અ Gujarati
Electric Field Questions in Gujarati
Class 12 Physics · Electric Charges and Fields · Electric Field
245+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 44 of 245 questions in Gujarati
201
MediumMCQ
$2 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલીય વાહક પર $3 \text{ nC}$ જેટલો વિદ્યુતભાર સમાન રીતે પથરાયેલો છે. ગોળાના કેન્દ્રથી $3 \text{ cm}$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું હશે?
A
$3 \times 10^{6} \text{ Vm}^{-1}$
B
$3 \text{ Vm}^{-1}$
C
$3 \times 10^{4} \text{ Vm}^{-1}$
D
$3 \times 10^{-4} \text{ Vm}^{-1}$
Solution
(C) ગોલીય વાહકની બહારના બિંદુએ તેના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$
આપેલ મૂલ્યો:
વિદ્યુતભાર $q = 3 \text{ nC} = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$
અંતર $r = 3 \text{ cm} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$
અચળાંક $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \text{ Nm}^{2}\text{C}^{-2}$
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = (9 \times 10^{9}) \times \frac{3 \times 10^{-9}}{(3 \times 10^{-2})^{2}}$
$E = \frac{9 \times 10^{9} \times 3 \times 10^{-9}}{9 \times 10^{-4}}$
$E = \frac{27}{9 \times 10^{-4}} = 3 \times 10^{4} \text{ Vm}^{-1}$
આમ,ગોળાના કેન્દ્રથી $3 \text{ cm}$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $3 \times 10^{4} \text{ Vm}^{-1}$ છે.
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$
આપેલ મૂલ્યો:
વિદ્યુતભાર $q = 3 \text{ nC} = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$
અંતર $r = 3 \text{ cm} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$
અચળાંક $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \text{ Nm}^{2}\text{C}^{-2}$
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = (9 \times 10^{9}) \times \frac{3 \times 10^{-9}}{(3 \times 10^{-2})^{2}}$
$E = \frac{9 \times 10^{9} \times 3 \times 10^{-9}}{9 \times 10^{-4}}$
$E = \frac{27}{9 \times 10^{-4}} = 3 \times 10^{4} \text{ Vm}^{-1}$
આમ,ગોળાના કેન્દ્રથી $3 \text{ cm}$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $3 \times 10^{4} \text{ Vm}^{-1}$ છે.
0 likes
View Solution202
EasyMCQ
અનંત લંબાઈના સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત સીધા વાહકથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર,જેની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ છે,તે $E_1$ છે. સમાન રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતા બીજા એક સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત વાહકને $r$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે. તેના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2$ છે. તો
A
$E_2 = \pi r E_1$
B
$E_2 = \frac{E_1}{r}$
C
$E_1 = E_2$
D
$E_1 = \pi r E_2$
Solution
(C) અનંત લંબાઈના સીધા તાર કે જેની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ છે,તેનાથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1$ નું સૂત્ર: $E_1 = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2 k \lambda}{r}$ છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર રીંગના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2$ નું મૂલ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકોનું સંકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે: $E_2 = \frac{2 k \lambda}{r}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $E_1 = \frac{2 k \lambda}{r}$ અને $E_2 = \frac{2 k \lambda}{r}$ છે.
તેથી,$E_1 = E_2$ થાય છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર રીંગના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2$ નું મૂલ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકોનું સંકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે: $E_2 = \frac{2 k \lambda}{r}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $E_1 = \frac{2 k \lambda}{r}$ અને $E_2 = \frac{2 k \lambda}{r}$ છે.
તેથી,$E_1 = E_2$ થાય છે.
0 likes
View Solution203
EasyMCQ
વિદ્યુતીય તેમજ ગુરુત્વાકર્ષણીય અસરો ક્ષેત્રો (fields) દ્વારા ઉદ્ભવતી હોવાનું માની શકાય છે. વિદ્યુતીય અથવા ગુરુત્વાકર્ષણીય ક્ષેત્ર માટે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
A
પદાર્થની આસપાસની અવકાશમાં ગુરુત્વાકર્ષણીય અથવા વિદ્યુત ક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
B
ક્ષેત્રો અંતર દ્વારા કાર્ય કરતા બળોને સમજવા માટે ઉપયોગી છે.
C
બળ ક્ષેત્રના અસ્તિત્વને ચકાસવાની કોઈ રીત નથી કારણ કે તે માત્ર એક ખ્યાલ છે.
D
ક્ષેત્રનો ખ્યાલ ઘણીવાર સંપર્ક બળોનું વર્ણન કરવા માટે વપરાય છે.
Solution
(B) ક્ષેત્રનો ખ્યાલ એ એક સૈદ્ધાંતિક મોડેલ છે જેનો ઉપયોગ કોઈ વિશાળ પદાર્થ અથવા વિદ્યુતભારિત કણ તેની આસપાસની અવકાશમાં જે પ્રભાવ ફેલાવે છે તેને સમજાવવા માટે થાય છે.
આ ક્ષેત્ર તે અવકાશમાં મૂકવામાં આવેલા અન્ય કોઈપણ વિશાળ પદાર્થ અથવા વિદ્યુતભારિત કણ પર બળ લગાડે છે.
તેથી,ક્ષેત્રના ખ્યાલનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે અંતર દ્વારા કાર્ય કરતા બળો,જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણીય અને સ્થિત-વિદ્યુત બળોને સમજવા અને વર્ણવવા માટે થાય છે,સંપર્ક બળો માટે નહીં.
આ ક્ષેત્ર તે અવકાશમાં મૂકવામાં આવેલા અન્ય કોઈપણ વિશાળ પદાર્થ અથવા વિદ્યુતભારિત કણ પર બળ લગાડે છે.
તેથી,ક્ષેત્રના ખ્યાલનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે અંતર દ્વારા કાર્ય કરતા બળો,જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણીય અને સ્થિત-વિદ્યુત બળોને સમજવા અને વર્ણવવા માટે થાય છે,સંપર્ક બળો માટે નહીં.
0 likes
View Solution204
EasyMCQ
ચાર વિદ્યુતભારો $+q, +2q, +q$ અને $-2q$ ને એક ચોરસના ખૂણાઓ $A, B, C$ અને $D$ પર અનુક્રમે મૂકવામાં આવ્યા છે. કેન્દ્ર $O$ પર રાખેલા એકમ ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ
A
વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં છે
B
વિકર્ણ $AC$ ની દિશામાં છે
C
$AD$ ને લંબ છે
D
શૂન્ય છે
Solution
(A) ધારો કે ખૂણાઓ $A, B, C, D$ પરના વિદ્યુતભારો $q_A = +q$,$q_B = +2q$,$q_C = +q$,અને $q_D = -2q$ છે.
કેન્દ્ર $O$ પર,$q_A$ અને $q_C$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે કારણ કે $q_A = q_C = +q$ અને અંતર $OA = OC$ છે. તેથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
હવે,$B$ અને $D$ પરના વિદ્યુતભારોનો વિચાર કરો. $B$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_B = +2q$ છે,જે કેન્દ્ર $O$ પરના એકમ ધન વિદ્યુતભાર પર $OB$ ની દિશામાં (બહારની તરફ) અપાકર્ષી બળ લગાડે છે.
$D$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_D = -2q$ છે,જે કેન્દ્ર $O$ પરના એકમ ધન વિદ્યુતભાર પર $OD$ ની દિશામાં (અંદરની તરફ) આકર્ષી બળ લગાડે છે.
આ બંને બળો વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં એક જ દિશામાં હોવાથી,કેન્દ્ર $O$ પરના એકમ ધન વિદ્યુતભાર પરનું પરિણામી બળ વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં હશે.
કેન્દ્ર $O$ પર,$q_A$ અને $q_C$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે કારણ કે $q_A = q_C = +q$ અને અંતર $OA = OC$ છે. તેથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
હવે,$B$ અને $D$ પરના વિદ્યુતભારોનો વિચાર કરો. $B$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_B = +2q$ છે,જે કેન્દ્ર $O$ પરના એકમ ધન વિદ્યુતભાર પર $OB$ ની દિશામાં (બહારની તરફ) અપાકર્ષી બળ લગાડે છે.
$D$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_D = -2q$ છે,જે કેન્દ્ર $O$ પરના એકમ ધન વિદ્યુતભાર પર $OD$ ની દિશામાં (અંદરની તરફ) આકર્ષી બળ લગાડે છે.
આ બંને બળો વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં એક જ દિશામાં હોવાથી,કેન્દ્ર $O$ પરના એકમ ધન વિદ્યુતભાર પરનું પરિણામી બળ વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં હશે.
0 likes
View Solution205
EasyMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ડાબી બાજુની વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર જમણી બાજુની રેખાઓ કરતા બમણું છે. જો $A$ પાસે વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $40 \ Vm^{-1}$ હોય,તો $B$ પર રાખેલા $20 \ \mu C$ ના વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ કેટલું હશે?
A
$4 \times 10^{-4} \ N$
B
$8 \times 10^{-4} \ N$
C
$16 \times 10^{-4} \ N$
D
$1 \times 10^{-4} \ N$
Solution
(A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા એ વિદ્યુત ક્ષેત્રના મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ છે કે ડાબી બાજુ (બિંદુ $B$ પાસે) ક્ષેત્ર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર જમણી બાજુ (બિંદુ $A$ પાસે) કરતા બમણું છે,તેથી $B$ પાસેનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $A$ પાસેના વિદ્યુત ક્ષેત્ર કરતા અડધું હશે.
$E_B = \frac{E_A}{2} = \frac{40 \ Vm^{-1}}{2} = 20 \ Vm^{-1}$.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $q = 20 \ \mu C = 20 \times 10^{-6} \ C$.
$F = (20 \times 10^{-6} \ C) \times (20 \ Vm^{-1}) = 400 \times 10^{-6} \ N = 4 \times 10^{-4} \ N$.
આપેલ છે કે ડાબી બાજુ (બિંદુ $B$ પાસે) ક્ષેત્ર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર જમણી બાજુ (બિંદુ $A$ પાસે) કરતા બમણું છે,તેથી $B$ પાસેનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $A$ પાસેના વિદ્યુત ક્ષેત્ર કરતા અડધું હશે.
$E_B = \frac{E_A}{2} = \frac{40 \ Vm^{-1}}{2} = 20 \ Vm^{-1}$.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $q = 20 \ \mu C = 20 \times 10^{-6} \ C$.
$F = (20 \times 10^{-6} \ C) \times (20 \ Vm^{-1}) = 400 \times 10^{-6} \ N = 4 \times 10^{-4} \ N$.
0 likes
View Solution206
EasyMCQ
એક બિંદુવત વિદ્યુતભારને કારણે $30 \ cm$ અંતરે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $2 \ N \ C^{-1}$ હોય,તો તે વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$2 \times 10^{-11} \ C$
B
$3 \times 10^{-11} \ C$
C
$5 \times 10^{-11} \ C$
D
$9 \times 10^{-11} \ C$
Solution
(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$
આપેલ કિંમતો:
$E = 2 \ N \ C^{-1}$
$r = 30 \ cm = 0.3 \ m = 30 \times 10^{-2} \ m$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \ N \ m^{2} \ C^{-2}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{(30 \times 10^{-2})^{2}}$
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{900 \times 10^{-4}}$
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{9 \times 10^{-2}}$
$2 = 10^{11} \times q$
$q = \frac{2}{10^{11}} = 2 \times 10^{-11} \ C$
આમ,વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $2 \times 10^{-11} \ C$ થશે.
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$
આપેલ કિંમતો:
$E = 2 \ N \ C^{-1}$
$r = 30 \ cm = 0.3 \ m = 30 \times 10^{-2} \ m$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \ N \ m^{2} \ C^{-2}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{(30 \times 10^{-2})^{2}}$
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{900 \times 10^{-4}}$
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{9 \times 10^{-2}}$
$2 = 10^{11} \times q$
$q = \frac{2}{10^{11}} = 2 \times 10^{-11} \ C$
આમ,વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $2 \times 10^{-11} \ C$ થશે.
0 likes
View Solution207
MediumMCQ
ચાર વિદ્યુતભારો,દરેક $q$ કુલંબ,$xy$-સમતલમાં $(-1,0,0), (1,0,0), (0,-1,0)$ અને $(0,1,0)$ બિંદુઓ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. અક્ષો પરના અંતર મીટરમાં માપવામાં આવે છે. $Z$-અક્ષ પરના $(0,0,1)$ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$\frac{1}{2 \sqrt{2}} \frac{q}{\pi \varepsilon_0} \text{ N/C}$
B
$\frac{1}{4} \frac{q}{\pi \varepsilon_0} \text{ N/C}$
C
$\frac{q}{\pi \varepsilon_0} \text{ N/C}$
D
$\frac{q}{2 \pi \varepsilon_0} \text{ N/C}$
Solution
(A) ચાર વિદ્યુતભારો $A(1,0,0), B(-1,0,0), C(0,1,0),$ અને $D(0,-1,0)$ પર સ્થિત છે. આપણે બિંદુ $P(0,0,1)$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવાનું છે.
દરેક વિદ્યુતભારથી બિંદુ $P$ નું અંતર $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ m}$ છે.
બિંદુ $P$ પર દરેક વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{2}$.
સંમિતિને કારણે,ચાર વિદ્યુતભારોના વિદ્યુતક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. માત્ર શિરોલંબ ઘટકો ($Z$-અક્ષની દિશામાં) જ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ફાળો આપે છે.
દરેક વિદ્યુતભારથી વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $Z$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે $\cos \theta = \frac{1}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક વિદ્યુતભારથી વિદ્યુતક્ષેત્રનો શિરોલંબ ઘટક $E_z = E \cos \theta = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{2} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
આવા ચાર વિદ્યુતભારો હોવાથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\text{net}}$:
$E_{\text{net}} = 4 \cdot E_z = 4 \cdot \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{2 \sqrt{2}} \right) = \frac{q}{2 \sqrt{2} \pi \varepsilon_0} \text{ N/C}$.
દરેક વિદ્યુતભારથી બિંદુ $P$ નું અંતર $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ m}$ છે.
બિંદુ $P$ પર દરેક વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{2}$.
સંમિતિને કારણે,ચાર વિદ્યુતભારોના વિદ્યુતક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. માત્ર શિરોલંબ ઘટકો ($Z$-અક્ષની દિશામાં) જ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ફાળો આપે છે.
દરેક વિદ્યુતભારથી વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $Z$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે $\cos \theta = \frac{1}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક વિદ્યુતભારથી વિદ્યુતક્ષેત્રનો શિરોલંબ ઘટક $E_z = E \cos \theta = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{2} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
આવા ચાર વિદ્યુતભારો હોવાથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\text{net}}$:
$E_{\text{net}} = 4 \cdot E_z = 4 \cdot \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{2 \sqrt{2}} \right) = \frac{q}{2 \sqrt{2} \pi \varepsilon_0} \text{ N/C}$.
0 likes
View Solution208
EasyMCQ
$5 \ cm$ અને $10 \ cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વિદ્યુતભારીત વાહક ગોળાઓની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન છે. જો નાના ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ હોય,તો મોટા ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું હશે?
A
$2 E$
B
$4 E$
C
$0.5 E$
D
$E$
Solution
(D) વિદ્યુતભારીત વાહક ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે અને $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
બંને ગોળાઓની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન $(\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma)$ હોવાથી,બંને ગોળાઓની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ અને અચળાંક $\epsilon_0$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,મોટા ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર પણ $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ થશે.
આમ,મોટા ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર નાના ગોળાની સપાટી પરના વિદ્યુતક્ષેત્ર જેટલું જ એટલે કે $E$ હશે.
બંને ગોળાઓની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન $(\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma)$ હોવાથી,બંને ગોળાઓની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ અને અચળાંક $\epsilon_0$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,મોટા ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર પણ $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ થશે.
આમ,મોટા ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર નાના ગોળાની સપાટી પરના વિદ્યુતક્ષેત્ર જેટલું જ એટલે કે $E$ હશે.
0 likes
View Solution209
EasyMCQ
બે વિદ્યુતભારો $Q$ અને $4Q$ ને $6 \text{ cm}$ ના અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે. $4Q$ થી કેટલા અંતરે કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થશે ($\text{ cm}$ માં)?
A
$2$
B
$6$
C
$8$
D
$4$
Solution
(D) ધારો કે બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે,જે $Q$ થી $x$ અંતરે અને $4Q$ થી $(6-x)$ અંતરે આવેલું છે.
બિંદુ $P$ પર બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ:
$\frac{KQ}{x^2} = \frac{K(4Q)}{(6-x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(6-x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{6-x}$
$6 - x = 2x$
$3x = 6$
$x = 2 \text{ cm}$
અંતર $x$ એ $Q$ વિદ્યુતભારથી છે. પ્રશ્નમાં $4Q$ થી અંતર પૂછવામાં આવ્યું છે,જે $(6-x)$ છે.
$4Q$ થી અંતર $= 6 - 2 = 4 \text{ cm}$.
બિંદુ $P$ પર બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ:
$\frac{KQ}{x^2} = \frac{K(4Q)}{(6-x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(6-x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{6-x}$
$6 - x = 2x$
$3x = 6$
$x = 2 \text{ cm}$
અંતર $x$ એ $Q$ વિદ્યુતભારથી છે. પ્રશ્નમાં $4Q$ થી અંતર પૂછવામાં આવ્યું છે,જે $(6-x)$ છે.
$4Q$ થી અંતર $= 6 - 2 = 4 \text{ cm}$.
0 likes
View Solution210
EasyMCQ
$L$ લંબાઈના તાર પર $Q$ જેટલો વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાયેલો છે. આ તારને અર્ધવર્તુળાકાર આકારમાં વાળવામાં આવે છે. અર્ધવર્તુળના વક્રતા કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{L^2}$
B
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{L}$
C
$\frac{Q}{2 \varepsilon_0} \frac{\pi}{L^2}$
D
$\frac{1}{2 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{L^2}$
Solution
(C) ધારો કે અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે. તારની લંબાઈ $L = \pi R$ છે,તેથી $R = L / \pi$. રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = Q / L$ છે.
તારના $dl = R d\theta$ લંબાઈના નાના ખંડનો વિચાર કરો જે શિરોલંબ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે છે. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dQ = \lambda dl = \lambda R d\theta$ છે.
કેન્દ્ર પર આ ખંડને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dQ}{R^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda R d\theta}{R^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda d\theta}{R}$ છે.
સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ શિરોલંબ ઘટકો $dE \cos \theta$ નું $-\pi / 2$ થી $\pi / 2$ સુધીનું સંકલન છે:
$E = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} dE \cos \theta = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos \theta d\theta = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 R} [\sin \theta]_{-\pi / 2}^{\pi / 2} = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 R} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 R}$.
$\lambda = Q / L$ અને $R = L / \pi$ મૂકતા:
$E = \frac{Q / L}{2 \pi \varepsilon_0 (L / \pi)} = \frac{Q}{2 \varepsilon_0 L^2} \cdot \pi = \frac{\pi Q}{2 \varepsilon_0 L^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
તારના $dl = R d\theta$ લંબાઈના નાના ખંડનો વિચાર કરો જે શિરોલંબ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે છે. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dQ = \lambda dl = \lambda R d\theta$ છે.
કેન્દ્ર પર આ ખંડને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dQ}{R^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda R d\theta}{R^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda d\theta}{R}$ છે.
સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ શિરોલંબ ઘટકો $dE \cos \theta$ નું $-\pi / 2$ થી $\pi / 2$ સુધીનું સંકલન છે:
$E = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} dE \cos \theta = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos \theta d\theta = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 R} [\sin \theta]_{-\pi / 2}^{\pi / 2} = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 R} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 R}$.
$\lambda = Q / L$ અને $R = L / \pi$ મૂકતા:
$E = \frac{Q / L}{2 \pi \varepsilon_0 (L / \pi)} = \frac{Q}{2 \varepsilon_0 L^2} \cdot \pi = \frac{\pi Q}{2 \varepsilon_0 L^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
0 likes
View Solution211
EasyMCQ
સ્થિર અવલોકનકાર સ્થિર વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર અનુભવે છે. ત્યારબાદ તે તેનાથી દૂર જવાનું શરૂ કરે છે,તો અવલોકનકાર શું અનુભવશે?
A
માત્ર ચુંબકીય ક્ષેત્ર
B
માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર
C
વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર
D
કોઈપણ ક્ષેત્ર નહીં
Solution
(C) જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર વિદ્યુતભારની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોય છે,ત્યારે તે માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર અનુભવે છે.
જ્યારે અવલોકનકાર વિદ્યુતભારથી દૂર જવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર અને અવલોકનકાર વચ્ચે સાપેક્ષ વેગ ઉદભવે છે.
વિદ્યુતચુંબકત્વના સિદ્ધાંતો મુજબ,ગતિમાન વિદ્યુતભાર અવલોકનકારના સંદર્ભ ફ્રેમમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,અવલોકનકાર વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને અનુભવે છે.
જ્યારે અવલોકનકાર વિદ્યુતભારથી દૂર જવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર અને અવલોકનકાર વચ્ચે સાપેક્ષ વેગ ઉદભવે છે.
વિદ્યુતચુંબકત્વના સિદ્ધાંતો મુજબ,ગતિમાન વિદ્યુતભાર અવલોકનકારના સંદર્ભ ફ્રેમમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,અવલોકનકાર વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને અનુભવે છે.
0 likes
View Solution212
DifficultMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $a$ બાજુવાળા નિયમિત ષટ્કોણના શિરોબિંદુઓ પર છ બિંદુવત વિદ્યુતભારો મૂકવામાં આવ્યા છે. ત્રણ વિદ્યુતભારો $+Q$ છે અને ત્રણ $-Q$ છે જે એકાંતરે ગોઠવાયેલા છે. કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને આકૃતિના સમતલને લંબ રેખા પર $O$ થી મોટા અંતર $x (x \gg a)$ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા કેટલી હશે? (ધારો કે $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = k$):
A
$k \times \frac{4 Q a}{x^3}$
B
$k \times \frac{2 Q a}{x^3}$
C
$k \times \frac{8 Q a}{x^3}$
D
$0$
Solution
(D) ષટ્કોણના શિરોબિંદુઓ પર $+Q, -Q, +Q, -Q, +Q, -Q$ વિદ્યુતભારો છે.
વિદ્યુતભારો સામસામેના શિરોબિંદુઓ પર $(+Q, -Q)$ ની જોડીમાં ગોઠવાયેલા હોવાથી,તંત્રનો કુલ વિદ્યુતભાર $0$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $0$ હોય તેવા તંત્ર માટે,મોટા અંતર $x$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાયપોલ મોમેન્ટ દ્વારા નક્કી થાય છે.
જો કે,આ વિશિષ્ટ સંમિત ગોઠવણીમાં,ત્રણ જોડીના ડાયપોલ મોમેન્ટ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે કારણ કે તેઓ એકબીજા સાથે $120^{\circ}$ ના ખૂણે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,અક્ષ પરના બિંદુએ સ્થિતિમાન $V = \sum \frac{k q_i}{r_i}$ ધ્યાનમાં લેતા,બધા વિદ્યુતભારો સમાન અને વિરુદ્ધ હોવાથી અને દરેક શિરોબિંદુથી અક્ષ પરના બિંદુ સુધીનું અંતર સમાન $(r = \sqrt{x^2 + a^2})$ હોવાથી,દરેક $x$ માટે સ્થિતિમાન $V = 0$ થાય છે.
આ અક્ષ પર સ્થિતિમાન $V$ શૂન્ય હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = -\frac{dV}{dx}$ પણ શૂન્ય થશે.
વિદ્યુતભારો સામસામેના શિરોબિંદુઓ પર $(+Q, -Q)$ ની જોડીમાં ગોઠવાયેલા હોવાથી,તંત્રનો કુલ વિદ્યુતભાર $0$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $0$ હોય તેવા તંત્ર માટે,મોટા અંતર $x$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાયપોલ મોમેન્ટ દ્વારા નક્કી થાય છે.
જો કે,આ વિશિષ્ટ સંમિત ગોઠવણીમાં,ત્રણ જોડીના ડાયપોલ મોમેન્ટ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે કારણ કે તેઓ એકબીજા સાથે $120^{\circ}$ ના ખૂણે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,અક્ષ પરના બિંદુએ સ્થિતિમાન $V = \sum \frac{k q_i}{r_i}$ ધ્યાનમાં લેતા,બધા વિદ્યુતભારો સમાન અને વિરુદ્ધ હોવાથી અને દરેક શિરોબિંદુથી અક્ષ પરના બિંદુ સુધીનું અંતર સમાન $(r = \sqrt{x^2 + a^2})$ હોવાથી,દરેક $x$ માટે સ્થિતિમાન $V = 0$ થાય છે.
આ અક્ષ પર સ્થિતિમાન $V$ શૂન્ય હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = -\frac{dV}{dx}$ પણ શૂન્ય થશે.
0 likes
View Solution213
EasyMCQ
એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને ઉગમબિંદુ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. ધારો કે $E_A, E_B$ અને $E_C$ એ વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ત્રણ બિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(1, 1, -1)$ અને $C(2, 2, 2)$ પરના વિદ્યુતક્ષેત્રો છે. તો,તેમની વચ્ચેના સાચા સંબંધો છે:
$1. E_A \perp E_B$
$2. E_A \parallel E_C$
$3. |E_B| = 4|E_C|$
$4. |E_B| = 8|E_C|$
$1. E_A \perp E_B$
$2. E_A \parallel E_C$
$3. |E_B| = 4|E_C|$
$4. |E_B| = 8|E_C|$
A
$1$ અને $4$ સાચા છે
B
$2$ અને $4$ સાચા છે
C
$1$ અને $3$ સાચા છે
D
$2$ અને $3$ સાચા છે
Solution
(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{kq}{r^3} \vec{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A(1, 2, 3)$ માટે,$\vec{r}_A = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$r_A = \sqrt{14}$. તેથી,$\vec{E}_A = \frac{kq}{14^{3/2}}(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$.
બિંદુ $B(1, 1, -1)$ માટે,$\vec{r}_B = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$r_B = \sqrt{3}$. તેથી,$\vec{E}_B = \frac{kq}{3^{3/2}}(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
બિંદુ $C(2, 2, 2)$ માટે,$\vec{r}_C = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,$r_C = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. તેથી,$\vec{E}_C = \frac{kq}{(12)^{3/2}}(2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{kq}{4 \cdot 3^{3/2}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
ચકાસણી $1$: $\vec{E}_A \cdot \vec{E}_B \propto (1)(1) + (2)(1) + (3)(-1) = 0$. તેથી,$E_A \perp E_B$ સાચું છે.
ચકાસણી $3$: $|E_B| = \frac{kq}{3^{3/2}} \sqrt{3} = \frac{kq}{3}$.
$|E_C| = \frac{kq}{4 \cdot 3^{3/2}} \sqrt{3} = \frac{kq}{12}$.
તેથી,$|E_B| = 4|E_C|$ સાચું છે.
બિંદુ $A(1, 2, 3)$ માટે,$\vec{r}_A = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$r_A = \sqrt{14}$. તેથી,$\vec{E}_A = \frac{kq}{14^{3/2}}(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$.
બિંદુ $B(1, 1, -1)$ માટે,$\vec{r}_B = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$r_B = \sqrt{3}$. તેથી,$\vec{E}_B = \frac{kq}{3^{3/2}}(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
બિંદુ $C(2, 2, 2)$ માટે,$\vec{r}_C = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,$r_C = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. તેથી,$\vec{E}_C = \frac{kq}{(12)^{3/2}}(2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{kq}{4 \cdot 3^{3/2}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
ચકાસણી $1$: $\vec{E}_A \cdot \vec{E}_B \propto (1)(1) + (2)(1) + (3)(-1) = 0$. તેથી,$E_A \perp E_B$ સાચું છે.
ચકાસણી $3$: $|E_B| = \frac{kq}{3^{3/2}} \sqrt{3} = \frac{kq}{3}$.
$|E_C| = \frac{kq}{4 \cdot 3^{3/2}} \sqrt{3} = \frac{kq}{12}$.
તેથી,$|E_B| = 4|E_C|$ સાચું છે.
0 likes
View Solution214
EasyMCQ
બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $-5 \mu C$ અને $+5 \mu C$ ને એક સીધી રેખા પર $A$ અને $B$ સ્થાનો પર $5 \ cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે. જો બિંદુ $C$ પાસે પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $A$ અને $B$ ને જોડતી રેખાને સમાંતર હોય,તો:
A
$AC = BC$
B
$2 AC = BC$
C
$AC = 2 BC$
D
$AC = \frac{BC}{3}$
Solution
(A) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_A = -5 \mu C$ અને $q_B = +5 \mu C$ છે. અંતર $AB = d = 5 \ cm$ છે. ધારો કે બિંદુ $C$ એ $A$ થી $x$ અંતરે અને $B$ થી $y$ અંતરે છે. બિંદુ $C$ પાસે પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખા $AB$ ને સમાંતર હોવા માટે,$q_A$ અને $q_B$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રોના શિરોલંબ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરવા જોઈએ.
ધારો કે $\theta_A$ અને $\theta_B$ એ સદિશો $\vec{E}_A$ અને $\vec{E}_B$ દ્વારા રેખા $AB$ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે. શિરોલંબ ઘટકો નાબૂદ થવા માટે,$E_A \sin \theta_A = E_B \sin \theta_B$ હોવું જોઈએ.
વિદ્યુતભારોના મૂલ્યો સમાન હોવાથી $(|q_A| = |q_B| = q)$,વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો $E_A = \frac{kq}{x^2}$ અને $E_B = \frac{kq}{y^2}$ થશે.
આથી,$\frac{kq}{x^2} \sin \theta_A = \frac{kq}{y^2} \sin \theta_B$. ત્રિકોણ $ABC$ ની ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta_A = \frac{h}{x}$ અને $\sin \theta_B = \frac{h}{y}$,જ્યાં $h$ એ રેખા $AB$ થી $C$ નું લંબ અંતર છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{kq}{x^2} \cdot \frac{h}{x} = \frac{kq}{y^2} \cdot \frac{h}{y}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{x^3} = \frac{1}{y^3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = y$.
તેથી,$AC = BC$.
ધારો કે $\theta_A$ અને $\theta_B$ એ સદિશો $\vec{E}_A$ અને $\vec{E}_B$ દ્વારા રેખા $AB$ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે. શિરોલંબ ઘટકો નાબૂદ થવા માટે,$E_A \sin \theta_A = E_B \sin \theta_B$ હોવું જોઈએ.
વિદ્યુતભારોના મૂલ્યો સમાન હોવાથી $(|q_A| = |q_B| = q)$,વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો $E_A = \frac{kq}{x^2}$ અને $E_B = \frac{kq}{y^2}$ થશે.
આથી,$\frac{kq}{x^2} \sin \theta_A = \frac{kq}{y^2} \sin \theta_B$. ત્રિકોણ $ABC$ ની ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta_A = \frac{h}{x}$ અને $\sin \theta_B = \frac{h}{y}$,જ્યાં $h$ એ રેખા $AB$ થી $C$ નું લંબ અંતર છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{kq}{x^2} \cdot \frac{h}{x} = \frac{kq}{y^2} \cdot \frac{h}{y}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{x^3} = \frac{1}{y^3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = y$.
તેથી,$AC = BC$.
0 likes
View Solution215
EasyMCQ
$l$ બાજુવાળા ચોરસના ચાર ખૂણાઓ પર ચાર ધન બિંદુવત વિદ્યુતભારો $+q$ રાખવામાં આવ્યા છે. ચોરસની કોઈપણ એક બાજુના મધ્યબિંદુ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું હશે? (લો $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}=k$ )
A
$\frac{4 k q}{l^2}$
B
$\frac{16 k q}{5 \sqrt{5} l^2}$
C
$\frac{8 k q}{\sqrt{5} l^2}$
D
$\frac{k q}{l^2}$
Solution
(B) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ છે જેની બાજુની લંબાઈ $l$ છે. વિદ્યુતભારો ખૂણા $A, B, C, D$ પર છે. બાજુ $CD$ ના મધ્યબિંદુ $M$ ને ધ્યાનમાં લો. $C$ અને $D$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_C$ અને $E_D$ છે. $MC = MD = l/2$ હોવાથી,$E_C = k q / (l/2)^2$ જે $C$ થી દૂર જાય છે અને $E_D = k q / (l/2)^2$ જે $D$ થી દૂર જાય છે. આ બંને સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
હવે,$A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોને ધ્યાનમાં લો. $A$ થી $M$ નું અંતર $r = \sqrt{l^2 + (l/2)^2} = \sqrt{5l^2/4} = l\sqrt{5}/2$ છે. ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_A = E_B = k q / r^2 = k q / (5l^2/4) = 4kq / 5l^2$ છે.
$E_A$ અને $E_B$ ના શિરોલંબ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે,જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટકો નાબૂદ થાય છે. ધારો કે સદિશ $AM$ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તો $\cos \theta = l / r = l / (l\sqrt{5}/2) = 2/\sqrt{5}$.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = 2 E_A \cos \theta = 2 \times (4kq / 5l^2) \times (2/\sqrt{5}) = 16kq / 5\sqrt{5}l^2$ થાય.
હવે,$A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોને ધ્યાનમાં લો. $A$ થી $M$ નું અંતર $r = \sqrt{l^2 + (l/2)^2} = \sqrt{5l^2/4} = l\sqrt{5}/2$ છે. ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_A = E_B = k q / r^2 = k q / (5l^2/4) = 4kq / 5l^2$ છે.
$E_A$ અને $E_B$ ના શિરોલંબ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે,જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટકો નાબૂદ થાય છે. ધારો કે સદિશ $AM$ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તો $\cos \theta = l / r = l / (l\sqrt{5}/2) = 2/\sqrt{5}$.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = 2 E_A \cos \theta = 2 \times (4kq / 5l^2) \times (2/\sqrt{5}) = 16kq / 5\sqrt{5}l^2$ થાય.
0 likes
View Solution216
EasyMCQ
બે અનંત લાંબા પાતળા અને સમાંતર તારની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $4 \ Cm^{-1}$ અને $8 \ Cm^{-1}$ છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $4 \ cm$ છે. તેમને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા કેટલી હશે?
A
$18 \times 10^{11} \ NC^{-1}$
B
$36 \times 10^{11} \ NC^{-1}$
C
$9 \times 10^{11} \ NC^{-1}$
D
$72 \times 10^{11} \ NC^{-1}$
Solution
(B) અનંત લંબાઈના તાર માટે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2k\lambda}{r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$.
અહીં $\lambda_1 = 4 \ Cm^{-1}$,$\lambda_2 = 8 \ Cm^{-1}$ અને અંતર $d = 4 \ cm = 0.04 \ m$ છે.
મધ્યબિંદુ બંને તારથી $r = d/2 = 0.02 \ m$ અંતરે છે.
તાર $1$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 4}{0.02} = 36 \times 10^{11} \ NC^{-1}$ (તાર $1$ થી દૂરની દિશામાં).
તાર $2$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 8}{0.02} = 72 \times 10^{11} \ NC^{-1}$ (તાર $2$ થી દૂરની દિશામાં).
બંને વિદ્યુતભાર ઘનતા ધન હોવાથી,મધ્યબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = |E_2 - E_1| = |72 \times 10^{11} - 36 \times 10^{11}| = 36 \times 10^{11} \ NC^{-1}$.
અહીં $\lambda_1 = 4 \ Cm^{-1}$,$\lambda_2 = 8 \ Cm^{-1}$ અને અંતર $d = 4 \ cm = 0.04 \ m$ છે.
મધ્યબિંદુ બંને તારથી $r = d/2 = 0.02 \ m$ અંતરે છે.
તાર $1$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 4}{0.02} = 36 \times 10^{11} \ NC^{-1}$ (તાર $1$ થી દૂરની દિશામાં).
તાર $2$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 8}{0.02} = 72 \times 10^{11} \ NC^{-1}$ (તાર $2$ થી દૂરની દિશામાં).
બંને વિદ્યુતભાર ઘનતા ધન હોવાથી,મધ્યબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = |E_2 - E_1| = |72 \times 10^{11} - 36 \times 10^{11}| = 36 \times 10^{11} \ NC^{-1}$.
0 likes
View Solution217
DifficultMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $500 \ Vm^{-1}$ નું સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન $X$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે છે. જો $OA = 3 \ m$ અને $OB = 5 \ m$ હોય,તો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_B - V_A)$ શોધો.
A
$-250(3 \sqrt{3} + 5) \ V$
B
$250(3 \sqrt{3} + 5) \ V$
C
$-250(3 + 5 \sqrt{3}) \ V$
D
$250(3 + 5 \sqrt{3}) \ V$
Solution
(A) આપેલ છે કે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 500 \ Vm^{-1}$ જે ધન $X$-અક્ષ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ ના ખૂણે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E} = E(\cos 30^{\circ} \hat{i} + \sin 30^{\circ} \hat{j}) = 500 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}\right) = (250\sqrt{3} \hat{i} + 250 \hat{j}) \ Vm^{-1}$ છે.
બિંદુ $A$ ના યામ $(-3, 0) \ m$ અને બિંદુ $B$ ના યામ $(0, 5) \ m$ છે.
$A$ થી $B$ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (0 - (-3)) \hat{i} + (5 - 0) \hat{j} = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \ m$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{r} = -\vec{E} \cdot \vec{r}_{AB}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V_B - V_A = -(250\sqrt{3} \hat{i} + 250 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 5 \hat{j})$
$V_B - V_A = -(250\sqrt{3} \times 3 + 250 \times 5)$
$V_B - V_A = -250(3\sqrt{3} + 5) \ V$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E} = E(\cos 30^{\circ} \hat{i} + \sin 30^{\circ} \hat{j}) = 500 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}\right) = (250\sqrt{3} \hat{i} + 250 \hat{j}) \ Vm^{-1}$ છે.
બિંદુ $A$ ના યામ $(-3, 0) \ m$ અને બિંદુ $B$ ના યામ $(0, 5) \ m$ છે.
$A$ થી $B$ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (0 - (-3)) \hat{i} + (5 - 0) \hat{j} = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \ m$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{r} = -\vec{E} \cdot \vec{r}_{AB}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V_B - V_A = -(250\sqrt{3} \hat{i} + 250 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 5 \hat{j})$
$V_B - V_A = -(250\sqrt{3} \times 3 + 250 \times 5)$
$V_B - V_A = -250(3\sqrt{3} + 5) \ V$.
0 likes
View Solution218
MediumMCQ
જ્યારે $5 C$ નો વિદ્યુતભાર એક સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર $5000 N$ નું બળ લાગે છે. તે ક્ષેત્રમાં $1 cm$ ના અંતરે આવેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શોધો. ($V$ માં)
A
$10$
B
$250$
C
$1000$
D
$2500$
Solution
(A) આપેલ છે: વિદ્યુતભાર $q = 5 C$,બળ $F = 5000 N$,અંતર $d = 1 cm = 10^{-2} m$.
પ્રથમ,$E = F / q$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ શોધો.
$E = 5000 / 5 = 1000 N/C$.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $d$ અંતરે આવેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \times d$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = 1000 \times 10^{-2} = 10 V$.
પ્રથમ,$E = F / q$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ શોધો.
$E = 5000 / 5 = 1000 N/C$.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $d$ અંતરે આવેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \times d$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = 1000 \times 10^{-2} = 10 V$.
0 likes
View Solution219
EasyMCQ
એક વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં સ્થિતિમાન $V = (x^2 - y^2)$ મુજબ બદલાય છે. $X-Y$ સમતલમાં વિદ્યુત બળ રેખાઓ કેવી હશે?
A
B
C
D
Solution
(D) વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં સ્થિતિમાન $V = (x^2 - y^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સ્થિતિમાન $V$ સાથે $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ સંબંધ ધરાવે છે.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 2x$ અને $\frac{\partial V}{\partial y} = -2y$.
તેથી, $\vec{E} = -(2x \hat{i} - 2y \hat{j}) = -2x \hat{i} + 2y \hat{j}$.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ માટેનું વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{E_y}{E_x}$ છે.
$\vec{E}$ ના ઘટકો મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{-2x} = -\frac{y}{x}$.
પદોને ગોઠવતા, $\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\ln y = -\ln x + C$, જેનું સાદું રૂપ $\ln(xy) = C$ અથવા $xy = \text{constant}$ થાય છે.
આ સમીકરણ લંબકોણીય અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી, વિકલ્પ $(d)$ માં લંબકોણીય અતિવલયનો આલેખ દર્શાવેલ છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સ્થિતિમાન $V$ સાથે $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ સંબંધ ધરાવે છે.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 2x$ અને $\frac{\partial V}{\partial y} = -2y$.
તેથી, $\vec{E} = -(2x \hat{i} - 2y \hat{j}) = -2x \hat{i} + 2y \hat{j}$.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ માટેનું વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{E_y}{E_x}$ છે.
$\vec{E}$ ના ઘટકો મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{-2x} = -\frac{y}{x}$.
પદોને ગોઠવતા, $\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\ln y = -\ln x + C$, જેનું સાદું રૂપ $\ln(xy) = C$ અથવા $xy = \text{constant}$ થાય છે.
આ સમીકરણ લંબકોણીય અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી, વિકલ્પ $(d)$ માં લંબકોણીય અતિવલયનો આલેખ દર્શાવેલ છે.
0 likes
View Solution220
MediumMCQ
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક નક્કર ગોળો તેના સમગ્ર કદમાં સમાન રીતે વિતરિત થયેલ ધન વિદ્યુતભાર $Q$ ધરાવે છે. તેના કેન્દ્રમાંથી એક ખૂબ જ પાતળું છિદ્ર પાડવામાં આવે છે. $m$ દળ અને $-q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો એક કણ આ છિદ્રમાં ગોળાના કેન્દ્રની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. તો દોલનની આવૃત્તિ કેટલી હશે?
A
$\frac{1}{2 \pi}\left[\frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3 m}\right]^{\frac{1}{2}}$
B
$\frac{1}{2 \pi}\left[\frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2 m}\right]^{\frac{1}{2}}$
C
$\frac{1}{2 \pi} \frac{Q}{\left[4 \pi \varepsilon_0 m R^3\right]^{-\frac{1}{2}}}$
D
$\frac{1}{2 \pi}\left[\frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 m R}\right]^{\frac{1}{2}}$
Solution
(A) સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત નક્કર ગોળાની અંદર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{Q r}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વિદ્યુતભાર $-q$ હોવાથી,તેના પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -qE = -\frac{Q q r}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ છે.
આ બળ $F = -kr$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં બળ અચળાંક $k = \frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ છે.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા મળે છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3 m}}$ મળે છે.
કણનો વિદ્યુતભાર $-q$ હોવાથી,તેના પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -qE = -\frac{Q q r}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ છે.
આ બળ $F = -kr$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં બળ અચળાંક $k = \frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ છે.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા મળે છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3 m}}$ મળે છે.
0 likes
View Solution221
EasyMCQ
$10 \ cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક વર્તુળાકાર વાયરના લૂપ પર $10^{-5} \ C$ જેટલો કુલ વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વિતરિત થયેલ છે. જો વાયરનો $3.14 \times 10^{-6} \ m$ જેટલો નાનો ટુકડો કાપી નાખવામાં આવે,તો બાકી રહેલા વાયરને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય કેટલું હશે ($N \ C^{-1}$ માં)?
(ધારો કે $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \ SI$ એકમ)
(ધારો કે $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \ SI$ એકમ)
A
$30$
B
$40$
C
$35$
D
$45$
Solution
(D) ધારો કે લૂપ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 10^{-5} \ C$ છે અને ત્રિજ્યા $a = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{Q}{2 \pi a}$ છે.
$dl = 3.14 \times 10^{-6} \ m$ લંબાઈના કાપેલા નાના ટુકડા પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = \frac{Q dl}{2 \pi a}$ છે.
શરૂઆતમાં,સંપૂર્ણ લૂપને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
જો $E_{\text{rem}}$ એ બાકી રહેલા વાયરને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર હોય અને $E_{dl}$ એ કાપેલા ટુકડાને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર હોય,તો $E_{\text{rem}} + E_{dl} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $|E_{\text{rem}}| = |E_{dl}|$.
નાના ટુકડા $dq$ ને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{dl} = \frac{k dq}{a^2} = \frac{k Q dl}{a^2 (2 \pi a)} = \frac{k Q dl}{2 \pi a^3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E_{dl} = \frac{(9 \times 10^9) \times (10^{-5}) \times (3.14 \times 10^{-6})}{2 \times \pi \times (0.1)^3}$
$2 \pi \approx 2 \times 3.14 = 6.28$ હોવાથી,$3.14 / (2 \pi) = 0.5$ મળે.
$E_{dl} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-5} \times 10^{-6} \times 0.5}{0.001} = \frac{9 \times 10^{-2} \times 0.5}{10^{-3}} = 4.5 \times 10^1 = 45 \ N \ C^{-1}$.
રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{Q}{2 \pi a}$ છે.
$dl = 3.14 \times 10^{-6} \ m$ લંબાઈના કાપેલા નાના ટુકડા પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = \frac{Q dl}{2 \pi a}$ છે.
શરૂઆતમાં,સંપૂર્ણ લૂપને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
જો $E_{\text{rem}}$ એ બાકી રહેલા વાયરને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર હોય અને $E_{dl}$ એ કાપેલા ટુકડાને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર હોય,તો $E_{\text{rem}} + E_{dl} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $|E_{\text{rem}}| = |E_{dl}|$.
નાના ટુકડા $dq$ ને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{dl} = \frac{k dq}{a^2} = \frac{k Q dl}{a^2 (2 \pi a)} = \frac{k Q dl}{2 \pi a^3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E_{dl} = \frac{(9 \times 10^9) \times (10^{-5}) \times (3.14 \times 10^{-6})}{2 \times \pi \times (0.1)^3}$
$2 \pi \approx 2 \times 3.14 = 6.28$ હોવાથી,$3.14 / (2 \pi) = 0.5$ મળે.
$E_{dl} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-5} \times 10^{-6} \times 0.5}{0.001} = \frac{9 \times 10^{-2} \times 0.5}{10^{-3}} = 4.5 \times 10^1 = 45 \ N \ C^{-1}$.
0 likes
View Solution222
EasyMCQ
એક અર્ધ-અનંત અવાહક સળિયો $+x$-અક્ષ પર રહેલો છે,જેનો ડાબો છેડો ઉગમબિંદુ પર છે. સળિયાની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ સમાન છે. ઉગમબિંદુથી $L$ અંતરે $y$-અક્ષ પરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|\vec{E}|$ કેટલું હશે?
A
$\frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 L}$
B
$\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 L}$
C
$\frac{\lambda}{2 \sqrt{2} \pi \varepsilon_0 L}$
D
$\frac{\sqrt{2} \lambda}{\pi \varepsilon_0 L}$
Solution
(C) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો સળિયાનો એક અત્યંત સૂક્ષ્મ ભાગ ધ્યાનમાં લો.
તેમાં $dq = \lambda dx$ વિદ્યુતભાર છે અને તે $(0, L)$ બિંદુથી $r = \sqrt{x^2 + L^2}$ અંતરે છે.
$dx$ દ્વારા $(0, L)$ બિંદુ પર ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $dE = \frac{k dq}{r^2} = \frac{k \lambda dx}{x^2 + L^2}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રના $x$ અને $y$ ઘટકો $dE_x = dE \sin \theta$ અને $dE_y = dE \cos \theta$ છે,જ્યાં $\tan \theta = \frac{x}{L}$.
તેથી,$x = L \tan \theta$ અને $dx = L \sec^2 \theta d\theta$. ઉપરાંત,$r^2 = L^2 \sec^2 \theta$.
આ કિંમતો ઘટકોમાં મૂકતા:
$dE_x = \frac{k \lambda (L \sec^2 \theta d\theta)}{L^2 \sec^2 \theta} \sin \theta = \frac{k \lambda}{L} \sin \theta d\theta$.
$dE_y = \frac{k \lambda (L \sec^2 \theta d\theta)}{L^2 \sec^2 \theta} \cos \theta = \frac{k \lambda}{L} \cos \theta d\theta$.
$x=0$ થી $x=\infty$ સુધી સંકલન કરતા,$\theta$ ની મર્યાદા $0$ થી $\frac{\pi}{2}$ મળે છે:
$E_x = \int_0^{\pi/2} \frac{k \lambda}{L} \sin \theta d\theta = \frac{k \lambda}{L} [-\cos \theta]_0^{\pi/2} = \frac{k \lambda}{L}$.
$E_y = \int_0^{\pi/2} \frac{k \lambda}{L} \cos \theta d\theta = \frac{k \lambda}{L} [\sin \theta]_0^{\pi/2} = \frac{k \lambda}{L}$.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} = \sqrt{(\frac{k \lambda}{L})^2 + (\frac{k \lambda}{L})^2} = \sqrt{2} \frac{k \lambda}{L}$.
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{\sqrt{2} \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 L} = \frac{\lambda}{2 \sqrt{2} \pi \varepsilon_0 L}$ મળે છે.
તેમાં $dq = \lambda dx$ વિદ્યુતભાર છે અને તે $(0, L)$ બિંદુથી $r = \sqrt{x^2 + L^2}$ અંતરે છે.
$dx$ દ્વારા $(0, L)$ બિંદુ પર ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $dE = \frac{k dq}{r^2} = \frac{k \lambda dx}{x^2 + L^2}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રના $x$ અને $y$ ઘટકો $dE_x = dE \sin \theta$ અને $dE_y = dE \cos \theta$ છે,જ્યાં $\tan \theta = \frac{x}{L}$.
તેથી,$x = L \tan \theta$ અને $dx = L \sec^2 \theta d\theta$. ઉપરાંત,$r^2 = L^2 \sec^2 \theta$.
આ કિંમતો ઘટકોમાં મૂકતા:
$dE_x = \frac{k \lambda (L \sec^2 \theta d\theta)}{L^2 \sec^2 \theta} \sin \theta = \frac{k \lambda}{L} \sin \theta d\theta$.
$dE_y = \frac{k \lambda (L \sec^2 \theta d\theta)}{L^2 \sec^2 \theta} \cos \theta = \frac{k \lambda}{L} \cos \theta d\theta$.
$x=0$ થી $x=\infty$ સુધી સંકલન કરતા,$\theta$ ની મર્યાદા $0$ થી $\frac{\pi}{2}$ મળે છે:
$E_x = \int_0^{\pi/2} \frac{k \lambda}{L} \sin \theta d\theta = \frac{k \lambda}{L} [-\cos \theta]_0^{\pi/2} = \frac{k \lambda}{L}$.
$E_y = \int_0^{\pi/2} \frac{k \lambda}{L} \cos \theta d\theta = \frac{k \lambda}{L} [\sin \theta]_0^{\pi/2} = \frac{k \lambda}{L}$.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} = \sqrt{(\frac{k \lambda}{L})^2 + (\frac{k \lambda}{L})^2} = \sqrt{2} \frac{k \lambda}{L}$.
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{\sqrt{2} \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 L} = \frac{\lambda}{2 \sqrt{2} \pi \varepsilon_0 L}$ મળે છે.
0 likes
View Solution223
EasyMCQ
$-8 \mu C$ અને $+32 \mu C$ મૂલ્યના બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો હવામાં $15 \ cm$ ના અંતરે રહેલા છે. $-8 \mu C$ ના વિદ્યુતભારથી કેટલા અંતરે પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થશે ($cm$ માં)?
A
$15$
B
$30$
C
$7.5$
D
$5$
Solution
(A) ધારો કે જે બિંદુએ પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે તે $-8 \mu C$ ના વિદ્યુતભારથી $x$ અંતરે છે. વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી,શૂન્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર ધરાવતું બિંદુ બંને વિદ્યુતભારોની વચ્ચે નહીં પણ નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભાર $(-8 \mu C)$ ની બહારની બાજુએ હશે.
ધારો કે $-8 \mu C$ થી અંતર $x$ છે. તેથી $+32 \mu C$ થી અંતર $(15 + x)$ થશે.
શૂન્ય બિંદુએ,બંને વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$\frac{k |q_1|}{x^2} = \frac{k |q_2|}{(15 + x)^2}$
$\frac{8 \times 10^{-6}}{x^2} = \frac{32 \times 10^{-6}}{(15 + x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(15 + x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{15 + x}$
$15 + x = 2x$
$x = 15 \ cm$.
ધારો કે $-8 \mu C$ થી અંતર $x$ છે. તેથી $+32 \mu C$ થી અંતર $(15 + x)$ થશે.
શૂન્ય બિંદુએ,બંને વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$\frac{k |q_1|}{x^2} = \frac{k |q_2|}{(15 + x)^2}$
$\frac{8 \times 10^{-6}}{x^2} = \frac{32 \times 10^{-6}}{(15 + x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(15 + x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{15 + x}$
$15 + x = 2x$
$x = 15 \ cm$.
0 likes
View Solution224
EasyMCQ
$X$-અક્ષ પર $x=0$ અને $x=\sqrt{2} \ m$ પર બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $-10 \mu C$ અને $+5 \mu C$ મૂકેલા છે. $X$-અક્ષ પર જે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે તે બિંદુ કયું છે?
A
$x=(\sqrt{2}-1) \ m$
B
$x=2(\sqrt{2}-1) \ m$
C
$x=2(\sqrt{2}+1) \ m$
D
$x=(\sqrt{2}+1) \ m$
Solution
(C) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = -10 \mu C$ એ $x_1 = 0$ પર અને $q_2 = +5 \mu C$ એ $x_2 = \sqrt{2} \ m$ પર છે.
વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાની બહાર,નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભાર $(q_2)$ ની બાજુએ શૂન્ય થઈ શકે છે.
ધારો કે તટસ્થ બિંદુ $q_2$ થી ધન $x$-દિશામાં $d$ અંતરે છે.
આ બિંદુએ $q_1$ અને $q_2$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન મૂલ્યનું હોવું જોઈએ:
$\frac{k|q_1|}{(d + \sqrt{2})^2} = \frac{k|q_2|}{d^2}$
$\frac{10}{(d + \sqrt{2})^2} = \frac{5}{d^2}$
$2d^2 = (d + \sqrt{2})^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{2}d = d + \sqrt{2}$
$d(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2}$
$d = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2} \ m$.
આ બિંદુનો $x$-યામ $x_2 + d = \sqrt{2} + (2 + \sqrt{2}) = 2 + 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{2} + 1) \ m$ થાય.
વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાની બહાર,નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભાર $(q_2)$ ની બાજુએ શૂન્ય થઈ શકે છે.
ધારો કે તટસ્થ બિંદુ $q_2$ થી ધન $x$-દિશામાં $d$ અંતરે છે.
આ બિંદુએ $q_1$ અને $q_2$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન મૂલ્યનું હોવું જોઈએ:
$\frac{k|q_1|}{(d + \sqrt{2})^2} = \frac{k|q_2|}{d^2}$
$\frac{10}{(d + \sqrt{2})^2} = \frac{5}{d^2}$
$2d^2 = (d + \sqrt{2})^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{2}d = d + \sqrt{2}$
$d(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2}$
$d = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2} \ m$.
આ બિંદુનો $x$-યામ $x_2 + d = \sqrt{2} + (2 + \sqrt{2}) = 2 + 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{2} + 1) \ m$ થાય.
0 likes
View Solution225
MediumMCQ
$r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વાહક ગોળાઓને સમાન પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતાથી વિદ્યુતભારીત કરવામાં આવે છે. તેમની સપાટીની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
A
$r_1^2 / r_2^2$
B
$r_2^2 / r_1^2$
C
$r_1 / r_2$
D
$1: 1$
Solution
(D) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતા વાહક ગોળાની સપાટીની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ છે.
બંને ગોળાઓ સમાન પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા હોવાથી,$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$ થાય.
તેથી,પ્રથમ ગોળાની સપાટીની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ છે.
તે જ રીતે,બીજા ગોળાની સપાટીની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $E_1 = E_2$ મળે છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{1}{1}$ થાય.
બંને ગોળાઓ સમાન પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા હોવાથી,$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$ થાય.
તેથી,પ્રથમ ગોળાની સપાટીની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ છે.
તે જ રીતે,બીજા ગોળાની સપાટીની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $E_1 = E_2$ મળે છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{1}{1}$ થાય.
0 likes
View Solution226
EasyMCQ
$2 \lambda$ અને $3 \lambda$ જેટલી સમાન રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા બે અનંત લંબાઈના પાતળા સીધા તાર એકબીજાથી $R$ અંતરે સમાંતર રાખેલા છે. તેમની વચ્ચેના મધ્યબિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા કેટલી હશે?
A
$\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 R}$
B
$\frac{\lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$
C
$\frac{5 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$
D
$\frac{2 \lambda}{3 \pi \varepsilon_0 R}$
Solution
(B) અનંત લંબાઈના સીધા તાર માટે,$\lambda$ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા તારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ તાર માટે,જેની ઘનતા $\lambda_1 = 2 \lambda$ છે,મધ્યબિંદુએ ($r = R/2$ અંતરે) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{2 \lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (R/2)} = \frac{2 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$ થશે.
બીજા તાર માટે,જેની ઘનતા $\lambda_2 = 3 \lambda$ છે,મધ્યબિંદુએ ($r = R/2$ અંતરે) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{3 \lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (R/2)} = \frac{3 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$ થશે.
તાર સમાંતર અને ધન વિદ્યુતભારિત હોવાથી,મધ્યબિંદુએ બંને વિદ્યુતક્ષેત્રો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{net} = |E_2 - E_1| = |\frac{3 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R} - \frac{2 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R}| = \frac{\lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$ મળે છે.
પ્રથમ તાર માટે,જેની ઘનતા $\lambda_1 = 2 \lambda$ છે,મધ્યબિંદુએ ($r = R/2$ અંતરે) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{2 \lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (R/2)} = \frac{2 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$ થશે.
બીજા તાર માટે,જેની ઘનતા $\lambda_2 = 3 \lambda$ છે,મધ્યબિંદુએ ($r = R/2$ અંતરે) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{3 \lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (R/2)} = \frac{3 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$ થશે.
તાર સમાંતર અને ધન વિદ્યુતભારિત હોવાથી,મધ્યબિંદુએ બંને વિદ્યુતક્ષેત્રો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{net} = |E_2 - E_1| = |\frac{3 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R} - \frac{2 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R}| = \frac{\lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$ મળે છે.
0 likes
View Solution227
DifficultMCQ
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક પાતળી અવાહક રીંગ પર રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \lambda_0 \cos \phi$ છે,જ્યાં $\lambda_0$ અચળાંક છે અને $\phi$ એ એઝિમુથલ ખૂણો છે. રીંગના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda_0}{r}$
B
$\frac{1}{2 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda_0}{r}$
C
$\frac{\lambda_0}{4 \varepsilon_0 r}$
D
$\frac{\lambda_0}{2 \varepsilon_0 r}$
Solution
(C) આપેલ છે કે,અવાહક રીંગની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \lambda_0 \cos \phi$ છે.
લંબ અક્ષની બંને બાજુએ $\phi$ ખૂણે $dl = r d\phi$ લંબાઈના બે સપ્રમાણ ખંડો ધ્યાનમાં લો.
દરેક ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = (\lambda_0 \cos \phi) r d\phi$ છે.
કેન્દ્ર પર દરેક ખંડને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{\lambda_0 \cos \phi d\phi}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ છે.
સમપ્રમાણતાને કારણે સમક્ષિતિજ ઘટકો $dE \sin \phi$ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ શિરોલંબ ઘટકો $dE \cos \phi$ નો સરવાળો છે:
$E = \int_0^{\pi} 2 (dE \cos \phi) = \int_0^{\pi} 2 \left( \frac{\lambda_0 \cos \phi d\phi}{4 \pi \varepsilon_0 r} \right) \cos \phi$
$E = \frac{2 \lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} \int_0^{\pi} \cos^2 \phi d\phi$
$\cos^2 \phi = \frac{1 + \cos 2\phi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} \int_0^{\pi} (1 + \cos 2\phi) d\phi = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} [\phi + \frac{\sin 2\phi}{2}]_0^{\pi} = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} [\pi - 0] = \frac{\lambda_0}{4 \varepsilon_0 r}$.
લંબ અક્ષની બંને બાજુએ $\phi$ ખૂણે $dl = r d\phi$ લંબાઈના બે સપ્રમાણ ખંડો ધ્યાનમાં લો.
દરેક ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = (\lambda_0 \cos \phi) r d\phi$ છે.
કેન્દ્ર પર દરેક ખંડને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{\lambda_0 \cos \phi d\phi}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ છે.
સમપ્રમાણતાને કારણે સમક્ષિતિજ ઘટકો $dE \sin \phi$ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ શિરોલંબ ઘટકો $dE \cos \phi$ નો સરવાળો છે:
$E = \int_0^{\pi} 2 (dE \cos \phi) = \int_0^{\pi} 2 \left( \frac{\lambda_0 \cos \phi d\phi}{4 \pi \varepsilon_0 r} \right) \cos \phi$
$E = \frac{2 \lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} \int_0^{\pi} \cos^2 \phi d\phi$
$\cos^2 \phi = \frac{1 + \cos 2\phi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} \int_0^{\pi} (1 + \cos 2\phi) d\phi = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} [\phi + \frac{\sin 2\phi}{2}]_0^{\pi} = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} [\pi - 0] = \frac{\lambda_0}{4 \varepsilon_0 r}$.
0 likes
View Solution228
EasyMCQ
$1 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક વર્તુળાકાર વાયરના લૂપ પર $1 \times 10^{-6} \, C$ જેટલો કુલ વિદ્યુતભાર તેની લંબાઈ પર સમાન રીતે વિતરિત થયેલ છે. જો તેની લંબાઈ (પરિઘ) નો $0.01 \%$ ભાગ કાપી નાખવામાં આવે, તો બાકી રહેલા વાયરને કારણે લૂપના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું હશે?
$(\text{લો} \, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}=9 \times 10^9 \, \text{SI એકમ})$
$(\text{લો} \, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}=9 \times 10^9 \, \text{SI એકમ})$
A
$3 \times 10^3 \, N/C$
B
$6 \times 10^3 \, N/C$
C
$9 \times 10^3 \, N/C$
D
$1.2 \times 10^2 \, N/C$
Solution
(C) લૂપની ત્રિજ્યા, $r = 1 \, cm = 0.01 \, m$.
લૂપ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર, $Q = 1 \times 10^{-6} \, C$.
એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતભાર, $\lambda = \frac{Q}{2 \pi r} = \frac{10^{-6}}{2 \pi \times 0.01} = \frac{10^{-4}}{2 \pi} \, C/m$.
કાપી નાખેલા ભાગની લંબાઈ $l' = 0.01 \% \, \text{of} \, 2 \pi r = \frac{0.01}{100} \times 2 \pi r = 2 \pi \times 10^{-6} \, m$.
કાપી નાખેલા ભાગ પરનો વિદ્યુતભાર $Q' = l' \lambda = (2 \pi \times 10^{-6}) \times \frac{10^{-4}}{2 \pi} = 10^{-10} \, C$.
સંપૂર્ણ લૂપ માટે, કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. જો નાનો ભાગ $l'$ દૂર કરવામાં આવે, તો બાકી રહેલા ભાગને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર તે દૂર કરેલા ભાગ $l'$ દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્ય જેટલું જ હોય છે.
આ નાના ભાગને કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q'$ તરીકે ગણતા, વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{k Q'}{r^2}$ થાય.
$E = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-10}}{(0.01)^2} = \frac{0.9}{10^{-4}} = 9000 \, N/C = 9 \times 10^3 \, N/C$.
લૂપ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર, $Q = 1 \times 10^{-6} \, C$.
એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતભાર, $\lambda = \frac{Q}{2 \pi r} = \frac{10^{-6}}{2 \pi \times 0.01} = \frac{10^{-4}}{2 \pi} \, C/m$.
કાપી નાખેલા ભાગની લંબાઈ $l' = 0.01 \% \, \text{of} \, 2 \pi r = \frac{0.01}{100} \times 2 \pi r = 2 \pi \times 10^{-6} \, m$.
કાપી નાખેલા ભાગ પરનો વિદ્યુતભાર $Q' = l' \lambda = (2 \pi \times 10^{-6}) \times \frac{10^{-4}}{2 \pi} = 10^{-10} \, C$.
સંપૂર્ણ લૂપ માટે, કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. જો નાનો ભાગ $l'$ દૂર કરવામાં આવે, તો બાકી રહેલા ભાગને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર તે દૂર કરેલા ભાગ $l'$ દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્ય જેટલું જ હોય છે.
આ નાના ભાગને કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q'$ તરીકે ગણતા, વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{k Q'}{r^2}$ થાય.
$E = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-10}}{(0.01)^2} = \frac{0.9}{10^{-4}} = 9000 \, N/C = 9 \times 10^3 \, N/C$.
0 likes
View Solution229
EasyMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $xy$-સમતલમાં સમાન મૂલ્યના બે ઋણ વિદ્યુતભારો આવેલા છે. બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા કઈ હશે?
A
ધન $x$-દિશામાં
B
ઋણ $x$-દિશામાં
C
ધન $y$-દિશામાં
D
ઋણ $y$-દિશામાં
Solution
(B) ઋણ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર વિદ્યુતભાર તરફની દિશામાં હોય છે.
ધારો કે બે ઋણ વિદ્યુતભારો $-Q$,$(0, a)$ અને $(0, -a)$ પર આવેલા છે. બિંદુ $P$ એ ધન $x$-અક્ષ પર $(x, 0)$ પર છે.
$(0, a)$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}_1$ એ $P$ થી $(0, a)$ તરફની દિશામાં છે.
$(0, -a)$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}_2$ એ $P$ થી $(0, -a)$ તરફની દિશામાં છે.
વિદ્યુતભારોના મૂલ્યો સમાન હોવાથી અને $P$ થી તેમના અંતર સમાન હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન છે,એટલે કે $|\vec{E}_1| = |\vec{E}_2|$.
જ્યારે આ સદિશોના ઘટકો પાડવામાં આવે છે,ત્યારે $y$-ઘટકો ($E_{1y}$ અને $E_{2y}$) મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
$x$-ઘટકો ($E_{1x}$ અને $E_{2x}$) બંને ઋણ $x$-દિશામાં છે.
તેથી,બિંદુ $P$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર ઋણ $x$-દિશામાં હોય છે.
ધારો કે બે ઋણ વિદ્યુતભારો $-Q$,$(0, a)$ અને $(0, -a)$ પર આવેલા છે. બિંદુ $P$ એ ધન $x$-અક્ષ પર $(x, 0)$ પર છે.
$(0, a)$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}_1$ એ $P$ થી $(0, a)$ તરફની દિશામાં છે.
$(0, -a)$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}_2$ એ $P$ થી $(0, -a)$ તરફની દિશામાં છે.
વિદ્યુતભારોના મૂલ્યો સમાન હોવાથી અને $P$ થી તેમના અંતર સમાન હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન છે,એટલે કે $|\vec{E}_1| = |\vec{E}_2|$.
જ્યારે આ સદિશોના ઘટકો પાડવામાં આવે છે,ત્યારે $y$-ઘટકો ($E_{1y}$ અને $E_{2y}$) મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
$x$-ઘટકો ($E_{1x}$ અને $E_{2x}$) બંને ઋણ $x$-દિશામાં છે.
તેથી,બિંદુ $P$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર ઋણ $x$-દિશામાં હોય છે.
0 likes
View Solution230
MediumMCQ
$L$ બાજુવાળા એક સમઘનના સાત શિરોબિંદુઓ પર $+q$ અને બાકીના એક શિરોબિંદુ પર $-q$ બિંદુવત વિદ્યુતભારો રહેલા છે. તેના કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $|E|=\alpha\left(\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 L^2}\right)$ મળે છે. અચળાંક $\alpha$ નું મૂલ્ય કેટલું છે?
A
$\frac{4}{3}$
B
$\frac{8}{3}$
C
$3$
D
$1$
Solution
(B) ધારો કે સમઘનનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ છે. સમઘનના શિરોબિંદુઓ $(\pm L/2, \pm L/2, \pm L/2)$ પર છે.
જો આઠેય શિરોબિંદુઓ પર $+q$ વિદ્યુતભાર હોત,તો સંમિતિને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોત.
ધારો કે એક શિરોબિંદુ (ધારો કે $(-L/2, -L/2, -L/2)$) પર $+q$ ને બદલે $-q$ વિદ્યુતભાર છે.
આપેલ ગોઠવણી માટે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{total}$ છે.
જો આઠેય શિરોબિંદુઓ પર $+q$ વિદ્યુતભાર હોત તો વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{all} = 0$ હોત.
ધારો કે $(-L/2, -L/2, -L/2)$ શિરોબિંદુ પર $+q$ વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{vertex}$ છે.
તેથી,$\vec{E}_{total} = \vec{E}_{all} - \vec{E}_{vertex} + \vec{E}_{(-q)} = 0 - \vec{E}_{vertex} - \vec{E}_{vertex} = -2\vec{E}_{vertex}$.
કોઈપણ શિરોબિંદુથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r = \sqrt{(L/2)^2 + (L/2)^2 + (L/2)^2} = \sqrt{3L^2/4} = \frac{\sqrt{3}L}{2}$ છે.
કેન્દ્ર પર એક વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|E_{vertex}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{3L^2/4} = \frac{4}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ છે.
કારણ કે $\vec{E}_{total} = -2\vec{E}_{vertex}$,તેનું મૂલ્ય $|E_{total}| = 2 |E_{vertex}| = 2 \times \frac{4}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right) = \frac{8}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ છે.
આને $|E| = \alpha \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{8}{3}$ મળે છે.
જો આઠેય શિરોબિંદુઓ પર $+q$ વિદ્યુતભાર હોત,તો સંમિતિને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોત.
ધારો કે એક શિરોબિંદુ (ધારો કે $(-L/2, -L/2, -L/2)$) પર $+q$ ને બદલે $-q$ વિદ્યુતભાર છે.
આપેલ ગોઠવણી માટે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{total}$ છે.
જો આઠેય શિરોબિંદુઓ પર $+q$ વિદ્યુતભાર હોત તો વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{all} = 0$ હોત.
ધારો કે $(-L/2, -L/2, -L/2)$ શિરોબિંદુ પર $+q$ વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{vertex}$ છે.
તેથી,$\vec{E}_{total} = \vec{E}_{all} - \vec{E}_{vertex} + \vec{E}_{(-q)} = 0 - \vec{E}_{vertex} - \vec{E}_{vertex} = -2\vec{E}_{vertex}$.
કોઈપણ શિરોબિંદુથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r = \sqrt{(L/2)^2 + (L/2)^2 + (L/2)^2} = \sqrt{3L^2/4} = \frac{\sqrt{3}L}{2}$ છે.
કેન્દ્ર પર એક વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|E_{vertex}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{3L^2/4} = \frac{4}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ છે.
કારણ કે $\vec{E}_{total} = -2\vec{E}_{vertex}$,તેનું મૂલ્ય $|E_{total}| = 2 |E_{vertex}| = 2 \times \frac{4}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right) = \frac{8}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ છે.
આને $|E| = \alpha \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{8}{3}$ મળે છે.
0 likes
View Solution231
EasyMCQ
એક અવાહક ગોળાના કેન્દ્ર પર ઋણ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવે છે. ગોળાની સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા કઈ હશે?
A
ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ
B
ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ
C
સપાટીને સ્પર્શકની દિશામાં
D
કોઈ વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થતું નથી
Solution
(A) જ્યારે એક અવાહક ગોળાના કેન્દ્ર પર ઋણ વિદ્યુતભાર $(-q)$ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેની આસપાસના અવકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ઋણ બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ વિદ્યુતભાર તરફ નિર્દેશિત હોય છે.
જેহেতু વિદ્યુતભાર ગોળાના કેન્દ્રમાં છે,તેથી ગોળાની સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશ કરશે.
તેથી,સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ હોય છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ઋણ બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ વિદ્યુતભાર તરફ નિર્દેશિત હોય છે.
જેহেতু વિદ્યુતભાર ગોળાના કેન્દ્રમાં છે,તેથી ગોળાની સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશ કરશે.
તેથી,સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ હોય છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
0 likes
View Solution232
MediumMCQ
$50 \mu C$ નો બિંદુવત વિદ્યુતભાર $XY$ સમતલમાં $\vec{r}_0 = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} \ m$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુએ મૂકવામાં આવ્યો છે. $\vec{r} = 8 \hat{i} - 5 \hat{j} \ m$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય શોધો. (આપેલ છે: $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$). ($kV \ m^{-1}$ માં)
A
$4.5$
B
$45$
C
$0.45$
D
$450$
Solution
(A) અંતર સદિશ $\vec{r}_{sep} = \vec{r} - \vec{r}_0 = (8 \hat{i} - 5 \hat{j}) - (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) = 6 \hat{i} - 8 \hat{j} \ m$.
બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $r = |\vec{r}_{sep}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \ m$.
વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q|}{r^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = (9 \times 10^9) \times \frac{50 \times 10^{-6}}{10^2}$.
$E = (9 \times 10^9) \times \frac{50 \times 10^{-6}}{100} = 9 \times 10^9 \times 0.5 \times 10^{-6} = 4.5 \times 10^3 \ N \ C^{-1}$.
$1 \ N \ C^{-1} = 1 \ V \ m^{-1}$ હોવાથી,$E = 4.5 \times 10^3 \ V \ m^{-1} = 4.5 \ kV \ m^{-1}$ થાય.
બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $r = |\vec{r}_{sep}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \ m$.
વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q|}{r^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = (9 \times 10^9) \times \frac{50 \times 10^{-6}}{10^2}$.
$E = (9 \times 10^9) \times \frac{50 \times 10^{-6}}{100} = 9 \times 10^9 \times 0.5 \times 10^{-6} = 4.5 \times 10^3 \ N \ C^{-1}$.
$1 \ N \ C^{-1} = 1 \ V \ m^{-1}$ હોવાથી,$E = 4.5 \times 10^3 \ V \ m^{-1} = 4.5 \ kV \ m^{-1}$ થાય.
0 likes
View Solution233
EasyMCQ
$5 \text{ nC}$ (મૂલ્ય) ના અનંત વિદ્યુતભારોને $X$-અક્ષ પર $x = 1 \text{ cm}, x = 2 \text{ cm}, x = 4 \text{ cm}, x = 8 \text{ cm}, \dots$ વગેરે પર મૂકવામાં આવ્યા છે. આ ગોઠવણીમાં જો ક્રમિક વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોય, તો $x = 0$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\text{N/C}$ માં કેટલું હશે? $\left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\right)$
A
$12 \times 10^4$
B
$24 \times 10^4$
C
$36 \times 10^4$
D
$48 \times 10^4$
Solution
(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્રમિક વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી, $x = 0$ આગળ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{Q}{r_1^2} - \frac{Q}{r_2^2} + \frac{Q}{r_3^2} - \frac{Q}{r_4^2} + \dots \infty \right]$
$E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{(1 \times 10^{-2})^2} - \frac{1}{(2 \times 10^{-2})^2} + \frac{1}{(4 \times 10^{-2})^2} - \frac{1}{(8 \times 10^{-2})^2} + \dots \infty \right]$
$E = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-9}) \times 10^4 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} - \frac{1}{8^2} + \dots \infty \right]$
$E = 45 \times 10^4 \left[ 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} + \dots \infty \right]$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\frac{1}{4}$ છે.
સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - (-1/4)} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$.
તેથી, $E = 45 \times 10^4 \times \frac{4}{5} = 36 \times 10^4 \text{ N/C}$.
ક્રમિક વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી, $x = 0$ આગળ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{Q}{r_1^2} - \frac{Q}{r_2^2} + \frac{Q}{r_3^2} - \frac{Q}{r_4^2} + \dots \infty \right]$
$E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{(1 \times 10^{-2})^2} - \frac{1}{(2 \times 10^{-2})^2} + \frac{1}{(4 \times 10^{-2})^2} - \frac{1}{(8 \times 10^{-2})^2} + \dots \infty \right]$
$E = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-9}) \times 10^4 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} - \frac{1}{8^2} + \dots \infty \right]$
$E = 45 \times 10^4 \left[ 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} + \dots \infty \right]$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\frac{1}{4}$ છે.
સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - (-1/4)} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$.
તેથી, $E = 45 \times 10^4 \times \frac{4}{5} = 36 \times 10^4 \text{ N/C}$.
0 likes
View Solution234
EasyMCQ
બે વિદ્યુતભારો,દરેક $-q$ જેટલા,$(-a, 0)$ અને $(a, 0)$ પર રાખવામાં આવ્યા છે. ઉગમબિંદુ પર $q$ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવ્યો છે. જો $q$ ને $y$-દિશામાં નાનું સ્થાનાંતર $y$ આપવામાં આવે,તો $q$ પર લાગતું બળ કોના પ્રમાણમાં હશે?
A
$y$
B
$-y$
C
$\frac{1}{y}$
D
$-\frac{1}{y}$
Solution
(B) ધારો કે વિદ્યુતભાર $q$ ને $y$-અક્ષ પર $y$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે. વિદ્યુતભારનું સ્થાન $(0, y)$ બને છે.
$(-a, 0)$ અને $(a, 0)$ પર રહેલા દરેક $-q$ વિદ્યુતભારથી આ વિદ્યુતભારનું અંતર $r = \sqrt{a^2 + y^2}$ છે.
દરેક $-q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ $F' = \frac{kq^2}{r^2} = \frac{kq^2}{a^2 + y^2}$ છે.
સંમિતિને કારણે $x$-અક્ષ પરના આ બળોના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
$y$-અક્ષ પરના ઘટકો બંને ઉગમબિંદુ તરફ (ઋણ $y$-દિશામાં) લાગે છે.
પરિણામી બળ $F = -2 F' \sin \theta$ છે,જ્યાં $\sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{y}{\sqrt{a^2 + y^2}}$.
$F = -2 \left( \frac{kq^2}{a^2 + y^2} \right) \left( \frac{y}{\sqrt{a^2 + y^2}} \right) = -\frac{2kq^2 y}{(a^2 + y^2)^{3/2}}$.
સ્થાનાંતર $y$ ખૂબ નાનું હોવાથી $(y \ll a)$,આપણે $(a^2 + y^2)^{3/2} \approx (a^2)^{3/2} = a^3$ લઈ શકીએ.
આમ,$F \approx -\frac{2kq^2}{a^3} y$.
તેથી,$F \propto -y$.
$(-a, 0)$ અને $(a, 0)$ પર રહેલા દરેક $-q$ વિદ્યુતભારથી આ વિદ્યુતભારનું અંતર $r = \sqrt{a^2 + y^2}$ છે.
દરેક $-q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ $F' = \frac{kq^2}{r^2} = \frac{kq^2}{a^2 + y^2}$ છે.
સંમિતિને કારણે $x$-અક્ષ પરના આ બળોના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
$y$-અક્ષ પરના ઘટકો બંને ઉગમબિંદુ તરફ (ઋણ $y$-દિશામાં) લાગે છે.
પરિણામી બળ $F = -2 F' \sin \theta$ છે,જ્યાં $\sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{y}{\sqrt{a^2 + y^2}}$.
$F = -2 \left( \frac{kq^2}{a^2 + y^2} \right) \left( \frac{y}{\sqrt{a^2 + y^2}} \right) = -\frac{2kq^2 y}{(a^2 + y^2)^{3/2}}$.
સ્થાનાંતર $y$ ખૂબ નાનું હોવાથી $(y \ll a)$,આપણે $(a^2 + y^2)^{3/2} \approx (a^2)^{3/2} = a^3$ લઈ શકીએ.
આમ,$F \approx -\frac{2kq^2}{a^3} y$.
તેથી,$F \propto -y$.
0 likes
View Solution235
EasyMCQ
એક પાતળા કાચના સળિયાને $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળમાં વાળવામાં આવ્યો છે. સળિયા પર વિદ્યુતભાર અસમાન રીતે રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \lambda_0 \sin \theta$ મુજબ વિતરિત થયેલ છે (જ્યાં $\lambda_0$ એ ધન અચળાંક છે અને $\theta$ એ $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે). અર્ધવર્તુળના કેન્દ્ર $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું હશે?
A
$-\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \hat{j}$
B
$\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \hat{j}$
C
$\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \hat{i}$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(D) રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \lambda_0 \sin \theta$ છે. સળિયા પર એક નાનો ખંડ લો જે કેન્દ્ર પર $d\theta$ ખૂણો આંતરે છે. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda (R d\theta) = \lambda_0 R \sin \theta d\theta$ છે.
કેન્દ્ર પર આ ખંડને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{k dq}{R^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda_0 R \sin \theta d\theta}{R^2} = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \sin \theta d\theta$ છે.
સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્રના $x$-ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. $y$-ઘટક $dE_y = -dE \sin \theta = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \sin^2 \theta d\theta$ છે.
$\theta = 0$ થી $\pi$ સુધી સંકલન કરતા:
$E_y = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_0^{\pi} \sin^2 \theta d\theta = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = -\frac{\lambda_0}{8 \pi \varepsilon_0 R} [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi} = -\frac{\lambda_0}{8 \pi \varepsilon_0 R} (\pi) = -\frac{\lambda_0}{8 \varepsilon_0 R}$.
આમ,$\vec{E} = -\frac{\lambda_0}{8 \varepsilon_0 R} \hat{j}$. જે આપેલા વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.
કેન્દ્ર પર આ ખંડને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{k dq}{R^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda_0 R \sin \theta d\theta}{R^2} = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \sin \theta d\theta$ છે.
સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્રના $x$-ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. $y$-ઘટક $dE_y = -dE \sin \theta = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \sin^2 \theta d\theta$ છે.
$\theta = 0$ થી $\pi$ સુધી સંકલન કરતા:
$E_y = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_0^{\pi} \sin^2 \theta d\theta = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = -\frac{\lambda_0}{8 \pi \varepsilon_0 R} [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi} = -\frac{\lambda_0}{8 \pi \varepsilon_0 R} (\pi) = -\frac{\lambda_0}{8 \varepsilon_0 R}$.
આમ,$\vec{E} = -\frac{\lambda_0}{8 \varepsilon_0 R} \hat{j}$. જે આપેલા વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.
0 likes
View Solution236
MediumMCQ
$XY$ સમતલમાં '$a$' ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત વર્તુળાકાર રીંગને કારણે $Z$-અક્ષ પર વિદ્યુતક્ષેત્રમાં થતો ફેરફાર આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. $M$ યામનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$\frac{1}{2}$
B
$\sqrt{2}$
C
$1$
D
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
Solution
(D) '$a$' ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત રીંગની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી '$z$' અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_z$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E_z = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qz}{(z^2 + a^2)^{3/2}}$
જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર મહત્તમ હોય તે સ્થાન શોધવા માટે,આપણે $E_z$ નું '$z$' ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{dE_z}{dz} = 0$
$\frac{d}{dz} \left[ \frac{Qz}{(z^2 + a^2)^{3/2}} \right] = 0$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(z^2 + a^2)^{3/2} - z \cdot \frac{3}{2}(z^2 + a^2)^{1/2} \cdot 2z = 0$
$(z^2 + a^2)^{3/2} = 3z^2(z^2 + a^2)^{1/2}$
$z^2 + a^2 = 3z^2$
$2z^2 = a^2$
$z = \frac{a}{\sqrt{2}}$
આલેખની આડી ધરી $Z/a$ દર્શાવતી હોવાથી,$M$ યામ $z/a = 1/\sqrt{2}$ ને અનુરૂપ છે.
$E_z = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qz}{(z^2 + a^2)^{3/2}}$
જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર મહત્તમ હોય તે સ્થાન શોધવા માટે,આપણે $E_z$ નું '$z$' ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{dE_z}{dz} = 0$
$\frac{d}{dz} \left[ \frac{Qz}{(z^2 + a^2)^{3/2}} \right] = 0$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(z^2 + a^2)^{3/2} - z \cdot \frac{3}{2}(z^2 + a^2)^{1/2} \cdot 2z = 0$
$(z^2 + a^2)^{3/2} = 3z^2(z^2 + a^2)^{1/2}$
$z^2 + a^2 = 3z^2$
$2z^2 = a^2$
$z = \frac{a}{\sqrt{2}}$
આલેખની આડી ધરી $Z/a$ દર્શાવતી હોવાથી,$M$ યામ $z/a = 1/\sqrt{2}$ ને અનુરૂપ છે.
0 likes
View Solution237
MediumMCQ
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક ગોળાકાર ઘડિયાળના તમામ કલાકના અંકો પર $+Q$ મૂલ્યના અગિયાર સમાન બિંદુવત વિદ્યુતભારો મૂકવામાં આવ્યા છે,સિવાય કે $10$ વાગ્યાના સ્થાન પર. ઘડિયાળના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા કેટલી હશે?
A
કેન્દ્રથી $10$ ના અંક તરફ $\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$
B
$10$ ના અંકથી કેન્દ્ર તરફ $\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$
C
કેન્દ્રથી $6$ ના અંક તરફ $\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$
D
શૂન્ય.
Solution
(A) જો ઘડિયાળના તમામ $12$ કલાકના સ્થાનો પર $+Q$ ના સમાન વિદ્યુતભારો હોત,તો સંમિતિને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાત,કારણ કે દરેક વિદ્યુતભાર તેના વ્યાસાભિમુખ વિરુદ્ધ સ્થાને રહેલા સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભાર દ્વારા નાબૂદ થાત.
ધારો કે $10$ વાગ્યાના સ્થાને રહેલા $+Q$ વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{10}$ છે. જ્યારે $10$ વાગ્યાના સ્થાને વિદ્યુતભાર ગેરહાજર હોય ત્યારે ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net}$ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{E}_{total} = \vec{E}_{net} + \vec{E}_{10} = 0$
તેથી,$\vec{E}_{net} = -\vec{E}_{10}$.
$r$ અંતરે રહેલા એક $+Q$ વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$ છે.
$\vec{E}_{10}$ ની દિશા $10$ વાગ્યાના સ્થાનથી કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
આમ,$-\vec{E}_{10}$ એ $\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$ મૂલ્યનો સદિશ છે જે કેન્દ્રથી $10$ વાગ્યાના સ્થાન તરફની દિશામાં છે.
ધારો કે $10$ વાગ્યાના સ્થાને રહેલા $+Q$ વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{10}$ છે. જ્યારે $10$ વાગ્યાના સ્થાને વિદ્યુતભાર ગેરહાજર હોય ત્યારે ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net}$ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{E}_{total} = \vec{E}_{net} + \vec{E}_{10} = 0$
તેથી,$\vec{E}_{net} = -\vec{E}_{10}$.
$r$ અંતરે રહેલા એક $+Q$ વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$ છે.
$\vec{E}_{10}$ ની દિશા $10$ વાગ્યાના સ્થાનથી કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
આમ,$-\vec{E}_{10}$ એ $\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$ મૂલ્યનો સદિશ છે જે કેન્દ્રથી $10$ વાગ્યાના સ્થાન તરફની દિશામાં છે.
0 likes
View Solution238
EasyMCQ
એક ઋણ વીજભાર $-q$ ને બે સમાન ધન વીજભાર $Q$ ની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે,જેઓ એકબીજાથી $2d$ અંતરે છે. જો આ ઋણ વીજભારને ધન વીજભારોને જોડતી રેખાને લંબ દિશામાં નાનું સ્થાનાંતર $x$ $(x \ll d)$ આપવામાં આવે,તો તેના પર લાગતું પરિણામી બળ $(F)$ એ $x$ પર કેવી રીતે આધાર રાખશે?
A
$F \propto x$
B
$F \propto \frac{1}{x}$
C
$F \propto x^{2}$
D
$F \propto \frac{1}{x^{2}}$
Solution
(A) ધારો કે બે ધન વીજભાર $Q$ એ $(0, d)$ અને $(0, -d)$ પર સ્થિત છે. ઋણ વીજભાર $-q$ ને $(x, 0)$ પર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
દરેક ધન વીજભાર $Q$ અને ઋણ વીજભાર $-q$ વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{x^2 + d^2}$ છે.
દરેક ધન વીજભાર દ્વારા ઋણ વીજભાર પર લાગતા સ્થિત-વિદ્યુત બળનું મૂલ્ય $F_e = \frac{kQq}{r^2}$ છે.
સંમિતિને કારણે $y$-અક્ષ પરના આ બળોના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. $x$-અક્ષ પરના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે:
$F = -2 F_e \cos \theta$,જ્યાં $\cos \theta = \frac{x}{r}$.
પદોને મૂકતા:
$F = -2 \left( \frac{kQq}{r^2} \right) \left( \frac{x}{r} \right) = -\frac{2kQqx}{r^3}$.
કારણ કે $r = (x^2 + d^2)^{1/2}$,તેથી:
$F = -\frac{2kQqx}{(x^2 + d^2)^{3/2}}$.
શરત $x \ll d$ આપેલ હોવાથી,છેદમાં $x^2 + d^2 \approx d^2$ લઈ શકાય:
$F \approx -\frac{2kQqx}{(d^2)^{3/2}} = -\frac{2kQqx}{d^3}$.
આમ,બળ $F$ નું મૂલ્ય સ્થાનાંતર $x$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $F \propto x$.
દરેક ધન વીજભાર $Q$ અને ઋણ વીજભાર $-q$ વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{x^2 + d^2}$ છે.
દરેક ધન વીજભાર દ્વારા ઋણ વીજભાર પર લાગતા સ્થિત-વિદ્યુત બળનું મૂલ્ય $F_e = \frac{kQq}{r^2}$ છે.
સંમિતિને કારણે $y$-અક્ષ પરના આ બળોના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. $x$-અક્ષ પરના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે:
$F = -2 F_e \cos \theta$,જ્યાં $\cos \theta = \frac{x}{r}$.
પદોને મૂકતા:
$F = -2 \left( \frac{kQq}{r^2} \right) \left( \frac{x}{r} \right) = -\frac{2kQqx}{r^3}$.
કારણ કે $r = (x^2 + d^2)^{1/2}$,તેથી:
$F = -\frac{2kQqx}{(x^2 + d^2)^{3/2}}$.
શરત $x \ll d$ આપેલ હોવાથી,છેદમાં $x^2 + d^2 \approx d^2$ લઈ શકાય:
$F \approx -\frac{2kQqx}{(d^2)^{3/2}} = -\frac{2kQqx}{d^3}$.
આમ,બળ $F$ નું મૂલ્ય સ્થાનાંતર $x$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $F \propto x$.
0 likes
View Solution239
MediumMCQ
$a$ બાજુવાળા નિયમિત ષટ્કોણના ચાર શિરોબિંદુઓ પર $+Q$ મૂલ્યના ચાર સમાન વિદ્યુતભારો મૂકવામાં આવ્યા છે. શિરોબિંદુઓની યોગ્ય પસંદગી કરીને,ષટ્કોણના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય કેટલું હોઈ શકે?
A
$\frac{Q}{4 \pi \epsilon _{0} a^{2}}$
B
$\sqrt{2} \frac{Q}{4 \pi \epsilon _{0} a^{2}}$
C
$\frac{\sqrt{3}Q}{4 \pi \epsilon _{0} a^{2}}$
D
$\frac{2Q}{4 \pi \epsilon _{0} a^{2}}$
Solution
(C) નિયમિત ષટ્કોણમાં,કેન્દ્ર $O$ થી કોઈપણ શિરોબિંદુનું અંતર બાજુની લંબાઈ $a$ જેટલું હોય છે.
કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્રને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે ચાર વિદ્યુતભારોને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $A, B, C$ અને $F$ શિરોબિંદુઓ પર મૂકીએ છીએ.
$F$ અને $C$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ છે,તેથી તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે $(E_F + E_C = 0)$.
કેન્દ્ર $O$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે છે.
દરેક વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{a^2}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશો $E_A$ અને $E_B$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\text{net}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E_{\text{net}} = \sqrt{E_A^2 + E_B^2 + 2 E_A E_B \cos 60^{\circ}}$
કારણ કે $E_A = E_B = E$,તેથી:
$E_{\text{net}} = \sqrt{E^2 + E^2 + 2 E^2 (1/2)} = \sqrt{3E^2} = E\sqrt{3}$
$E$ ની કિંમત મૂકતા:
$E_{\text{net}} = \frac{\sqrt{3}Q}{4 \pi \epsilon_0 a^2}$
કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્રને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે ચાર વિદ્યુતભારોને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $A, B, C$ અને $F$ શિરોબિંદુઓ પર મૂકીએ છીએ.
$F$ અને $C$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ છે,તેથી તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે $(E_F + E_C = 0)$.
કેન્દ્ર $O$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે છે.
દરેક વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{a^2}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશો $E_A$ અને $E_B$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\text{net}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E_{\text{net}} = \sqrt{E_A^2 + E_B^2 + 2 E_A E_B \cos 60^{\circ}}$
કારણ કે $E_A = E_B = E$,તેથી:
$E_{\text{net}} = \sqrt{E^2 + E^2 + 2 E^2 (1/2)} = \sqrt{3E^2} = E\sqrt{3}$
$E$ ની કિંમત મૂકતા:
$E_{\text{net}} = \frac{\sqrt{3}Q}{4 \pi \epsilon_0 a^2}$
0 likes
View Solution240
MediumMCQ
$M$ દળ ધરાવતો એક એકમ ઋણ વીજભાર,$+Q$ મૂલ્યના બે સ્થિર વીજભારોને જોડતી $2a$ લંબાઈની સીધી રેખાના મધ્યબિંદુ પર રહેલો છે. જો તેને સીધી રેખાને લંબ દિશામાં ખૂબ જ નાનું સ્થાનાંતર $x$ $(x \ll a)$ આપવામાં આવે,તો તે:
A
તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછો આવશે અને ત્યાં જ રહેશે
B
$\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{Q}{2 \pi \varepsilon_{0} M a^{3}}}$ આવૃત્તિ સાથે દોલનો કરશે
C
ઉપરનામાંથી કોઈ નહીં
D
$\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} M a^{3}}}$ આવૃત્તિ સાથે દોલનો કરશે
Solution
(C) ધારો કે એકમ ઋણ વીજભાર લંબ દ્વિભાજક પર મધ્યબિંદુથી $x$ અંતરે છે. દરેક સ્થિર વીજભાર $+Q$ થી આ વીજભારનું અંતર $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ છે.
દરેક $+Q$ વીજભાર દ્વારા એકમ ઋણ વીજભાર પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot 1}{r^2} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2 + a^2)}$ છે.
વીજભારોને જોડતી રેખાને લંબ આ બળોના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે લંબ દ્વિભાજકની દિશામાંના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
ચોખ્ખું પુનઃસ્થાપક બળ $F_{\text{net}} = -2F \cos \theta$ છે,જ્યાં $\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}$.
$F_{\text{net}} = -2 \left( \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2 + a^2)} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \right) = -\frac{2Qx}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2 + a^2)^{3/2}}$.
$x \ll a$ હોવાથી,આપણે $(x^2 + a^2)^{3/2} \approx a^3$ લઈ શકીએ.
આમ,$F_{\text{net}} \approx -\left( \frac{2Q}{4 \pi \varepsilon_0 a^3} \right) x = -\left( \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 a^3} \right) x$.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $F = -kx_{eff}$ છે,જ્યાં $k_{eff} = \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 a^3}$.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k_{eff}}{M}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 M a^3}}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ ગણતરી કરેલી આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાતો નથી.
દરેક $+Q$ વીજભાર દ્વારા એકમ ઋણ વીજભાર પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot 1}{r^2} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2 + a^2)}$ છે.
વીજભારોને જોડતી રેખાને લંબ આ બળોના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે લંબ દ્વિભાજકની દિશામાંના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
ચોખ્ખું પુનઃસ્થાપક બળ $F_{\text{net}} = -2F \cos \theta$ છે,જ્યાં $\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}$.
$F_{\text{net}} = -2 \left( \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2 + a^2)} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \right) = -\frac{2Qx}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2 + a^2)^{3/2}}$.
$x \ll a$ હોવાથી,આપણે $(x^2 + a^2)^{3/2} \approx a^3$ લઈ શકીએ.
આમ,$F_{\text{net}} \approx -\left( \frac{2Q}{4 \pi \varepsilon_0 a^3} \right) x = -\left( \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 a^3} \right) x$.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $F = -kx_{eff}$ છે,જ્યાં $k_{eff} = \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 a^3}$.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k_{eff}}{M}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 M a^3}}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ ગણતરી કરેલી આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાતો નથી.
0 likes
View Solution241
MediumMCQ
પાંચ ધન વિદ્યુતભારો,જે દરેકનો વિદ્યુતભાર $q$ છે,તેમને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક નિયમિત પંચકોણના શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. આ પાંચ ધન વિદ્યુતભારોને કારણે પંચકોણના કેન્દ્ર $O$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $(\vec{E})$ કેટલું હશે?
A
$V=\frac{5 q}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ અને $\vec{E}=0$
B
$V=\frac{5 q}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ અને $\vec{E}=\frac{5 \sqrt{3} q}{8 \pi \varepsilon_0 r^2} \hat{r}$
C
$V=\frac{5 q}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ અને $\vec{E}=\frac{5 q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \hat{r}$
D
$V=0$ અને $\vec{E}=0$
Solution
(A) $1$. વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$ એ અદિશ રાશિ છે. $r$ અંતરે રહેલા એક વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પરનું સ્થિતિમાન $V_i = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ છે. અહીં પાંચ સમાન વિદ્યુતભારો હોવાથી,કુલ સ્થિતિમાન તેમનો બેઝિક સરવાળો થશે: $V = 5 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r} = \frac{5 q}{4 \pi \varepsilon_0 r}$.
$2$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $(\vec{E})$ એ સદિશ રાશિ છે. નિયમિત બહુકોણના તમામ શિરોબિંદુઓ પર સમાન વિદ્યુતભારો હોવાથી,દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો સંમિતિને કારણે એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે. તેથી,કેન્દ્ર $O$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 0$ થશે.
$2$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $(\vec{E})$ એ સદિશ રાશિ છે. નિયમિત બહુકોણના તમામ શિરોબિંદુઓ પર સમાન વિદ્યુતભારો હોવાથી,દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો સંમિતિને કારણે એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે. તેથી,કેન્દ્ર $O$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 0$ થશે.
0 likes
View Solution242
DifficultMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના પરિઘ પર છ બિંદુવત વિદ્યુતભારો એકબીજાથી $60^{\circ}$ ના અંતરે રાખવામાં આવ્યા છે. વર્તુળના કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર . . . . . . છે. ($\epsilon_{0}$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે)
A
$ -\frac{5Q}{8\pi\epsilon_{0}R^{2}}(\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}) $
B
$ -\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}(\sqrt{3}\hat{i}-\hat{j}) $
C
$ -(\frac{5Q}{8\pi\epsilon_{0}R^{2}})(\hat{i}-3\hat{j}) $
D
$ \frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}(\sqrt{3}\hat{i}-\hat{j}) $
Solution
(B) ધારો કે કેન્દ્ર પર એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_{0} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{Q}{R^{2}}$ છે.
સંમિતિના આધારે,$90^{\circ}$ અને $270^{\circ}$ પરના વિદ્યુતભારો (બંને $+Q$) એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
બાકીના વિદ્યુતભારો $30^{\circ}, 150^{\circ}, 210^{\circ}, 330^{\circ}$ પર છે.
ખાસ કરીને,$30^{\circ}$ અને $210^{\circ}$ પરના વિદ્યુતભારો $+Q$ અને $+Q$ છે,અને $150^{\circ}$ અને $330^{\circ}$ પરના વિદ્યુતભારો $-Q$ અને $+Q$ છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ વ્યક્તિગત ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
ઘટકોનું વિભાજન કર્યા પછી,કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = -\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}(\sqrt{3}\hat{i}-\hat{j})$ મળે છે.
સંમિતિના આધારે,$90^{\circ}$ અને $270^{\circ}$ પરના વિદ્યુતભારો (બંને $+Q$) એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
બાકીના વિદ્યુતભારો $30^{\circ}, 150^{\circ}, 210^{\circ}, 330^{\circ}$ પર છે.
ખાસ કરીને,$30^{\circ}$ અને $210^{\circ}$ પરના વિદ્યુતભારો $+Q$ અને $+Q$ છે,અને $150^{\circ}$ અને $330^{\circ}$ પરના વિદ્યુતભારો $-Q$ અને $+Q$ છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ વ્યક્તિગત ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
ઘટકોનું વિભાજન કર્યા પછી,કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = -\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}(\sqrt{3}\hat{i}-\hat{j})$ મળે છે.
0 likes
View Solution243
MediumMCQ
$r$ અંતરે $2q$ બિંદુવત વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ છે. હવે,જો $q$ વિદ્યુતભારને $R$ ત્રિજ્યાના પાતળા ગોલીય કવચ પર સમાન રીતે વિતરિત કરવામાં આવે,તો પાતળા ગોલીય કવચના કેન્દ્રથી $\frac{r}{2}$ $(r \gg R)$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E'=$ . . . . . . થશે.
A
$4E$
B
$2E$
C
$E$
D
$\frac{E}{2}$
Solution
(B) $r$ અંતરે રહેલા $2q$ બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = k \frac{2q}{r^2}$ છે.
$q$ વિદ્યુતભાર અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પાતળા ગોલીય કવચ માટે,કેન્દ્રથી $r' = \frac{r}{2}$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવાનું છે. અહીં $r \gg R$ હોવાથી,$r' > R$ ની શરત સંતોષાય છે,જેનો અર્થ છે કે કવચ તેના કેન્દ્ર પર બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે.
આમ,$E' = k \frac{q}{(r/2)^2} = k \frac{q}{r^2/4} = 4k \frac{q}{r^2}$ થાય.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$k \frac{q}{r^2} = \frac{E}{2}$ મળે.
આ કિંમત $E'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$E' = 4 \times \frac{E}{2} = 2E$ મળે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
$q$ વિદ્યુતભાર અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પાતળા ગોલીય કવચ માટે,કેન્દ્રથી $r' = \frac{r}{2}$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવાનું છે. અહીં $r \gg R$ હોવાથી,$r' > R$ ની શરત સંતોષાય છે,જેનો અર્થ છે કે કવચ તેના કેન્દ્ર પર બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે.
આમ,$E' = k \frac{q}{(r/2)^2} = k \frac{q}{r^2/4} = 4k \frac{q}{r^2}$ થાય.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$k \frac{q}{r^2} = \frac{E}{2}$ મળે.
આ કિંમત $E'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$E' = 4 \times \frac{E}{2} = 2E$ મળે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
0 likes
View Solution244
DifficultMCQ
$35 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક પાતળી અર્ધ-વલય (half ring) પર કુલ $Q$ કુલંબ વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાયેલો છે. જો અર્ધ-વલયના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $100 \text{ V/m}$ હોય,તો $Q$ નું મૂલ્ય . . . . . . $\text{nC}$ છે. ($\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/\text{Nm}^2$ અને $\pi = 3.14$)
A
$2.14$
B
$2.44$
C
$3.25$
D
$0.7$
Solution
(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતી અર્ધ-વર્તુળાકાર રીંગ માટે,રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{Q}{\pi R}$ છે.
કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{2k\lambda}{R}$ છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $E = \frac{2(1/4\pi\epsilon_0)(Q/\pi R)}{R} = \frac{Q}{2\pi^2 \epsilon_0 R^2}$.
આપેલ છે કે $E = 100 \text{ V/m}$,$R = 0.35 \text{ m}$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/\text{Nm}^2$,અને $\pi = 3.14$.
$Q$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $Q = E \times 2\pi^2 \epsilon_0 R^2$.
$Q = 100 \times 2 \times (3.14)^2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times (0.35)^2$.
$Q = 200 \times 9.8596 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.1225$.
$Q \approx 2.14 \times 10^{-9} \text{ C} = 2.14 \text{ nC}$.
કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{2k\lambda}{R}$ છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $E = \frac{2(1/4\pi\epsilon_0)(Q/\pi R)}{R} = \frac{Q}{2\pi^2 \epsilon_0 R^2}$.
આપેલ છે કે $E = 100 \text{ V/m}$,$R = 0.35 \text{ m}$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/\text{Nm}^2$,અને $\pi = 3.14$.
$Q$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $Q = E \times 2\pi^2 \epsilon_0 R^2$.
$Q = 100 \times 2 \times (3.14)^2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times (0.35)^2$.
$Q = 200 \times 9.8596 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.1225$.
$Q \approx 2.14 \times 10^{-9} \text{ C} = 2.14 \text{ nC}$.
0 likes
View SolutionElectric Charges and Fields — Electric Field · Frequently Asked Questions
1Are these Electric Charges and Fields questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Electric Charges and Fields Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.