Equivalent Resistance - Series and Parallel , Circuit Questions in Hindi

(B) मूल तार का प्रतिरोध $R = 4\,\Omega$ है।
जब तार को उसके मध्य-बिंदु पर मोड़ा जाता है,तो यह दो समान हिस्सों में विभाजित हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2} = \frac{4}{2} = 2\,\Omega$ होता है।
जब इन दोनों हिस्सों को एक साथ मरोड़ा जाता है,तो वे समानांतर संयोजन बनाते हैं।
समानांतर में जुड़े दो प्रतिरोधों का समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'}$ है।
मान रखने पर,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$।
अतः,$R_{eq} = 1\,\Omega$ प्राप्त होता है।

(A) $R$ प्रतिरोध वाले तार को $10$ बराबर भागों में विभाजित करने पर,प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $r = \frac{R}{10}$ होगा।
जब इन $10$ भागों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + ... + \frac{1}{r_{10}}$
चूंकि सभी भाग समान हैं $(r_1 = r_2 = ... = r_{10} = r = \frac{R}{10})$,इसलिए:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{10}{r} = \frac{10}{R/10} = \frac{100}{R}$
अतः,$R_{eq} = \frac{R}{100} = 0.01\, R$.

(B) $1$. प्रत्येक समूह में $R$ प्रतिरोध वाले $2$ प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं।
$2$. ऐसे एक समानांतर समूह का तुल्य प्रतिरोध $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $R_p = \frac{R}{2}$।
$3$. ऐसे $4$ समूह श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं।
$4$. कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इन $4$ समूहों के प्रतिरोधों का योग है: $R_{eq} = R_p + R_p + R_p + R_p = 4 \times R_p$।
$5$. $R_p$ का मान रखने पर,हमें $R_{eq} = 4 \times \frac{R}{2} = 2R$ प्राप्त होता है।

(C) $1\, \Omega$ के तीन प्रतिरोधों को समांतर क्रम में जोड़ने पर उनका तुल्य प्रतिरोध $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $R_1 = R_2 = R_3 = 1\, \Omega$ है,इसलिए $\frac{1}{R_p} = 1 + 1 + 1 = 3$,जिसका अर्थ है $R_p = \frac{1}{3}\, \Omega$।
यह समांतर संयोजन $\frac{2}{3}\, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणी क्रम में जुड़ा है।
श्रेणी परिपथ में कुल प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग होता है: $R_{eq} = R_p + R_{series}$।
अतः,$R_{eq} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1\, \Omega$।

(C) न्यूनतम तुल्य प्रतिरोध प्राप्त करने के लिए,सभी प्रतिरोधकों को समानांतर क्रम (parallel) में जोड़ा जाना चाहिए।
जब $n$ समान प्रतिरोध $r$ समानांतर में जुड़े होते हैं,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + ... + \frac{1}{r}$ ($n$ बार)
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{n}{r}$
दिया गया है:
प्रतिरोधकों की संख्या $n = 10$
प्रत्येक प्रतिरोध का मान $r = 1/10\,\Omega = 0.1\,\Omega$
मान रखने पर:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{10}{0.1} = 100$
$R_{eq} = \frac{1}{100}\,\Omega$

(B) जब $R$ प्रतिरोध वाले $n$ प्रतिरोधकों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $x$ इस प्रकार होता है:
$x = R/n$
इससे,हम $R$ का मान ज्ञात कर सकते हैं:
$R = nx$
जब इन $n$ प्रतिरोधकों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_s$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग होता है:
$R_s = R + R + ... + R$ ($n$ बार)
$R_s = nR$
समानांतर संयोजन से $R$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$R_s = n(nx) = n^2x$
अतः,श्रेणी क्रम में तुल्य प्रतिरोध $n^2x$ होगा।

(NONE) दिए गए परिपथ में,$A-D$ और $D-C$ के बीच जुड़े $3\, \Omega$ और $3\, \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $3\, \Omega + 3\, \Omega = 6\, \Omega$ है।
यह $6\, \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध,$A$ और $C$ के बीच सीधे जुड़े $6\, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समांतर क्रम में है।
$A$ और $C$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{AC} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3\, \Omega$ है।
अब,यह $R_{AC} = 3\, \Omega$ प्रतिरोध,$C$ और $B$ के बीच जुड़े $3\, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है।
अतः,$A$ और $B$ के बीच कुल प्रभावी प्रतिरोध $R_{AB} = 3\, \Omega + 3\, \Omega = 6\, \Omega$ है।

(D) समानांतर परिपथ में,प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर स्रोत के विभवांतर के बराबर होता है।
चूंकि प्रतिरोधकों को $10\,V$ की बैटरी के साथ समानांतर में जोड़ा गया है,इसलिए प्रत्येक प्रतिरोधक ($2\,\Omega$,$3\,\Omega$ और $5\,\Omega$) पर विभवांतर बैटरी के वोल्टेज के समान होगा।
अतः,$3\,\Omega$ प्रतिरोध के सिरों पर विभवांतर $10\,V$ होगा।

(D) $1$. इस परिपथ में एक प्रतिरोध $r$ दो शाखाओं के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा हुआ है।
$2$. ऊपरी शाखा में $r$ प्रतिरोध वाले तीन प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए इसका समतुल्य प्रतिरोध $R_1 = r + r + r = 3r$ है।
$3$. निचली शाखा में भी $r$ प्रतिरोध वाले तीन प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए इसका समतुल्य प्रतिरोध $R_2 = r + r + r = 3r$ है।
$4$. ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए इनका संयुक्त समतुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार होगा: $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{3r} + \frac{1}{3r} = \frac{2}{3r}$। अतः,$R_p = \frac{3r}{2}$।
$5$. नेटवर्क का कुल प्रभावी प्रतिरोध श्रेणीक्रम वाले प्रतिरोध $r$ और समानांतर संयोजन $R_p$ का योग है: $R_{effective} = r + R_p = r + \frac{3r}{2} = \frac{5r}{2}$।

(C) माना कि दो प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं। जब उन्हें समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र $\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6}{8} = 0.75 \, \Omega$ है ..... $(i)$.
जब एक तार टूट जाता है,तो परिपथ में केवल शेष प्रतिरोध ही बचता है। दिया गया है कि नया प्रभावी प्रतिरोध $2 \, \Omega$ है,इसलिए मान लें $R_1 = 2 \, \Omega$ ..... $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर:
$\frac{2 R_2}{2 + R_2} = 0.75$
$2 R_2 = 0.75(2 + R_2)$
$2 R_2 = 1.5 + 0.75 R_2$
$1.25 R_2 = 1.5$
$R_2 = \frac{1.5}{1.25} = \frac{150}{125} = 1.2 \, \Omega$ या $6/5 \, \Omega$.

(C) तीन समान प्रतिरोधकों के लिए,जिनका प्रतिरोध $R$ है,संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:
$1$. तीनों श्रेणीक्रम में: $R_{eq} = R + R + R = 3R$
$2$. तीनों समांतर क्रम में: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R} \implies R_{eq} = \frac{R}{3}$
$3$. दो समांतर क्रम में,तीसरे के साथ श्रेणीक्रम में: $R_{eq} = \frac{R}{2} + R = \frac{3R}{2} = 1.5R$
$4$. दो श्रेणीक्रम में,तीसरे के साथ समांतर क्रम में: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{2R} \implies R_{eq} = \frac{2R}{3} \approx 0.67R$
अतः,तीन समान प्रतिरोधकों को जोड़ने के कुल $4$ अलग-अलग तरीके हैं।

(B) घरेलू विद्युत परिपथों में,सभी उपकरण और लैंप समांतर क्रम (Parallel) में जुड़े होते हैं।
इसका कारण यह है कि समांतर क्रम में प्रत्येक उपकरण पर वोल्टेज समान रहता है और यह आपूर्ति वोल्टेज के बराबर होता है।
इसके अतिरिक्त,यदि एक लैंप खराब हो जाता है या बंद कर दिया जाता है,तो अन्य लैंप स्वतंत्र रूप से काम करना जारी रखते हैं क्योंकि प्रत्येक उपकरण के लिए विद्युत धारा के प्रवाह का अपना अलग मार्ग होता है।

(D) जब प्रतिरोधों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल या तुल्य प्रतिरोध $(R_{eq})$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का बीजगणितीय योग होता है।
गणितीय रूप से,श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधों $R_1, R_2, R_3, ..., R_n$ के लिए,तुल्य प्रतिरोध इस प्रकार दिया जाता है:
$R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + ... + R_n$
अतः,तुल्य प्रतिरोध घटक प्रतिरोधों के योग के बराबर होता है।

(A) मान लीजिए कि चार प्रतिरोध एक वर्ग $ABCD$ में जुड़े हुए हैं। प्रत्येक तार का प्रतिरोध $R = 10 \ \Omega$ है।
जब हम दो विपरीत कोनों (मान लीजिए $D$ और $B$) के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करते हैं,तो परिपथ दो समानांतर शाखाओं में विभाजित हो जाता है।
शाखा $1$ में श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध हैं: $DA$ और $AB$। इस शाखा का प्रतिरोध $R_1 = 10 \ \Omega + 10 \ \Omega = 20 \ \Omega$ है।
शाखा $2$ में श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध हैं: $DC$ और $CB$। इस शाखा का प्रतिरोध $R_2 = 10 \ \Omega + 10 \ \Omega = 20 \ \Omega$ है।
चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.
अतः,$R_{eq} = 10 \ \Omega$।

(B) मान लीजिए कि दो प्रतिरोधक $R_1$ और $R_2$ हैं।
श्रेणीक्रम संयोजन के लिए: $R_1 + R_2 = 9 \ \Omega$ ---$(1)$
समांतर क्रम संयोजन के लिए: $\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 2 \ \Omega$ ---$(2)$
समीकरण $(1)$ का मान $(2)$ में रखने पर: $\frac{R_1 R_2}{9} = 2 \implies R_1 R_2 = 18 \ \Omega^2$.
हम जानते हैं कि $(R_1 - R_2)^2 = (R_1 + R_2)^2 - 4R_1 R_2$.
$(R_1 - R_2)^2 = (9)^2 - 4(18) = 81 - 72 = 9$.
अतः,$R_1 - R_2 = 3 \ \Omega$ ---$(3)$.
समीकरण $(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर: $2R_1 = 12 \implies R_1 = 6 \ \Omega$.
समीकरण $(1)$ में से $(3)$ घटाने पर: $2R_2 = 6 \implies R_2 = 3 \ \Omega$.
इस प्रकार,प्रतिरोधक $6 \ \Omega$ और $3 \ \Omega$ हैं।

(D) माना कि मूल तार का प्रतिरोध $R$ है। हम जानते हैं कि प्रतिरोध तार की लंबाई के समानुपाती होता है $(R \propto l)$। इसलिए,चारों समान भागों में से प्रत्येक का प्रतिरोध $R' = R/4$ होगा।
जब इन चारों तारों को एक साथ जोड़ा जाता है,तो वे समानांतर क्रम में होते हैं।
समानांतर क्रम में जुड़े $n$ प्रतिरोधों का तुल्य प्रतिरोध,जहाँ प्रत्येक का प्रतिरोध $R'$ है,$R_{eq} = R'/n$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 4$ और $R' = R/4$ है।
अतः,$R_{eq} = \frac{R/4}{4} = \frac{R}{16}$।
इस प्रकार,पैकेट का प्रतिरोध मूल प्रतिरोध का $\frac{1}{16}$ होगा।

(D) दिए गए परिपथ में,प्रतिरोध $R$ और ${R_2}$ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। मान लीजिए कि $R$ से होकर बहने वाली धारा ${I_1}$ है। तो ${R_2}$ से होकर बहने वाली धारा $(I - {I_1})$ होगी।
चूंकि वे समानांतर में हैं,इसलिए दोनों प्रतिरोधों के सिरों पर विभवांतर समान होना चाहिए:
${I_1}R = (I - {I_1}){R_2}$
${R_2}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
${R_2} = \frac{{I_1}R}{I - {I_1}}$
अब,हम $R$ से होकर बहने वाली धारा $({I_1})$ और प्रतिरोध ${R_2}$ के लिए दिए गए विकल्पों की जांच करते हैं:
विकल्प $(d)$ के लिए,${I_1} = \frac{I}{2}$ और ${R_2} = R$:
${R_2} = \frac{(\frac{I}{2})R}{I - \frac{I}{2}} = \frac{\frac{I}{2}R}{\frac{I}{2}} = R$
यह शर्त को पूरा करता है। अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) परिपथ में एक आयत $ABCD$ है जिसमें विकर्ण $BD$ है। बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध की गणना करने के लिए:
$1$. तार $BC$ और $CD$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनका कुल प्रतिरोध $R_{BC} + R_{CD} = 4\, \Omega + 4\, \Omega = 8\, \Omega$ है।
$2$. यह $8\, \Omega$ का संयोजन विकर्ण तार $BD$ $(8\, \Omega)$ के साथ समानांतर क्रम में है। इस भाग का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{8 \times 8}{8 + 8} = \frac{64}{16} = 4\, \Omega$ है।
$3$. अब,यह $4\, \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध तार $AD$ $(4\, \Omega)$ के साथ श्रेणीक्रम में है,जिससे कुल प्रतिरोध $4\, \Omega + 4\, \Omega = 8\, \Omega$ प्राप्त होता है।
$4$. अंत में,यह $8\, \Omega$ का प्रतिरोध तार $AB$ $(4\, \Omega)$ के साथ समानांतर क्रम में है। अतः,कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{8 \times 4}{8 + 4} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}\, \Omega$ है।

(C) चरण $1$: समानांतर क्रम में जुड़े $1\,\Omega$ के तीन प्रतिरोधों का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें।
समानांतर संयोजन के लिए,$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 3\,\Omega^{-1}$।
अतः,$R_p = \frac{1}{3}\,\Omega$।
चरण $2$: जब ऐसे तीन संयोजनों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध ज्ञात करें।
श्रेणी संयोजन के लिए,$R_{total} = R_p + R_p + R_p = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1\,\Omega$।

(B) प्रतिरोधकों के एक समूह से न्यूनतम तुल्य प्रतिरोध प्राप्त करने के लिए,उन्हें समानांतर क्रम (parallel combination) में जोड़ा जाना चाहिए।
जब $n$ समान प्रतिरोधक,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $r$ है,समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र है:
$R_{eq} = \frac{r}{n}$
यहाँ $n = 10$ दिया गया है और प्रत्येक प्रतिरोधक का प्रतिरोध $r$ है,इसलिए न्यूनतम प्रतिरोध होगा:
$R_{eq} = \frac{r}{10}$

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार समान पदार्थ और समान लंबाई के हैं,इसलिए $R \propto \frac{1}{A}$ होगा।
अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल का अनुपात $A_1 : A_2 = 3 : 1$ दिया गया है,जहाँ $A_1$ मोटा तार है और $A_2$ पतला तार है।
अतः,प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{1}{3}$ होगा,जिसका अर्थ है $R_2 = 3R_1$।
मोटे तार का प्रतिरोध $R_1 = 10\,\Omega$ दिया गया है।
इसलिए,पतले तार का प्रतिरोध $R_2 = 3 \times 10 = 30\,\Omega$ होगा।
जब उन्हें श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = 10 + 30 = 40\,\Omega$ होगा।

(D) तार का प्रतिरोध उसकी लंबाई के सीधे आनुपातिक होता है,$R \propto l$.
चूंकि तार को दस समान भागों में काटा गया है,इसलिए प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $r = \frac{R}{10}$ है।
जब ऐसे दो टुकड़ों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो एक संयोजन का प्रतिरोध $r_s = r + r = 2r = 2 \times \frac{R}{10} = \frac{R}{5}$ होता है।
ऐसे पांच संयोजनों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का मान $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{r_s} + \frac{1}{r_s} + \frac{1}{r_s} + \frac{1}{r_s} + \frac{1}{r_s} = \frac{5}{r_s}$ होगा।
अतः,$R_{eq} = \frac{r_s}{5} = \frac{R/5}{5} = \frac{R}{25}$।

(C) जब $R = 12\,\Omega$ कुल प्रतिरोध वाले एक तार को एक वृत्त में मोड़ा जाता है,तो किसी भी व्यास द्वारा तार दो समान भागों में विभाजित हो जाता है।
तार के प्रत्येक आधे भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2} = \frac{12}{2} = 6\,\Omega$ होगा।
ये दो आधे भाग व्यास पर स्थित दो बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
समानांतर क्रम में जुड़े दो प्रतिरोधों $R_1$ और $R_2$ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ सूत्र $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$R_1 = 6\,\Omega$ और $R_2 = 6\,\Omega$ है।
इसलिए,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।
अतः,$R_{eq} = 3\,\Omega$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि तीन प्रतिरोधक हैं, प्रत्येक का प्रतिरोध $R = 4\,\Omega$ है।
स्थिति $1$: तीनों प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े हों।
$R_{eq} = R + R + R = 4 + 4 + 4 = 12\,\Omega$.
स्थिति $2$: तीनों प्रतिरोधक समांतर क्रम में जुड़े हों।
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R} \implies R_{eq} = \frac{4}{3} \approx 1.33\,\Omega$.
स्थिति $3$: दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में और तीसरा उनके संयोजन के साथ समांतर क्रम में हो।
$R_{series} = 4 + 4 = 8\,\Omega$.
$R_{eq} = \frac{8 \times 4}{8 + 4} = \frac{32}{12} = 2.67\,\Omega$.
स्थिति $4$: दो प्रतिरोधक समांतर क्रम में और तीसरा उनके संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में हो।
$R_{parallel} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2\,\Omega$.
$R_{eq} = 2 + 4 = 6\,\Omega$.
इन परिणामों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, $3\,\Omega$ मान प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

(D) जब $R$ प्रतिरोध वाले एक तार को $n$ बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{n}$ हो जाता है।
जब इन $n$ भागों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + ... + \frac{1}{R'}$ ($n$ बार) होता है।
इसलिए,$\frac{1}{R_{eq}} = n \times \frac{1}{R'} = n \times \frac{1}{(R/n)} = \frac{n^2}{R}$।
अतः,समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R}{n^2}$ होगा।

(C) माना कि प्रत्येक प्रतिरोधक का प्रतिरोध $R$ है।
जब $n$ प्रतिरोधकों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{\max} = nR$ होता है।
जब $n$ प्रतिरोधकों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{\min} = R/n$ होता है।
अधिकतम प्रतिरोध और न्यूनतम प्रतिरोध का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{R_{\max}}{R_{\min}} = \frac{nR}{R/n} = n \times n = n^2$.

(C) सबसे पहले,परिपथ के आंतरिक भाग को सरल करें। समानांतर क्रम में जुड़े दो $10 \, \Omega$ प्रतिरोधों का समतुल्य मान $R_p = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \, \Omega$ है।
यह $5 \, \Omega$ प्रतिरोध $10 \, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणी क्रम में है,जिससे $R_s = 5 + 10 = 15 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
यह $15 \, \Omega$ प्रतिरोध दूसरे $10 \, \Omega$ प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में है,जिससे $R_{p'} = \frac{15 \times 10}{15 + 10} = \frac{150}{25} = 6 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
अब,परिपथ में $10 \, \Omega$ का प्रतिरोध,$R$ और $(10 + 6) \, \Omega = 16 \, \Omega$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणी क्रम में है।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 18 \, \Omega$ दिया गया है,इसलिए:
$18 = 10 + \frac{R \times 16}{R + 16}$
$8 = \frac{16R}{R + 16}$
$8(R + 16) = 16R$
$8R + 128 = 16R$
$8R = 128$
$R = 16 \, \Omega$.

(D) जब $4\,\Omega$ के तीन प्रतिरोधकों को एक समबाहु त्रिभुज में जोड़ा जाता है,तो मान लीजिए कि कोने $A$,$B$ और $C$ हैं।
किन्हीं दो कोनों (उदाहरण के लिए,$A$ और $B$) के बीच प्रभावी प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ विन्यास को देखते हैं।
$A$ और $B$ के बीच सीधे जुड़ा हुआ प्रतिरोधक अन्य दो प्रतिरोधकों (जो $A-C$ और $C-B$ के बीच जुड़े हैं) के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर में है।
श्रेणी शाखा का प्रतिरोध = $4\,\Omega + 4\,\Omega = 8\,\Omega$।
अब,यह $8\,\Omega$ की शाखा $A$ और $B$ के बीच सीधे जुड़े $4\,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में है।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार दिया गया है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2+1}{8} = \frac{3}{8}$।
अतः,$R_{eq} = \frac{8}{3}\,\Omega$।

(C) जब $n$ प्रतिरोधक,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R$ है,समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R_{eq} = \frac{R}{n}$
दिया गया है:
तारों की संख्या,$n = 10$
प्रत्येक तार का प्रतिरोध,$R = 1 \ \Omega$
मान रखने पर:
$R_{eq} = \frac{1 \ \Omega}{10} = 0.1 \ \Omega$
अतः,तुल्य प्रतिरोध $0.1 \ \Omega$ होगा।

(C) यह परिपथ श्रेणीक्रम में जुड़े तीन भागों से बना है: एक $2\,\Omega$ का प्रतिरोधक,दो $2\,\Omega$ प्रतिरोधकों का समांतर संयोजन,और एक अन्य $2\,\Omega$ का प्रतिरोधक।
सबसे पहले,समांतर क्रम में जुड़े दो $2\,\Omega$ प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \implies R_p = 1\,\Omega$.
अब,कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ श्रेणीक्रम में जुड़े घटकों का योग है:
$R_{eq} = 2\,\Omega + R_p + 2\,\Omega = 2\,\Omega + 1\,\Omega + 2\,\Omega = 5\,\Omega$.

(D) इस परिपथ में तीन प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं, जो चौथे प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में जुड़े हैं。
मान लीजिए कि प्रत्येक प्रतिरोधक का मान $R = 2\, \Omega$ है。
सबसे पहले, तीन समानांतर प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध $(R_p)$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$
$R_p = \frac{R}{3} = \frac{2}{3}\, \Omega$.
अब, यह समानांतर संयोजन शेष प्रतिरोधक $R$ के साथ श्रेणी क्रम में है。
अतः, कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ होगा:
$R_{AB} = R_p + R = \frac{2}{3} + 2 = \frac{2 + 6}{3} = \frac{8}{3}\, \Omega = 2\frac{2}{3}\, \Omega$.
इस प्रकार, सही विकल्प $(d)$ है।

(C) मान लीजिए कि चार प्रतिरोधों को $A, B, C, D$ शीर्षों वाले एक वर्ग $ABCD$ में जोड़ा गया है। प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R = 100 \ \Omega$ है।
विकर्ण बिंदुओं $A$ और $C$ के बीच प्रभावी प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ का निरीक्षण करते हैं।
पथ $A-B-C$ में श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध हैं: $R_{ABC} = 100 \ \Omega + 100 \ \Omega = 200 \ \Omega$.
पथ $A-D-C$ में भी श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध हैं: $R_{ADC} = 100 \ \Omega + 100 \ \Omega = 200 \ \Omega$.
ये दो शाखाएँ ($R_{ABC}$ और $R_{ADC}$) बिंदुओं $A$ और $C$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार दिया गया है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{ABC}} + \frac{1}{R_{ADC}} = \frac{1}{200} + \frac{1}{200} = \frac{2}{200} = \frac{1}{100}$.
अतः,$R_{eq} = 100 \ \Omega$.

(B) दिया गया है: प्रतिरोधकता $\rho$ समान है,लंबाई $l$ समान है।
मान लीजिए मोटे तार का क्षेत्रफल $A_1$ और त्रिज्या $r_1$ है,और पतले तार का क्षेत्रफल $A_2$ और त्रिज्या $r_2$ है।
चूंकि पतले तार की मोटाई आधी है,इसलिए $r_2 = \frac{r_1}{2}$।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है,इसलिए $A_2 = \pi (\frac{r_1}{2})^2 = \frac{1}{4} A_1$।
प्रतिरोध के सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ का उपयोग करने पर,$R \propto \frac{1}{A}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{1}{4}$।
पतले तार का प्रतिरोध $R_2 = 8\, \Omega$ दिया गया है,इसलिए $\frac{R_1}{8} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $R_1 = 2\, \Omega$।
समानांतर संयोजन के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2 \times 8}{2 + 8} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}\, \Omega$ होगा।

(A) समानांतर क्रम में जुड़े प्रतिरोधकों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$।
यहाँ $R_1 = 2 \ \Omega$,$R_2 = 4 \ \Omega$ और $R_3 = 8 \ \Omega$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$।
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $8$ लेने पर: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4+2+1}{8} = \frac{7}{8} \ \Omega^{-1}$।
अतः,$R_{eq} = \frac{8}{7} \ \Omega$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि दो प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं। समांतर क्रम में दो प्रतिरोधों का तुल्य प्रतिरोध $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $R_{eq} = \frac{12}{7} \ \Omega$। अतः,$\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{7}{12}$।
यदि एक प्रतिरोध को हटा दिया जाता है,तो शेष प्रतिरोध दूसरे प्रतिरोध का मान ही होता है। दिया गया है कि यह $4 \ \Omega$ है,इसलिए मान लें $R_1 = 4 \ \Omega$।
समांतर समीकरण में $R_1$ का मान रखने पर: $\frac{1}{4} + \frac{1}{R_2} = \frac{7}{12}$।
$\frac{1}{R_2} = \frac{7}{12} - \frac{1}{4} = \frac{7-3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$।
अतः,$R_2 = 3 \ \Omega$।

(D) मान लीजिए कि दो तारों के प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं।
जब उन्हें समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ होता है।
दिया गया है कि $R_p = \frac{6}{5} \ \Omega$,इसलिए $\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6}{5}$ है।
यदि एक तार टूट जाता है,तो प्रभावी प्रतिरोध शेष तार के प्रतिरोध के बराबर हो जाता है। मान लीजिए $R_1 = 2 \ \Omega$ है।
समांतर क्रम के समीकरण में $R_1 = 2$ रखने पर:
$\frac{2 R_2}{2 + R_2} = \frac{6}{5}$
$10 R_2 = 6(2 + R_2)$
$10 R_2 = 12 + 6 R_2$
$4 R_2 = 12$
$R_2 = 3 \ \Omega$.
अतः,टूटे हुए तार का प्रतिरोध $3 \ \Omega$ है।

(A) बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच प्रभावी प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ विन्यास का अवलोकन करते हैं।
$1$. प्रतिरोधक $BC$ $(60\,\Omega)$ और $CA$ $(100\,\Omega)$ श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं क्योंकि जब $A$ और $B$ के बीच विभवांतर लागू किया जाता है,तो उनमें से समान धारा प्रवाहित होती है।
$2$. इस श्रेणी शाखा का तुल्य प्रतिरोध $R_{series} = 60\,\Omega + 100\,\Omega = 160\,\Omega$ है।
$3$. यह श्रेणी संयोजन अब प्रतिरोधक $AB$ $(40\,\Omega)$ के साथ समानांतर क्रम में है।
$4$. $A$ और $B$ के बीच प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq}$ समानांतर संयोजन के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{AB}} + \frac{1}{R_{series}} = \frac{1}{40} + \frac{1}{160}$.
$5$. इसकी गणना करने पर: $R_{eq} = \frac{40 \times 160}{40 + 160} = \frac{6400}{200} = 32\,\Omega$.

(B) दिए गए परिपथ को प्रतिरोधों के श्रेणी संयोजन को पहचान कर सरल किया जा सकता है।
परिपथ को देखने पर,$4\,\Omega$ और $8\,\Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं,जो $4 + 8 = 12\,\Omega$ का तुल्य प्रतिरोध बनाते हैं।
इसी प्रकार,$2\,\Omega$ और $4\,\Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं,जो $2 + 4 = 6\,\Omega$ का तुल्य प्रतिरोध बनाते हैं।
ये दोनों शाखाएं बिंदुओं $a$ और $b$ के बीच समांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{ab}$ इस प्रकार है:
$R_{ab} = \frac{12 \times 6}{12 + 6} = \frac{72}{18} = 4\,\Omega$.

(D) चूंकि तार का प्रतिरोध उसकी लंबाई के सीधे आनुपातिक होता है $(R \propto L)$, जब $12 \, \Omega$ प्रतिरोध वाले तार को एक समबाहु त्रिभुज में मोड़ा जाता है, तो प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R_{side} = 12/3 = 4 \, \Omega$ हो जाता है।
जब हम किन्हीं दो कोनों के बीच प्रभावी प्रतिरोध की गणना करते हैं, तो एक भुजा $(4 \, \Omega)$ अन्य दो भुजाओं के साथ समानांतर क्रम में होती है, जो श्रेणी क्रम में जुड़ी होती हैं (जिनका कुल प्रतिरोध $4 \, \Omega + 4 \, \Omega = 8 \, \Omega$ होता है)।
अतः, प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq}$ समानांतर संयोजन के सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{4 \times 8}{4 + 8} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \, \Omega$.

(B) दिया गया परिपथ बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
$1$. ऊपरी शाखा में श्रेणीक्रम में तीन प्रतिरोध हैं: $5\,\Omega$,$10\,\Omega$,और $15\,\Omega$। इस शाखा का तुल्य प्रतिरोध $R_1 = 5 + 10 + 15 = 30\,\Omega$ है।
$2$. निचली शाखा में श्रेणीक्रम में तीन प्रतिरोध हैं: $10\,\Omega$,$20\,\Omega$,और $30\,\Omega$। इस शाखा का तुल्य प्रतिरोध $R_2 = 10 + 20 + 30 = 60\,\Omega$ है।
$3$. चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए प्रभावी प्रतिरोध $R_{AB}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2+1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$.
अतः,$R_{AB} = 20\,\Omega$।

(B) दिया गया है कि तार का प्रारंभिक प्रतिरोध $R = 6 \,\Omega$ है।
जब तार को दो समान भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $R' = R/2 = 6/2 = 3 \,\Omega$ हो जाता है।
जब इन दो समान प्रतिरोधों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'}$
$R_{eq} = \frac{R'}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \,\Omega$.
वैकल्पिक रूप से,समानांतर में जुड़े दो समान प्रतिरोधों के लिए संक्षिप्त सूत्र का उपयोग करते हुए: $R_{eq} = \frac{R}{4} = \frac{6}{4} = 1.5 \,\Omega$।

(A) तार का कुल प्रतिरोध $R = 4 \ \Omega$ है। जब तार को अर्धवृत्ताकार में मोड़ा जाता है,तो यह दो समान भागों में विभाजित हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R' = R/2 = 4/2 = 2 \ \Omega$ होता है।
ये दो भाग व्यास के दो सिरों के बीच समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
दो प्रतिरोधों $R_1$ और $R_2$ के समानांतर क्रम में होने पर तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र $1/R_{eq} = 1/R_1 + 1/R_2$ है।
यहाँ,$R_1 = 2 \ \Omega$ और $R_2 = 2 \ \Omega$ है।
इसलिए,$1/R_{eq} = 1/2 + 1/2 = 1 \ \Omega^{-1}$।
अतः,$R_{eq} = 1 \ \Omega$।

(A) समानांतर क्रम में जुड़े प्रतिरोधकों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$
यहाँ $R_1 = 2 \,\Omega$,$R_2 = 4 \,\Omega$,और $R_3 = 5 \,\Omega$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$
$2, 4,$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $20$ है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{10 + 5 + 4}{20} = \frac{19}{20} \,\Omega^{-1}$
अतः,कुल प्रतिरोध:
$R_{eq} = \frac{20}{19} \,\Omega$

(C) $2 \,\Omega$,$3 \,\Omega$ और $6 \,\Omega$ के प्रतिरोधकों से $4 \,\Omega$ का तुल्य प्रतिरोध प्राप्त करने के लिए:
$1$. सबसे पहले,$3 \,\Omega$ और $6 \,\Omega$ के प्रतिरोधकों को समांतर क्रम में जोड़ें। इस समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies R_p = 2 \,\Omega$.
$2$. अब,इस समांतर संयोजन $(R_p = 2 \,\Omega)$ को शेष $2 \,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ें।
$3$. कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ होगा:
$R_{eq} = R_p + 2 \,\Omega = 2 \,\Omega + 2 \,\Omega = 4 \,\Omega$.
इस प्रकार,$3 \,\Omega$ और $6 \,\Omega$ को समांतर क्रम में जोड़कर और फिर $2 \,\Omega$ को श्रेणीक्रम में जोड़ने से वांछित परिणाम प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) मान लीजिए कि दो प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं।
जब उन्हें श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_S = R_1 + R_2 = 16\,\Omega$ होता है।
जब उन्हें समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 3\,\Omega$ होता है।
श्रेणीक्रम समीकरण से,$R_1 + R_2 = 16$ है।
इस मान को समांतर क्रम समीकरण में रखने पर: $\frac{R_1 R_2}{16} = 3$,जिससे $R_1 R_2 = 48$ प्राप्त होता है।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $16$ और गुणनफल $48$ हो। ये संख्याएँ $4$ और $12$ हैं।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$1$. अलग-अलग: $4\,\Omega$ और $12\,\Omega$ (प्रश्न में दिए गए हैं)।
$2$. श्रेणीक्रम: $4 + 12 = 16\,\Omega$।
$3$. समांतर क्रम: $\frac{4 \times 12}{4 + 12} = \frac{48}{16} = 3\,\Omega$।
अतः,प्रतिरोध $4\,\Omega$ और $12\,\Omega$ हैं।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = d \times \pi r^2 L$ स्थिर है,इसलिए $L \propto \frac{1}{r^2}$ होता है।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर: $R \propto \frac{1}{r^2 \cdot r^2} = \frac{1}{r^4}$.
अतः,$\frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^4$. दिया गया है कि $r_A = 2r_B$,इसलिए $\frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$,जिसका अर्थ है $R_B = 16 R_A$.
जब $R_A$ और $R_B$ को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा:
$R_{eq} = \frac{R_A R_B}{R_A + R_B} = \frac{R_A (16 R_A)}{R_A + 16 R_A} = \frac{16 R_A^2}{17 R_A} = \frac{16}{17} R_A$.
यदि $R_A = 4.25 \, \Omega$ है,तो $R_{eq} = \frac{16}{17} \times 4.25 = \frac{16}{17} \times \frac{17}{4} = 4 \, \Omega$.
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(C) एक घन के दो विकर्णतः विपरीत कोनों के बीच समतुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ की समरूपता का उपयोग कर सकते हैं।
मान लीजिए कि विद्युत धारा $I$ कोने $A$ पर प्रवेश करती है और कोने $D$ से बाहर निकलती है।
नोड $A$ पर,धारा समान रूप से $3$ शाखाओं में विभाजित हो जाती है,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R$ है। इन $3$ समानांतर प्रतिरोधों का समतुल्य प्रतिरोध $R/3$ है।
इन $3$ नोड्स से,धारा आगे $6$ शाखाओं में विभाजित हो जाती है,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R$ है। इन $6$ समानांतर प्रतिरोधों का समतुल्य प्रतिरोध $R/6$ है।
अंत में,धारा $3$ शाखाओं के माध्यम से एकत्रित होती है,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R$ है,जो निकास नोड $D$ से जुड़ी हैं। इन $3$ समानांतर प्रतिरोधों का समतुल्य प्रतिरोध $R/3$ है।
चूंकि प्रतिरोधों के ये तीनों सेट श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए कुल प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = \frac{R}{3} + \frac{R}{6} + \frac{R}{3} = \frac{2R + R + 2R}{6} = \frac{5R}{6}$

(C) मान लीजिए कि कुल $n$ प्रतिरोधों का उपयोग किया जाता है। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 5\,\Omega$ और अधिकतम धारा क्षमता $I_{total} = 4\,A$ है।
प्रत्येक प्रतिरोध के लिए $R = 10\,\Omega$ और $I_{max} = 1\,A$ है।
संयोजन द्वारा व्यय की गई शक्ति $P = I_{total}^2 \times R_{eq} = 4^2 \times 5 = 16 \times 5 = 80\,W$ है।
प्रत्येक व्यक्तिगत प्रतिरोध द्वारा व्यय की गई शक्ति $P_{res} = I_{max}^2 \times R = 1^2 \times 10 = 10\,W$ है।
चूंकि कुल शक्ति प्रत्येक प्रतिरोध द्वारा व्यय की गई शक्ति का योग है,इसलिए $n = P / P_{res} = 80 / 10 = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम $8$ प्रतिरोधों की आवश्यकता होगी।

(B) मान लीजिए प्रत्येक कुंडली का प्रतिरोध $R$ है। हम उन्हें निम्नलिखित तरीकों से जोड़ सकते हैं:
$1$. एक कुंडली का उपयोग करके: $R_{eq} = R$
$2$. दो कुंडलियाँ श्रेणीक्रम में: $R_{eq} = 2R$
$3$. दो कुंडलियाँ समांतर क्रम में: $R_{eq} = R/2$
$4$. तीन कुंडलियाँ श्रेणीक्रम में: $R_{eq} = 3R$
$5$. तीन कुंडलियाँ समांतर क्रम में: $R_{eq} = R/3$
$6$. दो श्रेणीक्रम में और एक समांतर क्रम में: $R_{eq} = 2R/3$
$7$. दो समांतर क्रम में और एक श्रेणीक्रम में: $R_{eq} = 3R/2$
हालाँकि,यदि हम सभी $n$ कुंडलियों का उपयोग करते हैं,तो संयोजनों की संख्या $2^{n-1}$ होती है। $n=3$ के लिए,$2^{3-1} = 4$।