Circuit Solving for current and Voltage Questions in Gujarati

(C) ફ્યુઝ વાયરમાં ઉષ્મીય અસર જૂલના ઉષ્માના નિયમ $H = I^2 R t$ દ્વારા નક્કી થાય છે,જ્યાં $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ છે.
ફ્યુઝ ચોક્કસ પ્રવાહ $I$ પર પીગળે તે માટે,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા તેના ગલનબિંદુ સુધી પહોંચવા માટે પૂરતી હોવી જોઈએ.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા અવરોધ $R$ પર આધાર રાખે છે,જે વિશિષ્ટ અવરોધકતા $\rho$ ના સમપ્રમાણમાં અને ત્રિજ્યા $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી આ પરિબળો મહત્વપૂર્ણ છે.
પ્રવાહ $I$ એ થ્રેશોલ્ડ મૂલ્ય છે જેના માટે ફ્યુઝ ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યો છે.
વાયરની લંબાઈ $l$ એ ફ્યુઝ વાયરની પ્રવાહ વહન કરવાની ક્ષમતા અથવા તેના ગલનબિંદુને અસર કરતી નથી,કારણ કે ફ્યુઝના કાર્ય માટે એકમ લંબાઈ દીઠ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા મહત્વની છે. આમ,લંબાઈ અપ્રસ્તુત છે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ધરાવતી શાખાઓ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે અને તેને અવગણી શકાય છે.
આમ,પ્રવાહ ફક્ત નીચેની અને વચ્ચેની શાખામાં રહેલા અવરોધોમાંથી વહે છે.
પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 2\,\Omega + 2\,\Omega = 4\,\Omega$ છે.
પરિપથ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = \frac{(2)^2}{4} = \frac{4}{4} = 1\,W$ મળે છે.

(C) જ્યારે અવરોધકોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અવરોધક પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ સમાન હોય છે.
અવરોધકમાં વ્યય થતો પાવર $(P)$ સૂત્ર $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V$ અચળ હોવાથી,વ્યય થતો પાવર એ અવરોધના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $P \propto \frac{1}{R}$.
આપેલ છે કે અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{1}$ છે.
તેથી,વ્યય થતા પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{2}$ થશે.

(C) જ્યારે લેમ્પ ગરમ હોય (રેટેડ પાવર પર) ત્યારે તેનો અવરોધ $R_{Hot} = \frac{V^2}{P}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $R_{Hot} = \frac{200 \times 200}{100} = 400\,\Omega$.
અહીં આપેલ છે કે ગરમ અવરોધ એ ઠંડા અવરોધ કરતા $10$ ગણો છે: $R_{Hot} = 10 \times R_{Cold}$.
તેથી,ઠંડો અવરોધ (જ્યારે લેમ્પ ઉપયોગમાં ન હોય ત્યારે) $R_{Cold} = \frac{R_{Hot}}{10}$ થશે.
$R_{Cold} = \frac{400}{10} = 40\,\Omega$.

(B) આપેલ છે:
બેટરીનું $e.m.f.$ $(E)$ = $3\, V$
આંતરિક અવરોધ $(r_{int})$ = $1.0\, \Omega$
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $(I)$ = $1.5\, A$
ધારો કે વોલ્ટામીટરનો અવરોધ $R$ છે.
સંપૂર્ણ પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ:
$E = I(R + r_{int})$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$3 = 1.5(R + 1.0)$
$R + 1.0 = \frac{3}{1.5}$
$R + 1.0 = 2$
$R = 2 - 1.0 = 1\, \Omega$
તેથી,વોલ્ટામીટરનો અવરોધ $1\, \Omega$ છે.

(B) વોલ્ટામીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ તેની સાથે જોડાયેલા બાહ્ય પરિપથ દ્વારા નક્કી થાય છે. શ્રેણી પરિપથમાં સાતત્યના સિદ્ધાંત મુજબ,વોલ્ટામીટરમાં દાખલ થતો પ્રવાહ તેમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહ જેટલો જ હોવો જોઈએ. તેથી,કોપર વોલ્ટામીટરની અંદરનો પ્રવાહ બાહ્ય પરિપથમાં બેટરીમાંથી ખેંચાયેલા પ્રવાહ જેટલો જ હોય છે.

(A) પદાર્થનો વિદ્યુત-રાસાયણિક તુલ્યાંક $(Z)$ એ સૂત્ર $Z = \frac{M}{nF}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $M$ એ પદાર્થનું મોલર દળ છે,$n$ એ સંયોજકતા (ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા) છે અને $F$ એ ફેરાડેનો અચળાંક છે.
આમ,$M$,$n$ અને $F$ એ પદાર્થ અને રાસાયણિક પ્રક્રિયાના આંતરિક ગુણધર્મો હોવાથી,વિદ્યુત-રાસાયણિક તુલ્યાંક માત્ર પદાર્થની પ્રકૃતિ પર જ આધાર રાખે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમ મુજબ,જમા થયેલ દળ $m = zq$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $z$ એ વિદ્યુત-રાસાયણિક તુલ્યાંક છે અને $q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
જમા થયેલ દળ સમાન હોવાથી,$m_1 = m_2$,જેનો અર્થ છે કે $z_1 q_1 = z_2 q_2$.
આના પરથી,વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર $\frac{q_1}{q_2} = \frac{z_2}{z_1}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કુલ વિદ્યુતભાર $q = q_1 + q_2$.
આપણે ચાંદીના વોલ્ટામીટરમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $q_2$ શોધવો છે.
ગુણોત્તર પરથી,$q_1 = q_2 \frac{z_2}{z_1}$.
આ કિંમતને કુલ વિદ્યુતભારના સમીકરણમાં મૂકતા: $q = q_2 \frac{z_2}{z_1} + q_2 = q_2 (1 + \frac{z_2}{z_1})$.
$q_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $q_2 = \frac{q}{1 + \frac{z_2}{z_1}}$ મળે છે.

(B) થર્મોકપલમાં તાપમાન $(T)$ ના વિધેય તરીકે થર્મો $e.m.f.$ $(E)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $E = aT + \frac{1}{2}bT^2$.
જે તાપમાને $e.m.f.$ મહત્તમ હોય તે શોધવા માટે,આપણે $E$ નું $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$\frac{dE}{dT} = a + bT = 0$.
$T$ માટે ઉકેલતા,આપણને $T = -\frac{a}{b}$ મળે છે. આ તાપમાનને તટસ્થ તાપમાન $(T_n)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તટસ્થ તાપમાને,થર્મો $e.m.f.$ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.

(C) થોમસન અસર એ ઘટનાનું વર્ણન કરે છે જેમાં એક સમાન વાહકના બે છેડાઓ વચ્ચે તાપમાનનો તફાવત હોય ત્યારે ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ ઉત્પન્ન થાય છે.
આ વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત તાપમાનના તફાવતને કારણે ચાર્જ કેરિયર્સના પુનઃવિતરણને લીધે ઉદ્ભવે છે.
તેથી,અલગ-અલગ તાપમાને રહેલા એક જ વાહકના બે છેડાઓ વચ્ચે ઉત્પન્ન થતા ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સને થોમસન ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(A) થર્મોકપલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું થર્મો $e.m.f.$ $e = S \times \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ સંવેદનશીલતા $(30 \,\mu V/^\circ C)$ છે અને $\theta$ એ તાપમાનનો તફાવત છે.
આપેલ છે કે,લઘુત્તમ પ્રવાહ $i = 3 \times 10^{-7} \, A$ અને અવરોધ $R = 50 \,\Omega$.
ઓમના નિયમ મુજબ,$i = \frac{e}{R}$,તેથી $i = \frac{S \times \theta}{R}$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10^{-7} = \frac{(30 \times 10^{-6}) \times \theta}{50}$.
$\theta$ માટે ઉકેલતા: $\theta = \frac{3 \times 10^{-7} \times 50}{30 \times 10^{-6}}$.
$\theta = \frac{150 \times 10^{-7}}{30 \times 10^{-6}} = 5 \times 10^{-1} = 0.5^\circ C$.

(D) રેટેડ પાવર $V_1 = 220\,V$ પર $P_1 = 100\,W$ છે. આ તાપમાને અવરોધ $R_1 = \frac{V_1^2}{P_1}$ છે.
જ્યારે તેને $V_2 = 220 \times 0.8\,V$ સાથે જોડવામાં આવે,ત્યારે નવો પાવર $P_2 = \frac{V_2^2}{R_2}$ થાય.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{V_2^2}{V_1^2} \times \frac{R_1}{R_2} = (0.8)^2 \times \frac{R_1}{R_2}$.
વોલ્ટેજ ઘટવાને કારણે ફિલામેન્ટનું તાપમાન ઘટે છે,જેનાથી અવરોધ પણ ઘટે છે $(R_2 < R_1)$. તેથી,$\frac{R_1}{R_2} > 1$.
આ સૂચવે છે કે $P_2 > (0.8)^2 \times P_1 = 100 \times (0.8)^2\,W$.
વળી,$P = VI$ હોવાથી,અને રેટિંગની સરખામણીમાં $V$ અને $I$ બંને ઘટે છે,તેથી પાવર $P_2$ એ જો અવરોધ $R_1$ અચળ રહેત તો મળતા પાવર $(100 \times 0.8\,W)$ કરતા ઓછો હશે.
આમ,વાસ્તવિક પાવર $P_2$ એ $100 \times (0.8)^2\,W$ અને $100 \times 0.8\,W$ ની વચ્ચે હશે.

(B) આ સર્કિટ બે સમાંતર શાખાઓની બનેલી છે. ઉપરની શાખાનો કુલ અવરોધ $R_2 = 4\, \Omega + 6\, \Omega = 10\, \Omega$ છે. નીચેની શાખાનો અવરોધ $R_1 = 5\, \Omega$ છે.
શાખાઓ સમાંતર હોવાથી, બંને શાખાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહેશે.
શાખાઓમાં વહેતો પ્રવાહ તેમના અવરોધના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{i_1}{i_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{10}{5} = \frac{2}{1}$.
દર સેકન્ડે ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા (પાવર) $P = i^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5\, \Omega$ ના અવરોધ માટે, $P_5 = i_1^2 \times 5 = 10\, \text{cal/s}$.
$4\, \Omega$ ના અવરોધ માટે, પ્રવાહ $i_2$ છે. ઉપરની શાખામાં વપરાતો પાવર $P_{\text{upper}} = i_2^2 \times R_2 = i_2^2 \times 10$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{i_1}{i_2} = 2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $i_1 = 2i_2$ મળે છે. આ કિંમત $5\, \Omega$ ના અવરોધના પાવર સમીકરણમાં મૂકતા: $(2i_2)^2 \times 5 = 10 \Rightarrow 20i_2^2 = 10 \Rightarrow i_2^2 = 0.5$.
$4\, \Omega$ ના અવરોધમાં વપરાતો પાવર $P_4 = i_2^2 \times 4 = 0.5 \times 4 = 2\, \text{cal/s}$ છે.

(C) પાણીને ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $H = \frac{V^2}{R} t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ સપ્લાય વોલ્ટેજ છે,$R$ એ હીટિંગ વાયરનો અવરોધ છે અને $t$ એ લાગતો સમય છે.
બંને કિસ્સામાં સપ્લાય વોલ્ટેજ $V$ અને જરૂરી ઉષ્મા $H$ સમાન હોવાથી,$H = \frac{V^2}{R_1} t_1 = \frac{V^2}{R_2} t_2$ થાય.
આથી $\frac{t_1}{R_1} = \frac{t_2}{R_2}$,અથવા $\frac{t_2}{t_1} = \frac{R_2}{R_1}$ ..... $(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે વાયરનો અવરોધ તેની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$R \propto l$,તેથી $\frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1}$ ..... $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{t_2}{t_1} = \frac{l_2}{l_1}$ મળે છે.
આપેલ છે કે નવી લંબાઈ $l_2 = \frac{2}{3} l_1$,તેથી $\frac{l_2}{l_1} = \frac{2}{3}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{t_2}{15} = \frac{2}{3}$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $t_2 = 15 \times \frac{2}{3} = 10\,\text{min}$ મળે છે.

(D) આ સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ સાથે જોડાયેલી છે.
ઉપરની શાખાનો અવરોધ, $R_1 = 2\,\Omega + 3\,\Omega = 5\,\Omega$.
નીચેની શાખાનો અવરોધ, $R_2 = 6\,\Omega + 4\,\Omega = 10\,\Omega$.
શાખાઓ સમાંતર હોવાથી, બંને પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન છે.
ધારો કે ઉપરની શાખામાં પ્રવાહ $i_1$ છે અને નીચેની શાખામાં પ્રવાહ $i_2$ છે.
$V = i_1 R_1 = i_2 R_2 \implies i_1(5) = i_2(10) \implies i_1 = 2i_2$.
અવરોધમાં પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા (પાવર) $P = i^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે, $6\,\Omega$ ના અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $P_2 = i_2^2 \times 6 = 60\, \text{cal/s}$ છે.
તેથી, $i_2^2 = 10$.
આપણે $3\,\Omega$ ના અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $P_1 = i_1^2 \times 3$ શોધવાની છે.
$i_1 = 2i_2$ મૂકતા, આપણને મળે $P_1 = (2i_2)^2 \times 3 = 4i_2^2 \times 3 = 12i_2^2$.
$i_2^2 = 10$ મૂકતા, આપણને મળે $P_1 = 12 \times 10 = 120\, \text{cal/s}$.

(A) $1$. હીટર દ્વારા વપરાતો પાવર $P = 110\, W$ છે અને તેનો અવરોધ $R_h = 110\, \Omega$ છે. $P = \frac{V_h^2}{R_h}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,આપણે હીટર પરનો વોલ્ટેજ શોધી શકીએ છીએ:
$110 = \frac{V_h^2}{110} \Rightarrow V_h^2 = 12100 \Rightarrow V_h = 110\, V$.
$2$. હીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1 = \frac{V_h}{R_h} = \frac{110}{110} = 1\, A$ છે.
$3$. કુલ વોલ્ટેજ $220\, V$ છે. હીટરનું સંયોજન $11\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી,$11\, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_s = 220 - 110 = 110\, V$ થશે.
$4$. $11\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i = \frac{V_s}{11} = \frac{110}{11} = 10\, A$ છે.
$5$. કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,$R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i_2 = i - i_1 = 10 - 1 = 9\, A$ છે.
$6$. $R$ એ હીટર સાથે સમાંતરમાં હોવાથી,$R$ પરનો વોલ્ટેજ પણ $110\, V$ જ રહેશે. તેથી,$R = \frac{V_h}{i_2} = \frac{110}{9} \approx 12.22\, \Omega$.

(B) દરેક બલ્બની સામાન્ય તેજસ્વીતા માટે,દરેક બલ્બ પરનો વોલ્ટેજ $1.5\,V$ હોવો જોઈએ અને દરેક બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ $0.5\,A$ હોવો જોઈએ.
ચાર બલ્બ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,સર્કિટમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $i$ એ દરેક બલ્બમાંથી વહેતા પ્રવાહનો સરવાળો છે: $i = 0.5\,A + 0.5\,A + 0.5\,A + 0.5\,A = 2\,A$.
બલ્બના સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $1.5\,V$ છે.
બેટરીનો વોલ્ટેજ $12\,V$ હોવાથી,અવરોધ $R$ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = 12\,V - 1.5\,V = 10.5\,V$ થશે.
અવરોધ $R$ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$V_R = i \times R$,આપણને $10.5\,V = 2\,A \times R$ મળે છે.
તેથી,$R = 10.5 / 2 = 21/4\,\Omega$.

(D) બલ્બનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બલ્બ $B_1$ $(100\, W)$ માટે,$R_1 = \frac{V^2}{100}$.
બલ્બ $B_2$ અને $B_3$ $(60\, W)$ માટે,$R_2 = R_3 = \frac{V^2}{60}$.
બલ્બ $B_1$ અને $B_2$ શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન $250\, V$ ના સ્ત્રોત સાથે સમાંતરમાં $B_3$ સાથે જોડાયેલ છે.
$B_3$ માં વપરાતો પાવર $W_3 = \frac{(250)^2}{R_3} = \frac{(250)^2}{V^2/60} = 60 \times \frac{(250)^2}{V^2}$ છે.
શ્રેણી શાખા ($B_1$ અને $B_2$) માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{250}{R_1 + R_2} = \frac{250}{\frac{V^2}{100} + \frac{V^2}{60}} = \frac{250}{V^2(\frac{3+5}{300})} = \frac{250 \times 300}{8V^2} = \frac{9375}{V^2}$ છે.
$B_1$ માં પાવર $W_1 = I^2 R_1 = (\frac{9375}{V^2})^2 \times \frac{V^2}{100} = \frac{9375^2}{100 V^2}$ છે.
$B_2$ માં પાવર $W_2 = I^2 R_2 = (\frac{9375}{V^2})^2 \times \frac{V^2}{60} = \frac{9375^2}{60 V^2}$ છે.
$W_1$ અને $W_2$ ની સરખામણી કરતા,$R_1 < R_2$ હોવાથી,$W_1 < W_2$ મળે છે. $B_3$ સીધો સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ હોવાથી,તે તેના રેટ કરેલ વોલ્ટેજ પર કાર્ય કરે છે,જ્યારે $B_1$ અને $B_2$ ઓછા વોલ્ટેજ પર કાર્ય કરે છે,તેથી $W_2 < W_3$. આમ,$W_1 < W_2 < W_3$.

(D) શરૂઆતમાં, પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_1 = 2\, \Omega + 3\, \Omega = 5\, \Omega$ છે। વોલ્ટામીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1 = \frac{V}{5}$ છે।
જ્યારે $2\, \Omega$ ના વોલ્ટામીટર સાથે સમાંતરમાં $2\, \Omega$ નો અવરોધ જોડવામાં આવે, ત્યારે આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1\, \Omega$ થાય છે।
પરિપથનો નવો કુલ અવરોધ $R_2 = 1\, \Omega + 3\, \Omega = 4\, \Omega$ છે। પરિપથમાં મુખ્ય પ્રવાહ $i = \frac{V}{4}$ છે।
સમાંતર અવરોધો સમાન ($2\, \Omega$ દરેક) હોવાથી, પ્રવાહ $i$ સમાન રીતે વહેંચાય છે। તેથી, વોલ્ટામીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_2 = \frac{i}{2} = \frac{V}{8}$ છે।
સિલ્વર જમા થવાનો દર પ્રવાહના સમપ્રમાણમાં છે, $R \propto i$. દરમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{i_2 - i_1}{i_1} \times 100$ છે।
ટકાવારી ફેરફાર $= \frac{\frac{V}{8} - \frac{V}{5}}{\frac{V}{5}} \times 100 = \frac{\frac{5V - 8V}{40}}{\frac{V}{5}} \times 100 = \frac{-3V}{40} \times \frac{5}{V} \times 100 = -37.5\, \%$.
તેથી, સિલ્વર જમા થવાનો દર $37.5\, \%$ જેટલો ઘટે છે।

(B) થર્મોકપલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું થર્મો $e.m.f.$ $(e)$ એ થર્મો $e.m.f.$ સહગુણક $(\alpha)$ અને તાપમાનના તફાવત $(\Delta \theta)$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે: $e = \alpha \Delta \theta$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ, $e.m.f.$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ $(i)$ અને અવરોધ $(R)$ ના ગુણાકાર જેટલું પણ હોય છે: $e = iR$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\alpha \Delta \theta = iR$.
આપેલ છે: $\alpha = 25\,\mu V/^{\circ}C = 25 \times 10^{-6}\,V/^{\circ}C$, $i = 10^{-5}\,A$, અને $R = 40\,\Omega$.
કિંમતો મૂકતા: $(25 \times 10^{-6}) \times \Delta \theta = 10^{-5} \times 40$.
$\Delta \theta = \frac{40 \times 10^{-5}}{25 \times 10^{-6}} = \frac{400}{25} = 16\,^{\circ}C$.
તેથી, આ સિસ્ટમ દ્વારા પારખી શકાતો લઘુત્તમ તાપમાનનો તફાવત $16\,^{\circ}C$ છે.

(B) બલ્બનો રેટ કરેલ પાવર $P = 500\, W$ અને રેટ કરેલ વોલ્ટેજ $V_{rated} = 100\, V$ છે.
જ્યારે બલ્બ તેના રેટ કરેલ પાવર પર કાર્ય કરે ત્યારે તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{P}{V_{rated}} = \frac{500}{100} = 5\, A$ થાય.
બલ્બને $200\, V$ ના સપ્લાય સાથે અવરોધ $R$ ની શ્રેણીમાં જોડવામાં આવેલ હોવાથી,કુલ વોલ્ટેજ બલ્બ અને અવરોધ વચ્ચે વહેંચાય છે.
બલ્બ પરનો વોલ્ટેજ $100\, V$ છે,તેથી અવરોધ $R$ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = 200\, V - 100\, V = 100\, V$ હોવો જોઈએ.
અવરોધ $R$ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$V_R = i \times R$.
કિંમતો મૂકતા,$100 = 5 \times R$.
તેથી,$R = \frac{100}{5} = 20\, \Omega$.

(D) થર્મોકપલમાં,થર્મોઇલેક્ટ્રિક $EMF$ $(E)$ એ $E = \alpha \theta + \frac{1}{2} \beta \theta^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ જંકશન વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત છે.
સામાન્ય પરિસ્થિતિઓમાં (ઇન્વર્ઝન તાપમાનથી નીચેના તાપમાને),પ્રવાહ ધાતુ $X$ થી ધાતુ $Y$ તરફ ઠંડા જંકશન દ્વારા વહે છે.
જ્યારે ગરમ જંકશનનું તાપમાન ઇન્વર્ઝન તાપમાન કરતા વધી જાય છે,ત્યારે થર્મોઇલેક્ટ્રિક $EMF$ ની દિશા ઉલટાઈ જાય છે.
પરિણામે,પ્રવાહની દિશા ઉલટાઈ જાય છે,જે ગરમ જંકશન દ્વારા $X$ થી $Y$ તરફ વહે છે,જે ઠંડા જંકશન દ્વારા $Y$ થી $X$ તરફ વહેવા સમાન છે.
તેથી,વિકલ્પો $(b)$ અને $(c)$ બંને સમાન ભૌતિક સ્થિતિનું વર્ણન કરે છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમો અનુસાર,કેથોડ પર જમા થયેલ દળ $m = Zit$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ વિદ્યુત-રાસાયણિક તુલ્યાંક છે,$i$ એ વોલ્ટામીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે અને $t$ એ સમય છે.
કિસ્સો $1$: શ્રેણી જોડાણ.
કુલ અવરોધ $R_s = 2\,\Omega + 3\,\Omega = 5\,\Omega$ છે.
વોલ્ટામીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1 = \frac{V}{R_s} = \frac{10\,V}{5\,\Omega} = 2\,A$ છે.
જમા થયેલ દળ $m_1 = Z i_1 t = 1\,g$ છે.
કિસ્સો $2$: સમાંતર જોડાણ.
વોલ્ટામીટર સીધું $10\,V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલ છે.
વોલ્ટામીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_2 = \frac{V}{R_v} = \frac{10\,V}{2\,\Omega} = 5\,A$ છે.
જમા થયેલ દળ $m_2 = Z i_2 t$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{m_2}{m_1} = \frac{i_2}{i_1} = \frac{5\,A}{2\,A} = 2.5$.
કારણ કે $m_1 = 1\,g$,તેથી $m_2 = 2.5\,g$ મળે છે.
જમા થયેલ દળમાં થતો વધારો $\Delta m = m_2 - m_1 = 2.5\,g - 1\,g = 1.5\,g$ છે.

(C) જમા થયેલ કોપરનું દળ ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમ મુજબ $m = Z i t$ છે.
વળી,દળને $m = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times A \times x$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $A$ એ ક્ષેત્રફળ અને $x$ એ જાડાઈ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\rho A x = Z i t$.
તેથી,જાડાઈ $x = \frac{Z i t}{A \rho}$.
આપેલ કિંમતો:
$Z = 0.00033\, g/C = 3.3 \times 10^{-7}\, kg/C$
$i = 1.5\, A$
$t = 1200\, s$
$A = 50 \times 10^{-4}\, m^2$
$\rho = 9000\, kg/m^3$
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{3.3 \times 10^{-7} \times 1.5 \times 1200}{50 \times 10^{-4} \times 9000} = 1.32 \times 10^{-5}\, m$.
આમ,જાડાઈ આશરે $1.3 \times 10^{-5}\, m$ છે.

(A) ધારો કે પીગળેલા ધાતુનું તાપમાન $t\,^{\circ}C$ છે.
ઉત્પન્ન થતું થર્મો-emf $e = 10 \times 10^{-6} \times t\,\text{V} = 10^{-5}t\,\text{V}$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{thermocouple} + R_{galvanometer} = 1.6\,\Omega + 8\,\Omega = 9.6\,\Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{e}{R_{total}} = \frac{10^{-5}t}{9.6}\,\text{A}$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર તેના પોતાના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપે છે,જે $V_G = 8\,\text{mV} = 8 \times 10^{-3}\,\text{V}$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{V_G}{R_G} = \frac{8 \times 10^{-3}}{8} = 10^{-3}\,\text{A}$ છે.
પ્રવાહ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{10^{-5}t}{9.6} = 10^{-3}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{10^{-3} \times 9.6}{10^{-5}} = 9.6 \times 10^2 = 960\,^{\circ}C$.

(A) પેલ્ટીયર સહગુણક $\pi$ એ સંબંધ $\pi = T \frac{de}{dT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે એક જંકશન $0\,^{\circ}C$ પર છે,તેથી નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ અને સેલ્સિયસ તાપમાન $t$ વચ્ચેનો સંબંધ $T = t + 273$ છે.
$t = T - 273$ ને આપેલ emf સમીકરણ $e = at + bt^2$ માં મૂકતા:
$e = a(T - 273) + b(T - 273)^2$.
$T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{de}{dT} = a + 2b(T - 273)$.
કારણ કે $T - 273 = t$,તેથી $\frac{de}{dT} = a + 2bt$.
હવે,પેલ્ટીયર સહગુણકની ગણતરી કરતા:
$\pi = T \frac{de}{dT} = (t + 273)(a + 2bt)$.

(B) બંને ઉપકરણો માટે રેટ કરેલ વોલ્ટેજ $220\,V$ ધારવામાં આવે છે.
બલ્બનો અવરોધ,$R_{Bulb} = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{100} = 484\,\Omega$.
ગીઝરનો અવરોધ,$R_{Geyser} = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{1000} = 48.4\,\Omega$.
$(i)$ જ્યારે માત્ર બલ્બ $ON$ હોય,ત્યારે સર્કિટમાં વાયરિંગનો અવરોધ $(6\,\Omega)$ અને બલ્બ $(484\,\Omega)$ શ્રેણીમાં હોય છે.
બલ્બ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{Bulb1} = 220 \times \frac{484}{484 + 6} = 220 \times \frac{484}{490} \approx 217.3\,V$ છે.
$(ii)$ જ્યારે ગીઝર પણ $ON$ કરવામાં આવે,ત્યારે બલ્બ અને ગીઝર સમાંતર જોડાણમાં હોય છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{484 \times 48.4}{484 + 48.4} = \frac{23425.6}{532.4} = 44\,\Omega$ છે.
હવે સર્કિટમાં વાયરિંગનો અવરોધ $(6\,\Omega)$ અને સમાંતર જોડાણ $(44\,\Omega)$ શ્રેણીમાં હોય છે.
સમાંતર જોડાણ (અને તેથી બલ્બ) પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{Bulb2} = 220 \times \frac{44}{44 + 6} = 220 \times \frac{44}{50} = 193.6\,V$ છે.
પોટેન્શિયલ ડ્રોપમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_{Bulb1} - V_{Bulb2} = 217.3 - 193.6 = 23.7\,V$ છે.
આ આશરે $23\,V$ છે.

(B) ચાર્જિંગ પ્રવાહ $i$ નું સૂત્ર $i = \frac{V_{supply} - V_{battery}}{R_{ext} + r_{int}}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $i = \frac{24 - 12}{2 + 1} = \frac{12}{3} = 4\, A$.
બેટરીમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = V_{battery} \times i \times t$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $E = 360\, Wh$, $V_{battery} = 12\, V$, અને $i = 4\, A$ છે.
$360 = 12 \times 4 \times t$.
$360 = 48 \times t$.
$t = \frac{360}{48} = 7.5\, \text{કલાક}$.

(B) આ સર્કિટમાં $12 \, \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં છે અને તેની સાથે બે શાખાઓ સમાંતર જોડાણમાં છે. એક શાખામાં $5 \, \Omega$ નો અવરોધ છે,અને બીજી શાખામાં $9 \, \Omega$ અને $6 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે (કુલ $15 \, \Omega$).
ધારો કે $5 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1$ છે અને $9 \, \Omega$ તથા $6 \, \Omega$ વાળી શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_2$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,બંને શાખાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે: $i_1 \times 5 = i_2 \times (9 + 6) = i_2 \times 15$.
તેથી,$\frac{i_1}{i_2} = \frac{15}{5} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $i_1 = 3i_2$.
$5 \, \Omega$ ના અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતો પાવર $P_5 = i_1^2 \times 5 = 45 \, W$ છે.
$i_1^2 = \frac{45}{5} = 9 \Rightarrow i_1 = 3 \, A$.
$i_1 = 3i_2$ હોવાથી,$3 = 3i_2$,એટલે કે $i_2 = 1 \, A$.
$12 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i = i_1 + i_2 = 3 + 1 = 4 \, A$ છે.
$12 \, \Omega$ ના અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતો પાવર $P_{12} = i^2 \times 12 = (4)^2 \times 12 = 16 \times 12 = 192 \, W$ થાય.

(A) વોલ્ટામીટરમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ એ પ્રવાહ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
ક્ષેત્રફળ $= \text{સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (10 + 30) \times 100 \times 10^{-3} \, \text{A} = \frac{1}{2} \times 40 \times 0.1 = 2 \, \text{C}$.
ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમ મુજબ,$m = z q$,જ્યાં $z$ એ કોપરનો $ECE$ છે.
આપેલ છે કે $q = 2 \, \text{C}$ વિદ્યુતભાર માટે જમા થયેલ દળ $m$ છે,તેથી:
$m = z \times 2$
$z = \frac{m}{2}$.

(D) જો કોઈ પણ ક્ષણે,સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ હોય,તો સર્કિટમાં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા ($E$ $EMF$ અને $R$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા સ્ત્રોત માટે):
$iR + e = E$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$e = E - iR$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = e$,$x = i$,$m = -R$ (ઢાળ),અને $c = E$ (અંતઃખંડ) છે.
ઢાળ ઋણ $(-R)$ હોવાથી અને અંતઃખંડ ધન $(E)$ હોવાથી,$e$ અને $i$ વચ્ચેનો આલેખ ઋણ ઢાળ અને $e$-અક્ષ પર ધન અંતઃખંડ ધરાવતી સીધી રેખા હશે.
તેથી,સાચો આલેખ વિકલ્પ $D$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(B) અચળ વોલ્ટેજ $V$ હેઠળ $R$ અવરોધ ધરાવતા તારમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \frac{V^2}{R} t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. નિશ્ચિત સમય $t$ માટે,$H \propto \frac{1}{R}$ થાય.
ઉષ્મા બમણી કરવા માટે $(H' = 2H)$,અવરોધ અડધો થવો જોઈએ $(R' = R/2)$.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ છે.
જો લંબાઈ $l$ બમણી $(l' = 2l)$ અને ત્રિજ્યા $r$ બમણી $(r' = 2r)$ કરવામાં આવે,તો $R' = \rho \frac{2l}{\pi (2r)^2} = \rho \frac{2l}{4\pi r^2} = R/2$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ધારો કે ડાબું જંકશન $A$ છે અને જમણું જંકશન $B$ છે. આ સર્કિટ એક બ્રિજ જેવી છે. ડાબી બાજુના ભાગમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે: એકમાં $2\Omega$ અને $4\Omega$ ના અવરોધો છે. $P$ અને $Q$ આગળનું સ્થિતિમાન ગણી શકાય. ડાબા ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_L = (2 || 4) = 8/6 = 4/3 \Omega$ છે. જમણા ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_R = (2 || 4) = 4/3 \Omega$ છે. $P$ આગળનું સ્થિતિમાન $V_P = 12 \times (4/(2+4)) = 8V$ અને $V_Q = 12 \times (2/(2+4)) = 4V$ છે. જમણી બાજુ સંમિત હોવાથી,$V_S = 4V$ અને $V_T = 8V$ મળે છે. $V_P = 8V$ અને $V_Q = 4V$ હોવાથી,$PQ$ માંથી પ્રવાહ વહે છે,તેથી વિકલ્પ $A$ ખોટો છે. કુલ અવરોધ $R_{eq} = 4\Omega$ છે. તેથી,$I_1 = V/R_{eq} = 12/4 = 3A$. વિકલ્પ $B$ સાચો છે. $V_S = 4V$ અને $V_Q = 4V$ હોવાથી,$S$ અને $Q$ નું સ્થિતિમાન સમાન છે,તેથી વિકલ્પ $C$ પણ ખોટો છે. આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પ્રથમ,$R = V^2 / P$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દરેક ગોળાનો અવરોધ શોધો.
પ્રથમ ગોળા માટે $(P_1 = 25\, W, V = 220\, V)$: $R_1 = (220)^2 / 25 = 48400 / 25 = 1936\, \Omega$.
બીજા ગોળા માટે $(P_2 = 100\, W, V = 220\, V)$: $R_2 = (220)^2 / 100 = 48400 / 100 = 484\, \Omega$.
જ્યારે તેમને $440\, V$ ના સપ્લાય સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = 1936 + 484 = 2420\, \Omega$ થાય છે.
શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ $I = V / R_{eq} = 440 / 2420 = 44 / 242 = 2 / 11\, A$ મળે છે.
પ્રથમ ગોળા પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_1 = I \times R_1 = (2 / 11) \times 1936 = 2 \times 176 = 352\, V$ છે.
બીજા ગોળા પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_2 = I \times R_2 = (2 / 11) \times 484 = 2 \times 44 = 88\, V$ છે.
$25\, W$ ના ગોળા પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $(352\, V)$ તેના રેટિંગ વોલ્ટેજ $(220\, V)$ કરતા વધારે હોવાથી,તે ઊડી જશે.

(B) સમાંતર જોડાણમાં,દરેક અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન હોય છે.
અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V$ અચળ હોવાથી,$P \propto \frac{1}{R}$ થાય.
તેથી,$\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_2}{R_1}$ લખી શકાય.
આપેલ છે કે $R_1 = 6\,\Omega$ માટે $P_1 = 6\,W$ છે,અને આપણે $R_2 = 4\,\Omega$ માટે $P_2$ શોધવાનો છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{6}{P_2} = \frac{4}{6}$.
$\frac{6}{P_2} = \frac{2}{3}$.
$P_2 = \frac{6 \times 3}{2} = 9\,W$.

(B) ફેરાડેના નિયમ મુજબ જમા થયેલ દળ $m = Z \cdot i \cdot t$ છે,જ્યાં $Z$ એ વિદ્યુતરાસાયણિક તુલ્યાંક છે.
અહીં $96500 \ C$ વિદ્યુતભાર $1 \ g$ પદાર્થ જમા કરે છે,તેથી $Z = \frac{1}{96500} \ g/C$ થાય.
કોપર $(Cu^{2+})$ માટે,આપેલ માહિતી મુજબ $Z = \frac{32}{96500} \ g/C$ લેતા.
આપેલ છે: $m = 20 \ mg = 20 \times 10^{-3} \ g$ અને $i = 0.15 \ A$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $20 \times 10^{-3} = \left( \frac{32}{96500} \right) \times 0.15 \times t$.
$t = \frac{20 \times 10^{-3} \times 96500}{32 \times 0.15} = \frac{1930}{4.8} \approx 402.08 \ s$.
$402.08 \ s = 6 \ min \ 42 \ s$.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુત વિભાજનના નિયમો અનુસાર,જમા થયેલા પદાર્થનું દળ $m$ એ $m = ZIt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ વિદ્યુત રાસાયણિક તુલ્યાંક છે,$I$ એ પ્રવાહ છે અને $t$ એ સમય છે.
સમાન પ્રવાહ અને સમાન સમય માટે જમા થયેલા બે અલગ-અલગ પદાર્થો માટે,તેમના દળનો ગુણોત્તર તેમના વિદ્યુત રાસાયણિક તુલ્યાંકના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે:
$\frac{m_{Cu}}{m_{Ag}} = \frac{Z_{Cu}}{Z_{Ag}}$
આપેલ છે: $m_{Cu} = 14 \ g$,$Z_{Cu} = 7 \times 10^{-6}$,$Z_{Ag} = 1.2 \times 10^{-6}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{14}{m_{Ag}} = \frac{7 \times 10^{-6}}{1.2 \times 10^{-6}}$
$m_{Ag} = \frac{14 \times 1.2}{7} = 2 \times 1.2 = 2.4 \ g$.

(B) વાહકમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા જૂલના ઉષ્મીય નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $H = i^2 Rt$.
આપેલ કિંમતો છે: વિદ્યુત પ્રવાહ $i = 2 \ A$,ઉષ્મા $H = 80 \ J$,અને સમય $t = 10 \ s$.
અવરોધ $R$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $R = \frac{H}{i^2 t}$.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{80}{(2)^2 \times 10} = \frac{80}{4 \times 10} = \frac{80}{40} = 2 \ \Omega$.
તેથી,વાહકનો અવરોધ $2 \ \Omega$ છે.

(B) જ્યારે કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોય ત્યારે વોલ્ટમીટરનું અવલોકન બેટરીનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ આપે છે,તેથી $E = 5\,V$ છે.
જ્યારે એમીટર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે શોર્ટ-સર્કિટ પ્રવાહ માપે છે,જે $I_{sc} = E/r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
આમ,$10 = 5/r$,જે આપણને $r = 5/10 = 0.5\,\Omega$ આપે છે.
જ્યારે બેટરી સાથે $R = 2\,\Omega$ નો અવરોધ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટમાં કુલ અવરોધ $R_{total} = R + r = 2 + 0.5 = 2.5\,\Omega$ થાય છે.
અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I = E / R_{total} = 5 / 2.5 = 2\,A$.

(A) આપેલ છે કે ગેલ્વેનોમીટરનું અવલોકન શૂન્ય છે,તેથી $I_g = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $400 \ \Omega$ ના અવરોધ અને $X$ અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ સમાન છે.
પરિપથના લૂપનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 400 + X$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવાહ $I = \frac{10}{400 + X}$ મળે છે.
અવરોધ $X$ ની આસપાસનો સ્થિતિમાન તફાવત બીજા કોષના $EMF$ જેટલો છે,જે $2 \ V$ છે.
તેથી,$I \cdot X = 2$.
$I$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા: $\frac{10 \cdot X}{400 + X} = 2$.
$10X = 2(400 + X)$.
$10X = 800 + 2X$.
$8X = 800$.
$X = 100 \ \Omega$.

(A) આપેલ પરિપથમાં,$2 \ V$ ની બેટરી ત્રણ અવરોધોના ત્રિકોણાકાર નેટવર્ક સાથે જોડાયેલ છે,જેમાં દરેક અવરોધ $3 \ \Omega$ છે.
પરિપથને જોતા,બેટરીમાંથી આવતો વિદ્યુતપ્રવાહ ઉપરના નોડ પર વિભાજિત થાય છે. એક માર્ગ એક $3 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થાય છે,અને બીજો માર્ગ શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે $3 \ \Omega$ ના અવરોધોમાંથી પસાર થાય છે.
આમ,પ્રથમ શાખાનો અવરોધ $R_1 = 3 \ \Omega$ છે.
બીજી શાખાનો અવરોધ $R_2 = 3 \ \Omega + 3 \ \Omega = 6 \ \Omega$ છે.
આ બંને શાખાઓ $2 \ V$ ની બેટરી સાથે સમાંતરમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \ \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_{eq} = 2 \ \Omega$.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2 \ V}{2 \ \Omega} = 1 \ A$.

(C) સમઘનને $12$ ધાર હોય છે. ધારો કે દરેક ધારનો અવરોધ $R$ છે. જ્યારે આપણે બે વિકર્ણીય રીતે વિરુદ્ધ ખૂણાઓ વચ્ચે સમતુલ્ય અવરોધની ગણતરી કરીએ છીએ,ત્યારે પ્રવાહ પ્રથમ ખૂણે ત્રણ માર્ગોમાં વહેંચાય છે.
આ ત્રણ અવરોધો સમાંતરમાં છે,દરેકનો અવરોધ $R$ છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R/3$ થાય.
ત્યારબાદ,પ્રવાહ છ અવરોધોમાંથી પસાર થાય છે જે સમાંતરમાં છે,દરેકનો અવરોધ $R$ છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R/6$ થાય.
અંતે,પ્રવાહ ત્રણ અવરોધોમાંથી પસાર થાય છે જે સમાંતરમાં છે,દરેકનો અવરોધ $R$ છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R/3$ થાય.
કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ આ શ્રેણી સંયોજનોનો સરવાળો છે:
$R_{eq} = R/3 + R/6 + R/3 = (2R + R + 2R) / 6 = 5R/6$.

(D) પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 100 \, \Omega + 100 \, \Omega + 80 \, \Omega + 20 \, \Omega = 300 \, \Omega$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો વિધુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{48 \, V}{300 \, \Omega} = 0.16 \, A$ છે.
$PQ$ વચ્ચેનો વિધુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ($20 \, \Omega$ ના અવરોધ માટે) $V_{PQ} = I \times R = 0.16 \, A \times 20 \, \Omega = 3.2 \, V$ થાય.

(C) અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $Q = I^2 R t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બેટરીનું ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ હોય,તો વિદ્યુત પ્રવાહ $I = \frac{E}{R+r}$ થાય.
આપેલ છે કે સમાન સમય $t$ માટે બંને અવરોધોમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $Q$ સમાન છે,તેથી:
$Q = \left( \frac{E}{R_1 + r} \right)^2 R_1 t = \left( \frac{E}{R_2 + r} \right)^2 R_2 t$
બંને બાજુથી $E^2$ અને $t$ ને દૂર કરતા:
$\frac{R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{R_2}{(R_2 + r)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{\sqrt{R_1}}{R_1 + r} = \frac{\sqrt{R_2}}{R_2 + r}$
$\sqrt{R_1}(R_2 + r) = \sqrt{R_2}(R_1 + r)$
$\sqrt{R_1} R_2 + r\sqrt{R_1} = \sqrt{R_2} R_1 + r\sqrt{R_2}$
$r(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2}) = \sqrt{R_2} R_1 - \sqrt{R_1} R_2$
$r(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2}) = \sqrt{R_1 R_2}(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2})$
$r = \sqrt{R_1 R_2}$

(D) ધારો કે બિંદુ $A$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_A = 0 \, V$ છે. પરિપથ સંમિત હોવાથી અને બે $5 \, V$ ની બેટરીઓ મધ્યબિંદુની સાપેક્ષમાં વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલી હોવાથી,બિંદુ $C$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_C = 0 \, V$ થશે.
બિંદુ $A$ અને $C$ પાસેનું સ્થિતિમાન $0 \, V$ હોવાથી,$E$ અને $F$ વચ્ચે જોડાયેલા $12\, \Omega$ ના અવરોધ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_E - V_F = 0 \, V - 0 \, V = 0 \, V$ થશે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$I = V/R = 0 \, V / 12 \, \Omega = 0 \, A$.
આમ,$12\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $0 \, A$ છે.

(B) પરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહનું સૂત્ર $I = \frac{E}{R + r}$ છે.
અહીં $E = 4 \ V$,$R = 2 \ \Omega$ અને $I = 1 \ A$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1 = \frac{4}{2 + r}$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $2 + r = 4$,તેથી $r = 2 \ \Omega$ મળે છે.
જ્યારે ટર્મિનલ્સને શોર્ટ-સર્કિટ કરવામાં આવે,ત્યારે બાહ્ય અવરોધ $R = 0$ થાય છે.
શોર્ટ-સર્કિટ વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{sc} = \frac{E}{r} = \frac{4 \ V}{2 \ \Omega} = 2 \ A$ થશે.

(B) આપેલ પરિપથમાં બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે.
જોકે,આપેલી ઉકેલની આકૃતિ એક સરળ લૂપ દર્શાવે છે જ્યાં $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શાખાઓ દ્વારા નક્કી થાય છે.
આપેલી ઉકેલની આકૃતિના આધારે,કુલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ $2 \, V + 2 \, V = 4 \, V$ છે અને કુલ અવરોધ $2 \, \Omega$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{V}{R} = \frac{4 \, V}{2 \, \Omega} = 2 \, A$.
પ્રવાહ બેટરીના ધન ધ્રુવથી $B$ તરફ વહેતો હોવાથી,$E_2$ ધરાવતી શાખા (અથવા સમતુલ્ય માર્ગ) માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $A$ થી $B$ તરફ $2 \, A$ છે.

(B) કેથોડ પર જમા થતું દળ $m$ ફેરાડેના નિયમ મુજબ $m = ZIt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ વિદ્યુત-રાસાયણિક તુલ્યાંક છે,$I$ એ વોલ્ટામીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ છે અને $t$ એ સમય છે.
કિસ્સો $1$ (શ્રેણી): કુલ અવરોધ $R_s = 2\,\Omega + 3\,\Omega = 5\,\Omega$ છે. વોલ્ટામીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_s = V / R_s = 10\,V / 5\,\Omega = 2\,A$ છે. આપેલ છે કે $m_s = 1\,g$.
કિસ્સો $2$ (સમાંતર): વોલ્ટામીટર $(2\,\Omega)$ અને અવરોધ $(3\,\Omega)$ ને $10\,V$ ની બેટરી સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે. વોલ્ટામીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_p = V / R_v = 10\,V / 2\,\Omega = 5\,A$ છે.
સમાન સમય $t$ માટે $m \propto I$ હોવાથી,$m_p / m_s = I_p / I_s$ મળે.
$m_p = (5\,A / 2\,A) \times 1\,g = 2.5\,g$.
દળમાં થતો વધારો $\Delta m = m_p - m_s = 2.5\,g - 1\,g = 1.5\,g$ છે.

(C) આ પરિપથમાં $64 \, \Omega$ અને $32 \, \Omega$ ના બે અવરોધો $60 \, V$ ના સ્થિતિમાન તફાવત સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$32 \, \Omega$ ના અવરોધ પરનો સ્થિતિમાન તફાવત નીચે મુજબ મળે છે:
$V_J - V_G = \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right) \times V_{total}$
$V_J - V_G = \left( \frac{32}{64 + 32} \right) \times 60 \, V$
$V_J - V_G = \left( \frac{32}{96} \right) \times 60 \, V$
$V_J - V_G = \left( \frac{1}{3} \right) \times 60 \, V = 20 \, V$
અહીં $G$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_G = 0 \, V$ હોવાથી,$J$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_J = 20 \, V$ થશે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથ $6\,V$ ની બેટરી,$2.8\,\Omega$ નો અવરોધ અને $2\,\Omega$ તથા $3\,\Omega$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં હોય તે રીતે સરળ બને છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} = 1.2\,\Omega$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 2.8\,\Omega + 1.2\,\Omega = 4.0\,\Omega$ છે.
બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6\,V}{4\,\Omega} = 1.5\,A$ છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$2\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = I \times \frac{3}{2 + 3} = 1.5 \times \frac{3}{5} = 1.5 \times 0.6 = 0.9\,A$ મળે છે.