Electric Cells and Combination of cells in Series and Parallel Questions in Hindi

(A) कार में उपयोग की जाने वाली लेड-एसिड बैटरी का आंतरिक प्रतिरोध $r$ मुख्य रूप से इलेक्ट्रोलाइट की श्यानता (viscosity) के कारण होता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,इलेक्ट्रोलाइट की श्यानता कम हो जाती है,जिससे आयनों की गतिशीलता बढ़ जाती है।
परिणामस्वरूप,तापमान बढ़ने के साथ बैटरी का आंतरिक प्रतिरोध $r$ कम हो जाता है।
चूंकि गर्म दिन में $r$ कम होता है,इसलिए बैटरी स्टार्टर मोटर को अधिक धारा प्रदान कर सकती है,जिससे इंजन को शुरू करना आसान हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना परिपथ में धारा $i = \frac{V}{R}$ है।
सेल के सिरों पर टर्मिनल विभवांतर का सूत्र $E = V + ir$ होता है,जहाँ $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
समीकरण को $r$ के लिए व्यवस्थित करने पर,$ir = E - V$ प्राप्त होता है।
$i = \frac{V}{R}$ का मान रखने पर,$\left( \frac{V}{R} \right) r = E - V$ प्राप्त होता है।
अतः,$r = \frac{(E - V)R}{V}$ होगा।

(A) $E$ विद्युत वाहक बल और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाले दो सेलों को समानांतर में जोड़ने पर,तुल्य विद्युत वाहक बल $(E_{eq})$ $E$ होता है और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $(r_{eq})$ $r/2$ होता है।
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण प्रमेय के अनुसार,बाहरी प्रतिरोध $R$ को दी गई ऊर्जा तब अधिकतम होती है जब बाहरी प्रतिरोध स्रोत के तुल्य आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होता है।
अतः,अधिकतम ऊर्जा स्थानांतरण के लिए,$R = r_{eq} = r/2$।

(C) सेल का टर्मिनल विभवांतर $V$ संबंध $V = E \pm Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ $e.m.f.$ है,$I$ धारा है,और $r$ सेल का आंतरिक प्रतिरोध है।
जब सेल डिस्चार्ज हो रहा होता है,तो $V = E - Ir$,इसलिए $V < E$ होता है।
जब सेल ओपन सर्किट में होता है,तो $I = 0$,इसलिए $V = E$ होता है।
जब सेल चार्ज हो रहा होता है,तो धारा धनात्मक टर्मिनल में प्रवेश करती है,इसलिए संबंध $V = E + Ir$ हो जाता है। अतः,$V > E$ होता है।
इस प्रकार,टर्मिनल विभवांतर $e.m.f.$ से अधिक तभी होता है जब सेल चार्ज हो रहा हो।

(B) माना सेल का $e.m.f.$ $E$ है और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
सेल वाले परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = \frac{E}{R + r}$ होती है।
प्रथम स्थिति के लिए: $0.5 = \frac{E}{2 + r}$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $0.25 = \frac{E}{5 + r}$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से भाग देने पर:
$\frac{0.5}{0.25} = \frac{E / (2 + r)}{E / (5 + r)}$
$2 = \frac{5 + r}{2 + r}$
$2(2 + r) = 5 + r$
$4 + 2r = 5 + r$
$2r - r = 5 - 4$
$r = 1\,\Omega$.
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $1\,\Omega$ है।

(C) एक सेल का टर्मिनल विभवांतर $V$,सूत्र $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ $E.M.F.$ है,$I$ धारा है,और $r$ सेल का आंतरिक प्रतिरोध है।
जब एक सेल को शॉर्ट-सर्किट किया जाता है,तो बाहरी प्रतिरोध $R = 0$ होता है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = E / (R + r) = E / (0 + r) = E/r$ होती है।
$I$ के इस मान को टर्मिनल विभवांतर के सूत्र में रखने पर: $V = E - (E/r) \times r = E - E = 0$।
अतः,शॉर्ट-सर्किट होने पर सेल का टर्मिनल विभवांतर $0$ होता है।

(C) सेल की शॉर्ट-सर्किट धारा का सूत्र $i_{SC} = \frac{E}{r}$ है,जहाँ $E$ विद्युत वाहक बल $(e.m.f.)$ है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
दिया गया है: $E = 1.5\,V$ और $i_{SC} = 3\,A$.
सूत्र में मान रखने पर: $3 = \frac{1.5}{r}$.
$r$ के लिए हल करने पर: $r = \frac{1.5}{3} = 0.5\,\Omega$.
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $0.5\,\Omega$ है।

(D) सेल का विद्युत वाहक बल $(E)$ ओपन सर्किट में विभवांतर होता है,इसलिए $E = 2.2\, V$ है।
जब $R = 4\, \Omega$ का प्रतिरोध जोड़ा जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V = 2\, V$ हो जाता है।
टर्मिनल विभवांतर का सूत्र $V = E - Ir$ है,जहाँ $I$ धारा है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
साथ ही,$I = \frac{V}{R} = \frac{2}{4} = 0.5\, A$ है।
इन मानों को समीकरण $V = E - Ir$ में रखने पर:
$2 = 2.2 - (0.5)r$
$0.5r = 2.2 - 2$
$0.5r = 0.2$
$r = \frac{0.2}{0.5} = 0.4\, \Omega$ है।
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $0.4\, \Omega$ है।

(C) सेल का विद्युत वाहक बल $(E)$ वोल्टमीटर का वह पाठ्यांक है जब कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए $E = 2.2\, V$ है।
जब $R = 5\,\Omega$ का प्रतिरोध जोड़ा जाता है,तो टर्मिनल वोल्टेज $V = 1.8\, V$ हो जाता है।
आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ का सूत्र $r = \left( \frac{E}{V} - 1 \right) R$ है।
मान रखने पर: $r = \left( \frac{2.2}{1.8} - 1 \right) \times 5$.
$r = \left( \frac{2.2 - 1.8}{1.8} \right) \times 5 = \left( \frac{0.4}{1.8} \right) \times 5$.
$r = \left( \frac{4}{18} \right) \times 5 = \left( \frac{2}{9} \right) \times 5 = \frac{10}{9} \approx 1.11\,\Omega$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $r = 1.1\,\Omega$ प्राप्त होता है।

(B) जब $n$ समान सेल,जिनमें से प्रत्येक का e.m.f. $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है,को एक बाह्य प्रतिरोध $R$ के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो संयोजन का तुल्य e.m.f. $E$ ही रहता है।
हालाँकि,संयोजन का तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = r/n$ हो जाता है।
परिपथ में कुल धारा $I$ का सूत्र $I = \frac{E}{R + r/n}$ है।
चूंकि समानांतर संयोजन में आंतरिक प्रतिरोध कम हो जाता है,इसलिए बाह्य प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$ एक अकेले सेल की तुलना में बढ़ जाती है।

(D) एक सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ कई कारकों द्वारा निर्धारित होता है:
$1$. यह इलेक्ट्रोड के बीच की दूरी $d$ के सीधे आनुपातिक होता है।
$2$. यह इलेक्ट्रोलाइट में डूबे हुए इलेक्ट्रोड के क्षेत्रफल $A$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
$3$. यह इलेक्ट्रोलाइट की प्रकृति और सांद्रता पर निर्भर करता है।
चूंकि आंतरिक प्रतिरोध इन सभी कारकों से प्रभावित होता है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) जब $n$ समान सेल,जिनमें प्रत्येक का $e.m.f.$ $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है,श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो संयोजन का कुल $e.m.f.$ $nE$ होता है।
श्रेणीक्रम में जुड़े $n$ सेलों का कुल आंतरिक प्रतिरोध $nr$ होता है।
जब इस संयोजन के साथ एक बाहरी प्रतिरोध $R$ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो परिपथ का कुल प्रतिरोध $R + nr$ हो जाता है।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में बहने वाली धारा $i = \frac{\text{कुल } e.m.f.}{\text{कुल प्रतिरोध}}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$i = \frac{nE}{R + nr}$।

(A) $E$ विद्युत वाहक बल,$r$ आंतरिक प्रतिरोध और $R$ बाहरी प्रतिरोध वाले परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R + r}$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण प्रमेय (Maximum Power Transfer Theorem) के अनुसार,बाहरी प्रतिरोध में शक्ति तब अधिकतम होती है जब $R = r$ होता है।
भौतिकी के मानक प्रश्नों में,इस स्थिति को अक्सर धारा के संदर्भ में भी इसी शर्त के साथ जोड़ा जाता है,इसलिए सही विकल्प $R = r$ है।

(B) $n$ समान सेलों को समानांतर में जोड़ा जाता है,जहाँ प्रत्येक का विद्युत वाहक बल $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है,तब कुल विद्युत वाहक बल $E_{eq} = E$ और समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = \frac{r}{n}$ होता है।
बाहरी प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$ इस प्रकार है:
$I = \frac{E}{R + \frac{r}{n}} = \frac{nE}{nR + r}$.
धारा $I$ को अधिकतम करने के लिए,हर $(nR + r)$ न्यूनतम होना चाहिए।
यदि $R << r$ है,तो $nR$ का मान $r$ की तुलना में बहुत छोटा होता है,जिससे हर लगभग $r$ के बराबर हो जाता है,जो धारा $I \approx \frac{nE}{r}$ को अधिकतम करता है।
अतः,समानांतर संयोजन में अधिकतम धारा के लिए शर्त $R << r$ है।

(B) माना प्रत्येक सेल का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E$ है और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है। बाह्य प्रतिरोध $R = 2\,\Omega$ है।
जब श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल $EMF$ $2E$ होता है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $2r$ होता है। धारा $i_1$ इस प्रकार है:
$i_1 = \frac{2E}{R + 2r} = \frac{2E}{2 + 2r}$
जब समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल $EMF$ $E$ होता है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $r/2$ होता है। धारा $i_2$ इस प्रकार है:
$i_2 = \frac{E}{R + r/2} = \frac{E}{2 + r/2} = \frac{2E}{4 + r}$
दिया गया है कि $i_1 = i_2$,इसलिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{2E}{2 + 2r} = \frac{2E}{4 + r}$
दोनों पक्षों से $2E$ को हटाने पर:
$2 + 2r = 4 + r$
$r$ के लिए हल करने पर:
$2r - r = 4 - 2$
$r = 2\,\Omega$

(A) सेल का विद्युत वाहक बल $(E)$ $2\,V$ है।
जब सेल को शॉर्ट-सर्किट किया जाता है,तो बाहरी प्रतिरोध $(R)$ $0$ होता है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $(i)$ का सूत्र $i = \frac{E}{R + r}$ है,जहाँ $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
चूंकि $R = 0$,सूत्र $i = \frac{E}{r}$ हो जाता है।
$r$ के लिए हल करने पर,$r = \frac{E}{i}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर,$r = \frac{2\,V}{4\,A} = 0.5\,\Omega$।
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $0.5\,\Omega$ है।

(D) जब किसी सेल के भीतर विद्युत धारा ऋणात्मक इलेक्ट्रोड से धनात्मक इलेक्ट्रोड की ओर बहती है,तो सेल चार्ज हो रहा होता है।
चार्ज हो रहे सेल के लिए,इलेक्ट्रोड के बीच विभवांतर $V = E + Ir$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$E = 5\,V$,$I = 2\,A$,और $r = 0.5\,\Omega$ है।
विभवांतर $V = V_{positive} - V_{negative} = E + Ir$ है।
मान रखने पर: $V_{positive} - 10 = 5 + (2 \times 0.5)$।
$V_{positive} - 10 = 5 + 1 = 6$।
$V_{positive} = 16\,V$।

(A) माना $m$ पंक्तियों की संख्या है और $n$ प्रत्येक पंक्ति में सेलों की संख्या है।
सेलों की कुल संख्या $N = m \times n = 100$ .....$(i)$
सेलों के मिश्रित समूह के लिए, धारा तब अधिकतम होती है जब बाहरी प्रतिरोध $R$ संयोजन के समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होता है।
अधिकतम धारा के लिए शर्त $R = \frac{nr}{m}$ है, जहाँ $r$ एक सेल का आंतरिक प्रतिरोध है।
दिया गया है $R = 25\, \Omega$ और $r = 1\, \Omega$, इसलिए $25 = \frac{n \times 1}{m}$, जिसका अर्थ है $n = 25m$ .....$(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$m \times (25m) = 100$
$25m^2 = 100$
$m^2 = 4$
$m = 2$
अतः, पंक्तियों की संख्या $2$ होनी चाहिए।

(C) $E$ e.m.f. और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाली दो समान बैटरियों को समानांतर में जोड़ने पर,तुल्य e.m.f. $E_{eq} = E$ होता है।
अतः,कथन $(i)$ गलत है क्योंकि तुल्य e.m.f. किसी भी बैटरी के e.m.f. के बराबर होता है,उससे छोटा नहीं।
समानांतर क्रम में तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq}$ के लिए,$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{2}{r}$,जिसका अर्थ है $r_{eq} = \frac{r}{2}$।
चूंकि $\frac{r}{2} < r$,इसलिए कथन $(ii)$ सही है।
अतः,$(ii)$ सही है लेकिन $(i)$ गलत है।

(D) जब $n$ समान सेल,जिनमें से प्रत्येक का $e.m.f.$ $E$ है,को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो संयोजन का तुल्य $e.m.f.$ एक सेल के $e.m.f.$ के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$E_{eq} = E$ होता है।
चूंकि प्रत्येक सेल का $e.m.f.$ $6\,V$ दिया गया है,इसलिए समानांतर संयोजन का तुल्य $e.m.f.$ $6\,V$ होगा।

(C) श्रेणीक्रम में जुड़े $n$ सेलों के लिए,कुल $e.m.f.$ $nE$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $nr$ है।
दिया गया है: $E = 1.5\,V$,$r = 0.5\,\Omega$,$R = 20\,\Omega$,और $I = 0.6\,A$.
श्रेणी परिपथ में धारा का सूत्र $I = \frac{nE}{nr + R}$ है।
मान रखने पर: $0.6 = \frac{n \times 1.5}{n \times 0.5 + 20}$.
$0.6(0.5n + 20) = 1.5n$.
$0.3n + 12 = 1.5n$.
$12 = 1.2n$.
$n = \frac{12}{1.2} = 10$.
अतः,$10$ सेलों की आवश्यकता है।

(B) $EMF$ का अर्थ इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स है। अपने नाम के बावजूद,यह कोई बल नहीं है,बल्कि यह एक स्रोत (जैसे बैटरी या सेल) द्वारा सर्किट में आवेश को प्रवाहित करने के लिए प्रदान की गई ऊर्जा का माप है।
यह तब स्रोत के टर्मिनलों के पार आवेश को ले जाने में प्रति इकाई आवेश किए गए कार्य को दर्शाता है जब कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही हो।
इसलिए,$EMF$ विभवांतर (Potential difference) से सबसे निकटता से संबंधित है,क्योंकि दोनों को वोल्ट $(V)$ में मापा जाता है और ये प्रति इकाई आवेश ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करते हैं।

(B) जब $n$ समान सेल,जिनमें से प्रत्येक का विद्युत वाहक बल $E$ है,समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो संयोजन का तुल्य विद्युत वाहक बल $(E_{eq})$ एक एकल सेल के विद्युत वाहक बल के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$E_{eq} = E$ होता है।
चूंकि प्रत्येक सेल का $e.m.f.$ $12\,V$ दिया गया है,इसलिए संयोजन का परिणामी $e.m.f.$ $12\,V$ होगा।

(D) विद्युत वाहक बल $(EMF)$ को सेल के टर्मिनलों के बीच के विभवांतर के रूप में परिभाषित किया जाता है जब सर्किट से कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही होती है। यह बाहरी सर्किट में स्थिर विभवांतर बनाए रखने के लिए सेल द्वारा प्रति इकाई आवेश प्रदान की गई ऊर्जा है।

(C) स्टोरेज सेल की क्षमता $AH$ (एम्पियर-घंटा) में चार्जिंग करंट और चार्जिंग के समय के गुणनफल द्वारा प्राप्त की जाती है।
दिया गया है:
चार्जिंग करंट $(I)$ = $5\, A$
समय $(t)$ = $18\, \text{घंटे}$
क्षमता = $I \times t = 5\, A \times 18\, h = 90\, AH$.
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) जब एक बैटरी चार्ज हो रही होती है,तो टर्मिनल वोल्टेज $V$ का सूत्र $V = E + Ir$ होता है,जहाँ $E$ $e.m.f.$ है,$I$ चार्जिंग धारा है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
दिया गया है:
$E = 12\,V$
$I = 60\,A$
$r = 5 \times 10^{-2}\,\Omega = 0.05\,\Omega$
मान रखने पर:
$V = 12 + (60 \times 0.05)$
$V = 12 + 3$
$V = 15\,V$.

(C) विद्युत सेल ($EMF$ $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$) के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े बाहरी प्रतिरोध $R$ वाले परिपथ में धारा $i = \frac{E}{R + r}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
स्थिति $1$: जब $R_1 = 11 \, \Omega$,तब $i_1 = 0.5 \, A$.
$0.5 = \frac{E}{11 + r} \Rightarrow E = 0.5(11 + r) = 5.5 + 0.5r$ ... $(i)$
स्थिति $2$: जब $R_2 = 5 \, \Omega$,तब धारा $0.4 \, A$ बढ़ जाती है,इसलिए $i_2 = 0.5 + 0.4 = 0.9 \, A$.
$0.9 = \frac{E}{5 + r} \Rightarrow E = 0.9(5 + r) = 4.5 + 0.9r$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$5.5 + 0.5r = 4.5 + 0.9r$
$5.5 - 4.5 = 0.9r - 0.5r$
$1.0 = 0.4r$
$r = \frac{1.0}{0.4} = 2.5 \, \Omega$.
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2.5 \, \Omega$ है।

(C) एक सेल का आंतरिक प्रतिरोध,सेल के माध्यम से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा के मार्ग में इलेक्ट्रोलाइट और इलेक्ट्रोड द्वारा उत्पन्न बाधा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
हालाँकि,आंतरिक प्रतिरोध में मुख्य योगदान दोनों इलेक्ट्रोड के बीच मौजूद इलेक्ट्रोलाइट का होता है।
इसलिए,सही विकल्प $(c)$ है।

(A) दी गई समस्या कोशिकाओं के मिश्रित संयोजन का एक उदाहरण है।
मान लीजिए कि प्रत्येक पंक्ति में कोशिकाओं की संख्या $n$ है और पंक्तियों की संख्या $m$ है।
दिया गया है: $n = 5000$,$m = 100$,$E = 0.15\, V$,$r = 0.25\,\Omega$,और बाह्य प्रतिरोध $R = 500\,\Omega$ है।
इस व्यवस्था का कुल emf $E_{eq} = nE = 5000 \times 0.15 = 750\, V$ है।
इस व्यवस्था का कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = \frac{nr}{m} = \frac{5000 \times 0.25}{100} = 50 \times 0.25 = 12.5\,\Omega$ है।
परिपथ में कुल विद्युत धारा $i$ का सूत्र $i = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}}$ है।
मान रखने पर: $i = \frac{750}{500 + 12.5} = \frac{750}{512.5} \approx 1.463\, A$ है।
निकटतम विकल्प के अनुसार,विद्युत धारा लगभग $1.5\, A$ है।

(A) श्रेणी में $n$ सेल और समानांतर में ऐसी $m$ पंक्तियों के सामान्य संयोजन के लिए,कुल विद्युत वाहक बल $(emf)$ $nE$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $\frac{nr}{m}$ है।
बाहरी प्रतिरोध $R$ में धारा $i$ इस प्रकार दी जाती है:
$i = \frac{nE}{R + \frac{nr}{m}} = \frac{mnE}{mR + nr}$
धारा $i$ को अधिकतम करने के लिए,हर $(mR + nr)$ न्यूनतम होना चाहिए। हम हर को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$mR + nr = (\sqrt{mR} - \sqrt{nr})^2 + 2\sqrt{mnRr}$
हर तब न्यूनतम होता है जब $(\sqrt{mR} - \sqrt{nr})^2 = 0$,जिसका अर्थ है:
$\sqrt{mR} = \sqrt{nr}$
$mR = nr$
$R = \frac{nr}{m}$
चूंकि $\frac{nr}{m}$ बैटरी का कुल आंतरिक प्रतिरोध है,इसलिए धारा तब अधिकतम होती है जब बाहरी प्रतिरोध बैटरी के कुल आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होता है।

(C) जब $E_1, E_2$ emf और $r_1, r_2$ आंतरिक प्रतिरोध वाले दो सेल समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य emf $E_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E_{eq} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$
दिया गया है:
$E_1 = 18 \, V, r_1 = 2 \, \Omega$
$E_2 = 12 \, V, r_2 = 1 \, \Omega$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E_{eq} = \frac{(18 \times 1) + (12 \times 2)}{2 + 1}$
$E_{eq} = \frac{18 + 24}{3}$
$E_{eq} = \frac{42}{3} = 14 \, V$
चूंकि वोल्टमीटर समानांतर संयोजन के सिरों पर जुड़ा है,इसलिए यह परिपथ के तुल्य emf को मापेगा।
अतः,वोल्टमीटर का पाठ्यांक $14 \, V$ है।

(D) विद्युत वाहक बल $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले ऊर्जा स्रोत द्वारा लोड प्रतिरोध $R$ में प्रवाहित धारा $I$ का सूत्र है: $I = \frac{E}{R + r}$.
लोड प्रतिरोध $R$ में परिवर्तन के बावजूद धारा $I$ को स्थिर रखने के लिए,आंतरिक प्रतिरोध $r$ शून्य होना चाहिए।
यदि $r = 0$ है,तो $I = \frac{E}{R}$। इस प्रश्न के दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $D$ है।

(D) सेलों के मिश्रित संयोजन में,जिसमें $n$ पंक्तियाँ हैं और प्रत्येक पंक्ति में $m$ सेल श्रेणी में हैं,धारा $I = \frac{mnE}{mR + nr}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ प्रत्येक सेल का $EMF$ है,$r$ आंतरिक प्रतिरोध है और $R$ बाह्य प्रतिरोध है।
अधिकतम धारा के लिए,हर $(mR + nr)$ न्यूनतम होना चाहिए।
$AM$-$GM$ असमानता के अनुसार,$mR + nr \geq 2\sqrt{mR \cdot nr}$। न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $mR = nr$,या $R = \frac{nr}{m}$ हो।
इस प्रकार,अधिकतम धारा के लिए शर्त बाह्य प्रतिरोध $R$ और संयोजन के कुल आंतरिक प्रतिरोध $\frac{nr}{m}$ के बीच के संबंध पर निर्भर करती है।
इसलिए,सही समूहन बाह्य और आंतरिक प्रतिरोध के सापेक्ष मानों पर निर्भर करता है।

(C) सेलों की कुल संख्या $m \times n = 24$ द्वारा दी गई है ... $(i)$.
सेलों के मिश्रित संयोजन में अधिकतम धारा के लिए,बाहरी प्रतिरोध $R$ संयोजन के समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होना चाहिए।
समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{mr}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $R = 3 \,\Omega$ और $r = 0.5 \,\Omega$,इसलिए $3 = \frac{m \times 0.5}{n}$।
इसे सरल करने पर $3 = \frac{m}{2n}$,जिससे $m = 6n$ प्राप्त होता है ... $(ii)$।
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(6n) \times n = 24$।
$6n^2 = 24 \implies n^2 = 4 \implies n = 2$।
$n = 2$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर,हमें $m = 6 \times 2 = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = 12$ और $n = 2$।

(B) श्रेणी संयोजन का कुल $e.m.f.$ $E_{eq} = E + E = 2E$ है।
कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = r_1 + r_2$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r_1 + r_2$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $i = \frac{2E}{R + r_1 + r_2}$ द्वारा दी जाती है।
पहले सेल (जिसका आंतरिक प्रतिरोध $r_1$ है) के सिरों के बीच विभवांतर $V_1 = E - i r_1$ है।
दिया गया है कि $V_1 = 0$,इसलिए $E - i r_1 = 0$,जिसका अर्थ है $E = i r_1$।
इस समीकरण में $i$ का मान रखने पर:
$E = \left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1$
$1 = \frac{2r_1}{R + r_1 + r_2}$
$R + r_1 + r_2 = 2r_1$
$R = 2r_1 - r_1 - r_2$
$R = r_1 - r_2$.

(D) सेल श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं। परिपथ का कुल $emf$ व्यक्तिगत $emf$ का योग है: $E_{total} = E_1 + E_2 + E_3 + ... + E_N$.
यह दिया गया है कि $E_N = 1.5\, r_N$,इसलिए हम लिख सकते हैं $E_{total} = 1.5\, r_1 + 1.5\, r_2 + ... + 1.5\, r_N = 1.5(r_1 + r_2 + ... + r_N)$.
परिपथ का कुल आंतरिक प्रतिरोध $R_{total} = r_1 + r_2 + r_3 + ... + r_N$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में धारा $I = \frac{E_{total}}{R_{total}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$I = \frac{1.5(r_1 + r_2 + ... + r_N)}{(r_1 + r_2 + ... + r_N)} = 1.5\, A$.

(B) मान लीजिए $n$ गलत तरीके से जुड़े सेलों की संख्या है।
सहायता करने वाले सेलों की संख्या = $(12 - n)$।
विरोध करने वाले सेलों की संख्या = $n$।
$12$ सेलों का परिणामी $emf$ = $(12 - n)E - nE = (12 - 2n)E$।
$12$ सेलों का कुल प्रतिरोध = $12r$।
जब दो अतिरिक्त सेल बैटरी की सहायता करते हैं,तो कुल $emf$ $(12 - 2n)E + 2E = (14 - 2n)E$ होता है और कुल प्रतिरोध $14r$ होता है।
दी गई धारा $I_1 = 3 \, A$ है,इसलिए $\frac{(14 - 2n)E}{14r} = 3$ --- $(i)$।
जब दो अतिरिक्त सेल बैटरी का विरोध करते हैं,तो कुल $emf$ $(12 - 2n)E - 2E = (10 - 2n)E$ होता है और कुल प्रतिरोध $14r$ होता है।
दी गई धारा $I_2 = 2 \, A$ है,इसलिए $\frac{(10 - 2n)E}{14r} = 2$ --- $(ii)$।
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{14 - 2n}{10 - 2n} = \frac{3}{2}$
$28 - 4n = 30 - 6n$
$2n = 2 \implies n = 1$।
अतः,गलत तरीके से जुड़े सेलों की संख्या $1$ है।

(D) जब '$n$' समान सेल,जिनमें से प्रत्येक का विद्युत वाहक बल '$E$' और आंतरिक प्रतिरोध '$r$' है,श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो बैटरी का कुल विद्युत वाहक बल '$nE$' और कुल आंतरिक प्रतिरोध '$nr$' होता है।
जब बैटरी के टर्मिनलों को शॉर्ट-सर्किट किया जाता है,तो बाहरी प्रतिरोध शून्य होता है।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में प्रवाहित धारा '$i$' इस प्रकार है:
$i = \frac{\text{Total EMF}}{\text{Total Resistance}} = \frac{nE}{nr} = \frac{E}{r}$
चूंकि '$E$' और '$r$' स्थिर हैं,इसलिए धारा '$i$' सेलों की संख्या '$n$' पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,'$i$' और '$n$' के बीच संबंध को दर्शाने वाला ग्राफ '$n$-अक्ष' के समानांतर एक क्षैतिज सीधी रेखा है।
यह ग्राफ $D$ के अनुरूप है।

(B) $E = 2\,V$ और आंतरिक प्रतिरोध $r = 1.0\,\Omega$ वाली दो समान बैटरी के लिए, हम उन्हें श्रेणी या समांतर क्रम में जोड़ सकते हैं।
स्थिति $1$: श्रेणी क्रम संयोजन।
कुल $e.m.f.$ $E_{eq} = 2E = 4\,V$.
कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = 2r = 2.0\,\Omega$.
धारा $I = E_{eq} / (R + r_{eq}) = 4 / (0.5 + 2.0) = 4 / 2.5 = 1.6\,A$.
शक्ति $P = I^2 R = (1.6)^2 \times 0.5 = 2.56 \times 0.5 = 1.28\,W$.
स्थिति $2$: समांतर क्रम संयोजन।
कुल $e.m.f.$ $E_{eq} = E = 2\,V$.
कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = r/2 = 0.5\,\Omega$.
धारा $I = E_{eq} / (R + r_{eq}) = 2 / (0.5 + 0.5) = 2 / 1.0 = 2.0\,A$.
शक्ति $P = I^2 R = (2.0)^2 \times 0.5 = 4.0 \times 0.5 = 2.0\,W$.
दोनों स्थितियों की तुलना करने पर, अधिकतम शक्ति $2.0\,W$ है।

(A) एक आदर्श सेल को विद्युत वाहक बल $(EMF)$ के ऐसे स्रोत के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका आंतरिक प्रतिरोध शून्य होता है।
वास्तविक सेल में,जब इससे विद्युत धारा प्रवाहित होती है,तो आंतरिक प्रतिरोध के कारण विभव पतन (potential drop) होता है।
एक आदर्श सेल के लिए,आंतरिक प्रतिरोध $r$ का मान $0 \ \Omega$ होता है,जिसका अर्थ है कि सेल के भीतर ऊर्जा का कोई ह्रास नहीं होता है।

(D) रासायनिक ऊर्जा के उपभोग की दर परिपथ में व्यय होने वाली कुल शक्ति के बराबर होती है,जिसमें बाहरी प्रतिरोध और सेल का आंतरिक प्रतिरोध दोनों शामिल होते हैं।
कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{external} + r_{internal} = 21\,\Omega + 4\,\Omega = 25\,\Omega$.
धारा $I = 0.2\,A$.
ऊर्जा उपभोग की दर (शक्ति) $P = I^2 \times R_{total}$ द्वारा दी जाती है।
$P = (0.2)^2 \times 25 = 0.04 \times 25 = 1\,J/s$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) बैटरी चार्जिंग में विद्युत ऊर्जा का रासायनिक ऊर्जा में रूपांतरण शामिल है।
जब एक मोटर कार की लेड-एसिड बैटरी (द्वितीयक सेल) के माध्यम से बाहरी विद्युत धारा प्रवाहित की जाती है,तो यह डिस्चार्जिंग के दौरान होने वाली रासायनिक प्रतिक्रिया को उलट देती है।
यह प्रक्रिया विद्युत धारा के रासायनिक प्रभाव पर आधारित है,जहाँ आयन इलेक्ट्रोड पर जाकर ऑक्सीकरण और अपचयन प्रतिक्रियाएं करते हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) सही उत्तर $A$ है। लुइगी गैलवानी वह वैज्ञानिक थे जिन्होंने यह देखा था कि रासायनिक प्रक्रियाओं द्वारा विद्युत प्रभाव उत्पन्न किए जा सकते हैं, विशेष रूप से मेंढक के पैरों पर किए गए उनके प्रयोगों में। इस अवलोकन ने इस समझ की नींव रखी कि रासायनिक परिवर्तन बिजली उत्पन्न कर सकते हैं, जिससे अंततः एलेसेंड्रो वोल्टा द्वारा वोल्टाइक पाइल का आविष्कार हुआ।

(B) $EMF$ $\varepsilon$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले सेल का टर्मिनल विभवांतर $V$,जब सेल डिस्चार्ज हो रहा हो (धारा $I$ धनात्मक टर्मिनल से बाहर निकल रही हो),तब $V = \varepsilon - Ir$ द्वारा दिया जाता है।
जब सेल चार्ज हो रहा हो (धारा $I$ धनात्मक टर्मिनल में प्रवेश कर रही हो),तब टर्मिनल विभवांतर $V = \varepsilon + Ir$ द्वारा दिया जाता है।
विकल्प $a$ में,धारा $I$ धनात्मक टर्मिनल से बाहर निकल रही है,इसलिए $V = \varepsilon - Ir < \varepsilon$।
विकल्प $b$ में,धारा $I$ धनात्मक टर्मिनल में प्रवेश कर रही है,इसलिए $V = \varepsilon + Ir > \varepsilon$।
विकल्प $c$ में,कोई धारा नहीं है,इसलिए $V = \varepsilon$।
विकल्प $d$ में,धारा $I$ धनात्मक टर्मिनल से बाहर निकल रही है,इसलिए $V = \varepsilon - Ir < \varepsilon$।
अतः,स्थिति $b$ में विभवांतर उसके $EMF$ से अधिक है।

(C) $e.m.f.$ का अर्थ इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स (electromotive force) है। अपने नाम के बावजूद,यह कोई बल नहीं है। इसे सेल के अंदर एक इकाई धनात्मक आवेश को निम्न विभव टर्मिनल से उच्च विभव टर्मिनल तक ले जाने के लिए गैर-इलेक्ट्रोस्टैटिक स्रोत द्वारा किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है। इसलिए,$e.m.f.$ प्रति इकाई आवेश किए गए कार्य के बराबर है,जिसे वोल्ट $(J/C)$ में मापा जाता है। अतः,यह कार्य को दर्शाता है।

(A) $E_1, E_2$ $e.m.f.$ और $r_1, r_2$ आंतरिक प्रतिरोध वाली दो बैटरियों को समानांतर में जोड़ने पर,समतुल्य $e.m.f.$ $E_{eq}$ का सूत्र $E_{eq} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$ होता है।
यह मान $E_{eq}$ हमेशा $E_1$ और $E_2$ के बीच होता है,जिसका अर्थ है कि यह बड़े $e.m.f.$ से कम और छोटे $e.m.f.$ से अधिक होता है। अतः,कथन $(i)$ सही है।
समानांतर संयोजन के लिए समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}$ है,जिसका अर्थ है $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$।
चूंकि $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$ है,इसलिए यह गणितीय रूप से निश्चित है कि $r_{eq} < r_1$ और $r_{eq} < r_2$। अतः,कथन $(ii)$ भी सही है।

(B) मान लीजिए कि $8$ सेल एक बंद लूप में श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
परिपथ का कुल विद्युत वाहक बल $E_{total} = 8E$ है।
परिपथ का कुल आंतरिक प्रतिरोध $R_{total} = 8r$ है।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में बहने वाली धारा $i = \frac{E_{total}}{R_{total}} = \frac{8E}{8r} = \frac{E}{r}$ है।
$2$ सेलों के सिरों पर जुड़ा एक आदर्श वोल्टमीटर उनके बीच विभवांतर $V$ मापता है।
श्रेणीक्रम में जुड़े $2$ सेलों के सिरों पर विभवांतर $V = 2E - 2(ir)$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण में $i = \frac{E}{r}$ का मान रखने पर:
$V = 2E - 2(\frac{E}{r} \cdot r) = 2E - 2E = 0$.
अतः,वोल्टमीटर $0$ का पाठ्यांक दर्शाएगा।

(D) श्रेणी संयोजन का कुल $emf$ $E_{net} = E + E = 2E$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + R_1 + R_2$ है।
परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{2E}{R + R_1 + R_2}$ है।
$R_2$ आंतरिक प्रतिरोध वाले स्रोत के सिरों के बीच विभवांतर $V = E - IR_2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि इस स्रोत के सिरों के बीच विभवांतर शून्य है,इसलिए $E - IR_2 = 0$,जिसका अर्थ है $E = IR_2$।
इस समीकरण में $I$ का मान रखने पर:
$E = \left( \frac{2E}{R + R_1 + R_2} \right) R_2$।
दोनों पक्षों को $E$ से विभाजित करने पर ($E \neq 0$ मानते हुए):
$1 = \frac{2R_2}{R + R_1 + R_2}$।
$R + R_1 + R_2 = 2R_2$।
$R = 2R_2 - R_2 - R_1$।
$R = R_2 - R_1$।

(B) दोनों सेल श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं। परिपथ का कुल $emf$ $E + E = 2E$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R + R_1 + R_2$ है।
परिपथ में बहने वाली धारा $i$ का मान $i = \frac{2E}{R + R_1 + R_2}$ है।
$R_2$ आंतरिक प्रतिरोध वाले सेल के सिरों पर विभवांतर $V$ का मान $V = E - i R_2$ होता है।
दिया गया है कि $V = 0$,इसलिए $0 = E - i R_2$,जिसका अर्थ है कि $E = i R_2$ है।
इस समीकरण में $i$ का मान रखने पर:
$E = \left( \frac{2E}{R + R_1 + R_2} \right) R_2$
$1 = \frac{2 R_2}{R + R_1 + R_2}$
$R + R_1 + R_2 = 2 R_2$
$R = R_2 - R_1$.

(B) $N$ समान सेलों के श्रेणीक्रम में जुड़ने पर,कुल $EMF$ $NE$ और कुल आंतरिक प्रतिरोध $Nr$ होता है। धारा $I_s = \frac{NE}{Nr + R}$ द्वारा दी जाती है।
$N$ समान सेलों के समांतर क्रम में जुड़ने पर,कुल $EMF$ $E$ और कुल आंतरिक प्रतिरोध $r/N$ होता है। धारा $I_p = \frac{E}{r/N + R} = \frac{NE}{r + NR}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $I_s = I_p$,इसलिए $\frac{NE}{Nr + R} = \frac{NE}{r + NR}$.
इसका अर्थ है $Nr + R = r + NR$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $Nr - r = NR - R$.
$r(N - 1) = R(N - 1)$.
चूंकि $N \neq 1$,हमें $r = R$ प्राप्त होता है।