Resistance of wire, Resistivity and Conductivity Questions in Gujarati

(D) આપેલ $V-I$ આલેખ પરથી,ઢાળ એ તારનો અવરોધ $R$ દર્શાવે છે.
$R = \tan(45^{\circ}) = 1 \, \Omega$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અવરોધ $R = \rho \frac{\ell}{A}$,જ્યાં $\ell$ લંબાઈ છે અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.
અહીં $\ell = 31.4 \, cm$ અને $d = 2.4 \, cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1 = \rho \frac{31.4}{\frac{\pi \times (2.4)^2}{4}}$.
$\pi = 3.14$ લેતા: $1 = \rho \frac{31.4 \times 4}{3.14 \times 5.76}$.
$1 = \rho \frac{10 \times 4}{5.76} = \rho \frac{40}{5.76}$.
$\rho = \frac{5.76}{40} = 0.144 \, \Omega \cdot cm$.
આને $x \times 10^{-3} \, \Omega \cdot cm$ તરીકે દર્શાવતા,આપણને $\rho = 144 \times 10^{-3} \, \Omega \cdot cm$ મળે છે.
તેથી,$x = 144$.

(A) ધારો કે મૂળ લંબાઈ $L_{1}$ અને મૂળ ક્ષેત્રફળ $A_{1}$ છે. મૂળ અવરોધ $R_{1} = \rho \frac{L_{1}}{A_{1}}$ છે.
જ્યારે લંબાઈ મૂળ લંબાઈ કરતા બમણી વધારવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $L_{2} = L_{1} + 2L_{1} = 3L_{1}$ થાય.
તારનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$A_{1}L_{1} = A_{2}L_{2}$.
તેથી,$A_{2} = A_{1} \frac{L_{1}}{L_{2}} = A_{1} \frac{L_{1}}{3L_{1}} = \frac{A_{1}}{3}$.
નવો અવરોધ $R_{2} = \rho \frac{L_{2}}{A_{2}} = \rho \frac{3L_{1}}{A_{1}/3} = 9 \rho \frac{L_{1}}{A_{1}}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{9 \rho (L_{1}/A_{1})}{\rho (L_{1}/A_{1})} = 9:1$ મળે.

$(A)$ પ્રમાણભૂત અવરોધ કોઇલ માટે એવા અવરોધની જરૂર હોય છે જે આસપાસના તાપમાનમાં ફેરફાર છતાં સ્થિર રહે.
અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $(\alpha)$ નક્કી કરે છે કે તાપમાન સાથે અવરોધ કેટલો બદલાય છે, જેનું સૂત્ર $R_t = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ છે.
કોન્સ્ટન્ટન અને મેંગેનિન જેવી મિશ્ર ધાતુઓ ખાસ પસંદ કરવામાં આવે છે કારણ કે તેમનો અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક ખૂબ જ ઓછો હોય છે.
આ ગુણધર્મ એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે જો તાપમાનમાં વધઘટ થાય તો પણ કોઇલનો અવરોધ લગભગ અચળ રહે છે.
તેથી, વિધાન $A$ સાચું છે, કારણ $R$ સાચું છે, અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ધારો કે તારની કુલ લંબાઈ $L = 1\,m$ છે. ભાગ $X$ ની લંબાઈ $\ell_X$ અને ભાગ $Y$ ની લંબાઈ $\ell_Y$ છે. તેથી,$\ell_X + \ell_Y = 1$.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{\ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભાગ $X$ માટે,$R_X = \rho \frac{\ell_X}{A_X}$. ભાગ $Y$ માટે,$R_Y = \rho \frac{\ell_Y}{A_Y}$.
જ્યારે તાર $X$ ને $\ell_W = 2\ell_X$ લંબાઈ સુધી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ અચળ રહે છે $(A_X \ell_X = A_W \ell_W)$.
કારણ કે $\ell_W = 2\ell_X$,આપણને $A_W = \frac{A_X}{2}$ મળે છે.
તાર $W$ નો અવરોધ $R_W = \rho \frac{\ell_W}{A_W} = \rho \frac{2\ell_X}{A_X/2} = 4 \left( \rho \frac{\ell_X}{A_X} \right) = 4R_X$ છે.
આપેલ છે કે $R_W = 2R_Y$,તેથી $4R_X = 2R_Y$,જેનો અર્થ છે કે $R_Y = 2R_X$.
બંને ભાગો $X$ અને $Y$ એક જ મૂળ તારમાંથી કાપવામાં આવ્યા હોવાથી,તેમની આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને અવરોધકતા $\rho$ સમાન છે. તેથી,$R \propto \ell$.
તેથી,$\frac{R_X}{R_Y} = \frac{\ell_X}{\ell_Y}$.
$R_Y = 2R_X$ મૂકતા,આપણને $\frac{R_X}{2R_X} = \frac{\ell_X}{\ell_Y} = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે દરેક તારની લંબાઈ $\ell$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
સમતુલ્ય તાર માટે,કુલ લંબાઈ $2\ell$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ થશે.
તારનો અવરોધ $R = \frac{\ell}{\sigma A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ વાહકતા છે.
તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે:
$R_{eq} = R_{1} + R_{2}$
અવરોધ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$\frac{2\ell}{\sigma_{eq} A} = \frac{\ell}{\sigma_{1} A} + \frac{\ell}{\sigma_{2} A}$
બંને બાજુ $\frac{\ell}{A}$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{\sigma_{eq}} = \frac{1}{\sigma_{1}} + \frac{1}{\sigma_{2}}$
$\frac{2}{\sigma_{eq}} = \frac{\sigma_{1} + \sigma_{2}}{\sigma_{1} \sigma_{2}}$
તેથી,અસરકારક વાહકતા $\sigma_{eq} = \frac{2 \sigma_{1} \sigma_{2}}{\sigma_{1} + \sigma_{2}}$ થાય.

(A) સળિયાનો અવરોધ $R = \frac{\rho l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે કદ $V_{vol} = Al$ અચળ રહે છે,આપણે $R = \frac{\rho l^2}{V_{vol}}$ લખી શકીએ.
જ્યારે સળિયાને નાની માત્રા $\Delta l$ દ્વારા ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે લંબાઈમાં ફેરફાર $l' = l + \Delta l$ થાય છે. નવો અવરોધ $R' = \frac{\rho (l + \Delta l)^2}{V_{vol}} \approx \frac{\rho (l^2 + 2l \Delta l)}{V_{vol}} = R + \frac{2 \rho l \Delta l}{V_{vol}}$ છે.
અવરોધમાં ફેરફાર $\Delta R = R' - R = \frac{2 \rho l \Delta l}{V_{vol}} = \frac{2 \rho l^2}{V_{vol}} \cdot \frac{\Delta l}{l} = 2R \varepsilon$ છે,જ્યાં $\varepsilon = \frac{\Delta l}{l}$ એ વિકૃતિ છે.
સળિયા પરનો વોલ્ટેજ $V = iR$ છે. વોલ્ટેજમાં ફેરફાર $\Delta V = i \Delta R = i(2R \varepsilon) = (2iR) \varepsilon$ છે.
કારણ કે $i$ અને $R$ અચળ છે,$\Delta V$ એ વિકૃતિ $\varepsilon$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે $(\Delta V \propto \varepsilon)$.
તેથી,કુલ વોલ્ટેજ $V_{total} = V_{initial} + \Delta V = V_{initial} + (2iR) \varepsilon$. આ શરૂઆતના વોલ્ટેજ $V_{initial}$ થી શરૂ કરીને ધન ઢાળ સાથેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે.

(C) સળિયાનું દ્રવ્ય બદલાતું નથી,તેથી બંને સળિયા માટે અવરોધકતા $\rho$ સમાન રહે છે.
ઓગાળતી વખતે અને નવો આકાર આપતી વખતે પદાર્થનું કદ સમાન રહે છે,તેથી:
$V_1 = V_2$
$A_1 L_1 = A_2 L_2$
અહીં $L_1 = L$ અને $L_2 = 2L$ આપેલ છે,તેથી:
$A_1 L = A_2 (2L) \Rightarrow A_2 = \frac{A_1}{2}$
હવે,અવરોધના સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,નવો અવરોધ $R_2$ નીચે મુજબ મળે:
$R_2 = \rho \frac{L_2}{A_2} = \rho \frac{2L}{A_1 / 2} = 4 \left( \frac{\rho L}{A_1} \right)$
કારણ કે $R = \rho \frac{L}{A_1}$,તેથી:
$R_2 = 4R$

(A) વાહકનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની અવરોધકતા છે.
માઇક્રોસ્કોપિક પરિમાણોના સંદર્ભમાં અવરોધકતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{n e^2 \tau}$ છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ,$n$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર અને $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે.
$\rho$ ની કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \left( \frac{m}{n e^2 \tau} \right) \frac{l}{A} = \frac{m l}{n e^2 \tau A}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વાહકનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ પરિમાણો $2 \,mm \times 2 \,mm \times 5 \,m$ છે. પ્રવાહ બે ચોરસ સપાટીઓ વચ્ચે વહે છે,તેથી લંબાઈ $l = 5 \,m$ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \,mm \times 2 \,mm = 4 \,mm^2 = 4 \times 10^{-6} \,m^2$ છે.
અવરોધ $R = 0.02 \,\Omega$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$0.02 = \rho \frac{5}{4 \times 10^{-6}}$
$\rho = \frac{0.02 \times 4 \times 10^{-6}}{5}$
$\rho = \frac{0.08 \times 10^{-6}}{5}$
$\rho = 0.016 \times 10^{-6} \,\Omega \cdot m = 1.6 \times 10^{-8} \,\Omega \cdot m$.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ $V = A \times l$ અચળ રહે છે.
ધારો કે મૂળ લંબાઈ $l$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. નવી લંબાઈ $l' = 2l$ છે.
કદ અચળ હોવાથી,$A \times l = A' \times l' \implies A \times l = A' \times (2l) \implies A' = \frac{A}{2}$.
નવો અવરોધ $R'$ એ $R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \left( \rho \frac{l}{A} \right) = 4R$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $R' = 20 \ \Omega$ અને $R = x$ આપેલ છે,તેથી $20 = 4x$.
આમ,$x = \frac{20}{4} = 5 \ \Omega$.

(A) વાહકનો અવરોધ $R = \frac{\rho L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ છે. તેથી,લંબાઈ $L = L_0(1 + \alpha \Delta T)$ અને ક્ષેત્રફળ $A = A_0(1 + 2\alpha \Delta T)$ થાય.
અવરોધકતા $\rho = \rho_0(1 + \alpha_\rho \Delta T)$ મુજબ બદલાય છે.
આ કિંમતોને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \frac{\rho_0(1 + \alpha_\rho \Delta T) L_0(1 + \alpha \Delta T)}{A_0(1 + 2\alpha \Delta T)}$
$R = R_0(1 + \alpha_\rho \Delta T)(1 + \alpha \Delta T)(1 + 2\alpha \Delta T)^{-1}$
નાના $\Delta T$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R \approx R_0(1 + \alpha_\rho \Delta T)(1 + \alpha \Delta T)(1 - 2\alpha \Delta T)$
$\Delta T$ ના ઉચ્ચ ઘાત વાળા પદોને અવગણતા:
$R \approx R_0(1 + \alpha_\rho \Delta T + \alpha \Delta T - 2\alpha \Delta T)$
$R \approx R_0(1 + (\alpha_\rho - \alpha) \Delta T)$
આને $R = R_0(1 + \alpha_R \Delta T)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha_R = \alpha_\rho - \alpha$ મળે છે.

(B) ધારો કે બંને તારની લંબાઈ $l$ છે. ધારો કે તાર $BC$ ની ત્રિજ્યા $r$ છે,તેથી તાર $AB$ ની ત્રિજ્યા $2r$ છે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $BC$ માટે,$R_{BC} = \rho \frac{l}{\pi r^2} = R$ (ધારો).
તાર $AB$ માટે,$R_{AB} = \rho \frac{l}{\pi (2r)^2} = \rho \frac{l}{4\pi r^2} = \frac{R}{4}$.
તાર શ્રેણીમાં હોવાથી,બંનેમાંથી સમાન પ્રવાહ $I$ વહે છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x = \frac{V}{l} = \frac{IR}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $I$ અને $l$ બંને તાર માટે સમાન છે,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ અવરોધના પ્રમાણમાં છે: $x \propto R$.
તેથી,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{x_{AB}}{x_{BC}} = \frac{R_{AB}}{R_{BC}} = \frac{R/4}{R} = \frac{1}{4}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $1: 4$ છે.

(A) વાહકનો અવરોધ $R$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $R = \rho \frac{\ell}{A}$ છે, જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા, $\ell$ એ લંબાઈ અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે।
પોલા નળાકાર માટે, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi(R_{outer}^2 - R_{inner}^2)$ થાય।
આપેલ છે: $\ell = 3.14 \, m$, $\rho = 2.4 \times 10^{-8} \, \Omega \, m$, બાહ્ય વ્યાસ $D_{out} = 8 \, mm \implies R_{outer} = 4 \times 10^{-3} \, m$, અને આંતરિક વ્યાસ $D_{in} = 4 \, mm \implies R_{inner} = 2 \times 10^{-3} \, m$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi((4 \times 10^{-3})^2 - (2 \times 10^{-3})^2) = \pi(16 - 4) \times 10^{-6} = 12\pi \times 10^{-6} \, m^2$.
અવરોધના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{2.4 \times 10^{-8} \times 3.14}{12 \times 3.14 \times 10^{-6}}$
$R = \frac{2.4}{12} \times 10^{-2} = 0.2 \times 10^{-2} = 2 \times 10^{-3} \, \Omega$.
આને $n \times 10^{-3} \, \Omega$ સાથે સરખાવતા, $n = 2$ મળે છે।

(C) તારનો અવરોધ $R$ એ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે ત્યારે કદ $V = A \times L$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણી પાસે $A = \frac{V}{L}$ છે.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \rho \frac{L^2}{V}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto L^2$ થાય.
જો લંબાઈમાં $20 \% $ નો વધારો થાય,તો નવી લંબાઈ $L' = L + 0.20L = 1.2L$ થાય.
નવો અવરોધ $R' \propto (1.2L)^2 = 1.44L^2$ થાય.
તેથી,$R' = 1.44R$ મળે.
અવરોધમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{R' - R}{R} \times 100 = \frac{1.44R - R}{R} \times 100 = 0.44 \times 100 = 44 \%$ છે.

(C) પ્રારંભિક અવરોધ $R_{\text{initial}} = \frac{\rho \ell}{A} = 5 \Omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$V_i = V_f$
$A_i \ell_i = A_f \ell_f$
અહીં $\ell_f = 5 \ell_i$ આપેલ છે,તેથી $A_i \ell_i = A_f (5 \ell_i)$,જેનો અર્થ છે કે $A_f = \frac{A_i}{5}$.
નવો અવરોધ $R_f$ નીચે મુજબ છે:
$R_f = \frac{\rho \ell_f}{A_f} = \frac{\rho (5 \ell_i)}{\left(\frac{A_i}{5}\right)}$
$R_f = 25 \left(\frac{\rho \ell_i}{A_i}\right)$
$R_f = 25 \times 5 = 125 \Omega$.

(D) અવરોધના વ્યસ્તને કન્ડક્ટન્સ (વાહકત્વ) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે, $\text{Conductance} = \frac{1}{\text{Resistance}}$.
કન્ડક્ટન્સનો $SI$ એકમ સીમેન્સ $(S)$ અથવા $\Omega^{-1}$ છે.

(D) તારનો પ્રારંભિક અવરોધ $R = \rho \frac{\ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$\ell$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
જ્યારે લંબાઈમાં $20 \%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $\ell' = \ell + 0.20\ell = 1.2\ell$ થાય છે.
જ્યારે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $4 \%$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવું ક્ષેત્રફળ $A' = A - 0.04A = 0.96A$ થાય છે.
નવો અવરોધ $R'$ એ $R' = \rho \frac{\ell'}{A'} = \rho \frac{1.2\ell}{0.96A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $R' = \left( \frac{1.2}{0.96} \right) \rho \frac{\ell}{A} = 1.25 R$.
અવરોધમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{R' - R}{R} \times 100$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
ટકાવારી ફેરફાર $= \frac{1.25R - R}{R} \times 100 = 0.25 \times 100 = 25 \%$.

(C) લંબચોરસ સમાંતરબાજુ પદાર્થના પરિમાણો $1\,cm \times 1\,cm \times 100\,cm$ છે. વિદ્યુતપ્રવાહ $1\,cm \times 100\,cm$ માપના બે સામસામેના લંબચોરસ ફલકો વચ્ચે વહે છે.
આમ,વિદ્યુતપ્રવાહના માર્ગની લંબાઈ $\ell = 1\,cm = 10^{-2}\,m$ છે.
જે આડછેદમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે તેનું ક્ષેત્રફળ $A = 1\,cm \times 100\,cm = 10^{-2}\,m \times 1\,m = 10^{-2}\,m^2$ છે.
વિશિષ્ટ અવરોધકતા $\rho = 3 \times 10^{-7}\,\Omega\,m$ છે.
અવરોધ $R$ નું સૂત્ર $R = \rho \frac{\ell}{A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = (3 \times 10^{-7}) \times \frac{10^{-2}}{10^{-2}} = 3 \times 10^{-7}\,\Omega$.
તેથી,અવરોધ $3 \times 10^{-7}\,\Omega$ થશે.

(A) તારને ઓગાળીને નવો તાર બનાવવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન તારનું કદ અચળ રહે છે.
$V_1 = V_2 \implies A_1 L_1 = A_2 L_2$
અહીં $L_2 = \frac{L_1}{4}$ આપેલ છે,તેથી $A_1 L_1 = A_2 (\frac{L_1}{4})$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $A_2 = 4 A_1$ મળે છે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નવા અવરોધ $R_2$ અને મૂળ અવરોધ $R_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho L_2 / A_2}{\rho L_1 / A_1} = \frac{L_2}{L_1} \times \frac{A_1}{A_2}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_2}{R_1} = (\frac{1}{4}) \times (\frac{A_1}{4 A_1}) = \frac{1}{16}$.
આમ,$R_2 = \frac{R_1}{16} = \frac{160}{16} = 10\,\Omega$.

(D) વાહક સમાન સોર્સ સાથે જોડાયેલ હોવાથી,વોલ્ટેજ $V$ અચળ રહે છે. તેથી,$V = i_0 R_0 = i_{100} R_{100} = i_{50} R_{50}$.
આપેલ છે કે $i_0 = 2\,A$ અને $i_{100} = 1.2\,A$.
અવરોધ-તાપમાનના સંબંધ $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 R_0 = 1.2 R_0(1 + 100 \alpha)$
$1 + 100 \alpha = \frac{2}{1.2} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$
$100 \alpha = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3} \Rightarrow 50 \alpha = \frac{1}{3}$.
હવે,$t = 50^{\circ}C$ માટે:
$i_{50} = \frac{V}{R_{50}} = \frac{i_0 R_0}{R_0(1 + 50 \alpha)} = \frac{2}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{2}{4/3} = \frac{6}{4} = 1.5\,A$.
$mA$ માં રૂપાંતર કરતા: $1.5\,A = 1500\,mA = 15 \times 10^2\,mA$.

(D) તાપમાન $T$ પર વાહકનો અવરોધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R_T = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]$,જ્યાં $R_T$ એ $T$ તાપમાને અવરોધ છે,$R_0$ એ સંદર્ભ તાપમાન $T_0$ પર અવરોધ છે,અને $\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે.
આપેલ છે: $R_0 = 2\,\Omega$ તાપમાન $T_0 = 0^{\circ}C$ પર,અને $R_T = 6.8\,\Omega$ તાપમાન $T = 80^{\circ}C$ પર.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$6.8 = 2[1 + \alpha(80 - 0)]$
$6.8 = 2 + 160\alpha$
$4.8 = 160\alpha$
$\alpha = \frac{4.8}{160} = \frac{48}{1600} = \frac{3}{100} = 0.03\,^{\circ}C^{-1}$.
આમ,$\alpha = 3 \times 10^{-2}\,^{\circ}C^{-1}$.

(C) આપેલ છે: ઓરડાના તાપમાને અવરોધ $R_0 = 60 \ \Omega$,$T_0 = 27^{\circ} C$ પર.
વોલ્ટેજ $V = 220 \ V$ અને પ્રવાહ $I = 2.75 \ A$.
અંતિમ તાપમાન $T$ પર અવરોધ $R_T = \frac{V}{I} = \frac{220}{2.75} = 80 \ \Omega$.
અવરોધનું તાપમાન પર આધારિત સૂત્ર $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ છે,જ્યાં $\Delta T = T - T_0$.
કિંમતો મૂકતા: $80 = 60[1 + 2 \times 10^{-4}(T - 27)]$.
$80/60 = 1 + 2 \times 10^{-4}(T - 27)$.
$1.333 - 1 = 2 \times 10^{-4}(T - 27)$.
$0.333 = 2 \times 10^{-4}(T - 27)$.
$T - 27 = \frac{0.333}{2 \times 10^{-4}} = 1665$.
$T = 1665 + 27 = 1692^{\circ} C$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,તાપમાન આશરે $1694^{\circ} C$ છે.

(B) ધારો કે $0^{\circ} C$ તાપમાને દરેક વાહકનો અવરોધ $R$ છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે:
$R_{eq} = R_1 + R_2$
$2R(1 + \alpha_{eq} \Delta \theta) = R(1 + \alpha_1 \Delta \theta) + R(1 + \alpha_2 \Delta \theta)$
$2 + 2\alpha_{eq} \Delta \theta = 2 + (\alpha_1 + \alpha_2) \Delta \theta$
$\alpha_{eq} = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$
સમાંતર જોડાણ માટે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$
$\frac{1}{\frac{R}{2}(1 + \alpha_{eq} \Delta \theta)} = \frac{1}{R(1 + \alpha_1 \Delta \theta)} + \frac{1}{R(1 + \alpha_2 \Delta \theta)}$
$\frac{2}{1 + \alpha_{eq} \Delta \theta} = \frac{1}{1 + \alpha_1 \Delta \theta} + \frac{1}{1 + \alpha_2 \Delta \theta}$
નાના $\Delta \theta$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^{-1} \approx 1-x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(1 - \alpha_{eq} \Delta \theta) = (1 - \alpha_1 \Delta \theta) + (1 - \alpha_2 \Delta \theta)$
$2 - 2\alpha_{eq} \Delta \theta = 2 - (\alpha_1 + \alpha_2) \Delta \theta$
$\alpha_{eq} = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$

(D) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho \ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $m = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = \rho_d \times A \times \ell$ અચળ હોવાથી,અને દ્રવ્ય સમાન હોવાથી (સમાન ઘનતા $\rho_d$),કદ $V = A \ell$ અચળ રહે છે.
તેથી,$\ell = \frac{V}{A}$.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{\rho V}{A^2}$.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto \frac{1}{A^2}$.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,$R \propto \frac{1}{r^4}$.
તેથી,$\frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^4$.
આપેલ છે કે $r_A = 2.0 \ mm$,$r_B = 4.0 \ mm$,અને $R_B = 2 \ \Omega$:
$\frac{R_A}{2} = \left( \frac{4.0}{2.0} \right)^4 = (2)^4 = 16$.
$R_A = 16 \times 2 = 32 \ \Omega$.

(B) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $R \propto \frac{l}{r^2}$.
તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = A \cdot l = \pi r^2 l = \text{અચળ}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r$ અને લંબાઈ $l$ છે. ખેંચ્યા પછી,નવી ત્રિજ્યા $r' = r/2$ અને નવી લંબાઈ $l'$ છે.
કદને સરખાવતા: $\pi r^2 l = \pi (r/2)^2 l'$.
$\pi r^2 l = \pi (r^2/4) l' \implies l' = 4l$.
નવો અવરોધ $R'$ આ મુજબ મળે છે: $R' = \rho \frac{l'}{\pi (r')^2} = \rho \frac{4l}{\pi (r/2)^2} = \rho \frac{4l}{\pi r^2 / 4} = 16 \left( \rho \frac{l}{\pi r^2} \right) = 16R$.
આપેલ છે કે $R' = xR$,તેથી $x = 16$.

(D) તાપમાન $T$ પર વાહકનો અવરોધ $R = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એ $0^{\circ} C$ પરનો અવરોધ છે અને $\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$100^{\circ} C$ તાપમાને:
$10.2 = 10(1 + \alpha(100 - 0))$
$10.2 = 10 + 1000\alpha$
$0.2 = 1000\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{0.2}{1000} = 2 \times 10^{-4} /^{\circ} C$.
બીજા કિસ્સા માટે,$t^{\circ} C$ તાપમાને:
$10.95 = 10(1 + \alpha(t - 0))$
$10.95 = 10 + 10\alpha t$
$0.95 = 10 \times (2 \times 10^{-4}) \times t$
$0.95 = 2 \times 10^{-3} \times t$
$t = \frac{0.95}{0.002} = 475^{\circ} C$.
તાપમાનને કેલ્વિન સ્કેલમાં ફેરવવા માટે:
$T(K) = t(^{\circ} C) + 273$
$T(K) = 475 + 273 = 748 \ K$.

(B) કોઈપણ તાપમાન $T$ પર વાહકનો અવરોધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = R_0(1 + \alpha \Delta T)$.
અહીં,$T_0 = 27^{\circ} C$ પર $R_0 = 50 \Omega$,$R = 62 \Omega$,અને $\alpha = 2.4 \times 10^{-4} { }^{\circ} C^{-1}$ છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$62 = 50(1 + 2.4 \times 10^{-4} \Delta T)$
$1.24 = 1 + 2.4 \times 10^{-4} \Delta T$
$0.24 = 2.4 \times 10^{-4} \Delta T$
$\Delta T = \frac{0.24}{2.4 \times 10^{-4}} = 1000^{\circ} C$.
કારણ કે $\Delta T = T - T_0$,તેથી $T = T_0 + \Delta T = 27^{\circ} C + 1000^{\circ} C = 1027^{\circ} C$.

(C) વાહકનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ પ્રવાહની દિશામાં વાહકની લંબાઈ છે,અને $A$ એ પ્રવાહના પ્રવાહને લંબ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ કિસ્સામાં,પ્રવાહ બે વિરુદ્ધ છાયાંકિત સપાટીઓ વચ્ચે વહે છે.
આ બે સપાટીઓ વચ્ચેનું અંતર બાજુની લંબાઈ $L$ જેટલું છે,તેથી $l = L$.
દરેક છાયાંકિત સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = L \times t$ છે.
આ કિંમતોને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$R = \rho \frac{L}{L \times t} = \frac{\rho}{t}$.
અવરોધ $R = \frac{\rho}{t}$ ના અભિવ્યક્તિમાં $L$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી અવરોધ $L$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) સ્ટાન્ડર્ડ અવરોધકો સામાન્ય રીતે મેંગેનિન, કોન્સ્ટન્ટન અથવા નાઈક્રોમ જેવી મિશ્ર ધાતુઓમાંથી બનાવવામાં આવે છે.
આ પદાર્થોને પસંદ કરવામાં આવે છે કારણ કે તેમનો અવરોધકતાનો તાપમાન ગુણાંક ખૂબ જ ઓછો હોય છે, જેનો અર્થ છે કે તેમની અવરોધકતા $(\rho)$ તાપમાનની વિશાળ શ્રેણીમાં લગભગ અચળ રહે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, જે આલેખ તાપમાનના સંદર્ભમાં લગભગ અચળ અવરોધકતા દર્શાવે છે તે તે છે જ્યાં રેખા લગભગ આડી (અથવા ખૂબ જ નાનો ઢાળ ધરાવે છે) હોય છે.
જોકે, પ્રમાણભૂત પાઠ્યપુસ્તકના પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં, જે વક્ર તાપમાન પર અવરોધકતાની ખૂબ જ નબળી નિર્ભરતા દર્શાવે છે તે લગભગ સપાટ હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા, કોઈ પણ આલેખ સંપૂર્ણપણે અચળ રેખા દર્શાવતો નથી, પરંતુ ભૌતિક વિજ્ઞાનના અભ્યાસક્રમમાં, સ્ટાન્ડર્ડ અવરોધકો માટે વપરાતી સામગ્રી (જેમ કે મેંગેનિન) તાપમાન સાથે અવરોધકતામાં ખૂબ જ નાના, લગભગ નગણ્ય ફેરફાર દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.
તેથી, જે આલેખ સૌથી ઓછો ફેરફાર (સૌથી આડી રેખા) દર્શાવે છે તે સૌથી યોગ્ય રજૂઆત છે.

(D) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વધુમાં,મુક્ત અવકાશનો લાક્ષણિક અવરોધ (impedance) $Z_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇમ્પીડન્સનો એકમ $\text{ઓહ્મ} (\Omega)$ છે,જે અવરોધના એકમ સમાન છે.
તેથી,$\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}$ નું પરિમાણ એ અવરોધના પરિમાણ જેટલું જ છે.

(A) ઓરડાના તાપમાને પદાર્થોની અવરોધકતા $(\rho)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. કોપર $(Cu)$ (વાહક): $\approx 1.7 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$
$2$. નાઈક્રોમ (મિશ્રધાતુ): $\approx 1.0 \times 10^{-6} \ \Omega \cdot m$ (અથવા $100 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$)
$3$. જર્મેનિયમ (અર્ધવાહક): $\approx 0.46 \ \Omega \cdot m$
$4$. સિલિકોન (અર્ધવાહક): $\approx 2300 \ \Omega \cdot m$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,અવરોધકતાનો વધતો ક્રમ આ મુજબ છે: કોપર < નાઈક્રોમ < જર્મેનિયમ < સિલિકોન.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વાહક માટે,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ લેટીસ આયનોના ઉષ્મીય કંપનો વધે છે,જેના કારણે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન સાથેની અથડામણો વધુ વારંવાર થાય છે. આના પરિણામે વાહકની અવરોધકતા (વિશિષ્ટ અવરોધ) માં વધારો થાય છે.
અર્ધવાહક માટે,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ સહસંયોજક બંધો તૂટવાને કારણે વધુ વિદ્યુતભાર વાહકો (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ) ઉત્પન્ન થાય છે. વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યા ઘનતામાં આ વધારો અર્ધવાહકની અવરોધકતા (વિશિષ્ટ અવરોધ) ને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડે છે.
તેથી,વાહકની વિશિષ્ટ અવરોધકતા વધે છે અને અર્ધવાહકની વિશિષ્ટ અવરોધકતા ઘટે છે.

(B) ઓમના નિયમ મુજબ,વોલ્ટેજ $(V)$ અને પ્રવાહ $(i)$ નો ગુણોત્તર અવરોધ $(R)$ જેટલો હોય છે: $\frac{V}{i} = R$.
ધાતુના તાર માટે,અવરોધ તાપમાન પર નીચેના સંબંધ મુજબ આધાર રાખે છે: $R = R_0(1 + \alpha \Delta T)$,જ્યાં $\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે.
ધાતુઓ માટે,$\alpha$ ધન હોય છે.
તેથી,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ધાતુના તારનો અવરોધ $(R)$ વધે છે.
કારણ કે $\frac{V}{i} = R$,તેથી વોલ્ટેજ અને પ્રવાહનો ગુણોત્તર પણ તાપમાનમાં વધારા સાથે વધે છે.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \frac{\pi d^2}{4}$ છે.
તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = A_1 L_1 = A_2 L_2$,જેનો અર્થ છે કે $L_1 d_1^2 = L_2 d_2^2$,અથવા $\frac{L_1}{L_2} = \frac{d_2^2}{d_1^2}$.
અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{L_1}{L_2} \times \frac{A_2}{A_1} = \frac{L_1}{L_2} \times \frac{d_2^2}{d_1^2}$ છે.
સમીકરણમાં $\frac{L_1}{L_2} = \frac{d_2^2}{d_1^2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{d_2^2}{d_1^2}\right) \times \left(\frac{d_2^2}{d_1^2}\right) = \frac{d_2^4}{d_1^4}$ મળે છે.

(B) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તારનો આકાર બદલવામાં આવે છે,તેથી તેનું કદ $V = A \times L$ અચળ રહે છે.
આપણે ક્ષેત્રફળ $A$ ને વ્યાસ $D$ ના સંદર્ભમાં $A = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
અવરોધના સૂત્રમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા: $R = \rho \frac{L}{\pi D^2 / 4} = \frac{4 \rho L}{\pi D^2}$.
કદ $V = A \times L = \frac{\pi D^2 L}{4}$ અચળ હોવાથી,આપણને $L = \frac{4V}{\pi D^2}$ મળે છે.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{4 \rho}{\pi D^2} \times \left(\frac{4V}{\pi D^2}\right) = \frac{16 \rho V}{\pi^2 D^4}$.
$R$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $D$ ને મહત્તમ કરવો પડશે. કદ અચળ હોવાથી,$D$ વધારવાથી $L$ ઘટશે. તેથી,આપણે $L$ ઘટાડવો જોઈએ અને $D$ વધારવો જોઈએ.

(C) વાહક (જેમ કે કોપર) ની અવરોધકતા તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે. જેમ તાપમાન ઘટે છે,તેમ કોપરની અવરોધકતા ઘટે છે.
તેનાથી વિપરીત,અર્ધવાહક (જેમ કે સિલિકોન) ની અવરોધકતા તાપમાન સાથે વ્યસ્ત સંબંધ ધરાવે છે કારણ કે તાપમાન વધવાથી ચાર્જ કેરિયર્સની સંખ્યા વધે છે. જ્યારે તાપમાન ઘટે છે,ત્યારે મુક્ત ચાર્જ કેરિયર્સની સંખ્યા ઘટે છે,જેના કારણે સિલિકોનની અવરોધકતા વધે છે.
તેથી,જ્યારે $300 \ K$ થી $100 \ K$ સુધી ઠંડુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોપરની અવરોધકતા ઘટે છે અને સિલિકોનની અવરોધકતા વધે છે.

(A) આપેલ છે:
$T_0 = 27.5^{\circ} C$ તાપમાને અવરોધ $R_0 = 2.1 \Omega$ છે.
$T = 100^{\circ} C$ તાપમાને અવરોધ $R = 2.7 \Omega$ છે.
અવરોધના તાપમાન આધારિત સૂત્ર મુજબ,$R = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]$.
કિંમતો મૂકતા:
$2.7 = 2.1[1 + \alpha(100 - 27.5)]$
$2.7 = 2.1[1 + \alpha(72.5)]$
$\frac{2.7}{2.1} = 1 + \alpha(72.5)$
$\frac{9}{7} = 1 + \alpha(72.5)$
$\frac{9}{7} - 1 = \alpha(72.5)$
$\frac{2}{7} = \alpha(72.5)$
$\alpha = \frac{2}{7 \times 72.5} = \frac{2}{507.5} \approx 0.00394 \approx 3.9 \times 10^{-3} {}^{\circ} C^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વાહકનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ પ્રવાહની દિશામાં વાહકની લંબાઈ છે,અને $A$ એ પ્રવાહની દિશાને લંબ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
અવરોધ $R$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{l}{A}$ ને મહત્તમ કરવાની જરૂર છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે સૌથી મોટી લંબાઈ $l$ અને સૌથી નાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ પસંદ કરવું જોઈએ.
સળિયાના પરિમાણો $10 \ cm$,$1 \ cm$ અને $0.5 \ cm$ છે.
જો બેટરીને $1 \ cm \times 0.5 \ cm$ ની બાજુઓ પર જોડવામાં આવે,તો પ્રવાહ $l = 10 \ cm$ લંબાઈમાંથી વહે છે. આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 1 \ cm \times 0.5 \ cm = 0.5 \ cm^2$ છે.
આ કિસ્સામાં,ગુણોત્તર $\frac{l}{A} = \frac{10}{0.5} = 20 \ cm^{-1}$ છે.
અન્ય ગોઠવણીઓ સાથે સરખામણી કરતા,આ ગોઠવણી ગુણોત્તર $\frac{l}{A}$ માટે મહત્તમ મૂલ્ય આપે છે,તેથી અવરોધ મહત્તમ છે.

(A) અવરોધ અને તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $R_\theta = R_0 [1 + \alpha (\theta - \theta_0)]$
આપેલ કિંમતો: $R_0 = 100 \ \Omega$,$\theta_0 = 27^\circ \text{C}$,$R_\theta = 137 \ \Omega$,અને $\alpha = 1.35 \times 10^{-4} \ ^\circ \text{C}^{-1}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$137 = 100 [1 + 1.35 \times 10^{-4} (\theta - 27)]$
$1.37 = 1 + 1.35 \times 10^{-4} (\theta - 27)$
$0.37 = 1.35 \times 10^{-4} (\theta - 27)$
$\theta - 27 = \frac{0.37}{1.35 \times 10^{-4}}$
$\theta - 27 \approx 2740.74$
$\theta \approx 2740.74 + 27 = 2767.74^\circ \text{C}$
પૂર્ણાંકમાં લેતા,$\theta \approx 2767^\circ \text{C}$ મળે છે.

(A) વાહકતા $(\sigma)$ અને અવરોધકતા $(\rho)$ નો ગુણોત્તર $\frac{\sigma}{\rho}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sigma = \frac{1}{\rho}$, તેથી આ ગુણોત્તર $\frac{1/\rho}{\rho} = \frac{1}{\rho^2}$ થાય છે.
વાહક માટે, જેમ તાપમાન વધે છે, તેમ લેટીસ આયનો સાથે ઇલેક્ટ્રોનના અથડામણને કારણે અવરોધકતા $(\rho)$ વધે છે.
અહીં $\rho$ છેદમાં છે અને તેનો વર્ગ હોવાથી, જેમ $\rho$ વધે છે, તેમ $\frac{1}{\rho^2}$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
તેથી, વાહકતા અને અવરોધકતાનો ગુણોત્તર ઘટે છે.

(B) જ્યારે બે તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ અવરોધ $R$ એ વ્યક્તિગત અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ ના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$R = R_1 + R_2$
$R = \frac{\rho L}{A}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે:
$\frac{\rho(2l)}{A} = \frac{\rho_1 l}{A} + \frac{\rho_2 l}{A}$
બંને બાજુને $\frac{l}{A}$ વડે ભાગતા:
$2\rho = \rho_1 + \rho_2$
$\therefore \rho = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}$

(B) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ $V = A \times l$ હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{l}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \frac{\rho l^2}{V}$ મળે છે.
ઘનતા $d = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$V = \frac{m}{d}$ થાય.
આમ,$R = \frac{\rho l^2 d}{m}$.
સમાન દ્રવ્યના તાર માટે,$\rho$ અને $d$ અચળ છે,તેથી $R \propto \frac{l^2}{m}$.
આપેલ ગુણોત્તર $m_1:m_2:m_3 = 1:3:5$ અને $l_1:l_2:l_3 = 5:3:1$ છે,તેથી અવરોધનો ગુણોત્તર:
$R_1: R_2: R_3 = \frac{l_1^2}{m_1} : \frac{l_2^2}{m_2} : \frac{l_3^2}{m_3}$
$R_1: R_2: R_3 = \frac{5^2}{1} : \frac{3^2}{3} : \frac{1^2}{5}$
$R_1: R_2: R_3 = 25 : 3 : 0.2$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $5$ વડે ગુણતા:
$R_1: R_2: R_3 = 125 : 15 : 1$.

(D) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખેંચતી વખતે કદ $V = A \times l$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{l}$ લખી શકીએ છીએ.
આને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{\rho l^2}{V}$.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto l^2$ થાય.
લંબાઈમાં ફેરફાર $\frac{\Delta l}{l} = 2\% = 0.02$ આપેલ છે.
નાના ફેરફારો માટે વિકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\Delta R}{R} = 2 \frac{\Delta l}{l}$.
$\frac{\Delta R}{R} = 2 \times 2\% = 4\%$.
વૈકલ્પિક રીતે,ગુણોત્તર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$R_1 \propto l^2$ અને $R_2 \propto (1.02l)^2 = 1.0404l^2$.
$\frac{R_2 - R_1}{R_1} \times 100\% = (1.0404 - 1) \times 100\% = 4.04\% \approx 4\%$.

(C) તારનો અવરોધ $R$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = \frac{\rho l}{A}$,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
અવરોધકતા $\rho$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\rho = \frac{RA}{l}$.
આપેલ કિંમતો: $R = 5 \ \Omega$,$l = 15 \ m$,અને $A = 6 \times 10^{-7} \ m^2$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\rho = \frac{5 \times 6 \times 10^{-7}}{15}$
$\rho = \frac{30 \times 10^{-7}}{15}$
$\rho = 2 \times 10^{-7} \ \Omega \ m$.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
સિલિકોન એ અર્ધવાહક છે.
અર્ધવાહકોમાં,તાપમાનમાં વધારો થવાથી વિદ્યુતભાર વાહકોની (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) સંખ્યા ઘનતામાં ઘણો વધારો થાય છે.
જોકે તાપમાન સાથે રિલેક્સેશન સમય ઘટે છે,પરંતુ વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યા ઘનતામાં થતો વધારો પ્રભાવી હોય છે,જેના કારણે તાપમાન વધતા અવરોધકતા ઘટે છે.
તેની સામે,તાંબુ,એલ્યુમિનિયમ જેવી ધાતુઓ અને નાઈક્રોમ જેવી મિશ્ર ધાતુઓમાં તાપમાન વધતા અવરોધકતા વધે છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
વાહકતા $(\sigma)$ એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર પદાર્થની પ્રકૃતિ, તેનું તાપમાન અને દબાણ પર આધાર રાખે છે.
તે વાહકના ભૌતિક પરિમાણો, જેમ કે તેની લંબાઈ $(L)$ અથવા આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી, જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે, ત્યારે તેનો અવરોધ બદલાય છે, પરંતુ તેની વાહકતા સમાન રહે છે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_{1} = 100^{\circ} C$,પ્રારંભિક અવરોધ $R_{1} = 100 \ \Omega$,અંતિમ અવરોધ $R_{2} = 200 \ \Omega$,અને તાપમાન ગુણાંક $\alpha = 0.005 \ ^{\circ} C^{-1}$.
અવરોધના તાપમાન પર આધારિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $R_{2} = R_{1}[1 + \alpha(T_{2} - T_{1})]$.
$T_{2}$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $T_{2} - T_{1} = \frac{R_{2} - R_{1}}{\alpha R_{1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_{2} - 100 = \frac{200 - 100}{0.005 \times 100}$.
$T_{2} - 100 = \frac{100}{0.5} = 200$.
$T_{2} = 200 + 100 = 300^{\circ} C$.

(A) વાહકનો અવરોધ $R$ સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ પ્રવાહની દિશામાં વાહકની લંબાઈ છે,અને $A$ એ પ્રવાહની દિશાને લંબ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
સંબંધ $R \propto \frac{L}{A}$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પદાર્થના નિશ્ચિત કદ માટે,અવરોધ લંબાઈના વર્ગ $(L^2)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે અથવા ક્ષેત્રફળના વર્ગ $(A^2)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,નિશ્ચિત સળિયા માટે,અવરોધ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે પ્રવાહ સૌથી નાના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ માંથી વહે છે,જેના પરિણામે સૌથી લાંબી અસરકારક લંબાઈ $L$ મળે છે.
ત્રણ સંભવિત આડછેદના ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$1$. $A_1 = 10 \text{ cm} \times 1 \text{ cm} = 10 \text{ cm}^2$
$2$. $A_2 = 10 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm} = 5 \text{ cm}^2$
$3$. $A_3 = 1 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm} = 0.5 \text{ cm}^2$
જ્યારે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ન્યૂનતમ હોય ત્યારે અવરોધ મહત્તમ હોય છે. ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $0.5 \text{ cm}^2$ છે,જે $1 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm}$ પરિમાણ ધરાવતી બાજુઓને અનુરૂપ છે.

(A) આપેલ આલેખમાં:
$1$. પદાર્થ $Z$ માટે,તાપમાન $T$ માં વધારો થતાં અવરોધકતા $\rho$ ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે. આ સેમિકન્ડક્ટરનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
$2$. પદાર્થ $Y$ માટે,તાપમાન $T$ સાથે અવરોધકતા $\rho$ રેખીય રીતે વધે છે. આ નાઈક્રોમ જેવી મિશ્ર ધાતુઓનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે,જેનો અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક ખૂબ જ નાનો હોય છે.
$3$. પદાર્થ $X$ માટે,તાપમાન $T$ સાથે અવરોધકતા $\rho$ અરેખીય રીતે વધે છે. આ કોપર જેવી ધાતુઓનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તેથી,$X$ એ કોપર છે,$Y$ એ નાઈક્રોમ છે અને $Z$ એ સેમિકન્ડક્ટર છે.

(C) તારનો અવરોધ $(R)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = \frac{\rho \ell}{A}$,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$\ell$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તાર નળાકાર હોવાથી,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ થાય.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $R = \frac{\rho \ell}{\pi D^2 / 4} = \frac{4 \rho \ell}{\pi D^2}$.
અહીં $\rho$,$\ell$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી,$R \propto \frac{1}{D^2}$ થાય.
આ સંબંધ વ્યસ્ત વર્ગનો નિયમ દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે જેમ $D$ વધે તેમ $R$ ઘટે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આલેખ $C$ આ વર્તણૂક દર્શાવે છે.