Electrostatic Force and Coulombs Law Questions in Gujarati

$(A)$ ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = +10 \mu C$, $q_2 = -10 \mu C$ છે અને પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q_0 = 5 \mu C$ છે. $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ છે。
પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q_0$ મધ્યબિંદુ પર મૂકવામાં આવ્યો છે, તેથી દરેક વિદ્યુતભારથી તેનું અંતર $r = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ થશે。
$q_1$ દ્વારા $q_0$ પર લાગતું બળ $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_0}{r^2}$ (અપાકર્ષી, $q_2$ ની દિશામાં).
$q_2$ દ્વારા $q_0$ પર લાગતું બળ $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_2| q_0}{r^2}$ (આકર્ષી, $q_2$ ની દિશામાં).
બંને બળો એક જ દિશામાં હોવાથી, કુલ બળ $F = F_1 + F_2 = 2 \times \frac{9 \times 10^9 \times 10 \times 10^{-6} \times 5 \times 10^{-6}}{(0.05)^2}$.
$F = 2 \times \frac{9 \times 10^9 \times 50 \times 10^{-12}}{25 \times 10^{-4}} = 2 \times \frac{450 \times 10^{-3}}{25 \times 10^{-4}} = 2 \times 18 \times 10 = 360 \text{ N}$.

(B) આપેલ છે,દરેક ગોળાનું દળ $m = 20 \text{ g} = 2 \times 10^{-2} \text{ kg}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$.
દરેક ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $q = 10^{-10} \text{ C}$.
દોરાની લંબાઈ $L = 300 \text{ cm} = 3 \text{ m}$.
સંતુલન સ્થિતિમાં,એક ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ $T$,સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$ અને વજન $mg$ છે.
બળોના ઘટકો પાડતા:
$T \cos \theta = mg$
$T \sin \theta = F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{x^2}$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \theta = \frac{F}{mg} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{x^2 mg}$
ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{x/2}{\sqrt{L^2 - (x/2)^2}} \approx \frac{x}{2L}$ (કારણ કે $x \ll L$).
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણો સરખાવતા:
$\frac{x}{2L} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{x^2 mg}$
$x^3 = \frac{2L q^2}{4 \pi \varepsilon_0 mg} = (9 \times 10^9) \cdot \frac{2 \times 3 \times (10^{-10})^2}{2 \times 10^{-2} \times 10} = 27 \times 10^{-9} \text{ m}^3$.
$x = (27 \times 10^{-9})^{1/3} \text{ m} = 3 \times 10^{-3} \text{ m} = 3 \text{ mm}$.
આમ,સંતુલન અંતર $3 \text{ mm}$ મળે છે.

(A) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. ખૂણા $D$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ ને ધ્યાનમાં લો. અન્ય વિદ્યુતભારો $A$ (વિદ્યુતભાર $q$),$B$ (વિદ્યુતભાર $Q$),અને $C$ (વિદ્યુતભાર $q$) પર છે.
$A$ પરના $q$ ને કારણે $D$ પરના $Q$ પર લાગતું બળ $F_A = \frac{K Q q}{a^2}$ ($DA$ ની દિશામાં) છે.
$C$ પરના $q$ ને કારણે $D$ પરના $Q$ પર લાગતું બળ $F_C = \frac{K Q q}{a^2}$ ($DC$ ની દિશામાં) છે.
આ બે બળોનું પરિણામી બળ $F_{AC} = \sqrt{F_A^2 + F_C^2} = \sqrt{2} \frac{K Q q}{a^2}$ (વિકર્ણ $DB$ ની દિશામાં) છે.
$B$ પરના $Q$ ને કારણે $D$ પરના $Q$ પર લાગતું બળ $F_B = \frac{K Q^2}{(\sqrt{2} a)^2} = \frac{K Q^2}{2 a^2}$ (વિકર્ણ $DB$ ની દિશામાં) છે.
$Q$ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય થવા માટે,આ બળોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{K Q^2}{2 a^2} + \sqrt{2} \frac{K Q q}{a^2} = 0$
$\frac{K Q}{a^2}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $Q \neq 0$):
$\frac{Q}{2} + \sqrt{2} q = 0$
$Q = -2 \sqrt{2} q$
સંતુલન માટે $Q$ અને $q$ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ,તેથી જો $Q$ ધન હોય,તો $q$ ઋણ હોવો જોઈએ.

(C) કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q$ અને $Q-q$ વચ્ચેનું બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q(Q-q)}{r^2}$
બળ મહત્તમ થાય તે માટે $q$ નું મૂલ્ય શોધવા,આપણે $F$ નું $q$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરી તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dF}{dq} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \cdot \frac{d}{dq}(Qq - q^2) = 0$
$Q - 2q = 0$
$2q = Q$
$q = \frac{Q}{2}$
આમ,જ્યારે વિદ્યુતભાર $Q$ ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે,એટલે કે $q = \frac{Q}{2}$ હોય,ત્યારે બળ મહત્તમ થાય છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણની ગેરહાજરીમાં,દરેક ગોળા પર લાગતું એકમાત્ર બળ સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ $F$ અને દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ છે.
જ્યારે ગોળાઓ આડી સ્થિતિમાં સંતુલનમાં હોય,ત્યારે બે ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર $2L$ થાય છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ બે ગોળાઓ વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot Q}{(2L)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{4L^2} = \frac{Q^2}{16 \pi \varepsilon_0 L^2}$
સિસ્ટમ સંતુલનમાં હોવાથી,દરેક દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ એ દરેક ગોળા પર લાગતા સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$ ને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$T = F = \frac{Q^2}{16 \pi \varepsilon_0 L^2}$.

(B) કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 1 \mu C = 10^{-6} \ C$ આપેલ છે.
વિદ્યુતભારને $2:3$ ના ગુણોત્તરમાં વહેંચવામાં આવે છે.
ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $q_1 = 2x$ અને $q_2 = 3x$ છે.
તેથી $q_1 + q_2 = 1 \mu C$,એટલે કે $5x = 1 \mu C$,તેથી $x = 0.2 \mu C$.
આમ,$q_1 = 2 \times 0.2 \mu C = 0.4 \times 10^{-6} \ C$ અને $q_2 = 3 \times 0.2 \mu C = 0.6 \times 10^{-6} \ C$.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $r = 1 \ m$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ સ્થિત વિદ્યુત બળ $F$:
$F = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (0.4 \times 10^{-6}) \times (0.6 \times 10^{-6})}{1^2}$
$F = 9 \times 10^9 \times 0.24 \times 10^{-12} = 2.16 \times 10^{-3} \ N = 0.00216 \ N$.

(A) ધારો કે બે એકમ ઋણ વિદ્યુતભારો $q_1 = q_2 = -1 \text{ C}$ છે જે એકબીજાથી $d$ અંતરે રહેલા છે. વિદ્યુતભાર $q$ ને મધ્યબિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે. તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,દરેક વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
બિંદુ $A$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q_1$ પર $B$ પરના $q$ અને $C$ પરના $q_2$ ને કારણે લાગતું બળ ધ્યાનમાં લો:
$F_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q}{(d/2)^2} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2} = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} q_1$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{q}{(d/2)^2} + \frac{q_2}{d^2} = 0$
$\frac{4q}{d^2} + \frac{q_2}{d^2} = 0$
$4q = -q_2$
અહીં $q_2 = -1 \text{ C}$ હોવાથી,$4q = -(-1) = 1$.
તેથી,$q = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ C}$.

(D) $r$ અંતરે રહેલા $q_1 = 2 C$ અને $q_2 = 6 C$ વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું પ્રારંભિક બળ કુલંબના નિયમ મુજબ: $F_1 = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = k \frac{(2)(6)}{r^2} = \frac{12k}{r^2}$ છે.
આપેલ છે કે $F_1 = 12 \times 10^3 \,N$, તેથી $\frac{k}{r^2} = 10^3$.
દરેક વિદ્યુતભારમાં $-4 C$ ઉમેર્યા પછી, નવા વિદ્યુતભારો $q_1' = 2 - 4 = -2 C$ અને $q_2' = 6 - 4 = 2 C$ થાય છે.
નવું બળ $F_2 = k \frac{q_1' q_2'}{r^2} = k \frac{(-2)(2)}{r^2} = -4 \frac{k}{r^2}$ છે.
$\frac{k}{r^2} = 10^3$ મૂકતા, આપણને $F_2 = -4 \times 10^3 \,N$ મળે છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે. આમ, બળ $4 \times 10^3 \,N$ (આકર્ષણ) થશે.

(C) બે પ્રોટોન વચ્ચેના ગુરુત્વાકર્ષણ બળની સાપેક્ષ પ્રબળતા તેમની વચ્ચેના વિદ્યુતચુંબકીય બળની પ્રબળતા કરતા આશરે $10^{-39}$ ગણી હોય છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને વિદ્યુતચુંબકીય બળનો ગુણોત્તર $10^{-39} / 10^{-2} = 10^{-37}$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) વિદ્યુતભાર $q_{3}$ સંતુલનમાં રહે તે માટે તેના પર લાગતું કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $q_{1}$ થી $q_{3}$ નું અંતર $x$ છે. $q_{1}$ ને કારણે લાગતું બળ $F_{1} = \frac{k q_{1} q_{3}}{x^{2}}$ અને $q_{2}$ ને કારણે લાગતું બળ $F_{2} = \frac{k q_{2} q_{3}}{(d-x)^{2}}$ છે.
સંતુલન માટે,$F_{1} = F_{2}$ (મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ).
$\frac{k q_{1} q_{3}}{x^{2}} = \frac{k q_{2} q_{3}}{(d-x)^{2}}$
$\frac{q_{1}}{x^{2}} = \frac{q_{2}}{(d-x)^{2}}$
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે સ્થાન $x$ માત્ર $q_{1}$ અને $q_{2}$ ના મૂલ્યો અને અંતર $d$ પર આધાર રાખે છે. સમીકરણની બંને બાજુએથી વિદ્યુતભાર $q_{3}$ ઉડી જાય છે.
તેથી,સંતુલન સ્થાન એ ત્રીજા વિદ્યુતભાર $q_{3}$ ની સંજ્ઞા અને મૂલ્યથી સ્વતંત્ર છે.
આમ,તે $q_{3}$ ની સંજ્ઞાને ધ્યાનમાં લીધા વગર શક્ય છે.

(A) ધારો કે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 0.8 \text{ C}$ છે.
ધારો કે $Q_{1} = q$,તો $Q_{2} = Q - q = (0.8 - q)$ થાય.
બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{k Q_{1} Q_{2}}{r^{2}} = \frac{k q (0.8 - q)}{r^{2}}$
બળ $F$ મહત્તમ થાય તે માટે,$q$ ની સાપેક્ષમાં $F$ નું વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$\frac{dF}{dq} = \frac{k}{r^{2}} \frac{d}{dq} (0.8q - q^{2}) = 0$
$0.8 - 2q = 0$
$2q = 0.8$
$q = 0.4 \text{ C}$
આમ,$Q_{1} = 0.4 \text{ C}$ અને $Q_{2} = 0.8 - 0.4 = 0.4 \text{ C}$ મળે.
તેથી,જ્યારે $Q_{1} = Q_{2} = 0.4 \text{ C}$ હોય ત્યારે બળ મહત્તમ હોય છે.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. કેન્દ્રથી દરેક ખૂણાનું અંતર $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,કોઈપણ ખૂણા પરના વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
એક ખૂણા પરના $-Q$ વિદ્યુતભારને ધ્યાનમાં લો. તેના પર લાગતા બળો:
$1$. અન્ય ત્રણ $-Q$ વિદ્યુતભારો દ્વારા લાગતું અપાકર્ષી બળ.
ધારો કે $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^2}{a^2}$.
બે બાજુઓ પરના બળોનું પરિણામી બળ $F_{res} = \sqrt{F^2 + F^2} = \sqrt{2} F$ છે.
વિકર્ણ પરના વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ $F_{diag} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{F}{2}$ છે.
કુલ અપાકર્ષી બળ $F_{total} = \sqrt{2} F + \frac{F}{2} = F(\sqrt{2} + \frac{1}{2})$.
$2$. કેન્દ્રમાં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા લાગતું આકર્ષી બળ: $F_q = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q Q}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q Q}{(a/\sqrt{2})^2} = \frac{2 q Q}{4 \pi \epsilon_0 a^2}$.
સંતુલન માટે,$F_q = F_{total} \implies \frac{2 q Q}{4 \pi \epsilon_0 a^2} = \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 a^2} (\sqrt{2} + \frac{1}{2})$.
$2q = Q(\sqrt{2} + 0.5) = Q(\frac{2\sqrt{2}+1}{2})$.
$q = \frac{Q}{4}(1 + 2\sqrt{2})$.
બળ આકર્ષી હોવું જોઈએ,તેથી $q$ ની સંજ્ઞા $-Q$ થી વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ,એટલે કે $q$ ધન છે.

(B) ધારો કે દોરીઓ વચ્ચેનો પ્રારંભિક ખૂણો $2\theta$ છે. દરેક દોરી શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
$m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા પિથ બોલ માટે,લાગતા બળો તણાવ $T$,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$,અને સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{kq^2}{(2L \sin \theta)^2}$ છે.
સંતુલનમાં બળોને સરખાવતા:
$T \sin \theta = F_e = \frac{kq^2}{4L^2 \sin^2 \theta}$
$T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \theta = \frac{kq^2}{4mgL^2 \sin^2 \theta} \implies \tan \theta \sin^2 \theta = \frac{kq^2}{4mgL^2} = C$ (અચળ).
જ્યારે વિદ્યુતભાર $3q$ થાય છે,ત્યારે દોરીઓ વચ્ચેનો ખૂણો $2(2\theta) = 4\theta$ થાય છે,તેથી શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $2\theta$ થાય છે.
આમ,$\tan \theta \sin^2 \theta = \tan(2\theta) \sin^2(2\theta)$.
$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ અને $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan 2\theta}{\tan \theta} = \frac{q'^2}{q^2} \cdot \frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 2\theta} = 9 \cdot \frac{\sin^2 \theta}{4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \frac{9}{4} \sec^2 \theta$.
$\frac{2}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{9}{4} (1 + \tan^2 \theta)$.
ધારો કે $x = \tan^2 \theta$: $\frac{2}{1-x} = \frac{9}{4}(1+x) \implies 8 = 9(1-x^2) \implies 9x^2 = 1 \implies x = 1/3$.
$\tan^2 \theta = 1/3 \implies \tan \theta = 1/\sqrt{3} \implies \theta = 30^{\circ}$.
દોરીઓ વચ્ચેનો પ્રારંભિક ખૂણો $2\theta = 60^{\circ}$ છે.

(C) વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ બે વીજભારો વચ્ચે લાગતા સ્થિત-વિદ્યુત કુલંબ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી બળને કુલંબ બળ સાથે સરખાવતા:
$\frac{m_{1} v^{2}}{r} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{|q_{1} q_{2}|}{r^{2}}$
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા:
$v^{2} = \frac{|q_{1} q_{2}|}{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} r}$
$v = \sqrt{\frac{|q_{1} q_{2}|}{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} r}}$
હવે,આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2 \pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$T = 2 \pi r \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} r}{|q_{1} q_{2}|}}$
$T = \sqrt{4 \pi^{2} r^{2} \cdot \frac{4 \pi \varepsilon_{0} m_{1} r}{|q_{1} q_{2}|}}$
$T = \sqrt{\frac{16 \pi^{3} \varepsilon_{0} m_{1} r^{3}}{|q_{1} q_{2}|}}$
આ પરિણામને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ એ આવર્તકાળ $T$ માટેનું સાચું સૂત્ર છે (ધારી લઈએ કે આકર્ષણ માટે $q_{1}$ અને $q_{2}$ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે).

(C) ધારો કે બે સ્થિર વિદ્યુતભારો $Q$ એ $-d$ અને $+d$ સ્થાન પર છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q$ ને ઉગમબિંદુથી $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ:
$F = F_{left} - F_{right} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Qq}{(d-x)^{2}} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Qq}{(d+x)^{2}}$
$F = \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ \frac{(d+x)^{2} - (d-x)^{2}}{(d^{2}-x^{2})^{2}} \right] = \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ \frac{4dx}{(d^{2}-x^{2})^{2}} \right]$
કારણ કે $x \ll d$,આપણે $(d^{2}-x^{2})^{2} \approx d^{4}$ તરીકે અંદાજ લગાવી શકીએ:
$F \approx \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}} \cdot \frac{4dx}{d^{4}} = \frac{Qqx}{\pi\varepsilon_{0}d^{3}}$
બળ મધ્યમાન સ્થાન તરફ લાગતું હોવાથી,$F = -kx$,જ્યાં $k = \frac{Qq}{\pi\varepsilon_{0}d^{3}}$.
આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{M \pi \varepsilon_{0} d^{3}}{Qq}} = 2 \sqrt{\frac{\pi^{3} M \varepsilon_{0} d^{3}}{Qq}}$

(B) વિદ્યુતભાર $q_1$ ને કારણે $q_2$ પર લાગતું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ સદિશ સ્વરૂપમાં: $\vec{F} = k \frac{q_1 q_2}{r^3} \vec{r}_{21}$,જ્યાં $\vec{r}_{21} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ છે.
સ્થાન સદિશો $\vec{r}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{r}_2 = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\vec{r}_{21} = (1-2)\hat{i} + (1-3)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
તેનું મૂલ્ય $r = |\vec{r}_{21}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{F}_2 = \frac{(9 \times 10^9)(3 \times 10^{-6})(-4 \times 10^{-6})}{3^3} (-\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k})$.
$\vec{F}_2 = \frac{-108 \times 10^{-3}}{27} (-\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) = -4 \times 10^{-3} (-\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) = (4\hat{i} + 8\hat{j} + 8\hat{k}) \times 10^{-3} \text{ N}$.