Electric Field Lines, Electric Flux and Gauss's Law Questions in Hindi

(A) विद्युत फ्लक्स $\phi$ विद्युत क्षेत्र सदिश $\overrightarrow{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ के अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) द्वारा प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A} = A \hat{n} = 4 \left( \frac{2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{6}} \right) \ m^2$ है।
विद्युत फ्लक्स की गणना इस प्रकार है:
$\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$
$\phi = \left( \frac{2 \hat{i} + 6 \hat{j} + 8 \hat{k}}{\sqrt{6}} \right) \cdot \left( 4 \frac{2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{6}} \right)$
$\phi = \frac{4}{6} \times (2 \times 2 + 6 \times 1 + 8 \times 1)$
$\phi = \frac{4}{6} \times (4 + 6 + 8)$
$\phi = \frac{4}{6} \times 18$
$\phi = 4 \times 3 = 12 \ Vm$.

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{in}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{\text{in}}$ सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है।
चित्र से,सतह $S$ द्वारा घिरे हुए आवेश $+q, +5q$ और $-2q$ हैं।
आवेश $+3q$ और $-4q$ सतह $S$ के बाहर हैं,इसलिए वे सतह से गुजरने वाले विद्युत फ्लक्स में योगदान नहीं देते हैं।
अतः,कुल घिरा हुआ आवेश $q_{\text{in}} = (+q) + (+5q) + (-2q) = 4q$ है।
इस मान को गॉस के नियम में रखने पर,हमें $\phi = \frac{4q}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = 2x\hat{i} \text{ NC}^{-1}$ है।
घन $x = 2 \text{ m}$ और $x = 4 \text{ m}$ के बीच रखा गया है। घन की भुजा की लंबाई $a = 2 \text{ m}$ है,इसलिए प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल $A = a^2 = (2)^2 = 4 \text{ m}^2$ है।
विद्युत फ्लक्स $\phi = \int \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A}$ द्वारा दिया जाता है।
$x = 2 \text{ m}$ पर बाईं ओर के फलक के लिए,क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}_1 = -4\hat{i} \text{ m}^2$ और $\overrightarrow{E}_1 = 2(2)\hat{i} = 4\hat{i} \text{ NC}^{-1}$ है।
$\phi_{\text{in}} = \overrightarrow{E}_1 \cdot \overrightarrow{A}_1 = (4\hat{i}) \cdot (-4\hat{i}) = -16 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$.
$x = 4 \text{ m}$ पर दाईं ओर के फलक के लिए,क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}_2 = 4\hat{i} \text{ m}^2$ और $\overrightarrow{E}_2 = 2(4)\hat{i} = 8\hat{i} \text{ NC}^{-1}$ है।
$\phi_{\text{out}} = \overrightarrow{E}_2 \cdot \overrightarrow{A}_2 = (8\hat{i}) \cdot (4\hat{i}) = 32 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$.
घन से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{\text{net}} = \phi_{\text{in}} + \phi_{\text{out}} = -16 + 32 = 16 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$ है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. डिस्क: डिस्क की त्रिज्या $a/4$ है और केंद्र $(-a/2, 0, 0)$ पर है। घन $x = -a/2$ से $x = a/2$ तक फैला है। चूंकि डिस्क $x-y$ तल में है,इसलिए डिस्क का केवल वह भाग जिसके लिए $x > -a/2$ है,घन के अंदर है। डिस्क $x = -3a/4$ से $x = -a/4$ तक फैली है। घन के अंदर का भाग $x = -a/2$ से $x = -a/4$ है। समरूपता के अनुसार,डिस्क का ठीक आधा भाग घन के अंदर है। अतः,$Q_{\text{disk, enclosed}} = 6 \text{ C} / 2 = 3 \text{ C}$.
$2$. छड़: छड़ $x = a/4$ से $x = 5a/4$ तक है। घन की सीमा $x = a/2$ है। घन के अंदर छड़ का भाग $x = a/4$ से $x = a/2$ है। घन के अंदर छड़ की लंबाई $a/4$ है। कुल लंबाई $a$ होने के कारण,अंदर मौजूद आवेश का अंश $(a/4) / a = 1/4$ है। अतः,$Q_{\text{rod, enclosed}} = 8 \text{ C} \times (1/4) = 2 \text{ C}$.
$3$. बिंदु आवेश: $-7 \text{ C}$ आवेश $(a/4, -a/4, 0)$ पर है,जो घन के अंदर है। $3 \text{ C}$ आवेश $(-3a/4, 3a/4, 0)$ पर है,जो घन के बाहर है।
$4$. कुल परिबद्ध आवेश: $Q_{\text{enclosed}} = 3 \text{ C} + 2 \text{ C} - 7 \text{ C} = -2 \text{ C}$.
अतः,विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{-2 \text{ C}}{\varepsilon_0}$ है।

(D) आवेश $+Q$ की स्थिति पर समतल वृत्ताकार आधार द्वारा अंतरित ठोस कोण $\Omega = 2\pi(1 - \cos\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई ज्यामिति में,आवेश अर्धगोले के ध्रुव पर है,इसलिए आवेश पर आधार की त्रिज्या द्वारा अंतरित कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
अतः,$\Omega = 2\pi(1 - \cos 45^{\circ}) = 2\pi(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
समतल सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi_{flat} = \frac{Q}{\varepsilon_0} \times \frac{\Omega}{4\pi} = \frac{Q}{2\varepsilon_0}(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
चूंकि आवेश बंद अर्धगोले के बाहर है,इसलिए पूरी सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य है। इसलिए,वक्र सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi_{curved} = -\Phi_{flat} = -\frac{Q}{2\varepsilon_0}(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ है। कथन $A$ सही है।
कथन $B$ गलत है क्योंकि आवेश को न घेरने वाली बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य होता है।
कथन $C$ गलत है क्योंकि विद्युत क्षेत्र आवेश से दूरी के साथ बदलता है।
कथन $D$ सही है क्योंकि समतल आधार की परिधि पर स्थित सभी बिंदु बिंदु आवेश $+Q$ से समान दूरी $R$ पर हैं,जो परिधि पर विभव $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ को स्थिर बनाता है।

(A) $1$. किसी आवेश से निकलने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या उस आवेश के परिमाण के समानुपाती होती है। रेखाओं की गणना करने पर,हम देखते हैं कि $Q_1$ से अधिक रेखाएं निकल रही हैं और $Q_2$ पर कम रेखाएं समाप्त हो रही हैं,जिसका अर्थ है कि $|Q_1| > |Q_2|$। अतः,कथन $(A)$ सही है।
$2$. चूंकि आवेशों के चिह्न विपरीत हैं (रेखाएं $Q_1$ से निकलती हैं और $Q_2$ पर समाप्त होती हैं),इसलिए उदासीन बिंदु (जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य होता है) उन्हें जोड़ने वाली रेखा पर,उनके बीच के क्षेत्र के बाहर और छोटे परिमाण वाले आवेश के करीब स्थित होना चाहिए।
$3$. चूंकि $|Q_1| > |Q_2|$,उदासीन बिंदु $Q_2$ के करीब होना चाहिए। इसलिए,$Q_2$ के दाईं ओर एक निश्चित दूरी पर विद्युत क्षेत्र शून्य है। अतः,कथन $(D)$ सही है।
$4$. इन दोनों को मिलाकर,सही विकल्प $(A, D)$ है।

(C) छायांकित क्षेत्र $xz$-समतल में एक वर्ग है जो $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर झुका हुआ है। वर्ग के शीर्ष $(0,0,0)$,$(0,a,0)$,$(a,a,a)$,और $(a,0,a)$ हैं।
क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ का परिमाण वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है,जो $a \times a \sqrt{2} = \sqrt{2} a^2$ है। क्षेत्रफल सदिश की दिशा सतह के लंबवत होती है। चूंकि सतह $y=z$ समतल में स्थित है,इसलिए लंबवत सदिश $\hat{j} - \hat{k}$ के समानुपाती है।
वैकल्पिक रूप से,हम दो आसन्न भुजाओं के क्रॉस उत्पाद द्वारा क्षेत्रफल सदिश को परिभाषित कर सकते हैं: $\vec{A} = \vec{AB} \times \vec{AD}$। मान लीजिए $\vec{AB} = a\hat{j}$ और $\vec{AD} = a\hat{i} + a\hat{k}$।
तब $\vec{A} = (a\hat{j}) \times (a\hat{i} + a\hat{k}) = a^2(\hat{j} \times \hat{i}) + a^2(\hat{j} \times \hat{k}) = -a^2\hat{k} + a^2\hat{i} = a^2\hat{i} - a^2\hat{k}$।
विद्युत फ्लक्स $\phi$ को $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\vec{E} = E_0 \hat{i}$,तो:
$\phi = (E_0 \hat{i}) \cdot (a^2 \hat{i} - a^2 \hat{k})$
$\phi = E_0 a^2 (\hat{i} \cdot \hat{i}) - E_0 a^2 (\hat{i} \cdot \hat{k})$
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$\phi = E_0 a^2$.

(C) घन द्वारा घिरा कुल आवेश $Q_{\text{enclosed}} = -q + 3q - q = q$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,पूरे बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ है। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
आवेश $y$-अक्ष पर $(0, -a/4, 0)$,$(0, 0, 0)$ और $(0, a/4, 0)$ पर स्थित हैं।
चूंकि आवेश वितरण $yz$-तल $(x=0)$ के सापेक्ष सममित है,इसलिए $x = +a/2$ तल से गुजरने वाला फ्लक्स $x = -a/2$ तल से गुजरने वाले फ्लक्स के बराबर होगा। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
आवेश वितरण $xz$-तल $(y=0)$ के सापेक्ष सममित नहीं है। आवेश $y = -a/4, 0, a/4$ पर स्थित हैं। $y = +a/2$ तल $y = +a/4$ पर स्थित आवेश के करीब है,जबकि $y = -a/2$ तल $y = -a/4$ पर स्थित आवेश से दूर है। हालाँकि,फ्लक्स की गणना करने पर,आवेशों की विशिष्ट व्यवस्था के कारण $y = +a/2$ और $y = -a/2$ से गुजरने वाला फ्लक्स समान पाया जाता है। अतः,$(B)$ गलत है।
$xy$-तल $(z=0)$ के सापेक्ष आवेश वितरण की सममिति के कारण,$z = +a/2$ से गुजरने वाला फ्लक्स $z = -a/2$ से गुजरने वाले फ्लक्स के बराबर है। इसकी तुलना $x = +a/2$ से गुजरने वाले फ्लक्स से करने पर,वे समान पाए जाते हैं। अतः,$(D)$ सही है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
गोलाकार कोश के अंदर तार के खंड $PQ$ की लंबाई $L = 2R \sin(120^{\circ}/2) = 2R \sin(60^{\circ}) = 2R \times \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$ है।
कोश द्वारा घिरा हुआ आवेश $Q_{\text{enclosed}} = \lambda L = \lambda R \sqrt{3}$ है।
इसलिए,कोश से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{\lambda R \sqrt{3}}{\epsilon_0}$ है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है और $(C)$ असत्य है।
चूंकि तार $z$-अक्ष के समानांतर है,विद्युत क्षेत्र रेखाएं $xy$-तल में तार से त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होती हैं। इसलिए,विद्युत क्षेत्र का $z$-अक्ष के अनुदिश कोई घटक नहीं होता है। अतः,कथन $(B)$ सत्य है।
विद्युत क्षेत्र केवल तभी कोश की सतह के लंबवत होता है यदि आवेश वितरण गोलाकार रूप से सममित हो,जो यहाँ नहीं है। अतः,कथन $(D)$ असत्य है।
इसलिए,सही कथन $(A)$ और $(B)$ हैं।

(A-D) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ होता है।
$(1)$ यदि $h > 2R$ और $r > R$ है,तो पूरा कोश बेलन के अंदर आ जाता है। अतः,$q_{enclosed} = Q$ और $\Phi = \frac{Q}{\epsilon_0}$। यह सही है।
$(2)$ यदि $h < \frac{8R}{5}$ और $r = \frac{3R}{5}$ है,तो बेलन पूरी तरह से कोश के अंदर है। चूंकि आवेशित कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,इसलिए बेलन से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi = 0$ होगा। यह सही है।
$(3)$ यदि $h > 2R$ और $r = \frac{4R}{5}$ है,तो बेलन कोश को काटता है। फ्लक्स बेलन द्वारा काटे गए गोलाकार भागों (caps) पर स्थित आवेश के कारण होता है। एक कैप द्वारा अंतरित घन कोण $\Omega = 2\pi(1 - \cos\theta)$ है,जहाँ $\sin\theta = \frac{r}{R} = \frac{4}{5}$,इसलिए $\cos\theta = \frac{3}{5}$। एक कैप से गुजरने वाला फ्लक्स $\frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \times \Omega = \frac{Q}{2\epsilon_0}(1 - \cos\theta)$ है। दो कैप के लिए,$\Phi = \frac{Q}{\epsilon_0}(1 - \frac{3}{5}) = \frac{2Q}{5\epsilon_0}$। यह सही है।
$(4)$ यदि $h > 2R$ और $r = \frac{3R}{5}$ है,तो $\sin\theta = \frac{3}{5}$,इसलिए $\cos\theta = \frac{4}{5}$। फ्लक्स $\Phi = \frac{Q}{\epsilon_0}(1 - \frac{4}{5}) = \frac{Q}{5\epsilon_0}$ होगा। यह सही है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
डिस्क पर कुल आवेश $Q$:
$Q = \int_0^R \sigma(r) \cdot 2\pi r \, dr = \int_0^R \sigma_0 \left(1 - \frac{r}{R}\right) 2\pi r \, dr = 2\pi \sigma_0 \int_0^R \left(r - \frac{r^2}{R}\right) dr = 2\pi \sigma_0 \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^3}{3R} \right]_0^R = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{R^2}{2} - \frac{R^2}{3} \right) = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{R^2}{6} \right) = \frac{\pi \sigma_0 R^2}{3}$.
अतः,$\phi_0 = \frac{Q}{\varepsilon_0} = \frac{\pi \sigma_0 R^2}{3\varepsilon_0}$.
$r' = \frac{R}{4}$ त्रिज्या वाली संकेंद्रित गोलाकार सतह द्वारा घिरा आवेश $q$:
$q = \int_0^{R/4} \sigma(r) \cdot 2\pi r \, dr = 2\pi \sigma_0 \int_0^{R/4} \left(r - \frac{r^2}{R}\right) dr = 2\pi \sigma_0 \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^3}{3R} \right]_0^{R/4} = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{R^2}{32} - \frac{R^3}{3R \cdot 64} \right) = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{R^2}{32} - \frac{R^2}{192} \right) = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{6R^2 - R^2}{192} \right) = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{5R^2}{192} \right) = \frac{5\pi \sigma_0 R^2}{96}$.
अतः,$\phi = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{5\pi \sigma_0 R^2}{96\varepsilon_0}$.
अनुपात $\frac{\phi_0}{\phi}$:
$\frac{\phi_0}{\phi} = \frac{\pi \sigma_0 R^2 / 3\varepsilon_0}{5\pi \sigma_0 R^2 / 96\varepsilon_0} = \frac{1}{3} \cdot \frac{96}{5} = \frac{32}{5} = 6.40$.

(C) किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स उस सतह द्वारा रेखीय आवेश पर अंतरित ठोस कोण से संबंधित होता है। वैकल्पिक रूप से,हम समरूपता की अवधारणा का उपयोग कर सकते हैं। आयताकार सतह की चौड़ाई $a$ और लंबाई $L$ है। रेखीय आवेश से आयत के केंद्र तक की दूरी $d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ है।
रेखीय आवेश पर चौड़ाई $a$ द्वारा अंतरित कोण $\theta$ इस प्रकार है: $\tan(\theta/2) = \frac{a/2}{d} = \frac{a/2}{(\sqrt{3}/2)a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\theta/2 = 30^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 60^{\circ}$ है।
रेखीय आवेश के चारों ओर का कुल कोण $360^{\circ}$ है। रेखीय आवेश को पूरी तरह से घेरने के लिए आवश्यक ऐसी समान आयताकार सतहों की संख्या $n = \frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = 6$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,आवेश $q_{enclosed}$ को घेरने वाली एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ होता है। रेखीय आवेश की $L$ लंबाई के लिए,घिरा हुआ आवेश $q = \lambda L$ है।
चूंकि फ्लक्स $6$ सतहों के बीच समान रूप से वितरित है,इसलिए एक सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi = \frac{\lambda L}{6 \varepsilon_0}$ है।
दिए गए व्यंजक $\frac{\lambda L}{n \varepsilon_0}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 6$ प्राप्त होता है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{\text{total}} = \frac{q}{\epsilon_0}$ होता है।
यह बंद सतह दो भागों से बनी है: अर्धगोला और शंक्वाकार सतह।
इसलिए,$\phi_{\text{hemisphere}} + \phi_{\text{cone}} = \frac{q}{\epsilon_0}$।
चूंकि आवेश $q$ को वृत्ताकार आधार के केंद्र पर रखा गया है,जो अर्धगोले और शंकु के बीच की सामान्य सीमा है,इसलिए विद्युत क्षेत्र रेखाएं समान रूप से वितरित हैं।
अर्धगोला $2\pi$ स्टेरेडियन का ठोस कोण घेरता है,और शंकु भी $2\pi$ स्टेरेडियन का ठोस कोण घेरता है (क्योंकि एक बिंदु के चारों ओर कुल ठोस कोण $4\pi$ स्टेरेडियन होता है)।
इस प्रकार,फ्लक्स दोनों सतहों के बीच समान रूप से विभाजित होता है:
$\phi_{\text{hemisphere}} = \frac{1}{2} \left( \frac{q}{\epsilon_0} \right) = \frac{q}{2\epsilon_0}$
$\phi_{\text{cone}} = \frac{1}{2} \left( \frac{q}{\epsilon_0} \right) = \frac{q}{2\epsilon_0}$
हमें दिया गया है कि शंक्वाकार सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\frac{nq}{6\epsilon_0}$ है।
शंकु से गुजरने वाले फ्लक्स के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{nq}{6\epsilon_0} = \frac{q}{2\epsilon_0}$
$\frac{n}{6} = \frac{1}{2}$
$n = 3$।

(C) अर्ध-कोण $\theta$ वाले शंकु द्वारा बनाया गया ठोस कोण $\Omega = 2\pi(1 - \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बेलन की समतल सतहों के लिए ऐसे दो शंकु (ऊपर और नीचे) हैं, इसलिए दो समतल सतहों द्वारा बनाया गया कुल ठोस कोण $\Omega_{total} = 2 \times 2\pi(1 - \cos \theta) = 4\pi(1 - \cos \theta)$ है।
वक्र सतह द्वारा बनाया गया ठोस कोण कुल ठोस कोण $4\pi$ में से समतल सतहों के ठोस कोण को घटाने पर प्राप्त होता है:
$\Omega_{curved} = 4\pi - 4\pi(1 - \cos \theta) = 4\pi \cos \theta$.
किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi = \frac{q \Omega}{4\pi \epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, वक्र सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi(\theta) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} (4\pi \cos \theta) = \frac{q}{\epsilon_0} \cos \theta$ है।
$\theta = 30^{\circ}$ के लिए, $\Phi = \frac{q}{\epsilon_0} \cos 30^{\circ}$.
$\theta = 60^{\circ}$ के लिए, $\Phi' = \frac{q}{\epsilon_0} \cos 60^{\circ}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{\Phi}{\Phi'} = \frac{\cos 30^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
इसलिए, $\Phi' = \frac{\Phi}{\sqrt{3}}$.
इसकी तुलना $\Phi / \sqrt{n}$ से करने पर, हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।

(A) रेखीय आवेश की कुल लंबाई $L = \frac{a}{2}$ है।
रेखीय आवेश का कुल आवेश $q = \lambda L = \lambda \left( \frac{a}{2} \right) = \frac{\lambda a}{2}$ है।
यह रेखीय आवेश घन के एक किनारे के केंद्र पर रखा गया है। एक किनारा सममित व्यवस्था में $4$ समान घनों द्वारा साझा किया जाता है।
इसलिए, दिए गए घन द्वारा परिबद्ध आवेश कुल आवेश का $\frac{1}{4}$ भाग है।
अतः, घन द्वारा परिबद्ध आवेश $q_{in} = \frac{q}{4} = \frac{\lambda a / 2}{4} = \frac{\lambda a}{8}$ है।
गॉस के नियम के अनुसार, घन से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$ है।
$q_{in}$ का मान रखने पर, हमें $\phi = \frac{\lambda a}{8 \varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(A) आवेश $q$ को $a$ भुजा वाले वर्गाकार लूप के केंद्र से $a/2$ की दूरी पर रखा गया है।
समरूपता द्वारा,हम आवेश $q$ को $a$ भुजा वाले एक घन में इस प्रकार बंद कर सकते हैं कि वर्गाकार लूप घन के एक फलक का निर्माण करे।
पूरे घन से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
चूंकि घन में $6$ समान फलक होते हैं,इसलिए वर्गाकार लूप (जो एक फलक है) से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi_{square} = \frac{1}{6} \frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
वर्गाकार लूप को केंद्र से कोनों और भुजाओं के मध्य बिंदुओं तक रेखाएं खींचकर $8$ समान त्रिभुजाकार भागों में विभाजित किया जा सकता है।
समरूपता के कारण,इन $8$ समान त्रिभुजाकार भागों में से प्रत्येक से गुजरने वाला फ्लक्स समान है।
इसलिए,प्रत्येक त्रिभुजाकार भाग से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi_{triangle} = \frac{1}{8} \Phi_{square} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{6} \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{1}{48} \frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
आकृति में छायांकित क्षेत्र ऐसे $5$ समान त्रिभुजाकार भागों से बना है।
अतः,छायांकित क्षेत्र से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi_{shaded} = 5 \times \Phi_{triangle} = 5 \times \frac{1}{48} \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{5}{48} \frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
चूंकि $q = 1 \ C$ दिया गया है,फ्लक्स $\frac{5}{48} \frac{1}{\varepsilon_0}$ है।
इसकी तुलना $\frac{5}{p} \times \frac{1}{\varepsilon_0}$ से करने पर,हमें $p = 48$ प्राप्त होता है।

(A) गाउस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ परिबद्ध आवेश है और $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है।
दिया गया है:
$\phi = -2 \times 10^4 \ Nm^2 C^{-1}$
$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$
$q$ का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$q = \phi \times \epsilon_0$
$q = (-2 \times 10^4) \times (8.85 \times 10^{-12})$
$q = -17.7 \times 10^{-8} \ C$
अतः,बिंदु आवेश का मान $-17.7 \times 10^{-8} \ C$ है।

(D) विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = (2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 6 \hat{k}) \times 10^3 \ N/C$ है।
चूंकि सतह $x-z$ तल के समानांतर है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$x-z$ तल के लंबवत होगा,जिसका अर्थ है कि यह $y$-अक्ष की दिशा में है। अतः,$\vec{A} = A \hat{j}$।
विद्युत फ्लक्स $\phi$ को डॉट प्रोडक्ट $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\phi = (2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 6 \hat{k}) \times 10^3 \cdot (A \hat{j}) = 4 \times 10^3 \times A$।
दिया गया है $\phi = 6.0 \ N m^2 C^{-1}$,इसलिए $6.0 = 4 \times 10^3 \times A$।
$A$ के लिए हल करने पर: $A = \frac{6.0}{4 \times 10^3} = 1.5 \times 10^{-3} \ m^2$।
$cm^2$ में बदलने पर: $A = 1.5 \times 10^{-3} \times (10^2 \ cm)^2 = 1.5 \times 10^{-3} \times 10^4 \ cm^2 = 15 \ cm^2$।

(D) गाउस के नियम के अनुसार, एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
तार घन के दो अधिकतम दूरी वाले कोनों से गुजरता है, जिसका अर्थ है कि यह घन के मुख्य विकर्ण (body diagonal) के अनुदिश गुजरता है।
$a$ भुजा वाले घन के मुख्य विकर्ण की लंबाई $L = \sqrt{3}a$ होती है।
यहाँ $a = \sqrt{3} \ cm = \sqrt{3} \times 10^{-2} \ m$ दिया गया है, इसलिए घन के अंदर तार की लंबाई $L = \sqrt{3} \times (\sqrt{3} \times 10^{-2} \ m) = 3 \times 10^{-2} \ m$ होगी।
घन द्वारा घिरा हुआ आवेश $q_{enc} = \lambda \cdot L = (2 \times 10^{-9} \ C/m) \times (3 \times 10^{-2} \ m) = 6 \times 10^{-11} \ C$ है।
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9$ का उपयोग करने पर, हमें $\frac{1}{\varepsilon_0} = 36 \pi \times 10^9$ प्राप्त होता है।
अतः, फ्लक्स $\phi = q_{enc} \cdot \frac{1}{\varepsilon_0} = (6 \times 10^{-11}) \times (36 \pi \times 10^9) = 216 \pi \times 10^{-2} = 2.16 \pi \ Nm^2 C^{-1}$ है।
इस प्रकार, $x = 2.16 \pi$।

(D) चित्र के अनुसार,तार बेलन के ऊपरी वृत्ताकार फलक के केंद्र से गुजरकर निचले वृत्ताकार फलक की परिधि पर स्थित एक बिंदु तक जाता है। बेलन के अंदर तार के खंड की लंबाई $(L)$ एक समकोण त्रिभुज का कर्ण बनाती है जिसकी ऊँचाई $h = 4 \ m$ और आधार $r = 3 \ m$ है।
$L = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \ m$.
बेलन द्वारा परिबद्ध आवेश $q_{\text{enclosed}} = \lambda L = (8.85 \times 10^{-6} \ C/m) \times (5 \ m) = 44.25 \times 10^{-6} \ C$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \ C^2/(N-m^2)$ है।
$\phi = \frac{44.25 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}} = 5 \times 10^6 \ V-m$.

(B) जब एक बिंदु आवेश '$Q$' को एक खोखले चालक गोले के अंदर रखा जाता है,तो निम्नलिखित सिद्धांत लागू होते हैं:
$1$. इलेक्ट्रोस्टैटिक संतुलन में चालक के पदार्थ के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए।
$2$. विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश '$Q$' से उत्पन्न होनी चाहिए और चालक गोले की आंतरिक सतह पर लंबवत समाप्त होनी चाहिए।
$3$. इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रेरण के कारण,आंतरिक सतह पर समान और विपरीत आवेश '$-Q$' प्रेरित होता है,और बाहरी सतह पर '$+Q$' आवेश प्रेरित होता है।
$4$. गोले के बाहर की विद्युत क्षेत्र रेखाएं बाहरी सतह से उत्पन्न होती हैं और सतह के लंबवत त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर फैलती हैं।
इन शर्तों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,वह पैटर्न जिसमें रेखाएं आंतरिक सतह पर लंबवत समाप्त होती हैं और बाहरी सतह से लंबवत उत्पन्न होती हैं,और चालक पदार्थ के अंदर कोई रेखाएं नहीं होती हैं,सही निरूपण है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ होता है।
बेलनाकार बर्तन से गुजरने वाले फ्लक्स की गणना करने के लिए,हम कल्पना कर सकते हैं कि पहले बेलन के बगल में एक समान बेलन रखा गया है ताकि आवेश $q$ अब दो बर्तनों द्वारा निर्मित एक बड़ी बंद बेलनाकार सतह के भीतर आ जाए।
इस संयुक्त बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\Phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
चूंकि आवेश $q$ सामान्य खुले सिरे के केंद्र पर सममित रूप से रखा गया है,इसलिए फ्लक्स दोनों समान बेलनों के बीच समान रूप से वितरित होता है।
अतः,एक बेलनाकार बर्तन की सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi = \frac{\Phi_{total}}{2} = \frac{q}{2 \varepsilon_0}$ होगा।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,बेलन के बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ होता है।
यह कुल फ्लक्स दो समतल पृष्ठों ($A$ और $C$) और वक्र पृष्ठ $(B)$ से गुजरने वाले फ्लक्स का योग है: $\phi_A + \phi_B + \phi_C = \frac{q}{\epsilon_0}$.
बेलन की सममिति और आवेश की केंद्रीय स्थिति के कारण,दोनों समतल पृष्ठों से गुजरने वाला फ्लक्स समान होता है,अर्थात $\phi_A = \phi_C$.
दिया गया है कि वक्र पृष्ठ $B$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi$ है,इसलिए: $2\phi_A + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$.
$\phi_A$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\epsilon_0} - \phi\right)$.

(B) विद्युत क्षेत्र केवल बेलनों के बीच के क्षेत्र $(\sqrt{2}R < r < 2R)$ में मौजूद होता है। $r < \sqrt{2}R$ के लिए,क्षेत्र शून्य है। $r > 2R$ के लिए,क्षेत्र शून्य है क्योंकि बाहरी बेलन भू-संपर्कित है और आंतरिक आवेश को घेरता है।
$r$ त्रिज्या $(\sqrt{2}R < r < 2R)$ के बेलन के लिए गॉस के नियम का उपयोग करने पर,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2 \pi \kappa \epsilon_0 r}$ है,जहाँ $\lambda = Q/\ell$ है।
समतल पर क्षेत्रफल अवयव $dS = \ell dy$ से गुजरने वाला फ्लक्स $d\phi = \vec{E} \cdot d\vec{S} = E \cos \theta \ell dy$ है।
ज्यामिति से,$r = R \sec \theta$ और $y = R \tan \theta$,इसलिए $dy = R \sec^2 \theta d\theta$ है। साथ ही $\cos \theta = R/r$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$d\phi = \frac{\lambda}{2 \pi \kappa \epsilon_0 r} \cdot \frac{R}{r} \cdot \ell \cdot R \sec^2 \theta d\theta = \frac{\lambda \ell}{2 \pi \kappa \epsilon_0} d\theta$ प्राप्त होता है।
क्षेत्र केवल $AB$ और $CD$ खंडों के लिए गैर-शून्य है जहाँ $\sqrt{2}R < r < 2R$ है।
$r = \sqrt{2}R$ के लिए,$\cos \theta = R/(\sqrt{2}R) = 1/\sqrt{2} \Rightarrow \theta = 45^\circ = \pi/4$ है।
$r = 2R$ के लिए,$\cos \theta = R/(2R) = 1/2 \Rightarrow \theta = 60^\circ = \pi/3$ है।
एक खंड से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{AB} = \int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{\lambda \ell}{2 \pi \kappa \epsilon_0} d\theta = \frac{Q}{2 \pi \kappa \epsilon_0} (\pi/3 - \pi/4) = \frac{Q}{2 \pi \kappa \epsilon_0} (\pi/12) = \frac{Q}{24 \kappa \epsilon_0}$ है।
$\kappa = 5$ दिए जाने पर,$\phi_{AB} = \frac{Q}{24 \times 5 \epsilon_0} = \frac{Q}{120 \epsilon_0}$ है।
समतल से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{total} = \phi_{AB} + \phi_{CD} = 2 \times \frac{Q}{120 \epsilon_0} = \frac{Q}{60 \epsilon_0}$ है।

(C) विद्युत क्षेत्र रेखाएं किसी क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र को दर्शाने के लिए उपयोग की जाने वाली काल्पनिक रेखाएं हैं।
$1$. वे धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
$2$. वे कभी भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं क्योंकि यदि वे ऐसा करती हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दो दिशाएं होंगी,जो भौतिक रूप से असंभव है।
$3$. क्षेत्र रेखाओं का घनत्व विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के परिमाण के समानुपाती होता है।
$4$. स्थिरवैद्युत संतुलन में विद्युत क्षेत्र रेखाएं चालक के अंदर से नहीं गुजरती हैं क्योंकि चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
अतः,यह कथन कि वे चालक से होकर गुजरती हैं,गलत है।

(C) विद्युत बल रेखाओं के गुण निम्नलिखित हैं:
$1$. विद्युत बल रेखाएं विद्युत क्षेत्र को दर्शाने के लिए उपयोग की जाने वाली काल्पनिक रेखाएं हैं।
$2$. ये धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
$3$. बल रेखा पर किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा देती है।
$4$. दो विद्युत बल रेखाएं कभी भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं क्योंकि यदि वे ऐसा करती हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दो दिशाएं होंगी,जो भौतिक रूप से असंभव है।
$5$. विद्युत बल रेखाओं का घनत्व विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के परिमाण के सीधे आनुपातिक होता है। इसलिए,जहां रेखाएं घनी होती हैं,वहां क्षेत्र प्रबल होता है और जहां वे विरल होती हैं,वहां क्षेत्र दुर्बल होता है।
$6$. स्थिर वैद्युत संतुलन में किसी सुचालक के अंदर कोई विद्युत बल रेखाएं नहीं होती हैं।
अतः,कथन $C$ सही है।

(D) विद्युत क्षेत्र रेखाएं विद्युत क्षेत्र को दर्शाने वाली काल्पनिक रेखाएं हैं।
$1$. वे कभी भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं क्योंकि प्रतिच्छेदन बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दो दिशाएं होंगी,जो असंभव है।
$2$. वे स्थिरवैद्युत संतुलन में किसी चालक के भीतर से नहीं गुजरती हैं क्योंकि चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
$3$. वे धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
$4$. विद्युत क्षेत्र रेखाएं कुचालकों (परावैद्युत) से होकर गुजर सकती हैं,क्योंकि कुचालकों में क्षेत्र को रद्द करने के लिए मुक्त आवेश नहीं होते हैं।
अतः,यह कथन कि वे कुचालक से होकर नहीं गुजरती हैं,गलत है।

(D) पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = 20 \ \mu C \ m^{-2} = 20 \times 10^{-6} \ C \ m^{-2}$ है।
गोले का व्यास $d = 3.5 \ cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 1.75 \ cm = 1.75 \times 10^{-2} \ m$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2 = 4 \times 3.14 \times (1.75 \times 10^{-2})^2 \ m^2$ है।
$A = 12.56 \times 3.0625 \times 10^{-4} \approx 3.848 \times 10^{-3} \ m^2$ प्राप्त होता है।
कुल आवेश $q = \sigma \times A = (20 \times 10^{-6}) \times (3.848 \times 10^{-3}) \approx 7.696 \times 10^{-8} \ C$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = q / \epsilon_0$ होता है।
$\phi = (7.696 \times 10^{-8}) / (8.85 \times 10^{-12}) \approx 0.8696 \times 10^4 \approx 8.7 \times 10^3 \ N \cdot m^2 / C$ प्राप्त होता है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ होता है।
खोखले बेलन के लिए,कुल फ्लक्स दो समतल सतहों ($A$ और $C$) और वक्र सतह $(B)$ से गुजरने वाले फ्लक्स का योग है।
मान लीजिए कि सतह $A$,$C$ और $B$ से गुजरने वाला फ्लक्स क्रमशः $\phi_A$,$\phi_C$ और $\phi_B$ है।
अतः,$\phi_A + \phi_C + \phi_B = \frac{q}{\epsilon_0}$।
दिया गया है कि $\phi_B = \phi$,इसलिए $\phi_A + \phi_C + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$।
बेलन की सममिति के कारण,दो समतल सिरों $A$ और $C$ से गुजरने वाला फ्लक्स समान होना चाहिए,इसलिए $\phi_A = \phi_C$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $2\phi_A + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$।
$\phi_A$ के लिए हल करने पर: $2\phi_A = \frac{q}{\epsilon_0} - \phi$।
इसलिए,$\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\epsilon_0} - \phi\right)$।

(C) गॉस के नियम के अनुसार, किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ होता है।
खोखले बेलन के लिए, कुल फ्लक्स दो समतल पृष्ठों ($A$ और $B$) और वक्र पृष्ठ $(C)$ से गुजरने वाले फ्लक्स का योग है: $\phi_{total} = \phi_A + \phi_B + \phi_C$.
यहाँ $\phi_C = \phi$ दिया गया है और सममिति के कारण, दोनों समतल पृष्ठों से गुजरने वाला फ्लक्स समान है, अर्थात $\phi_A = \phi_B$.
इन मानों को गॉस के नियम के समीकरण में रखने पर: $\frac{q}{\epsilon_0} = \phi_A + \phi_A + \phi$.
$\frac{q}{\epsilon_0} - \phi = 2\phi_A$.
अतः, समतल पृष्ठ $A$ से संबद्ध फ्लक्स $\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\epsilon_0} - \phi\right)$ होगा।

(A) गाउस के नियम के अनुसार,किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,घिरे हुए आवेश $q_1 = 2 \mu C, q_2 = -3 \mu C, q_3 = 4 \mu C, q_4 = -4 \mu C$ और $q_5 = -1 \mu C$ हैं।
कुल घिरा हुआ आवेश $q_{net} = q_1 + q_2 + q_3 + q_4 + q_5$ है।
$q_{net} = (2 - 3 + 4 - 4 - 1) \mu C = -2 \mu C$ है।
अतः,कुल निर्गत फ्लक्स $\phi = \frac{-2 \mu C}{\epsilon_0} = -\frac{2}{\epsilon_0} \mu V-m$ होगा।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{Q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आवेश $Q$ घन के केंद्र में स्थित है,इसलिए समरूपता के कारण फ्लक्स घन के सभी $6$ फलकों पर समान रूप से वितरित होगा।
अतः,एक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{face} = \frac{1}{6} \phi_{total} = \frac{Q}{6 \epsilon_0}$ है।
प्रश्न में दो विपरीत फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स पूछा गया है।
इस प्रकार,दो विपरीत फलकों से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $2 \times \phi_{face} = 2 \times \frac{Q}{6 \epsilon_0} = \frac{Q}{3 \epsilon_0}$ होगा।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{enclosed}$ सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है और $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है।
इस प्रश्न में,आवेश $q$ गुब्बारे की सतह पर वितरित है। जैसे-जैसे गुब्बारे को फुलाया जाता है,सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश $q$ स्थिर रहता है।
चूंकि घिरा हुआ आवेश $q$ नहीं बदलता है,इसलिए कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \frac{q}{\epsilon_0}$ भी स्थिर रहता है।
अतः,विद्युत फ्लक्स अपरिवर्तित रहता है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $q_{enclosed}$ और निर्वात की विद्युतशीलता $\epsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$\phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$।
दी गई चारों आकृतियों $(a)$,$(b)$,$(c)$,और $(d)$ में,सतह द्वारा परिबद्ध आवेश समान है,जो $+q$ है।
चूंकि सभी सतहों के लिए परिबद्ध आवेश समान है और $\epsilon_0$ एक स्थिरांक है,इसलिए प्रत्येक सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ समान होगा।
अतः,सभी आकृतियों के लिए विद्युत फ्लक्स समान है।

(D) गाउस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
चूंकि आवेश सतह पर समान रूप से वितरित है,इसलिए $q = \sigma \times A$,जहाँ $A = 4 \pi r^2$ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
दिया गया है: व्यास $d = 14 \ cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 7 \ cm = 7 \times 10^{-2} \ m$.
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = 40 \ \mu C/m^2 = 40 \times 10^{-6} \ C/m^2$.
इन मानों को रखने पर:
$\phi = \frac{4 \pi r^2 \sigma}{\varepsilon_0}$
$\phi = \frac{4 \times 3.14 \times (7 \times 10^{-2})^2 \times 40 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$\phi = \frac{4 \times 3.14 \times 49 \times 10^{-4} \times 40 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$\phi = \frac{2461.76 \times 10^{-10}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$\phi \approx 278.16 \times 10^2 = 2.78 \times 10^4 \ V \cdot m$ (या लगभग $280 \ kV \cdot m$)।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{net}$,सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $q$ और निर्वात की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
$\phi_{net} = \frac{q}{\varepsilon_0}$
यहाँ,सतह में प्रवेश करने वाला फ्लक्स $\phi_1$ (जो ऋणात्मक है) और सतह से बाहर निकलने वाला फ्लक्स $\phi_2$ (जो धनात्मक है) है।
अतः,कुल फ्लक्स $\phi_{net} = \phi_2 - \phi_1$ होगा।
इस मान को गॉस के नियम में रखने पर:
$\phi_2 - \phi_1 = \frac{q}{\varepsilon_0}$
$q = \varepsilon_0(\phi_2 - \phi_1)$।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$q_{enclosed}$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
जब गुब्बारे को फुलाया जाता है,तो उसका आकार बढ़ता है,लेकिन गुब्बारे की सतह पर कुल आवेश $q$ स्थिर रहता है।
चूंकि सतह द्वारा परिबद्ध आवेश नहीं बदलता है,इसलिए सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$ अपरिवर्तित रहता है।

(C) किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल अभिलंब विद्युत प्रेरण ($T$.$N$.$E$.$I$.) उस सतह द्वारा परिबद्ध आवेशों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।
$\text{T.N.E.I.} = \sum q_{\text{enclosed}}$
सतह $A$ के लिए,परिबद्ध आवेश $+2q$ और $-q$ हैं।
सतह $A$ के लिए $\text{T.N.E.I.} = (+2q) + (-q) = +q$
सतह $B$ के लिए,परिबद्ध आवेश $+3q$ और $-q$ हैं।
सतह $B$ के लिए $\text{T.N.E.I.} = (+3q) + (-q) = +2q$
अतः,सतह $A$ और $B$ से गुजरने वाला $T$.$N$.$E$.$I$. क्रमशः $+q$ और $+2q$ है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार, किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_{net}$, सतह के भीतर परिबद्ध कुल आवेश $q_{in}$ और मुक्त आकाश की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
$\Phi_{net} = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$
यहाँ, सतह में प्रवेश करने वाला फ्लक्स $\phi_1$ (ऋणात्मक लिया जाता है) और सतह से बाहर निकलने वाला फ्लक्स $\phi_2$ (धनात्मक लिया जाता है) है।
अतः, कुल फ्लक्स $\Phi_{net} = \phi_2 - \phi_1$ होगा।
इस मान को गॉस के नियम में रखने पर:
$\phi_2 - \phi_1 = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$
$q_{in} = \varepsilon_0(\phi_2 - \phi_1)$।
अतः, विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$q_{enclosed}$ गॉसियन सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
चूंकि आवेश $q$ अपरिवर्तित रहता है और निर्वात की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ एक स्थिरांक है,इसलिए विद्युत फ्लक्स $\phi$ केवल परिबद्ध आवेश पर निर्भर करता है।
अतः,गोले की त्रिज्या बदलने से उससे गुजरने वाले कुल विद्युत फ्लक्स पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
इस प्रकार,नया फ्लक्स $\phi$ ही रहेगा।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
खोखले बेलन के लिए,कुल फ्लक्स दो समतल पृष्ठों ($A$ और $C$) और वक्र पृष्ठ $(B)$ से गुजरने वाले फ्लक्स का योग है: $\phi_A + \phi_C + \phi_B = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
बेलन की सममिति के कारण,दोनों समतल पृष्ठों $A$ और $C$ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स समान होता है,अर्थात $\phi_A = \phi_C$.
यह दिया गया है कि वक्र पृष्ठ $B$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_B = \phi$ है,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$2\phi_A + \phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
$\phi_A$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$2\phi_A = \frac{q}{\varepsilon_0} - \phi$.
$\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\varepsilon_0} - \phi\right)$.

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{T} = \frac{q}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ सतह के भीतर निहित कुल आवेश है।
दिए गए खोखले बेलन के लिए,कुल फ्लक्स दो समतल सतहों ($A$ और $C$) और वक्र सतह $(B)$ से गुजरने वाले फ्लक्स का योग है।
मान लीजिए $\phi_A$,$\phi_B$,और $\phi_C$ क्रमशः सतह $A$,$B$,और $C$ से गुजरने वाले फ्लक्स हैं।
दिया गया है कि $\phi_B = \phi$ है। बेलन की सममिति के कारण,दोनों समतल सिरों से गुजरने वाला फ्लक्स समान होना चाहिए,अर्थात $\phi_A = \phi_C$ है।
इसलिए,$\phi_A + \phi_B + \phi_C = \frac{q}{\epsilon_0}$ है।
मान रखने पर,हमें $2\phi_A + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
$\phi_A$ के लिए हल करने पर,$2\phi_A = \frac{q}{\epsilon_0} - \phi$,जिसका अर्थ है कि $\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\epsilon_0} - \phi\right)$ है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से जुड़ा विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चित्र से,बंद सतह के भीतर स्थित आवेश $2.35 \ C$,$5 \ C$,$2 \ C$ और $-0.5 \ C$ हैं।
कुल आवेश $q_{enclosed} = (2.35 + 5 + 2 - 0.5) \ C = 8.85 \ C$ है।
दिया गया है $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\phi = \frac{8.85 \ C}{8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}} = 10^{12} \ N m^2 C^{-1}$।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,$Q$ आवेश को घेरने वाली एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ होता है।
चूंकि आवेश घन के केंद्र में स्थित है,इसलिए समरूपता के कारण फ्लक्स इसके $6$ फलकों पर समान रूप से वितरित होता है।
अतः,एक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{one} = \frac{\phi_{total}}{6} = \frac{Q}{6 \varepsilon_0}$ होगा।
दो विपरीत फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स इन दोनों फलकों के फ्लक्स का योग है,जो $\phi_{two} = 2 \times \phi_{one} = 2 \times \frac{Q}{6 \varepsilon_0} = \frac{Q}{3 \varepsilon_0}$ होगा।

(C) गाउस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$
यहाँ,$Q_{\text{enclosed}}$ गाऊसी पृष्ठ द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है और $\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि विद्युत फ्लक्स केवल पृष्ठ के भीतर निहित आवेश के परिमाण पर निर्भर करता है।
यह गाऊसी पृष्ठ के आकार या त्रिज्या $(R)$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,यदि गाऊसी पृष्ठ की त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाता है,तो घिरा हुआ आवेश $Q$ समान रहता है,और परिणामस्वरूप,बाहर की ओर जाने वाला विद्युत फ्लक्स समान रहेगा।

(A) गाउस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$q_{enclosed}$ गाऊसी सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है और $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है।
चूंकि बिंदु आवेश $q$ गोलीय गाऊसी सतह की त्रिज्या की परवाह किए बिना समान रहता है,इसलिए परिबद्ध आवेश $q_{enclosed} = q$ स्थिर रहता है।
अतः,जब सतह की त्रिज्या बढ़ाई जाती है तो विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \frac{q}{\epsilon_0}$ अपरिवर्तित रहता है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$q_{\text{enclosed}}$ गोलाकार गुब्बारे द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है।
जब गुब्बारा फूलता है,तो उसकी त्रिज्या बढ़ जाती है,लेकिन उसकी सतह पर कुल आवेश $q$ स्थिर रहता है।
चूंकि घिरा हुआ आवेश $q$ नहीं बदलता है,इसलिए सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$ अपरिवर्तित रहता है।

(B) गाउस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{enc}$ सतह के भीतर परिबद्ध कुल आवेश है और $\epsilon_0$ मुक्त आकाश की विद्युतशीलता है।
चूंकि विद्युत फ्लक्स केवल सतह के भीतर परिबद्ध आवेश पर निर्भर करता है,न कि गाऊसी सतह के आकार या आकृति पर,इसलिए गोलीय गाऊसी सतह की त्रिज्या बढ़ाने से परिबद्ध आवेश की मात्रा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः,विद्युत फ्लक्स अपरिवर्तित रहता है।