Resistance of wire, Resistivity and Conductivity Questions in Gujarati

(D) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = A_1 L_1 = A_2 L_2$,જેનો અર્થ છે કે $\pi r_1^2 L_1 = \pi r_2^2 L_2$.
આમ,$\frac{L_2}{L_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$.
અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho L_2 / A_2}{\rho L_1 / A_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right) \left( \frac{A_1}{A_2} \right) = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$.
અહીં $r_1 = r$ અને $r_2 = \frac{3r}{4}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{R_2}{R} = \left( \frac{r}{3r/4} \right)^4 = \left( \frac{4}{3} \right)^4 = \frac{256}{81}$.
તેથી,$R_2 = \frac{256R}{81}$.

(D) વાહકનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$1$. જેમ લંબાઈ $L$ વધે છે,તેમ અવરોધ $R$ વધે છે.
$2$. જેમ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઘટે છે,તેમ અવરોધ $R$ વધે છે.
$3$. વાહક માટે,તાપમાનમાં વધારો થવાથી અવરોધકતા $\rho$ વધે છે,જેના પરિણામે અવરોધ $R$ માં વધારો થાય છે.
તેથી,આપેલા તમામ પરિબળો અવરોધમાં વધારો કરે છે.

(D) વિશિષ્ટ અવરોધ,જેને અવરોધકતા $(\rho)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર દ્રવ્યના પ્રકાર અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તે વાહકના ભૌતિક પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ $(L)$ અથવા આડછેદના ક્ષેત્રફળ $(A)$ પર આધાર રાખતું નથી.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,તેમની વિશિષ્ટ અવરોધકતા સમાન રહેશે.
તેથી,તેમની વિશિષ્ટ અવરોધકતાનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(D) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: $\rho = 48 \times 10^{-8} \, \Omega \, m$,$R = 4.2 \, \Omega$,અને વ્યાસ $d = 0.4 \, mm = 0.4 \times 10^{-3} \, m$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 0.2 \times 10^{-3} \, m$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.2 \times 10^{-3})^2 = 3.14 \times 0.04 \times 10^{-6} = 0.1256 \times 10^{-6} \, m^2$.
લંબાઈ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $l = \frac{R \cdot A}{\rho}$.
કિંમતો મૂકતા: $l = \frac{4.2 \times 3.14 \times (0.2 \times 10^{-3})^2}{48 \times 10^{-8}}$.
$l = \frac{4.2 \times 3.14 \times 0.04 \times 10^{-6}}{48 \times 10^{-8}} = \frac{0.52752 \times 10^{-6}}{48 \times 10^{-8}} = \frac{52.752}{48} = 1.1 \, m$.

(D) તાંબું એ ધાતુ (વાહક) છે. ધાતુઓ માટે,જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ અવરોધ ઘટે છે કારણ કે લેટીસ આયનો સાથે ઇલેક્ટ્રોનની અથડામણની આવૃત્તિ ઘટે છે.
જર્મેનિયમ એ અર્ધવાહક છે. અર્ધવાહકો માટે,જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ અવરોધ વધે છે કારણ કે તાપમાનમાં ઘટાડો થવાથી ચાર્જ કેરિયર્સ (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યા ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
તેથી,જ્યારે ઓરડાના તાપમાનથી $80\, K$ સુધી ઠંડુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તાંબાની પટ્ટીનો અવરોધ ઘટે છે અને જર્મેનિયમની પટ્ટીનો અવરોધ વધે છે.

$(A)$ ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $l_1 = l$ છે। તારનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી, $V = A_1 l_1 = A_2 l_2$.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં $100 \%$ નો વધારો થાય છે, તેથી નવી લંબાઈ $l_2 = l_1 + 1.00 l_1 = 2l_1$.
કદના સંરક્ષણ પરથી, $A_1 l_1 = A_2 (2l_1) \Rightarrow A_2 = \frac{A_1}{2}$.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, પ્રારંભિક અવરોધ $R_1 = \rho \frac{l_1}{A_1}$ અને અંતિમ અવરોધ $R_2 = \rho \frac{l_2}{A_2} = \rho \frac{2l_1}{A_1/2} = 4 \rho \frac{l_1}{A_1} = 4R_1$.
અવરોધમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta R}{R_1} \times 100 = \frac{R_2 - R_1}{R_1} \times 100 = \frac{4R_1 - R_1}{R_1} \times 100 = 300 \%$ છે।

(C) આપેલ છે: બંને તાર સમાન દળ $(m)$ અને સમાન દ્રવ્ય (સમાન ઘનતા $\rho_d$ અને અવરોધકતા $\rho$) ધરાવે છે.
દળ = ઘનતા $\times$ કદ હોવાથી,અને ઘનતા સમાન હોવાથી,બંને તારનું કદ $(V = A \cdot l)$ સમાન હોવું જોઈએ.
$V_A = V_B \Rightarrow A_A l_A = A_B l_B \Rightarrow \frac{l_A}{l_B} = \frac{A_B}{A_A}$.
$A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$ હોવાથી,$\frac{A_B}{A_A} = \frac{d_B^2}{d_A^2}$ મળે.
આપેલ છે કે $d_A = \frac{d_B}{2}$,તેથી $\frac{d_B}{d_A} = 2$. આમ,$\frac{A_B}{A_A} = (2)^2 = 4$.
તેથી,$\frac{l_A}{l_B} = 4$.
અવરોધનું સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R_A}{R_B} = \frac{l_A}{l_B} \times \frac{A_B}{A_A} = 4 \times 4 = 16$.
$R_A = 24 \, \Omega$ આપેલ હોવાથી,$R_B = \frac{R_A}{16} = \frac{24}{16} = 1.5 \, \Omega$ મળે.

(B) તારનો અવરોધ $R$ એ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
વાહકતા $C$ એ અવરોધનો વ્યસ્ત છે,તેથી $C = \frac{1}{R} = \frac{A}{\rho l}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $C \propto \frac{1}{l}$.
જો લંબાઈ $l$ બમણી કરવામાં આવે $(l' = 2l)$,તો નવી વાહકતા $C'$ એ $C' = \frac{A}{\rho (2l)} = \frac{1}{2} \left( \frac{A}{\rho l} \right) = \frac{1}{2} C$ થશે.
તેથી,વાહકતા અડધી થઈ જશે.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = A_1 L_1 = A_2 L_2$,જેનો અર્થ છે કે $L_1 r_1^2 = L_2 r_2^2$.
તેથી,$\frac{L_2}{L_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$.
નવા અવરોધ $R_2$ અને મૂળ અવરોધ $R_1$ નો ગુણોત્તર $\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho L_2 / A_2}{\rho L_1 / A_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right) \left( \frac{A_1}{A_2} \right) = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$ થાય.
અહીં ત્રિજ્યા અડધી કરવામાં આવી છે,એટલે કે $r_2 = \frac{r_1}{2}$,તેથી $\frac{r_1}{r_2} = 2$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$\frac{R_2}{R} = (2)^4 = 16$.
આમ,નવો અવરોધ $R_2 = 16 \, R$ થશે.

(D) જ્યારે $R$ અવરોધ ધરાવતા તારને તેની મૂળ લંબાઈ કરતા $n$ ગણી લંબાઈ સુધી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ અચળ રહે છે.
$V = A \cdot L$ હોવાથી,જો લંબાઈ $nL$ થાય,તો કદ અચળ રાખવા માટે નવું ક્ષેત્રફળ $A'$ એ $A/n$ થવું જોઈએ.
અવરોધનું સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ છે.
નવો અવરોધ $R'$ એ $R' = \rho \frac{nL}{A/n} = n^2 \rho \frac{L}{A} = n^2 R$ દ્વારા મળે છે.
અહીં લંબાઈ $n = 4$ ગણી કરવામાં આવી છે,તેથી નવો અવરોધ $R' = (4)^2 R = 16R$ થશે.

(A) લીડ વાયરનો ઉપયોગ પાવર સ્ત્રોતને લોડ સાથે જોડવા માટે થાય છે. વાયરમાં પાવરનો વ્યય $(P = I^2R)$ અને વોલ્ટેજ ડ્રોપ $(V = IR)$ ઘટાડવા માટે, વાયરનો અવરોધ $(R)$ શક્ય તેટલો ઓછો હોવો જોઈએ.
અવરોધનું સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ છે, જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે, $L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A = \pi r^2)$ છે. અવરોધ ઘટાડવા માટે, આપણે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ વધારવું પડે.
ક્ષેત્રફળ વધારવાનો અર્થ એ છે કે વાયરનો વ્યાસ વધારવો.
તેથી, ઓછો અવરોધ મેળવવા માટે લીડ વાયરનો વ્યાસ મોટો હોવો જોઈએ.

(D) પ્રમાણિત અવરોધકો એવી રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે કે તાપમાનમાં ફેરફાર થવા છતાં તેમનું અવરોધ મૂલ્ય અચળ રહે.
કોન્સ્ટન્ટન અને મેંગેનિન એવી મિશ્રધાતુઓ છે જે બે મુખ્ય ગુણધર્મો ધરાવે છે:
$1$. તેમની અવરોધકતા ઉચ્ચ હોય છે,જે નાના કદના અવરોધકો બનાવવામાં મદદ કરે છે.
$2$. તેમનો અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક ખૂબ જ નીચો હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાનના ફેરફારો સાથે તેમના અવરોધમાં નહિવત ફેરફાર થાય છે.
તેથી,આ બંને ગુણધર્મો તેમને પ્રમાણિત અવરોધ માટે આદર્શ બનાવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) વાયરનો અવરોધ $R$ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
કારણ કે $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$,તેથી $R \propto \frac{l}{d^2}$ થાય.
વિકલ્પ $A$ માટે: $R_A \propto \frac{50}{(0.5)^2} = \frac{50}{0.25} = 200$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $R_B \propto \frac{100}{(1)^2} = 100$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $R_C \propto \frac{200}{(2)^2} = \frac{200}{4} = 50$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $R_D \propto \frac{300}{(3)^2} = \frac{300}{9} \approx 33.3$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,ગુણોત્તર $\frac{l}{d^2}$ વિકલ્પ $A$ માટે મહત્તમ છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ માં રહેલા વાયરનો વિદ્યુત અવરોધ સૌથી વધુ છે.

(C) જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ અચળ રહે છે. કારણ કે $Volume = Area \times Length$,જો લંબાઈ $n$ ગણી થાય,તો ક્ષેત્રફળ $1/n$ ગણું થાય છે.
અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$. તેથી,$R \propto l^2$.
આપેલ છે કે લંબાઈ $2$ ગણી થાય છે $(l_2 = 2l_1)$,તેથી નવો અવરોધ $R_2$ નીચે મુજબ મળે:
$R_2 = R_1 \times (2)^2 = 4R_1$.
અવરોધમાં થતો ફેરફાર $\Delta R = R_2 - R_1 = 4R_1 - R_1 = 3R_1$.
અવરોધમાં થતા ફેરફાર અને પ્રારંભિક અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta R}{R_1} = \frac{3R_1}{R_1} = 3:1$ છે.

(C) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કદ $V = A \times l$ અચળ રહેતું હોવાથી, $A = \frac{V}{l}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા, આપણને $R = \rho \frac{l^2}{V}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $R \propto l^2$.
જો લંબાઈમાં $10\%$ નો વધારો થાય, તો નવી લંબાઈ $l_2 = l_1 + 0.10 l_1 = 1.1 l_1$ થાય.
અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{l_2}{l_1} \right)^2 = (1.1)^2 = 1.21$ મળે.
આમ, $R_2 = 1.21 R_1$.
અવરોધમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{R_2 - R_1}{R_1} \times 100 = (1.21 - 1) \times 100 = 21\%$ છે.

(C) વાયરનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ વિશિષ્ટ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ ગુણોત્તર:
$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{2}{3}$
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{3}{4}$
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{5}$
તેમના અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \times \frac{l_1}{l_2} \times \frac{A_2}{A_1}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 3 \times 5}{3 \times 4 \times 4} = \frac{30}{48} = \frac{5}{8}$.
આમ,તેમના અવરોધનો ગુણોત્તર $5:8$ છે.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંને તારના વ્યાસ સમાન હોવાથી,તેમના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ પણ સમાન થશે.
તેથી,અવરોધો $R_1 = \frac{\rho_1 l_1}{A}$ અને $R_2 = \frac{\rho_2 l_2}{A}$ થશે.
જ્યારે તેમને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ થાય.
સમતુલ્ય તારની કુલ લંબાઈ $(l_1 + l_2)$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન રહે છે,તેથી $R_{eq} = \frac{\rho_{eq}(l_1 + l_2)}{A}$ થાય.
બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{\rho_{eq}(l_1 + l_2)}{A} = \frac{\rho_1 l_1}{A} + \frac{\rho_2 l_2}{A}$.
બંને બાજુથી $A$ ને દૂર કરતા,આપણને $\rho_{eq}(l_1 + l_2) = \rho_1 l_1 + \rho_2 l_2$ મળે છે.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધકતા $\rho_{eq} = \frac{\rho_1 l_1 + \rho_2 l_2}{l_1 + l_2}$ થાય.

(B) શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે તાર માટે,કુલ અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે: $R_{eq} = R_1 + R_2$.
તાર સમાન પરિમાણો (લંબાઈ $l$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$) ધરાવતા હોવાથી,દરેક તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતોને શ્રેણી સંયોજનના સૂત્રમાં મૂકતા: $\rho_{eq} \frac{2l}{A} = \rho_1 \frac{l}{A} + \rho_2 \frac{l}{A}$.
બંને બાજુ $\frac{l}{A}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $2\rho_{eq} = \rho_1 + \rho_2$.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધકતા $\rho_{eq} = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}$ થાય.

(B) આપેલ છે: $R = 150 \; \Omega$,$R_{0} = 100 \; \Omega$,અને $\Delta t = 227^{\circ} C - 27^{\circ} C = 200^{\circ} C$.
સૂત્ર $R = R_{0}(1 + \alpha \Delta t)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$150 = 100(1 + \alpha \times 200)$
$1.5 = 1 + 200\alpha$
$0.5 = 200\alpha$
$\alpha = 0.5 / 200 = 2.5 \times 10^{-3} /^{\circ} C$.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ ના સંદર્ભમાં: રેખીય અંદાજ $R = R_{0}(1 + \alpha \Delta t)$ એ ટેલર વિસ્તરણ $R = R_{0} e^{\alpha \Delta t} \approx R_{0}(1 + \alpha \Delta t + \dots)$ પરથી મેળવવામાં આવે છે,જે ફક્ત ત્યારે જ માન્ય છે જ્યારે $\alpha \Delta t << 1$ હોય. આ પ્રશ્નમાં,$\Delta R = 50 \; \Omega$ છે,જે $R_{0}$ ના $50\%$ છે. તેથી,વિધાન-$2$ પણ સાચું છે અને તે વિધાન-$1$ માં વપરાયેલ સૂત્રની મર્યાદાઓ માટે સૈદ્ધાંતિક આધાર પૂરો પાડે છે.

(C) કોન્સ્ટન્ટન એ તાંબા અને નિકલની મિશ્રધાતુ છે.
તેનો ઉપયોગ પ્રમાણિત અવરોધો બનાવવા માટે વ્યાપકપણે થાય છે કારણ કે તેનો અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક ખૂબ જ ઓછો (નગણ્ય) હોય છે.
આ ગુણધર્મને લીધે આસપાસના તાપમાનમાં ફેરફાર થવા છતાં વાયરનું અવરોધ મૂલ્ય લગભગ અચળ રહે છે,જે તેને ચોકસાઈપૂર્વકના સાધનો માટે આદર્શ બનાવે છે.

(A) વાહકનો અવરોધ $R$ એ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
પોલા નળાકાર માટે,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi (r_2^2 - r_1^2)$ છે,જ્યાં $r_2$ એ બહારની ત્રિજ્યા છે અને $r_1$ એ અંદરની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 5\,m$
બહારનો વ્યાસ $D_2 = 10\,cm$,તેથી બહારની ત્રિજ્યા $r_2 = 5\,cm = 0.05\,m$.
દીવાલની જાડાઈ $t = 5\,mm = 0.5\,cm = 0.005\,m$.
અંદરની ત્રિજ્યા $r_1 = r_2 - t = 5\,cm - 0.5\,cm = 4.5\,cm = 0.045\,m$.
અવરોધકતા $\rho = 1.7 \times 10^{-8} \,\Omega m$.
ક્ષેત્રફળ $A$ ની ગણતરી:
$A = \pi [(0.05)^2 - (0.045)^2] = \pi [0.0025 - 0.002025] = \pi [0.000475] \,m^2$.
હવે,અવરોધ $R$ ની ગણતરી:
$R = (1.7 \times 10^{-8}) \times \frac{5}{\pi \times 0.000475} \approx \frac{8.5 \times 10^{-8}}{0.001492} \approx 5.69 \times 10^{-5} \,\Omega$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,અવરોધ આશરે $5.6 \times 10^{-5} \,\Omega$ છે.

(A) ધારો કે $l$ એ તારની મૂળ લંબાઈ છે અને $A$ એ તેનું મૂળ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે. મૂળ અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ છે.
ધારો કે તારના $x$ લંબાઈના ભાગને ખેંચીને નવી લંબાઈ $x' = x + 0.5l$ કરવામાં આવે છે. આ ભાગનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$A x = A' x'$,જ્યાં $A'$ એ નવું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$A' = A \frac{x}{x + 0.5l}$.
નવો અવરોધ $R'$ એ ન ખેંચાયેલા ભાગ $(l-x)$ અને ખેંચાયેલા ભાગ $(x+0.5l)$ ના અવરોધનો સરવાળો છે:
$R' = \rho \frac{l-x}{A} + \rho \frac{x+0.5l}{A'} = \rho \frac{l-x}{A} + \rho \frac{(x+0.5l)^2}{Ax}$.
આપેલ છે કે $R' = 4R$,તેથી $4 \frac{l}{A} = \frac{l-x}{A} + \frac{(x+0.5l)^2}{Ax}$.
$Ax$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $4lx = x(l-x) + (x+0.5l)^2$.
$4lx = lx - x^2 + x^2 + lx + 0.25l^2$.
$4lx = 2lx + 0.25l^2$.
$2lx = 0.25l^2$.
$x/l = 0.25/2 = 1/8$.

(A) બધા વાહકોની લંબાઈ $(l)$ સમાન છે અને તે સમાન દ્રવ્ય (સમાન અવરોધકતા $\rho$) ના બનેલા છે.
વાહક $A$ ના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_A = (\sqrt{3}a)^2 - (\sqrt{2}a)^2 = 3a^2 - 2a^2 = a^2$ છે.
વાહક $B$ ના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_B = (\sqrt{2}a)^2 - (a)^2 = 2a^2 - a^2 = a^2$ છે.
વાહક $C$ ના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_C = (a)^2 = a^2$ છે.
અવરોધનું સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ હોવાથી,અને બધા વાહકો માટે $\rho$,$l$,અને $A$ સમાન હોવાથી,તેમના અવરોધ સમાન થશે:
$R_A = R_B = R_C$.

(D) $I-V$ વક્રનો ઢાળ $\text{slope} = \frac{I}{V} = \frac{1}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધ $R = \frac{\rho L}{A}$ હોવાથી, આપણને $\text{slope} = \frac{1}{R} = \frac{A}{\rho L}$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ઢાળ એ તારની લંબાઈ $L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(\text{slope} \propto \frac{1}{L})$.
તેથી, જો તારની લંબાઈ વધારવામાં આવે, તો વક્રનો ઢાળ ઘટશે.
આમ, વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ ${R_t} = {R_0} + {R_0}\alpha t + {R_0}\beta {t^2}$ છે.
આ $y = ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપનું દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.
આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે અવરોધ ${R_t}$ તાપમાન $t$ સાથે વધે છે,અને વક્રનો ઢાળ $\frac{dR_t}{dt} = {R_0}\alpha + 2{R_0}\beta t$ ધન છે અને વધતો જાય છે.
વક્ર ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ હોવાથી,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2R_t}{dt^2} = 2{R_0}\beta$ ધન હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\beta > 0$.
વળી,$t = 0$ આગળ,ઢાળ ${R_0}\alpha$ છે. વક્ર ધન ઢાળ સાથે શરૂ થતો હોવાથી,$\alpha$ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,$\alpha$ અને $\beta$ બંને ધન છે. સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) ધારો કે ડાબા છેડાથી $x$ અંતરે અવરોધકતા $\rho = (\rho_0 + ax)$ છે,જ્યાં $\rho_0$ એ $x = 0$ આગળની અવરોધકતા છે અને $a$ એ ધન અચળાંક છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ ઘનતા $J = \frac{i}{A} = \frac{E}{\rho}$ છે,જ્યાં $i$ એ અચળ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ સમાન આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{i \rho}{A} = \frac{i(\rho_0 + ax)}{A}$ થશે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે $E$ એ $x$ નું રેખીય વિધેય છે,જે $E = mx + c$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $m = \frac{ia}{A}$ અને $c = \frac{i\rho_0}{A}$ છે.
ચૂંક $\rho_0 > 0$ હોવાથી,આંતરછેદ $c$ શૂન્ય નથી અને ઢાળ $m$ ધન છે.
આમ,$E$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ ધન ઢાળ અને ધન $y$-આંતરછેદ ધરાવતી સીધી રેખા છે. આ આલેખ વિકલ્પ $(B)$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) ટંગસ્ટન એ ધાતુ (વાહક) છે. ધાતુઓ માટે,તાપમાન વધવાથી અવરોધ વધે છે કારણ કે ઇલેક્ટ્રોનની અથડામણની આવૃત્તિ વધે છે.
કાર્બન એ અધાતુ (અર્ધવાહક) છે. અર્ધવાહકો માટે,તાપમાન વધવાથી અવરોધ ઘટે છે કારણ કે તાપમાન વધતા વધુ ચાર્જ કેરિયર્સ મુક્ત થાય છે.
તેથી,જ્યારે ગરમ હોય ત્યારે,ટંગસ્ટન ફિલામેન્ટનો અવરોધ વધે છે અને કાર્બન ફિલામેન્ટનો અવરોધ ઘટે છે.

(A) બલ્બનો પાવર રેટિંગ $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ રેટ કરેલ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ ફિલામેન્ટનો અવરોધ છે.
બંને બલ્બ માટે $V$ સમાન હોવાથી,$P \propto \frac{1}{R}$ થાય.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ (જાડાઈ) છે.
આપેલ છે કે લંબાઈ $L$ સમાન છે અને પદાર્થ (રેઝિસ્ટિવિટી $\rho$) પણ સમાન છે,તેથી $R \propto \frac{1}{A}$ થાય.
આને પાવરના સંબંધમાં મૂકતા,આપણને $P \propto \frac{1}{1/A} \implies P \propto A$ મળે છે.
તેથી,વધુ પાવર $(100 \, W)$ ધરાવતા બલ્બમાં ઓછા પાવર $(60 \, W)$ ધરાવતા બલ્બની સરખામણીમાં આડછેદનું ક્ષેત્રફળ મોટું (જાડું ફિલામેન્ટ) હોવું જોઈએ.

(C) બલ્બનો પાવર રેટિંગ $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ રેટ કરેલ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ બલ્બનો અવરોધ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $R = \frac{V^2}{P}$.
કારણ કે રેટ કરેલ વોલ્ટેજ $V$ બધા બલ્બ માટે સમાન છે,તેથી અવરોધ $R$ એ પાવર $P$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(R \propto \frac{1}{P})$.
તેથી,જે બલ્બનો પાવર રેટિંગ સૌથી વધુ હશે તેનો અવરોધ ન્યૂનતમ હશે.
આપેલ પાવર રેટિંગ્સ ($40\,W$,$60\,W$ અને $100\,W$) ની સરખામણી કરતા,$100\,W$ ના બલ્બનો પાવર સૌથી વધુ છે.
આમ,$100\,W$ ના બલ્બનો અવરોધ ન્યૂનતમ છે.

(A) તાપમાન વધવાની સાથે વાહકનો અવરોધ વધે છે કારણ કે લેટીસ આયનો સાથે ઇલેક્ટ્રોનની અથડામણ વધે છે.
વાહક માટે,સંબંધ $R_t = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે.
તાપમાનમાં વધારો થવાને કારણે $R_t > R_0$ હોવાથી,$\alpha$ નું મૂલ્ય ધન હોવું જોઈએ.
તેથી,વાહક માટે અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક હંમેશા ધન હોય છે.

(D) વાહકનો અવરોધ તાપમાન વધવાની સાથે વધે છે કારણ કે લેટીસ આયનો સાથે ઈલેક્ટ્રોનનો અથડામણ દર વધે છે. આમ,વાહકો ધન તાપમાન ગુણાંક ધરાવે છે.
તેનાથી વિપરીત,અર્ધવાહકનો અવરોધ તાપમાન વધવાની સાથે ઘટે છે કારણ કે ઉષ્મીય ઉત્તેજનાને કારણે વધુ વિદ્યુતભારો (ઈલેક્ટ્રોન અને હોલ) ઉત્પન્ન થાય છે,જે વાહકતામાં વધારો કરે છે. આમ,અર્ધવાહકો ઋણ તાપમાન ગુણાંક ધરાવે છે.
તાર $P$ નો અવરોધ તાપમાન સાથે વધતો હોવાથી,$P$ એ વાહક છે.
તાર $Q$ નો અવરોધ તાપમાન સાથે ઘટતો હોવાથી,$Q$ એ અર્ધવાહક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) ધાતુઓમાં,તાપમાન સાથે મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહકો (ઇલેક્ટ્રોન) ની સંખ્યા લગભગ અચળ રહે છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ લેટીસના કંપનોને કારણે ઇલેક્ટ્રોનનું સ્કેટરિંગ વધે છે,જેના પરિણામે અવરોધ વધે છે.
અર્ધવાહકોમાં,વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોનના થર્મલ ઉત્તેજનને કારણે તાપમાન સાથે વિદ્યુતભાર વાહકો (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યા ઘાતાંકીય રીતે વધે છે. વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યામાં થતો આ વધારો સ્કેટરિંગ અસર કરતા વધુ પ્રભાવી હોય છે,જેના કારણે તાપમાન વધતા અવરોધ ઘટે છે.
તેથી,મૂળભૂત તફાવત તાપમાન સાથે વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યામાં થતા ફેરફારને કારણે ઉદ્ભવે છે.

(D) અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $(\alpha)$ તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ અવરોધમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તાંબુ, એલ્યુમિનિયમ અને લોખંડ જેવી ધાતુઓ માટે, તાપમાન વધવાની સાથે અવરોધ વધે છે, જેના પરિણામે અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક ધન હોય છે.
જર્મેનિયમ જેવા અર્ધવાહકો માટે, તાપમાન વધવાની સાથે વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે, જેના કારણે અવરોધમાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી, અર્ધવાહકો ઋણ તાપમાન ગુણાંક ધરાવે છે.

(C) પદાર્થની અવરોધકતા તેના અવરોધના તાપમાન ગુણાંક $\alpha$ પર આધાર રાખે છે.
વાહકો માટે,$\alpha$ નું મૂલ્ય ધન હોય છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ લેટીસ સાથે ઇલેક્ટ્રોનની અથડામણની આવૃત્તિ વધે છે,જેના પરિણામે અવરોધકતામાં વધારો થાય છે.
અર્ધવાહકો માટે,$\alpha$ નું મૂલ્ય ઋણ હોય છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ સહસંયોજક બંધ તૂટવાને કારણે વધુ વિદ્યુતભાર વાહકો (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ) ઉત્પન્ન થાય છે,જે વાહકતામાં નોંધપાત્ર વધારો કરે છે અને તેથી અવરોધકતા ઘટે છે.
આમ,તાપમાનમાં વધારો થતાં,વાહકની અવરોધકતા વધે છે અને અર્ધવાહકની અવરોધકતા ઘટે છે.

(C) ધાતુના વાહકોમાં,ચાર્જ કેરિયર્સ (મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન) ની સંખ્યા અચળ રહે છે,પરંતુ તાપમાન વધતા લેટીસ આયનોના કંપનનો કંપનવિસ્તાર વધે છે,જેના કારણે અથડામણો (સ્કેટરિંગ) વધુ વારંવાર થાય છે,જે અવરોધમાં વધારો કરે છે.
અર્ધવાહકોમાં,સહસંયોજક બંધ તૂટવાને કારણે તાપમાન સાથે ચાર્જ કેરિયર્સ (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યામાં ઘાતાંકીય વધારો થાય છે,જે અવરોધમાં નોંધપાત્ર ઘટાડો કરે છે.
તેથી,તાપમાન પરની નિર્ભરતામાં તફાવતનું મુખ્ય કારણ તાપમાન સાથે ચાર્જ કેરિયર્સની સંખ્યામાં થતો ફેરફાર છે.

(A) વાયરનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ વિશિષ્ટ અવરોધ (રેઝિસ્ટિવિટી),$L$ એ લંબાઈ અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
વાયર નળાકાર હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$R = \rho \frac{L}{\pi r^2}$.
જ્યારે લંબાઈ $L$ બમણી કરવામાં આવે $(L' = 2L)$ અને ત્રિજ્યા $r$ બમણી કરવામાં આવે $(r' = 2r)$,ત્યારે નવો અવરોધ $R'$ નીચે મુજબ મળે:
$R' = \rho \frac{2L}{\pi (2r)^2} = \rho \frac{2L}{\pi (4r^2)} = \frac{1}{2} \left( \rho \frac{L}{\pi r^2} \right) = \frac{R}{2}$.
વિશિષ્ટ અવરોધ $(\rho)$ એ દ્રવ્યનો ગુણધર્મ છે જે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે,વાયરના પરિમાણો પર નહીં. તેથી,તે બદલાશે નહીં.
આમ,અવરોધ અડધો થશે અને વિશિષ્ટ અવરોધ બદલાશે નહીં.

(C) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
બધા તાર સમાન પદાર્થના બનેલા હોવાથી,$\rho$ અચળ છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $R_A \propto \frac{40}{1^2} = 40$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $R_B \propto \frac{40}{2^2} = 10$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $R_C \propto \frac{80}{1^2} = 80$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $R_D \propto \frac{80}{2^2} = 20$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$R_C$ સૌથી વધુ છે. તેથી,$1 \, mm$ ત્રિજ્યા અને $80 \, m$ લંબાઈ ધરાવતા તારનો અવરોધ સૌથી વધુ હશે.

(A) તારનો અવરોધ $R$ એ $R = \frac{\rho l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ $V = A \times l$ અચળ હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{l}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{\rho l}{(V/l)} = \frac{\rho l^2}{V}$.
અહીં $\rho$ (વિશિષ્ટ અવરોધ) અને $V$ (કદ) અચળ હોવાથી,$R \propto l^2$ થાય છે.
જ્યારે લંબાઈ $l$ બમણી કરવામાં આવે $(l' = 2l)$,ત્યારે નવો અવરોધ $R'$ એ $R' \propto (2l)^2 = 4l^2$ થશે.
તેથી,$R' = 4R$,જેનો અર્થ છે કે અવરોધ મૂળ કિંમત કરતા ચાર ગણો થશે.

(A) સુપરકન્ડક્ટર એ એવો પદાર્થ છે જે તેના લાક્ષણિક ક્રાંતિક તાપમાનથી નીચે ઠંડુ પાડવામાં આવે ત્યારે શૂન્ય વિદ્યુત અવરોધ દર્શાવે છે।
વિદ્યુત વાહકતા $(\sigma)$ એ વિદ્યુત અવરોધકતા $(\rho)$ નો વ્યસ્ત છે, એટલે કે, $\sigma = 1 / \rho$.
જેમ કે સુપરકન્ડક્ટરની અવરોધકતા $(\rho)$ શૂન્ય હોય છે, તેથી તેની વાહકતા $(\sigma)$ $1 / 0$ થાય છે, જે અનંત છે।
તેથી, સુપરકન્ડક્ટરની વાહકતા અનંત હોય છે।

(A) તાંબું એ ધાતુ (વાહક) છે. ધાતુઓ માટે,તાપમાન $T$ ઘટતા વિશિષ્ટ અવરોધકતા $\rho$ ઘટે છે કારણ કે રિલેક્સેશન સમય વધે છે.
સિલિકોન એ અર્ધવાહક છે. અર્ધવાહકો માટે,તાપમાન $T$ ઘટતા વિશિષ્ટ અવરોધકતા $\rho$ વધે છે કારણ કે મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યા તાપમાન સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
તેથી,જ્યારે $300 \, K$ થી $60 \, K$ સુધી ઠંડુ કરવામાં આવે,ત્યારે તાંબાની વિશિષ્ટ અવરોધકતા ઘટશે અને સિલિકોનની વિશિષ્ટ અવરોધકતા વધશે.

(C) પ્રમાણભૂત અવરોધો એવી રીતે બનાવવામાં આવે છે કે જેથી તાપમાનના વિશાળ ગાળામાં તેમનું અવરોધ મૂલ્ય અચળ રહે.
કોઈપણ પદાર્થ પ્રમાણભૂત અવરોધ માટે યોગ્ય ત્યારે જ ગણાય જ્યારે તાપમાન સાથે તેનો અવરોધ નોંધપાત્ર રીતે બદલાતો ન હોય.
આવા પદાર્થો માટે અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $(\alpha)$ ખૂબ જ ઓછો અથવા અવગણ્ય હોવો જોઈએ.
ટંગસ્ટનનો ઉપયોગ ઘણી ચોક્કસ એપ્લિકેશન્સમાં થાય છે, પરંતુ પ્રમાણભૂત અવરોધો માટે મેંગેનિન અથવા કોન્સ્ટન્ટન જેવા મિશ્રધાતુઓનો ઉપયોગ વધુ થાય છે કારણ કે તેમનો તાપમાન ગુણાંક ખૂબ જ ઓછો હોય છે.
જો કે, આ પ્રશ્નના સંદર્ભમાં, જે ગુણધર્મ પદાર્થને પ્રમાણભૂત અવરોધ માટે યોગ્ય બનાવે છે તે એ છે કે તેનો અવરોધ સ્થિર રહે છે, જેનો અર્થ છે કે તેનો તાપમાન ગુણાંક અવગણ્ય છે.

(A) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $R = \rho \frac{4L}{\pi d^2}$.
ધારો કે પ્રથમ તારની લંબાઈ $L_1 = L$ અને વ્યાસ $d_1 = d$ છે. તેનો અવરોધ $R_1 = \rho \frac{4L}{\pi d^2}$ છે.
બીજા તાર માટે,$L_2 = 2L$ અને $d_2 = 2d$ છે. તેનો અવરોધ $R_2 = \rho \frac{4(2L)}{\pi (2d)^2} = \rho \frac{8L}{4\pi d^2} = \rho \frac{2L}{\pi d^2}$ છે.
$R_1$ અને $R_2$ ની સરખામણી કરતા: $R_1 = 2 \times (\rho \frac{2L}{\pi d^2}) = 2 R_2$.
આમ,પહેલા તારનો અવરોધ બીજા તારના અવરોધ કરતા બમણો છે.

(D) વિશિષ્ટ અવરોધ, જેને અવરોધકતા $(\rho)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે તારના દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ અને વાહકના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તે તારના ભૌતિક પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ $(l)$ અથવા આડછેદના ક્ષેત્રફળ $(A)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી, જો તારની લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે, તો પણ અવરોધકતા સમાન રહે છે.

(D) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે ત્યારે તેનું કદ $V = lA$ અચળ રહે છે,તેથી $A = \frac{V}{l}$ થાય.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \rho \frac{l^2}{V}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto l^2$ થાય.
નાના ફેરફારો માટે,અવરોધમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta R}{R} \times 100 \approx 2 \times (\frac{\Delta l}{l} \times 100)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં લંબાઈમાં $0.1 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 0.1 \%$ છે.
તેથી,અવરોધમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $2 \times 0.1 \% = 0.2 \%$ થશે.
લંબાઈ વધતી હોવાથી,અવરોધમાં $0.2 \%$ નો વધારો થશે.

(B) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{\ell}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ $V = A \ell$ અચળ રહે છે,તેથી $A = \frac{V}{\ell}$ થાય.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,$R = \rho \frac{\ell^2}{V}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto \ell^2$ થાય.
નાના ફેરફારો માટે વિકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\Delta R}{R} \approx 2 \frac{\Delta \ell}{\ell}$.
અહીં $\frac{\Delta \ell}{\ell} = 0.1\%$ આપેલ છે,તેથી અવરોધમાં થતો પ્રતિશત ફેરફાર $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2 \times 0.1\% = 0.2\%$ થશે.

(A) હીટરનો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો વોલ્ટેજ $V$ અચળ રહે,તો $P \propto \frac{1}{R}$ થાય.
$T$ તાપમાને અવરોધ $R_T = R_0(1 + \alpha T)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\frac{P_{200}}{P_{800}} = \frac{R_{800}}{R_{200}} = \frac{R_0(1 + \alpha \times 800)}{R_0(1 + \alpha \times 200)}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\alpha = 4 \times 10^{-4} \ ^oC^{-1}$,$P_{800} = 500 \ W$.
$\frac{P_{200}}{500} = \frac{1 + (4 \times 10^{-4} \times 800)}{1 + (4 \times 10^{-4} \times 200)} = \frac{1 + 0.32}{1 + 0.08} = \frac{1.32}{1.08}$.
$P_{200} = 500 \times \frac{1.32}{1.08} \approx 611.11 \ W$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,પાવર $611 \ W$ થશે.

(B) વિશિષ્ટ અવરોધ, જેને રેઝિસ્ટિવિટી $(\rho)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે પદાર્થની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
ધાતુના વાહકો માટે, તાપમાન વધવાથી લેટીસ આયનોના કંપનને કારણે ઇલેક્ટ્રોનનું સ્કેટરિંગ વધે છે, જેના પરિણામે રેઝિસ્ટિવિટી વધે છે.
રેઝિસ્ટિવિટી વાહકના ભૌતિક પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ અથવા આડછેદના ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખતી નથી.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $\ell$ છે અને પ્રારંભિક અવરોધ $R = \rho \frac{\ell}{A}$ છે.
લંબાઈમાં $100\,\%$ નો વધારો થવાથી,નવી લંબાઈ $\ell' = \ell + 1.00\ell = 2\ell$ થશે.
કદ $V = A \times \ell$ અચળ રહેતું હોવાથી,$A' \ell' = A \ell \implies A' (2\ell) = A \ell \implies A' = \frac{A}{2}$ મળે.
નવો અવરોધ $R' = \rho \frac{\ell'}{A'} = \rho \frac{2\ell}{A/2} = 4 \left( \rho \frac{\ell}{A} \right) = 4R$ થશે.
અવરોધમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{R' - R}{R} \times 100\,\% = \frac{4R - R}{R} \times 100\,\% = 3 \times 100\,\% = 300\,\%$ છે.

(A) પદાર્થની વિશિષ્ટ અવરોધકતા $\rho$ તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
કોપર જેવી ધાતુઓ માટે,જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ અવરોધકતા ઘટે છે કારણ કે લેટીસના કંપનો દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનનું સ્કેટરિંગ ઘટે છે.
સિલિકોન જેવા અર્ધવાહકો માટે,જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ અવરોધકતા વધે છે કારણ કે ચાર્જ કેરિયર્સ (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે.
તેથી,જ્યારે $300 \ K$ થી $60 \ K$ સુધી ઠંડુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોપરની વિશિષ્ટ અવરોધકતા ઘટે છે,જ્યારે સિલિકોનની વિશિષ્ટ અવરોધકતા વધે છે.

(C) $t$ તાપમાને અવરોધ $R_t$ નું સૂત્ર: $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ છે.
અહીં $R_t = 3R_0$ અને $\alpha = 4 \times 10^{-3} {}^{\circ} C^{-1}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$3R_0 = R_0(1 + 4 \times 10^{-3} \times t)$
$3 = 1 + 4 \times 10^{-3} \times t$
$2 = 4 \times 10^{-3} \times t$
$t = \frac{2}{4 \times 10^{-3}} = \frac{2000}{4} = 500 ^{\circ} C$.
આમ, તાપમાન $500 ^{\circ} C$ થશે.