Resistance of wire, Resistivity and Conductivity Questions in Gujarati

(A) વાયરનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ખેંચાણ દરમિયાન કદ $V = l \times A$ અચળ રહેતું હોવાથી,$A = \frac{V}{l}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$R = \rho \frac{l^2}{V}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R \propto l^2$.
જો લંબાઈમાં $10\%$ નો વધારો થાય,તો નવી લંબાઈ $l' = l + 0.1l = 1.1l$ થાય.
નવો અવરોધ $R' = R \times (\frac{l'}{l})^2$ દ્વારા મળે છે.
$R' = 10 \times (1.1)^2 = 10 \times 1.21 = 12.1\, \Omega$.
નોંધ: નાના ફેરફારો માટે,અંદાજિત ગણતરી $\Delta R/R \approx 2 \Delta l/l$ મુજબ $20\%$ નો વધારો મળે છે,પરંતુ ચોક્કસ ગણતરી મુજબ જવાબ $12.1\, \Omega$ આવે છે.

(D) બંને તાર તાંબાના બનેલા હોવાથી,તેમની અવરોધકતા સમાન હોય છે,એટલે કે $\rho_A = \rho_B = \rho$.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તાર $A$ માટે: $R_A = \rho \frac{3}{A}$.
તાર $B$ માટે: $R_B = \rho \frac{5}{A}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,કારણ કે $3 < 5$ છે અને દ્રવ્ય તથા વ્યાસ (અને તેથી ક્ષેત્રફળ $A$) સમાન છે,તેથી $R_A < R_B$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $R_A < R_B$ અને $\rho_A = \rho_B$ છે.

(C) તાપમાન $T$ પર વાહકનો અવરોધ શોધવાનું સૂત્ર $R_T = R_0 (1 + \alpha \Delta T)$ છે.
અહીં,$R_T = 3R_0$,$\alpha = 4 \times 10^{-3} / ^oC$,અને $\Delta T = T - 0 = T$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3R_0 = R_0 (1 + 4 \times 10^{-3} \times T)$.
બંને બાજુ $R_0$ વડે ભાગતા: $3 = 1 + 0.004T$.
$2 = 0.004T$.
$T = 2 / 0.004 = 2000 / 4 = 500 ^oC$.
તેથી,તાપમાન $500 ^oC$ છે.

(C) કોઈપણ તાપમાન $t$ પર વાહકનો અવરોધ $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R_0$ એ $0^{\circ}C$ તાપમાને અવરોધ છે અને $\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે।
$t = 50^{\circ}C$ માટે, $R_{50} = R_0(1 + 50\alpha) = 5$ --- $(1)$
$t = 100^{\circ}C$ માટે, $R_{100} = R_0(1 + 100\alpha) = 6$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{R_0(1 + 100\alpha)}{R_0(1 + 50\alpha)} = \frac{6}{5}$
$5(1 + 100\alpha) = 6(1 + 50\alpha)$
$5 + 500\alpha = 6 + 300\alpha$
$200\alpha = 1$
$\alpha = \frac{1}{200} = 0.005^{\circ}C^{-1}$
હવે $\alpha$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5 = R_0(1 + 50 \times 0.005)$
$5 = R_0(1 + 0.25)$
$5 = R_0(1.25)$
$R_0 = \frac{5}{1.25} = 4\, \Omega$.

(D) અહીં આપેલ છે કે બંને તારનો અવરોધ સમાન છે,એટલે કે $R_A = R_B$.
અવરોધના સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\rho_A \frac{l_A}{\pi r_A^2} = \rho_B \frac{l_B}{\pi r_B^2}$
આપેલ છે કે $\rho_B = 2\rho_A$ અને $d_B = 2d_A$ (જેનો અર્થ છે કે $r_B = 2r_A$):
$\rho_A \frac{l_A}{r_A^2} = (2\rho_A) \frac{l_B}{(2r_A)^2}$
$\rho_A \frac{l_A}{r_A^2} = 2\rho_A \frac{l_B}{4r_A^2}$
$l_A = \frac{1}{2} l_B$
તેથી,$\frac{l_B}{l_A} = 2$.

(D) ધારો કે $0\,^{\circ}C$ તાપમાને બંને વાહકોનો અવરોધ $R_0$ છે.
પ્રથમ વાહક માટે $t_1\,^{\circ}C$ તાપમાને અવરોધ $R_1 = R_0(1 + \alpha_1 t_1)$ છે.
બીજા વાહક માટે $t_2\,^{\circ}C$ તાપમાને અવરોધ $R_2 = R_0(1 + \alpha_2 t_2)$ છે.
આપેલ છે કે $R_1 = R_2$,તેથી:
$R_0(1 + \alpha_1 t_1) = R_0(1 + \alpha_2 t_2)$
$1 + \alpha_1 t_1 = 1 + \alpha_2 t_2$
$\alpha_1 t_1 = \alpha_2 t_2$
આમ,ગુણોત્તર $\alpha_1 / \alpha_2 = t_2 / t_1$ મળે છે.

(D) બલ્બનો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ રેટ કરેલ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ કાર્યકારી તાપમાને અવરોધ છે.
જેમ તાપમાન વધે છે તેમ અવરોધ વધે છે,તેથી રૂમના તાપમાને અવરોધ પણ કાર્યકારી તાપમાનના અવરોધ જેવો જ સંબંધ ધરાવે છે.
નિશ્ચિત વોલ્ટેજ $V$ માટે,$R = \frac{V^2}{P}$.
તેથી,$R_{100} = \frac{V^2}{100}$,$R_{60} = \frac{V^2}{60}$,અને $R_{40} = \frac{V^2}{40}$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણને $R_{40} > R_{60} > R_{100}$ મળે છે.
વ્યસ્ત લેતા,આપણને $\frac{1}{R_{100}} > \frac{1}{R_{60}} > \frac{1}{R_{40}}$ મળે છે.

(B) તાપમાન $T$ પર અવરોધનું સૂત્ર $R_T = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]$ છે.
આપેલ છે: $\alpha = 0.00125\,^{\circ}C^{-1}$,$T_1 = 300\,K$ $(27\,^{\circ}C)$ પર $R_1 = 1\,\Omega$,અને $T_2 = ?$ પર $R_2 = 2\,\Omega$.
સંબંધ $R_2 = R_1[1 + \alpha(t_2 - t_1)]$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t_1 = 27\,^{\circ}C$:
$2 = 1[1 + 0.00125(t_2 - 27)]$
$2 - 1 = 0.00125(t_2 - 27)$
$1 = 0.00125(t_2 - 27)$
$t_2 - 27 = \frac{1}{0.00125} = 800$
$t_2 = 800 + 27 = 827\,^{\circ}C$.
કેલ્વિનમાં રૂપાંતર કરતા: $T_2 = 827 + 273 = 1100\,K$.

(D) તાપમાન $\theta$ પર અવરોધ $R$ માટેનું સૂત્ર: $R = R_0(1 + \alpha \theta)$ છે.
આપેલ છે:
$R_0 = 5\,\Omega$ ($0\,^oC$ તાપમાને)
$R_{100} = 5.75\,\Omega$ ($100\,^oC$ તાપમાને)
$R_{\theta} = 5.15\,\Omega$ (અજ્ઞાત તાપમાન $\theta$ પર)
પ્રથમ,અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $\alpha$ શોધો:
$R_{100} = R_0(1 + \alpha \times 100)$
$5.75 = 5(1 + 100\alpha)$
$1.15 = 1 + 100\alpha$
$0.15 = 100\alpha$
$\alpha = 0.0015\,\,^oC^{-1} = 1.5 \times 10^{-3}\,\,^oC^{-1}$.
હવે,$R_{\theta} = 5.15\,\Omega$ માટે અજ્ઞાત તાપમાન $\theta$ શોધો:
$R_{\theta} = R_0(1 + \alpha \theta)$
$5.15 = 5(1 + 0.0015 \times \theta)$
$1.03 = 1 + 0.0015 \times \theta$
$0.03 = 0.0015 \times \theta$
$\theta = \frac{0.03}{0.0015} = 20\,^oC$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 30^{\circ}C$,પ્રારંભિક અવરોધ $R_1 = 10\, \Omega$,તાપમાન ગુણાંક $\alpha = 0.002\, ^{\circ}C^{-1}$.
અવરોધમાં $10\%$ નો વધારો કરવો છે,તેથી નવો અવરોધ $R_2 = R_1 + 0.10 R_1 = 1.10 R_1 = 11\, \Omega$ થશે.
તાપમાન $T$ પર અવરોધનું સૂત્ર $R = R_0(1 + \alpha T)$ છે.
$T_1 = 30^{\circ}C$ માટે: $R_1 = R_0(1 + 30\alpha) = 10\, \Omega$.
$T_2$ માટે: $R_2 = R_0(1 + \alpha T_2) = 11\, \Omega$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{R_2}{R_1} = \frac{1 + \alpha T_2}{1 + 30\alpha} = \frac{11}{10} = 1.1$.
$1 + \alpha T_2 = 1.1(1 + 30\alpha) = 1.1 + 33\alpha$.
$\alpha T_2 = 0.1 + 33\alpha$.
$T_2 = \frac{0.1}{\alpha} + 33$.
$\alpha = 0.002$ કિંમત મૂકતા: $T_2 = \frac{0.1}{0.002} + 33 = 50 + 33 = 83^{\circ}C$.

(D) તાપમાન $\theta$ પર અવરોધનું સૂત્ર $R_{\theta} = R_0(1 + \alpha\theta)$ છે,જ્યાં $R_0$ એ $0\,^{\circ}\text{C}$ તાપમાને અવરોધ છે.
$50\,^{\circ}\text{C}$ તાપમાને,$5 = R_0(1 + 50\alpha)$ ... $(1)$
$100\,^{\circ}\text{C}$ તાપમાને,$6 = R_0(1 + 100\alpha)$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{5}{6} = \frac{1 + 50\alpha}{1 + 100\alpha}$
$5(1 + 100\alpha) = 6(1 + 50\alpha)$
$5 + 500\alpha = 6 + 300\alpha$
$200\alpha = 1 \implies \alpha = \frac{1}{200}$
હવે $\alpha$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5 = R_0(1 + 50 \times \frac{1}{200})$
$5 = R_0(1 + \frac{1}{4})$
$5 = R_0(\frac{5}{4})$
$R_0 = 4\,\Omega$.

(A) આપેલ છે: પરિમાણ $l_1 = 50 \ cm = 0.5 \ m$,$A_1 = 1 \ cm \times 1 \ cm = 10^{-4} \ m^2$. અવરોધકતા $\rho = 3.5 \times 10^{-5} \ \Omega \cdot m$.
કિસ્સો $1$: ચોરસ છેડાઓ વચ્ચેનો અવરોધ $(l = 0.5 \ m, A = 10^{-4} \ m^2)$:
$R_1 = \rho \frac{l}{A} = 3.5 \times 10^{-5} \times \frac{0.5}{10^{-4}} = 3.5 \times 0.5 \times 10^{-1} = 1.75 \times 10^{-1} = 17.5 \times 10^{-2} \ \Omega$.
કિસ્સો $2$: લંબચોરસ છેડાઓ વચ્ચેનો અવરોધ $(l = 1 \ cm = 0.01 \ m, A = 1 \ cm \times 50 \ cm = 50 \ cm^2 = 50 \times 10^{-4} \ m^2)$:
$R_2 = \rho \frac{l}{A} = 3.5 \times 10^{-5} \times \frac{0.01}{50 \times 10^{-4}} = 3.5 \times 10^{-5} \times \frac{10^{-2}}{50 \times 10^{-4}} = 3.5 \times 10^{-5} \times \frac{1}{50} \times 10^2 = 0.07 \times 10^{-4} = 7 \times 10^{-6} \ \Omega$.

(C) તાપમાન $t$ પર અવરોધનું સૂત્ર $R_t = R_0 [1 + \alpha t]$ છે,જ્યાં $R_0$ એ $0^{\circ}C$ તાપમાને અવરોધ છે અને $\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે.
$t = 50^{\circ}C$ માટે,$R_{50} = R_0 [1 + 50\alpha] = 5 \quad \dots(1)$
$t = 100^{\circ}C$ માટે,$R_{100} = R_0 [1 + 100\alpha] = 6 \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{5}{6} = \frac{1 + 50\alpha}{1 + 100\alpha}$
$5(1 + 100\alpha) = 6(1 + 50\alpha)$
$5 + 500\alpha = 6 + 300\alpha$
$200\alpha = 1 \implies \alpha = \frac{1}{200} \, ^{\circ}C^{-1}$
$\alpha$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5 = R_0 [1 + 50 \times \frac{1}{200}]$
$5 = R_0 [1 + \frac{1}{4}]$
$5 = R_0 [\frac{5}{4}]$
$R_0 = 4 \, \Omega$

(D) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = A_1 L_1 = A_2 L_2$ થાય.
તેથી,$L_1 \pi r_1^2 = L_2 \pi r_2^2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{L_2}{L_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$.
અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_2}{R_1} = \frac{L_2}{L_1} \cdot \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \cdot \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$ થાય.
અહીં $r_2 = \frac{r_1}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{r_1}{r_2} = 2$ મળે.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,$\frac{R_2}{R} = (2)^4 = 16$ મળે.
આમ,નવો અવરોધ $R' = 16\, R$ થશે.

(D) તાપમાન $t$ પર વાહકનો અવરોધ $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 20\,^{\circ}C$ પર $R_1 = 20\,\Omega$ અને $t_2 = 500\,^{\circ}C$ પર $R_2 = 60\,\Omega$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1 + \alpha t_1}{1 + \alpha t_2} \Rightarrow \frac{20}{60} = \frac{1 + 20\alpha}{1 + 500\alpha}$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{3} = \frac{1 + 20\alpha}{1 + 500\alpha} \Rightarrow 1 + 500\alpha = 3 + 60\alpha \Rightarrow 440\alpha = 2 \Rightarrow \alpha = \frac{1}{220}\,^{\circ}C^{-1}$.
હવે,$R = 25\,\Omega$ હોય તેવું તાપમાન $t$ શોધવા માટે: $\frac{R_1}{R} = \frac{1 + \alpha t_1}{1 + \alpha t}$.
$\frac{20}{25} = \frac{1 + 20(1/220)}{1 + t(1/220)} \Rightarrow 0.8 = \frac{1 + 1/11}{1 + t/220} \Rightarrow 0.8 = \frac{12/11}{1 + t/220}$.
$1 + \frac{t}{220} = \frac{12}{11 \times 0.8} = \frac{12}{8.8} = \frac{15}{11}$.
$\frac{t}{220} = \frac{15}{11} - 1 = \frac{4}{11} \Rightarrow t = \frac{4}{11} \times 220 = 80\,^{\circ}C$.

(A) અવરોધનું સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ છે.
આપેલ છે: અવરોધકતા $\rho = 50 \times 10^{-8} \, \Omega m$,લંબાઈ $l = 50 \, cm = 0.5 \, m$.
સમઘન માટે,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = l^2 = (0.5 \, m)^2 = 0.25 \, m^2$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = (50 \times 10^{-8}) \times \frac{0.5}{0.25} = (50 \times 10^{-8}) \times 2 = 100 \times 10^{-8} \, \Omega = 10^{-6} \, \Omega$.

(B) વાહકનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર માટે: $l_1 = 1.0\, m$,$d_1 = 0.6\, cm = 0.6 \times 10^{-2}\, m$,$r_1 = 0.3 \times 10^{-2}\, m$,$R_1 = 3.0 \times 10^{-3}\, \Omega$.
$R_1 = \rho \frac{l_1}{\pi r_1^2} \Rightarrow \rho = \frac{R_1 \pi r_1^2}{l_1}$.
તકતી માટે: $l_2 = 1.0\, mm = 1.0 \times 10^{-3}\, m$,$d_2 = 2.0\, cm = 2.0 \times 10^{-2}\, m$,$r_2 = 1.0 \times 10^{-2}\, m$.
$R_2 = \rho \frac{l_2}{\pi r_2^2} = \left( \frac{R_1 \pi r_1^2}{l_1} \right) \frac{l_2}{\pi r_2^2} = R_1 \left( \frac{l_2}{l_1} \right) \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $R_2 = (3.0 \times 10^{-3}) \times \left( \frac{1.0 \times 10^{-3}}{1.0} \right) \times \left( \frac{0.3 \times 10^{-2}}{1.0 \times 10^{-2}} \right)^2$.
$R_2 = (3.0 \times 10^{-6}) \times (0.3)^2 = (3.0 \times 10^{-6}) \times 0.09 = 0.27 \times 10^{-6} = 2.7 \times 10^{-7}\, \Omega$.

(D) વાહકનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ પોલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ છે: $A = \pi (r_2^2 - r_1^2)$.
આપેલ છે: $r_2 = 10 \, cm = 0.1 \, m$,જાડાઈ $t = 5 \, mm = 0.005 \, m$.
તેથી,આંતરિક ત્રિજ્યા $r_1 = r_2 - t = 10 \, cm - 0.5 \, cm = 9.5 \, cm = 0.095 \, m$.
$A = \pi [(0.1)^2 - (0.095)^2] = \pi [0.01 - 0.009025] = \pi [0.000975] \, m^2$.
હવે,$R = (1.7 \times 10^{-8}) \times \frac{5}{\pi \times 0.000975} \approx 2.77 \times 10^{-5} \, \Omega$.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ $V = A \times l$ અચળ રહેતું હોવાથી,$A = \frac{V}{l}$ થાય.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,$R = \rho \frac{l^2}{V}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto l^2$ થાય.
વિકલન લેતા,$\frac{\Delta R}{R} = 2 \frac{\Delta l}{l}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta l}{l} = 0.1\%$,તેથી અવરોધમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2 \times 0.1\% = 0.2\%$ થશે.

(D) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ $V = A \times l$ અને ઘનતા $\sigma = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$A = \frac{m}{\sigma l}$ થાય.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \rho \frac{l^2 \sigma}{m}$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$\rho$ અને $\sigma$ અચળ છે. તેથી,$R \propto \frac{l^2}{m}$.
આપેલ ગુણોત્તર $m_1 : m_2 : m_3 = 1 : 3 : 5$ અને $l_1 : l_2 : l_3 = 5 : 3 : 1$ છે,તેથી અવરોધનો ગુણોત્તર:
$R_1 : R_2 : R_3 = \frac{l_1^2}{m_1} : \frac{l_2^2}{m_2} : \frac{l_3^2}{m_3}$
$R_1 : R_2 : R_3 = \frac{5^2}{1} : \frac{3^2}{3} : \frac{1^2}{5}$
$R_1 : R_2 : R_3 = 25 : 3 : 0.2$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $5$ વડે ગુણતા: $125 : 15 : 1$.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
બધા તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી ($\rho$ અચળ છે) અને સમાન લંબાઈ ધરાવતા હોવાથી ($l$ અચળ છે),અવરોધ માત્ર આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ પર આધાર રાખે છે.
તાર $A$ માટે: આડછેદ એ ચોરસ ફ્રેમ છે જેની બહારની બાજુ $\sqrt{3}a$ અને અંદરની બાજુ $\sqrt{2}a$ છે. ક્ષેત્રફળ $A_A = (\sqrt{3}a)^2 - (\sqrt{2}a)^2 = 3a^2 - 2a^2 = a^2$.
તાર $B$ માટે: આડછેદ એ ચોરસ ફ્રેમ છે જેની બહારની બાજુ $\sqrt{2}a$ અને અંદરની બાજુ $a$ છે. ક્ષેત્રફળ $A_B = (\sqrt{2}a)^2 - (a)^2 = 2a^2 - a^2 = a^2$.
તાર $C$ માટે: આડછેદ એ $a$ બાજુવાળો ઘન ચોરસ છે. ક્ષેત્રફળ $A_C = a^2$.
આમ,$A_A = A_B = A_C = a^2$ હોવાથી,$R_A = R_B = R_C$ થાય છે.

(B) આપેલ છે: અવરોધકતા $\rho = 3 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot m$.
બ્લોકના પરિમાણ $1 \, cm \times 1 \, cm \times 100 \, cm$ છે.
લંબચોરસ બાજુઓ ($1 \, cm \times 100 \, cm$ બાજુઓ) વચ્ચેના અવરોધ માટે,પ્રવાહનો માર્ગ $l = 1 \, cm = 10^{-2} \, m$ થશે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 1 \, cm \times 100 \, cm = 100 \, cm^2 = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-2} \, m^2$ થાય.
અવરોધનું સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = (3 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot m) \times \frac{10^{-2} \, m}{10^{-2} \, m^2}$.
$R = 3 \times 10^{-7} \, \Omega$.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં લંબાઈ $L$ અને અવરોધકતા $\rho$ બંને ભાગ માટે સમાન હોવાથી,અવરોધ $R$ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $R \propto \frac{1}{r^2}$.
ધારો કે $r_{AB} = 3r$ અને $r_{BC} = r$. તેથી અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_{AB}}{R_{BC}} = \frac{r_{BC}^2}{r_{AB}^2} = \frac{r^2}{(3r)^2} = \frac{1}{9}$ થાય.
$AB$ અને $BC$ શ્રેણીમાં હોવાથી,બંનેમાંથી સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = IR$ થાય.
તેથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનો ગુણોત્તર $\frac{V_{AB}}{V_{BC}} = \frac{I R_{AB}}{I R_{BC}} = \frac{R_{AB}}{R_{BC}} = \frac{1}{9}$ મળે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $l$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. પ્રારંભિક અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ છે.
જ્યારે તારને $10\%$ ખેંચવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l' = l + 0.1l = 1.1l$ થાય છે.
કદ $V = Al$ અચળ રહેતું હોવાથી,$A'l' = Al \Rightarrow A' = \frac{Al}{1.1l} = \frac{A}{1.1}$ થાય.
નવો અવરોધ $R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{1.1l}{A/1.1} = (1.1)^2 \rho \frac{l}{A} = 1.21 R$ થાય.
વિશિષ્ટ અવરોધ (અવરોધકતા) $\rho$ એ દ્રવ્યનો ગુણધર્મ છે અને તે માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે,તારના પરિમાણો પર નહીં.
તેથી,નવો અવરોધ મૂળ અવરોધ કરતા $1.21$ ગણો થાય છે અને વિશિષ્ટ અવરોધ સમાન રહે છે.

(C) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = 4 \,\Omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે .... $(i)$
જ્યારે તારને તેની મૂળ લંબાઈ કરતા બમણી લંબાઈ સુધી ખેંચવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l^{\prime} = 2l$ થાય છે.
ખેંચવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન તારનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = lA = l^{\prime}A^{\prime}$ થાય.
$l^{\prime} = 2l$ મૂકતા,$lA = (2l)A^{\prime}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $A^{\prime} = \frac{A}{2}$.
નવો અવરોધ $R^{\prime} = \rho \frac{l^{\prime}}{A^{\prime}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$R^{\prime} = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \left( \rho \frac{l}{A} \right)$.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$R^{\prime} = 4 \times 4 \,\Omega = 16 \,\Omega$.

(B) બંને ધાતુના તાર સમાન પરિમાણો ધરાવતા હોવાથી,તેમની લંબાઈ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ સમાન હશે. ધારો કે તે અનુક્રમે $l$ અને $A$ છે.
પ્રથમ તારનો અવરોધ $R_1 = \frac{l}{\sigma_1 A}$ ...$(i)$
બીજા તારનો અવરોધ $R_2 = \frac{l}{\sigma_2 A}$ ...$(ii)$
તેઓ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,તેમનો અસરકારક અવરોધ $R_s = R_1 + R_2$ થાય.
$R_s = \frac{l}{\sigma_1 A} + \frac{l}{\sigma_2 A} = \frac{l}{A} \left( \frac{1}{\sigma_1} + \frac{1}{\sigma_2} \right)$ ...$(iii)$
જો $\sigma_{eff}$ એ સંયોજનની અસરકારક વાહકતા હોય,તો કુલ લંબાઈ $2l$ થાય અને કુલ અવરોધ $R_s = \frac{2l}{\sigma_{eff} A}$ થાય ...$(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2l}{\sigma_{eff} A} = \frac{l}{A} \left( \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2} \right)$
$\frac{2}{\sigma_{eff}} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2}$
$\sigma_{eff} = \frac{2 \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_1 + \sigma_2}$

(B) $l$ લંબાઈ,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $\rho$ અવરોધકતા ધરાવતા તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તારને તેની મૂળ લંબાઈ કરતાં $n$ ગણી લંબાઈ સુધી ખેંચવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l' = nl$ થાય છે.
પ્રક્રિયા દરમિયાન તારનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = A \cdot l = A' \cdot l'$ થાય.
$l' = nl$ મૂકતા,આપણને $A' = \frac{A \cdot l}{nl} = \frac{A}{n}$ મળે છે.
નવો અવરોધ $R'$ એ $R' = \rho \frac{l'}{A'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l'$ અને $A'$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $R' = \rho \frac{nl}{A/n} = n^2 \left( \rho \frac{l}{A} \right) = n^2 R$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\rho$ એ પદાર્થની અવરોધકતા છે.
વાહકનો અવરોધ $R$ એ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ વિદ્યુત પ્રવાહની દિશામાં વાહકની લંબાઈ છે અને $A$ એ વિદ્યુત પ્રવાહને લંબ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$1$. $A-A$ સંપર્ક માટે (ઉપરની અને નીચેની બાજુઓ):
લંબાઈ $L = x$ અને ક્ષેત્રફળ $A = 2x \times 4x = 8x^2$.
$R_{AA} = \rho \frac{x}{8x^2} = \frac{\rho}{8x}$.
$2$. $B-B$ સંપર્ક માટે (ડાબી અને જમણી બાજુઓ):
લંબાઈ $L = 2x$ અને ક્ષેત્રફળ $A = x \times 4x = 4x^2$.
$R_{BB} = \rho \frac{2x}{4x^2} = \frac{\rho}{2x} = \frac{4\rho}{8x}$.
$3$. $C-C$ સંપર્ક માટે (આગળની અને પાછળની બાજુઓ):
લંબાઈ $L = 4x$ અને ક્ષેત્રફળ $A = x \times 2x = 2x^2$.
$R_{CC} = \rho \frac{4x}{2x^2} = \frac{2\rho}{x} = \frac{16\rho}{8x}$.
અવરોધોની સરખામણી કરતા,$R_{CC} > R_{BB} > R_{AA}$.
આમ,મહત્તમ વિદ્યુત અવરોધ $C-C$ સંપર્ક માટે પ્રાપ્ત થાય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે અવરોધ $R = \rho \frac{l}{S}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાહકતા $\sigma$ એ અવરોધકતા $\rho$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી $\sigma = \frac{1}{\rho}$.
કન્ડક્ટન્સ $G$ એ અવરોધ $R$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી $G = \frac{1}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{1}{G}$.
અવરોધના સૂત્રમાં $R = \frac{1}{G}$ મૂકતા: $\frac{1}{G} = \rho \frac{l}{S}$.
$\rho$ માટે ગોઠવતા: $\rho = \frac{S}{Gl}$.
કારણ કે $\sigma = \frac{1}{\rho}$,તેથી $\sigma = \frac{Gl}{S}$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$\sigma = \frac{1}{\rho}$ અને $G = \frac{1}{R}$ હોવાથી,$GR = 1$ થાય છે. તેથી,$\sigma = \frac{GR}{\rho}$ એ ગાણિતિક રીતે સુસંગત છે કારણ કે $\sigma = \frac{1}{\rho} \times 1 = \frac{1}{\rho} \times (GR) = \frac{GR}{\rho}$.

(C) વાહકનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A_{cs}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે,અને $A_{cs}$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$l$ લંબાઈ અને $t$ જાડાઈ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટ માટે,જેમાંથી પ્રવાહ વહે છે તે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_{cs} = l \times t$ છે.
આમ,અવરોધ $R = \rho \frac{l}{l \times t} = \frac{\rho}{t}$ થાય છે.
બંને પ્લેટો $A$ અને $B$ સમાન ધાતુની (સમાન $\rho$) બનેલી હોવાથી અને સમાન જાડાઈ $(t)$ ધરાવતી હોવાથી,દરેક પ્લેટનો અવરોધ તેની બાજુની લંબાઈથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$R_A = \frac{\rho}{t}$ અને $R_B = \frac{\rho}{t}$ મળે છે.
અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho/t}{\rho/t} = 1:1$ થાય છે.

(C) વાહકનો અવરોધ $R$ એ $R = \frac{\rho l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે, $l$ એ લંબાઈ છે, અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
વાહક $A$ (નક્કર તાર) માટે, ત્રિજ્યા $r_A = 0.5 \, mm$ છે। આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_A = \pi r_A^2$ છે.
તેથી, $R_A = \frac{\rho l}{\pi r_A^2}$.
વાહક $B$ (પોલી નળી) માટે, બહારની ત્રિજ્યા $r_{out} = 1.0 \, mm$ અને અંદરની ત્રિજ્યા $r_{in} = 0.5 \, mm$ છે। આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_B = \pi (r_{out}^2 - r_{in}^2) = \pi (1.0^2 - 0.5^2) = \pi (1 - 0.25) = 0.75 \pi \, mm^2$ છે.
ક્ષેત્રફળોની સરખામણી કરતા, $A_B = \pi (1.0^2 - 0.5^2) = 3 \pi (0.5^2) = 3 A_A$.
કારણ કે $R \propto \frac{1}{A}$, તેથી $\frac{R_A}{R_B} = \frac{A_B}{A_A} = \frac{3 A_A}{A_A} = 3$.

(B) ધારો કે તારની મૂળ લંબાઈ $l$ છે અને તેનો મૂળ અવરોધ $R = \frac{\rho l}{A}$ છે.
ધારો કે ખેંચાયેલ લંબાઈનો અંશ $a$ છે. ખેંચાયેલ ભાગની લંબાઈ $al$ છે અને બાકી રહેલા ભાગની લંબાઈ $l(1-a)$ છે.
ન ખેંચાયેલા ભાગનો અવરોધ $R_1 = \frac{\rho l(1-a)}{A} = R(1-a)$ છે.
જ્યારે $al$ લંબાઈના ભાગને નવી લંબાઈ $l'$ સુધી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ લંબાઈ $l' + l(1-a) = \frac{3}{2}l$ થાય છે,તેથી $l' = \frac{3}{2}l - l + al = l(\frac{1}{2} + a)$.
ખેંચાયેલા ભાગનું કદ સમાન રહેતું હોવાથી,$A'l' = A(al)$,તેથી $A' = \frac{A(al)}{l'} = \frac{A(al)}{l(\frac{1}{2} + a)} = \frac{Aa}{\frac{1}{2} + a}$.
ખેંચાયેલા ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{\rho l'}{A'} = \frac{\rho l(\frac{1}{2} + a)}{\frac{Aa}{\frac{1}{2} + a}} = R \frac{(\frac{1}{2} + a)^2}{a}$ છે.
કુલ અવરોધ $R_1 + R' = 4R$ છે.
$R(1-a) + R \frac{(\frac{1}{2} + a)^2}{a} = 4R$.
$(1-a) + \frac{\frac{1}{4} + a + a^2}{a} = 4$.
$a - a^2 + \frac{1}{4} + a + a^2 = 4a$.
$2a + \frac{1}{4} = 4a$.
$2a = \frac{1}{4} \Rightarrow a = \frac{1}{8}$.

(A) વાહકની અવરોધકતા $\rho = \frac{m}{n e^{2} \tau}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોન પરનો વીજભાર છે,$n$ એ એકમ કદ દીઠ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે અને $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\rho \propto \frac{1}{\tau}$.
વળી,વાહકતા $\sigma$ એ અવરોધકતાનો વ્યસ્ત છે,તેથી $\sigma = \frac{1}{\rho}$.
તેથી,$\sigma \propto \tau$.
અવરોધકતા અને વાહકતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho}{\sigma} = \frac{\rho}{1/\rho} = \rho^{2}$ થાય છે.
જેમ કે $\rho \propto \frac{1}{\tau}$,તેથી $\frac{\rho}{\sigma} \propto \frac{1}{\tau^{2}}$.
જ્યારે વાહકનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનનો થર્મલ વેગ વધે છે,જેના કારણે અથડામણો વધુ વારંવાર થાય છે. પરિણામે,રિલેક્સેશન સમય $\tau$ ઘટે છે.
કારણ કે $\frac{\rho}{\sigma} \propto \frac{1}{\tau^{2}}$,તેથી જેમ $\tau$ ઘટે છે,તેમ ગુણોત્તર $\frac{\rho}{\sigma}$ વધે છે.

(C) તાપમાન $T$ પર અવરોધનું સૂત્ર $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ છે,જ્યાં $R_0$ એ $0\,^{\circ}C$ પરનો અવરોધ છે.
આપેલ છે:
$R_1 = 100\,\Omega$ તાપમાન $T_1 = 100\,^{\circ}C$ પર
$R_2 = 200\,\Omega$ તાપમાન $T_2 = T$ પર
$\alpha = 0.005\,^{\circ}C^{-1}$
સૂત્ર $R = R_0(1 + \alpha T)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$100 = R_0(1 + 0.005 \times 100) = R_0(1 + 0.5) = 1.5 R_0$
$R_0 = \frac{100}{1.5} = \frac{200}{3}\,\Omega$
હવે,$R_2 = 200\,\Omega$ માટે:
$200 = R_0(1 + 0.005 \times T)$
$200 = \frac{200}{3}(1 + 0.005 T)$
$3 = 1 + 0.005 T$
$2 = 0.005 T$
$T = \frac{2}{0.005} = 400\,^{\circ}C$.

(A) આપેલ છે: $\rho_B = 2\rho_A$ અને $d_B = 2d_A$.
તાર વર્તુળાકાર હોવાથી,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ થાય.
અવરોધ સમાન હોવા માટે,$R_B = R_A$.
સૂત્ર $R = \frac{\rho l}{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\rho_B l_B}{A_B} = \frac{\rho_A l_A}{A_A}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2\rho_A l_B}{\frac{\pi (2d_A)^2}{4}} = \frac{\rho_A l_A}{\frac{\pi d_A^2}{4}}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2\rho_A l_B}{4 A_A} = \frac{\rho_A l_A}{A_A} \Rightarrow \frac{2 l_B}{4} = l_A$.
તેથી,$\frac{l_B}{l_A} = \frac{4}{2} = 2$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે તાપમાન $t$ પર અવરોધનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R_{t} = R_{0}(1 + \alpha t)$
જ્યાં $R_{t}$ એ $t\, ^\circ C$ તાપમાને અવરોધ છે,$R_{0}$ એ $0\, ^\circ C$ તાપમાને અવરોધ છે,અને $\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે.
$t = 50\, ^\circ C$ માટે:
$5 = R_{0}(1 + 50\alpha)$ ......$(i)$
$t = 100\, ^\circ C$ માટે:
$6 = R_{0}(1 + 100\alpha)$ ......$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{5}{6} = \frac{R_{0}(1 + 50\alpha)}{R_{0}(1 + 100\alpha)}$
$\frac{5}{6} = \frac{1 + 50\alpha}{1 + 100\alpha}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$5(1 + 100\alpha) = 6(1 + 50\alpha)$
$5 + 500\alpha = 6 + 300\alpha$
$200\alpha = 1$
$\alpha = \frac{1}{200} = 0.005\, ^\circ C^{-1}$
હવે,$R_{0}$ શોધવા માટે $\alpha$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$5 = R_{0}(1 + 50 \times 0.005)$
$5 = R_{0}(1 + 0.25)$
$5 = R_{0}(1.25)$
$R_{0} = \frac{5}{1.25} = 4\, \Omega$
આમ,$0\, ^\circ C$ તાપમાને અવરોધ $4\, \Omega$ છે.

(D) ધારો કે $j$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા છે.
કારણ કે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ $2 \pi r^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી અર્ધગોળાકાર સપાટી પર ફેલાય છે,તેથી વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $j = \frac{I}{2 \pi r^2}$ થાય.
ઓહ્મના નિયમ $E = \rho j$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$E = \rho \left( \frac{I}{2 \pi r^2} \right) = \frac{\rho I}{2 \pi r^2}$.

(B) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે ત્યારે તેનું કદ $V = A \times l$ અચળ રહે છે,તેથી આપણે $A = \frac{V}{l}$ લખી શકીએ છીએ.
આને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \frac{\rho l^2}{V}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto l^2$ થાય છે.
નાના ફેરફારો માટે વિકલનનો ઉપયોગ કરતા,અવરોધમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta R}{R} = 2 \frac{\Delta l}{l}$ મળે છે.
આપેલ છે કે તારને $0.1 \%$ ખેંચવામાં આવે છે,તેથી $\frac{\Delta l}{l} = 0.1 \% = 0.001$ છે.
તેથી,$\frac{\Delta R}{R} = 2 \times 0.1 \% = 0.2 \%$ થાય છે.
ફેરફાર ધન હોવાથી,અવરોધ $0.2 \%$ વધશે.

(C) ધાતુના તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{\ell}{A} = \rho \frac{\ell}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા,$\ell$ એ લંબાઈ અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $R \propto \frac{\ell}{r^2}$.
ધારો કે પ્રારંભિક અવરોધ $R = k \frac{\ell}{r^2}$ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે,નવી લંબાઈ $\ell' = 2\ell$ અને નવી ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{2}$ છે.
નવો અવરોધ $R'$ એ $R' = k \frac{\ell'}{(r')^2} = k \frac{2\ell}{(r/2)^2} = k \frac{2\ell}{r^2/4} = 8 \times k \frac{\ell}{r^2} = 8R$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,જ્યારે લંબાઈ બમણી અને ત્રિજ્યા અડધી કરવામાં આવે ત્યારે અવરોધ $8$ ગણો થાય છે.

(D) તાર બે સમાંતર વાહકોનો બનેલો છે: અંદરનો ભાગ અને બહારનું પડ.
$1$. અંદરના ભાગનો અવરોધ $(R_1)$: ત્રિજ્યા $R$,અવરોધકતા $\rho$ અને લંબાઈ $l$ છે. તેથી,$R_1 = \frac{\rho l}{\pi R^2}$.
$2$. બહારના પડનો અવરોધ $(R_2)$: અંદરની ત્રિજ્યા $R$ છે અને બહારની ત્રિજ્યા $2R$ છે (કારણ કે જાડાઈ $R$ છે). આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi((2R)^2 - R^2) = 3\pi R^2$ છે. અવરોધકતા $2\rho$ છે. તેથી,$R_2 = \frac{2\rho l}{3\pi R^2}$.
$3$. સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{eq})$: તેઓ સમાંતર હોવાથી,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{\pi R^2}{\rho l} + \frac{3\pi R^2}{2\rho l} = \frac{\pi R^2}{\rho l} (1 + 1.5) = \frac{2.5 \pi R^2}{\rho l} = \frac{5 \pi R^2}{2 \rho l}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{2 \rho l}{5 \pi R^2}$.

(C) વાહકનો અવરોધ તાપમાન વધવાની સાથે વધે છે કારણ કે ઇલેક્ટ્રોનની અથડામણની આવૃત્તિ વધે છે,જે અવરોધનો ધન તાપમાન ગુણાંક દર્શાવે છે.
તેનાથી વિપરીત,સેમિકન્ડક્ટરનો અવરોધ તાપમાન વધવાની સાથે ઘટે છે કારણ કે ઉષ્મીય ઉત્તેજનાને કારણે વધુ ચાર્જ કેરિયર્સ (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ઉત્પન્ન થાય છે,જે અવરોધનો ઋણ તાપમાન ગુણાંક દર્શાવે છે.
જેহেতু $P$ નો અવરોધ તાપમાન સાથે વધે છે,તેથી $P$ એ વાહક છે.
જેহেতু $Q$ નો અવરોધ તાપમાન સાથે ઘટે છે,તેથી $Q$ એ સેમિકન્ડક્ટર છે.
તેથી,સાચું તારણ એ છે કે $P$ એ વાહક છે અને $Q$ એ સેમિકન્ડક્ટર છે.

(C) તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ અચળ રહે છે. તેથી,$V = A_1 l_1 = A_2 l_2$.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,$\pi r^2 l_1 = \pi (r/2)^2 l_2$ મળે.
આનું સાદુરૂપ આપતા $r^2 l_1 = \frac{r^2}{4} l_2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $l_2 = 4 l_1$.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$R \propto \frac{l}{r^2}$.
ધારો કે $R_1 = R$ અને $R_2$ એ નવો અવરોધ છે.
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1} \times (\frac{r_1}{r_2})^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_2}{R} = (4) \times (\frac{r}{r/2})^2 = 4 \times 2^2 = 4 \times 4 = 16$.
તેથી,નવો અવરોધ $16R$ થશે.

(B) કોઈપણ દ્રવ્યની અવરોધકતા અથવા વિશિષ્ટ અવરોધ એ તે દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર દ્રવ્યના પ્રકાર અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તે વાહકના ભૌતિક પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ,ત્રિજ્યા અથવા આડછેદના ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખતું નથી.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,તેમની વિશિષ્ટ અવરોધકતા સમાન રહેશે.
તેથી,તેમની વિશિષ્ટ અવરોધકતાનો ગુણોત્તર $1 : 1$ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) તારનું કદ $V$ એ $V = \pi r^2 l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ લંબાઈ છે.
તારને ખેંચતી વખતે કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l} = 0$.
આ સૂચવે છે કે $\frac{\Delta l}{l} = -2\frac{\Delta r}{r} \dots (1)$.
અવરોધ $R$ એ $R = \frac{\rho l}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણને $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta l}{l} - 2\frac{\Delta r}{r}$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ ને આ પદમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta R}{R} = (-2\frac{\Delta r}{r}) - 2\frac{\Delta r}{r} = -4\frac{\Delta r}{r}$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં $0.1\%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta r}{r} = -0.1\%$.
તેથી,અવરોધમાં થતો પ્રતિશત વધારો $\frac{\Delta R}{R} = -4 \times (-0.1\%) = 0.4\%$ છે.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક અવરોધ $R_0 = 100\,\Omega$,વોલ્ટેજ $V = 220\,V$,પ્રવાહ $I = 2\,A$,અને તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta t = 500\,^{\circ}C$.
સૌ પ્રથમ,ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ઊંચા તાપમાને અવરોધ $R_t$ શોધો: $R_t = \frac{V}{I} = \frac{220}{2} = 110\,\Omega$.
અવરોધના તાપમાન પર આધારિત સૂત્ર $R_t = R_0(1 + \alpha \Delta t)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $110 = 100(1 + \alpha \times 500)$.
$1.1 = 1 + 500\alpha$.
$0.1 = 500\alpha$.
$\alpha = \frac{0.1}{500} = \frac{1}{5000} = 0.0002\,^{\circ}C^{-1}$.
તેથી,$\alpha = 2 \times 10^{-4}\,^{\circ}C^{-1}$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક અવરોધ $R_1 = 100\, \Omega$,પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$,અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = r/2$.
તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારને ફરીથી બનાવતી વખતે તેનું કદ $V$ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = A \cdot l = \text{અચળ}$.
અવરોધના સૂત્રમાં $l = V/A$ મૂકતા,આપણને $R = \frac{\rho V}{A^2}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto \frac{1}{A^2}$.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,$R \propto \frac{1}{(\pi r^2)^2} \propto \frac{1}{r^4}$.
તેથી,$\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_2}{100} = \left( \frac{r}{r/2} \right)^4 = (2)^4 = 16$.
$R_2 = 16 \times 100 = 1600\, \Omega$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે અવરોધકતા $\rho = \frac{R A}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાહકતા $\sigma = \frac{1}{\rho} = \frac{\ell}{R A}$.
$V = I R$ હોવાથી,$R = \frac{V}{I}$ થાય. આ કિંમત મૂકતા,$\sigma = \frac{\ell I}{V A}$.
પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[\ell] = [L]$
$[I] = [I]$
$[A] = [L^2]$
$[V] = [M L^2 T^{-3} I^{-1}]$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sigma = \frac{[L][I]}{[M L^2 T^{-3} I^{-1}] [L^2]} = \frac{[L][I]}{[M L^3 T^{-3} I^{-1}]}$
$\sigma = [M^{-1} L^{-3} T^3 I^2]$.

(C) તારનો પ્રારંભિક અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
જ્યારે તારને મધ્યમાંથી $180^o$ પર વાળવામાં આવે છે અને છેડાઓને વીંટાળવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l' = \frac{l}{2}$ થાય છે અને નવું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A' = 2A$ થાય છે.
નવો અવરોધ $R'$ એ $R' = \rho \frac{l'}{A'}$ દ્વારા મળે છે.
નવી કિંમતો મૂકતા: $R' = \rho \frac{l/2}{2A} = \frac{1}{4} \left( \rho \frac{l}{A} \right) = \frac{R}{4}$.