Current Density, Drift Velocity and Mobility Questions in Hindi

(N/A) बाह्य विद्युत क्षेत्र $E$ की उपस्थिति में इलेक्ट्रॉन का अनुगमन वेग $v_d$ इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $v_d = -\frac{eE}{m} \tau$,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $\tau$ विश्रांति काल है।
परिमाण लेने पर,हमें प्राप्त होता है $|v_d| = \frac{eE}{m} \tau$.
गतिशीलता $\mu$ को प्रति इकाई विद्युत क्षेत्र अनुगमन वेग के परिमाण के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\mu = \frac{|v_d|}{E}$.
$|v_d|$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu = \frac{eE\tau}{mE} = \frac{e\tau}{m}$.
गतिशीलता का $SI$ मात्रक $\frac{m/s}{V/m} = m^2 V^{-1} s^{-1}$ है।

(A) जब $n$ इलेक्ट्रॉन $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले चालक में $v_{d}$ अपवाह वेग (drift velocity) से गति करते हैं,तो विद्युत धारा $I$ इस प्रकार दी जाती है:
$I = n A v_{d} e$
परिभाषा के अनुसार,गतिशीलता $\mu$,अपवाह वेग और आरोपित विद्युत क्षेत्र $E$ का अनुपात है:
$\mu = \frac{v_{d}}{E}$
अतः,अपवाह वेग को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$v_{d} = \mu E$
इस मान को धारा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = n A (\mu E) e$
गतिशीलता $\mu$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\mu = \frac{I}{n A E e}$
गतिशीलता का $SI$ मात्रक इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
$\mu = \frac{A}{m^{-3} \times m^{2} \times (V/m) \times C} = \frac{A}{V \cdot C} = m^{2} V^{-1} s^{-1}$

(A) बाह्य विद्युत क्षेत्र की अनुपस्थिति में,चालक में मुक्त इलेक्ट्रॉन तापीय ऊर्जा के कारण सभी संभव दिशाओं में यादृच्छिक (random) गति करते हैं।
चूंकि गति पूरी तरह से यादृच्छिक है,इसलिए $\vec{v}$ वेग से गति करने वाले प्रत्येक इलेक्ट्रॉन के लिए,औसतन एक और इलेक्ट्रॉन $-\vec{v}$ वेग के साथ गति कर रहा होता है।
परिणामस्वरूप,चालक में सभी $N$ इलेक्ट्रॉनों के वेग का सदिश योग शून्य होता है।
इसलिए,औसत वेग $\vec{v}_{avg} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \vec{v}_i = 0$ होता है।

(N/A) $1$. विश्रांति काल $(\tau )$: किसी चालक में एक इलेक्ट्रॉन की दो क्रमिक टक्करों के बीच के औसत समय अंतराल को विश्रांति काल कहा जाता है। यह आमतौर पर $10^{-14} \ s$ की कोटि का होता है।
$2$. अनुगमन वेग $(v_d)$: किसी चालक में बाह्य विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में मुक्त इलेक्ट्रॉनों द्वारा प्राप्त औसत वेग को,जो विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में होता है,अनुगमन वेग कहते हैं। इसका सूत्र $v_d = -\frac{eE\tau}{m}$ है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$E$ विद्युत क्षेत्र है,$\tau$ विश्रांति काल है,और $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।

(N/A) गतिशीलता $(\mu)$ को प्रति इकाई विद्युत क्षेत्र $(E)$ में अपवाह वेग $(v_d)$ के परिमाण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, $\mu = \frac{v_d}{E}$।
अपवाह वेग का $SI$ मात्रक $m/s$ है और विद्युत क्षेत्र का $SI$ मात्रक $V/m$ या $N/C$ है।
अतः, गतिशीलता का $SI$ मात्रक $\frac{m/s}{V/m} = m^2 V^{-1} s^{-1}$ या $m^2 / (V \cdot s)$ है।

(N/A) जंक्शन से गुजरते समय आवेश की गति में संवेग का संरक्षण सामान्यतः नहीं होता है।
जब कोई आवेश वाहक (जैसे इलेक्ट्रॉन) किसी चालक से गुजरता है,तो वह जालक आयनों (lattice ions) के साथ टक्कर का अनुभव करता है,जो आवेश पर बाहरी बल लगाते हैं।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,किसी निकाय के संवेग में परिवर्तन की दर उस पर कार्य करने वाले कुल बाहरी बल के बराबर होती है।
चूंकि जालक आयन स्थिर अपवाह वेग (drift velocity) $v_{d} = \frac{eE\tau}{m}$ को बनाए रखने के लिए आवेश वाहक पर बल लगाते हैं,इसलिए आवेश वाहक का संवेग संरक्षित नहीं रहता है क्योंकि जालक से लगने वाला बाहरी बल शून्य नहीं होता है।
इसके अतिरिक्त,जंक्शन पर आवेश का पुनर्वितरण अतिरिक्त स्थानीय विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है जो आवेश वाहकों के संवेग को और अधिक परिवर्तित कर देता है।

(N/A) विश्रांति काल $\tau$ को एक इलेक्ट्रॉन और जाली आयनों (lattice ions) के बीच दो क्रमिक टक्करों के बीच के औसत समय अंतराल के रूप में परिभाषित किया गया है।
$1$. $E$ क्षेत्र पर निर्भरता: जब एक बाहरी विद्युत क्षेत्र $E$ लगाया जाता है,तो इलेक्ट्रॉनों द्वारा प्राप्त अपवाह वेग (drift velocity) $v_d$,उनके यादृच्छिक तापीय वेग ($10^5 \ m/s$ के क्रम में) की तुलना में बहुत छोटा ($10^{-3} \ m/s$ के क्रम में) होता है। चूंकि टक्कर की आवृत्ति मुख्य रूप से यादृच्छिक तापीय गति द्वारा निर्धारित होती है,इसलिए विश्रांति काल $\tau$ आरोपित $E$ क्षेत्र से लगभग स्वतंत्र रहता है। $\tau$ की यह स्थिरता यह सुनिश्चित करती है कि धारा घनत्व $J$,$E$ के सीधे आनुपातिक है $(J = \sigma E)$,जो ओम के नियम का सूक्ष्म रूप है।
$2$. $T$ पर निर्भरता: जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,इलेक्ट्रॉनों का यादृच्छिक तापीय वेग काफी बढ़ जाता है। इससे इलेक्ट्रॉनों और जाली आयनों के बीच अधिक बार टक्कर होती है,जिससे विश्रांति काल $\tau$ कम हो जाता है। समीकरण $\rho = \frac{m}{n e^2 \tau}$ के अनुसार,चूंकि तापमान बढ़ने के साथ $\tau$ घटता है,इसलिए चालक की प्रतिरोधकता $\rho$ बढ़ जाती है।

(B) धातुओं में,बाहरी कोश के इलेक्ट्रॉन नाभिक से ढीले ढंग से बंधे होते हैं। इन इलेक्ट्रॉनों को मुक्त इलेक्ट्रॉन या संयोजी इलेक्ट्रॉन कहा जाता है। कमरे के तापमान पर तापीय ऊर्जा के कारण,ये इलेक्ट्रॉन अपने मूल परमाणुओं से अलग हो जाते हैं और क्रिस्टल जालक में यादृच्छिक रूप से गति करते हैं। जब एक बाहरी विद्युत क्षेत्र लगाया जाता है,तो ये मुक्त इलेक्ट्रॉन एक विशिष्ट दिशा में अपवाह (drift) करते हैं,जिससे विद्युत धारा उत्पन्न होती है। इसलिए,मुक्त इलेक्ट्रॉन ही धातुओं की चालकता के लिए जिम्मेदार आवेश वाहक होते हैं।

(N/A) परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{6}{6} = 1 \, A$.
इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व $n = 10^{29} \, m^{-3}$.
तार की लंबाई $l = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = (1 \, mm)^2 = 10^{-6} \, m^2$.
तार का आयतन $V_{vol} = A \times l = 10^{-6} \times 0.1 = 10^{-7} \, m^3$.
इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $N = n \times V_{vol} = 10^{29} \times 10^{-7} = 10^{22}$.
अपवाह वेग $v_d = \frac{I}{nAe} = \frac{1}{10^{29} \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}} = \frac{1}{1.6 \times 10^4} = 0.625 \times 10^{-4} \, m/s = 6.25 \times 10^{-5} \, m/s$.
कुल गतिज ऊर्जा $K.E. = N \times \frac{1}{2} m_e v_d^2 = 10^{22} \times 0.5 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (6.25 \times 10^{-5})^2$.
$K.E. = 4.55 \times 10^{-9} \times 39.06 \times 10^{-10} \approx 1.78 \times 10^{-17} \, J$.
$(b)$ व्ययित शक्ति $P = I^2 R = (1)^2 \times 6 = 6 \, W$.
चूँकि $P = \frac{E}{t}$,समय पैमाना $t = \frac{E}{P} = \frac{1.78 \times 10^{-17}}{6} \approx 2.97 \times 10^{-18} \, s \approx 3 \times 10^{-18} \, s$.

(C) एक आवेशित कण की गतिशीलता $\mu$ को उसके अपवाह वेग $v_d$ और आरोपित विद्युत क्षेत्र $E$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $\mu = \frac{v_d}{E}$
दिया गया है:
$v_d = 7.5 \times 10^{-4} \, m s^{-1}$
$E = 3 \times 10^{-10} \, V m^{-1}$
गणना:
$\mu = \frac{7.5 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-10}}$
$\mu = 2.5 \times 10^{-4 - (-10)}$
$\mu = 2.5 \times 10^{6} \, m^{2} V^{-1} s^{-1}$

(C) अनुगमन वेग $v_{d}$ की गणना करने के लिए सूत्र $i = neAv_{d}$ है,जहाँ $n$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है।
सबसे पहले,संख्या घनत्व $n$ की गणना करें:
$n = \frac{\text{घनत्व} \times N_{A}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{2.7 \times 10^{3} \, kg/m^{3} \times 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}}{27 \times 10^{-3} \, kg/mol} \approx 6.022 \times 10^{28} \, m^{-3}$.
सरलता के लिए $n \approx 6 \times 10^{28} \, m^{-3}$ लें।
अब,$v_{d}$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें:
$v_{d} = \frac{i}{neA}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:
$i = 10 \, A$,$n = 6 \times 10^{28} \, m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$A = 4 \times 10^{-6} \, m^{2}$.
$v_{d} = \frac{10}{(6 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (4 \times 10^{-6})}$
$v_{d} = \frac{10}{38.4 \times 10^{3}} = \frac{10}{38400} \approx 2.6 \times 10^{-4} \, m/s$.

(B) अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल अवयव $dA$ से गुजरने वाली धारा $i$ को $di = J(r) dA$ द्वारा दिया जाता है।
बेलनाकार तार के लिए,$dr$ मोटाई और $r$ त्रिज्यीय दूरी पर क्षेत्रफल अवयव $dA = 2 \pi r dr$ है।
दिए गए धारा घनत्व $J(r) = J_{0}(1 - \frac{r}{R})$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$di = J_{0}(1 - \frac{r}{R}) (2 \pi r dr) = 2 \pi J_{0} (r - \frac{r^{2}}{R}) dr$.
$r = 0$ से $r = \frac{R}{4}$ तक कुल धारा $i$ ज्ञात करने के लिए,हम समाकलन करते हैं:
$i = \int_{0}^{R/4} 2 \pi J_{0} (r - \frac{r^{2}}{R}) dr = 2 \pi J_{0} [\frac{r^{2}}{2} - \frac{r^{3}}{3R}]_{0}^{R/4}$.
सीमाओं को रखने पर:
$i = 2 \pi J_{0} [\frac{(R/4)^{2}}{2} - \frac{(R/4)^{3}}{3R}] = 2 \pi J_{0} [\frac{R^{2}}{32} - \frac{R^{3}}{192R}] = 2 \pi J_{0} [\frac{R^{2}}{32} - \frac{R^{2}}{192}]$.
समान हर (denominator) खोजने पर:
$i = 2 \pi J_{0} [\frac{6R^{2} - R^{2}}{192}] = 2 \pi J_{0} [\frac{5R^{2}}{192}] = \frac{5 J_{0} \pi R^{2}}{96}$.

(B) दिया गया है: धारा $i = 10\, A$,क्षेत्रफल $A = 5\, mm^{2} = 5 \times 10^{-6}\, m^{2}$,अपवाह वेग $v_{d} = 2 \times 10^{-3}\, m/s$,और इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19}\, C$.
हम जानते हैं कि धारा और अपवाह वेग के बीच संबंध $i = neAv_{d}$ है।
इलेक्ट्रॉन घनत्व $n$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$n = \frac{i}{eAv_{d}}$.
मान रखने पर: $n = \frac{10}{1.6 \times 10^{-19} \times 5 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}}$.
$n = \frac{10}{16 \times 10^{-28}} = 0.625 \times 10^{28} = 625 \times 10^{25}\, m^{-3}$.

(A) दिया गया है:
चालकता $\sigma = 5 \times 10^{7} \, S/m$
त्रिज्या $r = 0.5 \, mm = 5 \times 10^{-4} \, m$
विद्युत क्षेत्र $E = 10 \, mV/m = 10 \times 10^{-3} \, V/m = 10^{-2} \, V/m$
ओम के नियम के सूक्ष्म रूप का उपयोग करते हुए,धारा घनत्व $J = \sigma E$:
$J = (5 \times 10^{7}) \times (10^{-2}) = 5 \times 10^{5} \, A/m^{2}$
धारा $i = J \times A = J \times (\pi r^{2})$:
$i = (5 \times 10^{5}) \times \pi \times (5 \times 10^{-4})^{2}$
$i = 5 \times 10^{5} \times \pi \times 25 \times 10^{-8}$
$i = 125 \times 10^{-3} \, \pi \, A$
$i = 125 \, \pi \, mA$
यह दिया गया है कि $i = x^{3} \, \pi \, mA$,इसलिए:
$x^{3} = 125$
$x = \sqrt[3]{125} = 5$

(B) धारा $I$,धारा घनत्व $\vec{J}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के अदिश गुणनफल द्वारा दी जाती है: $I = \vec{J} \cdot \vec{A} = J A \cos(\theta)$.
यहाँ $I = 5\; A$,$A = 0.04\; m^2$ और $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $5 = J \times 0.04 \times \cos(60^{\circ})$.
चूँकि $\cos(60^{\circ}) = 0.5$,इसलिए $5 = J \times 0.04 \times 0.5 = J \times 0.02$.
अतः,$J = \frac{5}{0.02} = 250\; A/m^2$.
ओम के नियम के सदिश रूप का उपयोग करते हुए,$\vec{E} = \rho \vec{J}$,परिमाण $E = \rho J$ होगा।
$E = (44 \times 10^{-8}) \times 250 = 11000 \times 10^{-8} = 11 \times 10^{-5}\; V/m$.

(B) श्रेणी परिपथ में,चालक से प्रवाहित होने वाली धारा $i$ प्रत्येक अनुप्रस्थ काट पर स्थिर रहती है।
चूंकि $i = n e A v_{d}$,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ आवेश है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $v_{d}$ अनुगमन वेग है,इसलिए हमारे पास $v_{d} = \frac{i}{n e A}$ है।
जैसे-जैसे हम $P$ से $Q$ की ओर बढ़ते हैं,त्रिज्या $r$ घटती है,इसलिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^{2}$ घटता है। चूंकि $i$ स्थिर है,इसलिए अनुगमन वेग $v_{d}$ बढ़ना चाहिए।
संबंध $v_{d} = \frac{e E \tau}{m}$ से,जहाँ $E$ विद्युत क्षेत्र है,$\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है,और $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,हम देखते हैं कि $v_{d} \propto E$ है। इसलिए,जैसे-जैसे $v_{d}$ बढ़ता है,विद्युत क्षेत्र $E$ भी बढ़ता है।
चूंकि चालक में धारा $i$ स्थिर रहती है,इसलिए इलेक्ट्रॉन धारा नहीं बदलती है।
इस प्रकार,$P$ से $Q$ की ओर जाने पर,इलेक्ट्रॉनों का अनुगमन वेग बढ़ता है और विद्युत क्षेत्र बढ़ता है।

(C) दिया गया है: लंबाई $L = 10 \, m$,त्रिज्या $r = \frac{10^{-2}}{\sqrt{\pi}} \, m$,प्रतिरोध $R = 10 \, \Omega$,विद्युत क्षेत्र $E = 10 \, V/m$।
सबसे पहले,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ ज्ञात करें:
$A = \pi r^{2} = \pi \left( \frac{10^{-2}}{\sqrt{\pi}} \right)^{2} = \pi \cdot \frac{10^{-4}}{\pi} = 10^{-4} \, m^{2}$।
हम जानते हैं कि धारा घनत्व $J = \sigma E$,जहाँ $\sigma$ चालकता है।
चूंकि $\sigma = \frac{1}{\rho}$ और $R = \rho \frac{L}{A}$,इसलिए $\rho = \frac{RA}{L}$।
अतः,$\sigma = \frac{L}{RA}$।
इस मान को $J$ के समीकरण में रखने पर:
$J = \left( \frac{L}{RA} \right) E = \frac{E \cdot L}{R \cdot A}$।
मान रखने पर:
$J = \frac{10 \times 10}{10 \times 10^{-4}} = \frac{100}{10^{-3}} = 10^{5} \, A/m^{2}$।

(A) धारा घनत्व $J = 4 \times 10^{6} \; A \cdot m^{-2}$ दिया गया है।
तार की त्रिज्या $R = 4 \; mm = 4 \times 10^{-3} \; m$ है।
क्षेत्रफल $A$ से गुजरने वाली धारा $I = \int J \cdot dA$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{R}{2}$ और $R$ त्रिज्यीय दूरी के बीच बाहरी हिस्से के लिए क्षेत्रफल $A' = \pi R^{2} - \pi \left(\frac{R}{2}\right)^{2} = \pi R^{2} - \frac{\pi R^{2}}{4} = \frac{3}{4} \pi R^{2}$ है।
मान रखने पर:
$I = J \times A' = 4 \times 10^{6} \times \frac{3}{4} \pi R^{2}$.
$I = 4 \times 10^{6} \times \frac{3}{4} \times \pi \times (4 \times 10^{-3})^{2}$.
$I = 3 \times 10^{6} \times \pi \times 16 \times 10^{-6}$.
$I = 48 \; \pi \; A$.

(C) क्षेत्रफल अवयव $dA$ से गुजरने वाली धारा $I = \int J \cdot dA$ द्वारा दी जाती है।
बेलनाकार तार के लिए,$r'$ त्रिज्या और $dr'$ मोटाई वाली रिंग का क्षेत्रफल अवयव $dA = 2 \pi r' dr'$ होता है।
यहाँ $J = 1.0 \times 10^{6} \, A/m^{2}$ और $r = 4.0 \, mm = 4.0 \times 10^{-3} \, m$ दिया गया है।
$r/2$ और $r$ के बीच के क्षेत्र से गुजरने वाली धारा $I$:
$I = \int_{r/2}^{r} J (2 \pi r') dr' = 2 \pi J \int_{r/2}^{r} r' dr'$
$I = 2 \pi J \left[ \frac{(r')^{2}}{2} \right]_{r/2}^{r} = \pi J \left[ r^{2} - \left( \frac{r}{2} \right)^{2} \right]$
$I = \pi J \left[ r^{2} - \frac{r^{2}}{4} \right] = \pi J \left( \frac{3r^{2}}{4} \right)$
$J = 10^{6} \, A/m^{2}$ और $r = 4 \times 10^{-3} \, m$ के मान रखने पर:
$I = \pi \times 10^{6} \times \frac{3}{4} \times (4 \times 10^{-3})^{2}$
$I = \pi \times 10^{6} \times \frac{3}{4} \times 16 \times 10^{-6} = 12 \pi \, A$
इसे $x \pi \, A$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 12$ प्राप्त होता है।

(B) अनुगमन वेग $v_d$ का सूत्र: $v_d = \frac{e \tau E}{m} = \frac{e \tau}{m} \left( \frac{\Delta V}{\ell} \right)$ है।
$1$. तापमान का प्रभाव: जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,इलेक्ट्रॉनों की टक्कर की आवृत्ति बढ़ती है,जिससे विश्रांति काल (relaxation time) $\tau$ घट जाता है। चूंकि $v_d \propto \tau$,इसलिए अनुगमन वेग घट जाता है। अतः,कथन $A$ सही है और $E$ गलत है।
$2$. लंबाई का प्रभाव: सूत्र $v_d = \frac{e \tau \Delta V}{m \ell}$ से यह स्पष्ट है कि $v_d \propto \frac{1}{\ell}$। अतः,कथन $D$ सही है।
$3$. क्षेत्रफल का प्रभाव: अनुगमन वेग और विद्युत धारा के बीच संबंध $I = n e A v_d$ है। यदि विद्युत धारा $I$ स्थिर है,तो $v_d = \frac{I}{n e A}$ होता है,जिसका अर्थ है कि $v_d \propto \frac{1}{A}$। हालाँकि,एक सामान्य चालक में जहाँ विभवांतर $\Delta V$ स्थिर है,$v_d = \frac{e \tau \Delta V}{m \ell}$ होता है,जो अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ पर निर्भर नहीं करता है। अतः,कथन $B$ गलत है।
$4$. विभवांतर का प्रभाव: चूंकि $v_d = \frac{e \tau \Delta V}{m \ell}$,इसलिए अनुगमन वेग लगाए गए विभवांतर $\Delta V$ के सीधे समानुपाती होता है। अतः,कथन $C$ गलत है।
अतः,कथन $A$ और $D$ सही हैं।

(B) दिया गया है: लंबाई $l = 1\,m$,धारा $i = 1\,A$,क्षेत्रफल $A = 2.0 \times 10^{-6}\,m^{2}$,प्रतिरोधकता $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,m$,आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$.
सबसे पहले,तार का प्रतिरोध $R$ ज्ञात करें:
$R = \frac{\rho l}{A} = \frac{1.7 \times 10^{-8} \times 1}{2.0 \times 10^{-6}} = 0.85 \times 10^{-2}\,\Omega$.
ओम के नियम के अनुसार तार पर विभवांतर $V$:
$V = iR = 1 \times 0.85 \times 10^{-2} = 0.85 \times 10^{-2}\,V$.
तार में उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E$:
$E = \frac{V}{l} = \frac{0.85 \times 10^{-2}}{1} = 0.85 \times 10^{-2}\,V/m$.
इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव किया गया बल $F$:
$F = eE = 1.6 \times 10^{-19} \times 0.85 \times 10^{-2} = 1.36 \times 10^{-21}\,N$.
इसे $10^{-23}$ के रूप में व्यक्त करने पर:
$F = 136 \times 10^{-23}\,N$.
अतः,$x = 136$.

(D) धारा $I$,आवेश घनत्व $\rho$,अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ और वेग $v$ के बीच संबंध $I = \rho A v$ है।
दिया गया है:
$I = 500 \,\mu A = 500 \times 10^{-6} \,A$
$v = 3 \times 10^7 \,m/s$
$A = 1.50 \,mm^2 = 1.50 \times 10^{-6} \,m^2$
आवेश घनत्व $\rho$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\rho = \frac{I}{A v}$
मान रखने पर:
$\rho = \frac{500 \times 10^{-6}}{(1.50 \times 10^{-6}) \times (3 \times 10^7)}$
$\rho = \frac{500}{1.50 \times 3 \times 10^7}$
$\rho = \frac{500}{4.5 \times 10^7} \approx 1.11 \times 10^{-5} \,C/m^3$.
अतः,यह मान $10^{-5} \,C/m^3$ के करीब है।

(B) जब धारा $I$ बदलते अनुप्रस्थ काट वाले चालक से प्रवाहित होती है,तो आवेश की निरंतरता के कारण प्रत्येक अनुप्रस्थ काट से धारा स्थिर रहती है।
हम जानते हैं कि $I = jA$,जहाँ $j$ धारा घनत्व है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,इसलिए $j_1 A_1 = j_2 A_2$ होता है।
जैसे-जैसे क्षेत्रफल घटता है $(A_2 < A_1)$,धारा घनत्व को बढ़ना चाहिए $(j_2 > j_1)$।
साथ ही,धारा घनत्व और अपवाह वेग $v_d$ के बीच संबंध $j = n e v_d$ है। चूँकि $n$ और $e$ स्थिर हैं,इसलिए जैसे-जैसे क्षेत्रफल घटता है,अपवाह वेग $v_d$ बढ़ता है।
ओम के नियम के सूक्ष्म रूप के अनुसार,$j = \frac{E}{\rho}$,जहाँ $E$ विद्युत क्षेत्र है और $\rho$ पदार्थ की प्रतिरोधकता है।
चूँकि $j$ बढ़ता है और दिए गए पदार्थ के लिए $\rho$ स्थिर है,इसलिए संकीर्ण क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र $E$ का परिमाण बढ़ना चाहिए।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(B) दिया गया प्रतिरोध सूत्र $R = \frac{m_e v}{n e^2 L^2}$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य संबंध से,$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_e v}$।
चूंकि $\lambda = L$ दिया गया है,हमारे पास $L = \frac{h}{m_e v}$ है,जिसका अर्थ है $m_e v = \frac{h}{L}$।
इसे प्रतिरोध सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{(h/L)}{n e^2 L^2} = \frac{h}{n e^2 L^3}$।
चूंकि $n = \frac{N}{V} = \frac{N}{L^3}$ (जहाँ $N$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या है),हमें प्राप्त होता है $R = \frac{h}{N e^2}$।
अधिकतम प्रतिरोध के लिए,इलेक्ट्रॉनों की संख्या $N$ न्यूनतम होनी चाहिए। धात्विक नमूने में इलेक्ट्रॉनों की न्यूनतम संख्या $N = 1$ है।
अतः,$R_{max} = \frac{h}{e^2} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{(1.60 \times 10^{-19})^2}$।
$R_{max} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.56 \times 10^{-38}} \approx 2.59 \times 10^4 \, \Omega$।
यह मान $10^4 \, \Omega$ के सबसे निकट है।

(A) धारा $I$ और अनुगमन वेग $V_d$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $I = n e A V_d$.
यहाँ,$I = 10 \,A$,$n = 9 \times 10^{28} \,m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$,और $A = 1 \,cm^2 = 10^{-4} \,m^2$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$10 = (9 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (10^{-4}) \times V_d$.
$10 = (9 \times 1.6 \times 10^{28-19-4}) \times V_d$.
$10 = (14.4 \times 10^5) \times V_d$.
$V_d = \frac{10}{14.4 \times 10^5} = \frac{1}{1.44} \times 10^{-5} \approx 0.6944 \times 10^{-5} = 6.94 \times 10^{-6} \,m/s$.

(B) इलेक्ट्रॉन की गतिशीलता $\mu$ को अनुगमन वेग $v_d$ और विद्युत क्षेत्र $E$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
विभवांतर $V = 5 \,V$
लंबाई $l = 10 \,cm = 0.1 \,m$
अनुगमन वेग $v_d = 2.5 \times 10^{-4} \,m/s$
विद्युत क्षेत्र $E$ का मान है:
$E = \frac{V}{l} = \frac{5}{0.1} = 50 \,V/m$
अब,गतिशीलता $\mu$ की गणना करें:
$\mu = \frac{v_d}{E} = \frac{2.5 \times 10^{-4}}{50}$
$\mu = \frac{2.5}{50} \times 10^{-4} = 0.05 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-6} \,m^2 V^{-1} s^{-1}$.

(A) चालक में प्रवाहित धारा $I$ का संबंध $I = n e A v_d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v_d$ अनुगमन वेग है।
चूंकि दोनों तार समान पदार्थ के हैं,इसलिए $n$ और $e$ स्थिर हैं।
अतः,$v_d = \frac{I}{n e A} = \frac{I}{n e (\pi r^2)}$।
त्रिज्याओं का अनुपात $r_A : r_B = 1 : 2$ दिया गया है,इसलिए क्षेत्रफल का अनुपात $A_A : A_B = r_A^2 : r_B^2 = 1^2 : 2^2 = 1 : 4$ होगा।
धाराओं का अनुपात $I_A : I_B = 4 : 1$ दिया गया है।
अनुगमन वेग का अनुपात $\frac{v_{dA}}{v_{dB}} = \frac{I_A}{A_A} \times \frac{A_B}{I_B} = \left(\frac{4}{1}\right) \times \left(\frac{4}{1}\right) = \frac{16}{1}$ होगा।
अतः,अनुपात $16:1$ है।

(D) प्रति इकाई आयतन में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n)$ इस प्रकार है:
$n = \frac{N_A \times \rho}{M} = \frac{6.023 \times 10^{26} \times 10.5 \times 10^3}{108} \approx 5.86 \times 10^{28} \, m^{-3}$.
अनुगमन वेग के सूत्र $v_d = \frac{I}{n e A}$ का उपयोग करने पर:
$v_d = \frac{20}{(5.86 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (3.14 \times 10^{-6})}$.
$v_d = \frac{20}{29.45} \times 10^{-4} \, m/s \approx 6.798 \times 10^{-4} \, m/s$.

(A) अनुगमन वेग $V_{d}$ का सूत्र $V_{d} = \frac{eE}{m}\tau$ है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$E$ विद्युत क्षेत्र है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है।
चूँकि $E = \frac{V}{L}$,जहाँ $V$ लगाया गया वोल्टेज है और $L$ चालक की लंबाई है,हम लिख सकते हैं $V_{d} = \frac{eV}{mL}\tau$।
इस प्रश्न में,लगाया गया वोल्टेज $V$,लंबाई $L$,पदार्थ (जो $\tau$ निर्धारित करता है) और इलेक्ट्रॉन का आवेश/द्रव्यमान स्थिर रहते हैं।
इसलिए,अनुगमन वेग $V_{d}$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ से स्वतंत्र है।
अतः,नया अनुगमन वेग $V_{d}$ ही रहेगा।

(B) अनुगमन वेग का सूत्र $v_d = \frac{I}{neA}$ है।
यहाँ,$I = 2\,A$,$n = 2.0 \times 10^{28}\,m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$,और $A = 25.0\,mm^2 = 25.0 \times 10^{-6}\,m^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_d = \frac{2}{(2.0 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (25.0 \times 10^{-6})}$
$v_d = \frac{2}{80 \times 10^3 \times 10^{-6}}$
$v_d = \frac{2}{80 \times 10^{-3}}$
$v_d = \frac{2}{0.08} = 25\,ms^{-1}$.
चूंकि प्रश्न में $\times 10^{-6}\,ms^{-1}$ के रूप में मान पूछा गया है,गणना के अनुसार उत्तर $25$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है:
इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व,$n = 8 \times 10^{28} \ m^{-3}$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल,$A = 2 \times 10^{-6} \ m^2$
विद्युत धारा,$I = 3.2 \ A$
इलेक्ट्रॉन का आवेश,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
अपवाह वेग $(v_d)$ का सूत्र है:
$I = n e A v_d$
$v_d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$v_d = \frac{I}{n e A}$
मान रखने पर:
$v_d = \frac{3.2}{(8 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^{-6})}$
$v_d = \frac{3.2}{25.6 \times 10^3}$
$v_d = 0.125 \times 10^{-3} \ m/s$
$v_d = 125 \times 10^{-6} \ m/s$
अतः,अपवाह वेग $125 \times 10^{-6} \ m/s$ है।

(B) जब एक धात्विक चालक पर विद्युत क्षेत्र $E$ आरोपित किया जाता है,तो मुक्त इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में एक स्थिर-वैद्युत बल $F = -eE$ का अनुभव करते हैं।
चूंकि विद्युत क्षेत्र उच्च विभव से निम्न विभव की ओर होता है,इसलिए इलेक्ट्रॉन उच्च विभव की ओर त्वरित होते हैं।
हालाँकि,धात्विक जालक के धनात्मक आयनों के साथ निरंतर टक्करों के कारण,इलेक्ट्रॉन सीधी रेखाओं में गति नहीं करते हैं बल्कि क्रमिक टक्करों के बीच यादृच्छिक,वक्र पथों का अनुसरण करते हैं।
औसतन,वे उच्च विभव वाले क्षेत्र की ओर एक नेट अपवाह वेग (drift velocity) प्रदर्शित करते हैं।
इस प्रकार,टक्करों के बीच मुक्त इलेक्ट्रॉनों की गति वक्र पथों में होती है।

(D) आवेश वाहकों की गतिशीलता $\mu$ को अनुगमन वेग $v_d$ और विद्युत क्षेत्र $E$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $\mu = \frac{v_d}{E}$
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{\ell}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ विभवांतर है और $\ell$ तार की लंबाई है,इसलिए:
$\mu = \frac{v_d}{V/\ell} = \frac{v_d \cdot \ell}{V}$
दिए गए मान: $v_d = 0.5\ m/s$,$\ell = 2\ m$,$V = 200\ V$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\mu = \frac{0.5 \times 2}{200} = \frac{1}{200} = 0.005\ m^2 V^{-1} s^{-1}$
$\mu = 5 \times 10^{-3}\ m^2 V^{-1} s^{-1}$

(A) तार से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा $I$ सभी अनुप्रस्थ काटों पर स्थिर रहती है।
धारा घनत्व को $J = \frac{I}{A}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूँकि $I$ स्थिर है,इसलिए $J \propto \frac{1}{A}$ होगा।
चित्र से,$A$ पर क्षेत्रफल $B$ पर क्षेत्रफल से कम है $(A_A < A_B)$,इसलिए $j_A > j_B$ होगा।
ओम के नियम के सूक्ष्म रूप के अनुसार,$\vec{J} = \sigma \vec{E}$,जहाँ $\sigma$ पदार्थ की चालकता है।
चूँकि पदार्थ समांगी और समदैशिक है,इसलिए $\sigma$ पूरे तार में स्थिर रहता है।
अतः,$E = \frac{J}{\sigma}$,जिसका अर्थ है कि $E \propto J$।
चूँकि $j_A > j_B$ है,इसलिए $E_A > E_B$ होगा।

(B) दिया गया है:
चालक की लंबाई $L = 40 \ cm = 0.4 \ m$
विभवांतर $V = 10 \ V$
अनुगमन वेग $v_d = 5 \times 10^{-6} \ m/s$
विद्युत क्षेत्र $E$ का मान है: $E = \frac{V}{L} = \frac{10}{0.4} = 25 \ V/m$.
गतिशीलता $\mu$ को अनुगमन वेग और विद्युत क्षेत्र के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\mu = \frac{v_d}{E}$.
मान रखने पर: $\mu = \frac{5 \times 10^{-6}}{25} = 0.2 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-7} \ m^2 \ V^{-1} \ s^{-1}$.

(B) अनुगमन वेग $V_d$ का सूत्र $V_d = \frac{I}{neA}$ है,जहाँ $I$ धारा है,$n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,और $A$ चालक का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूँकि $A = \pi r^2$,हम लिख सकते हैं $V_d = \frac{I}{ne\pi r^2}$.
इस व्यंजक से,हम देखते हैं कि $V_d \propto \frac{I}{r^2}$.
माना प्रारंभिक अनुगमन वेग $V_1 = V$,प्रारंभिक धारा $I_1 = i$ और प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ है।
जब धारा और त्रिज्या दोनों को दोगुना किया जाता है,तो नई धारा $I_2 = 2i$ और नई त्रिज्या $r_2 = 2r$ हो जाती है।
नया अनुगमन वेग $V_2 = V_1 \times \left( \frac{I_2}{I_1} \right) \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $V_2 = V \times \left( \frac{2i}{i} \right) \times \left( \frac{r}{2r} \right)^2 = V \times 2 \times \frac{1}{4} = \frac{V}{2}$.

(C) आवेश वाहक का अपवाह वेग $v_d$,आरोपित विद्युत क्षेत्र $E$ के सीधे आनुपातिक होता है,जिसे $v_d = \mu E$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ,$\mu$ को आवेश वाहक की गतिशीलता (Mobility) के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,गतिशीलता $\mu = \frac{v_d}{E}$ है।
यह प्रति इकाई विद्युत क्षेत्र में अपवाह वेग के परिमाण को दर्शाता है।

(D) धारा घनत्व $(J)$ को प्रवाह की दिशा के लंबवत प्रति इकाई क्षेत्रफल $(A)$ से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा $(I)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$J = \frac{I}{A}$।
विद्युत धारा $(I)$ का $SI$ मात्रक एम्पीयर $(A)$ है और क्षेत्रफल $(A)$ का $SI$ मात्रक वर्ग मीटर $(m^{2})$ है।
अतः,धारा घनत्व का $SI$ मात्रक $\frac{A}{m^{2}} = A \ m^{-2}$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) गतिशीलता $\mu$ को अपवाह वेग (drift velocity) $v_d$ और विद्युत क्षेत्र $E$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\mu = \frac{v_d}{E}$।
अपवाह वेग $v_d$ की इकाई $m/s$ है।
विद्युत क्षेत्र $E$ की इकाई $N/C$ (या $V/m$) है।
मूलभूत इकाइयों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1 \ N = 1 \ kg \cdot m/s^2$
$1 \ C = 1 \ A \cdot s$
इसलिए,$E$ की इकाई $\frac{kg \cdot m/s^2}{A \cdot s} = \frac{kg \cdot m}{A \cdot s^3}$ है।
अब,$\mu$ की इकाई की गणना करने पर:
$\mu = \frac{m/s}{kg \cdot m / (A \cdot s^3)} = \frac{m}{s} \cdot \frac{A \cdot s^3}{kg \cdot m} = \frac{A \cdot s^2}{kg} = kg^{-1} s^2 A$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) विद्युत धारा $I$ और ड्रिफ्ट वेग $v_d$ के बीच का संबंध $I = n A v_d e$ है,जहाँ $n$ संख्या घनत्व है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
चूंकि $v_d = \frac{l}{t}$,जहाँ $l$ तार की लंबाई है और $t$ लिया गया समय है,हम लिख सकते हैं:
$I = n A \left( \frac{l}{t} \right) e$
$t$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$t = \frac{n A l e}{I}$
दिए गए मान:
$n = 8.5 \times 10^{28} \ m^{-3}$
$A = 1.0 \times 10^{-6} \ m^2$
$l = 6 \ m$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$I = 1.5 \ A$
इन मानों को रखने पर:
$t = \frac{8.5 \times 10^{28} \times 1.0 \times 10^{-6} \times 6 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.5}$
$t = \frac{81.6 \times 10^3}{1.5} = 54.4 \times 10^3 \ s$
$t = 5.44 \times 10^4 \ s$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) चालक से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा $I$ का संबंध है: $I = n A v_d e$,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$v_d$ अपवाह वेग है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
चूँकि तार में धारा $I$ स्थिर है,इसलिए $v_d = \frac{I}{n A e}$ होगा।
चूँकि $I$,$n$ और $e$ स्थिर हैं,इसलिए $v_d \propto \frac{1}{A}$ होगा।
चूँकि अनुप्रस्थ काट वृत्ताकार है,$A = \pi r^2$,इसलिए $v_d \propto \frac{1}{r^2}$ होगा।
अब,बिंदु $A$ और $B$ पर अपवाह वेग का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{(v_d)_A}{(v_d)_B} = \frac{r_B^2}{r_A^2} = \frac{(r)^2}{(3r)^2} = \frac{r^2}{9r^2} = \frac{1}{9}$.
अतः,अनुपात $\frac{1}{9}$ है।

(D) गतिशीलता $\mu$ को अनुगमन वेग $v_d$ और आरोपित विद्युत क्षेत्र $E$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\mu = \frac{v_d}{E}$।
अनुगमन वेग $v_d$ का विमीय सूत्र $[L^1 T^{-1}]$ है।
विद्युत क्षेत्र $E$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\mu = \frac{[L^1 T^{-1}]}{[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]}$।
सरल करने पर: $\mu = [M^{-1} L^{1-1} T^{-1 - (-3)} A^1] = [M^{-1} L^0 T^2 A^1]$।

(A) दिया गया है: क्षेत्रफल $A = (2 \ mm)^2 = (2 \times 10^{-3} \ m)^2 = 4 \times 10^{-6} \ m^2$. विद्युत धारा $I = 8 \ A$. संख्या घनत्व $n = 8 \times 10^{28} \ m^{-3}$. इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
अपवाह वेग के लिए सूत्र: $I = n A v_d e$.
$v_d$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v_d = \frac{I}{n A e}$.
मान रखने पर: $v_d = \frac{8}{8 \times 10^{28} \times 4 \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}}$.
$v_d = \frac{8}{51.2 \times 10^3} = \frac{8}{51200} \approx 1.56 \times 10^{-4} \ ms^{-1}$.

(A) इलेक्ट्रॉन की गतिशीलता का सूत्र है: $\mu = \frac{e \tau}{m}$।
चूंकि तापमान स्थिर है,इसलिए विश्रांति काल (relaxation time) $\tau$ स्थिर रहता है,और इसलिए गतिशीलता $\mu$ समान रहती है।
विद्युत धारा $I$ और अनुगमन वेग $v_d$ के बीच संबंध $I = n e A v_d$ है।
इस समीकरण से,हम देख सकते हैं कि $v_d = \frac{I}{n e A}$।
चूंकि $n$,$e$ और $A$ स्थिर हैं,इसलिए $v_d \propto I$ होता है।
अतः,जब धारा $I$ बढ़ाई जाती है,तो अनुगमन वेग $v_d$ भी बढ़ जाता है।

(D) दिया गया है: विद्युत क्षेत्र,$E = 3 \times 10^{-10} \text{ Vm}^{-1}$.
गतिशीलता,$\mu = 2.5 \times 10^6 \text{ m}^2 \text{V}^{-1} \text{s}^{-1}$.
अपवाह वेग $(v_d)$,गतिशीलता $(\mu)$ और विद्युत क्षेत्र $(E)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$v_d = \mu E$
दिए गए मानों को रखने पर:
$v_d = (2.5 \times 10^6) \times (3 \times 10^{-10})$
$v_d = 7.5 \times 10^{-4} \text{ m/s}$.
अतः,अपवाह वेग $7.5 \times 10^{-4} \text{ m/s}$ है।

(D) दिया गया है: लंबाई $l = 1 \,m$,क्षेत्रफल $A = 5 \times 10^{-7} \,m^{2}$,धारा $I = 1 \,A$,इलेक्ट्रॉन घनत्व $n = 8 \times 10^{28} \,m^{-3}$,इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$।
अपवाह वेग $v_{d}$ का सूत्र $v_{d} = \frac{I}{neA}$ है।
मान रखने पर: $v_{d} = \frac{1}{8 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5 \times 10^{-7}} = \frac{1}{64 \times 10^{2}} = \frac{1}{6.4 \times 10^{3}} \,m/s$।
तार की लंबाई $l$ को पार करने में लगा समय $T = \frac{l}{v_{d}}$ है।
$T = \frac{1}{1 / (6.4 \times 10^{3})} = 6.4 \times 10^{3} \,s$।

(B) चालक में विद्युत धारा $I$ का सूत्र $I = neAv_d$ है, जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉन संख्या घनत्व है, $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, और $v_d$ अपवाह वेग है।
भले ही अपवाह वेग $v_d$ बहुत छोटा हो (आमतौर पर $10^{-4} \, m/s$) और आवेश $e$ छोटा हो $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$, एक चालक में मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व $n$ अत्यंत बड़ा होता है, जो आमतौर पर $10^{28} \, m^{-3}$ की कोटि का होता है।
इसलिए, $neAv_d$ का गुणनफल एक काफी बड़ी विद्युत धारा उत्पन्न करता है।

(B) मुक्त इलेक्ट्रॉनों की गतिशीलता $\mu$ को प्रति इकाई विद्युत क्षेत्र में अपवाह वेग (drift velocity) के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\mu = \frac{v_d}{E} = \frac{e \tau}{m}$
जहाँ:
$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,
$\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है,
$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
चूंकि $e$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए हमारे पास है:
$\mu \propto \tau$
अतः,एक चालक में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की गतिशीलता विश्रांति काल के सीधे आनुपातिक होती है।

(D) इलेक्ट्रॉनों के अनुगमन वेग $(v_{d})$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_{d} = \frac{I}{n e A}$
जहाँ:
$I = 2 \,A$ (विद्युत धारा)
$n = 5 \times 10^{26} \,m^{-3}$ (मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व)
$e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश)
$A = 2 \times 10^{-6} \,m^{2}$ (अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल)
मान रखने पर:
$v_{d} = \frac{2}{(5 \times 10^{26}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^{-6})}$
$v_{d} = \frac{2}{16 \times 10^{26-19-6}} = \frac{2}{16 \times 10^{1}} = \frac{2}{160} = \frac{1}{80} \,ms^{-1}$

(B) विद्युत धारा $I$ और अपवाह वेग $v_{d}$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $I = n A e v_{d}$.
यहाँ, $n = 10^{29} \,m^{-3}$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है, $A = 1 \,mm^{2} = 10^{-6} \,m^{2}$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है, और $I = 20 \,A$ है।
अपवाह वेग के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $v_{d} = \frac{I}{n A e}$.
मान रखने पर: $v_{d} = \frac{20}{10^{29} \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}}$.
$v_{d} = \frac{20}{1.6 \times 10^{4}} = \frac{20}{16000} = 1.25 \times 10^{-3} \,ms^{-1}$.