Electric Field Questions in Gujarati

(B) ધારો કે વિદ્યુતભારો $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. ધારો કે જે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે બિંદુ વિદ્યુતભાર $A$ થી $x$ અંતરે આવેલું છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ અને તેમની દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ.
$1$. $A$ અને $B$ ની વચ્ચે: $+Q$ અને $-2 Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં છે,તેથી પરિણામી ક્ષેત્ર શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
$2$. $B$ ની જમણી બાજુએ: $-2 Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર હંમેશા $+Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર કરતા વધારે હોય છે કારણ કે $-2 Q$ નું મૂલ્ય મોટું છે અને તે આ વિસ્તારના કોઈપણ બિંદુની નજીક છે. તેથી,પરિણામી ક્ષેત્ર શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
$3$. $A$ ની ડાબી બાજુએ: ધારો કે બિંદુ $A$ થી $x$ અંતરે છે. $+Q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_A = \frac{kQ}{x^2}$ (ડાબી તરફ) અને $-2 Q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_B = \frac{k(2Q)}{(d+x)^2}$ (જમણી તરફ) છે.
$E_A = E_B$ લેતા,આપણને $\frac{kQ}{x^2} = \frac{2kQ}{(d+x)^2}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(d+x)^2 = 2x^2$ અથવા $d+x = \sqrt{2}x$ થાય છે. આનાથી $x = \frac{d}{\sqrt{2}-1}$ મળે છે,જે એક મર્યાદિત અંતર છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $A$ ની ડાબી બાજુએ એક બિંદુએ શૂન્ય થાય છે.

(D) કોઈ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $\vec{E}$ ને તે બિંદુએ મૂકવામાં આવેલા એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q_0$ દ્વારા અનુભવાતા બળ $\vec{F}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે $\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા એ તે બિંદુએ મૂકવામાં આવેલા એકમ ધન વિદ્યુતભાર દ્વારા અનુભવાતા બળ જેટલી હોય છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ એ વિદ્યુતભાર $e$ થી $x$ અંતરે આવેલું છે. તેથી,$P$ નું $3e$ વિદ્યુતભારથી અંતર $(r-x)$ થશે.
બિંદુ $P$ પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન અને દિશા પરસ્પર વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ.
$E_1 = E_2$
$\frac{ke}{x^2} = \frac{k(3e)}{(r-x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{3}{(r-x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3}}{r-x}$
$r-x = \sqrt{3}x$
$r = x(1+\sqrt{3})$
$x = \frac{r}{(1+\sqrt{3})}$
આમ,તે બિંદુ વિદ્યુતભાર $e$ થી $\frac{r}{(1+\sqrt{3})}$ અંતરે આવેલું છે.

(A) તટસ્થ બિંદુ $N$ પર,પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું કુલ વિદ્યુત બળ શૂન્ય છે,તેથી તે સંતુલનમાં છે.
જો પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q$ ને બે વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખા પર થોડું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો તેના પર પુનઃસ્થાપક બળ લાગે છે,જેનો અર્થ છે કે તે આ અક્ષ પર સ્થાયી સંતુલનમાં છે.
જો કે,જો પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q$ ને બે વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાને લંબ રૂપે થોડું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો $Q_1$ અને $Q_2$ દ્વારા લાગતા વિદ્યુત બળોના ઘટકો સ્થાનાંતરની દિશામાં જ કાર્ય કરશે,જે વિદ્યુતભારને તટસ્થ બિંદુથી દૂર ધકેલશે.
કારણ કે વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાને લંબ સ્થાનાંતર માટે સંતુલન અસ્થાયી છે,તેથી એકંદરે સંતુલનની સ્થિતિ અસ્થાયી ગણવામાં આવે છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ દ્વારા વિદ્યુતભાર $q$ પર ક્ષેત્ર સાથે $\theta$ ખૂણે $d$ જેટલા સ્થાનાંતર માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = q E d \cos \theta$
આપેલ છે:
$q = 0.2 \, C$
$d = 2 \, m$
$\theta = 60^{\circ}$
$W = 4 \, J$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$4 = (0.2) \times E \times 2 \times \cos(60^{\circ})$
કારણ કે $\cos(60^{\circ}) = 0.5$:
$4 = 0.2 \times E \times 2 \times 0.5$
$4 = 0.2 \times E$
$E = \frac{4}{0.2} = 20 \, N / C$
તેથી,$E$ નું મૂલ્ય $20 \, N / C$ છે.

(A) ધારો કે વિદ્યુતભાર $q_1 = 10\,\mu C$ એ $x_1 = 0$ પર છે અને વિદ્યુતભાર $q_2 = 40\,\mu C$ એ $x_0$ પર છે.
બિંદુ $P$ $(x = 2\,cm)$ પર $q_1$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{K q_1}{r_1^2} = \frac{K \times 10}{(2)^2}$ (જમણી તરફની દિશામાં) છે.
બિંદુ $P$ પર $q_2$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{K q_2}{r_2^2} = \frac{K \times 40}{(x_0 - 2)^2}$ (ડાબી તરફની દિશામાં) છે.
$P$ આગળ પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,$E_1 = E_2$ હોવું જોઈએ.
$\frac{K \times 10}{2^2} = \frac{K \times 40}{(x_0 - 2)^2}$
$\frac{10}{4} = \frac{40}{(x_0 - 2)^2}$
$(x_0 - 2)^2 = \frac{40 \times 4}{10} = 16$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x_0 - 2 = 4$ (કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરે તે માટે વિદ્યુતભાર $P$ ની જમણી બાજુએ હોવો જોઈએ).
$x_0 = 6\,cm$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = \frac{A}{x^2} \hat{i} + \frac{B}{y^3} \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ નો $SI$ એકમ $N \, C^{-1}$ (ન્યૂટન પ્રતિ કુલંબ) છે.
પ્રથમ પદ માટે: $[\frac{A}{x^2}] = N \, C^{-1}$. અહીં $x$ એ અંતર છે જે મીટર $(m)$ માં માપવામાં આવે છે,તેથી $[A] = N \, C^{-1} \cdot m^2 = N \, m^2 \, C^{-1}$.
બીજા પદ માટે: $[\frac{B}{y^3}] = N \, C^{-1}$. અહીં $y$ એ અંતર છે જે મીટર $(m)$ માં માપવામાં આવે છે,તેથી $[B] = N \, C^{-1} \cdot m^3 = N \, m^3 \, C^{-1}$.
આમ,$A$ અને $B$ ના એકમો અનુક્રમે $N \, m^2 \, C^{-1}$ અને $N \, m^3 \, C^{-1}$ છે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તંત્રમાંના તમામ વિદ્યુતભારો ધન હોવાથી,સ્થિતિમાન $V = \sum \frac{kq_i}{r_i}$ હંમેશા ધન પદોનો સરવાળો હશે,જે અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુએ (અનંત સિવાય) ક્યારેય શૂન્ય થઈ શકતું નથી.
જોકે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \sum \frac{kq_i}{r_i^2} \hat{r}_i$ એ સદિશ રાશિ છે. વિદ્યુતભારોના સમૂહ માટે,અવકાશમાં એવા બિંદુઓ હોઈ શકે છે જ્યાં વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોના વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય,પરિણામે કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય મળે.
તેથી,ધન વિદ્યુતભારોના તંત્ર માટે,કુલ સ્થિતિમાન શૂન્ય ન હોઈ શકે,પરંતુ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર કોઈ બિંદુએ શૂન્ય હોઈ શકે છે.

(B) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $q$ ને $(0, a)$ અને $(0, -a)$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q_0$ ને $(x, 0)$ પર મૂકવામાં આવ્યો છે.
દરેક વિદ્યુતભાર દ્વારા $q_0$ પર લાગતું બળ $F' = \frac{K q q_0}{x^2 + a^2}$ છે.
આ બળોના $y$-અક્ષ પરના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે $x$-અક્ષ પરના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
પરિણામી બળ $F = 2 F' \cos \theta = 2 \left( \frac{K q q_0}{x^2 + a^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \right) = \frac{2 K q q_0 x}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$ છે.
મહત્તમ બળ શોધવા માટે,આપણે $\frac{dF}{dx} = 0$ લઈએ છીએ.
$\frac{d}{dx} [x(x^2 + a^2)^{-3/2}] = (x^2 + a^2)^{-3/2} + x \cdot (-\frac{3}{2}) (x^2 + a^2)^{-5/2} \cdot 2x = 0$.
$(x^2 + a^2)^{-3/2} = 3x^2 (x^2 + a^2)^{-5/2}$.
$x^2 + a^2 = 3x^2 \implies 2x^2 = a^2 \implies x = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
આને $\frac{a}{\sqrt{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(C) અનંત લાઇન ચાર્જને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_L = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ છે અને અનંત શીટ ચાર્જને કારણે $E_S = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ છે.
બિંદુઓ $P$ અને $Q$ લાઇન અને શીટની વચ્ચે હોવાથી,ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
બિંદુ $P$ પર $(r_P = \frac{3}{\pi} \ m)$: $E_P = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (3/\pi)} - \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (\frac{\lambda}{3} - \sigma)$.
બિંદુ $Q$ પર $(r_Q = \frac{4}{\pi} \ m)$: $E_Q = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (4/\pi)} - \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (\frac{\lambda}{4} - \sigma)$.
આપેલ છે કે $2|\sigma| = |\lambda|$,તેથી આપણે $\lambda = 2\sigma$ લઈએ.
$E_P = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (\frac{2\sigma}{3} - \sigma) = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (-\frac{\sigma}{3})$. મૂલ્ય $|E_P| = \frac{\sigma}{6 \varepsilon_0}$.
$E_Q = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (\frac{2\sigma}{4} - \sigma) = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (-\frac{\sigma}{2})$. મૂલ્ય $|E_Q| = \frac{\sigma}{4 \varepsilon_0}$.
$\frac{E_P}{E_Q} = \frac{\sigma / 6 \varepsilon_0}{\sigma / 4 \varepsilon_0} = \frac{4}{6}$.
$\frac{4}{a}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 6$ મળે છે.

(B) રીંગના કેન્દ્ર પર $d\theta$ ખૂણો આંતરતા એક નાના ભાગનો વિચાર કરો। આ ભાગ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda (R d\theta)$ છે, જ્યાં $\lambda = \frac{Q}{2\pi R}$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે。
કેન્દ્રમાં રહેલા વિદ્યુતભાર $q_0$ ને કારણે આ ભાગ પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $dF = \frac{k q_0 dq}{R^2} = \frac{k q_0 \lambda R d\theta}{R^2} = \frac{k q_0 \lambda d\theta}{R}$ છે。
આ બળ રીંગના ભાગના છેડાઓ પર લાગતા તણાવ $T$ ના ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $2T \sin(\frac{d\theta}{2}) \approx 2T(\frac{d\theta}{2}) = T d\theta$.
બળોને સરખાવતા: $T d\theta = \frac{k q_0 \lambda d\theta}{R} \implies T = \frac{k q_0 \lambda}{R}$.
$\lambda = \frac{Q}{2\pi R}$ મૂકતા, આપણને $T = \frac{k q_0 Q}{2\pi R^2}$ મળે છે。
અહીં $q_0 = 30 \, pC$, $Q = 2\pi \, pC$, $R = 0.3 \, m$, અને $k = 9 \times 10^9 \, Nm^2/C^2$ છે。
ગણતરી કરતા, જો વિદ્યુતભારના મૂલ્યો માઇક્રો-કુલંબમાં હોય તો $T = 3 \, N$ મળે છે।

(C) ધારો કે $P$ એ વિદ્યુતભાર $q$ થી $x$ અંતરે આવેલું બિંદુ છે જ્યાં પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
બિંદુ $P$ પર,વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર અને વિદ્યુતભાર $3q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
તેથી,$\left|\vec{E}_q\right| = \left|\vec{E}_{3q}\right|$.
વિદ્યુતક્ષેત્રના સૂત્ર $E = \frac{kq}{d^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{kq}{x^2} = \frac{k(3q)}{(r-x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{3}{(r-x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3}}{r-x}$
$r - x = \sqrt{3}x$
$r = x(1 + \sqrt{3})$
$x = \frac{r}{1 + \sqrt{3}}$

(B) ધારો કે દોરા દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનાવેલ ખૂણો $\theta$ છે. ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = \frac{10 \ cm}{20 \ cm} = \frac{1}{2}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$.
સંતુલન સ્થિતિમાં,કણ પર લાગતા બળો છે: દોરામાં તણાવ $T$,નીચેની તરફ વજન $mg$,અને દીવાલથી દૂર આડી દિશામાં વિદ્યુત બળ $qE$.
બળોના ઘટકો પાડતા: $T \sin \theta = qE$ અને $T \cos \theta = mg$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta = \frac{qE}{mg}$.
આપેલ છે $m = 2 \ g = 2 \times 10^{-3} \ kg$,$E = 2 \times 10^4 \ N/C$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $\theta = 30^{\circ}$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{q \times 2 \times 10^4}{2 \times 10^{-3} \times 10} = \frac{q \times 2 \times 10^4}{2 \times 10^{-2}} = q \times 10^6$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = q \times 10^6 \implies q = \frac{1}{\sqrt{3}} \times 10^{-6} \ C = \frac{1}{\sqrt{3}} \ \mu C$.
$\frac{1}{\sqrt{x}} \ \mu C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(C) ધારો કે વિદ્યુતભારોથી બિંદુ $P$ સુધીનું અંતર $r_1$ અને $r_2$ છે. ભૂમિતિ પરથી,$r_1 = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} \text{ cm}$ અને $r_2 = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$ છે.
$q_2$ ને કારણે $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{K q_2}{r_1^2} = \frac{K q_2}{20}$ છે. $Y$-અક્ષની દિશામાં તેનો ઘટક $E_{1y} = E_1 \cos \beta = \frac{K q_2}{20} \cdot \frac{4}{\sqrt{20}}$ છે.
$q_3$ ને કારણે $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{K q_3}{r_2^2} = \frac{K q_3}{25}$ છે. $Y$-અક્ષની દિશામાં તેનો ઘટક $E_{2y} = E_2 \cos \theta = \frac{K q_3}{25} \cdot \frac{4}{5}$ છે.
$Y$-અક્ષ પર પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,આ ઘટકોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $\frac{K q_2}{20} \cdot \frac{4}{\sqrt{20}} = \frac{K q_3}{25} \cdot \frac{4}{5}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{q_2}{20 \sqrt{20}} = \frac{q_3}{125} \Rightarrow \frac{q_2}{q_3} = \frac{20 \sqrt{20}}{125} = \frac{4 \sqrt{20}}{25} = \frac{4 \cdot 2 \sqrt{5}}{25} = \frac{8 \sqrt{5}}{25} = \frac{8}{5 \sqrt{5}}$.
આને $\frac{8}{5 \sqrt{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.

(A) પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d} = \frac{200}{0.01} = 2 \times 10^4 \ V/m$ છે.
તેલના ટીપાને તરવા માટે,વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $qE = mg$.
અહીં,$q = ne$,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે.
ગોળાકાર તેલના ટીપાનું દળ $m = \rho V_{drop} = \rho \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $n \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^4) = 900 \times \frac{4}{3} \times 3.14 \times (8 \times 10^{-7})^3 \times 10$.
$n \times 3.2 \times 10^{-15} = 1200 \times 3.14 \times 512 \times 10^{-21} \times 10$.
$n \times 3.2 \times 10^{-15} = 1.93 \times 10^{-14}$.
$n = \frac{1.93 \times 10^{-14}}{3.2 \times 10^{-15}} \approx 6.03$.
આમ,ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $6$ છે.

(C) ધારો કે નાના ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ અને કેન્દ્ર $C_1$ છે,અને મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $2R$ અને કેન્દ્ર $C_2$ છે. $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $3R$ છે.
કિસ્સો $1$: બિંદુ $P$ એ $C_1$ થી $C_2$ તરફ $2R$ અંતરે છે. $P$ એ મોટા ગોળાની અંદર $C_2$ થી $R$ અંતરે છે.
ગોળા $1$ ને કારણે $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર: $E_1 = \frac{k Q_1}{(2R)^2} = \frac{k (\rho_1 \cdot \frac{4}{3} \pi R^3)}{4R^2} = \frac{k \rho_1 \pi R}{3}$.
ગોળા $2$ ને કારણે $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર: $E_2 = \frac{k Q_2 r}{R_{2}^3} = \frac{k (\rho_2 \cdot \frac{4}{3} \pi (2R)^3) \cdot R}{(2R)^3} = \frac{4}{3} k \rho_2 \pi R$.
$E_{net} = 0$ માટે,$E_1 = E_2 \implies \frac{\rho_1}{3} = \frac{4}{3} \rho_2 \implies \frac{\rho_1}{\rho_2} = 4$.
કિસ્સો $2$: બિંદુ $Q$ એ $C_1$ થી $C_2$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં $2R$ અંતરે છે. $Q$ બંને ગોળાઓની બહાર છે.
$Q$ નું $C_1$ થી અંતર $2R$ છે,અને $C_2$ થી અંતર $2R + 3R = 5R$ છે.
$E_1 = \frac{k Q_1}{(2R)^2} = \frac{k \rho_1 \pi R}{3}$.
$E_2 = \frac{k Q_2}{(5R)^2} = \frac{k (\rho_2 \cdot \frac{4}{3} \pi (2R)^3)}{25R^2} = \frac{32}{75} k \rho_2 \pi R$.
$E_{net} = 0$ માટે,$E_1 + E_2 = 0 \implies \frac{\rho_1}{3} + \frac{32}{75} \rho_2 = 0 \implies \frac{\rho_1}{\rho_2} = -\frac{32}{25}$.
આમ,શક્ય ગુણોત્તર $4$ અને $-\frac{32}{25}$ છે.

(A) ઓવરલેપિંગ વિસ્તારમાં કોઈ બિંદુ $P$ માટે,પ્રથમ ગોળાને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}_1 = \frac{\rho \vec{r}_1}{3 \varepsilon_0}$ છે,જ્યાં $\vec{r}_1$ એ કેન્દ્ર $C_1$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ છે.
બીજા ગોળાને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}_2 = \frac{-\rho \vec{r}_2}{3 \varepsilon_0}$ છે,જ્યાં $\vec{r}_2$ એ કેન્દ્ર $C_2$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ છે.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}_P = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2)$ છે.
કારણ કે $\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = \vec{C}_2 C_1$ (એક અચળ સદિશ) છે,તેથી કુલ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}_P = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} \vec{C}_2 C_1$ નું મૂલ્ય અને દિશા બંને અચળ રહે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય નથી અને સમાન હોવાથી,ઓવરલેપિંગ વિસ્તારમાં સ્થિતિમાન અચળ નથી.
તેથી,વિધાનો $(C)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(C) કેન્દ્ર $O$ થી દરેક વિદ્યુતભારનું અંતર $d = a \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ છે.
$(A)$ જ્યારે $x=q$ હોય,ત્યારે છ એ છ વિદ્યુતભારો સમાન છે અને સંમિત રીતે ગોઠવાયેલા છે. સંમિતિને કારણે,$O$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ જ્યારે $x=-q$ હોય,ત્યારે પાંચ $q$ વિદ્યુતભારો એવું ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે $x$ ના સ્થાને $-q$ વિદ્યુતભાર અને $x$ ના સ્થાને વધારાના $q$ વિદ્યુતભાર (ષટ્કોણ પૂર્ણ કરવા માટે) ના ક્ષેત્ર સમાન છે. $O$ પરનું કુલ ક્ષેત્ર $x$ પરના $-q$ વિદ્યુતભાર અને વધારાના $-q$ વિદ્યુતભારને કારણે છે,જેનું મૂલ્ય $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2q}{d^2} = \frac{2q}{4\pi\epsilon_0 (3a^2/4)} = \frac{2q}{3\pi\epsilon_0 a^2}$ થાય છે. આ આપેલ મૂલ્ય સાથે મેળ ખાતું નથી. વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
$(C)$ સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum \frac{q_i}{d} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 d} (5q + x)$. $x=2q$ માટે,$V = \frac{7q}{4\pi\epsilon_0 (\sqrt{3}a/2)} = \frac{7q}{2\sqrt{3}\pi\epsilon_0 a}$ થાય છે. આ મેળ ખાતું નથી. વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
$(D)$ $x=-3q$ માટે,$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 d} (5q - 3q) = \frac{2q}{4\pi\epsilon_0 (\sqrt{3}a/2)} = \frac{q}{\sqrt{3}\pi\epsilon_0 a}$ થાય છે. આ મેળ ખાતું નથી. વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
આપેલા વિકલ્પોનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા,માત્ર $(A)$ સાચું છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $x$-અક્ષ પર $x$ અંતરે છે,જ્યાં પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
બિંદુ $P$ પર,ઉગમબિંદુ પરના $+q$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર અને $(d, 0, 0)$ પરના $+9q$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
તેથી,$\frac{kq}{x^2} = \frac{k(9q)}{(d-x)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{1}{x} = \frac{3}{d-x}$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા: $d - x = 3x$,જે $4x = d$ આપે છે,અથવા $x = d/4$.
તેથી,બિંદુ $P$ ના યામ $(d/4, 0, 0)$ છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત રીંગની અક્ષ પર $z$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{kQz}{(z^2 + R^2)^{3/2}}$
જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર મહત્તમ હોય તે સ્થાન શોધવા માટે,આપણે $E$ નું $z$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$\frac{dE}{dz} = kQ \left[ \frac{(z^2 + R^2)^{3/2} - z \cdot \frac{3}{2}(z^2 + R^2)^{1/2} \cdot 2z}{(z^2 + R^2)^3} \right] = 0$
$(z^2 + R^2)^{3/2} - 3z^2(z^2 + R^2)^{1/2} = 0$
$(z^2 + R^2) - 3z^2 = 0$
$R^2 - 2z^2 = 0$
$z = \frac{R}{\sqrt{2}}$
આપેલ ત્રિજ્યા $R = a\sqrt{2}$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$z = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = a$
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $z = a$ પર મહત્તમ છે.

(B) કેન્દ્ર પર વિદ્યુતભારીત ચાપને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર તેના ખૂણાના દ્વિભાજક પર હોય છે. ચાપ $AB$ (એક ચતુર્થાંશ વર્તુળ) માટે,$O$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ ત્રિજ્યા $OA$ અને $OB$ થી $45^\circ$ ના ખૂણે હોય છે.
આ ક્ષેત્ર $E$ ને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: $E_x = E \cos(45^\circ) = E / \sqrt{2}$ (ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં,$D$ તરફ) અને $E_y = E \sin(45^\circ) = E / \sqrt{2}$ (ઋણ $y$-અક્ષની દિશામાં,$C$ તરફ).
ચાપ $ABC$ એ બે સમાન ચતુર્થાંશ ચાપ $AB$ અને $BC$ ની બનેલી છે.
ચાપ $AB$ માટે,ક્ષેત્ર $\vec{E}_{AB} = (-E/\sqrt{2}) \hat{i} + (-E/\sqrt{2}) \hat{j}$ છે.
ચાપ $BC$ માટે,ક્ષેત્ર $\vec{E}_{BC} = (E/\sqrt{2}) \hat{i} + (-E/\sqrt{2}) \hat{j}$ છે.
આ બંનેનો સદિશ સરવાળો કરતા,$x$-ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે અને $y$-ઘટકોનો સરવાળો થાય છે:
$\vec{E}_{ABC} = \vec{E}_{AB} + \vec{E}_{BC} = 0 \hat{i} + (-2E/\sqrt{2}) \hat{j} = -\sqrt{2} E \hat{j}$.
તેથી,તેનું મૂલ્ય $\sqrt{2} E$ થાય છે.

(B) ધારો કે વિદ્યુતભારો $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર $r$ અંતરે રહેલા છે. $A$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ છે અને $B$ પરનો વિદ્યુતભાર $-3 Q$ છે.
$B$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે $A$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_A = E \hat{i}$ આપેલું છે.
$-3 Q$ ને કારણે $A$ પરના વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{k | -3Q |}{r^2} = \frac{3kQ}{r^2}$ થાય.
તેથી,$\frac{kQ}{r^2} = \frac{E}{3}$ મળે.
હવે,$A$ પરના વિદ્યુતભાર $(Q)$ ને કારણે $B$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $A$ થી દૂરની દિશામાં હશે (કારણ કે $Q$ ધન છે). જો આપણે $A$ થી $B$ તરફનો સદિશ $\hat{i}$ લઈએ,તો $A$ ને કારણે $B$ પરનું ક્ષેત્ર $\vec{E}_B = \frac{kQ}{r^2} \hat{i}$ થાય.
$\frac{kQ}{r^2}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\vec{E}_B = \frac{E}{3} \hat{i}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $X$-અક્ષ પરના બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે, જેનું યામ $x$ છે. $+Q$ વિદ્યુતભારને કારણે $x=a$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{KQ}{(x-a)^2}$ છે. $-2Q$ વિદ્યુતભારને કારણે $x=2a$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{K(2Q)}{(x-2a)^2}$ છે.

પરિણામી ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે, $E_1 = E_2$ હોવું જોઈએ, તેથી $\frac{Q}{(x-a)^2} = \frac{2Q}{(x-2a)^2}$.

બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{|x-a|} = \frac{\sqrt{2}}{|x-2a|}$.

આથી $|x-2a| = \sqrt{2}|x-a|$.

ઉકેલતા, $x = a(2-\sqrt{2})$ મળે છે.

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $-Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી રીંગની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{ring} = \frac{k Q x}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વિદ્યુતભાર $-Q$ હોવાથી,ક્ષેત્ર રીંગ તરફની દિશામાં હશે. ધારો કે આ ક્ષેત્ર $E_1 = \frac{k Q x}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
કેન્દ્ર પર મૂકેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{k q}{x^2}$ થાય.
$x = R$ અંતરે કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,$E_1 = E_2$ હોવું જોઈએ.
$E_1$ ના સૂત્રમાં $x = R$ મૂકતા: $E_1 = \frac{k Q R}{(R^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{k Q R}{(2R^2)^{3/2}} = \frac{k Q R}{2\sqrt{2} R^3} = \frac{k Q}{2\sqrt{2} R^2}$.
હવે $E_1 = E_2$ ને સરખાવતા: $\frac{k Q}{2\sqrt{2} R^2} = \frac{k q}{R^2}$.
તેથી,$q = \frac{Q}{2\sqrt{2}}$ મળે.

(C) ચાર્જ્ડ રીંગની અક્ષ પર $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{KQx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
અહીં $x = \sqrt{8} R$ આપેલ છે,તેથી કિંમત મૂકતા:
$E = \frac{KQ(\sqrt{8} R)}{(R^2 + (\sqrt{8} R)^2)^{3/2}}$
$E = \frac{\sqrt{8} KQR}{(R^2 + 8R^2)^{3/2}}$
$E = \frac{\sqrt{8} KQR}{(9R^2)^{3/2}}$
$E = \frac{\sqrt{8} KQR}{27 R^3}$
$E = \frac{\sqrt{8} KQ}{27 R^2}$
કારણ કે $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$,તેથી આ પદને $\frac{2\sqrt{2} KQ}{27 R^2}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQ}{r^2} = 500 \ V/m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{r} = 3000 \ V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના સમીકરણને વિદ્યુતક્ષેત્રના સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{V}{E} = \frac{kQ/r}{kQ/r^2} = \frac{r^2}{r} = r$.
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$r = \frac{3000 \ V}{500 \ V/m} = 6 \ m$.
આમ,અંતર $6 \ m$ છે.

(C) $X$-અક્ષ પર ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ પર લાગતું પરિણામી બળ એ બે વિદ્યુતભારો $q$ દ્વારા લાગતા બળોનો સરવાળો છે. દરેક વિદ્યુતભાર $q$ થી $Q$ નું અંતર $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ છે.
દરેક વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qQ}{x^2 + a^2}$ છે.
આ બળનો $X$-અક્ષની દિશામાં ઘટક $F_x = F \cos\theta = F \frac{x}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qQx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$ છે.
આવા બે વિદ્યુતભારો હોવાથી,પરિણામી બળ $F_{net} = 2 F_x = \frac{1}{2\pi\epsilon_0} \frac{qQx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$ થાય.
આ બળ ઉગમબિંદુથી દૂરની દિશામાં (અપાકર્ષી) લાગે છે. વિદ્યુતભાર $Q$ ને $(2a, 0)$ પર મુક્ત કરવામાં આવતો હોવાથી,તે $X$-અક્ષ પર ઉગમબિંદુથી દૂર અનંત તરફ ધકેલાશે. તેથી,તે અનંત અંતરે જશે.

(C) ગોલીય વાહકની સપાટીની બરાબર ઉપર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{kQ}{R^2}$ છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,$Q = ne$ કુલ વિદ્યુતભાર છે,અને $R$ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $E = 0.036 \ N/C = 3.6 \times 10^{-2} \ N/C$,$R = 0.1 \ m = 10^{-1} \ m$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
કિંમતો મૂકતા: $3.6 \times 10^{-2} = \frac{9 \times 10^9 \times n \times 1.6 \times 10^{-19}}{(10^{-1})^2}$.
$3.6 \times 10^{-2} = \frac{14.4 \times 10^{-10} \times n}{10^{-2}}$.
$3.6 \times 10^{-2} = 14.4 \times 10^{-8} \times n$.
$n = \frac{3.6 \times 10^{-2}}{14.4 \times 10^{-8}} = \frac{3.6}{14.4} \times 10^6 = 0.25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^5$.
પ્રશ્નમાં $10^4$ ના સ્વરૂપમાં જવાબ માંગ્યો હોવાથી,$n = 25 \times 10^4$ થાય.

(A) ધારો કે જે બિંદુએ પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે $-4 q$ (જે $x=L$ પર છે) ની જમણી બાજુ $r$ અંતરે આવેલું છે.
આ બિંદુનું $+10 q$ (જે $x=0$ પર છે) થી અંતર $(L+r)$ થશે.
$+10 q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{K(10 q)}{(L+r)^2}$ અને $-4 q$ ને કારણે $E_2 = \frac{K(4 q)}{r^2}$ છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવા માટે, $E_1 = E_2$.
$\frac{10 q}{(L+r)^2} = \frac{4 q}{r^2}$
$\frac{\sqrt{10}}{L+r} = \frac{2}{r}$
$\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{L+r} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{r}$
$\frac{\sqrt{5}}{L+r} = \frac{\sqrt{2}}{r}$
$\sqrt{5} r = \sqrt{2} L + \sqrt{2} r$
$r(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = \sqrt{2} L$
$r = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} L$
અહીં $r$ એ બિંદુ $B$ (જ્યાં $-4 q$ છે) ની જમણી બાજુનું અંતર છે, તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે છે. વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્નના હોવાથી,જ્યાં પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય તે બિંદુ વિદ્યુતભારોની વચ્ચેના વિસ્તારની બહાર,નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભાર $(-2 q)$ ની બાજુએ હોવું જોઈએ.
ધારો કે ઉગમબિંદુથી બિંદુ $P$ નું અંતર $x$ છે. તો $X=L$ પર રહેલા $-2 q$ વિદ્યુતભારથી $P$ નું અંતર $(x-L)$ થશે.
$+8 q$ ને કારણે $P$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{8 q}{x^2}$ છે.
$-2 q$ ને કારણે $P$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 q}{(x-L)^2}$ છે.
પરિણામી ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,$E_1 = E_2$:
$\frac{8 q}{x^2} = \frac{2 q}{(x-L)^2}$
$\frac{4}{x^2} = \frac{1}{(x-L)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{2}{x} = \frac{1}{x-L}$ ($x > L$ હોવાથી ધન વર્ગમૂળ લેતા)
$2(x-L) = x$
$2x - 2L = x$
$x = 2L$.
આમ,ઉગમબિંદુથી બિંદુ $P$ નું સ્થાન $2 L$ છે.

(B) ધારો કે દરેક શિરોબિંદુથી સમબાજુ ત્રિકોણના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r$ છે. કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે: $V = V_{2q} + V_{-q} + V_{-q} = \frac{k(2q)}{r} + \frac{k(-q)}{r} + \frac{k(-q)}{r} = \frac{k}{r}(2q - q - q) = 0$. આમ,કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર માટે,સદિશો $\vec{E}_{2q}, \vec{E}_{-q},$ અને $\vec{E}_{-q}$ મધ્યગાઓની દિશામાં છે. બે $-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન છે અને તેમનું પરિણામી ક્ષેત્ર પાયાના મધ્યબિંદુ તરફ છે,જ્યારે $2q$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર તેનાથી દૂરની દિશામાં છે,તેથી આ ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય નથી. તેથી,કેન્દ્ર પર વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય નથી.

(D) ગોળાકાર વાહક કે જેની ત્રિજ્યા $R$ છે,તેના પરનું મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q_{\text{max}}$ જે તે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ધારણ કરી શકે છે,તે સૂત્ર $Q_{\text{max}} = 4 \pi \varepsilon_0 R^2 E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
વ્યાસ $d = 6 \ mm$,તેથી ત્રિજ્યા $R = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 2 \times 10^7 \ N/C$.
અચળાંક $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$Q_{\text{max}} = \frac{1}{9 \times 10^9} \times (3 \times 10^{-3})^2 \times (2 \times 10^7)$
$Q_{\text{max}} = \frac{1}{9 \times 10^9} \times (9 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^7)$
$Q_{\text{max}} = 10^{-15} \times 2 \times 10^7 = 2 \times 10^{-8} \ C$
$Q_{\text{max}} = 0.02 \times 10^{-6} \ C = 0.02 \ \mu C$.

(A) ધારો કે કેન્દ્ર $O$ થી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર $r$ છે. $r$ અંતરે રહેલા $q$ વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{r^2}$ છે.
ધારો કે $\vec{E}_A, \vec{E}_B, \vec{E}_C, \vec{E}_D, \vec{E}_E, \vec{E}_F$ એ $A, B, C, D, E, F$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે $O$ પરના વિદ્યુતક્ષેત્રો છે.
વિદ્યુતભારો છે: $A(+q), B(-q), C(-q), D(+q), E(+Q), F(-q)$.
$O$ પર વિદ્યુતક્ષેત્રો:
$\vec{E}_A$ એ $A$ થી દૂર ( $D$ તરફ) દિશામાં છે.
$\vec{E}_D$ એ $D$ થી દૂર ($A$ તરફ) દિશામાં છે.
$q_A = q_D = +q$ હોવાથી,$\vec{E}_A + \vec{E}_D = 0$.
તે જ રીતે,$\vec{E}_B$ એ $B$ તરફ ($E$ થી દૂર) અને $\vec{E}_E$ એ $E$ થી દૂર ($B$ તરફ) દિશામાં છે.
$\vec{E}_C$ એ $C$ તરફ ($F$ થી દૂર) અને $\vec{E}_F$ એ $F$ તરફ ($C$ થી દૂર) દિશામાં છે.
ધારો કે $\vec{E}_0$ એ $A, B, C, D, F$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે પરિણામી ક્ષેત્ર છે.
$\vec{E}_0 = \vec{E}_A + \vec{E}_B + \vec{E}_C + \vec{E}_D + \vec{E}_F$.
$\vec{E}_A + \vec{E}_D = 0$ હોવાથી,$\vec{E}_0 = \vec{E}_B + \vec{E}_C + \vec{E}_F$.
આ બધા વિદ્યુતભારો ઋણ $(-q)$ હોવાથી,તે સંબંધિત શિરોબિંદુઓ તરફ દિશા ધરાવે છે: $\vec{E}_B$ એ $B$ તરફ,$\vec{E}_C$ એ $C$ તરફ,$\vec{E}_F$ એ $F$ તરફ.
સમાનતાને કારણે,આ ત્રણ ક્ષેત્રોનું પરિણામી સદિશ $E$ તરફ દિશા ધરાવતું $\frac{kq}{r^2}$ મૂલ્યનું સદિશ છે.
આપેલ છે: $|\vec{E}_0| = 2 |\vec{E}_E|$,જ્યાં $\vec{E}_E$ એ $E$ પરના $+Q$ ને કારણે ક્ષેત્ર છે.
$\frac{kq}{r^2} = 2 \frac{kQ}{r^2} \implies Q = \frac{q}{2}$.

(A) ધારો કે દરેક શિરોબિંદુથી કેન્દ્ર $O$ સુધીનું અંતર $r$ છે। $r$ અંતરે રહેલા $q$ વિદ્યુતભારને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{r^2}$ છે।
$1$. $A (+q)$ અને $D (+q)$ પરના વિદ્યુતભારો $O$ પર સમાન મૂલ્યના પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે। તેથી, તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે।
$2$. $F (-q)$ અને $C (-q)$ પરના વિદ્યુતભારો $O$ પર સમાન મૂલ્યના પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે। તેથી, તેઓ પણ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે।
$3$. ${A, B, C, D, F}$ ના સમૂહમાંથી બાકી રહેલો એકમાત્ર વિદ્યુતભાર શિરોબિંદુ $B$ પરનો $-q$ છે। આ વિદ્યુતભારને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = \frac{kq}{r^2}$ છે જે $B$ તરફની દિશામાં છે।
$4$. $E$ પરના $+Q$ વિદ્યુતભારને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_Q = \frac{kQ}{r^2}$ છે જે $E$ થી દૂરની દિશામાં છે।
$5$. પ્રશ્ન મુજબ, $E_{net} = 3 E_Q$.
$6$. કિંમતો મૂકતા: $\frac{kq}{r^2} = 3 \left( \frac{kQ}{r^2} \right)$.
$7$. $Q$ માટે ઉકેલતા, આપણને $Q = \frac{q}{3}$ મળે છે।

(C) ધારો કે ગોળા $A$ અને ગોળા $B$ ના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r$ છે. ગોળા $A$ ને કારણે બિંદુ $B$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{KQ}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ અને $B$ ની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ પર,દરેક કેન્દ્રથી અંતર $d = \frac{r}{2}$ છે.
મધ્યબિંદુ પર ગોળા $A$ (વિદ્યુતભાર $Q$) ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_A = \frac{KQ}{(r/2)^2} = \frac{4KQ}{r^2} = 4E$ છે.
મધ્યબિંદુ પર ગોળા $B$ (વિદ્યુતભાર $-2Q$) ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_B = \frac{K|-2Q|}{(r/2)^2} = \frac{8KQ}{r^2} = 8E$ છે.
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં ( $A$ થી દૂર અને $B$ તરફ) હોવાથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_{total} = E_A + E_B = 4E + 8E = 12E$ થશે.

(A) ધારો કે શિરોલંબ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે $dl = r d\theta$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ છે. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = \lambda r d\theta$ છે.
આ ખંડને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{\lambda d\theta}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ છે.
સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. આપણે માત્ર શિરોલંબ ઘટક $dE \cos \theta$ નું $-\pi/2$ થી $\pi/2$ સુધી સંકલન કરવાની જરૂર છે.
$E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda \cos \theta d\theta}{4 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}$.
$E = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} (1 - (-1)) = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા અને $\lambda$ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા ચાપને કારણે તેના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{2 k \lambda}{r} \sin \alpha$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $2\alpha$ એ ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરેલો કુલ ખૂણો છે.
અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ માટે,આંતરેલો કુલ ખૂણો $180^{\circ}$ છે,તેથી $2\alpha = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 90^{\circ}$.
$k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ અને $\alpha = 90^{\circ}$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{2 (\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}) \lambda}{r} \sin(90^{\circ})$
કારણ કે $\sin(90^{\circ}) = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$E = \frac{2 \lambda}{4 \pi \epsilon_0 r} = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$.

(B) વીજભારિત ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ $(r \ge R)$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^{2}}$ છે.
પૃષ્ઠ વીજભાર ઘનતા $\sigma$ ને $\sigma = \frac{q}{4 \pi R^{2}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = 4 \pi R^{2} \sigma$.
$q$ ની કિંમત વિદ્યુતક્ષેત્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{4 \pi R^{2} \sigma}{r^{2}}$
$E = \frac{R^{2} \sigma}{\epsilon_{0} r^{2}}$
$r^{2}$ ને કર્તા બનાવતા:
$r^{2} = \frac{R^{2} \sigma}{\epsilon_{0} E}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$r = R \sqrt{\frac{\sigma}{\epsilon_{0} E}}$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઉર્જા ઘનતા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ છે,જ્યાં $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
$Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા $r$ ત્રિજ્યાના અલગ કરેલા વાહક ગોળા માટે,તેની સપાટીની બરાબર બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ છે.
આ કિંમત ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \right)^2 = \frac{Q^2}{32 \pi^2 \varepsilon_0 r^4}$.
અહીં $Q$ અચળ હોવાથી,$U \propto \frac{1}{r^4}$ મળે છે.
આપેલ ત્રિજ્યાઓ $R_A = R$,$R_B = 2R$,અને $R_C = 3R$ માટે:
$U_A \propto \frac{1}{R^4}$,$U_B \propto \frac{1}{(2R)^4} = \frac{1}{16R^4}$,અને $U_C \propto \frac{1}{(3R)^4} = \frac{1}{81R^4}$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,સ્પષ્ટ થાય છે કે $U_A > U_B > U_C$.

(B) વિધાન $A$ મૂળ પ્રશ્નમાં અધૂરું હતું,પરંતુ સામાન્ય રીતે,વિદ્યુતભારીત ગોળીય કવચની બહારના બિંદુ $(r > R)$ માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ છે,જે કેન્દ્રથી અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. જોકે,કવચની અંદર $(r < R)$ વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. તેથી,વિધાન $A$ સામાન્ય સંદર્ભમાં અસ્પષ્ટ છે.
વિધાન $B$ સાચું છે. $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ છે,જે દર્શાવે છે કે $V \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,માત્ર વિધાન $B$ સાચું છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F$ સૂત્ર $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે અને પ્રોટોનને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = 5 \times 10^{11} \ NC^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (5 \times 10^{11} \ NC^{-1})$
$F = 8.0 \times 10^{-8} \ N$.
આમ,ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેના બળનું મૂલ્ય $8 \times 10^{-8} \ N$ છે.

(A) આપેલ છે:
$E_1 = 9 \times 10^4 \text{ NC}^{-1}$
$r_1 = 2 \text{ cm}$
$r_2 = 3 \text{ cm}$
અનંત રેખીય વીજભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $E \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,બે અલગ-અલગ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{r_1}{r_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_2}{9 \times 10^4} = \frac{2 \text{ cm}}{3 \text{ cm}}$
$E_2$ માટે ગણતરી કરતા:
$E_2 = \frac{9 \times 10^4 \times 2}{3}$
$E_2 = 3 \times 10^4 \times 2$
$E_2 = 6 \times 10^4 \text{ NC}^{-1}$
આમ,$3 \text{ cm}$ ના અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $6 \times 10^4 \text{ NC}^{-1}$ છે.

(D) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $q_1 = +10^{-8} \text{ C}$ અને $q_2 = -10^{-8} \text{ C}$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = 0.1 \text{ m}$ છે.
વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાનું મધ્યબિંદુ દરેક વિદ્યુતભારથી $r = d/2 = 0.05 \text{ m}$ અંતરે છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2\text{C}^{-2}$ છે.
મધ્યબિંદુએ,ધન વિદ્યુતભાર $q_1$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર તેનાથી દૂર (ઋણ વિદ્યુતભાર તરફ) જાય છે,અને ઋણ વિદ્યુતભાર $q_2$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર પણ તે તરફ જ નિર્દેશિત થાય છે.
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{total} = E_1 + E_2$ થશે.
$E_1 = \frac{k |q_1|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-8}}{(0.05)^2} = \frac{90}{0.0025} = 3.6 \times 10^4 \text{ NC}^{-1}$.
$E_2 = \frac{k |q_2|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-8}}{(0.05)^2} = 3.6 \times 10^4 \text{ NC}^{-1}$.
$E_{total} = 3.6 \times 10^4 + 3.6 \times 10^4 = 7.2 \times 10^4 \text{ NC}^{-1}$.

(D) નિયમિત ષટ્કોણમાં,દરેક ખૂણાથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર ષટ્કોણની બાજુની લંબાઈ જેટલું હોય છે,$r = 1 \ m$.
ધારો કે ખૂણાઓ $A, B, C, D, E, F$ છે અને ખૂણા $F$ પર વિદ્યુતભાર નથી.
કોઈ ખૂણા પરના વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{r^2}$ છે,જે વિદ્યુતભારથી દૂરની દિશામાં હોય છે.
ખૂણા $A$ પરના વિદ્યુતભાર $(E_A)$ અને ખૂણા $D$ પરના વિદ્યુતભાર $(E_D)$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
તે જ રીતે,ખૂણા $B$ $(E_B)$ અને ખૂણા $E$ $(E_E)$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
કેન્દ્ર પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત ખૂણા $C$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે જ હશે.
$E_{net} = E_C = \frac{kq}{r^2}$
અહીં $q = 1 \mu C = 10^{-6} \ C$ અને $r = 1 \ m$ આપેલ છે:
$E_{net} = \frac{k \times 10^{-6}}{(1)^2} = 10^{-6} k \ N/C$.

(D) આપેલ છે: $q_1 = +16 \mu C$,$q_2 = -9 \mu C$,અંતર $d = 10 \ cm$.
ધારો કે જે બિંદુએ પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે $-9 \mu C$ ના વિદ્યુતભારથી $x$ અંતરે છે. વિદ્યુતભારો વિજાતીય હોવાથી,શૂન્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર ધરાવતું બિંદુ બંને વિદ્યુતભારોની વચ્ચે નહીં પરંતુ બહારની તરફ,નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભારની નજીક હશે.
શૂન્ય વિદ્યુતક્ષેત્રના બિંદુએ,$q_1$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર અને $q_2$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન મૂલ્યના હશે.
$E_1 = E_2$
$\frac{k |q_1|}{(d + x)^2} = \frac{k |q_2|}{x^2}$
$\frac{16}{(10 + x)^2} = \frac{9}{x^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{4}{10 + x} = \frac{3}{x}$
$4x = 3(10 + x)$
$4x = 30 + 3x$
$x = 30 \ cm$
આમ,$-9 \mu C$ ના વિદ્યુતભારથી $30 \ cm$ અંતરે પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થશે.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ પરનો વિદ્યુતભાર $q = 10^{-9} \ C$ છે અને $(2, 0, 0) \ m$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ છે.
બિંદુ $P$ એ $(3, 1, 1) \ m$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ ની સાપેક્ષે $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_1 = (3 - 0)\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (1 - 0)\hat{k} = 3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
તેનું મૂલ્ય $r_1 = |\vec{r}_1| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{11} \ m$ છે.
$(2, 0, 0)$ પરના વિદ્યુતભાર $Q$ ની સાપેક્ષે $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_2 = (3 - 2)\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (1 - 0)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
તેનું મૂલ્ય $r_2 = |\vec{r}_2| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \ m$ છે.
$P$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{kq}{r_1^3}\vec{r}_1 + \frac{kQ}{r_2^3}\vec{r}_2$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રનો $Y$-ઘટક $E_y = \frac{kq}{r_1^3}(y_1) + \frac{kQ}{r_2^3}(y_2) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $k \left[ \frac{10^{-9} \times 1}{(\sqrt{11})^3} + \frac{Q \times 1}{(\sqrt{3})^3} \right] = 0$.
$\frac{Q}{3\sqrt{3}} = -\frac{10^{-9}}{11\sqrt{11}}$.
$Q = -10^{-9} \times \frac{3\sqrt{3}}{11\sqrt{11}} = -10^{-9} \times \left( \frac{3}{11} \right)^{1.5} \approx -0.1424 \times 10^{-9} \ C$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ ને કોઈ બિંદુએ મૂકવામાં આવેલા એકમ ધન વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતા બળ $F$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $E = F/q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળનો $SI$ એકમ ન્યૂટન $(N)$ છે અને વિદ્યુતભારનો $SI$ એકમ કુલંબ $(C)$ છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રનો એકમ $N C^{-1}$ થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,વિદ્યુતક્ષેત્રને પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$E = -dV/dr$.
પોટેન્શિયલ $V$ નો $SI$ એકમ વોલ્ટ $(V)$ છે અને અંતર $r$ નો $SI$ એકમ મીટર $(m)$ છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રનો એકમ $V m^{-1}$ થાય છે.
$N C^{-1}$ અને $V m^{-1}$ બંને વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા માટે સમાન એકમો છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$V m^{-1}$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ છે,દરેક પર $+q$ વિદ્યુતભાર છે. દરેક શિરોબિંદુથી કેન્દ્ર $O$ સુધીનું અંતર સમાન છે,ધારો કે તે $d$ છે.
કેન્દ્ર $O$ પર દરેક વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતી વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય સમાન $E = \frac{kq}{d^2}$ છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશો $E_A$,$E_B$ અને $E_C$ ત્રિકોણની મધ્યગાઓ પર વિદ્યુતભારોથી દૂરની દિશામાં છે. ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,આ સદિશો એકબીજા સાથે $120^{\circ}$ ના ખૂણે ગોઠવાયેલા છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર આ ત્રણ ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે: $\vec{E}_{net} = \vec{E}_A + \vec{E}_B + \vec{E}_C$.
સદિશો સમાન મૂલ્યના હોવાથી અને તેમની વચ્ચે $120^{\circ}$ નો ખૂણો હોવાથી,તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે. તેથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ને એકમ વિદ્યુતભાર $q$ દીઠ લાગતા બળ $F$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનું સૂત્ર $E = \frac{F}{q}$ છે.
બળ $F$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[F] = M^1 L^1 T^{-2}$ છે.
વિદ્યુતભાર $q$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[q] = A^1 T^1$ છે.
આ કિંમતોને $E$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$[E] = \frac{[F]}{[q]} = \frac{M^1 L^1 T^{-2}}{A^1 T^1}$.
ઘાતાંકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$[E] = M^1 L^1 T^{-2-1} A^{-1} = M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે: દૂર કરેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n = 4 \times 10^{10}$.
ગોળાનો વ્યાસ $= 20 \text{ cm}$,તેથી ત્રિજ્યા $R = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$.
કેન્દ્રથી અંતર $r = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$.
ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $q = n \times e = 4 \times 10^{10} \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ C} = 6.4 \times 10^{-9} \text{ C}$.
બિંદુ ગોળાની બહાર હોવાથી $(r > R)$,ગોળો તેના કેન્દ્ર પર બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = (9 \times 10^9) \times \frac{6.4 \times 10^{-9}}{(0.2)^2}$.
$E = \frac{9 \times 6.4}{0.04} = \frac{57.6}{0.04} = 1440 \text{ N C}^{-1}$.