Potentiometer Questions in Hindi

(D) पोटेंशियोमीटर परिपथ में,संतुलन बिंदु तब प्राप्त होता है जब पोटेंशियोमीटर तार के उस हिस्से के सिरों पर विभवांतर,मापे जाने वाले सेल के $e.m.f.$ के बराबर होता है।
संतुलन बिंदु पर,सेल से जुड़े गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
चूंकि संतुलन बिंदु पर सेल परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए सेल का आंतरिक प्रतिरोध और सेल के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा कोई भी बाहरी प्रतिरोध सेल के सिरों पर विभवांतर को प्रभावित नहीं करता है।
इसलिए,सेल के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोध के बावजूद संतुलन बिंदु अपरिवर्तित रहता है।

(A) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{resistor} + R_{potentiometer} = 15\,\Omega + 5\,\Omega = 20\,\Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{2\,V}{20\,\Omega} = 0.1\,A$ है।
पोटेंशियोमीटर तार के सिरों पर विभवांतर $V_{wire} = I \times R_{potentiometer} = 0.1\,A \times 5\,\Omega = 0.5\,V$ है।
विभव प्रवणता $k$ को प्रति इकाई लंबाई विभवांतर के रूप में परिभाषित किया जाता है: $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.5\,V}{100\,cm} = 0.005\,V/cm$।

(D) सही उत्तर $(D)$ है। पोटेंशियोमीटर को प्राथमिकता दी जाती है क्योंकि यह शून्य विक्षेप (null deflection) विधि पर कार्य करता है। संतुलित अवस्था में,गैल्वेनोमीटर शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,जिसका अर्थ है कि पोटेंशियोमीटर उस परिपथ से कोई धारा नहीं लेता है जिसका मापन किया जा रहा है। परिणामस्वरूप,यह आंतरिक प्रतिरोध के कारण वोल्टेज ड्रॉप हुए बिना सही विभवांतर मापता है,जबकि वोल्टमीटर को कार्य करने के लिए कुछ धारा की आवश्यकता होती है।

(A) विभव प्रवणता $(k)$ को तार की प्रति इकाई लंबाई में होने वाले विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है: $k = 10\,V/m$.
बिंदुओं $B$ और $C$ के बीच की दूरी $\Delta l = 60\,cm - 30\,cm = 30\,cm$ है।
दूरी को मीटर में बदलने पर: $\Delta l = 30\,cm = 0.3\,m$.
विभवांतर $(V_{BC})$ का सूत्र है: $V_{BC} = k \times \Delta l$.
मान रखने पर: $V_{BC} = 10\,V/m \times 0.3\,m = 3\,V$.
अतः,$B$ और $C$ के बीच विभवांतर $3\,V$ है।

(A) एक गैल्वेनोमीटर का अपना प्रतिरोध कम होता है,लेकिन एक वोल्टमीटर का प्रतिरोध बहुत अधिक होना चाहिए ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि यह उस सर्किट से न्यूनतम धारा खींचता है जिसे वह माप रहा है।
गैल्वेनोमीटर को वोल्टमीटर में बदलने के लिए,हमें इसके प्रभावी प्रतिरोध को बढ़ाने की आवश्यकता होती है। यह गैल्वेनोमीटर कुंडली के साथ श्रेणीक्रम में एक उच्च प्रतिरोध जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,गैल्वेनोमीटर और श्रेणी प्रतिरोध का संयोजन एक वोल्टमीटर के रूप में कार्य करता है।
नोट: एक आदर्श वोल्टमीटर का प्रतिरोध अनंत होना चाहिए।

(A) पोटेंशियोमीटर का उपयोग करके सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ के लिए सूत्र $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ है,जहाँ $R$ बाहरी प्रतिरोध है,$l_1$ बाहरी प्रतिरोध के बिना संतुलन लंबाई है और $l_2$ बाहरी प्रतिरोध के साथ संतुलन लंबाई है।
दिया गया है:
$l_1 = 125\,cm$
$l_2 = 100\,cm$
$R = 2\,\Omega$
सूत्र में मान रखने पर:
$r = 2 \left( \frac{125}{100} - 1 \right)$
$r = 2 \left( 1.25 - 1 \right)$
$r = 2 \times 0.25 = 0.5\,\Omega$.
अतः,डेनियल सेल का आंतरिक प्रतिरोध $0.5\,\Omega$ है।

(B) विभवमापी की सुग्राहिता विभव प्रवणता $(P.G.)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
$P.G. = \frac{V}{L}$,जहाँ $V$ तार के सिरों के बीच विभवांतर है और $L$ तार की लंबाई है।
सुग्राहिता बढ़ाने के लिए,हमें विभव प्रवणता को कम करना होगा।
चूँकि $P.G. \propto \frac{1}{L}$,विभवमापी के तार की लंबाई बढ़ाने से विभव प्रवणता कम हो जाती है,जिससे उपकरण की सुग्राहिता बढ़ जाती है।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(B) पोटेंशियोमीटर को विभवांतर मापने के लिए एक आदर्श उपकरण माना जाता है क्योंकि संतुलन की स्थिति (शून्य विक्षेप बिंदु) पर,यह उस स्रोत से कोई विद्युत धारा नहीं लेता है जिसे मापा जा रहा है।
चूंकि कोई धारा नहीं ली जाती है,इसलिए स्रोत के आंतरिक प्रतिरोध में कोई वोल्टेज ड्रॉप नहीं होता है,और मापा गया विभवांतर स्रोत के वास्तविक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ के बराबर होता है।
इसलिए,यह उस विभवांतर को बाधित नहीं करता है जिसे यह मापता है।

(A) एक समान तार में विभव पतन उसकी लंबाई के सीधे आनुपातिक होता है,क्योंकि $V = IR$ और $R = \rho \frac{l}{A}$ होता है।
चूंकि धारा $I$ और प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध स्थिर है,इसलिए $V \propto l$ होता है।
दिया गया है: कुल लंबाई $L = 3\,m = 300\,cm$,कुल विभव $V_{total} = 6\,V$,और लंबाई का खंड $l = 50\,cm$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{V_{segment}}{V_{total}} = \frac{l}{L}$।
मान रखने पर: $\frac{V_{segment}}{6} = \frac{50}{300}$।
$\frac{V_{segment}}{6} = \frac{1}{6}$।
अतः,$V_{segment} = 1\,V$।

(A) विभवमापी में,सेल का $e.m.f.$ उस संतुलन लंबाई $(l)$ के सीधे आनुपातिक होता है जहाँ शून्य-विक्षेप बिंदु प्राप्त होता है,अर्थात $E \propto l$।
इसलिए,$E_1$ और $E_2$ $e.m.f.$ वाले दो सेलों और उनकी संतुलन लंबाइयों $l_1$ और $l_2$ के लिए,अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $l_1 = 20 \ cm$ और $l_2 = 30 \ cm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$।
अतः,उनके $e.m.f.$ का अनुपात $2/3$ है।

(A) विभवमापी के तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $k$,$k = V/L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ तार के सिरों के बीच का विभवांतर है और $L$ तार की लंबाई है।
जब विभवमापी के तार की लंबाई $L$ बढ़ाई जाती है,तो विभव प्रवणता $k$ कम हो जाती है।
संतुलन बिंदु की लंबाई $l$ संबंध $E = kl$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ मापे जा रहे सेल का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ है।
चूँकि $E$ स्थिर रहता है और $k$ घटता है,इसलिए संतुलन बिंदु की लंबाई $l = E/k$ बढ़ जाएगी।

(B) विभवमापी में,संतुलन बिंदु तब प्राप्त होता है जब धनात्मक टर्मिनल और जॉकी के बीच विभवमापी तार के उस हिस्से का विभवांतर $(p.d.)$ मापे जा रहे प्रायोगिक सेल के $e.m.f.$ के बिल्कुल बराबर हो जाता है।
इस बिंदु पर,गैल्वेनोमीटर के सिरों के बीच विभवांतर शून्य हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप गैल्वेनोमीटर शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,जिसे शून्य विक्षेप द्वारा दर्शाया जाता है।

(B) विभवमापी के प्रयोग में,संतुलन बिंदु तब प्राप्त होता है जब विभवमापी के तार के चयनित खंड पर विभवांतर,द्वितीयक परिपथ में लगे सेल के विद्युत वाहक बल $(EMF)$ के बराबर और विपरीत हो जाता है।
चूंकि ये दोनों विभव समान और विपरीत दिशा में जुड़े होते हैं,इसलिए गैल्वेनोमीटर शाखा में कुल विभवांतर शून्य हो जाता है।
परिणामस्वरूप,गैल्वेनोमीटर परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है और गैल्वेनोमीटर शून्य विक्षेप दर्शाता है।

(B) माना कि दो सेलों के $e.m.f.$ $E_1$ और $E_2$ हैं।
जब समान ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल $e.m.f.$ $E_1 + E_2$ होता है। संतुलन लंबाई $l_1 = 8 \; m$ है। अतः,$E_1 + E_2 = k l_1 = 8k$,जहाँ $k$ पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता है।
जब एक सेल की ध्रुवता उलट दी जाती है,तो कुल $e.m.f.$ $E_1 - E_2$ होता है (मानते हुए कि $E_1 > E_2$)। संतुलन लंबाई $l_2 = 2 \; m$ है। अतः,$E_1 - E_2 = k l_2 = 2k$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{8k}{2k} = 4$।
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर: $\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{4 + 1}{4 - 1}$।
इसे सरल करने पर $\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{E_1}{E_2} = \frac{5}{3}$।

(B) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{wire} + R_{external} = 15\, \Omega + 5\, \Omega = 20\, \Omega$ है।
विभवमापी तार से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{2\, V}{20\, \Omega} = 0.1\, A$ है।
विभवमापी तार के सिरों पर विभवांतर $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.1\, A \times 15\, \Omega = 1.5\, V$ है।
विभव प्रवणता $x$ को तार की प्रति इकाई लंबाई पर विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है: $x = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{1.5\, V}{1000\, cm} = \frac{1.5}{1000}\, V/cm = \frac{3}{2000}\, V/cm$।

(D) पोटेंशियोमीटर परिपथ में,पोटेंशियोमीटर तार के सिरों पर विभवांतर,तुलना किए जाने वाले सेलों के $e.m.f.$ से अधिक होना चाहिए।
यदि मानक सेल का $e.m.f.$ (जो विभव प्रवणता निर्धारित करता है) प्रायोगिक सेलों के $e.m.f.$ से छोटा है,तो तार पर विभव का पतन परीक्षण सेलों के $e.m.f.$ को संतुलित करने के लिए अपर्याप्त होगा।
परिणामस्वरूप,पोटेंशियोमीटर तार पर कोई संतुलन बिंदु (शून्य विक्षेप बिंदु) प्राप्त नहीं होगा,जिससे प्रयोग असफल हो जाएगा।
अतः,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(A) विभवमापी (potentiometer) में,तार की $l$ लंबाई पर विभव पतन $V = kl$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ विभव प्रवणता है।
शून्य विक्षेप बिंदु पर,सेल का $e.m.f.$ संतुलन लंबाई $l$ पर विभव पतन द्वारा संतुलित होता है,इसलिए $E = kl$ होता है।
चूंकि $E_1 > E_2$ है,इसलिए $E_1$ के लिए संतुलन लंबाई $l_1$,$E_2$ के लिए संतुलन लंबाई $l_2$ से अधिक होगी $(l_1 > l_2)$।
चूंकि शून्य विक्षेप बिंदु $C$,$l_1$ के अनुरूप है,और $l_2 < l_1$ है,इसलिए $E_2$ के लिए नया शून्य विक्षेप बिंदु $A$ से $C$ की तुलना में कम दूरी पर होगा।
अतः,शून्य विक्षेप बिंदु $C$ के बाईं ओर स्थानांतरित हो जाएगा।

(B) पोटेंशियोमीटर का उपयोग करके सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ है,जहाँ $l_1$ बिना शंट के संतुलन लंबाई है और $l_2$ शंट $R$ के साथ संतुलन लंबाई है।
दिया गया है:
स्थिति $1$: $R_1 = 5\,\Omega$,$l_1 = 2\,m$
स्थिति $2$: $R_2 = 10\,\Omega$,$l_2 = 3\,m$
मान लीजिए कि $L$ बिना किसी शंट के सेल की संतुलन लंबाई है।
पहली स्थिति के लिए: $r = 5 \left( \frac{L}{2} - 1 \right) = 2.5L - 5$ ... $(i)$
दूसरी स्थिति के लिए: $r = 10 \left( \frac{L}{3} - 1 \right) = \frac{10}{3}L - 10$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$2.5L - 5 = \frac{10}{3}L - 10$
$5 = \frac{10}{3}L - 2.5L$
$5 = \frac{10L - 7.5L}{3} = \frac{2.5L}{3}$
$15 = 2.5L \implies L = 6\,m$
$L = 6$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$r = 5 \left( \frac{6}{2} - 1 \right) = 5(3 - 1) = 5 \times 2 = 10\,\Omega$.

(A) पोटेंशियोमीटर में, लंबाई $XP$ पर विभव पतन (potential drop) $V_{XP} = I \cdot R_{XP}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $I$ पोटेंशियोमीटर तार $XY$ में बहने वाली धारा है।
संतुलन बिंदु प्राप्त करने के लिए, $XP$ पर विभव पतन सेल $E$ के $e.m.f.$ के बराबर होना चाहिए $(V_{XP} = E)$।
चूंकि जैसे-जैसे $P$, $Y$ की ओर बढ़ता है, गैल्वेनोमीटर का विक्षेप कम होता जाता है, इसका मतलब है कि $Y$ बिंदु पर भी $XP$ पर विभव पतन $E$ से कम है $(V_{XY} < E)$।
$X$ और $Y$ के बीच संतुलन बिंदु प्राप्त करने के लिए, हमें तार $XY$ पर विभव प्रवणता (potential gradient) को बढ़ाने की आवश्यकता है।
यह तार $XY$ में धारा $I$ को बढ़ाकर प्राप्त किया जा सकता है।
सूत्र $I = V / (R_{wire} + R)$ के अनुसार, बाहरी प्रतिरोध $R$ को घटाने से धारा $I$ बढ़ जाएगी, जिससे $P$ की किसी भी स्थिति के लिए $XP$ पर विभव पतन बढ़ जाएगा।
अतः, $R$ को घटाने से संतुलन बिंदु को $XY$ की लंबाई के भीतर प्राप्त किया जा सकता है।

(B) $1$. प्राथमिक परिपथ में धारा $I$ की गणना करें:
$I = \frac{V_{total}}{R_{total}} = \frac{10\,V}{4\,\Omega + 5\,\Omega + 1\,\Omega} = \frac{10}{10} = 1\,A$.
$2$. पोटेंशियोमीटर तार पर विभवांतर की गणना करें:
$5\,m$ के तार पर विभवांतर $V_{wire} = I \times R_{wire} = 1\,A \times 5\,\Omega = 5\,V$.
$3$. विभव प्रवणता $x$ की गणना करें:
$x = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{5\,V}{5\,m} = 1\,V/m$.
$4$. संतुलन लंबाई $l = 300\,cm = 3\,m$ है।
संतुलन लंबाई पर विभवांतर $V_{bal} = x \times l = 1\,V/m \times 3\,m = 3\,V$.
$5$. चूंकि $e.m.f.$ $E$ वाले दो समान सेल समानांतर में जुड़े हैं,उनका तुल्य $e.m.f.$ $E_{eq} = E$ होगा।
अतः,$E = 3\,V$.

(A) विभव प्रवणता $x$ को तार की प्रति इकाई लंबाई में विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $x = \frac{V}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V = iR$ और प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ होता है,इसलिए हम इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$x = \frac{iR}{L} = \frac{i (\rho L / A)}{L} = \frac{i \rho}{A}$.
दिया गया है:
$i = 0.2 \, A$
$\rho = 40 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot m$
$A = 8 \times 10^{-6} \, m^2$
मान रखने पर:
$x = \frac{0.2 \times 40 \times 10^{-8}}{8 \times 10^{-6}}$
$x = \frac{8 \times 10^{-8}}{8 \times 10^{-6}} = 1 \times 10^{-2} \, V/m = 10^{-2} \, V/m$.

(A) विभवमापी के तार की पूरी लंबाई पर विभवांतर जुड़े हुए सेल के $e.m.f.$ के बराबर होता है,जो कि $2\, V$ है।
विभव प्रवणता (प्रति इकाई लंबाई पर विभवांतर) को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
विभव प्रवणता $= \frac{V}{L}$
जहाँ $V = 2\, V$ और $L = 4\, m$ है।
अतः,प्रति इकाई लंबाई पर विभवांतर $= \frac{2\, V}{4\, m} = 0.5\, V/m$ होगा।

(A) विभव प्रवणता $x$ को तार की प्रति इकाई लंबाई में होने वाले विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सबसे पहले,परिपथ में बहने वाली कुल धारा $I$ की गणना करें:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{2.5\,V}{20\,\Omega + 80\,\Omega} = \frac{2.5}{100} = 0.025\,A$.
$20\,\Omega$ प्रतिरोध वाले पोटेंशियोमीटर तार पर विभव पतन है:
$V_{wire} = I \times R = 0.025\,A \times 20\,\Omega = 0.5\,V$.
विभव प्रवणता $x$ इस प्रकार है:
$x = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.5\,V}{10\,m} = 0.05\,V/m$.
इसे $V/mm$ में बदलने के लिए,हम जानते हैं कि $1\,m = 1000\,mm$:
$x = \frac{0.05\,V}{1000\,mm} = 5 \times 10^{-5\,V/mm}$.

(C) माना $E$ सेल का $EMF$ है और $r$ इसका आंतरिक प्रतिरोध है। संतुलन लंबाई $l_1 = 60 \ cm$ सेल के $EMF$ के अनुरूप है: $E = k l_1$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल को $R' = 6 \ \Omega$ के प्रतिरोध द्वारा शंट किया जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V$ इस प्रकार दिया जाता है: $V = E - Ir = E - \frac{E}{R' + r} r = E \left( \frac{R'}{R' + r} \right)$.
नई संतुलन लंबाई $l_2 = 50 \ cm$ इस टर्मिनल विभवांतर के अनुरूप है: $V = k l_2$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E}{V} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{R' + r}{R'}$.
मान रखने पर: $\frac{60}{50} = \frac{6 + r}{6}$.
$1.2 = 1 + \frac{r}{6} \implies 0.2 = \frac{r}{6}$.
$r = 0.2 \times 6 = 1.2 \ \Omega$.

(C) विभव प्रवणता $x$ को तार की प्रति इकाई लंबाई में विभव पतन के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $x = \frac{V_{wire}}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: तार की लंबाई $L = 10\, m$,प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\lambda = 1\,\Omega/m$,इसलिए तार का कुल प्रतिरोध $R = 10\,\Omega$ है।
सेल का $e.m.f.$ $E = 2.2\, V$ है।
मान लीजिए कि प्रतिरोध बॉक्स से लिया गया प्रतिरोध $R_h$ है।
परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R + R_h} = \frac{2.2}{10 + R_h}$ है।
तार के सिरों पर विभव पतन $V_{wire} = I \times R = \frac{2.2 \times 10}{10 + R_h}$ है।
विभव प्रवणता $x = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{2.2 \times 10}{(10 + R_h) \times 10} = \frac{2.2}{10 + R_h}$ है।
हमें $x = 2.2\, mV/m = 2.2 \times 10^{-3}\, V/m$ दिया गया है।
दोनों की तुलना करने पर: $2.2 \times 10^{-3} = \frac{2.2}{10 + R_h}$।
$10 + R_h = \frac{2.2}{2.2 \times 10^{-3}} = 10^3 = 1000$।
$R_h = 1000 - 10 = 990\,\Omega$।

(A) विभव प्रवणता $x$ को तार की प्रति इकाई लंबाई में होने वाले विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $x = \frac{V}{L}$ है।
ओम के नियम के अनुसार,$L$ लंबाई के तार पर विभव पतन $V = IR$ होता है,जहाँ $R$ तार का प्रतिरोध है।
प्रतिरोध $R$ का सूत्र $R = \frac{\rho L}{A}$ है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
$R$ का मान विभव पतन के समीकरण में रखने पर: $V = I \left( \frac{\rho L}{A} \right)$।
अब,$V$ का मान विभव प्रवणता के सूत्र में रखने पर: $x = \frac{I \left( \frac{\rho L}{A} \right)}{L}$।
समीकरण को सरल करने पर,हमें $x = \frac{I\rho}{A}$ प्राप्त होता है।

(B) सेल का $e.m.f.$ $E = k l_1$ है,जहाँ $k$ विभव प्रवणता है और $l_1 = 50\, cm$ है।
जब सेल को $R = 2\,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V = k l_2$ होता है,जहाँ $l_2 = 40\, cm$ है।
हम जानते हैं कि $V = E - Ir$ और $I = \frac{E}{R+r}$,इसलिए $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$ होता है।
$E$ और $V$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $k l_2 = k l_1 \left( \frac{R}{R+r} \right)$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{l_2}{l_1} = \frac{R}{R+r}$ मिलता है,जिससे $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $r = 2 \left( \frac{50}{40} - 1 \right) = 2 \left( 1.25 - 1 \right) = 2 \times 0.25 = 0.5\,\Omega$.

(A) चित्र में दिखाए गए सर्किट में एक वोल्टेज स्रोत को एक निश्चित प्रतिरोधक के आर-पार जोड़ा गया है। प्रतिरोधक के कुल विभवांतर $(P.D.)$ के एक हिस्से को प्राप्त करने के लिए एक स्लाइडिंग संपर्क (वाइपर) का उपयोग किया जाता है। स्लाइडिंग संपर्क को स्थानांतरित करके,आउटपुट वोल्टेज (Variable $P.D.$) को $0$ से लेकर प्रतिरोधक के आर-पार कुल वोल्टेज (Total $P.D.$) तक समायोजित किया जा सकता है। इस विशिष्ट व्यवस्था को पोटेंशियल डिवाइडर (विभव विभाजक) के रूप में जाना जाता है।

(B) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + R_{wire} + r = R + 10 + 1 = R + 11\,\Omega$ है।
परिपथ में बहने वाली धारा $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{2}{R + 11}$ द्वारा दी जाती है।
पोटेंशियोमीटर तार के सिरों पर विभवांतर $V = I \times R_{wire}$ है।
दिया गया है $V = 1\,mV = 10^{-3}\,V$ और $R_{wire} = 10\,\Omega$.
मान रखने पर: $10^{-3} = \left( \frac{2}{R + 11} \right) \times 10$.
$10^{-3} = \frac{20}{R + 11}$.
$R + 11 = \frac{20}{10^{-3}} = 20 \times 10^3 = 20000$.
$R = 20000 - 11 = 19989\,\Omega$.

(A) माना $k$ पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब बैटरी $E$ संतुलित होती है,तो इसका $EMF$ $E = k \cdot l_1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l_1 = 55 \, cm$ है।
जब बैटरी के साथ समानांतर में $R = 10 \, \Omega$ का प्रतिरोध जोड़ा जाता है,तो टर्मिनल वोल्टेज $V'$ संतुलित होता है,इसलिए $V' = k \cdot l_2$,जहाँ $l_2 = 50 \, cm$ है।
टर्मिनल वोल्टेज $V' = E \left( \frac{R}{R + r} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E}{V'} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{R + r}{R}$।
मान रखने पर: $\frac{55}{50} = \frac{10 + r}{10}$।
$1.1 = 1 + \frac{r}{10} \Rightarrow 0.1 = \frac{r}{10} \Rightarrow r = 1 \, \Omega$।

(D) प्रतिरोध पर विभवांतर $V$,विभव प्रवणता $x$ और संतुलन लंबाई $l$ के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।
$V = x \times l$
दिया गया है,विभव प्रवणता $x = 2\, mV/cm = 2 \times 10^{-3}\, V/cm$.
संतुलन लंबाई $l = 50\, cm$.
अतः,$V = (2 \times 10^{-3}\, V/cm) \times (50\, cm) = 100 \times 10^{-3}\, V = 0.1\, V$.
चूंकि $V = iR$,जहाँ $R = 10\, \Omega$ प्रतिरोध है:
$i = V / R = 0.1\, V / 10\, \Omega = 0.01\, A$.
$mA$ में बदलने पर,$i = 0.01 \times 1000\, mA = 10\, mA$.

(D) $1$. सबसे पहले,पोटेंशियोमीटर तार $AB$ से बहने वाली धारा $I$ की गणना करें। परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{wire} + R_{series} = 10\,\Omega + 40\,\Omega = 50\,\Omega$ है।
$2$. परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{2\,V}{50\,\Omega} = 0.04\,A$ है।
$3$. पोटेंशियोमीटर तार $AB$ पर विभव पतन $V_{AB} = I \times R_{wire} = 0.04\,A \times 10\,\Omega = 0.4\,V$ है।
$4$. विभव प्रवणता $k$ (प्रति इकाई लंबाई विभव पतन) $k = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{0.4\,V}{100\,cm} = 0.004\,V/cm$ है।
$5$. अज्ञात $e.m.f.$ $E$ को $l = 40\,cm$ लंबाई द्वारा संतुलित किया जाता है। इसलिए,$E = k \times l = 0.004\,V/cm \times 40\,cm = 0.16\,V$ है।

(C) माना कि $k$ विभवमापी तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल श्रेणीक्रम में और सहायक रूप से जुड़े होते हैं,तो कुल $e.m.f.$ $(E_1 + E_2)$ होता है। संतुलन लंबाई $l_1 = 58 \ cm$ है।
अतः,$(E_1 + E_2) = k \cdot l_1 = 58k$ --- $(1)$
जब $E_2$ की ध्रुवता को उलट दिया जाता है,तो कुल $e.m.f.$ $(E_1 - E_2)$ होता है। संतुलन लंबाई $l_2 = 29 \ cm$ है।
अतः,$(E_1 - E_2) = k \cdot l_2 = 29k$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{58k}{29k} = 2$
$E_1 + E_2 = 2(E_1 - E_2)$
$E_1 + E_2 = 2E_1 - 2E_2$
$3E_2 = E_1$
अतः,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{3}{1}$.

(D) एक आदर्श वोल्टमीटर का प्रतिरोध अनंत होता है।
दिए गए परिपथ में,वोल्टमीटर $6\,\Omega$ और $4\,\Omega$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा हुआ है।
चूंकि वोल्टमीटर का प्रतिरोध अनंत है,इसलिए परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है $(I = 0)$।
अतः,प्रतिरोधकों के सिरों पर कोई विभवांतर (potential drop) नहीं होता है।
खुले परिपथ में स्रोत के साथ जुड़े एक आदर्श वोल्टमीटर का पाठ्यांक सेल के विद्युत वाहक बल $(e.m.f.)$ के बराबर होता है।
इस प्रकार,वोल्टमीटर का पाठ्यांक $6\,V$ है।

(C) विभव प्रवणता (potential gradient) $x$ को तार की प्रति इकाई लंबाई पर विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है,$x = 1\, mV/cm = 10^{-3}\, V/cm = 0.1\, V/m$.
तार की कुल लंबाई $L = 100\, cm = 1\, m$ है।
तार के सिरों पर विभव पतन $V_{wire} = x \times L = 0.1\, V/m \times 1\, m = 0.1\, V$ है।
माना कि अतिरिक्त प्रतिरोध $R_h$ है। परिपथ में कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + R_h = 3 + R_h$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{2}{3 + R_h}$ है।
तार पर विभव पतन को $V_{wire} = I \times R$ द्वारा भी दर्शाया जाता है।
मान रखने पर: $0.1 = \left( \frac{2}{3 + R_h} \right) \times 3$.
$0.1(3 + R_h) = 6$.
$3 + R_h = 60$.
$R_h = 57\, \Omega$.

(C) विभव प्रवणता $x$ को तार की प्रति इकाई लंबाई में विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $x = \frac{V_{wire}}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,परिपथ का कुल प्रतिरोध ज्ञात करें: $R_{total} = R_{wire} + R_{series} + r = 20 \, \Omega + 10 \, \Omega + 0 \, \Omega = 30 \, \Omega$.
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{3 \, V}{30 \, \Omega} = 0.1 \, A$.
तार के सिरों पर विभव पतन $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.1 \, A \times 20 \, \Omega = 2 \, V$.
विभव प्रवणता $x = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{2 \, V}{10 \, m} = 0.2 \, V/m$.

(D) माना $E_1$ और $E_2$ दो सेलों के $e.m.f.$ हैं और $x$ पोटेंशियोमीटर तार की विभव प्रवणता है।
जब सेल एक-दूसरे का समर्थन करते हैं,तो कुल $e.m.f.$ $(E_1 + E_2) = x \cdot l_1$ होता है,जहाँ $l_1 = 6 \ m$ है।
जब सेल एक-दूसरे का विरोध करते हैं,तो कुल $e.m.f.$ $(E_1 - E_2) = x \cdot l_2$ होता है,जहाँ $l_2 = 2 \ m$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{6}{2} = 3$.
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर: $\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{3 + 1}{3 - 1}$.
इसे सरल करने पर: $\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{4}{2} = 2$.
अतः,अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = 2:1$ है।

(C) पोटेंशियोमीटर का तार आमतौर पर $Manganin$ (मैंगनीन) या $Constantan$ (कॉन्स्टेंटन) जैसी मिश्र धातुओं से बनाया जाता है।
इन पदार्थों को इसलिए चुना जाता है क्योंकि इनकी प्रतिरोधकता (resistivity) उच्च होती है और प्रतिरोध का ताप गुणांक बहुत कम होता है।
यह सुनिश्चित करता है कि प्रयोग के दौरान तापमान में थोड़ा बदलाव होने पर भी तार का प्रतिरोध व्यावहारिक रूप से स्थिर रहता है,जिससे सटीक माप प्राप्त होता है।

(B) तार के सिरों के बीच विभवांतर $V$ वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा दिया जाता है: $V = E \times \frac{R}{R + r}$, जहाँ $E = 10 \, V$, $R = 3 \, \Omega$, और $r = 3 \, \Omega$ है।
$V = 10 \times \frac{3}{3 + 3} = 10 \times \frac{3}{6} = 5 \, V$.
विभव प्रवणता $k$ को प्रति इकाई लंबाई विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है: $k = \frac{V}{L}$.
यहाँ $L = 500 \, cm = 5 \, m$ दिया गया है।
$k = \frac{5 \, V}{500 \, cm} = 0.01 \, V/cm$.
$mV/cm$ में बदलने पर: $0.01 \times 1000 = 10 \, mV/cm$.

(C) विभव प्रवणता $(x)$ को तार की प्रति इकाई लंबाई में विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे $x = \frac{V}{L}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि $V = IR$ और $R = \frac{\rho L}{A}$, हम इन्हें विभव प्रवणता के व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$x = \frac{I \cdot (\rho L / A)}{L} = \frac{I \rho}{A}$.
दिए गए मान हैं:
धारा $(I) = 0.1 \, A$,
प्रतिरोधकता $(\rho) = 10^{-7} \, \Omega \cdot m$,
क्षेत्रफल $(A) = 10^{-6} \, m^2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x = \frac{0.1 \times 10^{-7}}{10^{-6}} = \frac{10^{-1} \times 10^{-7}}{10^{-6}} = \frac{10^{-8}}{10^{-6}} = 10^{-2} \, V/m$.

(A) पोटेंशियोमीटर के सिद्धांत के अनुसार,तार की $l$ लंबाई पर विभव पतन (potential drop) लंबाई के सीधे आनुपातिक होता है,बशर्ते पोटेंशियोमीटर के तार में धारा $i$ स्थिर रहे।
$V = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है $(k = \frac{E}{L})$।
दिया गया है: $L = 100 \, cm$,$E$ = मानक सेल का $emf$,$l = 30 \, cm$।
मापी जाने वाली बैटरी का $emf$ $V = \frac{E}{L} \times l$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{E}{100} \times 30 = \frac{30E}{100}$।
नोट: संतुलन बिंदु पर,मापी जाने वाली बैटरी से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए इसका आंतरिक प्रतिरोध रीडिंग को प्रभावित नहीं करता है।

(B) माना पोटेंशियोमीटर तार का प्रतिरोध $R_w = 10 \, \Omega$ है और इसकी लंबाई $L = 100 \, cm = 1 \, m$ है।
प्राथमिक परिपथ में कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + R_w = R + 10$ है।
प्राथमिक परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R + R_w} = \frac{2}{R + 10}$ है।
पोटेंशियोमीटर तार पर विभव पतन $V_w = I \times R_w = \frac{2 \times 10}{R + 10} = \frac{20}{R + 10}$ है।
विभव प्रवणता $k = \frac{V_w}{L} = \frac{20}{R + 10} \times \frac{1}{100} = \frac{0.2}{R + 10} \, V/cm$ है।
$E = 10 \, mV = 10 \times 10^{-3} \, V$ के स्रोत के लिए शून्य विक्षेप बिंदु $l = 40 \, cm$ पर प्राप्त होता है।
पोटेंशियोमीटर के सिद्धांत के अनुसार,$E = k \times l$ है।
$10 \times 10^{-3} = \left( \frac{0.2}{R + 10} \right) \times 40$.
$0.01 = \frac{8}{R + 10}$.
$R + 10 = \frac{8}{0.01} = 800$.
$R = 800 - 10 = 790 \, \Omega$.

(B) विभवमापी का उपयोग करके सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ होता है,जहाँ $R$ बाह्य शंट प्रतिरोध है,$l_1$ शंट के बिना संतुलन लंबाई है और $l_2$ शंट के साथ संतुलन लंबाई है।
दिया गया है:
$l_1 = 150 \ cm$
$l_2 = 100 \ cm$
$R = 2 \ \Omega$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r = 2 \left( \frac{150}{100} - 1 \right)$
$r = 2 \left( 1.5 - 1 \right)$
$r = 2 \times 0.5 = 1 \ \Omega$.
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $1 \ \Omega$ है।

(D) पोटेंशियोमीटर तार $AB$ से बहने वाली धारा $I$ इस प्रकार है: $I = \frac{V_{source}}{R_{total}} = \frac{5 \, V}{R_{AB} + R_{series}} = \frac{5}{5 + 45} = \frac{5}{50} = 0.1 \, A$.
तार $AB$ के सिरों पर विभवांतर $V_{AB} = I \times R_{AB} = 0.1 \times 5 = 0.5 \, V$ है。
तार पर विभव प्रवणता $k = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{0.5 \, V}{10 \, m} = 0.05 \, V/m$ है。
$E = 0.4 \, V$ के $emf$ के लिए संतुलन लंबाई $l$ ज्ञात करने हेतु,$E = k \times l$ का उपयोग करने पर:
$0.4 = 0.05 \times l$.
$l = \frac{0.4}{0.05} = 8 \, m$.

(B) संतुलन लंबाई $l_1$,सेल के विद्युत वाहक बल $(E)$ के समानुपाती होती है: $E \propto l_1 = 240 \ cm$।
जब सेल को $R = 2 \ \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V$,$l_2 = 120 \ cm$ की लंबाई पर संतुलित होता है,इसलिए $V \propto l_2$।
सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र $r = R \left( \frac{E}{V} - 1 \right)$ होता है।
चूंकि $E/V = l_1/l_2$,मान रखने पर:
$r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$
$r = 2 \left( \frac{240}{120} - 1 \right)$
$r = 2 \left( 2 - 1 \right)$
$r = 2 \ \Omega$।
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2 \ \Omega$ है।

(D) पोटेंशियोमीटर का विभव प्रवणता (potential gradient) $k$,$k = \frac{E}{l}$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $E$ $emf$ है और $l$ संतुलन लंबाई है।
चूंकि दिए गए परिपथ के लिए विभव प्रवणता स्थिर रहती है,इसलिए $\frac{E_1}{l_1} = \frac{E_2}{l_2}$ होगा।
यहाँ $E_1 = 1.1 \, V$,$l_1 = 140 \, cm$,और $l_2 = 180 \, cm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{1.1}{140} = \frac{E_2}{180}$।
$E_2$ के लिए हल करने पर: $E_2 = \frac{1.1 \times 180}{140}$।
$E_2 = \frac{198}{140} \approx 1.41 \, V$।

(A) विभव प्रवणता $x$ का सूत्र है: $x = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{I \cdot R}{L}$,जहाँ $I = \frac{E}{R + R_{ext}}$.
दिया गया है: $L = 1 \, m = 100 \, cm$,$E = 2 \, V$,$R_{ext} = 490 \, \Omega$,और $x = 0.2 \, mV/cm = 0.02 \, V/m$.
तार के सिरों पर विभव पतन $V_{wire} = x \cdot L = 0.02 \, V/m \times 1 \, m = 0.02 \, V$.
परिपथ में धारा $I = \frac{V_{wire}}{R} = \frac{0.02}{R}$.
साथ ही,$I = \frac{E}{R + R_{ext}} = \frac{2}{R + 490}$.
$I$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{0.02}{R} = \frac{2}{R + 490}$.
$0.02(R + 490) = 2R$.
$0.02R + 9.8 = 2R$.
$1.98R = 9.8$.
$R = \frac{9.8}{1.98} \approx 4.95 \, \Omega$. विकल्पों को देखते हुए,निकटतम मान $4.9 \, \Omega$ है।

(A) पोटेंशियोमीटर तार की संतुलन लंबाई $l$ पर विभवांतर, थर्मोकपल के $emf$ $(E_{th})$ के बराबर होता है।
दिया गया है: संतुलन लंबाई $l = 5 \, m$, प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\rho = 1.2 \, \Omega/m$, और $E_{th} = 2.4 \, mV = 2.4 \times 10^{-3} \, V$.
संतुलन लंबाई पर विभव पतन $V = i \times R_{wire} = i \times (\rho \times l)$ है।
चूंकि गैल्वेनोमीटर में विक्षेप शून्य है, इसलिए $V = E_{th}$.
अतः, $i \times (1.2 \, \Omega/m \times 5 \, m) = 2.4 \times 10^{-3} \, V$.
$i \times 6 \, \Omega = 2.4 \times 10^{-3} \, V$.
$i = \frac{2.4 \times 10^{-3}}{6} \, A = 0.4 \times 10^{-3} \, A = 4 \times 10^{-4} \, A$.

(C) गैल्वेनोमीटर की संवेदनशीलता $1\,\mu A/\text{div}$ है। तापमान के सबसे छोटे अंतर का पता लगाने के लिए,हमें $1\,\text{div}$ के न्यूनतम विक्षेप की आवश्यकता है।
इसलिए,आवश्यक न्यूनतम धारा $I = 1\,\mu A$ है।
गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $R = 10\,\Omega$ है।
इस धारा को उत्पन्न करने के लिए आवश्यक वोल्टेज $(e.m.f.)$ $V = I \times R = 1\,\mu A \times 10\,\Omega = 10\,\mu V$ है।
यह दिया गया है कि थर्मोकपल $40\,\mu V/^{\circ}C$ का $e.m.f.$ उत्पन्न करता है,इसलिए $10\,\mu V$ के अनुरूप तापमान अंतर $\Delta T$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$\Delta T = \frac{V}{\text{थर्मोकपल की संवेदनशीलता}} = \frac{10\,\mu V}{40\,\mu V/^{\circ}C} = 0.25^{\circ}C$.
इस प्रकार,सिस्टम द्वारा पता लगाया जा सकने वाला न्यूनतम तापमान अंतर $0.25^{\circ}C$ है।