Resistance of wire, Resistivity and Conductivity Questions in Gujarati

(C) તારનો અવરોધ $R$ એ $R = \frac{\rho \ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ $V = A \ell$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{\ell}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{\rho \ell^2}{V}$.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto \ell^2$ થાય.
લોગેરિધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta R}{R} = 2 \frac{\Delta \ell}{\ell}$ મળે છે.
લંબાઈમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta \ell}{\ell} \times 100 = 0.5\%$ આપેલ છે.
તેથી,અવરોધમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2 \times 0.5\% = 1\%$ થાય.

(D) આલેખ $\ln R(T)$ અને $1/T^2$ વચ્ચે ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
સીધી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે.
અહીં,$y = \ln R(T)$ અને $x = 1/T^2$ છે.
તેથી,$\ln R(T) = m(1/T^2) + c$,જ્યાં $m$ એ ઋણ ઢાળ છે અને $c$ એ અંતઃખંડ છે.
ધારો કે $1/T^2 = 0$ પર અંતઃખંડ $\ln R_0$ છે. તો $\ln R(T) = -k(1/T^2) + \ln R_0$,જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે.
આને $\ln R(T) = \ln R_0 - k/T^2$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,આપણને $R(T) = R_0 e^{-k/T^2}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જો આપણે $k = T_0^2$ લઈએ,તો $R(T) = R_0 e^{-T_0^2/T^2}$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો અને ઋણ ઢાળને ધ્યાનમાં લેતા,વિકલ્પ $D$ એ ગાણિતિક રીતે સૌથી નજીકનું સ્વરૂપ છે.

(D) બે ગોળાઓ વચ્ચે $x$ ત્રિજ્યા અને $dx$ જાડાઈ ધરાવતી એક ગોળીય કવચનો વિચાર કરો.
આ કવચનું ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi x^2$ છે.
આ પાતળી કવચનો અવરોધ $dR = \rho \frac{dx}{A} = \rho \frac{dx}{4\pi x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાઓ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ $R$ શોધવા માટે,આપણે $r = a$ થી $r = b$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$R = \int_a^b \frac{\rho}{4\pi x^2} dx$.
$R = \frac{\rho}{4\pi} \int_a^b x^{-2} dx$.
$R = \frac{\rho}{4\pi} \left[ -\frac{1}{x} \right]_a^b$.
$R = \frac{\rho}{4\pi} \left( -\frac{1}{b} - (-\frac{1}{a}) \right) = \frac{\rho}{4\pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$.

(D) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $m = A \cdot l \cdot d$ હોવાથી (જ્યાં $d$ ઘનતા છે),આપણને $A = \frac{m}{l \cdot d}$ મળે છે.
અવરોધના સૂત્રમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા: $R = \rho \frac{l^2 \cdot d}{m}$.
તાંબા માટે $\rho$ અને $d$ અચળ હોવાથી,$R \propto \frac{l^2}{m}$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તર $m_1 : m_2 : m_3 = 1 : 3 : 5$ અને $l_1 : l_2 : l_3 = 5 : 3 : 1$ નો ઉપયોગ કરીને,અવરોધનો ગુણોત્તર:
$R_1 : R_2 : R_3 = \frac{5^2}{1} : \frac{3^2}{3} : \frac{1^2}{5} = 25 : 3 : 0.2$.
આને પૂર્ણાંકમાં ફેરવવા માટે $5$ વડે ગુણતા:
$R_1 : R_2 : R_3 = 125 : 15 : 1$.

(C) વાહકનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A_{cross}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ પ્રવાહની દિશામાં લંબાઈ છે,અને $A_{cross}$ એ પ્રવાહની દિશાને લંબ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્લેટ $A$ માટે,લંબાઈ $L_A = \ell$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_A = \ell \times t$ છે. તેથી,$R_A = \rho \frac{\ell}{\ell \times t} = \frac{\rho}{t}$.
પ્લેટ $B$ માટે,લંબાઈ $L_B = 2\ell$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_B = 2\ell \times t$ છે. તેથી,$R_B = \rho \frac{2\ell}{2\ell \times t} = \frac{\rho}{t}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $R_A = R_B$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $(R_A/R_B) = 1/1$ થાય.

(D) ધારો કે $0\,^{\circ}C$ તાપમાને બંને વાહકોનો અવરોધ $R_0$ છે.
$t_1\,^{\circ}C$ તાપમાને પ્રથમ વાહકનો અવરોધ $R_1 = R_0(1 + \alpha_1 t_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t_2\,^{\circ}C$ તાપમાને બીજા વાહકનો અવરોધ $R_2 = R_0(1 + \alpha_2 t_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R_1 = R_2,$ તેથી:
$R_0(1 + \alpha_1 t_1) = R_0(1 + \alpha_2 t_2)$
બંને બાજુ $R_0$ વડે ભાગતા:
$1 + \alpha_1 t_1 = 1 + \alpha_2 t_2$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$\alpha_1 t_1 = \alpha_2 t_2$
તેથી,તાપમાન ગુણાંકનો ગુણોત્તર:
$\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{t_2}{t_1}$

(B) $T$ તાપમાને વાહકનો અવરોધ $R_T = R_0(1 + \alpha T)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એ $0\,^{\circ}\text{C}$ તાપમાને અવરોધ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 0.00125\,^{\circ}\text{C}^{-1}$.
$T_1 = 25\,^{\circ}\text{C}$ તાપમાને,$R_1 = 1\,\Omega$. તેથી,$1 = R_0(1 + 0.00125 \times 25) = R_0(1 + 0.03125) = R_0(1.03125)$.
આમ,$R_0 = \frac{1}{1.03125} \approx 0.9697\,\Omega$.
આપણે $T_2$ શોધવું છે જ્યાં $R_2 = 1.2\,\Omega$.
$R_2 = R_0(1 + \alpha T_2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$1.2 = R_0(1 + 0.00125 T_2)$.
$R_0$ ની કિંમત મૂકતા: $1.2 = \frac{1}{1.03125} (1 + 0.00125 T_2)$.
$1.2 \times 1.03125 = 1 + 0.00125 T_2$.
$1.2375 = 1 + 0.00125 T_2$.
$0.2375 = 0.00125 T_2$.
$T_2 = \frac{0.2375}{0.00125} = 190\,^{\circ}\text{C}$.

(C) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{\ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે ત્યારે તેનું કદ $V = A \ell$ અચળ રહેતું હોવાથી,$A = \frac{V}{\ell}$ થાય.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \rho \frac{\ell^2}{V}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R \propto \ell^2$.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં $10\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવી લંબાઈ $\ell_2 = 1.1 \ell_1$ થાય.
તેથી,નવા અવરોધ અને મૂળ અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{\ell_2}{\ell_1}\right)^2 = (1.1)^2 = 1.21$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $R_2 = 1.21 R_1$.
અવરોધમાં થતો ટકાવારી વધારો $\Delta R \% = \frac{R_2 - R_1}{R_1} \times 100\% = (1.21 - 1) \times 100\% = 21\%$ થાય.

(C) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ત્રણ તાર માટે અવરોધ નીચે મુજબ છે:
$R_1 = \rho \frac{l}{A}$
$R_2 = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \rho \frac{l}{A} = 4R_1$
$R_3 = \rho \frac{l/2}{2A} = \frac{1}{4} \rho \frac{l}{A} = 0.25R_1$
અવરોધની સરખામણી કરતા,$R_3 < R_1 < R_2$ મળે છે.
તેથી,$l/2$ લંબાઈ અને $2A$ આડછેદ ધરાવતા તાર માટે અવરોધ ન્યૂનતમ છે.

(B) વાયરનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
અવરોધકતા $\rho$ એ દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે વાયરના ભૌમિતિક આકાર પર આધાર રાખતું નથી.
જ્યારે વાયરને વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તેની લંબાઈ $L$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને અવરોધકતા $\rho$ બદલાતા નથી.
તેથી,વિદ્યુત અવરોધ $R$ સમાન રહે છે.
જોકે કારણનું વિધાન એક સાચી ભૌતિક હકીકત છે (અવરોધ એ અવરોધકતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે),તે એ સમજાવતું નથી કે વાયરને વાળવાથી અવરોધ કેમ બદલાતો નથી (જેનું કારણ ભૌમિતિક પરિમાણો અચળ રહેવાનું છે). આમ,બંને સાચા છે,પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) આપેલ છે:
ઓરડાનું તાપમાન,$T = 27.0^{\circ} C$
ઓરડાના તાપમાને અવરોધ,$R = 100\; \Omega$
અંતિમ અવરોધ,$R_1 = 117\; \Omega$
તાપમાન ગુણાંક,$\alpha = 1.70 \times 10^{-4}\; ^{\circ} C^{-1}$
અવરોધના તાપમાન પર આધારિત સૂત્ર:
$R_1 = R[1 + \alpha(T_1 - T)]$
અંતિમ તાપમાન $T_1$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$T_1 - T = \frac{R_1 - R}{R \alpha}$
કિંમતો મૂકતા:
$T_1 - 27 = \frac{117 - 100}{100 \times 1.70 \times 10^{-4}}$
$T_1 - 27 = \frac{17}{1.70 \times 10^{-2}}$
$T_1 - 27 = \frac{17}{0.017} = 1000$
$T_1 = 1000 + 27 = 1027^{\circ} C$
આમ,એલિમેન્ટનું તાપમાન $1027^{\circ} C$ છે.

(D) આપેલ છે:
તારની લંબાઈ,$l = 15 \; m$
તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 6.0 \times 10^{-7} \; m^{2}$
તારનો અવરોધ,$R = 5.0 \; \Omega$
અવરોધનું સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે.
અવરોધકતા માટે સૂત્ર બનાવતા: $\rho = \frac{R \times A}{l}$
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{5.0 \times 6.0 \times 10^{-7}}{15}$
$\rho = \frac{30 \times 10^{-7}}{15} = 2 \times 10^{-7} \; \Omega \, m$
આમ,દ્રવ્યની અવરોધકતા $2 \times 10^{-7} \; \Omega \, m$ છે.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન,$T_{1} = 27.5^{\circ} C$
$T_{1}$ તાપમાને અવરોધ,$R_{1} = 2.1\; \Omega$
અંતિમ તાપમાન,$T_{2} = 100^{\circ} C$
$T_{2}$ તાપમાને અવરોધ,$R_{2} = 2.7\; \Omega$
અવરોધકતાનો તાપમાન ગુણાંક $\alpha$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\alpha = \frac{R_{2} - R_{1}}{R_{1}(T_{2} - T_{1})}$
કિંમતો મૂકતા:
$\alpha = \frac{2.7 - 2.1}{2.1(100 - 27.5)}$
$\alpha = \frac{0.6}{2.1 \times 72.5}$
$\alpha = \frac{0.6}{152.25}$
$\alpha \approx 0.0039^{\circ} C^{-1}$

(B) સપ્લાય વોલ્ટેજ,$V = 230 \; V$.
પ્રારંભિક પ્રવાહ,$I_1 = 3.2 \; A$.
પ્રારંભિક અવરોધ $R_1 = \frac{V}{I_1} = \frac{230}{3.2} = 71.875 \; \Omega$.
સ્થિર સ્થિતિમાં પ્રવાહ,$I_2 = 2.8 \; A$.
સ્થિર સ્થિતિમાં અવરોધ $R_2 = \frac{V}{I_2} = \frac{230}{2.8} \approx 82.143 \; \Omega$.
તાપમાન ગુણાંક,$\alpha = 1.70 \times 10^{-4} \; ^{\circ}C^{-1}$.
પ્રારંભિક તાપમાન,$T_1 = 27.0^{\circ} C$.
સૂત્ર $R_2 = R_1[1 + \alpha(T_2 - T_1)]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_2 - T_1 = \frac{R_2 - R_1}{\alpha R_1}$.
$T_2 - 27 = \frac{82.143 - 71.875}{1.70 \times 10^{-4} \times 71.875}$.
$T_2 - 27 = \frac{10.268}{0.01221875} \approx 840.35$.
$T_2 = 840.35 + 27 = 867.35^{\circ} C \approx 867.5^{\circ} C$.

(A) ધારો કે એલ્યુમિનિયમ વાયરની અવરોધકતા,લંબાઈ,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,ઘનતા અને દળ અનુક્રમે $\rho_1, l_1, A_1, d_1, m_1$ છે અને તાંબાના વાયર માટે $\rho_2, l_2, A_2, d_2, m_2$ છે.
આપેલ છે: $l_1 = l_2 = l$ અને $R_1 = R_2 = R$.
$R = \rho \frac{l}{A}$ હોવાથી,$\rho_1 \frac{l}{A_1} = \rho_2 \frac{l}{A_2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{2.63 \times 10^{-8}}{1.72 \times 10^{-8}} \approx 1.529$.
વાયરનું દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = A \cdot l \cdot d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{A_1 l d_1}{A_2 l d_2} = \left( \frac{A_1}{A_2} \right) \left( \frac{d_1}{d_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{m_1}{m_2} = \left( \frac{2.63}{1.72} \right) \times \left( \frac{2.7}{8.9} \right) \approx 1.529 \times 0.303 \approx 0.463$.
$\frac{m_1}{m_2} < 1$ હોવાથી,$m_1 < m_2$,એટલે કે એલ્યુમિનિયમનો વાયર હલકો છે.
એલ્યુમિનિયમ ઓવરહેડ પાવર કેબલ્સ માટે પસંદ કરવામાં આવે છે કારણ કે સમાન અવરોધ માટે તે તાંબા કરતા ઘણો હલકો હોય છે,જે સપોર્ટિંગ ટાવર્સ પર યાંત્રિક તાણ ઘટાડે છે.

(A) ધાતુઓની મિશ્રધાતુઓની અવરોધકતા સામાન્ય રીતે તેમના ઘટક ધાતુઓ કરતા વધારે હોય છે કારણ કે મિશ્રધાતુનું અવ્યવસ્થિત બંધારણ ઇલેક્ટ્રોનનું સ્કેટરિંગ વધારે છે.
$(b)$ મિશ્રધાતુઓનો અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક શુદ્ધ ધાતુઓ કરતા સામાન્ય રીતે ઘણો ઓછો હોય છે,જે તેમને પ્રમાણિત અવરોધો બનાવવા માટે ઉપયોગી બનાવે છે.
$(c)$ મિશ્રધાતુ મેંગેનિનની અવરોધકતા તાપમાનના વધારા સાથે લગભગ સ્વતંત્ર રહે છે,તેથી જ તેનો ઉપયોગ પ્રમાણિત અવરોધો બનાવવા માટે થાય છે.
$(d)$ સામાન્ય અવાહકની અવરોધકતા ધાતુ કરતા $10^{22}$ ના ક્રમમાં વધારે હોય છે.

(N/A) વાહકમાં વિદ્યુતભારના વહનને અવરોધવાના ગુણધર્મને વિદ્યુત અવરોધ કહે છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$R = \frac{V}{I}$. તેનો $SI$ એકમ $\frac{\text{Volt}}{\text{Ampere}} = \text{ohm} (\Omega)$ છે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-3} A^{-2}]$ છે.
અવરોધ નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. વાહકની લંબાઈ $(l)$: $R \propto l$
$2$. વાહકનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$: $R \propto \frac{1}{A}$
$3$. દ્રવ્યની જાત (વિશિષ્ટ અવરોધ,$\rho$)
$4$. વાહકનું તાપમાન
આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ $l$ લંબાઈ અને $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતો વાહક ધ્યાનમાં લો.
આવા બે સમાન લંબચોરસ બ્લોક આકૃતિ $(b)$ માં દર્શાવ્યા છે. અહીં,સંયોજનની કુલ લંબાઈ $2l$ થશે.
બ્લોકના સંયોજનમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ દરેક બ્લોકમાંથી વહેતા પ્રવાહ જેટલો જ હશે. તેથી,દરેક બ્લોકના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ રહેશે. તેથી,સંયોજનના બે છેડા વચ્ચેનો કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $2V$ થશે. ધારો કે બ્લોક્સના સંયોજનનો અવરોધ $R_C$ છે,તો ઓમના નિયમ મુજબ:
$R_C = \frac{2V}{I} = 2R$
અહીં $\frac{V}{I} = R$ એ દરેક બ્લોકનો અવરોધ છે,તેથી વાહકનો અવરોધ તેની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં છે $(R \propto l)$.

(N/A) વાહકનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની અવરોધકતા છે,$L$ એ વાહકની લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$1$. લંબાઈ $(L)$ પર આધાર: અવરોધ $R$ એ વાહકની લંબાઈ $L$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(R \propto L)$. આનો અર્થ એ છે કે જો આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અચળ રાખીને વાહકની લંબાઈ વધારવામાં આવે,તો અવરોધ વધે છે.
$2$. ક્ષેત્રફળ $(A)$ પર આધાર: અવરોધ $R$ એ વાહકના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(R \propto \frac{1}{A})$. આનો અર્થ એ છે કે જો આડછેદનું ક્ષેત્રફળ વધારવામાં આવે (દા.ત. તારની જાડાઈ વધારીને),તો અવરોધ ઘટે છે.

(N/A) કન્ડક્ટન્સ (વાહકતા) એ વાહકના વિદ્યુત અવરોધના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે દર્શાવે છે કે પદાર્થમાંથી વિદ્યુત પ્રવાહ કેટલી સરળતાથી વહી શકે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે આ મુજબ આપવામાં આવે છે: $G = \frac{1}{R}$
જ્યાં $G$ એ કન્ડક્ટન્સ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
કન્ડક્ટન્સનો $SI$ એકમ સીમેન્સ $(S)$ છે,જે $\Omega^{-1}$ (ઓહ્મ ઇન્વર્સ) અથવા મો (mho) ની સમકક્ષ પણ છે.

(N/A) આપેલ તાપમાને પદાર્થનો અવરોધ $R$ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$R = \rho \frac{l}{A}$
તેથી,અવરોધકતા $\rho$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\rho = \frac{RA}{l}$
વ્યાખ્યા: એકમ લંબાઈ અને એકમ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા વાહકના અવરોધને અવરોધકતા અથવા વિશિષ્ટ અવરોધ કહેવામાં આવે છે.
અવરોધકતાને અસર કરતા પરિબળો: અવરોધકતાનું મૂલ્ય વાહકના દ્રવ્યના પ્રકાર,તાપમાન અને દબાણ પર આધાર રાખે છે.
નોંધ: તે વાહકના પરિમાણો (લંબાઈ કે ક્ષેત્રફળ) પર આધાર રાખતું નથી.
એકમ: તેનો $SI$ એકમ $\Omega \cdot m$ (ઓહ્મ-મીટર) છે.
પરિમાણીય સૂત્ર: $[M^{1} L^{3} T^{-3} A^{-2}]$.

(N/A) અવરોધકતાના વ્યસ્તને વાહકતા કહેવામાં આવે છે. તેને $\sigma$ સંજ્ઞા વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
$\sigma = \frac{1}{\rho} = \frac{l}{RA}$
વાહકતાનો $SI$ એકમ $\Omega^{-1} m^{-1}$ અથવા $S m^{-1}$ (સીમેન્સ પ્રતિ મીટર) છે.
વાહકતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^{-3} T^{3} A^{2}]$ છે.
વાહકતાનું મૂલ્ય પદાર્થના પ્રકાર,તાપમાન અને દબાણ પર આધાર રાખે છે.
તે વાહકના ભૌતિક પરિમાણો (લંબાઈ કે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ) પર આધાર રાખતું નથી.

(N/A) વિદ્યુત અવરોધ એ વાહકનો એવો ગુણધર્મ છે જેના દ્વારા તે પોતાનામાંથી વહેતા વિદ્યુત પ્રવાહનો વિરોધ કરે છે। તેને વાહકના બે છેડા વચ્ચે લાગુ પાડવામાં આવેલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ અને તેમાંથી વહેતા વિદ્યુત પ્રવાહ $(I)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે $R = V/I$ દ્વારા દર્શાવાય છે। અવરોધનો $SI$ એકમ ઓહ્મ $(\Omega)$ છે.
વાહકનો અવરોધ નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. વાહકની લંબાઈ $(l)$: અવરોધ એ લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(R \propto l)$.
$2$. આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$: અવરોધ એ આડછેદના ક્ષેત્રફળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(R \propto 1/A)$.
$3$. દ્રવ્યની પ્રકૃતિ: અવરોધ એ દ્રવ્યની અવરોધકતા $(\rho)$ પર આધાર રાખે છે.
$4$. તાપમાન: મોટાભાગના વાહકો માટે, તાપમાન વધતા અવરોધ વધે છે.

(N/A) ધાતુઓની વાહકતાનું સૂત્ર: $\sigma = \frac{n e^{2} \tau}{m}$ છે.
અહીં,$n$ (ચાર્જ કેરિયર ઘનતા),$e$ (ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર),અને $m$ (ઇલેક્ટ્રોનનું દળ) આપેલ ધાતુ માટે અચળ છે.
તેથી,$\sigma \propto \tau$,જ્યાં $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે.
તાપમાનમાં વધારો થવાથી લેટીસ આયનોના ઉષ્મીય કંપનો વધે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોન આયનો સાથે વારંવાર અથડાય છે. આનાથી રિલેક્સેશન સમય $(\tau)$ ઘટે છે.
જેમ કે $\sigma \propto \tau$,તેથી $\tau$ માં ઘટાડો થવાથી વાહકતા $(\sigma)$ માં ઘટાડો થાય છે.
અવરોધકતા $\rho = \frac{1}{\sigma}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. કારણ કે $\rho \propto \frac{1}{\tau}$,જેમ તાપમાન વધે છે અને $\tau$ ઘટે છે,તેમ ધાતુની અવરોધકતા $(\rho)$ વધે છે.

(A) આદર્શ સુવાહક એવો પદાર્થ છે જેમાંથી વિદ્યુત પ્રવાહ કોઈપણ અવરોધ વિના વહી શકે છે.
અવરોધ $R$ અને અવરોધકતા $\rho$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = \rho \frac{L}{A}$ છે,જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આદર્શ સુવાહક માટે,અવરોધ $R = 0$ હોય છે.
તેથી,કોઈપણ નિશ્ચિત લંબાઈ અને ક્ષેત્રફળ માટે અવરોધકતા $\rho$ નું મૂલ્ય $0$ હોવું જોઈએ.

(B) પદાર્થની અવરોધકતા તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
વાહકો માટે,તાપમાનમાં વધારો થતાં ઇલેક્ટ્રોન-ફોનોન સ્કેટરિંગ વધવાને કારણે અવરોધકતા વધે છે.
અર્ધવાહકો અને અવાહકો માટે,તાપમાન સાથે ચાર્જ કેરિયર્સ (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યા ઘાતાંકીય રીતે વધે છે,જે વધેલા સ્કેટરિંગની અસર કરતાં વધુ પ્રભાવશાળી હોય છે.
તેથી,તાપમાન વધવાની સાથે અર્ધવાહકો અને અવાહકોની અવરોધકતા ઘટે છે.

(N/A) પદાર્થની અવરોધકતા તેના તાપમાન પર આધાર રાખે છે. જુદા જુદા પદાર્થો તાપમાન પર અલગ-અલગ રીતે આધાર રાખે છે.
ધાતુઓ માટે,તાપમાન વધવાની સાથે અવરોધકતા વધે છે.
અર્ધવાહકો માટે,તાપમાન વધવાની સાથે અવરોધકતા ઘટે છે.
તાપમાનના મર્યાદિત ગાળા માટે જે બહુ મોટો ન હોય,ધાતુના વાહકની અવરોધકતા અંદાજે નીચે મુજબના પ્રાયોગિક સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\rho_{T} = \rho_{0} [1 + \alpha (T - T_{0})]$
જ્યાં:
$\rho_{T} =$ તાપમાન $T$ પર અવરોધકતા
$\rho_{0} =$ સંદર્ભ તાપમાન $T_{0}$ પર અવરોધકતા
$\alpha =$ અવરોધકતાનો તાપમાન ગુણાંક
$\alpha$ નો એકમ $(^{\circ}C)^{-1}$ અથવા $(K)^{-1}$ છે.
ધાતુઓ માટે $\alpha$ નું મૂલ્ય ધન હોય છે,જ્યારે અર્ધવાહકો માટે $\alpha$ ઋણ હોય છે.

(N/A) $1$. ધાતુઓ માટે: તાપમાન $T$ પર અવરોધકતા $\rho_T$ એ $\rho_T = \rho_0 [1 + \alpha(T - T_0)]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। તાપમાનના મર્યાદિત ગાળા માટે, આ આલેખ એક સીધી રેખા છે। ખૂબ જ નીચા તાપમાને, આલેખ રેખીયતાથી વિચલિત થાય છે અને કોપર માટે આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બિન-રેખીય વર્તન દર્શાવે છે।
$2$. મિશ્રધાતુઓ માટે: નિક્રોમ, મેંગેનિન અને કોન્સ્ટન્ટન જેવી મિશ્રધાતુઓ શુદ્ધ ધાતુઓની તુલનામાં ખૂબ જ ઊંચી અવરોધકતા ધરાવે છે। તેમની અવરોધકતા તાપમાન પર ખૂબ જ નબળો આધાર રાખે છે, જેના પરિણામે લગભગ સપાટ, સહેજ વધતી જતી સીધી રેખાનો આલેખ મળે છે।
$3$. અર્ધવાહકો માટે: અર્ધવાહકોની અવરોધકતા તાપમાનમાં વધારા સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે। આ સંબંધ $\rho_T = \rho_0 e^{E_g / k_B T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $E_g$ એ બેન્ડ ગેપ ઊર્જા છે। આ આલેખ નીચે તરફ ઢળતો વક્ર છે।

(N/A) પદાર્થની વાહકતા $\sigma = \frac{n e^{2} \tau}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધકતા $\rho$ એ વાહકતાનો વ્યસ્ત છે,તેથી $\rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{m}{n e^{2} \tau}$.
અહીં $m$ (ઇલેક્ટ્રોનનું દળ) અને $e$ (ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર) અચળ હોવાથી,$\rho \propto \frac{1}{n}$ અને $\rho \propto \frac{1}{\tau}$.
આમ,અવરોધકતા એ સંખ્યા ઘનતા $(n)$ અને રિલેક્સેશન સમય $(\tau)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ધાતુઓમાં,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોનની સરેરાશ ઝડપ વધે છે,જેના કારણે અથડામણો વારંવાર થાય છે અને રિલેક્સેશન સમય $(\tau)$ ઘટે છે. ધાતુઓમાં $n$ તાપમાન પર આધારિત નથી,તેથી $\tau$ માં ઘટાડો થવાને કારણે અવરોધકતા $(\rho)$ વધે છે.
અર્ધવાહકો અને અવાહકોમાં,તાપમાન વધવાથી વીજભાર વાહકોના ઉષ્મીય ઉત્તેજનને કારણે સંખ્યા ઘનતા $(n)$ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે. આ $n$ માં વધારો એ $\tau$ માં થતા ફેરફાર કરતા વધુ પ્રભાવી હોય છે,જેના કારણે તાપમાન વધતા અવરોધકતા $(\rho)$ ઘટે છે.

(N/A) ધાતુઓ માટે,જેમ તાપમાન વધે છે તેમ લેટીસ આયનોના ઉષ્મીય કંપનો વધે છે. આનાથી મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અને આયનો વચ્ચે અથડામણો વધુ વારંવાર થાય છે,જેનાથી અવરોધ વધે છે. આ સંબંધ $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ ધન છે.
અર્ધવાહકો માટે,જેમ તાપમાન વધે છે તેમ વધુ વિદ્યુતભારો (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઉત્તેજિત થાય છે. વિદ્યુતભારોની સંખ્યામાં આ વધારો સ્કેટરિંગની અસર કરતા પ્રબળ હોય છે,જેના પરિણામે અવરોધમાં ઘટાડો થાય છે. આમ,અર્ધવાહકોનો તાપમાન ગુણાંક ઋણ હોય છે.

(N/A) ધાતુના વાહક માટે તાપમાન $T$ પરની અવરોધકતા $\rho_T$ અને સંદર્ભ તાપમાન $T_0$ પરની અવરોધકતા $\rho_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના રેખીય સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$\rho_T = \rho_0 [1 + \alpha(T - T_0)]$
જ્યાં:
- $\rho_T$ એ તાપમાન $T$ પરની અવરોધકતા છે.
- $\rho_0$ એ સંદર્ભ તાપમાન $T_0$ પરની અવરોધકતા છે.
- $\alpha$ એ અવરોધકતાનો તાપમાન ગુણાંક છે.
- $(T - T_0)$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.

(A) ધાતુની અવરોધકતા સંબંધ $\rho_T = \rho_0 [1 + \alpha(T - T_0)]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho_T$ એ તાપમાન $T$ પરની અવરોધકતા છે,$\rho_0$ એ સંદર્ભ તાપમાન $T_0$ પરની અવરોધકતા છે,અને $\alpha$ એ અવરોધકતાનો તાપમાન ગુણાંક છે.
ધાતુઓમાં,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ લેટીસ આયનોના ઉષ્મીય કંપનો વધે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોનનું આયનો સાથે અથડામણનું પ્રમાણ વધે છે.
આના પરિણામે તાપમાનમાં વધારો થતાં ધાતુનો અવરોધ અને અવરોધકતા વધે છે.
કારણ કે $T > T_0$ માટે $\rho_T > \rho_0$ છે,તેથી $\alpha$ નું મૂલ્ય ધન હોવું જોઈએ.
તેથી,ધાતુઓ માટે અવરોધકતાનો તાપમાન ગુણાંક ધન હોય છે.

(N/A) ધાતુની અવરોધકતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$ છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$n$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $\tau$ એ સરેરાશ રિલેક્સેશન સમય છે.
ધાતુઓમાં,મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા $(n)$ તાપમાનથી સ્વતંત્ર હોય છે.
જ્યારે ધાતુનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે લેટીસમાં રહેલા ધન આયનોના ઉષ્મીય કંપનો વધે છે.
આ વધેલા કંપનોને કારણે,મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અને ધન આયનો વચ્ચેની અથડામણની આવૃત્તિ વધે છે.
આના પરિણામે સરેરાશ રિલેક્સેશન સમય $(\tau)$ ઘટે છે.
$\rho \propto \frac{1}{\tau}$ હોવાથી,$\tau$ માં ઘટાડો થવાથી ધાતુની અવરોધકતા $(\rho)$ માં વધારો થાય છે.

(N/A) ઘરગથ્થુ વાયરિંગમાં $Cu$ (તાંબુ) અથવા $Al$ (એલ્યુમિનિયમ) વાયરનો ઉપયોગ ખર્ચ,વાહકતા અને વજનના માપદંડોના આધારે કરવામાં આવે છે.
$1$. ખર્ચ: તાંબુ એ એલ્યુમિનિયમ કરતા ઘણું મોંઘું છે.
$2$. વાહકતા: બંને વીજળીના ઉત્તમ વાહક છે,જોકે તાંબાની વાહકતા થોડી વધારે હોય છે.
$3$. વજન: ચોક્કસ લંબાઈ અને અવરોધ માટે,એલ્યુમિનિયમનો વાયર તાંબાના વાયર કરતા ઘણો હલકો હોય છે.
$4$. વ્યવહારિકતા: ચાંદી વધુ સારી વાહક હોવા છતાં,તે ખૂબ જ મોંઘી છે. લોખંડ સસ્તું છે પરંતુ તેમાં કાટ લાગવાની શક્યતા રહે છે અને તેનો અવરોધ પણ વધારે હોય છે,જે તેને લાંબા ગાળાના ઘરગથ્થુ ઉપયોગ માટે અયોગ્ય બનાવે છે.
તેથી,ખર્ચ-અસરકારકતા અને વાહકતાના સંતુલનને કારણે એલ્યુમિનિયમનો ઉપયોગ વધુ થાય છે.

(N/A) પ્રમાણિત અવરોધના ગૂંચળા બનાવવા માટે મેંગેનિન અથવા કોન્સ્ટન્ટન જેવી મિશ્રધાતુઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે કારણ કે તેમનો અવરોધકતાનો તાપમાન ગુણાંક ખૂબ જ ઓછો હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે તાપમાનમાં ફેરફાર સાથે આ મિશ્રધાતુઓની વિદ્યુત અવરોધકતામાં ખૂબ જ ઓછો ફેરફાર થાય છે.
વાહકનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,તેથી લગભગ અચળ $\rho$ એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે જો આસપાસનું તાપમાન વધઘટ થાય તો પણ અવરોધ $R$ સ્થિર રહે છે.
તેથી,પ્રમાણિત અવરોધકોમાં ચોક્કસ અવરોધ મૂલ્યો જાળવી રાખવા માટે તે આદર્શ છે.

(N/A) $emf$ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ ધરાવતા કોષ સાથે જોડાયેલા બાહ્ય અવરોધ $R$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = I R = \left( \frac{E}{R + r} \right) R = \frac{E}{1 + \frac{r}{R}}$
સંબંધનું વિશ્લેષણ:
$1$. જ્યારે $R = 0$ હોય,ત્યારે $V = 0$ થાય છે.
$2$. જેમ $R$ વધે છે,તેમ $V$ વધે છે.
$3$. જેમ $R \to \infty$ થાય,તેમ $V \to E$ થાય છે.
આલેખમાં $y$-અક્ષ પર $V$ અને $x$-અક્ષ પર $R$ દર્શાવેલ છે. વક્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી શરૂ થાય છે અને જેમ $R$ વધે છે તેમ તે $E$ મૂલ્યની નજીક પહોંચે છે.

(C) વાહકનો અવરોધ $R = \frac{\rho l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
વાહક $A$ માટે ($1 \ mm$ વ્યાસનો નક્કર તાર):
ત્રિજ્યા $r_A = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
ક્ષેત્રફળ $A_A = \pi r_A^2 = \pi (0.5 \times 10^{-3})^2 = 0.25 \pi \times 10^{-6} \ m^2$.
$R_A = \frac{\rho l}{0.25 \pi \times 10^{-6}} = \frac{4 \rho l}{\pi \times 10^{-6}}$....$(1)$
વાહક $B$ માટે ($2 \ mm$ બાહ્ય વ્યાસ અને $1 \ mm$ આંતરિક વ્યાસ ધરાવતી પોલી નળી):
બાહ્ય ત્રિજ્યા $R_{out} = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$,આંતરિક ત્રિજ્યા $r_{in} = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
ક્ષેત્રફળ $A_B = \pi (R_{out}^2 - r_{in}^2) = \pi ((10^{-3})^2 - (0.5 \times 10^{-3})^2) = \pi (1 - 0.25) \times 10^{-6} = 0.75 \pi \times 10^{-6} \ m^2$.
$R_B = \frac{\rho l}{0.75 \pi \times 10^{-6}} = \frac{4 \rho l}{3 \pi \times 10^{-6}}$....$(2)$
ગુણોત્તર $\frac{R_A}{R_B}$ લેતા:
$\frac{R_A}{R_B} = \frac{4 \rho l}{\pi \times 10^{-6}} \times \frac{3 \pi \times 10^{-6}}{4 \rho l} = \frac{3}{1}$.
આમ,$R_A : R_B = 3 : 1$.

(D) ઓરડાના તાપમાને $(20^{\circ}C)$ આપેલા પદાર્થોની અવરોધકતાના મૂલ્યો આશરે નીચે મુજબ છે:
કોપર $(\rho_{C})$: $1.72 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$
એલ્યુમિનિયમ $(\rho_{A})$: $2.82 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$
ટંગસ્ટન $(\rho_{T})$: $5.60 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$
મર્ક્યુરી $(\rho_{M})$: $98.0 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને $\rho_{M} > \rho_{T} > \rho_{A} > \rho_{C}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,સાચો સંબંધ $\rho_{M} > \rho_{A} > \rho_{C}$ છે.

(A) અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $(\alpha)$ એ $R_t = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ધાતુઓ માટે, તાપમાન વધવાની સાથે અવરોધ વધે છે, તેથી $\alpha$ ધન હોય છે.
અવાહકો અને અર્ધવાહકો માટે, તાપમાનમાં વધારો થવાથી વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે, જેના પરિણામે અવરોધમાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી, અવાહકો અને અર્ધવાહકો અવરોધનો ઋણ તાપમાન ગુણાંક ધરાવે છે.

(D) તાંબા જેવી ધાતુઓ માટે,તાપમાન $(T)$ વધવાની સાથે અવરોધકતા ( $\rho$ ) વધે છે.
સંબંધ $\rho_T = \rho_0 [1 + \alpha(T - T_0)]$ મુજબ,તાપમાનની વિશાળ શ્રેણી માટે અવરોધકતા તાપમાન સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
ખૂબ જ નીચા તાપમાને,આ વક્ર અરેખીય (non-linear) બને છે અને જેમ $T$ એ $0 \ K$ ની નજીક પહોંચે છે તેમ તે એક નિશ્ચિત મૂલ્ય તરફ જાય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આલેખ $D$ તાંબા જેવી ધાતુ માટે અવરોધકતા વિરુદ્ધ તાપમાનના આ લાક્ષણિક વર્તનને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) વાહકનો અવરોધ $R$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = \rho \frac{l}{A}$
જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે બંને વાહકો સમાન દ્રવ્યના બનેલા છે,તેથી તેમની અવરોધકતા સમાન છે: $\rho_{1} = \rho_{2} = \rho$.
આપેલ છે કે તેમની લંબાઈ સમાન છે: $l_{1} = l_{2} = l$.
આપેલ છે કે તેમનો અવરોધ સમાન છે: $R_{1} = R_{2} = R$.
સૂત્ર પરથી,આપણે ક્ષેત્રફળને $A = \frac{\rho l}{R}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
કારણ કે $\rho$,$l$,અને $R$ બંને વાહકો માટે સમાન છે,તેથી આડછેદના ક્ષેત્રફળ પણ સમાન હોવા જોઈએ:
$A_{1} = \frac{\rho l}{R}$ અને $A_{2} = \frac{\rho l}{R}$
તેથી,$\frac{A_{1}}{A_{2}} = 1$.

(B) આપેલ છે,પ્રારંભિક અવરોધ $R_{1} = 35 \,\Omega$ અને અંતિમ લંબાઈ $l_{2} = 2l_{1}$.
તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$V_{1} = V_{2}$.
$A_{1}l_{1} = A_{2}l_{2} \implies A_{2} = A_{1} \left(\frac{l_{1}}{l_{2}}\right) = A_{1} \left(\frac{l_{1}}{2l_{1}}\right) = \frac{A_{1}}{2}$.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નવો અવરોધ $R_{2} = \rho \frac{l_{2}}{A_{2}} = \rho \frac{2l_{1}}{A_{1}/2} = 4 \left(\rho \frac{l_{1}}{A_{1}}\right) = 4R_{1}$.
$R_{1}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R_{2} = 4 \times 35 = 140 \,\Omega$ મળે છે.

(A) તારનો પ્રારંભિક અવરોધ $R = \frac{\rho l}{A}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી લંબાઈ $l' = 2l$ અને નવું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A' = \frac{A}{2}$ છે.
નવો અવરોધ $R'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{2l}{A/2} = \frac{4 \rho l}{A} = 4R$.
ઓમના નિયમ મુજબ નવો પ્રવાહ $I'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I' = \frac{V}{R'} = \frac{V}{4R} = \frac{V}{4(\rho l / A)} = \frac{1}{4} \frac{VA}{\rho l}$.

(D) ધારો કે દરેક તારની લંબાઈ $\ell$ છે અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે। તારનો અવરોધ $R = \rho_{res} \frac{\ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho_{res}$ એ અવરોધકતા છે।
સમાંતરમાં જોડાયેલા બે તાર માટે, વ્યક્તિગત અવરોધો $R_1 = \rho_1 \frac{\ell}{A} = 6 \frac{\ell}{A}$ અને $R_2 = \rho_2 \frac{\ell}{A} = 3 \frac{\ell}{A}$ છે।
સમાંતરમાં જોડાયેલા બે અવરોધો માટે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{net} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
સમાંતરમાં જોડાયેલા બે તારનું સંયુક્ત આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $2A$ છે અને લંબાઈ $\ell$ રહે છે। તેથી, $R_{net} = \rho \frac{\ell}{2A}$।
સમીકરણો મૂકતા:
$\rho \frac{\ell}{2A} = \frac{(6 \frac{\ell}{A}) (3 \frac{\ell}{A})}{6 \frac{\ell}{A} + 3 \frac{\ell}{A}}$
$\frac{\rho}{2} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2$
$\rho = 4 \, \Omega \, cm$।

(A) પ્રારંભિક અવરોધ $R_{0} = 1\, \Omega$ અને પ્રારંભિક લંબાઈ $\ell_{0} = 1\, m$ છે.
જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ અચળ રહે છે. ધારો કે નવી લંબાઈ $\ell_{1}$ છે.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં $25\, \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\ell_{1} = \ell_{0} + 0.25\ell_{0} = 1.25\ell_{0} = 1.25\, m$.
કદ $V = A \ell$ અચળ હોવાથી,$A_{0}\ell_{0} = A_{1}\ell_{1}$,જેનો અર્થ છે કે $A_{1} = A_{0}(\ell_{0} / \ell_{1})$.
અવરોધ $R$ નું સૂત્ર $R = \rho \frac{\ell}{A}$ છે.
તેથી,નવો અવરોધ $R_{1} = \rho \frac{\ell_{1}}{A_{1}} = \rho \frac{\ell_{1}}{A_{0}(\ell_{0} / \ell_{1})} = \rho \frac{\ell_{1}^{2}}{A_{0}\ell_{0}} = R_{0} \left( \frac{\ell_{1}}{\ell_{0}} \right)^{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $R_{1} = 1 \times (1.25)^{2} = 1.5625\, \Omega$.
અવરોધમાં થતો પ્રતિશત ફેરફાર $\frac{R_{1} - R_{0}}{R_{0}} \times 100\, \% = \frac{1.5625 - 1}{1} \times 100\, \% = 56.25\, \%$ છે.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,પ્રતિશત ફેરફાર $56\, \%$ થાય.

(D) તાપમાન સાથે અવરોધમાં થતો ફેરફાર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$,જ્યાં $R_0$ એ $0^{\circ}C$ તાપમાને અવરોધ છે,$\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ છે:
$R_1 = 16\, \Omega$ તાપમાન $T_1 = 15^{\circ}C$ પર
$R_2 = 20\, \Omega$ તાપમાન $T_2 = 100^{\circ}C$ પર
સંબંધ $R_T = R_0(1 + \alpha T)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$16 = R_0(1 + 15\alpha)$ --- (સમીકરણ $1$)
$20 = R_0(1 + 100\alpha)$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ વડે ભાગતા:
$\frac{20}{16} = \frac{1 + 100\alpha}{1 + 15\alpha}$
$1.25(1 + 15\alpha) = 1 + 100\alpha$
$1.25 + 18.75\alpha = 1 + 100\alpha$
$0.25 = 81.25\alpha$
$\alpha = \frac{0.25}{81.25} \approx 0.00307\, ^{\circ}C^{-1}$
નજીકના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,$\alpha \approx 0.003\, ^{\circ}C^{-1}$ મળે છે.

(B) વાહકો માટે,અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $\alpha$ ધન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાન સાથે અવરોધ વધે છે.
અર્ધવાહકો માટે,અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $\alpha$ ઋણ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાન વધવાની સાથે ચાર્જ કેરિયર્સની સંખ્યામાં વધારો થવાને કારણે અવરોધ ઘટે છે.

(B) તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ $V$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણી પાસે $V = A \ell = A^{\prime} \ell^{\prime}$ છે.
આપેલ છે કે નવી લંબાઈ $\ell^{\prime} = 2\ell$ છે,તેથી કદના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $A \ell = A^{\prime} (2\ell)$,જે આપણને $A^{\prime} = \frac{A}{2}$ આપે છે.
પ્રારંભિક અવરોધ $R = \rho \frac{\ell}{A}$ છે.
નવો અવરોધ $R^{\prime} = \rho \frac{\ell^{\prime}}{A^{\prime}} = \rho \frac{2\ell}{A/2} = 4 \rho \frac{\ell}{A} = 4R$ છે.
અવરોધમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{R^{\prime} - R}{R} \times 100\%$ દ્વારા મળે છે.
$R^{\prime} = 4R$ મૂકતા,આપણને $\frac{4R - R}{R} \times 100\% = 3 \times 100\% = 300\%$ મળે છે.

(C) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho \ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારને ખેંચતી વખતે કદ $V = \ell A$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણી પાસે $A = \frac{V}{\ell}$ છે.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \frac{\rho \ell^2}{V}$ મળે છે.
નાના ફેરફારો માટે,અવરોધમાં સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{\Delta R}{R} = 2 \frac{\Delta \ell}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta \ell}{\ell} \times 100 = 0.4 \%$ છે.
તેથી,અવરોધમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2 \times 0.4 \% = 0.8 \%$ છે.

(A) તાપમાન $T$ પર અવરોધ $R$ નું સૂત્ર $R = R_{T_0}[1 + \alpha(T - T_0)]$ છે,જ્યાં $R_{T_0}$ એ સંદર્ભ તાપમાન $T_0$ પરનો અવરોધ છે અને $\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે.
આપેલ છે:
$R_1 = 2\,\Omega$ તાપમાન $T_1 = 10^{\circ}C$ પર
$R_2 = 3\,\Omega$ તાપમાન $T_2 = 30^{\circ}C$ પર
સંબંધ $R_T = R_0(1 + \alpha T)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = R_0(1 + 10\alpha)$ --- (સમીકરણ $1$)
$3 = R_0(1 + 30\alpha)$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ વડે ભાગતા:
$\frac{3}{2} = \frac{1 + 30\alpha}{1 + 10\alpha}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$3(1 + 10\alpha) = 2(1 + 30\alpha)$
$3 + 30\alpha = 2 + 60\alpha$
$3 - 2 = 60\alpha - 30\alpha$
$1 = 30\alpha$
$\alpha = \frac{1}{30} \approx 0.033\,^{\circ}C^{-1}$.