Electric Field Lines, Electric Flux and Gauss's Law Questions in Hindi

(B) गॉस के नियम के अनुसार, किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ होता है।
यहाँ तार की प्रति $cm$ लंबाई पर आवेश $Q$ है और बेलन के भीतर तार की लंबाई $1 \, m = 100 \, cm$ है।
इसलिए, बेलन के भीतर परिबद्ध कुल आवेश $q_{enclosed} = 100 \times Q = 100 \, Q$ होगा।
इस मान को गॉस के नियम में रखने पर, हमें $\phi = \frac{100 \, Q}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(A) विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि पृष्ठ $YZ$-तल में स्थित है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$X$-अक्ष की दिशा में होगा।
अतः,$\vec{A} = 2\hat{i} \text{ m}^2$.
विद्युत फ्लक्स $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = (5\hat{i} + 2\hat{j}) \cdot (2\hat{i})$.
अदिश गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए ($\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$),हमें प्राप्त होता है $\phi = 5 \times 2 = 10 \text{ N}\,\text{m}^2/\text{C}$.

(B) गॉस के नियम के अनुसार,बंद बेलन से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ होता है।
कुल फ्लक्स दो समतल पृष्ठों ($A$ और $C$) और वक्र पृष्ठ $(B)$ से गुजरने वाले फ्लक्स का योग है: $\phi_{total} = \phi_A + \phi_C + \phi_B$.
चूंकि बेलन सममित है,इसलिए दोनों समतल पृष्ठों से गुजरने वाला फ्लक्स समान होगा,अर्थात $\phi_A = \phi_C$। मान लीजिए यह $\phi_{plane}$ है।
वक्र पृष्ठ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_B = \phi$ दिया गया है।
इन मानों को गॉस के नियम के समीकरण में रखने पर: $2\phi_{plane} + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$।
$\phi_{plane}$ के लिए हल करने पर: $2\phi_{plane} = \frac{q}{\epsilon_0} - \phi$।
अतः,$\phi_{plane} = \frac{1}{2} \left[ \frac{q}{\epsilon_0} - \phi \right]$।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक फ्लक्स $\phi = \frac{20 \ \mu C}{\epsilon_0}$ है।
$80 \ \mu C$ आवेश जोड़ने के बाद,कुल आवेश $q_{total} = 20 \ \mu C + 80 \ \mu C = 100 \ \mu C$ हो जाता है।
नया फ्लक्स $\phi' = \frac{100 \ \mu C}{\epsilon_0}$ होगा।
फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = \phi' - \phi = \frac{100 \ \mu C}{\epsilon_0} - \frac{20 \ \mu C}{\epsilon_0} = \frac{80 \ \mu C}{\epsilon_0}$ है।
चूंकि $\phi = \frac{20 \ \mu C}{\epsilon_0}$,इसलिए हम लिख सकते हैं कि $\Delta \phi = 4 \times \left( \frac{20 \ \mu C}{\epsilon_0} \right) = 4 \phi$.

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी आवेश $q$ को घेरने वाले किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यह समीकरण दर्शाता है कि एक बंद पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स केवल उस पृष्ठ द्वारा घेरे गए कुल आवेश पर निर्भर करता है और पृष्ठ के आकार या माप पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि $10 \ cm$ त्रिज्या वाले गोले के लिए फ्लक्स $20 \ Vm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{q}{\varepsilon_0} = 20 \ Vm$ है।
चूंकि $20 \ cm$ त्रिज्या वाला पृष्ठ भी उतना ही आवेश $q$ घेरता है,इसलिए फ्लक्स में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
अतः,$20 \ cm$ त्रिज्या वाले पृष्ठ से गुजरने वाला फ्लक्स $20 \ Vm$ ही रहेगा।

(C) विद्युत क्षेत्र का परिमाण विद्युत क्षेत्र रेखाओं के घनत्व के समानुपाती होता है।
मान लीजिए कि बिंदु $A$ और $B$ पर विद्युत क्षेत्र के परिमाण क्रमशः $E_A$ और $E_B$ हैं।
मान लीजिए कि $A$ और $B$ पर रेखाओं के बीच की दूरी क्रमशः $d_A$ और $d_B$ है।
चित्र से,$A$ पर दूरी $x$ है और $B$ पर दूरी $y$ है।
हमें दिया गया है कि $y \approx 2x$ है।
क्षेत्र रेखाओं का घनत्व उनके बीच की दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
इसलिए,$\frac{E_A}{E_B} = \frac{d_B}{d_A} = \frac{y}{x}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{40}{E_B} = \frac{2x}{x} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$E_B = \frac{40}{2} = 20 \ N/C$।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{enclosed}$ पृष्ठ द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
चूंकि वर्ग गोलीय पृष्ठ के अंदर स्थित है और चारों आवेश वर्ग के कोनों पर हैं,इसलिए ये सभी आवेश गोलीय पृष्ठ के अंदर परिबद्ध हैं।
कुल आवेश $q_{enclosed} = (2 - 5 - 3 + 6) \times 10^{-6} \ C = 0 \times 10^{-6} \ C = 0 \ C$.
अतः,कुल फ्लक्स $\phi = \frac{0}{\epsilon_0} = 0 \ N \cdot m^2/C$ होगा।

(D) जब एक धात्विक गोले को एकसमान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो चालक में मुक्त इलेक्ट्रॉन इस प्रकार पुनर्वितरित हो जाते हैं कि चालक के अंदर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है।
स्थिरवैद्युत संतुलन में विद्युत क्षेत्र रेखाएं हमेशा चालक की सतह के लंबवत होती हैं।
चूंकि क्षेत्र रेखाओं को सतह के लंबवत होना चाहिए और आंतरिक भाग में कोई क्षेत्र नहीं होना चाहिए,इसलिए क्षेत्र रेखाएं मुड़ जाती हैं और गोले की सतह पर समाप्त हो जाती हैं।
दिए गए पथों में से,पथ $4$ सही ढंग से दर्शाता है कि क्षेत्र रेखाएं गोले की सतह के लंबवत प्रवेश करती हैं और बाहर निकलती हैं,जबकि चालक के आंतरिक भाग से बचती हैं।

(C) विद्युत क्षेत्र की तीव्रता विद्युत क्षेत्र रेखाओं के घनत्व के सीधे आनुपातिक होती है।
बिंदुओं $A$ और $C$ पर,विद्युत क्षेत्र रेखाएं एक-दूसरे के करीब हैं,जो क्षेत्र रेखाओं के उच्च घनत्व को दर्शाती हैं।
बिंदु $B$ पर,विद्युत क्षेत्र रेखाएं एक-दूसरे से दूर हैं,जो क्षेत्र रेखाओं के कम घनत्व को दर्शाती हैं।
इसलिए,$A$ और $C$ पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $B$ की तुलना में अधिक है।
अतः,$E_A = E_C > E_B$.

(D) $1$. विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से निकलती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
$2$. आरेख में,क्षेत्र रेखाएं $Q$ में प्रवेश कर रही हैं और $q$ से बाहर निकल रही हैं। इसलिए,$Q$ एक ऋणात्मक आवेश होना चाहिए और $q$ एक धनात्मक आवेश होना चाहिए।
$3$. किसी आवेश से निकलने वाली या उस पर समाप्त होने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या आवेश के परिमाण के समानुपाती होती है।
$4$. $Q$ और $q$ से जुड़ी रेखाओं की गणना करने पर: $Q$ पर $6$ रेखाएं समाप्त हो रही हैं और $q$ से $12$ रेखाएं निकल रही हैं (अनंत की ओर जाने वाली रेखाओं को भी गिनते हुए)।
$5$. चूंकि $Q$ की तुलना में $q$ के साथ अधिक रेखाएं जुड़ी हैं,इसलिए $q$ का परिमाण $Q$ के परिमाण से अधिक है,अर्थात $|q| > |Q|$ या $|Q| < |q|$।
$6$. इस प्रकार,$Q$ ऋणात्मक है और $|Q| < |q|$।

(B) रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = Q \text{ C/cm}$ दिया गया है।
चूंकि बेलन की लंबाई $L = 1 \ m = 100 \ cm$ है,इसलिए बेलन द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $Q_{enc} = \lambda \times L = Q \text{ C/cm} \times 100 \ cm = 100 Q \text{ C}$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$ होता है।
$Q_{enc}$ का मान रखने पर,हमें $\phi = \frac{100 Q}{\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ होता है।
जब एक आवेश $Q$ को घन के कोने पर रखा जाता है,तो आवेश को पूरी तरह से घेरने के लिए ऐसे $8$ समान घनों की आवश्यकता होती है।
इसलिए,पूरे घन से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{cube} = \frac{1}{8} \left( \frac{Q}{\varepsilon_0} \right) = \frac{Q}{8\varepsilon_0}$ है।
चूंकि आवेश कोने पर स्थित है,इसलिए उस कोने पर मिलने वाले तीन फलकों के लिए विद्युत क्षेत्र रेखाएं समानांतर होती हैं,अतः उन तीन फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य होता है।
शेष $3$ फलक समान रूप से कुल फ्लक्स को साझा करते हैं।
इसलिए,एक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{face} = \frac{1}{3} \times \phi_{cube} = \frac{1}{3} \times \frac{Q}{8\varepsilon_0} = \frac{Q}{24\varepsilon_0}$ होगा।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{enc}$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
सबसे पहले,गोले के अंदर कुल आवेश $q_{enc}$ की गणना करें:
$q_{enc} = (+2 - 5 - 3 + 6) \times 10^{-6} \ C$
$q_{enc} = (8 - 8) \times 10^{-6} \ C = 0 \ C$
चूंकि परिबद्ध कुल आवेश $0$ है,इसलिए गोले से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{0}{\epsilon_0} = 0$ होगा।

(D) किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{S}$ का अदिश गुणनफल होता है।
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{S} = ES \cos \theta$
यहाँ,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ कागज के तल में स्थित है।
कागज के तल में स्थित सतह के लिए क्षेत्रफल सदिश $\vec{S}$ कागज के तल के लंबवत होता है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{S}$ के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\cos 90^{\circ} = 0$,इसलिए सतह से संबद्ध विद्युत फ्लक्स $\phi$ होगा:
$\phi = ES \cos 90^{\circ} = ES(0) = 0$.

(D) किसी सतह के क्षेत्रफल $A$ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के अदिश गुणनफल द्वारा परिभाषित होता है,जो $\phi_E = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos \alpha$ है,जहाँ $\alpha$ विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (सतह के लंबवत) के बीच का कोण है।
इस प्रश्न में,वर्गाकार सतह कागज के तल में स्थित है। क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ कागज के तल के लंबवत है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ भी कागज के तल में ही स्थित है।
चूंकि क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ कागज के तल के लंबवत है और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ कागज के तल में है,इसलिए $\vec{E}$ और $\vec{A}$ के बीच का कोण $\alpha = 90^\circ$ है।
अतः,विद्युत फ्लक्स $\phi_E = EA \cos(90^\circ) = EA(0) = 0$ है।
इस प्रकार,सतह से कोई भी विद्युत क्षेत्र रेखाएं नहीं गुजरती हैं,इसलिए विद्युत फ्लक्स शून्य है।

(C) सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec E$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec A$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सतह $xy$ तल में स्थित है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec A$,$z$-अक्ष की दिशा में होगा।
अतः,$\vec A = 100 \hat k \ m^2$.
विद्युत क्षेत्र $\vec E = \hat i + \sqrt 2 \hat j + \sqrt 3 \hat k \ V/m$ दिया गया है।
विद्युत फ्लक्स की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\phi = \vec E \cdot \vec A = (\hat i + \sqrt 2 \hat j + \sqrt 3 \hat k) \cdot (100 \hat k)$
$\phi = 100 \times \sqrt 3 \ V-m$
$\sqrt 3 \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\phi = 100 \times 1.732 = 173.2 \ V-m$.

(D) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
अनंत आवेशित शीट गोलीय गॉसियन सतह को काटती है,जिससे गोले के अंदर आवेश का एक वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट बनता है।
चित्र में दिखाई गई ज्यामिति से,इस वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट की त्रिज्या $a$,गोले की त्रिज्या $R$ और दूरी $x$ से पाइथागोरस प्रमेय द्वारा संबंधित है: $a^2 + x^2 = R^2$,जिससे $a^2 = R^2 - x^2$ प्राप्त होता है।
इस वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi a^2 = \pi(R^2 - x^2)$ है।
गॉसियन सतह द्वारा परिबद्ध आवेश $Q_{\text{enclosed}} = \sigma A = \sigma \pi(R^2 - x^2)$ है।
इसे गॉस के नियम में प्रतिस्थापित करने पर,विद्युत फ्लक्स $\Phi = \frac{\sigma \pi(R^2 - x^2)}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(C) विद्युत फ्लक्स $(\Phi_E)$ को विद्युत क्षेत्र $(E)$ और उससे गुजरने वाले क्षेत्रफल $(A)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\Phi_E = E \cdot A$.
विधि $1$: विद्युत क्षेत्र और विभव के बीच संबंध का उपयोग करते हुए,$E = -dV/dx$। विद्युत क्षेत्र का मात्रक $V/m$ है। इसलिए,फ्लक्स का मात्रक $(V/m) \cdot m^2 = V \cdot m$ है।
विधि $2$: परिभाषा $E = F/q$ का उपयोग करते हुए। विद्युत क्षेत्र का मात्रक $N/C$ है। इसलिए,फ्लक्स का मात्रक $(N/C) \cdot m^2 = N \cdot m^2 / C$ है।
$V \cdot m$ और $N \cdot m^2 / C$ दोनों विद्युत फ्लक्स के लिए मान्य मात्रक हैं। हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,$V \cdot m$ एक मानक निरूपण है।

(B) विद्युत क्षेत्र में ऊर्जा घनत्व $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
कुल ऊर्जा $U = u \times V$,जहाँ $V$ घन का आयतन है।
दिया गया है $U = 8.85 \ \mu J = 8.85 \times 10^{-6} \ J$ और भुजा $a = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ है।
आयतन $V = a^3 = (10^{-2})^3 = 10^{-6} \ m^3$ है।
$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2/N-m^2$ का उपयोग करते हुए:
$8.85 \times 10^{-6} = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times E^2 \times 10^{-6}$.
$1 = \frac{1}{2} \times 10^{-12} \times E^2 \implies E^2 = 2 \times 10^{12} \implies E = \sqrt{2} \times 10^6 \ V/m$.
विद्युत क्षेत्र चार फलकों के समानांतर है,जिसका अर्थ है कि यह शेष दो फलकों के लंबवत है।
फ्लक्स $\phi = E \times A$,जहाँ $A = a^2 = (10^{-2})^2 = 10^{-4} \ m^2$ है।
$\phi = (\sqrt{2} \times 10^6) \times 10^{-4} = 100\sqrt{2} \ V-m$.

(A) गाउस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
गाऊसी सतह $S_1$ के लिए,परिबद्ध आवेश केवल बिंदु आवेश $q$ है। अतः,$\phi_1 = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
गाऊसी सतह $S_2$ के लिए,जो चालक खोल के पदार्थ के भीतर (त्रिज्या $R_1$ से थोड़ी अधिक) स्थित है,यह सतह केंद्र में स्थित बिंदु आवेश $q$ और चालक खोल की आंतरिक सतह पर प्रेरित आवेश $-q$ दोनों को घेरती है। कुल परिबद्ध आवेश $q_{\text{enclosed}} = q + (-q) = 0$ है।
इसलिए,$\phi_2 = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$.
दोनों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $\phi_1 = \frac{q}{\varepsilon_0}$ और $\phi_2 = 0$,जिसका अर्थ है कि $\phi_1 > \phi_2$।

(B) $1$. चालक गोला अनावेशित है,जिसका अर्थ है कि गोले पर कुल आवेश $0$ है।
$2$. जब एक बिंदु आवेश $+Q$ को खोखले भाग के अंदर रखा जाता है,तो इलेक्ट्रोस्टैटिक संतुलन बनाए रखने के लिए गुहा की आंतरिक सतह पर $-Q$ का प्रेरित आवेश उत्पन्न होता है।
$3$. चूंकि गोला अनावेशित है,इसलिए कुल आवेश $0$ रहने के लिए गोले की बाहरी सतह पर $+Q$ आवेश उत्पन्न होना चाहिए।
$4$. गोले के बाहर किसी भी बिंदु के लिए (जैसे $r = 4a$ पर बिंदु $P$),विद्युत क्षेत्र $P$ से गुजरने वाली गाऊसी सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश द्वारा निर्धारित होता है।
$5$. $4a$ त्रिज्या की गोलाकार गाऊसी सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश,गुहा के अंदर बिंदु आवेश $+Q$ और चालक की बाहरी सतह पर प्रेरित आवेश $+Q$ का योग है।
$6$. कुल आवेश $Q_{net} = (+Q) + (-Q) + (+Q) = +Q$ है।
$7$. गाऊस के नियम के अनुसार,केंद्र से $r = 4a$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{k Q_{net}}{r^2} = \frac{k Q}{(4a)^2} = \frac{kQ}{16a^2}$ है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi _S = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,केवल आवेश $+Q_1$ गोलीय सतह के भीतर है। इसलिए,$\Phi _S = \frac{Q_1}{\epsilon_0}$।
अतः,केवल आवेश $+Q_1$ ही कुल विद्युत फ्लक्स में योगदान देता है।
हालाँकि,सतह पर किसी भी बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec E_P$ आसपास मौजूद सभी आवेशों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग होता है।
इसलिए,$\vec E_P = \vec E_1 + \vec E_2$,जहाँ $\vec E_1$,$+Q_1$ के कारण क्षेत्र है और $\vec E_2$,$+Q_2$ के कारण क्षेत्र है।
दोनों आवेश बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र में योगदान देते हैं।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ होता है।
दिए गए चित्र में,बिंदु आवेश $q$ को अर्धगोले के समतल वृत्ताकार आधार के केंद्र पर रखा गया है।
चूंकि आवेश अर्धगोलाकार सतह की सीमा पर स्थित है,इसलिए हम एक पूर्ण गोला बनाने के लिए समतल आधार के दूसरी ओर एक समान अर्धगोलाकार सतह की कल्पना कर सकते हैं।
अब,आवेश $q$ इस गॉसियन गोले के केंद्र में है।
पूरे गोले से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\Phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
समरूपता के कारण,मूल अर्धगोलाकार सतह से गुजरने वाला फ्लक्स और काल्पनिक अर्धगोलाकार सतह से गुजरने वाला फ्लक्स समान होना चाहिए।
इसलिए,मूल अर्धगोलाकार सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi = \frac{1}{2} \Phi_{total} = \frac{q}{2\varepsilon_0}$ होगा।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{net}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
जब एक बिंदु आवेश $q$ को घन के किसी एक कोने पर रखा जाता है,तो उस आवेश का केवल $\frac{1}{8}$ फ्लक्स ही घन से होकर गुजरता है।
इसलिए,एक कोने पर स्थित आवेश $q$ के कारण घन से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi = \frac{q}{8\epsilon_0}$ होता है।
दी गई प्रणाली के लिए,कोनों पर कुल आवेश $q_{\text{net}}$ है:
$q_{\text{net}} = (+1 - 2 + 3 - 4 - 6 + 7 + 5 - 8) \text{ C} = -4 \text{ C}$.
चूंकि प्रत्येक आवेश एक कोने पर है,इसलिए घन से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi$ है:
$\phi = \frac{1}{8\epsilon_0} \sum q_i = \frac{1}{8\epsilon_0} (1 - 2 + 3 - 4 - 6 + 7 + 5 - 8)$
$\phi = \frac{-4}{8\epsilon_0} = -\frac{1}{2\epsilon_0}$.

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ होता है।
आधार के केंद्र पर रखे $+Q$ आवेश को घेरने के लिए,हम मौजूदा पिरामिड के ऊपर एक समान पिरामिड को उल्टा रखकर एक बंद वर्गाकार द्वि-पिरामिड की कल्पना कर सकते हैं।
इस बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\frac{Q}{\varepsilon_0}$ है।
चूंकि आवेश सामान्य आधार पर रखा गया है,इसलिए फ्लक्स दोनों पिरामिडों के बीच समान रूप से विभाजित होता है।
अतः,एक पिरामिड से गुजरने वाला फ्लक्स $\frac{Q}{2\varepsilon_0}$ है।
यह फ्लक्स पिरामिड के $4$ समान त्रिभुजाकार फलकों के बीच समान रूप से वितरित होता है।
इस प्रकार,चार समान ऊपरी फलकों में से एक से गुजरने वाला फ्लक्स $\frac{1}{4} \times \frac{Q}{2\varepsilon_0} = \frac{Q}{8\varepsilon_0}$ है।

(B) विद्युत क्षेत्र में ऊर्जा घनत्व $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
कुल ऊर्जा $U = u \times V$,जहाँ $V$ घन का आयतन है।
दिया गया है $V = (1 \ cm)^3 = (10^{-2} \ m)^3 = 10^{-6} \ m^3$.
$8.85 \times 10^{-6} \ J = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times E^2 \times 10^{-6}$.
$1 = \frac{1}{2} \times 10^{-12} \times E^2 \implies E^2 = 2 \times 10^{12} \implies E = \sqrt{2} \times 10^6 \ V/m$.
विद्युत क्षेत्र चार फलकों के समानांतर है,जिसका अर्थ है कि यह शेष दो फलकों के लंबवत है।
इनमें से एक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi = E \times A$,जहाँ $A = (1 \ cm)^2 = 10^{-4} \ m^2$.
$\phi = (\sqrt{2} \times 10^6) \times 10^{-4} = 100\sqrt{2} \ V \cdot m$.

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$,$\phi = \frac{q_{en}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{en}$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
चित्र से,गाऊसी सतह दो आवेशों को घेरती है। प्रश्न के विवरण के अनुसार,ये $+1$ और $-1$ आवेश हैं।
इसलिए,परिबद्ध कुल आवेश $q_{en} = (+1) + (-1) = 0$ है।
गॉस के नियम में इस मान को रखने पर,हमें $\phi = \frac{0}{\epsilon_0} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,गोलाकार गाऊसी सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स शून्य है।

(A) $1$. एक खोखले चालक गोले के अंदर,विद्युत क्षेत्र रेखाएं चालक की आंतरिक सतह के लंबवत समाप्त होनी चाहिए क्योंकि चालक की सतह एक समविभव सतह होती है।
$2$. चूंकि आवेश $q$ केंद्र पर नहीं है,इसलिए गुहा के अंदर क्षेत्र रेखाएं त्रिज्यीय रूप से सममित नहीं होंगी; वे आवेश के करीब वाली तरफ अधिक घनी होंगी।
$3$. चालक कवच के पदार्थ के भीतर कोई विद्युत क्षेत्र रेखाएं नहीं हो सकती हैं,क्योंकि इलेक्ट्रोस्टैटिक संतुलन में चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
$4$. कवच के बाहर,विद्युत क्षेत्र रेखाएं ऐसी दिखाई देती हैं जैसे कि वे गोले के केंद्र पर स्थित एक बिंदु आवेश से उत्पन्न हो रही हों,जो कवच की बाहरी सतह पर प्रेरित आवेश वितरण के कारण होता है।
$5$. इन सिद्धांतों के आधार पर,विकल्प $A$ में दिखाया गया पैटर्न सही ढंग से आंतरिक सतह पर लंबवत समाप्त होने वाली रेखाओं और कवच के बाहर त्रिज्यीय रूप से सममित क्षेत्र को दर्शाता है।

(D) $1$. विद्युत क्षेत्र रेखाओं का अवलोकन करने पर,हम देखते हैं कि रेखाएं $Q_1$ से निकलती हैं और $Q_2$ पर समाप्त होती हैं। यह इंगित करता है कि $Q_1$ एक धनात्मक आवेश है और $Q_2$ एक ऋणात्मक आवेश है।
$2$. किसी आवेश से निकलने वाली या उस पर समाप्त होने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या आवेश के परिमाण के समानुपाती होती है। रेखाओं को गिनने पर,हम देखते हैं कि $Q_1$ के साथ $Q_2$ की तुलना में अधिक रेखाएं जुड़ी हैं। विशेष रूप से,$12$ रेखाएं $Q_1$ से निकलती हैं,जबकि केवल $6$ रेखाएं $Q_2$ पर समाप्त होती हैं। अतः,$|Q_1| > |Q_2|$.
$3$. विपरीत संकेतों वाले दो बिंदु आवेशों के लिए,विद्युत क्षेत्र दोनों आवेशों के बीच के क्षेत्र के बाहर,छोटे परिमाण वाले आवेश के करीब एक बिंदु पर शून्य होता है। चूंकि $|Q_1| > |Q_2|$ है,इसलिए शून्य क्षेत्र वाला बिंदु $Q_2$ के दाईं ओर होगा।

(A) गॉस के नियम के अनुसार, किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{net}$, सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $q$ और निर्वात की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
कुल फ्लक्स सतह से बाहर निकलने वाले फ्लक्स और सतह में प्रवेश करने वाले फ्लक्स के अंतर के बराबर होता है:
$\phi_{net} = \phi_{out} - \phi_{in} = \phi_2 - \phi_1$
गॉस का नियम लागू करने पर:
$\phi_{net} = \frac{q}{\varepsilon_0}$
कुल फ्लक्स का मान रखने पर:
$\phi_2 - \phi_1 = \frac{q}{\varepsilon_0}$
अतः, सतह के अंदर का आवेश $q$ होगा:
$q = \varepsilon_0(\phi_2 - \phi_1)$

(C) गॉस के नियम के अनुसार,विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,तार बेलन से होकर गुजरता है। बेलन के भीतर परिबद्ध तार की लंबाई बेलन की ऊँचाई के बराबर है,जो $L = 4\,m$ है।
परिबद्ध आवेश $q_{\text{enclosed}} = \lambda \times L = 8.85 \times 10^{-6}\,C/m \times 4\,m = 35.4 \times 10^{-6}\,C$ है।
निर्वात की विद्युतशीलता $\epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12}\,C^2/(N\cdot m^2)$ है।
अतः,$\phi = \frac{35.4 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}} = 4 \times 10^6\,V\cdot m$।

(B) जब एक धात्विक कोश के गोलीय कोटर के केंद्र पर एक आवेश $Q$ रखा जाता है,तो कोश की आंतरिक सतह पर एक समान और विपरीत आवेश $-Q$ प्रेरित होता है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि चालक पदार्थ के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य है।
पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल आवेश के रूप में परिभाषित किया जाता है।
आंतरिक सतह के लिए,आवेश $-Q$ है और सतह का क्षेत्रफल $4\pi R_1^2$ है।
इसलिए,आंतरिक सतह पर पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma_1 = \frac{\text{Charge}}{\text{Area}} = \frac{-Q}{4\pi R_1^2}$ होगा।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ को $\phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ दिया गया है कि $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = 0$,जिसका अर्थ है कि सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश शून्य है $(q_{\text{enclosed}} = 0)$।
विद्युत फ्लक्स सतह से गुजरने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की कुल संख्या को दर्शाता है।
चूंकि कुल फ्लक्स शून्य है,इसलिए सतह में प्रवेश करने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या सतह से बाहर निकलने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या के बिल्कुल बराबर होनी चाहिए।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सभी सतहें $S_1, S_2, S_3,$ और $S_4$ समान आवेश $q_1$ को घेरे हुए हैं,इसलिए प्रत्येक सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_E = \frac{q_1}{\epsilon_0}$ होगा।
अतः,विद्युत फ्लक्स गॉसियन सतह के आकार और आकृति पर निर्भर नहीं करता है और सभी सतहों के लिए समान रहता है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{inside}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{\text{inside}}$ सतह द्वारा घिरा कुल आवेश है।
घन के लिए,जिसकी भुजा की लंबाई $a$ है,विकर्ण की लंबाई $L_{\text{cube}} = a\sqrt{3}$ है। अतः,घिरा हुआ आवेश $q_{\text{cube}} = \lambda a\sqrt{3}$ है। घन से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{\text{cube}} = \frac{\lambda a\sqrt{3}}{\epsilon_0}$ है।
गोले के लिए,जिसकी त्रिज्या $a$ है (व्यास $2a$),घिरा हुआ आवेश $q_{\text{sphere}} = \lambda (2a)$ है। अतः,गोले से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{\text{sphere}} = \frac{2\lambda a}{\epsilon_0}$ है।
घन और गोले के फ्लक्स का अनुपात $\frac{\phi_{\text{cube}}}{\phi_{\text{sphere}}} = \frac{\lambda a\sqrt{3}}{\lambda (2a)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।

(D) $1$. एक धात्विक चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है। इसका मतलब है कि विद्युत क्षेत्र रेखाएं कोश के पदार्थ के भीतर मौजूद नहीं हो सकती हैं।
$2$. जब एक बिंदु आवेश $q$ को धात्विक कोश की गुहा (cavity) में रखा जाता है,तो यह कोश की आंतरिक सतह पर $-q$ आवेश और बाहरी सतह पर $+q$ आवेश प्रेरित करता है।
$3$. बिंदु आवेश $q$ से निकलने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाएं कोश की आंतरिक सतह पर लंबवत रूप से समाप्त होनी चाहिए।
$4$. कोश की बाहरी सतह से निकलने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाएं त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होनी चाहिए,जैसे कि वे केंद्र पर स्थित किसी बिंदु आवेश से निकल रही हों।
$5$. आरेख $D$ सही ढंग से दर्शाता है कि क्षेत्र रेखाएं आंतरिक सतह पर लंबवत समाप्त हो रही हैं और बाहरी सतह से त्रिज्यीय रूप से बाहर निकल रही हैं,जबकि धातु के भीतर क्षेत्र शून्य बना हुआ है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई आकृति में,प्रत्येक सतह $(S_1, S_2, S_3, S_4)$ समान आवेश $q_1$ को घेरे हुए है।
चूंकि सभी सतहों के लिए परिबद्ध आवेश समान है,इसलिए सतह के आकार या माप की परवाह किए बिना प्रत्येक सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स समान होगा।
अतः,$S_1$ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $S_2, S_3,$ और $S_4$ से गुजरने वाले विद्युत फ्लक्स के बराबर है।

(A) विद्युत क्षेत्र की तीव्रता विद्युत क्षेत्र रेखाओं के घनत्व के सीधे आनुपातिक होती है।
दिए गए चित्र में,बिंदु $B$ की तुलना में बिंदु $A$ के पास विद्युत क्षेत्र रेखाएं अधिक घनी हैं।
चूंकि $A$ पर बल रेखाओं का घनत्व $B$ की तुलना में अधिक है,इसलिए $A$ पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $B$ से अधिक है।
अतः,$E_A > E_B$।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$,सतह के भीतर परिबद्ध कुल आवेश $Q_{\text{enclosed}}$ और निर्वात की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$।
इस प्रश्न में,$2R$ त्रिज्या वाला काल्पनिक गोला $R$ त्रिज्या वाले गोले को घेरता है,जिस पर $Q$ आवेश है।
इसलिए,काल्पनिक गोले द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $Q_{\text{enclosed}} = Q$ है।
गॉस के नियम में इस मान को रखने पर,हमें $\phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(C) फलक $BCGF$ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स व्यक्तिगत आवेशों के कारण फ्लक्स का योग है।
घन के लिए गॉस के नियम और सममिति के तर्कों का उपयोग करते हुए:
$\phi_{BCGF} = \phi_{\text{due to } q} + \phi_{\text{due to } 3q} + \phi_{\text{due to } 2q}$
जब किसी आवेश को घन के कोने पर रखा जाता है,तो उससे जुड़े तीन फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स $0$ होता है और शेष तीन विपरीत फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स $\frac{q}{24\epsilon_0}$ होता है।
कोने $E$ पर स्थित आवेश $q$ के लिए,फलक $BCGF$ एक विपरीत फलक है,इसलिए $\phi_{\text{due to } q} = \frac{q}{24\epsilon_0}$।
कोने $A$ पर स्थित आवेश $3q$ के लिए,फलक $BCGF$ एक विपरीत फलक है,इसलिए $\phi_{\text{due to } 3q} = \frac{3q}{24\epsilon_0}$।
चूंकि आवेश $2q$ फलक $BCGF$ के तल में स्थित है,इसलिए इस फलक से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $0$ होगा।
अतः,$\phi_{BCGF} = \frac{q}{24\epsilon_0} + \frac{3q}{24\epsilon_0} + 0 = \frac{4q}{24\epsilon_0} = \frac{q}{6\epsilon_0}$।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
इस प्रश्न में,घनाकार बॉक्स का ऊपरी भाग खुला है,जिसका अर्थ है कि यह पूरी तरह से बंद सतह नहीं है। फ्लक्स की गणना करने के लिए,हम कल्पना कर सकते हैं कि आवेश $q$ को पूरी तरह से घेरने के लिए मौजूदा बॉक्स के ऊपर एक समान घनाकार बॉक्स रखा गया है।
अब,आवेश $q$ दो ऐसे बॉक्सों द्वारा निर्मित एक बड़े बंद घनाकार आयतन के केंद्र में है। इस संयुक्त बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\Phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
समरूपता के कारण,मूल बॉक्स की $5$ बंद सतहों से गुजरने वाला कुल फ्लक्स दो बॉक्सों की बंद प्रणाली से गुजरने वाले कुल फ्लक्स का आधा होगा।
इसलिए,मूल बॉक्स की $5$ सतहों से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi = \frac{1}{2} \times \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{q}{2\varepsilon_0}$ होगा।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,बेलन के बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{\text{Total}} = \frac{q}{\epsilon_0}$ होता है।
कुल फ्लक्स दो समतल पृष्ठों ($A$ और $C$) और वक्र पृष्ठ $(B)$ से गुजरने वाले फ्लक्स का योग है: $\phi_{\text{Total}} = \phi_A + \phi_C + \phi_B = \frac{q}{\epsilon_0}$।
चूंकि आवेश बेलन के भीतर है,सममिति के कारण,दोनों समतल पृष्ठों $A$ और $C$ से गुजरने वाला फ्लक्स समान होगा,मान लीजिए $\phi_A = \phi_C = \phi'$।
हमें दिया गया है कि वक्र पृष्ठ $B$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_B = \phi$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $2\phi' + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$।
$\phi'$ के लिए हल करने पर: $2\phi' = \frac{q}{\epsilon_0} - \phi$,जिससे $\phi' = \frac{1}{2} \left( \frac{q}{\epsilon_0} - \phi \right)$ प्राप्त होता है।

(B) किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{S}$ के अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) द्वारा दिया जाता है।
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{S}$
यहाँ $\vec{E} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ और $\vec{S} = 10\hat{j}$ दिया गया है।
$\phi = (2\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (10\hat{j})$
अदिश गुणनफल के गुणों $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,और $\hat{k} \cdot \hat{j} = 0$ का उपयोग करने पर:
$\phi = (2 \times 0) + (4 \times 10) + (7 \times 0)$
$\phi = 0 + 40 + 0 = 40 \text{ इकाइयाँ}$.

(C) विद्युत फ्लक्स की अवधारणा के अनुसार,किसी सतह से गुजरने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या को उस सतह से संबद्ध फ्लक्स कहा जाता है।
दी गई आकृति में,बिंदु आवेश $+q$ से निकलने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं का समान समूह सतह $S_1$ और सतह $S_2$ दोनों से होकर गुजरता है।
चूंकि दोनों सतहों को पार करने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या समान है,इसलिए दोनों सतहों से संबद्ध विद्युत फ्लक्स समान होना चाहिए।
अतः,$\phi_1 = \phi_2$।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,$q$ आवेश को घेरने वाली एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_{total} = q/\varepsilon_0$ होता है।
इस प्रश्न में,घनाकार बॉक्स का एक सिरा खुला है,जिसका अर्थ है कि यह पूरी तरह से बंद सतह नहीं है। हालाँकि,आवेश $q$ घन के केंद्र में रखा गया है। समरूपता के कारण,पूरे घन (यदि यह बंद होता) से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $q/\varepsilon_0$ होगा।
चूंकि घन में $6$ समान फलक होते हैं और आवेश केंद्र में है,इसलिए प्रत्येक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi_{face} = \frac{1}{6} \Phi_{total} = \frac{q}{6\varepsilon_0}$ होगा।
अतः,पांच बंद सतहों में से किसी एक सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $q/(6\varepsilon_0)$ है।

(D) वर्ग से गुजरने वाले विद्युत फ्लक्स को ज्ञात करने के लिए,हम गॉस के नियम का उपयोग करके एक गॉसियन सतह की रचना कर सकते हैं।
मान लीजिए कि यह वर्ग $a$ भुजा वाले एक घन (cube) का एक फलक है।
चूंकि आवेश $q$ वर्ग के केंद्र के ठीक ऊपर $\frac{a}{2}$ दूरी पर स्थित है,इसलिए यह इस काल्पनिक घन के बिल्कुल केंद्र में स्थित है।
गॉस के नियम के अनुसार,घन की पूरी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ है।
चूंकि घन में $6$ समान फलक होते हैं और आवेश केंद्र में स्थित है,इसलिए प्रत्येक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स समान होगा।
अतः,वर्ग (घन का एक फलक) से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi = \frac{\Phi_{total}}{6} = \frac{q}{6 \epsilon_0}$ होगा।

(D) बेलन की तीन सतहें होती हैं: दो वृत्ताकार सिरे ($A$ और $B$) और एक वक्र सतह $(C)$।
$1$. बाईं वृत्ताकार सतह $(A)$ से गुजरने वाला फ्लक्स: विद्युत क्षेत्र रेखाएं सतह में प्रवेश करती हैं,इसलिए क्षेत्रफल सदिश और विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण $180^{\circ}$ है। अतः,$\phi_{A} = E \cdot A \cdot \cos(180^{\circ}) = -E \cdot \pi R^2$।
$2$. दाईं वृत्ताकार सतह $(B)$ से गुजरने वाला फ्लक्स: विद्युत क्षेत्र रेखाएं सतह से बाहर निकलती हैं,इसलिए क्षेत्रफल सदिश और विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण $0^{\circ}$ है। अतः,$\phi_{B} = E \cdot A \cdot \cos(0^{\circ}) = +E \cdot \pi R^2$।
$3$. वक्र सतह $(C)$ से गुजरने वाला फ्लक्स: वक्र सतह पर प्रत्येक बिंदु पर,क्षेत्रफल सदिश $dS$ विद्युत क्षेत्र $E$ के लंबवत है (कोण $90^{\circ}$ है)। अतः,$\phi_{C} = \int E \cdot dS \cdot \cos(90^{\circ}) = 0$।
कुल फ्लक्स $\phi_{total} = \phi_{A} + \phi_{B} + \phi_{C} = -E \pi R^2 + E \pi R^2 + 0 = 0$।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E$,सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता $\epsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$\oint\limits_S {\vec E \cdot d\vec A = \frac{{{Q_{enc}}}}{{{\epsilon _0}}}}$.
दिए गए चित्र में,गोलीय गॉसियन सतह $S$ द्वारा परिबद्ध आवेश $q_1, q_2$ और $q_3$ हैं। आवेश $q_4$ सतह के बाहर है।
इसलिए,सतह पर किसी भी बिंदु पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec E$,सभी आवेशों (अंदर और बाहर) द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग है,अर्थात $\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \vec E_3 + \vec E_4$.
हालाँकि,सतह से गुजरने वाला फ्लक्स केवल परिबद्ध आवेश पर निर्भर करता है: $\oint\limits_S {\vec E \cdot d\vec A = \frac{{{q_1} + {q_2} + {q_3}}}{{{\epsilon _0}}}}$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से निकलती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं। चित्र में,रेखाएं $A$ से निकल रही हैं और $B$ पर समाप्त हो रही हैं,इसलिए $A$ धनात्मक $(+ve)$ है और $B$ ऋणात्मक $(-ve)$ है।
इसके अलावा,किसी आवेश से निकलने वाली या उस पर समाप्त होने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या आवेश के परिमाण के समानुपाती होती है। रेखाओं को गिनने पर,हम देखते हैं कि $B$ पर समाप्त होने वाली रेखाओं की तुलना में $A$ से निकलने वाली रेखाओं की संख्या अधिक है। इसलिए,आवेश $A$ का परिमाण आवेश $B$ के परिमाण से अधिक है,अर्थात $|A| > |B|$।

(B) विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से निकलती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
दी गई आकृति में,विद्युत क्षेत्र रेखाएं दोनों आवेशों $q_1$ और $q_2$ की ओर निर्देशित हैं।
चूंकि क्षेत्र रेखाएं दोनों आवेशों पर समाप्त हो रही हैं,इसलिए $q_1$ और $q_2$ दोनों ऋणात्मक आवेश होने चाहिए।
अतः,$q_1$ और $q_2$ दोनों ऋणात्मक हैं।