Circuit Solving for current and Voltage Questions in Gujarati

(A) ધારો કે પ્રથમ વાયરનો અવરોધ $R_1$ અને બીજા વાયરનો અવરોધ $R_2$ છે. અવરોધનું સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ છે.
પ્રથમ વાયર માટે: $R_1 = \rho \frac{2L}{A} = 2 \left( \frac{\rho L}{A} \right) = 2R_0$.
બીજા વાયર માટે: $R_2 = \rho \frac{L}{2A} = 0.5 \left( \frac{\rho L}{A} \right) = 0.5R_0$.
વાયર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંનેમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ સમાન રહેશે.
ધારો કે જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે. પ્રથમ વાયર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $(8.0 - V)$ અને બીજા વાયર પરનો $(V - 1.0)$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I = \frac{8.0 - V}{R_1} = \frac{V - 1.0}{R_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{8.0 - V}{2R_0} = \frac{V - 1.0}{0.5R_0}$.
બંને બાજુ $R_0$ વડે ગુણતા: $\frac{8.0 - V}{2} = \frac{V - 1.0}{0.5}$.
$0.5(8.0 - V) = 2(V - 1.0)$.
$4.0 - 0.5V = 2V - 2.0$.
$6.0 = 2.5V$.
$V = \frac{6.0}{2.5} = 2.4\,V$.

(D) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ જંકશનને નામ આપો. સર્કિટમાં એકબીજા સાથે જોડાયેલા ઘણા ત્રિકોણનો સમાવેશ થાય છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે નેટવર્કને તબક્કાવાર સરળ બનાવીએ છીએ.
આ પ્રકારના નેટવર્કમાં શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરતા,અંતિમ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = \frac{11R}{18}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) તારમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનું સૂત્ર $H = \frac{V^2}{R} t$ છે,જ્યાં $V$ એ અચળ વોલ્ટેજ છે,$R$ એ અવરોધ છે અને $t$ એ સમય છે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H$ બમણી કરવા માટે,અવરોધ $R$ અડધો થવો જોઈએ.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
જો લંબાઈ $l$ અને ત્રિજ્યા $r$ બંને બમણી કરવામાં આવે ($l' = 2l$ અને $r' = 2r$),તો નવો અવરોધ $R'$ નીચે મુજબ થશે:
$R' = \rho \frac{2l}{\pi (2r)^2} = \rho \frac{2l}{4\pi r^2} = \frac{1}{2} \left( \rho \frac{l}{\pi r^2} \right) = \frac{R}{2}$.
અહીં અવરોધ $R$ અડધો થતો હોવાથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H$ બમણી થશે.

(C) બલ્બનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ માર્ક કરેલ વોલ્ટેજ છે અને $P$ એ માર્ક કરેલ પાવર છે.
બંને બલ્બ માટે પાવર $P$ સમાન હોવાથી,અવરોધ $R$ એ માર્ક કરેલા વોલ્ટેજના વર્ગના સીધા પ્રમાણમાં છે $(R \propto V^2)$.
જ્યારે બલ્બ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય છે,ત્યારે દરેક બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ સમાન હોય છે.
બલ્બની તેજસ્વિતા તેમાં વપરાતા પાવર દ્વારા નક્કી થાય છે,જે $P_{dissipated} = I^2 R$ છે.
$I$ અચળ હોવાથી,તેજસ્વિતા અવરોધના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે $(Brightness \propto R)$.
$R \propto V^2$ મૂકતા,આપણને મળે છે $Brightness \propto V^2$.
તેથી,તેજસ્વિતા તેમના માર્ક કરેલા વોલ્ટેજના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે.

(D) ધારો કે અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ છે અને અવરોધ $2R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2$ છે. $R$ અને $2R$ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે,તેથી $V_{AB} = V_{CD}$.
તેથી,$I_1 R = I_2 (2R)$,જે આપણને $I_2 = I_1 / 2$ આપે છે.
$3R$ અવરોધમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I_3 = I_1 + I_2 = I_1 + I_1 / 2 = (3/2) I_1$ છે.
અવરોધ $R$ માં વ્યય થતો પાવર $P_1 = I_1^2 R$ છે.
અવરોધ $3R$ માં વ્યય થતો પાવર $P_3 = I_3^2 (3R) = ((3/2) I_1)^2 (3R) = (9/4) I_1^2 (3R) = (27/4) I_1^2 R$ છે.
$R$ અને $3R$ માં વ્યય થતા પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_3} = \frac{I_1^2 R}{(27/4) I_1^2 R} = \frac{4}{27}$ થાય છે.

(B) અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R$ અથવા $P = V^2 / R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$R_3$ $(60 \ \Omega)$ અને $R_4$ $(30 \ \Omega)$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો: $R_{34} = (60 \times 30) / (60 + 30) = 1800 / 90 = 20 \ \Omega$.
આગળ,આ $R_{34}$ એ $R_2$ $(50 \ \Omega)$ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી આ શાખાનો અવરોધ $R_{234} = 50 + 20 = 70 \ \Omega$ છે.
હવે,કુલ સર્કિટ અવરોધ $R_{total} = R_1 + R_{234} = 50 + 70 = 120 \ \Omega$ છે.
બેટરીમાંથી કુલ પ્રવાહ $I_{total} = V / R_{total} = 3.0 / 120 = 0.025 \ A$ છે.
$R_1$ માં પાવર: $P_1 = I_{total}^2 R_1 = (0.025)^2 \times 50 = 0.03125 \ W$.
સમાંતર જોડાણ ($R_2$ અને $R_{34}$) પરનો વોલ્ટેજ $V_p = 3 - (I_{total} \times 50) = 3 - 1.25 = 1.75 \ V$ છે.
$R_2$ માં પાવર: $I_2 = V_p / 50 = 1.75 / 50 = 0.035 \ A$. $P_2 = I_2^2 R_2 = (0.035)^2 \times 50 = 0.06125 \ W$.
$R_3$ અને $R_4$ પરનો વોલ્ટેજ $V_{34} = V_p \times (20 / 70) \approx 0.5 \ V$. $P_3 = V_{34}^2 / 60 \approx 0.00417 \ W$ અને $P_4 = V_{34}^2 / 30 \approx 0.00833 \ W$.
સરખામણી કરતા,$R_2$ સૌથી વધુ પાવરનો વ્યય કરે છે.

(D) વોલ્ટમીટર એ અવરોધ $R$ અને એમીટરના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે.
સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ વોલ્ટમીટરના અવલોકન જેટલો હોય છે,$V = 12 \, V$.
શ્રેણી શાખા (અવરોધ $R$ અને એમીટર) માંથી વહેતો પ્રવાહ એમીટરના અવલોકન જેટલો છે,$I = 0.10 \, A$.
શ્રેણી શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + R_{ammeter} = R + 20 \, \Omega$ છે.
શ્રેણી શાખા માટે ઓહ્મનો નિયમ વાપરતા: $V = I \times R_{total}$.
કિંમતો મૂકતા: $12 = 0.10 \times (R + 20)$.
$12 / 0.10 = R + 20$.
$120 = R + 20$.
$R = 120 - 20 = 100 \, \Omega$.

(D) આદર્શ વોલ્ટમીટરનો અવરોધ અત્યંત ઊંચો હોય છે,જે અનંતની નજીક હોય છે. જ્યારે તેને પરિપથમાં શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઓપન સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે તે ખૂબ જ ઓછો પ્રવાહ ખેંચે છે.
આપેલ પરિપથમાં,પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{resistor} + R_{voltmeter} \approx \infty$ થાય છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{12}{4 + \infty} \approx 0 \ A$ છે.
$4 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_{resistor} = I \times R = 0 \times 4 = 0 \ V$ છે.
લૂપ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ મુજબ,પોટેન્શિયલ ડ્રોપનો સરવાળો બેટરીના $EMF$ જેટલો હોવો જોઈએ: $V_{resistor} + V_{voltmeter} = E$.
કિંમતો મૂકતા: $0 + V_{voltmeter} = 12 \ V$.
તેથી,વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $12 \ V$ હશે.

(D) સેલના ટર્મિનલ્સ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = E - Ir$
આ $V = -rI + E$ સ્વરૂપનું એક રેખીય સમીકરણ છે,જે સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે મેળ ખાય છે,જ્યાં $V$ એ $y$-અક્ષ પર છે અને $I$ એ $x$-અક્ષ પર છે.
આલેખ પરથી,$y$-અંતઃખંડ ($I = 0$ પર) $y = E$ છે.
$x$-અંતઃખંડ ($V = 0$ પર) $x = I_{max} = E/r$ છે.
તેથી,આલેખનો ઢાળ $m = -r = -\frac{\Delta V}{\Delta I} = -\frac{y}{x}$ થાય.
આમ,આંતરિક અવરોધ $r = \frac{y}{x}$ છે.

(C) શરૂઆતમાં,એમીટર પરિપથમાંથી $I = 1 \, A$ નો પ્રવાહ માપે છે. જ્યારે વોલ્ટમીટર અવરોધ $X$ ની આસપાસ $V_X = 1 \, V$ વોલ્ટેજ માપે છે,ત્યારે અવરોધ $X$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X = \frac{V_X}{I} = \frac{1 \, V}{1 \, A} = 1 \, \Omega$.
જ્યારે બિંદુ $A$ અને $B$ ($Y$ ની આસપાસ) ને શોર્ટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથનો કુલ અવરોધ માત્ર $X = 1 \, \Omega$ થાય છે. વોલ્ટમીટર હવે બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = 10 \, V$ માપે છે. આ નવા પરિપથમાં પ્રવાહ:
$I' = \frac{V}{X} = \frac{10 \, V}{1 \, \Omega} = 10 \, A$.
ટર્મિનલ વોલ્ટેજ સમીકરણ $V = E - I'r$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $E = 12 \, V$ એ બેટરીનું $EMF$ છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે:
$10 = 12 - 10r$
$10r = 12 - 10$
$10r = 2$
$r = 0.2 \, \Omega$.

(B) ધારો કે દરેક સમાન લેમ્પનો અવરોધ $R$ છે અને બેટરીનો વોલ્ટેજ $V$ છે.
શરૂઆતમાં,જ્યારે સ્વીચ $S$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે લેમ્પ $X$ અને $Y$ શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $2R$ છે,અને પ્રવાહ $I = V / (2R)$ છે. $X$ અને $Y$ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = I^2 R = (V^2 / 4R^2) * R = V^2 / (4R)$ છે.
જ્યારે સ્વીચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે લેમ્પ $Z$ એ લેમ્પ $Y$ સાથે સમાંતર જોડાય છે. $Y$ અને $Z$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = (R * R) / (R + R) = R/2$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + R/2 = 3R/2$ થાય છે.
બેટરીમાંથી કુલ પ્રવાહ $I' = V / (3R/2) = 2V / (3R)$ છે.
હવે $X$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I'$ હોવાથી,અને $I' = 2V / (3R) > V / (2R) = I$,તેથી લેમ્પ $X$ ની તેજસ્વિતા વધે છે.
$Y$ અને $Z$ ના સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $V_p = I' * R_p = (2V / 3R) * (R/2) = V/3$ છે.
શરૂઆતમાં $Y$ પરનો વોલ્ટેજ $V/2$ હતો (જ્યારે $S$ ખુલ્લી હતી) અને હવે તે $V/3$ છે (જ્યારે $S$ બંધ છે),તેથી $Y$ પરનો વોલ્ટેજ ઘટે છે,પરિણામે લેમ્પ $Y$ ની તેજસ્વિતા ઘટે છે.

(A) આપેલ છે કે બિંદુ $A$ અર્થિંગ કરેલ છે,તેથી તેનું સ્થિતિમાન $V_A = 0 \ V$ છે.
પરિપથ પરથી,આપણે $A$ ની સાપેક્ષમાં અન્ય બિંદુઓના સ્થિતિમાન શોધી શકીએ છીએ:
$1$. $A$ થી $B$ તરફ $2 \ V$ ના કોષમાંથી પસાર થતા,સ્થિતિમાનમાં $2 \ V$ નો વધારો થાય છે (ધારી લઈએ કે ધન ટર્મિનલ $B$ તરફ છે). તેથી,$V_B = 2 \ V$.
$2$. $A$ થી $D$ તરફ $3 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતા,પ્રવાહ $D$ થી $A$ તરફ વહે છે (કારણ કે $A$ એ $0 \ V$ પર છે અને $D$ ઉચ્ચ સ્થિતિમાન પર છે). ધારો કે પ્રવાહ $I$ છે. $D$ પરનું સ્થિતિમાન $V_D = V_A + I \times 3 = 3I$ છે.
$3$. $B$ થી $D$ તરફ $8 \ V$ ની બેટરીમાંથી પસાર થતા,$V_D - V_B = 8 \ V$,તેથી $V_D = V_B + 8 = 2 + 8 = 10 \ V$.
$4$. હવે,બિંદુ $C$ માટે,$D$ થી $C$ તરફ $4 \ V$ ના કોષમાંથી પસાર થતા,$V_C = V_D - 4 = 10 - 4 = 6 \ V$.
સ્થિતિમાનની સરખામણી કરતા: $V_A = 0 \ V$,$V_B = 2 \ V$,$V_C = 6 \ V$,અને $V_D = 10 \ V$.
સૌથી ઓછું સ્થિતિમાન ધરાવતું બિંદુ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે બિંદુ $A$ અર્થિંગ કરેલ છે,તેથી $A$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_A = 0\,V$ છે.
ધારો કે બિંદુ $D$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_D$ અને બિંદુ $B$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_B$ છે.
પરિપથ પરથી,$8\,V$ ની બેટરી $B$ અને $D$ વચ્ચે એવી રીતે જોડાયેલ છે કે $V_B - V_D = 8\,V$,તેથી $V_B = V_D + 8$.
નોડ $D$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_D - V_B}{8} + \frac{V_D - V_C}{4} + \frac{V_D - V_A}{3} = 0$ (નોંધ: $8\,V$ ની બેટરી $BD$ શાખામાં છે).
નોડ $D$ પર નોડલ વિશ્લેષણ કરતા: $\frac{V_D - V_B}{8} + \frac{V_D - V_C}{4} + \frac{V_D - 0}{3} = 0$. કારણ કે $V_C - V_D = 4\,V$,તેથી $V_D - V_C = -4\,V$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_D - (V_D + 8)}{8} + \frac{-4}{4} + \frac{V_D}{3} = 0$
$-1 - 1 + \frac{V_D}{3} = 0$
$\frac{V_D}{3} = 2 \implies V_D = 6\,V$.
$3\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I = \frac{V_D - V_A}{3} = \frac{6 - 0}{3} = 2\,A$ છે.
$V_D = 6\,V$ અને $V_A = 0\,V$ હોવાથી,પ્રવાહ $D$ થી $A$ તરફ વહે છે.

(D) આપેલ છે કે બિંદુ $A$ અર્થિંગ કરેલ છે,તેથી તેનું સ્થિતિમાન $V_A = 0\,V$ છે.
ધારો કે બિંદુઓ $B$,$C$ અને $D$ ના સ્થિતિમાન અનુક્રમે $V_B$,$V_C$ અને $V_D$ છે.
પરિપથ પરથી,$B$ નું સ્થિતિમાન $A$ સાથે જોડાયેલ $2\,V$ ની બેટરી દ્વારા નક્કી થાય છે: $V_B - V_A = 2\,V \implies V_B = 2\,V$.
$D$ નું સ્થિતિમાન $B$ સાથે જોડાયેલ $8\,V$ ની બેટરી દ્વારા નક્કી થાય છે: $V_B - V_D = 8\,V \implies 2 - V_D = 8 \implies V_D = -6\,V$.
હવે,શાખા $CD$ નો વિચાર કરો. $4\,V$ ની બેટરી પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C - V_D = 4\,V \implies V_C - (-6) = 4 \implies V_C = -2\,V$ છે.
$4\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી ($B$ અને $C$ ની વચ્ચે) પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V_B - V_C}{R} = \frac{2 - (-2)}{4} = \frac{4}{4} = 1\,A$ છે.
અહીં $V_B > V_C$ $(2\,V > -2\,V)$ હોવાથી,વિદ્યુતપ્રવાહ $B$ થી $C$ તરફ વહે છે.

(D) ફ્યુઝ એ એક સુરક્ષા ઉપકરણ છે જે જ્યારે પ્રવાહ તેના નિર્ધારિત મૂલ્ય કરતા વધી જાય ત્યારે પીગળી જાય છે,જેનાથી સર્કિટ તૂટી જાય છે અને નુકસાન અટકે છે.
જ્યારે $10\,A$ રેટિંગના બે સમાન ફ્યુઝને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંનેમાંથી સમાન પ્રવાહ વહે છે. જો પ્રવાહ $10\,A$ થી વધી જાય,તો બંને ફ્યુઝ ઓવરલોડ અનુભવશે અને સર્કિટ $10\,A$ પર તૂટી જશે. આમ,શ્રેણી જોડાણનું રેટિંગ $10\,A$ રહે છે.
જ્યારે $10\,A$ રેટિંગના બે સમાન ફ્યુઝને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પ્રવાહ તેમની વચ્ચે વહેંચાઈ જાય છે. દરેક ફ્યુઝ $10\,A$ વહન કરી શકે છે,તેથી સંયોજન કુલ $10\,A + 10\,A = 20\,A$ પ્રવાહ વહન કરી શકે છે. આમ,સમાંતર જોડાણનું રેટિંગ $20\,A$ થાય છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) સર્કિટ $A$ માટે: અનંત લેડરને પુનરાવર્તિત ભાગને $x$ વડે બદલીને સરળ બનાવી શકાય છે. સમતુલ્ય અવરોધ $x = \frac{R(2R + x)}{R + (2R + x)} = \frac{R(2R + x)}{3R + x}$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $x(3R + x) = 2R^2 + Rx$ મળે છે,જે $x^2 + 2Rx - 2R^2 = 0$ આપે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-2R + \sqrt{4R^2 - 4(1)(-2R^2)}}{2} = \frac{-2R + \sqrt{12R^2}}{2} = (\sqrt{3} - 1)R$.
સર્કિટ $B$ માટે: અનંત લેડરને પુનરાવર્તિત ભાગને $y$ વડે બદલીને સરળ બનાવી શકાય છે. સમતુલ્ય અવરોધ $y = 2R + \frac{Ry}{R + y} = \frac{2R^2 + 2Ry + Ry}{R + y} = \frac{2R^2 + 3Ry}{R + y}$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $y(R + y) = 2R^2 + 3Ry$ મળે છે,જે $y^2 - 2Ry - 2R^2 = 0$ આપે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{2R + \sqrt{4R^2 - 4(1)(-2R^2)}}{2} = \frac{2R + \sqrt{12R^2}}{2} = (\sqrt{3} + 1)R$.
પરિણામોની સરખામણી કરતા: $x = (\sqrt{3} - 1)R \approx 0.732R$ અને $y = (\sqrt{3} + 1)R \approx 2.732R$.
આમ,$y > x$ સાચું છે,$y = (\sqrt{3} + 1)R$ સાચું છે,અને $xy = (\sqrt{3} - 1)R \cdot (\sqrt{3} + 1)R = (3 - 1)R^2 = 2R^2$ પણ સાચું છે.
તેથી,ઉપરોક્ત તમામ સાચા છે.

(C) $1$. એક આદર્શ બેટરી તેના ટર્મિનલ્સ પર સ્થિર સ્થિતિમાન તફાવત $V$ જાળવી રાખે છે,ભલે ગમે તેટલો પ્રવાહ ખેંચાય.
$2$. જ્યારે બીજો અવરોધ પ્રથમ અવરોધ $R$ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ ઘટે છે,કારણ કે $1/R_{eq} = 1/R + 1/R_2$.
$3$. બેટરી આદર્શ હોવાથી,મૂળ અવરોધ $R$ ની આસપાસનો સ્થિતિમાન તફાવત બદલાતો નથી $(V)$. તેથી,$R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $(I = V/R)$ અચળ રહે છે.
$4$. જો કે,બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I_{total} = V/R_{eq}$ છે. $R_{eq}$ ઘટતું હોવાથી,કુલ પ્રવાહ $I_{total}$ વધે છે.
$5$. આમ,સાચું વિધાન એ છે કે બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો પ્રવાહ વધશે.

(A) આપેલ ઉકેલની આકૃતિ પરથી, પરિપથમાં $26\, V$ નો સ્ત્રોત છે। સ્ત્રોતમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $2\, A$ છે। આ પ્રવાહ $5\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થાય છે.
$5\, \Omega$ ના અવરોધ પછીના જંકશન પર, પ્રવાહ વિભાજિત થાય છે। આકૃતિ મુજબ, $1\, A$ પ્રવાહ $10\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી (જે બિંદુ $B$ સાથે જોડાયેલ છે) વહે છે અને $1\, A$ પ્રવાહ બિંદુ $A$ તરફ આગળ વધે છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B$ શોધવા માટે, આપણે $10\, \Omega$ ના અવરોધ દ્વારા $B$ થી $A$ સુધીના માર્ગને અનુસરી શકીએ છીએ। આ $10\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ ઉપરથી નીચે (જંકશનથી $B$ તરફ) $1\, A$ છે.
તેથી, $V_{junction} - V_B = I \times R = 1\, A \times 10\, \Omega = 10\, V$.
જોકે, પ્રશ્નમાં $V_A - V_B$ પૂછવામાં આવ્યું છે। $10\, \Omega$ ના અવરોધ દ્વારા $B$ થી $A$ ના માર્ગને જોતા, આપણને $V_B - V_{junction} = -10\, V$ મળે છે। પરિપથની ગોઠવણીને જોતા, $10\, \Omega$ ના અવરોધ અને $2\, \Omega$ ના અવરોધવાળી શાખાના આધારે સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B$ એ $5\, V$ ગણવામાં આવે છે।

(D) ધારો કે નોડ $F$ પરનું સ્થિતિમાન $0\,V$ છે. $F, G, H$ વાયર દ્વારા જોડાયેલા હોવાથી,$V_F = V_G = V_H = 0\,V$ થાય.
શાખા $CF$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $1\,A$ આપેલ છે,તેથી $V_C - V_F = I_{CF} \times R_{CF} \implies V_C - 0 = 1\,A \times 2\,\Omega = 2\,V$.
હવે,શાખા $CD-DE-EF$ ને ધ્યાનમાં લો. શાખા $DE$ નો અવરોધ $1\,\Omega + 1\,\Omega = 2\,\Omega$ (શ્રેણીમાં) છે.
શાખા $DE$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{DE} = \frac{V_C - V_E}{R_{DE}} = \frac{2\,V - 0\,V}{2\,\Omega} = 1\,A$ છે.
હવે,નોડ $C$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ પાડતા,$B$ માંથી $C$ માં પ્રવેશતો કુલ પ્રવાહ $I_{BC} = I_{CF} + I_{DE} = 1\,A + 1\,A = 2\,A$ થાય.
આમ,શાખા $DE$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $1\,A$ છે અને શાખા $BC$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $2\,A$ છે.
તેથી,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $H$ પરનું સ્થિતિમાન $0\,V$ છે. તેથી બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $E$ થશે.
શાખા $CF$ નો અવરોધ $2\,\Omega$ છે અને તેમાંથી $1\,A$ પ્રવાહ વહે છે. તેથી,$CF$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C - V_F = 1\,A \times 2\,\Omega = 2\,V$ થાય. $F$ એ $H$ (ગ્રાઉન્ડ) સાથે જોડાયેલ હોવાથી,$V_F = 0\,V$,તેથી $V_C = 2\,V$.
હવે,શાખા $CD-DE$ ને ધ્યાનમાં લો. તેનો કુલ અવરોધ $1\,\Omega + 1\,\Omega = 2\,\Omega$ છે. આ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{CD} = (V_C - V_E) / 2\,\Omega = (2\,V - 0\,V) / 2\,\Omega = 1\,A$ છે.
$BC$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I_{BC} = I_{CF} + I_{CD} = 1\,A + 1\,A = 2\,A$ છે.
$B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = V_C + I_{BC} \times 2\,\Omega = 2\,V + (2\,A \times 2\,\Omega) = 6\,V$ છે.
શાખા $BG$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{BG} = V_B / 6\,\Omega = 6\,V / 6\,\Omega = 1\,A$ છે.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = I_{BC} + I_{BG} = 2\,A + 1\,A = 3\,A$ છે.
$A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = V_B + I \times 2\,\Omega = 6\,V + (3\,A \times 2\,\Omega) = 12\,V$ છે.
$V_A = E$ હોવાથી,બેટરીનું $emf$ $12\,V$ છે.

(A) ધારો કે નોડ $F$ પરનું પોટેન્શિયલ $0\,V$ છે. $F, G, H, E$ આદર્શ વાયર દ્વારા જોડાયેલા હોવાથી,$V_F = V_G = V_H = V_E = 0\,V$ થાય.
શાખા $CF$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $1\,A$ નીચેની તરફ છે,તેથી $V_C - V_F = I_{CF} \times R_{CF} \implies V_C - 0 = 1\,A \times 2\,\Omega = 2\,V$ મળે.
હવે,શાખા $CD$ ધ્યાનમાં લો. પ્રવાહ $I_{CD}$ એ $C$ થી $D$ તરફ વહે છે. $V_C - V_D = I_{CD} \times 1\,\Omega$.
નોડ $D$ પર,પ્રવાહ શાખા $DE$ અને શાખા $FE$ માં વિભાજિત થાય છે. $V_E = 0\,V$ હોવાથી,શાખા $DE$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{DE} = (V_D - V_E) / 1\,\Omega = V_D / 1\,\Omega = V_D$ થાય.
પરંતુ,સર્કિટ જોતા,$D$ એ $1\,\Omega$ અવરોધ દ્વારા $E$ સાથે જોડાયેલ છે. $E$ એ $0\,V$ પર હોવાથી,$V_D = I_{CD} \times 1\,\Omega$. પ્રવાહ $I_{CD}$ એ $E$ સુધી પહોંચવા માટે $1\,\Omega$ અવરોધ $DE$ માંથી વહેવો જોઈએ. તેથી,$I_{DE} = I_{CD}$.
$V_C = 2\,V$ હોવાથી,$I_{CD} = (V_C - V_D) / 1\,\Omega = (2 - V_D) / 1$. તેમજ $I_{DE} = V_D / 1$. $I_{CD} = I_{DE}$ હોવાથી,આપણને $2 - V_D = V_D \implies 2V_D = 2 \implies V_D = 1\,V$ મળે.
આમ,$I_{CD} = (2 - 1) / 1 = 1\,A$. પ્રવાહ $I_{DE} = 1\,A / 1 = 1\,A$. તેથી,શાખા $DE$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $1\,A$ છે,શૂન્ય નથી.

(D) $1$. ધારો કે બિંદુ $H$ પરનું સ્થિતિમાન $0 \ V$ છે. તેથી બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $E$ થશે.
$2$. $CF$ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{CF} = 1 \ A$ છે. $CF$ શાખાનો અવરોધ $2 \ \Omega$ છે. તેથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C - V_F = I_{CF} \times R_{CF} = 1 \ A \times 2 \ \Omega = 2 \ V$. $F$ એ $H$ (ગ્રાઉન્ડ) સાથે જોડાયેલ હોવાથી,$V_F = 0 \ V$,તેથી $V_C = 2 \ V$ મળે.
$3$. $CD$ શાખાનો અવરોધ $1 \ \Omega$ અને $DE$ શાખાનો અવરોધ $1 \ \Omega$ છે. $CDE$ માર્ગનો કુલ અવરોધ $1 + 1 = 2 \ \Omega$ છે. પ્રવાહ $I_{CDE} = V_C / 2 \ \Omega = 2 \ V / 2 \ \Omega = 1 \ A$ થશે.
$4$. બિંદુ $C$ થી $B$ તરફ જતો કુલ પ્રવાહ $I_{BC} = I_{CF} + I_{CDE} = 1 \ A + 1 \ A = 2 \ A$ છે.
$5$. બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = V_C + I_{BC} \times R_{BC} = 2 \ V + (2 \ A \times 2 \ \Omega) = 2 \ V + 4 \ V = 6 \ V$ મળે.
$6$. $BG$ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{BG} = V_B / R_{BG} = 6 \ V / 6 \ \Omega = 1 \ A$ છે.
$7$. બેટરીમાંથી બહાર આવતો કુલ પ્રવાહ $I_{total} = I_{BC} + I_{BG} = 2 \ A + 1 \ A = 3 \ A$ છે.
$8$. બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = V_B + I_{total} \times R_{AB} = 6 \ V + (3 \ A \times 2 \ \Omega) = 6 \ V + 6 \ V = 12 \ V$ મળે.
$9$. $V_H = 0 \ V$ હોવાથી,$emf$ $E = V_A - V_H = 12 \ V$ થાય.

(D) રિંગ સુપરકન્ડક્ટિંગ છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો અવરોધ શૂન્ય છે. તેથી,રિંગ પરના તમામ બિંદુઓ ($1, 2,$ અને $3$) સમાન સ્થિતિમાન પર છે.
રિંગ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોવાથી,રિંગ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ ($1$ અને $2$,$2$ અને $3$,અથવા $3$ અને $1$) વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શૂન્ય છે.
આમ,$1$ અને $3$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શૂન્ય છે,અને $1$ અને $2$,$2$ અને $3$,તથા $3$ અને $1$ વચ્ચેના સમતુલ્ય અવરોધ સમાન છે (બધા શૂન્ય છે).
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) આ સર્કિટમાં એક કેન્દ્રિય નોડ $O$ છે જે $R$ અવરોધ ધરાવતા ત્રણ અવરોધકો દ્વારા નોડ $1, 2, 3$ સાથે જોડાયેલ છે. આ ઉપરાંત,નોડ $1-2, 2-3,$ અને $3-1$ ની વચ્ચે $R$ અવરોધ ધરાવતા ત્રણ અવરોધકો જોડાયેલા છે.
$0$ અને $1$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે સંમિતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
ધારો કે $I$ જેટલો પ્રવાહ $0$ પર દાખલ થાય છે અને $1$ પરથી બહાર નીકળે છે. સંમિતિને કારણે,શાખાઓ $0-2$ અને $0-3$ માં પ્રવાહ સમાન હશે,ધારો કે $I'$.
કિર્ચોફના નિયમો અથવા નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને,$0$ અને $1$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R/3$ મળે છે.
કેન્દ્ર $O$ ની આસપાસ સર્કિટની પરિભ્રમણીય સંમિતિને કારણે,$0$ અને $1$,$0$ અને $2$,તથા $0$ અને $3$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ સમાન છે.
આમ,વિધાન $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) ધારો કે $O$ પરનું સ્થિતિમાન $V_O = E$ છે અને $1$ પરનું સ્થિતિમાન $V_1 = 0$ છે. $O$ અને $1$ માંથી પસાર થતી અક્ષની સાપેક્ષે પરિપથની સમપ્રમાણતાને કારણે,બિંદુ $2$ અને $3$ પરના સ્થિતિમાન સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $V_2 = V_3$.
$V_2 = V_3$ હોવાથી,અવરોધક $R_{23}$ માંથી પસાર થતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 - V_3 = 0$ છે. તેથી,$R_{23}$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
વધુમાં,પરિપથ $O-1$ રેખાની આસપાસ સમપ્રમાણ છે. અવરોધકો $R_{12}$ અને $R_{13}$ સમાન સ્થિતિમાનના બિંદુઓ વચ્ચે જોડાયેલા છે,અને $V_2 = V_3$ હોવાથી,$R_{12}$ અને $R_{13}$ માંથી વહેતો પ્રવાહ પણ શૂન્ય છે.
ચોક્કસ રીતે,$O$ પર દાખલ થતો પ્રવાહ ત્રણ શાખાઓમાં વહેંચાય છે: $O-1$,$O-2$,અને $O-3$. પરિપથ સમપ્રમાણ હોવાથી,પ્રવાહ આ ત્રણ અવરોધકોમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,વિધાનો $(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(B) ધારો કે $V_{P1} = 0\,V$. તો $P_2$ આગળનું સ્થિતિમાન $V$ છે.
નોડ $P_2$ પર નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{V - 5}{2} + \frac{V}{10} + \frac{V - 2}{1} = 0$
$10$ વડે ગુણતા:
$5(V - 5) + V + 10(V - 2) = 0$
$5V - 25 + V + 10V - 20 = 0$
$16V = 45$
$V = \frac{45}{16} = 2.8125\,V$
$10\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R} = \frac{2.8125}{10} = 0.28125\,A \approx 0.28\,A$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની કિંમત $0.27\,A$ છે. $V_{P2} > V_{P1}$ હોવાથી,પ્રવાહ $P_2$ થી $P_1$ તરફ વહે છે.

(D) ચાલો કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરીને સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરીએ.
ડાબી બાજુના પ્રથમ લૂપને ધ્યાનમાં લો. તેમાં એકબીજાની વિરુદ્ધ જોડાયેલી બે $2 \ V$ ની બેટરી અને એક $1 \ \Omega$ નો અવરોધ છે.
આ લૂપમાં કુલ વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $2 \ V - 2 \ V = 0 \ V$ છે.
કુલ $EMF$ શૂન્ય હોવાથી,આ લૂપમાં $1 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = V/R = 0/1 = 0 \ A$ થશે.
તે જ રીતે,અન્ય લૂપ્સ માટે પણ,બેટરી એવી રીતે ગોઠવાયેલી છે કે તેમનો પોટેન્શિયલ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
તેથી,સર્કિટમાં કોઈપણ અવરોધમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
દરેક અવરોધમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $0 \ A$ છે.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ એ વિદ્યુતભારના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $i = \frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt}(3t - 6t^2) = 3 - 12t$.
જ્યારે $3 - 12t = 0$ થાય ત્યારે પ્રવાહ શૂન્ય થાય છે,જે $t = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \text{ s}$ આપે છે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H$ એ સંકલન $H = \int_{0}^{t} i^2 R \, dt$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $H = \int_{0}^{1/4} (3 - 12t)^2 R \, dt$.
ધારો કે $u = 3 - 12t$,તો $du = -12 \, dt$,અથવા $dt = -\frac{du}{12}$.
જ્યારે $t = 0, u = 3$. જ્યારે $t = 1/4, u = 0$.
$H = R \int_{3}^{0} u^2 \left(-\frac{du}{12}\right) = \frac{R}{12} \int_{0}^{3} u^2 \, du$.
$H = \frac{R}{12} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{R}{12} \times \frac{27}{3} = \frac{27R}{36} = \frac{3R}{4}$.

(D) આ પરિપથને બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બનાવી શકાય છે. એક શાખામાં અવરોધ $R_1$ છે,અને બીજી શાખા બાકીના $7$ અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $x$ દર્શાવે છે.
$(i)$ જ્યારે $R_1 = 4\,\,\Omega$ હોય,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = 2\,\,\Omega$ છે. $R_1$ અને $x$ સમાંતરમાં હોવાથી:
$\frac{R_1 \times x}{R_1 + x} = R_{AB}$
$\frac{4 \times x}{4 + x} = 2$
$4x = 8 + 2x$
$2x = 8 \Rightarrow x = 4\,\,\Omega$
$(ii)$ હવે,$R_1$ ને $6\,\,\Omega$ વડે બદલતા,નવો સમતુલ્ય અવરોધ $R'_{AB}$ નીચે મુજબ મળે:
$R'_{AB} = \frac{R_1 \times x}{R_1 + x} = \frac{6 \times 4}{6 + 4} = \frac{24}{10} = 2.4\,\,\Omega$.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$ છે।
જંકશનને આવરી લેતા નળાકાર સ્વરૂપની ગોસિયન સપાટીનો વિચાર કરો।
પ્રથમ પદાર્થમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = J/\sigma_1$ અને બીજા પદાર્થમાં $E_2 = J/\sigma_2$ છે, જ્યાં $J = I/A$ એ પ્રવાહ ઘનતા છે।
ગોસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi = E_2 A - E_1 A = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$ છે।
$E_1$ અને $E_2$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$A \left( \frac{J}{\sigma_2} - \frac{J}{\sigma_1} \right) = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$
કારણ કે $J = I/A$, તેથી:
$A \cdot \frac{I}{A} \left( \frac{1}{\sigma_2} - \frac{1}{\sigma_1} \right) = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$
$q_{in} = I \varepsilon_0 \left( \frac{1}{\sigma_2} - \frac{1}{\sigma_1} \right)$.

(A) ધારો કે ડાબી જંકશન પરનું પોટેન્શિયલ $V_L$ અને જમણી જંકશન પરનું પોટેન્શિયલ $V_R$ છે. એમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,$R$ અને બેટરી વચ્ચેના બિંદુનું પોટેન્શિયલ એ $40 \, \Omega$ અને $20 \, \Omega$ અવરોધકો વચ્ચેના પોટેન્શિયલ જેટલું જ છે.
ધારો કે ઉપરની શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ છે અને નીચેની શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2$ છે. કુલ પ્રવાહ $0.5 \, A$ આપેલ છે,તેથી $I_1 + I_2 = 0.5 \, A$.
નીચેની શાખામાં,પ્રવાહ $I_2 = 0.1 \, A$ એ $40 \, \Omega$ અને $20 \, \Omega$ બંને શ્રેણીબદ્ધ અવરોધકોમાંથી વહે છે.
$40 \, \Omega$ અવરોધ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{40} = I_2 \times 40 = 0.1 \times 40 = 4 \, V$ છે.
$20 \, \Omega$ અવરોધ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{20} = I_2 \times 20 = 0.1 \times 20 = 2 \, V$ છે.
એમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,ઉપરની શાખાનો પોટેન્શિયલ તફાવત નીચેની શાખાના પોટેન્શિયલ તફાવત જેટલો જ હોવો જોઈએ.
ઉપરની શાખા માટે,$I_1 = 0.5 - 0.1 = 0.4 \, A$.
ઉપરની શાખાનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_R + V_{battery} = I_1 \times R + 2 \, V$ છે.
પોટેન્શિયલ ડ્રોપને સરખાવતા: $I_1 \times R + 2 = V_{40} = 4 \, V$.
$0.4 \times R + 2 = 4 \Rightarrow 0.4 \times R = 2 \Rightarrow R = \frac{2}{0.4} = 5 \, \Omega$.

(C) ધારો કે મુખ્ય બેટરીનો વોલ્ટેજ $V$ છે અને ચલ અવરોધ $R_v$ છે.
જ્યારે કી સ્થિતિ $1$ પર હોય,ત્યારે પરિપથમાં મુખ્ય બેટરી અને ચલ અવરોધ $R_v$ આદર્શ એમીટર સાથે શ્રેણીમાં હોય છે. પ્રવાહ $I = 2 \, A$ એ $I = \frac{V}{R_v} = 2 \, A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $V = 2 R_v$.
જ્યારે કી સ્થિતિ $2$ પર હોય,ત્યારે પરિપથમાં બેટરી $E$ અને અવરોધ $x$ મુખ્ય બેટરી અને $R_v$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાય છે. એમીટરનું રીડિંગ $2 \, A$ રહેતું હોવાથી,પરિપથમાં કુલ $EMF$ $V - E$ (જો તે વિરોધમાં હોય તો) છે. પરિપથ આકૃતિ મુજબ,બેટરી $E$ મુખ્ય બેટરીનો વિરોધ કરે છે. તેથી,$I = \frac{V - E}{R_v} = 2 \, A$.
$V = 2 R_v$ મૂકતા,આપણને $\frac{2 R_v - E}{R_v} = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2 - \frac{E}{R_v} = 2$,એટલે કે $\frac{E}{R_v} = 0$,જે અશક્ય છે.
પરંતુ,પરિપથ જોતા,જ્યારે કી સ્થિતિ $2$ પર હોય,ત્યારે પ્રવાહ $I = 2 \, A$ એ $x$ અને $E$ માંથી પસાર થાય છે. સ્થિતિ $1$ અને $2$ માં પ્રવાહ સમાન હોવાથી,$E = I x$ થાય.
તેથી,$x = \frac{E}{I} = \frac{20 \, V}{2 \, A} = 10 \, \Omega$.

(D) ધારો કે બિંદુ $O$ પરનું સ્થિતિમાન $V_0$ છે. નોડ $O$ પર નોડલ એનાલિસિસ પદ્ધતિ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_0 - V_1}{R_1} + \frac{V_0 - V_2}{R_2} + \frac{V_0 - V_3}{R_3} = 0$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{V_0 - 20}{20} + \frac{V_0 - 30}{30} + \frac{V_0 - 60}{60} = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $60$ વડે ગુણતા:
$3(V_0 - 20) + 2(V_0 - 30) + 1(V_0 - 60) = 0$
$3V_0 - 60 + 2V_0 - 60 + V_0 - 60 = 0$
$6V_0 - 180 = 0$
$6V_0 = 180 \implies V_0 = 30 \ V$
અવરોધ $R_2$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$i_2 = \frac{V_0 - V_2}{R_2} = \frac{30 - 30}{30} = 0 \ A$

(D) હીટર દ્વારા વપરાતો પાવર $P_{\text{heater}} = I^2 R_H = \left( \frac{V}{R_H + R_b} \right)^2 R_H$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_H$ એ હીટરનો અવરોધ છે અને $R_b$ એ બલ્બનો અવરોધ છે.
$P_{\text{heater}}$ ને મહત્તમ કરવા માટે,છેદ $(R_H + R_b)^2$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ. $R_H$ અચળ હોવાથી,આપણે $R_b$ ને ન્યૂનતમ બનાવવો પડશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બલ્બ માટે,$P = \frac{V^2}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{V^2}{P}$.
તેથી,$R_b$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,બલ્બનો પાવર રેટિંગ $P$ શક્ય તેટલો વધારે હોવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,$200\, W$ ના બલ્બનો અવરોધ સૌથી ઓછો છે.
આમ,$50\, W$ ના બલ્બને $200\, W$ ના બલ્બ વડે બદલવો જોઈએ.

(A) $1$. સર્કિટમાં નોડલ એનાલિસિસનો ઉપયોગ કરીને,આપણે વિવિધ નોડ્સ પરના પોટેન્શિયલ નક્કી કરીએ છીએ. ધારો કે જમણી બાજુના છેલ્લા નોડનું પોટેન્શિયલ $0\ V$ છે. સર્કિટની ગોઠવણી અને આપેલી $1\ V$ ની આદર્શ બેટરીઓના આધારે,આપણે દરેક શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ શોધીએ છીએ.
$2$. એમીટર $1\ V$ ની બેટરી અને $1\ \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. એમીટર શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $1\ A$ ગણવામાં આવે છે.
$3$. અવરોધોમાં વ્યય થતો કુલ થર્મલ પાવર $P$ એ સર્કિટના દરેક અવરોધ માટે $I^2R$ ના સરવાળા દ્વારા મળે છે.
$4$. પ્રવાહના વિતરણના આધારે: $P = (3^2 \times 1) + (2^2 \times 1) + (2^2 \times 1) + (2^2 \times 1) + (1^2 \times 1) = 9 + 4 + 4 + 4 + 1 = 22\ W$.

(D) ધારો કે નોડ્સ $P$ (ડાબું જંકશન),$Q$ (મધ્ય જંકશન) અને $S$ (જમણું જંકશન) છે. $P$ અને $Q$ આગળના સ્થિતિમાન $V_P$ અને $V_Q$ છે.
$A_1$ અને $A_2$ નો અવરોધ $r$ સમાન હોવાથી,તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ તેમના બે છેડા વચ્ચેના સ્થિતિમાનના તફાવત પર આધાર રાખે છે.
$I_1 = 3 \, A$ અને $I_2 = 5 \, A$ આપેલ છે.
$V_P - V_Q = I_1 \cdot r = 3r$ ($A_1$ માટે) અને $V_P - V_Q = I_2 \cdot r = 5r$ ($A_2$ માટે).
આ દર્શાવે છે કે મધ્યના એમીટર $A_3$ (અવરોધ $r$) માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_3 = \frac{V_P - V_Q}{r} = \frac{5r - 3r}{r} = 2 \, A$ છે,જે $A_2$ ની શાખામાંથી $A_1$ ની શાખા તરફ વહે છે.
કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,જમણી બાજુના પરિપથમાં દાખલ થતો કુલ પ્રવાહ $I_1 + I_2 = 3 + 5 = 8 \, A$ છે.
$A_4$ એ જમણી શાખામાં શ્રેણીમાં હોવાથી,$A_4$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $8 \, A$ થશે.

(A) આપેલ પરિપથને સમાંતર જોડાણના અવરોધોના વિશ્લેષણ દ્વારા સરળ બનાવી શકાય છે.
પ્રથમ,$24\ \Omega$ અને $8\ \Omega$ ના અવરોધો ધરાવતી નીચેની સમાંતર શાખાને ધ્યાનમાં લો. બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{AB} = \frac{24 \times 8}{24 + 8} = \frac{192}{32} = 6\ \Omega$.
આપેલ છે કે $8\ \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $48\ V$ છે,તેથી શાખા $AB$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i$:
$i = \frac{48\ V}{6\ \Omega} = 8\ A$.
હવે,$20\ \Omega$,$30\ \Omega$ અને $60\ \Omega$ ના અવરોધો ધરાવતી ઉપરની સમાંતર શાખાને ધ્યાનમાં લો. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{upper}$:
$\frac{1}{R_{upper}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{3+2+1}{60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} \Rightarrow R_{upper} = 10\ \Omega$.
$X$ અને $Y$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ શ્રેણીમાં રહેલા ઘટકોનો સરવાળો છે:
$R_{XY} = 3\ \Omega + R_{upper} + R_{AB} + 1\ \Omega = 3 + 10 + 6 + 1 = 20\ \Omega$.
$X$ અને $Y$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{XY} = i \times R_{XY} = 8\ A \times 20\ \Omega = 160\ V$ થાય.

(B) ધારો કે દરેક તારનો અવરોધ $r$ છે.
શરૂઆતમાં,જ્યારે કળ $K_1$ અને $K_2$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે પરિપથમાં $r$ અવરોધ ધરાવતા $7$ અવરોધો એક ચોક્કસ નેટવર્કમાં ગોઠવાયેલા છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R$ આપેલ છે.
જ્યારે કળ $K_1$ અને $K_2$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા અવરોધો શોર્ટ-સર્કિટ થઈ જાય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$K_1$ ની સમાંતરમાં રહેલો અવરોધ અને $K_2$ ની સમાંતરમાં રહેલો અવરોધ પરિપથમાંથી દૂર થઈ જાય છે.
આનાથી $r$ અવરોધ ધરાવતા $5$ અવરોધોનું એક સરળ નેટવર્ક બાકી રહે છે.
પરિપથનું વિશ્લેષણ કરતા,નવો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{7R}{9}$ થાય છે.

(B) $10\, \Omega$ ના અવરોધમાં પ્રવાહ શોધવા માટે,આપણે સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કોષો માટે સમતુલ્ય $EMF$ $(E_{eq})$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $(r_{eq})$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} - \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{\frac{5}{2} - \frac{2}{1}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}\, V$
$r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3}\, \Omega$
હવે,પરિપથ એક લૂપમાં ફેરવાય છે જ્યાં $E_{eq} = \frac{1}{3}\, V$,$r_{eq} = \frac{2}{3}\, \Omega$ અને બાહ્ય અવરોધ $R = 10\, \Omega$ શ્રેણીમાં છે.
પ્રવાહ $i = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}} = \frac{1/3}{10 + 2/3} = \frac{1/3}{32/3} = \frac{1}{32} \approx 0.03\, A$
$5\, V$ ની બેટરી વધુ શક્તિશાળી હોવાથી,પ્રવાહ $P_2$ થી $P_1$ તરફ વહેશે.

(B) મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર પ્રમેય મુજબ, જ્યારે બાહ્ય નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{eq})$ બેટરીના આંતરિક અવરોધ $(r)$ જેટલો હોય ત્યારે નેટવર્કને મહત્તમ પાવર મળે છે.
અહીં $r = 4 \, \Omega$ આપેલ છે.
પરિપથ આકૃતિ જોતા, અવરોધો બ્રિજ જેવી ગોઠવણીમાં છે. નેટવર્કનું સાદુંરૂપ આપતા:
$1$. જમણી બાજુએ $R$, $R$ અને $4R$ શ્રેણીમાં છે, જેનો સરવાળો $R + R + 4R = 6R$ થાય છે.
$2$. આ $6R$ એ વચ્ચેના $6R$ અવરોધ સાથે સમાંતર છે, તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{6R \times 6R}{6R + 6R} = 3R$ થાય છે.
$3$. બેટરીના ટર્મિનલ્સથી જોતા, નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 4 \, \Omega$ મળે છે.
$R_{eq} = r$ લેતા:
$4 = 2R$
$R = 2 \, \Omega$.

(D) વિદ્યુતપ્રવાહ શોધવા માટે,આપણે પરિપથને જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ સરળ બનાવીએ છીએ.
$1$. સૌથી જમણી લૂપમાં $2\, \Omega$ નો અવરોધ,$4\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે બીજા $2\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. પરિપથ જોતા,$4\, \Omega$ નો અવરોધ જમણી બાજુની શાખામાં $2\, \Omega$ અને $2\, \Omega$ ના અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $R = 2+4+2 = 8\, \Omega$. આ $8\, \Omega$ એ ઊભી શાખાના $8\, \Omega$ અવરોધ સાથે સમાંતર છે,પરિણામે $R_p = 4\, \Omega$ મળે છે.
$2$. હવે,આ $4\, \Omega$ એ આડા $2\, \Omega$ અને $2\, \Omega$ અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $R = 2+4+2 = 8\, \Omega$. આ $8\, \Omega$ એ વચ્ચેની ઊભી શાખાના $8\, \Omega$ અવરોધ સાથે સમાંતર છે,પરિણામે $R_p = 4\, \Omega$ મળે છે.
$3$. અંતે,આ $4\, \Omega$ એ આડા $3\, \Omega$ અને $2\, \Omega$ અવરોધો તથા $1\, \Omega$ ના આંતરિક અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_{total} = 3+4+2+1 = 10\, \Omega$.
$4$. બેટરીમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{10\,V}{10\, \Omega} = 1\,A$ છે.
$5$. પ્રવાહ વિભાજનના નિયમ મુજબ,જ્યાં અવરોધો સમાન હોય ત્યાં પ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાય છે. $4\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $0.25\,A$ છે.

(B) સૌથી જમણી બાજુના લૂપથી શરૂ કરતા, $1\, \Omega$, $3\, \Omega$ અને $2\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $0.25\, A$ છે. આ શાખા પરનો વોલ્ટેજ $V_1 = 0.25 \times (1 + 3 + 2) = 0.25 \times 6 = 1.5\, V$ છે.
આ વોલ્ટેજ $V_1$ એ $6\, \Omega$ ના અવરોધ પર જોવા મળે છે. તેથી, $6\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = 1.5 / 6 = 0.25\, A$ છે.
વચ્ચેના નોડમાં પ્રવેશતો કુલ પ્રવાહ $I_{total} = 0.25\, A + 0.25\, A = 0.5\, A$ છે.
આ $0.5\, A$ પ્રવાહ $5\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે. $5\, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_2 = 0.5 \times 5 = 2.5\, V$ છે.
$6\, \Omega$ ના અવરોધ અને $5\, \Omega$ ના અવરોધ પરનો કુલ વોલ્ટેજ $V_{mid} = 1.5 + 2.5 = 4.0\, V$ છે.
આ વોલ્ટેજ $V_{mid}$ એ $8\, \Omega$ ના અવરોધ પર જોવા મળે છે. તેથી, $8\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_3 = 4.0 / 8 = 0.5\, A$ છે.
પ્રથમ નોડમાં પ્રવેશતો કુલ પ્રવાહ $I_{in} = 0.5\, A + 0.5\, A = 1.0\, A$ છે.
અંતે, ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V$ એ $7\, \Omega$ ના અવરોધ, $8\, \Omega$ ની શાખા અને $9\, \Omega$ ના અવરોધ પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપનો સરવાળો છે:
$V = I_{in} \times 7 + V_{mid} + I_{in} \times 9$
$V = (1.0 \times 7) + 4.0 + (1.0 \times 9) = 7 + 4 + 9 = 20\, V$.

(C) સૌ પ્રથમ, $300 \, \Omega$ અવરોધ અને $600 \, \Omega$ વોલ્ટમીટરના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો:
$R_p = \frac{300 \times 600}{300 + 600} = \frac{180000}{900} = 200 \, \Omega$
પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ છે:
$R_{eq} = 200 \, \Omega + R_p + 100 \, \Omega = 200 + 200 + 100 = 500 \, \Omega$
પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ છે:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{100}{500} = 0.2 \, A$
સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ (જે વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ છે) છે:
$V_{voltmeter} = I \times R_p = 0.2 \times 200 = 40 \, V$

(C) પરિપથમાં બેટરી,એક નિશ્ચિત અવરોધ અને શ્રેણીમાં એક રિયોસ્ટેટ જોડાયેલ છે. વોલ્ટમીટર $V_1$ ને નિશ્ચિત અવરોધની આસપાસ જોડવામાં આવ્યું છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,વોલ્ટમીટર $V_1$ નું રીડિંગ $V_1 = I \times R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ છે અને $R$ એ નિશ્ચિત અવરોધ છે.
જ્યારે રિયોસ્ટેટ સ્લાઇડર જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ ખસે છે,ત્યારે રિયોસ્ટેટનો અસરકારક અવરોધ ઘટે છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ ઘટતો હોવાથી,પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ વધે છે $(I = \frac{E}{R_{total}})$.
જેમ જેમ પ્રવાહ $I$ વધે છે અને નિશ્ચિત અવરોધ $R$ અચળ રહે છે,તેમ નિશ્ચિત અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_1 = I \times R$ સતત વધે છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$R = V^2 / P$ નો ઉપયોગ કરીને દરેક બલ્બનો અવરોધ શોધો.
બલ્બ $A$ માટે: $R_A = (24)^2 / 48 = 576 / 48 = 12\ \Omega$.
બલ્બ $B$ માટે: $R_B = (24)^2 / 36 = 576 / 36 = 16\ \Omega$.
કિસ્સો $1$: સ્વીચ બંધ છે.
દરેક બલ્બ તેની પોતાની $12\ V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલ છે. પાવર $P = V^2 / R$ દ્વારા મળે છે.
$P_A = (12)^2 / 12 = 144 / 12 = 12\ W$.
$P_B = (12)^2 / 16 = 144 / 16 = 9\ W$.
કિસ્સો $2$: સ્વીચ ખુલ્લી છે.
બંને બલ્બ $24\ V$ ના કુલ વોલ્ટેજ સાથે શ્રેણીમાં છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_A + R_B = 12 + 16 = 28\ \Omega$.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = V / R_{eq} = 24 / 28 = 6 / 7\ A$.
$A$ દ્વારા મળતો પાવર $P_A = I^2 R_A = (6/7)^2 \times 12 = (36/49) \times 12 \approx 8.8\ W \approx 9\ W$.
$B$ દ્વારા મળતો પાવર $P_B = I^2 R_B = (6/7)^2 \times 16 = (36/49) \times 16 \approx 11.7\ W \approx 12\ W$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $A_1$ પહેલાના નોડ પરનો પોટેન્શિયલ $V_1$ છે અને $3 \ \Omega$ અવરોધ પછીનો પોટેન્શિયલ $V_2$ છે. $A_1$ પહેલાના નોડ અને $3 \ \Omega$ અવરોધ પછીના નોડને જોડતો તાર શોર્ટ સર્કિટ છે,તેથી $V_1 = V_2 = 0 \ V$ (સંદર્ભ તરીકે લેતા).
$6 \ \Omega$ અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $1.0 \ A$ આપેલ છે ($A_1$ નું રીડિંગ).
$6 \ \Omega$ અવરોધ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V = I \times R = 1.0 \ A \times 6 \ \Omega = 6 \ V$ છે.
શરૂઆતમાં પોટેન્શિયલ $0 \ V$ હોવાથી,$6 \ \Omega$ અને $3 \ \Omega$ અવરોધ વચ્ચેના નોડ પરનો પોટેન્શિયલ $-6 \ V$ છે.
હવે,$3 \ \Omega$ અવરોધને ધ્યાનમાં લો. તેના પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_{diff} = 0 \ V - (-6 \ V) = 6 \ V$ છે.
$3 \ \Omega$ અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = V / R = 6 \ V / 3 \ \Omega = 2 \ A$ છે.
$6 \ \Omega$ અને $3 \ \Omega$ અવરોધ વચ્ચેના નોડ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા,$6 \ \Omega$ અવરોધમાંથી આવતો પ્રવાહ $1 \ A$ છે અને $3 \ \Omega$ અવરોધમાંથી બહાર જતો પ્રવાહ $2 \ A$ છે. તેથી,$A_3$ શાખામાંથી આવતો પ્રવાહ $I_{A3} = I_{3\Omega} + I_{6\Omega} = 2 \ A + 1 \ A = 3 \ A$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$A_3$ નું રીડિંગ $3 \ A$ છે.

(A) આપેલ પરિપથમાં,બિંદુઓ $A$ અને $B$ ને તાર $AB$ દ્વારા શોર્ટ-સર્કિટ કરવામાં આવ્યા છે.
આનો અર્થ એ છે કે $4 \ \Omega$ અને $12 \ \Omega$ ના અવરોધો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે,તેથી તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથ અસરકારક રીતે ફક્ત $3 \ \Omega$ ના અવરોધનો બનેલો છે જે $30 \ V$ ની બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R = 3 \ \Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R} = \frac{30 \ V}{3 \ \Omega} = 10 \ A$ છે.
બેટરી દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી પાવર $P = V \times I = 30 \ V \times 10 \ A = 300 \ W$ છે.
તાર $AB$ માં વહેતો પ્રવાહ એ પરિપથનો કુલ પ્રવાહ છે,જે $10 \ A$ છે,શૂન્ય નથી.
તેથી,માત્ર વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) $x$ અને $y$ બિંદુઓ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથની સંમિતિનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
સંમિતિના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,સમાન સ્થિતિમાન ધરાવતા નોડ્સને પ્રવાહના વિતરણમાં ફેરફાર કર્યા વિના જોડી અથવા અલગ કરી શકાય છે.
આ પરિપથમાં,દરેક $R$ અવરોધ ધરાવતા $8$ અવરોધો છે.
સંમિતિનો ઉપયોગ કરીને પરિપથને સરળ બનાવીને,આપણે તેને શ્રેણી અને સમાંતર અવરોધોના સંયોજન તરીકે ફરીથી દોરી શકીએ છીએ.
નેટવર્કને સરળ બનાવ્યા પછી,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{8R}{3}$ મળે છે.

(C) ધારો કે બેટરીનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon$ છે અને તેનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે.
પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R + r}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $2 = \frac{\varepsilon}{2 + r} \implies \varepsilon = 2(2 + r) = 4 + 2r$ (સમીકરણ $1$).
બીજા કિસ્સા માટે: $0.5 = \frac{\varepsilon}{9 + r} \implies \varepsilon = 0.5(9 + r) = 4.5 + 0.5r$ (સમીકરણ $2$).
$\varepsilon$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$4 + 2r = 4.5 + 0.5r$
$2r - 0.5r = 4.5 - 4$
$1.5r = 0.5$
$r = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}\,\Omega$.

(A) $2\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ શોધવા માટે,આપણે પરિપથનું વિશ્લેષણ કરવું પડશે.
આપેલ પરિપથ આકૃતિમાં,આપણે જોઈએ છીએ કે બે અલગ-અલગ લૂપ છે જે $2\, \Omega$ ના અવરોધ ધરાવતા એક જ તાર દ્વારા જોડાયેલા છે.
જોકે,કોઈ અવરોધમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવા માટે,તે એક સંપૂર્ણ બંધ માર્ગ (પરિપથ) નો ભાગ હોવો જોઈએ જે વિદ્યુતભારને સ્ત્રોતના એક છેડાથી બીજા છેડા સુધી પરિભ્રમણ કરવા દે.
આ આકૃતિમાં,$2\, \Omega$ નો અવરોધ બે બિંદુઓ વચ્ચે જોડાયેલ છે,પરંતુ ત્યાં કોઈ પરત ફરવાનો માર્ગ અથવા સંપૂર્ણ પરિપથ લૂપ નથી જે આ અવરોધ અને વોલ્ટેજ સ્ત્રોતોને એવી રીતે સમાવે કે જેથી તેમાંથી સ્થિર વિદ્યુતપ્રવાહ વહી શકે.
પરિપથ $2\, \Omega$ ના અવરોધ દ્વારા બંધ ન હોવાથી,તેમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહી શકતો નથી.
તેથી,$2\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $0\, A$ છે.