Electric Field Questions in Gujarati

(C) અર્ધ-વર્તુળ પર $\theta$ ખૂણે $dl = a d\theta$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ વિચારો. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = \lambda a d\theta$ છે.
કેન્દ્ર પર આ ખંડને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{dq}{a^2} = \frac{\lambda d\theta}{4\pi \epsilon_0 a}$ છે.
સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે અને શિરોલંબ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} dE \cos \theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 a} \cos \theta d\theta$ થશે.
$E = \frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 a} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 a} (1 - (-1)) = \frac{2\lambda}{4\pi \epsilon_0 a} = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 a}$.

(A) ધારો કે જે બિંદુએ ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે $+8q$ વિદ્યુતભાર (જે $x=0$ પર છે) થી $r$ અંતરે છે.
બંને વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી,શૂન્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર વાળું બિંદુ તેમની વચ્ચેના વિસ્તારની બહાર,નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભાર $(-2q)$ ની નજીક હશે.
ધારો કે $+8q$ થી અંતર $r$ છે,તો $-2q$ થી અંતર $(r - L)$ થશે.
$+8q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{k(8q)}{r^2}$ અને $-2q$ ને કારણે $E_2 = \frac{k(2q)}{(r - L)^2}$ છે.
ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,$E_1 = E_2$,તેથી $\frac{8q}{r^2} = \frac{2q}{(r - L)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{\sqrt{8}}{r} = \frac{\sqrt{2}}{r - L}$.
$2\sqrt{2}(r - L) = \sqrt{2}r \Rightarrow 2r - 2L = r \Rightarrow r = 2L$.
આમ,તે બિંદુ $x = 2L$ પર હશે.

(B) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉગમબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વિદ્યુતભારો $q, -q, q, -q, ...$ અનુક્રમે $x = 1, 2, 4, 8, ...$ મીટર અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે.
ઉગમબિંદુ પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$E_0 = \frac{kq}{1^2} + \frac{k(-q)}{2^2} + \frac{kq}{4^2} + \frac{k(-q)}{8^2} + ...$
$E_0 = kq \left( 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} + ... \right)$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\frac{1}{4}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
$E_0 = kq \left( \frac{1}{1 - (-1/4)} \right) = kq \left( \frac{1}{1 + 1/4} \right) = kq \left( \frac{1}{5/4} \right) = \frac{4kq}{5}$.

(B) ધારો કે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય તે બિંદુ $9e$ વિદ્યુતભારથી $x$ અંતરે છે.
આ બિંદુએ બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ:
$\frac{k(9e)}{x^2} = \frac{k(3e)}{(r-x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{3}{x} = \frac{\sqrt{3}}{r-x}$
$3(r-x) = x\sqrt{3}$
$3r - 3x = x\sqrt{3}$
$3r = x(3 + \sqrt{3})$
$x = \frac{3r}{3 + \sqrt{3}}$
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{r}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{r}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{r}{(1 + \sqrt{1/3})}$
આમ,$9e$ વિદ્યુતભારથી અંતર $\frac{r}{(1 + \sqrt{1/3})}$ છે.

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા એક સમાન વિદ્યુતભારીત અવાહક ગોળા માટે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r < R)$: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQr}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $E \propto r$ હોવાથી,આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
$2$. સપાટી પર $(r = R)$: વિદ્યુતક્ષેત્ર મહત્તમ હોય છે,$E_{max} = \frac{kQ}{R^2}$.
$3$. ગોળાની બહાર $(r > R)$: ગોળો બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે,તેથી $E = \frac{kQ}{r^2}$. અહીં $E \propto \frac{1}{r^2}$ હોવાથી,આલેખ વ્યસ્ત-વર્ગના ઘટાડાનો વક્ર દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો આલેખ $r = R$ સુધી રેખીય વધારો અને $r > R$ માટે વ્યસ્ત-વર્ગનો ઘટાડો દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(D) સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત અર્ધવર્તુળાકાર રીંગના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{2k\lambda}{r} \sin(\frac{\alpha}{2})$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો છે.
અર્ધવર્તુળ માટે,$\alpha = 180^\circ$,તેથી $\sin(90^\circ) = 1$.
રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{Q}{L} = \frac{Q}{\pi r}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $E = \frac{2k(Q/\pi r)}{r} = \frac{2kQ}{\pi r^2}$.
આપેલ છે: $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$,$Q = 1.4 \times 10^{-9} \ C$,$r = 0.5 \ m$.
$E = \frac{2 \times (9 \times 10^9) \times (1.4 \times 10^{-9})}{\pi \times (0.5)^2} = \frac{25.2}{\pi \times 0.25} = \frac{100.8}{\pi} \approx 32.09 \ V/m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,જવાબ $32 \ V/m$ મળે છે.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{r^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઉદ્ગમ વિદ્યુતભાર ડ્યુટરોન છે. ડ્યુટરોનનો વિદ્યુતભાર $q = +e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$ છે.
અંતર $r = 1\,\mathring{A} = 10^{-10}\,\text{m}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})}{(10^{-10})^2}$
$E = \frac{14.4 \times 10^{-10}}{10^{-20}}$
$E = 1.44 \times 10^{11}\,\text{N/C}$.

(B) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ નું સૂત્ર $\vec{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r^3} \vec{r}$ છે.
અહીં $q = 0.009 \ \mu C = 9 \times 10^{-9} \ C$ અને $\vec{r} = \sqrt{2} \hat{i} + \sqrt{7} \hat{j}$ છે.
સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય $r = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{7})^2} = \sqrt{2 + 7} = \sqrt{9} = 3 \ m$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{E} = (9 \times 10^9) \times \frac{9 \times 10^{-9}}{3^3} (\sqrt{2} \hat{i} + \sqrt{7} \hat{j})$.
$\vec{E} = \frac{81}{27} (\sqrt{2} \hat{i} + \sqrt{7} \hat{j}) = 3(\sqrt{2} \hat{i} + \sqrt{7} \hat{j}) = (3\sqrt{2} \hat{i} + 3\sqrt{7} \hat{j}) \ N C^{-1}$.

(C) ધારો કે જે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે $10 \, mC$ (બિંદુ $A$) થી $x$ અંતરે છે.
$10 \, mC$ ના વિદ્યુતભારને કારણે $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{k q_1}{x^2}$ છે.
$20 \, mC$ ના વિદ્યુતભારને કારણે $(80 - x)$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{k q_2}{(80 - x)^2}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,$E_1 = E_2$ હોવું જોઈએ,તેથી $\frac{q_1}{x^2} = \frac{q_2}{(80 - x)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{\sqrt{q_1}}{x} = \frac{\sqrt{q_2}}{80 - x}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\sqrt{10}}{x} = \frac{\sqrt{20}}{80 - x}$.
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{2}}{80 - x} \implies 80 - x = x\sqrt{2}$.
$80 = x(1 + \sqrt{2}) \implies x = \frac{80}{1 + 1.414} = \frac{80}{2.414} \approx 33.14 \, cm$.

(D) ધારો કે $A$ બિંદુ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે અને $-2q$ વિદ્યુતભારથી $A$ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર $x$ છે.
$+8q$ ને કારણે $A$ બિંદુ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{k(8q)}{(L+x)^2}$ (ઉગમબિંદુથી દૂરની દિશામાં) છે.
$-2q$ ને કારણે $A$ બિંદુ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{k(2q)}{x^2}$ (ઉગમબિંદુ તરફની દિશામાં) છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,$E_1 = E_2$ હોવું જોઈએ.
$\frac{k(8q)}{(L+x)^2} = \frac{k(2q)}{x^2}$
$\frac{4}{(L+x)^2} = \frac{1}{x^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{2}{L+x} = \frac{1}{x}$
$2x = L + x$
$x = L$
તેથી,$x = 0$ થી $A$ બિંદુનું અંતર $L + x = L + L = 2L$ થશે.

(C) અર્ધવર્તુળાકાર રીંગ પર શિરોલંબ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે $dl$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ વિચારો.
આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = \lambda R d\theta$ છે.
આ ખંડને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{k dq}{R^2} = \frac{k \lambda R d\theta}{R^2} = \frac{k \lambda d\theta}{R}$ થાય.
સંમિતિને કારણે,સંમિતિની અક્ષને લંબ વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સંમિતિની અક્ષ પરના ઘટકોનું સંકલન છે: $E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} dE \cos \theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{k \lambda}{R} \cos \theta d\theta$.
$E = \frac{k \lambda}{R} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{k \lambda}{R} [1 - (-1)] = \frac{2k \lambda}{R}$.

(B) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $x$ છે. $-3Q$ વિદ્યુતભારને કારણે $Q$ ના સ્થાન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે:
$E = \frac{k| -3Q |}{x^2} = \frac{3kQ}{x^2}$
તેથી,$\frac{kQ}{x^2} = \frac{E}{3}$.
હવે,$Q$ વિદ્યુતભારને કારણે $-3Q$ ના સ્થાન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E'$ નીચે મુજબ મળે:
$E' = \frac{k| Q |}{x^2} = \frac{kQ}{x^2}$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી કિંમત મૂકતા:
$E' = \frac{E}{3}$
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ રાશિ હોવાથી અને $-3Q$ પરનું ક્ષેત્ર $Q$ ના કારણે વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેનું મૂલ્ય $E/3$ થાય છે.

(D) સમઘનને $8$ ખૂણા હોય છે. ધારો કે સમઘનનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ પર છે.
દરેક ખૂણા પર મૂકવામાં આવેલા $+Q$ વિદ્યુતભાર માટે,તેનાથી વિકર્ણની સામેના ખૂણા પર સમાન $+Q$ વિદ્યુતભાર રહેલો હોય છે.
એક ખૂણા પરના વિદ્યુતભાર દ્વારા સમઘનના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{kQ}{d^2} \hat{r}$ છે,જ્યાં $d$ એ ખૂણાથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
વિકર્ણની સામેના ખૂણા પરનો વિદ્યુતભાર $\vec{E}' = \frac{kQ}{d^2} (-\hat{r}) = -\vec{E}$ જેટલું વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
આ બંને ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
આમ,વિકર્ણની સામેની તમામ $4$ જોડીઓ માટે આ લાગુ પડતું હોવાથી,સમઘનના કેન્દ્ર પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $0$ થાય છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ છે. $B$ અને $C$ પર $Q$ વિદ્યુતભાર મૂકેલા છે.
$B$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે શિરોબિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{a^2}$ છે,જે $BA$ ની દિશામાં છે.
$C$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે શિરોબિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_C = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{a^2}$ છે,જે $CA$ ની દિશામાં છે.
$E_B$ અને $E_C$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$E = \sqrt{E_B^2 + E_C^2 + 2E_B E_C \cos 60^\circ}$
અહીં $E_B = E_C = E_0 = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 a^2}$ હોવાથી:
$E = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2E_0^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3E_0^2} = \sqrt{3} E_0$
$E = \frac{\sqrt{3} Q}{4\pi \varepsilon_0 a^2}$

(B) ધારો કે જે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે ઉદ્ગમબિંદુથી $X$-અક્ષની ઋણ દિશામાં $x$ અંતરે આવેલું છે. ધારો કે આ અંતર $d = |x|$ છે.
ઉદ્ગમબિંદુથી $a$ અંતરે રહેલા $+Q$ વિદ્યુતભારને કારણે બિંદુ $P$ (ઉદ્ગમબિંદુથી $d$ અંતરે) પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{kQ}{(a+d)^2}$ ડાબી તરફ છે.
ઉદ્ગમબિંદુથી $2a$ અંતરે રહેલા $-2Q$ વિદ્યુતભારને કારણે બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{k(2Q)}{(2a+d)^2}$ જમણી તરફ છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,$E_1 = E_2$ થવું જોઈએ.
$\frac{kQ}{(a+d)^2} = \frac{2kQ}{(2a+d)^2}$
$\frac{1}{(a+d)^2} = \frac{2}{(2a+d)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{a+d} = \frac{\sqrt{2}}{2a+d}$
$2a + d = \sqrt{2}a + \sqrt{2}d$
$d(\sqrt{2} - 1) = a(2 - \sqrt{2})$
$d = a \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2}a$
બિંદુ $X$-અક્ષની ઋણ દિશામાં હોવાથી,યામ $x = -\sqrt{2}a$ થશે.

(A) ધારો કે $Q_1 = 9e$ વિદ્યુતભારથી $x_1$ અંતરે અને $Q_2 = 3e$ વિદ્યુતભારથી $x_2$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે,જ્યાં $x_1 + x_2 = r$.
શૂન્ય બિંદુ પર,બંને વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$\frac{k Q_1}{x_1^2} = \frac{k Q_2}{x_2^2}$
$\frac{9e}{x_1^2} = \frac{3e}{x_2^2}$
$\frac{x_1^2}{x_2^2} = \frac{9e}{3e} = 3$
$\frac{x_1}{x_2} = \sqrt{3} \implies x_1 = x_2 \sqrt{3}$
$x_1 + x_2 = r$ હોવાથી,$x_2 \sqrt{3} + x_2 = r \implies x_2(1 + \sqrt{3}) = r \implies x_2 = \frac{r}{1 + \sqrt{3}}$ ($3e$ વિદ્યુતભારથી અંતર).
$x_1$ માટે,$x_1 = r - x_2 = r - \frac{r}{1 + \sqrt{3}} = r \left( \frac{1 + \sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \right) = \frac{r \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{r}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}$.
આમ,$9e$ વિદ્યુતભારથી $\frac{r}{1 + \sqrt{1/3}}$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થશે.

(A) ધારો કે જે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે $-Q$ વિદ્યુતભારથી $x$ અંતરે નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભારની બાજુએ આવેલું છે.
બે વિજાતીય વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ જે $R$ અંતરે અલગ પડેલા છે,તેમના માટે શૂન્ય બિંદુ (null point) વિદ્યુતભારોની બહારની બાજુએ નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભારની તરફ હોય છે.
ધારો કે $-Q$ થી અંતર $x$ છે. તો $2Q$ થી અંતર $R + x$ થશે.
વિદ્યુતક્ષેત્રોના મૂલ્યોને સરખાવતા: $\frac{k|Q|}{x^2} = \frac{k|2Q|}{(R + x)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{2}}{R + x}$.
$R + x = x\sqrt{2} \Rightarrow R = x(\sqrt{2} - 1)$.
$x = \frac{R}{\sqrt{2} - 1}$.
આ બિંદુ $-Q$ વિદ્યુતભારથી $\frac{R}{\sqrt{2} - 1}$ અંતરે,$2Q$ વિદ્યુતભારથી દૂરની બાજુએ આવેલું છે.

(D) સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત રીંગના કેન્દ્ર $O$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
ધારો કે રીંગને ચાર સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે: $AK$,$KB$,$BD$,અને $DC$. દરેક ભાગ પર $+Q/4$ વિદ્યુતભાર છે.
$AKB$ ભાગને કારણે કેન્દ્ર $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ $AK$ અને $KB$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. ધારો કે આ પરિણામી ક્ષેત્ર $E$ છે જે $KO$ ની દિશામાં છે.
$ACDB$ ભાગમાં $AC$,$CD$,અને $DB$ વિભાગોનો સમાવેશ થાય છે.
સંમિતિને કારણે,$AC$ ભાગ પરના વિદ્યુતભારને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $BD$ ભાગ પરના વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર જેટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. આમ,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
તેથી,$ACDB$ ભાગને કારણે $O$ પરનું ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત $CD$ ભાગને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર જેટલું જ હોય છે.
આખી રીંગનું કુલ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,$AKB$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર $ACDB$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર જેટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ.
જો $AKB$ ને કારણે ક્ષેત્ર $KO$ ની દિશામાં $E$ હોય,તો $ACDB$ ને કારણે ક્ષેત્ર $OK$ ની દિશામાં $E$ હોવું જોઈએ જેથી સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય.

(C) ધારો કે $a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણના બે શિરોબિંદુઓ પર $q_1 = q_2 = \eta q$ વિદ્યુતભારો છે. દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ત્રીજા શિરોબિંદુ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = E_2 = \frac{\eta q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}$ છે.
બે વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ હોવાથી,પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_3$ નીચે મુજબ મળે:
$E_3 = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1 E_2 \cos 60^\circ} = \sqrt{E_1^2 + E_1^2 + 2E_1^2(1/2)} = \sqrt{3} E_1$.
$E_1 = \eta E_0$ મૂકતા,આપણને $E_3 = \sqrt{3} \eta E_0$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\eta^{-1} < \sqrt{3}$,તેથી $\frac{1}{\eta} < \sqrt{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{3} \eta > 1$.
તેથી,$E_3 = (\sqrt{3} \eta) E_0 > 1 \cdot E_0$,એટલે કે $E_3 > E_0$.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે $X$-અક્ષ પરના બિંદુ $P$ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે.
ઉગમબિંદુ પરના $-q$ વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{kq}{x^2}$ (ઉગમબિંદુ તરફ) છે.
$(a, 0, 0)$ પરના $+q/2$ વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{k(q/2)}{(x - a)^2}$ (ઉગમબિંદુથી દૂર) છે.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,બંનેના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $E_1 = E_2$.
$\frac{kq}{x^2} = \frac{kq/2}{(x - a)^2}$
$2(x - a)^2 = x^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\sqrt{2}(x - a) = x$ ($x > a$ વિસ્તાર માટે જ્યાં ક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરી શકે છે).
$\sqrt{2}x - \sqrt{2}a = x$
$(\sqrt{2} - 1)x = \sqrt{2}a$
$x = \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2} - 1}$

(A) સમાન રીતે વીજભારિત મર્યાદિત સળિયા માટે,બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકો $E_x = \frac{k\lambda}{d}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ અને $E_y = \frac{k\lambda}{d}(\cos \theta_2 - \cos \theta_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલી આકૃતિમાં,સળિયો $P$ થી સળિયા પરના લંબ સાથે $\theta_1 = 90^{\circ}$ અને $\theta_2 = 30^{\circ}$ ના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,$E_x = \frac{k\lambda}{d}(\sin 90^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = \frac{k\lambda}{d}(1 + 0.5) = 1.5 \frac{k\lambda}{d}$.
અને $E_y = \frac{k\lambda}{d}(\cos 30^{\circ} - \cos 90^{\circ}) = \frac{k\lambda}{d}(\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) = 0.866 \frac{k\lambda}{d}$.
$x$-અક્ષ સાથે પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્રનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{E_y}{E_x} = \frac{0.866}{1.5} = \frac{\sqrt{3}/2}{3/2} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^{\circ}$.

(B) સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત રીંગની અક્ષ પર $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{k Q x}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
$q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતા કણ માટે સંતુલનમાં,કુલ બળ $F = qE - mg = 0$ થાય.
સ્થિર સંતુલન માટેની શરત $\frac{dF}{dx} < 0$ છે.
વિકલન કરતા: $\frac{dF}{dx} = q \frac{dE}{dx} = qkQ \left[ \frac{(R^2 + x^2)^{3/2} - x \cdot \frac{3}{2}(R^2 + x^2)^{1/2} \cdot 2x}{(R^2 + x^2)^3} \right] < 0$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $(R^2 + x^2) - 3x^2 < 0$.
$R^2 - 2x^2 < 0 \Rightarrow 2x^2 > R^2 \Rightarrow x > \frac{R}{\sqrt{2}}$.
કણ $H$ ઊંચાઈ પર હોવાથી,સંતુલન ત્યારે જ સ્થિર રહેશે જો $H > \frac{R}{\sqrt{2}}$ હોય.

(A) વિદ્યુત બળનું સૂત્ર $F = qE$ છે.
આપેલ છે: $F = 3000 \ N$,$q = 3 \ C$.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{F}{q} = \frac{3000}{3} = 1000 \ V/m$.
વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ પર $d$ અંતરે આવેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = Ed$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ અંતર $d = 1 \ cm = 0.01 \ m$.
કિંમતો મૂકતા,$V = 1000 \times 0.01 = 10 \ V$.

(A) સમાન રીતે વીજભારિત ઘન ગોળાની અંદર કોઈ બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ કદ વીજભાર ઘનતા છે અને $\vec{r}$ એ ગોળાના કેન્દ્રની સાપેક્ષે બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પોલાણને મૂળ ગોળા પર $-\rho$ વીજભાર ઘનતા ધરાવતા ગોળા તરીકે ગણી શકીએ છીએ.
પોલાણની અંદર કોઈપણ બિંદુ પર ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ ઘન ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર અને પોલાણની ઋણ વીજભાર ઘનતાને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રનો સરવાળો છે:
$\vec{E} = \vec{E}_{sphere} + \vec{E}_{cavity} = \frac{\rho \vec{r}_1}{3 \epsilon_0} + \frac{-\rho \vec{r}_2}{3 \epsilon_0}$
અહીં,$\vec{r}_1$ એ ગોળાના કેન્દ્રથી સ્થાન સદિશ છે અને $\vec{r}_2$ એ પોલાણના કેન્દ્રથી સ્થાન સદિશ છે. સદિશ તફાવત $\vec{r}_1 - \vec{r}_2$ એ કેન્દ્રો વચ્ચેના સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{l}$ જેટલો છે.
તેથી,$\vec{E} = \frac{\rho}{3 \epsilon_0} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2) = \frac{\rho \vec{l}}{3 \epsilon_0}$.
વીજભાર $q$ પર લાગતું બળ $\vec{F} = q\vec{E}$ હોવાથી,બળ $\vec{F} = q \frac{\rho \vec{l}}{3 \epsilon_0}$ થશે.
આમ,બળ સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{l}$ ની દિશાને સમાંતર છે.

(C) $1$. રીંગની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ આગળ સ્થિતિમાન $V = \frac{KQ}{\sqrt{R^2 + x^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $x = 3R$ આપેલ હોવાથી,$V = \frac{KQ}{\sqrt{R^2 + (3R)^2}} = \frac{KQ}{\sqrt{10}R}$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$2$. સમાન રીતે વિતરિત રીંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{KQx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે. $x = 3R$ માટે,$E = \frac{KQ(3R)}{(R^2 + 9R^2)^{3/2}} = \frac{3KQR}{(10R^2)^{3/2}} = \frac{3KQ}{10\sqrt{10}R^2}$.
$3$. વિદ્યુતભાર અસમાન રીતે વિતરિત હોવાથી,$P$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન રીતે વિતરિત રીંગ જેટલું જ હોય તે જરૂરી નથી. વિતરણના આધારે ક્ષેત્રનું મૂલ્ય બદલાઈ શકે છે. તેથી,ક્ષેત્ર $\frac{3KQ}{10\sqrt{10}R^2}$ જેટલું જ હોવું જોઈએ તેવું વિધાન ખોટું છે. વિકલ્પ $C$ ખોટું વિધાન છે.

(D) અર્ધ-વર્તુળાકાર રીંગ પર એક નાનો ખંડ $dl$ ધ્યાનમાં લો. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl$ છે,જ્યાં $\lambda = \frac{q}{\pi r}$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
$dl = r d\theta$ હોવાથી,$dq = \left(\frac{q}{\pi r}\right) (r d\theta) = \frac{q}{\pi} d\theta$ મળે.
આ ખંડને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{\pi r^2} d\theta = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} d\theta$ છે.
સંમિતિને કારણે,ઉર્ધ્વ અક્ષની બંને બાજુએ આવેલા ખંડોના સમક્ષિતિજ ઘટકો $(dE \cos\theta)$ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર એ ઉર્ધ્વ ઘટકો $(dE \sin\theta)$ નું $\theta = 0$ થી $\pi$ સુધીનું સંકલન છે.
$E = \int_0^{\pi} dE \sin\theta = \int_0^{\pi} \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} \sin\theta d\theta$.
$E = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} [-\cos\theta]_0^{\pi} = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} (-(-1) - (-1)) = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} (2) = \frac{q}{2\pi^2\varepsilon_0 r^2}$.
વિદ્યુતભાર ધન હોવાથી અને તે ઉપરના અર્ધ-વર્તુળ પર હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું ક્ષેત્ર નીચેની તરફ એટલે કે $-\hat{j}$ દિશામાં હશે.
તેથી,$\vec{E} = -\frac{q}{2\pi^2\varepsilon_0 r^2} \hat{j}$.

(C) સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત ગોળાની અંદર,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\rho r}{3\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે.
$C$ અને $D$ વચ્ચેના ઓવરલેપિંગ વિસ્તારમાં,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ $S_1$ અને $S_2$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
ધારો કે $r_1$ એ $O_1$ થી અંતર છે અને $r_2$ એ $O_2$ થી અંતર છે. $S_1$ ને કારણે ક્ષેત્ર $E_1 = \frac{\rho r_1}{3\epsilon_0}$ ($O_1$ થી દૂરની દિશામાં) છે અને $S_2$ ને કારણે ક્ષેત્ર $E_2 = \frac{\rho r_2}{3\epsilon_0}$ ($O_2$ તરફની દિશામાં) છે.
ઓવરલેપિંગ વિસ્તારમાં બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં ($O_1$ થી $O_2$ તરફ) હોવાથી,કુલ ક્ષેત્ર $E_{net} = E_1 + E_2 = \frac{\rho}{3\epsilon_0} (r_1 + r_2)$ થાય છે.
કેન્દ્રો $O_1$ અને $O_2$ વચ્ચેનું અંતર અચળ $(d = r_1 + r_2)$ હોવાથી,ઓવરલેપિંગ વિસ્તારમાં કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = \frac{\rho d}{3\epsilon_0}$ અચળ રહે છે.

(C) ધારો કે વિદ્યુતભાર $Q$ નું સ્થાન $A$ છે અને વિદ્યુતભાર $-2Q$ નું સ્થાન $B$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ છે.
બિંદુ $B$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $-2Q$ ને કારણે બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$\vec E = \frac{k(-2Q)}{r^2} \hat{r}_{BA} = \frac{2kQ}{r^2} \hat{r}_{AB}$ (જ્યાં $\hat{r}_{AB}$ એ $A$ થી $B$ તરફનો એકમ સદિશ છે).
બિંદુ $A$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે બિંદુ $B$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$\vec E' = \frac{kQ}{r^2} \hat{r}_{AB}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$\vec E' = \frac{1}{2} \left( \frac{2kQ}{r^2} \hat{r}_{AB} \right) = \frac{\vec E}{2}$.
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં ($A$ થી $B$ તરફ) હોવાથી,$B$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $+\frac{\vec E}{2}$ થશે.

(B) ધારો કે ચોરસના ખૂણાઓ $A, B, C, D$ છે. વિદ્યુતભારો $q_A = q, q_B = 2q, q_C = -4q, q_D = 2q$ છે.
દરેક ખૂણાથી કેન્દ્ર $O$ સુધીનું અંતર $r = \frac{b}{\sqrt{2}}$ છે.
કેન્દ્ર પર વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 b^2}$ થાય.
$q_A$ ને કારણે $O$ પર ક્ષેત્ર: $\vec{E}_A = \frac{q}{2\pi \varepsilon_0 b^2}$ ($A$ થી દૂર,$C$ તરફ).
$q_C$ ને કારણે $O$ પર ક્ષેત્ર: $\vec{E}_C = \frac{4q}{2\pi \varepsilon_0 b^2}$ ($C$ તરફ).
$AC$ પર પરિણામી ક્ષેત્ર: $\vec{E}_{AC} = \vec{E}_A + \vec{E}_C = \frac{5q}{2\pi \varepsilon_0 b^2}$ ($C$ તરફ).
$q_B$ અને $q_D$ સમાન હોવાથી,$BD$ પરનું પરિણામી ક્ષેત્ર શૂન્ય થશે.
આમ,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\frac{5q}{2\pi \varepsilon_0 b^2}$ છે,જે $+q$ થી $-4q$ ની દિશામાં છે.

(D) ધારો કે ચોરસ $xy$-સમતલમાં છે અને તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે. શિરોલંબ અક્ષ એ $z$-અક્ષ છે. ચાર ખૂણાઓ $(\pm a/\sqrt{2}, \pm a/\sqrt{2}, 0)$ પર છે.
ત્રણ ખૂણાઓ પર વિદ્યુતભાર $q$ છે,અને એક ખૂણા પર વિદ્યુતભાર $Q+q$ છે.
અક્ષથી $r_i$ અંતરે રહેલા વિદ્યુતભાર $q_i$ ને કારણે $z$-અક્ષ પર વિદ્યુતક્ષેત્રનો ઘટક $E_{z,i} = \frac{k q_i z}{(r_i^2 + z^2)^{3/2}}$ છે.
ત્રણ વિદ્યુતભારો $q$ માટે,શિરોલંબ ઘટકોનો સરવાળો $E_{z,1+2+3} = \frac{3kqz}{(r^2 + z^2)^{3/2}}$ છે.
ચોથા વિદ્યુતભાર $(Q+q)$ માટે,શિરોલંબ ઘટક $E_{z,4} = \frac{k(Q+q)z}{(r^2 + z^2)^{3/2}}$ છે.
$z$-અક્ષ પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,$E_{z,1+2+3} + E_{z,4} = 0$ હોવું જોઈએ.
$3kq + (Q+q) = 0 \implies Q+q = -3q \implies Q = -4q$.

(C) રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતી અર્ધ-અનંત વિદ્યુતભારિત રેખા માટે,રેખાના છેડાથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{k\lambda}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે રેખા સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે હોય છે.
જો કે,આપેલ ગોઠવણીની સંમિતિનો ઉપયોગ કરીને,ધારો કે ધન વિદ્યુતભારિત રેખા $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે અને ઋણ વિદ્યુતભારિત રેખા $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
ધન વિદ્યુતભારિત રેખાને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_+)$ રેખાથી દૂરની દિશામાં હોય છે,અને ઋણ વિદ્યુતભારિત રેખાને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_-)$ રેખા તરફની દિશામાં હોય છે.
સંમિતિ દ્વારા,$x$-અક્ષ પરના વિદ્યુતક્ષેત્રોના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે $y$-અક્ષ પરના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
આમ,પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_R$ એ ધન $y$-અક્ષની દિશામાં હોય છે.
ધન $y$-અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat j$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ચાપ પરના એક નાના ખંડનો વિચાર કરો જે શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે છે અને તેની કોણીય પહોળાઈ $d\theta$ છે. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda (R d\theta) = (\lambda_0 \sin \theta) R d\theta$ છે.
કેન્દ્ર $P$ પર આ ખંડને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{k dq}{R^2} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\lambda_0 \sin \theta R d\theta}{R^2} = \frac{\lambda_0 \sin \theta d\theta}{4\pi \epsilon_0 R}$ છે.
સંમિતિ દ્વારા,વિદ્યુતક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકો નાબૂદ થાય છે. કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1$ એ શિરોલંબ અક્ષની દિશામાં છે અને તે $-\pi/2$ થી $\pi/2$ સુધીના ઘટકો $dE \sin \theta$ નું સંકલન છે:
$E_1 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda_0 \sin \theta d\theta}{4\pi \epsilon_0 R} \sin \theta = \frac{\lambda_0}{4\pi \epsilon_0 R} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 \theta d\theta = \frac{\lambda_0}{4\pi \epsilon_0 R} \left[ \frac{\theta}{2} - \frac{\sin(2\theta)}{4} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\lambda_0}{4\pi \epsilon_0 R} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\lambda_0}{8 \epsilon_0 R}$.
આમ,$\frac{\lambda_0}{\epsilon_0 E_1 R} = \frac{\lambda_0}{\epsilon_0 (\lambda_0 / 8 \epsilon_0 R) R} = 8$.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = k|q|/r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$x_1 = 2$ અને $x_2 = 4$ પર બે સમાન ધન વિદ્યુતભારો માટે, કોઈપણ બિંદુ $x$ પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net}$ એ બંને વિદ્યુતભારોના ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે।
$1$. વિદ્યુતભારોની નજીક ($x \to 2$ અથવા $x \to 4$), ક્ષેત્રનું મૂલ્ય અનંત તરફ જાય છે કારણ કે $r \to 0$ થાય છે।
$2$. મધ્યબિંદુ $x = 3$ પર, $x = 2$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = kq/(3-2)^2 = kq$ ($+x$ દિશામાં) છે, અને $x = 4$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = kq/(4-3)^2 = kq$ ($-x$ દિશામાં) છે।
$3$. આમ, $x = 3$ પર, $E_{net} = E_1 - E_2 = 0$ થાય છે।
$4$. આલેખમાં $x = 2$ અને $x = 4$ પર અનંતતા (asymptote) અને $x = 3$ પર શૂન્ય મૂલ્ય દર્શાવવું જોઈએ।
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, જે આલેખ $x=2$ અને $x=4$ પર $E \to \infty$ અને $x=3$ પર $E=0$ દર્શાવે છે તે સાચો છે।

(C) $1$. જમણી બાજુએ રહેલ ધન વીજભારિત લંબચોરસ ઇન્સ્યુલેટર ઉગમબિંદુ પર એક વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_+$ ઉત્પન્ન કરે છે જે તેનાથી દૂર,બીજા ચરણમાં નિર્દેશિત હોય છે.
$2$. ડાબી બાજુએ રહેલ ઋણ વીજભારિત લંબચોરસ ઇન્સ્યુલેટર ઉગમબિંદુ પર એક વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_-$ ઉત્પન્ન કરે છે જે તેની તરફ,બીજા ચરણમાં નિર્દેશિત હોય છે.
$3$. ઇન્સ્યુલેટર્સ સપ્રમાણ રીતે મૂકવામાં આવ્યા હોવાથી અને સમાન વીજભાર ધરાવતા હોવાથી,આ વિદ્યુતક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન છે,એટલે કે $|\vec{E}_+| = |\vec{E}_-| = E$.
$4$. બંને ક્ષેત્રોના ઘટકો ઋણ $x$-અક્ષ અને ધન $y$-અક્ષ પર હોય છે. જો $\theta$ એ દરેક ક્ષેત્ર $x$-અક્ષ સાથે બનાવતો ખૂણો હોય,તો $x$-ઘટકો $-E \cos \theta$ અને $y$-ઘટકો $E \sin \theta$ છે.
$5$. ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = \vec{E}_+ + \vec{E}_-$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક $-2E \cos \theta$ (ઋણ $x$-અક્ષ પર) અને શિરોલંબ ઘટક $2E \sin \theta$ (ધન $y$-અક્ષ પર) હશે.
$6$. ભૂમિતિને જોતા,ધન પ્લેટમાંથી વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્લેટથી દૂર (બીજા ચરણ તરફ) નિર્દેશિત થાય છે અને ઋણ પ્લેટમાંથી વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્લેટ તરફ (બીજા ચરણ તરફ) નિર્દેશિત થાય છે. આ બે ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો ધન $y$-અક્ષની દિશામાં ચોખ્ખું ક્ષેત્ર આપે છે કારણ કે સપ્રમાણતાને કારણે $x$-ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.

(A) આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે $a$ અને $b$ ની વચ્ચે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ હંમેશા ધન દિશામાં છે.
જો $a$ ધન હોય અને $b$ ઋણ હોય,તો $a$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $a$ થી દૂર (એટલે કે $b$ તરફ,ધન) હોય છે અને $b$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $b$ તરફ (એટલે કે $b$ તરફ,ધન) હોય છે. આમ,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન રહે છે.
જો બંને ધન હોય,તો $a$ ને કારણે ક્ષેત્ર ધન અને $b$ ને કારણે ક્ષેત્ર ઋણ હોય છે. તેમની વચ્ચેના કોઈ બિંદુએ કુલ ક્ષેત્ર શૂન્ય થઈ જાય અને દિશા બદલાય.
જો બંને ઋણ હોય,તો $a$ ને કારણે ક્ષેત્ર ઋણ ($a$ તરફ) અને $b$ ને કારણે ક્ષેત્ર ધન ($b$ તરફ) હોય છે. $a$ ની નજીક કુલ ક્ષેત્ર ઋણ હશે.
જો $a$ ઋણ હોય અને $b$ ધન હોય,તો $a$ ને કારણે ક્ષેત્ર ઋણ અને $b$ ને કારણે ક્ષેત્ર ઋણ હોય છે. કુલ ક્ષેત્ર હંમેશા ઋણ રહેશે.
તેથી,સાચો નિષ્કર્ષ એ છે કે $a$ ધન છે અને $b$ ઋણ છે.

(B) બિંદુ $B$ પર રહેલા ધન વિદ્યુતભાર $+Q$ ને કારણે બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $B$ થી દૂર,એટલે કે $AX$ ની દિશામાં હોય છે.
બિંદુ $C$ પર રહેલા ઋણ વિદ્યુતભાર $-Q$ ને કારણે બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $C$ ની તરફ,એટલે કે $AZ$ ની દિશામાં હોય છે.
અહીં વિદ્યુતભારોના મૂલ્યો સમાન છે અને બિંદુ $A$ એ $B$ અને $C$ થી સમાન અંતરે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રો $E_{AB}$ અને $E_{AC}$ ના મૂલ્યો સમાન છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર એ $E_{AB}$ અને $E_{AC}$ નો સદિશ સરવાળો છે. સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,બે સમાન સદિશોનું પરિણામી સદિશ તેમની વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજક પર હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,દિશા $AY$ એ $AX$ અને $AZ$ વચ્ચેના ખૂણાનો દ્વિભાજક દર્શાવે છે. તેથી,$A$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $AY$ ની દિશામાં હશે.

(A) બિંદુ $A(0, 1)$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q_1$ ને કારણે બિંદુ $P(1, 1)$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન $x$-અક્ષની દિશામાં છે.
અંતર $AP = 1$ છે. તેથી,$E_A = \frac{k q_1}{1^2} = k q_1$,જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ છે.
બિંદુ $B(1, 0)$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q_2 = q_1/2$ ને કારણે બિંદુ $P(1, 1)$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન $y$-અક્ષની દિશામાં છે.
અંતર $BP = 1$ છે. તેથી,$E_B = \frac{k (q_1/2)}{1^2} = \frac{k q_1}{2}$ છે.
$P$ પરના પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશના ઘટકો $E_x = E_A = k q_1$ અને $E_y = E_B = \frac{k q_1}{2}$ છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે $\tan \theta = \frac{E_y}{E_x} = \frac{E_B}{E_A} = \frac{k q_1 / 2}{k q_1} = \frac{1}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1/2)$.

(C) ધારો કે નિયમિત ષટ્કોણની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. કોઈપણ ખૂણા પર રહેલા $q$ વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0 = \frac{kq}{a^2}$ છે,જે વિદ્યુતભારથી દૂરની દિશામાં હોય છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણાઓ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
પાંચ ખૂણાઓ પર પાંચ $q$ વિદ્યુતભારો હોવાથી,ચાર વિદ્યુતભારો (સામસામેના ખૂણાઓની બે જોડી) ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,અને બાકી રહેલા એક ખૂણા પરના વિદ્યુતભારને કારણે ક્ષેત્ર બાકી રહે છે. ધારો કે આ ક્ષેત્ર $\vec E = \frac{kq}{a^2}$ છે,જે ખાલી ખૂણાથી દૂરની દિશામાં છે.
કેન્દ્ર પર $6\vec E$ જેટલું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર મેળવવા માટે,આપણે છઠ્ઠા ખૂણાથી દૂરની દિશામાં $6\vec E$ જેટલું ક્ષેત્ર જોઈએ.
ધારો કે છઠ્ઠા ખૂણા પરનો વિદ્યુતભાર $Q'$ છે. કેન્દ્ર પર આ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર $\vec E' = \frac{kQ'}{a^2}$ છે.
કેન્દ્ર પરનું કુલ ક્ષેત્ર $\vec E_{net} = \vec E + \vec E' = \vec E + \frac{kQ'}{a^2} = 6\vec E$ થશે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{kQ'}{a^2} = 5\vec E = 5\left(\frac{kq}{a^2}\right)$.
તેથી,$Q' = 5q$.

(B) સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત રીંગના કેન્દ્ર $O$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\overrightarrow{E}_{net} = 0$.
આને વિભાગ $AB$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને બાકીના વિભાગ $ACB$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$\overrightarrow{E}_{AB} + \overrightarrow{E}_{ACB} = 0$
તેથી,$\overrightarrow{E}_{ACB} = -\overrightarrow{E}_{AB}$.
વિભાગ $AB$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ આપેલ હોવાથી,વિભાગ $ACB$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $-\overrightarrow{E}$ થશે.

(C) અચળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ દ્વારા $q_0$ વિદ્યુતભાર પર બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી ગતિ કરવા માટે થયેલું કાર્ય $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\overrightarrow{F} = q_0 \overrightarrow{E}$ એ વિદ્યુત બળ છે અને $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{r}_B - \overrightarrow{r}_A$ એ સ્થાનાંતર સદિશ છે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{E} = E_0 \hat{i}$ અને બિંદુઓના યામ $A(0, a)$ અને $B(a, 0)$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{d} = (a - 0) \hat{i} + (0 - a) \hat{j} = a \hat{i} - a \hat{j}$ છે.
હવે,થયેલું કાર્ય ગણીએ:
$W = (q_0 \overrightarrow{E}) \cdot \overrightarrow{d}$
$W = (q_0 E_0 \hat{i}) \cdot (a \hat{i} - a \hat{j})$
$W = q_0 E_0 a (\hat{i} \cdot \hat{i}) - q_0 E_0 a (\hat{i} \cdot \hat{j})$
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$W = q_0 E_0 a (1) - 0 = q_0 a E_0$.

(A) એકલ ધન બિંદુવત વીજભાર માટેની વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ વીજભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને બધી દિશાઓમાં ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ વિસ્તરે છે.
આનું કારણ એ છે કે ધન વીજભાર $q$ ને કારણે અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ એ વીજભારથી દૂરની દિશામાં હોય છે.
આકૃતિ $A$ આ ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ જતી ક્ષેત્ર રેખાઓને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.
તેથી,સાચી રજૂઆત આકૃતિ $A$ છે.

(A) સીમિત લંબાઈના સળિયાને કારણે બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્રનો $x-$ ઘટક $E_x = \frac{k\lambda}{r}(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r = 3\,cm = 0.03\,m$,$\lambda = 30\,\mu C/m = 30 \times 10^{-6}\,C/m$,અને $k = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$ છે.
ખૂણાઓ $\theta_1 = 0^{\circ}$ અને $\theta_2 = 53^{\circ}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E_x = \frac{9 \times 10^9 \times 30 \times 10^{-6}}{0.03} (\cos 0^{\circ} - \cos 53^{\circ})$
$E_x = 9 \times 10^6 (1 - 0.6) = 9 \times 10^6 \times 0.4 = 3.6 \times 10^6\,N/C$.

(D) વિદ્યુતભાર $Q$ એ $(0, a)$ અને $(0, -a)$ પર રહેલા બંને ઋણ વિદ્યુતભારો $-q$ દ્વારા આકર્ષાય છે. સંમિતિને કારણે,$Q$ પર લાગતું પરિણામી બળ હંમેશા $x$-અક્ષ પર ઉગમબિંદુની દિશામાં હશે.
ધારો કે વિદ્યુતભાર $Q$ એ $x$-અક્ષ પર ઉગમબિંદુ $O$ થી $x$ અંતરે છે. $Q$ અને દરેક $-q$ વિદ્યુતભાર વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{a^2 + x^2}$ છે.
દરેક $-q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા $Q$ પર લાગતા સ્થિત વિદ્યુત બળનું મૂલ્ય $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{a^2 + x^2}$ છે.
$Q$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_R$ એ આ બંને બળોના $x$-ઘટકોનો સરવાળો છે:
$F_R = 2 F \cos \theta$,જ્યાં $\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$F_R = 2 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{a^2 + x^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} \right) = \frac{2qQ}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{x}{(a^2 + x^2)^{3/2}}$.
અહીં પુનઃસ્થાપક બળ $F_R$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં નથી (એટલે કે $F_R \neq -kx$),તેથી ગતિ દોલિત છે પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ નથી.

(B) આપેલ છે:
દળ $m = 0.50\, g = 0.50 \times 10^{-3}\, kg = 5 \times 10^{-4}\, kg$
વિદ્યુતભાર $q = 10\, \mu C = 10 \times 10^{-6}\, C = 10^{-5}\, C$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 300\, N/C$ (નીચેની તરફ)
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$ (આશરે)
વિદ્યુતભાર ધન હોવાથી,વિદ્યુતબળ $F_e = qE$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં (નીચેની તરફ) લાગશે.
દડા પર લાગતા બળો:
$1$. વજનબળ $W = mg$ (નીચેની તરફ)
$2$. વિદ્યુતબળ $F_e = qE$ (નીચેની તરફ)
$3$. તણાવબળ $T$ (ઉપરની તરફ)
સંતુલન સ્થિતિમાં,$T = mg + qE$
$T = (5 \times 10^{-4} \times 10) + (10^{-5} \times 300)$
$T = 5 \times 10^{-3} + 3 \times 10^{-3}$
$T = 8 \times 10^{-3}\, N$

(D) ત્રિજ્યા $R$ અને વીજભાર $Q$ ધરાવતી સમાન રીતે વીજભારિત રીંગની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{KQx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
રીંગના કેન્દ્ર પર,અંતર $x = 0$ થાય છે.
સૂત્રમાં $x = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E_{\text{centre}} = \frac{KQ(0)}{(R^2 + 0^2)^{3/2}} = 0$
વૈકલ્પિક રીતે,સંમિતિ દ્વારા,રીંગ પરના સામસામેના બિંદુઓથી ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો કેન્દ્ર પર એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે,જેના પરિણામે ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે.

(D) તારની લંબાઈ $L = 20 \, cm = 0.2 \, m$ છે. તાર અર્ધવર્તુળ બનાવે છે,તેથી $\pi r = L$,જે ત્રિજ્યા $r = L/\pi = 0.2/\pi \, m$ આપે છે.
ચાપના દરેક અડધા ભાગની લંબાઈ $L/2 = \pi r / 2$ છે. રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \pm Q / (L/2) = \pm 2Q / L$ છે.
$Q$ વિદ્યુતભાર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ક્વાર્ટર-વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sqrt{2} K \lambda}{r}$ છે,જે સંમિતિ અક્ષ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે હોય છે.
ડાબા ક્વાર્ટર (વિદ્યુતભાર $+Q$) માટે,ક્ષેત્ર $E_1$ એ $x$ અને $y$ અક્ષ સાથે $45^\circ$ પર ચાપથી દૂર જાય છે: $E_1 = \frac{\sqrt{2} K (2Q/L)}{r} (\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j}) = \frac{2KQ}{Lr} (\hat{i} + \hat{j})$.
જમણા ક્વાર્ટર (વિદ્યુતભાર $-Q$) માટે,ક્ષેત્ર $E_2$ એ $x$ અને $y$ અક્ષ સાથે $45^\circ$ પર ચાપ તરફ જાય છે: $E_2 = \frac{\sqrt{2} K (2Q/L)}{r} (\cos 45^\circ \hat{i} - \sin 45^\circ \hat{j}) = \frac{2KQ}{Lr} (\hat{i} - \hat{j})$.
પરિણામી ક્ષેત્ર $E = E_1 + E_2 = \frac{4KQ}{Lr} \hat{i} = \frac{4KQ}{L(L/\pi)} \hat{i} = \frac{4\pi KQ}{L^2} \hat{i}$.
$K = 1/(4\pi\varepsilon_0)$ અને $Q = 10^3 \varepsilon_0$ મૂકતા:
$E = \frac{4\pi (1/4\pi\varepsilon_0) (10^3 \varepsilon_0)}{(0.2)^2} \hat{i} = \frac{10^3}{0.04} \hat{i} = 25 \times 10^3 \, N/C \hat{i}$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત રીંગના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{k Q x}{(x^2 + R^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર જ્યાં મહત્તમ હોય તે અંતર $h$ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન શૂન્ય લઈએ છીએ: $\frac{dE}{dx} = 0$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{dx} \left[ \frac{x}{(x^2 + R^2)^{3/2}} \right] = \frac{(x^2 + R^2)^{3/2} - x \cdot \frac{3}{2}(x^2 + R^2)^{1/2} \cdot 2x}{(x^2 + R^2)^3} = 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $(x^2 + R^2) - 3x^2 = 0$ મળે છે,જે $R^2 - 2x^2 = 0$ આપે છે.
તેથી,$x^2 = R^2/2$,જેનો અર્થ છે કે $x = R/\sqrt{2}$.
આમ,મહત્તમ મૂલ્ય $h = R/\sqrt{2}$ અંતરે મળે છે.

(A) $q_1$ નું સ્થાન $\vec{r}_1 = (1, 0)$ અને $q_2$ નું સ્થાન $\vec{r}_2 = (4, 0)$ છે. બિંદુ $P$ એ $(0, 3)$ પર છે.
સ્થાનાંતર સદિશો $\vec{r}_{P1} = -\hat{i} + 3\hat{j}$ અને $\vec{r}_{P2} = -4\hat{i} + 3\hat{j}$ છે.
અંતર $r_1 = \sqrt{10} \, m$ અને $r_2 = 5 \, m$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{kq_1}{r_1^3}\vec{r}_{P1} + \frac{kq_2}{r_2^3}\vec{r}_{P2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{E} = 9 \times 10^9 \times 10^{-6} \left[ \frac{\sqrt{10}}{(\sqrt{10})^3}(-\hat{i} + 3\hat{j}) + \frac{-25}{5^3}(-4\hat{i} + 3\hat{j}) \right]$.
$\vec{E} = 9 \times 10^3 \left[ \frac{1}{10}(-\hat{i} + 3\hat{j}) - \frac{1}{5}(-4\hat{i} + 3\hat{j}) \right]$.
$\vec{E} = 9000 \left[ 0.7\hat{i} - 0.3\hat{j} \right] = (63\hat{i} - 27\hat{j}) \times 10^2 \, V/m$.

(D) બિંદુ $P(D, 0)$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ ચાર વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્રોના $y$-ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષની દિશામાં છે.
$y = \pm d$ પર રહેલા $+q$ વિદ્યુતભારોની જોડીને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{2kq}{(d^2+D^2)} \cos \theta_1 = \frac{2kqD}{(d^2+D^2)^{3/2}}$ છે.
$y = \pm 2d$ પર રહેલા $-q$ વિદ્યુતભારોની જોડીને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{2kq}{((2d)^2+D^2)} \cos \theta_2 = \frac{2kqD}{((2d)^2+D^2)^{3/2}}$ છે.
પરિણામી ક્ષેત્ર $E = E_1 - E_2 = 2kqD \left[ (d^2+D^2)^{-3/2} - (4d^2+D^2)^{-3/2} \right]$.
કૌંસમાંથી $D^2$ સામાન્ય લેતા: $E = \frac{2kqD}{D^3} \left[ (1 + \frac{d^2}{D^2})^{-3/2} - (1 + \frac{4d^2}{D^2})^{-3/2} \right]$.
દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x << 1$:
$E \approx \frac{2kq}{D^2} \left[ (1 - \frac{3d^2}{2D^2}) - (1 - \frac{6d^2}{D^2}) \right]$.
$E \approx \frac{2kq}{D^2} \left[ \frac{6d^2}{D^2} - \frac{3d^2}{2D^2} \right] = \frac{2kq}{D^2} \left[ \frac{9d^2}{2D^2} \right] = \frac{9kqd^2}{D^4}$.
આમ,$E \propto \frac{1}{D^4}$.

(C) $1$. $x < 0$ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઋણ છે. $x=0$ ની નજીક $E$ એ $x$ ની ઋણ દિશામાં હોવાથી,$Q_1$ ઋણ હોવો જોઈએ.
$2$. $x > a$ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ધન છે. $x=a$ ની નજીક $E$ એ $x$ ની ધન દિશામાં હોવાથી,$Q_2$ ધન હોવો જોઈએ.
$3$. $x > a$ પર કોઈ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે તે બિંદુએ $Q_1$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર અને $Q_2$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન મૂલ્યના હોવા જોઈએ. જ્યાં $E=0$ છે તે બિંદુ $Q_1$ કરતા $Q_2$ ની નજીક હોવાથી,$|Q_1| > |Q_2|$ સાબિત થાય છે.
$4$. તેથી,$Q_1$ ઋણ છે,$Q_2$ ધન છે,અને $|Q_1| > |Q_2|$ છે. સાચો વિકલ્પ $C$ છે.