Current Density, Drift Velocity and Mobility Questions in Hindi

(C) तार में प्रवाहित धारा $I$ का सूत्र $I = neAv_d$ है,जहाँ $n$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v_d$ अपवाह वेग है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए $n$ और $e$ स्थिर रहते हैं।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
पहले तार के लिए: $I_1 = ne(\pi r^2)v$।
दूसरे तार के लिए: $r_2 = r/2$ और $v_{d2} = 2v$।
$I_2 = ne(\pi (r/2)^2)(2v) = ne(\pi r^2 / 4)(2v) = (1/2) ne \pi r^2 v$।
दोनों की तुलना करने पर,$I_2 = I_1 / 2 = I/2$ प्राप्त होता है।

(D) $q$ आवेश,$n$ संख्या घनत्व,$A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और $v_d$ अपवाह वेग वाले आवेश वाहक के कारण विद्युत धारा $I = n q A v_d$ द्वारा दी जाती है।
धनात्मक आयनों $(+2e)$ के लिए: आवेश $q_1 = +2e$,संख्या घनत्व $n$ और अपवाह चाल $v_1 = v/4$ है। धारा $I_1 = n(2e)A(v/4) = nevA/2$ है।
ऋणात्मक आयनों $(-e)$ के लिए: आवेश $q_2 = -e$,संख्या घनत्व $n$ और अपवाह चाल $v_2 = v$ है। चूंकि ऋणात्मक आयन धनात्मक आयनों की विपरीत दिशा में गति करते हैं,इसलिए पारंपरिक धारा में उनका योगदान धनात्मक आयनों की दिशा में ही होता है। धारा का परिमाण $I_2 = n|q_2|Av_2 = n(e)Av = nevA$ है।
कुल विद्युत धारा $I_{total} = I_1 + I_2 = nevA/2 + nevA = 3nevA/2$ है।

(D) कुल धारा $I$ समाकलन $I = \int J \cdot dA$ द्वारा दी जाती है। एक बेलनाकार तार के लिए,क्षेत्रफल अवयव $dA = 2\pi x dx$ है।
$I = \int_{0}^{R/2} J_0 \left( \frac{x}{R} - 1 \right) (2\pi x dx) + \int_{R/2}^{R} J_0 \frac{x}{R} (2\pi x dx)$
$I = 2\pi J_0 \left[ \int_{0}^{R/2} \left( \frac{x^2}{R} - x \right) dx + \int_{R/2}^{R} \frac{x^2}{R} dx \right]$
$I = 2\pi J_0 \left[ \left( \frac{x^3}{3R} - \frac{x^2}{2} \right)_{0}^{R/2} + \left( \frac{x^3}{3R} \right)_{R/2}^{R} \right]$
$I = 2\pi J_0 \left[ \left( \frac{R^3/8}{3R} - \frac{R^2/4}{2} \right) + \left( \frac{R^3}{3R} - \frac{R^3/8}{3R} \right) \right]$
$I = 2\pi J_0 \left[ \left( \frac{R^2}{24} - \frac{R^2}{8} \right) + \left( \frac{R^2}{3} - \frac{R^2}{24} \right) \right]$
$I = 2\pi J_0 \left[ \frac{R^2 - 3R^2}{24} + \frac{8R^2 - R^2}{24} \right] = 2\pi J_0 \left[ -\frac{2R^2}{24} + \frac{7R^2}{24} \right]$
$I = 2\pi J_0 \left( \frac{5R^2}{24} \right) = \frac{5}{12} \pi J_0 R^2$.

(D) धारा $I$,अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ और अनुगमन वेग $v_d$ के बीच संबंध $I = n e A v_d$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि क्षेत्रफल $A = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है,हम लिख सकते हैं $I = n e \left( \frac{\pi d^2}{4} \right) v_d$।
पहले तार के लिए: $I = n e \left( \frac{\pi d^2}{4} \right) V$।
दूसरे तार के लिए जिसका व्यास $d' = d/2$ है: $I = n e \left( \frac{\pi (d/2)^2}{4} \right) v' = n e \left( \frac{\pi d^2}{16} \right) v'$।
$I$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $n e \left( \frac{\pi d^2}{4} \right) V = n e \left( \frac{\pi d^2}{16} \right) v'$।
सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{V}{4} = \frac{v'}{16}$,जिसका अर्थ है $v' = 4V$।

(C) चालक से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा $I$ को संबंध $I = neAv_d$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है, $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, और $v_d$ अपवाह चाल है।
चूंकि विद्युत धारा $I$ स्थिर है और $n$ तथा $e$ नियत हैं, इसलिए $A v_d = \text{नियत}$, जिसका अर्थ है कि $v_d \propto \frac{1}{A}$।
चित्र से, बिंदु $P$ पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A_P)$ बिंदु $Q$ पर क्षेत्रफल $(A_Q)$ से छोटा है।
इसलिए, चूंकि $A_P < A_Q$, यह निष्कर्ष निकलता है कि $v_P > v_Q$।

(B) चालक से प्रवाहित होने वाली धारा $i$ और अपवाह वेग $v_d$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$i = n A q v_d$
जहाँ:
$i$ = धारा (एम्पीयर में)
$n$ = प्रति इकाई आयतन में आवेश वाहकों की संख्या (वाहक घनत्व) = $p$
$A$ = अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल = $s$
$q$ = प्रत्येक वाहक पर आवेश
$v_d$ = अपवाह वेग
दिए गए चरों को सूत्र में रखने पर:
$i = p \cdot s \cdot q \cdot v_d$
अपवाह वेग $v_d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$v_d = \frac{i}{p s q}$
अतः,अपवाह वेग $i/psq$ है।

(D) जब धारा के प्रवाह के कारण एक प्रतिरोधक गर्म होता है, तो उसका तापमान बढ़ जाता है।
$1$. प्रतिरोध $(R)$ और प्रतिरोधकता $(\rho)$ चालक के तापमान पर निर्भर गुण हैं। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, इलेक्ट्रॉनों का विश्रांति काल (relaxation time) घटता है, जिससे $R$ और $\rho$ दोनों बदल जाते हैं।
$2$. अनुगमन वेग $(v_d)$ का सूत्र $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ है, जहाँ $\tau$ विश्रांति काल है। चूंकि $\tau$ तापमान के साथ बदलता है, इसलिए अनुगमन वेग भी बदल जाता है।
$3$. मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n)$ पदार्थ का अपना गुण है (प्रति इकाई आयतन में संयोजी इलेक्ट्रॉनों की संख्या)। प्रतिरोधक के संचालन तापमान सीमा के भीतर तापमान परिवर्तन के बावजूद यह मान स्थिर रहता है।
अतः, मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या नहीं बदलती है। सही विकल्प $D$ है।

(D) जब असमान अनुप्रस्थ काट वाले तार से एक स्थिर विद्युत धारा $I$ प्रवाहित होती है,तो तार के प्रत्येक अनुप्रस्थ काट पर धारा $I$ समान रहती है।
$1$. एक समयांतराल $t$ में किसी अनुप्रस्थ काट से गुजरने वाला आवेश $q = I \times t$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $I$ स्थिर है,इसलिए गुजरने वाला आवेश अनुप्रस्थ काट से स्वतंत्र होता है।
$2$. मुक्त-इलेक्ट्रॉन घनत्व $n$ तार के पदार्थ का एक गुण है और यह तार की ज्यामिति या अनुप्रस्थ काट से स्वतंत्र होता है।
$3$. अनुगमन वेग $v_d$ धारा से $I = n e A v_d$ द्वारा संबंधित है। चूंकि $I$ और $n$ स्थिर हैं,इसलिए यदि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ बदलता है,तो $v_d$ बदल जाता है।
अतः,दिए गए समयांतराल में प्रवाहित आवेश और मुक्त-इलेक्ट्रॉन घनत्व दोनों अनुप्रस्थ काट से स्वतंत्र हैं।

(B) चालक में विद्युत धारा $I = n e A v_d$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v_d$ अनुगमन वेग है।
ओम के नियम के अनुसार,$V = I R$,जहाँ $R = \rho \frac{l}{A}$.
समीकरण में $I$ और $R$ का मान रखने पर: $V = (n e A v_d) \times (\rho \frac{l}{A}) = n e v_d \rho l$.
प्रतिरोधकता $\rho$ के लिए सूत्र: $\rho = \frac{V}{n e v_d l}$.
दिए गए मान: $V = 5 \ V$,$l = 0.1 \ m$,$n = 8 \times 10^{28} \ m^{-3}$,$v_d = 2.5 \times 10^{-4} \ m/s$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
इन मानों को रखने पर: $\rho = \frac{5}{8 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2.5 \times 10^{-4} \times 0.1}$.
$\rho = \frac{5}{3.2 \times 10^5} = 1.5625 \times 10^{-5} \ \Omega m \approx 1.6 \times 10^{-5} \ \Omega m$.

(A) धारा घनत्व $J$ को $J = I/A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $I$ विद्युत धारा है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि श्रेणीक्रम में जुड़े चालक $PQ$ से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ स्थिर है,इसलिए धारा घनत्व $J$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(J \propto 1/A)$।
ग्राफ से,धारा घनत्व $P$ पर अधिक है और $Q$ की ओर घटता है।
इसका अर्थ है कि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$,$P$ पर छोटा और $Q$ पर बड़ा होना चाहिए।
अतः,पट्टी $Q$ की तुलना में $P$ पर संकरी है।

(B) प्रतिरोधक से प्रवाहित होने वाली धारा $i$ इसकी पूरी लंबाई में स्थिर रहती है क्योंकि यह एक श्रेणी परिपथ है।
धारा $i$, धारा घनत्व $J$ और अनुगमन वेग $V_d$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$i = J A$
$J = n e V_d$
$J$ का मान धारा समीकरण में रखने पर:
$i = (n e V_d) A$
चूंकि $i$, $n$ और $e$ स्थिर हैं, इसलिए:
$A V_d = \text{स्थिरांक}$
$V_d \propto \frac{1}{A}$
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है, जहां $r$ त्रिज्या है, इसलिए $V_d \propto \frac{1}{r^2}$।
बेलन के मध्य भाग में त्रिज्या $r$ बड़ी है, इसलिए क्षेत्रफल $A$ भी बड़ा है।
अतः, बेलन के सिरों की तुलना में मध्य भाग में अनुगमन वेग $V_d$ कम होना चाहिए।
यह ग्राफ $B$ के अनुरूप है, जिसमें बड़ी त्रिज्या वाले क्षेत्र में $V_d$ का मान घटता है।

(A) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \frac{\rho l}{A} = \frac{m l}{n e^2 \tau A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$l$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$n$ मुक्त इलेक्ट्रॉन घनत्व है,और $\tau$ विश्रांति काल है।
यह दिया गया है कि $l$,$A$,$m$,$e$,और $\tau$ स्थिर हैं,इसलिए प्रतिरोध $R$ मुक्त इलेक्ट्रॉन घनत्व $n$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $R \propto \frac{1}{n}$।
यह दिया गया है कि $n \propto T$,इसलिए $R \propto \frac{1}{T}$।
यह संबंध $R = \frac{k}{T}$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है) एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है,जो विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

$(A)$ अनुगमन वेग $v_d$ का सूत्र $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ है, जहाँ $E = \frac{V}{L}$ है。
अतः, $v_d = \frac{eV\tau}{mL}$。
चूंकि सभी छड़ें तांबे की बनी हैं और समान तापमान पर हैं, इसलिए विश्रांति काल (relaxation time) $\tau$ और इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m$ स्थिर रहेंगे。
इसलिए, $v_d \propto \frac{V}{L}$。
छड़ $(A)$ के लिए: $v_A \propto \frac{V}{L} = 1 \cdot (V/L)$。
छड़ $(B)$ के लिए: $v_B \propto \frac{2V}{2L} = 1 \cdot (V/L)$。
छड़ $(C)$ के लिए: $v_C \propto \frac{2V}{3L} = 0.67 \cdot (V/L)$。
मानों की तुलना करने पर, हमें $v_A = v_B > v_C$ प्राप्त होता है।

(B) चालक में विद्युत धारा $I = neAv_d$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v_d$ अनुगमन वेग (drift velocity) है।
$l$ लंबाई के चालक में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $N = nAl$ है।
इलेक्ट्रॉनों का कुल संवेग $P = Nmv_d$ है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
$N = nAl$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P = (nAl)mv_d$ प्राप्त होता है।
विद्युत धारा के सूत्र से,$nAv_d = \frac{I}{e}$ है।
इस मान को संवेग के समीकरण में रखने पर: $P = l \cdot (nAv_d) \cdot m = l \cdot \frac{I}{e} \cdot m$.
चूंकि विशिष्ट आवेश $S$ आवेश और द्रव्यमान का अनुपात है,$S = \frac{e}{m}$,इसलिए $\frac{m}{e} = \frac{1}{S}$.
अतः,कुल संवेग $P = \frac{Il}{S}$ होगा।

(A) किसी चालक से प्रवाहित धारा $I$ का सूत्र $I = n_e e A v_d$ होता है,जहाँ $n_e$ प्रति इकाई आयतन मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v_d$ अपवाह वेग है।
चूंकि दोनों छड़ें श्रेणीक्रम में जुड़ी हैं,इसलिए दोनों से समान धारा $I$ प्रवाहित होती है।
बाईं छड़ के लिए: $I = (2n) e A v_L$
दाईं छड़ के लिए: $I = (n) e (2A) v_R$
धारा के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$(2n) e A v_L = (n) e (2A) v_R$
$2 n e A v_L = 2 n e A v_R$
दोनों पक्षों को $2 n e A$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_L = v_R$
अतः,अनुपात $\frac{v_L}{v_R} = 1$ है।

(B) अनुप्रस्थ काट से गुजरने वाली धारा $I$ को क्षेत्रफल $A$ पर धारा घनत्व $J$ के समाकलन द्वारा दिया जाता है: $I = \int J \cdot dA$.
$r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले बेलनाकार कोश के लिए,सूक्ष्म क्षेत्रफल $dA = 2\pi r \cdot dr$ है।
दिए गए धारा घनत्व $J = \frac{J_0}{r^2}$ और सूक्ष्म क्षेत्रफल $dA$ को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{a}^{2a} \left( \frac{J_0}{r^2} \right) (2\pi r \cdot dr)$
$I = 2\pi J_0 \int_{a}^{2a} \frac{1}{r} \cdot dr$
$I = 2\pi J_0 [\ln r]_{a}^{2a}$
$I = 2\pi J_0 (\ln(2a) - \ln(a))$
$I = 2\pi J_0 \ln\left( \frac{2a}{a} \right)$
$I = 2\pi J_0 \ln 2$.

(C) धारा के लिए सूत्र $I = n e A v_d$ है,जहाँ $I$ धारा है,$n$ संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $v_d$ अनुगमन वेग है।
दिया गया है: $I = 1.7\, A$,$d = 1.02\, mm \implies r = 0.51 \times 10^{-3}\, m$,$n = 8.5 \times 10^{28}\, m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19}\, C$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (0.51 \times 10^{-3})^2 \approx 8.17 \times 10^{-7}\, m^2$.
$v_d$ के लिए सूत्र: $v_d = \frac{I}{n e A}$.
मान रखने पर: $v_d = \frac{1.7}{(8.5 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (\pi \times (0.51 \times 10^{-3})^2)}$.
$v_d = \frac{1.7}{8.5 \times 1.6 \times \pi \times 0.2601 \times 10^{-7}} \approx \frac{1.7}{11.12} \times 10^{-3} \approx 0.15 \times 10^{-3}\, m/s$.
अतः,$v_d = 0.15\, mm/s$.

(B) चालकों में,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,मुक्त इलेक्ट्रॉनों का तापीय वेग बढ़ जाता है।
इसके कारण इलेक्ट्रॉनों और जाली आयनों (lattice ions) के बीच टक्करें अधिक बार होती हैं।
परिणामस्वरूप,दो क्रमिक टक्करों के बीच का औसत समय,जिसे विश्रांति काल $(\tau)$ कहा जाता है,कम हो जाता है।
चूंकि प्रतिरोधकता $(\rho)$ विश्रांति काल के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(\rho = \frac{m}{ne^2\tau})$,इसलिए तापमान में वृद्धि होने पर विश्रांति काल घट जाता है।

(A) $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले एक पतले बेलनाकार कोश से गुजरने वाली धारा $dI = J \cdot dA$ है,जहाँ $dA = 2 \pi r dr$ है।
दिए गए धारा घनत्व $J = J_0 \frac{r}{R}$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$dI = (J_0 \frac{r}{R}) \cdot (2 \pi r dr) = \frac{2 \pi J_0}{R} r^2 dr$.
कुल धारा $I$ ज्ञात करने के लिए,हम $r = 0$ से $r = R$ तक समाकलन करते हैं:
$I = \int_{0}^{R} \frac{2 \pi J_0}{R} r^2 dr = \frac{2 \pi J_0}{R} \int_{0}^{R} r^2 dr$.
$I = \frac{2 \pi J_0}{R} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{R} = \frac{2 \pi J_0}{R} \cdot \frac{R^3}{3} = \frac{2}{3} J_0 (\pi R^2)$.
चूँकि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है,इसलिए कुल धारा $I = \frac{2}{3} J_0 A$ है।

(A) चालक में इलेक्ट्रॉनों का अनुगमन वेग $V_{d}$ सूत्र $V_{d} = \frac{eE\tau}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $L$ लंबाई के तार के लिए विद्युत क्षेत्र $E$ और विभवांतर $V$ के बीच संबंध $E = \frac{V}{L}$ है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$V_{d} = \frac{e}{m} \left( \frac{V}{L} \right) \tau$.
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $V_{d} \propto V$ है।
इसलिए,यदि विभवांतर $V$ को दोगुना कर दिया जाता है,तो अनुगमन वेग $V_{d}$ भी दोगुना हो जाएगा।

(A) अनुगमन वेग का सूत्र $I = neAv_d$ है, जहाँ $I$ धारा है, $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है, $e$ मूल आवेश है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v_d$ अनुगमन वेग है。
दी गई मान:
$I = 0.2 \, A$
$n = 0.8 \times 10^{23} \, \text{electrons}/cm^3 = 0.8 \times 10^{29} \, \text{electrons}/m^3$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
$A = 0.01 \, cm^2 = 10^{-6} \, m^2$
$v_d$ के लिए सूत्र:
$v_d = \frac{I}{neA}$
$v_d = \frac{0.2}{(0.8 \times 10^{29}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (10^{-6})}$
$v_d = \frac{0.2}{1.28 \times 10^4}$
$v_d = 0.156 \times 10^{-4} \, m/s = 1.56 \times 10^{-5} \, m/s$.

(B) किसी चालक से प्रवाहित होने वाली स्थिर धारा के लिए,आवेश संरक्षण के सिद्धांत के कारण अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल पर निर्भर किए बिना तार में धारा $I$ स्थिर रहती है।
धारा घनत्व $J$ को $J = I / A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि तार का अनुप्रस्थ काट असमान है,इसलिए तार की लंबाई के साथ $A$ बदलता रहता है।
अतः,चूंकि $I$ स्थिर है और $A$ बदल रहा है,इसलिए धारा घनत्व $J$ भी तार के साथ बदलता रहेगा।
इस प्रकार,केवल धारा ही स्थिर रहती है।

(A) विद्युत धारा $I$ और अपवाह वेग $v_d$ के बीच का संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: $I = n e A v_d$।
यहाँ,$I = 1.5 \, A$,$n = 9 \times 10^{28} \, m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,और $A = 5 \, mm^2 = 5 \times 10^{-6} \, m^2$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$1.5 = (9 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (5 \times 10^{-6}) \times v_d$।
$1.5 = (9 \times 1.6 \times 5) \times 10^{28-19-6} \times v_d$।
$1.5 = 72 \times 10^3 \times v_d$।
$v_d = \frac{1.5}{72 \times 10^3} = \frac{1.5}{72} \times 10^{-3} \, m/s$।
$v_d \approx 0.0208 \times 10^{-3} \, m/s = 0.0208 \, mm/s$।
अतः,$v$ का मान $0.02 \, mm/s$ के निकट है।

(D) चालक की प्रतिरोधकता $\rho$ का सूत्र है: $\rho = \frac{m_e}{n e^2 \tau}$।
दी गई मान:
$n = 8.5 \times 10^{28} \ m^{-3}$
$\tau = 25 \ fs = 25 \times 10^{-15} \ s$
$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\rho = \frac{9.1 \times 10^{-31}}{(8.5 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \times (25 \times 10^{-15})}$
$\rho = \frac{9.1 \times 10^{-31}}{8.5 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38} \times 25 \times 10^{-15}}$
$\rho = \frac{9.1 \times 10^{-31}}{544 \times 10^{-25}}$
$\rho \approx 0.0167 \times 10^{-6} \ \Omega m \approx 1.67 \times 10^{-8} \ \Omega m$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,अनुमानित मान $10^{-8} \ \Omega m$ है।

(B) गतिशीलता $\mu$,अपवाह वेग $V_d$ और विद्युत क्षेत्र $E$ का अनुपात है: $\mu = \frac{V_d}{E}$.
ओम के नियम के अनुसार,$E = \rho J$,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है और $J$ धारा घनत्व है।
धारा घनत्व $J = \frac{I}{A} = \frac{I}{\pi r^2}$.
दिया गया है: $I = 5\, A$,$\rho = 1.7 \times 10^{-8}\, \Omega \, m$,$r = 5\, mm = 5 \times 10^{-3}\, m$,और $V_d = 1.1 \times 10^{-3}\, m/s$.
सबसे पहले,विद्युत क्षेत्र $E$ की गणना करें:
$E = \rho \times \frac{I}{\pi r^2} = 1.7 \times 10^{-8} \times \frac{5}{\pi \times (5 \times 10^{-3})^2} = 1.7 \times 10^{-8} \times \frac{5}{\pi \times 25 \times 10^{-6}} \approx 1.08 \times 10^{-3}\, V/m$.
अब,गतिशीलता $\mu$ की गणना करें:
$\mu = \frac{1.1 \times 10^{-3}}{1.08 \times 10^{-3}} \approx 1.01\, m^2/Vs$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $1.0\, m^2/Vs$ है।

(C) स्थिर अवस्था में किसी चालक के किसी भी अनुप्रस्थ काट से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा $I$ स्थिर रहती है,इसलिए $I$ सभी बिंदुओं पर समान होती है।
संबंध $I = neA V_d$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $V_d$ अपवाह चाल है।
चूंकि $I$,$n$,और $e$ स्थिर हैं,इसलिए हमारे पास $V_d \propto \frac{1}{A}$ है।
जैसे-जैसे तार में $A$ से $B$ की ओर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ घटता है,अपवाह चाल $V_d$ बढ़नी चाहिए।
इसलिए,बिंदु $A$ पर अपवाह चाल बिंदु $B$ पर अपवाह चाल से कम है,अर्थात $(V_d)_A < (V_d)_B$।

(A) ओम का नियम बताता है कि किसी चालक से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा $I$,उसके सिरों पर लगाए गए विभवांतर $V$ के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते भौतिक स्थितियाँ स्थिर रहें। इसका तात्पर्य यह है कि धारा घनत्व $J$,विद्युत क्षेत्र $E$ के सीधे आनुपातिक होता है $(J = \sigma E)$।
चूंकि धारा घनत्व $J = n e v_d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,और $v_d$ अपवाह वेग है,इसलिए $n e v_d = \sigma E$ होता है।
यह दर्शाता है कि $v_d \propto E$ है।
अतः,ओम का नियम तब पालन होता है जब अपवाह वेग विद्युत क्षेत्र के सीधे आनुपातिक होता है।

(C) धारा $I$ और अनुगमन वेग $v_d$ के बीच का संबंध $I = neAv_d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए $n$ और $e$ स्थिर रहते हैं। अतः,$I \propto A v_d$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi (d/2)^2 = \pi d^2 / 4$ है,इसलिए $A \propto d^2$.
अतः,$I \propto d^2 v_d$.
चूंकि दोनों स्थितियों में धारा $I$ समान है,इसलिए $d_1^2 v_{d1} = d_2^2 v_{d2}$ होगा।
यहाँ $d_1 = d$,$v_{d1} = v_d$,और $d_2 = d/2$ रखने पर:
$d^2 v_d = (d/2)^2 v_{d2}$
$d^2 v_d = (d^2 / 4) v_{d2}$
$v_{d2} = 4v_d$.

(A) विद्युत धारा $i$ का सूत्र $i = neAv_d$ है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $v_d$ अनुगमन वेग है।
$L$ लंबाई के तार में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $N = nAL$ है।
अतः,$nA = N/L$।
इसे धारा के समीकरण में रखने पर: $i = (N/L)ev_d$,जिसका अर्थ है $Nv_d = iL/e$।
सभी इलेक्ट्रॉनों का कुल संवेग $P = Nmv_d$ है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m \approx 9.1 \times 10^{-31}\, kg)$ है।
संवेग के समीकरण में $Nv_d = iL/e$ रखने पर: $P = m(iL/e) = (m/e) \times iL$।
यहाँ $m = 9.1 \times 10^{-31}\, kg$,$e = 1.6 \times 10^{-19}\, C$,$i = 16\, A$,और $L = 1\, m$ है:
$P = (9.1 \times 10^{-31} / 1.6 \times 10^{-19}) \times 16 \times 1$
$P = (9.1 / 1.6) \times 10^{-12} \times 16$
$P = 9.1 \times 10^{-12} \times 10 = 91 \times 10^{-12}\, kg\, m/s$.

(A) धारा $I$ और अनुगमन वेग $v_d$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$I = n e A v_d$
जहाँ:
$I = 10\,A$ (धारा)
$n = 9 \times 10^{28}\,m^{-3}$ (प्रति इकाई आयतन इलेक्ट्रॉनों की संख्या)
$e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश)
$A = 1\,cm^2 = 1 \times 10^{-4}\,m^2$ (अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल)
अनुगमन वेग $v_d$ के लिए सूत्र:
$v_d = \frac{I}{n e A}$
मान रखने पर:
$v_d = \frac{10}{(9 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (1 \times 10^{-4})}$
$v_d = \frac{10}{9 \times 1.6 \times 10^{28-19-4}}$
$v_d = \frac{10}{14.4 \times 10^5}$
$v_d = \frac{10}{1.44 \times 10^6} \approx 6.94 \times 10^{-6}\,m/s$

(A) चालक में धारा $I$ को $I = n e A v_d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v_d$ अनुगमन वेग है।
धारा घनत्व $J$ को $J = \frac{I}{A} = n e v_d$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूक्ष्म रूप में ओम के नियम के अनुसार,धारा घनत्व $J$ का विद्युत क्षेत्र $E$ के साथ संबंध $J = \sigma E$ होता है,जहाँ $\sigma$ विद्युत चालकता है।
$J$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $n e v_d = \sigma E$ प्राप्त होता है।
चूँकि एक निश्चित तापमान पर किसी दिए गए पदार्थ के लिए $n$,$e$ और $\sigma$ स्थिरांक होते हैं,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $v_d \propto E$।

(C) जब किसी धात्विक चालक से स्थिर विद्युत धारा प्रवाहित होती है,तो उसमें इलेक्ट्रॉनों का अनुगमन वेग $(v_d)$ लगभग $10^{-4} \ m/s$ की कोटि का होता है।
यह मान इलेक्ट्रॉनों के यादृच्छिक ऊष्मीय वेग की तुलना में बहुत कम होता है,जो कमरे के तापमान पर $10^5 \ m/s$ की कोटि का होता है।
अतः,अनुगमन वेग की सही कोटि $10^{-4} \ m/s$ है।

(B) दिया है: धारा $I = 1.1\, A$,व्यास $d = 1\, mm = 10^{-3}\, m$,घनत्व $\rho = 9 \times 10^{3}\, kg/m^3$,मोलर द्रव्यमान $M = 63 \times 10^{-3}\, kg/mol$.
प्रति इकाई आयतन परमाणुओं की संख्या $n = \frac{\rho N_A}{M}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $n = \frac{9 \times 10^{3} \times 6.023 \times 10^{23}}{63 \times 10^{-3}} \approx 8.6 \times 10^{28}\, m^{-3}$.
चूंकि प्रत्येक परमाणु एक मुक्त इलेक्ट्रॉन छोड़ता है,इसलिए इलेक्ट्रॉन घनत्व $n_e = n = 8.6 \times 10^{28}\, m^{-3}$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{3.14 \times (10^{-3})^2}{4} = 7.85 \times 10^{-7}\, m^2$.
अपवाह वेग $v_d = \frac{I}{n_e A e}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v_d = \frac{1.1}{(8.6 \times 10^{28}) \times (7.85 \times 10^{-7}) \times (1.6 \times 10^{-19})}$.
$v_d = \frac{1.1}{1.08 \times 10^{4}} \approx 1.018 \times 10^{-4}\, m/s = 0.1018\, mm/s \approx 0.1\, mm/s$.

(A) विद्युत धारा $i$ और अनुगमन वेग $V_d$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $i = neAV_d$,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है,$e$ प्राथमिक आवेश $(1.6 \times 10^{-19}\, C)$ है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिया गया है:
$i = 1.6\, A$
$n = 10^{29}\, m^{-3}$
$A = 1\, mm^2 = 10^{-6}\, m^2$
$e = 1.6 \times 10^{-19}\, C$
$V_d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$V_d = \frac{i}{neA}$
मान रखने पर:
$V_d = \frac{1.6}{10^{29} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-6}}$
$V_d = \frac{1.6}{1.6 \times 10^{29-19-6}}$
$V_d = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}\, m/s$.

(C) चालक में प्रवाहित विद्युत धारा $I$ का संबंध $I = neAv_d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v_d$ अनुगमन वेग है।
चूंकि $A = \pi r^2$,इसलिए समीकरण $I = ne(\pi r^2)v_d$ हो जाता है।
यहाँ विद्युत धारा $I$ स्थिर है,इसलिए $v_d \propto \frac{1}{r^2}$ होगा।
यदि त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए $(r' = 2r)$,तो नया अनुगमन वेग $v_d'$ होगा:
$v_d' = v_d \times \left(\frac{r}{r'}\right)^2 = v_d \times \left(\frac{r}{2r}\right)^2 = \frac{v_d}{4}$.
अतः,नया अनुगमन वेग $\vec v/4$ होगा।

(C) एक चालक में बड़ी संख्या में मुक्त इलेक्ट्रॉन होते हैं। जब हम परिपथ को बंद करते हैं,तो विद्युत क्षेत्र तुरंत विद्युत चुम्बकीय तरंगों की गति (लगभग $3 \times 10^8 \ m/s$) से पूरे चालक में स्थापित हो जाता है।
यह विद्युत क्षेत्र सभी मुक्त इलेक्ट्रॉनों पर एक साथ बल लगाता है,जिससे वे अपवाह (drift) करने लगते हैं।
परिणामस्वरूप,पूरे परिपथ में धारा तुरंत स्थापित हो जाती है।
धारा इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि एक इलेक्ट्रॉन को चालक के एक सिरे से दूसरे सिरे तक जाने में कितना समय लगता है।
इलेक्ट्रॉनों का अपवाह वेग वास्तव में बहुत कम होता है (आमतौर पर $10^{-4} \ m/s$ की कोटि का)।
अतः,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है।

(C) ओम के नियम के सूक्ष्म रूप $\vec J = \sigma \vec E$ से,जहाँ $\sigma$ चालकता है। चूंकि $\sigma$ एक धनात्मक अदिश राशि है,इसलिए धारा घनत्व $\vec J$ हमेशा विद्युत क्षेत्र $\vec E$ की दिशा में होता है। अतः,कथन सही है।
कारण के संबंध में,जब किसी बिंदु आवेश को स्थिर-वैद्युत क्षेत्र में विरामावस्था से छोड़ा जाता है,तो वह केवल तभी विद्युत बल रेखा के अनुदिश गति करता है यदि विद्युत बल रेखा एक सीधी रेखा हो। यदि विद्युत बल रेखाएं वक्र हैं,तो आवेश बल रेखा के पथ का अनुसरण नहीं करेगा क्योंकि वेग सदिश और बल सदिश (जो बल रेखा के स्पर्शरेखीय होता है) संरेख नहीं रहेंगे। अतः,कारण गलत है।

(A) विद्युत धारा की अनुपस्थिति में,चालक में मुक्त इलेक्ट्रॉन गैस के अणुओं की तरह यादृच्छिक गति (random motion) की स्थिति में होते हैं।
उनका औसत वेग शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि उनके पास किसी विशिष्ट दिशा में कोई नेट वेग नहीं होता है।
परिणामस्वरूप,चुंबकीय क्षेत्र में मुक्त इलेक्ट्रॉनों पर कोई नेट चुंबकीय बल कार्य नहीं करता है।
जब धारा प्रवाहित की जाती है,तो मुक्त इलेक्ट्रॉन एक निश्चित दिशा में अनुगमन वेग (drift velocity) प्राप्त कर लेते हैं,और परिणामस्वरूप,उन पर चुंबकीय बल कार्य करता है (बशर्ते चुंबकीय क्षेत्र का एक घटक प्रवाह की दिशा के लंबवत हो)।

$(A)$ अपवाह वेग $v_{d}$ का सूत्र $v_{d} = \frac{I}{neA}$ है।
दिया गया है: $I = 1.5 \; A$, $A = 1.0 \times 10^{-7} \; m^{2}$, $e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$.
संख्या घनत्व $n$ की गणना:
$n = \frac{\text{घनत्व} \times N_{A}}{\text{परमाणु द्रव्यमान}} = \frac{9.0 \times 10^{3} \; kg/m^{3} \times 6.022 \times 10^{23} \; \text{परमाणु}/\text{मोल}}{63.5 \times 10^{-3} \; kg/\text{मोल}} \approx 8.5 \times 10^{28} \; m^{-3}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v_{d} = \frac{1.5}{8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^{-7}} \approx 1.1 \times 10^{-3} \; m/s = 1.1 \; mm/s$.
$(b) (i)$ $300 \; K$ पर तांबे के परमाणुओं की तापीय चाल लगभग $2 \times 10^{2} \; m/s$ होती है। अपवाह वेग तापीय चाल से लगभग $10^{-5}$ गुना छोटा है।
$(ii)$ विद्युत क्षेत्र प्रकाश की चाल से प्रसारित होता है, $c = 3.0 \times 10^{8} \; m/s$। इस चाल की तुलना में अपवाह वेग $10^{-11}$ के कारक से अत्यंत छोटा है।

(N/A) विद्युत क्षेत्र पूरे परिपथ में लगभग तुरंत (प्रकाश की गति से) स्थापित हो जाता है,जिससे हर बिंदु पर स्थानीय इलेक्ट्रॉन अपवाह होता है। धारा की स्थापना के लिए इलेक्ट्रॉनों को चालक के एक सिरे से दूसरे सिरे तक जाने की प्रतीक्षा नहीं करनी पड़ती है। हालाँकि,धारा को अपने स्थिर मान तक पहुँचने में थोड़ा समय लगता है।
$(b)$ प्रत्येक 'मुक्त' इलेक्ट्रॉन त्वरित होता है,अपनी अपवाह चाल को तब तक बढ़ाता है जब तक कि वह धातु के धनात्मक आयन से टकरा न जाए। टक्कर के बाद वह अपनी अपवाह चाल खो देता है लेकिन फिर से त्वरित होना शुरू कर देता है और फिर से टक्कर का सामना करता है। इसलिए,औसतन,इलेक्ट्रॉन केवल एक अपवाह चाल प्राप्त करते हैं।
$(c)$ यह सरल है,क्योंकि इलेक्ट्रॉन संख्या घनत्व बहुत अधिक है,लगभग $10^{29}\; m^{-3}$।
$(d)$ बिल्कुल नहीं। अपवाह वेग इलेक्ट्रॉनों के बड़े यादृच्छिक (random) वेगों पर अध्यारोपित होता है।
$(e)$ विद्युत क्षेत्र की अनुपस्थिति में,पथ सीधी रेखाएं होते हैं; विद्युत क्षेत्र की उपस्थिति में,पथ सामान्यतः वक्र होते हैं।

(C) दिया गया है:
मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व,$n = 8.5 \times 10^{28} \; m^{-3}$
तार की लंबाई,$l = 3.0 \; m$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल,$A = 2.0 \times 10^{-6} \; m^2$
विद्युत धारा,$I = 3.0 \; A$
इलेक्ट्रॉन का आवेश,$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$
विद्युत धारा का सूत्र $I = nAe v_d$ है,जहाँ $v_d$ ड्रिफ्ट वेग है।
चूँकि $v_d = \frac{l}{t}$,इसलिए $I = nAe \frac{l}{t}$ होगा।
समय $t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{nAe l}{I}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$t = \frac{(8.5 \times 10^{28}) \times (2.0 \times 10^{-6}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times 3.0}{3.0}$
$t = 8.5 \times 2.0 \times 1.6 \times 10^{(28 - 6 - 19)}$
$t = 27.2 \times 10^3 = 2.72 \times 10^4 \; s$.
दो सार्थक अंकों तक लेने पर,$t = 2.7 \times 10^4 \; s$।

(N/A) ठोस चालकों में विद्युत धारा की अनुपस्थिति को इस प्रकार समझाया जा सकता है:
$1$. जब धात्विक ठोस बनते हैं,तो संयोजी इलेक्ट्रॉन अपने मूल परमाणुओं से अलग होकर मुक्त इलेक्ट्रॉन बन जाते हैं,जबकि धनात्मक आयन एक निश्चित त्रिविमीय ज्यामितीय व्यवस्था में स्थिर रहते हैं।
$2$. बाहरी विद्युत क्षेत्र की अनुपस्थिति में,ये धनात्मक आयन तापीय ऊर्जा के कारण अपनी माध्य स्थिति के इर्द-गिर्द दोलन करते हैं।
$3$. मुक्त इलेक्ट्रॉन इन धनात्मक आयनों के बीच के स्थान में यादृच्छिक (random) गति करते हैं।
$4$. अपनी गति के दौरान,इलेक्ट्रॉन बार-बार धनात्मक आयनों से टकराते हैं,जिससे उनकी गति की दिशा लगातार बदलती रहती है।
$5$. चूंकि गति यादृच्छिक होती है,इसलिए किसी भी समय दिए गए अनुप्रस्थ काट (cross-section) से एक दिशा में गुजरने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या विपरीत दिशा में गुजरने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या के बराबर होती है। इस प्रकार,आवेश का कुल प्रवाह शून्य होता है और कोई धारा नहीं बनती है।

(N/A) विश्राम काल,जिसे $\tau$ द्वारा दर्शाया जाता है,को एक चालक में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की दो क्रमिक टक्करों के बीच के औसत समय अंतराल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
जब किसी चालक पर विद्युत क्षेत्र लागू किया जाता है,तो मुक्त इलेक्ट्रॉन यादृच्छिक गति करते हैं और जाली (lattice) के धनात्मक आयनों से टकराते हैं।
ऐसी दो लगातार टक्करों के बीच बीते समय को विश्राम काल कहा जाता है।
यह आमतौर पर $10^{-14} \ s$ की कोटि का होता है।

(A) $1$. चालक: जिन पदार्थों से होकर विद्युत आवेश आसानी से प्रवाहित हो सकता है,उन्हें चालक कहा जाता है। इसका कारण यह है कि इनमें बड़ी संख्या में मुक्त इलेक्ट्रॉन होते हैं जो पूरे पदार्थ में स्वतंत्र रूप से घूम सकते हैं। उदाहरण के लिए तांबा,चांदी और एल्यूमीनियम जैसी धातुएं।
$2$. कुचालक (अचालक): जिन पदार्थों से होकर विद्युत आवेश आसानी से प्रवाहित नहीं हो सकता,उन्हें कुचालक या अचालक कहा जाता है। इसका कारण यह है कि इनमें बहुत कम या कोई मुक्त इलेक्ट्रॉन नहीं होते हैं,और इलेक्ट्रॉन अपने संबंधित परमाणुओं के साथ मजबूती से बंधे होते हैं। उदाहरण के लिए कांच,प्लास्टिक,रबर और लकड़ी।
$3$. तुलना: कुचालकों की तुलना में चालकों में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या काफी अधिक होती है। इसलिए,चालकों में अधिक मुक्त इलेक्ट्रॉन होते हैं।

(N/A) धारा घनत्व: किसी बिंदु पर विद्युत धारा घनत्व को उस बिंदु पर धारा के लंबवत प्रति इकाई अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है। धारा घनत्व एक सदिश राशि है।
$\overrightarrow{J} = \frac{I}{A} \hat{n}$
$\text{मात्रक} = A/m^2 = A \cdot m^{-2}$
$\text{विमीय सूत्र} = [M^0 L^{-2} T^0 A^1]$
ओम के नियम का सदिश रूप:
$l$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले एक चालक पर विचार करें। माना कि उस पर आरोपित विद्युत क्षेत्र $E$ है। विभवांतर $V = E \cdot l$ है।
ओम के नियम के अनुसार,$V = I \cdot R$ है।
हम जानते हैं कि प्रतिरोध $R = \rho \cdot \frac{l}{A}$,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है।
ओम के नियम में $V$ और $R$ का मान रखने पर:
$E \cdot l = I \cdot \left( \frac{\rho \cdot l}{A} \right)$
$E = \left( \frac{I}{A} \right) \cdot \rho$
चूंकि धारा घनत्व $J = I/A$ है,इसलिए:
$E = J \cdot \rho$
चालकता $\sigma = 1/\rho$ का उपयोग करने पर:
$E = J / \sigma$
$J = \sigma \cdot E$
सदिश रूप में,इसे $\overrightarrow{J} = \sigma \overrightarrow{E}$ के रूप में लिखा जाता है,जो ओम के नियम का सदिश रूप है।

(N/A) ओम का नियम अपने सूक्ष्म या सदिश रूप में धारा घनत्व सदिश $\vec{J}$ और विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ के बीच संबंध को दर्शाता है।
ओम के नियम के अनुसार,एक चालक में किसी बिंदु पर धारा घनत्व $\vec{J}$ उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के सीधे समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\vec{J} = \sigma \vec{E}$
जहाँ:
$\vec{J}$ धारा घनत्व सदिश है ($A/m^2$ में मापा जाता है),
$\sigma$ पदार्थ की विद्युत चालकता है ($\Omega^{-1} m^{-1}$ या $S/m$ में मापा जाता है),
$\vec{E}$ विद्युत क्षेत्र सदिश है ($V/m$ में मापा जाता है)।
वैकल्पिक रूप से,चूंकि $\sigma = 1/\rho$,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,इस समीकरण को $\vec{E} = \rho \vec{J}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(N/A) $1$. इलेक्ट्रॉन का अपवाह (Drift): एक चालक में,मुक्त इलेक्ट्रॉन तापीय ऊर्जा के कारण यादृच्छिक गति करते हैं और धनात्मक आयनों से टकराते हैं। उनका औसत वेग शून्य होता है। जब एक बाहरी विद्युत क्षेत्र $E$ लगाया जाता है,तो ये इलेक्ट्रॉन $F = -eE$ बल का अनुभव करते हैं,जिससे वे विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में धीरे-धीरे अपवाहित (drift) होते हैं। इस शुद्ध धीमी गति को अपवाह कहा जाता है।
$2$. अपवाह वेग $(v_d)$: इसे बाहरी विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में चालक में मुक्त इलेक्ट्रॉनों द्वारा प्राप्त औसत वेग के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि $\tau$ औसत विश्रांति काल (relaxation time) है,तो $v_d = -\frac{eE\tau}{m}$ होता है।
$3$. विद्युत धारा $(I)$ की व्युत्पत्ति: $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और $L$ लंबाई वाले एक चालक पर विचार करें। मान लीजिए $n$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है। $A \Delta x$ आयतन में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $n A \Delta x$ है। चूंकि $\Delta x = v_d \Delta t$,इसलिए $\Delta t$ समय में अनुप्रस्थ काट से गुजरने वाला कुल आवेश $\Delta Q = (n A v_d \Delta t) e$ है। विद्युत धारा $I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = n e A v_d$ द्वारा दी जाती है।

(N/A) अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले एक चालक पर विचार करें जिसमें विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ लगाया गया है। इस क्षेत्र के कारण,मुक्त इलेक्ट्रॉन एक बल का अनुभव करते हैं और $\vec{E}$ की विपरीत दिशा में अनुगमन वेग $v_d$ के साथ गति करते हैं।
$\Delta t$ के छोटे समयांतराल में,इलेक्ट्रॉनों द्वारा तय की गई दूरी $\Delta x = |v_d| \Delta t$ है।
इन इलेक्ट्रॉनों वाले बेलनाकार तत्व का आयतन $V = A \Delta x = A |v_d| \Delta t$ है।
यदि $n$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व (प्रति इकाई आयतन इलेक्ट्रॉनों की संख्या) है,तो इस आयतन में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $N = n V = n A |v_d| \Delta t$ है।
$\Delta t$ समय में अनुप्रस्थ काट से गुजरने वाला कुल आवेश $\Delta Q = N e = n A e |v_d| \Delta t$ है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन के आवेश का परिमाण है।
विद्युत धारा $I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = n A e |v_d|$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि धारा घनत्व $J = \frac{I}{A}$ है,इसलिए $J = \frac{n A e |v_d|}{A} = n e |v_d|$ प्राप्त होता है।
सदिश रूप में,चूंकि इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र के विपरीत दिशा में अनुगमन करते हैं,इसलिए $\vec{J} = -n e \vec{v}_d$ होता है।

(N/A) गतिशीलता $(\mu)$ को चालक पर लागू प्रति इकाई विद्युत क्षेत्र $(E)$ में अपवाह वेग $(v_d)$ के परिमाण के रूप में परिभाषित किया गया है。
गणितीय रूप से, $\mu = \frac{|v_d|}{E}$.
चूंकि अपवाह वेग $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $e$ आवेश है, $\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है, और $m$ वाहक का द्रव्यमान है, इसे गतिशीलता समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर $\mu = \frac{e\tau}{m}$ प्राप्त होता है。
$SI$ मात्रक: $m^2 V^{-1} s^{-1}$。
विमीय सूत्र: $[M^{-1} L^0 T^2 A^1]$。