Circuit Solving for current and Voltage Questions in Gujarati

(B) પરિપથ આકૃતિ પરથી,અવરોધ $R$ અને એમીટર શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન વોલ્ટમીટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $V = 12\, \text{V}$ એ $R$ અને એમીટરના સંયોજન વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
$R$ અને એમીટરના શ્રેણી સંયોજન માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$V = I(R + R_A)$
અહીં $V = 12\, \text{V}$,$I = 0.1\, \text{A}$,અને $R_A = 20\, \Omega$ આપેલ છે:
$12 = 0.1(R + 20)$
$12 / 0.1 = R + 20$
$120 = R + 20$
$R = 120 - 20 = 100\, \Omega$.

(B) ધારો કે $E$ એ કોષનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ છે અને $r$ એ કોષનો આંતરિક અવરોધ છે.
આંતરિક અવરોધ ધરાવતા પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $0.9 = \frac{E}{2 + r}$ --- $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $0.3 = \frac{E}{7 + r}$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{0.9}{0.3} = \frac{E / (2 + r)}{E / (7 + r)}$
$3 = \frac{7 + r}{2 + r}$
$3(2 + r) = 7 + r$
$6 + 3r = 7 + r$
$2r = 1$
$r = 0.5\, \Omega$.

(B) સૌ પ્રથમ,પરિપથનું સાદું રૂપ આપો. $5 \ \Omega$ અને $10 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_1 = 5 + 10 = 15 \ \Omega$ મળે.
ત્યારબાદ,$10 \ \Omega$ અને $20 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_2 = 10 + 20 = 30 \ \Omega$ મળે.
આ બંને શાખાઓ ($R_1$ અને $R_2$) સમાંતર જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{2+1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$
તેથી,$R_{eq} = 10 \ \Omega$.
ઓમના નિયમ મુજબ વિદ્યુત પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5 \ V}{10 \ \Omega} = 0.5 \ A$.

(A) ધારો કે સપ્લાયનો વોલ્ટેજ $V$ છે અને બે કોઈલનો અવરોધ $R_1$ અને $R_2$ છે.
ચા ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $H = \frac{V^2}{R_1} \times T_1 = \frac{V^2}{R_2} \times T_2$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 6$ મિનિટ અને $T_2 = 8$ મિનિટ, તેથી $R_1 = \frac{V^2 T_1}{H}$ અને $R_2 = \frac{V^2 T_2}{H}$ મળે.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ થાય.
શ્રેણીમાં ચા ઉકાળવા માટે લાગતો સમય $T$ માટે $H = \frac{V^2}{R_{eq}} \times T$ થાય.
$R_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા, $H = \frac{V^2}{R_1 + R_2} \times T$ મળે.
$T = H \times \frac{R_1 + R_2}{V^2} = H \times \left( \frac{V^2 T_1 / H + V^2 T_2 / H}{V^2} \right) = T_1 + T_2$.
તેથી, $T = 6 + 8 = 14$ મિનિટ.

(B) તાર સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,બંને તાર વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહેશે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$I = V/R$,જ્યાં $R = \rho \ell / A = \rho \ell / (\pi r^2)$.
તેથી,વિદ્યુત પ્રવાહનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho \ell_2 / (\pi r_2^2)}{\rho \ell_1 / (\pi r_1^2)} = \frac{\ell_2}{\ell_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ થશે.
આપેલ છે કે $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{4}{3}$ અને $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{3}{4} \times \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{3}{4} \times \frac{4}{9} = \frac{1}{3}$.

(D) વાયરમાં ઉત્પન્ન થતો પાવર $P = I^2 R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. વાયરો શ્રેણીમાં હોવાથી,બંનેમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ સમાન રહેશે.
અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ છે.
દળ $m$ સમાન છે અને દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,કદ $V = A \cdot l$ અચળ રહેશે. તેથી,$l = \frac{V}{A}$.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \rho \frac{V/A}{A} = \rho \frac{V}{A^2}$.
અહીં $A = \pi r^2$ હોવાથી,$R \propto \frac{1}{r^4}$ મળે.
તેથી,ઉત્પન્ન થતા પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{r_2^4}{r_1^4}$ થશે.
અહીં $r_1 = 1 \, mm$ અને $r_2 = 2 \, mm$ આપેલ હોવાથી,$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{2}{1} \right)^4 = \frac{16}{1}$ મળે.

(B) ગેલ્વેનોમીટરનું અવલોકન શૂન્ય થાય તે માટે,અવરોધ $R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત જમણી બાજુની બેટરીના $EMF$ $(2 \ V)$ જેટલો હોવો જોઈએ.
ડાબી બાજુની શાખામાં કુલ વોલ્ટેજ $12 \ V$ છે. ગેલ્વેનોમીટરમાં શૂન્ય આવર્તન હોવાથી,જમણી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,પ્રવાહ $I$ ફક્ત $500 \ \Omega$ ના અવરોધ અને $R$ અવરોધમાંથી શ્રેણીમાં વહે છે.
$500 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $12 \ V - 2 \ V = 10 \ V$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{10 \ V}{500 \ \Omega} = \frac{1}{50} \ A$ છે.
અવરોધ $R$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $2 \ V$ હોવાથી,$V_R = I \times R$ મળે.
$2 \ V = (\frac{1}{50} \ A) \times R$
$R = 2 \times 50 \ \Omega = 100 \ \Omega$.

(A) આપેલ પરિપથમાં બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે.
સૌથી જમણી બાજુની શાખામાં $4 \ \Omega$ અને $12 \ \Omega$ ના બે અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,જેમાં $1.5 \ A$ નો વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે.
બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{PQ}$ એ આ શાખાના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ હોય છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$V_{PQ} = I \times R_{eq}$,જ્યાં $R_{eq}$ એ શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
$R_{eq} = 4 \ \Omega + 12 \ \Omega = 16 \ \Omega$.
$V_{PQ} = 1.5 \ A \times 16 \ \Omega = 24 \ V$.

(A) બલ્બનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. બંને બલ્બ સમાન વોલ્ટેજ રેટિંગ $V$ ધરાવતા હોવાથી,$R \propto \frac{1}{P}$ થાય.
આમ,જે બલ્બનો પાવર રેટિંગ ઓછો હોય તેનો અવરોધ વધારે હોય છે. તેથી,$R_X > R_Y$.
જ્યારે તેમને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને બલ્બમાંથી સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે.
દરેક બલ્બમાં વ્યય થતો પાવર $P' = I^2 R$ છે.
$R_X > R_Y$ હોવાથી,$X$ માં વ્યય થતો પાવર $Y$ કરતા વધારે છે $(P'_X > P'_Y)$.
તેથી,બલ્બ $X$ એ બલ્બ $Y$ કરતા વધુ પ્રકાશિત થશે.

(A) $3 \, \Omega$ અને $6 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે:
$R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \, \Omega$
આ સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ એ અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે. પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_p + R = 2 + R$ થાય.
ઓમના નિયમ મુજબ,પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}}$ છે.
અહીં $I = 2 \, A$ અને $V = 6 \, V$ આપેલ છે,તેથી:
$2 = \frac{6}{2 + R}$
$2 + R = \frac{6}{2} = 3$
$R = 3 - 2 = 1 \, \Omega$

(C) કોષનું $emf$ $E = 2\ V$ છે અને તેનો આંતરિક અવરોધ $r = 2\ \Omega$ છે.
વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $R = 998\ \Omega$ છે.
જ્યારે વોલ્ટમીટરને કોષ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + r}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{2}{998 + 2} = \frac{2}{1000} = 2 \times 10^{-3}\ A$.
વોલ્ટમીટર ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E - Ir$ માપે છે.
માપનમાં ક્ષતિ એ વાસ્તવિક $emf$ અને માપેલા ટર્મિનલ વોલ્ટેજ વચ્ચેનો તફાવત છે,જે આંતરિક અવરોધ પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપ જેટલો હોય છે: $\text{ક્ષતિ} = Ir$.
$\text{ક્ષતિ} = (2 \times 10^{-3}\ A) \times (2\ \Omega) = 4 \times 10^{-3}\ V$.

(NONE) બેટરીનું કુલ $e.m.f.$ $(E_{total})$ = $6 \times 2\, V = 12\, V$ છે.
બેટરીનો કુલ આંતરિક અવરોધ $(r_{total})$ = $6 \times 0.5\, \Omega = 3\, \Omega$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $(R_{total})$ = બાહ્ય અવરોધ $(R = 10\, \Omega)$ + આંતરિક અવરોધ $(r_{total} = 3\, \Omega)$ = $10 + 3 = 13\, \Omega$ છે.
ચાર્જિંગ દરમિયાન,પ્રવાહ માટે અસરકારક વોલ્ટેજ એ સપ્લાય વોલ્ટેજ $(V_{supply} = 220\, V)$ અને બેટરીના $e.m.f.$ $(E_{total} = 12\, V)$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
તેથી,ચાર્જિંગ વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ = $\frac{V_{supply} - E_{total}}{R_{total}} = \frac{220 - 12}{13} = \frac{208}{13} = 16\, A$.

(C) પરિપથ આકૃતિ પરથી,$2 \, \Omega$ અને $6 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ છે:
$R_p = \frac{2 \times 6}{2 + 6} = \frac{12}{8} = 1.5 \, \Omega$
આ સંયોજન $1.5 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી આ શાખાનો કુલ અવરોધ $1.5 + 1.5 = 3 \, \Omega$ થાય છે.
આ શાખા બેટરી સાથે જોડાયેલા $3 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે.
તેથી,પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$:
$R_{eq} = \frac{3 \times 3}{3 + 3} = \frac{9}{6} = 1.5 \, \Omega$
બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુત પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \, V}{1.5 \, \Omega} = 4 \, A$

(D) આ પરિપથમાં $200 \ V$ ના $DC$ સ્ત્રોત સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલી બે શાખાઓ છે. દરેક શાખામાં $100 \ \Omega$ ના બે અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
ધારો કે ઉપરના છેડાનું સ્થિતિમાન $200 \ V$ અને નીચેના છેડાનું સ્થિતિમાન $0 \ V$ છે.
ડાબી શાખા માટે,બિંદુ $x$ આગળનું સ્થિતિમાન વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ: $V_x = 200 \times \frac{100}{100 + 100} = 100 \ V$ મળે છે.
જમણી શાખા માટે,બિંદુ $y$ આગળનું સ્થિતિમાન વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ: $V_y = 200 \times \frac{100}{100 + 100} = 100 \ V$ મળે છે.
તેથી,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{xy} = V_x - V_y = 100 \ V - 100 \ V = 0 \ V$ થાય છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$4R$ અને $2R$ અવરોધોના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો:
$R_p = \frac{4R \times 2R}{4R + 2R} = \frac{8R^2}{6R} = \frac{4}{3}R$
હવે,શ્રેણીમાં રહેલા $R$ અવરોધને ઉમેરીને પરિપથનો કુલ અવરોધ શોધો:
$R_{total} = R + R_p = R + \frac{4}{3}R = \frac{7}{3}R$
કોષમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$:
$I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{E}{(7/3)R} = \frac{3E}{7R}$
સમાંતર જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત (જે $4R$ અને $2R$ બંને અવરોધો માટે સમાન છે):
$V = I \times R_p = \left(\frac{3E}{7R}\right) \times \left(\frac{4}{3}R\right) = \frac{4E}{7}$
આમ,$2R$ અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $4E/7$ છે.

(C) ધારો કે અવરોધો $R_1 = 200\ k\Omega = 0.2\ M\Omega$ અને $R_2 = 1\ M\Omega$ છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = 0.2\ M\Omega + 1\ M\Omega = 1.2\ M\Omega$ છે.
શ્રેણી જોડાણ પરનો કુલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V_{total} = V_1 - V_2 = 3\ V - (-15\ V) = 18\ V$ છે.
પોટેન્શિયલ ડિવાઈડરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ઋણ ટર્મિનલ $(-15\ V)$ ની સાપેક્ષમાં જંકશન $V_J$ આગળનો વોલ્ટેજ:
$V_J - (-15\ V) = V_{total} \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$
$V_J + 15\ V = 18\ V \times \frac{1\ M\Omega}{1.2\ M\Omega}$
$V_J + 15\ V = 18 \times \frac{1}{1.2} = 15\ V$
$V_J = 15\ V - 15\ V = 0\ V$.

(A) વોલ્ટમીટર અને અવરોધ $R$ ને $110 \ V$ ના સપ્લાય સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવ્યા છે.
ધારો કે વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $R_v = 20 \ k\Omega = 20 \times 10^3 \ \Omega$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_v + R$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V_{total}}{R_v + R} = \frac{110}{20 \times 10^3 + R}$ છે.
વોલ્ટમીટર પરનો વોલ્ટેજ $V_v = 5 \ V$ આપેલ છે.
વોલ્ટમીટર માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$V_v = I \times R_v$.
કિંમતો મૂકતા: $5 = \left( \frac{110}{20 \times 10^3 + R} \right) \times 20 \times 10^3$.
$5(20 \times 10^3 + R) = 110 \times 20 \times 10^3$.
$100 \times 10^3 + 5R = 2200 \times 10^3$.
$5R = 2100 \times 10^3$.
$R = 420 \times 10^3 \ \Omega$.

(A) ધારો કે $A$ પાસે દાખલ થતો કુલ પ્રવાહ $i$ છે. ધારો કે શાખા $AD$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1$ છે અને શાખા $AB$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $(i - i_1)$ છે.
કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
લૂપ $ADCA$ માટે:
$-10i_1 - 10i_{BC} + 10(i - i_1) = 0$
આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવેલ નોડ પ્રવાહ વિતરણ મુજબ:
લૂપ $ADCA$ માટે ($A \rightarrow D \rightarrow C \rightarrow B \rightarrow A$ માર્ગ ધ્યાનમાં લેતા):
$-10i_1 - 10i_1 + 10i_2 + 10(i - i_1) = 0$ (જ્યાં $i_2$ એ $BC$ માં વહેતો પ્રવાહ છે)
આપેલ આકૃતિના આધારે પરિપથનું વિશ્લેષણ કરતા:
સંમિતિ અને કિર્ચોફના નિયમો દ્વારા,શાખા $AD$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1 = 2i/5$ મળે છે.

(A) દરેક અવરોધ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,દરેક અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $9\, V$ રહેશે.
તેથી,દરેક અવરોધમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{each} = \frac{9\, V}{9\, \Omega} = 1\, A$ થશે.
એમિટર પરિપથની નીચેની શાખામાં મૂકવામાં આવ્યું છે. પરિપથ આકૃતિ જોતા,એમિટરની જમણી બાજુએ $5$ અવરોધો છે.
દરેક અવરોધ $1\, A$ વિદ્યુતપ્રવાહ ખેંચે છે,તેથી એમિટરમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ આ $5$ અવરોધોમાંથી પસાર થતા વિદ્યુતપ્રવાહનો સરવાળો છે.
તેથી,એમિટરનું અવલોકન $5 \times 1\, A = 5\, A$ થશે.

(C) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો અસરકારક અવરોધ $R$ છે. પરિપથ અનંત હોવાથી,એક પુનરાવર્તિત એકમ ઉમેરવાથી કે દૂર કરવાથી કુલ અવરોધમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આ પરિપથને ઉપરના વાયરમાં $1 \, \Omega$ શ્રેણીમાં,નીચેના વાયરમાં $1 \, \Omega$ શ્રેણીમાં અને $1 \, \Omega$ નો સમાંતર અવરોધ,ત્યારબાદ બાકીના અનંત નેટવર્ક તરીકે જોઈ શકાય છે,જેનો સમતુલ્ય અવરોધ પણ $R$ છે.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R$ નીચે મુજબ મળે:
$R = 1 + 1 + \frac{1 \cdot R}{1 + R}$
$R = 2 + \frac{R}{1 + R}$
$R(1 + R) = 2(1 + R) + R$
$R + R^2 = 2 + 2R + R$
$R^2 - 2R - 2 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $R = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$
$R = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$
અવરોધ હંમેશા ધન હોવો જોઈએ,તેથી $R = 1 + \sqrt{3} \, \Omega$ મળે.

(A) ઉપકરણનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
હીટર માટે,$R_h = \frac{220^2}{500} = 96.8\, \Omega$.
બલ્બ માટે,$R_b = \frac{220^2}{100} = 484\, \Omega$.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે ત્યારે,કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_h + R_b = 96.8 + 484 = 580.8\, \Omega$.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{220}{580.8} \approx 0.3788\, A \approx 0.38\, A$.
હીટર દ્વારા વપરાતો પાવર $P_h = I^2 R_h = (0.3788)^2 \times 96.8 \approx 13.98\, W$.
બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P_b = I^2 R_b = (0.3788)^2 \times 484 \approx 69.89\, W$.

(B) આ પરિપથ $xy$ અક્ષની સાપેક્ષે સંમિત છે. સંમિતિને કારણે આડી અક્ષની ઉપર અને નીચેના બિંદુઓ સમાન સ્થિતિમાને છે.
સંમિતિનો ઉપયોગ કરીને પરિપથને સરળ બનાવતા,સમાંતરમાં જોડાયેલા અવરોધોને ભેગા કરી શકાય છે.
$x$ અને $y$ વચ્ચે નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\frac{1}{R_{xy}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{5}{2R}$
તેથી,$R_{xy} = \frac{2R}{5}$.

(A) આપેલ પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે $2 \ V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલ છે.
દરેક શાખાનો કુલ અવરોધ $5 \ \Omega + 5 \ \Omega + 5 \ \Omega = 15 \ \Omega$ છે.
દરેક શાખામાં વહેતો પ્રવાહ $I = V/R = 2 \ V / 15 \ \Omega = 2/15 \ A$ છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત શોધવા માટે,આપણે $A$ થી $B$ સુધીનો માર્ગ વિચારીએ.
$A$ થી $B$ સુધીના માર્ગમાં $5 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = IR = (2/15) \times 5 = 2/3 \ V$ થાય છે.

(C) મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર પ્રમેય મુજબ,પરિપથમાં મહત્તમ પાવર મેળવવા માટે બાહ્ય અવરોધ એ બેટરીના આંતરિક અવરોધ જેટલો હોવો જોઈએ.
આપેલ પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે નેટવર્કને સરળ બનાવી શકીએ છીએ. પરિપથને બ્રિજ પરિપથ તરીકે ફરીથી દોરી શકાય છે.
અવરોધોના શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણને સરળ બનાવતા,પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 2R$ મળે છે.
મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર માટે,બાહ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ આંતરિક અવરોધ $r = 4\,\Omega$ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$2R = 4\,\Omega$.
$R$ માટે ઉકેલતા,આપણને $R = 2\,\Omega$ મળે છે.

(D) તાર $PQ$ નો કુલ અવરોધ $2000\, \Omega$ છે। $M$ એ મધ્યબિંદુ હોવાથી, $PM$ વિભાગનો અવરોધ $1000\, \Omega$ અને $MQ$ વિભાગનો અવરોધ $1000\, \Omega$ થશે।
$1000\, \Omega$ અવરોધ ધરાવતું વોલ્ટમીટર $PM$ વિભાગ $(1000\, \Omega)$ સાથે સમાંતર જોડેલું છે।
વોલ્ટમીટર અને $PM$ વિભાગના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_p = \frac{1000 \times 1000}{1000 + 1000} = 500\, \Omega$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_p + R_{MQ} = 500\, \Omega + 1000\, \Omega = 1500\, \Omega$.
પરિપથમાં વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{150\, V}{1500\, \Omega} = 0.1\, A$.
સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ (જે વોલ્ટમીટરનું વાંચન છે) $V_v = I \times R_p = 0.1\, A \times 500\, \Omega = 50\, V$.

(D) બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{bulb} = \frac{P}{V} = \frac{4.5 \, W}{1.5 \, V} = 3 \, A$ છે.
$1 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{resistor} = \frac{V}{R} = \frac{1.5 \, V}{1 \, \Omega} = 1.5 \, A$ છે.
કોષમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I_{total} = I_{bulb} + I_{resistor} = 3 \, A + 1.5 \, A = 4.5 \, A$ છે.
કોષનો $e.m.f.$ શોધવાનું સૂત્ર $E = V + I_{total} \cdot r$ છે,જ્યાં $V = 1.5 \, V$ અને $r = 2.67 \, \Omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = 1.5 + (4.5 \times 2.67) = 1.5 + 12.015 \approx 13.5 \, V$.

(A) હીટરનો પાવર $P = 100\ W$ અને વોલ્ટેજ $V = 200\ V$ છે.
હીટરનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P} = \frac{200^2}{100} = \frac{40000}{100} = 400\ \Omega$ થાય.
જ્યારે હીટરને બે સમાન ભાગમાં કાપવામાં આવે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2} = \frac{400}{2} = 200\ \Omega$ થાય.
જ્યારે આ બંને ભાગોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટે $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'} = \frac{2}{200} = \frac{1}{100}$ મળે.
તેથી,$R_{eq} = 100\ \Omega$.
નવા જોડાણમાં પ્રતિ સેકન્ડે મુક્ત થતી ઉર્જા (પાવર) $P' = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{200^2}{100} = \frac{40000}{100} = 400\ W$ થાય.

(B) પરિપથમાં $12\ V$ અને $6\ V$ ની બેટરી શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે,અને તેમની વચ્ચેનું જોડાણ ગ્રાઉન્ડ $(0\ V)$ કરેલ છે.
પરિપથમાં કુલ $EMF = 12\ V - 6\ V = 6\ V$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 1\ \Omega + 2\ \Omega + 3\ \Omega = 6\ \Omega$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{V_{net}}{R_{eq}} = \frac{6\ V}{6\ \Omega} = 1\ A$ છે.
બિંદુ $A$ આગળ સ્થિતિમાન $12\ V$ છે.
બિંદુ $B$ આગળ સ્થિતિમાન: $V_B = V_A - iR_1 = 12\ V - (1\ A \times 1\ \Omega) = 11\ V$.
બિંદુ $C$ આગળ સ્થિતિમાન: $V_C = V_B - iR_2 = 11\ V - (1\ A \times 2\ \Omega) = 9\ V$.
બિંદુ $D$ આગળ સ્થિતિમાન: $V_D = V_C - iR_3 = 9\ V - (1\ A \times 3\ \Omega) = 6\ V$.

(C) આ પરિપથમાં $3 \,\Omega$ નો અવરોધ,$10 \,\Omega$ ના અવરોધ અને $(3 + R) \,\Omega$ ના અવરોધના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{eq} = 3 + \frac{10(R + 3)}{10 + (R + 3)}$
આપેલ છે કે $R_{eq} = R$,તેથી:
$R = 3 + \frac{10(R + 3)}{R + 13}$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા:
$R - 3 = \frac{10R + 30}{R + 13}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(R - 3)(R + 13) = 10R + 30$
$R^2 + 13R - 3R - 39 = 10R + 30$
$R^2 + 10R - 39 = 10R + 30$
બંને બાજુથી $10R$ બાદ કરતા:
$R^2 - 39 = 30$
$R^2 = 69$
$R = \sqrt{69} \,\Omega$

(B) આ પરિપથમાં $12\, \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં છે અને તેની સાથે બે શાખાઓ સમાંતર જોડાણમાં છે. પ્રથમ શાખાનો અવરોધ $9\, \Omega + 6\, \Omega = 15\, \Omega$ છે અને બીજી શાખાનો અવરોધ $5\, \Omega$ છે.
ધારો કે $5\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1$ છે અને $15\, \Omega$ ની શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_2$ છે. સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે: $i_1 \times 5 = i_2 \times 15 \implies \frac{i_1}{i_2} = \frac{15}{5} = 3 \implies i_1 = 3i_2$.
$5\, \Omega$ ના અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P_5 = i_1^2 \times 5 = 45\, W$ છે.
$i_1^2 = \frac{45}{5} = 9 \implies i_1 = 3\, A$.
$i_1 = 3i_2$ હોવાથી,$3 = 3i_2 \implies i_2 = 1\, A$ મળે.
$12\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i = i_1 + i_2 = 3\, A + 1\, A = 4\, A$ થાય.
તેથી,$12\, \Omega$ ના અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P_{12} = i^2 \times 12 = (4)^2 \times 12 = 16 \times 12 = 192\, W$ થાય.

(C) ધારો કે અનંત નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R$ છે. નેટવર્ક અનંત હોવાથી,તેમાં સમાન અવરોધોનો એક વધારાનો વિભાગ ઉમેરવાથી સમતુલ્ય અવરોધ બદલાશે નહીં.
આ પરિપથને $R_1$ અને $R_2$ તથા સમતુલ્ય અવરોધ $R$ ના સમાંતર જોડાણના શ્રેણી જોડાણ તરીકે જોઈ શકાય છે.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R$ નીચે મુજબ મળે:
$R = R_1 + \frac{R \cdot R_2}{R + R_2}$
આપેલ કિંમતો $R_1 = 1 \, \Omega$ અને $R_2 = 2 \, \Omega$ મૂકતા:
$R = 1 + \frac{2R}{R + 2}$
$R = \frac{R + 2 + 2R}{R + 2}$
$R(R + 2) = 3R + 2$
$R^2 + 2R = 3R + 2$
$R^2 - R - 2 = 0$
$(R - 2)(R + 1) = 0$
અવરોધ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $R = 2 \, \Omega$ મળે.

(A) વિદ્યુતકોષના $e.m.f.$ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ સાથે જોડાયેલા બાહ્ય અવરોધ $R$ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = I^2 R = \left( \frac{E}{R + r} \right)^2 R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને કિસ્સામાં પાવર સમાન હોવાથી:
$\left( \frac{E}{R_1 + r} \right)^2 R_1 = \left( \frac{E}{R_2 + r} \right)^2 R_2$
બંને બાજુથી $E^2$ દૂર કરતા:
$\frac{R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{R_2}{(R_2 + r)^2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$R_1(R_2 + r)^2 = R_2(R_1 + r)^2$
$R_1(R_2^2 + r^2 + 2R_2 r) = R_2(R_1^2 + r^2 + 2R_1 r)$
$R_1 R_2^2 + R_1 r^2 + 2R_1 R_2 r = R_2 R_1^2 + R_2 r^2 + 2R_1 R_2 r$
બંને બાજુથી $2R_1 R_2 r$ બાદ કરતા:
$R_1 R_2^2 + R_1 r^2 = R_2 R_1^2 + R_2 r^2$
$R_1 r^2 - R_2 r^2 = R_2 R_1^2 - R_1 R_2^2$
$r^2(R_1 - R_2) = R_1 R_2(R_1 - R_2)$
જો $R_1 \neq R_2$ હોય,તો $(R_1 - R_2)$ વડે ભાગતા:
$r^2 = R_1 R_2$
$r = \sqrt{R_1 R_2}$

(D) ધારો કે $0^{\circ}C$ તાપમાને અવરોધો $R_{01}$ અને $R_{02}$ છે.
તાપમાન $\theta$ પર,અવરોધો નીચે મુજબ છે:
$R_1 = R_{01}(1 + \alpha \theta)$
$R_2 = R_{02}(1 - \beta \theta)$
શ્રેણી જોડાણમાં કુલ અવરોધ $R_s = R_1 + R_2$ થાય.
$R_s = R_{01}(1 + \alpha \theta) + R_{02}(1 - \beta \theta)$
$R_s = (R_{01} + R_{02}) + \theta(R_{01}\alpha - R_{02}\beta)$
કુલ અવરોધ $R_s$ તાપમાન $\theta$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,$\theta$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$R_{01}\alpha - R_{02}\beta = 0$
$R_{01}\alpha = R_{02}\beta$
તેથી,અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{R_{01}}{R_{02}} = \frac{\beta}{\alpha}$ થશે.

(C) ધારો કે $R_1$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i$ છે. આ પ્રવાહ $i$ અનુક્રમે $R_2$ અને $R_3$ માંથી $i_1$ અને $i_2$ તરીકે વિભાજિત થાય છે.
$R_2$ અને $R_3$ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે. સમાન ઉષ્મા ઉર્જા $H = \frac{V^2}{R}t$ માટે,$R_2 = R_3$ હોવું જોઈએ.
જો $R_2 = R_3$ હોય,તો પ્રવાહ $i$ સમાન રીતે વહેંચાય છે,તેથી $i_1 = i_2 = \frac{i}{2}$.
$R_1$ માં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા ઉર્જા $H_1 = i^2 R_1 t$ છે.
$R_2$ માં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા ઉર્જા $H_2 = (\frac{i}{2})^2 R_2 t = \frac{i^2 R_2 t}{4}$ છે.
સમાન ઉષ્મા ઉર્જા માટે,$H_1 = H_2$,તેથી $i^2 R_1 t = \frac{i^2 R_2 t}{4}$.
આના પરથી $R_1 = \frac{R_2}{4}$ મળે છે.

(C) $1$. $1.5 \,\Omega$ અને $6 \,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{1.5 \times 6}{1.5 + 6} = \frac{9}{7.5} = 1.2 \,\Omega$ થાય.
$2$. આ $1.2 \,\Omega$ નો અવરોધ $2 \,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી કુલ અવરોધ $R_s = 1.2 + 2 = 3.2 \,\Omega$ થાય.
$3$. હવે આ $3.2 \,\Omega$ નો અવરોધ $3 \,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે,તેથી પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{3.2 \times 3}{3.2 + 3} = \frac{9.6}{6.2} \approx 1.55 \,\Omega$ થાય.
$4$. બેટરીમાંથી મળતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9}{1.55} \approx 5.8 \, A$,જે આશરે $6 \, A$ છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમ મુજબ,જમા થયેલ દળ $m = zq$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $z$ એ વિદ્યુત રાસાયણિક તુલ્યાંક છે અને $q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
બંને વોલ્ટામીટરમાં જમા થયેલ દળ સમાન હોવાથી,$m_1 = m_2$ થાય.
તેથી,$z_1 q_1 = z_2 q_2$,જ્યાં $q_1$ અને $q_2$ એ અનુક્રમે કોપર અને ચાંદીના વોલ્ટામીટરમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતભાર છે.
આથી,$\frac{q_1}{q_2} = \frac{z_2}{z_1}$ મળે.
કુલ વિદ્યુતભાર $q = q_1 + q_2$ છે.
આપણે $q_2$ શોધવો છે. $q = q_1 + q_2$ પરથી,$q_1 = q - q_2$ લખી શકાય.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{q - q_2}{q_2} = \frac{z_2}{z_1}$.
$\frac{q}{q_2} - 1 = \frac{z_2}{z_1} \Rightarrow \frac{q}{q_2} = 1 + \frac{z_2}{z_1}$.
તેથી,$q_2 = \frac{q}{1 + \frac{z_2}{z_1}}$.

(A) આપેલ પરિપથને શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે.
ધારો કે કેન્દ્રનું બિંદુ $O$ છે. $O$ સાથે જોડાયેલા અવરોધો બાહ્ય લૂપ સાથે સમાંતર છે.
જોકે,સંમિતિને જોતા,પરિપથને વ્હીસ્ટન બ્રીજ તરીકે અથવા સંમિતિના તર્કનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી દોરી શકાય છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત લાગુ કરીને,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે અવરોધો એક બ્રીજ પરિપથ બનાવે છે.
ચોક્કસ રીતે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$R_{AB} = \frac{(r+r)(r+r)}{(r+r)+(r+r)} = \frac{2r \cdot 2r}{2r+2r} = \frac{4r^2}{4r} = r$.

(A) કુલ પ્રવાહ $I = 2 \, A$ એ બિંદુ $X$ પર બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે। ઉપરની શાખાનો અવરોધ $4 \, \Omega + 16 \, \Omega = 20 \, \Omega$ છે અને નીચેની શાખાનો અવરોધ $16 \, \Omega + 4 \, \Omega = 20 \, \Omega$ હોવાથી, પ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાય છે, એટલે કે દરેક શાખામાં $1 \, A$ પ્રવાહ વહે છે।
ધારો કે બિંદુ $X$ પાસે સ્થિતિમાન $V_X = 0 \, V$ છે।
બિંદુ $Y$ પાસે સ્થિતિમાન $V_Y = V_X - I_1 R_1 = 0 - (1 \, A \times 4 \, \Omega) = -4 \, V$ થાય।
બિંદુ $Z$ પાસે સ્થિતિમાન $V_Z = V_X - I_2 R_2 = 0 - (1 \, A \times 16 \, \Omega) = -16 \, V$ થાય।
વોલ્ટમીટરનું અવલોકન એ $Y$ અને $Z$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત છે, જે $|V_Y - V_Z| = |-4 \, V - (-16 \, V)| = |-4 \, V + 16 \, V| = 12 \, V$ થાય।

(C) ધારો કે અનંત નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ છે. નેટવર્ક અનંત હોવાથી,તેમાં $1 \,\Omega$ ના અવરોધોનો વધુ એક વિભાગ ઉમેરવાથી સમતુલ્ય અવરોધ બદલાશે નહીં.
આ પરિપથને $1 \,\Omega$ ના અવરોધ અને $1 \,\Omega$ ના અવરોધ તથા $R_{eq}$ ના સમાંતર જોડાણના શ્રેણી જોડાણ તરીકે જોઈ શકાય છે.
તેથી,$R_{eq} = 1 + \frac{1 \cdot R_{eq}}{1 + R_{eq}}$.
$(1 + R_{eq})$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$R_{eq}(1 + R_{eq}) = (1 + R_{eq}) + R_{eq}$
$R_{eq} + R_{eq}^2 = 1 + 2R_{eq}$
$R_{eq}^2 - R_{eq} - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R_{eq} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
અવરોધ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે ધન ઉકેલ લઈએ છીએ:
$R_{eq} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \,\Omega$.

(B) કુલ પ્રવાહ $I = 2 \, A$ એ જંકશન $D$ પર દાખલ થાય છે અને બે શાખાઓમાં વહેંચાય છે.
ધારો કે ઉપરની શાખા $DAC$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ છે અને નીચેની શાખા $DBC$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2$ છે.
ઉપરની શાખાનો અવરોધ $R_1 = 2 \, \Omega + 3 \, \Omega = 5 \, \Omega$ છે.
નીચેની શાખાનો અવરોધ $R_2 = 3 \, \Omega + 2 \, \Omega = 5 \, \Omega$ છે.
અવરોધો સમાન હોવાથી,પ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાય છે: $I_1 = I_2 = I / 2 = 2 \, A / 2 = 1 \, A$.
હવે,સ્થિતિમાનની ગણતરી કરીએ:
$V_D - V_A = I_1 \times 2 \, \Omega = 1 \, A \times 2 \, \Omega = 2 \, V \implies V_A = V_D - 2 \, V$.
$V_D - V_B = I_2 \times 3 \, \Omega = 1 \, A \times 3 \, \Omega = 3 \, V \implies V_B = V_D - 3 \, V$.
હવે,સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_A - V_B)$ શોધો:
$V_A - V_B = (V_D - 2 \, V) - (V_D - 3 \, V) = -2 \, V + 3 \, V = +1 \, V$.

(D) પરિપથમાં $9\, V$ ની બેટરી સાથે $9$ અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે,જેમાં દરેકનું મૂલ્ય $9\, \Omega$ છે.
એમિટર મુખ્ય લાઈનમાં જોડેલું છે,તેથી તે કુલ પ્રવાહ માપે છે.
સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R}{n} = \frac{9\, \Omega}{9} = 1\, \Omega$ થાય.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9\, V}{1\, \Omega} = 9\, A$ થાય.
તેથી,એમિટરનું અવલોકન $9\, A$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: પ્રવાહ $i = 0.25 \, A$ અને વોલ્ટેજ $V = 12 \, V$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ: $R_{eq} = \frac{V}{i} = \frac{12}{0.25} = 48 \, \Omega$.
પરિપથ આકૃતિ પરથી,અવરોધ $R$ એ $60 \, \Omega$,$20 \, \Omega$ અને $10 \, \Omega$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સમાંતર ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{60} + \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{1 + 3 + 6}{60} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ થાય.
તેથી,$R_p = 6 \, \Omega$.
કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + R_p = R + 6$ થાય.
$R_{eq}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $R + 6 = 48$.
તેથી,$R = 48 - 6 = 42 \, \Omega$.

(B) ધારો કે કોષનો $emf$ $E$ છે અને તેનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે. પ્રવાહ માટેનું સૂત્ર $I = \frac{E}{R + r}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $0.5 = \frac{E}{2 + r} \implies E = 0.5(2 + r) = 1 + 0.5r$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $0.25 = \frac{E}{5 + r} \implies E = 0.25(5 + r) = 1.25 + 0.25r$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$1 + 0.5r = 1.25 + 0.25r$
$0.5r - 0.25r = 1.25 - 1$
$0.25r = 0.25 \implies r = 1\,\Omega$
સમીકરણ $(1)$ માં $r = 1$ મૂકતા:
$E = 1 + 0.5(1) = 1.5\,V$.
આમ,કોષનો $emf$ $1.5\,V$ છે.

(C) મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર પ્રમેય મુજબ,બાહ્ય અવરોધ $R_{ext}$ એ બેટરીના આંતરિક અવરોધ $r$ જેટલો હોવો જોઈએ.
આપેલ આંતરિક અવરોધ $r = 4\, \Omega$ છે.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ પરિપથના સરળીકરણ પરથી,સમતુલ્ય બાહ્ય અવરોધ $R_{ext}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે,એક $(R + 2R) = 3R$ અવરોધ સાથે અને બીજી $(2R + 4R) = 6R$ અવરોધ સાથે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{ext} = \frac{(3R \times 6R)}{(3R + 6R)} = \frac{18R^2}{9R} = 2R$ થાય છે.
$R_{ext} = r$ લેતા,આપણને $2R = 4\, \Omega$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R = 2\, \Omega$.

(D) $1$. બલ્બનું રેટિંગ $P = 4.5 \, W$ અને $V = 1.5 \, V$ છે. બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_b = P / V = 4.5 / 1.5 = 3 \, A$ છે.
$2$. બલ્બ $R = 1 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ બલ્બ જેટલો જ એટલે કે $V = 1.5 \, V$ હશે. અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_r = V / R = 1.5 / 1 = 1.5 \, A$ છે.
$3$. કોષમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = I_b + I_r = 3 \, A + 1.5 \, A = 4.5 \, A$ છે.
$4$. કોષનો આંતરિક અવરોધ $r = 2.67 \, \Omega$ છે. કોષનો $emf$ $E = V + I \cdot r$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$5$. કિંમતો મૂકતા: $E = 1.5 + (4.5 \times 2.67) = 1.5 + 12.015 = 13.515 \, V$. નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$E = 13.5 \, V$ મળે છે.

(B) જ્યારે ગેલ્વેનોમીટરનું અવલોકન શૂન્ય હોય,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. આનો અર્થ એ છે કે અવરોધ $X$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત જમણી બાજુની બેટરીના વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ જેટલો હોવો જોઈએ,જે $2 \ V$ છે.
ધારો કે નીચેના વાયર $DC$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાન $0 \ V$ છે. તો ગેલ્વેનોમીટરનો પ્રવાહ શૂન્ય થવા માટે ઉપરના જંકશન પોઈન્ટ (જ્યાં $500 \ \Omega$ અને $X$ મળે છે) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાન $2 \ V$ હોવો જોઈએ.
ડાબી લૂપ માટે વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$V_X = \frac{X}{500 + X} \times 12 = 2$
$X$ માટે ઉકેલતા:
$12X = 2(500 + X)$
$12X = 1000 + 2X$
$10X = 1000$
$X = 100 \ \Omega$

(A) આ પરિપથમાં ત્રણ સમાંતર શાખાઓ બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી છે.
શાખા $1$ માં $EMF$ $E_1 = 2 \, V$ અને અવરોધ $R_1 = 4 \, \Omega$ છે.
શાખા $2$ માં $EMF$ $E_2 = 2 \, V$ અને શૂન્ય અવરોધ છે.
શાખા $3$ માં $EMF$ $E_3 = 2 \, V$ અને અવરોધ $R_2 = 4 \, \Omega$ છે.
બધી શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,દરેક શાખા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB}$ સમાન રહેશે.
મિલમેનના પ્રમેય મુજબ: $V_{AB} = \frac{\sum (E_i / R_i)}{\sum (1 / R_i)}$.
અહીં,વચ્ચેની શાખાનો અવરોધ $0 \, \Omega$ હોવાથી,$V_{AB} = E_2 = 2 \, V$ થાય.
શાખા $1$ માં પ્રવાહ $I_1 = (E_1 - V_{AB}) / R_1 = (2 - 2) / 4 = 0 \, A$ મળે.
શાખા $3$ માં પ્રવાહ $I_3 = (E_3 - V_{AB}) / R_2 = (2 - 2) / 4 = 0 \, A$ મળે.
આમ,$A$ અને $B$ વચ્ચે વહેતો કુલ પ્રવાહ $0 \, A$ છે.

(D) આ પરિપથમાં બે કોષો વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલા છે.
પરિણામી વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $E_{net} = 10\,V - 4\,V = 6\,V$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 1\,\Omega + 2\,\Omega + 3\,\Omega = 6\,\Omega$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે:
$I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{6\,V}{6\,\Omega} = 1\,A$.

(B) સૌ પ્રથમ,સમતુલ્ય બાહ્ય અવરોધ $R_{ext}$ ગણો. $3 \, \Omega$ અને $6 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = 2 \, \Omega$ થાય.
આ $R_p$ એ $4.5 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_{ext} = 2 + 4.5 = 6.5 \, \Omega$ થાય.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{ext} + r_1 + r_2 = 6.5 + 0.5 + 1 = 8 \, \Omega$ થાય.
પરિપથનો કુલ $emf$ $E_{net} = E_2 - E_1 = 8 - 4 = 4 \, V$ થાય.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{4}{8} = 0.5 \, A$ થાય.
કોષ $E_1$ માટે,પ્રવાહ ધન ટર્મિનલમાં દાખલ થાય છે (ચાર્જિંગ),તેથી ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_1 = E_1 + i r_1 = 4 + (0.5 \times 0.5) = 4 + 0.25 = 4.25 \, V$ થાય.
કોષ $E_2$ માટે,પ્રવાહ ધન ટર્મિનલમાંથી બહાર નીકળે છે (ડિસ્ચાર્જિંગ),તેથી ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_2 = E_2 - i r_2 = 8 - (0.5 \times 1) = 8 - 0.5 = 7.5 \, V$ થાય.

(B) ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = mS\Delta T = I^2Rt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $I$: લંબાઈ $L$ છે,તેથી અવરોધ $R$ અને દળ $m$ છે. કુલ $EMF$ $3E$ છે. પ્રવાહ $I_1 = \frac{3E}{R}$ છે.
ઉષ્મા $H_1 = I_1^2 R t = \left(\frac{3E}{R}\right)^2 R t = \frac{9E^2 t}{R}$.
કિસ્સો $II$: લંબાઈ $2L$ છે,તેથી અવરોધ $2R$ અને દળ $2m$ છે. કુલ $EMF$ $NE$ છે. પ્રવાહ $I_2 = \frac{NE}{2R}$ છે.
ઉષ્મા $H_2 = I_2^2 (2R) t = \left(\frac{NE}{2R}\right)^2 (2R) t = \frac{N^2 E^2 t}{4R} \times 2 = \frac{N^2 E^2 t}{2R}$.
તાપમાનમાં વધારો $\Delta T$ અને સમય $t$ સમાન હોવાથી,અને દ્રવ્ય સમાન હોવાથી ($S$ અચળ છે),ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા દળના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $H \propto m$.
તેથી,$\frac{H_1}{H_2} = \frac{m}{2m} = \frac{1}{2}$.
સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{9E^2 t / R}{N^2 E^2 t / 2R} = \frac{1}{2}$
$\frac{18}{N^2} = \frac{1}{2}$
$N^2 = 36$
$N = 6$.