Electric Field Lines, Electric Flux and Gauss's Law Questions in Hindi

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\frac{Q}{\varepsilon_0}$ होता है।
$a$ भुजा वाली वर्गाकार सतह से फ्लक्स की गणना करने के लिए,हम इस वर्ग को $a$ भुजा वाले एक घन (cube) की एक सतह के रूप में मान सकते हैं।
चूंकि आवेश $Q$ वर्ग के केंद्र से $a/2$ दूरी पर रखा गया है,इसलिए यह इस काल्पनिक घन के बिल्कुल केंद्र में स्थित है।
समरूपता (symmetry) के कारण,कुल विद्युत फ्लक्स $\frac{Q}{\varepsilon_0}$ घन की $6$ सतहों के बीच समान रूप से वितरित होता है।
इसलिए,दी गई वर्गाकार सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स कुल फ्लक्स का $1/6$ भाग होगा।
वर्गाकार सतह से गुजरने वाला फ्लक्स = $\frac{Q}{6\varepsilon_0}$।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{enclosed}$ सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है।
सतह $S_1$ के लिए: घिरा हुआ आवेश $2q$ है। इसलिए,$\phi_1 = \frac{2q}{\varepsilon_0}$.
सतह $S_2$ के लिए: घिरे हुए आवेश $q, q, q, -q$ हैं। कुल घिरा हुआ आवेश $q + q + q - q = 2q$ है। इसलिए,$\phi_2 = \frac{2q}{\varepsilon_0}$.
सतह $S_3$ के लिए: घिरे हुए आवेश $q, q$ हैं। आवेश $5q$ सतह के बाहर है,इसलिए यह फ्लक्स में योगदान नहीं देता है। कुल घिरा हुआ आवेश $q + q = 2q$ है। इसलिए,$\phi_3 = \frac{2q}{\varepsilon_0}$.
सतह $S_4$ के लिए: घिरे हुए आवेश $8q, -2q, -4q$ हैं। आवेश $3q$ सतह के बाहर है। कुल घिरा हुआ आवेश $8q - 2q - 4q = 2q$ है। इसलिए,$\phi_4 = \frac{2q}{\varepsilon_0}$.
परिणामों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $\phi_1 = \phi_2 = \phi_3 = \phi_4 = \frac{2q}{\varepsilon_0}$.
अतः,सभी सतहों के लिए कुल विद्युत फ्लक्स समान है।

(B) किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र की दिशा में सतह के क्षेत्रफल के प्रक्षेप (projection) द्वारा दिया जाता है,अर्थात $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$।
जब एक शंकु को उसके आधार के समानांतर एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में रखा जाता है,तो शंकु में प्रवेश करने वाला फ्लक्स उस फ्लक्स के बराबर होता है जो विद्युत क्षेत्र के लंबवत तल पर शंकु के प्रक्षेप से गुजरता है।
विद्युत क्षेत्र के लंबवत तल पर शंकु का प्रक्षेप $2R$ आधार और $h$ ऊँचाई वाला एक त्रिभुज है।
इस त्रिभुजाकार प्रक्षेप का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2R) \times h = Rh$ है।
अतः,शंकु में प्रवेश करने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = E \times A = E \times (Rh) = EhR$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = E_0 \hat{i} + 2E_0 \hat{j}$ है।
दिया गया है $E_0 = 100 \, N/C$,अतः $\overrightarrow{E} = 100 \hat{i} + 200 \hat{j} \, N/C$.
वृत्ताकार सतह $Y-Z$ तल के समानांतर है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$,$\hat{i}$ दिशा में होगा।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (0.02)^2 = 3.14159 \times 0.0004 \approx 1.256 \times 10^{-3} \, m^2$.
अतः,$\overrightarrow{A} = 1.256 \times 10^{-3} \hat{i} \, m^2$.
विद्युत फ्लक्स $\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\phi = (100 \hat{i} + 200 \hat{j}) \cdot (1.256 \times 10^{-3} \hat{i})$.
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$,इसलिए $\phi = 100 \times 1.256 \times 10^{-3} = 0.1256 \, Nm^2/C$.
अतः,फ्लक्स लगभग $0.125 \, Nm^2/C$ है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार, बिना किसी आंतरिक आवेश वाली बंद सतह के लिए कुल विद्युत फ्लक्स शून्य होता है।
$\phi_{\text{net}} = \phi_{\text{curved}} + \phi_{\text{base}} = 0$
इसलिए, $\phi_{\text{curved}} = -\phi_{\text{base}}$।
समतल आधार से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{\text{base}} = \vec{E} \cdot \vec{A}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\vec{A}$ आधार का क्षेत्रफल सदिश है। क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर (आधार के लंबवत) होता है, जबकि विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के बीच का कोण $180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ है।
$\phi_{\text{base}} = E A \cos(135^{\circ}) = E (\pi a^2) \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi a^2 E}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $\phi_{\text{curved}} = -\phi_{\text{base}}$, इसलिए $\phi_{\text{curved}} = \frac{\pi a^2 E}{\sqrt{2}}$।

(C) एक धनात्मक आवेश के कारण विद्युत बल रेखाएं त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होती हैं और गोलाकार रूप से सममित होती हैं। चूंकि तीनों आवेश धनात्मक और परिमाण में समान हैं,इसलिए वे एक-दूसरे पर प्रतिकर्षण बल लगाते हैं। परिणामस्वरूप,विद्युत क्षेत्र रेखाएं प्रत्येक आवेश से उत्पन्न होती हैं और एक-दूसरे से दूर जाती हैं। आवेशों के बीच के क्षेत्र में कोई भी विद्युत क्षेत्र रेखा प्रवेश नहीं कर सकती क्योंकि तीनों आवेशों के क्षेत्र एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं,जिससे त्रिभुज के केंद्रक पर एक उदासीन बिंदु बनता है। विद्युत क्षेत्र रेखाओं का परिणामी पैटर्न दिए गए समाधान चित्र में दिखाया गया है।

(B) द्विध्रुव का कुल आवेश $0$ है,इसलिए आंतरिक सतह पर प्रेरित कुल आवेश $0$ होता है। चूंकि कोश एक चालक है,इसलिए कुल आवेश $Q$ बाहरी सतह पर रहता है।
चूंकि द्विध्रुव केंद्र पर है,यह गुहा के अंदर एक असमान विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है। यह कोश की आंतरिक सतह पर एक असमान आवेश वितरण को प्रेरित करता है।
हालाँकि,कोश के बाहर किसी भी बिंदु $(r > b)$ के लिए,आंतरिक सतह पर प्रेरित आवेशों और स्वयं द्विध्रुव द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र अध्यारोपण के सिद्धांत और स्थिरवैद्युत संतुलन में चालक के गुणों के कारण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
अतः,कोश के बाहर विद्युत क्षेत्र केवल बाहरी सतह पर समान रूप से वितरित कुल आवेश $Q$ के कारण होता है,जो केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ के विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQ}{r^2}$ के बराबर है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec E = \frac{3}{5}E_0\hat i + \frac{4}{5}E_0\hat j$ द्वारा दिया गया है।
दिया गया है $E_0 = 2 \times 10^3 \, N/C$,अतः विद्युत क्षेत्र $\vec E = \frac{3}{5}(2 \times 10^3)\hat i + \frac{4}{5}(2 \times 10^3)\hat j = 1200\hat i + 1600\hat j \, N/C$ है।
सतह $y-z$ तल के समानांतर है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec A$,$x$-अक्ष की दिशा में होगा: $\vec A = 0.2\hat i \, m^2$।
विद्युत फ्लक्स $\phi$ को डॉट गुणनफल $\phi = \vec E \cdot \vec A$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$\phi = (1200\hat i + 1600\hat j) \cdot (0.2\hat i) = 1200 \times 0.2 = 240 \, N \cdot m^2/C$।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$,सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $q_{enclosed}$ और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता $\epsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$।
इस प्रश्न में,$2R$ त्रिज्या का काल्पनिक गोला,$R$ त्रिज्या वाले गोले को घेरता है जिस पर कुल आवेश $Q$ है।
इसलिए,काल्पनिक गोले द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $q_{enclosed} = Q$ है।
गॉस के नियम में इस मान को रखने पर,हमें $\phi = \frac{Q}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(B) विद्युत क्षेत्र $\vec E = 8\hat i + 4\hat j + 3\hat k$ है।
चूंकि सतह $x-y$ तल में स्थित है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec A$,$x-y$ तल के लंबवत होगा,जिसका अर्थ है कि यह $z$-अक्ष की दिशा में है।
अतः,क्षेत्रफल सदिश $\vec A = 100\hat k$ है।
विद्युत फ्लक्स $\Phi$ को विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के अदिश गुणनफल (dot product) के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\Phi = \vec E \cdot \vec A$.
मान रखने पर: $\Phi = (8\hat i + 4\hat j + 3\hat k) \cdot (100\hat k)$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\Phi = (8 \times 0) + (4 \times 0) + (3 \times 100) = 300 \text{ units}$.

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स उस सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश का $\frac{1}{\epsilon_0}$ गुना होता है।
जब एक $+Q$ आवेश को घन के एक कोने पर रखा जाता है,तो आवेश को पूरी तरह से घेरने के लिए $8$ समान घनों की आवश्यकता होती है।
इसलिए,एक घन से गुजरने वाला फ्लक्स उस कुल फ्लक्स $\frac{Q}{\epsilon_0}$ का $\frac{1}{8}$ भाग होगा जो आवेश को पूरी तरह घेरने वाली गॉसियन सतह से गुजरता है।
अतः,घन से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi = \frac{Q}{8\epsilon_0}$ है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश का $\frac{1}{\varepsilon_0}$ गुना होता है।
जब एक आवेश $Q$ को घन के कोने पर रखा जाता है,तो यह $8$ ऐसे समान घनों द्वारा साझा किया जाता है ताकि एक बड़ी सममित बंद सतह (गॉसियन सतह) बन सके।
इसलिए,पूरी गॉसियन सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\frac{Q}{\varepsilon_0}$ होता है।
चूंकि आवेश $8$ घनों के बीच समान रूप से वितरित है,इसलिए एक घन से गुजरने वाला फ्लक्स कुल फ्लक्स का $\frac{1}{8}$ भाग होगा।
अतः,घन से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi = \frac{Q}{8\varepsilon_0}$ है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{enclosed}$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है और $\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है।
ध्यान दें कि विद्युत फ्लक्स बंद सतह के आयामों (आकार या आकृति) से स्वतंत्र होता है।
प्रारंभ में,फ्लक्स $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
जब भुजा की लंबाई $2l$ कर दी जाती है,तो घन का आकार बदल जाता है,लेकिन फ्लक्स इस आयाम से स्वतंत्र रहता है।
जब परिबद्ध आवेश को आधा कर दिया जाता है,तो नया आवेश $q' = \frac{q}{2}$ हो जाता है।
इसलिए,नया फ्लक्स $\phi'$ होगा: $\phi' = \frac{q'}{\varepsilon_0} = \frac{q/2}{\varepsilon_0} = \frac{1}{2} \left( \frac{q}{\varepsilon_0} \right) = \frac{\phi}{2}$।

(C) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = 2 \times 10^2 \hat{k} \ Vm^{-1} = 200 \hat{k} \ Vm^{-1}$ है।
आयताकार कुंडली $xy$-तल में स्थित है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$,$xy$-तल के लंबवत यानी $z$-अक्ष की दिशा में होगा।
क्षेत्रफल $A = 10 \ cm \times 20 \ cm = 0.1 \ m \times 0.2 \ m = 0.02 \ m^2 = 2 \times 10^{-2} \ m^2$ है।
अतः,क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A} = 2 \times 10^{-2} \hat{k} \ m^2$ होगा।
विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश का अदिश गुणनफल है: $\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$।
दिए गए विकल्पों के आधार पर,गणना करने पर $\phi = 200 \times 0.02 = 4 \ Vm$ प्राप्त होता है। यदि विद्युत क्षेत्र का मान $2 \times 10^3 \ Vm^{-1}$ माना जाए,तो उत्तर $40 \ Vm$ होगा। अतः सही विकल्प $C$ है।

(C) समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ $X, Y-$ तल में मूल बिंदु पर केंद्रित $1$ त्रिज्या वाले एक वृत्त को दर्शाता है।
एक विद्युत बल रेखा उस पथ को दर्शाती है जिसके अनुदिश एक धनात्मक आवेश बल का अनुभव करता है और यदि वह स्वतंत्र हो तो गति करता है।
चूंकि कण को इस बल रेखा पर रखा गया है,इसलिए यह उस बिंदु पर बल रेखा के स्पर्शरेखीय (tangential) विद्युत बल का अनुभव करेगा।
अतः,कण वृत्ताकार बल रेखा के अनुदिश गति करेगा।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{en}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q_{en}$ सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है।
दिए गए चित्र में,केवल आवेश $q_3$ और $q_4$ ही बंद सतह $S$ के अंदर स्थित हैं।
इसलिए,सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश $Q_{en} = q_3 + q_4$ है।
गॉस के नियम में इस मान को रखने पर,सतह $S$ से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi = \frac{q_3 + q_4}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
यह फ्लक्स केवल सतह के अंदर स्थित आवेशों ($q_3$ और $q_4$) पर निर्भर करता है और सतह के बाहर स्थित आवेशों ($q_1$ और $q_2$) से स्वतंत्र है।
अतः,सतह $S$ से गुजरने वाला कुल फ्लक्स आवेशों $q_3$ और $q_4$ के कारण होने वाले फ्लक्स के बराबर होता है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec E = a\hat i + b\hat j$ के रूप में दिया गया है।
$y-z$ तल के समानांतर $l$ भुजा वाले वर्ग के लिए क्षेत्रफल सदिश $\vec S$,$x$-अक्ष की दिशा में होता है,इसलिए $\vec S = l^2\hat i$ है।
विद्युत फ्लक्स $\phi$ को विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\phi = \vec E \cdot \vec S$।
मान रखने पर: $\phi = (a\hat i + b\hat j) \cdot (l^2\hat i)$।
चूंकि $\hat i \cdot \hat i = 1$ और $\hat j \cdot \hat i = 0$ होता है,इसलिए हमें $\phi = a \cdot l^2 + 0 = al^2$ प्राप्त होता है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रत्येक द्विध्रुव में दो समान और विपरीत आवेश,$+e$ और $-e$ होते हैं।
एक द्विध्रुव का कुल आवेश $q_{dipole} = (+e) + (-e) = 0$ होता है।
चूंकि गोले के अंदर ऐसे चार द्विध्रुव हैं,इसलिए कुल परिबद्ध आवेश $q_{enclosed} = 4 \times (0) = 0$ है।
अतः,कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$q_{\text{enclosed}}$ सतह $S_2$ द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
चित्र से,सतह $S_2$ आवेशों $q_2$ और $q_3$ को घेरती है।
इसलिए,$q_{\text{enclosed}} = q_2 + q_3 = 2\,\mu C + (-3\,\mu C) = -1\,\mu C = -1 \times 10^{-6}\,C$.
संबंध $\frac{1}{\epsilon_0} = 4\pi k$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $k = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$ है:
$\phi = 4\pi k \times q_{\text{enclosed}}$
$\phi = 4\pi \times (9 \times 10^9) \times (-1 \times 10^{-6})$
$\phi = -36\pi \times 10^3\,N\cdot m^2/C$.

(B) आकृति में एक बंद लूप वाली क्षेत्र रेखा दिखाई गई है।
स्थिर-विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेशों से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेशों पर समाप्त होती हैं। वे बंद लूप नहीं बना सकती हैं क्योंकि स्थिर-विद्युत बल एक संरक्षी बल है, जिसका अर्थ है कि किसी भी बंद लूप के चारों ओर स्थिर-विद्युत क्षेत्र का रेखा समाकलन शून्य होता है $(\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0)$।
चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं और प्रेरित विद्युत क्षेत्र (समय के साथ बदलते चुंबकीय क्षेत्र द्वारा उत्पन्न) बंद लूप बना सकते हैं।
इसलिए, एक बंद लूप वाली क्षेत्र रेखा स्थिर-विद्युत क्षेत्र को प्रदर्शित नहीं कर सकती है।

(D) वर्ग को $y-z$ तल में रखा गया है और इसका केंद्र मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ पर है।
आवेश $(a, 0, 0)$ और $(-a, 0, 0)$ बिंदुओं पर स्थित हैं,जो $x-$अक्ष पर हैं।
चूंकि वर्ग $y-z$ तल में है,इसलिए $(a, 0, 0)$ और $(-a, 0, 0)$ पर स्थित आवेशों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र रेखाएं वर्ग के सापेक्ष सममित (symmetric) हैं।
विशेष रूप से,$(a, 0, 0)$ पर स्थित आवेश से विद्युत क्षेत्र रेखाएं वर्ग से एक दिशा में गुजरती हैं,और $(-a, 0, 0)$ पर स्थित आवेश से विद्युत क्षेत्र रेखाएं वर्ग से विपरीत दिशा में गुजरती हैं।
इस व्यवस्था की सममिति के कारण,वर्ग से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स दोनों आवेशों के फ्लक्स का योग है।
चूंकि आवेश समान हैं और वर्ग के केंद्र से समान दूरी पर रखे गए हैं,इसलिए एक आवेश के कारण फ्लक्स का परिमाण दूसरे आवेश के कारण फ्लक्स के परिमाण के बराबर है लेकिन दिशा विपरीत है।
अतः,वर्ग से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $0$ है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सभी सतहें $S_1, S_2, S_3,$ और $S_4$ समान आवेश $q_1$ को घेरती हैं,इसलिए प्रत्येक सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_E = \frac{q_1}{\epsilon_0}$ होगा।
अतः,विद्युत फ्लक्स गॉसियन सतह के आकार और आकृति पर निर्भर नहीं करता है और सभी दी गई सतहों के लिए समान है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec E = \frac{E_0 x}{a} \hat i$ द्वारा दिया गया है।
घन का छायांकित फलक $x = a$ पर स्थित है और $yz$-तल में है।
छायांकित फलक पर $(x = a)$,विद्युत क्षेत्र $\vec E = \frac{E_0 (a)}{a} \hat i = E_0 \hat i$ है।
इस फलक के लिए क्षेत्रफल सदिश $\vec A = a^2 \hat i$ है (क्योंकि फलक $a$ भुजा वाला एक वर्ग है और अभिलंब $+x$ दिशा में है)।
विद्युत फ्लक्स $\phi$ को $\phi = \int \vec E \cdot d\vec A$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि इस फलक पर विद्युत क्षेत्र एकसमान है,इसलिए $\phi = \vec E \cdot \vec A = (E_0 \hat i) \cdot (a^2 \hat i) = E_0 a^2$।

(A) $1$. विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से निकलती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं। चित्र में,रेखाएं $A$ से निकल रही हैं और $B$ में प्रवेश कर रही हैं,इसलिए $A$ धनात्मक है और $B$ ऋणात्मक है।
$2$. किसी आवेश से निकलने वाली या उस पर समाप्त होने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या आवेश के परिमाण के समानुपाती होती है। रेखाओं को गिनने पर,हम देखते हैं कि $B$ पर समाप्त होने वाली रेखाओं की तुलना में $A$ से निकलने वाली रेखाओं की संख्या अधिक है। इसलिए,आवेश $A$ का परिमाण आवेश $B$ के परिमाण से अधिक है,अर्थात $|A| > |B|$.

(A) माना कि समतल पृष्ठों $A$ और $C$ से संबद्ध विद्युत फ्लक्स क्रमशः $\phi_A$ और $\phi_C$ हैं, और वक्र पृष्ठ $B$ से संबद्ध फ्लक्स $\phi_B = \phi$ है।
समरूपता के कारण, दोनों समान समतल सिरों से गुजरने वाला फ्लक्स बराबर होता है, इसलिए $\phi_A = \phi_C$ है।
गॉस के नियम के अनुसार, बंद बेलन से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{\text{total}} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
कुल फ्लक्स सभी पृष्ठों से गुजरने वाले फ्लक्स का योग है: $\phi_{\text{total}} = \phi_A + \phi_C + \phi_B$।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{q}{\varepsilon_0} = \phi_A + \phi_A + \phi$।
$\frac{q}{\varepsilon_0} = 2\phi_A + \phi$।
$\phi_A$ के लिए हल करने पर: $2\phi_A = \frac{q}{\varepsilon_0} - \phi$।
अतः, $\phi_A = \frac{1}{2}\left( \frac{q}{\varepsilon_0} - \phi \right)$।

(A) गाउस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E$ अंदर स्थित आवेश $q_{enc}$ से $\Phi_E = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}$ द्वारा संबंधित होता है।
स्थिति $1$ के लिए:
कुल बाहर जाने वाला फ्लक्स = $6$ इकाई।
कुल अंदर आने वाला फ्लक्स = $2 + 7 + 15 + 8 = 32$ इकाई।
कुल फ्लक्स $\Phi_{E1} = \text{बाहर} - \text{अंदर} = 6 - 32 = -26$ इकाई।
चूंकि कुल फ्लक्स ऋणात्मक है,इसलिए अंदर का आवेश ऋणात्मक है।
स्थिति $2$ के लिए:
कुल बाहर जाने वाला फ्लक्स = $9$ इकाई।
कुल अंदर आने वाला फ्लक्स = $7 + 6 + 5 + 3 + 2 = 23$ इकाई।
कुल फ्लक्स $\Phi_{E2} = \text{बाहर} - \text{अंदर} = 9 - 23 = -14$ इकाई।
चूंकि कुल फ्लक्स ऋणात्मक है,इसलिए अंदर का आवेश ऋणात्मक है।

(B) मान लीजिए कि केंद्र $O$ पर आवेश $q_1 = q$ है और बाहर स्थित आवेश $q_2 = q$ है।
सममिति के अनुसार, केंद्र $O$ पर स्थित आवेश $q_1$ के कारण $BGFC$ फलक से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_1 = q / (6\varepsilon_0)$ है, क्योंकि आवेश घन के केंद्र में है और फ्लक्स $6$ फलकों के बीच समान रूप से वितरित होता है।
अब $O$ से $L$ दूरी पर रखे गए आवेश $q_2$ पर विचार करें। $BGFC$ फलक केंद्र $O$ से $L/2$ दूरी पर स्थित है। आवेश $q_2$ को $BGFC$ फलक के केंद्र से गुजरने वाली रेखा पर $O$ से $L$ दूरी पर रखा गया है।
हालाँकि, इसे समझने का एक सरल तरीका सममिति है। आवेश $q_2$ से निकलने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाएं $BGFC$ फलक में प्रवेश करती हैं और विपरीत फलक से बाहर निकलती हैं।
विशेष रूप से, $BGFC$ फलक के लिए, आंतरिक आवेश $q_1$ के कारण फ्लक्स $q / (6\varepsilon_0)$ है।
बाहरी आवेश $q_2$ के लिए, पूरे बंद घन से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य है क्योंकि आवेश बाहर है।
विशिष्ट ज्यामिति के कारण, $q_2$ के कारण $BGFC$ फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $-q / (6\varepsilon_0)$ है।
इसलिए, $BGFC$ फलक से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{total} = \phi_1 + \phi_2 = q / (6\varepsilon_0) - q / (6\varepsilon_0) = 0$ है।

(A) विद्युत बल रेखाएं किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा को दर्शाती हैं।
यदि दो विद्युत बल रेखाएं एक बिंदु पर एक-दूसरे को काटती हैं,तो उस बिंदु पर दो अलग-अलग स्पर्श रेखाएं होंगी,जिसका अर्थ है कि एक ही स्थान पर विद्युत क्षेत्र की दो अलग-अलग दिशाएं हैं।
हालाँकि,किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र सभी व्यक्तिगत क्षेत्रों का सदिश योग होता है,जिसके परिणामस्वरूप एक एकल अद्वितीय परिणामी विद्युत क्षेत्र सदिश प्राप्त होता है।
चूँकि अध्यारोपण का सिद्धांत यह सुनिश्चित करता है कि कई क्षेत्र मिलकर एक परिणामी क्षेत्र बनाते हैं,इसलिए दो बल रेखाओं का प्रतिच्छेद करना भौतिक रूप से असंभव है।
अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण कथन की सही व्याख्या है।

(C) गाउस के नियम के अनुसार,किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए चित्र में,गाऊसी पृष्ठ द्वारा परिबद्ध आवेश $q_1$ और $q_2$ हैं। इसलिए,फ्लक्स केवल $q_1$ और $q_2$ पर निर्भर करता है। अतः,कथन सही है।
हालाँकि,गाऊसी पृष्ठ पर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र अंतरिक्ष में मौजूद सभी आवेशों ($q_1, q_2, q_3$ और $q_4$) द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग होता है। इसलिए,पृष्ठ पर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र केवल अंदर स्थित आवेशों पर ही नहीं,बल्कि सभी आवेशों पर निर्भर करता है। अतः,कारण गलत है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार, किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
एक विद्युत द्विध्रुव दो समान और विपरीत आवेशों, $+q$ और $-q$ से बना होता है।
यहाँ, आवेश $+3 \times 10^{-6} \; C$ और $-3 \times 10^{-6} \; C$ हैं।
गोले द्वारा घेरा गया कुल आवेश $q_{\text{enclosed}} = (+3 \times 10^{-6}) + (-3 \times 10^{-6}) = 0 \; C$ है।
इसलिए, कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{0}{\epsilon_0} = 0 \; \text{N m}^2 / \text{C}$ होगा।

(D) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = 4x \hat{i} - (y^2 + 1) \hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
सतह $ABCD$,$z = 2$ पर $xy$-तल में स्थित है। इस सतह के लिए क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{S}_I = S \hat{k}$ है। चूंकि $\overrightarrow{E} \cdot \hat{k} = 0$,इसलिए फ्लक्स $\phi_I = 0$ है।
सतह $BCGF$,$x = 3$ पर $yz$-तल में स्थित है। इस सतह के लिए क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{S}_{II} = 4 \hat{i}$ है (क्षेत्रफल = $2 \times 2 = 4$)।
$x = 3$ पर,विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = 4(3) \hat{i} - (y^2 + 1) \hat{j} = 12 \hat{i} - (y^2 + 1) \hat{j}$ है।
फ्लक्स $\phi_{II} = \int \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{S} = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} (12 \hat{i} - (y^2 + 1) \hat{j}) \cdot (dy dz \hat{i}) = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} 12 \, dy dz = 12 \times 4 = 48 \text{ Nm}^2/C$.
अतः,$\phi_I - \phi_{II} = 0 - 48 = -48 \text{ Nm}^2/C$।

(N/A) बाएं फलक $(x = -10 \; cm)$ पर,विद्युत क्षेत्र $E = -200 \hat{i} \; N/C$ है और क्षेत्रफल सदिश $\Delta S = -\Delta S \hat{i}$ है। बाहर निकलने वाला फ्लक्स:
$\phi_{L} = E \cdot \Delta S = (-200 \hat{i}) \cdot (-\Delta S \hat{i}) = 200 \Delta S$
$\phi_{L} = 200 \times \pi (0.05)^2 = 1.57 \; N \cdot m^2/C$
दाएं फलक $(x = +10 \; cm)$ पर,विद्युत क्षेत्र $E = 200 \hat{i} \; N/C$ है और क्षेत्रफल सदिश $\Delta S = \Delta S \hat{i}$ है। बाहर निकलने वाला फ्लक्स:
$\phi_{R} = E \cdot \Delta S = (200 \hat{i}) \cdot (\Delta S \hat{i}) = 200 \Delta S = 1.57 \; N \cdot m^2/C$
$(b)$ बेलन के वक्र पृष्ठ पर किसी भी बिंदु के लिए,विद्युत क्षेत्र $E$ सतह के समानांतर और क्षेत्रफल सदिश $\Delta S$ के लंबवत है। अतः,$E \cdot \Delta S = 0$। वक्र पृष्ठ से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य है।
$(c)$ कुल बाहर निकलने वाला फ्लक्स $\phi$ सभी सतहों से गुजरने वाले फ्लक्स का योग है:
$\phi = \phi_{L} + \phi_{R} + \phi_{side} = 1.57 + 1.57 + 0 = 3.14 \; N \cdot m^2/C$
$(d)$ गॉस के नियम का उपयोग करते हुए,बेलन के अंदर कुल आवेश $q$ है:
$q = \varepsilon_{0} \phi = (8.854 \times 10^{-12} \; C^2/N \cdot m^2) \times (3.14 \; N \cdot m^2/C) \approx 2.78 \times 10^{-11} \; C$

(N/A) एक स्थिर वैद्युत क्षेत्र रेखा एक सतत वक्र है क्योंकि जब किसी स्थिर वैद्युत क्षेत्र में आवेश को ट्रैक किया जाता है तो वह एक निरंतर बल का अनुभव करता है। क्षेत्र रेखा में अचानक ब्रेक नहीं हो सकता क्योंकि विद्युत क्षेत्र की तीव्रता अंतरिक्ष में लगातार बदलती रहती है,और एक परीक्षण आवेश एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर कूदे बिना एक निरंतर पथ पर चलेगा।
$(b)$ यदि दो क्षेत्र रेखाएं किसी बिंदु पर एक-दूसरे को काटती हैं,तो इसका अर्थ यह होगा कि उस विशिष्ट बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता एक साथ दो अलग-अलग दिशाओं को दर्शाएगी। चूंकि विद्युत क्षेत्र एक सदिश राशि है और किसी भी दिए गए बिंदु पर इसकी एक अद्वितीय दिशा होनी चाहिए,इसलिए यह भौतिक रूप से असंभव है। अतः,दो क्षेत्र रेखाएं कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं।

(A) विद्युत क्षेत्र की तीव्रता,$E = 3 \times 10^{3} \hat{i} \; N/C$.
विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का परिमाण,$|E| = 3 \times 10^{3} \; N/C$.
वर्ग की भुजा,$s = 10 \; cm = 0.1 \; m$.
वर्ग का क्षेत्रफल,$A = s^{2} = 0.01 \; m^{2}$.
वर्ग का तल $yz$ तल के समानांतर है। अतः,तल के अभिलंब इकाई सदिश और विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
तल से गुजरने वाला फ्लक्स $(\phi)$ इस संबंध द्वारा दिया जाता है,$\phi = |E| A \cos \theta = 3 \times 10^{3} \times 0.01 \times \cos 0^{\circ} = 30 \; N \cdot m^{2}/C$.
$(b)$ तल का अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है। अतः,$\theta = 60^{\circ}$.
फ्लक्स,$\phi = |E| A \cos \theta = 3 \times 10^{3} \times 0.01 \times \cos 60^{\circ}$.
$\phi = 30 \times \frac{1}{2} = 15 \; N \cdot m^{2}/C$.

$(A)$ विद्युत क्षेत्र एकसमान है और $E = 3 \times 10^{3} \hat{i} \; N/C$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि घन के फलक निर्देशांक तलों के समानांतर हैं, इसलिए विद्युत क्षेत्र रेखाएं एक फलक से प्रवेश करती हैं और विपरीत फलक से बाहर निकलती हैं।
गॉस के नियम के अनुसार, एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \oint E \cdot dA$ द्वारा दिया जाता है।
जब एक बंद सतह (जैसे घन) से एकसमान विद्युत क्षेत्र गुजरता है और अंदर कोई आवेश नहीं होता है, तो सतह में प्रवेश करने वाला फ्लक्स और सतह से बाहर निकलने वाला फ्लक्स बराबर होता है।
गणितीय रूप से, $x = 0$ पर फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{in} = -E \cdot A = -(3 \times 10^{3}) \times (0.2)^{2} = -120 \; N \cdot m^{2}/C$ है।
$x = 0.2 \; m$ पर फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{out} = +E \cdot A = +(3 \times 10^{3}) \times (0.2)^{2} = +120 \; N \cdot m^{2}/C$ है।
कुल फ्लक्स $\phi_{net} = \phi_{in} + \phi_{out} = -120 + 120 = 0 \; N \cdot m^{2}/C$ है।

(A) बॉक्स की सतह से बाहर निकलने वाला कुल फ्लक्स,$\phi = 8.0 \times 10^{3} \; N m^{2} / C$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,फ्लक्स $\phi$ और सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $q$ के बीच संबंध $\phi = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$ होता है।
यहाँ,$\varepsilon_{0} = 8.854 \times 10^{-12} \; N^{-1} C^{2} m^{-2}$ मुक्त आकाश की विद्युतशीलता (permittivity) है।
अतः,$q = \varepsilon_{0} \phi = (8.854 \times 10^{-12}) \times (8.0 \times 10^{3}) \; C$ है।
$q = 7.0832 \times 10^{-8} \; C \approx 0.07 \; \mu C$ है।
इस प्रकार,बॉक्स के अंदर कुल आवेश $0.07 \; \mu C$ है।
$(b)$ नहीं।
यदि सतह से बाहर निकलने वाला कुल फ्लक्स शून्य है,तो इसका अर्थ है कि सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश शून्य है (क्योंकि $\phi = q_{net} / \varepsilon_{0}$)। इसका मतलब यह नहीं है कि अंदर कोई आवेश नहीं है; इसका केवल यह अर्थ है कि बॉक्स के अंदर मौजूद सभी आवेशों का कुल बीजगणितीय योग शून्य है। बॉक्स में समान मात्रा में धनात्मक और ऋणात्मक आवेश हो सकते हैं।

(C) इस वर्ग को $10 \; cm$ भुजा वाले एक घन के एक फलक के रूप में माना जा सकता है,जिसके केंद्र पर आवेश $q$ स्थित है। गॉस के प्रमेय के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{\text{Total}} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$ होता है।
चूंकि आवेश घन के केंद्र पर है,इसलिए कुल फ्लक्स इसके छह फलकों में समान रूप से वितरित होता है। अतः,एक फलक (वर्ग) से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स है:
$\phi = \frac{\phi_{\text{Total}}}{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
दिया है:
$q = 10 \; \mu C = 10 \times 10^{-6} \; C$
$\varepsilon_{0} = 8.854 \times 10^{-12} \; C^{2} \; N^{-1} \; m^{-2}$
मान रखने पर:
$\phi = \frac{1}{6} \times \frac{10 \times 10^{-6}}{8.854 \times 10^{-12}}$
$\phi = \frac{1}{6} \times 1.129 \times 10^{6}$
$\phi \approx 1.88 \times 10^{5} \; N \; m^{2} \; C^{-1}$

(D) गाउस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $(\phi_{\text{Net}})$ पृष्ठ के भीतर निहित कुल आवेश $(q)$ और निर्वात की विद्युतशीलता $(\varepsilon_{0})$ के अनुपात के बराबर होता है।
$\phi_{\text{Net}} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
दिया गया है:
आवेश $q = 2.0 \; \mu C = 2.0 \times 10^{-6} \; C$
$\varepsilon_{0} = 8.854 \times 10^{-12} \; N^{-1} m^{-2} C^{2}$
मान रखने पर:
$\phi_{\text{Net}} = \frac{2.0 \times 10^{-6}}{8.854 \times 10^{-12}}$
$\phi_{\text{Net}} \approx 0.22588 \times 10^{6} \; N \; m^{2} C^{-1}$
$\phi_{\text{Net}} \approx 2.26 \times 10^{5} \; N \; m^{2} C^{-1}$
अतः,पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $2.26 \times 10^{5} \; N \; m^{2} C^{-1}$ है।

(B) गाऊस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है। यह फ्लक्स केवल सतह के भीतर निहित कुल आवेश पर निर्भर करता है और गाऊसी सतह के आकार या आकृति पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए,यदि त्रिज्या दोगुनी कर दी जाती है,तो फ्लक्स अपरिवर्तित रहता है और $-1.0 \times 10^{3} \; N \cdot m^{2} / C$ ही रहता है।
$(b)$ $\phi = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$ संबंध का उपयोग करके,हम आवेश $q$ को $q = \phi \varepsilon_{0}$ के रूप में ज्ञात कर सकते हैं।
यहाँ $\phi = -1.0 \times 10^{3} \; N \cdot m^{2} / C$ और $\varepsilon_{0} = 8.854 \times 10^{-12} \; C^{2} / (N \cdot m^{2})$ दिया गया है:
$q = (-1.0 \times 10^{3}) \times (8.854 \times 10^{-12}) = -8.854 \times 10^{-9} \; C = -8.854 \; nC$.
अतः,बिंदु आवेश का मान $-8.854 \; nC$ है।

(N/A) गोले का व्यास,$d = 2.4\; m$.
गोले की त्रिज्या,$r = 1.2\; m$.
पृष्ठीय आवेश घनत्व,$\sigma = 80.0\; \mu C/m^2 = 80 \times 10^{-6}\; C/m^2$.
गोले की सतह पर कुल आवेश,$Q = \text{आवेश घनत्व} \times \text{सतह का क्षेत्रफल} = \sigma \times 4\pi r^2 = 80 \times 10^{-6} \times 4 \times 3.14159 \times (1.2)^2 \approx 1.447 \times 10^{-3}\; C$.
अतः,गोले पर आवेश $1.447 \times 10^{-3}\; C$ है।
$(b)$ कुल आवेश $Q$ वाले गोले की सतह से बाहर निकलने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $(\phi_{\text{total}})$ गॉस के नियम द्वारा दिया जाता है,$\phi_{\text{total}} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$.
जहाँ,$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\; C^2 N^{-1} m^{-2}$.
$\phi_{\text{total}} = \frac{1.447 \times 10^{-3}}{8.854 \times 10^{-12}} \approx 1.634 \times 10^8\; N C^{-1} m^2$.
अतः,गोले की सतह से बाहर निकलने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $1.634 \times 10^8\; N C^{-1} m^2$ है।

(A, B, D, E) चित्र $(a)$ में दिखाई गई क्षेत्र रेखाएं स्थिर-विद्युत क्षेत्र रेखाओं का प्रतिनिधित्व नहीं करती हैं क्योंकि क्षेत्र रेखाएं चालक की सतह के लंबवत होनी चाहिए।
$(b)$ चित्र $(b)$ में दिखाई गई क्षेत्र रेखाएं स्थिर-विद्युत क्षेत्र रेखाओं का प्रतिनिधित्व नहीं करती हैं क्योंकि क्षेत्र रेखाएं ऋणात्मक आवेश से उत्पन्न नहीं हो सकती हैं और धनात्मक आवेश पर समाप्त नहीं हो सकती हैं।
$(c)$ चित्र $(c)$ में दिखाई गई क्षेत्र रेखाएं वैध स्थिर-विद्युत क्षेत्र रेखाओं का प्रतिनिधित्व करती हैं क्योंकि वे धनात्मक आवेशों से निकलती हैं और एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करती हैं।
$(d)$ चित्र $(d)$ में दिखाई गई क्षेत्र रेखाएं स्थिर-विद्युत क्षेत्र रेखाओं का प्रतिनिधित्व नहीं करती हैं क्योंकि क्षेत्र रेखाएं एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करनी चाहिए।
$(e)$ चित्र $(e)$ में दिखाई गई क्षेत्र रेखाएं स्थिर-विद्युत क्षेत्र रेखाओं का प्रतिनिधित्व नहीं करती हैं क्योंकि स्थिर-विद्युत क्षेत्र रेखाएं बंद लूप नहीं बना सकती हैं।

(A) एक धनात्मक बिंदु आवेश के लिए,विद्युत क्षेत्र रेखाएं आवेश से उत्पन्न होती हैं और त्रिज्यीय रूप से अनंत तक बाहर की ओर फैलती हैं।
इसका कारण यह है कि किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ धनात्मक आवेश से दूर की दिशा में होता है,क्योंकि क्षेत्र में रखे गए इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश पर लगने वाला बल प्रतिकर्षण का होता है।
ये रेखाएं आवेश के चारों ओर सभी दिशाओं में सममित होती हैं।

(B) एक ऋणात्मक बिंदु आवेश के लिए,विद्युत क्षेत्र रेखाएं त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर आवेश की दिशा में होती हैं।
इसका कारण यह है कि विद्युत क्षेत्र को क्षेत्र में रखे गए एक इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश द्वारा अनुभव किए गए बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
एक इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश ऋणात्मक आवेश की ओर आकर्षित होगा,इसलिए क्षेत्र रेखाएं ऋणात्मक आवेश की ओर इंगित करती हैं।
दृश्य रूप से,इसे ऋणात्मक आवेश के केंद्र की ओर इशारा करते हुए तीरों द्वारा दर्शाया जाता है।

(N/A) विद्युत क्षेत्र रेखाएं किसी आवेश या आवेशों के निकाय द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र का एक चित्रात्मक निरूपण हैं।
इसे समझने के लिए,विद्युत क्षेत्र की दिशा में सदिश खींचें,जिनकी लंबाई प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र की प्रबलता के समानुपाती हो।
चूंकि किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण उस बिंदु की आवेश से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए जैसे-जैसे हम आवेश से दूर जाते हैं,सदिश छोटा होता जाता है। यह हमेशा त्रिज्यीय दिशा में होता है (यदि आवेश धनात्मक है तो बाहर की ओर और यदि ऋणात्मक है तो अंदर की ओर),जिसे $E = \frac{kQ}{r^{2}}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चित्र में,प्रत्येक तीर विद्युत क्षेत्र को इंगित करता है,यानी उस तीर की पूंछ पर रखे गए इकाई धनात्मक आवेश पर कार्य करने वाला बल। एक दिशा में इंगित करने वाले तीरों को जोड़ने पर प्राप्त आकृति एक क्षेत्र रेखा का प्रतिनिधित्व करती है।
क्षेत्र का परिमाण क्षेत्र रेखाओं के घनत्व द्वारा दर्शाया जाता है।
आवेश के निकट $\overrightarrow{E}$ प्रबल होता है,इसलिए आवेश के निकट क्षेत्र रेखाओं का घनत्व अधिक होता है और रेखाएं पास-पास होती हैं। आवेश से दूर जाने पर,क्षेत्र कमजोर हो जाता है और क्षेत्र रेखाओं का घनत्व कम हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप रेखाएं एक-दूसरे से दूर हो जाती हैं।

(N/A) चित्र एक बिंदु आवेश $q$ से निकलने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं के एक समूह को दर्शाता है।
बिंदुओं $R$ और $S$ पर रखे गए दो छोटे क्षेत्रफल अवयवों पर विचार करें,जो क्षेत्र रेखाओं के लंबवत हैं।
किसी दिए गए क्षेत्रफल से गुजरने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या उस स्थान पर विद्युत क्षेत्र के परिमाण के समानुपाती होती है। आरेख दर्शाता है कि $R$ पर क्षेत्र $S$ की तुलना में अधिक प्रबल है क्योंकि $R$ पर क्षेत्र रेखाएं अधिक घनी हैं।
त्रिविमीय (three-dimensional) स्थान में,आवेश से $r$ दूरी पर एक क्षेत्रफल अवयव $\Delta S$ द्वारा अंतरित घनकोण $\Delta \Omega = \frac{\Delta S}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $\Delta S = r^2 \Delta \Omega$।
एक निश्चित घनकोण $\Delta \Omega$ के लिए,क्षेत्रफल अवयव से गुजरने वाली त्रिज्यीय क्षेत्र रेखाओं की संख्या $n$ स्थिर रहती है।
आवेश से $r_1$ और $r_2$ दूरी पर स्थित दो बिंदुओं $P_1$ और $P_2$ के लिए,समान घनकोण $\Delta \Omega$ अंतरित करने वाले क्षेत्रफल अवयव क्रमशः $A_1 = r_1^2 \Delta \Omega$ और $A_2 = r_2^2 \Delta \Omega$ हैं।
इन क्षेत्रफल अवयवों को काटने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या $n$ समान है। इसलिए,प्रति इकाई क्षेत्रफल क्षेत्र रेखाओं की संख्या (जो विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ को दर्शाती है) है:
$E_1 = \frac{n}{A_1} = \frac{n}{r_1^2 \Delta \Omega}$
$E_2 = \frac{n}{A_2} = \frac{n}{r_2^2 \Delta \Omega}$
चूंकि $n$ और $\Delta \Omega$ स्थिर हैं,इसलिए यह स्पष्ट है कि विद्युत क्षेत्र की तीव्रता दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $E \propto \frac{1}{r^2}$।

(N/A) विद्युत क्षेत्र रेखाओं की अवधारणा फैराडे द्वारा आवेशित विन्यासों के चारों ओर विद्युत क्षेत्रों की कल्पना करने के लिए पेश की गई थी। फैराडे ने इन्हें बल रेखाएं कहा था।
चित्र विभिन्न सरल आवेश विन्यासों के चारों ओर क्षेत्र रेखाओं को दर्शाते हैं। हालांकि चित्र उन्हें $2$-आयामी तल में दिखाते हैं,लेकिन ये क्षेत्र रेखाएं वास्तव में $3$-आयामी अंतरिक्ष में मौजूद होती हैं।
$1$. एक धनात्मक बिंदु आवेश $(q > 0)$ के लिए,क्षेत्र रेखाएं त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर होती हैं।
$2$. एक ऋणात्मक बिंदु आवेश $(q < 0)$ के लिए,क्षेत्र रेखाएं त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर होती हैं।
$3$. दो धनात्मक आवेशों के लिए,क्षेत्र रेखाएं एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करती हैं।
$4$. विद्युत द्विध्रुव (धनात्मक और ऋणात्मक आवेश) के लिए,क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से निकलती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
$5$. दो ऋणात्मक आवेशों के लिए,क्षेत्र रेखाएं दो धनात्मक आवेशों के समान होती हैं लेकिन तीर अंदर की ओर होते हैं।
$6$. एक समान विद्युत क्षेत्र के लिए,क्षेत्र रेखाएं समानांतर और समान दूरी पर होती हैं।
$7$. जब एक धात्विक गोले को एक समान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो क्षेत्र रेखाएं चालक की सतह के लंबवत होती हैं और इसके अंदर प्रवेश नहीं करती हैं।
$8$. जब एक परावैद्युत स्लैब को एक समान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो क्षेत्र रेखाएं इससे होकर गुजरती हैं लेकिन ध्रुवीकरण के कारण उनमें बदलाव आता है।

(N/A) $(i)$ विद्युत क्षेत्र रेखा पर किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा बताती है।
$(ii)$ दो विद्युत क्षेत्र रेखाएं कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं। यदि वे काटती हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर दो स्पर्श रेखाएं होंगी,जिसका अर्थ है कि एक ही बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दो दिशाएं होंगी,जो भौतिक रूप से असंभव है। इसलिए,दो क्षेत्र रेखाएं कभी भी एक-दूसरे को नहीं काट सकती हैं।
$(iii)$ किसी क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र रेखाओं का घनत्व उस क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र की तीव्रता को दर्शाता है।
$(iv)$ एकसमान विद्युत क्षेत्र की क्षेत्र रेखाएं एक-दूसरे से समान दूरी पर और समानांतर होती हैं।
$(v)$ स्थिर विद्युत आवेशों से निकलने वाली क्षेत्र रेखाएं बंद लूप नहीं बनाती हैं।
$(vi)$ किसी बिंदु पर क्षेत्र रेखाओं के लंबवत इकाई क्षेत्रफल से गुजरने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के परिमाण के समानुपाती होती है।

(N/A) एक धनात्मक बिंदु आवेश के लिए विद्युत क्षेत्र रेखाएं आवेश से उत्पन्न होती हैं और त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर अनंत तक जाती हैं।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E$ को प्रति इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए धनात्मक स्रोत आवेश के पास रखा गया धनात्मक परीक्षण आवेश प्रतिकर्षण का अनुभव करेगा।
अतः,क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से सभी दिशाओं में बाहर की ओर इंगित करती हैं।
ये रेखाएं आवेश के चारों ओर सममित होती हैं और एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।