_2}{2}$
उन्हें समान दूरी $r$ पर रखने के बाद,नया बल $F_2$ है:
$F_2 = \frac{k Q' Q'}{r^2} = \frac{k (\frac{Q_1 + Q_2}{2})^2}{r^2} = \frac{k (Q_1 + Q_2)^2}{4r^2}$
अनुपात $F_1/F_2$ लेने पर:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{k Q_1 Q_2 / r^2}{k (Q_1 + Q_2)^2 / 4r^2} = \frac{4 Q_1 Q_2}{(Q_1 + Q_2)^2}$
दी गई शर्त $Q_1 >> Q_2$ के अनुसार,हम $(Q_1 + Q_2) \approx Q_1$ मान सकते हैं:
$\frac{F_1}{F_2} \approx \frac{4 Q_1 Q_2}{Q_1^2} = \frac{4 Q_2}{Q_1}$

(C) एक गोले के संतुलन के लिए,उस पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$,और स्थिर वैद्युत बल $F = \frac{K Q^2}{x^2}$ हैं।
तनाव $T$ को घटकों में विभाजित करने पर,$T \cos \theta = Mg$ और $T \sin \theta = F$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को विभाजित करने पर,$\tan \theta = \frac{F}{Mg}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\theta$ छोटा है,$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{x/2}{l} = \frac{x}{2l}$.
अतः,$\frac{x}{2l} = \frac{K Q^2}{x^2 Mg}$,जिसका अर्थ है $Q^2 = \frac{Mg}{2Kl} x^3$,या $Q \propto x^{3/2}$.
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$2Q \frac{dQ}{dt} = \frac{Mg}{2Kl} \cdot 3x^2 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{dQ}{dt}$ स्थिर है,हमारे पास $Q \frac{dQ}{dt} \propto x^2 v$ है,जहाँ $v = \frac{dx}{dt}$.
$Q \propto x^{3/2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$x^{3/2} \propto x^2 v$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $v \propto x^{3/2 - 2} = x^{-1/2}$ हो जाता है।

(A) समानांतर प्लेटों की प्रणाली के लिए,सबसे बाहरी सतहों पर आवेश समान होता है और यह सभी आवेशों के योग को $2$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
मान लीजिए सतह '$a$' पर आवेश $q_a$ है और सतह '$f$' पर आवेश $q_f$ है।
समानांतर प्लेटों के गुण के अनुसार,$q_a = q_f$ होता है।
चूंकि प्रणाली पर कुल आवेश $Q_{total} = Q_1 + Q_2 + Q_3$ है,और प्रणाली के बाहर विद्युत क्षेत्र को शून्य बनाए रखने के लिए सबसे बाहरी सतहों पर आवेश समान होना चाहिए,इसलिए:
$q_a + q_f = Q_1 + Q_2 + Q_3$
चूंकि $q_a = q_f$,हमें प्राप्त होता है:
$2q_a = Q_1 + Q_2 + Q_3$
$q_a = \frac{Q_1 + Q_2 + Q_3}{2}$
अतः,सबसे बाहरी दोनों सतहों '$a$' और '$f$' पर आवेश $\frac{Q_1 + Q_2 + Q_3}{2}$ है।

(B) दो आवेशों के बीच प्रारंभिक बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F_1 = \frac{k \cdot q_1 \cdot q_2}{R^2} = \frac{k \cdot (10 \times 10^{-6}) \cdot (-20 \times 10^{-6})}{R^2} = \frac{-200 \times 10^{-12} k}{R^2}$
जब दो समान चालक गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो कुल आवेश उनके बीच समान रूप से पुनर्वितरित हो जाता है:
$q' = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{10\ \mu C - 20\ \mu C}{2} = -5\ \mu C$
समान दूरी $R$ पर अलग करने के बाद,नया बल $F_2$ है:
$F_2 = \frac{k \cdot q' \cdot q'}{R^2} = \frac{k \cdot (-5 \times 10^{-6}) \cdot (-5 \times 10^{-6})}{R^2} = \frac{25 \times 10^{-12} k}{R^2}$
$F_1 : F_2$ का अनुपात है:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{-200 \times 10^{-12} k / R^2}{25 \times 10^{-12} k / R^2} = \frac{-200}{25} = -8$
अतः,अनुपात $-8 : 1$ है।

(A) माना $\theta$ प्रत्येक डोरी द्वारा ऊर्ध्वाधर (vertical) के साथ बनाया गया कोण है। चूँकि डोरियों के बीच का कुल कोण $30^{\circ}$ है,इसलिए $\theta = 15^{\circ}$ है।
हवा में,गोले पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,स्थिर वैद्युत बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$,और भार $mg$ हैं। बलों को संतुलित करने पर:
$T \sin \theta = F$
$T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{F}{mg}$.
जब गोलों को $\rho_l = 0.8 \; g \, cm^{-3}$ घनत्व वाले द्रव में डुबोया जाता है और पदार्थ का घनत्व $\rho_s = 1.6 \; g \, cm^{-3}$ है,तो प्रभावी भार $mg' = mg(1 - \frac{\rho_l}{\rho_s})$ हो जाता है और स्थिर वैद्युत बल $F' = \frac{F}{K}$ हो जाता है।
चूँकि कोण समान रहता है,$\tan \theta = \frac{F'}{mg'} = \frac{F/K}{mg(1 - \frac{\rho_l}{\rho_s})}$.
$\tan \theta$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{F}{mg} = \frac{F}{K mg (1 - \frac{\rho_l}{\rho_s})}$
$K = \frac{1}{1 - \frac{\rho_l}{\rho_s}} = \frac{1}{1 - \frac{0.8}{1.6}} = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2$.

(B) आवेश $q$ के चारों ओर आवेश $Q$ की वृत्तीय गति के लिए:
अभिकेंद्र बल $F_{CP} = F_e$ (स्थिर वैद्युत बल)
$\frac{mv^2}{R} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qq}{R^2}$
$v^2 = \frac{Qq}{4\pi \epsilon_0 mR}$
$v = \sqrt{\frac{Qq}{4\pi \epsilon_0 mR}}$
आवर्तकाल $T$ का मान $T = \frac{2\pi R}{v}$ होता है।
$T = 2\pi R \sqrt{\frac{4\pi \epsilon_0 mR}{Qq}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$T^2 = 4\pi^2 R^2 \left( \frac{4\pi \epsilon_0 mR}{Qq} \right)$
$T^2 = \frac{16\pi^3 \epsilon_0 mR^3}{Qq}$

(A) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ के प्रारंभिक स्थिति $\vec{r}_i$ से अंतिम स्थिति $\vec{r}_f$ तक जाने में किया गया कार्य निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (q\vec{E}) \cdot (\vec{r}_f - \vec{r}_i)$
यहाँ विद्युत क्षेत्र $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में है,अतः $\vec{E} = E\hat{i}$ है।
प्रारंभिक स्थिति $P(a, b, 0)$ है,इसलिए $\vec{r}_i = a\hat{i} + b\hat{j}$ है।
अंतिम स्थिति $S(0, 0, 0)$ है,इसलिए $\vec{r}_f = 0$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{r}_f - \vec{r}_i = -a\hat{i} - b\hat{j}$ है।
कार्य $W = (qE\hat{i}) \cdot (-a\hat{i} - b\hat{j}) = -qEa$ है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र एक संरक्षी क्षेत्र है,इसलिए किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है। विकल्पों को देखते हुए,परिमाण $qEa$ प्राप्त होता है।

(A) उपग्रह में प्रभावी गुरुत्वाकर्षण शून्य $(g_{eff} = 0)$ होता है।
इसलिए,दोनों गोलों के बीच कार्य करने वाला एकमात्र बल स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल है।
चूंकि दोनों गोलों पर समान आवेश $+Q$ है,वे एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करेंगे और यथासंभव दूर चले जाएंगे।
डोरियां एक सीधी रेखा में संरेखित हो जाएंगी,जिससे उनके बीच का कोण $\theta = 180^\circ$ हो जाएगा।
दोनों आवेशों के बीच की दूरी $r = L + L = 2L$ है।
स्थिर-वैद्युत बल (जो डोरियों में तनाव $T$ के बराबर है) कूलम्ब के नियम के अनुसार है:
$T = F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q \cdot Q}{(2L)^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q^2}{4L^2}$.