Electric Field Lines, Electric Flux and Gauss's Law Questions in Hindi

(A) किसी दिए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल से गुजरने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या को विद्युत फ्लक्स $(\Phi_E)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, विद्युत फ्लक्स विद्युत क्षेत्र सदिश $(\vec{E})$ और क्षेत्रफल सदिश $(\vec{A})$ का अदिश गुणनफल है, जिसे $\Phi_E = \int \vec{E} \cdot d\vec{A}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
एक समतल सतह से गुजरने वाले एकसमान विद्युत क्षेत्र के लिए, यह $\Phi_E = EA \cos\theta$ हो जाता है।
चूंकि क्षेत्र रेखाओं की संख्या विद्युत फ्लक्स के समानुपाती होती है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि विद्युत क्षेत्र की तीव्रता स्थिर रहती है, तो क्षेत्र रेखाओं की संख्या सतह के क्षेत्रफल $(A)$ के सीधे समानुपाती होती है।

(C) जब दो समान धनात्मक आवेशों को एक-दूसरे के निकट रखा जाता है,तो विद्युत क्षेत्र रेखाएं प्रत्येक धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और अनंत की ओर फैलती हैं।
चूंकि दोनों आवेश धनात्मक हैं,इसलिए वे एक-दूसरे पर प्रतिकर्षण बल लगाते हैं।
इस प्रतिकर्षण को दोनों आवेशों के बीच के क्षेत्र में क्षेत्र रेखाओं के एक-दूसरे से दूर मुड़ने द्वारा दर्शाया जाता है।
दोनों आवेशों के बीच ठीक मध्य बिंदु पर एक उदासीन बिंदु होता है जहाँ कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि इस बिंदु से कोई भी क्षेत्र रेखा नहीं गुजरती है।

(N/A) विद्युत क्षेत्र रेखाएँ धनात्मक आवेशों से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेशों पर समाप्त होती हैं।
यदि वे बंद लूप बनाती हैं,तो इसका अर्थ यह होगा कि विद्युत क्षेत्र संरक्षी नहीं है,जो स्थिर-विद्युत क्षेत्र के गुणों के विपरीत है।
गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स उस सतह द्वारा परिबद्ध आवेश के समानुपाती होता है।
चूंकि स्थिर-विद्युत क्षेत्र संरक्षी होते हैं,इसलिए किसी भी बंद पथ के चारों ओर विद्युत क्षेत्र का रेखा समाकल शून्य होता है,अर्थात $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$।
यह गणितीय स्थिति सुनिश्चित करती है कि विद्युत क्षेत्र रेखाएँ बंद लूप नहीं बना सकती हैं,जबकि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ बंद लूप बनाती हैं क्योंकि चुंबकीय मोनोपोल का अस्तित्व नहीं होता है।

(N/A) दो विद्युत क्षेत्र रेखाएं कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं क्योंकि यदि वे काटती हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दो अलग-अलग दिशाएं होंगी।
चूंकि किसी दिए गए बिंदु पर विद्युत क्षेत्र एक अद्वितीय सदिश राशि है,इसलिए इसकी एक साथ दो दिशाएं नहीं हो सकती हैं।
इसलिए,दो विद्युत क्षेत्र रेखाओं का प्रतिच्छेदन भौतिक रूप से असंभव है।

(N/A) यदि क्षेत्रफल $\overrightarrow{\Delta S}$ वाले एक छोटे समतलीय तत्व को विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में रखा जाता है, तो इसे पार करने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या $\vec{E} \cdot \overrightarrow{\Delta S}$ के समानुपाती होती है।
मान लीजिए कि हम क्षेत्रफल तत्व को अभिलंब के साथ $\theta$ कोण पर झुकाते हैं, तो $\Delta S$ से गुजरने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या $E \Delta S \cos \theta$ के समानुपाती होती है।
जब $\theta = 90^{\circ}$ होता है, तो क्षेत्र रेखाएं सतह के समानांतर होती हैं और इसे बिल्कुल भी पार नहीं करती हैं।
जब $\theta = 0^{\circ}$ होता है, तो क्षेत्र रेखाएं सतह के लंबवत होती हैं।
बंद सतह के प्रत्येक क्षेत्रफल तत्व से जुड़े सदिश को बाहर की ओर लंबवत दिशा में लिया जाता है। इस प्रकार, बंद सतह पर एक बिंदु पर क्षेत्रफल तत्व सदिश $\overrightarrow{\Delta S} = \Delta S \hat{n}$ होता है, जहाँ $\Delta S$ क्षेत्रफल तत्व का परिमाण है और $\hat{n}$ उस बिंदु पर बाहर की ओर लंबवत दिशा में एक इकाई सदिश है।
विद्युत फ्लक्स विद्युत क्षेत्र में रखी सतह से गुजरने वाली या उससे जुड़ी विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या है।
इसलिए, क्षेत्रफल तत्व $\Delta \overrightarrow{S}$ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Delta \phi = \vec{E} \cdot \Delta \overrightarrow{S} = E \Delta S \cos \theta$ है, जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{E}$ और $\overrightarrow{\Delta S}$ के बीच का कोण है।
कुल फ्लक्स $\phi = \int \vec{E} \cdot d\overrightarrow{S} = E \Delta S \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
विद्युत फ्लक्स का $SI$ मात्रक $N \cdot m^{2} \cdot C^{-1}$ या $V \cdot m$ है और यह एक अदिश राशि है।
विद्युत फ्लक्स की परिभाषा: "किसी भी सतह से जुड़ा विद्युत फ्लक्स उस सतह पर विद्युत क्षेत्र सदिश का पृष्ठीय समाकलन (surface integral) होता है।"

(N/A) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ में एक क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{S}$ से संबद्ध विद्युत फ्लक्स $\phi$ को अदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है:
$\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{S} = ES \cos \theta$,जहाँ $\theta$ विद्युत क्षेत्र सदिश $\overrightarrow{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{S}$ के बीच का कोण है।
$(i)$ यदि $\theta = 90^{\circ}$ है,तो $\cos 90^{\circ} = 0$ होता है,इसलिए $\phi = 0$। यह तब होता है जब विद्युत क्षेत्र रेखाएँ सतह के समानांतर होती हैं (अर्थात,क्षेत्रफल सदिश क्षेत्र के लंबवत होता है)।
(ii) यदि $\theta < 90^{\circ}$ है,तो $\cos \theta > 0$ होता है,इसलिए $\phi > 0$। यह तब होता है जब विद्युत क्षेत्र रेखाएँ बंद सतह से बाहर की ओर निर्देशित होती हैं।
(iii) यदि $\theta > 90^{\circ}$ है,तो $\cos \theta < 0$ होता है,इसलिए $\phi < 0$। यह तब होता है जब विद्युत क्षेत्र रेखाएँ बंद सतह के अंदर की ओर निर्देशित होती हैं।

(N/A) विद्युत फ्लक्स किसी दिए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल से गुजरने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की कुल संख्या का माप है। गणितीय रूप से,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में स्थित एक सतह $S$ के लिए,विद्युत फ्लक्स $\Phi_E$ को उस सतह पर विद्युत क्षेत्र के पृष्ठीय समाकल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\Phi_E = \int_S \vec{E} \cdot d\vec{A}$। यदि विद्युत क्षेत्र एकसमान है और सतह $A$ क्षेत्रफल वाली एक समतल सतह है,तो फ्लक्स को $\Phi_E = EA \cos \theta$ द्वारा व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\theta$ विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $d\vec{A}$ (जो सतह के लंबवत होता है) के बीच का कोण है।

(B) किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi_E$ समाकलन $\Phi_E = \int \vec{E} \cdot d\vec{A} = \int E \cos \theta \, dA$ द्वारा परिभाषित होता है।
$1$. धनात्मक फ्लक्स: जब विद्युत क्षेत्र रेखाएं सतह से बाहर निकलती हैं (बाहर की ओर फ्लक्स),तो क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के बीच का कोण $\theta$ न्यून कोण $(0^\circ \le \theta < 90^\circ)$ होता है,जिससे $\cos \theta > 0$ होता है। अतः,फ्लक्स धनात्मक है।
$2$. ऋणात्मक फ्लक्स: जब विद्युत क्षेत्र रेखाएं सतह में प्रवेश करती हैं (अंदर की ओर फ्लक्स),तो क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के बीच का कोण $\theta$ अधिक कोण $(90^\circ < \theta \le 180^\circ)$ होता है,जिससे $\cos \theta < 0$ होता है। अतः,फ्लक्स ऋणात्मक है।
$3$. शून्य फ्लक्स: जब विद्युत क्षेत्र रेखाएं सतह के समानांतर होती हैं,तो कोण $\theta$ $90^\circ$ होता है,जिससे $\cos 90^\circ = 0$ होता है। वैकल्पिक रूप से,यदि सतह में प्रवेश करने वाली रेखाओं की संख्या बाहर निकलने वाली रेखाओं की संख्या के बराबर है,तो नेट फ्लक्स शून्य होता है।

(A) विद्युत फ्लक्स को विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के अदिश गुणनफल (dot product) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{A}$ होता है।
चूंकि दो सदिशों का अदिश गुणनफल हमेशा एक अदिश राशि प्रदान करता है,इसलिए विद्युत फ्लक्स एक अदिश राशि है।

(N/A) विद्युत फ्लक्स $\Phi_E$ को विद्युत क्षेत्र $E$ और उससे गुजरने वाले क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\Phi_E = E \cdot A$ द्वारा दिया जाता है।
विद्युत क्षेत्र $E$ का $SI$ मात्रक $\text{न्यूटन प्रति कूलॉम}$ $(N/C)$ या $\text{वोल्ट प्रति मीटर}$ $(V/m)$ है।
क्षेत्रफल $A$ का $SI$ मात्रक $\text{वर्ग मीटर}$ $(m^2)$ है।
इसलिए,विद्युत फ्लक्स का $SI$ मात्रक $(N/C) \cdot m^2 = N \cdot m^2/C$ या $(V/m) \cdot m^2 = V \cdot m$ होता है।
अतः,विद्युत फ्लक्स का $SI$ मात्रक $N \cdot m^2 \cdot C^{-1}$ या $V \cdot m$ है।

(N/A) मान लीजिए कि $r$ त्रिज्या का एक गोला है,जिसके केंद्र पर एक बिंदु आवेश $q$ स्थित है।
चित्र में दिखाए अनुसार गोले को छोटे क्षेत्रफल अवयवों में विभाजित करें।
क्षेत्रफल अवयव $\Delta \overrightarrow{S}$ से गुजरने वाला फ्लक्स है,
$\Delta \phi = \overrightarrow{E} \cdot \Delta \overrightarrow{S} = E \Delta S \cos(0^{\circ}) = E \Delta S$
$r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र के लिए कूलम्ब के नियम का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$
चूंकि विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\Delta \overrightarrow{S}$ एक ही दिशा (त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर) में हैं,
$\Delta \phi = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \right) \Delta S$
गोले से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi$ सभी क्षेत्रफल अवयवों से गुजरने वाले फ्लक्स का योग है:
$\phi = \sum \Delta \phi = \sum \left( \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \Delta S \right)$
$\phi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \sum \Delta S$
चूंकि $\sum \Delta S = S = 4 \pi r^{2}$ (गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल) है,
$\phi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \times 4 \pi r^{2} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
यह बिंदु आवेश के लिए गॉस का नियम है,जो बताता है कि किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश और $\varepsilon_{0}$ के अनुपात के बराबर होता है।

(N/A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{enclosed}$ सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है।
यदि कुल फ्लक्स $\phi = 0$ है,तो $\frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $q_{enclosed} = 0$ है।
इसका मतलब है कि सतह द्वारा घिरा कुल आवेश शून्य होना चाहिए। यदि सतह के अंदर कुल आवेश शून्य है,तो बंद सतह से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य होता है,भले ही बाहरी विद्युत क्षेत्र मौजूद हो,जैसा कि एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में रखे बेलन के मामले में दर्शाया गया है।
एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में उसकी अक्ष के समानांतर रखे बेलन के लिए:
$1$. वक्र सतह $3$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_3 = 0$ है क्योंकि क्षेत्रफल सदिश प्रत्येक बिंदु पर $\vec{E}$ के लंबवत है।
$2$. समतल सतह $1$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_1 = -ES$ है (जहाँ $S$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और अभिलंब $\vec{E}$ के विपरीत दिशा में है)।
$3$. समतल सतह $2$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_2 = +ES$ है (जहाँ अभिलंब $\vec{E}$ की दिशा में है)।
कुल फ्लक्स $\phi_{total} = \phi_1 + \phi_2 + \phi_3 = -ES + ES + 0 = 0$ है। चूँकि कुल फ्लक्स शून्य है,इसलिए घिरा हुआ कुल आवेश शून्य है।

(N/A) $(i)$ यदि किसी बंद सतह में निहित कुल आवेश शून्य है,तो उस बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स शून्य होता है।
$(ii)$ गॉस का नियम किसी भी बंद सतह के लिए मान्य है,चाहे उसका आकार या माप कुछ भी हो।
$(iii)$ आवेश सतह के अंदर कहीं भी स्थित हो सकते हैं।
$(iv)$ जब ऐसी सतह चुनी जाती है जिसमें कुछ आवेश अंदर और कुछ बाहर हों,तो समीकरण $\phi = \frac{\Sigma q}{\epsilon_{0}}$ के बाईं ओर का विद्युत क्षेत्र सभी आवेशों (अंदर और बाहर दोनों) के कारण होता है। हालाँकि,दाईं ओर का पद $\Sigma q$ केवल सतह के भीतर निहित कुल आवेश को दर्शाता है।
$(v)$ गॉस के नियम के अनुप्रयोग के लिए चुनी गई सतह को गॉसियन सतह कहा जाता है।
$(vi)$ जब निकाय में समरूपता (symmetry) होती है,तो स्थिर-विद्युत क्षेत्र की गणना को आसान बनाने के लिए गॉस का नियम उपयोगी होता है।
$(vii)$ गॉस का नियम दूरी पर विद्युत क्षेत्र की व्युत्क्रम वर्ग निर्भरता पर आधारित है।

(N/A) गॉस का नियम बताता है कि किसी भी बंद सतह (गॉसियन सतह) से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E$ उस सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $q_{enclosed}$ का $\frac{1}{\epsilon_0}$ गुना होता है।
गणितीय रूप में,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$
जहाँ:
- $\Phi_E$ विद्युत फ्लक्स है।
- $\oint_S$ एक बंद सतह $S$ पर सतह समाकल को दर्शाता है।
- $\vec{E}$ विद्युत क्षेत्र सदिश है।
- $d\vec{A}$ एक सूक्ष्म सतह अवयव का क्षेत्रफल सदिश है।
- $q_{enclosed}$ सतह के भीतर परिबद्ध कुल आवेश है।
- $\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता (परमिटिविटी) है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \frac{q_{net}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{net}$ सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है।
यदि विद्युत फ्लक्स $\Phi_E$ शून्य है,तो $\frac{q_{net}}{\epsilon_0} = 0$,जिसका अर्थ है कि $q_{net} = 0$ है।
इसका मतलब यह है कि या तो सतह के अंदर कोई आवेश नहीं है,या सतह के अंदर मौजूद धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों का योग शून्य है।
इसका मतलब यह जरूरी नहीं है कि सतह पर विद्युत क्षेत्र शून्य है,क्योंकि सतह के बाहर के आवेश विद्युत क्षेत्र में योगदान दे सकते हैं लेकिन बंद सतह से गुजरने वाले कुल फ्लक्स में नहीं।
इसलिए,घिरा हुआ कुल आवेश शून्य होना चाहिए।

(N/A) गॉसियन पृष्ठ त्रिविमीय आकाश में स्थित कोई भी काल्पनिक बंद पृष्ठ है,जिसके माध्यम से किसी सदिश क्षेत्र (जैसे विद्युत क्षेत्र,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र या चुंबकीय क्षेत्र) के फ्लक्स की गणना की जाती है।
स्थिर विद्युत विज्ञान के संदर्भ में,यह एक काल्पनिक बंद पृष्ठ है जिसका उपयोग गॉस के नियम के साथ किया जाता है ताकि किसी दिए गए आवेश वितरण द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र की गणना को सरल बनाया जा सके।
इस पृष्ठ को आमतौर पर ऐसी सममिति (जैसे गोलाकार,बेलनाकार या समतलीय) के साथ चुना जाता है जो आवेश वितरण की सममिति से मेल खाती हो,जिससे पृष्ठ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण स्थिर बना रहे।

(N/A) मान लीजिए कि मूल बिंदु पर एक बिंदु आवेश $q$ स्थित है। कूलम्ब के नियम के अनुसार,आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ इस प्रकार है:
$\overrightarrow{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^{2}} \hat{r}$
अब,आवेश $q$ को केंद्र मानकर $r$ त्रिज्या का एक गोलीय गॉसियन पृष्ठ मानिए। इस पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ पृष्ठ समाकल द्वारा दिया जाता है:
$\phi_E = \oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s}$
चूंकि विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ त्रिज्यीय है और क्षेत्रफल सदिश $d\overrightarrow{s}$ भी त्रिज्यीय (बाहर की ओर) है,इसलिए उनके बीच का कोण $0^\circ$ है। अतः,$\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} = E ds \cos(0^\circ) = E ds$।
$\phi_E = \oint E ds = E \oint ds$
गोलीय पृष्ठ पर प्रत्येक बिंदु पर $E$ स्थिर है और $\oint ds = 4 \pi r^{2}$ (गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल) है,इसलिए:
$\phi_E = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^{2}} \right) \cdot (4 \pi r^{2})$
$\phi_E = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
यह गॉस का नियम है: $\oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{enclosed}$ पृष्ठ द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है।
एक द्विध्रुव दो समान और विपरीत आवेशों,$+q$ और $-q$ से बना होता है।
पृष्ठ द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश $q_{enclosed} = (+q) + (-q) = 0$ है।
इसलिए,पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{0}{\epsilon_{0}} = 0$ है।

(N/A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह $S$ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$ इस प्रकार दिया जाता है: $\phi = \oint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_{0}}$.
$1$. यदि किसी सतह द्वारा घिरा कुल आवेश शून्य है $(q_{enclosed} = 0)$,तो इसका अर्थ यह है कि सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स शून्य है। हालाँकि,इसका मतलब यह नहीं है कि सतह पर हर जगह विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ शून्य है। सतह के बाहर स्थित आवेशों के कारण सतह पर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र शून्य नहीं हो सकता है।
$2$. इसके विपरीत,यदि सतह पर हर जगह विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ शून्य है,तो सतह समाकल $\oint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S}$ शून्य होना चाहिए। गॉस के नियम के अनुसार,इसका अर्थ यह है कि सतह द्वारा घिरा कुल आवेश शून्य होना चाहिए $(q_{enclosed} = 0)$.

(N/A) यदि आवेश $q$ को घन के एक फलक के केंद्र $C$ पर रखा जाता है,तो यह $2$ निकटवर्ती घनों द्वारा समान रूप से साझा किया जाता है।
अतः,प्रत्येक घन से गुजरने वाला फ्लक्स:
$\phi = \frac{q}{2\epsilon_{0}}$
$(b)$ यदि आवेश $q$ को $BC$ किनारे के मध्य-बिंदु $D$ पर रखा जाता है,तो यह $4$ निकटवर्ती घनों द्वारा साझा किया जाता है।
अतः,प्रत्येक घन से गुजरने वाला फ्लक्स:
$\phi = \frac{q}{4\epsilon_{0}}$

(A) आवेश $A$ और $C$ के लिए विद्युत क्षेत्र रेखाएं बाहर की ओर निर्देशित हैं,जो यह दर्शाती हैं कि $A$ और $C$ धनात्मक आवेश हैं।
$(b)$ किसी आवेश का परिमाण उससे निकलने वाली या उस पर समाप्त होने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या के समानुपाती होता है। रेखाओं की गणना करने पर,हम देखते हैं कि आवेश $C$ के साथ सबसे अधिक संख्या में क्षेत्र रेखाएं जुड़ी हुई हैं। इसलिए,आवेश $C$ का परिमाण सबसे अधिक है।
$(c)$ विद्युत क्षेत्र केवल उस बिंदु पर शून्य हो सकता है जहाँ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हों। यह दो समान आवेशों के बीच हो सकता है। चूंकि $A$ और $C$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए $A$ और $C$ के बीच के क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र शून्य हो सकता है। चूंकि आवेश $C$ का परिमाण आवेश $A$ से अधिक है,इसलिए उदासीन बिंदु (जहाँ क्षेत्र शून्य है) छोटे परिमाण वाले आवेश के करीब होगा,जो कि $A$ है। अतः,$A$ के निकट के क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र शून्य हो सकता है।

(A) विद्युत फ्लक्स $\Phi$ को विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है,$\vec{E} = (5 \hat{i} + 4 \hat{j} + 9 \hat{k})$.
सतह $Y-Z$ तल में स्थित है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$X$-अक्ष की दिशा में होगा।
अतः,$\vec{A} = 20 \hat{i}$ इकाई।
विद्युत फ्लक्स की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\Phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$
$\Phi = (5 \hat{i} + 4 \hat{j} + 9 \hat{k}) \cdot (20 \hat{i})$
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,और $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$:
$\Phi = 5 \times 20 = 100$ इकाई।

(D) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = \frac{2}{5} E_{0} \hat{i} + \frac{3}{5} E_{0} \hat{j}$ है।
दिया गया है $E_{0} = 4.0 \times 10^{3} \, N/C$।
सतह का क्षेत्रफल $A = 0.4 \, m^{2}$ है और यह $Y-Z$ तल के समानांतर है।
$Y-Z$ तल के समानांतर सतह के लिए क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$,$X$-अक्ष की दिशा में होता है,इसलिए $\overrightarrow{A} = 0.4 \hat{i} \, m^{2}$।
विद्युत फ्लक्स $\phi$ को डॉट प्रोडक्ट $\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$\phi = (\frac{2}{5} E_{0} \hat{i} + \frac{3}{5} E_{0} \hat{j}) \cdot (0.4 \hat{i})$।
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$,इसलिए $\phi = \frac{2}{5} E_{0} \times 0.4$।
$E_{0} = 4.0 \times 10^{3} \, N/C$ का मान रखने पर:
$\phi = \frac{2}{5} \times (4.0 \times 10^{3}) \times 0.4$।
$\phi = 0.4 \times 4000 \times 0.4 = 1600 \times 0.4 = 640 \, N m^{2} C^{-1}$।

(D) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = \frac{3 E_{0}}{5} \hat{i} + \frac{4 E_{0}}{5} \hat{j} \, N/C$ है।
पहली सतह के लिए,क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}_{1} = 0.2 \hat{i} \, m^{2}$ है (क्योंकि यह $y-z$ तल के समानांतर है)।
फ्लक्स $\phi_{1} = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}_{1} = (\frac{3 E_{0}}{5} \hat{i} + \frac{4 E_{0}}{5} \hat{j}) \cdot (0.2 \hat{i}) = \frac{3 \times 0.2}{5} E_{0} = 0.12 E_{0} \, V \cdot m$.
दूसरी सतह के लिए,क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}_{2} = 0.3 \hat{j} \, m^{2}$ है (क्योंकि यह $x-z$ तल के समानांतर है)।
फ्लक्स $\phi_{2} = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}_{2} = (\frac{3 E_{0}}{5} \hat{i} + \frac{4 E_{0}}{5} \hat{j}) \cdot (0.3 \hat{j}) = \frac{4 \times 0.3}{5} E_{0} = 0.24 E_{0} \, V \cdot m$.
फ्लक्स का अनुपात $\frac{\phi_{1}}{\phi_{2}} = \frac{0.12 E_{0}}{0.24 E_{0}} = \frac{1}{2}$ है।
दिया गया अनुपात $a : b = 1 : 2$ है,इसलिए $a = 1$ प्राप्त होता है।

(C) आवेश $a = 12 \,cm$ भुजा वाले वर्ग के केंद्र से $a/2 = 6 \,cm$ की दूरी पर रखा गया है।
इस वर्ग को $a = 12 \,cm$ भुजा वाले एक घन (cube) के एक फलक के रूप में मानने पर,आवेश इस घन के केंद्र पर स्थित है।
गॉस के नियम के अनुसार,पूरे घन से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$ है।
चूंकि घन में $6$ समान फलक होते हैं,इसलिए एक फलक (वर्ग) से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi = \frac{1}{6} \frac{q}{\varepsilon_{0}}$ होगा।
यहाँ $q = 12 \times 10^{-6} \,C$ और $\varepsilon_{0} = 8.854 \times 10^{-12} \,C^{2}/Nm^{2}$ दिया गया है।
$\phi = \frac{12 \times 10^{-6}}{6 \times 8.854 \times 10^{-12}} = \frac{2 \times 10^{-6}}{8.854 \times 10^{-12}} \approx 0.2259 \times 10^{6} \,Nm^{2}/C$.
$\phi \approx 226 \times 10^{3} \,Nm^{2}/C$.

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\frac{q}{\varepsilon_{0}}$ होता है।
चूंकि आवेश $q$ को घन के एक कोने पर रखा गया है,इसलिए आवेश को पूरी तरह से घेरने के लिए इसे $8$ ऐसे समान घनों द्वारा साझा किया जाता है।
अतः,घन से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{\text{cube}} = \frac{q}{8\varepsilon_{0}}$ है।
घन के उन तीन फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य होता है जो उस कोने पर मिलते हैं जहाँ आवेश रखा गया है,क्योंकि विद्युत क्षेत्र रेखाएं इन सतहों के समानांतर होती हैं।
शेष तीन फलक आवेश के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए इन तीनों फलकों में से प्रत्येक से गुजरने वाला फ्लक्स समान है।
मान लीजिए कि छायांकित क्षेत्र इन फलकों में से एक है। छायांकित क्षेत्र से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{\text{shaded}} = \frac{1}{3} \times \phi_{\text{cube}} = \frac{1}{3} \times \frac{q}{8\varepsilon_{0}} = \frac{q}{24\varepsilon_{0}}$ है।

(C) किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,$\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के बीच का कोण है।
कथन $(a)$ सही है: जब रेखाएं सतह में प्रवेश करती हैं तो फ्लक्स ऋणात्मक होता है $(\theta > 90^{\circ})$।
कथन $(b)$ सही है: समरूपता के कारण,घन के केंद्र पर स्थित आवेश उसके सभी छह फलकों से समान फ्लक्स उत्पन्न करता है।
कथन $(c)$ सही है: गॉस के नियम के अनुसार,$\phi_{net} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$। यदि $q_{enclosed} = 0$ है,तो $\phi_{net} = 0$ होगा।
कथन $(d)$ गलत है: जब विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ सतह के समानांतर होता है,तो यह क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के लंबवत होता है (अर्थात $\theta = 90^{\circ}$)। अतः,$\phi = EA \cos 90^{\circ} = 0$। कथन में दावा किया गया है कि यह एक गैर-शून्य फ्लक्स प्रदान करता है,जो गलत है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$ होता है।
जब आवेश $q$ को अर्धगोले के समतल वृत्ताकार आधार के केंद्र पर रखा जाता है,तो आवेश $q$ से निकलने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाएं समतल सतह के प्रत्येक बिंदु पर सतह के समानांतर होती हैं।
चूंकि विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$,समतल सतह के क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के लंबवत होता है (अर्थात,$\vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos(90^{\circ}) = 0$),इसलिए समतल सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $0$ होता है।
हालांकि,अर्धगोलाकार वक्र सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\frac{q}{2 \varepsilon_{0}}$ होता है।

(A) बिंदु आवेश $q$ से अर्ध-शीर्ष कोण $\theta$ वाले शंकु के भीतर उत्पन्न होने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q}{2\varepsilon_{0}}(1 - \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $q_{1}$ से निकलने वाली क्षेत्र रेखाएं $\alpha$ कोण वाले शंकु में $q_{2}$ पर $\beta$ कोण वाले शंकु में समाप्त होती हैं,इसलिए फ्लक्स समान होना चाहिए:
$\frac{q_{1}}{2\varepsilon_{0}}(1 - \cos \alpha) = \frac{q_{2}}{2\varepsilon_{0}}(1 - \cos \beta)$
दिया गया है कि $q_{2} = \frac{3}{2} q_{1}$,इसलिए:
$q_{1}(1 - \cos \alpha) = \frac{3}{2} q_{1}(1 - \cos \beta)$
$1 - \cos 30^{\circ} = \frac{3}{2}(1 - \cos \beta)$
$1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}(1 - \cos \beta)$
$1 - 0.866 = 1.5(1 - \cos \beta)$
$0.134 = 1.5(1 - \cos \beta)$
$1 - \cos \beta = \frac{0.134}{1.5} \approx 0.0893$
$\cos \beta = 1 - 0.0893 = 0.9107$
चूंकि $\cos 30^{\circ} \approx 0.866$ और $\cos \beta \approx 0.9107$ है,इसलिए हम पाते हैं कि $\beta < 30^{\circ}$।
अतः,$0^{\circ} < \beta < 30^{\circ}$।

(B) कथन $(I)$ अमान्य है क्योंकि गॉस का नियम $(\phi = q_{\text{enclosed}} / \varepsilon_0)$ केवल व्युत्क्रम वर्ग क्षेत्रों के लिए मान्य है। यदि $E = \frac{kq}{r^3} \hat{r}$ है, तो $r$ त्रिज्या वाली गोलाकार सतह से गुजरने वाला फ्लक्स:
$\phi = \oint E \cdot dA = \int \frac{kq}{r^3} dA = \frac{kq}{r^3} (4\pi r^2) = \frac{4\pi kq}{r} \neq \frac{q}{\varepsilon_0}$.
कथन $(II)$ मान्य है। व्युत्क्रम वर्ग क्षेत्र में, समरूपता के कारण समान रूप से आवेशित कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। हालाँकि, व्युत्क्रम घन क्षेत्र के लिए, कोश के विभिन्न भागों से उत्पन्न क्षेत्रों का अध्यारोपण आंतरिक बिंदुओं पर शून्य नहीं होता है। इसलिए, अंदर रखा गया आवेश एक गैर-शून्य शुद्ध बल का अनुभव करेगा।
अतः, केवल कथन $(II)$ मान्य है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{enclosed}$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
यदि सतह द्वारा कोई आवेश परिबद्ध नहीं है $(q_{enclosed} = 0)$,तो सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य होता है।
मामलों $I$ और $II$ में,बिंदु आवेश बंद सतह के अंदर है,इसलिए कुल फ्लक्स शून्य नहीं है।
मामलों $III$ और $IV$ में,बिंदु आवेश बंद सतह के बाहर है,इसलिए परिबद्ध कुल आवेश शून्य है,जिसका अर्थ है कि इन सतहों से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य है।
इसलिए,केवल $I$ और $II$ मामलों के लिए ही कुल फ्लक्स शून्य नहीं है।

(D) यदि कूलम्ब बल $F \propto 1/r^3$ के रूप में बदलता है,तो बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = k q / r^3$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ त्रिज्या और $Q$ कुल आवेश वाले एक ठोस धात्विक गोले के लिए,समरूपता के कारण,गोले के अंदर $(r < R)$ विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए क्योंकि सतह आवेश वितरण के विभिन्न भागों का योगदान किसी भी आंतरिक बिंदु पर एक-दूसरे को रद्द कर देता है।
हालाँकि,इस बल नियम के लिए गॉस का नियम संशोधित हो जाता है। $r$ त्रिज्या $(r < R)$ वाली गोलाकार गॉसियन सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi = \oint E \cdot dA$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि अंदर $E = 0$ है,इसलिए फ्लक्स $\phi = 0$ है।
मानक स्थिति $(F \propto 1/r^2)$ में,गॉस का नियम कहता है कि $\oint E \cdot dA = q_{enclosed} / \epsilon_0$। यदि बल नियम $1/r^3$ में बदल जाता है,तो फ्लक्स और परिबद्ध आवेश के बीच का संबंध बदल जाता है। विशेष रूप से,$1/r^3$ बल के लिए,एक बंद सतह से गुजरने वाला फ्लक्स केवल परिबद्ध आवेश के समानुपाती नहीं होता है। गणनाएँ दर्शाती हैं कि इस बल नियम के लिए,चालक के अंदर आवेश घनत्व $\rho$ शून्य नहीं होता है ताकि अंदर $E=0$ बना रहे,क्योंकि मानक गॉस का नियम उसी तरह लागू नहीं होता है। इस प्रकार,समरूपता के कारण अंदर का क्षेत्र शून्य रहता है,लेकिन अंदर का आवेश घनत्व शून्य नहीं होता है।

(A) जब एक धनात्मक आवेश $q$ को एक उदासीन चालक खोल की गुहा के अंदर रखा जाता है,तो यह खोल की आंतरिक सतह पर $-q$ आवेश प्रेरित करता है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि चालक पदार्थ के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य है। चूंकि खोल उदासीन है,इसलिए खोल की बाहरी सतह पर $+q$ आवेश दिखाई देना चाहिए। आवेश का वितरण आंतरिक और बाहरी दोनों सतहों पर समान होगा,सिवाय गैप के पास। चालक के पदार्थ के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए,जो इस वितरण द्वारा संतुष्ट होता है। सही निरूपण चित्र में दिखाया गया है,जहां आंतरिक सतह पर ऋणात्मक आवेश और बाहरी सतह पर धनात्मक आवेश है।

(C) जब एक धात्विक गोले को बाहरी विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो धातु में मौजूद मुक्त इलेक्ट्रॉन खुद को इस तरह पुनर्वितरित करते हैं कि चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है।
विद्युत क्षेत्र रेखाएं संपर्क के प्रत्येक बिंदु पर चालक की सतह के लंबवत होनी चाहिए।
जैसे-जैसे क्षेत्र रेखाएं धात्विक गोले के पास पहुंचती हैं,वे गोले की सतह के लंबवत (परपेंडिकुलर) होने के लिए मुड़ जाती हैं।
गोले से गुजरने के बाद,वे दूसरी तरफ से बाहर निकलती हैं,और फिर से सतह के लंबवत रहती हैं।
विकल्प $(c)$ सही ढंग से दिखाता है कि क्षेत्र रेखाएं धात्विक गोले की सतह से लंबवत मिलने के लिए मुड़ती हैं और दूसरी तरफ से लंबवत बाहर निकलती हैं,जबकि गोले से दूर एक समान क्षेत्र पैटर्न बनाए रखती हैं।
इसलिए,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$ सूत्र $\phi = E A \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के बीच का कोण है।
यहाँ,सतह विद्युत क्षेत्र के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है। क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ सतह के लंबवत होता है। इसलिए,क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ होगा।
क्षेत्रफल $A = 10 \,cm \times 15 \,cm = 0.1 \,m \times 0.15 \,m = 0.015 \,m^2$.
विद्युत क्षेत्र $E = 25 \,V/m$.
फ्लक्स $\phi = E A \cos 60^{\circ} = 25 \times 0.015 \times 0.5 = 0.1875 \,Nm^2/C$.

(A) विद्युत फ्लक्स $\phi$ विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है $\vec{E} = 10 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$।
सतह $yz$-तल में स्थित है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ $x$-अक्ष की दिशा में ($yz$-तल के लंबवत) होगा।
अतः,$\vec{A} = 10 \hat{i}$।
विद्युत फ्लक्स $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = (10 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot (10 \hat{i})$।
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{i} \cdot \hat{k} = 0$ होता है,इसलिए $\phi = 10 \times 10 = 100 \text{ units}$ प्राप्त होता है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ घिरा हुआ आवेश है और $\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता (permittivity) है।
यहाँ विद्युत बल रेखाओं की संख्या (विद्युत फ्लक्स) $\phi = 1000$ दी गई है।
$\varepsilon_0$ का मान $8.854 \times 10^{-12} \, C^2 N^{-1} m^{-2}$ होता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$1000 = \frac{q}{8.854 \times 10^{-12}}$
$q = 1000 \times 8.854 \times 10^{-12}$
$q = 8.854 \times 10^{-9} \, C$.

(B) $(i)$ विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से निकलती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं। दिए गए चित्र में,क्षेत्र रेखाएं $q_1$ और $q_2$ दोनों से दूर जा रही हैं,जो यह दर्शाता है कि दोनों आवेश धनात्मक हैं।
$(ii)$ आवेश का परिमाण उससे निकलने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या के समानुपाती होता है। रेखाओं को गिनने पर,हम देखते हैं कि $q_2$ की तुलना में $q_1$ से अधिक क्षेत्र रेखाएं निकल रही हैं। इसलिए,$q_1$ का परिमाण $q_2$ के परिमाण से अधिक है,अर्थात $q_1 > q_2$।

(A) किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$ विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा परिभाषित होता है।
दिया गया है $\vec{E} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ और $\vec{A} = \pi R^2 \hat{i}$।
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = (a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}) \cdot (\pi R^2 \hat{i})$।
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,और $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\phi = a \cdot \pi R^2 = a \pi R^2$।

(A) $r$ त्रिज्या और $L$ लंबाई वाले बेलन की वक्र सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = E \times A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ वक्र सतह का क्षेत्रफल है।
वक्र सतह का क्षेत्रफल $A = 2 \pi r L$ है।
दिया गया है: $E = 250 \,NC^{-1}$,$r = 7 \,cm = 0.07 \,m$,और $L = 1 \,m$.
मान रखने पर:
$\phi = 250 \times (2 \times \pi \times 0.07 \times 1)$
$\phi = 250 \times (0.14 \pi)$
$\phi = 35 \pi$
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर:
$\phi \approx 35 \times 3.14159 \approx 109.95 \,Nm^2C^{-1}$
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\phi \approx 1.1 \times 10^2 \,Nm^2C^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$,सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश और मुक्त आकाश की विद्युतशीलता $\epsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है,अर्थात $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$।
जब एक आवेशित पिंड को धात्विक पात्र के अंदर रखा जाता है,तो पूरे पात्र को घेरने वाली गॉसियन सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश,पिंड के मूल आवेश के बराबर ही रहता है (स्थिर-विद्युत प्रेरण के कारण,धात्विक पात्र की आंतरिक और बाहरी सतहों पर समान और विपरीत आवेश प्रेरित होते हैं,जिससे बाहरी गॉसियन सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश मूल आवेश $q$ के बराबर ही रहता है)।
चूंकि परिबद्ध कुल आवेश समान रहता है,इसलिए पात्र के बाहर गॉसियन सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$ भी $\phi$ के बराबर ही रहेगा।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रश्न में,$q = 1 \,C$ का आवेश गोले और घन दोनों के अंदर स्थित है।
चूंकि दोनों सतहों द्वारा परिबद्ध आवेश समान है,इसलिए दोनों सतहों से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स समान होगा।
अतः,गोले से बाहर निकलने वाले फ्लक्स और घन से बाहर निकलने वाले फ्लक्स का अनुपात $\frac{\phi_{sphere}}{\phi_{cube}} = \frac{q/\epsilon_0}{q/\epsilon_0} = 1$ होगा।

(A) विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ को विद्युत क्षेत्र $E$ और क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\phi_E = E \cdot A$ द्वारा दिया जाता है।
विद्युत क्षेत्र $E$ का मात्रक $N/C$ या $V/m$ है। बल का विमीय सूत्र $[MLT^{-2}]$ है और आवेश का विमीय सूत्र $[IT]$ है।
अतः,विद्युत क्षेत्र $E$ की विमा $E = \frac{[MLT^{-2}]}{[IT]} = [MLT^{-3} I^{-1}]$ होती है।
क्षेत्रफल $A$ की विमा $[L^2]$ है।
इसलिए,विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ के लिए विमीय सूत्र $\phi_E = [MLT^{-3} I^{-1}] \times [L^2] = [ML^3 T^{-3} I^{-1}]$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $A$ है।

(D) किसी सतह से गुजरने वाला फ्लक्स उस सतह द्वारा आवेश की स्थिति पर अंतरित ठोस कोण (solid angle) पर निर्भर करता है।
$b$ भुजा वाले वर्ग के लिए,जिसके केंद्र से $d = h/4$ ऊँचाई पर $q$ आवेश है,वर्ग द्वारा अंतरित ठोस कोण $\Omega = 4 \arcsin \left( \frac{b^2}{b^2 + 4d^2} \right)$ है।
फ्लक्स $\phi = \frac{q \Omega}{4\pi \epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ ठोस कोण $\Omega$ भुजा की लंबाई $b$ और ऊँचाई $d$ के अनुपात पर निर्भर करता है,इसलिए फ्लक्स भुजा की लंबाई $b$ पर निर्भर करता है। अतः,$Assertion$ असत्य है।
गॉस का नियम बताता है कि एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $q_{enclosed} / \epsilon_0$ होता है,जो गॉसियन सतह के आकार या माप से स्वतंत्र होता है। अतः,$Reason$ सत्य है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 4000 x^2 \hat{i} \text{ V/m}$ है। घन से गुजरने वाला फ्लक्स केवल $x$-अक्ष के लंबवत फलकों से ही प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर स्थित फलक के लिए,फ्लक्स $\phi_1 = \vec{E} \cdot \vec{A} = (4000(0)^2 \hat{i}) \cdot (-A \hat{i}) = 0$ है।
$x = 0.2 \text{ m}$ पर स्थित फलक के लिए,फ्लक्स $\phi_2 = \vec{E} \cdot \vec{A} = (4000(0.2)^2 \hat{i}) \cdot (A \hat{i}) = 4000 \times 0.04 \times (0.2 \times 0.2) = 160 \times 0.04 = 6.4 \text{ V m}$ है।
इसे $\text{V cm}$ में बदलने पर: $6.4 \text{ V m} = 6.4 \times 100 \text{ V cm} = 640 \text{ V cm}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया व्यंजक $\oint_s \vec{E} \cdot \overrightarrow{d S} = 0$ एक बंद सतह से गुजरने वाले कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$ को दर्शाता है।
गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता के अनुपात के बराबर होता है,$\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$।
चूंकि कुल फ्लक्स शून्य है,इसलिए सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश शून्य होना चाहिए $(q_{\text{enclosed}} = 0)$।
इसका अर्थ यह है कि सतह में प्रवेश करने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या सतह से बाहर निकलने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या के बिल्कुल बराबर है,जिसके परिणामस्वरूप शुद्ध फ्लक्स शून्य हो जाता है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{\text{enclosed}}$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
गोले की त्रिज्या $4 a$ है और इसका केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
$5 Q$ आवेश $(3 a, 0)$ पर स्थित है। चूंकि मूल बिंदु से इसकी दूरी $3 a < 4 a$ है,इसलिए यह आवेश गोले के अंदर है।
$-2 Q$ आवेश $(-5 a, 0)$ पर स्थित है। चूंकि मूल बिंदु से इसकी दूरी $5 a > 4 a$ है,इसलिए यह आवेश गोले के बाहर है।
अतः,गोले द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $q_{\text{enclosed}} = 5 Q$ है।
गॉस के नियम में इस मान को रखने पर,हमें $\phi = \frac{5 Q}{\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(C) किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
$\vec{E} = (6 \hat{i} + 5 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ N/C$
$\vec{A} = 30 \hat{i} \ m^2$
सूत्र $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$ का उपयोग करते हुए:
$\phi = (6 \hat{i} + 5 \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (30 \hat{i})$
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,और $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$:
$\phi = 6 \times 30 = 180 \ N \cdot m^2/C$
अतः,विद्युत फ्लक्स $180 \ N \cdot m^2/C$ है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
छोटे घन $C_1$ के लिए,परिबद्ध आवेश $q_1 = 2Q$ है। अतः,$C_1$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_1 = \frac{2Q}{\epsilon_0}$ है।
बड़े घन $C_2$ के लिए,इसके अंदर का कुल परिबद्ध आवेश $q_2 = 2Q + 3Q = 5Q$ है। अतः,$C_2$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_2 = \frac{5Q}{\epsilon_0}$ है।
$C_1$ और $C_2$ से गुजरने वाले विद्युत फ्लक्स का अनुपात $\frac{\phi_1}{\phi_2} = \frac{2Q/\epsilon_0}{5Q/\epsilon_0} = \frac{2}{5}$ है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ होता है।
जब आवेश $q$ को घन के एक फलक पर रखा जाता है,तो घन से गुजरने वाले फ्लक्स की गणना करने के लिए,हम पहले घन के ऊपर एक समान दूसरा घन इस प्रकार रखते हैं कि आवेश $q$ अब दो घनों द्वारा निर्मित बंद गॉसियन सतह के केंद्र में आ जाए।
इस संयुक्त गॉसियन सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ है।
चूंकि आवेश दोनों घनों के बीच सममित रूप से रखा गया है,इसलिए प्रत्येक घन से गुजरने वाला फ्लक्स समान होगा।
अतः,एक घन से संबद्ध फ्लक्स $\phi = \frac{1}{2} \phi_{total} = \frac{q}{2 \epsilon_0}$ होगा।